Documents
Resources
Learning Center
Upload
Plans & pricing Sign in
Sign Out

Signal behandling 1 _Diskrete_ - HST_1_

VIEWS: 0 PAGES: 53

  • pg 1
									 Signalbehandling og matematik
(Tidsdiskrete signaler og systemer)
                     Session 2.
     Analyse af lineære tidsinvariante systemer

                Ved Samuel Schmidt
                sschmidt@hst.aau.dk


         http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat/
      Session 2. Analyse af lineære
         tidsinvariante systemer
Session 1.
• Sekvenser
• Diskrete systemer
• Lineære systemer
Session 2.
• Egenskaber af LTI systemer
• Tidsinvariante systemer som differentialligninger
• Egenfunktioner af LTI systemer og Frekvens
  respons
                Session 1.
• Sekvenser
• diskrete systemer
• Lineære systemer
Diskret tids sampling




                        Kvantificerings fejl
Diskrete værdier
(Kvantificering)
                                       Lineært system
                    Lineæret system                              Ikke Lineære systmer
       20                                              25
       18                                              20
       16
                                                       15
       14
                                                       10
       12
                                                        5
y[n]




                                                y[n]
       10
       8
                                                        0

       6                                                -5

       4                                               -10                            x[n] 2
       2                                               -15                            x[n]
                                                                                      20 log(x[n])
       0
            0   1       2          3    4   5          -20
                                                             0   1     2          3     4            5
                            x[n]
                                                                           x[n]


                                                                                                     s.62
                 Lineært system
Defineret ud fra superposition

        T a x1[n]  b x2 [n]  a T x1[n] b T x2 [n]
                     Kausalitet
• Et kausalt system kun afhængig af input fra
  fortid og nutid.
• y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1

• Kausalt system (Bagudrettet difference)
              y[n]  x[n]  x[n  1]

• Ikke Kausalt system (Forudrettet difference)
               y[n]  x[n]  x[n  1]
                                                 s.65
                          Stabilitet
• Et stabilt system et system med en begrænset
  output interval såfremt inputtet er begrænset

  y[n]  ,   for all n    Givet   x[n]  ,   for all n



• Bounded input Bounded output (BIBO)



                                                           s.66
     Basis signaler:
Unit sample og Unit step

                           0, n  0
                    [n]  
                           1, n  0



                           1, n  0
                    u[n]  
                           0, n  0


                                   9
Introduktion til analyse af linaer og tid
          invatiante systemer
• Formålet med analyse af LTI systemer
  tidsdomænet er at kunne beskriver systemtes
  egneskaber og at kunne beregne et output hvis
  et input er givet.


        Input       System     Output



     x[n]          T {}        y[n]
                 Unit sample (Impuls) respons
             (Unit sample)                                               (Impuls respons)

              [n]                           h[n]  T  [n]                    h[n]
 1                                                               1

0.8                                                             0.8

0.6                                                             0.6

0.4                                                T{∙}         0.4

0.2                                                             0.2


 0                                                               0
  -3 -2 -1   0   1   2   3   4   5   6   7                        -3 -2 -1   0   1   2   3   4   5   6   7
                                                                                     n
                     n




                                                                                 Side 23 Oppenheim
          2 metoder til beskrivelse af
      lineære tidsinvariante systemer (LTI)
• Input output relationen:
                 y[n]  x[n]  x[n  1]


• Beskrivelse af et systemt output til et kendt
  systemt input f.eks.:
                                   1
                   h[n]  u[n] n   2
                    Folding summen
               (På engelsk: Convolution sum, not folding )
                                                        

y[n]  T x[n]                              x[n]      x[k ] [n  k ]
                                                      k  


                          
y[n]  T   x[k ] [n  k ]
         k                           Hvis vi antager T{∙} som er lineær
                                             kan vi bruge superposition
           
y[n]      x[k ]T  [n  k ]
         k  
                                             h [ n]  T  [ n]
                                          Hvis vi antager tidsinvarians
y[n]     x[k ]h[n  k ]
         k  
                                         hk [n  k ]  T  [n  k ]

                                                                           Side 72
           Betyding af foldning
• Et hvilket som helst LTI system kan beskrives
  alene fra implusresponsen h[n].
                               Folding (Convolution)
                                                                             
