Abi-Know-How-Mathematik

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					      Mathe bis zum Abitur

Abi Know-How Mathematik
    Olaf Schneider, Dipl.-Math.

       30. November 2011




                 1
Liebe Schülerin, lieber Schüler,

Das Abi Know-How Mathematik ist als Lernhilfe für meine Nachhilfeschüler entstanden.

Es ist geeignet für die Oberstufe bis zum Abitur.
Die Themen werden erklärt und durch Beispiele mit Lösungen veranschaulicht.

Ich hoffe, es kann auch dir etwas dabei helfen, Mathe bis zum Abi gut zu verstehen!

Olaf Schneider
Mühlweg 1
71566 Althütte




                                              2
Inhaltsverzeichnis
1 Analysis                                                                                                     6
  1.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
      1.1.1 Allgemeine Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
      1.1.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
      1.1.3 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
      1.1.4 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
      1.1.5 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .    8
      1.1.6 Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .    8
  1.2 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
      1.2.1 allgemeiner Lösungsplan . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
      1.2.2 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
      1.2.3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
      1.2.4 Biquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
      1.2.5 Potenzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
      1.2.6 Produktgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
      1.2.7 Algebraische Gleichungen ohne Absolutglied . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
      1.2.8 Algebraische Gleichungen mit einer bekannten Lösung           .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
      1.2.9 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   13
      1.2.10 Newtonsches Näherungsverfahren . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   14
  1.3 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
      1.3.1 Anschauliche Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
      1.3.2 Bestimmung der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
  1.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   20
      1.4.1 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   20
      1.4.2 Schnittpunkte mit der y-Achse . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   21
      1.4.3 Schnittpunkte mit der x-Achse . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   21
      1.4.4 Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   21
      1.4.5 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   22
      1.4.6 Senkrechte Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   23
      1.4.7 Grenzwerte und waagrechte Asymptoten . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   23
      1.4.8 Schiefe Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   25
      1.4.9 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   25
  1.5 Stammfunktion und Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   26
      1.5.1 Anschauliche Bedeutung der Stammfunktion . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   26
      1.5.2 Bestimmung der Stammfunktion . . . . . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   26
      1.5.3 Berechnung von Flächen mit Integralen . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   28
      1.5.4 Volumenberechnung von Rotationskörpern . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   29
      1.5.5 Durchschnittswert von Funktionswerten . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   29
      1.5.6 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   30
      1.5.7 Keplersche Fassregel . . . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   30
  1.6 Beziehungen zwischen Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   32
      1.6.1 Schnittpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   32



                                              3
         1.6.2 Berührpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   32
         1.6.3 Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   33
         1.6.4 Senkrechter Schnitt . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   34
         1.6.5 Normalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   34
         1.6.6 Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   34
   1.7   Bestimmung von Funktionsgleichungen . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   35
         1.7.1 Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   35
         1.7.2 Aufstellen der Gleichungen . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   35
         1.7.3 Lösung des Gleichungssystems . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   37
   1.8   Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   39
         1.8.1 Bestimmung der Zielfunktion . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   39
         1.8.2 Bestimmung des Extremwerts der Zielfunktion         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   41
   1.9   Funktionenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   44
         1.9.1 Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   44
         1.9.2 Bestimmung von Parametern . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   44
         1.9.3 Parameterunabhängige Eigenschaften . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   46

2 Geometrie                                                                                                            49
  2.1 Begriffe und Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               .   .   .   .   .   .   .   .   49
  2.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                .   .   .   .   .   .   .   .   54
      2.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 .   .   .   .   .   .   .   .   54
      2.2.2 Matrix Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 .   .   .   .   .   .   .   .   55
      2.2.3 Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 .   .   .   .   .   .   .   .   55
      2.2.4 allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungssysteme .                       .   .   .   .   .   .   .   .   56
  2.3 Umwandlung der Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . .                    .   .   .   .   .   .   .   .   62
      2.3.1 Parameterform in Koordinatenform . . . . . . . . . . .                     .   .   .   .   .   .   .   .   62
      2.3.2 Koordinatenform in Parameterform . . . . . . . . . . .                     .   .   .   .   .   .   .   .   62
      2.3.3 Koordinatenform in Normalenform . . . . . . . . . . .                      .   .   .   .   .   .   .   .   63
      2.3.4 Normalenform in Koordinatenform . . . . . . . . . . .                      .   .   .   .   .   .   .   .   63
      2.3.5 Parameterform in Normalenform und umgekehrt . . . .                        .   .   .   .   .   .   .   .   64
      2.3.6 Quadratische Form in Kugelform . . . . . . . . . . . .                     .   .   .   .   .   .   .   .   64
  2.4 Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen . . . . . . . .                    .   .   .   .   .   .   .   .   65
      2.4.1 Gerade durch zwei Punkte . . . . . . . . . . . . . . . .                   .   .   .   .   .   .   .   .   65
      2.4.2 Ebene durch drei Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . .                  .   .   .   .   .   .   .   .   65
      2.4.3 Ebene durch einen Punkt und eine Gerade . . . . . . . .                    .   .   .   .   .   .   .   .   65
      2.4.4 Ebene durch zwei Geraden . . . . . . . . . . . . . . . .                   .   .   .   .   .   .   .   .   66
      2.4.5 Koordinatenachsen und -ebenen . . . . . . . . . . . . .                    .   .   .   .   .   .   .   .   67
      2.4.6 Ebene senkrecht zu zwei Ebenen durch einen Punkt . . .                     .   .   .   .   .   .   .   .   67
      2.4.7 Ebene senkrecht zu einer Geraden und durch einen Punkt                     .   .   .   .   .   .   .   .   68
      2.4.8 Lotgerade auf eine Ebene durch einen Punkt . . . . . .                     .   .   .   .   .   .   .   .   68
      2.4.9 Tangentialebene und Schnittkreisebene bei Kugeln . . .                     .   .   .   .   .   .   .   .   68
  2.5 Lagebeziehungen und Schnittberechnung . . . . . . . . . . . .                    .   .   .   .   .   .   .   .   70
      2.5.1 Punkt - Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 .   .   .   .   .   .   .   .   70
      2.5.2 Punkt - Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                .   .   .   .   .   .   .   .   70



                                              4
     2.5.3 Punkt - Kugel . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   70
     2.5.4 Gerade - Gerade . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   71
     2.5.5 Gerade - Ebene . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   73
     2.5.6 Gerade - Kugel . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   74
     2.5.7 Ebene - Ebene . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   75
     2.5.8 Ebene - Kugel . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   77
     2.5.9 Kugel - Kugel . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   78
     2.5.10 Spurpunkte einer Geraden . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   80
     2.5.11 Spurpunkte einer Ebene . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   80
     2.5.12 Spurgeraden einer Ebene . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   80
2.6 Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   82
     2.6.1 Abstand Punkt-Punkt . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   82
     2.6.2 Abstand Punkt-Ebene . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   82
     2.6.3 Abstand Punkt-Gerade . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   82
     2.6.4 Abstand Gerade-Gerade . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   83
     2.6.5 Abstand Gerade-Ebene . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   84
     2.6.6 Abstand Ebene-Ebene . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   84
2.7 Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   85
     2.7.1 Punkt an Ebene . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   85
     2.7.2 Punkt an Gerade . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   85
     2.7.3 Gerade an Ebene . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   85
     2.7.4 Ebene an Ebene . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   86
     2.7.5 Kugel an Ebene . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   87
2.8 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   88
     2.8.1 Winkel zwischen zwei Vektoren . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   88
     2.8.2 Winkel zwischen zwei Geraden . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   88
     2.8.3 Winkel zwischen Gerade und Ebene          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   88
     2.8.4 Winkel zwischen zwei Ebenen . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   89
2.9 Scharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   90
     2.9.1 Geradenscharen . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   90
     2.9.2 Ebenenscharen . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   91
     2.9.3 Kugelscharen . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   92
2.10 Geometrische Figuren und Körper . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   94
     2.10.1 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   94
     2.10.2 Vierecke . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   95
     2.10.3 Körper . . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   96




                                           5
1 Analysis
1.1 Funktionen
1.1.1 Allgemeine Funktionen
Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift (in Form einer Funktionsgleichung), die jeder Zahl
x aus einer bestimmten Teilmenge der reellen Zahlen wieder eine reelle Zahl, den Funktionswert
y = f (x) zuordnet. Dabei heißt x unabhängige Variable (Argument, Abszisse) und y abhängige
Variable (Ordinate). Die Menge der Ausgangswerte x heißt Definitionsmenge D, und die Men-
ge der Funktionswerte y heißt Wertemenge W . Funktionen kann man sich so veranschaulichen,
dass man sich jedes Zuordnungspaar (x|f (x)) als Punkt mit diesen beiden Koordinaten in einem
Koordinatensystem vorstellt. Alle solchen Punkte bilden dann eine Kurve, die Schaubild oder
Graph der Funktion genannt wird. Um zu sehen, wie das Schaubild einer Funktion aussieht, legt
man oft eine Wertetabelle an, in der man zu so vielen x-Werten die Funktionswerte ausrech-
net bis man genügend Punkte ins Koordinatensystem eintragen kann, um den Kurvenverlauf zu
erkennen.

1.1.2 Lineare Funktionen
Lineare Funktionen sind Funktionen mit Geraden als Schaubildern, die nicht senkrecht zur x-
Achse sind. Zu Geraden, die senkrecht zur x-Achse sind, gibt es keine Funktion, da ja hier zu
einem x-Wert unendlich viele y-Werte gehören (Solche Geraden werden durch Gleichungen der
Form x = c beschrieben, wenn die Gerade senkrecht durch den Wert c auf der x-Achse gehen
soll). Die linearen Funktionen haben die Menge der reelen Zahlen als Definitionsmenge und
können durch eine der drei folgenden Formen beschrieben werden.

    • Normalform:
                                          y = mx + b.
      Dabei wird m Steigung, und b y-Achsenabschnitt genannt. Für positive Werte von m
      steigt die Gerade bei zunehmenden x-Werten um so steiler an, je größer m ist, und für
      negative Werte fällt sie um so steiler ab, je kleiner m ist. Für m = 0 hat die Gleichung
      die Form y = c. So eine Gerade ist parallel zur x-Achse. Der Wert für b ist immer dafür
      verantwortlich, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet.
      Um die Gerade zu einer gegebenen Normalform zu zeichnen, reicht es, wenn Du eine
      Wertetabelle mit zwei Werten für x anlegst, zum Beispiel mit x = 0 und x = 1. Die
      Gerade ist durch diese zwei Punkte festgelegt.

    • Punkt-Steigungsform:
                                       y = m(x − x1 ) + y1
      Diese ist praktisch bei Geraden, die mit einer vorgegebenen Steigung m durch einen Punkt
      P (x1 |y1 ) gehen sollen. Du setzt dann m, x1 und y1 ein und erhältst durch Auflösen der
      Klammer wieder die Normalform.




                                              6
      Beispiel:
      Eine Gerade hat die Steigung m = −3 und geht durch P (−1|2). Damit lässt sich die
      Punkt-Steigungsform
                                     y = −3(x + 1) + 2
      aufstellen, was umgeformt die Normalform y = −3x − 1 ergibt.

   • Zwei-Punkteform:
                                        y − y1   y2 − y1
                                               =         .
                                        x − x1   x2 − x1
      Sind zwei Punkte P1 (x1 |y1 ) und P2 (x2 |y2 ) vorgegeben, durch die die gesuchte Gerade
      gehen soll, dann setzt Du zuerst alle Koordinaten in die Zwei-Punkteform ein, und löst
      das ganze nach y auf, um die Normalform zu bekommen.
      Beispiel:
      Eine Gerade soll durch die zwei Punkte P1 (−1|2) und P2 (2|1) gehen. Dann sieht die
      Zwei-Punkteform so aus:
                                           y−2        1−2
                                                   =       .
                                           x+1        2+1
                   y−2                        1
      Es gilt also x+1 = − 1 , bzw. y − 2 = − 3 (x + 1), was nach y aufgelöst die Normalform
                            3
                    5
      y = − 1 x + 3 ergibt.
              3


1.1.3 Ganzrationale Funktionen
Funktionen, die Potenzen von x enthalten und auf die Form

                         f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0

gebracht werden können, nennt man ganzrationale Funktionen vom Grad n, wobei n die größte
vorkommende Potenz von x ist. Alle ganzrationalen Funktionen haben als Definitionsmenge die
Menge der reellen Zahlen.
Beispiel:
Die Funktion f (x) = (x2 − x − 2)(x − 3) kann durch Ausmultiplizieren der Klammern auf die
Form f (x) = x3 − 4x2 + x + 6 gebracht werden und ist deshalb eine ganzrationale Funktion
vom Grad n = 3 mit a3 = 1, a2 = −4, a1 = 1 und a0 = 6.

1.1.4 Gebrochenrationale Funktionen
Das sind Funktionen, die aus einem Bruch bestehen, bei dem der Zähler und Nenner jeweils
ganzrationale Funktionen sind. Die Definitionsmenge besteht aus der Menge der reellen Zahlen,
mit Ausnahme der Werte für x, bei denen die Nennerfunktion den Wert 0 annimmt. Solche Werte
heißen Definitionslücken.
Beispiel:
                                          −3x+1
Für die Definitionsmenge D von f (x) = x(6−5x) gilt D =IR \{0; 6 } also alle reellen Zahlen
                                                                  5
                                   6
mit Ausnahme von x = 0 und x = 5 .




                                              7
1.1.5 Exponentialfunktionen
Funktionen der Form
                                        f (x) = eax+b
werden Exponentialfunktionen genannt. Dabei steht e für die Eulersche Zahl und hat den Wert
2.7182.... a und b sind fest vorgegebene reelle Zahlen ohne bestimmten Namen. Für die Defini-
tionsmenge D gilt D =IR.
Ist a positiv, dann steigt die Exponentialfunktion in Richtung wachsender x-Werte an und nimmt
dabei beliebig hohe Werte an. In Richtung abnehmender x-Werte kommt sie der x-Achse belie-
big nahe. Für negative Werte von a ist das Verhalten in Richtung zu- bzw. abnehmender x-Werte
vertauscht.
Ist a = 0, dann liegt eine waagrechte Gerade mit der Gleichung y = eb vor, die bei diesem Wert
durch die y-Achse geht.

1.1.6 Logarithmusfunktion
Die ln-Funktion (”logarithmus naturalis”) mit der Gleichung

                                        f (x) = ln(x)

ordnet jeder Zahl x ihren sogenannten natürlichen Logarithmus y = ln(x) zu. Damit ist diejeni-
ge Zahl y gemeint, für die ey = x gilt, wobei e die Eulersche Zahl mit dem Wert 2.7182... ist.
Es gibt nur für positive x-Werte eine solche Zahl y, für die Definitionsmenge gilt also D =
{x ∈IR|x > 0} = IR+ . Die Wertemenge ist W = IR, es kommen also alle reellen Zahlen als
Funktionswerte vor.
Die Logarithmusfunktion ist in Richtung wachsender x-Werte ansteigend.
Für x < 1 gilt ln(x) < 0, in diesem Bereich verläuft das Schaubild unterhalb der x-Achse.
Für x = 1 gilt ln(x) = ln(1) = 0, an dieser Stelle geht das Schaubild durch die x-Achse.
Für x > 1 gilt ln(x) > 0, hier verläuft das Schaubild oberhalb der x-Achse.
Die Logarithmusfunktion hat folgende drei Eigenschaften, die bei Umformungen verwendet
werden dürfen:
ln(a · b) = ln(a) + ln(b), ln( a ) = ln(a) − ln(b), ln(ac ) = c · ln(a) für a, b > 0
                               b




                                              8
1.2 Gleichungen
1.2.1 allgemeiner Lösungsplan
Beim Lösen von Gleichungen gehst Du am besten systematisch nach folgendem Plan vor:
   1. Bring alles auf die linke Seite der Gleichung, so dass rechts 0 steht.
   2. Kommen Brüche vor, dann multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner.
   3. Vereinfache die Gleichung so weit wie möglich, so dass Du sie einer der Gleichungen aus
      diesem Kapitel zuordnen kannst.
   4. Löse die jeweilige Gleichung mit der beschriebenen Methode und mach auf jeden Fall am
      Schluss die Probe!

1.2.2 Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen sind Gleichungen, die auf die Form

                                     ax + b = 0     (a = 0)

gebracht werden können. Sie haben die Lösung x = −b .
                                                 a
Beispiel:
                                                                               −3       3
Die Gleichungen −2x + 3 = 0 und 5x + 6 = 0 haben die Lösungen x =              −2   =   2,   bzw.
x = −6 = − 5 .
     5
            6



1.2.3 Quadratische Gleichungen
Gleichungen, die auf die Form

                                  ax2 + bx + c = 0     (a = 0)

gebracht werden können, heißen quadratische Gleichungen. Sie können mit der Lösungsformel
                                              √
                                         −b ± b2 − 4ac
                                 x1/2 =
                                                2a
nach x aufgelöst werden, falls der Ausdruck b2 − 4ac (die sogenannte Diskriminante D) unter
der Wurzel nicht negativ ist. Dabei gibt es zwei Lösungen x1 und x2 für D > 0, und nur eine
Lösung für x, wenn D = 0 ist. Bei negativer Diskriminante hat die Gleichung keine Lösung. Du
musst beim Einsetzen von den Zahlen a, b und c in die Lösungsformel unbedingt ihre Vorzei-
chen richtig beachten, deshalb kommen in den Beispielen gleich viele Minuszeichen vor. Wenn
Brüche vorkommen ist es gut, die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner durchzumultiplizie-
ren, dann ist die Anwendung der Lösungsformel weniger fehlerträchtig.
Beispiele:
Für die Gleichung −2x2 + 11x − 15 = 0 bekommen wir die Lösungen
                                                                       √
                           −11 ± 112 − 4 · (−2) · (−15)        −11 ± 1
                    x1/2 =                                 =             ,
                                        2 · (−2)                   −4



                                                9
also x1 = −11+1 = 2 und x2 = −11−1 = 3.
             −4
                    5
                                 −4
Die Gleichung 4 x2 − 2 x + 4 = 0 wird zuerst mit dem Hauptnenner 36 durchmultipliziert, so
                9     3
                            1

dass wir die Gleichung 16x2 − 24x + 9 = 0 bekommen, die dann reif für die Lösungsformel ist:
                                                                   √
                           −(−24) ± (−24)2 − 4 · 16 · 9     24 ± 0
                    x1/2 =                                =            .
                                        2 · 16                  32
In diesem Fall ist also die Diskriminante 0, und es gibt nur die eine Lösung x1 = 24 = 3 .
                                                                                  32   4
Als Letztes noch ein Beispiel für eine quadratische Gleichung, die keine Lösung hat: −x2 −
2x − 5 = 0. Dabei ergibt die Formel
                                                                        √
                           −(−2) ± (−2)2 − 4 · (−1) · (−5)          2 ± −16
                  x1/2 =                                         =            ,
                                        2 · (−1)                        −2

mit negativer Diskriminante D = −16. Das bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Lösungen
hat.

1.2.4 Biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen haben die Form

                                       ax4 + bx2 + c = 0

und lassen sich durch die Substitution u = x2 auf die quadratische Gleichung au2 + bu + c = 0
zurückführen. Du löst also zuerst diese Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische
Gleichungen.
Gibt es dabei keine Lösung, dann hat auch die biquadratische Ausgangsgleichung keine.
Bekommst Du mit der Lösungsformel eine Lösung u1 , dann folgen daraus wegen u = x2 die
                                             √
                     √
Lösungen x1/2 = ± u1 falls u1 > 0, x1 = 0 = 0 für u1 = 0, oder es gibt gar keine Lösung
für x für den Fall u1 < 0.
Wenn die Lösungsformel zwei Lösungen u1 und u2 hat, bekommst Du entsprechend für jede
davon keine, eine oder zwei Lösungen für x.
Beispiele:
Wir berechnen die Lösungen der Gleichungen
−x4 − 6x2 + 27 = 0 und
2x4 − 11x2 + 12 = 0.
Mit u = x2 bekommen wir aus der ersten Gleichung −u2 − 6u + 27 = 0. Die Lösungsformel
für quadratische Gleichungen ergibt dann
               √                              √                      √
         −(−6)±    (−6)2 −4·(−1)·27
u1/2 =          2(−1)
                                              144                   144
                              , also u1 = 6+−2 = −9 und u2 = 6−−2 = 3. Daraus folgen
dann aus u1 = x2 keine Lösungen für x, wegen u1 = −9 < 0. Aus u2 = x2 folgen für x die
                    √
Lösungen x1/2 = ± 3.
Mit u = x2 bei der zweiten Gleichung gilt 2u2 − 11u + 12 = 0. Daraus folgt
                √                              √                      √
         −(−11)±    (−11)2 −4·2·12
u1/2 =              2·2          also u1 = 11+4 25 = 4 und u2 =
                                   ,                               11− 25
                                                                      4     = 3 . Für x gibt es
                                                                              2
                                √
dann vier Lösungen: x1/2     = ± 4 = ±2 und x3/4 = ± 3 .2




                                              10
1.2.5 Potenzgleichungen
Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form

                                       xn − c = 0 ⇐⇒ xn = c

und können durch Wurzelziehen gelöst werden. Dabei gibt es ein paar Fälle zu unterscheiden.
                                                        √
Bei geraden Exponenten n gibt es die Lösungen x1/2 = ± n c für c ≥ 0 und keine Lösung für
c < 0.
                                                                                      √
Bei ungeraden Exponenten gibt es immer genau eine Lösung, nämlich entweder x = n c für
c ≥ 0, oder x = − n |c| für c < 0.
Beispiele:
                              √                       √   √
                   x2
                                                          4
                        =         5   ⇐⇒ x1/2 = ±      5=± 5
                   x4   = −3          ⇐⇒ Es gibt keine Lösung
                                              3 8      2
                   x3     =   8
                              27      ⇐⇒ x =        =
                                                 27    3
                                                  √       √
                   x5 = −64 ⇐⇒ x = − 5 | − 64| = − 64 = −2 2
                                                  5       5




1.2.6 Produktgleichungen
Produktgleichungen haben die Form

                                         T1 (x) · T2 (x) = 0.

Daraus folgt T1 (x) = 0 oder T2 (x) = 0. Alle Lösungen ergeben sich also aus den Lösungen
der beiden Einzelgleichungen. Das Entsprechende gilt natürlich auch für Produkte aus mehreren
Termen.
Beispiel:
                                                           5
Aus x(2x − 5)2 (x2 + 5x + 7) = 0 folgt x = 0 oder x = 2 . Das sind alle Lösungen, da nach
1.2.3 die Gleichung x 2 + 5x + 7 = 0 keine Lösung hat.



1.2.7 Algebraische Gleichungen ohne Absolutglied
Eine Gleichung der Form

                            an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0

nennt man algebraische Gleichung vom Grad n, falls n der größte vorkommende Exponent von
x ist. Wenn das Absolutglied a0 fehlt (d.h. es gilt a0 = 0), dann können wir die Gleichung
umformen, indem wir x ausklammern. Dann sieht die Gleichung so aus:

                          x an xn−1 + an−1 xn−2 + ... + a1 = 0.




