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					           Chapitre 3

                             ´        ´ ´     ´
                          INTEGRALES GENERALISEES



     e        e e      e
1 Int´grales g´n´ralis´es                                                                                                                                 2
         e
  1.1 Int´grale sur un intervalle semi-ouvert . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    2
                     ee
  1.2 Exemples de r´f´rence . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
         e
  1.3 Int´grale sur un intervalle ouvert . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
            ee
  1.4 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
                  e      a
  1.5 Calcul d’int´grale ` l’aide d’une primitive    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    8

     e                       a          e
2 Int´grales des fonctions ` valeurs r´elles positives                                                                                                    9
                               e e
  2.1 Lemme fondamental et th´or`me de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                9
        e
  2.2 R`gles usuelles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                         11
                     e      e
  2.3 Comparaison s´rie-int´grale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                        13

     e
3 Int´grales absolument convergentes                                                                                                                     16

               e
4 Fonctions int´grables                                                                              18
        e
  4.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
            ee
  4.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

                       e
5 Outils de calcul int´gral                                                                         20
  5.1 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
         e
  5.2 Int´gration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
        e        e e     e
 2 – Int´grales g´n´ralis´es                                                                               e
                                                                                                        Ann´e 2010/2011

                               ae                       e
 Dans ce chapitre, on cherche ` ´tendre la notion d’int´grale des fonctions continues par morceaux
 sur un segment au cas de certaines fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque de
      a
 R et ` valeurs dans K = R ou C.
 Quelques rappels avant de commencer :
  ´                                    e                                        e   a
 Definition 0.1 • Une fonction f d´finie sur un segment [a, b] (a < b r´els) et ` valeurs dans K
  est dite continue par morceaux sur le segment [a, b] s’il existe une subdivision (cj )n de [a, b]
                                                                                          j=0
                                a
  telle que la restriction de f ` chacun des intervalles ouverts ]cj , cj+1 [, 0 j n − 1, admette un
  prolongement continu au segment [cj , cj+1 ].




                               
                                       ×

                                                ×
                                                    ×
                                                    ×




                                                                                            ×

                                                                                                   ×
                               O   ı       c0    c1 c2 c3                       ···         cn−1   cn


                    e                                 a
  • Une fonction f d´finie sur un intervalle I de R et ` valeurs dans K est dite continue par mor-
    ceaux sur I si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans I.

    ´ `                                                           a
 Theoreme 0.2 Soit f une fonction continue sur un intervalle I et ` valeurs dans K.
                e
 Pour a ∈ I donn´, la fonction                ˆ x
                                    F : x −→      f (t) dt
                                                                    a
 est une primitive de f sur I.



      e        e e     e
1. Int´grales g´n´ralis´es

         e
 1.1 Int´grale sur un intervalle semi-ouvert
 ´          e
 Etant donn´s a ∈ R et b ∈ R tels que a < b, on consid`re l’intervalle I = [a, b[ et une fonction
                                                      e
 f : I −→ K continue par morceaux.
 On dispose alors de la fonction               ˆ                            x
                                                F : x ∈ I −→                    f (t) dt,                         (1.1)
                                                                        a
 continue sur I car localement lipschitzienne. En effet, si [α, β] est un segment inclus dans I, la fonction
                                                      e
 f , continue par morceaux sur ce segment, y est born´e : il existe M ∈ R+ tel que pour tout x ∈ [α, β],
 |f (x)| M. On a alors :
                                                   ˆ y                ˆ y
                            2
            ∀(x, y) ∈ [α, β] ,    |F(y) − F(x)| =       f (t) dt          |f (t)| dt M |y − x| .
                                                                x                           x


  ´                                                    e
 Definition 1.1 On dit que l’int´grale g´n´ralis´e (ou ´ventuellement impropre)
                                e       e e       e
                                          ˆ b
                                              f (t) dt                                                            (1.2)
                                                            a

 est convergente si F admet une limite dans K au point b. Dans ce cas, on note :
                            ˆ b                           ˆ x
                                f (t) dt = lim F(x) = lim     f (t) dt.
                                       a             x→b                        x→b   a
        e
PC – Lyc´e Chrestien de Troyes                                                               e        e e     e
                                                                                          Int´grales g´n´ralis´es – 3

                            e       e e     e
Dans le cas contraire, l’int´grale g´n´ralis´e (1.2) est dite divergente.
         e                                     e        e e    e
Le caract`re convergent ou divergent de l’int´grale g´n´ralis´e (1.2) constitue sa nature.

                                                  e                            o
Remarques 1.2 • On notera l’analogie avec les s´ries : la fonction F joue le rˆle de la suite des sommes
  partielles, dont on regarde si elle admet une limite finie.
                                  a          e                                        e
• Dans le cas d’une fonction f ` valeurs r´elles positives, on dispose de l’interpr´tation suivante en
                             a e                                             e
  termes d’aire. On cherche ` d´finir l’aire de la partie A du plan (hachur´e sur le dessin ci-dessous)
       e                                            e                              e
  limit´e par l’axe des abscsisses, la courbe repr´sentative de f , la droite d’´quation t = a et, si
                  e                                   e                          e      e             e
  b ∈ R, celle d’´quation t = b. Pour cela, on consid`re la partie du plan (repr´sent´e en gris) limit´e
                                           e                                 e
  par l’axe des abscisses, la courbe repr´sentative de f , et les droites d’´quations´t = a et t = x ;
                                                                                          b
  si son aire, ´gale ` F(x), converge vers lorsque x → b, on d´cide de poser a f (t) dt = et
                e    a                                                e
                                                                                               ´b
  d’attribuer cette valeur ` l’aire de A , alors que dans le cas contraire, on ne d´finit pas a f (t) dt.
                           a                                                         e




                                                         
                 ×




                                 ×

                                       ×




                                                                          ×




                                                                                                   ×
       O     ı     a             x→b   b                  O        ı        a                    x → +∞
                         Cas b ∈ R                                                 Cas b = +∞

                    e         e e       e e
• On notera que la d´finition g´n´rale pr´c´dente englobe les cas b ∈ R et b = +∞, autrement dit
                               e             e                        e                 e
  les cas d’un intervalle d’int´gration born´ et d’un intervalle d’int´gration non born´. Il faudra bien
      e                        e                                                                e
  rep´rer, dans la suite, les r´sultats qui sont valables dans tous les cas et ceux qui sont sp´cifiques
                               e
  au cas d’un intervalle d’int´gration born´.e
             e
• Dans la d´finition, on parle de « limite dans K » pour exclure les limites infinies dans le cas d’une
            a          e
  fonction ` valeurs r´elles.
     e
• Tr`s souvent en pratique, les fonctions qu’on rencontre sont continues donc continues par morceaux ;
  on se contentera de signaler leur continuit´.e

                           e        e e     e
Exemples 1.3 Nature des int´grales g´n´ralis´es
                              ˆ 1                                 +∞
                                     dt
                                                          ˆ
                                  √             et                     sin t dt.
                               0    1 − t2                    0


                 e            e                        e e                        e       e e     e
Remarque 1.4 On d´finirait de mˆme la nature et, le cas ´ch´ant, la valeur de l’int´grale g´n´ralis´e
                                         ˆ b
                                             f (t) dt
                                                a

d’une fonction f continue par morceaux sur un intervalle ]a, b] avec a ∈ R, b ∈ R tels que a < b et `
                                                                                                    a
valeurs dans K, au moyen de la fonction
                                                  ˆ b
                                     F : x ∈ I −→     f (t) dt.
                                                      x

               e                             e        e      e
Autant dire d`s maintenant que tous les r´sultats d´montr´s dans ce chapitre pour des fonctions
                      e            e a      e e                   e
[a, b[ −→ K pourront ˆtre transpos´s, ` de l´g`res modifications pr`s, aux fonctions ]a, b] −→ K, sans
que ce ne soit fait explicitement dans ce cours.
       e        e e     e
4 – Int´grales g´n´ralis´es                                                                                                                       e
                                                                                                                                               Ann´e 2010/2011

                                 e
Proposition 1.5 Si b est r´el et si f : [a, b] −→ K est une fonction continue par morceaux, alors
                                                                               ´b
la restriction f = f |[a,b[ est continue par morceaux sur [a, b[ et l’int´grale a f (t) dt est convergente,
                                                                         e
         ´b
e     a
´gale ` a f (t) dt.
D´monstration. La fonction
 e                                                                                  ˆ        x
                                                  F : x ∈ [a, b] −→                              f (t) dt
                                                                                         a

                                                                        e     a
est alors continue sur [a, b] ; elle a donc une limite finie au point b, ´gale `
                                                                       ˆ       b
                                                       F(b) =                      f (t) dt.
                                                                           a

                e
La proposition r´sulte de ce que
                                                              ˆ        x                             ˆ       x
                              ∀x ∈ [a, b[,          F(x) =                 f (t) dt =                            f (t) dt = F(x).
                                                                  a                                      a




                   e         e e                      e
Remarque 1.6 Le r´sultat pr´c´dent assure la coh´rence des notations : pour une fonction f continue
                                                     ´b
                                                             e                     e
par morceaux sur le segment [a, b], la notation a f (t) dt d´signe aussi bien l’int´grale de f sur le
segment [a, b] ou sur l’un des intervalles [a, b[ et ]a, b].

