Signal behandling 1 _Diskrete_ - HST

Document Sample
Signal behandling 1 _Diskrete_ - HST Powered By Docstoc
					Signalbehandling og matematik 1
(Tidsdiskrete signaler og systemer)
                                Session 1.
  Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære
                         tidsinvariante systemer

                         Ved Samuel Schmidt
                         sschmidt@hst.aau.dk



               http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/
                   Session 1.
•   Sekvenser
•   Diskrete systemer
•   Lineære systemer
•   Foldning og impuls respons
                          Kontinuerte vs. diskrete tidssignaler
                          Tidskontinuert signal                                                                                               Tidsdiskret signal
                                                                                          Sampling
                                (Analog)                                                                                                          (Digitalt)
                20                                                          20                                                      20

                15                                                          15                                                      15

                10                                                          10                                                      10
Amplitude (V)




                                                            Amplitude (V)




                                                                                                                        Amplitude
                 5                                                           5                                                       5

                 0                                                           0                                                       0

                 -5                                                          -5                                                      -5

                -10                                                         -10                                                     -10

                -15                                                         -15
                      0     2    4             6   8   10                                                                           -15
                                                                                  0   2      4             6   8   10                     0    5      10         15   20
                                     Tid (s)                                                     Tid (s)                                           samples (n)




                                                                                                                                                   DSP
                            Analogt system                                            A/D komverter                                           (Digital signal
                                                                                                                                                processer)
Digitale signaler hvor?




               …og meget mere
Fysiologiske signaler
              Kardiologiskesignaler
 EEG
                 Typiske Digitale systemer
                            010101011                     110001011

                   ADC                    DSP                          DAC

Analogt signal Analog til Digital       Digital signal          Digital til analog   Analogt signal
                 konvertering             processor               konvertering



                             Eksempel EKG baseret plustæller

                                                   DSP
                   ADC                                                          Display
                                          Filter         Puls tæller
                                                                                      Puls: 61
              Hvorfor digitalt ?
• Fordele:                        • Ulemper:
  – Robust                          – Begrænset
  – Præcist                           båndbrede
  – Uhurtig og billig udvikling     – Begrænsninger i
  – Kan håndtere stor                 realtid
    kompleksitet
  – Fleksibelt
  – Hukommelse
                       Definition og notation:
                                Signal
• Signal er enhver tids varierende eller rum
  varierede kvantitet
     – Tids variable: x(t)
     – Dimension: x(d1,d2)
                                                             Function af dimension x(d1,d2)
         20

                                                 50
         15
                                                 100
         10
                                                 150
          5
                                                 200
  x(t)




                                            d2


          0                                      250

                                                 300
          -5
                                                 350
         -10
                                                 400
         -15
               0   2   4       6   8   10              100       200      300     400         500   600
                           t                                              d1
         Matematisk definition og notation:
                Tidsdiskret signal
  • Funktion af en diskret tids variabel
  • Signalet repræsenteres som en sekvens af nummer
     x[n],     -∞ < n < ∞                                  20



       – Hvor n er et heltal                               15


       – F.eks. x[0]=1, x[1]=1, x[2]=-2                    10




                                                    x[n]
                                                            5



                                                            0



                                                            -5
                                                                         T

                                                           -10
                                                                 0   5       10   15   20
                                                                             n

N.B. Ved et Digitalt signal er amplituden også diskret
Analog til digital konvertering
Analog til digital konvertering
Diskret tids sampling




                        Kvantificerings fejl
Diskrete værdier
(Kvantificering)
     Relation mellem tid og samples

Sample periode: T (sekunder)
  Digitalt   Analogt

   x[n]=x(nT) , -∞ < n < ∞
   Hvor T er samplings perioden
      (ofte i sekunder)

• Alternativ opgivelse
   – Sample hastighed: 1/T (samples per sekund)
        Eksempel på sampling
• Se Matlab demo
                                                                                   Signal typer
• Single/multi kanals signaler                                                                                                                           ECG ( 4 leads)

