LOGIKA MATEMATIKA by jw8490k

VIEWS: 12,181 PAGES: 6

									LOGIKA MATEMATIKA                                                                                   Name:

Logika = suatu metode/teknik yg diciptakan untuk meneliti             B. KALIMAT TERBUKA
         ketepatan penalaran.
                                                                      = kalimat yg memuat variabel & dapat menjadi pernyataan
Penalaran = suatu bentuk pemikiran yg masuk akal.
                                                                         jika variabelnya diganti dengan nilai tertentu.
Dalam bab ini, beberapa materi yg akan dibahas adalah:
                                                                      Contoh 4
 a. Pernyataan           f. Implikasi
                                                                      a. Ikan x tergolong jenis ikan buas.
 b. Kalimat terbuka      g. Biimplikasi
                                                                      b. 2 + x = 19
 c. Negasi               h. Konvers, Invers, Kontra posisi
                                                                      c. 2x – 1 < 5 ; x∈{0, 1, 2, 3, 4, 5}
 d. Konjungsi            i. Kuantor
 e. Disjungsi            j. Modus ponens, tollens, Silogisme
                                                                      Pada contoh 4a: jika x diganti dengan hiu atau piranha, maka
                                                                      kalimat itu menjadi benar, hp-nya {hiu, piranha,...}.
A. PERNYATAAN                                                         Demikian pula dengan contoh 4b dan 4c. HP contoh 4b = {17}
                                                                      dan contoh 4c = {0, 1, 2}.
= suatu kalimat yg bernilai Benar atau Salah saja, tetapi tidak
   sekaligus keduanya.
                                                                      Latihan 2
Nilai kebenaran suatu pernyataan bergantung kpd kebenaran
atau ketidakbenaran dari realitas yg dinyatakannya.                   Tentukan x agar kal terbuka berikut ini bernilai Benar.
                                                                          1. 3x > 12
Perlu dibedakan antara kalimat pernyataan, bukan pernyataan,              2. Kata MATEMATIKA terdiri dari x huruf.
                                                                             2
dan kalimat terbuka.                                                      3. log x = 5
                                                                                                                          3
                                                                          4. Volume kubus yg rusuknya 3 cm adalah x cm .
Contoh 1                                                                  5. Jumlah pemain sepak bola tiap tim adalah x orang.
a.   Gunung Batur terletak di Bali (pernyataan)
b.   Lima adalah bilangan genap (pernyataan)                          Tentukan x agar kal terbuka berikut ini bernilai Salah.
                                                                              2
c.   Cahya pergi ke Bandung (bukan pernyataan)                            6. x – 3x – 4 = 0
d.   x adalah bilangan kuadrat (kal terbuka)                              7. 3x – 7 < 5x + 1
e.   2 + a = 10 (kal terbuka)                                             8. log 1000 = x
                                                                          9. Ibukota Inggris adalah x.
Contoh 1a adalah pernyataan yg bernilai Benar sedangkan
            contoh 1b merupakan pernyataan yg Salah.
Contoh 1c bukan pernyataan karena tidak diketahui nilai
            kebenarannya.                                             C. NEGASI ( ~ )
Contoh 1d dan 1e adalah kalimat terbuka karena terdapat suatu         Jika p adalah suatu pernyataan, maka negasi/ingkarannya
                    variabel.                                         ditulis: ~p atau –p. Jika pernyataan p bernilai benar, maka ~p
                                                                      bernilai salah, dan demikian juga sebaliknya.
Contoh 2
a.   Rasa air laut asin.                                              Contoh 5
b.   Sepeda motor beroda tiga.                                        a. p : Bilangan genap habis dibagi dengan 2.
c.   Tujuh adalah bilangan prima.                                       ~p : Tidak benar bhw bilangan genap habis dibagi dgn 2.
d.   Jakarta terletak di pulau Jawa dan ibukota RI.                     atau ~p : Bilangan genap tidak habis dibagi dgn 2.