                                                 11
Diese Gleichung hat auf jeden Fall die Lösung x = 0. Um alle Lösungen zu bekommen, musst
Du außerdem noch den Term in der Klammer 0 setzen und nach x auflösen, wobei diese Glei-
chung um einen Grad kleiner ist.
Beispiel:
Die Lösungen der Gleichung 2x3 + 9x2 + 10x = 0 bekommen wir durch Ausklammern:
x(2x2 + 9x + 10) = 0. Daraus folgt x1 = 0 als erste Lösung. Die anderen bekommen wir
                                                                                      5
aus der Gleichung 2x2 + 9x + 10 = 0, die nach 1.2.3 die Lösungen x2 = −2 und x3 = − 2
liefert.

1.2.8 Algebraische Gleichungen mit einer bekannten Lösung
Musst Du eine algebraische Gleichung

                             an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0

lösen, die nicht linear, quadratisch, biquadratisch oder ohne Absolutglied ist und die auch kei-
ne Potenzgleichung darstellt, dann gibt es nur noch eine Möglichkeit. Du musst dann min-
destens eine Lösung x1 entweder schon kennen oder durch Probieren (Einsetzen von x =
1, −1, 2, −2, 3, −3, ...) erraten. Mit Hilfe von dieser Lösung erhältst Du durch Polynomdivi-
sion auch noch die restlichen Lösungen. Nimmst Du nämlich die bekannte Lösung x1 , geht die
folgende Polynomdivision mit dem Ergebnis T (x) ohne Rest auf:

            (an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ) : (x − x1 ) = T (x),       bzw.
                         n           n−1
                    (an x + an−1 x         + ... + a1 x + a0 ) = (x − x1 ) · T (x).

Das bedeutet, dass die zu lösende Gleichung äquivalent ist zu

                                      (x − x1 ) · T (x) = 0.

Die Gleichung ist also erfüllt für x = x1 , was sowieso schon bekannt ist, oder wenn T (x) = 0
ist, was bei Auflösen nach x die restlichen Lösungen ergibt.
Beispiele:
Um die Gleichung 2x3 − x2 − 36x − 45 = 0 zu lösen, setzen wir für x ganze Zahlen ein. Dabei
ergibt sich, dass x1 = −3 wegen 2(−3)3 − (−3)2 − 36(−3) − 45 = 0 eine Lösung ist. Die
Polynomdivision sieht dann so aus:

                      (2x3 − x2 − 36x − 45) : (x + 3) = 2x2 − 7x − 15.
                    − (2x3 + 6x2 )
                           −7x2 − 36x − 45
                         − (−7x2 − 21x)
                                −15x − 45
                             − (−15x − 45)
                                    0

Die übrigen Lösungen folgen jetzt mit 1.2.3 aus 2x2 − 7x − 15 = 0, und zwar gilt x2 = 5 und
x3 = − 3 .
        2




                                                 12
Wir betrachten noch die Gleichung 4x3 − 21x + 10 = 0. Dabei erraten wir wieder eine Lösung
x1 = 2, und führen eine Polynomdivision durch:
                       (4x3        −21x + 10) : (x − 2) = 4x2 + 8x − 5.
                     − (4x 3 − 8x2 )

                               8x2 − 21x + 10
                             − (8x2 − 16x)
                                     −5x + 10
                                − (−5x + 10)
                                        0
                                                                        1
Aus 4x2 + 8x − 5 = 0 ergeben sich dann weiter die Lösungen x2 =         2   und x3 = − 5 .
                                                                                       2


1.2.9 Exponentialgleichungen
Zur Beschreibung der Lösung wird der sogenannte natürliche Logarithmus verwendet, wobei
ln (c) als derjenige Wert definiert ist, der die Eulersche Zahl e so potenziert, dass sich c ergibt.
Der natürliche Logarithmus ist also die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und es gilt
                                       y = ex ⇔ x = ln y
Tritt die Unbekannte x bei einer Exponentialgleichung in mehreren Exponenten auf, dann sub-
stituiere mit u = ex . Alle Terme der Form eax+b können dabei so mit u ausgedrückt werden:
                             eax+b = eb · eax = eb · (ex )a = eb · ua
Löse dann die Gleichung nach u auf. Ist u > 0 Lösung der substituierten Gleichung, dann er-
hältst du mit der Rücksubstitution x = ln(u) die Lösung der ursprünglichen Gleichung. Für
u ≤ 0 ergibt die Rücksubstitution keine Lösung für x.

Beispiele:
   1. Die Lösung der Gleichung eax+b = c mit c > 0 erhalten wir durch Logarithmieren und
      anschließendes Auflösen nach x:
                                         eax+b = c
                                        ax + b = ln(c)
                                                      ln(c) − b
                                              x =
                                                          a
      Für c ≤ 0 existiert natürlich auch hier keine Lösung.
   2. Bei der Gleichung ex+1 − ex−2 = 3 tritt x in zwei Exponenten auf. Wir substituieren
      deshalb u = ex und mit ex+1 = e1 · ex = eu bzw. ex−2 = e−2 · ex = e−2 u folgt:
                                     eu − e−2 u = 3
                                    (e − e−2 )u = 3
                                                          3
                                              u =              >0
                                                       e − e−2


                                                13
                                                                     3
      Die Rücksubstitution liefert also die Lösung x = ln(u) = ln( e−e−2 )

   3. Die Exponentialgleichung 6e2x − ex − 1 = 0 führt nach der Substitution u = ex mit
      e2x = (ex )2 = u2 auf die Gleichung

                                         6u2 − u − 1 = 0

      Diese hat die Lösungen u1 = 1 und u2 = − 1 . Aus u1 ergibt sich bei der Rücksubstitution
                                   2            3
                         1
      die Lösung x = ln( 2 ) und wegen u2 ≤ 0 gibt es keine weitere Lösung.

   4. Die Gleichung 5ex − 7 + 2e−x = 0 lösen wir ebenfalls mit Substitution. Aus u = ex folgt
      mit e−x = (ex )−1 = u−1 = u :
                                 1


                                              2
                                      5u − 7 +   = 0 |·u
                                              u
                                    5u2 − 7u + 2 = 0

      Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen u1 = 2 und u2 = 1. Da beide Werte
                                                           5
      positiv sind, bekommen wir diesmal zwei Lösungen: x1 = ln( 2 ) und x2 = ln(1) = 0
                                                                 5


1.2.10 Newtonsches Näherungsverfahren
Wenn sich eine Gleichung der Form f (x) = 0 nicht nach einer der genannten Methoden auflösen
lässt, dann gibt es noch die Möglichkeit die gesuchte Lösung x näherungsweise zu ermitteln.
Dazu gibt es das Newtonsche Näherungsverfahren. Dieses funktioniert so, dass Du ausgehend
von einem Startwert x0 , den Du in die Formel
                                                   f (xn )
                                    xn+1 = xn −
                                                   f (xn )

einsetzt, einen ersten Näherungswert x1 erhältst. Diesen setzt Du wieder ein und bekommst
daraus einen zweiten Näherungswert x2 , usw..
Beispiel:
Wir berechnen eine Näherungslösung für die Gleichung

                                         ex = 2 − x.

Diese muss erst auf die Form f (x) = 0 gebracht werden: ex + x − 2 = 0. Dabei ist f (x) =
ex + x − 2 und f (x) = ex + 1. Die Näherungsvorschrift ist also gegeben durch

                                               e xn + x n − 2
                                xn+1 = xn −                   .
                                                   exn + 1
Wir berechnen damit jetzt eine Näherungslösung mit dem Startwert x0 = 1. Dabei wird das Ver-
fahren abgebrochen, wenn sich die dritte Stelle hinter dem Komma erstmals nicht mehr ändert.

                                 ex0 + x0 − 2     e1 + 1 − 2
                  x1 = x0 −                   =1−            ≈ 0, 5379
                                    ex0 + 1         e1 + 1


                                             14
                              ex1 + x1 − 2
                  x2 = x1 −                ≈ 0.4456
                                 ex1 + 1
                              ex2 + x2 − 2
                  x3   = x2 −              ≈ 0, 4429
                                 ex2 + 1
                              ex3 + x3 − 2
                  x4   = x3 −              ≈ 0, 4429
                                 ex3 + 1
x = 0, 443 ist also eine auf drei Stellen gerundete Näherungslösung.




                                              15
1.3 Ableitung
1.3.1 Anschauliche Bedeutung
Zu einer gegebenen Funktion f lässt sich oft eine Ableitungsfunktion f finden, die so wie die
Steigung bei Geraden ein Maß dafür ist, wie f an jeder Stelle x ansteigt oder abfällt. Ist f (x)
positiv, dann steigt f an der Stelle x an, und zwar umso steiler, je größer der Wert für f (x)
ist. Bei negativem f (x) fällt sie dagegen umso steiler ab, je kleiner der Wert ist. Für f (x) = 0
bewegt sich die Funktion an der Stelle x gerade in waagrechter Richtung. Wenn man f bestimmt
hat, dann kann man davon wieder die Ableitung ausrechnen, die dann die zweite Ableitung f
ist, dann die dritte und so weiter.

1.3.2 Bestimmung der Ableitung
    • Ableitung von konstanten Funktionen:
                                                     [c] = 0.

    • Ableitung der Exponentialfunktion:
                                              [ex ] = ex .

    • Ableitung der Logarithmusfunktion:
                                                                1
                                             [ln (x)] =           .
                                                                x
    • Ableitung von Potenzfunktionen:
                                            [xn ] = nxn−1 .
      Beispiele:
      [x] = [x1 ] = 1x1−1 = x0 = 1
      [x7 ] = 7x7−1 = 7x6
       √         1
                      1 1             1
      [ x] = [x 2 ] = 2 x 2 −1 = 2 x− 2 =
                                 1           1
                                                 1
                                                   √1
                                                  2 x
                                                      =
                                          2x 2
      [ x ] = [x−1 ] = (−1) · x−1−1 =
        1
                                        −x−2 =     1
                                                − x2
      [ x5 ] = [x−5 ] = (−5) · x−5−1 =
        1
                                         −5x −6 = − 5
                                                      x6

    • Ableitung einer mit einer Zahl c multiplizierten Funktion:
                                          [cf (x)] = cf (x).
      Beispiele:
      [−3x2 ] = −3 · [x2 ] = (−3) · 2x1 = −6x
      [− x3 ] = −4 · [x−3 ] = (−4) · (−3) · x−4 = 12x−4 =
            4                                                         12
                                                                      x4
      [2x   4 ] = 2[x4 ] = 2 · 4x3 = 8x3
         2          2        2
      [ 5t x] = 5t [x] = 5t
      [−5e     x ] = −5[ex ] = −5ex
           (x)
      [ ln 5 ] = 5 [ln (x)] = 1 · x = 5x
                      1
                                 5
                                    1    1




                                                     16
• Ableitung der Summe/Differenz von zwei (oder mehr) Funktionen:

                             [f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x).

  Beispiele:
       1                1            1
  [6 − 2 x2 ] = [6] − [ 2 x2 ] = 0 − 2 · 2x = −x
  [tx4 − 2x2 + 1 x − 2] = [tx4 ] − [2x2 ] + [ 1 x] − [2] = 4tx3 − 4x +
                 2                             2
                                                                         1
                                                                         2
  [kex − 2 x7 ] = [kex ] − [ 2 x7 ] = kex − 2x6
          7                   7

• Ableitung der Verkettung von zwei Funktionen (Kettenregel):

                                [f (g(x))] = g (x)f (g(x)).

  Beispiele:
  h(x) = eax+b lässt sich schreiben als Verkettung der inneren Funktion g(x) = ax + b mit
  der äußeren Funktion f (x) = ex . Mit g (x) = a und f (x) = ex also f (g(x)) = eax+b
  erhält man
                             h (x) = g (x)f (g(x)) = aeax+b .
  Für a = −1 und b = 0 gilt z.B. [e−x ] = −e−x .
  h(x) = (−x2 + 3 x − 5)17 schreiben wir zum Ableiten wieder als Verkettung von g(x) =
                 4
                                                              3
  −x2 + 3 x − 5 mit f (x) = x17 . Dann gilt g (x) = −2x + 4 , f (x) = 17x16 , d.h.
          4
  f (g(x)) = 17(−x 2 + 3 x − 5)16 und insgesamt:
                       4

                                                                             16
                                                    3         3
               h (x) = g (x)f (g(x)) = 17 −2x +          −x2 + x − 5              .
                                                    4         4

  Genauso kann man ein bißchen allgemeiner für h(x) = (ax2 + bx + c)n die Ableitung
  h (x) bestimmen:
                       h (x) = n(2ax + b)(ax2 + bx + c)n−1 .
  Für die Logarithmusfunktion h(x) = ln (ax + b) erkennen wir die innere Funktion g(x) =
                                                                        1
  ax + b und die äußere Funktion f (x) = ln (x). Aus g (x) = a, f (x) = x und f (g(x)) =
    1
  ax+b folgt dann endlich

                                                      1        a
                      h (x) = g (x)f (g(x)) = a ·          =
                                                    ax + b   ax + b
• Ableitung des Produkts aus zwei Funktionen (Produktregel):

                          [f (x)g(x)] = f (x)g(x) + g (x)f (x)

  Beispiele:

          [(−2x2 + 3)e−2x+1 ]     = [−2x2 + 3] e−2x+1 + [e−2x+1 ] (−2x2 + 3)
                                  ∗
                                  = −4xe−2x+1 + (−2)e−2x+1 (−2x2 + 3)
                                  = −4xe−2x+1 + (4x2 − 6)e−2x+1
                                  = (4x2 − 4x − 6)e−2x+1



                                         17
           (1 − 2x)(3x2 − x)        = [1 − 2x] [3x2 − x] + [3x2 − x] [1 − 2x]
                                    = (−2)(3x2 − x) + (6x − 1)(1 − 2x)
                                    = −6x2 + 2x + 6x − 12x2 − 1 + 2x
                                    = −18x2 + 10x − 1
                      3x2 e2−x      = [3x2 ] e2−x + [e2−x ] 3x2
                                       ∗
                                    = 6xe2−x + (−1)e2−x 3x2
                                    = (6x − 3x2 )e2−x
                   [−7x ln(8x)]     = [−7x] ln(8x) + [ln(8x)] (−7x)
                                    ∗                  1
                                    = −7 ln(8x) + 8 ·    · (−7x)
                                                      8x
                                    = −7 ln(8x) − 7

  *Hier ist auch noch die Kettenregel beteiligt.

• Ableitung des Quotienten aus zwei Funktionen (Quotientenregel):

                               f (x)           f (x)g(x) − g (x)f (x)
                                           =                          .
                               g(x)                    g(x)2

  Beispiele:

                               3                  [3] x2 − 3[x2 ]
                           −           = −
                               x2                      (x2 )2
                                                  0 − 6x
                                       =       −
                                                    x4
                                                6
                                       =
                                               x3
                         3x                    [3x] (1 − 5x)2 − [(1 − 5x)2 ] 3x
                                       =
                      (1 − 5x)2                           ((1 − 5x)2 )2
                                               3(1 − 5x)2 − 2(−5)(1 − 5x)3x
                                       =
                                                            (1 − 5x)4
                                               3(1 − 5x) − 2(−5)3x
                                       =
                                                       (1 − 5x)3
                                                15x + 3
                                       =
                                               (1 − 5x)3


  Bei dem zweiten Beispiel ist im zweiten Schritt mit (1 − 5x) gekürzt worden, das geht
  immer, wenn bei der Funktion die abgeleitet wird, der Nenner insgesamt eine Potenz
  mit dem Grad n ≥ 2 ist. Das ist zum Beispiel jedesmal der Fall, wenn Du die zweite
  Ableitung irgendeiner gebrochen-rationalen Funktion ausrechnest. Nicht vergessen, das
  ist eine wichtige Vereinfachung!




                                                 18
Zuletzt noch zwei Beispiele mit einem Exponential- bzw. Logarithmusterm:
                    2             2                            2
                  e3x           [e 3 x ] (x2 − 4) − [x2 − 4] e 3 x
                            =
                 x2 − 4                      (x2 − 4)2
                                 2 2x 2                 2
                                 3 e (x
                                    3      − 4) − 2xe 3 x
                            =
                                         (x2 − 4)2
                                                    2
                                ( 3 x2 − 2x − 8 )e 3 x
                                  2
                                                 3
                            =                          .
                                        (x2 − 4)2
                 ln(2x)         [ln(2x)] (5x + 1) − [5x + 1] ln(2x)
                            =
                 5x + 1                         (5x + 1)2
                                      1
                                2 · 2x · (5x + 1) − 5 ln(2x)
                            =
                                            (5x + 1)2
                                5x+1
                                   x − 5 ln(2x)
                            =
                                     (5x + 1)2
                                 5x+1
                                   x − 5x ln(2x)
                                           x
                            =
                                   (5x + 1)2
                                5x + 1 − 5x ln(2x)
                            =
                                    x(5x + 1)2




                                        19
1.4 Kurvendiskussion
1.4.1 Symmetrie
   • Achsensymmetrie
     Eine Funktion heißt achsensymmetrisch (zur y-Achse), wenn gilt

                                         f (−x) = f (x).

     Beispiele:
     Ganzrationale Funktionen, in denen nur gerade Hochzahlen vorkommen (Dazu gehören
     auch von x unabhängigen Konstanten) sind achsensymmetrisch. Zum Beispiel gilt für
                           5
     f (x) = −3x4 − 2x2 + 2

                                                 5               5
                 f (−x) = −3(−x)4 − 2(−x)2 +       = −3x4 − 2x2 + = f (x).
                                                 2               2
     Gebrochenrationale Funktionen, in denen entweder nur gerade, oder nur ungerade Hoch-
     zahlen vorkommen sind auch achsensymmetrisch. Das sieht bei f (x) = x3−x so aus:
                                                                            +2x

                         −(−x)          −(−x)        −(−x)         −x
           f (−x) =        3 + 2(−x)
                                     =    3 − 2x
                                                 =     3 + 2x)
                                                               = 3     = f (x).
                      (−x)             −x          −(x          x + 2x

   • Punktsymmetrie
     Eine Funktion heißt punktsymmetrisch (zum Ursprung), wenn gilt

                                        f (−x) = −f (x).

     Beispiele:
     Ganzrationale Funktionen in denen nur ungerade Hochzahlen vorkommen, sind punkt-
     symmetrisch. Zum Beispiel gilt für f (x) = − 1 x3 + 5x:
                                                  2

                       1               1             1
             f (−x) = − (−x)3 + 5(−x) = x3 − 5x = −(− x3 + 5x) = −f (x).
                       2               2             2
     Gebrochenrationale Funktionen, die im Zähler nur gerade Hochzahlen haben und im Nen-
                                                                                          2
     ner nur ungerade (oder umgekehrt), sind auch immer punktsymmetrisch. Bei f (x) = 1+x
                                                                                       4x
     sind die Exponenten im Zähler alle gerade, der Exponent im Nenner ist ungerade (x =
     x1 ), und es gilt

                                 1 + (−x)2   1 + x2    1 + x2
                      f (−x) =             =        =−        = −f (x).
                                   4(−x)      −4x        4x

Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und ganzrationale Funktionen, in denen gleich-
zeitig gerade und ungerade Exponenten auftauchen, sind nicht symmetrisch.




                                            20
1.4.2 Schnittpunkte mit der y-Achse
Punkte haben immer zwei Koordinaten: Die erste Koordinate ist der x-Wert und die zweite der
y-Wert. Bei Schnittpunkten von Funktionen mit der y-Achse gilt x = 0. Um y zu bekommen,
setzt Du also x = 0 in die Funktionsgleichung ein. Der Funktionswert f (0) ist dann der y-Wert
des Schnittpunktes.
Beispiele:
Für f (x) = 2(x + 1)e−x ist f (0) = 2(0 + 1)e0 = 2, also ist S(0|2) Schnittpunkt von f mit der
y-Achse.
                        x                                              0
Die Funktion f (x) = 2−x2 hat bei x = 0 den Funktionswert f (0) = 2−02 = 0, d.h. f schneidet
die y-Achse im Ursprung (0|0).
                             t                             t    t
Bei f (x) = (t − 1)x3 − x + 3 gilt f (0) = (t − 1)03 − 0 + 3 = 3 , f schneidet die y-Achse also
        t
in S(0| 3 ).

1.4.3 Schnittpunkte mit der x-Achse
Schnittpunkte von Funktionen mit der x-Achse haben immer den y-Wert 0. Die x-Werte, auch
Nullstellen genannt, berechnest Du indem Du die Gleichung f (x) = 0 nach x auflöst, wie in 1.2
beschrieben.
Beispiele:
                                           5                                             5
Die Nullstellen der Funktion f (x) = x − 2x+3 sind die Lösungen der Gleichung x − 2x+3 = 0.
Nach 1.2 wird diese zuerst mit 2x + 3 durchmultipliziert und danach vereinfacht, so dass sie
schließlich zu der quadratischen Gleichung 2x2 + 3x − 5 = 0 führt, mit den Lösungen x1 = 1
                                                5
und x2 = − 5 . Damit sind N1 (1|0) und N2 (− 2 |0) die beiden Schnittpunkte von f mit der x-
              2
Achse.
Die Schnittpunkte von f (x) = 1−3e−3x+2 bekommen wir aus 1−3e−3x+2 = 0, bzw. e−3x+2 =
1                                  1      1                                         1       1
3 , was nach 1.2.9 die Lösung x = 3 (2−ln 3 ) ergibt. Der Schnittpunkt ist also N ( 3 (2−ln 3 )|0).
Bei der Bestimmung der Nullstellen von f (x) = x(x + t)   2 stoßen wir auf die Produktgleichung

x(x + t)2 = 0, bei der wir nach 1.2.6 die beiden Lösungen x1 = 0 und x2 = −t, bzw. die
Schnittpunkte N1 (0|0) und N2 (−t|0) mit der x-Achse ablesen können.

1.4.4 Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte)
Hoch- bzw. Tiefpunkte einer Funktion sind Kurvenpunkte, die in einer gewissen Umgebung
die größten bzw. kleinsten Funktionswerte haben. Extremstellen sind die x-Koordinaten solcher
Extrempunkte. Um die Extrempunkte einer Funktion f zu bestimmen, gehst Du am besten so
vor:

   1. Löse die Gleichung f (x) = 0 nach x auf (s. 1.2). Die Lösungen bezeichnen wir der
      Größe nach mit x1 , x2 usw. bis xn , so dass x1 der kleinste Wert ist: x1 < x2 < ... < xn .

   2. Jede Lösung von x1 bis xn setzt Du jetzt in die zweite Ableitung f ein.
      Ergibt sich dann f (xk ) < 0 für xk , dann hat f an der Stelle xk einen Hochpunkt.
      Gilt f (x) > 0, dann ist bei xk ein Tiefpunkt.
      Bei f (xk ) = 0 untersuchst Du ob f bei xk einen Vorzeichenwechsel hat. Dazu nimmst




                                                21
     Du einen Wert a, der zwischen xk und der nächstkleineren Stelle xk−1 liegt, und einen
     Wert b zwischen xk und der nächstgrößeren Stelle xk+1 . Gibt es keine nächstkleinere bzw.
     -größere Stelle, dann reicht es, wenn Du a < xk bzw. xk < b wählst.
     Ist jetzt f (a) > 0 und f (b) < 0, dann ist bei xk ein Hochpunkt.
     Gilt f (a) < 0 und f (b) > 0, dann hat f bei xk einen Tiefpunkt.
     Haben f (a) und f (b) dasselbe Vorzeichen, dann ist an der Stelle xk kein Extremwert.

