Cours _1_ Introduction by hcj

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									Cours #1: Introduction à la modélisation
 et au contrôle de procédés industriels
           Guy Gauthier, ing., Ph.D.
            Session automne 2012.




                                       Source de l’image:
                                       www.mlssystems.com/thermoforming.htm
    Présentation du plan de cours
    Plan de cours: http://plan-de-cours.etsmtl.ca/SYS823.pdf
    Site web du cours https://cours.etsmtl.ca/sys823/matiere.htm




2   SYS-823 - Été 2011
    Introduction




3   SYS-823 - Été 2011
    Pourquoi fait-on la modélisation ?
     Modèle (Thinès-Lemp. 1975):
         Système artificiel dont certaines propriétés présentent des
          analogies avec des propriétés, observées ou inférées, d’un
          système étudié, et dont le comportement est appelé, soit à
          révéler des comportements de l’original susceptibles de faire
          l’objet de nouvelles investigations, soit à tester dans quelle
          mesure les propriétés attribuées à l’original peuvent rendre
          compte de son comportement manifeste.
                 Référence : Cours 2, Automatique des systèmes linéaires à temps
                  continu, Frédéric Gouaisbaut, LAAS-CNRS.




4   SYS-823 - Été 2011
    Les raisons de modéliser
     Entraînement des opérateurs;
     Design des procédés;
     Sécurité;
     Design des systèmes de contrôle.




5   SYS-823 - Été 2011
    L’entrainement de opérateurs
     Les opérateurs sont les personnes chargées de l'exploitation
      d'un processus de production.
         Usine de produits chimiques; centrale nucléaire;…


     Un modèle d’un procédé peut être utilisé pour former les
      opérateurs en effectuant des simulations.
         Simulateur de vol;…




6   SYS-823 - Été 2011
    Le design de procédés industriels
     Le modèle mathématique d’un procédé industriel peut être
      utilisé lors de la phase de design pour faciliter le
      dimensionnement des équipements pour obtenir la capacité
      de production voulu.
         Dimensionnement d’un réacteur chimique pour obtenir une
          certaine capacité de production.




7   SYS-823 - Été 2011
    La sécurité d’un procédé
     La sécurité des procédés peut être évaluée grâce à un modèle.
      On peut ainsi évaluer si, suite à la défaillance d’un
      équipement, le système va en se détériorant ou non.
         Évaluation du temps nécessaire à la pression pour atteindre un
          certain seuil après la défaillance d’une valve.
     On aussi utiliser le modèle d’un procédé pour faciliter le
      design d’un système de sécurité.




8   SYS-823 - Été 2011
    Le design de systèmes de contrôle
     Le contrôle de procédés industriels est nécessaire pour
      assurer que les variables du procédé restent à des valeurs
      désirées.
         Maintenir la température en ajustant le débit de vapeur dans un
          échangeur de vapeur.
     Les tests et ajustements de ces systèmes de contrôle peuvent
      être faits sans risque sur le modèle. Une fois éprouvés, ils
      peuvent être implantés sur le procédé réel.




9   SYS-823 - Été 2011
     Modélisation d’un système
     dynamique




10   SYS-823 - Été 2011
     Éléments d’un système dynamique

          Entrées
                                        Sorties
        contrôlables
                           Système
                          (procédé)
       Perturbations
                           Paramètres
                                             États du
                                             système


11   SYS-823 - Été 2011
     Équations d’un système dynamique
      États du système:
          Équations différentielles:




12   SYS-823 - Été 2011
     Équations d’un système dynamique
      États du système:
          Équations différentielles:




                            Vecteur des états du
                             système (n états)




13   SYS-823 - Été 2011
     Équations d’un système dynamique
      États du système:
          Équations différentielles:




                                  Vecteur des entrées (m
                            Vecteur des états du
                                         entrées)
                             système (n états)




14   SYS-823 - Été 2011
     Équations d’un système dynamique
      États du système:
          Équations différentielles:




                                  Vecteur des entrées (m
                            Vecteur des états du Vecteur des
                                         entrées)
                             système (n états) perturbations




15   SYS-823 - Été 2011
     Équations d’un système dynamique
      États du système:
          Équations différentielles:




                                  Vecteur des entrées (m
                            Vecteur des états du Vecteur des
                                                  Vecteur des paramètres
                                         entrées)
                             système (n états) perturbations




16   SYS-823 - Été 2011
     Équations d’un système dynamique
      États du système:
          Équations différentielles:




      Sorties du système:




17   SYS-823 - Été 2011
       Équations d’un système dynamique
        États du système:
            Équations différentielles:




        Sorties du système:



     Vecteur des sorties (p
           sorties)

18     SYS-823 - Été 2011
     Ces équations proviennent de…
      …lois et relations mathématiques des domaines suivants:

             Physique       Physique
                                               Chimie
             mécanique      électrique
          Mécanique des     Thermo-
                                              Biologie
             fluides       dynamique
              Physique
                                             Physiologie
              nucléaire




19   SYS-823 - Été 2011
     Exemples
             Chimie                 Loi d’Arrhenius

          Physique
                                    Lois de Newton
          mécanique

           Physique         Relation courant tension d’une
           électrique                 inductance

           Thermo-
                          Les principes de la thermodynamique
          dynamique

                           Pharmacocinétique (modèles à 1, 2
          Physiologie
                                ou 3 compartiments)
20   SYS-823 - Été 2011
     Types…
      Selon la nature des fonctions f et g, le système peut être:

                          Linéaire     Non-linéaire
      Le système peut-être invariant dans le temps.
      Le système peut ne pas avoir d’entrées.
      Le système peut être continu ou discret.




21   SYS-823 - Été 2011
     Différentes approches de modélisation
      Équations différentielles ordinaires;

      Transformées de Laplace;

      Équations d’état.




22   SYS-823 - Été 2011
     Exemple des 3 approches
                           Soit un système mécanique:
                             u(t) = force externe (entrée);
                             y(t) = déplacement de la masse (sortie).


                           Équation différentielle ordinaire




23   SYS-823 - Été 2011
     Approche – équations différentielles
                           Solution:
                             Divisant par k :




24   SYS-823 - Été 2011
      Obtention de la sortie y(t)
      Puis (dans le cas où dzêta<1):




                  Si f(t) est un échelon d’amplitude A.

25    SYS-823 - Été 2011
     Approche – transformée de Laplace
                           Solution.
                             Transformée de Laplace :




26   SYS-823 - Été 2011
      Approche – transformée de Laplace
      Puis :



      Ce qui donne:




27    SYS-823 - Été 2011
      Approche – transformée de Laplace
      Si u(t) est un échelon d’amplitude A:




      Donc :




28    SYS-823 - Été 2011
      Approche – transformée de Laplace
      Et la transformé de Laplace inverse donne:




      Donc :




29    SYS-823 - Été 2011
     Bilan


                          Manipulations plus
                               simples




30   SYS-823 - Été 2011
     Approche – équations d’état
                           Solution.
                             Équation de départ :




                             Posant :




31   SYS-823 - Été 2011
      Approche – équations d’état
      L’équation se réécrit:



      Donc, nous avons le système d’équations suivant :




32    SYS-823 - Été 2011
       Approche – équations d’état
      Sous forme matricielle :




      La sortie y(t) s’écrit :




33     SYS-823 - Été 2011
      Approche – équations d’état
      Valeurs propres de la matrice A :




      Le comportement du système déprendra de ces valeurs
       propres…




34    SYS-823 - Été 2011
       Approche – équations d’état
      La sortie y(t) s’écrit :




                                   Exponentielle
                                  d’une matrice !!!



35     SYS-823 - Été 2011
     Rappels de notions de systèmes
     asservis




36   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Signaux d’entrée




37   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Transformée de Laplace




38   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Transformée de Laplace
      Fonction sinusoïdale amortie:




      Fonction « cosinusoïdale » amortie:




39   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Propriétés de la transformée
     de Laplace




40   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Décomposition en fractions
     partielles
      3 cas possibles:
          Les racines du dénominateur sont réels et distincts;
          Les racines du dénominateur sont réelles et multiples;
          Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires
           pures.




41   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Décomposition en fractions
     partielles – Cas #1
      Exemple:




42   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Décomposition en fractions
     partielles – Cas #2
      Exemple:




43   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Décomposition en fractions
     partielles – Cas #3
      Exemple:




44   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Diagramme de Bode
      Représentation d’un nombre complexe:
          Soit:




          En posant s = jω, on obtient:




                  C’est un nombre complexe.


45   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Diagramme de Bode
      Amplitude du nombre complexe:




      Exprimé en décibel:




46   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Diagramme de Bode
      Phase d’un nombre complexe:




      Amplitude et phase en deux graphiques donne le diagramme
       de Bode.



47   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Diagramme de Bode




48   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Diagramme de Nyquist
      Partie réelle et imaginaire en fonction de la
       fréquence angulaire.




49   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Marges de phase et de gain
      Diagramme de Bode:




50   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Marges de phase et de gain
      Diagramme de Nyquist:




51   SYS-823 - Été 2011
     Rappel – Lieu des racines
      Position des pôles en boucle fermée:




52   SYS-823 - Été 2011
        Rappel – Lieu des racines
         Dénominateur de la fonction de transfert en
          boucle fermée:




     Localisation des pôles de T(s) est
            fonction du gain K


53      SYS-823 - Été 2011
     Modélisation de la circulation
     (modèle simplifié)
     Exemple:




54   SYS-823 - Été 2011
     Circulation automobile
      Frustré(e) d’être pris(e) dans la circulation ?
          Voyons ce qu’il se passe au feux de circulation.