                                   ECG ( 4 leads)

                                                                                                                                 s1[ n] 
                                                                                                                        S[ n]   s2 [ n]
                                                                                                                                        
                                                                                                                                 s3 [ n]
                                                                                                                                        
             0               500         1000                   1500
                               Samples (n)                                                                                                        0   500         1000    1500
                                                                                                                                                        Samples (n)


• Reelle / komplekse signaler
x[n]  A cos(0 n   )                                                               x[n]  cos(0 n   )  j sin(0 n   )

• Deterministiske/ stokastiske signaler
    1                                                                                 3

                                                                                      2
  0.5
                                                                                      1
    0
                                                                                      0

  -0.5                                                                                -1

                                                                                      -2
   -1
         0       100   200   300    400      500    600   700   800   900   1000
                                                                                      -3
                                                                                           0   10   20   30   40   50   60   70   80   90   100
     Basis signaler:
Unit sample og Unit step

                           0, n  0
                    [n]  
                           1, n  0



                           1, n  0
                    u[n]  
                           0, n  0
                    Basis signaler:
                  Exponential (real)
            Eksponentielle signaler
       9
                             A=1 og  =1.1
       8                     A=10 og  =0.9

       7                                           x[n]  A n
       6
x[n]




       5                                           Stigende hvis α>1
       4
                                                   Faldende hvis α<1
       3

       2

       1
        0   5         10         15           20
                      n
              Basis signaler:
                   Sinus




                                          ω0: frekvens rad/sample
      x[n]  A cos(0 n   )             Φ: fase



x[n]  e j (0 n  )  cos(0 n   )  j sin(0 n   )
             Periodiske signaler
• Et signal er periodisk med N hvis
  x[n]=x[n+N],     hvor N er et heltal

  Et sinus signal er periodisk hvis

      A cos(0 n   )  A cos(0 n  0 N   )
  Hvor
                       0 N  2k
  Hvor både N og k er heltal
         Diskrete sinus signaler

• For sinus signaler gælder at

    A cos(0 n   )  A cos((0  2 )n   )
• Højeste svingningshastighed opnås ved ω0=π
  eller ω0=-π og det interessante frekvens
  interval er -π  ω0  π

• Se Matlab Demo
                   Session 1.
•   Sekvenser
•   Diskrete systemer
•   Lineære systemer
•   Foldning og impuls respons
          Tidsdiskrete systemer
• Defination:
  – Transformation eller
    operation af et
    tidsdiskrete input x[n]
    til et tidsdiskrete
    output y[n]               y[n]  T xn

• Eksempler:
  – Filtrer                    Multiplications system
  – Operatorer
                              y[n]  a xn
            Det ideelle delay system
                                                                               Signal
                                                     10



• Delay                                               5



  y[n]=x[n-n0]




                                            x(n)
                                                      0




 hvor n0 er delay’et er repræsenteret ved             -5

 et heltal
                                                     -10
                                                           3   4   5   6   7     8      9   10   11   12   13
                                                                                n
                                                                           Delayed signal
                                                     10



                                            x(n-2)    5



                                                      0



                                                      -5



                                                     -10
                                                           3   4   5   6   7     8      9   10   11   12   13
                                                                                n
                 Moving average system
                                           M2

                                            xn  k 
                                 1
                    y[n] 
                           M 1  M 2  1 k   M1
                                   Google aktiekurs
       750
                                                                     Kurs
                                                                     MA

       700




       650
Kurs




       600




       550




       500




       450
             0     10   20    30         40           50   60   70          80
                                        Dage
  Grafik repræsentation af tidsdiskrete
               systemer

Addering af 2 signaler




                                          s.56
 Grafik repræsentation af tidsdiskrete
              systemer
• Multiplikation med en konstant



