Docstoc

FISIKA KELAS XI KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

Document Sample
FISIKA KELAS XI KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR Powered By Docstoc
					                                  Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

FISIKA KELAS XI

                                  Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

                  BAB 1
    KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR




MOBIL BERGERAK DI JALAN RAYA MEMILIKI KECEPATAN YANG
BESARNYA    DAPAT   DITENTUKAN   SEBAGAI    KELAJUAN
SEDANGKAN ARAHNYA SELALU BERUBAH-UBAH. SELANG
BEBERAPA WAKTU LAMANYA MOBIL SUDAH BERUBAH
POSISINYA. TERKADANG MOBIL SELAMA PERJALANANNYA
HARUS MENAMBAH ATAU MENGURANGI KECEPATANNYA .
PERUBAHAN KECEPATAN TIAP SATUAN WAKTU DINAMAKAN
PERCEPATAN.   DALAM   KINEMATIKA  MEMBAHAS    POSISI,
KECEPATAN, MAUPUN PERCEPATAN SUATU BENDA TANPA
MEMPERHATIKAN GAYA-GAYA YANG BEKERJA PADA BENDA.



Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.   1
                                                Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.


                             BAB 1
                          KINEMATIKA
                     DENGAN ANALISIS VEKTOR




    Kompetensi Dasar

          Dapat menganalisis gerak lurus,
           gerak melingkar dan gerak parabola
           dengan menggunakan vektor




    Pesawat tempur bergerak di angkasa dengan kecepatan 100
    km/jam. Ketika pesawat meluncurkan rudal dengan kecepatan 120
    km/jam. Semua kecepatan diukur terhadap tanah. Berarti
    kecepatan rudal 20 km/jam terhadap pesawat. Baik rudal maupun
    pesawat dikatakan bergerak karena posisinya selalu berubah.
    Namun tidak demikian dengan kendaraan Buldoser yang tengah
    meratakan tanah namun rodanya tidak pernah bergeser. Buldoser
    tidak dapat disebut bergerak pada saat itu karena posisinyaselalu
    tetap. Buldoser dikatakan bergerak jika sudah bergeser
    meninggalkan tempat itu. Apakah kamu yang sedang duduk sambil
    menulis dikatakan bergerak? Marilah kita memperdalam
    pemahaman tentang gerak atau dalam cabang fisika yang disebut
    dengan kinematika.


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.            2
                                                            Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.



                  Indikator
                     Menganalisis gerak lurus menurut besaran-besaran kinematisnya
                      menggunakan notasi vektor.
                     Menganalisis gerak parabola menurut besaran-besaran kinematisnya
                      menggunakan notasi vektor.
                     Menganalisis gerak melingkar menurut besaran-besaran kinematisnya
                      menggunakan notasi vektor.




A. Posisi, Kecepatan dan Percepatan Partikel pada Gerak Lurus

       Amatilah gerakan mobil balap yang sedang
berjalan! Bilakah sebuah mobil dikatakan bergerak?
Bagaimana kedudukan mobil terhadap tempat semula?
Bagaimana     kedudukan       mobil   terhadap     sopirnya?
Bagaimana kedudukan sebuah mobil terhadap mobil lain
yang berada di sekitarnya? Semua permasalahan tersebut
                                                                      Mobil balap formula 1
menuntut adanya penjelasan tentang gerak mobil.
       Kinematika, sebagai cabang dari fisika, mempelajari gerak suatu benda, tanpa
memperhatikan gaya penyebabnya. Dengan demikian berapa kekuatan atau daya yang
dihasilkan oleh mobil tersebut tidak dibahas dalam kajian kali ini. Pada kajian ini hanya
dipelajari tentang kedudukan benda, perubahan kedudukan benda terhadap suatu titik
acuan, yang sering disebut dengan perpindahan. Juga pada kajian ini dibahas segala
permasalahan gerak yang dikaitkan dengan notasi vektor.



1. Posisi Partikel pada Suatu Bidang
       Pada bab ini akan dipelajari tentang vektor posisi, perpindahan, kecepatan dan
percepatan dari sebuah partikel, atau benda yang memvisualisasikan sebuah partikel yang
bergerak dua dimensi pada suatu bidang. Oleh karena gerak benda dipandang dalam dua
dimensi, karakterisitiknya akan dianalisis melalui vektor satuan i (sumbu x) dan vektor
satuan j (sumbu y). Untuk memahami berbagai hal seperti tersebut di atas, dapat
diilustrasikan seperti berikut ini. Suatu ketika ada seorang pelaut sedang berlayar di
tengah laut yang luas. Jika ia berangkat dari kota B menuju kota A, maka langkah
pertama yang dia lakukan adalah menganalisis kedudukan awal dan kedudukan akhirnya.
Lebih jelasnya adalah sebagai berikut. Mula-mula pelaut itu berada di kota B. Untuk
mencapai kota A, ia harus berlayar 40 km ke utara, dan dilanjutkan 30 km ke timur, maka
posisi atau kedudukan dari kota A, telah terdefinisikan dengan jelas terhadap kota B



Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                   3
                                                          Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

sebagai titik acuan. Tanpa kerangka acuan, atau penentuan posisi awal yang dijadikan
acuan, maka pengertian perpindahan akan sulit dipahami.
       Saat pilot pesawat terbang akan mendarat di sebuah pelabuhan udara, tentu ia
akan memberi laporan kepada petugas penjaga menara. Pilot akan menginformasikan
kedudukan pesawat tersebut terhadap bandara dan kecepatan pesawat serta berbagai hal
yang berkaitan dengan persiapan pendaratan. Dengan adanya informasi dari pilot
tersebut, petugas menara akan memberi instruksi teknis tentang pendaratan pesawat.
Dengan demikian, informasi tentang posisi atau kedudukan dari suatu titik, seperti pada
keadaan ilustrasi tersebut, sangat diperlukan.


                                         Gambar 1:
                                         Pesawat yang akan mendarat selalu melaporkan
                                         posisinya kepada petugas menara
                                         Agar dapat dipandu pendaratannya.
                                         Posisi pesawat dikontrol pilot melalui sistem
                                         navigasi dalam pesawat




       Pada umumnya, posisi atau kedudukan suatu titik ditunjukkan dengan sebuah
koordinat. Sebuah koordinat memiliki suatu titik acuan, atau suatu kerangka acuan.
Berdasarkan kerangka acuan tersebut, akan dapat digambarkan kedudukan suatu titik
dalam koordinat tersebut. Data bahwa pesawat berada pada jarak 20 km akan tidak
bermakna, jika tidak disertai arah petunjuk dan titik acuannya. Namun angka 20 km akan
menjadi informasi penting jika dikatakan, bahwa pesawat berada 20 km sebelah timur
dari menara kontrol. Begitu juga dalam koordinat kartesius, yang umumnya
menempatkan koordinat (0,0) sebagai pusat acuannya. Misalkan dalam koordinat
kartesius titik A berada pada koordinat (2,4), dan titik B pada koordinat (-2,3).
       Jika digambarkan titik (0,0) yang dijadikan sebagai titik acuan, maka titik A dan
B dapat digambarkan sebagai berikut :




                                                   Gambar 2 :
                                                   Grafik kartesius yang menggambarkan
                                                   koordinat A (2,4) dan B (-2,3)




       Selain menggunakan grafik kartesius, posisi suatu partikel dapat pula ditunjukkan
dengan menggunakan grafik koordinat polar (r , θ). Di mana r adalah jarak suatu titik ke
pusat koordinat, dan θ adalah sudut dari sumbu x positif dalam koordinat kartesius
menuju titik materi dengan arah berlawanan arah jarum jam. Hubungan antara koordinat
kartesius dan koordinat polar adalah :
Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                  4
                                                              Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.


       x = r . cos θ                          y = r . sin θ
                                                         y
       r=       x2  y2                       tan θ =
                                                         x
       Misalnya, suatu titik berjarak 10 cm dari titik pusat koordinat dan membentuk
sudut 37° terhadap sumbu x positif, maka gambaran posisi titik tersebut dalam koordinat
polar adalah seperti berikut ini.


                                                 Gambar 3:
                                                 Grafik polar yang menunjukkan
                                                 kedudukan (10, 37°)




       Kedudukan dalam koordinat polar dapat diubah dalam koordinat kartesius. Besar
nilai x dan y adalah :
       x = r . cos θ                          y = r . sin θ
       x = 10 . cos 37°                       y = 10 . sin 37°
       x = 10 . 0,8                           y = 10 . 0,6
       x = 8 satuan                           y = 6 satuan

       Kedudukan atau posisi suatu benda dinyatakan dalam vektor satuan. Adapun
persamaan umum vektor posisi dalam dua dimensi adalah :

                   r =xi+yj             di mana besar vektor satuan i = 1
                                        dan besar vektor satuan      j=1


       Penulisan suatu vektor satuan dinyatakan dalam huruf miring. Misalnya vektor
satuan yang searah sumbu x dinyatakan dengan i. Vektor itu sendiri diwakili dengan
huruf tebal, seperti vektor kedudukan atau vektor pisisi suatu titik dalam dua dimensi
adalah r. Prinsip penulisan lambang seperti tersebut tidak baku namun lazim digunakan
secara umum. Jika ingin dibuat suatu teknik penulisan yang lain, dan telah disepakati,
maka hal itu dapat dilakukan, seperti penulisan vektor posisi dengan memberi tanda
panah di atas suatu lambang vektor, atau pemberian harga mutlak pada suatu lambang
vektor untuk melambangkan besar dari suatu vektor.


Contoh :
1.    Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (3,6). Nyatakan
      koordinat titik tersebut dalam koordinat polar !
      Jawab :



Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                  5
                                                                Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

                                             6
      r=    32  6 2 = 3 5    dan tan θ =      maka θ = 63,4°
                                             3
      Jadi koordinat polarnya (3 5 ; 63,4°)
2.    Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (4, 45°). Nyatakan koordinat
      tersebut dalam koordinat kartesius !
      Jawab :
      x = r . cos θ                             y = r . sin θ
      x = 4 . cos 45°                           y = 4 . sin 45°
                1                                       1
      x=4.        2                             y=4.      2
                2                                       2
      x=2 2                                     y=2 2
3.    Suatu titik A mempunyai kedudukan yang ditunjukkan koordinat kartesius (2,4).
      Tentukan vektor posisi titik tersebut !
      Jawab :
      rA = 2 i + 4 j
4.    Titik H mempunyai kedudukan (4, 30°). Tentukan vektor posisi titik tersebut !
      Jawab :
      x = 4 . cos θ                             y = r . sin θ
      x = 4 . cos 30°                           y = 4 . sin 30°
                1                                       1
      x=4.        3                             y=4.
                2                                       2
      x=2 3                                     y=2

      jadi vektor posisinya adalah rH = 2 3 i + 2 j



Tugas Individual
Buatlah grafik perpindahan yang kamu lakukan saat kamu berangkat dari rumah menuju
sekolah! Gunakan skesta dan acuan arah mata angin. Jika perlu, gunakan kertas milimeter
blok, agar lebih teliti!




