Docstoc

mtk

Document Sample
mtk Powered By Docstoc
					                   MATRIKS




                   Disusun Oleh :

            Tiko Pangesthu   1103010035




                FAKULTAS TEKNIK
               PRODI TEKNIK SIPIL
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2013/2014
Pengertian Matriks
Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan
ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.
Penulisan matriks:


         atau
Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan
banyaknya kolom (n).


                  Matriks di atas berordo 3x2.



Jenis-jenis Matriks

Jenis-jenis matriks dapat dibagi berdasarkan ordo dan elemen / unsur dari
matriks                                                         tersebut.

Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

      Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau
       banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yang terdapat dalam
       mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi
       berordo n.

       Contoh :




      Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu
       baris
       Contoh : A = ( 2 1 3 -7 )


      Matriks Kolom adalah Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu
       kolom.

       Contoh :




      Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari
       banyaknya kolom.

       Contah :




      Matriks datar adalah Matriks     yang banyaknya baris kurang dari
       banyaknya kolom.

       Contoh :




Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks dapat di bagi menjadi
beberapa jenis yaitu :


      Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n,
       ditulis dengan huruf O.
      contoh :




     Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua
      unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

      Contoh :




     Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur
      dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

      Contoh :




    Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D
disebut matriks segitiga atas.


     Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal
      utama semuanya sama.

      Contoh :
      Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-
       unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

       Contoh :




      Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris
       ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i
       sehingga aij = aji .

       Contoh :




Operasi Matriks
1. Penjumlahan dan pengurangan Matriks

  Syarat : ukuran matrik harus sama.
  Jika A = (aij) dan B = (bij), matrik berukuran sama,

  maka A + B/ A - B    adalah suatu matrik C = (cij)

   dimana cij = aij + bij / aij - bij untuk setiap i dan j
   Contoh :
   Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks
   1) A + B = B = A              ( Sifat Komutatif )
   2) (A + B) + C = A + ( B + C)  ( Sifat Asosiatif )
   3) A + 0 = 0 + A = A          ( Sifat Identitas tambah )


2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Jika A suatu ordo m x n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar),
maka kA adalah metriks ordo m x n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan
memperkalikan setiapunsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut
perkalian skalar.

Jadi




Contoh :




Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.

Jika a dan b bilangan real, maka :
1) ( a + b )A = aA + bA
2) a ( A + B ) = aA + aB
3) a( bA )      = (ab)A
Invers Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku                              maka
dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis   .
Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular,
sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.

Jika            dengan               , maka invers dari matriks A (ditulis       )
adalah sebagai berikut:




Jika              maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut
matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:




Contoh: Tentukan invers dari matriks berikut!




Determinan Matriks
Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus

merupakan matriks persegi. Jika                 , maka rumus untuk mencari
determinan matriks berordo 2×2:
Sedangkan untuk mencari determinan matriks berordo 3×3 menggunakan aturan
Sarrus.

Contoh: Tentukan determinan dari matriks berikut!




Rank matriks
Jika determinant sebuah matrix adalah nol, berarti matrix tersebut singular.
Singular berarti tidak bisa diinverse, karena inverse matrix menggunakan
1/determinant. Bayangkan 1/0 nilainya berapa?
Deterimant matrix yang bernilai nol juga merupakan matrix yang tidak
independetn, sehingga tidak mempunyai Rank.
Contohnya adalah matrix di bawah ini



determinant dari matrix di atas adalah
Sedangkan definisi Rank itu sendiri adalah seberapa banyak row (baris) pada
suatu matrix yang independent atau seberapa banyak jumlah kolom yang
independent.
Contohnya matrix di bawah ini




Matrix di atas memilki 4 buah kolom yang berbeda nilainya berarti independent.
Jadi apakah rank nya 4?
Ternyata belum selesai analisa kita, kita harus perhatikan juga row (baris) dari
matrix tersebut. Ternyata ada 2 baris yang nilainya tidak independent.
Perhatikan baris pertama yang bernilai               dan baris keempat yang
bernilai            . Maka bisa kita lihat hubungannya atau ketergantungannya
atau ketidak-independent-nya.
Karena jumlah kolom yang independent ada 4, sedangkan jumlah baris yang
idependent ada 3, maka Rank Matrix ini adalah bernilai 3.



Operasi Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks
sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich
Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks
tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah
satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks
teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris,
lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear




Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:




Operasikan Matriks tersebut                      B1 x 1 , Untuk mengubah
a11 menjadi 1




                  B2 - 1.B1 , Untuk mengubah a21 menjadi 0




                   B3 - 2.B1 , Untuk mengubah a31 menjadi 0
                    B2 x 1 , Untuk mengubah a22 menjadi 1




                  B3 + 3.B2 , Untuk mengubah a32 menjadi 0




                 B3 x 1/3 , Untuk mengubah a33 menjadi 1 (Matriks
menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu




Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:




Jadi nilai dari       ,       ,dan

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya
lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi
Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat
digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan
menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke
dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi
matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-
variabelnya tanpa substitusi balik.




