DISTRIBUSI PROBABILITAS

Document Sample
DISTRIBUSI PROBABILITAS Powered By Docstoc
					      BAHAN AJAR
      STATISTIKA
      (110111062)




  Distribusi Probabilitas

         Disusun oleh:
       Eddy Winarno




FAKULTAS TEKNOLOGI MINERAL
UPN “VETERAN” YOGYAKARTA
            2009
Pokok Bahasan                : Distribusi Probabilitas
Sub Pokok Bahasan            : Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinu
Pertemuan ke                  :V
Waktu                        : 150 menit (3 SKS)


I. PENDAHULUAN
   Teori peluang atau probabilitas, yang membahas tentang ukuran atau derajat
   ketidakpastian suatu peristiwa, dapat disusun dalam suatu distribusi. Distribusi
   peluang tersebut dapat menjelaskan bagaimana kecenderungan nilai peluang suatu
   variabel mengikuti suatu model distribusi. Terdapat dua model distribusi peluang
   yakni distribusi peluang diskrit untuk variabel diskrit, dan model distribusi peluang
   kontinu untuk variabel kontinu.
   Pada pokok bahasan ini akan dibahas tentang distribusi peluang diskrit yakni
   distribusi binomial, multinom, hipergeometrik dan poison. Juga dibahas tentang
   distribusi peluang kontinu yakni distribusi normal, student-t, distribusi chi-square dan
   distribusi F.
A. Deskripsi Mata Kuliah
   Pemahamam tentang macam-macam variabel (diskrit atau kontinu) merupakan
   unsur terpenting dalam menentukan model distribusi probabilitas. Setiap model
   distribusi probabilitas mempunyai ciri-ciri khusus atau persyaratan khusus sesuai
   dengan permaslahan yang ada di lapangan.
B. Kompetensi Khusus
   Setelah selesai kuliah ini diharapakan mahasiswa mampu :
   1. Memahami konsep teori distribusi probabilitas
   2. Menghitung peluang suatu distribusi peluang
   3. Menganalisis variabel mengikuti suatu distribusi khususnya distribusi normal
II. MATERI

                         DISTRIBUSI PROBABILITAS

       Peluang suatu peristiwa pada umumnya mengikuti suatu distribusi tertentu
sesuai dengan macam variabelnya, yang dinamakan sebagai distribusi probabilitas
(peluang). Ada 2 (dua) macam distribusi probabilitas yaitu distribusi probabilitas diskrit
dan distribusi probabilitas kontinu.


1. Distribusi Probabilitas Diskrit
   Misal dilakukan undian dengan tiga buah mata uang (gambar,G, dan huruf, H),
   maka ruang sampel yang terbentuk adalah GGG, GGH, GHG, HGG, HHG, HGH, GHH,
   HHH.
   Jika :      X     = banyak muka G yang muncul dimana X = 0,1,2,3
               P(X) = peluang muncul muka G
   maka dari ruang sampel tersebut dapat disusun peluangnya sebagai berikut :
                                   X                   P(X)


                                   0                   1/8
                                   1                   3/8
                                   2                   3/8
                                   3                   1/8
                                Jumlah                  1
   dengan :
       X      = banyak muka G yang muncul dimana X = 0,1,2,3
       P(X) = peluang muncul muka G
   Simbol X di atas yang memiliki peluang, bersifat variabel dan hanya memiliki harga-
   harga 0,1,2,3, ........ Variabel demikian, dimana untuk tiap harga variabel terdapat
   nilai peluangnya, disebut variabel acak diskrit .
   Jumlah peluang pada tabel di atas selalu sama dengan satu, maka dikatakan bahwa
   distribusi peluang untuk variabel acak X telah terbentuk dan dinamakan distribusi
   peluang variabel acak X.
   Definisi : variabel acak diskrit X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai-
   nilai X = x1, x2, x3, ...... , xn terdapat peluang p(xi) = P(X=xi) sehingga :
                    n

                  p( x )  1
                   i 1
                          i



   Dibaca : p(x) merupakan fungsi peluang untuk variabel acak X pada harga X = x.
   Selanjutnya untuk sebuah variabel acak dapat ditentukan nilai ekspektasinya (jika
   ada) dengan rumus :
                               n
                 E ( X )   xi . p ( xi )
                              i 1