2. Perpindahan
        Pengertian perpindahan perlu dibedakan dengan jarak. Sebagai sebuah ilustrasi,
seandainya ada seorang anak yang berjalan ke timur sejauh10 m, kemudian kembali ke
arah barat 4 m, maka dikatakan bahwa perpindahan anak tersebut adalah 6 m, namun
jarak yang ditempuhnya sebesar 14 m. Dengan demikian, coba simpulkan perbedaan
perpindahan dan jarak itu!



Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                     6
                                                        Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

          Adanya perbedaan pengertian perpindahan dan jarak, akan berimplikasi terhadap
pengertian akan kecepatan (velocity) dan kelajuan (speed). Perpindahan yang ditempuh
oleh suatu benda tiap satuan waktu akan menunjukkan kecepatan, dan besarnya jarak
yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu disebut dengan kelajuan.
          Suatu benda dikatakan melakukan perpindahan jika posisi dari benda tersebut
mengalami perubahan terhadap titik acuan. Seorang kondektur bus - saat meminta karcis
penumpang dari baris kursi terdepan menuju kursi belakang - dikatakan telah melakukan
perpindahan. Namun seperti yang telah disebutkan sebelumnya, bahwa perpindahan tidak
sama dengan jarak yang ditempuh. Jika perpindahan sebagai suatu besaran vektor
memperhatikan arah, sedang jarak adalah lintasan total yang dilakukan benda tanpa
memperhatikan arah gerakan benda.
          Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan suatu titik N, mula-mula saat t = 0
berada di titik (1,1) m, kemudian saat t = 4 s berada pada titik (4,5) m, maka besaran-
besaran yang berkaitan dengan vektor perpindahan adalah :


Vektor posisi awal titik N :
rN1 = 1 i + 1 j
rN2 = 4 i + 5 j


Vektor perpindahan titik N :
Δ rN = rN2 – rN1
Δ rN = (4 i + 5 j) – (1 i + 1 j)
Δ rN = 3 i + 4 j
Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu x adalah 3
Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu y adalah 4
Besar vektor perpindahan titik N adalah :


Δ rN =        32  4 2 = 5 m


Arah perpindahan titik N adalah :


          y
tan θ =
          x
          4
tan θ =
          3
maka θ = 53,1° terhadap sumbu x positif dengan arah berlawanan arah jarum jam.




Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                 7
                                                            Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

      Suatu vektor posisi dapat pula dinyatakan dalam sebuah persamaan yang
mengandung unsur t, seperti vektor posisi T = 5t i + 2 t2 j .              Sehingga misalkan
ditanyakan vektor posisi titik T saat t = 3 s adalah T = 5 (3) i + 2 (3)2 j = 15 i + 18 j.


Contoh :
1.    Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi
      (6,4) m. Tentukan :
      a. vektor perpindahannya
      b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x
      c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y
      d. besar perpindahannya
      e. arah perpindahannya
      Jawab :
      a. ΔrR = (6 i + 4 j) – (2 i + 1 j) = 4 i + 3 j
      b. rRx = 4 m
      c. rRy = 3 m

      d. r =     4 2  32 = 5 m
                    rRy       3
      e. tan θ =          =     maka θ = 37°
                    rRx       4
2.    Titik I mempunyai vektor posisi r = t 2 i + 2 t j. Tentukan :
      a. Vektor posisi awal (saat t = 0 s)
      b. Vektor posisi saat t = 2 s
      c. Vektor posisi saat t = 4 s
      d. Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 s
      e. Besar vektor perpindahannya
      Jawab :
      a. r(t = 0s) = 0 i + 0 j
      b. r(t =2s) = 22 i + 2.2 j = 4 i + 4 j
      c. r(t=4s) = 42 i + 2.4 j = 16 i + 8 j
      d. Δr = (16 i + 8 j) – (4 i + 4 j) = 12 i + 4 j

      e. Δr = 12 2  4 2 = 4 10 m




Tugas Kelompok



Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                    8
                                                           Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

Buatlah kelompok minimal terdiri atas 3 orang, maksimal 5 orang. kemudian diskusikan
tentang berbagai perpindahan yang telah kamu lakukan pada hari ini! Apakah dapat
dikatakan bahwa kamu telah melakukan perpindahan, jika kamu dari kelas pergi ke
belakang, dan kemudian kembali lagi ke kelas?


Uji Kompetensi
Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar!
1.   Gambarkan posisi atau kedudukan dari titik-titik berikut ini:
     a. H (1,4)                              c. Y (5,45°)
     b. A (-3,4)                             d. D (3, 60°)
2.   Ubahlah koordinat polar berikut menjadi koordinat kartesius:
     a. W (2, 37°)                           c. T (3, 30°)
     b. A (6, 53°)                           d. I (4, 45°)
3.   Ubahlah koordinat kartesius berikut menjadi koordinat polar:
     a. K (3,4)                              d. T (1,2)
     b. E (-6,-8)                            e. I (5,-5)
     c. N (8,10)                             f. K (-4,5)
4.   Titik I melakukan perpindahan dari koordinat (1,4) menuju (1,8). Tentukan vektor
     perpindahannya!
5.   Titik N berpindah dari (-1,1) ke (2,5). Tentukan:
       a.     vektor perpindahannya
       b.     komponen vektor perpindahan pada sumbu x
       c.     komponen vektor perpindahan pada sumbu y
       d.     besar vektor perpindahannya
       e.     arah perpindahannya
6.   Vektor posisi dari titik D dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur
     waktu, yaitu: r = 2t i + 4t2 j. Tentukan:
       a.     vektor posisi awal
       b.     vektor posisi saat t = 1 s
       c.     vektor posisi saat t = 2 s
       d.     vektor perpindahan dari t = 1 s hingga t = 2 s
       e.     komponen vektor perpindahan pada sumbu x
       f.     vektor perpindahan pada sumbu y
       g.     besar vektor perpindahan
7.   Vektor posisi A dinyatakan dalam r = (2 + 3t) i + 2t j. Tentukan besar vektor
     perpindahannya dari t = 2 s hingga t = 7 s!
8.   Vektor posisi H dinyatakan dalam r = t2 i – 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan
     arah perpindahannya dari t = 1 s hingga t = 5 s!

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                  9
                                                              Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.



3.   Kecepatan
       Bila suatu partikel mengalami perubahan kedudukan dalam suatu selang waktu
tertentu maka besar perubahan kedudukan dalam selang waktu tesebut disebut kecepatan.
Sebagai misal, jika seorang anak pergi ke arah timur sejauh 8 m dalam 4 sekon, maka
dikatakan kecepatan anak tersebut 2 m/s. Hal ini akan memiliki makna yang berbeda, jika
dalam 4 sekon berikutnya, anak tersebut kembali ke arah barat 8 m, maka kedudukan
anak tersebut berada di titik semula, sehingga dapay dikatakan anak tersebut tidak
melakukan perpindahan, sehingga kecepatannya nol.


a. Kecepatan rata-rata
       kecepatan rata-rata dinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap selang
waktu dari perpindahan itu dan dirumuskan:
                        Δr   r r
                  v =      = 2 1
                        Δt   t 2  t1
       Dengan memperhatikan uraian sebelumnya tentang vektor posisi dari suatu titik,
maka vektor kecepatan rata-rata dapat ditentukan.
Contoh:
Titik materi D pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada pada
posisi (8,8) m. Tentukan :
a.     vektor kecepatan rata-ratanya
b.     komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu x
c.     komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu y
d.     besar vektor kecepatan rata-rata
e.     arah kecepatan rata-ratanya
Jawab :
a.     rD1 = 2 i + 0 j
       rD2 = 8 i + 8 j
       Δr = rD2 – rD1 = 6 i + 8 j dan Δ t = t2 – t1 = 4 s – 1 s = 3 s
                Δr   6i  8 j
          v =      =          = ( 2 i + 4/3 j ) m/s
                Δt      3
b.        v x = 2 m/s

c.        v y = 4/3 m/s

                            2
                    4
d.        v =    2  
                   2
                                 = 2,4 m/s
                    3

e.     tan θ =
                  vy
                       =
                           4 / 3 = 0,666   maka θ = 33,7°
                  vx         2

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                      10
                                                           Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.


b. Kecepatan Sesaat
       Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt
yang mendekati nol, yang bila dinyatakan dalam persamaan limit dirumuskan :


      lim        lim x
v=          v =
     t  0     t  0 t
       Jika perpindahan suatu titik dilambangkan dalam sumbu x, dan waktu dalam
sumbu y, maka kecepatan sesaat pada suatu perpindahan ditunjukkan oleh kemiringan
garis singgung pada titik tersebut. Perhatikan gambar berikut!
Dengan grafik berikut, tentukan kecepatan saat t = 2 s !



                                        Gambar 4:
                                        Grafik x – t yang menjelaskan hubungan antara
                                        perpindahan terhadap waktu, yang digunakan untuk
                                        menentukan kecepatan sesaat




Untuk menentukan kecepatan sesaat dari suatu grafik x – t, yang menunjukkan hubungan
antara perpindahan x terhadap waktu t, maka kecepatan sesaat ditunjukkan dari
kemiringan garis singgung pada titik yang dimaksud. Pada contoh soal di atas,
kemiringan garis singgung pada t = 2 s digambarkan oleh grafik sebagai berikut :

                                              Gambar 5:
                                              Menganalisis kecepatan sesaat dari
                                              kemiringan suatu grafik x - t




              3
v = tan θ =     = 1 m/s
              3


       Jika dalam suatu penentuan kecepatan sesaat dari suatu grafik bernilai negatif,
berarti arah kecepatan tersebut berlawanan dengan arah gerakan benda atau arah
perpindahan benda. Juga jika kecepatan saat itu adalah nol, maka benda dikatakan tidak
berpindah.
       Selain kecepatan sesaat ditentukan dari kemiringan garis singgung di suatu titik,
kecepatan sesaat juga dapat diturunkan dari sebuah persamaan perpindahan.


Contoh:


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                 11
                                                                Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

1. Titik Y melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan : r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m.
Tentukan :
a.         vektor kecepatan sesaat
b.         komponen sumbu x vektor kecepatan
c.         komponen sumbu y vektor kecepatan
d.         vektor kecepatan saat t = 2 s
e.         besar kecepatan saat t = 2 s
Jawab :
                 dr
a.         v=
                 dt
           v = ( 4 t i + 5 j) m/s
b.         vx = 4 t          m/s
c.         vy = 5          m
d.         Saat t = 2 s , maka vektor kecepatan sesaat adalah : v = ( 4 (2) i + 5 j) m/s
           v = ( 8 i + 5 j) m/s

e.         v=        82  52 =          89 m/s


           Jika vektor kecepatan sesaat dari suatu titik diketahui, maka vektor perpindahan
dapat ditentukan dari kebalikan turunan, yaitu dengan mengintegralkannya. Jadi dengan
melakukan integral dari suatu vektor kecepatan sesaat, maka akan diperoleh vektor posisi
dari suatu titik.


