Docstoc

Trigonometri+kelas-X

Document Sample
Trigonometri+kelas-X Powered By Docstoc
					                               TRIGONOMETRI


A.    • Pengukuran Sudut : Derajat dan Radian


                             2 π radian = 360O
                              π radian = 180O ⇒ 1O =       radian

                              1 radian =         atau 1 radian = 57,3O




 B.                                               Siku-siku
       • Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku


           Perbandingan trigonometri bergantung pada besarnya sudut, bukan bergantung
           pada panjang sisi. Sehingga perbandingan trigonometri merupakan fungsi dari θ
           (besar sudut)
           Perbandingan antar sisi segitiga siku
                                            siku-siku :                          C
                                                                              β
           1. Sinus
               Sinus suatu sudut adalah perbandingan antara
                            siku-siku dihadapan suatu
               panjang sisi siku
               sudut tersebut dengan hipotenusa
                                                              θ
               ( sin θ = dan sin β = )                      A                    B
           2. Kosinus
                                                                           siku-siku yang
               Kosinus suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi siku
               mengapit sudut tersebut dengan hipotenusa            ( cos θ =   dan cos β = )
           3. Tangen
                                                                         siku-siku dihada-
              Tangen suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi siku
                               siku-siku yang mengapit sudut tersebut ( tan θ =
               pan dengan sisi siku                                                  tan β =    )
           4. Kosekan
              Kosekan merupakan kebalikan dari sinus
               ( cosec θ =     dan cosec β = )
           5. Sekan
              Sekan merupakan kebalikan dari kosinus
               ( sec θ =     dan sec β =     )
           6. Kotangen
              Kotangen merupakan kebalikan dari tangent
               ( cot θ =     dan cot β = )




       1   http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
            Perbandingan trigonometri dengan menggunakan lingkaran.


                  y+                  p (x , y)                                         p (x , y)

                                                                    r
                                  y                                                      y
                        A                   x+
                      0 x                                    A
       x-
                                                        0               x


                        y-



                                                                   jari-jari
            Perbandingan trigonometri berdasarkan lingkaran dengan jari jari :
                                ordinat                                           absis
            sin A =         =                           cotan A =           =
                                    -jari
                                jari-                                            ordinat
                                  absis                                         jari-jari
            cos A =         =                           cosec A =           =
                                jari-jari
                                jari                                            ordinat
                                ordinat                                         jari-jari
            tan A =         =                           sec A       =       =
                                 absis                                           absis




C .                               Sudut-sudut Khusus
      • Perbandingan Trigonometri Sudut



                                  0O              30O       45O                   60O               90O

              sin θ
                                                   1
                                      0                                                              1
                                                   2

              cos θ
                                                                                    1
                                      1                                                              0
                                                                                    2

              tan θ
                                                  1
                                      0             3           1                                    –
                                                  3




D.    • Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

            Sumbu koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat bagian yang disebut
            kuadran.
            1. Kuadran pertama ( 0 < θ < 90O )
            2. Kuadran kedua ( 9 < θ < 180O )
            3. Kuadran ketiga ( 180 < θ < 270O )
            4. Kuadran keempat ( 270 < θ < 360O )



       2    http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
    Perbandingan trigonometri sudut di kuadran pertama

       sin θ = cos ( 90O – θ )                                Tanda
       cos θ = sin ( 90O – θ )                     sin θ       cos θ   tan θ
       tan θ = cot ( 90O – θ )      Kuadran I       +           +       +


    Perbandingan trigonometri sudut di kuadran kedua

      sin ( 180O – θ ) = sin θ                                Tanda
      cos ( 180O – θ ) = – cos θ                   sin θ       cos θ   tan θ
      tan ( 180O – θ ) = – tan θ   Kuadran II        +          –        –

    Perbandingan trigonometri sudut di kuadran ketiga

      sin ( 180O + θ ) = – sin θ                              Tanda
      cos ( 180O +θ ) = – cos θ                    sin θ       cos θ   tan θ
      tan ( 180O + θ ) = tan θ     Kuadran III       –          –        +