  3. Berechne zu jeder Extremstelle xk den Funktionswert f (xk ) und schreib den dazugehöri-
     gen Extrempunkt als H(xk |f (xk )) oder T (xk |f (xk )) auf, je nachdem, ob dort ein Hoch-
     oder Tiefpunkt ist.

Beispiele:
Wir sehen uns die Funktion f (x) = x4 + 4x3 mit f (x) = 4x3 + 12x2 und f (x) = 12x2 + 24x
an. Es gilt f (x) = 0 ⇔ 4x3 + 12x2 = 0 ⇔ x2 (4x + 12) = 0 mit den Lösungen x1 = −3
und x2 = 0 (s. 1.2.7). Wegen f (−3) = 36 > 0 hat f an der Stelle −3 einen Tiefpunkt. Für
x2 = 0 gilt f (0) = 0, und wir schauen deshalb, ob f bei 0 einen Vorzeichenwechsel hat:
Für a = −1 (liegt zwischen x1 und x2 ) und b = 1 gilt f (a) = 8 > 0 und f (b) = 16 > 0,
d.h. f hat bei x2 = 0 keinen Vorzeichenwechsel, und deshalb hat f dort keine Extremstelle.
Der Funktionswert von x1 = −3 ist f (−3) = −27. Ergebnis: f hat genau einen Extrempunkt,
nämlich den Tiefpunkt T (−3| − 27).
Als Nächstes untersuchen wir f (x) = −1 − e−x auf Extrempunkte. Die Ableitung ist f (x) =
e−x und f (x) = 0 somit äquivalent zu −e−x = 0 ⇔ e−x = 0. Diese Gleichung hat nach 1.2.9
keine Lösung, also hatf keine Extrempunkte.

1.4.5 Wendepunkte
Wendepunkte sind anschaulich gesehen solche Kurvenpunkte, bei denen die Funktion von einer
Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht, oder umgekehrt. Die Wendepunkte einer Funktion
erhältst Du mit dem selben Schema wie bei den Extrempunkten, nur wird statt f jetzt f ge-
nommen, und f wird durch f ersetzt:

  1. Berechne die Nullstellen xk von f .

  2. Setze die Nullstellen in f ein. Ist f (xk ) = 0, dann ist dort ein Wendepunkt. Im Fall
     f (xk ) = 0 prüfst Du wie bei den Extrempunkten beschrieben, ob f hier einen Vor-
     zeichenwechsel hat. Falls ja, dann ist bei xk ein Wendepunkt, wenn nicht, dann gibt es
     keinen.

  3. Setze alle erhaltenen Wendestellen xk in die Funktion f ein, und schreibe jeden Wende-
     punkt als W (xk |f (xk )) auf.

Beispiele:
Eine Funktion f ist gegeben durch f (x) = (x + 1)e−2x und hat die Ableitungen f (x) =
(−2x − 1)e−2x , f (x) = 4xe−2x und f (x) = (−8x + 4)e−2x . Mit f (x) = 4xe−2x = 0 folgt
dann nach 1.2.9 x = 0. Wegen f (0) = 4e0 = 0 ist dann bei x = 0 eine Wendestelle mit dem
Funktionswert f (0) = 1, also der Wendepunkt W (0|1).



                                             22
                                                                                         2
Jetzt kommt noch ein Beispiel für eine Funktion ohne jeglichen Wendepunkt: f (x) = 3x − x2 .
                                              4             12             48
Die ersten drei Ableitungen sind f (x) = 3 + x3 , f (x) = − x4 und f (x) = x5 . Aus f (x) =
  12
− x4 = 0 folgt nach Durchmultiplizieren mit dem Nenner −12 = 0, d.h. es gibt keine Lösung
und damit keinen Wendepunkt.

1.4.6 Senkrechte Asymptoten
Kommt eine Funktion f einer senkrechten Geraden mit der Gleichung x = x0 beliebig nahe
ohne sie zu schneiden, dann nennt man diese Gerade eine senkrechte Asymptote der Funktion
f . Man sagt dann auch die Funktion hat für x → x0 keinen Grenzwert und schreibt f (x) → ∞
(bzw. f (x) → −∞) für x → x0 . Dabei wird + bzw. − verwendet, wenn die Funktion an der
Asymptote nach oben bzw. unten wegstrebt, und beide Vorzeichen wenn sie auf einer Seite nach
oben und auf der anderen Seite nach unten wegstrebt.

Besitzt eine gebrochenrationalen Funktion eine Stelle x0 , bei der der Nenner (aber nicht der
Zähler) den Wert Null annimmt, dann besitzt sie an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote mit
der Gleichung x = x0 .
Logarithmusfunktionen der Form f (x) = ln(g(x)) haben an den Nullstellen von g(x) senkrech-
te Asymptoten. Beispiele:
                            2
Die Funktion f (x) = 1 − (x+3)2 hat eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = −3.
Die beiden senkrechten Asymptoten von f (x) = x21 bekommst Du, indem Du den Nenner
                                                −2
Null setzt und nach x auflöst: x2 − 2 = 0 ⇔ x2 = 2. Daraus folgen für die Asymptoten die
                  √                √
Gleichungen x = 2 und x = − 2.

Die Funktion f (x) = ln(1 − x2 ) hat die Nullstellen von 1 − x2 , also x = 1 und x = −1
als senkrechte Asymptoten.

1.4.7 Grenzwerte und waagrechte Asymptoten
Eine Funktion f hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = y0 , wenn die Funk-
tionswerte von in positiver oder negativer Richtung anwachsenden x-Werten dem Wert y0 be-
liebig nahe kommen. Man sagt dann, die Funktion hat den Grenzwert y0 für x → +∞ (bzw.
x → −∞). Schreibweisen sind:

                      f (x) → y0 für x → ±∞, oder      lim f (x) = y0 .
                                                     x→±∞

Dabei wird +, bzw. − verwendet, wenn der Grenzwert bei wachsenden, bzw. fallenden x-Werten
angestrebt wird, und beide Vorzeichen werden genommen, wenn der Grenzwert für wachsende
und fallende x-Werte gilt.
Der Grenzwert von konstanten Funktionen der Form y = c, also von waagrechten Geraden ist c.
Außerdem gibt es noch zu sagen, dass eine Funktion, die die Summe aus mehreren Funktionen
mit verschiedenen Grenzwerten ist, als Grenzwert die Summe der einzelnen Grenzwerte hat.
Beispiele:




                                             23
• Exponentialfunktionen
  Wir schauen uns jetzt das Grenzwertverhalten von verallgemeinerten Exponentialfunktio-
  nen an, das heißt von solchen Funktionen, bei denen außer dem Exponentialterm eax+b
  noch ein anderer Term im Spiel ist. Diese Funktionen sollen die Form
                                               f (x) = g(x)eax+b
  haben, wobei g(x) für irgendeine ganzrationale Funktion stehen soll.
  Funktionen dieser Form haben entweder für x → +∞ oder für x → −∞ den Grenzwert
  0, je nachdem ob a < 0 oder a > 0 ist. Das heißt, alle solche Funktionen haben die waag-
  rechte Asymptote y = 0.
  Zum Beispiel hat f (x) = e−2x+1 (mit g(x) = 1) den Grenzwert 0 für x → +∞ und
  f (x) = e4x−3 (auch mit g(x) = 1) hat den Grenzwert 0 für x → −∞. Beide Funktionen
  besitzen eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = 0, was übrigens die Glei-
  chung der x-Achse ist.
  f (x) = 2 − x2 e−x hat als Grenzwert die Summe der Grenzwerte der konstanten Funktion
  y = 2 und der Funktion y = −x2 e−x (mit g(x) = −x2 ). Es gilt also f (x) → 2 + 0 = 2
  für x → +∞ und damit existiert eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = 2.
  f (x) = (2 − 3x)e2x (mit g(x) = 2 − 3x) hat den Grenzwert 0 für x → −∞ und damit
  wieder die x-Achse mit der Gleichung y = 0 als waagrechte Asymptote.
• Gebrochenrationale Funktionen
  Ist bei einer gebrochenrationalen Funktion f der Zählergrad (das ist die Hochzahl der
  größten im Zähler vorkommenden Potenz) kleiner als der Nennergrad, dann gilt f (x) → 0
  für x → ±∞, und f hat die x-Achse mit der Gleichung y = 0 als waagrechte Asymptote.
  Sind Zählergrad und Nennergrad gleichgroß, wird die Funktion mit der höchsten Potenz
  von x gekürzt und es gilt:
                             an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
                f (x) =
                             bn xn + bn−1 xn−1 + ... + b1 x + b0
                             an + an−1 + ... + xn−1 + xn
                                     x
                                                a1     a0
                                                              an
                         =         bn−1         b1     b0
                                                           →             für x → ±∞,
                             bn +       + ... + n−1 + n        bn
                                          x          x      x

  da alle übrigen Terme gegen 0 streben. f hat also eine waagrechte Asymptote mit der
  Gleichung y = an , wobei an und bn die beiden Faktoren vor den höchsten Potenzen im
                   b
                     n

  Zähler und im Nenner sind. Das war jetzt noch ein wenig allgemein, wir schauen uns jetzt
  deshalb drei konkrete Funktionen dazu an.
  Da der Nennergrad der Funktion f (x) = 4x+5 größer als der Zählergrad ist (2 > 1), gilt
                                              3x2
  f (x) → 0 für x → ±∞, und die x-Achse mit der Gleichung y = 0 ist waagrechte Asym-
  ptote von f .
  Der Grenzwert von f (x) = 2+ x21 ist die Summe der Grenzwerte der Funktionen y = 2
                                     +1
  und y = x21 . Das heißt f (x) → 2 + 0 = 2 für x → ±∞, da der Nennergrad von x21
              +1                                                                        +1
  größer als der Zählergrad ist. Damit ist y = 2 waagrechte Asymptote.
                                 3x2                                                 3x2
  Bei der Funktion f (x) = − −2x2 +1 sind Zähler- und Nennergrad gleich: f (x) = − −2x2 +1 =
   −3x2           −3         −3       3                                  3
  −2x2 +1
            =   −2+ 12
                         →   −2   =   2       für x → ±∞. Also ist y =   2   waagrechte Asymptote.
                   2x




                                                    24
    • Ganzrationale Funktionen
      Ganzrationale Funktionen haben nur eine waagrechte Asymptote, wenn es sich um kon-
      stante Funktionen der Form y = c handelt. Dann ist auch der Grenzwert c, und die Funk-
      tion ist identisch mit ihrer waagrechten Asymptote.

1.4.8 Schiefe Asymptoten
Nähert sich eine Funktion einer (nicht waagrechten) Geraden immer mehr an, je größer x wird,
dann nennt man diese Gerade eine schiefe Asymptote. Gebrochenrationale Funktionen können
schiefe Asymptoten haben, und zwar dann, wenn die höchste im Zähler vorkommende Potenz
von x, also der Zählergrad, um eins größer ist als der Nennergrad. Die Geradengleichung der
Asymptote bekommst Du dann mit Hilfe einer Polynomdivision, indem Du die Zählerfunktion
durch die Nennerfunktion dividierst. Der Ausdruck vor dem Restterm (falls es einen gibt) ergibt
dann die Asymptotengleichung.
Beispiele:
                                                      3x3 −x2 +10x−12
    • Um die schiefe Asymptote der Funktion f (x) =        x2 +2x
                                                                        auszurechnen wird zuerst
      die folgende Polynomdivision durchgeführt:
                      (3x3 − x2 + 10x − 12) : (x2 + 2x) = 3x − 7 +         24x−12
                                                                           x2 +2x
                                                                                  .
                    − (3x3 + 6x2 )
                           −7x2 + 10x − 12
                         − (−7x2 − 14x)
                                   24x − 12
      Die Geradengleichung der schiefen Asymptote kannst Du jetzt aus dem Ausdruck im
      Ergebnis vor dem Restterm ablesen: y = 3x − 7.
    • Hat die gebrochenrationale Funktion einen besonders einfach gebauten Nenner, nämlich
      nur eine einzige Potenz von x, dann kommst Du auch ohne die Polynomdivision klar. Du
      spaltest dann den Bruch in seine Einzelbestandteile auf und kürzt. Die Funktion
                             2x3 − 5x2 + 4  2x3 5x2  4    5  2
                   f (x) =           2
                                           = 2 − 2 + 2 =x− + 2
                                  2x        2x  2x  2x    2 x
      hat z.B. die Asymptote y = x − 5 .
                                     2


1.4.9 Monotonie
Eine Funktion f ist in einem Bereich monoton steigend (fallend), wenn für alle x aus diesem
Bereich f (x) ≥ 0 (≤ 0) gilt.
Beispiele:
Die Funktion f (x) = 1 − e−x ist wegen f (x) = e−x > 0 für alle x monoton steigend in ganz
IR.
f (x) = −x3 ist auf IR monoton fallend, wegen f (x) = −3x2 ≤ 0.
                                      1
Das Schaubild der Funktion f (x) = x2 steigt auf der negativen x-Achse monoton an, da für
                              2
negative x-Werte f (x) = − x3 ≥ 0 gilt. Für positive x-Werte fällt es monoton, wegen f (x) ≤
0.



                                              25
1.5 Stammfunktion und Integral
1.5.1 Anschauliche Bedeutung der Stammfunktion
Geht man von einer Funktion f aus, dann kann man sich fragen, ob es eine dazugehörige Funk-
tion F gibt, die abgeleitet wieder f ergibt. So eine Funktion F wird dann Stammfunktion oder
unbestimmtes Integral von f genannt und auch oft mit f (x) dx bezeichnet. Die Stammfunk-
tion oder das Integral zu einer Funktion f zu bestimmen, d.h. f zu integrieren , ist also der
Umkehrvorgang zum Ableiten von f . Die Bedeutung der Stammfunktion liegt darin, dass sie
einem hilft, Flächen oder Volumen zu berechnen, die von Funktionen begrenzt werden. Dabei
ist das sogenannte bestimmte Integral (mit den Grenzen a und b) von f wichtig, das definiert
wird durch
                                     b
                                         f (x) dx = F (b) − F (a).
                                    a
Man berechnet das bestimmte Integral von f also durch die Differenz der Werte, die man erhält,
wenn man die Grenzen a und b in eine Stammfunktion F von f einsetzt. Als Abkürzung dafür
wird auch die Schreibweise [F (x)]b benützt.
                                  a


1.5.2 Bestimmung der Stammfunktion
Zu jeder Funktion f gibt es nicht nur eine Stammfunktion F . Für jede Konstante C ist nämlich
die Funktion F (x)+C genauso eine Stammfunktion, da ja die Ableitung von F +C auch wieder
f ergibt: [F +C] = [F ] +[C] = f +0 = f . Deshalb steht bei den folgenden Integrationsregeln
die Konstante C hinter den Integralen (Bei den Beispielen wurde C weggelassen).
    • Stammfunktion der konstanten Funktion f (x) = a:

                                                a dx = ax + C

    • Stammfunktion von (verallgemeinerten) Potenzfunktionen:
                                                (ax + b)n+1
                            (ax + b)n dx =                  +C        für n = −1
                                                  a(n + 1)
      Beispiele:
                    xn+1
       xn dx =       n+1   (Spezialfall der obigen Formel für a = 1 und b = 0)
       x  4 dx = x4+1 = 1 x5
                    4+1     5
                                   −2+1    x−1
         1
        x2
            dx = x−2 dx = x       −2+1 = −1 = − x
                                                      1

       √              1     1 +1      3     √           √
                                          2
           x = x 2 = x12+1 = x32 = 3 x3 = 2 x x       3
                          2          2
                                  3+1
       (5x + 2)    3 dx = (5x+2)         1            4
                             5(3+1) = 20 (5x + 2)
                                                    2
                                               (1− x)−3+1
            1
             2
        (1− 3 x) 3 dx =   (1 − 2 x)−3 dx = − 2 3
                                 3                  (−3+1)
                                                           = 4 (1− 2 x)2 = 4(1−32 x)2
                                                                  1
                                                  3          3      3           3

    • Stammfunktion von Exponentialfunktionen:
                                                        1 ax+b
                                           eax+b dx =     e    +C
                                                        a


                                                  26
  Beispiele:
   ex dx = ex
     1            1           1
   e 7 x dx = 1 e 7 x dx = 7e 7 x
              1
               7
                 1
    e2−6x dx = − 6 e2−6x

• Stammfunktion einer mit einer Zahl k multiplizierten Funktion f :

                                     kf (x) dx = k        f (x) dx + C

  Beispiele:
                                       1             1
                                                1 x− 2 +1
                                                                       1       √
     √ dx = 1
     1
    2 x       2
                        1
                       √ dx = 1
                         x      2   x− 2 dx =   2 − 1 +1    =   1 x2
                                                                2 1        =       x
                                                     2                 2
    5ex+1 dx =     5    ex+1 dx =   5ex+1
                                6
    6x5 dx   = 6 x5 dx = 6 x = x6
                           6

• Stammfunktion einer Summe

                           f (x) + g(x) dx =        f (x) dx +             g(x) dx + C

  Beispiele:
   5x4 − 2kx + 3 dx = x5 − kx2 + 3x
   10e−x+2 − 5 x3 dx = −10e−x+2 − 10 x4
                 2                    1
   kx 4 −5x2 +1         4     2
        3x2
                dx = kx2 − 5x2 + 3x2 dx =
                     3x    3x
                                  1                      k 2
                                                         3x    −   5
                                                                   3   +    1
                                                                           3x2
                                                                                 dx = k x3 − 3 x −
                                                                                      9
                                                                                             5        1
                                                                                                     3x

• Stammfunktion eines Produkts

                          f (x)g(x) dx = f (x)g(x) −            f (x)g (x) dx + C

  Beim Integrieren eines Produkts (auch partielle Integration genannt) bezeichnest du einen
  Faktor des Produkts mit f (x) und den anderen Faktor mit g(x). Danach bestimmst du
  f (x) (das ist die Stammfunktion von f (x)) und die Ableitung g (x) von g(x) und wen-
  dest damit die obige Formel an. Von deiner Bezeichnung der Faktoren hängt auch das
  zweite Integral in der Formel ab. Du musst die Bezeichnung der Faktoren also so wählen,
  dass du dieses dann auch noch bestimmen kannst.
  Beispiele:
  Beim Integral 2xe3x dx wählen wir zunächst f (x) = 2x und g(x) = e3x .
  Damit folgt f (x) = x2 und g (x) = 3e3x und dann mit obiger Formel:
    2xe3x dx = x2 e3x − x2 · 3e3x dx
  Das zweite Integral ist übler als das ursprünglich zu bestimmende - falscher Weg!
  Deshalb bezeichnen wir die Faktoren jetzt mit f (x) = e3x und g(x) = 2x.
  Daraus folgt f (x) = 1 e3x , g (x) = 2 und damit
                         3
                  1             1             2                    2
    2xe3x dx = 3 e3x · 2x − 3 e3x · 2 dx = 3 xe3x − 2 e3x dx = 3 xe3x − 2 e3x
                                                          3                  9

  Im nächsten Beispiel knacken wir mit einem Trick das Integral                        ln(x) dx der Logarith-
  musfunktion.



                                               27
      Der Trick besteht darin, ln(x) künstlich als das Produkt 1 · ln(x) zu schreiben und bei
      der partiellen Integration f (x) = 1 und g(x) = ln(x) festzulegen. Mit f (x) = x und
               1
      g (x) = x ergibt sich dann
                                                     1
        ln(x) dx = 1 · ln(x) dx = x · ln(x) − x · x dx = x · ln(x) − 1 dx = x · ln(x) − x

1.5.3 Berechnung von Flächen mit Integralen
Die Fläche A, die in einem Koordinatensystem nach oben und unten durch zwei sich nicht
schneidende Funktionen begrenzt wird und nach links und rechts durch zwei senkrechte Geraden
x = a und x = b, lässt sich berechnen mit
                                               b
                                     A=            f (x) − g(x) dx .
                                               a

Schneiden sich die Funktionen in zwei oder mehr Punkten, dann werden bei der Bestimmung
der eingeschlossenen Gesamtfläche alle Einzelflächen zwischen jeweils zwei Schnittpunkten
berechnet und addiert, wobei Du jedesmal die x-Werte der Schnittpunkte als Grenzen a und b
verwendest.
Wenn es um die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse geht, dann kannst Du g(x)
weglassen, weil g(x) = 0 die Gleichung der x-Achse ist.
Beispiele:
Die Funktion f (x) = x2 − 1 schließt mit den Geraden x = 0 (Das ist übrigens die y-Achse),
x = 3 und der x-Achse eine Fläche ein. Dabei schneiden sich f und die x-Achse bei x = 1 und
es gibt zwei Teilflächen:
                              1                        3
                A =               f (x) dx +               f (x) dx
                          0                        1
                              1                            3
                    =             x2 − 1 dx +                  x2 − 1 dx
                          0                            1
                                 1            3
                          1 3          1 3
                    =       x −x +       x −x
                          3      0     3      1
                         1 3       1 3        1                            1 3
                    =      1 −1−     0 − 0 + 33 − 3 −                        1 −1
                         3         3          3                            3
                         1              1       22
                    =      −1 + 9−3− +1 = .
                         3              3        3


Als Nächstes soll die Fläche zwischen den Funktionen f (x) = 2x+9 und g(x) = −x3 +5x2 −x
berechnet werden, wobei diese sich in den Punkten P1 (−1|7) und P2 (3|15) schneiden. Mit
a = −1 und b = 3 ergibt sich dann für die eingeschlossene Fläche:




                                                           28
                3
     A =            f (x) − g(x) dx
               −1
                3
         =          2x + 9 − (−x3 + 5x2 − x) dx
               −1
                3
         =          x3 − 5x2 + 3x + 9 dx
               −1
                                  3
                1 4 5 3 3 2
         =         x − x + x + 9x
                4       3   2     −1
               1 4 5 3 3 2           1        5       3
         =       3 − 3 + 3 +9·3−       (−1)4 − (−1)3 + (−1)2 + 9 · (−1)
               4      3   2          4        3       2
              64
         =       .
              3


1.5.4 Volumenberechnung von Rotationskörpern
Lässt man eine Funktion f innerhalb der Grenzen x = a und x = b räumlich um die x-Achse
rotieren, dann entsteht dabei ein Rotationskörper mit der x-Achse als Symmetrieachse. Dabei
wird der Körper bei x = a und x = b begrenzt durch zwei Kreise mit den Radien f (a) und f (b).
Sein Volumen ist gegeben durch die Formel
                                                         b
                                               V =π          f (x)2 dx.
                                                         a
Beispiel:
Durch Rotation der Geraden mit der Gleichung f (x) = x + 1 um die x-Achse mit den Grenzen
a = 0 und b = 2 entsteht ein Kegelstumpf, der bei x = 0 von einem Kreis mit dem Radius
f (0) = 1 und bei x = 2 von einem mit Radius f (2) = 3 begrenzt wird. Für sein Volumen gilt
                         2                                         2
                                                   1                        1 3 1 3  26
             V =π            (x + 1)2 dx = π         (x + 1)3          =π     3 − 1 = π.
                     0                             3               0        3    3    3

1.5.5 Durchschnittswert von Funktionswerten
Zur Berechnung des Durchschnittswerts oder Mittelwerts d von Funktionswerten einer Funktion
f im Intervall [a; b] gilt:
                                           1    b
                                    d=            f (x) dx
                                         b−a a
Beispiel:
Die Normalparabel mit der Gleichung f (x) = x2 hat im Bereich [1; 2] positive Funktionswerte
zwischen f (1) = 1 und f (2) = 4. Der Durchschnittswert d aller Funktionswerte wird also
ebenfalls zwischen 1 und 4 liegen. Wir berechnen konkret:
                                           2                       2
                                 1                           1 3        1    1     7
                      d=                       x2 dx =         x       = 23 − 13 =
                                2−1    1                     3     1    3    3     3



                                                         29
1.5.6 Uneigentliche Integrale
Integrale, die einen Grenzwert haben wenn die obere oder untere Grenze variabel ist und gegen
Unendlich läuft, nachdem sie in die Stammfunktion eingesetzt worden ist, sind sogenannte un-
eigentliche Integrale. Die Berechnung läuft dann darauf raus, dass man die Stammfunktion auf
Grenzwerte bzw. waagrechte Asymptoten untersucht (vgl. 1.4.7).
Mit uneigentlichen Integralen lassen sich z.B. Flächen ausrechnen, die sich unendlich weit aus-
dehnen, aber trotzdem einen endlichen Inhalt haben, weil sie immer schmaler werden. Für die
Fläche A zwischen zwei aufeinander zulaufenden Funktionen f und g, die sich von der Geraden
x = a bis ins Unendliche erstreckt, wird dann die Schreibweise
                                                 ∞
                                        A=           f (x) − g(x) dx
                                                a

verwendet.
Beispiele:
Es wird die Fläche berechnet, die zwischen der x-Achse und der Exponentialfunktion f (x) =
e−x liegt, nach links durch die y-Achse begrenzt ist und sich nach rechts unendlich weit aus-
dehnt. Dazu berechnen wir zuerst das bestimmte Integral mit der variablen oberen Grenze t:
                                    t
                                                           t
                                        e−x dx = −e−x      0   = −e−t + 1.
                                0

Für die Fläche bzw. das uneigentliche Integral gilt dann
                                        ∞
                           A=               e−x dx = lim (−e−t + 1) = 1 .
                                    0                  t→∞


1.5.7 Keplersche Fassregel
Oft ist es schwierig, für eine Funktion f die dazugehörige Stammfunktion zu finden. In sol-
chen Fällen ermöglicht die Keplersche Fassregel die Berechnung eines Näherungswertes für das
                     b
bestimmte Integral a f (x) dx. Die Näherungsformel hat die Form
                       b                    b−a                   a+b
                           f (x) dx ≈           f (a) + 4f               + f (b) .
                      a                      6                     2

Du setzt also die Grenzen a und b und deren Mittelwert a+b in die rechte Seite der Formel ein,
                                                        2
und erhältst ohne eine Stammfunktion suchen zu müssen einen Näherungswert für das bestimm-
te Integral.