   E(X) = ekspektasi variabel acak X, merupakan nilai rata-rata untuk variabel acak X.
   Contoh soal :
   Pengamatan memperlihatkan bahwa banyak kendaraan yang melalui sebuah
   tikungan setiap menit mengikuti distribusi peluang sebagai berikut :
       Banyak             0          1       2      3      4      5      6      7      8
       kendaraan
       peluang            0,01       0,05    0,10   0,28   0,22   0,18   0,08   0,05   0,03


        Peluang paling sedikit ada 3 kendaraan yang melalui tikungan sebesar :
         = 1 – (0,01 + 0,05 + 0,10) = 0,84
        Rata-rata banyak kendaraan per menit yang melewati tikungan tersebut :
         = (0)(0,01) + (1)(0,05) + (2)(0,10) + (3)(0,28) + (4)(0,22) + (5)(0,18)
           + (6)(0,08) + (7)(0,05) + (8)(0,03) = 3,94
         Jadi ada 394 kendaraan yang melewati tikungan setiap 100 menit.


a. Distribusi Binomial
   Jika sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa, misal peristiwa A
   dan peristiwa bukan A atau Ā, dengan P(A) = p = peluang terjadinya peristiwa A,
   dan pada tiap percobaan dengan P(A) tetap harganya yang dilakukan berulang-
   ulang, maka percobaan tersebut dinamakan sebagai percobaan Bernoulli.
   Jika percobaan Bernoulli dilakukan sebanyak N kali secara independen, k
   diantaranya menghasilkan peristiwa A dan sisanya (N-k) peristiwa Ā, maka peluang
   terjadinya peristiwa A sebanyak k kali diantara N dirumuskan sebagai berikut :
               p (k )  B( X  k )  C kN . p k .(1  p ) N  k

   dengan :
              k = 0,1,2, ..... N             ;   0 < p < 1 ; dan
                            N!
              CkN                           ; N ! = N(N-1)(N-2)(N-3) ....... 1.                 0! = 1
                       k!.( N  k )!
              (N ! dibaca N faktorial).
   Pada distribusi binomial terdapat parameter  (rata-rata populasi) dan  (simpangan
   baku populasi) dengan rumus :

               = N.p                            dan                         N. p.(1  p)
   Contoh soal :
   10% dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berukuran
   30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan kategori A :
   a. Tepat dua buah
   b. Paling sedikit satu buah
   c. Rata-rta terdapatnya kategori A
   Jika       P(A) = p = 10% dan n = 30
   maka :
   a. Tepat dua buah kategori A = P(A=2) = C2 (10 %) 2 .(1  10 %) 30  2 = 0,2270
                                            30



   b. Paling sedikit satu buah = P(A  2) = 1- P(A=1)
      = 1 - C130 (10 %)1.(1  10 %) 30 1 = 1 - 0,0423 = 0,9577

   c. Rata-rata terdapatnya kategori A = N.p = 30.(10%) = 3


b. Distribusi Multinomial
   Perluasan dari konsep distribusi binomial dinamakan sebagai distribusi multinomial.
   Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E1, E2, .... , Ek dengan
   peluang p1, p2, .... , pk dan p1+ p2 + .... + pk = 1 dilakukan percobaan sebanyak N
   kali terdapat x1 peristiwa E1 , x2 peristiwa E2 , ............. xk                         peristiwa Ek maka
   distribusi multinomial ditentukan oleh :
                                                  N!
               p( x1 , x2 ,......., xk )                      . p1x1 . p2 2 .... pkx k .
                                                                         x