Contoh 2a, b, & c adalah pernyataan yg menyatakan pikiran             b. q : 3 + 5 = 8    (B)
tunggal, sedangkan contoh 2d pernyataan/kalimat majemuk.                ~q : 3 + 5 ≠ 8    (S)
Lambang-lambang yg umum digunakan adalah:                             c.    r : 6 + 7 ≤ 12 (S)
  untuk pernyataan: huruf p, q, r, . . .                                   ~r : 6 + 7 > 12 (B)    [ perhatikan: bukan ≥, tetapi > ]
  untuk nilai benar: B, T, atau 1
  untuk nilai salah: S, F, atau 0                                     d.     p : Beberapa ayam dipotong.
                                                                            ~p : Semua ayam tidak dipotong.
                                                                       atau ~p : Tidak benar bahwa beberapa ayam dipotong.
Contoh 3
p : Hari Minggu sekolah libur.                   (B)
q : 2 x 5 = 32                                   (S)                  Latihan 3
r : Akar dari 16 adalah ±4                       (S)                  Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut ini.
                                                                           1. 2 adalah bilangan prima genap.
                                                                           2. Danau Toba terletak di Palembang.
Latihan 1                                                                  3. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.
Tentukan manakah yg merupakan pernyataan.                                  4. 2 + (3 + 8) = (2 + 3) + 8
    1. Jakarta mendapat julukan kota banjir.                          Tentukan penyelesaian kalimat terbuka berikut:
    2. Barcelona adalah sebuah kota di Italia.                                 2
                                                                           5. x + 4 > 0
    3. 22 + 32 = 52
                                                                           6. 4a – 1 = 19
    4. 256 merupakan bilangan kuadrat.
                                                                           7. 3a + 1 = 7 dan a bilangan prima ganjil.
    5. Siapa namamu?                                                           2
    6. Ada 356 hari dalam setahun.                                         8. x + 25 = 41
    7. 3 + a2 ≤ 12                                                    Tentukan negasi dan nilai kebenaran dari:
    8. Suara piano enak didengar.                                          9. Bunga mawar pasti berwarna merah.
                                                                                    2
                                                                          10. 5x + 3 = 18 adalah persamaan kuadrat.
                                                                          11. Musim hujan tahun ini akan berlangsung lama.