    Perbandingan trigonometri sudut di kuadran keempat

      sin ( 360O + θ ) = – sin θ                              Tanda
      cos ( 360O +θ ) = – cos θ                    sin θ       cos θ   tan θ
      tan ( 360O + θ ) = tan θ     Kuadran IV        –          +        –

    Perbandingan trigonometri sudut negatif
    sin (– α) = – sin α           cot (– αO) = – cot αO
    cos (– α) = cos α             sec (– αO) = sec αO
    tan (– α) = – tan α           cosec (– αO) = – cosec αO

    Perbandingan sudut yang lebih dari 360O
    a. sin ( n . 360O + αO ) = sin αO
    b. cos ( n . 360O + αO ) = cos αO
    c. tan ( n . 360O + αO ) = tan αO
    d. cot ( n . 360O + αO ) = cot αO
    e. sec ( n . 360O + αO ) = sec αO
    f. cosec ( n . 360O + αO ) = cosec αO

    Grafik fungsi Trigonometri
    a. Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus dan kosinus :
        1. Nilai maksimum sin αO sama dengan 1, dicapai untuk αO = 90O + n . 360O
             nilai minimum sin αO sama dengan –1, dicapai untuk αO = 270O + n . 360O
             jadi , –1 ≤ sin αO ≤ 1 untuk tiap sudut αO
        2. Nilai maksimum cos αO sama dengan 1, dicapai untuk αO = n . 360O
             nilai minimum cos αO sama dengan –1, dicapai untuk 180O + n . 360O
        3. tan αO tidak mempunyai nilai maksimum maupun minimum.



3   http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
                   fungsi
         b. Fungsi-fungsi trigonometri sinus, kosinus dan tangent merupakan fungsi periodik
            atau fungsi berkala.
            1. Fungsi sinus y = sin xO dan fungsi kosinus y = cos xO mempunyai periode 360O
            2. Fungsi tangent y = tan xO mempunyai periode 180O


E.   • Persamaan Trigonometri Sederhana


         Sin x = sin α
             x1 = α + k . 360O
         x2 = (180O – α ) + k . 360O        k ∊ bilangan bulat

         Cos x = cos α
         x = ± α + k . 360O                 k ∊ bilangan bulat

         tan x = tan α
         x = α + k . 180O                   k ∊ bilangan bulat



F.   • Koordinat Kutub



                                                          ,
         Jika koordinat Cartesius titik P adalah ( x , y ), maka koordinat kutub titik P adalah ( r
         , θ ) dimana r =             dan tan θ =
         Jika koordinat kutub diketahui P ( r , θ ); maka dalam bidang Cartesius koordinat P
                          ,
         adalah ( r cos θ, r sin θ )


G.   • Identitas Trigonometri


                                                 s   θ
         Sin2 θ + cos2 θ = 1
                                                 cos θ
                                       tan θ =         , cos θ ≠ θ
                                                     1                 1
         1 + tan2 θ = sec2 θ           cot θ =           ,   sec θ =           , dan
                                                 tan θ                     θ
                                                         1
         1 + cot2 θ = cosec2 θ         cosec θ =
                                                             θ



I.   • Aturan Sinus dan Kosinus dalam Segitiga

         Aturan sinus
              =     =
         sin A sin B sin C




     4   http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
                                                       C

                                                                   B
                Aturan kosinus
                 2   2   2
                   = + – 2 cos A
                 2
                   = 2 + 2 – 2 cos B
                 2
                   = 2 + 2 – 2 cos C

                                                           A



J.        • Luas Segitiga



                       1
                                                           B
          L ∆ ABC = 2 bc sin A
                       1
          L ∆ ABC = 2 ab sin C
                       1
          L ∆ ABC = ac sin B
                       2
                                                  A        D   C

                           a2 sin B sin C
          Luas ∆ ABC =
                              2 sin A
                           b2 sin A sin C
          Luas ∆ ABC =
                               2 sin B
                           c2 sin A sin B
          Luas ∆ ABC =
                               2 sin C


                           a
          Luas ∆ ABC = s s-a s-b (s-c)
                           1
          Dengan s = ( a + b + c )
                           2




K.        • Latihan



 LATIHAN 1

 1. Ubahlah kedalam ukuran radian
    a. 30O                f. 300O
    b. 45O                g. 50O
           O
    c. 120                h. 315O
           O
    d. 150                i. 330O
    e. 210O               j. 108O
 2. Ubahlah ke dalam ukuran derajat
                                            π radian
          π
     a.
          6
              radian               f.
                                            π radian
          π
     b.       radian               g.
          3
     c.       π radian             h.       π radian


          5    http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
    d.       π radian             i.           π radian
                                               π radian
         π
    e.       radian               j.