2. Titik A mempunyai kecepatan yang dinyatakan dalam vektor :
vA = ( 8 t i - 2 t2 j ) m/s
Jika posisi awal benda (2i + 3 j) m/s, maka tentukan vektor posisi saat t = 2 s !
Jawab :
r = ro +    v   a   dt

                           (8ti  2t
                                        2
r = (2i + 3 j) +                            j ) dt

                                   2 3
r = (2i + 3 j) + (4 t2 i -           t j)
                                   3
                                                     2 3
Saat t = 2 s maka r = (2i + 3 j) + (4 (2)2 i -         (2) j)
                                                     3
                 7
r = ( 18 i -       j ) m/s
                 3


           Perbedaan perhitungan perpindahan dan jarak jika diekspresikan dalam sebuah
grafik kecepatan v terhadap waktu t, ditunjukkan dari luas daerah di bawah kurva. Jika


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                          12
                                                                         Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

kurva berada di atas sumbu x atau sumbu t, maka luas tersebut bernilai positif, namun
jika di bawah sumbu x atau sumbu t, maka luas daerah tersebut bernilai negatif.


3. Indah melempar benda dengan persamaan kecepatan v = (3t2 – 12) m/s.Tentukan
perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 3 s!
Jawab :
Langkah pertama adalah menginterpretasikan persamaan v = (3t2 – 12) m/s                                   dalam
sebuah grafik.




                                                            Gambar :
                                                            Menginterpretasikan sebuah persamaan
                                                            kecepatan dalam sebuah grafik, dapat
                                                            dilakukan dengan membuat tabel antara t dan
                                                            v, kemudian menyusunnya dalam sebuah
                                                            gambar grafik.




Perpindahan      =       luas bawah + luas atas
                           3

                           3t             12 dt
                                      2
Perpindahan      =
                           0


Perpindahan      =        
                          t   3
                                   12t    3
                                            0

Perpindahan      =       [33 – 12.3] – [03 – 12.0]
Perpindahan      =       - 9 m (tanda (-) berarti arah perpindahan berlawanan
                                           dengan arah kecepatan


Jarak =          - luas bawah + luas atas
                     2                          3
Jarak =          -  3t 2  12 dt +  3t 2  12 dt
                     0                          2


Jarak =              
                 - t 3  12t    +
                                  2
                                  t
                                  0
                                            3
                                                 12t   
                                                        3
                                                        2

Jarak =          - {[23 – 12.2] – [03 – 12.0]} + {[33 – 12.3] – [23 – 12.2]}
Jarak =          - {[8 – 24] – [0 – 0]} + {[27 – 36] – [8 – 24]}
Jarak =          - { - 16 } + {7 }
Jarak =          23 m


Contoh 8 :
Fitri mengendarai sepeda dengan kecepatan seperti grafik berikut :

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                                 13
                                                             Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.




                                                              Gambar 6:
                                                              Grafik hubungan v dan t yang
                                                              menggambarkan gerakan
                                                              sepeda yang dilakukan Fitri.




Tentukan :
a.       Jarak yang ditempuh setelah sepeda Fitri bergerak 2 s.
b.       Jarak total yang ditempuh Fitri selama 8 s.
Jawab :
a.       Jarak = Luas segitiga = L I
         Jarak = ½ . alas . tinggi
         Jarak = ½ . 2 . 4 = 4 m
b.       Jarak = L I + L II + L III
         Jarak = ( ½ . 2 . 4 ) + ( 4 . 4 ) + ( ½ . 2 . 4 )
         Jarak = 4 + 16 + 4 = 24 m


Tugas Kelompok
Gambarlah ruang kelasmu dalam sebuah kertas milimeter blok dan tunjukkan posisi meja
masing-masing temanmu! Selanjutnya, tentukanlah jarak dan perpindahan meja teman-
temanmu dalam satu kelas terhadap meja guru! Kumpulkan denah ruang kelasmu pada
guru untuk dinilai. Denah yang terbaik, layak untuk dipasang di dinding.

     Pekerjaan Rumah

     Amatilah gerakan gereta api pada lintasan rel kereta
     api. Apakah gerakannya beraturan atau berubah
     beraturan? Apakah posisi yang ditempuh memiliki
     vektor satuan j dan k?
     1.Buatlah persamaan posisi sebagai fungsi waktu
     dari gerak kereta tersebut!
     2.Buatlah persamaan kecepatan fungsi waktu dari
     kereta tersebut!
     3. Buatlah persamaan percepatan fungsi waktu dari
     kereta tersebut.
                                                                   Gambar 7:
                                                                    Kereta api yang bergerak




Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                       14
                                                              Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

Uji Kompetensi
Jawablah soal-soal berikut bersama dengan benar!


1.     Titik N pada t = 0 berada pada posisi (2,5) m, kemudian pada t = 2 s berada pada
posisi (2,8) m. Tentukan besar vektor kecepatan rata-ratanya!
2.     Titik A berada dititik (0,0) saat t = 0 s. Jika pada t = 4 s, berada di (3,4) maka
tentukan vektor kecepatan rata-ratanya!
3.     Titik R melakukan gerak dan digambarkan dalam grafik hubungan antara
       perpindahan (x) dengan waktu (t). Tentukan besar kecepatan saat t = 5 s !




                                             Gambar 8:
                                             Grafik hubungan perpindahan terhadap waktu.




4.     Partikel W melakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan:
       r = ( 3 t2 i + 4 t j ) m. Tentukan:
       a.      Vektor kecepatan sebagai fungsi waktu,
       b.      Besar vektor kecepatan saat t = 2 s.
5.     Titik A melakukan gerakan pada arah mendatar dengan vektor kecepatan
       v = ( 4 t i + 2 j ) m/s. Jika posisi awal titik berada di posisi 3 m, tentukan
       vektor posisi titik saat t = 2 s!
6.     Jika benda T bergerak pada suatu arah tertentu dengan persamaan kecepatan
       v = (t2 - 2 ) m/s. Tentukan perpindahan dan jarak dari t = 0 s hingga t = 4 s !
7.     Titik materi P melakukan gerak sesuai grafik berikut.




                                                                    Gambar 9:
                                                                    Grafik v – t dari gerak
                                                                    titik materi P




       Tentukan :
       a.      Jarak yang ditempuh setelah t = 2 s
       b.      Jarak yang ditempuh setelah t = 4 s
       c.      Jarak yang ditempuh setelah t = 5 s
       d.      Jarak yang ditempuh setelah t = 6 s
       e.      Jarak yang ditempuh setelah t = 7 s

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                      15
                                                                    Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.


4.       Percepatan


         Perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut dengan percepatan. Sebagai
contoh, saat kamu berangkat ke sekolah naik motor, motor yang kamu kendarai tentu
tidak berjalan pada kecepatan yang tetap. Motor yang kamu naiki kadang bergerak
dengan kecepatan tinggi, kadang lambat, dan kadang harus berhenti karena terhalang
lampu pengatur lalu lintas.


a. Percepatan rata-rata
         Adapun pengertian percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dalam selang
waktu tertentu. Semakin besar perubahan kecepatan yang dilakukan, maka tentu
percepatan yang dihasilkan semakin besar. Begitu juga jika selang waktu yang digunakan
untuk melakukan perubahan semakin sempit, maka besar percepatan yang dilakukan
semakin besar. Adapun besar dari percepatan rata-rata dirumuskan :


                        Δv  v  v1
                  a =      = 2
                        Δt   t 2  t1
         Penguraian besaran-besaran yang berhubungan dengan percepatan rata-rata
diperoleh dengan proses yang analogi dengan memperoleh kecepatan rata-rata seperti
diuraikan pada bagian sebelumnya.


Contoh :
1. Hafidz menaiki motor dengan persamaan kecepatan v = ( 2t2 i + 8 t j ) m/s.
Tentukan:
a.       vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
b.       komponen sumbu x percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
c.       komponen sumbu y percepatan rata-rata t = 1 s hingga t = 3 s
d.       besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
e.       arah percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
Jawab:
               Δv  v  v1
a.       a =      = 2
               Δt   t 2  t1

             [(2.3 2 i  8.3 j )  (2.12 i  8.1 j )]
         a =                                          = ( 8 i + 8 j ) m/s2
                            (3  1)

b.       a x = 8 m/s2

c.       a y = 8 m/s2


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                          16
                                                          Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

d.     a =     82  82 = 8   2 m/s2
                 8
e.     tan θ =     maka θ = 45°
                 8


b. Percepatan sesaat
       Percepatan sebagai perubahan kecepatan terhadap waktu dapat ditentukan dengan
analogi seperti kecepatan sesaat, maka percepatan sesaat dapat ditentukan dengan
menentukan kemiringan garis singgung pada kurva v - t.
       Selain dengan menentukan kemiringan suatu grafik v - t, vektor percepatan dapat
juga ditentukan dengan menurunkan fungsi v terhadap t. Dengan demikian terdapat dua
cara yang dapat digunakan dalam menentukan percepatan sesaat, yaitu melalui
kemiringan grafik, atau dengan cara menurunkan fungsi dari kecepatan sesaat.


Contoh:
1.     Tentukan percepatan saat t = 2 s, berdasar grafik v - t berikut ini:




                                                       Gambar 10:
                                                       Grafik v - t untuk menentukan
                                                       percepatan rata-rata.




       Jawab:
       Jika dianalisis, saat t = 2 s maka kemiringan garis singgungnya adalah:



                                                       Gambar 11:
                                                       Menganalisis grafik v-t untuk
                                                       menentukan percepatan rata-rata
                                                       melalui kemiringan grafik pada
                                                       suatu titik.




       a = tan θ
              9
       a=       = 0,9 m/s2
             10




Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                  17
                                                                  Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

2.        Kecepatan mobil Watik digambarkan oleh grafik berikut:



                                                                            Gambar 12:
                                                                            Grafik hubungan v - t
                                                                            untuk menetukan
                                                                            percepatan sesaat.