Corollaire 1.7 Si b est r´el et si f : [a, b[ −→ K est continue et admet une limite dans K en b,
                              e
                             ´b
alors l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt est convergente.
           e       e e     e

                        e       e e     e                             e                   e e
Remarque 1.8 Les int´grales g´n´ralis´es qui satisfont les hypoth`ses du corollaire pr´c´dent sont
                                                                  e e    e
parfois dites « trivialement convergentes » ou « faussement g´n´ralis´es » : en effet, la fonction f
            e             e              e                               e                         e
peut alors ˆtre prolong´e par continuit´ au segment [a, b], et son int´grale sur cet intervalle rel`ve
                              e
alors du cas classique des int´grales sur un segment.
       e                                          e                 e
Il est ´videmment essentiel que l’intervalle d’int´gration soit born´, comme le montre l’exemple de la
                    e       a
fonction constante ´gale ` 1 sur [0, +∞[.

                           e       e e     e
Exemple 1.9 Nature de l’int´grale g´n´ralis´e
                                          ˆ 1
                                                                  1 − cos t
                                                                            dt.
                                                          0          t2

                                                                                             ´b                              ´b
                                     e         e
Proposition 1.10 Pour c ∈ [a, b[ donn´, les int´grales                                           a
                                                                                                     f (t) dt et              c
                                                                                                                                                    e
                                                                                                                                  f (t) dt sont de mˆme nature
et, si elles convergent, on a :
                                        ˆ    b                ˆ    c                             ˆ       b
                                                 f (t) dt =            f (t) dt +                            f (t) dt.
                                         a                    a                                      c


                         e
D´monstration. Il suffit d’´crire la relation de Chasles classique :
 e
                                       ˆ x            ˆ c            ˆ                                                   x
                      ∀x ∈ [c, b[,         f (t) dt =     f (t) dt +                                                         f (t) dt.
                                                      a                              a                               c




                                   e                                a
Remarque 1.11 On tire de ce r´sultat un principe important, ` rapprocher d’un principe ´similaire
                                                                                                   b
pour les s´ries : si f est continue par morceaux sur [a, b[, la nature de l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt
          e                                                                    e       e e     e
    e
ne d´pend que du comportement local de f au voisinage de b.
        e
PC – Lyc´e Chrestien de Troyes                                                                   e        e e     e
                                                                                              Int´grales g´n´ralis´es – 5

                       ee
1.2 Exemples de r´f´rence
Exemple 1.12 Soit α ∈ R. La fonction x −→ 1/xα est continue sur [1, +∞[ ; on s’int´resse ` la nature
                                                                                  e      a
        e       e e     e
de l’int´grale g´n´ralis´e dite de Riemann
                                           ˆ +∞
                                                 dt
                                                    .                                          (1.3)
                                            1    tα

• Si α = 1,
                                                  x
                                                      dt
                                           ˆ
                                                                 −−
                                                         = ln x − − → +∞
                                              1       t         x→+∞

          e       e e     e
  et l’int´grale g´n´ralis´e (1.3) diverge.
• Pour α = 1,
                                                                   x
                                                                       dt     1    1
                                                               ˆ
                                 ∀x ∈ [1, +∞[,                           α
                                                                           =       α−1
                                                                                       −1 .
                                                               1       t     1−α x
                 e       e e     e
  Si α < 1, l’int´grale g´n´ralis´e (1.3) est donc divergente, alors qu’elle est convergente pour α > 1,
  avec                                       ˆ +∞
                                                   dt      1
                                                     α
                                                       =       .
                                              1    t     α−1
On retiendra que :
                                  e       e e     e
Proposition 1.13 Soit α ∈ R. L’int´grale g´n´ralis´e de Riemann
                                          ˆ +∞
                                                 dt
                                           1    tα

est convergente si, et seulement si, α > 1.

Exemple 1.14 Soit α ∈ R. La fonction x −→ 1/xα est continue sur ]0, 1] ; on s’int´resse ` la nature
                                                                                 e      a
        e       e e     e
de l’int´grale g´n´ralis´e dite de Riemann
                                           ˆ 1
                                               dt
                                                α
                                                  .                                           (1.4)
                                            0 t


• Si α = 1,
                                                1
                                                      dt
                                          ˆ
                                                                   −
                                                         = − ln x − → +∞.
                                            x         t           x→0

          e       e e     e
  et l’int´grale g´n´ralis´e (1.4) est donc divergente.
• Si α = 1,
                                               ˆ 1
                                                   dt    1       1
                               ∀x ∈ ]0, 1],         α
                                                      =     1 − α−1 .
                                                x t     1−α    x
       e       e e     e
  L’int´grale g´n´ralis´e (1.4) est donc divergente si α > 1, et convergente si α < 1, avec
                                                           1
                                                               dt    1
                                                      ˆ
                                                                  =     .
                                                       0       tα   1−α

On retiendra que :
                                  e       e e     e
Proposition 1.15 Soit α ∈ R. L’int´grale g´n´ralis´e de Riemann
                                           ˆ 1
                                               dt
                                                α
                                            0 t

est convergente si, et seulement si, α < 1.
       e        e e     e
6 – Int´grales g´n´ralis´es                                                                                                      e
                                                                                                                              Ann´e 2010/2011

    e               e                   e        e e     e
De mˆme, pour a, b r´els, a < b, les int´grales g´n´ralis´es
                                         b                                                   b
                                                dt                                                  dt
                                    ˆ                                                    ˆ
                                                                              et
                                     a       (t − a)α                                    a       (b − t)α

convergent si, et seulement si, α < 1.

Exemple 1.16 Soit α ∈ R. La fonction x −→ e−αx est continue sur [0, +∞[ ; on s’int´resse ` la nature
                                                                                  e      a
        e       e e     e
de l’int´grale g´n´ralis´e               ˆ                        +∞
                                                                              e−αt dt.                                                  (1.5)
                                                              0

                     e
• Si α = 0, cette int´grale est clairement divergente.
• Si α = 0, alors
                                                      x
                                                                                         1 −αt       x       1
                                                 ˆ
                          ∀x ∈ [0, +∞[,                   e−αt dt = −                      e             =     (1 − e−αx ).
                                                  0                                      α           0       α

       e       e e     e
  L’int´grale g´n´ralis´e (1.5) est donc divergente si α < 0, et convergente si α > 0 avec
                                                              +∞
                                                                                         1
                                                      ˆ
                                                                          e−αt dt =        .
                                                          0                              α

On retiendra que :
                                  e       e e     e
Proposition 1.17 Soit α ∈ R. L’int´grale g´n´ralis´e
                                        ˆ +∞
                                              e−αt dt
                                                              0

est convergente si, et seulement si, α > 0.

Exemple 1.18 La fonction ln est continue sur ]0, +∞[. On a
                                             ˆ x
                          ∀x ∈ ]0, +∞[,           ln t dt = x ln x − x + 1.
                                                                      1

     e       e e     e
L’int´grale g´n´ralis´e                                           ˆ       1
                                                                              ln t dt
                                                                      0

est donc convergente, avec                            ˆ       1
                                                                  ln t dt = −1,
                                                          0

               e       e e     e
alors que l’int´grale g´n´ralis´e                             ˆ       +∞
                                                                               ln t dt
                                                                  1

est divergente.
On retiendra que :
                      e       e e     e
Proposition 1.19 L’int´grale g´n´ralis´e
                                                                  ˆ       1
                                                                              ln t dt
                                                                      0

est convergente.
        e
PC – Lyc´e Chrestien de Troyes                                                                                                       e        e e     e
                                                                                                                                  Int´grales g´n´ralis´es – 7

       e
1.3 Int´grale sur un intervalle ouvert
Soient a et b deux ´l´ments distincts de R tels que a < b.
                   ee

Lemme 1.20 Si f : ]a, b[ −→ K est une fonction continue par morceaux et s’il existe c ∈ ]a, b[ tel que
                            ´c           ´b
les int´grales g´n´ralis´es a f (t) dt et c f (t) dt convergent alors, pour tout d ∈ ]a, b[, les int´grales
       e        e e     e                                                                           e
             ´d            ´b
g´n´ralis´es a f (t) dt et d f (t) dt convergent avec de plus :
  e e    e
                             ˆ       c                  ˆ    b                    ˆ    d                  ˆ     b
                                         f (t) dt +              f (t) dt =                f (t) dt +               f (t) dt.
                                 a                       c                         a                        d


                             e
D´monstration. C’est une cons´quence de la proposition 1.10.
 e

                            e
Cela permet de donner la d´finition :
  ´
Definition 1.21 Soit f : ]a, b[ −→ K une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert
]a, b[.
                e       e e     e
On dit que l’int´grale g´n´ralis´e
                                           ˆ b
                                               f (t) dt                                    (1.6)
                                                                        a
                                                                                                                    ´c                 ´b
                                                      e        e e     e
est convergente s’il existe c ∈ ]a, b[ tel que les int´grales g´n´ralis´es                                           a
                                                                                                                         f (t) dt et   c
                                                                                                                                            f (t) dt convergent,

et on pose alors :
                                            ˆ    b                  ˆ      c                  ˆ    b
                                                     f (t) dt =                f (t) dt +              f (t) dt.
                                             a                         a                       c

                                       e       e e     e
Dans le cas contraire, on dit que l’int´grale g´n´ralis´e (1.6) est divergente.