• Multiplikation mellem signaler
 Grafik repræsentation af tidsdiskrete
              systemer
• Forsinkelse (Delay)




                              Tavle ex.2.2.3 a side 57
          Systemkarakteristika
• Hukommelesesløst (Statisk):
                                                         Akkumulator
  – Y[n] er kun afhængig af x[n]             8




             y[n]  a xn
                                             6




                                      y[y]
                                             4


                                             2



• Hukommeles system (Dynamisk):              0
                                                 0   2     4
                                                               n
                                                                   6   8   10



  – Akkumulator                              1
                       n
            y[n]     xn
                                          0.8

                                          0.6



                                   x[n]
                     k                 0.4

                                          0.2

                                             0
                                                 0   2     4       6   8   10
                                                               n
                                                                                s.59
                   Session 1.
•   Sekvenser
•   Diskrete systemer
•   Lineære systemer
•   Foldning og impuls respons
                                       Lineært system
                    Lineæret system                              Ikke Lineære systmer
       20                                              25
       18                                              20
       16
                                                       15
       14
                                                       10
       12
                                                        5
y[n]




                                                y[n]
       10
       8
                                                        0

       6                                                -5

       4                                               -10                            x[n] 2
       2                                               -15                            x[n]
                                                                                      20 log(x[n])
       0
            0   1       2          3    4   5          -20
                                                             0   1     2          3     4            5
                            x[n]
                                                                           x[n]


                                                                                                     s.62
              Lineært system
Additiv egenskab:

         T x1[n]  x2 [n]  T x1[n] T x2 [n]

 X1[n]

               +            T{∙}

 X2[n]


 X1[n]         T{∙}

                             +

 X2[n]         T{∙}
            Lineært system
Skalerings egenskab

           T a x1[n]  a T x1[n]  a y[n]


 X1[n]        x            T{∙}


              a


 X1[n]       T{∙}         x


                          a
                 Lineært system
Defineret ud fra superposition

        T a x1[n]  b x2 [n]  a T x1[n] b T x2 [n]
                     Eksemple
• y[n]=x[n]^2

Test: Additiv egenskab
x1[1]=2 og x2[1]=6
            T x1[n]  x2 [n]  (2  6) 2  64

         T x1[n] T x2 [n]  2 2  6 2  40




                                                  Tavle ex.2.2.5 a side 63
            Tidsinvariante systemer
• Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit
  tid (Koefficienterne er uafhængig af tid)
• Det vil sige hvis
   x2[n]=x1[n-k]         så er    y2[n]=y1[n-k]

   Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år
      Ikke tidsinvariant system
                 20 år              45 år         70 år




                                                                           s.59
                                                          Tavle ex.2.2.4 a side 60
                     Kausalitet
• Et kausalt system kun afhængig af input fra
  fortid og nutid.
• y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1

• Kausalt system (Bagudrettet difference)
              y[n]  x[n]  x[n  1]

• Ikke Kausalt system (Forudrettet difference)
               y[n]  x[n]  x[n  1]
                                                 s.65
                          Stabilitet
• Et stabilt system et system med en begrænset
  output interval såfremt inputtet er begrænset

  y[n]  ,   for all n    Givet   x[n]  ,   for all n



• Bounded input Bounded output (BIBO)



                                                           s.66
                  Session 1.
•   Sekvenser
•   Diskrete systemer
•   Lineære systemer
•   Foldning og impuls respons
                LTI systemer
• Lineær og tidsinvariant systemer
  – Superposition+uafhængig af tid
  Introduktion til analyse af linaer og
        tidsinvariante systemer
• Formålet med analyse af LTI systemer
  tidsdomænet er at kunne beskriver systemtes
  egneskaber og at kunne beregne et output hvis
  et input er givet.