                                             x1!.x2!..... xk !
   Dengan : x1 + x2 + .... + xk = N dan p1 + p2 + ... + pk = 1
   Parameter rata-rata dan simpangan baku populasi untuk distribusi multinomial
   didefinisikan sebagai :

                i = N.pi                     dan                  i  N. pi .(1  pi )
   Contoh soal :
   Sebuah dadu dilempar sebanyak 12 kali, maka peluang didapat mata 1, mata 2, ... ,
   mata 6 masing-masing terdapat 2 kali adalah :
             12!
                         (1/ 6) 2 .(1/ 6) 2 .(1/ 6) 2 .(1/ 6) 2 .(1/ 6) 2 .(1/ 6) 2  0,0034
       2!.2!.2!.2!.2!.2!


c. Distribusi Hipergeometrik
   Misalkan ada sebuah populasi berukuran N, diantaranya terdapat D buah kategori
   tertentu. Dari populasi ini sebuah sampel acak diambil berukuran n. Pertanyaannya
   adalah berapa peluang dalam sampel itu terdapat x buah termasuk kategori D ?.
   Untuk menjawab pertanyaan di atas ditentukan oleh distribusi hipergeometrik yang
   dirumuskan sebagai berikut :’

                           CxD .CnNxD
                h( x )                    dengan : x = 0,1,2,3,..., n
                              CnN
   Rata-rata untuk distribusi hipergeometrik adalah  = n.D/N
   Contoh soal :
   Sekelompok manusia terdiri atas 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 12
   Oktober. Secara acak diambil 5 orang, berapa peluangnya diantara 5 orang tersebut
   a. tidak terdapat yang lahir pada tanggal 12 Oktober
   b. terdapat tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 12 oktober
   Jika :       x = banyak orang diantara 5 yang lahir pada tanggal 12 Oktober
                N = 50              D = 3 (lahir pada tanggal 12 Oktober)
   maka :
   a. Peluang tidak terdapat yang lahir pada tanggal 12 Oktober
                                      50 
                                 3
                                C0 .C5 0 3
                h( x  0)           50
                                             0,724
                                  C5
   b. Peluang tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 12 oktober
                           50 
                     C0 .C5 0 3
                      3
                                              C 3.C5 3
                                                    50
       h( x  0)         50
                                 + h( x  1)  1 501  0,724  0,253  0,977
                       C5                        C5
d. Distribusi Poisson
   Variabel acak diskrit X dikatakan mempunyai distribusi poisson jika fungsi
   peluangnya berbentuk :’

                                     e   .x
               p ( x)  P ( X  x) 
                                         x!
   Dengan :
               X = 0, 1, 2, ...          e = konstanta bilangan alam = 2,718282
                = bilangan tetap
   Sedangkan parameter rata-rata dan simpangan baku populasi ditetapkan sebagai
   berikut :
               =                dan             = 0,5
   Distribusi poisson berlaku untuk kejadian dengan peluang sebuah peristiwa yang
   dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya jarang.
   Distribusi poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi
   binomial, dengan N besar dan peluang p sangat kecil atau mendekati nol. Dipakai
   pendekatan poisson jika N  50 sedangkan N.p < 5
   Contoh soal :
   Misalkan rata-rata 1,4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang. Sebuah sampel
   berukuran 200 telah diambil. Peluang tidak terdapat orang yang buta huruf adalah :
   Jika :      x = banyak buta huruf per 200 orang, maka  = (1,4)(200) = 2,8
   jadi :

                                       e 2,8 .( 2,8)0
               p( x  0)  P( X  0)                   0,0608
                                               0!


2. Distribusi Peluang Kontinu
   Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinu, yang dibatasi oleh
   range tertentu (misal : - < x < ), maka fungsi densitas f(x) yang menghasilkan
   peluang untuk harga-harga x berlaku :
               

                f ( x).dx  1
               

   Maka untuk menentukan peluang bahwa harga X = x antara batas a dan b,
   digunakan rumus :
                                  b
               P(a  X  b)   f ( x).dx
                                  a

   Ekspekstasi untuk variabel acak kontinu X ditentukan oleh :
                             b
               E ( X  x)   x. f ( x).dx
                             a