                                                  e           e e
Remarques 1.22 • Le lemme assure que la d´finition pr´c´dente fait sens.
         e
• On v´rifie, comme dans la proposition 1.5, que pour une fonction f continue par morceaux sur un
                           e            e
  segment [a, b] (a < b r´els), les int´grales de f sur les intervalles [a, b], [a, b[, ]a, b] et ]a, b[ convergent
                                                                             ´b
  et sont ´gales, ce qui autorise ` les d´signer toutes par le symbole a f (t) dt.
             e                        a      e
                                                                        ´b
• En pratique, pour ´tudier la nature d’une int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt (a < b ´l´ments de R), la
                         e                           e       e e      e                        ee
          e           a                                 e                                    e
  premi`re chose ` faire est invariablement de pr´ciser l’intervalle I de continuit´ de f : [a, b], [a, b[,
                                                                             e
  ]a, b] ou ]a, b[. Les bornes de I qui ne lui appartiennent pas sont appel´es bornes de g´n´ralisation
                                                                                                    e e
                    ´b
  de l’int´grale a f (t) dt. Il convient d’identifier ces bornes d`s le d´part puisque l’´tude se poursuit
            e                                                       e      e                    e
                                                       e          e
  au voisinage de chacune de ces bornes : aucune ´tude suppl´mentaire si f est continue par morceaux
                                    e           e    e                e
  sur le segment [a, b] (a < b r´els), une ´tude ´tude particuli`re en a (resp. en b) si f est continue
  par morceaux sur l’intervalle semi-ouvert ]a, b], b ∈ R (resp. [a, b[, a ∈ R) et enfin des ´tudes           e
              e
  particuli`res en a et en b si f est seulement continue par morceaux sur l’intervalle ouvert ]a, b[.

                                           e       e e     e
Exemple 1.23 Convergence et valeur de l’int´grale g´n´ralis´e
                                                                       +∞
                                                                                  dt
                                                                   ˆ
                                                                                       .
                                                                    −∞          1 + t2



          e e
1.4 Propri´t´s
                               e                       e e            ee
Dans ce paragraphe, on consid`re un intervalle I d’extr´mit´s a et b, ´l´ments de R tels que a < b,
qui n’est pas un segment. Soient f, g : I −→ K des fonctions continues par morceaux.
       e        e e     e
8 – Int´grales g´n´ralis´es                                                                                                                e
                                                                                                                                        Ann´e 2010/2011
                                                                                                               ´b                 ´b
                                          e        e e     e
Proposition 1.24 Pour λ ∈ K \ {0}, les int´grales g´n´ralis´es                                                 a
                                                                                                                    f (t) dt et   a
                                                                                                                                       λf (t) dt sont de
 e
mˆme nature et, si elles convergent,
                                              ˆ    b                          ˆ    b
                                                       λf (t) dt = λ                   f (t) dt.
                                               a                               a


                                                                      ´b                      ´b
                             e        e e    e
Proposition 1.25 Si les int´grales g´n´ralis´es                       a
                                                                              f (t) dt et          a
                                                                                                           g(t) dt convergent, alors l’int´grale
                                                                                                                                          e
           ´b
g´n´ralis´e a f (t) + g(t) dt converge, avec
 e e     e
                              ˆ       b                           ˆ       b                   ˆ        b
                                          f (t) + g(t) dt =                   f (t) dt +                   g(t) dt.
                                  a                                   a                            a



           e
On peut r´sumer ces deux points sous la forme :
Corollaire 1.26 L’ensemble E des fonctions f : I −→ K continues par morceaux dont l’int´grale
             ´b                                                                               e
g´n´ralis´e a f (t) dt converge est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions continues par
 e e     e
                a
morceaux sur I ` valeurs dans K, et l’application
                                                                  ˆ   b
                                                           f −→           f (t) dt
                                                                  a

                 e
est une forme lin´aire sur E.
                                                    ´b          ´b
Proposition 1.27 Si les int´grales g´n´ralis´es a f (t) dt et a g(t) dt sont de natures diff´rentes,
                                e       e e     e                                          e
                             ´b
alors l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) + g(t) dt est divergente.
           e       e e     e

                                 e     e e                                             e ´
Remarque 1.28 Il n’y a pas de r`gle g´n´rale pour la nature de la somme de deux int´grales diver-
                                                                                             b
gentes. Si f : I −→ K est une fonction continue par morceaux dont l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt
                                                                         e       e e     e
                                       ´b
diverge, alors l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) + f (t) dt diverge, tandis que l’int´grale g´n´ralis´e
                     e      e e     e                                              e       e e     e
´b
 a
    f (t) − f (t) dt converge.
                                                                                ´b
Proposition 1.29 Si f est ` valeurs complexes, alors l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt est conver-
                               a                                e      e e    e
                                                       ´b                 ´b
gente si, et seulement si, les int´grales g´n´ralis´es a e f (t) dt et a m f (t) dt sont conver-
                                   e        e e     e
gentes, et alors :
                          ˆ b            ˆ b                 ˆ b
                              f (t) dt =      e f (t) dt + i      m f (t) dt.
                              a                        a                                  a

                          e                    e
D´monstration. Il suffit d’´crire, pour c ∈ I fix´,
 e
                              ˆ x            ˆ x                ˆ                                          x
                  ∀x ∈ I,         f (t) dt =     e f (t) dt + i                                                 m f (t) dt,
                                          c                  c                                         c

                        e                                                                   e
et d’appliquer la caract´risation de la limite d’une fonction complexe par ses ses parties r´elle et
imaginaire.


                e      a
1.5 Calcul d’int´grale ` l’aide d’une primitive
      e           e                          e      e e    e
Par d´finition mˆme, la convergence de l’int´grale g´n´ralis´e d’une fonction f continue sur un inter-
                                    a
valle I qui n’est pas un segment et ` valeurs dans K traduit l’existence de limite(s) finie(s) pour une
primitive de f aux bornes de I.
                   ee
Soient a et b deux ´l´ments distincts de R tels que a < b.
         e
 PC – Lyc´e Chrestien de Troyes                                                      e        e e     e
                                                                                  Int´grales g´n´ralis´es – 9

                                                e
 Proposition 1.30 On suppose que a est r´el. Soient f : [a, b[ −→ K une fonction continue sur un
 intervalle semi-ouvert [a, b[ et F une primitive de f sur [a, b[.
                         ´b
 L’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt est convergente si, et seulement si, F admet une limite dans K au
      e       e e     e
 point b, et dans ce cas :            ˆ     b
                                                f (t) dt = lim F(x) − F(a).
                                        a                       x→b


                           e                                              e       e e
 D´monstration. En effet, F ´tant une primitive de f sur [a, b[, on a d’apr`s le th´or`me fondamental
  e
                                            ˆ x
                             ∀x ∈ [a, b[,       f (t) dt = F(x) − F(a),
                                                            a

 qui admet une limite dans K lorsque x → b si, et seulement si, F(x) en admet une.

                           ee      e        e e
 Remarques 1.31 • L’int´rˆt du r´sultat pr´c´dent est qu’il est valable pour n’importe quelle primitive
                                                   e
   F de f sur [a, b[, et pas seulement pour celle d´finie par la formule (1.1).
 • On note encore :                        ˆ           b
                                                           f (t) dt = [F(t)]b ,
                                                                            a
                                                   a
            e e            e
    mais apr`s s’ˆtre assur´ que F admet une limite dans K au point b.

 Proposition 1.32 Soit f : ]a, b[ −→ K une fonction continue sur un intervalle ouvert ]a, b[ et F une
 primitive de f sur ]a, b[.
                         ´b
 L’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt est convergente si, et seulement si, F admet des limites dans K aux
      e       e e     e
 points a et b, et dans ce cas :
                                     ˆ b
                                         f (t) dt = lim F(x) − lim F(x).
                                    a                        x→b          x→a


                              e            e                                e e
 D´monstration. C’est une cons´quence des d´finitions et de la proposition pr´c´dente.
  e

                                            e       e e     e
 Exemple 1.33 Convergence et valeur de l’int´grale g´n´ralis´e
                                           ˆ +∞
                                                    dt
                                                        .
                                             0   1 + t3

                                         e       e e      e
 Exemple 1.34 Pour α ∈ R, nature de l’int´grale g´n´ralis´e
                                          ˆ π/4
                                                tanα t
                                                       dt.
                                           0    cos2 t



      e                     a          e
2. Int´grales des fonctions ` valeurs r´elles positives

 Dans ce paragraphe, on se donne a ∈ R et b ∈ R tels que a < b et on traite le cas de fonctions
 continues par morceaux sur l’intervalle semi-ouvert [a, b[.

                                       e e
 2.1 Lemme fondamental et th´or`me de comparaison
                                                                           a
 Lemme 2.1 Soit f : [a, b[ −→ R une fonction continue par morceaux ` valeurs positives.
                        ´b
 L’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt est convergente si, et seulement si, la fonction
      e       e e     e
                                                     ˆ x
                                           F : x −→       f (t) dt
                                                                   a

          e
 est major´e sur [a, b[.
        e        e e     e
10 – Int´grales g´n´ralis´es                                                                                                             e
                                                                                                                                      Ann´e 2010/2011

Dans ces conditions,                           ˆ    b                              ˆ       x
                                                        f (t) dt = sup                         f (t) dt.
                                                a                            x<b       a
                                                      ´b
D´monstration. Par d´finition, l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt est convergente si, et seulement si, la
  e                   e            e       e e      e
fonction F admet une limite finie au point b, avec pour valeur cette limite lorsqu’il y a convergence.
                                e                                                                e e
Il suffit ici de remarquer que, f ´tant positive, la fonction F est croissante, et d’utiliser le th´or`me
de la limite monotone.

