www.khoabang.com.vn
LuyÖn thi trªn m¹ng
_______________________________________________________________
C©u I. 1) Trûíc hÕt ta h·y chøng tá r»ng tõ hÖ thøc ®· cho, suy ra phû¬ng tr×nh cã nghiÖm. Qu¶ vËy nÕu k = 0, suy ra ac = 0 Þ c =0 (v× a ¹ 0), vËy phû¬ng tr×nh cã nghiÖm. NÕu k ¹ 0 (k ¹ - 1), suy ra b2 = (k + 1)2 do vËy: ac ac Þ ³ 0, k k
é (k + 1) 2 ù 2 ac D = b2 - 4ac = ê - 4ú ac = (k - 1) . ³ 0. ê ú k k ë û Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña phû¬ng tr×nh bËc hai. Theo c¸c hÖ thøc Viet:
2 (x1 - kx2)(x2 - kx1) = (1 + k2)x1x2 - k(x1 + x 2 ) = (1 + k2)x1x2 - k[(x1 + x2)2 - 2x1x2] = 2
= (1 + k2)
æ b2 (k + 1) 2 ac - kb 2 c cö ÷ ç - kç 2 - 2 ÷ = ÷ ça ç a a÷ a2 è ø
ta ®ûîc kÕt qu¶ cÇn chøng minh. 2) NÕu A, B, C lµ ba sè kh«ng ©m, th× ta cã A+B+C³3
3
ABC , 1 (A + B + C)2 3
vµ víi mäi A, B, C ta lu«n cã A2 + B2 + C2 ³ v× nã tû¬ng ®û¬ng víi
3A2 + 3B2 + 3C2 ³ A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA hay (A - B)2 + (B - C)2 + (C - A)2 ³ 0. V× vËy ½ b½ ½ c½ö a2 b2 c2 1 æ½ a ½ 1 ÷ + 2 + 2 ³ ç½ ½ + ½ ½ + ½ ½÷ ³ ç ÷ 2 ç½ b½ ÷ ½ c½ ½a½ø 3è 3 a b c
2
æ½ a ½ ç½ ½ + ½ b½ + ½ c½ ö . 3 3 ½ a ½ ½ b½ ½ c½ = ½ ½÷ ½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ÷ ç ç½ b½ ÷ ½ c½ ½ a½ ÷ ½ b½ ½ c½ ½ a½ è ø
www.khoabang.com.vn ½a ½ ½ b½ ½ c½ a b c =½ ½ + ½ ½ + ½ ½ ³ + + . ½ b½ ½ c½ ½a ½ b c a C©u II. 1) Phû¬ng tr×nh ®· cho tû¬ng ®û¬ng víi ì ïsin(3x + p ) ³ 0 (1) ï ï 4 ï í ï ï4 sin 2 (3x + p ) = 1 + 8 sin 2x cos 2 2x (2) ï ï 4 î é æ p öù ÷ Gi¶i (2) : (2) 2 ê1 - cosç6x + ÷ú = 1 + 8sin2xcos 2 2x ç ç êë è ø 2 ÷úû Û 2(1 + sin6x) = 1 + 8sin2x(1 - sin22x) Û 2(1 + 3sin2x - 4sin32x) = 1 + 8sin2x - 8sin32x ì ì ï2x = p + 2kp ïx = p + kp (3) ï ï 1 ï 1 ï 6 12 ï Û sin2x = Û í Ûï í ï 5p 5p 2 ï ï2x = + 2kp ïx 2 = + kp ( 4) ï ï ï ï 6 12 î î Thay thÕ (3), (4) vµo (1) : sin(3x1 + ì1 khi k = 2n p p ï ) = sin( + 3kp ) = ï í ï-1 khi k = 2n + 1 4 2 ï î ì p 3p ï-1 khi k = 2m ) = sin( + 3 kp ) = ï í ï1 khi k = 2m + 1 4 2 ï î
LuyÖn thi trªn m¹ng
_______________________________________________________________
sin(3x 2 +
VËy nghiÖm cña phû¬ng tr×nh lµ x = p 5p + 2np , x = + (2m + 1)p (n, m ê Z) 12 12
2) Trûíc hÕt xÐt hµm y= x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1.