                                                                  1                                     SMA Santa Laurensia   Mei 2008
D. KONJUNGSI ( ∧ )                                                    Menentukan nilai kebenaran konjungsi
                                                                      Contoh 8
= pernyataan mejemuk yg dihubungkan dgn kata hubung DAN.
                                                                      Tentukan nilai a agar “2a – 5 = 1 ∧ 3 adalah bil prima”
Dua pernyataan p dan q yg dinyatakan dalam bentuk p ∧ q               bernilai: a) benar        b) salah
disebut konjungsi, dan dibaca: p dan q.                               Jawab:
                                                                                p(x) : 2a – 5 = 1
“Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika                      q : 3 adalah bilangan prima (B)
kedua komponennya bernilai benar“, selain itu salah.
                                                                      Agar kalimat p(x) ∧ q bernilai Benar, maka p(x) harus benar.
Tabel nilai kebenaran konjungsi:                                               p(x) : 2a – 5 = 1 diperoleh: x = 5
                  p           q              p∧q                      Jadi, untuk x = 5 maka p(x) ∧ q bernilai benar
                  B           B               B                       dan untuk x ≠ 5 maka p(x) ∧ q bernilai salah.
                  B           S               S
                  S           B               S
                  S           S               S                       Latihan 4
                                                                      1. Diketahui beberapa pernyataan:
Contoh 6                                                                       p : Kutub senama magnet akan saling tolak.
                                                                               q : Indonesia adalah negara ASEAN.
 a.     p:      Pebasket sering berlari.                    (B)                r : π adalah bilangan ganjil
        q:      Pebasket memantulkan bola.                  (B)
      p∧q:      Pebasket sering berlari dan                             Tentukan nilai kebenaran dari:
                memantulkan bola.                           (B)           a. p ∧ q                           b. p ∧ r
                                                                          c. p ∧~q                           d. ~q ∧ r
        p:      Pebasket sering berlari.                    (B)       2. Tentukan nilai x pada kal terbuka berikut ini agar p(x) ∧ q
 b.     q:      Pebasket tidak memantulkan bola             (S)          bernilai Benar.
      p∧q:      Pebasket sering berlari dan                                                                        2
                                                                          a. p : 4x – 2 > 10               b. p : x = 81
                tidak memantulkan bola.                     (S)                        2     2  2                   3   2   7
                                                                             q : (6+4) ≠ 6 + 4                q: 2 .4 =2
 c.     p:      Pebasket jarang berlari.                    (S)       Tentukan nilai x agar konjungsi berikut ini bernilai Benar.
        q:      Pebasket memantulkan bola.                  (B)       3. 4x – 7 = 3 dan 9 – 3 = 6
      p∧q:      Pebasket jarang berlari dan memantulkan               4. Jakarta adalah ibukota Indonesia dan 5x = 15.
                bola.                                       (S)                         3   2    7
                                                                      5. 4x = 12 dan 2 . 4 = 2
 d.     p:      Pebasket jarang berlari.                    (S)
                                                                      Tentukan nilai x agar konjungsi berikut ini bernilai Salah.
        q:      Pebasket tidak memantulkan bola             (S)
                                                                      6. 4x = 12 dan 45 – 8 = 37
      p∧q:      Pebasket jarang berlari dan tidak
                                                                      7. Singa berkaki empat dan 2x + 3 = 15
                memantulkan bola.                           (S)
                                                                      8. 3x > 18 dan bensin adalah zat cair.
                                                                          2
                                                                      9. x – 12x + 20 = 0 dan 5 + 7 = 12
Catatan:
  Lambang ∧ juga digunakan untuk mendefinisikan irisan dua
  himpunan. A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }                             E. DISJUNGSI ( ∨ )
  Kata-kata konjungsi selain DAN adalah: meskipun, tetapi,
                                                                      Jika dua pernyataan p dan q dihubungkan dengan kata hubung
  sedangkan, padahal, sambil, yang juga, dsb.
                                                                      ATAU, maka pernyataan: p atau q disebut disjungsi.

                                                                      Suatu disjungsi akan bernilai benar jika salah satu atau kedua
                                                                      komponennya bernilai benar.
Contoh 7
Selidikilah nilai kebenaran dari kalimat berikut ini.                 Tabel nilai kebenaran disjungsi:

a. Hari Minggu sekolah libur dan 6 x 8 = 54                                             p            q          p∨q
                                                                                        B            B             B
  Jawab:                                                                                B            S             B
  p : Hari Minggu sekolah libur.       (B)                                              S            B             B
  q : 6 x 8 = 54                       (S)                                              S            S             S
  Analisis kebenarannya:
                                                                      Contoh 9
         p ∧ q ≡ B ∧ S ≡ S (Salah)
                                                                      Tentukan nilai kebenaran dari:
  Jadi kalimat “Hari Minggu sekolah libur dan 6 x 8 = 54“
                                                                      a. 2 x 5 = 32 atau 2/5 = 0,4
  bernilai SALAH.
                                                                         Jawab:
                                                                                p : 2 x 5 = 32                           (S)
b. 8 – 5 = 3 meskipun 8 + 5 = 13.
                                                                                q : 2/5 = 0,4                            (B)
  Jawab:
                                                                        Analisis menurut tabel disjungsi:
          p: 8–3=5                     (B)
                                                                               p ∨ q ≡ S ∨ B ≡ B (Benar)
        ~q : 8 + 5 = 13                (B)
  maka . . . .
        p ∧ ~q ≡ B ∧ B ≡ B                                            b. 12 – 3 = 7 atau rumus molekul air adalah HO2
                                                                         Jawab:
                                                                                p : 12 – 3 = 7                     (S)
                                                                                q : Rumus molekul air adalah HO2   (S)
                                                                         maka p ∨ q ≡ S ∨ S ≡ S (Salah)