                        e                                    e       e e   e
Remarques 2.2 • Le r´sultat concernant la nature de l’int´grale g´n´ralis´e subsiste si f n’est positive
  qu’au voisinage de b, car F est alors croissante au voisinage de b.
                  e             e                               u        e                c
• Il est facile d’´noncer des r´sultats analogues dans le cas o` f est n´gative (en rempla¸ant major´ee
              e                       e
  par minor´e et sup par inf) ou d´finie sur l’intervalle semi-ouvert ]a, b].
                                                                                       ´b
• Si f est positive sur [a, b[ (a < b), la fonction F est minor´e par 0, de sorte que a f (t) dt
                                                                  e                                  0:
                    e         e                  e        e e     e
  c’est la positivit´ de l’int´grale pour les int´grales g´n´ralis´es.

                                                                                 e       e e     e
Corollaire 2.3 Soit f : [a, b[ −→ R une fonction continue par morceaux dont l’int´grale g´n´ralis´e
´b
 a
   f (t) dt converge.
                      a           e
Si f est continue et ` valeurs r´elles positives, alors
                        ˆ b
                            f (t) dt = 0     ⇐⇒         ∀x ∈ [a, b[, f (x) = 0 .
                               a

                                 e                                       e
D´monstration. Un sens est ´vident. On traite l’autre par contrapos´e : si f n’est pas nulle, il existe
  e
                                              e                                 e
x0 ∈ [a, b[ tel que f (x0 ) = 0. Par continuit´, on peut choisir x0 = a, et un r´sultat analogue pour les
   e
int´grales sur un segment fournit             ˆ                      x0
                                                                          f (t) dt > 0,
                                                                 a
   u     e
d’o` le r´sultat vu le lemme 2.1.

                             e                      e         e e                     e
Remarque 2.4 La continuit´ est essentielle dans le r´sultat pr´c´dent (la fonction f d´finie par f (x) =
                                                                    e            e
1 si x = a et f (x) = 0 si x > a fournit un contre-exemple) et doit ˆtre soulign´e en pratique.

  ´ `
Theoreme 2.5 Soient f, g : [a, b[ −→ R des fonctions continues par morceaux telles que
                                          ∀x ∈ [a, b[,                       0     f (x)            g(x).                                       (2.1)
                                   ´b                                                                                  ´b
            e       e e     e
(i) Si l’int´grale g´n´ralis´e     a
                                                                     e       e e
                                        g(t) dt converge, alors l’int´grale g´n´ralis´e
                                                                                     e                                  a
                                                                                                                                              e
                                                                                                                            f (t) dt converge ´ga-
   lement, et l’on a :                                  ˆ    b                     ˆ   b
                                                                 f (t) dt                  g(t) dt.
                                                         a                         a
                                   ´b                                                                                  ´b
             e       e e     e
(ii) Si l’int´grale g´n´ralis´e     a
                                                                     e       e e
                                        f (t) dt diverge, alors l’int´grale g´n´ralis´e
                                                                                     e                                 a
                                                                                                                                            e
                                                                                                                            g(t) dt diverge ´gale-
   ment.
D´monstration. (i) Pour
 e
                                           ˆ    x                                                                  ˆ   x
                     F : x ∈ [a, b[ −→              f (t) dt                 et                G : x ∈ [a, b[ −→           g(t) dt,
                                            a                                                                      a

         e     e                                                      e               e       e e      e
   les in´galit´s (2.1) fournissent F(x) G(x) pour tout x ∈ [a, b[. D`s lors, si l’int´grale g´n´ralis´e
   ´b
    a
                                                                       e
      g(t) dt est convergente, la fonction G est convergente donc major´e au voisinage de b, et il en est
                                                                                              ´b
   donc de mˆme de la fonction F, ce qui entraˆ la convergence de l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt
               e                                  ıne                      e        e e    e
         e                               a
   d’apr`s le lemme 2.1 puisque f est ` valeurs positives.
                       e
(ii) est la contrapos´e de (i).
        e
PC – Lyc´e Chrestien de Troyes                                                         e        e e     e
                                                                                    Int´grales g´n´ralis´es – 11

                                                                                       e     e
Remarque 2.6 Comme dans le lemme 2.1, les conclusions subsistent si l’on suppose les in´galit´s
                                                                             u          e     e
0 f (x) g(x) satisfaites seulement pour x dans un voisinage de b (mais bien sˆr pas l’in´galit´
         e
entre int´grales).


     e
2.2 R`gles usuelles de comparaison
Proposition 2.7 Soient f, g : [a, b[ −→ R deux fonctions continues par morceaux et ` valeurs      a
positives telles que f = O(g) au voisinage de b.
                               ´b                                                 ´b
(i) Si l’int´grale g´n´ralis´e a g(t) dt converge, alors l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt converge.
            e       e e     e                                   e       e e     e
                               ´b                                                 ´b
(ii) Si l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt diverge, alors l’int´grale g´n´ralis´e a g(t) dt diverge.
             e       e e     e                                 e       e e     e
                                          e                      e
D´monstration. (i) Les fonctions f et g ´tant positives, l’hypoth`se f = O(g) au voisinage de b
 e
                              ∗
  traduit l’existence de M ∈ R+ et c ∈ [a, b[ tels que

                                     ∀x ∈ [c, b[,        0    f (x)   Mg(x),
                                                                            ´b            ´b
   d’o` le r´sultat d’apr`s le th´or`me de comparaison vu que les int´grales c f (t) dt et c Mg(t) dt
      u     e            e       e e                                 e
                                                         ´b            ´b
   sont respectivement de mˆme nature que les int´grales a f (t) dt et a g(t) dt.
                              e                   e
                      e
(ii) est la contrapos´e de (i).

                                                                                    u
Remarques 2.8 • On aura souvent, dans la pratique, f = o(g), ce qui permettra bien sˆr de conclure.
              e
• La positivit´ de f et g au voisinage de b suffit.

                                         e
Exemple 2.9 On suppose que b est r´el . Toute fonction f : [a, b[ −→ R continue par morceaux, `            a
                                                                                     ´b
valeurs positives et born´e sur l’intervalle born´ [a, b[ a une int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt convergente.
                         e                       e                  e      e e     e
                               e                                                                  a
En effet, puisque f est born´e, on a f (x) = O(1) au voisinage de b et, par comparaison ` l’int´grale   e
´b
 a
                                                 e                         e          e
   dt, convergente puisque l’intervalle d’int´gration [a, b[ est born´, on en d´duit que l’int´grale   e
            ´b
g´n´ralis´e a f (t) dt converge.
 e e     e
Cet argument justifie par exemple la convergence de l’int´grale    e                                  1
                                                                                        x −→ sin2
 e e     e
g´n´ralis´e                ˆ 1                                                                       x
                                     1
                               sin2      dt,
                            0         t
qui ne rel`ve pas du « cas trivial » puisque x −→ sin2 (1/x) n’ad-
          e                                                                    O
met pas de limite en 0.

                                        e       e e     e
Exemple 2.10 Pour α ∈ R, nature de l’int´grale g´n´ralis´e
                                               ˆ    +∞
                                                         tα e−t dt.
                                                1



                           `
Corollaire 2.11 (Regle de Riemann) On suppose a > 0. Soit f : [a, +∞[ −→ R une fonction
continue par morceaux, positive au voisinage de +∞.
(i) s’il existe α > 1, M > 0 et A a tels que, pour tout x A, 0 xα f (x) M, alors l’int´grale
                 ´ +∞                                                                     e
    e e       e
   g´n´ralis´e a f (t) dt converge ;
(ii) s’il existe m > 0 et A
   ´ +∞                       a tels que, pour tout x A, xf (x)               e       e e     e
                                                                m, alors l’int´grale g´n´ralis´e
    a
         f (t) dt diverge.
D´monstration. Les hypoth`ses s’´crivent f (x) = O(1/xα ) pour (i) et 1/x = O f (x) pour (ii)
  e                           e  e
                                                                         ´ +∞
lorsque x → +∞, d’o` le r´sultat par comparaison ` l’int´grale de Riemann 1 dt/tα , convergente
                       u    e                    a      e
si, et seulement si, α > 1.
        e        e e     e
12 – Int´grales g´n´ralis´es                                                                   e
                                                                                            Ann´e 2010/2011

Remarque 2.12 En pratique, on applique souvent (i) quand xα f (x) tend vers 0 lorsque x → +∞
         e
pour un r´el α > 1 et (ii) quand xf (x) tend vers > 0 ou +∞ lorsque x → +∞.