        Input       System     Output



     x[n]          T {}        y[n]
                                         Impuls respons
                                             Unit sample bruges som impuls

              [n]                             h[n]  T  [n]                               h[n]
 1                                                                            1

0.8                                                                          0.8

0.6                                                                          0.6

0.4                                                    T{∙}                  0.4

0.2                                                                          0.2


 0                                                                            0
  -3 -2 -1   0   1   2   3   4   5   6   7                                     -3 -2 -1   0   1   2   3   4   5   6   7
                                                                                                  n
                     n




                                                                                              Side 23 Oppenheim
         Unit sample egenskaber
Alle signaler kan udtrykkes som en sum af vægtede
og forskudte Unit samples



                                                    0, n  0
                                             [n]  
                                                    1, n  0


                          
               x[n]     x[k ] [n  k ]
                        k  


                                                       Side 11 Oppenheim
Impulsrespons og Lineære tidsinvariante
            systemer (LTI)
                                                

   y[n]  T x[n]                   x[n]     x[k ] [n  k ]
                                              k  


                             
   y[n]  T   x[k ] [n  k ]
            k                     Hvis vi antager T{∙} som er lineær
                                          kan vi bruge superposition
              
   y[n]      x[k ]T  [n  k ]
            k  
                                         h [ n]  T  [ n]
                                       Hvis vi antager tidsinvarians
  y[n]      x[k ]h[n  k ]
            k  
                                      hk [n  k ]  T  [n  k ]

                                                            Side 23 Oppenheim
           Betyding af foldning
• Et hvilket som helst LTI system kan beskrives
  alene fra implusresponsen h[n].
                               Folding (Convolution)
                                                                          
• Foldings sum                                              y[ n]     x[k ]h[n  k ]
                                                                      k  

• Generel notation                                              y[n]  x[k ] * h[n]

                x[n]                             h[n]                                  y[n]
  5                                5                                  5

  4                                4                                  4

  3                                3                                  3

  2                                2                                  2

  1                                1                                  1

  0                                0                                  0
   -1   0   1          2   3   4    -1   0   1          2   3   4      -1      0   1          2      3    4




                                                                                                  Side 23 Oppenheim
                 Trin i foldning
•   Flip det ene signal
•   Forskyd
•   Multiplicer alle sample sammen
•   Addere multiplikations resultaterne
                    Folding: eksample                                   
                                                             y[n]     x[k ]h[n  k ]
                                                                      k  
                          x[n]                               y[n]
         5                                           5

         4                                           4

         3                                           3
x[n]




                                              y[n]
         2                                           2

         1                                           1

         0                                           0
          -2   -1    0     1      2   3   4              0    2             4
                           n                                  n
                         h[n-k]
                         y[n-k]
         5
                                              n=2
                                               n=4
                                               n=1
                                              n=3
         4

         3
h[n-k]
y[n-k]




                                              y[3]=x[1] h[2]
                                              y[2]=x[1] h[1]+x[2] h[2]
                                              y[1]=x[1] h[1]
                                              y[4]=x[2]
         2
                                              y[2]=1*1+2*2=5
                                              y[1]=2*1=2
                                              y[4]=2*1=2
                                              y[3]=1*1+2*1=3
         1

         0
          -2   -1    0     1      2   3   4
                           k
           Regneregler for foldning
• Foldning er kommutativ            y[n]  x[n] * h[n]  h[n] * x[n]
                                                 
• Derfor
                            x[k ]h[n  k ]   h[k ]x[n  k ]
                           k                 k  



• Foldning er distributiv med hensyn til addition

        x[n] * h1[n]  x[n] * h2 [n]      x[n] * h1[n]  h2 [n]




                                                                     Side 76
  Op summering 2 metoder til beskrivelse af
    lineære tidsinvariante systemer (LTI)
• Input output relationen:
                 y[n]  x[n]  x[n  1]


• Beskrivelse af et systemt output til et kendt
  systemt input:
                  Session 1.
•   Sekvenser
•   Diskrete systemer
•   Lineære systemer
•   Foldning og impuls respons

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:0
posted:5/2/2013
language:Unknown
pages:50