                                                                  2                                      SMA Santa Laurensia   Mei 2008
Menentukan nilai kebenaran disjungsi                                  Contoh 11
Contoh 10                                                             Jika p bernilai Benar dan q Salah, tentukanlah nilai kebenaran
                                2                                     dari: a. p → q      b. q → ~p       c. ~q → p
Tentukan nilai x agar “2x = 32 ∨ lelaki melahirkan anak“
bernilai: a) Benar   b) Salah                                         Jawab:       a. p → q ≡ B → S ≡ S (Salah)
                                                                                   b. q → ~p ≡ S → ~B ≡ S → S ≡ B (Benar)
Jawab:                                                                             c. ~q → p ≡ B → B ≡ B (Benar)
                  2
Tuliskan p(x) : 2x = 32
            q : Lelaki melahirkan anak (Salah)                        Contoh 12
a. Agar disjungsi itu bernilai Benar, maka nilai x = 4 atau -4        Carilah nilai x agar Implikasi berikut ini bernilai Benar.
                                                                                                2
                                                                      a. Jika 2x = 18 maka 4 = 16
b. Agar bernilai Salah, maka x ≠ 4 atau x ≠ -4                        b. Jika 8 – (–2) = 6 maka 3 – x = 7
   [ dapat juga ditulis: “selain 4 dan -4” ]
                                                                      Jawab:       a. 2x = 18 → B = Benar x = sembarang angka (real)
                                                                                   b. S → 3 – x = 7 = Benar maka x ≠ -4

Latihan 5
                                                                      Latihan 6
Tentukan nilai kebenaran dari tiap disjungsi berikut ini.
     1. 3 adalah bilangan prima atau 4 bilangan genap.                Manakah implikasi berikut ini yg bernilai Benar:
              2   4                                                   1. Jika 4 + 5 = 9 maka 5 x 6 = 30
     2. 3 x 3 = 3 atau 4 faktor dari 12.
                                                                      2. Jika 3 adalah faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5.
     3. Manusia berkaki dua ∨ Rubin adalah presiden Yunani.           3. Jika 3 x 2 < 8 maka 8 bilangan genap
     4. Jika p bernilai Salah dan q Benar, tentukan nilai
        kebenaran dari:                                               4. Jika p bernilai Salah, q Benar, dan r Benar, maka tentukan
         a. p ∨ q           b. p ∨ ~q          b. ~(~q ∨ p)               nilai kebenaran dari:
                                                                             a. p→ q           b. ~q → ~p        c. ~q ∨ (r → p)
Carilah nilai x agar tiap Disjungsi berikut ini bernilai Benar.
      5. 2x + 1 = 13 atau 3 – 3 = 1
           2                                                          5. Tentukan x agar implikasi berikut ini menjadi Benar:
      6. x – 36 = 0 atau 7 adalah bilangan prima.
               3                                                            a. Jika 2x + 1 = 9 maka 5 + 3 = 8
      7. 8 – x = 0 atau 3 adalah faktor dari 28.                                      2
                                                                            b. Jika 7 – 3 = 45 maka 5x = 40
                                                                            c. Jika 15 – 6 = 9 maka 4x – 3 = 3x
Carilah nilai x agar tiap Disjungsi berikut ini bernilai Salah.
      8. 20 – x = 9 atau 48 x 2 = 96
                           2                                          6. Tentukan nilai x agar menjadi Implikasi yg Salah:
      9. 4x > 20 atau 12 = 144                                              a. Jika 2x + 1 = 9 maka 5 + 3 = 8
    10. 4 – x = 7 atau kubus mempunyai 12 rusuk.                                      2
                                                                            b. Jika 7 – 3 = 45 maka 5x = 40
                                                                            c. Jika 15 – 6 = 9 maka 4x – 3 = 3x
11. Buatlah tabel kebenaran dari:
    a. ~p ∨ q
                                                                      7. Buatlah tabel kebenaran dari:
        p         q        ~p                                             a. p → ~q
        B         B                                                            p          q          ~q
        B         S
        S         B                                                            B          B
        S         S                                                            B          S
                                                                               S          B
                                                                               S          S
    b. (p ∧ ~r) ∨ q
        p         q         r        ~r                                   b. (~p ∧ r) → q
        B         B         B                                                  p         q       r        ~p
        B         B         S
        B         S         B                                                  B         B       B
        B         S         S                                                  B         B       S
        S         B         B                                                  B         S       B
        S         B         S                                                  B         S       S
        S         S         B                                                  S         B       B
        S         S         S                                                  S         B       S
                                                                               S         S       B
                                                                               S         S       S