                                           e        e e     e
Exemple 2.13 Pour α, β ∈ R, nature de l’int´grale g´n´ralis´e dite de Bertrand :
                                         ˆ +∞
                                                   dt
                                                          .
                                          2    tα (ln t)β

                          `
Corollaire 2.14 (Regle de Riemann) On suppose a > 0. Soit f : ]0, a] −→ R une fonction
continue par morceaux, positive au voisinage de 0.
(i) s’il existe α < 1, M > 0 et ε ∈ ]0, a] tels que, pour tout x ∈ ]0, ε], 0 xα f (x) M, alors l’int´grale
                 ´a                                                                                   e
   g´n´ralis´e 0 f (t) dt converge ;
    e e      e
                                                                                          e       e e     e
(ii) s’il existe m > 0 et ε ∈ ]0, a] tels que, pour tout x ∈ ]0, ε], xf (x) m, alors l’int´grale g´n´ralis´e
   ´a
    0
      f (t) dt diverge.
                                                                                  ´a
D´monstration. C’est simplement la comparaison ` l’int´grale de Riemann 0 dt/tα , convergente si,
  e                                                    a      e
et seulement si, α < 1.

Remarques 2.15 • En pratique, on applique souvent (i) quand xα f (x) tend vers 0 lorsque x → 0
           e
  pour un r´el α < 1 et (ii) quand xf (x) tend vers > 0 ou +∞ lorsque x → 0.
                                 e         e                          e
• On pourrait formaliser de la mˆme mani`re la comparaison aux int´grales de Riemann
                                 ˆ b                   ˆ b
                                        dt                   dt
                                             α
                                                  et              α
                                                                    ,
                                   a (t − a)            a (b − t)

         e
  a < b r´els, α ∈ R.

                                           e         e e     e
Exemple 2.16 Pour α, β ∈ R, nature de l’int´grale g´n´ralis´e dite de Bertrand :
                                         ˆ 1/2
                                                    dt
                                                           .
                                               t α |ln t|β
                                           0



                                                                                           e
Proposition 2.17 Soient f, g : [a, b[ −→ R deux fonctions continues par morceaux, ´quivalentes au
voisinage de b.
                                                                  e                    e        e e     e
Si g est de signe constant au voisinage de b, alors il en est de mˆme pour f et les int´grales g´n´ralis´es
´b             ´b
 a
                                   e
   f (t) dt et a g(t) dt sont de mˆme nature.
                       a
D´monstration. Quitte ` remplacer f par −f et g par −g, on peut supposer g positive au voisinage
  e
                        e
de b. Comme f et g sont ´quivalentes au voisinage de b avec g positive, il existe c ∈ [a, b[ tel que pour
tout x ∈ [c, b[,
                                       1                       1                 3
                      |f (x) − g(x)|     g(x),   et donc         g(x)    f (x)     g(x).
                                       2                       2                 2
                           e
Dans ces conditions, f est ´galement positive sur [c, b[ et on a les relations de comparaison f = O(g),
                                u       e         e              e
g = O(f ) au voisinage de b, d’o` l’on d´duit le r´sultat d’apr`s la proposition 2.7.

                         e
Remarque 2.18 L’hypoth`se selon laquelle g garde un signe constant au voisinage de b est essentielle
         e         e e                                                        e
dans le r´sultat pr´c´dent. On le constatera sur des exemples en travaux dirig´s.

                                        e       e e     e
Exemple 2.19 Pour α ∈ R, nature de l’int´grale g´n´ralis´e
                                        ˆ +∞
                                              1 − th t
                                                       dt.
                                         0       tα
        e
PC – Lyc´e Chrestien de Troyes                                                                       e        e e     e
                                                                                                  Int´grales g´n´ralis´es – 13

                 e       e
2.3 Comparaison s´rie-int´grale
     e                                     e                    e                            a
Le r´sultat suivant permet de ramener l’´tude de certaines int´grales de fonctions positives ` celle de
 e            e
s´ries ; on y ´tablit en outre une « relation de Chasles infinie ».

                                                                                   a
Lemme 2.20 Soit f : [a, b[ −→ R une fonction continue par morceaux et ` valeurs positives et
                     ee
(xn )n∈N une suite d’´l´ments de [a, b[ de limite b.
                        ´b
L’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt est convergente si, et seulement si, la s´rie de terme g´n´ral
      e      e e     e                                                      e              e e
                                          ˆ xn+1
                                     un =        f (t) dt,    n ∈ N,
                                                    xn

est convergente, et dans ce cas :
                                         ˆ   b                     ∞
                                                                         ˆ    xn+1
                                                 f (t) dt =                          f (t) dt.                          (2.2)
                                         x0                        n=0    xn
                                             ´b
D´monstration. • Si l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt est convergente, alors il en est de mˆme de
 e                          e    e e     e                                                  e
             ´b
  l’int´grale x0 f (t) dt :
       e
                                         ˆ x            ˆ b
                                     lim     f (t) dt =     f (t) dt.
                                             x→b       x0                      x0
                                                        e                         e
  Puisque la suite (xn )n∈N admet b pour limite, la n-i`me somme partielle de la s´rie                         un , que l’on
       e           e
  peut ´crire d’apr`s la relation de Chasles sous la forme :
                                n       n
                                           ˆ xk+1            ˆ xn+1
                                   uk =           f (t) dt =        f (t) dt,
                                 k=0             k=0     xk                           x0
                  ´b
                                                            u
  converge vers x0 f (t) dt par composition des limites, d’o` la relation (2.2).
    e                      e
• R´ciproquement, si la s´rie     un est convergente alors la suite de ses sommes partielles, conver-
                  e
  gente, est major´e : il existe M ∈ R+ tel que :
                                                                          n
                                                 ∀n ∈ N,                       uk         M.
                                                                         k=0

                      e
  Soit x ∈ [a, b[ donn´ ; puisque la suite (xn )n∈N admet b pour limite, il existe N                    1 tel que x      xN .
                  a
  Comme f est ` valeurs positives, on a alors :
                                 ˆ x            ˆ xN            N−1
                                     f (t) dt        f (t) dt =     uk M.
                                    x0                        x0                      k=0
                                                                                     ´b
                a                         e       e e     e
  Puisque f est ` valeurs positives, l’int´grale g´n´ralis´e                                     e
                                                              f (t) dt est donc convergente d’apr`s le
                                                                                      x0
                                                            ´b
  lemme 2.1, et il en est de mˆme de l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt.
                              e           e       e e     e

           ´ +∞ u
Exemple 2.21 O` l’on construit une fonction f , continue par morceaux et positive sur [0, +∞[, dont
     e                                                      e
l’int´grale 0 f (t) dt converge, mais qui n’est pas born´e au voisinage de +∞.
                              e                                                   ee
Soient (αn )n∈N une suite de r´els strictement positifs et (εn )n∈N une suite d’´l´ments de ]0, 1[.
       e                         c
On d´finit la fonction f de la fa¸on suivante (cf. figure page suivante) : pour tout n ∈ N, la fonction
f est constante sur l’intervalle [n, n + εn [ de valeur αn , et nulle sur l’intervalle [n + εn , n + 1[. La
                                                                           a
fonction f ainsi construite est continue par morceaux sur [0, +∞[ et ` valeurs positives. Posant
                                                    ˆ n+1
                                ∀n ∈ N,       un =        f (t) dt = αn εn ,
                                                                    n
                        ´b
l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt et la s´rie un sont donc de mˆme nature d’apr`s le lemme pr´c´dent.
     e       e e     e                    e                     e               e             e e
                                                             c           e
Il suffit alors d’ajuster les suites (αn )n∈N et (εn )n∈N de fa¸on que la s´rie   un soit convergente et
                                          e
que la suite (αn )n∈N ne soit pas born´e ; on peut par exemple prendre :
                                  ∀n ∈ N,                   α n = 2n ,               εn = 4−n .
        e        e e     e
14 – Int´grales g´n´ralis´es                                                                                      e
                                                                                                               Ann´e 2010/2011

             αn+1




                  ×
               αn

             αn−1 ×
                  ×

                α1
                  × ×


                α0             ×
                               ×

                                             ×

                                                   ×




                                                                    ×

                                                                            ×

                                                                                   ×
                                                                                         ×


                                                                                                   ×
                                                                                                   ×


                                                                                                           ×
                 O                     1               2            n−1              n             n+1     n+2
                        ε0                 ε1                         εn−1            εn            εn+1

                                                                                   e       e e     e
On a bien construit une fonction f : [0, +∞[ −→ R continue par morceaux, dont l’int´grale g´n´ralis´e
´ +∞
 0
                                                       e
     f (t) dt converge, et qui n’est cependant pas born´e puisque f (n) = αn pour tout n ∈ N.
                                            e
Noter qu’on peut sans peine adapter la pr´sente construction pour obtenir une fonction f continue
                  e
(remplacer les cr´neaux par des triangles).