          Tentukan percepatan mobil saat:
          a.        t=1s
          b.        t=5s
          c.        t=7s
          Jawab:
                                   4
          a.        a = tan θ =      = 2 m/s2     (t = 1 s bagian kemiringan garis t = 0 sampai t =
                                   2
2 s)
                                    0
          b.        a = tan θ =       = 0 m/s2
                                    4
                                     4
          c.        a = tan θ =         = - 2 m/s2
                                      2
3.        Luqman menaiki motor dengan kecepatan v = (3 t2 -5) m/s
          Tentukan percepatan motor Luqman saat t = 3 s!
         Jawab:
               dv
          a =
               dt
          a = 6 t m/s2
          saat t = 3 s, maka           a = 6 .3 = 18 m/s2
4.        Percepatan motor yang dinaiki Noval adalah a = 2t i + 3 t2 j
          Jika kecepatan awal motor Noval adalah nol, tentukan kecepatan motor Noval
saat
         t = 2 s!
         Jawab :
         v = vo +      (2t i + 3 t2 j) dt

         v = 0 + t2 i + t3 j
         Saat t = 2 s          maka v = 22 i + 23 j = 4 i + 8 j
3. Suatu titik zat bergerak dengan percepatan fungsi dari waktu yaitu a = 4t –2, dan
       dengan kecepatan awal vo= 10 m/s. Ternyata pada suatu saat kecepatannya ialah v =
       50 m/s. Berapa lama titik zat bergerak ?
       to = 0 → Vo = 10 m/s

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                          18
                                                           Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

   t = …? → V = 50 m/s
   a = 4t –2

                                                  2t 2  2t  40  0
   dv = a dt
       v            t
                                                  t 2  t  20  0
   Vo
           dv   dt
                to                                (t  5) (t  4)  0
   V  V0   (4t  2)dt
                        t
                                                  t 5  0 V t  4  0
                        to
                                                  t  5det, t  4det
   50  10  2t 2  2t       
                             t
                             o                         (M) (TM)
   40  2t  2t  0  0
                2




4. Suatu titik zat bergerak pada sumbu x secara GLBB dengan percepatan 5m/s2. Pada
   saat bergerak 2 sekon kecepatannya 20 m/s. Mulai berangkat kedudukannya di x = -
   15m. Tentukan persamaan posisi titik zat tersebut.
                                       dx  v dt
    dv  adt

     dv  adt                          dx  v dt
                                        x   (5t  10)dt
    v   5t
                                            5 2
    v  5t  c                          x    t  10
                                            2
    t  2  v  20 m/s
                                       t  2  v  20 m/s
    20  5.2  c
                                       20  5.2  c
    c  10
                                       c  10
     v  5t  10
                                        v  5t  10
                                    Persamaan posisi :

                                      5
                                 r  ( t 2  10t  15)i
                                      2


5. Sebuah partikel bergerak lurus dengan percepatan a = 12-3s dengan a dalam m/s2 dan
   s dalam m.
   Cari hubungan antara kecepatan dan perpindahan jika s = 2 m, v = 4 m/s




Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                  19
                                                                   Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

           vdv   ads
          1 2
            v   (12s  3s)ds
          2
          1 2           3
            v  12s  s 2
          2             2
          s2v4
          1 2             3
            .4  12.2  22  c
          2               2
          8  24  6  c
          c  10
          1 2           3
            v  12s  s 2  10
          2             2
          v  24s  3s  20
           2


          v  24s  3s 2  20


Jika dalam permasalahan yang ditemui adalah penentuan kecepatan dari grafik a – t atau
penentuan kecepatan dari fungsi percepatan, maka kecepatan suatu titik, dapat ditentukan
dari integral fungsi dari percepatan tersebut. Secara matematis, fungsi integral tersebut
senilai dengan luas daerah di bawah grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas
daerah dibawah grafik percepatan terhadap waktu maka nilai kecepatan sesaat dapat
ditentukan.
Persamaan vektor kecepatan dapat ditentukan dengan mengintralkan persamaan vektor
percepatan, sehingga persamaan vektor kecepatan
                     v = vX i + vY j → vX = v0X +             aX dt
                                            vY = v0Y +         aY dt
Contoh:
1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan v = ( t2 -5t) m/s
     Tentukan percepatan mobil saat t = 4 s !


         Jawab :
                dv
         a =
                dt
         a = 2t - 5 m/s2 = 2.4 – 5 = 3 m/s2
         jadi a = 3 m/s2
2.       Percepatan yang dimiliki mobil eko dalah a = t 3i + 3 t2 j
          Jika kecepatan awal adalah 2i, tentukan vektor kecepatan mobil tersebut dan
          besarnya kecepatan ketika t = 4 s !

          Jawab :
          v = vo +  ( t 3i + 3 t2 j ) dt


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                       20
                                                                Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

                1 4                    1
       v=2i+      t i + t3 j→ v = (2 + 44) i + 43 j→ v = 68 i +64 j
                4                      4
       Vektor kecepatan mobil v = 68 i +64 j dan

        besarnya       v     = 68 2  64 2 = 8720 = 93,4 m/s.


Demikian pula penentuan posisi dari grafik v – t atau penentuan posisi dari fungsi
kecepatan, maka posisi suatu titik, dapat ditentukan dari integral fungsi dari kecepatan
tersebut. Secara matematis, fungsi integral tersebut senilai dengan luas daerah di bawah
grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas daerah dibawah grafik kecepatan
terhadap waktu maka nilai posisi dapat ditentukan.
Rumus menentukan posisi dengan mengintegralkan kecepatan sebagai berikut.
       r=xi+yj             dimana x = x0 +      vx dt   dan y = y0 +      vy dt

       atau r = ro +   v    dt




Contoh:

1.   Suatu benda dari keadaan diam dan mengalami percepatan seperti grafik berikut ini.




                                                                   Gambar 13:
                                                                   Grafik a – t untuk
                                                                   menentukan kecepatan
                                                                   sesaat.




     Tentukan kecepatan saat:
     a. t = 1 s
     b. t = 5 s
     c. t = 7 s
     Jawab:
     a. v = v0 + Luas segi tiga dengan alas 1
          v=0+½.1.3
          v = 1,5 m/s
     b. v = v0 + Luas segi tiga + Luas persegi panjang
          v=0+½.2.3+ 3.3
          v = 12 m/s
     c. v = v0 + Luas segi tiga + Luas persegi panjang + L trapesium



Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                        21
                                                                                             Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

             Mengingat saat t = 7 s, nilai a belum diketahui, maka langkah yang ditempuh
             adalah dengan menetukan persamaan garis melalui (6,3) dan (8,0), yaitu:
             y – y1 = m (x - x1)                        sehingga   y = -1,5 x + 12,
             maka saat t = 7 diperoleh nilai a = -1,5 . 7 + 12 = 1,5 m/s2
             v = 0 + ½ . 2 . 3 + 4 . 3 + (3 + 1,5) . ½ . 1
             v = 0 + 3 + 12 + 2,25 = 17,25 m/s


    2. Suatu Partikel posisi awalnya berada pada (i + 2 j) bergerak dengan kecepatan v =
           ( 2 t2 i - t j ) m/s, maka tentukan vektor posisi partikel saat t = 1 s !
Jawab :
r = ro +    v   a        dt

                            (2t         i  t j ) dt
                                     2
r = (i + 2 j) +

                           2 3    1
r = (i + 2j) + (             t i - t2 j)
                           3      2
                                                            2         1           2     1
Ketika t = 1 s maka r = (i + 2 j) + (                         (1)3 i - (1)2 j) = 1 i - 1 j
                                                            3         2           3     2
      5    3
r=(     i - j ) m/s
      3    2


    3. Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan percepatan 4 ί m/s2 dan
           kecepatan awal 20 ί m/s2. Jika posisi awal benda itu Xo = 10 ί meter, tentukan
           persamaan benda untuk setiap saat.
    Jawab :                a = 4 ί m/s2                   x = …?
                           νo = 20 ί m/s
                           Xo = 10 ί m


      dv = a.dt                                                       dx = V.dt
      V              t                                                     x         t

       dv   adt                                                       Xo
                                                                               dx   V.dt
                                                                                    to
      Vp             to
                                                                                         t
                          t                                         x - xo =      to
                                                                                             (4t  20)dt
      V - Vo =              4dt                                                                      t
                           tp
                                                                      x – 10 = 2t2 + 20t ]
                                                                                                      o
                                 t
      V – 20 = 4t ]                                                   x – 10 = 2t2 + 20t – 0 – 0
                                 o

      V – 20 = 4t – 0                                                  x = (2t2 + 20t +10) ί m

             V = (4t + 20) ί m/s


    4. Suatu titik zat bergerak pada bidang datar pada sumbu cartesius yang
           kecepatannya merupakan fungsi dari waktu dengan persamaan sebagai berikut :
Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                                          22
                                                                          Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

     vx = 4t + 4 (untuk t = 0 → x = 1)
     vy = 4 (untuk t = 0 → y = 2)
     Tentukan persamaan posisi titik zat tersebut.
     Tentukan pula posisi pada t = 1 sekon
      Jawab :                                                           dy
                                                             Vy 
                   dx                                                   dt
      Vx 
                   dt                                               dy
                                                             4
                        dx                                          dt
      4t + 4 =
                        dt                                   dy = 4 dt
      dx            = ( 4t + 4) dt                           ∫dy = ∫ 4t + C
      ∫ dx          = ∫ (4t + 4) dt                          t=0→y=2
      x             = 2t2 + 4t + c                           2= 4.0 + C
      t=0→x=1                                                C=2
      1 = 2.02 + 4 + 1                                       Maka y = 4t + 2
      C=1
      Maka x =2t2 + 4t +m 1
                    r= x ί + y j
                        r    = (2t2 + 4t + 1) ί + (4t +2)j


      Atau dengan integral batas sebagai berikut :
          to = 0 → xo = 1                                      to = 0 → yo = 2
              x         t                                           y         t
          xo
                  dx   (4t  4)dt
                        to                                       yo
                                                                        dy   4dt
                                                                              to


          x-xo = 2t2 + 4t ] tto 0                             y – yo = 4t ] tto 0
          x-1 = 2t2 + 4t – (2.02 + 4.0)                        y –2 = 4t – 4.0
          x = 2t2 + 4t + 1                                     y = 4t + 2
                    r = (2t2 + 4t + 1)ί + (4t + 2) j


Uji Kompetensi

Kerjakan soal-soal berikut bersama kelompokmu!

1.     Doni mengendarai motor dengan vektor kecepatan v = 7 t2 i – 3 t j. Tentukan:
       a. vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
       b. besar vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
2.     Witri mengendarai motor dengan kecepatan seperti grafik berikut:

                                                                          Gambar 14 :
                                                                          Grafik v – t untuk menentukan
                                                                          percepatan sesaat, dengan
                                                                          menentukan kemiringan dari
                                                                          grafik pada suatu saat.


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                             23
                                                      Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.