                                                                      8. Periksalah, apakah pernyataan berikut ini ekuivalen?
F. IMPLIKASI ( → )
                                                                          a. ~(p ∧ q) dan ~p ∨ ~q
= pernyataan majemuk yg disusun dari 2 pernyataan (p & q)                      p         q      ~p        ~q
  dibaca “jika p maka q”, dan notasinya: p → q.
                                                                               B         B
                                                                               B         S
p → q akan bernilai Salah, jika p Benar dan q Salah.                           S         B
                                                                               S         S
Tabel nilai kebenaran implikasi:
                 p              q         p→q
                                                                          b. ~(p → q) dan p ∧ ~q
                 B              B           B
                 B              S           S                                  p         q      ~q
                 S              B           B                                  B         B
                 S              S           B                                  B         S
                                                                               S         B
                                                                               S         S



                                                                  3                                       SMA Santa Laurensia   Mei 2008
G. BIIMPLIKASI ( ↔ )                                                      10. Buatlah tabel kebenaran dari:
                                                                             a. p ↔ ~q
Pernyataan p dan q dapat disusun dgn “jika dan hanya jika“
yang disebut biimplikasi atau implikasi dua arah.                                 p          q        ~q
                                                                                  B          B
Notasinya p ↔ q dan dibaca “p jika dan hanya jika q“                              B          S
                                                                                  S          B
                                                                                  S          S
Jika p dan q bernilai sama, maka biimplikasi       p ↔ q       akan
bernilai Benar; selain itu bernilai Salah.
                                                                            b. r ∨ (p ↔ ~q)
Tabel nilai kebenaran biimplikasi:                                               p           q        r        ~q
                                                                                 B           B        B
                 p          q             p↔q                                    B           B        S
                 B          B                  B                                 B           S        B
                 B          S                  S                                 B           S        S
                 S          B                  S                                 S           B        B
                 S          S                  B                                 S           B        S
                                                                                 S           S        B
                                                                                 S           S        S
Contoh 13
p: 13 – 8 = 5                            (B)
q: 5 x 9 = 40                            (S)
    p ↔ q ≡ B ↔ S ≡ S (Salah)                                             H. KONVERS, INVERS, KONTRA POSISI
                                                                          Konvers (kebalikan) dari p → q adalah q → p
                                                                          Invers (lawan) dari p → q adalah ~p → ~q
Contoh 14
                                                                          Kontra posisi dari p → q adalah ~q → ~p
Tentukan nilai x agar kalimat berikut menjadi Benar.
a. 3x – 4 = 2x – 1 jika dan hanya jika 2 adalah bil genap.                Hubungan antara ketiganya disajikan dalam tabel berikut:
b. 3 > 5 jika dan hanya jika x – 3 = 0
                                                                                           negasi     implik    konvers     invers     kontra
Jawab:                                                                       p        q
                                                                                          ~p   ~q      p→q       q→p        ~p→~q      ~q→~p
a. 2 adalah bilangan genap (Benar) maka 3x – 4 = 2x – 1
                                                                             B        B    S    S       B          B          B          B
    harus bernilai Benar juga; diperoleh x = 3                               B        S    S    B       S          B          B          S
b. 3 > 5 (Salah) maka x – 3 = 0 harus Salah, sehingga x ≠ 3                  S        B    B    S       B          S           S         B
                                                                             S        S    B    B       B          B          B          B