                                                      30
  Beispiel:
                                                                   1 1
Wir berechnen einen Näherungswert für das bestimmte Integral       0 x2 +1   dx. Mit a = 0, b = 1
und a+b = 1 ergibt sich
     2      2

               1        1       1−0    1      4       1    47
                           dx ≈           + 1 2   + 2    =    = 0, 78¯
                                                                     3.
           0       x2   +1       6  0 2+1  (2) + 1 1 + 1   60

                                     1 1
Zum Vergleich: Der exakte Wert ist   0 x2 +1   dx = arctan 1 ≈ 0, 7853....




                                                31
1.6 Beziehungen zwischen Kurven
1.6.1 Schnittpunkte
Um die Schnittpunkte zweier Funktionen f und g zu berechnen, setzt Du die beiden Funkti-
onsterme gleich und löst dann die Gleichung f (x) = g(x) bzw. f (x) − g(x) = 0 nach x auf
(s.1.2). Die Lösungen dieser Gleichung sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte. Gibt es keine
Lösung, dann schneiden sich die Kurven nicht. Jetzt setzt Du die verschiedenen x-Werte noch
in f (x) oder g(x) ein (wo ist egal, es kommt sowieso dasselbe raus), um die y-Koordinate von
jedem Schnittpunkt auszurechnen. Am Schluss schreibst Du alle zueinander gehörenden x- und
y-Werte als Koordinatenpaare der Schnittpunkte auf.
Beispiele:
Gesucht ist der Schnittpunkt der beiden Funktionen g(x) = (x + 2)e−x und f (x) = x2 e−x .
Durch Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt sich eine Gleichung, die durch den Exponential-
term geteilt werden kann, und dann auf die quadratische Gleichung x2 −x−2 = 0 mit den beiden
Lösungen x1 = −1 und x2 = 2 führt. Für die Funktionswerte ergibt sich g(−1) = f (−1) = e
und g(2) = f (2) = 4e−2 = e4 . Es gibt also die zwei Schnittpunkte S1 (−1|e) und S2 (2| e4 ).
                               2                                                         2
                                                  2
                             1
Die Funktionen g(x) = 3 − 4 x und f (x) = − 4+x haben keinen Schnittpunkt, da f (x) = g(x)
                                                x
                                                                                  3
nach Durchmultiplizieren mit x und Vereinfachung auf die quadratische Gleichung 4 x2 + 3x +
4 = 0 führt, die keine Lösung hat (s. 1.2.3).

1.6.2 Berührpunkte
Zwei Funktionen f und g haben einen Berührpunkt an der Stelle x0 , wenn sie dort denselben
Funktionswert und dieselbe Ableitung haben, wenn also f (x0 ) = g(x0 ) und f (x0 ) = g (x0 )
gilt. Diese beiden Bedingungen müssen also nachgeprüft werden, wenn Du zeigen sollst, dass
ein vorgegebener Punkt ein Berührpunkt ist. Wenn Du selber die Berührpunkte von zwei Funk-
tionen bestimmen sollst, löst Du zuerst von den Gleichungen f (x) = g(x) und f (x) = g (x)
die einfachere nach x auf (s. 1.2), und schaust, ob mit der Lösung oder den Lösungen auch noch
die andere Gleichung erfüllt ist. Für Berührpunkte kommen also nur solche Lösungen in Fra-
ge, die beide Gleichungen erfüllen. Am Schluss rechnest Du zu allen erhaltenen x-Werten die
Funktionswerte aus und schreibst die Koordinatenpaare als Berührpunkte auf.
Beispiele:
                                                                                1
Es soll gezeigt werden, dass sich die Funktionen f (x) = 3 − 4x2 und g(x) = x in B( 1 |2) be-
                                                                                        2
                                                             1
rühren. Die Ableitungen sind f (x) = −8x und g (x) = − x2 , es gilt also f ( 2 ) = −8 · 1 = −4
                                                                              1
                                                                                        2
und g ( 1 ) = − ( 11)2 = −4. Die Ableitungen sind damit gleich und genauso die Funktionswerte,
        2
                2
denn wir haben f ( 1 ) = 3 −
                   2
                               4
                               22
                                               1
                                    = 2 und g( 2 ) =   1
                                                       1   = 2.
                                                       2
Wir berechnen den Berührpunkt von f (x) = 2ex−3 und g(x) = 2x − 4. Da sich die Glei-
chung f (x) = g(x) nicht gut auflösen lässt, versuchen wir es mit der anderen Bedingung
f (x) = g (x), bzw. 2ex−3 = 2, die nach Division durch 2 und Logarithmieren zur Lösung
x = 3 führt. Damit ist auch die andere Bedingung erfüllt, es gilt nämlich f (3) = 2e0 = 2 und
g(3) = 2 · 3 − 4 = 2. B(3|2) ist also ein Berührpunkt der Funktionen f und g.




                                                  32
1.6.3 Tangenten
   • Tangente durch einen Kurvenpunkt
     Eine Tangente an eine Kurve f im Kurvenpunkt P (x0 |f (x0 )) ist eine Gerade, die f in
     diesem Punkt berührt. Um an einer vorgegebene Stelle x0 eine Tangente an die Funktion
     f anzulegen, berechnest Du den Funktionswert f (x0 ) und die Ableitung f (x0 ) an dieser
     Stelle und setzt alles ein in die Tangentengleichung

                                t:   y = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).

     Das ergibt dann nach kurzer Umformung die Geradengleichung der Tangente durch den
     Kurvenpunkt (x0 |f (x0 )).
     Sogenannte Wendetangenten sind einfach Tangenten durch einen Kurvenpunkt, der gleich-
     zeitig auch noch ein Wendepunkt der Funktion f ist.
     Beispiel:
     Wir bestimmen die Gleichung der Tangente an die Funktion f (x) = x21 , und zwar
                                                                              +1
     an der Stelle x0 = 1. Der Funktionswert ist dann f (1) = 1 , und mit der Ableitung
                                                                 2
     f (x) = − (x22x 2 haben wir noch die Steigung f (1) = − 1 . Also hat die Tangente t im
                   +1)                                       2
                     1                                                  1
     Kurvenpunkt (1| 2 ) die Gleichung y = − 1 (x − 1) + 1 , bzw. y = − 2 x + 1.
                                             2           2

   • Tangente durch einen Punkt außerhalb der Kurve
     Wir bezeichnen jetzt mit (x1 |y1 ) einen Punkt, der nicht auf der Funktion f liegen soll.
     Dabei suchen wir Geraden, die durch diesen Punkt gehen, und außerdem die Funktion f
     tangieren (berühren). Um den Berührpunkt (x0 |f (x0 )) zu finden, wird x1 und y1 in die
     Tangentengleichung (s.o.) für x bzw. y eingesetzt:

                                 y1 = f (x0 )(x1 − x0 ) + f (x0 ).

     Diese Gleichung wird jetzt nach x0 aufgelöst. Wenn x0 dann bekannt ist, wird wie oben
     die Tangente an f im Kurvenpunkt (x0 |f (x0 )) berechnet, diese enthält dann automatisch
     auch den Punkt (x1 |y1 ).
     Beispiel:
     An die Funktion f (x) = x2 + 1 sollen alle Tangenten durch den Punkt ( 1 | − 1) (der nicht
                                                                             2
     auf f liegt) gefunden werden. Wir setzen also für x und y in der Tangentengleichung die
            1
     Werte 2 und −1 ein:

                                 1
                       −1 = 2x0 ( − x0 ) + x2 + 1 ⇐⇒ x2 − x0 − 2 = 0.
                                            0         0
                                 2
     Die quadratische Gleichung hat die zwei Lösungen x0 = 2 bzw. x0 = −1. Das bedeutet,
                       1
     durch den Punkt ( 2 | − 1) können zwei Tangenten an die Funktion f angelegt werden.
     Die Gleichungen ergeben sich durch Einsetzen von 2 und −1 für x0 in die Tangentenglei-
     chung:

                t1 :   y = f (2)(x − 2) + f (2) = 4(x − 2) + 5 = 4x − 3 und
                t2 :   y = f (−1)(x + 1) + f (−1) = −2(x + 1) + 2 = −2x.



                                             33
1.6.4 Senkrechter Schnitt
Zwei Kurven f und g schneiden sich senkrecht bei x0 , wenn die Gleichungen f (x0 ) = g(x0 )
und f (x0 ) · g (x0 ) = −1 (Orthogonalitätsbedingung) erfüllt sind.
Beispiel:
                                           1    5
Die Geraden f (x) = 3x + 5 und g(x) = − 3 x + 3 schneiden sich im Punkt (−1|2) rechtwinklig
wegen f (−1) = g(−1) = 2 und f (−1) · g (−1) = 3 · (− 1 ) = −1.
                                                          3


1.6.5 Normalen
Eine Normale an eine Kurve f im Kurvenpunkt P (x0 |f (x0 )) ist eine Gerade durch P , die das
Schaubild von f in P senkrecht (orthogonal) schneidet. Deshalb gilt für die Normalensteigung
           1
mn = − f (x0 ) (vgl. 1.6.4).
Wie bei der Tangentengleichung setzt Du nur die Werte für x0 , f (x0 ) und f (x0 ) in die Norma-
lengleichung
                                           1
                             n: y=−             (x − x0 ) + f (x0 )
                                        f (x0 )
ein, und formst die Gleichung noch ein wenig um.
Beispiel:
                                                                       2
Wir stellen die Gleichung der Normalen durch die Funktion f (x) = 1 − x2 im Kurvenpunkt
                                                                         4
(1| − 1) auf. Es gilt also x0 = 1, f (x0 ) = f (1) = −1 und mit f (x) = x3 noch f (x0 ) =
f (1) = 4. Das ergibt dann alles zusammen für die Normalengleichung
                                      1               1   3
                           n:    y = − (x − 1) − 1 = − x − .
                                      4               4   4

1.6.6 Schnittwinkel
Zwei Kurven f und g, die sich in einem Punkt an der Stelle x0 schneiden, schließen einen Winkel
α ein, den Du mit der Formel

                                           f (x0 ) − g (x0 )
                                 tan α =
                                           1 + f (x0 )g (x0 )

berechnen kannst. Dazu setzt Du x0 in f (x) und g (x) ein, und berechnest den Wert der rechten
Seite der Gleichung. Mit der INVERS oder SHIFT Taste vom Taschenrechner und der TAN-
Funktion bekommst Du dann α.
Für f (x0 )g (x0 ) = −1 funktioniert die Formel nicht, weil dann der Nenner den Wert 0 an-
nimmt. In diesem Fall schneiden sich f und g rechtwinklig mit α = 90° (s. 1.6.4).
Beispiel:
Die Funktionen f (x) = −ex und g(x) = (3x − 1)ex schneiden sich im Punkt S(0| − 1) und es
                                                                                  −1−2
gilt f (0) = −1 und g (0) = 2. Das ergibt dann in die Formel eingesetzt tan α = 1+(−1)·2 = 3
und mit der Umkehrfunktion auf dem Taschenrechner α ≈ 71, 6°.




                                              34
1.7 Bestimmung von Funktionsgleichungen
1.7.1 Ansatz
Bei der Bestimmung von Funktionsgleichungen geht es darum, eine (meistens ganzrationale)
Funktion zu finden, die bestimmten Bedingungen genügt. Dazu ist es notwendig, zuerst einen
unbestimmten Ansatz für die Funktion zu machen, der die später zu bestimmenden Koeffizienten
a, b, c usw. enthält. Dabei solltest Du Symmetrieangaben über die Funktion schon im Ansatz
berücksichtigen. Nachdem Du den Ansatz gemacht hast, schreibst Du am besten auch noch die
erste und zweite Ableitung davon auf.
Beispiele:
Ganzrationale Funktionen 2. Grades:

                  f (x) = ax2 + bx + c,     f (x) = 2ax + b,     f (x) = 2.

Ganzrationale Funktionen 3. Grades:

       f (x) = ax3 + bx2 + cx + d,      f (x) = 3ax2 + 2bx + c,     f (x) = 6ax + 2b.

Alle achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Potenzen von x und ein
Absolutglied (der Term ohne x) im Ansatz. Zum Beispiel sieht eine achsensymmetrische ganz-
rationale Funktion 4. Grades so aus:

           f (x) = ax4 + bx2 + c,     f (x) = 4ax3 + 2bx,      f (x) = 12ax2 + 2b.

Punktsymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur ungerade Potenzen von x und kein Ab-
solutglied im Ansatz. Für eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion 5. Grades ergibt sich
dabei

       f (x) = ax5 + bx3 + cx,      f (x) = 5ax4 + 3bx2 + c,     f (x) = 20ax3 + 6bx.

1.7.2 Aufstellen der Gleichungen
Der nächste Schritt besteht im Aufstellen von genau soviel Gleichungen, wie es Koeffizienten
bzw. Unbekannte a, b, c usw. gibt. Dabei entsteht jede Gleichung dadurch, dass Du in einer
der drei Gleichungen aus dem Ansatz für x und für f (x) (bzw. f (x) oder f (x)) konkrete
Zahlenwerte einsetzt, die aus der Aufgabe hervorgehen. Du musst dann immer eine Gleichung
bekommen, in der nur noch die Unbekannten a, b, c usw. vorkommen, auf keinen Fall darf hier
noch x, f (x), f (x) oder f (x) stehen.
Werden Punkte (Koordinatenpaare) angegeben, die auf der Funktion liegen sollen, dann kannst
Du x und f (x) mit diesen Werten ersetzen.
Kommen Begriffe wie parallel, Steigung, Ableitung, waagrecht, Hoch- bzw. Tiefpunkt, Tangen-
te, Normale oder Berührung vor, musst Du f (x) durch die entsprechenden Werte ersetzen.
Bei Wendepunkten oder Wendetangenten wird für f (x) immer 0 eingesetzt.




                                              35
Beispiele:
Wir gehen jetzt bei allen Beispielen vom Ansatz einer ganzrationalen Funktion 3. Grades aus:

       f (x) = ax3 + bx2 + cx + d,     f (x) = 3ax2 + 2bx + c,     f (x) = 6ax + 2b.

Jede Bedingung an die Funktion wird dann als Gleichung für die Unbekannten aufgeschrieben.
    • Der Punkt mit den Koordinaten (2|5) liegt auf f :

                               f (2) = 5 ⇐⇒ 8a + 4b + 2c + d = 5.

    • f hat an der Stelle x = −2 die Steigung 3:

                                f (−2) = 3 ⇐⇒ 12a − 4b + c = 3.

    • Der Punkt mit den Koordinaten (−1|4) ist ein Hochpunkt (Tiefpunkt):

                              f (−1) = 4 ⇐⇒ −a + b − c + d = 4
                              f (−1) = 0 ⇐⇒ 3a − 2b + c = 0.

    • (5| − 2) ist ein Wendepunkt von f :

                          f (5) = −2 ⇐⇒ 125a + 25b + 5c + d = −2
                           f (5) = 0 ⇐⇒ 30a + 2b = 0.

    • f hat an der Stelle x = −4 eine zur Geraden y = 15x − 3 parallele Tangente:

                               f (−4) = 15 ⇐⇒ 48a − 8b + c = 15.

    • f hat an der Stelle x = −3 die Tangente y = 9x − 7:

                    f (−3) = 9 · (−3) − 7 ⇐⇒ −27a + 9b − 3c + d = −34
                               f (−3) = 9 ⇐⇒ 27a − 6b + c = 9.

    • f hat an den Stellen x = −3 und x = 6 parallele Tangenten:

                       f (−3) = f (6) ⇐⇒ 27a − 6b + c = 108a + 12b + c.

    • f hat an der Stelle x = −1 eine waagrechte Tangente:

                                 f (−1) = 0 ⇐⇒ 3a − 2b + c = 0.

                                          4
    • f berührt die Funktion g(x) = 1 − x2 an der Stelle x = 2 (Dazu muss erst noch die
                                  8
      Ableitung von g mit g (x) = x3 berechnet werden):

                             f (2) = g(2) ⇐⇒ 8a + 4b + 2c + d = 0
                            f (2) = g (2) ⇐⇒ 12a + 4b + c = 1.



                                              36
    • f hat and der Stelle x = 7 die Wendetangente y = −3x + 5:

                     f (7) = (−3) · 7 + 5 ⇐⇒ 343a + 49b + 7c + d = −16
                              f (7) = −3 ⇐⇒ 147a + 14b + c = −3
                               f (7) = 0 ⇐⇒ 42a + 2b = 0.

    • f berührt die x-Achse im Ursprung (die x-Achse hat die Steigung 0):

                                      f (0) = 0 ⇐⇒ d = 0
                                      f (0) = 0 ⇐⇒ c = 0.

    • f hat an der Stelle x = 1 die Normale y = 2x + 3 (s. 1.6.5):

                               f (1) = 2 · 1 + 3 ⇐⇒ a + b + c + d = 5
                          1                    1                    1
                    2=−       ⇐⇒ f (1) = −       ⇐⇒ 3a + 2b + c = − .
                        f (1)                  2                    2

    • f hat an der Stelle x = 4 eine zur Geraden y = −3x + 4 senkrechte Tangente (s. 1.6.4):
                                                      1                  1
                    f (4) · (−3) = −1 ⇐⇒ f (4) =        ⇐⇒ 48a + 8b + c = .
                                                      3                  3

    • f hat an der Stelle x = 4 eine zur Geraden y = −3x + 4 parallele Normale (s. 1.6.5):
                              1                  1                 1
                   mn = −         = −3 ⇐⇒ f (4) = ⇐⇒ 48a + 8b + c = .
                            f (4)                3                 3

1.7.3 Lösung des Gleichungssystems
Du hast jetzt also soviele Gleichungen gesammelt, wie es Unbekannte gibt. Jetzt musst Du das
Gleichungssystem noch nach den Unbekannten auflösen. Dabei geht es meistens um ein System
mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Wenn es mal vier Gleichungen geben sollte, ist eine
davon praktisch immer schon die Lösung für eine Variable (z.B. a=0), die dann in die anderen
drei eingesetzt wird, so dass es sich auch wieder um drei Gleichungen mit drei Unbekannten
handelt.
Wie du allgemein Gleichungssysteme löst, wird unter 2.2.4 genau beschrieben.
Hier ist schonmal eine Kurzfassung speziell für den Fall von 3 Gleichungen und 3 Unbekannten:

    • Vereinfache die einzelnen Gleichungen, so dass auf der linken Seite die Variablen a, b und
      c in geordneter Reihenfolge stehen und rechts einfache Zahlenwerte

    • Wähle zwei Gleichungen, aus denen Du mit dem Additionsverfahren eine Variable elimi-
      nierst, und eliminiere dieselbe Variable nochmal aus zwei anderen Gleichungen.

    • Aus den beiden neu entstandenen Gleichungen (die nur noch zwei verschiedene Unbe-
      kannte haben) eliminierst Du wieder eine Variable.



                                              37
    • Aus der zuletzt entstandenen Gleichung bekommst Du die erste Lösung, die durch Einset-
      zen in frühere Gleichungen dann die anderen Lösungen liefert.