   Contoh soal :
   Masa pakai, dinyatakan dengan X, untuk suatu alat dapat dilukiskan oleh fungsi
   densitas eksponensial dengan persamaan :
           1
   f ( x)  .e 1 / 2. x , x  0 dalam bulan
           2
   Tentukan peluang sebuah alat demikian yang dapat dipakai selama :
   a. antara 3 dan 3 ½ bulan
   b. lebih dari 3 bulan
   maka :
                                                                          3, 5
                                                                                 1
                                                                            2.e
                                                                                      0, 5. x
   a. antara 3 dan 3 ½ bulan = P(3 < X < 3 ½) =                                                  .dx  e1 / 2   3, 5
                                                                                                                  3      = 0,0493
                                                                           3

                                                     
                                                          1
                                                      2.e
                                                               0, 5. x
   b. lebih dari 3 bulan = P(3 < X < ) =                                 .dx  e1 / 2            
                                                                                                    3   = 0,2231
                                                     3




a. Distribusi Normal
   Distribusi normal disebut juga sebagai distribusi Gauss merupakan distribusi yang
   paling banyak digunakan.
   Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan
   persamaan :
                                             1 x
                                   1     (          )2
                        f ( x)       .e 2                         -<x<
                                  2
   dengan :  = konstanta dengan nilai = 3,1416
              e = bilangan alam = 2,7183
               = rata-rata distribusi
               = simpangan baku distribusi
   maka dikatakan variabel acak kontinu X berdistribusi normal.
Sifat-sifat penting distribusi normal :
 grafiknya selalu berada di atas sumbu datar x
 bentuknya simetrik terhadap x = 
 mempunyai satu modus, kurva unimodal, tercapai pada x = 
 grafiknya berasimtot pada sumbu datar x dimulai dari x =  - 3 sampai dengan
 x =  + 3
 luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi
Peluang harga variabel acak kontinu X pada batas antara a dan b dinyatakan sebagai
                                 b             b                   1 x 2
                                                     1             (   )
              P(a < X < b) =     
                                 a
                                     f ( x)dx  
                                               a     2
                                                             .e    2 
                                                                             .dx

Untuk mempermudah perhitungan peluang, distribusi normal ditransformasi menjadi
distribusi normal standar yaitu dengan mengurangi variabel X dengan  dan
kemudian dibagi dengan , sehingga didapat transformasi Z yakni :

                   X 
                                                                  Z2               z2          1
                                                                                        1     ( z)2
              Z
                    
                            dan           P(Z1 < Z < Z2) =          z f ( z)  
                                                                  Z1               z1   2
                                                                                           .e 2 .dz

Hasil perhitungan integral diatas untuk berbagai nilai Z antara Z1 dan Z2 telah
disusun dalam bentuk tabel yang disebut Tabel Distribusi Normal atau Tabel Z


LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL STANDAR
(dari 0 sampai Z)


                                                                                        0 Z
   Z      0        1       2          3        4         5             6           7     8          9


  0,0   0000     0040     0080       0120    0160    0199         0239        0279      0319       0359
  0,1   0398     0438     0478       0517    0557    0596         0636        0675      0714       0754
  0,2   0793     0832     0871       0910    0948    0987         1026        1064      1103       1141
  0,3   1179     1217     1255       1293    1331    1368         1406        1443      1480       1517
  0,4   1554     1591     1628       1664    1700    1736         1772        1808      1844       1879

  0,5   1915     1950     1985       2019    2054    2088         2123        2157      2190       2224
  0,6   2258     2291     2324       2357    2389    2422         2454        2486      2518       2549
  0,7   2580     2612     2642       2673    2704    2734         2764        2794      2823       2852
  0,8   2881     2910     2939       2967    2996    3023         3051        3078      3106       3133
  0,9   3159     3186     3212       3238    3264    3289         3315        3340      3365       3389
Lanjutan Tabel Z
   Z       0         1         2         3        4         5         6         7         8        9