                                                                          Terlihat bahwa :       p → q ≅ ~q → ~p
Contoh 15
                                                                                      dan        q → p ≅ ~p → ~q
Tentukan nilai x agar kalimat berikut menjadi Salah:
        2
    1. x = 36 ↔ 4 – 2x = 16                                               dengan kata lain:
          2
    2. 8x = 32 jika dan hanya jika 4 = ±2                                          implikasi ≅ kontra posisi
                                                                                   konvers ≅ invers
Jawab:
       2
   1. x = 36 didapat x = 6 atau -6
                                                                          Contoh 16
           untuk x = 6 maka 4 – 2x = 16 (Salah)
           untuk x = -6 maka 4 – 2x = 16 (Benar)                          Tentukan konvers, invers, dan kontra posisi dari implikasi:
      coba ambil x = 8 maka 4 – 2x = 16 (Salah)                           ”Jika hari hujan, maka saya membawa payung”.
      jadi, agar menjadi Salah, maka x ≠ -6
                                     2                                    Jawab:
    2.     4 = ±2 (Salah) maka 8x = 32 harus bernilai Benar;              Implikasi di atas dapat dinotasikan dengan p → q
         diperoleh x = 2 atau -2
                                                                          Konvers : Jika saya membawa payung maka hari hujan.
                                                                          Invers  : Jika hari tidak hujan maka saya tidak bawa payung.
                                                                          Kontra : Jika saya tidak bawa payung, maka hari tidak hujan
Latihan 7
Dari pernyataan biimplikasi berikut ini, manakah yg benar?
    1. 3 adalah bil ganjil jika dan hanya jika 3 faktor 15.               Latihan 8
    2. 3 + 8 = 11 jika dan hanya jika 11 habis dibagi 2.                  Tentukan konver, invers, dan kontra posisi dari:
    3. Jika p Benar dan q Salah, tentukanlah kebenaran dari :                 1. Jika saya lapar maka saya makan.
         a. ~p ↔ q                  b. ~(q ↔ p)                                                     2
                                                                              2. Jika x = 5 maka x = 25
                                                                                                    2
                                                                              3. Jika x > 3 maka x > 9
Tentukan nilai x agar biimplikasi berikut ini menjadi Salah:
                                                                              4. Jika monyet makan nasi maka saya makan nasi.
    4. x – 3 = 5 jika dan hanya jika 4 > 5                                    5. Tentukan konvers dan kontra posisi dari:
        2                              2
    5. x – 4 = 0 jika dan hanya jika x – 5x + 6 = 0                                 a. p → ~q          K:                  KP:
    6. 24x = 72 jika dan hanya jika 5 bilangan prima.                               b. ~p → q          K:                  KP:
                                                                                    c. ~p → ~q         K:                  KP:
Dari implikasi berikut, manakah yg merupakan biimplikasi:                           d. (p ∧ q) → r     K:                  KP:
    7. Segitiga ABC sama kaki → ∠A = ∠B
    8. Jika A ⊆ B dan B ⊆ A maka A = B
                                           o
    9. Jika jumlah sudut dalam segi S = 360 maka S itu segi-4.