• Foldings sum                                                  y[ n]      x[k ]h[n  k ]
                                                                           k  


• Generel notation                                              y[n]  x[k ] * h[n]

                x[n]                             h[n]                                   y[n]
  5                                5                                 5

  4                                4                                 4

  3                                3                                 3

  2                                2                                 2

  1                                1                                 1

  0                                0                                 0
   -1   0   1          2   3   4    -1   0   1          2   3   4     -1      0     1          2      3    4




                                                                                                   Side 23 Oppenheim
     Session 2. Analyse af lineære
        tidsinvariante systemer
• Egenskaber af LTI systemer
• Tidsinvariante systemer som
  differentialligninger
• Egenfunktioner af LTI systemer og Frekvens
  respons
           Regneregler for foldning
• Foldning er kommutativ            y[n]  x[n] * h[n]  h[n] * x[n]
                                                 
• Derfor
                            x[k ]h[n  k ]   h[k ]x[n  k ]
                           k                 k  



• Foldning er distributiv med hensyn til addition

        x[n] * h1[n]  x[n] * h2 [n]      x[n] * h1[n]  h2 [n]




                                                                     Side 76
               LTI egenskaber:
              Serielle systemer
                      H1[n]             H2[n]
             x[n]                               y[n]


• Impuls responsen for en serie af LTI systemer
  svare til foldning af impuls responserne fra
  disse systemer da: h1[n]  h[n]1 *  [n]

                    h[n]  h[n]1 * h2 [n]


                          H1[n]*H2[n]
            x[n]                                y[n]
                                                       Side 80
                    LTI egenskaber:
          Serielle systemer (kommutativitet)

    • På grund er kommutativitet er rækkefølgen af
      systemerne ligegyldig


                               H1[n]   H2[n]
                        x[n]                   y[n]




                               H2[n]   H1[n]
                        x[n]                   y[n]

Obs! pas på i praktis
                                                      Side 80
             LTI egenskaber:
            Parallelle systemer
• Impuls responsen for parallelle LTI systemer
  svare til addering af impuls responserne fra
  disse systemer.



                                  h[n]  h1[n]  h2 [n]




                                                Side 59
Inverse systemer




  h[n] * hi [n]  u[n]
            LTI egenskaber:
    Stabilitet og impuls responsen

Et LTI system er stabilt hvis og kun hvis
                        
                 S     h[k ]  
                      k  
                    LTI egenskaber:
                      FIR systemer
• Finite impulse response (FIR)
  – Endelig antal nonzero samples i
    impulsresponsen
  – Altid stabilt så længe værdierne i
    impuls responsen er endelige
                               M1=1 M2=1
                     1
             h[n]




                    0.5

                     0
                      -2   0       2       4   6
                                   n
                       LTI egenskaber:
                         IIR systemer
• Infinite impulse response (IIR)
   – Uendelig antal nonzero samples i            1




                                         h[n]
     impulsresponsen
                                                0.5

                                                 0
                                                      -2   0       2   4

   – Kan være både stabilt og ustabilt                         n




   – Eksempel på et stabilt system

       h[n]  a nu[n],    a 1

                  n
                          1
       S a                 
            k 0         1 a
                             LTI egenskaber:
                      Kausalitet og impuls responsen

               Et LTI system er kausalt hvis og kun hvis

                                     h[n]  0,           n0
              Ikke kausal impulsrespons              Spejling af impulsresponsen til venstre (n=0)
                              h[n]                                             h[n-k], n=0
        2                                                      2



       1.5                                           h[0-k]   1.5
h[n]




        1                                                      1



       0.5                                                    0.5



        0                                                      0
         -3     -2   -1   0    1     2   3   4   5              -3   -2   -1   0    1    2   3   4   5
                               n                                                    n
    Eksempler på impulsresponser
• Moving average system                                          M2

                                                                 xn  k 
                                                       1
                                          y[n] 
                         M2
                                                 M 1  M 2  1 k  M1
                          n  k 
               1
  h[n] 
         M 1  M 2  1 k   M1                               M1=1 M2=1
                                                    1