  1,0   3413      3438      3461      3485      3508      3531     3554      3577      3599      3621
  1,1   3643      3665      3686      3708      3729      3749     3770      3790      3810      3830
  1,2   3849      3869      3888      3907      3925      3944     3962      3980      3997      4015
  1,3   4032      4049      4066      4082      4099      4115     4131      4147      4162      4177
  1,4   4192      4207      4222      4236      4251      4265     4279      4292      4306      4319

  1,5   4332      4345      4357      4370      4382      4394     4406      4418      4429      4441
  1,6   4452      4463      4474      4484      4495      4505     4515      4525      4535      4545
  1,7   4554      4564      4573      4582      4591      4599     4608      4616      4625      4633
  1,8   4641      4649      4656      4664      4671      4678     4686      4693      4699      4706
  1,9   4713      4719      4726      4732      4738      4744     4750      4756      4761      4767

  2,0   4772      4778      4783      4788      4793      4798     4803      4808      4812      4817
  2,1   4821      4826      4830      4834      4838      4842     4846      4850      4854      4857
  2,2   4861      4864      4868      4871      4875      4878     4881      4884      4887      4899
  2,3   4893      4896      4898      4901      4904      4906     4909      4911      4913      4916
  2,4   4918      4920      4922      4925      4927      4929     4931      4932      4934      4936

  2,5   4938      4940      4941      4943      4945      4946     4948      4949      4951      4952
  2,6   4953      4955      4956      4957      4959      4960     4961      4962      4963      4964
  2,7   4965      4966      4967      4968      4969      4970     4971      4972      4973      4974
  2,8   4974      4975      4976      4977      4977      4978     4979      4979      4980      4981
  2,9   4981      4982      4982      4983      4984      4984     4985      4985      4986      4986

  3,0   4987      4987      4987      4988      4988      4989     4989      4989      4990      4990
  3,1   4990      4991      4991      4991      4992      4992     4992      4992      4993      4993
  3,2   4993      4993      4994      4994      4994      4994     4994      4995      4995      4995
  3,3   4995      4995      4995      4996      4996      4996     4996      4996      4996      4997
  3,4   4997      4997      4997      4997      4997      4997     4997      4997      4997      4998

  3,5   4998      4998      4998      4998      4998      4998     4998      4998      4998      4998
  3,6   4998      4998      4999      4999      4999      4999     4999      4999      4999      4999
  3,7   4999      4999      4999      4999      4999      4999     4999      4999      4999      4999
  3,8   4999      4999      4999      4999      4999      4999     4999      4999      4999      4999
  3,9   5000      5000      5000      5000      5000      5000     5000      5000      5000      5000

Sumber : Theory and Problems of Statistics, Spiegel, M.R., Ph.D, Schaum Publishing Co, New York,1961



Contoh soal :
Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram.
Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan :
a. Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gram
b. Berapa bayi yang beratnya antara 4.000 gram dan 4.500 gram, jika semuanya
   ada 10.000 bayi
c. Berapa berat bayi paling ringan bila prosentasenya tidak lebih dari 40%
Solusi :
 = 3.750 gram         = 325 gram
a. Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gram




                                                        P(X > 4.500) = ?


                             = 3.750 4.500
                                                    4500  3750
    Transformasi Normal Standar :             Z                 2,31
                                                       325
    maka : P (Z > 2,31) = ?
    Cara Pembacaan Tabel :
          Baca di kolom Z, nilai = 2,3; tarik garis ke arah kanan
          Baca di baris pertama nilai desimal 0,01; tarik garis ke arah bawah
          Baca nilai di perpotongan garis kolom dan garis baris
          Maka nilai P ( Z = 2,31 ) = 0,4896
          Nilai luas dari Z = 0 sampai Z = 2,31 adalah 0,4896
          Sedang nilai luas dari Z = 0 sampai Z =  adalah 0,5 (50% luas kurva)
          Jadi nilai luas Z > 2,31 adalah 0,5 – 0,4896 = 0.0104 (lihat gambar di
           bawah)
          Jadi : P(X > 4.500) = 0,5 – 0,4896 = 0,0104; terdapat 1,04% bayi yang
           beratnya lebih dari 4.500 gram




