H-Atom schrodinger equation by pptfiles

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									H-Atom schrodinger equation & angular momentum

구면극좌표계

x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ

수소원자에대한 구면 극좌표에서 Schrodinger 방정식

(수소 퍼텐셜 에너지)

양변에 다음과 같이 해주면

다음과 같이 됨.

양변에 다음과 같이 해주면

이식을 잘 정리해 주면

위식을

관한 식으로 바꾸면

위에 항등식의 우변을 보면

위와 같이 만들 수 있다.

양변에

해주고

끼리 묶어내면

이것을

식을 정리

정리

식을 변형하면 다음과 같다.

로 치환한다.
이 식을 정리

Bohr's radius

로 치환

식을 바꾸면

의 해는 의 해는

위에 풀이에 대한 근은 다음과 같은 형태를 지니게 된다.

위에 대한 미분식을

대입하여 정리

다시 정리하면

이것을 정리하면
급수를 풀어서 대입하여 정리하면

좌변 2번째항에

와

값에 k-1을 넣고 정리

일때

예시로 n=2이고, l=1인 상태의 R을 구하면

수소원자에서 파동함수 이다. 핵으로부터의 거리 과

에 상응하는 확률밀도

는

규격화된 함수이므로, 사이인 공껍질에서

수소 원자에서의 전자를 발견할 실제 확률

Angular momentum
입자의 각운동량은 입자의 선형운동량 p와 임의의 원점으로부터 이 선형운동량의 변위 r에 의존하는 성질이다. 다음과 같이 나타낼 수 있다.

벡터에 대한 방정식 나오는데 이것을 x,y,z축에 따라서 분리하면

앞페이지의 식을 변수분리하면

cartesisn 좌표를 spherical 로 바꾸기 위해 각 좌표 성분을 다음과 같이 변분법과 대입을 통해서 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

이렇게 표현된다.

역시 정리하면

이것 들을 이용하여 풀면

이렇게 전개할 수 있고 이것을 다시 정리하면 이렇게 나오게 된다

이것을 가지고 이용해서 전개하면

각 운동량 연산자를 다음과 같이 정의할 수 있다

기본적인 교환자의 관계는 , 대표적으로

인데 이것을 사용하면 , 대해 유도를 해보면

이기에 위의 식의 결과는 0이 됨을 알수있다.
항들중에 0을 만드는 같은 두 항중 하나씩 꺼내어 보면 다음과 같다.

과 같이 유도된다. 다른 것 들도 일련의 과정으로 똑같이 유도하면 각운동량의 연산자를 유도하기에 쉬울 것이다.

라 정의 할때에 을 보이려고 하는데

예를 증명하겠다.

는 angular momentum을 정의한것인데 x,y,z축에 관하여 풀면

가 됨을 위의 식으로 부터 알 수 있고

이다 이것을 spherical coordinate상에서 해석적인 방법으로 생각을 해보자. 이고

으로 표현이 된다.

이때

의 eigenstate를

라 하자.

가 되고 이식을 표현하면 로 표현가능하다

이것을 정리하면

변분법을 이용하여 정리 후 적분을 하면

이고

와 같이 표현 할 수 있다.

관한 근은 spherical harmonics상에서는 이라는 것을 알 수 있다.

이때

이다.

이므로 다음과 같이 바꾸어서 쓸 수 있다.

임을 알 수 있다. 앞에 유도한 것을 참고로 하면 로 표현가능하다. 을 와

에 대입하여 정리 해보면

이때

이다. 위의 식을 정리하여 보자.

로 치환을 하고, 이렇게 변수를 분리하여 보면

이것을
식 좌변에 대입하여 정리해보자.

이렇게 정리가 된다. 여기서 보면 Legendre 위의 식을 정리하셔 다음과 같은 2개의 식을 구할 수 있다.

임을 알고 있고

Rodrigues 공식

위의 식의 미분연산으로 정의되는 식 는 eigen function이다.

이라는 것은 위에서 부터 알 수 있다.

임을 알 수 있다.

과

의 simultaneous eigenstate 게 나온다.

그럼

이란 어떤 state인지 알아보자.

여기서 은 그렇다면

은 eigenvalue 이다.
의 eigenstate 로서 eigenvalue 는 는 어떤 state 인가?

은 은 과

의 eigenstate 로서 eigenvalue 는 의 stimultaneous sigenstate

은 이다

의 eigenstate 로써 eigenvalue 는 그대로

bound

최대상태가 있다.

일 때 조건 만족 은 은 orbital angular momentum 새로운 각 운동량, 개의 정수 가 정수이면 르장드르 값 의 eigenvalue 가

Real space Represeutation of

bound 되어야 하니깐 maximum 값은 넣지 못함.

잠시

살펴보자.

의 eigenstate

이므로

은 정수

다시 위의 식으로 돌아와서

값을 넣어서 정리를 하자.

이것을 정리하면

이식을 정리하면

양변에 적분을 취해 정리해주면

변수를 분리하면

여기서 우변을 약간 바꾸면

양변을 적분해부면

로그법칙을 이용하여 약간 수정하면 되고 이 식의 근 라는 근의 해가 나온다. 에 대입하여 정리하면 을 구하면

space position

다음 식들은 이렇게 바뀐다.

single-value 정수

여기서

는 상수

이식을 정리하면

이식을 항등식으로 변을 이동시켜 정리하면

양변에 적분을 하면

근을 구하면

여기서


								
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