                                                                      4                                        SMA Santa Laurensia   Mei 2008
I. KUANTOR                                                            Contoh 19
Kuantor ≡ kuantitas ≡ jumlah                                          Tentukan kesimpulan dari 2 premis berikut ini:
Pernyataan berkuantor = suatu kalimat yg variabelnya
                                                                      Premis 1: Jika Regan sakit maka semua siswa sedih.
mengandung suatu ukuran jumlah (kuantitas) tertentu.
                                                                      Premis 2: Regan sedang sakit.
Jika pada suatu kalimat terbuka ditambahkan kata kuantor,
                                                                      Jawab: misalkan premis 1: p → q
maka kal terbuka tsb menjadi kal tertutup (pernyataan).
                                                                                      premis 2: p
Ada 2 jenis kuantor:                                                  menurut modus ponens, kesimpulannya: q
    1. Kuantor umum/universal (notasi: ∀)                             atau: ”Semua siswa sedih”
        ∀(x) dibaca: untuk semua x, setiap x, berapapun x
    2. Kuantor khusus/eksistensial (notasi: ∃)
        ∃(x) dibaca: beberapa x atau ada x                            Contoh 20
                                                                      Tentukan kesimpulan dari:
Contoh 17                                                             P1: Jika seorang wanita cerewet maka ia pintar memasak.
                                                                      P2: Stella tidak pintar memasak.
x + 3 = 8 merupakan kal terbuka. Tambahkanlah kata kuantor
sehingga menjadi pernyataan yg Benar dan Salah.                       Jawab:   premis 1: p → q
                                                                               premis 2: ~q
Jawab:
a. Agar pernyataan itu menjadi Benar, diberi kata ”ada”               menurut modus tollens, kesimpulannya: ~p
         atau: ”Ada x sehingga x + 3 = 8”                             ∴ ”Stella tidak cerewet”
                (tidak setiap nilai x memenuhi persamaan itu)
b. Agar menjadi Salah, tambahkan kata ”setiap, semua”
         atau: ” semua x memenuhi persamaan x + 3 = 8 ”               Contoh 21
                                                                      Tentukan kesimpulan dari:
                                                                      Premis 1: Jika hujan turun maka rumput basah.
                                                                      Premis 2: Jika rumput basah maka Hans tidak main bola.
Contoh 18
Ubahlah kalimat berikut ini agar menjadi kalimat yg Benar:            Jawab:   premis 1: p → q
    2                 2
a. x > 0          b. x – 81 = 0                                                premis 2: q → r
                                                                      menurut silogisme, kesimpulannya: p → r
Jawab:
                                                                      ∴ ”Jika hujan turun maka Hans tidak main bola”
a. Karena semua bilangan jika dikuadratkan akan positif, maka
                         2
   dapat ditulis: ∀(x), x > 0
b. Karena hanya nilai x = 9 atau x = -9 yg memenuhi, maka:
                  2
         ∃(x), x – 81 = 0                                             Contoh 22
                                                                      Tentukan kesimpulan dari:
                                                                      Premis 1: Jika siswa suka matematika maka ia berkacamata.
Latihan 9                                                             Premis 2: Grace berkacamata.

Tambahkanlah kata kuantor yang tepat agar menjadi Benar:              Jawab:   premis 1: p → q
1. log x = 2                                                                   premis 2: q
    x
2. 1 = 1                                                              kesimpulan ?
3. 14 – x = 10
4. Benda x akan jatuh bebas vertikal menuju pusat bumi.
5. Zat cair x akan terasa panas jika dibakar.
6. Carilah 1 contoh kalimat berkuantor umum dan khusus!               Penarikan kesimpulan dari dua/beberapa premis dikatakan sah
                                                                      jika menghasilkan TAUTOLOGI (pernyataan yg selalu bernilai
                                                                      Benar untuk apapun option premisnya).

                                                                      Penarikan kesimpulan berdasarkan prinsip modus ponens, modus
                                                                      tollens, dan silogisme selalu sah karena merupakan tautologi.
J. MODUS PONENS, TOLLENS, SILOGISME
Dalam kehidupan, terkadang kita memerlukan pengambilan
keputusan atau kesimpulan tertentu akan berbagai hal.                 Contoh 23
                                                                      Apakah [ (p→q) ∧ p ] → p merupakan suatu Tautologi?
Penarikan kesimpulan dari beberapa pernyataan (premis) itu
dapat dilakukan dengan prinsip logika matematika.                     Jawab:
                                                                      Kita buat tabel kebenaran:
Agar kesimpulan yg dihasilkan itu sah, maka ada beberapa
                                                                          p       q      p→q       (p→q) ∧ p     [ (p→q) ∧ p ] → P
prinsip yg sering digunakan, yaitu modus ponens, modus tollens,
dan silogisme.                                                            B       B         B           B                   B
                                                                          B       S         S           S                   B
                                                                          S       B         B           S                   B
Ketiganya dituliskan dalam tabel berikut ini:                             S       S         B           S                   B
                   M. Ponens      M. Tollens    Silogisme
                                                                      Tampak bahwa [ (p→q) ∧ p ] → p menghasilkan option BBBB
     Premis 1        p→q            p→q          p→q                  Artinya: untuk kondisi apapun p (BBSS) dan q (BSBS), jika
     Premis 2        p              ~q           q→r                  menghasilkan BBBB maka pernyataan [ (p→q) ∧ p ] → p
    Kesimpulan       q              ~p           q→r                  disebut Tautologi.