                               e e                  e
Remarque 2.22 L’exemple pr´c´dent et celui des int´grales de Riemann illustrent le fait que, pour une
fonction f continue par morceaux sur [a, +∞[, il n’existe aucun lien logique entre les deux assertions :
(i) f (x) tend vers 0 lorsque x → +∞ ;
                            ´ +∞
(ii) l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt est convergente.
          e       e e     e

           e e       e            e                  a           e
Le lemme pr´c´dent n’´tait qu’un r´sultat technique, ` savoir red´montrer (il n’est pas explicitement
                         a e        a                  e       e
au programme). On passe ` pr´sent ` la comparaison s´rie-int´grale proprement dite.
    ´ `                             ´         ´
Theoreme 2.23 (Comparaison serie-integrale) Soit f : [a, +∞[ −→ R une fonction continue
                  e           a
par morceaux, d´croissante et ` valeurs positives.
        e              e e
(i) la s´rie de terme g´n´ral
                                    ˆ n
                              wn =       f (t) dt − f (n), n a + 1,
                                                       n−1
   est convergente ;
                                               ´ +∞
         e
(ii) la s´rie  f (n) et l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt sont de mˆme nature.
                             e       e e     e                      e
                       e
D´monstration. (i) La d´croissance de f donne, pour n
 e                                                                                 a+1 :
                                           ∀x ∈ [n − 1, n],             f (n)    f (x)     f (n − 1),
     u
  d’o` :                                           ˆ   n
                                   0        wn =             f (t) − f (n) dt       f (n − 1) − f (n).
                                                   n−1
                   e       e             a
   La fonction f ´tant d´croissante et ` valeurs positives sur [a, +∞[, elle admet une limite finie en
                             e  ee
   +∞, de sorte que la s´rie t´l´scopique       f (n − 1) − f (n) est convergente ; il en est donc de
     e           e
   mˆme de la s´rie      wn d’apr`s le th´or`me de comparaison des s´ries ` termes r´els positifs.
                                 e       e e                         e     a        e
          e            e
(ii) D’apr`s (i), les s´ries           ˆ               n
                                                             f (t) dt       et             f (n)
                                                       n−1
           e              u     e            e
  sont de mˆme nature, d’o` le r´sultat d’apr`s le lemme 2.20.

                         ee             e                         e e            e e
Remarques 2.24 • L’int´rˆt´de cette m´thode est qu’il est en g´n´ral plus ais´ d’´tudier la nature
                                +∞
  de l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt que celle de la s´rie
          e       e e     e                              e       f (n), pour la simple raison qu’il est
  souvent plus facile de calculer
                      ˆ x                                  n
                           f (t) dt, x a,      que            f (k), n n0 a.
                               a                                                 k=n0
        e
PC – Lyc´e Chrestien de Troyes                                                            e        e e     e
                                                                                       Int´grales g´n´ralis´es – 15

                              ıtre                                                     e
  En effet, il suffit de connaˆ une primitive de f pour obtenir une expression de l’int´grale (et l’on
                              e
  dispose de nombreuses m´thodes de calcul de primitives) alors qu’on ne ne sait calculer la somme
                                                      e e         ee
  partielle que dans des cas particuliers (sommes g´om´triques, t´l´scopiques et variantes).
                                           e            e e     e e            e
• Il importe de comprendre, plus que le r´sultat du th´or`me pr´c´dent, la m´thode de comparaison
   e       e           e
  s´rie-int´grale et d’ˆtre capable de la mettre en œuvre en pratique, car elle permet d’obtenir bien
                                     e
  plus que la simple nature de la s´rie     f (n).
                            e           e
  On se place sous les mˆmes hypoth`ses que dans le th´o-  e                         f
   e                                e
  r`me 2.23. Pour k a + 1, la d´croissance de f donne les
     e    e
  in´galit´s :
               ˆ k+1                   ˆ k                         f (k)




                                                                                ×
                     f (t) dt f (k)         f (t) dt.    (2.3)
                 k                        k−1

                                              e      e
  Noter que la figure ci-contre illustre ces in´galit´s : il suffit
                                           e
  de comparer l’aire du rectangle hachur´ et de la partie du




                                                                                              ×

                                                                                                     ×

                                                                                                            ×
  plan gris´e sur chacun des intervalles [k − 1, k] et [k, k + 1].
           e                                                            O               k−1 k k+1
                          a                e      e                                  e
  En sommant membre ` membre les in´galit´s (2.3) pour des valeurs de k ad´quates, on obtient
  par exemple un encadrement des sommes partielles de la s´rie     e                    e
                                                                       f (n) ou, si la s´rie converge, de
  ses restes. Ainsi, pour n a,
                                     ˆ n+p+1               n+p
                                                                      ˆ n+p
                        ∀p 1,                 f (t) dt          f (k)       f (t) dt
                                         n+1              k=n+1             n
                                           ´ +∞
             e
  et, si la s´rie                e                                                           e
                   f (n) et l’int´grale a f (t) dt convergent (on rappelle qu’elles sont de mˆme
                       a                                    e     e     e e
  nature), par passage ` la limite lorsque p → ∞ dans les in´galit´s pr´c´dentes,
                               ˆ +∞            ∞
                                                          ˆ +∞
                                     f (t) dt      f (k)        f (t) dt.
                                   n+1            k=n+1            n

   a                              e                 e e                              e           e
  L` encore, l’avantage de cette m´thode est qu’en g´n´ral, on saura calculer les int´grales extr´males,
                          e
  ce qui permettra d’en d´duire une estimation de la somme centrale.

                                    e        e                      e                  eee
Exemple 2.25 Dans le chapitre S´ries num´riques, la nature des s´ries de Riemann a ´t´ ´tablie par
                e     e                a e                       e
comparaison s´rie-int´grale ; on peut ` pr´sent en donner la r´daction suivante. Pour α 0, la s´riee
       α                                                                    α
                    e
   1/n est grossi`rement divergente. Pour α > 0, la fonction x −→ 1/x est continue, positive et
 e                                e        e e                     e´ +∞ e           e
d´croissante sur [1, +∞[ ; d’apr`s le th´or`me de comparaison s´rie-int´grale, la s´rie de Riemann
   1/nα est donc de mˆme nature que l’int´grale de Riemann 1 dt/tα . Or la nature de cette
                         e                      e
derni`re int´grale est facile ` d´terminer puisqu’on connaˆ une primitive de la fonction x −→ 1/xα ;
     e      e                 a e                          ıt
                                                       α
        e                       e
on en d´duit la nature de la s´rie de Riemann      1/n : divergente si α 1, convergente si α > 1.
                  e       e e           e                     e e                              e
En utilisant la m´thode g´n´rale expos´e dans la remarque pr´c´dente, on obtient en outre les r´sultats
suivants :
                                         e       e
• Si 0 < α < 1, alors la comparaison s´rie-int´grale fournit les encadrements :
                                             ˆ n+1        n 1
                                                                   ˆ n
                                                   dt                  dt
                                 ∀n 2,               α         α        α
                                                                          .
                                               2   t     k=2 k      1 t

                                                                e            a
  On notera que la variable de sommation k dans la somme int´rieure varie ` partir de 2 et non de 1,
                                                                  α
                                           e
  comme dans la somme partielle de la s´rie de Riemann                         ua               e    e
                                                              1/n . Cela est dˆ ` ce que les in´galit´s
                                                                             e
  (2.3) ne sont valables que pour k a + 1 = 2. En effet, pour k = 1, l’int´grale de droite dans ces
    e      e               e       e e     e                             e
  in´galit´s serait une int´grale g´n´ralis´e et n’aurait aucun sens ou n´cessiterait des justifications
        e
  suppl´mentaires !
                             e                                                         e
  Quoi qu’il en soit, on en d´duit l’encadrement suivant des sommes partielles de la s´rie de Riemann
          α
     1/n :
                                   1                               n   1             1
               ∀n     2,     1+       (n + 1)1−α − 21−α                 α
                                                                            1+          n1−α − 1
                                  1−α                             k=1 k             1−α
         e        e e     e
 16 – Int´grales g´n´ralis´es                                                                         e
                                                                                                   Ann´e 2010/2011

   et comme les deux termes extr´maux sont ´quivalents ` n1−α /(1 − α) lorsque n → ∞ puisque
                                      e             e            a
   α < 1, il s’ensuit que :
                                         n 1        n1−α
                                              α
                                                ∼        ,     n → ∞.
                                        k=1 k       1−α
                             e
   On pourrait mener une ´tude semblable pour α = 1 ; on rappelle cependant que la formule som-
                                 e                e
   matoire d’Euler fournit un r´sultat plus pr´cis.
                                         α
                 e
 • Si α > 1, la s´rie de Riemann                                                               e
                                      1/n converge vers une somme Sα strictement positive ; l’´quivalent
                                                                           e                          e
   le plus simple de la suite de ses sommes partielles est donc tout trouv´ : Sα . Dans le cas d’une s´rie
                                    o      e                                                    e
   convergente, on recherche plutˆt un ´quivalent de la suite de ses restes, dans le but d’´tudier la
                                                                         e
   vitesse de convergence des sommes partielles vers la somme de la s´rie. Ici,
                                             ˆ +∞                    ˆ +∞
                                                     dt      ∞    1        dt
                               ∀n 1,                  α            α
                                                                              ,
                                               n+1 t       k=n+1 k    n    tα
         a
   c’est-`-dire :
                                                   1       1                  ∞1       1   1
                                ∀n       1,                                                    .             (2.4)
                                                 α − 1 (n + 1)α−1       k=n+1 k
                                                                                α     α−1n α−1

   Par suite,
                                               ∞     1      1    1
                                                      α
                                                        ∼            ,            n → ∞.
                                              k=n+1 k     α − 1 nα−1
            e        e
   On en d´duit le d´veloppement asymptotique suivant pour la suite des sommes partielles de la
   s´rie de Riemann convergente
    e                            1/nα :
                                     n1           1    1         1
                                       α
                                         = Sα −            + o α−1 ,                   n → ∞.
                                 k=1 k          α − 1 nα−1     n
          e          e            e         e      e     e
   De mani`re plus pr´cise, ε > 0 ´tant donn´, l’in´galit´ de droite de (2.4) montre qu’il suffit que
                                                          1   1
                                                              α−1
                                                                              ε
                                                         α−1n
   pour que
                                                              n   1
                                                                   α
                                                             k=1 k
                          e a       e
   soit une valeur approch´e ` la pr´cision ε de
                                                                  ∞    1
                                                          Sα =          α
                                                                          .
                                                                  k=1 k