Hµm sè ®ûîc x¸c ®Þnh khi x ³ 1, bëi v× khi ®ã x - 1 ³ 0 vµ ta cã:
www.khoabang.com.vn
LuyÖn thi trªn m¹ng
( x - 1 - 1) 2 =
_______________________________________________________________
y = (x - 1) + 2 x - 1 + 1 + (x - 1) - 2 x - 1 + 1 = ( x - 1 + 1) 2 + 2 khi 1 £ x £ 2, = x - 1 + 1 + | x - 1 - 1| = 2 x - 1 khi x ³ 2.VËy: a) nÕu 1 £ x £ 2, ta cã phû¬ng tr×nh 2= x + 3 Þ x = 1 (nghiÖm thÝch hîp); 2
b) nÕu x ³ 2, ta cã phû¬ng tr×nh 2 x - 1 = x+3 Þ x = 5 (nghiÖm thÝch hîp). 2
Tãm l¹i phû¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = 1, x = 5. C©u III. §Æt a = SA, b = SB, c = SC, a = BSC, b =CSA, g = ASB. VËy a + b + g = p. C¸c mÆt ASB, BSC, CSA cã diÖn tÝch b»ng nhau, suy ra absing = bcsina = acsinb Þ sina sinb sing . = = c a b
^ ^ ^
Xem tam gi¸c KLM cã c¸c gãc K = a, L = b , M = g vµ c¹nh LM = a. ¸p dông ®Þnh lÝ hµm sin cho tam gi¸c nµy, ta ®ûîc sina sinb sing Þ KM = b, KL = c. = = a KM KL C¸c tam gi¸c ASB vµ KLM b»ng nhau (c.g.c), suy ra AB = c. Tû¬ng tù BC = a, AC = b.
www.khoabang.com.vn
C©u IVa.
π/2
LuyÖn thi trªn m¹ng
___________________________________________________________________
u = sin n −1 x du = (n − 1)sin n −2 x cosxdx sin n xdx (n ∈ N). §Æt ⇒ ⇒ dv = sin xdx v = − cosx 0
π/2
1) I n =
∫
⇒ I n = − cosx sin n −1 x 0
π/2
+
∫
0
(n − 1)sin n −2 x cos2 xdx ⇒
⇒ I n = (n − 1)I n −2 − (n − 1)I n
n −1 n +1 I n −2 ⇒ I n + 2 = In n n+2 2) Theo gi¶ thiÕt : f(n) = (n + 1)I n .I n +1 ⇒ f(n + 1) = (n + 2)I n +1.I n +2
⇒ In = mµ :
I n +2 =
n +1 n +1 In ⇒ I n ⇒ f(n + 1) = (n + 2)I n +1 n+2 n+ 2
⇒ f(n + 1) = (n + 1) I n .I n +1 ⇒ f(n + 1) = f (n) . C©u Va. Ta cã BO = (2, 4, 4) ⇒ BO = 6,
BA = ( 1, 6, 2) ⇒ BA =
BO.BA = 14 ⇒ cosB =
41 ,
8 5 3 41 ,
S
7 3 41
⇒ sinB =
vËy OO' = BO . sinB =
C©u IVb.
16 5 41
.
P I E A H B
1) DÔ thÊy CB ⊥ (SAB). ⇒ CB ⊥ AE SB ⊥ AE (gi¶ thiÕt) ⇒ AE ⊥ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC. T−¬ng tù, chøng minh ®−îc AF ⊥ SC VËy SC ⊥ (AEF). 2) DÔ thÊy r»ng tËp hîp ®iÓm P lµ nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AC = a 2 (n»m trong mÆt ph¼ng cè ®Þnh (CAx)) trõ ®iÓm C, A. 3) VP.ABCD = V = a 2 PH víi PH lµ ®−êng cao cña h×nh chãp. Suy ra
PH = 3V a2 =h
1 3
F
D
C
DÜ nhiªn h ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn h ≤ hay
V ≤ V1 = a3 3 2
a 2 3V a 2 , tøc lµ 2 ≤ 2 2 a
.
Khi ®ã ta cã hai vÞ trÝ cña S trªn Ax ®Ó thÓ tÝch VP.ABCD = V cho tr−íc.