                1
                          M1  n  M 2
         




                                            h[n]
                                                   0.5
  h[n]   M 1  M 2  1
                            ellers
               0,                                  0
                                                     -2   0       2       4   6
                                                                  n


• Stabilt ?
     Ja
• Kausalt?
   – Kun hvis -M1≥0 og –M2≥0
    Eksempler på impulsresponser
                                 n
• Akkumulator         y[n]     xn
                               k  
              n
   h[n]      n
            k  
                                                  1




                                          h[n]
                                                 0.5



   h[n]  un
                                                  0
                                                       -2   0       2   4
                                                                n




• Stabilt ?                          
     Nej                 S       u[n]  
                                 n  
• Kausalt?
   – Ja
     Eksempler på impulsresponser
• Ideelle delay system y[n]=x[n-n0]                      n0=2
                                               1

     h[n]   [n  n0 ]




                                       h[n]
                                              0.5

                                               0
                                                -2   0    2     4   6
                                                          n


• Stabilt ?          
              S     [n  n ]
                   n  
                             0    
   – Ja
• Kausalt?
   – Ja hvis n0≥0
     Session 2. Analyse af lineære
        tidsinvariante systemer
• Egenskaber af LTI systemer
• Tidsinvariante systemer som
  differentialligninger
• Egenfunktioner af LTI systemer og Frekvens
  respons
  Differentialligninger med linære
konstanter i det tidsdiskrete domæne
             N                            M

           a
           k 0
                    k   y[n  k ]   bm x[n  m]
                                        m 0

 Lineær differentialligning med konstanter koefficienter

 Simpelt eksempel:

 Eksempel system:                 y[n]  4 x[n]
 Differentialligning:
                            y[n]  y[n  1]  4 x[n]  4 x[n  1]

                            y[n]  y[n  1]  4 x[n]  x[n  1]
 Her er N=1, M=1, a0=1, a1=-1-, b0=4, b1=-4,
                                                              Side 63
        Rekursivt beregnet output
               N                    M

              a
              k 0
                     k   y[n  k ]   bm x[n  m]
                                   m 0

               N                    M
   a0 y[n]   ak y[n  k ]   bm x[n  m]
              k 1                 m 0

                                          N                M
                                          ak                   bm
                             y[n]          y[n  k ]   x[n  m]
                                     k 1 a 0             m 0 a 0


• Eksempel:
                            y[n]  x[n]  y[n  1]
         Differentialligning af akkumulator
                       systemet      Forrige sample:
                                                                              n 1
                                                                y[n  1]     xn
                 n
      y[n]     xn
               k  
                                                                             k  

                            n            n
      y[n]  y[n  1]      xn   xn  1           n                           n
                          k       k               xn  x[n]   xn  1
                                                       k                     k  
                                n               n
y[n]  y[n  1]  x[n]      xn  1   xn  1
                           k               k  



                 y[n]  y[n  1]  x[n]


                y[n]  x[n]  y[n  1]
      Differentialligning af moving average
                      systemet
    • Specialtilfælde hvor M1=0                             1 M2
                                                   y[n]           xn  k 
                                                          M 2  1 k 0
    • Differentialligning:
                        1  M2               M2
                                                           
    y[n]  y[n  1]            xn  k   xn  k  1
                      M 2  1  k 0
                                            k 0
                                                           
                                                           
                                            M2                                           M2

                                             xn  k  1  x[n  M
                                            k 0
                                                                       2    1]  x[ n]   xn  k 
                                                                                        k 0

                           M2                                    M2
                                                                              
                            xn  k   x[n  M 2  1]  x[n]   xn  k  
                     1
y[n]  y[n  1]                                                             
                  M 2  1  k 0
                                                                 k 0       

     y[n]  y[n  1] 
                           1
                                  xn  xn  M 2  1
                         M 2 1
  Differentialligninger har ikke unikke
                 løsninger
• Vores tidligere differentialligning

             y[n]  y[n  1]  4 x[n]  x[n  1]

• Løsninger til ovenfor stående
                      y[n]  4 x[n]

                      y[n]  4 x[n]  10

                      y[n]  4 x[n]  10000
   Differentialligninger har ikke unikke
                  løsninger
         N                M
  1  ak y[n  k ]   bm x[n  m]
        k 0              m 0