     Tentukan percepatan saat:
     a. t = 2 s
     b. t = 8 s
     c. t = 12 s
3.   Akmal mengendarai mobil dengan vektor kecepatan v = (3 t – 2 ) i + 4 t2 j
     Tentukan:
     a. vektor percepatannya
     b. komponen sumbu x vektor percepatannya
     c. komponen sumbu y vektor percepatannya
     d. besar percepatan saat t = 2 s
     e. arah percepatan saat t = 2 s
4.   Mobil Pak Tomy mula-mula diam, kemudian selama 4 s dipercepat dengan
     percepatan a = 2 t i + 3 t2 j
     Tentukan:
     a. vektor kecepatannya
     b. komponen sumbu x vektor kecepatannya
     c. komponen sumbu y vektor kecepatannya
     d. besar kecepatan mobil Pak Tomy saat t = 2 s
5.   Mobil Ajeng yang mula-mula diam, kemudian bergerak dengan percepatan seperti
     grafik berikut ini:

                                                       Gambar 15:
                                                       Grafik a – t untuk menentukan
                                                       kecepatan sesaat dengan
                                                       menghitung luas daerah di bawah
                                                       kurva




     Tentukan kecepatan saat:
     a. t = 5 s
     b. t = 15 s
     c. t = 18 s



Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.               24
                                                            Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

6.    Sebuah titik D melakukan perpindahan yang ditunjukkan dengan vektor
      perpindahan sebagai berikut:
      r = (4 t2 + 6 t) i + (8 + 2 t3) j m
      Tentukan:
      a. vektor kecepatannya
      b. kecepatan saat t = 4 s
      c. vektor percepatan
      d. percepatan saat t = 2 s
7.    Jika mobil Husien mula-mula diam dan berada di pusat koordinat, kemudian diberi
      percepatan selama 3 s, maka tentukan besar perpindahannya, jika vektor
      percepatannya adalah:
      a=3ti+2j
8.    Balon gas terbang keatas mula-mula berada pada kecepatan v 0 = i + 2 j. Kemudian
      selama 2 s dipercepat dengan percepatan a = ( t 3 -2t) i + 3 t2 j
      Tentukan :
      a. vektor kecepatannya sebagai fungsi waktu
      b. besarnya kecepatan ketika t = 4 sekon.
      c. Vektor posisi sebagai fungsi waktu jika posisi mula-mula. (2,4 ) m.
      d. Tentukan perpindahan dan jarak yang ditempuh dari t = 0 sampai t = 4 sekon.
9.    Sebuah titik A melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan sebagai berikut :
      r = (3 t2 + 3 t) i + (2 + 4 t3) j m
      Tentukan :
      a. vektor kecepatannya sebagai fungsi waktu
      b. kecepatan saat t = 2 s
      c. vektor percepatan sebagai fungsi waktu
      d. percepatan saat t = 2 s
10.   Suatu benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = (3t2 – 3t-6) m/s.Tentukan
      perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 4 s !


B. Gerak Parabola
      Gerak parabola merupakan kombinasi dua gerak sekaligus, yaitu gerak mendatar
dengan kecepatan tetap, artinya tanpa percepatan, dan gerak vertikal yang merupakan
gerak berubah beraturan, yang artinya mempunyai percepatan tetap.
       Gerak parabola dapat diamati pada pertandingan sepak bola. Saat kiper
melakukan tendangan gawang, umumnya kiper akan melakukan tendangan yang jauh ke
depan, menuju daerah lawan dengan menggunakan tendangan yang menghasilkan
lintasan berupa gerak parabola atau gerak peluru. Pada sudut berapakah tendangan kiper



Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                   25
                                                         Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

tersebut akan mencapai jarak tendangan yang terjauh? Diskusikanlah bersama teman
sebangkumu!


Kegiatan Kelompok :
Lakukanlah kegiatan kelompok sebagai berikut :
1.    Ambil dua bola ping pong!
2.    Letakkan dua bola ping pong tersebut di tepi sebuah meja yang cukup tinggi!
3.    Jatuhkan secara bersamaan kedua bola tersebut dengan ketentuan sebagai berikut:
      a. Bola pertama jatuh bebas dari tepi meja
      b. Bola kedua diberi kecepatan mendatar sejajar meja
4.    Catat waktu yang diperlukan bola pertama dan kedua untuk sampai di tanah!
5.    Buat perbandingan kesimpulan dari kedua waktu tibanya kedua bola di tanah!
6.    Analisislah gerakan kedua bola tersebut!




      Beberapa asumsi penyederhanaan yang digunakan dalam membahas gerak parabola
dalam kajian ini adalah bahwa hambatan udara dan rotasi bumi tidak mempengaruhi
dalam perhitungan, dan nilai pecepatan gravitasi bumi dianggap 10 m/s2, kecuali terdapat
penjelasan dalam soal.




                      Gambar 16: Grafik lintasan parabola.


      Beberapa persamaan yang berhubungan dengan gerak parabola adalah :
Sumbu X :
vox   = vo . cos θ
vx    = vo . cos θ
x     = vx . t = vo . cos θ . t
Sumbu Y :
voy   = vo . sin θ

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                 26
                                                            Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

vy    = vo . sin θ – g . t
y     = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2


Persamaan kecepatan dan arah gerakan partikel :

v     =       vx  v3
               2
                    y


          vy
tan α =
           vx
Keterangan :
1.    vo =       kecepatan awal (m/s)
2.    vox =      kecepatan awal pada sumbu x (m/s)
3.    voy =      kecepatan awal pada sumbu y (m/s)
4.    vx =       kecepatan pada sumbu x (m/s)
5.    vy =       kecepatan pada sumbu y (m/s)
6.    v   =      kecepatan pada suatu saat (m/s)
7.    x   =      kedudukan atau posisi pada sumbu x (m)
8.    y   =      kedudukan atau posisi pada sumbu y (m)
9.    α   =      arah gerakan partikel (°)
10.   θ   =      sudut elevasi (°)
11.   g   =      percepatan gravitasi bumi (m/s2)




                                                                                  y




                                             X




                        Gambar 17: berbagai posisi pada lintasan gerak parabola



Beberapa hal penting berkaitan dengan gerak parabola:
1.    Persamaan yang tersebut pada bagian awal didasarkan pada gerakan benda yang
      mengarah ke atas, sedang arah percepatan gravitasi bumi ke bawah, sehingga
      persamaan di atas menggunakan tanda negatif (-) untuk nilai g.                  Namun jika
      gerakan diawali dengan gerak ke bawah, seperti gerakan bom yang dijatuhkan dari
      pesawat, maka arah gerak benda searah dengan percepatan gravitasi, sehingga


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                      27
                                                           Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

      persamaan yang mengandung unsur g yang semula negatif, berubah menjadi positif,
      karena arah gerak benda searah dengan arah percepatan benda.
2.    Pada titik tertinggi nilai vy = 0 m/s, sehingga nilai v = vox = vx
3.    Pada titik terjauh nilai y = 0. Jika saat mencari t dari y = 0, diperoleh dua nilai t, di
      mana salah satu nilainya umumnya nol, maka nilai t yang digunakan adalah yang
      besar.


Diskusi Kelompok


Buatlah kelompok maksimum 5 orang untuk berdiskusi secara matematis dan
membuktikan persamaan matematis berikut ini :
a.    Koordinat titik puncak (xMAX , y MAX )
                    v sin 2          v sin 2 
                          2                         2

       dimana xMAX = 0       , y MAX = 0        , α = sudut elevasi
                       2g                2g
                                                        g = percepatan gravitasi bumi (m/s2)
                                                        vo = kecepatan awal (m/s)
                                                                           v 0 sin 
b.    Waktu untuk mencapai titik tertinggi atau tinggi maksimum tP =
                                                                                g


      Waktu untuk mencapai jarak mendatar terjauh atau jatuh kembali ke tanah tJ = 2. tP


c.    Jarak mendatar terjauh x Jauh = 2 xMAX
      Jarak mendatar mencapai maksimum ketika sudut elevasi α = 450
d.    Pasangan sudut elevasi                                      (α1 dan α2 ) akan mencapai
jarak mendatar terjauh yang                                            sama jika
      α1 + α2 = 900




Contoh :
1. Sebuah panah dilepaskan dari busur dengan kecepatan awal 100 m/s dan sudut
     elevasi 37° Tentukan :
a. vektor posisi panah saat t = 1 s
b. vektor posisi ketika panah mencapai titik tertinggi.
c. vektor posisi di titik mendatar terjauh
d. vektor kecepatan dan besarnya saat t = 1 s
e. arah kecepatan saat t = 1 s


           Jawab :
Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                    28
                                                               Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

     a. x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° . 1 = 100 . 0,8 = 80 m
        y = vo . sin θ . t – ½ g t 2 = 100 . sin 37° . 1 – ½ .10.12 = (100 .0,6– 5) = 55 m
        Jadi vektor posisi panah setelah 1 s adalah r = (80 i + 55 j) m
     b. Pada titik tertinggi vy = 0 sehingga :
        vy = vo sin θ – g . t
        0 = 100 . sin 37° – 10 . t         maka diperoleh nilai t
        t=6s
        Nilai t tersebut kemudian dimasukkan pada
        x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° .6 = 100 . 0,8 . 6 = 480 m
        y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 100 . sin 37° 6– ½ .10. (6)2 = 360 – 180 =180 m
        Jadi vektor posisi panah pada titik tertinggi adalah r = (480 i + 180 j) m
     c. Pada titik mendatar terjauh y = 0, kemudian nilai t tersebut dimasukkan ke x
        y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2
        0 = 100 . sin 37° . t – ½ .10. t2 → 0 = 60 t – 5 t2
        - 60 t = - 5 t2 → t = 12 sekon
         maka x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° .12 = 720 m
            Jadi vektor posisi panah di titik mendatar terjauh adalah r = (720 i + 0 j) m
     d. vx = vo . cos θ = 100 . cos 37° = 100 . 0,8 = 80 m/s
        vy = vo . sin θ – g . t = 100 sin 37° – 10 . 1 = (60 - 10) = 50 m/s
        jadi vektor kecepatan panah v = vX i + vY j = 80 i + 50 j

            Besarnya v = v x  v 3 =
                           2
                                 y             802  502   =    6400  2500 = 94,33 m/s

                     vy         50
     e. tan θ    =          =      = 0,625 maka θ = 32°
                     vx         80
2.   Ketika terjadi bencana Tsunami, banyak daerah yang membutuhkan bantuan
     makanan dan alat-alat kesehatan, akan tetapi lokasi bantuan sulit terjangkau. Untuk
     mengatasinya bahan makanan dan bantuan alat kesehatan tersebut dijatuhkan dari
     pesawat militer. Jika bantuan makanan dijatuhkan pada ketinggian 500 dari pesawat
     pengangkut yang bergerak mendatar dengan kecepatan 50 m/s, maka hitunglah
     jarak mendatar dari pesawat ke lokasi agar bantuan makanan jatuh tepat pada
     sasaran ?
            Jawab :
                          x = ....?        y0 = 500 m y = 0         θ=00
                      y = y0 + vo . sin θ . t + ½ . g . t 2
                      0 = 500 + 0 - ½ . 10 . t 2       maka t = 10 s
                      x = vox . t = vo . cos θ . 10 . = 50 . 1 .10 = 500 m
3.   Sebuah bola ditendang dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal 20 m/s.
     Tentukan:


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                       29
                                                                   Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

     a. posisi saat t = 1 s
     b. koordinat titik tertinggi
     c. koordinat titik terjauh
     d. kecepatan saat t = 1 s
     e. arah kecepatan saat t = 1 s
     Jawab :
     a. x      = vo . cos θ . t = 20 . cos 45° . 1 = 10            2 m/s
         y     = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 20 . sin 45° . 1 – ½ .10.12 = (10        2 – 5) m/s
         Jadi posisi bola setelah 1 s adalah (10          2 ; 10     2 – 5) m/s
     b. Pada titik tertinggi vy = 0 sehingga :
         vy = vo . sin θ – g . t
         0     = 20 . sin 45° – 10 . t         maka diperoleh nilai t
         t     =       2 s
         Nilai t tersebut kemudian dimasukkan pada:
         x     = vo . cos θ . t = 20 . cos 45° .         2 = 20 m/s
         y     = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 20.sin 45° .        2 – ½ .10. ( 2 )2 = 10 m/s
         Jadi posisi bola pada titik tertinggi adalah (20, 10) m/s.
     c. Pada titik terjauh y = 0, kemudian nilai t tersebut dimasukkan ke x
         y     = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2
         0     = 20 . sin 45° . t – ½ .10. t2
         maka diperoleh nilai t = 0 atau t = 2           2 s. Gunakan t = 2       2 s maka
         x     = vo . cos θ . t = 20 . cos 45° . 2. 2 = 40 m
         Jadi posisi bola di titik terjauh adalah (40 , 0) m
     d. vx = vo . cos θ = 20 . cos 45° = 10 2 m/s
         vy = vo . sin θ – g . t = 20 . sin 45° – 10 . 1 = (10             2 - 10) m/s

         v     =       vx  v3 =
                        2
                             y          2  
                                       10
                                             2
                                              10      2  10    = 10
                                                               2
                                                                        5  2 2 m/s

                          vy          (10 2  10)
     e. tan α      =              =                 = 0,293 maka α = 16,3°
                             vx         10 2
4.   Dari puncak gedung setinggi 125 m, Arsa melempar bola mendatar dengan
     kecepatan 10 m/s. Tentukan :
     a. waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah
     b. jarak mendatar yang ditempuh bola
     Jawab :
     a. vox        = 10 m/s                                dan             voy = 0 m/s
         y         = vo . sin θ . t + ½ . g . t 2
         125       = 0 + ½ . 10 . t 2        maka t = 5 s

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                         30
                                                          Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

      b. x         = vox . t = 10 . 5 = 50 m


Uji Kompetensi
1.    Sebuah anak panah dilepaskan dari busur dengan kecepatan awal 50 m/s dan sudut
      elevasi 60°. Tentukan vektor posisi ketika anak panah menyentuh tanah.
2.    Jika sebuah rudal kendali dijatuhkan dari pesawat pada ketinggian 1000 m di atas
      permukaan tanah, dengan kecepatan mendatar 100 m/s, maka tentukan jarak
      mendatar yang ditempuh rudal kendali.
3.    Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 50 m/s dengan sudut elevasi 53°
      membentuk lintasan gerak parabola dengan percepatan gravitasi bumi g =10 m/s.
      Tentukan :
      a. vektor posisi bola ketika t = 2 sekon.
      b. vektor posisi dan kecepatan bola ketika mencapai titik tertinggi.
      c. vektor kecepatan dan besar kecepatan bola saat t = 4 sekon.
      d. arah kecepatan bola ketika t = 4 sekon.
      e. vektor posisi bola ketika mencapai tanah.
      f. waktu untuk mencapai tanah.

4.    Anggun melemparkan bola basket dengan vektor posisi r = 2 t i + (4 t2 -2) j.
      Tentukan vektor posisi dan vektor kecepatan ketika bola mencapai tertinggi.
5.    Perhatikan gambar di bawah. Sebuah anak panah dilepaskan dengan vektor
      kecepatan vektor v = 2 i + 8t j maka tentukan vektor posisi sebagai fungsi waktu
      dan vektor kecepatan panah ketika tiba ditanah.




                        1,5 m




                   Gambar 18: Anak panah dilepaskan membentuk lintasan parabola.




Kegiatan Kelompok
    Bentuklah sebuah kelompok yang beranggotakan 3 – 5 orang!
    Diskusikan dalam kelompokmu tentang beberapa jenis gerak yang ada di sekitar kita
     yang termasuk gerak parabola! Apakah gerakan pesawat terbang saat naik termasuk


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                   31
                                                         Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

     gerak parabola? Apakah gerak bom atom saat dijatuhkan dari pesawat pengebom di
     Hirosima termasuk gerak parabola? Apakah gerakan roket Eksoset saat diarahkan ke
     pesawat tempur merupakan gerak parabola? Apakah gerak peluru yang ditembakkan
     ke atas merupakan gerak parabola?




Pekerjaan Rumah
1.    Yanti memukul shuttle cock dengan kecepatan awal 20 m/s dan sudut elevasi 60°.
      Tentukan jarak terjauh yang ditempuh shuttle cock tersebut !
2.    Sebuah bom dijatuhkan dari pesawat di ketinggian 2.000 m di atas permukaan
      tanah, dengan kecepatan mendatar 200 m/s. Tentukan jarak mendatar yang
      ditempuh bom!
3.    Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 10 m/s sehingga mengenai dinding
      setinggi 20 m dan jarak mendatar 40 m. Tentukan sudut elevasinya !
4.    Kopral Jono menembakkan peluru dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal
      100 m/s. Tentukan koordinat titik tertingginya!
5.    Dimas melempar bola dengan vektor posisi r = 5 t i + (2 t2 -1) j, tentukan vektor
      posisi titik tertinggi yang dicapai bola.
6.    Nouval melempar batu dengan vektor posisi r = 2 t2 i + (4 t2 - 8t) j. Tentukan vektor
      posisi pada jarak terjauhnya!


C. Posisi Sudut, Kecepatan Sudut, dan Percepatan Sudut pada Gerak Melingkar


1. Posisi Sudut
      Posisi sudut akan menggambarkan kedudukan dari suatu sudut dalam gerak
melingkar beraturan. Tentu saja pusat gerak melingkar tersebut akan dijadikan sebagai
pusat titik acuan. Seperti telah disampaikan terdahulu, bahwa semua gerak tetap
memerlukan suatu titik acuan.
      Besarnya sudut yang ditempuh gerak melingkar tersebut tiap satuan waktu disebut
dengan kecepatan sudut. Dalam hal ini, satuan dari kecepatan sudut dapat dinyatakan
dalam rad/s atau putaran per menit (rpm). Perubahan kedua satuan tersebut didasarkan
bahwa satu putaran senilai dengan 2 π radian.
      Sedangkan percepatan sudut adalah laju perubahan kecepatan sudut yang terjadi
tiap satuan waktu. Semakin besar perubahan kecepatan sudut yang terjadi, maka akan
semakin besar pula kecepatan sudut yang terjadi pada gerak melingkar tersebut.
Demikian juga jika semakin besar pengurangan kecepatan sudut yang dilakukan gerak
melingkar maka semakin besar nilai perlambatan sudut dari gerak melingkar itu.


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                       32
                                                        Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

2. Kecepatan Sudut
       Jika kita memperhatikan seorang pesenam di atas lantai es yang licin saat ia
melakukan gerak melingkar, maka gerakan tubuhnya yang semula bergerak melingkar
beraturan akan berubah menjadi bergerak melingkar berubah beraturan semakin cepat
saat ia mengubah posisi dari tangannya, serta memberikan sejumlah gaya pada dirinya.
a. Kecepatan sudut rata-rata
      Kecepatan sudut rata-rata sebagai hasil bagi perpindahan sudut dengan selang
waktu yang ditempuh dapat dirumuskan:
                                             
                                        =
                                             t
b. Kecepatan sudut sesaat
      Sedang kecepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari posisi sudut, atau dapat
pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik posisi sudut terhadap waktu.
Kecepatan sudut sesaat dirumuskan:
                                             d
                                        
                                             dt



3. Percepatan Sudut


a. Percepatan sudut rata-rata
      Percepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi kecepatan sudut dengan selang waktu
yang ditempuh. Percepatan sudut rata-rata dirumuskan:
                                             
                                        =
                                             t
b. Percepatan sudut sesaat
      Percepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari kecepatan sudut, atau dapat
pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik kecepatan sudut terhadap waktu.
Percepatan sudut sesaat dirumuskan:
                                             d
                                        
                                             dt
      Coba kamu amati gerak roda motor dalam perjalanan menuju ke sekolah! Selama
perjalanan roda tersebut tidak mungkin memiliki kecepatan sudut yang tetap. Roda itu
kadang berputar pelan, karena harus menghindari rintangan, atau kadang harus berputar
lebih cepat karena melewati jalan lurus dan sepi tanpa hambatan. Bahkan roda itu kadang
harus berhenti karena lampu merah pengatur jalan raya menyala. Adanya perubahan
kecepatan sudut dari roda tersebut akan menunjukkan besar dari percepatan sudut yang
terjadi pada roda.

Contoh :

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                33
                                                             Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.


1.   Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan :
         θ = (3 t2 + 2) rad, maka tentukan :
         a.          posisi sudut saat t = 0 s
         b.          posisi sudut saat t = 2 s
         c.          kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 2 s
         d.          kecepatan sudut saat t = 3 s
     Jawab :
         a.      θ = (3 (0)2 + 2) = 2 rad
         b.      θ = (3 (2)2 + 2) = 14 rad
                            (14  2)
         c.       =        =          = 6 rad/s
                         t    (2  0)
                        d
         d.      ω =       = (6 t ) = ( 6 . 2 ) = 12 rad/s
                        dt
2.   Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan:
     θ = (2 t2 + 5) rad, maka tentukan :
     a. posisi sudut saat t = 0 s
     b. posisi sudut saat t = 3 s
     c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 3 s
     d. kecepatan sudut saat t = 3 s
     Jawab :
     a. θ        = (2 (0)2 + 5) = 5 rad
     b. θ        = (2 (3)2 + 5) = 23 rad
                          (23  5)
     c.         =        =          = 6 rad/s
                       t    (3  0)
                       d
     d. ω        =        = (4 t ) = ( 4 . 3 ) = 12 rad/s
                       dt
3.   Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar pada tepi sebuah roda adalah:
     θ = (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad
     Tentukan :
     a. Kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s
     b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s
     c. Kecepatan sudut saat t = 2 s
     d. Percepatan sudut saat t = 2 s
     Jawab :
     θ   = (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad
     ω = (12 t2 + 10 t + 2 ) rad/s
     α   = (24 t + 10 ) rad/s2
     a. θ      = (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                      34
                                                          Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

          θ1 = (4 .03 + 5 .02 + 2 .0 + 6 ) rad = 6 rad
          θ2 = (4. 43 + 5 .42 + 2 .4 + 6 ) rad = 350 rad
                       (350  6)
           =          =           = 86 rad/s
                    t    (4  0)
      b. ω = (12 t2 + 10 t + 2 ) rad/s
          ω1 = (12.02 + 10.0 + 2 ) rad/s = 2 rad/s
          ω2 = (12.42 + 10.4 + 2 ) rad/s = 234 rad/s
                       (234  2)
           =          =           = 58 rad/s2
                    t    (4  0)
      c. ω = (12 .22 + 10 . 2 + 2 ) = 70 rad/s
      d. α     = (24. 2 + 10 ) = 58 rad/s2



Uji Kompetensi

1. Posisi sudut sebuah titik yang berada pada ujung roda sepeda ditentukan oleh
      persamaan :
      θ = (2 t3 + 2t) rad, maka tentukan :
      a. posisi sudut saat t = 3 s
      b. posisi sudut saat t = 4 s
      c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 3 s hingga t = 4 s
      d. kecepatan sudut saat t = 2 s
      e. persamaan percepatan sudut sebagai fungsi waktu
2.    Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar pada terpi sebuah roda adalah:
      θ = ( t3 + t2 + t + 1 ) rad
      Tentukan :
      a. Kecepatan sudut rata-rata dari t = 1 hingga t = 2 s
      b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 1 hingga t = 2 s
      c. Kecepatan sudut saat t = 1 s
      d. Percepatan sudut saat t = 1 s
3.   Sebuah roda mobil mula-mula diam, kemudian dalam 3 sekon dipercepat sehingga
      menempuh sudut 2 putaran. Tentukan besar kecepatan sudut setelah 3 sekon dan
      kecepatan sudut rata-ratanya ?
4.    Sebuah roda sepeda mula-mula diam, kemudian dalam 2 sekon dipercepat sehingga
      menempuh sudut 4 putaran. Tentukan besar kecepatan sudut rata-ratanya!
5.    Jika posisi sudut dari suatu gerak melingkar beraturan dirumuskan dalam
                          5 3
      persamaan θ = (       t + 5 t2 + 4) rad, maka tentukan kecepatan sudut saat t = 4
                          6
      sekon!


