www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _______________________________________________________________________________
C©u I. 1), 2) B¹n h·y tù gi¶i nhÐ! 3) Trûíc hÕt, lËp phû¬ng tr×nh ®ûêng th¼ng qua A (xo , 0) cã hÖ sè gãc b»ng k: y = k(x - xo). Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm cña ®ûêng th¼ng y = k(x - xo) víi ®å thÞ hµm sè ë phÇn 1) lµ nghiÖm cña hÖ ì x2 + x - 3 ï ï = k(x - x o ) (1) ï x + 2 ï ï í 2 ï x + 4x + 5 ï = k (2) ï ï (x + 2) 2 ï î ThÕ k tõ (2) vµo (1) ta ®ûîc (1 - x o )x 2 + 2(3 - 2x o )x + 6 - 5x o = 0 (x ¤ - 2) §Ó tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n th× (3) cã nghiÖm duy nhÊt ¹ -2. · x = -2 : (3) trë thµnh : xo = -2. Khi ®ã nghiÖm kia cña (3) lµ x = 1 2 6 - 5x o 8 = (1 - x o )x o 3 (3)
· 1 - xo = 0 : (3) trë thµnh 2x + 1 = 0 Û x = · D‘ = (3 - 2xo)2 - (1 - xo)(6 - 5xo) = 0 Û x2 + xo - 3 = 0 o x = -1 ± 13 2
KÕt luËn : Cã 4 ®iÓm : (-2 , 0) ; (1 , 0); ö æ - 1 + 13 ö æ - 1 - 13 ÷ ç ÷ ç ç , 0 ÷ vµ ç , 0 ÷. ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 2 2 ø è ø è C©u II. 1) a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 Û a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2 - b2] + c[(a + b)2 - c2] > 0 Û a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c - a + b) + c(a + b - - c)(a + b + c) > 0 Û (a + b - c)[a(b - c - a) + b(a - b - c) + c(a + b + c)] > 0 Û c2 - (a2 + b2) + 2ab > 0 Û c2 - [a2 + b2 - 2ab] > 0 Û
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _______________________________________________________________________________
c2 > (a - b)2 Û c > |a - b|. BÊt ®¼ng thøc sau cïng ®óng v× a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. 2) DÔ nhËn thÊy r»ng 12 + 0,5siny £ 12,5. MÆt kh¸c: æ 1 ö 1 ö æ 2 ÷ + 4 = ÷ + çsin x + 1 ö = (cos4x + sin4x) + æ 1 ÷ ç A =çcos 2 x + ÷ ÷ ç ÷ ç 4 + ç 2 ÷ 2 ÷ 4 ÷ ç ç ç è cos x è ø è ø sin x ø cos x sin x
2 2
1 1- sin 2 2x 8(2 - sin 2 2x) 1 1 2 = 1- sin 2x + 2 sin 2 2x + + 4 =5 1 2 2 sin 4 2x sin 4 2x 16 (0 < sin22x £ 1). NhËn thÊy r»ng khi sin22x t¨ng th× A gi¶m, do ®ã khi sin22x = 1 th× A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 12,5. VËy ta cã kÕt qu¶ : (x , y) lµ nghiÖm cña phû¬ng tr×nh ban ®Çu khi vµ chØ khi (x , y) lµ nghiÖm cña hÖ: sin22x = 1 siny = 1 x= p p +k 4 2 p y = + 2mp (k, m Î Z). 2
C©u III. 1) XÐt a = 0. Lóc ®ã phû¬ng tr×nh cã d¹ng : 3 x 2 + m3 x 2 = (m + 1)3 x 2 . (*)
Dï m nhËn gi¸ trÞ nµo ®ã th× (*) vÉn tháa m·n víi mäi x. XÐt a ¹ 0 ; Khi ®ã sè x = a kh«ng ph¶i lµ nghiÖm, ta cã thÓ chia hai vÕ cho 3 (x - a) 2 vµ ®ûîc : æ x + aö ÷ ç 3 ç ÷ ç x - a÷ ÷ ç è ø §Æt t = 3
2
+ m = (m + 1)3
x + a . x - a
x + a th× sÏ cã : t2 - (m + 1)t + m = 0 Û t1 = 1 ; t2 = m. x - a
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _______________________________________________________________________________
a) x+a = 1 : v« nghiÖm (do a ¹ 0). x-a x+a b) = m3. §iÒu kiÖn x ¹ a. x-a (**)
Ta cã x + a = m3(x - a) hay (m3 - 1)x = (m3 + 1)a. æ m3 + 1 ö ÷ ç NÕu m ¹ 1 th× x = ç 3 ÷ ç m - 1 ÷a. ÷ ç è ø NÕu m = 1 th× (**) v« nghiÖm (v× a ¹ 0). KÕt luËn :
NÕu a = 0 th× víi mäi m, phû¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x . æ m3 + 1 ö ÷ ç NÕu a ¹ 0 ; m ¹ 1 : phû¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = ç 3 ÷ ç m - 1 ÷a. ÷ ç è ø NÕu a ¹ 0 ; m = 1 : phû¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2) Ta cã : 0 £ (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) == 1 + 2(xy + yz + zx) Û MÆt kh¸c l¹i cã: 0 £ (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 == 2(x2 + y2 + z2) - 2(xy + yz + zx) == 2 - 2(xy + yz + zx) Þ xy + yz + zx £ 1. xy + yz + zx ³ 1 . 2
www.khoabang.com.vn
C©u IVa.