Beispiel:
Wir gehen schon von einem Gleichungssystem in vereinfachter und geordneter Form aus:

                                       2a − 4b + c = 1                                      (1)
                                      3a + 5b − 2c = 0                                      (2)
                                   −4a − 6b + 7c = −3.                                      (3)

Zuerst eliminieren wir aus (1) und (2) die Variable a und dann aus (1) und (3) nochmal a:

                         3 · (1) − 2 · (2)   ergibt − 22b + 7c = 3                          (4)
                            2 · (1) + (3)    ergibt − 14b + 9c = −1.                        (5)

Jetzt wird aus (4) und (5) noch c eliminiert, was die Lösung für b ergibt:
                                                                             17
                   9 · (4) − 7 · (5) ergibt − 100b = 34,    bzw.   b=−          .
                                                                             50
Durch Einsetzen von b = − 50 in (4) oder (5) bekommen wir für c die Lösung c = − 16 , und
                             17
                                                                                 25
                                                                       7
am Schluss durch Einsetzen von b und c in (1), (2) oder (3) noch a = 50 .
Wenn jetzt der Ansatz für die Funktionsgleichung f (x) = ax2 + bx + c gewesen wäre, dann
hätten wir die Funktion mit f (x) = 50 x2 − 50 x − 16 vollständig bestimmt.
                                    7       17
                                                   25




                                               38
1.8 Extremwertaufgaben
1.8.1 Bestimmung der Zielfunktion
Bei Extremwertaufgaben wird oft von einem variablen Kurvenpunkt P (u|v) einer vorgegebenen
Funktion f ausgegangen, für den durch jede Position ein Körper, eine Fläche oder eine Strecke
festgelegt ist. Dann kann man versuchen die Position zu finden, bei der zum Beispiel das Volu-
men oder die Oberfläche des Körpers, der Flächeninhalt bzw. der Umfang der Fläche oder der
Abstand zu irgendeinem anderen Punkt maximal oder minimal wird. Die jeweilige Größe wird
dann durch eine bestimmte Funktion z (die sogenannte Zielfunktion) beschrieben, die von den
Koordinaten u und v des variablen Kurvenpunktes abhängt. Dabei musst Du alle waagrechten
Streckenlängen, die zur Bestimmung der Zielgröße nötig sind, mit u und die senkrechten mit v
ausdrücken. Anschließend kannst Du im Funktionsterm Deiner Zielfunktion noch die Variable
v durch f (u) ersetzen, da ja P (u|v) ein Punkt auf der Kurve der Funktion f ist.
Wird zur Definition der Zielfunktion statt einem Kurvenpunkt eine senkrechte Gerade mit der
Geradengleichung x = u variiert, dann kann diese auch mehrere Punkte erzeugen, indem man
die Schnittpunkte mit verschiedenen gegebenen Funktionen f , g, usw. betrachtet. Die zum Auf-
stellen der Zielfunktion nötigen Streckenlängen können dann aber genauso mit Hilfe von u in
waagrechter Richtung und f (u), g(u) usw. in senkrechter Richtung ausgedrückt werden.
Beispiele:
    • Abstand
      Es sind die zwei Funktionen f (x) = e−x und g(x) = (2x + 1)e−x gegeben. Die Gerade
      mit der Gleichung x = u (u ≥ 0) schneidet das Schaubild von f in P und das von g in Q.
      Wir bestimmen die Abstandsfunktion z zwischen den beiden Punkten.
      P und Q haben die Koordinaten P (u|f (u)) und Q(u|g(u)). Sie liegen übereinander und
      zwar liegt Q über P , denn für u ≥ 0 gilt g(u) > f (u) (was man nach Division der
      Ungleichung durch e−u sehen kann). Für den Abstand, der eine senkrechte Strecke ist,
      gilt deshalb
                       z(u) = g(u) − f (u) = (2u + 1)e−u − e−u = 2ue−u .

    • Umfang
                                           4
      Gegeben ist die Funktion f (x) = 1 + x . Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch
      einen Kurvenpunkt P (u|v) (u > 0) begrenzen mit den Achsen ein Rechteck. Der Umfang
      des Rechtecks soll durch eine Zielfunktion in Abhängigkeit von u beschrieben werden.
      Dabei gilt allgemein für den Umfang von Rechtecken

                                          U = 2a + 2b,

      wenn a und b die Seitenlängen sind. Die Seiten von dem beschriebenen Rechteck sind
      direkt durch die Koordinaten von P gegeben, es gilt also für die Zielfunktion
                                                        4             8
                        z(u) = 2u + 2v = 2u + 2(1 +       ) = 2u + 2 + .
                                                        u             u

    • Flächeninhalt
      Gegeben sind die Funktionen f (x) = (1 + x2 )e−x und g(x) = e−x . Die senkrechte



                                             39
  Gerade mit der Gleichung x = u (u ≥ 0) schneidet die Schaubilder von f und g in den
  Punkten P und Q. Der Ursprung O und die Punkte P und Q bilden ein Dreieck. Wie sieht
  dann die Zielfunktion aus, die den Flächeninhalt des Dreiecks beschreibt?
  Für die Fläche A von beliebigen Dreiecken gilt die Formel
                                               1
                                       A=        · g · h.
                                               2
  Bei unserem Dreieck können wir als Grundseite die Strecke P Q verwenden, die sich aus
  der Differenz der y-Werte von P und Q ergibt, da P über Q liegt (f (u) = (1 + u2 )e−u ist
  für u > 0 nämlich größer als g(u) = e−u ). Es gilt also g = (u2 + 1)e−u − e−u = u2 e−u .
  Für die Höhe h zu dieser Grundseite gilt h = u, und so sieht dann die Zielfunktion aus:
                                  1          1          1
                         z(u) =     · g · h = u2 e−u u = u3 e−u .
                                  2          2          2
  Im zweiten Beispiel geht es um eine Dreiecksfläche, die von einer Tangente an eine Funk-
                                                                      2
  tion begrenzt wird. Und zwar nehmen wir die Funktion f (x) = 2+x und einen Kurven-
                                                                   x2
  punkt P (u|v) mit u > 0. Die Tangente an f durch den Punkt P begrenzt mit den Koordi-
  natenachsen ein Dreieck, dessen Fläche durch die Zielfunktion beschrieben werden soll.
  Dazu wird zuerst nach 1.6.3 die Tangentengleichung an der Stelle u aufgestellt:
                                                         4            2
            t:   y = f (u)(x − u) + f (u) ⇐⇒ y = −        3
                                                            (x − u) + 2 + 1
                                                        u            u
                                                         4       6
                                                ⇐⇒ y = − 3 x + 2 + 1.
                                                        u       u
  Die Tangente schneidet die y-Achse bei y = u2 + 1 und die x-Achse bei x = 3 u + 1 u3
                                                6
                                                                                 2     4
  (s.1.4.2 und 1.4.3). Diese beiden Werte können als Grundseite g bzw. Höhe h des Dreiecks
  verwendet werden, d.h. die Zielfunktion für die Fläche hat die Form
                     1       1      6            3    1    1    3     9
            z(u) =     ·g·h=           +1          u + u3 = u3 + u +    .
                     2       2      u2           2    4    8    2    2u

• Oberfläche
                                                                              3
  Der Punkt P (u|v) (u > 0) soll ein Punkt auf der Kurve der Funktion f (x) = x3 − 1 sein.
  Die Punkte P , Q(u| − 1), R(0| − 1) und S(0|v) bilden ein Rechteck. Die Zielfunktion
  soll die Oberfläche des Zylinders beschreiben, der entsteht, wenn sich das Rechteck um
  die Seite RS dreht (die auf der y-Achse liegt).
  Die Oberfläche eines Zylinders hat die Formel

                                    O = 2πr2 + 2πrh,

  wobei r der Grundkreisradius und h die Höhe ist. Hier in unserem Fall ist r = u. Wegen
                 3
  v = f (u) = u3 − 1 > −1 liegt P (u|v) über Q(u| − 1), d.h. die Höhe h des Zylinders
                                           3
  ergibt sich aus h = v − (−1) = v + 1 = u3 . In die Oberflächenformel eingesetzt ergibt
  das die Zielfunktion
                                                  3          6π
                          z(u) = 2πu2 + 2πu        3
                                                     = 2πu2 + 2 .
                                                  u          u



                                          40
    • Volumen      √
      Für 0 ≤ u ≤ 2 soll P (u|v) ein Kurvenpunkt von f (x) = x4 − 4x2 + 4 sein und Q der
      Punkt mit den Koordinaten (−u|v). P und Q begrenzen mit dem Ursprung O ein Dreieck,
      das bei Rotation um die y-Achse einen Kegel erzeugt. Gesucht ist die Zielfunktion, die
      das Volumen des Kegels beschreibt.
      Dazu wieder zuerst die allgemeine Formel für das Volumen von Kegeln:
                                                   1
                                                V = πr2 h.
                                                   3
      Hier bezeichnet r den Grundkreisradius, und h die Höhe des Kegels. Weil das Dreieck um
      die y-Achse rotiert, entspricht u dem Radius und v der Höhe. Eingesetzt in die Volumen-
      formel bedeutet das für die Zielfunktion:
                       1       1                    1
                 z(u) = πu2 v = πu2 (u4 − 4u2 + 4) = π(u6 − 4u4 + 4u2 ).
                       3       3                    3

    • Kurvenfläche
      Im letzten Beispiel bewegt sich kein Punkt auf einer Kurve, sondern es ist die Funktion
      fu (x) = (2u − u2 )x2 + (u2 − 2u + 2)x gegeben. Sie schneidet eine zweite Funktion
      g(x) = 2x2 unabhängig von u im Ursprung und im Punkt (1|2), so dass dadurch eine
      Fläche eingeschlossen wird. Die Frage ist, wie der Flächeninhalt durch eine Zielfunktion
      in Abhängigkeit von u beschrieben werden kann.
      Nach 1.5.3 gilt für die Fläche A zwischen den Funktionen
                                     1
                       A =               fu (x) − g(x) dx
                                 0
                                     1
                           =             (2u − u2 − 2)x2 + (u2 − 2u + 2)x dx
                                 0
                                                                               1
                                 1                  1
                           =       (2u − u2 − 2)x3 + (u2 − 2u + 2)x2
                                 3                  2                          0
                                1 2 1        1
                           =      u − u+ .
                                6      3     3

      Die Zielfunktion ist also festgelegt durch z(u) = 6 u2 − 1 u + 1 , wobei der Betrag weg-
                                                        1
                                                               3     3
      gelassen werden kann, da z nur positive Werte annimmt.

1.8.2 Bestimmung des Extremwerts der Zielfunktion
Zur Bestimmung des Punktes P (u|v) (oder der senkrechten Geraden x = u) auf der Kurve von
f , für den die Zielfunktion extremal (also maximal oder minimal) wird und zur Bestimmung
dieses Extremwerts rechnest Du wie in 1.4.4 beschrieben die Extrempunkte von z aus.
Gibt es im Inneren des Definitionsbereichs von z (das ist der Definitionsbereich ohne den Rand)
nur einen Extrempunkt E(u0 |z(u0 )), dann ist z(u0 ) das Minimum oder Maximum der Zielfunk-
tion (je nachdem ob E ein Tief- oder Hochpunkt ist).




                                                  41
Der Punkt P (u|v) (bzw. die Gerade x = u) bei dem die Zielfunktion ihren Extremwert an-
nimmt, hat dann die Koordinaten P (u0 |f (u0 )) (bzw. die Gerade die Gleichung x = u0 ).
Beispiele:
Wir gehen der Reihe nach alle Zielfunktionen aus den Beispielen von 1.8.1 durch.

   • Die Ableitungen von z(u) = 2ue−u mit dem Definitionsbereich u ≥ 0 sind

                        z (u) = 2(1 − u)e−u und z (u) = 2(u − 2)e−u .

     Aus z (u) = 0 folgt u = 1. An dieser Stelle ist wegen z (1) = −2e−1 < 0 ein Hochpunkt
     von z. Da das der einzige Extrempunkt im Inneren des Definitionsbereichs ist, hat z mit
     der Geraden x = 1 den maximalen Wert z(1) = 2 .   e
                                                      8
   • Die Zielfunktion für den Umfang ist z(u) = 2u+2+ u mit u > 0 und hat als Ableitungen

                                              8             16
                                z (u) = 2 −    2
                                                 und z (u) = 3 .
                                              u             u
     z (u) = 0 hat die Lösungen u = ±2. Davon liegt nur u = 2 im Inneren des Definitions-
     bereichs, was wegen z (2) = 2 > 0 den einzigen Tiefpunkt für z ergibt. Daraus folgt mit
     f (2) = 3, dass z beim Punkt P (2|3) den minimalen Wert z(2) = 10 annimmt.

   • Die Flächen-Zielfunktion z(u) = 1 u3 e−u mit u ≥ 0 als Definitionsbereich hat die Ablei-
                                      2
     tungen
                            3     1                       1
                  z (u) = ( u2 − u3 )e−u und z (u) = ( u3 − 3u2 + 3u)e−u .
                            2     2                       2
     Hier gibt es für z (u) = 0 die Lösungen u = 0 und u = 3, wobei aber u = 0 auf dem
     Rand des Definitionsbereichs (also nicht im Inneren) liegt. z hat deshalb im Inneren nur
     einen Extrempunkt bei u = 3 und zwar wegen z (3) = − 9 e−3 < 0 einen Hochpunkt.
                                                                2
     Das ergibt dann mit der Geraden x = 3 für die Zielfunktion den maximalen Wert z(3) =
     27 −3
      2 e .




                                              42
                                                        1      3                   9
  Die zweite Flächen-Zielfunktion hatte die Form z(u) = 8 u3 + 2 u +              2u   mit u > 0 und
  mit den beiden Ableitungen
                            3    3  9            3    9
                     z (u) = u2 + − 2 und z (u) = u + 3 .
                            8    2 2u            4   u
  Die Extrempunktbedingung z (x) = 0 hat als Lösungen u = 2 und u = −6, wobei
  die zweite nichts zu sagen hat weil u > 0 gelten soll. Die andere Lösung ist aber wegen
  z (2) = 21 > 0 die Stelle für einen Tiefpunkt von z, und zwar für den einzigen im Inneren
           8
  des Definitionsbereichs. Deshalb nimmt z für den Punkt P (2|f (2)) (mit f (2) = 3 ) den
                                                                                     2
  minimalen Wert z(2) = 25 an.
                           4
                                       6π
• Für die Zielfunktion z(u) = 2πu2 +   u2
                                            mit u > 0 gilt

                                       12π                 36π
                       z (u) = 4πu −       und z (u) = 4π + 4 .
                                        u3                  u
                                                                                    √
  Wir rechnen wieder die Lösungen der Gleichung z (u) √ 0 aus, nämlich u = 4 3 und
         √                                                  =
  u = − 4 3, von denen sich wieder nur eine einzige (u = 4 3) im Inneren des Definitions-
                                      √
  bereichs aufhält. Für diese gilt z ( 4 3) = 16π > 0, d.h. z hat dort einen minimalen Wert
    √        √
  z( 4 3) = 4 3π. Dabei ist der Punkt P (u|v), für den z minimal wird, bestimmt durch die
                            √
  beiden Koordinaten u = 4 3 und v = f (u) = √1 3 − 1.
                                                  4
                                                   (   3)

• Im vorletzten Beispiel ist die Volumen-Zielfunktion gegeben durch die Gleichung z(u) =
                                      √
  1    6      4      2
  3 π(u − 4u + 4u ) mit 0 ≤ u ≤         2. Es gilt

                 1                                            1
          z (u) = π(6u5 − 16u3 + 8u)         und       z (u) = π(30u4 − 48u2 + 8).
                 3                                            3

  Die Extremalbedingung z (x) = 0 hat dieses Mal sogar fünf Lösungen: u = 0, u = ± 2
                                                                                   3
             √                                         2
  und u = ± 2 (vgl. 1.2.4). Davon liegt aber nur u = 3 im Inneren der Definitionsmen-
  ge, die anderen Lösungen liegen entweder ganz außerhalb, oder auf dem Rand. Wegen
  z ( 2 ) = − 32 π < 0 hat z dann dort den maximalen Wert z( 2 ) = 32 π. Das Volumen
        3       9                                               3    81
                                                            2                     16
  wird also maximal für den Punkt P (u|v) mit u =           3   und v = f (u) =   9 .

                                                                      1 2
• Zur Berechnung des Extremwerts der Zielfunktion z(u) =              6u    − 1u +
                                                                              3
                                                                                        1
                                                                                        3   mit u ∈ IR,
  werden wieder die ersten beiden Ableitungen benützt:
                                   1    1                   1
                            z (u) = u −          und z (u) = .
                                   3    3                   3
                                                                                        1
  Aus z (u) = 0 folgt die einzige Lösung u = 1, was wegen z (1) =                       3   > 0 einen
                                              1
  minimalen Wert für z ergibt, nämlich z(1) = 6 .




                                            43
1.9 Funktionenscharen
Funktionenscharen sind Funktionen, in denen außer der Variablen x noch ein Parameter (z.B.
t) steckt. Durch Einsetzen beliebiger Werte für t bekommt man dann verschiedene konkrete
Funktionen der Schar. Bei Funktionen mit so einem Parameter kann ganz normal eine Kurven-
diskussion durchgeführt werden, nur hängen alle Ergebnisse noch vom Parameter t ab.
Viele Aufgaben zu Funktionenscharen zielen darauf ab, dass man zu einer bestimmten Bedin-
gung die Funktion aus der Schar findet (d.h. den dazugehörigen Parameter t bestimmt), die diese
Bedingung erfüllt.
Oft geht es auch darum zu zeigen, dass eine Bedingung oder Gleichung von allen Funktionen
unabhängig vom Scharparameter erfüllt wird, das sind dann Invarianten der Schar.
Außerdem gibt es noch die Ortskurven zu berechnen, das sind diejenigen Kurven, auf denen z.B.
sämtliche Hochpunkte (oder Tief- bzw. Wendepunkte) einer Funktionenschar liegen.

1.9.1 Ortskurven
Wenn Du für jede Funktion einer Funktionenschar ft die Hoch-, Tief- oder Wendepunkte in
Abhängigkeit von t ausgerechnet hast, ist es möglich, die Kurve zu bestimmen, auf der alle diese
Punkte liegen. Du hast z.B. den Hochpunkt H(a(t)|b(t)), wobei a(t) und b(t) die x-Koordinate
bzw. die y-Koordinate der Hochpunkte in Abhängigkeit von t darstellen. Mit

                                  x = a(t)    und y = b(t)

kannst Du dann die erste Gleichung nach t auflösen und das Ergebnis in die zweite Gleichung
einsetzen, was eine Gleichung mit y und x ergibt. Das ist dann die Funktionsgleichung der
Ortskurve aller Hochpunkte.
Beispiel:
Es wird die Ortskurve aller Hochpunkte der Funktionenschar ft (x) = −x2 + tx + t bestimmt,
wobei H( 1 t| 1 t2 + t) alle Hochpunkte der Schar sind (s. 1.4.4). Es gilt also für den x- bzw.
           2 4
y-Wert:
                                      1               1
                                 x = t und y = t2 + t.
                                      2               4
Die erste Gleichung ergibt nach t aufgelöst t = 2x, was beim Einsetzen in die zweite Gleichung
zur Ortskurve y = 1 (2x)2 + 2x = x2 + 2x führt.
                    4


1.9.2 Bestimmung von Parametern
Hier wird nach dem Parameter t gefragt, für den ft eine bestimmte Bedingung erfüllt. Die Be-
dingung an die Funktion musst Du also irgendwie in eine Gleichung (oder in mehrere) bringen
und dann nach t auflösen. Dazu lässt sich allgemein wenig sagen, deshalb kommen jetzt ein paar
Beispiele zu möglichen Bedingungen.




                                              44
Beispiele:

    • ft schneidet g zweimal
                                                     8
      Zu bestimmen sind alle t, für die ft (x) = t − x die Gerade g(x) = 2x zweimal schneidet.
      Aus der Schnittbedingung ft (x) = g(x) folgt
                                      8
                                t−      = 2x    bzw.     2x2 − tx + 8 = 0.
                                      x
      Nach 1.2.3 hat diese Gleichung zwei Lösungen, wenn die Diskriminante positiv ist, d.h.
      wenn t2 − 64 > 0 gilt. Das bedeutet, dass es für t2 > 64, also für t > 8 oder für t < −8
      zwei Schnittpunkte von ft und g gibt.

    • ft berührt g
      Gesucht ist dasjenige t, für welches ft mit ft (x) = x2 + (t + 1)x + 3 die Funktion
      g(x) = 1 − x2 berührt. Nach 1.6.2 bedeutet Berührung soviel wie ft (x) = g (x) und
      ft (x) = g(x), d.h. es muss gelten:

                      2x + t + 1 = −2x         und     x2 + (t + 1)x + 3 = 1 − x2 .

      Um die beiden Gleichungen nach t und x aufzulösen, können wir z.B. t = −4x − 1 (erste
      Gleichung) in die zweite Gleichung einsetzen. Aus der entstandenen Gleichung folgen
      dann die Lösungen x = ±1. Das ergibt dann wieder nach Einsetzen in die erste Gleichung
      für t die Lösungen t = −5 und t = 3. Das Ergebnis sieht dann so aus: f3 berührt g an der
      Stelle x = −1, und f−5 berührt g an der Stelle x = 1.

    • ft schneidet g senkrecht
      Für welches t schneidet ft (x) = x2 + 1 t die Funktion g(x) = x21 senkrecht? Nach
                                                    2                           +1
      1.6.4 ist das der Fall, falls ft (x) · g (x) = −1 und ft (x) = g(x) gilt:
                                  −2x                            1      1
                         2x ·            = −1          und   x2 + t = 2   .
                                (x2+ 1)2                         2   x +1

      Die erste Gleichung führt nach Umformung auf eine biquadratische Gleichung für x mit
      den Lösungen x = ±1 (vgl. 1.2.4). Beide Lösungen können dann in die zweite Gleichung
      eingesetzt werden, wobei sich jeweils t = −1 ergibt. Das bedeutet, dass f−1 die Funktion
      g an den Stellen x = ±1 senkrecht schneidet.

    • Der Hochpunkt von ft liegt auf der x-Achse
                                                           t3
      Wir gehen aus von der Funktionenschar ft (x) = 2x2 + x + 3 mit t < 0. Dabei hat ft
                         3
      den Hochpunkt H(t| 2 t + 3) (vgl. 1.4.4). Soll der Hochpunkt auf der x-Achse liegen, dann
      muss seine y-Koordinate den Wert Null haben:
                                       3
                                         t + 3 = 0 bzw.       t = −2.
                                       2
      Damit hat die Funktion f−2 ihren Hochpunkt auf der x-Achse.




                                                 45
    • ft hat zwei zueinander senkrechte Wendetangenten
      Bestimme t so, dass ft (x) = tx4 − 3x2 (t > 0) zwei zueinander senkrechte Wende-
      tangenten besitzt. Zuerst werden die Wendestellen bestimmt (vgl. 1.4.5). Dabei erge-
      ben sich x1 = √1 und x2 = − √1 . Die Steigungen der Wendetangenten sind dann
                         2t              2t
      m1 = ft (x1 ) = − √4 und m2 = ft (x2 ) = √4 . Sie schneiden sich nach 1.6.4 senkrecht,
                         2t                     2t
      wenn die Orthogonalitätsbedingung m1 · m2 = −1 erfüllt ist:
                              4   4        16
                           − √ · √ = −1 ⇐⇒    = 1 ⇐⇒ t = 8.
                              2t  2t       2t

      Somit hat f8 zwei senkrecht aufeinanderstehende Wendetangenten.

1.9.3 Parameterunabhängige Eigenschaften
Manche Scharen haben Eigenschaften, die nicht von vom Parameter t abhängen, d.h. alle Funk-
tionen, die man für verschiedene Parameterwerte erhält, haben etwas gemeinsam. Um zu sehen,
ob eine Eigenschaft unabhängig von t ist, musst Du sie als Gleichung für ft formulieren und
durch Vereinfachung zeigen, dass t rausfällt. Eine kleine Beispielschar dazu erhellt die Sache
vielleicht ein wenig.
Beispiele:

    • Gemeinsame Punkte
      Zeige, dass P (0| − 6) und Q(2|4) die gemeinsamen Punkte der Funktionenschar ft (x) =
      tx3 + (1 − 2t)x2 + 3x − 6 sind.
      Dazu wird die Punktprobe gemacht, und es ergibt sich

                      ft (0) = t · 0 + (1 − 2t) · 0 + 3 · 0 − 6 = −6,    bzw.
                      ft (2) = 8t + 4(1 − 2t) + 6 − 6 = 4

      unabhängig von t, was zu zeigen war.
      Es kann auch gefragt werden, ob die obige Schar gemeinsame Punkte hat, ohne dass
      sie angegeben werden. In diesem Fall schneidest Du zwei verschiedene Funktionen aus
      der Schar miteinander, bei denen Du die Parameter z.B. mit s und t bezeichnest. Wenn
      Du dann Schnittpunkte berechnest, die nicht von s oder t abhängen, dann sind das die
      gemeinsamen Punkte der Schar:

                         sx3 + (1 − 2s)x2 + 3x − 6 = tx3 + (1 − 2t)x2 + 3x − 6
                  ⇐⇒ (s − t)x3 − 2(s − t)x2 = 0
                  ⇐⇒ (s − t)(x3 − 2x2 ) = 0
                  ⇐⇒ x3 − 2x2 = 0.