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                  35
                                                             Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.


Pekerjaan Rumah

Lakukan pengamatan terhadap beberapa gerak melingkar sebagai berikut bersama
kelompokmu !
1.   Gerakan roda sepeda yang berjalan mengelilingi lapangan sekolah.
2.   Gerakan kipas angin.
3.   Amati juga tiga gerak melingkar lainnya di sekitarmu
4.   Buatlah analisis dari gerakan-gerakan tersebut dan buatlah kesimpulannya!
     Apakah gerakan-gerakan tersebut memiliki karakteristik gerakan yang sama?




Pengintegralan Fungsi pada Gerak Melingkar


Posisi sudut θ suatu fungsi dapat juga ditentukan dari pengintegralan persamaan
kecepatan sudut dengan rumus :
                       θ = θ0 +   t dt

Persamaan kecepatan sudut dapat ditentukan dengan pengintegral persamaan percepatan
sudut.
                        =  0 +   t dt

Contoh:
1.   Jika kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :
     ω = (3 t2 + t ) rad/s, tentukan:
     a. kecepatan sudut saat t = 1 s
     b. kecepatan sudut saat t = 4 s
     c. percepatan sudut rata-rata dari t = 1 s hingga t = 4 s
     d. percepatan sudut saat t = 5 s
     e. posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 2 rad
     Jawab :
     a. ω = (3 (1)2 + 1 ) = 4 rad/s
     b. ω = (3 (4)2 + 4 ) = 52 rad/s
                  (52  4)
     c.  =       =          = 16 rad/s
               t    (4  1)
               d
     d.         = (6 t + 1) maka saat t = 5 s besar
               dt

                    (3t        t )dt
                           2
     e. θ = θo +

          θ = 2 + t3 + ½ t2 , saat t = 2 s, maka diperoleh
          θ = 12 rad

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                   36
                                                           Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.


2. Kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :
     ω = (4 t3 + 2t ) rad/s, maka tentukan :
     a. kecepatan sudut saat t = 1 s
     b. kecepatan sudut saat t = 2 s
     c. percepatan sudut rata-rata dari t = 1 s hingga t = 2 s
     d. percepatan sudut saat t = 2 s
     e. posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 5 rad
         Jawab :
         a.       ω = (4 (1)3 + 2.1 ) = 6 rad/s
         b.       ω = (4 (2)3 + 2.2 ) = 36 rad/s
                           (36  6)
         c.        =      =          = 30 rad/s2
                        t    (2  1)
                        d
         d.              = (12 t 2+ 2) maka saat t = 2 s besar
                        dt
                   = (12 2 2+ 2) = 50 rad/s2


                              (4t        2t )dt
                                     3
         e.       θ = θo +

                  θ = 5 + t4 + t2 , saat t = 2 s, maka diperoleh
                  θ = 25 rad


Uji Kompetensi
1.   Kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :
         ω = ( t3 + 2t +3 ) rad/s, maka tentukan :
         a.       kecepatan sudut saat t = 0 s
         b.       kecepatan sudut saat t = 4 s
         c.       percepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 4 s
         d.       percepatan sudut saat t = 2 s
         e.       posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 2 rad
2.   Percepatan sudut sebuah titik yang bergerak melingkar dinyatakan dengan
          = 3t + 2.dan kecepatan sudut awal 3 rad/s sedangkan posisi mula-mula 2 rad
     Tentukan :
     a. Persamaan kecepatan sudut sebagai fungsi waktu
     b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 3 s
     c. Persamaan vektor posisi sebagai fungsi waktu.
     d. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 2 s.


              Ulangan BAB 1
Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                         37
                                                          Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.


Soal-soal Uraian
Jawablah soal-soal berikut dengan tepat!
1.    Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (4,6). Nyatakan
      koordinat titik tersebut dalam koordinat polar!
2.    Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (2, 135°). Nyatakan koordinat
      tersebut dalam koordinat kartesius!
3.    Suatu titik A mempunyai kedudukan yang ditunjukkan koordinat kartesius (2,-4).
      Tentukan vektor posisi titik tersebut!
4.    Titik H mempunyai kedudukan (10, 60°). Tentukan vektor posisi titik tersebut!
5.    Titik N pada saat t = 0 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi
      (5,5) m. Tentukan:
      a. vektor perpindahannya
      b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x
      c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y
      d. besar perpindahannya
      e. arah perpindahannya
6.    Titik A mempunyai vektor posisi r = t 2 i + 2 t j. Tentukan:
      a. Vektor posisi awal (saat t = 0 s)
      b. Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 s
      c. Besar vektor perpindahannya
7.    Vektor posisi dari titik R dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur
      waktu, yaitu: r = 2t i + 4t2 j. Tentukan:
       a.      vektor perpindahan dari t = 1 s hingga t = 2 s
       b.      besar vektor perpindahan
8.    Vektor posisi W dinyatakan dalam r = (2 + 3t) i + 2t2 j. Tentukan besar vektor
      perpindahannya dari t = 0 s hingga t = 7 s !
9.    Vektor posisi A dinyatakan dalam r = t2 i – 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan
      arah perpindahannya dari t = 1 s hingga t = 5 s !
10.   Titik materi T pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada
      pada posisi (8,8) m. Tentukan:
       a.      vektor kecepatan rata-ratanya
       b.      besar vektor kecepatan rata-rata
11.    Titik I melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan:
       r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m.
       Tentukan :
       a.      vektor kecepatan saat t = 2 s
       b.      besar kecepatan saat t = 2 s

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                    38
                                                         Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

12.   Indah melempar benda dengan persamaan kecepatan v = (2t2 – 12) m/s.Tentukan
      perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 4 s !
13.   Fitri mengendarai sepeda dengan kecepatan seperti grafik berikut :




                                                            Grafik hubungan v dan t yang
                                                            menggambarkan gerakan
                                                            sepeda yang dilakukan Fitri




      Tentukan :
      a.      Jarak yang ditempuh setelah sepeda Fitri bergerak 7 s
      b.      Jarak total yang ditempuh Fitri selama 8 s
14.   Partikel D melakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan :
      r = ( 2 t2 i + t j ) m. Tentukan :
      a.      Vektor kecepatan sebagai fungsi waktu
      b.      Besar vektor kecepatan saat t = 2 s
15.   Titik materi I melakukan gerak sesuai grafik berikut.




                                                                Grafik v - t




      Tentukan :
      a.      Jarak yang ditempuh setelah t = 1 s
      b.      Jarak yang ditempuh setelah t = 3 s
      c.      Jarak yang ditempuh setelah t = 5,5 s
16.   Pak Karta menaiki motor dengan persamaan kecepatan
      v = ( 2t2 i + 8 t j ) m/s Tentukan:
      a.      vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
      b.      besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
17.   Percepatan yang dimiliki motor Dydy adalah a = t2 i + 3 t2 j
      Jika kecepatan awal motor Dydy adalah nol, tentukan kecepatan motor Dydy saat

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                 39
                                                          Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

      t=2s!
18.   Suatu benda dari keadaan diam dan mengalami percepatan seperti grafik berikut ini.




                                                                Grafik a – t untuk
                                                                menentukan kecepatan
                                                                sesaat




      Tentukan kecepatan saat 5 s !
19.   Sebuah titik D melakukan perpindahan yang ditunjukkan dengan vektor
      perpindahan sebagai berikut:
      r = (2 t2 + 3 t) i + (1 + 2 t3) j m
      Tentukan:
      a. vektor kecepatan saat t = 4 s
      b. vektor percepatan saat t = 2 s
20.   Sebuah bola ditendang Akmal dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal
      40 m/s. Tentukan:
      a. koordinat titik tertinggi
      b. koordinat titik terjauh
21.   Jika bola ditendang dengan kecepatan awal 20 m/s sehingga mengenai dinding
      setinggi 40 m dan jarak mendatar 40 m, maka tentukan sudut elevasinya!
22.   Jika Nambuhan menembakkan peluru dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal
      200 m/s, maka tentukan koordinat titik terjauhnya!
23.   Jika Hafidz melempar bola dengan vektor posisi r = 8 t i + (2 t2 -2) j, maka
      tentukan vektor posisi titik tertinggi yang dicapai bola.
24.   Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan:
      θ = (4 t2 + 5) rad, maka tentukan :
      a. posisi sudut saat t = 0 s
      b. posisi sudut saat t = 3 s
      c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 3 s
      d. kecepatan sudut saat t = 3 s
25.   Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar dinyatakan:
      θ = (2 t3 + 3 t2 + 2 t + 2 ) rad
      Tentukan :
      a. Kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s
      b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s
      c. Kecepatan sudut saat t = 2 s

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                   40
                                                         Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

     d. Percepatan sudut saat t = 2 s


Soal Pilihan Ganda
Pilihlah jawaban yang benar!
1.   Seorang anak mengendarai sepeda sejauh 3 km dengan arah 30° timur laut. Jika
     arah timur dijadikan sumbu x positif maka notasi vektor perpindahannya adalah....
     a. Δ r = (1,5     3 i + 1,5 j)                 d. Δ r = (3   3 i + 1,5 3 j)

     b. Δ r = (2,5     3 i + 1,5 j)                 e. Δ r = (3   3 i + 3 j)

     c. Δ r = (3     3 i + 1,5 j)
2.   Posisi dari suatu partikel memenuhi persamaan r = 2t + t2 dengan r dalam meter
     dan t dalam sekon. Kecepatan partikel saat t = 5 sekon adalah ....
     a. 3 m/s                                       d. 12 m/s
     b. 5 m/s                                       e. 15 m/s
     c. 8 m/s
3.   Sebuah sepeda bergerak dengan kecepatan 20 m/s dalam arah 210° berlawanan
     dengan arah jarum jam terhadap sumbu x positif. Komponen vektor kecepatan
     terhadap sumbu x dan sumbu y adalah ....
     a. vx = -10 m/s vy = - 5 m/s                   d. vx = -10   3 m/s vy = - 8 m/s

     b. vx = -10     3 m/s vy = - 5 m/s             e. vx = -10   3 m/s vy = - 10 m/s

     c. vx = -12 3 m/s vy = - 6 m/s
4.   Sebuah sepeda motor bergerak dalam sebuah kecepatan yang dilukiskan dengan
     grafik kecepatan terhadap waktu berikut ini:




     Besar perpindahan sepeda motor selama 15 sekon adalah ....
     a. 40 m                                        d. 400 m
     b. 100 m                                       e. 500 m
     c. 150 m
5.   Posisi ketinggian sebuah balon udara dinyatakan dalam persamaan : y = 20 t – 5t2,
     dengan y dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan awal balon adalah ....
     a. 2 m/s                                       d. 20 m/s
     b. 5 m/s                                       e. 50 m/s
     c. 10 m/s



Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                 41
                                                         Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

6.    Sebuah mobil mainan bergerak dengan persamaan kecepatan v = 3t2 – 6t – 9,
      dimana v dalam m/s dan t dalam sekon. Jarak yang ditempuh mobil mainan antara t
      = 1 s hingga t = 4 sekon adalah ....
      a. 10 m                                       d. 45 m
      b. 20 m                                       e. 47,5 m
      c. 23 m
7.    Sebuah sepeda motor bergerak dengan
      kecepatan yang digambarkan seperti
      grafik di samping.
      Besar percepatan saat t = 12 sekon
      adalah ....
      a. - 2 m/s2
      b. - 5 m/s2
      c. - 8 m/s2
      d. -10 m/s2
      e. -12 m/s2
8.    Seekor burung terbang dengan persamaan lintasan y = 27 t – t3, di mana y dalam
      meter dan t dalam sekon. Tinggi maksimum burung adalah ....
      a. 108 m                                      d. 27 m
      b. 81 m                                       e. 3 m
      c. 54 m
9.    Sebuah peluru ditembakkan sehingga mempunyai persamaan perpindahan sebagai
      berikut : r = 30 t i + (30 3 t – 5 t2) j, dengan r dalam meter, t dalam sekon, tinggi
      maksimum yang dicapai peluru adalah ....
      a. 135 m                                      d. 180      3 m

      b. 135        3 m                             e. 270 m
      c. 180 m
10.   Sebuah benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = 2t + 5 , di mana v dalam
      m/s dan t dalam sekon. Bila saat t = 0      benda berada pada x = 4 m, maka posisi
      benda saat t = 4 s adalah ....
      a. 20 m                                       d. 35 m
      b. 25 m                                       e. 40 m
      c. 30 m
11.   Roda sepeda berputar pada porosnya dengan persamaan posisi sudut θ = 3 t + 2 t2,
      di mana θ dalam radian, dan t dalam sekon. Posisi sudut saat t = 2 sekon adalah ....
      a. 3 rad                                      d. 14 rad
      b. 5 rad                                      e. 18 rad


Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                  42
                                                            Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

      c. 12 rad
12.   Jika roda mobil berputar dengan persamaan posisi sudut θ = 2 t + 2 t2, di mana θ
      dalam radian, dan t dalam sekon, maka kecepatan sudut roda mobil saat t = 2 sekon
      adalah ...
      a. 4 rad/s                                   d. 12 rad/s
      b. 7 rad/s                                   e. 15 rad/s
      c. 10 rad/s
13.   Jika persamaan kecepatan sudut suatu gerak melingkar dinyatakan dalam         ω = 3
      t2 + 2 t + 2, di mana ω dalam rad/s dan t dalam sekon, jika posisi sudut awal gerak
      melingkar 2 rad, maka posisi sudut gerak melingkar saat t = 1 s adalah ....
      a. 6 rad                                     d. 3 rad
      b. 5 rad                                     e. 2 rad
      c. 4 rad
14.   Sebuah peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo dan sudut elevasi α
      pada saat mencapai tinggi maksimum ...
      a. tenaga kinetiknya maksimum
      b. tenaga potensialnya maksimum
      c. tenaga potensialnya minimum
      d. tenaga totalnya maksimum
      e. kecepatannya maksimum
15.   Terhadap koordinat x horisontal dan y vertikal, sebuah benda yang bergerak
      mengikuti gerak peluru mempunyai komponen-komponen kecepatan yang ....
      a. besarnya tetap pada arah x dan berubah-ubah pada sumbu y
      b. besarnya tetap pada arah y dan berubah-ubah pada arah x
      c. besarnya tetap, baik pada arah x maupun pada arah y
      d. besarnya berubah-ubah, baik pada arah x maupun pada arah y
      e. besar dan arah terus-menerus berubah terhadap waktu
16.   Sebuah kapal laut sejauh 10 km dengan arah 53° timur laut. Jika arah timur
      dijadikan sumbu x positif, maka vektor perpindahannya adalah....
      a. Δ r = (0,6 i + 0,8 j)                     d. Δ r = (60 i + 80 j)
      b. Δ r = (0,8 i + 0,6 j)                     e. Δ r = (80 i + 60 j)
      c. Δ r = (6 i + 8 j )
17.   Posisi suatu partikel memenuhi persamaan r = 3t + 2t2 dengan r dalam meter dan t
      dalam sekon.Kecepatan partikel saat t = 5 sekon adalah ....
      a. 28 m/s                                        d.     15 m/s
      b. 25 m/s                                        e.     12 m/s
      c. 23 m/s



Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                  43
                                                          Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

18.   Posisi ketinggian sebuah balon udara dinyatakan dalam persamaan : y = 50 t – 5t2,
      dengan y dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan awal balon adalah ....
      a. 2 m/s                                      d. 20 m/s
      b. 5 m/s                                      e. 50 m/s
      c. 10 m/s
19.   Sebuah anak panah meluncur dengan persamaan kecepatan v = 3t2 – 6t – 9, dimana
      v dalam m/s dan t dalam s. Jarak yang ditempuh mobil mainan antara t = 1 s hingga
      t = 4 sekon adalah ....
      a. 10 m                                       d. 45 m
      b. 20 m                                       e. 47,5 m
      c. 23 m
20.   Seekor burung terbang dengan persamaan lintasan y = 20 t – t2, dimana y dalam
      meter dan t dalam sekon. Tinggi maksimum burung adalah ....
      a.   100 m                                    d. 16 m
      b.   20 m                                     e. 3 m
      c.   19 m
21.   Sebuah peluru ditembakkan sehingga mempunyai persamaan perpindahan sebagai
      berikut : r = 30 t i + (20 t – 5 t2) j, dengan r dalam meter, t dalam sekon, tinggi
      maksimum yang dicapai peluru adalah ....
      a. 13 m                                       d. 80 m
      b.   20 m                                     e. 200 m
      c.   60 m
22.   Sebuah benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = 2t + 10 , dimana v dalam
      m/s dan t dalam sekon. Bila saat t = 0      benda berada pada x = 6 m, maka posisi
      benda saat t = 2 s adalah ....
      a. 20 m                                       d. 35 m
      b. 25 m                                       e. 40 m
      c. 30 m
23.   Roda sepeda berputar pada porosnya dengan persamaan posisi sudut θ = 4 t + 2 t2,
      dimana θ dalam radian, dan t dalam sekon. Posisi sudut ketika kecepatan sudut
      mencapai maksimum adalah adalah ....
      a. 3 rad                                      d. 14 rad
      b. 6 rad                                      e. 18 rad
      c. 12 rad
24 . Jika persamaan kecepatan sudut suatu gerak melingkar dinyatakan dalam ω = 3 t2 +
      2, dimana ω dalam rad/s dan t dalam sekon, jika posisi sudut awal gerak melingkar
      3 rad, maka posisi sudut gerak melingkar saat t = 1 s adalah ....
      a. 6 rad                                      d. 3 rad

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                  44
                                                                 Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

      b. 5 rad                                          e. 2 rad
      c. 4 rad
25.   Gerak sebuah benda memiliki persamaan posisi r = (8t – 4 ) i + (-3t2 + 6 t ). Semua
      besaranmenggunakan satuan dasar SI. Dari pernyataan berikut :
               1. benda bergerak lurus berubah beraturan
               2. memiliki koordinat awal ( -4, 0)m
               3. setelah 1 s perpindahannya 5 m
               4. setelah 1 s kecepatannya menjadi 8 m/s.
               Pernyataan yang benar adalah :
      a. 1, 2 dan 3                                     c. 1 dan 4
      b. 1 dan 3                                        d. 2 ,3 dan 4
      e. 2 dan 4
26.   Posisi sudut sebuah partikel pada tepi sebuah roda yang sedang berputar dinyatakan
      oleh θ = 4 t – 3 t2 + t3 , dengan θ dalam radian dan t dalam sekon. Kecepatan sudut
      ratarata antara t = 0 sampai t = 2 sekon adalah ...rad/s
      a. 1                  b. 2            c.3             d. 4            e. 5
27.   Sebuah peluru ditembakan dengan sudut elevasi 370 dan kecepatan awal 50 m/s.
      Maka perbandingan tinggi peluru ketika t= 1s dan t = 2s adalah .....
      a. 1/5                b. ¼          c. 3/4        d. 3/5     e. 5/8
28.   Sebuah 2 bola kasti menggelinding masing-masing kecepatan v1 dan v2 dengan arah
      mendatar jatuh dari lantai satu h1 = 2h dan lantai dua h2 =3h. Membentuk lintasan
      parabola. Maka perbandingan v1/v2 adalah ......
      a.     3/ 2 .          b. 2 / 3 .           c. 3 /2            d.2 3 /3         e. 1
29.   Suatu benda dikatakan bergerak melingkar beraturan bila ....
               1. perpindahannya konstan
               2. kecepatan sudutnya konstan
               3. momentum liniernya konstan
               4.percepatan sudutnya konsta
             Pernyataan yang benar adalah ...
      a. 1, 2 dan 3        b. 1 dan3       c. 2 dan 4       d. 4        e. 1, 2 , 3 dan 4
30.   Sebuah peluru ditembakkan dengan arah horisontal dan dengan kecepatan awal v
      dari ketinggian awal h dari permukaan tanah. Jarak horisontal yang ditempuh
      peluru tergantung pada ....
               1. kecepatan awal v
               2. ketinggian h
               3. percepatan gravitasi
               4. massa peluru
               Pernyataan yang benar adalah :

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.                        45
                                               Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

    a. 1, 2 dan 3   b. 1 dan3   c. 2 dan 4   d. 4    e. 1, 2 , 3 dan 4




Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.          46

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:0
posted:7/22/2013
language:Latin
pages:46
About tagged-basistik.blogspot.com,free-pdf-doc-xls-ppt.blogspot.com,fisika-basistik.blogspot.com,soccers-basistik.blogspot.com,pharaswork.blogspot.com