LATIHAN 2

1. Diketahui segitiga siku-siku seperti tampak pada gambar. Tentukan keenam perbandingan
   trigonometri untuk sudut A.

         C


  3 cm


         B            4 cm                 A
                      2
2. Jika sin θ = , tentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya !
                   2
3. Manakah sisi didepan, sisi di dekat dan hipotenusa untuk setiap sudut lancip yang diberi
   tanda dalam segitiga berikut :
   a. B                   b.                       c.
                                                 R
                                                                                     Z
                                                                     X


                                       P
         A                C                                  Q
                                                                                 Y

4. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A pada setiap gambar berikut :
   a.                     b.                      c.
                          B                C                                 B       C
              17
                                                         3               2
                              8
                                                                                 3
     A                    C                B         1           A           A
5. Diketahui ∆ ABC siku-siku di B. Jika AB = 1 cm dan AC = 3 cm, hitunglah semua perbandingan
   trigonometri ∠ CAB !

                                                                                         1
6. Diketahui salah satu sudut segitiga siku-siku ABC adalah θ. Jika diketahui sin θ = 2 dan pan-
   jang sisi siku-siku dihadapan θ adalah 4 cm, hitunglah cos θ , tan θ , cot θ, sec θ dan cosec θ !


7. Segitiga ABC siku-siku di C dan αo menyatakan besar sudut A. Carilah perbandingan trigono-
   metri sudut αo, jika diketahui panjang sisi-sisinya sebagai berikut :
   a.    = 3 dan = 12               c. = 2 dan = 2 5
   b.    = 4 dan = 6                d. = 5 dan = 13




         6    http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
LATIHAN 3

1. Hitunglah !
   a. sin 60O + cos 45O
   b. sin 60O cos 30O + cos 60O sin 30O
   c. sin 30O + tan 45O
   d. sin 30O cos 60 O + cos 45O
   e. sin 30O cos 45O tan 60O
2. Diantara tiap perbandingan trigonometri berikut ini manakah yang bertanda positif dan ma-
   nakah yang bertanda negatif ?
   a. sin 105O            e. tan 98O             i. sec 144O
              O                      O
   b. sin 330             f. tan 281             j. sec 195O
   c. cos 72O             g. cot 87O             k. cosec 312O
               O                     O
   d. cos 236             h. cot 269             l. cosec 80O

3. Diketahui tan αo = − , αo sudut di kuadran IV. Hitunglah !
                                   5
                       12
   a. sin αo              d. sec αo
   b. cos αo              e. cosec αo
           o
   c. cot α

4. Diketahui sin αo = − dan tan αo bernilai positif, tentukan !
                               3

   a. cos αo             d. cosec αo
           o
   b. cot α              c. sec αo
5. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan trigonometri sudut kom-
   plemennya !
   a. sin 36O           b. cos 42O              c. tan 53O
6. Hitunglah nilai dari :
   a. sin 120O                         b. cos 135O             c. tan 150O
7. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut
   lancip !
   a. sin 235O          c. tan 198O            e. sec 249O
              O                    O
   b. cos 204           d. cot 261             f. cosec 212O
8. Hitunglah !
   a. sin 240O                         c. tan 210O             e. cos 315O
   b. cos 225O                         d. sin 330O             f . tan 300O
9. Hitunglah !
   a. sin (– 30O)                      c. tan (– 45O)          e. cos (– 225O)
   b. cos (– 60O)                      d. sin (– 240O)         f. cos (– 315O)
10. Hitunglah !
    a. sin 390O                        g.   cos 1.050O         m. sin 1.230O
    b. cos 405O                        h.   cos 1.110O         n. tan 1.410O
    c. tan 420O                        i.   tan 1.395O         o. tan 1.470O
    d. sin 480O                        j.   tan 1.485O
    e. cos 510O                        k.   sin 855O
    f. tan 585O                        l.   cos 930O
                               π               π           π
11. Carilah nilai dari sin (
                               6
                                       ) cos       – tan
                                               4