      Die Division durch s − t ist erlaubt, weil wir verschiedene Scharfunktionen miteinander
      schneiden, d.h. es gilt s = t ⇔ s − t = 0. Die letzte Gleichung hat die von s und t
      unabhängigen Lösungen x = 0 und x = 2 (s. 1.2.7). Mit ft (0) = −6 und ft (2) = 4
      ergeben sich dann die gemeinsamen Punkte P (0| − 6) und Q(2|4) der Funktionenschar.



                                             46
• Flächenverhältnisse
                                                                                  3
  Für t > 0 schneidet ft (x) = −tx3 + 3x die x-Achse bei x1 = −                   t,   x2 = 0 und
           3
  x3 =     t.  Die von ft und der x-Achse zwischen x2 und x3 begrenzte Fläche A wird
  durch die erste Winkelhalbierende in zwei Flächenstücke A1 und A2 zerlegt. Zu zeigen
                                  A1
  ist, dass das Flächenverhältnis A2 nicht von t abhängt.
  Wir berechnen zuerst nach 1.5.3 die Gesamtfläche zwischen ft und der x-Achse:
                          3                                          3
                          t                          t    3          t       9   9
                A=            −tx3 + 3x dx =        − x4 + x2            =      = .
                     0                               4    2      0           4t  4t

  Um das Flächenstück A1 zu berechnen, das von der Winkelhalbierenden mit der Glei-
  chung g(x) = x und ft begrenzt wird, berechnen wir zuerst ihre Schnittstellen, mit dem
                                 2
  Resultat x = 0 bzw. x =        t.   Für das Flächenstück ergibt sich dann

                          2                                              2
                          t
                                 3                      t                t       1  1
            A1 =              −tx + 3x − x dx =        − x4 + x2             =     = .
                     0                                  4            0           t  t

                                            9         5
  A2 bestimmen wir mit A2 = A − A1 = 4t − 1 = 4t . Jetzt kann man sehen, dass das
                                                 t
  Flächenverhältnis A1 = 1 : 4t = 4 nicht von t abhängt.
                    A2   t
                             5
                                  5

• ft berührt g für jedes t in P
                                   t
  Zeige, dass ft (x) = (1 + t)x + x + 2t für jedes t die erste Winkelhalbierende (g(x) = x)
  in demselben Punkt P berührt.
  Nach 1.6.2 berühren sich die beiden Kurven, wenn die beiden Bedingungen ft (x) = g(x)
  und ft (x) = g (x) erfüllt sind:
                                       t                              t
                         (1 + t)x +      + 2t = x    und 1 + t −        = 1.
                                       x                             x2
  Die zweite Gleichung ist äquivalent zu t(x2 − 1) = 0 mit den von t unabhängigen Lösun-
  gen x = 1 und x = −1. Aber nur für x = −1 ist auch die erste Gleichung unabhängig
  von t erfüllt. Damit ist P (−1|ft (−1)), also P (−1| − 1) der Punkt, in dem ft für jedes t
  die erste Winkelhalbierende berührt.

• Invariante Tangentennullstelle
  Wir zeigen, dass die Nullstelle der Tangente an ft (x) = tx2 im Kurvenpunkt P (4|16t)
  unabhängig von t ist.
  Dazu wird zuerst nach 1.6.3 die Tangentengleichung der Tangente durch P an ft aufge-
  stellt:
                        t : y = ft (4) + ft (4)(x − 4) = 8tx − 16t.
  Setzt man jetzt y = 0 ein und löst nach x auf, dann erhält man die von t unabhängige
  Nullstelle der Tangente x = 2.




                                               47
• Steigung im Wendepunkt
                                                           1 3
  Es soll gezeigt werden, dass die Steigung von ft (x) =   3x    + tx2 + (t2 − 2)x − 1 im
  Wendepunkt unabhängig von t ist.
  Für die beiden ersten Ableitungen gilt

                  ft (x) = x2 + 2tx + t2 − 2   und ft (x) = 2x + 2t.

  Aus ft (x) = 0 folgt dann die Wendestelle x = −t (ft (x) = 2 = 0, vgl. 1.4.5). Die
  Ableitung an dieser Stelle gibt dann den Wert der Steigung im Wendepunkt an und hat
  den Wert ft (−t) = (−t)2 − 2t2 + t2 − 2 = −2, der nicht von t abhängt.




                                        48
2 Geometrie
2.1 Begriffe und Formeln
Punkt,Vektor
Anschauliche „Punkte“im dreidimensionalen Raum werden mathematisch durch ihre drei Ko-
ordinaten bezüglich eines vorgegebenen Koordinatensystems beschrieben. Dabei fasst man die-
se Koordinaten zu Zahlentripel zusammen, die dann auch „Vektoren “genannt werden. Vektor
und Punkt sind letztlich also nur verschiedene Namen für das mathematische Objekt Zahlentri-
pel. Als Variablennamen für Vektoren (bzw. Punkte) werden Kleinbuchstaben mit Pfeilen (bzw.
Großbuchstaben) verwendet, für Koordinaten Kleinbuchstaben mit 
                                                                  Indizes. Die Koordinaten
                                                               x1
können in Spalten oder Zeilen zusammengefasst werden: x =  x2 ; A(1|0| − 2).
                                                                 
                                                               x3

Addition/Subtraktion
                              
  x1       y1       x1 ± y1
  x2  ±  y2  =  x2 ± y2 
                       

  x3       y3       x3 ± y3

Multiplikation mit einer Zahl t
                         
      x1       tx1
t ·  x2  =  tx2 
                
      x3       tx3

Vektor- oder Kreuzprodukt
                                   
  x1              y1       x2 y3 − x3 y2
 x2            y2  =  x3 y1 − x1 y3 
                                    
  x3              y3       x1 y2 − x2 y1

Skalarprodukt
                     
  x1       y1
  x2  •  y2  = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
           

  x3       y3

Betrag eines Vektors
       
  x1
 x2  =            x2 + x2 + x2
    
                     1    2    3
  x3




                                             49
Mittelpunkt zweier Punkte
Der Mittelpunkt M der beiden Punkte A(a1 |a2 |a3 ) und B(b1 |b2 |b3 ) hat die Koordinaten M ( a1 +b1 | a2 +b2 | a3 +b3 )
                                                                                                 2        2        2


Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit
Zwei Vektoren x und y heißen linear abhängig, wenn es eine Zahl t gibt, mit

                                      x = ty    oder y = tx.

Gibt es keine solche Zahl, dann heißen sie linear unabhängig.

Orthogonalität
Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn gilt:

                             x • y = 0 ⇐⇒ x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = 0.

Winkel zwischen zwei Vektoren
Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren x und y gilt
                                                     x•y
                                          cos α =             .
                                                    |x| · |y|

Geraden
Sind zwei Vektoren u und v gegeben, dann versteht man unter einer Geraden die Menge aller
Vektoren x mit
                                      x = u + tv,
wobei der Parameter t alle reelen Zahlen durchläuft. Diese Gleichung wird als Parameterform
der Geraden bezeichnet, u und v als Stütz- bzw. Richtungsvektor der Geraden. Dabei ergibt sich
für jeden konkreten Wert, der für t gewählt wird ein Punkt auf der Geraden.

Ebenen
Unter einer Ebene versteht man eine Menge von Vektoren x, die durch eine der folgenden Glei-
chungen dargestellt wird.
    • Parameterform:
                                             x = u + sv + tw.
      Die vorgegebenen Vektoren u bzw. v und w heißen Stütz- bzw. Richtungsvektoren, die
      Parameter s und t durchlaufen alle reellen Zahlen.

    • Koordinatenform:
                                        ax1 + bx2 + cx3 + d = 0.
      a, b, c und d sind vorgegebene reelle Zahlen, x1 , x2 und x3 sind die Koordinaten von x.



                                                  50
   • Hessesche Normalform:
                                       ax1 + bx2 + cx3 + d
                                          √                = 0.
                                            a2 + b2 + c2
                                √
     Das entspricht der durch       a2 + b2 + c2 geteilten Koordinatenform.

   • Normalenform:
                                            n • (x − p) = 0.
     Dabei heißt p Stützvektor und n Normalenvektor der Ebene.

Normalenvektor einer Ebene
                  
                 a
Die Vektoren  b  aus der Koordinatenform bzw. der Hesseschen Normalform und n aus
                   
                 c
der Normalenform heißen Normalenvektoren der Ebene. Außerdem sind beliebige (von null
verschiedene) Vielfache dieser Vektoren ebenfalls Normalenvektoren.

Kugeln
Eine Kugel ist eine Menge von Vektoren x, die auf folgende Arten beschrieben werden kann.

   • quadratische Form:

             x2 + b • x + c = 0                     (vektorielle Schreibweise)
              2 + x2 + x2 + b x + b x + b x + c = 0 (Koordinatenschreibweise)
             x1     2    3    1 1  2 2   3 3


     b ist ein Vektor mit den Komponenten b1 , b2 und b3 . c ist eine Zahl. Unter x2 ist das
     Skalarprodukt von x mit sich selbst zu verstehen. Jede der beiden Schreibweisen kann aus
     der anderen abgelesen werden.

   • Kugelform:

            (x − m)2 = r2                                (vektorielle Schreibweise)
            (x1 − m1 )2 + (x2 − m2 )2 + (x3 − m3 )2 = r2 (Koordinatenschreibweise)

     Dabei heißt m Mittelpunktvektor der Kugel mit den Komponenten m1 , m2 und m3 , und
     r ist der Radius. Mit (x − m)2 ist wieder das Skalarprodukt des Vektors x − m mit sich
     selbst gemeint.

Lagebeziehungen
   • Zwei Geraden heißen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear ab hängig sind und
     wenn sie keinen Schnittpunkt haben.

   • Ebene und Gerade heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden.




                                                51
    • Zwei Ebenen heißen parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind und wenn
      sie keinen Schnittpunkt haben.

    • Zwei Geraden heißen orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind.

    • Ebene und Gerade heißen orthogonal, wenn der Normalenvektor und der Richtungsvektor
      linear abhängig sind.

    • Zwei Ebenen heißen zueinander orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal
      sind.

    • Zwei Geraden heißen windschief, wenn sie keinen Schnittpunkt haben und nicht parallel
      sind.

Spurpunkte
Die Schnittpunkte einer Ebene E mit den Koordinatenachsen und die Schnittpunkte einer Gera-
den g mit den Koordinatenebenen heißen Spurpunkte von E, bzw. g.

Spurgeraden
Die Schnittgeraden einer Ebene E mit den Koordinatenebenen heißen Spurgeraden von E.

Lotgerade und Lotfußpunkt
Eine Gerade l, die durch einen Punkt P geht und orthogonal zu einer Ebene E ist, heißt Lotge-
rade von E durch P . Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit E heißt Lotfußpunkt der Lotgeraden.
Ist n ein Normalenvektor von E, dann ist eine Parameterdarstellung von l gegeben durch

                                      l:   x = p + tn.

Tangentialebenen
Ist eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M gegeben und ein Punkt P , der auf K liegt, dann heißt
die Ebene T mit der Normalengleichung

                                T :   (m − p) • (x − p) = 0

Tangentialebene an K durch den Punkt P . Dabei ist m − p ein Normalenvektor von T .

Abstand zwischen zwei Punkten
Für den Abstand d zwischen zwei Punkten Q und P gilt

                                d(Q; P ) = |q − p| = |p − q|.




                                             52
Abstand zwischen Punkt und Ebene
Für den Abstand d zwischen einem Punkt P und einer Ebene E gilt

                                          ap1 + bp2 + cp3 + d
                            d(P ; E) =      √                 .
                                              a2 + b2 + c2
Das ist der Betrag des linken Gleichungsterms der Hesseschen Normalform von E, wobei für
x1 , x2 und x3 die Koordinaten von P eingesetzt wurden.

Abstand zwischen Punkt und Gerade
Für den Abstand d zwischen einem Punkt P und einer Geraden g : x = u + tv gilt

                                                v • (p − u)
                            d(P ; g) = u +                  v−p .
                                                     v2

Abstand zwischen zwei Geraden
Sind g : x = u1 + sv1 und h : x = u2 + tv2 zwei Geraden mit linear unabhängigen Richtungs-
vektoren, dann gilt für den Abstand:

                                         |(v1    v2 ) • (u1 − u2 )|
                            d(g; h) =
                                                 |v1 v2 |

Winkel zwischen zwei Geraden
Für den Winkel α zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren v1 und v2 gibt es die
Formel
                                          |v1 • v2 |
                                 cos α =               .
                                         |v1 | · |v2 |

Winkel zwischen zwei Ebenen
Aus den Normalenvektoren n1 und n2 zweier Ebenen lässt sich der Winkel α zwischen ihnen
bestimmen mit
                                           |n1 • n2 |
                                 cos α =                .
                                          |n1 | · |n2 |

Winkel zwischen Gerade und Ebene
Für den Winkel α zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor v und einer Ebene mit dem
Normalenvektor n gilt
                                              |n • v|
                                     sin α =           .
                                             |n| · |v|




                                                53
2.2 Lineare Gleichungssysteme
2.2.1 Einführung
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus linearen Gleichungen für beliebig viele Varia-
blen x1 , x2 , ..., xn (auch Unbekannte genannt) .
Dabei muss nicht in jeder Gleichung des Systems jede Variable vorkommen, es darf sogar Va-
riablen geben, die in gar keiner Gleichung auftauchen.
Gibt es bestimmte Werte für die Variablen x1 , x2 , ..., xn eines LGS, so dass alle Gleichungen
erfüllt sind, dann sind diese Werte eine Lösung des LGS. Ein LGS kann gar keine, genau eine,
oder unendlich viele Lösungen besitzen.

Beispiele
   1. LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen

                                          2x1 + 3x2 = 1
                                        −4x1 − 5x2 = 3

      Dieses LGS hat genau eine Lösung: mit den Werten x1 = −7 und x2 = 5 sind beide
      Gleichungen erfüllt.

   2. LGS mit 2 Unbekannten und 3 Gleichungen

                                          2x1 + 3x2 = 1
                                        −4x1 − 5x2 = 3
                                            x1 + x2 = 0

      Bei diesem LGS stimmen die ersten beiden Gleichungen mit dem ersten Beispiel überein.
      Wenn das LGS eine Lösung hätte, dann also x1 = −7 und x2 = 5.
      Weil damit aber die dritte Gleichung nicht erfüllt ist (−7 + 5 = 0), hat das LGS keine
      Lösung.

   3. LGS mit 3 Unbekannten und 2 Gleichungen

                                          x1 + x2 − x3 = 0
                                     −x1 − 3x2 + 2x3 = 2

      Dieses LGS hat unendlich viele Lösungen. Es geht uns jetzt aber erstmal noch nicht dar-
      um, wie man auf diese kommt. Wir schauen uns nur an, wie man unendlich viele Lösungen
      überhaupt darstellen kann.
      Das ist möglich indem man die Unbekannten x1 , x2 und x3 mithilfe eines neuen Parame-
      ters t angibt. Hier gilt für die Lösung:
      x1 = 1 + t, x2 = −1 + t, x3 = 2t.
      Da man für jeden Wert von t eine andere Lösung für das LGS bekommt, sind so unendlich
      viele Lösungen angegeben. Z.B. erhält man für t = 0 die Lösung x1 = 1, x2 = −1, x3 = 0
      oder für t = −2 die Lösung x1 = −1, x2 = −3, x3 = −4.



                                              54
2.2.2 Matrix Darstellung
Beim Lösen von Gleichungssystemen verwenden wir die Matrix Darstellung, mit der man sich
das unnötige Schreiben von Variablen erspart und die Darstellung einfacher und übersichtlicher
wird. Zum Beispiel wird das LGS
                                −x1 − 4x2 + x3 =   0
                                5x1       + x3 =   8
                                      2x2 − 2x3 = −4
als Matrix so notiert:                                      
                                   −1       −4         1    0
                                  5         0         1    8 
                                                             
                                    0        2        −2   −4
Kommt also eine Unbekannte in einer Gleichung des LGS nicht vor, spiegelt sich das in einer 0
an der entsprechenden Stelle in der Matrix wieder.
Substraktionen in Gleichungen entsprechen negativen Werten in der Matrix.
Die n-te Zeile einer Matrix bezeichnen wir im Weiteren mit zn , bei obiger Matrix hat also z.B.
z3 die Werte 0, 2, -2 und -4.

2.2.3 Additionsverfahren
Das allgemeine Lösungsverfahren für Gleichungssystemen besteht im ersten Schritt aus der wie-
derholten Anwendung des Additionsverfahrens.
Beim Additionsverfahren wird von zwei beliebigen Zeilen zm und zn einer Matrix ausgegangen,
bei denen an derselben Stelle zwei von 0 verschiedene Werte stehen. Den Wert in zm bezeichnen
wir mit wm und den Wert in zn mit wn .
Multipliziert man jetzt alle Werte von zm mit wn und alle Werte von zn mit −wm und addiert
die multiplizierten Zeilen, dann entsteht eine neue Zeile zneu = wn · zm + (−wm ) · zn .
zneu hat an der Stelle, wo wm bzw. wn stehen den Wert 0 und wird an Stelle von zm oder zn in
die Matrix geschrieben.
Das Additionsverfahren bewirkt also die Eliminierung einer Unbekannten aus einer Gleichung
des LGS.

Beispiel:
Bei der folgenden Matrix stehen in z1 und z2 jeweils an erster Stelle die von 0 verschiedenen
Werte w1 = 4 und w2 = −3:
                                        4 −8 −2
                                       −3     5    6
Wir multiplizieren die Werte von z1 mit w2 = −3 und die Werte von z2 mit −w1 = −4.
Dann addieren wir die Ergebnisse und erhalten dabei für die neue Zeile zneu die drei Werte 0, 4
und -18. Damit ersetzen wir z.B. z2 und erhalten die umgeformte Matrix

                                                           4 −8 −2
                         zneu = (−3) · z1 + (−4) · z2 :    0  4 −18



                                                 55
2.2.4 allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungssysteme
Es gibt eine systematische Methode, mit der man bei jedem LGS herausfinden kann, ob es keine,
eine oder unendlich viele Lösungen hat und mit der man alle möglichen Lösungen bestimmen
kann. Dieses Verfahren heißt Gaußsches Eliminationsverfahren (nach dem Mathematiker Carl
Friedrich Gauß) und wird im folgenden erklärt.

   1. Schritt:
      Bestimme in jeder Matrixzeile die Stelle, an welcher der erste von 0 verschiedene Wert
      auftritt. Dabei gibt es die folgenden zwei Möglichkeiten.
        a) es gibt zwei Matrixzeilen, bei denen dieser Wert an derselben Stelle auftritt:
           in diesem Fall bestimmst du mit dem Additionsverfahren eine neue Zeile, bei der an
           dieser Stelle eine 0 steht.
             • Stehen in der neuen Zeile überall Nullen, außer an der letzten Stelle, dann endet
               das Lösungsverfahren. Das LGS hat dann keine Lösung.
             • Stehen in der neuen Zeile überall Nullen, dann entferne eine der beiden Zeilen
               aus der Matrix und führe Schritt 1 erneut durch.
             • Ansonsten ersetzt du eine der beiden Zeilen in der Matrix durch die neue Zeile
               und führst Schritt 1 erneut durch.
        b) es gibt keine zwei solchen Matrixzeilen:
           in diesem Fall führst du Schritt 2 durch.

   2. Schritt:
      Bestimme in jeder Matrixzeile die Stelle, an welcher der erste von 0 verschiedene Wert
      auftritt und notiere die dazugehörige Unbekannte.
      Entsprechend den notierten Unbekannten gibt es die folgenden zwei Möglichkeiten.
        a) du hast alle Unbekannten des LGS notiert:
           in diesem Fall hat das LGS genau eine Lösung.
           Um diese zu bestimmen, gehst du wieder von der Matrix Darstellung zur ausführli-
           chen Schreibweise mit Gleichungen und Unbekannten über.
           Es gibt dann immer eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, nach der du auflösen
           kannst. Danach gibt es immer eine Gleichung, in der du alle schon bestimmten Un-
           bekannten einsetzen und damit die nächste Unbekannte bestimmen kannst, bis alle
           Unbekannten bestimmt sind.
        b) du hast nicht alle Unbekannten des LGS notiert:
           in diesem Fall hat das LGS unendlich viele Lösungen.
           Auch hier wieder das LGS in ausführlicher Form schreiben.
           Jetzt weist du allen nicht notierten Unbekannten des LGS neue Parameter zu und
           ersetzt die betreffenden Unbekannten im LGS mit diesen neuen Parametern. Danach
           löst du das LGS schrittweise wie bei a) nach den notierten Unbekannten auf.
           Die Anzahl der neuen Parameter bezeichnet man als die Dimension der Lösungs-
           menge, bei 2 Parametern ist die Lösungsmenge z.B. 2-dimensional.




                                              56
Beispiele:
   1. LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten (genau eine Lösung)
                                                            
                                         3 −2 3  2
                                         2  4 1  5 
                                                  
                                      
                                        −1 −7 1 −2
      Die ersten von 0 verschiedenen Werte von z1 und z2 sind jeweils an 1. Stelle. Wir bestim-
      men also mit dem Additionsverfahren eine neue Zeile, bei der an 1. Stelle eine 0 steht.
      Ebenso verfahren wir mit z1 und z3 . Die beiden neuen Zeilen werden statt z2 und z3 in
      die Matrix geschrieben und wir erhalten die neue Matrix
                                                                          
                                                   3 −2   3   2
                            2 · z1 + (−3) · z2 :  0 −16  3 −11 
                                                               
                         (−1) · z1 + (−3) · z2 :   0  23 −6   4
      Hier haben z2 und z3 den ersten von 0 verschiedenen Wert beide an 2. Stelle. Das Additi-
      onsverfahren liefert uns eine Zeile, wo an 2. Stelle eine 0 steht:
                                                                        
                                                 3 −2    3    2
                                                0 −16   3 −11 
                                                               
                           23 · z2 + 16 · z3 :   0   0 −27 −189
      An dieser Stelle erfolgt Schritt 2 des Lösungsverfahrens, weil es keine zwei Matrixzeilen
      gibt, wo der erste von 0 verschiedene Wert an derselben Stelle steht.
      Bei z1 , z2 und z3 kommen die ersten von 0 verschiedenen Werte an 1., 2. und 3. Stelle
      vor, das entspricht den Unbekannten x1 , x2 und x3 . Das sind alle Unbekannten des LGS,
      wir haben also genau eine Lösung. Um diese zu ermitteln gehen wir zur ausführlichen
      Schreibweise über:
                             3x1 −       2x2 +           3x3 =    2
                                       −16x2 +           3x3 = −11
                                                       −27x3 = −189
      Aus der dritten Gleichung folgt x3 = 7. Das in die zweite Gleichung eingesetzt führt zu
      x2 = 2 und setzen wir x2 und x3 noch in die erste Gleichung ein, ergibt sich x1 = −5.
      Damit haben wir die eindeutige Lösung des LGS bestimmt.
   2. LGS mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten (genau eine Lösung)
                                                          
                                           4 −5 −4
                                         −2 −2  2 
                                                  
                                           6  3 −6
      Bei allen drei Zeilen ist der erste von 0 verschiedene Wert jeweils an 1. Stelle. Mit dem
      Additionsverfahren ersetzen wir z2 und z3 deshalb durch neue Zeilen, die an 1. Stelle eine
      0 stehen haben:                                                 
                                                         4 −5 −4
                              (−2) · z1 + (−4) · z2 :  0     18     0 
                                                                      
                                  6 · z1 + (−4) · z2 :   0 −42       0



                                              57
  Jetzt haben noch z2 und z3 den ersten von 0 verschiedenen Wert jeweils an 2. Stelle stehen.
  Das Additionsverfahren liefert mit zneu = (−42)·z2 +18·z3 eine Zeile mit ausschließlich
  Nullen, wir streichen also z3 aus der Matrix und erhalten die vereinfachte Matrix

                                          4 −5 −4
                                          0 18  0

  Es folgt Schritt 2 des Gaußschen Lösungsverfahrens.
  Bei z1 ist das erste von 0 verschiedene Element an 1. Stelle, bei z2 an 2. Stelle. Dies
  entspricht den Unbekannten x1 und x2 . Weil das alle Unbekannten des LGS sind, existiert
  genau eine Lösung.
  Die ausführliche Schreibweise unserer Matrix sieht so aus:
                                   4x1 −      5x2 = −4
                                             18x2 =  0
  Mit der zweiten Gleichung folgt x2 = 0. Das setzen wir in die erste Gleichung ein und
  lösen nach x1 auf. Dabei ergibt sich x1 = −1 und wir haben die eindeutige Lösung be-
  stimmt.