     Løsninger til (1)

                y[n] og          y2 [n]  y[n]  yh [n]

• Både y [n] og y2 [n] indfrier (1) såfremt yh[n]
  overholder (2)
                                                 (Den Homogene ligning)
        N
 2  ak yh [n  k ]  0,           hvor x[n]  0,
       k 0
   Differentialligninger har ikke unikke
                  løsninger
• Vores tidligere differentialligning
               y[n]  y[n  1]  4 x[n]  x[n  1]
• Løsninger til ovenfor stående
            y[n]  4 x[n] og y2 [n]  4 x[n]  10
• Hvor y2[n] er en sum af y [n] og yh[n]
                    y2 [n]  y[n]  yh [n] hvor yh [n]  10

• yh[n] er en homogen løsning
                1

                 ak yh [n  k ]  10  10  0
                      k 0
Hvor, a0=1, a1=-1
             Ikke et unikt output
• Hvad er y[n] hvis vi kun kender x[n]?

             y[n]  x[n]  y[n  1]

I dette system kan y[n] kun beregnes hvis
vi kender en forudgående værdi af y[n]

Generelt skal systemet have en initialiserende
hvile periode (Relaxed) hvor input og output er
nul.
           Zero state response og
               Zero sate input
• Zero state response
  y[n] =0 for n<0


• Zero state input
  x[n]=0 for all n
   Linearitet af differens systemer
• Afhængig af initialiserende konditioner
• Hvis systemet er et LTI sysstem og det
  initialiseres ved hvile (Det vil sige x[n]=0 og
  y[n]=0 for n<n0) er systemet lineart.
• Eksempel:
• Hvis y[n]=0 når x[n]=0 og y[n-1]=0; er
  systemet lineært
              y[n]  x[n]  y[n  1]
     Session 2. Analyse af lineære
        tidsinvariante systemer
• Egenskaber af LTI systemer
• Tidsinvariante systemer som
  differentialligninger
• Egenfunktioner af LTI systemer og Frekvens
  respons
Egenfunktioner af LTI systmer
 Egenfunktioner i frekvens domænet
• Foldning af et kompleks ekspotential signal
                    x[n]  e jn  cos(n)  j sin(n),                                  n  
                                 
                     y[n]      h[k ]e jn  k
                              k  
                                                                         1
                                                                                               e(jw n)
                                                                                                                   Real
                                                                                                                   Imaginary
                                         

                                        h[k ]e
                                                                       0.5
                                 jn               j k
                    y[n]  e



                                                           Amplitude
                                                                         0
                                       k  
Vi definer H(ej) som systemets frekvens respons                       -0.5
                                
                      j
                  H (e )      h[k ]e  jk
                              k  
                                                                        -1
                                                                              0   20      40
                                                                                                 n
                                                                                                         60   80       100


y[n] er derfor:
                  y[n]  H (e j )e jn ,    n  
 Her er ej systemets egnefunktion og H(ej) er de associerede egenværdier
                     Frekvens respons
• H(ej) er generelt kompleks

                            j                   j                        j
                    H (e )  H R (e )  j H I (e )
                                       Rektangulær form

                            j                   j       jH I ( e j )
                    H (e )  H R (e ) e
                                       Polar form




Her er ej systemets egnefunktion og H(ej) er de associerede egenværdier
                                                   Eksempel
                         Input                       Lavpasfilter                           Output
          1
                                                                                1
 =0.05




                                                                       =0.05
          0
                                                                                0
          -1
            10      20        30        40    50                                -1
                                                                                  10   20     30     40   50
           1
                                                                                 1
 =0.1




                                                                       =0.1
          0
                                                                                0
          -1
               0   10    20        30    40   50                                -1
          1                                             H(ej)                   1
                                                                                  10   20     30     40   50
 =0.25




                                                                       =0.25
          0
                                                                                0
          -1                                                                    -1
            10      20        30        40    50
           1                                                                      10   20     30     40   50
                                                                                 1
 =0.5




                                                                       =0.5
          0
                                                                                0
          -1
            10      20        30        40    50                                -1
                                                                                  10   20     30     40   50
                              n
                                                                                              n