LuyÖn thi trªn m¹ng
___________________________________________________________________
1 dx dx 1 1 1 I= = − + −2 − dx = dx 2 2 2 x +1 x + 2 x +1 x + 2 [(x + 1)(x + 2)] (x + 1) (x + 2) 0 0 0 0 0 2 = + 2ln3 − 4ln2 3
1 1 2 1 1 1
∫
dx
∫
∫
∫
∫
C©u Va.
1) Gi¶ sö D(x o , yo ) thuéc (∆) sao cho A, B, C, D lµ mét hµng ®iÓm ®iÒu hßa. Khi ®ã ta cã :
CA = kCB vµ DA = − kDB ; CA = (−1/2 ; −1), CB = (3/2 ; 3) ⇒ k = − 1 ; 3 x = −1 1 1 DA = (−x o ; − 1 − yo ) = (2 − x o ; 3 − yo ) = = DB ⇒ o 3 3 yo = −3,
vËy D(−1, −3) lµ ®iÓm ph¶i t×m. 2) Gäi täa ®é cña ®iÓm M lµ (x o , yo ) ta cã M ∈ ∆ ⇒ 2xo − yo − 1 = 0 .
EM = (xo − 1 ; yo − 6) , FM = (x o + 3 ; yo + 4)
(1)
Do ®ã EM + FM = (2x o + 2 ; 2yo − 2) vµ
EM + FM = 2 (x o + 1)2 + (yo − 1)2
= 2 (x o + 1)2 + 4(x o − 1)2 = 2 5x2 − 6x o + 5 o
(do (1))
⇒ EM + FM min =
C©u IVb.
8 5 3 1 3 1 , ®¹t ®−îc t¹i xo = , yo = . §iÓm cÇn t×m lµ M , . 5 5 5 5 5
1) Do BSC = 60o nªn SBC lµ tam gi¸c ®Òu vµ v× vËy BC = a. Do ASC lµ tam gi¸c vu«ng c©n nªn AC = a 2 . Cßn ABS lµ tam gi¸c c©n cã gãc ë ®Ønh lµ 120o nªn AB = a 3 . §Ó ý r»ng AB2 = AC 2 + CB2 nªn ACB = 90o . 2) Do SA = SB = SC = a nªn H c¸ch ®Òu A, B, C. Do ACB = 90o nªn H lµ trung ®iÓm cña AB. 3) Gäi r lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn SABC. Ta cã : r =
3V , S
a
trong ®ã V lµ thÓ tÝch, S lµ diÖn tÝch toµn phÇn cña SABC. Ta dÔ dµng tÝnh ®−îc
S= a2 2 a2 3 a2 a2 3 + + + 2 4 2 4
,
a2 = ( 3 + 2 + 1) 2
www.khoabang.com.vn
1 1 a a 2 2 a3 2 V = SH.dt(ABC) = . . = . 3 3 2 2 12
LuyÖn thi trªn m¹ng
___________________________________________________________________
VËy
a 2 r= . 2 3 + 2 +1
4) Râ rµng gãc ph¼ng cña nhÞ diÖn c¹nh AB b»ng 90o . Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC th× HI ⊥ BC vµ
a SH 2 tgSIH = = 2 = . IH a 2 2 2
a SH 2 = = 1 . VËy SJH = 45o . T−¬ng tù tgSJH = JH a 2