3. LGS mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten (unendliche viele Lösungen)
                                                        
                                        4  2  4
                                      −2 −1 −2 
                                               
                                        6  3  6
  Bei z1 und z2 sind die ersten von 0 verschiedenen Werte (4 und -2) jeweils an erster Stelle.
  Wir bestimmen deshalb mit dem Additionsverfahren eine neue Zeile zneu = (−2) · z1 +
  (−4) · z2 , so dass an erster Stelle eine 0 steht. Da zneu sogar nur aus Nullen besteht,
  entfernen wir z2 aus der Matrix.
  Auch bei z1 und z3 sind die ersten von 0 verschiedenen Werte (4 und 6) jeweils an erster
  Stelle. Mit dem Additionsvefahren erhalten wir zneu = 6 · z1 + (−4) · z2 , so dass an erster
  Stelle eine 0 steht. zneu ist ebenfalls eine komplette Nullzeile und wir entfernen auch z3
  aus der Matrix.
  Die vereinfachte Matrix besteht jetzt nur noch aus einer Zeile z1 :

                                           4 2 4

  Jetzt kommt Schritt 2 des Lösungsverfahrens.
  Der erste von 0 verschiedene Wert in der verblienenen Zeile steht an 1. Stelle, welche
  der Unbekannten x1 entspricht. Da das nicht alle Unbekannten des LGS sind, gibt es also
  unendlich viele Lösungen.
  Wir weisen jetzt der einzigen anderen Unbekannten x2 des LGS einen neuen Parameter t
  zu: x2 = t.
  Dann gehen wir zur ausführlichen Schreibweise der vereinfachten Matrix über:

                                         4x1 + 2x2 = 4



                                           58
  Durch Einsetzen von x2 = t ergibt sich x1 = 1 − 1 t.
                                                   2
  Mit x1 = 1 − 1 t und x2 = t sind damit alle unendlich vielen Lösungen beschrieben. Die
                2
  Lösungsmenge ist 1-dimensional, da wir zur Beschreibung der allgemeinen Lösung genau
  1 Parameter benötigt haben.

4. LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten (unendlich viele Lösungen)

                                    3 −15 −6   0
                                    5 −25 −11 −1

  Beide Zeilen beginnen mit Werten ungleich 0. Wir bestimmen mit dem Additionsverfah-
  ren eine neue Zeile, die mit einer 0 beginnt und ersetzen damit die 2. Zeile der Matrix:

                                                 3 −15 −6 0
                         5 · z1 + (−3) · z2 :    0   0  3 3

  Es folgt Schritt 2, wobei der erste von 0 verschiedene Wert von z1 an 1. Stelle und von z2
  an 3. Stelle vorkommt. Das entspricht den Unbekannten x1 und x3 . Hierbei fehlt x2 , es
  gibt also unendlich viele Lösungen. Wir schreiben x2 = t und die vereinfachte Matrix in
  ausführlicher Schreibweise :
                              3x1 − 15x2 − 6x3 = 0
                                           3x3 = 3

  Aus der zweiten Gleichung folgt x3 = 1. Mit x2 = t und x3 = 1 folgt aus der ersten
  Gleichung x1 = 2 + 5t. Damit sind alle unendlich vielen Lösungen durch einen Parameter
  beschrieben, die Lösungsmenge ist also 1-dimensional.

5. LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten (unendlich viele Lösungen)

                                      −1 3 −4 10
                                       0 2 −4 8

  Bei diesem LGS entfällt Schritt 1 des Lösungsverfahrens komplett, weil in den Matrixzei-
  len die jeweils ersten von 0 verschiedene Werte an verschiedenen Stellen auftreten. In z1
  befindet sich dieser Wert an 1. Stelle und in z2 an 2. Stelle, was den Variablen x1 und x2
  entspricht. Da x3 hierbei nicht vorkommt, gibt es wieder unendlich viele Lösungen. Wir
  schreiben x3 = t und gehen in Schritt 2 zur ausführlichen Schreibweise der Matrix über:

                             −x1 + 3x2 − 4x3 = 10
                                   2x2 − 4x3 = 8

  x3 = t in die untere Gleichung eingesetzt ergibt nach x2 aufgelöst x2 = 4 + 2t.
  Wir setzen noch x2 und x3 in die erste Gleichung ein, lösen nach x1 auf und erhalten x1 =
  2 + 2t. Die Lösungsmenge ist auch hier wieder 1-dimensional, da wir zur Beschreibung
  genau einen Parameter benötigt haben.




                                          59
6. LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten (unendlich viele Lösungen)

                                       1  1 −2 −4
                                      −2 −2  4  8

  Hier tritt in z1 der erste von 0 verschiedene Wert an 1. Stelle auf und in z2 ebenso. Mit
  dem Additionsverfahren bestimmen wir zneu = (−2) · z1 + (−1) · z2 , so dass bei zneu
  an 1. Stelle eine 0 steht. Da zneu aber komplett aus Nullen besteht, darf z.B. z2 aus der
  Matrix entfernt werden und es verbleibt die einzeilige vereinfachte Matrix

                                          1 1 −2 −4

  In Schritt 2 stellen wir fest, dass der erste von 0 verschiedene Wert der einzigen Zeile an 1.
  Stelle steht, was der Unbekannten x1 entspricht. Dabei fehlen die Unbekannten x2 und x3
  welchen wir die Paremeter s und t zuweisen und somit wieder unendlich viele Lösungen
  erhalten. Mit der ausführlichen Schreibweise unserer 1-Zeilen-Matrix erhalten wir

                                     x1 + x2 − 2x3 = −4

  Wir setzen x2 = s und x3 = t ein, lösen nach x1 auf und erhalten x1 = −4 − s + 2t. Da
  wir zur Bestimmung der unendlich vielen Lösungen diesmal 2 Parameter benützt haben,
  ist die Lösungsmenge 2-dimensional.

7. LGS mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten (keine Lösung)
                                                        
                                         4 −1  4
                                       −2 −1 −2 
                                                
                                         6 −1 −1

  Alle Zeilen der Matrix haben den ersten von 0 verschiedenen Wert an 1. Stelle. Wir be-
  stimmen mit dem Additionsverfahren zwei neue Zeilen, die an 1. Stelle eine 0 haben:
                                                                    
                                                     4 −1 4
                           (−2) · z1 + (−4) · z2 :  0  6 0 
                                                            
                              6 · z1 + (−4) · z3 :   0 −2 28

  Bei dieser Matrix haben z2 und z3 den ersten von 0 verschiedenen Wert an 2. Stelle. Wir
  bestimmen mit dem Additionsverfahren also nochmal eine neue Zeile , die an 2. Stelle
  eine 0 hat. Die neue Zeile zneu = (−2) · z2 + (−6) · z3 besteht aus den Werten 0, 0, -168.
  Da in der neuen Zeile überall Nullen stehen, außer an der letzten Stelle, hat das LGS keine
  Lösung.

8. LGS mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten (keine Lösung)
                                                        
                                         4 −2 −1
                                       −2  1  2 
                                                
                                         6 −3  5



                                            60
  Auch hier ist in allen Zeilen der erste Wert ungleich 0 jeweils an 1. Stelle. Wir wenden
  also das Additionsverfahren an, um die zweite Zeile mit einer neuen Zeile zu ersetzen, die
  an 1. Stelle eine 0 hat. Für zneu = (−2) · z1 + (−4) · z2 ergeben sich die Werte 0, 0, -6.
  Da alle Werte bis auf den letzten Nullen sind, hat das LGS keine Lösung.

9. LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten (keine Lösung)

                                      0  6 −12 −5
                                      0 −2   4  7

  Der erste von 0 verschiedene Wert ist bei beiden Zeilen an 2. Stelle. Wir wenden also das
  Additionsverfahren an, um die zweite Zeile durch eine neue zu ersetzen, die an 2. Stelle
  eine 0 stehen hat. Die neue Zeile zneu = (−2) · z1 + (−6) · z2 hat die Werte 0, 0, -32. Alle
  Werte, bis auf den letzten sind also 0 und das LGS hat damit wieder keine Lösung.




                                           61
2.3 Umwandlung der Darstellungsformen
2.3.1 Parameterform in Koordinatenform
Bilde das Kreuzprodukt (vgl. 2.1) aus den beiden Richtungsvektoren, die in der Parameterform
stehen. Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein Normalenvektor der Ebene, die drei Komponen-
ten dieses Vektors sind also die Koeffizienten a, b und c der gesuchten Koordinatengleichung
ax1 + bx2 + cx3 + d = 0.
Wichtig: berprüfe immer, ob du den Normalenvektor korrekt berechnet hast, indem du des-
sen Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren berechnest. Beide Skalarprodukte müssen den
Wert null ergeben, da der Normalenvektor senkrecht zur Ebene, also auch zu beiden Richtungs-
vektoren stehen muss.
d ergibt sich durch Einsetzen der drei Koordinaten des Stützvektors in die Koordinatengleichung.
Beispiel: 
                                  
         2           −1            5
x =  3  + s 6  + t 1 
                                 
         0             3           8
Das Vektorprodukt der  
                                               den 
                         Richtungsvektoren ergibt Normalenvektor
                                                               
         −1           5              6·8−3·1                45
n =  6   1  =  3 · 5 − (−1) · 8  =  23 
                                                        
           3          8         (−1) · 1 − 6 · 5          −31
Probe (das Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren muss null ergeben):
                  
      45         −1
 23  •  6  = 45 · (−1) + 23 · 6 + (−31) · 3 = 0
                  
   −31             3
                 
      45         5
 23  •  1  = 45 · 5 + 23 · 1 + (−31) · 8 = 0
                 
   −31           8
.
Aus dem Normalenvektor ergibt sich jetzt die „provisorische” Koordinatenform
45x1 + 23x2 − 31x3 + d = 0. Durch Einsetzen des Stützvektors aus der Parameterform in diese
Gleichung bekommen wir dann auch noch d:
45 · 2 + 23 · 3 − 31 · 0 + d = 0 ⇒ d = −159
Die gesuchte Koordinatengleichung lautet also:
                               45x1 + 23x2 − 31x3 − 159 = 0

2.3.2 Koordinatenform in Parameterform
Du substituierst zwei von den Variablen x1 , x2 , x3 mit s und t und löst die Koordinatenform
ax1 + bx2 + cx3 + d = 0 nach einer der vorkommenden Variablen auf, z.B. nach x3 (falls
c = 0). Dann bekommst Du so ein Gleichungssystem:
                                   x1 = s
                                   x2 = t
                                         d a   b
                                   x3 = − − s − t.
                                         c c   c


                                              62
Dieses Gleichungssystem kann jetzt in die gesuchte Parameterform der Ebene umgeschrieben
werden.
Beispiel:
Ist die Koordinatenform einer Ebene gegeben durch x1 + 2x2 − 5 = 0, dann kann man z.B.
x2 = s und x3 = t setzen und nach x1 auflösen:
                                      x1 = 5 − 2s
                                      x2 = s
                                      x3 = t.
Daraus folgt dann die Parameterform
                                                                 
                    x1       5 − 2s       5       −2        0
              x =  x2  =    s     =  0  + s 1  + t 0 .
                                                     
                    x3          t         0        0        1

2.3.3 Koordinatenform in Normalenform
Aus der Koordinatengleichung E : ax1 + bx2 + cx3 + d = 0 liest Du den Normalenvektor
                                            
         a                                 p1
n =  b  ab. Einen Stützvektor p =  p2  bekommst Du, indem Du p1 , p2 und p3 so
                                            
         c                                 p3
wählst, dass die Gleichung E : ap1 + bp2 + cp3 + d = 0 erfüllt ist. Das geht am einfachsten,
wenn Du zwei Koordinaten frei wählst. Die dritte Koordinate erhältst Du dann durch Auflösen
der Gleichung.
Beispiel:
Die Ebene mit der Koordinatenform E : −2x1 + x2 + 6x3 − 5 = 0 hat den Normalenvektor
            
        −2
n =  1  und für p1 = p3 = 0 erhält man aus der Gleichung p2 = 5. Die Normalenform
            
           6
für E sieht dann so aus:                           
                                   −2               0
                            E :  1  • x −  5  = 0.
                                                   
                                     6              0

2.3.4 Normalenform in Koordinatenform
Die Koordinatenform bekommst Du, indem Du das Skalarprodukt in der Normalenform n•(x−
p) ausrechnest.
Beispiel:
                                                             
          4            2             4     x1 − 2
        2  • x −  0  = 0 ⇐⇒  2  •  x2  = 0
                                         
         −1           −3            −1     x3 + 3
                                         ⇐⇒ 4 · (x1 − 2) + 2x2 − 1 · (x3 + 3) = 0
                                         ⇐⇒ 4x1 + 2x2 − x3 − 11 = 0



                                            63
Die letzte Gleichung ist die gesuchte Koordinatenform.

2.3.5 Parameterform in Normalenform und umgekehrt
Mit 2.3.1 bzw. 2.3.4 wandelst Du zuerst die gegebene Form in die Koordinatenform um, und
diese dann mit 2.3.3 bzw. 2.3.2 in die gesuchte Form.

2.3.6 Quadratische Form in Kugelform
Aus der quadratischen Form einer Kugel bekommst Du durch quadratisches Ergänzen schnell
die Kugelform, bei der Du dann den Mittelpunkt und den Radius der Kugel ablesen kannst:

                  x2 + x2 + x2 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + c = 0
                   1    2    3
                           b1 2       b2             b2 2     b2          b3 2            b2
             ⇔ (x1 +       2)     −   4
                                       1
                                           + (x2 +   2)       −
                                                              4 + (x3 + 2 )
                                                               2
                                                                                      −   4
                                                                                           3
                                                                                               +c=0
                                                                        2
                                                                       b1   b2            b2
                           b1 2               b2 2
             ⇔ (x1 +       2)     + (x2 +     2)     +   (x3 + b2 )2 = 4 + 4
                                                                 3           2
                                                                                      +    3
                                                                                           4   − c.

Durch Vergleich der letzten Gleichung mit der Kugelform aus 2.1 bekommt Du also M (− b2 | −
                                                                                      1

b2                  b2      b2     b2                         b2    b2      b2
2| − b2 ) und r2 = 4 + 4 + 4 − c bzw. r = 4 + 4 + 4 − c.
       3            1    2   3                1     2     3

Beispiel:
Die quadratische Form x2 + x2 + x2 − 6x1 + x3 + 5 = 0 einer Kugel soll in die Kugelform
                       1    2    3
umgewandelt werden. Durch quadratisches Ergänzen ergibt sich

                           x2 + x2 + x2 − 6x1 + x3 + 5 = 0
                            1    2    3
                                                       1                         1
                         ⇔ (x1 − 3)2 − 9 + x2 + (x3 + 2 )2 −
                                            2                                    4   +5=0
                         ⇔ (x1 − 3)2 + x2 + (x3 + 1 )2 = 17 .
                                        2         2       4

                      1                                            17
Deshalb ist M (3|0| − 2 ) der Mittelpunkt, und r =                 4    der Radius der Kugel.




                                                         64
2.4 Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen
2.4.1 Gerade durch zwei Punkte
Sind zwei Punkte A und B gegeben, dann hat die Gerade g durch A und B als mögliche Glei-
chung
                               g : x = a + t(b − a).
Statt a kannst Du als Stützvektor wahlweise auch b verwenden und statt b−a als Richtungsvektor
auch a − b.
Beispiel:
Mit A(1|2| − 1) und B(2|0|3) erhält man für g z.B. die Gleichung
                                                                          
                         1          2       1        1         1
             g:    x =  2  + t  0  −  2  =  2  + t −2  .
                                                      
                        −1          3      −1       −1         4

2.4.2 Ebene durch drei Punkte
Die Ebene E, die durch drei vorgegebene Punkte A, B und C geht, hat die mögliche Parameter-
form
                             E : x = a + s(b − a) + t(c − a).
Wie bei der Parameterform von Geraden kannst Du hier auch b oder c als Stützvektoren wählen
und als Richtungsvektoren irgendwelche zwei Differenzen der drei Vektoren.
Beispiel:
Aus den drei Punkten A(1|0|1), B(2| − 1|1) und C(−3|0|0) erhält man für E beispielsweise die
Parameterform
                                                                         
                        1          2       1          −3       1
          E:      x =  0  + s −1  −  0  + t  0  −  0 
                                                     
                        1          1       1           0       1
                                                  
                        1         1        −4
                    =  0  + s −1  + t  0  .
                                         
                        1         0        −1


2.4.3 Ebene durch einen Punkt und eine Gerade
Die Ebene E, die die Gerade g : x = u + tv und den Punkt A ∈ g enthält, hat als Parameterform
beispielsweise
                                E : x = a + s(u − a) + tv.
Alternativ dazu kannst Du als Stützvektor auch u benützen und statt dem ersten Richtungsvektor
auch a − u. Der Richtungsvektor v aus der Geraden muss aber auf jeden Fall verwendet werden.




                                              65
Beispiel:                                     
                               5        1
Mit A(2|2| − 1) und g : x =  4  + t  0  ergibt sich für E:
                                       
                             −14       −2
                                                                       
                             2           5      2          1
                E:     x =  2  + s  4  −  2  + t  0 
                                                    
                            −1         −14     −1         −2
                                                             
                              2         3       1
                          =  2  + s 2  + t 0 .
                                             
                             −1       −13      −2

2.4.4 Ebene durch zwei Geraden
Wenn sich zwei Geraden g1 : x = u1 + sv1 und g2 : x = u2 + tv2 schneiden oder parallel sind,
dann spannen sie eine Ebene auf. Die Parameterform kannst Du z.B. so aufstellen:

                                     E : x = u1 + sv1 + tw.

Dabei hängst Du also an die Gleichung von g1 nur noch tw hinten an, wobei w entweder der
Richtungsvektor v2 von g2 ist falls sich die Geraden schneiden oder der Vektor u2 − u1 (bzw.
u1 − u2 , das ist egal) falls die Geraden parallel sind. Genausogut kannst Du tw auch an die Ge-
radengleichung von g2 anfügen, wobei im Fall zweier sich schneidender Geraden entsprechend
w = v1 gilt.
Beispiele:
Die beiden Geraden haben die
                               Gleichungen                        
                5            −1                            5          2
g1 : x =  2  + s  0  und g2 : x =  2  + t −5 .
                                                                 
              −1               4                          −1          3
Diese schneiden sich, was man am gemeinsamen Stützvektor und den linear unabhängigen Rich-
tungsvektoren erkennen kann. Die aufgespannte Ebene hat also z.B. die Parameterform
                                                                  
                                    5        −1         2
                       E:     x =  2  + s  0  + t −5  .
                                                     
                                   −1         4         3

Die folgenden Geraden sind parallel:
                                                       
              1         −2                      4           1
g3 : x = −5  + s  4  ; g4 : x =  4  + t −2 .
                                                       
              0           6                   −1           −3
Als Paramterform der aufgespannten Ebene ergibt sich z.B.:
                                                                       
                             1        −2          4       1
                 E:    x = −5  + s  4  + t  4  − −5 
                                                    
                             0         6         −1       0



                                                66
                                                               
                               1        −2         3
                           = −5  + s  4  + t  9  .
                                                
                               0         6        −1

2.4.5 Koordinatenachsen und -ebenen
                                                                                            
                                                                                   1
Die x1 -Achse geht durch den Ursprung und hat beispielsweise den Richtungsvektor  0 .
                                                                                    
                                                                                   0
Die Parameterform kann dann also so aussehen:
                                                               
                                   0        1        1
                             x =  0  + t 0  = t 0 .
                                                  
                                   0        0        0

Das funktioniert natürlich bei der x2 - oder x3 
                                               -Achse genauso.
                                                           
                                             1            0
Mit dem Ursprung als Stützvektor und  0  bzw.  1  als Richtungsvektoren bekommst
                                                         
                                             0            0
Du eine Parameterform der x1 -x2 -Ebene:
                                                             
                                          1        0
                                   x = s 0  + t 1 .
                                                  
                                          0        0

Daraus kannst Du x3 = 0 ablesen (siehe auch 2.3.1 ), das ist dann auch schon die Koordinaten-
form der x1 -x2 -Ebene.

2.4.6 Ebene senkrecht zu zwei Ebenen durch einen Punkt
Der Normalenvektor n der Ebene, die senkrecht zu zwei vorgegebenen Ebenen sein soll, er-
gibt sich aus dem Kreuzprodukt ihrer Normalenvektoren (ist also eine der gegebenen Ebenen
in Parameterform gegeben, musst du zuerst ihren Normalenvektor ermitteln, s. 2.2.1). Mit dem
gegebenen Punkt lässt sich dann die Normalenform bzw. Koordinatengleichung der Ebene auf-
stellen.
Beispiel:
Durch den Punkt P (−2|1|0) soll eine Ebene E gelegt werden, die zu den zwei Ebenen
E1 : 3x1 + 2x2 − x3 + 4 = 0 und E2 : −4x1 + 5x2 = 0
orthogonal ist. Für das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt sich der Normalenvektor der
gesuchten Ebene:                                         
                                     3        −4           5
                             n= 2           5 = 4 
                                                         
                                  −1            0         23
Wichtig: Auch hier die Probe machen, und überprüfen, ob das Skalarprodukt von n mit beiden
Normalenvektoren den Wert null ergibt! Das ist hier der Fall, und wir erhalten für die Ebene die



                                                   67
Gleichung:
                                   
                      5          −2
            E:      4  • x −  1  = 0           ⇐⇒    5x1 + 4x2 + 23x3 + 6 = 0.
                                
                     23           0

2.4.7 Ebene senkrecht zu einer Geraden und durch einen Punkt
Bei vielen Aufgaben kommt es vor, dass Du zu einer Geraden g : x = u + tv und einem Punkt
P eine Ebene finden musst, die senkrecht durch die Gerade geht, und den Punkt enthält (z.B.
bei der Spiegelung von einem Punkt an einer Geraden, und beim Abstand zwischen Punkt und
Gerade). Die Normalenform der Ebene kannst Du aufstellen, indem Du v als Normalenvektor
von E verwendest und p als Stützvektor:

                                     E:     v • (x − p) = 0.