Contoh: Diketahui persamaan linear
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:




Operasikan Matriks tersebut




                         B2-2.B1




                       B3-2.B1




                       B3-3.B2




               B3/8 dan B2/-1




                  B2-4.B3




                  B1-3.B3




                  B1-2.B2
(Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari         ,       ,dan
Aplikasi dalam teknik sipil

DETERMINAN MATRIK

Contoh :
         a    a          a    a
1.   A   11 12  Det A  11 12  a11 a 22 - a12 a 21
         a 21 a 22       a 21 a 22




         2 1         2 1
2.   A      Det A  3 3  2 3 - 1 3  6 - 3  3
         3 3




Cara Sarrus

Menurut Sarrus :

Det A =         ( a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 )

           -     ( a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12 )
Contoh:

              2 3 3 
              
Matriks [A] = 1 5 1
                     
                    
              3 2 4
                    

               2 3 3       2 3
Det A = 1        5 1       1 5  (2.5.4 + 3.1.3 + 3.1.2) – (3.1.4 + 2.1.2 + 3.5.3)
               3 2 4       3 2

          = (40 + 9 + 6) – (12 + 4 + 45) = (55 – 61) = - 6



Cara minor dan kofaktor

          J = 1,2 .....n
                    n
      Det A   a ij K ij             Untuk n > 1
                   i 1
Kofaktor Kij dapat dicari dengan mempergunakan minor Mij


         Kij  (-1) i  jMij


Mij adalah minor dari koefisien aij yang merupakan nilai determinan setelah baris
ke i dan kolom ke j dari matriks A dihilangkan.


                      1             2    3
Contoh 2 :        A  4
                                    5    6
                                           
                                                          5 6
                                                    M11     
                      7
                                    8    9
                                                         8 9



Contoh 3 : mencari determinan dengan memakai cara Minor dan Kofaktor
                   1            2    3    4
                   2            1    0    3
               A                          
                   3            2    1    0
                                           
                   2            4    0    1




                        4
           Det A      
                       i 1
                               a ij K ij ; j  1,2,3,4


          Nilai Det A dapat dicari menggunakan salah satu uraian dari baris
pertama, kedua, ketiga dan keempat atau salah satu uraian dari kolom ke 1, 2, 3,
atau 4.
Untuk uraian dari baris pertama menghasilkan :

          Det A = a11K11 + a12K12 + a13K13 + a14K14

Kofaktor dari K11, K12, K13, K14, dapat dicari dengan

                              Kij = (-1)i +j Mij

Jadi :
                              1 0 3
                      11
         K 11  (-1)          2 1 0         - 11 (dengan metode Sarrus)
                              4 0 1
                        2 0 3
                 1 2
     K 12  (-1)        3 1 0      4
                        2 0 1



                        2 1 3
                 1 3
     K13  (-1)         3 2 0     -2
                        2 4 1




                        2 1 0
                 1 4
     K14  (-1)         3 2 1     6
                        2 4 0


Det A = a11K11 + a12K12 + a13K13 + a14K14

       = (1) (-11) + (2)(4) + (3)(-2) + (4)(6)

       = 15

Dengan menggunakan uraian kolom pertama, atau kolom lain atau baris lain,
didapat juga harga Det A = 15 tersebut diatas.



MATRIKS INVERSI



Contoh :
            2 4 2
       A   3 1 8
                 
            5 6 0
                 

       Invers matriks bisa dihitung dengan cara mencari Adjoint matriks dibagi
dengan determinannya, cuma bisa untuk matriks yang memiliki determinan.

       Determinan matriks A: (dengan cara Sarrus) didapat Det. A = 90
                             K 11   K 12   K 13 
                            
Adjoint matriks A = Adj. A = K 21    K 22   K 23  dengan Kij adalah kofaktor.
                                                
                             K 31
                                    K 32   K 33 
                                                 



K11 = (-1)1+1. det (M11)

       1 8
    = 
         6 0
              = - 48
           

K12 = (-1)1 + 2. det (M12)

              3 8
    = ( - 1)      = 40
              5 0

K13 = (-1)1 + 3. det (M13)

           3 1
    = (1)      = 13
           5 6

K21 = (-1)2+1. det (M21)

                 4 2
    = ( - 1)         = 12
                6 0 

K22 = (-1)2+2. det (M22)

        2 2
    =       = - 10
       5 0 

K23 = (-1)2+3. det (M23)

               2 4
    = (- 1)        =8
              5 6 

K31 = (-1)3+1. det (M31)

        4 2
    =       = 30
       1 8 

K32 = (-1)3+2. det (M32)
                    2 2
           = ( - 1)     = - 10
                   3 8 

       K33 = (-1)3+3. det (M33)

              2 4
           =      = - 10
             3 1 

          48 40   13 
Adj. A =
          12  10 8 
                      
          30  10  10
                      

                           48 40   13 
                           12  10 8 
                                               0.53 0.44   0.14 
                           30  10  10
                                               0.13  0.11 0.09 
Invers dari matriks A =                       =
                                   90                              
                                                 0.33  0.11  0.11
                                                                   




Daftar pustaka

http://hmmusu.blogspot.com/2010/07/jenis-jenis-matriks.html

http://hmmusu.blogspot.com/2010/07/operasi-matriks.html

http://dumatika.com/invers-dan-determinan-matriks/

http://rezakahar.wordpress.com/2012/12/21/rank-pada-sebuah-matrix/

http://chortle.ccsu.edu/vectorlessons/vmch16/vmch16_15.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear

modul kuliah analisa striktur pak M. Agus Salim, ST.MT

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:0
posted:5/31/2013
language:
pages:16