55   SYS-823 - Été 2011
     Circulation automobile
      Modèle d’une voiture:

      Obstacle:
          Voiture;
          Feu de circulation;
          Arrêt.

      Vitesse de la voiture:




56   SYS-823 - Été 2011
     Circulation automobile
      À un feu rouge:




      Distance entre les deux voitures:




57   SYS-823 - Été 2011
     Circulation automobile
      Dérivons cette distance:

      Le feu passe au vert:
          Voiture #1 voit sa vitesse passer de 0 à c;
          Ainsi:




58   SYS-823 - Été 2011
     Circulation automobile
      Cette équation:

      Devient (après Transformée de Laplace):




59   SYS-823 - Été 2011
     Circulation automobile
      Soit la situation suivante à analyser:
        L = 20 m, l = 4 m, c = 20 m/s (72 km/h).
          Cela implique que m = 5/4 et b = -5.




60   SYS-823 - Été 2011
     Circulation automobile
      Dans le domaine temporel:



      Comme x(0) = l = 4 m, alors:




61   SYS-823 - Été 2011
     Circulation automobile
      Vitesse du second véhicule:




62   SYS-823 - Été 2011
     Outils matlab/simulink




63   SYS-823 - Été 2011
     MATLAB®
      Création d’un modèle:
          Système bilinéaire:




          Fonction bilin_ss.m:




64   SYS-823 - Été 2011
     MATLAB®
      Points d’équilibre:
          Valeurs des états qui font que les dérivées sont nulles.
          Commande « fsolve »:




65   SYS-823 - Été 2011
     MATLAB®
      Pour obtenir la dynamique du système:
          Fonction bilin_dyn.m:




          Exécution:




66   SYS-823 - Été 2011
     MATLAB®




67   SYS-823 - Été 2011
     MATLAB®                               l
                                          e
                                    t ori
                               p vec
                          C ham




68   SYS-823 - Été 2011
     SIMULINK®
      Simulation via schémas blocs:




69   SYS-823 - Été 2011
          Fin de la présentation



70   SYS-823 - Été 2011
     Chimie
      Réaction chimique:
      Cette réaction se produit à une certaine vitesse (fonction de
       la température).
          Loi d’Arrhenius:
                k : constante de la vitesse de réaction
                E : Énergie d’activation (calorie/gramme-mole);
                R : Constante des gaz parfaits (calorie/gramme-mole/k);
                A : Facteur de fréquence;
                T : Température en kelvin.




71   SYS-823 - Été 2011
     Physique mécanique
      Lois de Newton:
          1ère loi (principe de l’inertie) :
              Dans un référentiel galiléen, le centre d’inertie d’un solide soumis à un
               ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle est soit au repos,
               soit animé d’un mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse
               demeure constant).




72   SYS-823 - Été 2011
     Physique mécanique
      Lois de Newton:
          2e loi (théorème du centre d’inertie) :
              Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle  des forces appliquées à
               un objet ponctuel est égale au produit de la masse de l’objet par son
               vecteur accélération.




73   SYS-823 - Été 2011
     Physique mécanique
      Loi de Newton:
          3e loi :
              Lorsqu'un solide S1 exerce une force sur un solide S2, le solide S2 exerce
               sur le solide S1, la force directement opposée.




74   SYS-823 - Été 2011
     Physique électrique
      Relation tension/courant dans une inductance:



      Relation tension/courant dans un condensateur:




75   SYS-823 - Été 2011
     Thermodynamique
      Les principes:
          0 : Si deux systèmes sont en équilibre thermique avec un
           troisième, alors ils sont aussi ensemble en équilibre thermique.
          1 : L’énergie est toujours conservée. Transformation d’une
           forme d’énergie à une autre.
          2 : L’énergie se dégrade. Passage de l’énergie potentielle à
           l’énergie cinétique (frottement, chaleur,…).




76   SYS-823 - Été 2011
     Physiologie
      Modèles à compartiments:
          Dynamique du cholestérol:




77   SYS-823 - Été 2011
     Sources d’images/modèles
      Figures aux acétates #38 et #40:
          Nise, N.S., « Control System Engineering », Wiley, 2008;
      Modèle de circulation:
          http://www.math.toronto.edu/mathnet/carcompet/model.h
           tml (visité le 6 septembre 2012) , 1997;
      Figure à l’acétate #77:
          Blomhj, M., Kjeldsen, T.H. and Ottesen, J., «  Compartment
           models »,
           http://www4.ncsu.edu/~msolufse/Compartmentmodels.pdf
           (visité le 6 septembre 2012) , 2005.


78   SYS-823 - Été 2011

								
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