        7   http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
      LATIHAN 4
      1. Carilah nilai maksimum dan nilai minimum dari tiap fungsi trigonometri berikut ini :
          a. y = 3 sin xO                e. y = – 2 cos xO
                 1
          b. y = 2 cos xO                f. y = cos xO – 2
          c. y = sin xO – 1              g. y = 1 + 2 sin xO
                                                      1
          d. y = cos xO + 2              h. y = – 3 + 2 cos xO

      2. Salin dan lengkapilah tabel-tabel berikut :
a.
                                π           π           π        π            π       π               π           π           π           π           π            π
                            1           1           1                     5                       7           4           3           5           1
          x           0

     y=sin x
b.
                                    π           π           π         π           π       π               π           π           π           π            π           π
                                1           1           1         2           5                       7           4           3           5           1
          x           0                                           3
                                6           3           2                     6                       6           3           2           3

     y=cos x
c.
                                    π           π           π         π           π         π             π           π
                                1           1                                 5                       7
          x           0

     y=tan x


              Dari tabel diatas, gambarlah grafik fungsi trigonometri berikut, dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π
              !
              a. y = sin x           b. y = cos x             c. y = tan x
      3. Salin dan lengkapilah table berikut, kemudian gunakanlah hasilnya untuk menggambar grafik
         fungsi trigonometri :
         a. y = sin x            b. y = cos x            c. y = tan x
         dalam interval 0O ≤ x ≤ 360O
a.
                  O         O           O           O             O           O           O               O           O               O           O            O           O
      x           0       30        60          90          120           150         180         210             240         270             300         330      360

              O
 y=sin x
b.
                  O         O           O           O             O           O           O               O           O               O           O            O           O
      x           0       30        60          90          120           150         180         210             240         270             300         330      360

              O
 y=cos x
c.
                  O         O           O               O            O            O           O               O           O
      x           0       45        90          135             180       225         270             315         360

              O
 y=tan x




                  8       http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
LATIHAN 5
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut, untuk 0O ≤ x ≤
    360O
                                            1
    a. sin xO = sin 15O         k. sin xO = 2
                                                         1
   b. sin xO = sin 180O                     l. cos 3xO = 2
   c. sin xO = sin 50O                      m. tan xO = 3
                                                        1
   d. cos xO = cos 40O                      n. cos xO = 2 3
                                            o. cos ( xO) – 2 2 = 0
                                                             1
   e.   tan xO = tan 35O
   f.   sin ( xO – 10O ) = sin 35O          p. tan ( 4xO ) + 1 = 0
   g.   cos (– xO) = cos 50O                q. sin ( xO + 30O ) –1 = 0
        cos (x + 20O) = cos 70O             r. cos (xO – 15O) + 2 3 = 0
                                                                  1
   h.
   i.   tan ( xO– 30O) = tan 20O            s. 2 sin ( x + 30O ) –1 = 0
   j.   tan 4x = tan xO
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2 π :
          1                                 1
   a. sin 2 xO = sin            d. cos 3x = 2 3
   b. sin ( x – π ) = sin
                                 π                           π
                                            e. tan ( 2x – ) = 1
                                 3                           6
                                            f. 2 cos ( 2x – π )
                     π     1                                     5
   c. sin ( 2x – ) = 2 2                                         6
                     4