                                                                  5                                   SMA Santa Laurensia   Mei 2008
Latihan 10                                                        EVALUASI
Periksa sah atau tidak argumentasi berikut ini.
                                                                  1. Negasi dari “Semua siswa ingin naik kelas”
1. P1: Jika ada gula maka ada semut.
                                                                     adalah:
   P2: Tidak ada semut
     ∴ Tidak ada gula
                                                                  2. Invers dari ”Jika guru tidak datang maka siswa senang”
2. P1: Jika orang bekerja keras maka uangnya banyak                  adalah:
   P2: Ferry seorang pekerja keras.
    ∴ Ferry uangnya banyak.                                       3. Kontra posisi ”Jika lampu merah maka mobil berhenti”
                                                                     adalah:
4. P1: Jika hari hujan maka Sandra memakai payung.
   P2: Sandra memakai payung sekarang.
       ∴ Hari ini hujan.                                          4. Konvers dari ”Jika Cahya lincah maka ia pebasket”
                                                                     adalah:
5. Dengan menggunakan tabel kebenaran, periksalah sah atau
   tidak tiap argumentasi berikut ini.                            5. Agar x – 4 = 9 ∧ 42 – 8 = 32 menjadi Benar maka x =
     a. p → q
       ~p                                                         6. Agar x – 4 = 9 ∨ 42 – 8 = 32 menjadi Benar maka x =
      ∴ ~q                                                        7. Agar x – 4 = 9 → 42 – 8 = 32 menjadi Benar maka x =

       p         q        ~p                                      8. Agar x – 4 = 9 ↔ 42 – 8 = 32 menjadi Benar maka x =
       B         B                                                9. Kalimat ”Jika Sarah rajin maka ia akan sukses” ekuivalen
       B         S                                                   dengan:
       S         B
       S         S
                                                                 10. Jika ”P1: Jika siswa tidak belajar maka ia akan gagal.
                                                                      dan P2: Indra sudah belajar.
    b. ~q → p                                                          Kesimpulan:
        q ∨ ~p
       ∴q
                                                                 11.   Dengan membuat tabel kebenaran, selidiki sah atau tidak
       p         q       ~p        ~q                                  penarikan kesimpulan berikut ini:
       B         B
       B         S                                                      a. Mayta akan belajar Matematika atau Geografi
       S         B
                                                                           Mayta tidak belajar Geografi
       S         S
                                                                           Jadi: Mayta belajar Matematika

    c. p → q
       q → ~r
       p → ~r

      p      q       r        ~r
      B      B       B
      B      B       S
      B      S       B
      B      S       S
      S      B       B
      S      B       S
      S      S       B
      S      S       S

                                                                        b. Jika Ale pintar menyanyi maka ia kuliah di Eropa

6. Periksa apakah pernyataan berikut merupakan tautologi:                  Ale pintar menyanyi dan ia kuliah di Singapore.

     a. (~p → ~q) ↔ (q → p)                                                Jadi: Ale tidak kuliah di Eropa

      p      q       ~p        ~q
      B      B
      B      S
      S      B
      S      S



     b. ~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q)

      p      q       ~p        ~q
      B      B
      B      S
      S      B
      S      S




                                                             6                                     SMA Santa Laurensia   Mei 2008

								
To top