                                                        e       e                 e
 Remarque 2.26 Noter que le principe de la comparaison s´rie-int´grale s’applique ´galement pour
 une fonction f croissante.



      e
3. Int´grales absolument convergentes

                              e                         e e            ee
 Dans ce paragraphe, on consid`re un intervalle I d’extr´mit´s a et b, ´l´ments de R tels que a < b,
 qui n’est pas un segment.
   ´
 Definition 3.1 Soit f : I −→ K une fonction continue par morceaux. On dit que l’int´grale     e
            ´b                                                               ´b
  e e     e                                                e       e e     e
 g´n´ralis´e a f (t) dt est absolument convergente si l’int´grale g´n´ralis´e a |f (t)| dt converge.

                  e e                  e                       a            e e
 On admet le th´or`me suivant dont la d´monstration, semblable ` celle du th´or`me correspondant
           e
 pour les s´ries, n’est pas exigible.
   ´ `                 e       e e     e
 Theoreme 3.2 Toute int´grale g´n´ralis´e absolument convergente est convergente.
        e
PC – Lyc´e Chrestien de Troyes                                                              e        e e     e
                                                                                         Int´grales g´n´ralis´es – 17

                           ee                e e        e e        e                e
Remarques 3.3 • L’int´rˆt pratique du th´or`me pr´c´dent est ´vident : pour ´tudier la nature d’une
                           ´b
      e        e e     e                                 e
  int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt, on commence par ´tudier sa convergence absolue, en appliquant `       a
             e
  |f | les m´thodes vues pour les fonctions positives (comparaison, comparaison aux int´grales dee
                e        e
  Riemann, r`gle des ´quivalents).
  `                                        e
• A ce sujet, on rappelle qu’une hypoth`se de domination du type f = O b (g) de f par une fonction
                                                                              e
  positive g au voisinage de b porte sur |f | : elle traduit l’existence de r´els M 0 et c ∈ ]a, b[ tel
                                                                                            e
  que, pour tout x ∈ [c, b[, |f (x)| Mg(x) ; c’est donc typiquement le type d’hypoth`se permettant
                                                             ´b
  d’´tablir la convergence absolue (si toutefois l’int´grale a g(t) dt converge !), et donc la convergence,
     e                                                e
                  ´b
  de l’int´grale a f (t) dt.
           e
                         e
• Il arrive qu’une int´grale converge mais ne converge pas absolument (en d’autres termes, la r´-        e
                   e e          e e                              e                     e      e
  ciproque du th´or`me pr´c´dent est fausse) ; de telles int´grales sont appel´es int´grales semi-
                            e            e e      e                                   e
  convergentes et leur ´tude est en g´n´ral d´licate car on ne dispose pas de r´sultats aussi simples
                              e     e                      a          e
  et puissants que ceux d´velopp´s pour les fonctions ` valeurs r´elles positives : un changement de
                     e                            e                                              e
  variable, une int´gration par parties ou un d´veloppement asymptotique de f pourront ˆtre utiles.

                                                       e ´
Exemple 3.4 On suppose que l’intervalle I est born´ . Etant donn´e une fonction f : I −→ K conti-
                                                                     e
                                                                 ´b
                                                            e
nue par morceaux et born´e sur l’intervalle born´ I, l’int´grale a f (t) dt est absolument convergente
                            e                      e
                                                                                                 e
donc convergente. En effet, puisque la fonction |f | est continue par morceaux, positive et born´e sur
                                   ´b
l’intervalle born´ I, son int´grale a |f (t)| dt converge (exemple 2.9, la d´monstration ayant simple-
                 e            e                                             e
                                                                               ´b
ment consist´ ` observer que les hypoth`ses impliquent |f | = O(1) et que a dt converge puisque I
              ea                           e
         e
est born´).
                          e       e e     e
Ainsi, par exemple, l’int´grale g´n´ralis´e
                                                       1
                                                                  1
                                               ˆ
                                                           sin      dt
                                                   0              t

converge absolument donc converge, sans relever du « cas trivial » puisque la fonction x −→ sin(1/x)
n’admet pas de limite en 0.

                                        e       e e     e
Exemple 3.5 Convergence absolue de l’int´grale g´n´ralis´e
                                                   +∞
                                                             eit
                                               ˆ
                                                            √      dt.
                                               0              ch t

                        e                                      e       e e     e
Exemple 3.6 Pour α ∈ R, ´tudier la convergence absolue de l’int´grale g´n´ralis´e
                                                       +∞
                                                             sin t
                                               ˆ
                                                                   dt.
                                                   1          tα


Remarque 3.7 Pour finir, on examine ce que devient le lemme 2.20 pour une fonction f ` valeurs a
 e
r´elles ou complexes. Soient donc f : [a, b[ −→ C une fonction continue par morceaux (a ∈ R, b ∈ R,
                                                                                     ´x
a < b), (xn )n∈N une suite d’´l´ments de [a, b[ de limite b et, pour tout n ∈ N, un = xnn+1 f (t) dt.
                             ee
                            ´b
• Si l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt converge, alors la fonction
          e       e e     e
                                                             ˆ    x
                                               x −→                   f (t) dt
                                                                 x0

  admet une limite finie en b, si bien que
                                                   n
                                                                  ˆ    xn+1
                                        Sn =               uk =               f (t) dt
                                               k=0                    x0
         e        e e     e
 18 – Int´grales g´n´ralis´es                                                                       e
                                                                                                 Ann´e 2010/2011

                  e                                e                               e     e
    tend vers la mˆme limite lorsque n → ∞ ; la s´rie un est donc convergente et l’´galit´ des limites
      e
    s’´crit :                         ˆ b              ˆ xn+1
                                                     ∞
                                          f (t) dt =          f (t) dt.
                                          x0                    n=0       xn
                                                          ´b
    Une m´thode pour ´tablir la divergence de l’int´grale a f (t) dt consiste donc ` ´tablir la divergence
           e            e                          e                               ae
           e
    de la s´rie    un pour un choix judicieux de la suite (xn )n∈N .
                                                                                ´ +∞
                                        e
  • Par contre, il peut arriver que la s´rie un converge alors que l’int´grale a f (t) dt diverge. Par
                                                                         e
                          ´ +∞                                                       ´ 2(n+1)π
    exemple, l’int´grale 0 sin t dt diverge et pourtant, la s´rie de terme g´n´ral 2nπ
                   e                                           e              e e              sin t dt = 0,
    n ∈ N, est convergente.



                e
4. Fonctions int´grables

 Soit I un intervalle non trivial de R.

        e
 4.1 D´finition
   ´
 Definition 4.1 On dit qu’une fonction f : I −→ K continue par morceaux est int´grable sur I s’il
                                                                               e
 existe M ∈ R+ tel que, pour tout segment J inclus dans I, on ait
                                         ˆ
                                           |f (t)| dt M.
                                                     J



                                                                                                e
 Remarque 4.2 Une fonction f : [a, b] −→ K continue par morceaux sur un segment [a, b] (a < b r´els)
                                                 ´b
 est int´grable sur ce segment : la constante M = a |f (t)| dt convient pour tout segment J ⊂ [a, b].
        e

                      e                   e e                        e       e
 Remarque 4.3 Une d´finition du type pr´c´dent de la notion d’int´grabilit´ serait centrale dans une
   e                                           e                                         e
 th´orie ambitieuse et « authentique » de l’int´gration, mais ne sera que de peu d’utilit´ en PC vu les
                                                              a         e
 objectifs du programme ; on aura presque toujours recours ` la caract´risation suivante.

 Proposition 4.4 On suppose que I n’est pas un segment.
 Soit f : I −→ K une fonction continue par morceaux. On note a, b ∈ R, a < b, les extr´mit´s de I.
                                                                                ´b           e e
 La fonction f est int´grable sur I si, et seulement si, l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt est absolument
                      e                                       e       e e     e
 convergente.
                              e                                    e                           e
 D´monstration. • Si f est int´grable, soient c ∈ ]a, b[ et M > 0 v´rifiant la condition de la d´finition.
  e
   On a                                             ˆ x
                                      ∀x ∈ [c, b[,                        |f (t)| dt        M.
                                                                  c
                                                                                       ´b
                                   ee                  e             e ´     e e     e
    Si, par exemple, b n’est pas ´l´ment de I, on en d´duit que l’int´grale g´n´ralis´e c |f (t)| dt de la
                                                                         c
    fonction r´elle positive |f | converge. On proc`de de mˆme pour a |f (t)| dt, d’o` la convergence
               e                                   e        e                          u
                                ´b
    de l’int´grale g´n´ralis´e a |f (t)| dt.
            e       e e      e
                  ´b
  • Si l’int´grale a f (t) dt converge absolument alors, pour tout segment J ⊂ I, on a
            e
                                          ˆ                           ˆ   b
                                                   |f (t)| dt                 |f (t)| dt,
                                               J                      a

                     e
    et f est donc int´grable sur I.