                                        y[n]  0.14x[n]  0.14 x[n -1]  0.73y[n  1]
                           Frekvens respons til lavpasfilter

                                                                                                          Phase Response
                                  Magnitude Response (dB)
                                                                                       0
                  0
                                                                                     -0.2
                  -5
                                                                                     -0.4
                 -10




                                                                   Phase (radians)
Magnitude (dB)




                                                                                     -0.6
                 -15
                                                                                     -0.8
                 -20

                 -25                                                                  -1

                 -30                                                                 -1.2

                 -35                                                                 -1.4

                 -40                                                                 -1.6
                       0    0.2         0.4       0.6        0.8                            0   0.2         0.4       0.6        0.8
                            Normalized Frequency ( rad/sample)                                Normalized Frequency ( rad/sample)


                                              j
                                 H R (e )                                                               H R ( e j  )
Frekvens respons af delay systemet
      y[n]  x[n  nd ]                                                x[n]  e jn
                       j ( n  n d )         jnd         j n
      y[n]  e                          e             e

       H ( e j )  e  jn d
                                                                   

Alternativ udledning hvor vi bruger:
                                                       j
                                                H (e )         h[k ]e  jk
                                                              k  
                     
            j
       H (e )       [n  n
                   n  
                                   d ]e  jn  e  jnd

  Amplitude og fase:

           H (e j )  e jnd  1              H (e j )  nd
     Begrænset frekvens interval
• Frekvensen periodisk til 2
             jn         j (   2 ) n
        e           e                         ,   n  
• Derfor                          H ( e j )




        H (e j )  H (e j  2 )  H (e j  r 2 ),   hvor r er et heltal


• Og vi behøver derfor kun at kende H(ejω) for
  -<ω
    Ideelle frekvens selektive filtre
• Lavpas filter
    Ideelle frekvens selektive filtre
• Højpasfilter



• Båndstopfilter



• Båndpasfilter
Frekvens respons af MA-filter
                                   MA filter M2=4
             1
|H(ej|)




            0.5




             0
              -8    -6   -4   -2         0          2   4   6   8
                                         

             4

             2
     fase




             0

             -2

             -4
               -8   -6   -4   -2         0          2   4   6   8
                                         
                         Kant problem
• Vi har jo ikke et signal uendeligt signal
  (egenfunktion) som kræves for H (e  )                         
                                                       j
                                                                 h[k ]e
                                                                k  
                                                                               jk




             1



           0.5
    ejn




             0



           -0.5



            -1
             -40   -20    0       20       40     60       80         100
                                       n


                              x[n]  e jnu[n],
                                                                            Side: 46-47
                        
         y[n]           e  h[n  k ]
                                     j k

                    k                             Kant problem
                                                              1


       0.2
h[n]




                                                            0.5
       0.1




                                                     ejn
        0                                                     0
        -40       -20
                  0             20   0     40   50
                                                20
                            n

                                                            -0.5



                                                              -1
                                                               -40         -20         0    20             40     60     80         100
                                                                                                  n
             Ved FIR systemer er effekten                              Transient respons
             elimineret ved n> længden af
             systemets impulsrespons

                                                              11
                                                               1


                                                            0.5
                                                             0.5
                                                             0.5

        Ved stabile IIR systemer er                           00
                                                     y[n]
                                                     y[n]
                                                     y[n]




        reduceres effekten jo støre n                         -0.5
                                                            -0.5
                                                                   0


        bliver                                               -0.5
                                                              -1-1


                                                              -1.5
                                                            -1.5-1
                                                                 -40
                                                               -40          -20
                                                                            -20
                                                                           -20         00
                                                                                        0    20
                                                                                            20
                                                                                            20
                                                                                                      nn
                                                                                                             40
                                                                                                            40      60
                                                                                                                   60
                                                                                                                   60      80
                                                                                                                          80
                                                                                                                           80
                                                                                                                                      46-47
                                                                                                                                Side: 100
                                                                                                                                       100
     Session 2. Analyse af lineære
        tidsinvariante systemer
• Egenskaber af LTI systemer
• Tidsinvariante systemer som
  differentialligninger
• Egenfunktioner af LTI systemer og Frekvens
  respons

								
To top