LATIHAN 6
1. Ubahlah koordinat titik berikut kedalam koordinat kutub :
    a. A ( 2 , 2 )                  d. D ( 3 , – 1 )
    b. B (– 2 , 2 3 )               e. E ( 3 , 3 3 )
    c. C (– 6 , – 6 )
2. Ubahlah koordinat titik berikut kedalam koordinat cartesius :
   a. A ( 3 , 45O )                 d. D ( 5 , 315O )
                 O
   b. B ( 3 , 120 )                 e. E ( 4 , –30O )
                    O
   c. C ( 2 , –120 )
                           3
3. Diketahui sin α = dan 0O < α ≤ 90O . Hitunglah :
                           5
   a. cos αO                         b. tan αO

4. Jika diketahui tan A = − dan 90O < A < 180O , hitunglah :
                                      5
                           12
   a. sec A                b. sin A
5. Diketahui cosec β = 2 dan β di kuadran II, hitunglah :
   a. Cot β                b. sin β                 c. cos β
6. Buktikan !
        cot ∝ . sec2 ∝o
   a.                          = tan αO
            1+ cot2 ∝o

            sin x+ tan x
   b.                          = sin x tan x
        cotan x+cosec x




        9    http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
LATIHAN 7
1. Tulislah aturan sinus yang berlaku pada tiap segitiga berikut :

    a.            F                            b.   R


     e                        d



    D                 f                E                  P                  Q

2. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A = 50O, panjang sisi a = 4 cm, dan panjang sisi b = 5 cm.
    Tentukan besar sudut B !
3. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A = 30O, b = 4 dan a = 3. Hitunglah unsur-unsur yang be-
    lum diketahui.
4. Dalam segitiga ABC, diketahui panjang sisi b = 5, sisi c = 6 dan besar     ∠ A = 52O . Hitunglah
    panjang sisi a !
5. Dalam ∆ ABC diketahui panjang sisi a = 7, sisi b = 8 dan sisi c = 9 , hitunglah besar ∠ A, ∠ B
    dan ∠ C !
6. Dalam ∆ ABC, diketahui panjang sisi a = 4 cm, sisi b = 6 cm dan besar ∠ C = 30O. Hitunglah
    luas ∆ ABC tersebut !
7. Jajaran genjang ABCD memiliki panjang AB = 8 cm, AD = 6 cm dan besar ∠ BAD = 6 O. Hitun-
    glah luas jajaran genjang ABCD.
8. Dalam segitiga PQR diketahui panjang PQ = 10 cm dan PR = 8 cm, Jika luas ∆ PQR itu sama
    dengan 30 cm2, hitunglah besar ∠ P !
9. Hitunglah luas ∆ ABC jika ∠ A = 40O , ∠ C = 65O dan sisi b = 8 cm
10. Hitunglah luas ∆ ABC berikut jika diketahui :
    a. Panjang sisi a = 5 cm, panjang sisi b = 6 cm dan panjang sisi c = 7 cm
    b. a = 4 cm, b = 5 cm, dan c = 7 cm
    c.         C

              1                   √3


         A                                 B
                          2
11. Dari sebuah titik dipermukaan tanah, puncak dari sebuah pohon terlihat dengan sudut ele-
    vasi 40O . Jarak horizontal dari titik itu ke pohon sama dengan 15 m. Berapa meterkah tinggi
    pohon tersebut ?
12. Sebuah tiang bendera berdiri tegak pada tepian sebuah gedung bertingkat. Dari suatu tem-
    pat yang berada ditanah titik pangkal tiang terlihat dengan sudut elevasi 60O dan titik ujung
    tiang bendera terlihat dengan sudut elevasi 70O. Jika jarak horizontal dari titik pengamatan
    ketepian gedung sama dengan 10 meter, berapa meterkah tinggi tiang bendera tersebut ?
13. Ali, Badu dan Carli sedang bermain disebuah lapangan yang mendatar. Dalam situasi terten-
    tu, posisi Ali, Badu dan Carli membentuk sebuah segitiga. Jarak Badu dari Ali 10 m, jarak Carli
    dan Ali 15 m dan jarak Carli dari Badu 12 m. Berapakah besar sudut yang dibentuk oleh Ba-
    du, Ali dan Carli dalam posisi tersebut ?




         10   http://matematikasmun1dk.blogspot.com/

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:1
posted:7/9/2013
language:Malay
pages:10