                                                       P(Z > 2,31) = 0,4896
                                                          luas daerah arsir = 0,0104


                            Z = 0        2,31
                                     0,4896
                                              0,5
b. Berapa bayi yang beratnya antara 4.000 gram dan 4.500 gram, jika semuanya

   ada 10.000 bayi




                                                P(4.000 < x < 4.500)




                 3.750 4.000         4.500


           0,2794                               Z1 = (4.000 – 3.750)/325 = 0,77
                           0,4896
                                                Z2 = (4.500 – 3,750)/325 = 2,31


      P(4.000 < x < 4.500) = P(Z=z2) – P(Z=z1) = 0,4896 – 0,2794 = 0,2102
      Jadi prosentase bayi antara 4.000 gram dan 4.500 gram sebesar 21,02%
      Maka banyaknya bayi = 21,02% x 10.000 bayi = 2.102 bayi.


C. Berapa berat bayi paling ringan bila prosentasenya tidak lebih dari 40%




                                             P(0< Z < Z1) = 10%



        40% 10%


             Z1 Z=0
            X          X1  
      P(                        )  0,1
                         
      Cari di nilai tabel yang prosentasenya 10%, didapat pada posisi Z = 0,255
                     X 1  3.750
      Sehingga :                 0,255 ; maka : X1 = 3.832,875
                         325
      Jadi berat bayi paling ringan yang prosentasenya tidak lebih dari 40%
       mempunyai berat 3.832,875 gram.
b. Distribusi Student
   Distribusi Student mempunyai fungsi densitas :
                                  K
                f (t )                        1
                                                        -  < t < +
                                                 .n
                               t  2          2
                           1 
                            n 1
                                 
   dengan :
   K = bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian sehingga luas
            daerah di bawah kurva sama dengan satu unit.
   n-1 = derajat kebebasan


   Bentuk grafik distribusi student (Tabel t) sama seperti grafik distribusi normal
   standar, simetrik terhadap t = 0. Untuk harga-harga n yang besar, biasanya n  30,
   distribusi t mendekati distribusi normal standar.




                                          Luas p


                                  t1                  t=0
                               luas p = P(t1 < t < 0)
   Pembacaan dan penerapan tabel t akan dibahas bersamaan dengan materi uji
   hipotesis pada kuliah minggu ke-8 sampai minggu ke-13.


c. Distribusi Chi Kuadrat
   Distribusi Chi Kuadrat merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu. Simbol
   yang dipakai untuk Chi Kuadrat adalah 2.
   Distribusi Chi Kuadrat mempunyai fungsi densitas :
                              1                1
                                   1         u
                f (u )  K .u 2          .e    2


   Dengan :
   u = 2                   = derajat kebebasan
   K = bilangan tetap yang besarnya bergantung pada  sedemikian sehingga luas
            daerah di bawah kurva sama dengan satu unit


   Grafik distribusi Chi Kuadrat umumnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke
   kanan. Kemiringan ini makin berkurang jika derajat kebebasan  makin besar.




         12                                                                    22


   Pembacaan dan penerapan tabel Chi Kuadrat akan dibahas bersamaan dengan
   materi uji hipotesis pada kuliah minggu ke-8 sampai minggu ke-13.


d. Distribusi F
   Distribusi F mempunyai fungsi densitas :
                                                1
                                                  (1  2 )
                                                2
                                            F
                       f (F )  K.
                                            1F 2 (
                                                      1
                                                              1  2 )
                                     (1        )
                                             2
   Dengan : variabel acak F memenuhi batas F > 0
   K    =      bilangan tetap yang besarnya bergantung pada 1 dan 2 sedemikian
            sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit
   1   = derajat kebebasan pembilang, pada baris paling atas
   2   = derajat kebebasan penyebut, pada kolom paling kiri
   Grafik distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif.




                                                                                                     1
                                                                         F(1 p )( 2 ,1 ) 
                                                                                                Fp.(1 , 2 )

            F1                                  F2

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:1
posted:5/6/2013
language:
pages:15