   ´                                                                     e
 Definition 4.5 Soit f : I −→ K une fonction continue par morceaux et int´grable. Soient a, b ∈ R,
                e e
 a < b, les extr´mit´s de I.
        e
PC – Lyc´e Chrestien de Troyes                                                            e        e e     e
                                                                                       Int´grales g´n´ralis´es – 19

On appelle int´grale de f sur I, et on note
              e
                                    ˆ                                  ˆ
                                      f     ou                             f (t) dt
                                             I                         I
              ´b
     e
l’int´grale   a
                              e e     e
                   f (t) dt, g´n´ralis´e si I n’est pas un segment.

                     e         e e                e                  ´ be         e                    e
Remarque 4.6 La d´finition pr´c´dente est justifi´e par le fait que l’int´grabilit´ de f implique, d’apr`s
la proposition 4.4, la convergence absolue de l’int´grale g´n´ralis´e a f (t) dt, qui ` son tour implique
                                                   e       e e     e                  a
                    ´b
la convergence de a f (t) dt.


4.2 Propri´t´se e
Proposition 4.7 Soit f : I −→ K une fonction continue par morceaux.
                                                           a                         e
S’il existe une fonction g : I −→ R continue par morceaux, ` valeurs positives et int´grable sur I telle
                             e
que |f | g, alors f est int´grable sur I.
                                                        e                  ee a        e                e
D´monstration. Il suffit d’utiliser la croissance de l’int´grale si l’on se r´f`re ` la d´finition de l’int´-
  e
        e           e e                               e                        a          e
grabilit´ ou le th´or`me de comparaison des int´grales pour les fonctions ` valeurs r´elles positives
                         e                 e        e
si l’on utilise la caract´risation de l’int´grabilit´.

Proposition 4.8 L’ensemble Cm L1 (I) des fonctions I −→ K continues par morceaux et int´grables
                                       K                                                         e
sur I est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions continues par morceaux sur I et l’application
                                                       ˆ
                                                f −→ f
                                                                   I

est une forme lin´aire sur Cm L1 (I).
                 e             K

                                                   u      e
D´monstration. La fonction nulle est bien sˆr int´grable sur I. Par ailleurs, si f et g sont deux
  e
                                            e
fonctions continues par morceaux et int´grables sur I alors, pour λ ∈ K, on a la domination |λf + g|
                                e          e        e                  a       e    e            ea
|λ| |f | + |g|, de laquelle on d´duit l’int´grabilit´ de λf + g. Quant ` la lin´arit´, elle est d´j` acquise,
                    e                                   e        e e
tant pour les int´grales sur un segment que les int´grales g´n´ralis´es.e

Proposition 4.9 Soit f : I −→ C une fonction continue par morceaux.
                     e
La fonction f est int´grable sur I si, et seulement si, les fonctions e f et                      e
                                                                                      m f sont int´grables sur
I, et dans ce cas                      ˆ      ˆ           ˆ
                                                 f=         ef + i             m f.
                                             I          I                  I

                      e                                                          e
D´monstration. Cela r´sulte simplement de ce que si u et v sont les parties r´elle et imaginaire de f ,
 e
                                                                 e    e         e
on a |u| , |v| |f | |u| + |v|, de la proposition 4.7 et de la lin´arit´ de l’int´grale.

Proposition 4.10 (Relation de Chasles) Soit f : I −→ K une fonction continue par morceaux
      e
et int´grable sur I.
                         e
(i) La fonction f est int´grable sur tout intervalle inclus dans I.
                                                           e
(ii) Soient I et I deux intervalles inclus dans I dont la r´union est un intervalle et dont l’intersection
                e      a
   est vide ou r´duite ` un point. On a :
                                          ˆ         ˆ        ˆ
                                                f=      f+     f.
                                                 I ∪I          I               I


                          e            e               e
D´monstration. (i) est ´vident par d´finition de l’int´grabilit´.
  e                                                              e
      e                                  eae                    e                                e
(ii) r´sulte de la relation de Chasles d´j` ´tablie pour les int´grales sur un segment et les int´grales
    e e     e
   g´n´ralis´es.
         e        e e     e
 20 – Int´grales g´n´ralis´es                                                                    e
                                                                                              Ann´e 2010/2011

                                                                           e
 Proposition 4.11 Soit f : I −→ K une fonction continue par morceaux et int´grable sur I.
 On a :                                 ˆ       ˆ
                                          f       |f | .
                                                              I           I

                                                              ee          e
 D´monstration. • Si I est un segment, il s’agit d’une propri´t´ de l’int´grale des fonctions continues
   e
    par morceaux sur un segment.
 • Si I = [a, b[, a ∈ R, b ∈ R, a < b, on a :
                                              ˆ x          ˆ x              ˆ
                             ∀x ∈ [a, b[,         f (t) dt     |f (t)| dt     |f |
                                                          a                   a       I

          e             e e                                  a
    d’apr`s le cas pr´c´dent. On conclut en passant ` la limite lorsque x → b.
  • Si I = ]a, b[, a, b ∈ R, a < b, soit c ∈ ]a, b[. Par d´finition et d’apr`s le cas pr´c´dent, on a :
                                                            e                 e          e e
                          ˆ        ˆ c            ˆ b              ˆ c            ˆ b
                              f =      f (t) dt +     f (t) dt         f (t) dt +     f (t) dt
                            I       a               c               a              c
                                  ˆ c              ˆ b             ˆ
                                      |f (t)| dt +     |f (t)| dt = |f | .
                                     a                    c                       I




                       e
5. Outils de calcul int´gral

 5.1 Changement de variable
    ´ `
 Theoreme 5.1 Soient I, J deux intervalles non triviaux de R, f : I −→ K une fonction continue
 par morceaux et ϕ : J −→ R une fonction strictement monotone et de classe C 1 de J sur I.
                      e                                                              e
 La fonction f est int´grable sur I si, et seulement si, la fonction (f ◦ ϕ)ϕ est int´grable sur J, et dans
 ce cas                                     ˆ     ˆ
                                              f = (f ◦ ϕ) |ϕ | .
                                                      I           J


     e
 Ce r´sultat est admis.

                                                 a e
 Remarques 5.2 • En pratique, on s’autorise ` ´crire un changement de variable ϕ satisfaisant les
           e          e e
   hypoth`ses du th´or`me 5.1 sous la forme t = ϕ(u), avec dt = ϕ (u) du. Pour une fonction f
                                                                   ´
   continue par morceaux sur ´ le th´or`me ´nonce que l’int´grale I f (t) dt converge absolument si,
                                I,    e e      e             e
   et seulement si, l’int´grale J f ϕ(u) ϕ (u) du converge absolument. Dans ces conditions, on a :
                         e
                                    ˆ             ˆ
                                      f (t) dt = f ϕ(u) |ϕ (u)| du.
                                                  I               J

                                                                 ee       e                a
    Les valeurs absolues autour de ϕ dans cette formule ont ´t´ ajout´es, par rapport ` la formule
                        e
    connue pour les int´grales sur un segment, pour compenser l’absence d’interversion des bornes dans
         e                               e
    l’int´grale de droite lorsque ϕ est d´croissant. On pourra les enlever si, comme on en a l’habitude
                e                                                      e                             u
    avec les int´grales sur un segment, on inverse les bornes de l’int´grale de droite dans le cas o` ϕ
          e
    est d´croissant : en notant a < b les bornes de I et α, β celles de J, de sorte que a et b soient les
    limites respectives de ϕ aux points α et β,
                                      ˆ b            ˆ β
                                          f (t) dt =     f ϕ(u) ϕ (u) du
                                                  a                   α
                            ´α           ´β
    si l’on convient que        β
                                    =−   α
                                              .
        e
PC – Lyc´e Chrestien de Troyes                                                          e        e e     e
                                                                                     Int´grales g´n´ralis´es – 21

                                                                                              e
• On notera en particulier qu’un changement de variable affine ne change pas la nature d’une int´grale
    e e    e         e           e e      e e                        a          e
  g´n´ralis´e (cela r´sulte du th´or`me pr´c´dent pour les fonctions ` valeurs r´elles positives et on
                           e e
  l’admettra dans le cas g´n´ral).

                                          e       e e      e
Exemple 5.3 Convergence et calcul de l’int´grale g´n´ralis´e
                                          ˆ +∞
                                                 ln t
                                                       dt.
                                           0    1 + t2

                           e
Exemple 5.4 Calcul de l’int´grale
                                                      π
                                                             dt
                                                  ˆ

                                                  0       2 + cos t
par le « changement de variable u = tan(t/2) ».

                                          e         e e
Exemple 5.5 Convergence et calcul de l’int´grale g´n´ralis´ee
                                      ˆ 1
                                          (cos t) ln(tan t) dt.
                                              0




       e
5.2 Int´gration par parties
      e                              e        e e            e
On n’´noncera pas dans ce cours de r´sultat g´n´ral sur l’int´gration par parties. On prendra soin, en
                             e                                                         e
pratique, de n’effectuer d’int´gration par parties que sur des segments, avant de faire ´ventuellement
            a
un passage ` la limite.

Exemple 5.6 Montrer que :
                                        +∞                       +∞
                                             sin t                    1 − cos t
                                    ˆ                      ˆ
                                                   dt =                         dt
                                    0          t             0           t2
   e              e                       e
apr`s avoir justifi´ la convergence des int´grales en jeu.

				
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posted:8/22/2013
language:Latin
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