Docstoc

Understanding Alan Turing and his Scientific Legacy

Document Sample
Understanding Alan Turing and his Scientific Legacy Powered By Docstoc
					Understanding Alan Turing and 
    his Scientific Legacy 




           1912-1954
Mathematical Agenda set by Hilbert
  Requirements for the solution of a 
  mathematical problem

  It shall be possible to establish the 
  correctness of the solution by means of a 
  finite number of steps based upon a finite 
  number of hypotheses which are implied 
  in the statement of the problem and which 
  must be exactly formulated.
   Whitehead and Russell
     Principia Mathematica 2008

Formalized Mathematical Logic
Developed Higher Order Logic
Laid the foundation of Type Theory
      Propositional Logic
•  
      First Order Logic (FOL)
•  
      One more example
•  
      Second Order Logic 
•  
     Logic for Arithmetic


Arithmetic formulae can be described in  
sentences of FOL which has functions for 
addition and multiplication. 

Together with the axioms of number 
theory we have a logical system defining 
arithmetic .
        Godel’s Theorems 1931
Incompleteness of Arithmetic: 
There exists no algorithm with the help of which 
using the axioms of number theory we can 
derive precisely the valid sentences of 
arithmetic.
Undecidability of Arithmetic:
There exists no algorithm by the help of which 
we can decide for every arithmetical sentence in 
finitely many steps whether it is valid.
      What was Turing’s Agenda

To settle the Entescheidungs  Problem (decision 
problem for FOL)

On Computable Numbers , with an Application 
to the Enscheidungs-Problem, Proc. London
Math. Soc., Ser. 2-42, 230-65.
           Turing’s A Machine
All arguments which can be given are bound to 
be, fundamentally, appeals to intuition….and for 
this reason rather unsatisfactorily 
mathematically….. Computing is normally done 
by writing certain symbols on paper. We may 
suppose this paper is divided into squares like a 
child’s arithmetic book. In elementary arithmetic, 
2-dimensional character of the paper is 
sometimes used. But such a use is always
       Turing’s A machine: cont.
avoidable, and I think it will be agreed that 2-
dimensional character of paper is no essential of 
computation. I assume then that the 
computation is carried out on one-dimensional 
paper, i.e., on a tape divided into squares. I shall 
also suppose that the number of symbols which 
may be printed may be finite. If we were to 
allow an infinity of symbols, then there would 
be symbols differing to an arbitrary small 
extent…It is always possible to use sequences
      Turing’s A machine: cont.
of symbols in the place of single symbols…..The 
difference from our point of view between the 
single and compound symbols, if they are too 
lengthy, canot be observed at a glance……We 
cannot tell at a glance whether 999999999 and 
9999999999 are the same.
      The behaviour of the computer at any 
moment by the symbols he is observing, and his 
“state of mind” at that moment. We may 
      Turing’s A machine: cont.
suppose that there is a bound B to the number 
of symbols on squares which the computer can 
observe at any moment. If he wishes to use more,  
he must use successive observations. We will 
also suppose that the number of states of mind 
which need to be taken into account is finite. 
The reasons for this are of the same character as 
those which restrict the number of 
symbols…..Let us imagine that the operations 
      Turing’s A machine: cont.
performed by the computer are split up into 
“simple operations”, which are so elementary 
that it is not easy to imagine them further 
divided. Every such operation consists of some 
change of the physical system consisting of the 
computer and his tape. We know the state of 
the system if we know the sequence of symbols 
on the tape, which of those are observed by the  
      Turing’s A machine: cont.
computer (possibly with a special order), and 
the state of mind of the computer. We may 
suppose that in a simple operation  not more 
than one symbol is altered, [and]…without loss 
of generality assume that the squares whose 
symbols are changed are always “observed” 
squares.
      Besides these changes of symbols, the 
simple operations must include changes of 
distribution of observed squares. The new
      Turing’s A machine: cont.
observed squares must be immediately 
recognisable by the computer… Let  us say that 
each of the new observed squares is within L 
squares of an immediately previously observed 
square.
The simple operations must therefore include:
(a) Changes of the symbol on one of the 
      observed squares.
(b) Changes of one of the squares observed to 
      Turing’s A machine: cont.
      another square within L squares of one of 
      the previously observed square.
It may be that some of these changes 
necessarily involve a change of state of mind… 
The operation actually performed is determined 
…by the state of mind of the computer and the 
observed symbols. In particular they determine 
the state of the mind of the computer after the 
operation is carried out.
      We may now construct a machine to do 
the work of this computer…….
      Universal Turing Machine 

There exists a Turing machine which when given 
a coded description  of any Turing machine T 
and the data x on which T is supposed to work 
will output what T will output on input x.
              Turing showed


There exists no general procedure by the help of 
which we can determine in finitely many steps, 
for any given formula of FOL whether or not the 
formula is valid.
  Common Knowledge about Turing’s 
             Work 

Code Breaking: The Enigma Machine
Artificial Intelligence: Turing Test 
Stored Program Computer
 Turing’s Contributions to Biology
Morphogenesis: Biological process that causes 
an organism to develop its shape.

In “The Chemical Basis of Morphogenesis” 
Turing laid the mathematical foundation of 
reaction-diffusion processes that enable stripes, 
spots, spirals to arise out of homogeneous 
uniform state.
Morphogen – Gradient Model with Two Non-interacting
                    Chemicals
                  S. Miyazama/Science
Turing Patterns on Thin Slabs of Gel
 D Virgil, H. Swinney, University of Texas Austin 
                       1992
          Turing Patterns in Seashells
Seashells from Bishougai-HP, simulations from D. Fowler and H. 
                     Meinhardt/Science
Turing Patterns around eyes of Popper Fish
Fish by Massimo Boyer, simulations from A.R. Sanders et al.
               Turing Patterns in Zebra Fish (a Model Organisation)
In the leftmost two columns are photographs of juvenile and adult zebra fish marking. In the other 
      two are Turing pattern simulations, developing over time (Kondo and Nakamusu PNAS)
             Turing Patterns in Cells in Dictyostelium, or a
                              Slime Mold
Turing patterns can involve not just chemicals, but large complex systems in which each 
      unit-for example a cell - is distributed like molecules of pigment. Image NIH
       Turing’s Legacy

Nondeterminism
Complexity of Computation
Cryptography
Notion of Universality, and 
The Ultimate Computer: The Internet 
                   Readings
Alan Turing: The Enigma, by Andrew Hodges
Alan M. Turing, by Sara Turing
Alan Turing: His Work and Impact, by S. Barry 
Cooper (ed.) and J. van Leeuvan (ed.)
Turing, by Andrew Hodges
The Universal Computer: The Road from Leibniz to 
Turing, by Martin Davis
Turing Evolved, by David Kitson
Turing (A Novel about Computation), by Christos H. 
Papadimitriou 

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:0
posted:8/19/2013
language:
pages:30