Beispiel:                                                                
                                                          3         1
Die Ebene durch P (2|1|5) senkrecht zur Geraden g : x =  0  + t  1  hat die Gleichung
                                                                   
                                                         −1        −2
                                   
                       1            2
                 E :  1  • x −  1  = 0         ⇐⇒    x1 + x2 − 2x3 + 7 = 0.
                                  
                      −2            5

2.4.8 Lotgerade auf eine Ebene durch einen Punkt
Eine Lotgerade durch einen Punkt auf eine Ebene ist eine Gerade, die die Ebene senkrecht
schneidet.
Lotgeraden sind Hilfsmittel beim Spiegeln eines Punktes an einer Ebene (s. 2.7.1) und beim
Schneiden von Kugeln mit Ebenen (s. 2.5.8).
Die Lotgerade durch einen Punkt P auf eine Ebene E hat p als Stützvektor und den Normalen-
vektor von E als Richtungsvektor.
Beispiel:
Die Lotgerade durch P (6| − 2|4) auf die Ebene E : 7x1 − 2x2 + x3 + 4 = 0 hat die Gleichung
                                                            
                                            6         7
                                l:    x = −2  + t −2  .
                                                     
                                            4         1

2.4.9 Tangentialebene und Schnittkreisebene bei Kugeln
Eine Tangentialebene an eine Kugel ist eine Ebene, die mit dieser genau einen Punkt gemeinsam
hat, dieser heißt dann Berührpunkt.
Ist P ein Punkt auf oder innerhalb einer Kugel mit dem Mittelpunkt M , dann lässt sich daraus die
Gleichung der Tangentialebene an die Kugel durch den Berührpunkt P aufstellen (falls P auf der



                                               68
Kugel liegt) oder die Gleichung der Ebene, die die Kugel in einem Kreis mit dem Mittelpunkt P
schneidet (falls P innerhalb der Kugel liegt). In beiden Fällen hat die Ebene E die Normalenform

                 E:        n • (x − p) = 0 mit dem Normalenvektor n = m − p.

Daraus kannst Du Dir dann nach 2.3.4 die Koordinatenform herleiten.
Beispiel:
Q(0|1|4) und P (2|0|4) liegen nach 2.5.3 auf bzw. in der Kugel K mit der Gleichung

                           K:       (x1 − 2)2 + (x2 + 1)2 + (x3 − 5)2 = 9.

Für die Normalenvektoren n1 und n2 der Tangentialebene T durch Q und der Schnittkreisebene
E durch P wählen wir
                                                                           
                                   2                                      0
                    n1 = m − q = −2                und   n2 = m − p = −1  .
                                                                         
                                   1                                      1

Die Tangentialebene T durch den Berührpunkt Q hat deshalb die Gleichung
                                            
                     2            0
           T :      −2  • x −  1  = 0                 ⇐⇒    2x1 − 2x2 + x3 − 2 = 0,
                                
                   
                     1            4

und die Schnittkreisebene E durch den Schnittkreismittelpunkt P sieht so aus:
                                             
                         0            2
              E:        −1  • x −  0  = 0              ⇐⇒     −x2 + x3 − 4 = 0.
                                    
                       
                         1            4




                                                      69
2.5 Lagebeziehungen und Schnittberechnung
2.5.1 Punkt - Gerade
Um zu sehen ob ein bestimmter Punkt P auf einer vorgegebenen Gerade g liegt, setzt Du p für
x in die Parameterform von g ein, also p = u + tv und schreibst das als Gleichungssystem hin:

                                       p1 = u1 + tv1
                                       p2 = u2 + tv2
                                       p3 = u3 + tv3 .

Wenn sich aus allen drei Gleichungen dasselbe t ergibt, dann liegt P auf g, sonst nicht.
Beispiel:                                                                  
                                                            1               2
Aus P1 (3|1|9) und P2 (0|0|3) und der Geraden g x =  2  + t  −1  entstehen zwei
                                                                           
                                                            3               6
Gleichungssysteme:
                             3 = 1 + 2t              0 = 1 + 2t
                             1=2−t          und      0=2−t
                             9 = 3 + 6t              3 = 3 + 6t.
Alle Gleichungen des ersten Gleichungssystems ergeben t = 1, und damit liegt P1 auf g.
                                                              1
Im zweiten System liefern die ersten beiden Gleichungen t = − 2 bzw. t = 2, deshalb liegt P2
nicht auf g.

2.5.2 Punkt - Ebene
Am Einfachsten lässt sich erkennen, ob ein gegebener Punkt auf einer Ebene liegt, wenn diese
in der Koordinatenform vorliegt. Deshalb stellst Du diese am Besten zuerst auf, falls nötig.
Ein Punkt P (p1 |p2 |p3 ) liegt genau dann auf einer Ebene E mit der Koordinatenform ax1 +bx2 +
cx3 + d = 0, wenn die Gleichung aufgeht, die entsteht, wenn Du die Koordinaten von P für
x1 , x2 und x3 in die Ebenengleichung einsetzt.
Beispiel:
P1 (3|1|5) liegt auf E : x1 − 6x2 + 2x3 − 7 = 0, wegen 3 − 6 · 1 + 2 · 5 − 7 = 0.
P2 (0|0|0) liegt dagegen nicht auf ihr, da 0 − 6 · 0 + 2 · 0 − 7 = 0.

2.5.3 Punkt - Kugel
Auch hier setzt Du den Punkt P bzw. die Koordinaten p1 , p2 und p3 in die jeweils vorgegebene
Kugelform ein. P liegt genau dann auf der Kugel, wenn die Gleichung aufgeht. Außerdem kann
man sehen ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb der Kugel liegt. Innerhalb liegt er nämlich,
wenn der Wert der linken Seite der Kugelgleichung nach Einsetzen von P kleiner als r2 (bei der
Kugelform), bzw. kleiner als 0 (bei der quadratischen Form) ist. Ist er größer als r2 bzw. 0, dann
liegt P außerhalb der Kugel.
Beispiel:
P1 (0|1|3), P2 (2|0|3) und P3 (1| − 1|5) und zwei Kugeln sind gegeben:



                                               70
K1 : (x1 − 3)2 + (x2 + 2)2 + x2 = 143
K2 : x2 + x2 + x2 + 2x1 − 8x3 + 13 = 0.
         1    2    3
Der zweite Punkt P2 liegt auf K1 , da (2 − 3)2 + (0 + 2)2 + 32 = 14, und P3 befindet sich wegen
(1 − 3)2 + (−1 + 2)2 + 52 = 30 > 14 außerhalb von K1 . Jetzt wird noch P1 in die zweite
Gleichung eingesetzt: 02 + 12 + 32 + 2 · 0 − 8 · 3 + 13 = −1 < 0. Das bedeutet, P1 liegt innerhalb
von K2 .

2.5.4 Gerade - Gerade
Zur Bestimmung der Lagebeziehung zwischen zwei gegebenen Geraden g1 : x = a + su und
g2 : x = b + tv setzt du die Geraden gleich: a + su = b + tv.
So erhältst du für die Unbekannten sund t nach kurzem Umformen das Gleichungssystem

                                    u1 s − v1 t = b1 − a1
                                    u2 s − v2 t = b2 − a2
                                    u3 s − v3 t = b3 − a3 .

bzw. in Matrix Darstellung                                
                                      u1 −v1 b1 − a1
                                     u2 −v2 b2 − a2 
                                                    
                                      u3 −v3 b3 − a3
Um die Lagebeziehung zwischen den Geraden zu bestimmen, bestimmst du die Lösungsmenge
nach 2.2. Dabei gibt es folgende Möglichkeiten:

   1. Wenn das LGS genau eine Lösung für s und t hat dann haben die Geraden einen Schnitt-
      punkt. Diesen erhältst Du durch Einsetzen der Lösung von s oder t in die zugehörige
      Geradengleichung, was in beiden Fällen natürlich denselben Schnittpunkt liefert.

   2. Hat das LGS unendlich viele Lösungen, dann sind die Geraden identisch. In diesem Fall
      ist es nicht nötig, die unendlich vielen Lösungen des LGS anzugeben.

   3. Wenn das LGS keine Lösung hat, überprüfst du noch die beiden Richtungsvektoren der
      Geraden: sind sie linear abhängig, dann sind die Geraden parallel und sind sie linear
      unabhängig dann sind die Geraden windschief.

Beispiele:
Fünf Geraden sind gegeben:
                                                                                    
           1           4              5        −2                            −3         5
g1 : x = −1  + s −2  , g2 : x = −3  + t  1  ,              g3 : x =  1  + u  2 
                                                                               
           2           6              8        −3                            −4        −3
                                                             
           5           1                  0           2
g4 : x = −3  + v  1  und g5 : x =  1  + w −1
                                                             
                                                                    
           1           1                  7           3




                                               71
g1   g2 : Gleichsetzen der Geradengleichungen liefert das LGS
                                                          
                                           4  2  4
                                         −2 −1 −2 
                                                  
                                           6  3  6
     Dieses LGS hat unendlich viele Lösungen (Rechnung siehe 2.2.4 Beispiel 3), deshalb sind
     die Geraden g1 und g2 identisch.
g1   g3 : Die beiden Geradengleichungen werden wieder gleichgesetzt, dabei ergibt sich ein
     LGS mit folgender Matrix:                      
                                         4 −5 −4
                                     −2 −2       2 
                                                    
                                         6   3 −6
     Dieses LGS hat nach 2.2.4 Beispiel 2 genau eine Lösung, nämlich s = −1 und u = 0.
     Damit gibt es hier einen Schnittpunkt der beiden Geraden, den wir durch Einsetzen von
     z.B. u = 0 in g3 erhalten:
                                                              
                                   −3           5      −3
                              s =  1  + 0 ·  2  =  1 .
                                                     
                                   −4          −3      −4

g1   g4 : Auch hier entsteht nach dem Gleichsetzen der Geradengleichungen ein Gleichungs-
     system, es hat die Matrix                         
                                           4 −1      4
                                       −2 −1 −2 
                                                       
                                           6 −1 −1
     Das LGS wird in 2.2.4 Beispiel 7 durchgerechnet, es hat keine Lösung und es gibt somit
     keinen Schnittpunkt. Da die beiden Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig
     sind (keiner kann so multipliziert werden, dass dabei der andere entsteht, s. 2.1) sind die
     Geraden insbesondere windschief.
g1   g5 : Hier stoßen wir auf folgendes Gleichungssystem
                                                          
                                           4 −2 −1
                                          −2  1  2 
                                                  
                                        
                                           6 −3  5
     Dieses hat nach 2.2.4 Beispiel 8 ebenfalls keine Lösung, es gibt also keinen Schnittpunkt.
     Da die Richtungsvektoren linear abhängig sind, sind die Geraden parallel.
     Die Gleichungen Nr. 1 und 2 sind nicht äquivalent. Das Gleichungssystem aus diesen bei-
     den Gleichungen hat keine Lösung. Eliminiert man nämlich mittels Additionsverfahren
     eine der beiden Variablen, so ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. führt die Summe aus
     der ersten Gleichung und dem zweifachen der zweiten Gleichung auf den Widerspruch
     0 = 3).
     Da außerdem die Richtungsvektoren linear abhängig sind, liegen hier zwei parallele Ge-
     raden vor.



                                              72
2.5.5 Gerade - Ebene
Leite zuerst die Koordinatenform der Ebene her, und schreibe dann die Geradengleichung x =
u + tv in Form von drei Gleichungen auf:

                                         x1 = u1 + tv1
                                         x2 = u2 + tv2
                                         x3 = u3 + tv3 .

Jetzt kannst Du x1 , x2 und x3 in die Koordinatenform der Ebene einsetzen, und diese Gleichung
für t untersuchen. Dabei können drei Fälle eintreten.

     1. Die Gleichung lässt sich nach t auflösen. Dann bekommst Du den Schnittpunkt, indem
        Du das Ergebnis für t wieder in die Geradengleichung einsetzt.

     2. Die Gleichung lässt sich nicht auflösen, weil t wegfällt, und sie ergibt eine wahre Aussage.
        Das heißt dann, dass die Gerade in der Ebene liegt.

     3. Die Gleichung lässt sich nicht nach t auflösen und ergibt eine falsche Aussage. Dann
        schneiden sich die Gerade und die Ebene nicht, und sie sind parallel zueinander.

Beispiel:
Die Ebene E : 1 − 3x2 + 3 + 2 = 0 ist  und die drei Geraden
             x        x              gegeben    
           6          0                  2      −1
g1 : x =  2  + t  1  , g2 : x =  0  + t  5 
                                            
          −1          3                  6       6
                           
                 2          1
und g3 : x =  1  + t  0  .
                           
                −1        −1

 E     g1 : Einsetzen von x1 , x2 und x3 aus der Geradengleichung in die Koordinatenform von
       E ergibt 6 − 3(2 + t) + (−1 + 3t) + 2 = 0, oder nach Umformung 1 = 0. Die Gleichung
       ist falsch, also gibt es keinen Schnittpunkt, Gerade und Ebene sind parallel.

 E     g2 : Einsetzen von x1 , x2 und x3 aus der Geradengleichung für g2 führt zu der Gleichung
       2−t−3·5t+6+6t+2 = 0. Wenn man das nach t auflöst ergibt sich t = 1, was man dann
       wieder in  Geradengleichung einsetzen kann, um den Schnittpunkt S auszurechnen:
                 die                    
               2           −1            1
       s =  0  + 1 ·  5  =  5 .
                                       
               6             6          12

 E     g3 : Wieder erhält man durch Einsetzen der Koordinaten aus der Geradengleichung in die
       Ebene eine Gleichung für t: 2 + t − 3(1 + 0 · t) + (−1 − t) + 2 = 0 oder umgeformt
       0 = 0. Das ist eine wahre Aussage, und g3 liegt deshalb in der Ebene E.




                                                 73
2.5.6 Gerade - Kugel
Die Schnittmenge zwischen einer Geraden und einer Kugel bestimmst Du, indem Du die drei
Koordinaten

                                     x1 = u1 + tv1
                                     x2 = u2 + tv2
                                     x3 = u3 + tv3

aus der Geradenform x = u + tv in die vorgegebene Koordinatenform

                   (x1 − m1 )2 + (x2 − m2 )2 + (x3 − m3 )2 = r2 oder
                    x2 + x2 + x2 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + d = 0
                     1    2    3

(quadratische Form oder Kugel-Normalform) der Kugel einsetzt. Dabei bekommst Du eine qua-
dratische Gleichung für t, die Du mit der Lösungsformel aus 1.2 löst.
Für t bekommst Du dann keine, eine oder zwei Lösungen, d.h., die Gerade passiert, tangiert oder
durchstößt die Kugel.
Um den Berührpunkt oder die Durchstoßpunkte zu erhalten setzt Du dann die Lösung (Lösun-
gen) für t in die Geradengleichung ein.
Beispiel:
Wir verwenden eine Kugel und drei Geraden:
K : (x1 − 2)2 + (x2 + 1)2  (x3 − 1)2 = 9, 
                            +                               
                5        −1                       5          2
g1 : x = −1  + t  1  , g2 : x =  1  + t  0  und
                                                         
                1           1                     2        −1
                           
                2          2
g3 : x =  3  + t  0  .
                           
                1        −1
 K    g1 : Einsetzen der Koordinaten aus der Gleichung für g1 führt zu

                              (5 − t − 2)2 + (−1 + t + 1)2 + (1 + t − 1)2 = 9
                       ⇐⇒ (3 − t)2 + t2 + t2 = 9
                       ⇐⇒ 9 − 6t + t2 + 2t2 = 9
                       ⇐⇒ 3t2 − 6t = 0,

      mit t1 = 0 und t2 = 2 als Lösungen, die wir wieder in die Geradengleichung einsetzen.
      Die zwei Durchstoßpunkte sind dann S1 (5| − 1|1) und S2 (3|1|3).

 K    g2 : Wir gehen mit x1 = 5 + 2t, x2 = 1 und x3 = 2 + t wieder in die Kugelgleichung:

                                (5 + 2t − 2)2 + (1 + 1)2 + (2 − t − 1)2 = 9
                         ⇐⇒ 9 + 12t + 4t2 + 4 + t2 − 2t + 1 = 9
                         ⇐⇒ 5t2 + 10t + 5 = 0.



                                              74
      Die Lösungsformel hat nur eine Lösung t = −1, die wir in die Gleichung für g2 einsetzen,
      was den Berührpunkt B(3|1|3) ergibt.

 K    g3 : Wie in den zwei obigen Fällen kommen wir auch hier auf eine quadratische Gleichung
      für t:
                       (2 + 2t − 2)2 + 42 + (1 − t − 1)2 = 9 ⇐⇒ 5t2 = −7.
      Diese Gleichung hat keine Lösung. Die Gerade schneidet die Kugel deshalb in keinem
      Punkt.

2.5.7 Ebene - Ebene
Am Besten ist es, wenn Du beide Ebenen in Koordinatenform vorliegen hast. Wenn nicht, dann
wandle die Ebenengleichung zuerst in die Koordinatenform um (siehe 2.2).
Die beiden Koordinatengleichungen bilden ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen und den
drei Unbekannten x1 , x2 und x3 :

                              a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + d1 = 0
                              a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 + d2 = 0


bzw. als Matrix:
                                      a1 b1 c1 −d1
                                      a2 b2 c2 −d2
Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ist die Schnittmenge der beiden Ebenen. Du musst
also nach 2.2.4 die Lösungsmenge bestimmen. Dabei gibt es folgende Fälle:

   1. Wenn das LGS keine Lösung hat, dann sind die Ebenen parallel.

   2. Wenn das LGS unendlich viele Lösungen hat und die Lösungsmenge ist 1-dimensional
      (d.h., es wird ein Parameter zur Beschreibung der Lösungen benögigt), dann gibt es eine
      Schnittgerade. Die Gleichung der Schnittgeraden bekommst du, indem du die Lösung
      des LGS vektoriell darstellst.

   3. Wenn das LGS unendlich viele Lösungen hat und die Lösungsmenge ist 2-dimensional
      (d.h., es werden zwei Parameter zur Beschreibung der Lösungen benögigt), dann sind die
      Ebenen identisch. Eine vektorielle Darstellung der Lösung des LGS entspricht dann der
      Darstellung der Ebene in Parameterform.

Beispiele:
Wir gehen von folgenden Ebenen aus:
E1 : x1 + x2 − 2x3 + 4 = 0
E2 : −2x1 − 2x2 + 4x3 − 8 = 0
E3 : 6x2 − 12x3 + 5 = 0
E4 : −2x2 + 4x3 − 7 = 0
E5 : 3x1 − 15x2 − 6x3 = 0



                                             75
E6 : 5x1 − 25x2 − 11x3 + 1 = 0
E7 : −x1 + 3x2 − 4x3 − 10 =
E8 : 2x2 − 4x3 − 8 = 0
E1   E2 : Die Koordinatengleichungen ergeben das LGS

                                          1  1 −2 −4
                                         −2 −2  4  8

     In 2.2.4 Beispiel 6 wird die Lösung dieses LGS berechnet. Es hat unendlich viele Lösun-
     gen mit 2-dimensionaler Lösungsmenge. Die Ebenen sind also identisch.

E3   E4 : die Koordinatengleichungen liefern das LGS

                                         0  6 −12 −5
                                         0 −2   4  7

     In 2.2.4 Beispiel 9 wird gezeigt, dass dieses LGS keine Lösung hat, somit sind die Ebenen
     parallel.

E5   E6 : Hier führen die Koordinatengleichungen auf das LGS

                                       3 −15 −6   0
                                       5 −25 −11 −1

     In 2.2.4 Beispiel 4 wird gezeigt, dass es unendlich viele Lösungen gibt, wobei die Lö-
     sungsmenge 1-dimensional ist, die Lösungen also mit einem Parameter beschrieben wer-
     den können. Somit haben die Ebenen eine Schnittgerade. Um deren Gleichung anzuge-
     ben, schreiben wir die Lösung x1 = 2 + 5t, x2 = t, x3 = 1 aus 2.2.4 Beispiel 4 noch in
     vektorieller Schreibweise. Dabei erhalten wir für die Schnittgerade:
                                                                    
                           x1       2 + 5t       2        5
                     x =  x2  =       t  =  0  + t 1 
                                                     
                           x3       1            1        0

E7   E8 : Die Ebenen führen zur Matrix

                                          −1 3 −4 10
                                           0 2 −4 8

     Aus 2.2.4 Beispiel 5 wissen wir, dass dieses LGS ebenfalls unendlich viele Lösungen
     und eine 1-dimensionaler Lösungsmenge hat. Es gibt also eine Schnittgerade. Mit den
     Lösungen x1 = 2 + 2t, x2 = 4 + 2t, x3 = t aus 2.2.4 Beispiel 5 erhalten wir die
     Gleichung der Schnittgerade:
                                                                    
                           x1       2 + 2t       2         2
                     x =  x2  =  4 + 2t  =  4  + t  2 
                                                      
                           x3            t       0         1



                                             76
2.5.8 Ebene - Kugel
Ebenen können Kugeln passieren, tangieren oder in einem Kreis schneiden. Um rauszufinden,
was der Fall ist, rechnest Du den Abstand d(E; M ) vom Kugelmittelpunkt M zur Ebene E mit
Hilfe der Hesseschen Normalform aus (s. 2.6.2), und vergleichst ihn mit dem Kugelradius r.
Dabei können drei Fälle auftreten.
 d(E; M ) > r: Die Ebene schneidet die Kugel nicht, und es gibt somit nichts zu rechnen.
 d(E; M ) = r: Die Ebene ist eine Tangentialebene an die Kugel in einem Berührpunkt B. B
     ist dabei der Lotfußpunkt der Lotgeraden durch M auf E, den Du wie in 2.4.8 ausrechnen
     kannst.
 d(E; M ) < r: In dem Fall schneiden sich Ebene und Kugel in einem Schnittkreis mit dem
     Mittelpunkt M und dem Radius r . Dabei ist M wieder der Lotfußpunkt der Lotgeraden
     durch M auf E.
     Jetzt zu r : Nimm irgendeinen Punkt S auf dem Schnittkreis, dann ist das Dreieck M SM
     rechtwinklig mit der Hypothenuse d(M ; S) = r und den Katheten d(M ; M ) = d(M ; E)
     und d(S; M ) = r . Mit dem Satz von Pythagoras folgt dann für den Schnittkreisradius
     r = r2 − d(E; M )2 .
Beispiele:
Wir gehen aus von einer Kugel und drei Ebenen mit den Gleichungen
K : (x1 − 4)2 + (x2 − 2)2 + (x3 + 1)2 = 49,
E1 : 3x1 − 4x2 − 5x3 + 41 = 0,
E2 : 3x1 + 2x2 − 6x3 + 27 = 0,
E3 : −2x1 + 2x2 + x3 − 4 = 0.
                                                                                       √
 E1    K: Der Abstand von E1 zum Kugelmittelpunkt M (4|2| − 1) beträgt d(M ; E1 ) = 50.
      Da er größer als der Kugelradius r = 7 ist, passiert die Ebene die Kugel, es gibt also
      keinen Schnittpunkt.
 E2    K: Wegen d(M ; E2 ) = 7 berührt E2 die Kugel in einem Punkt B. Um diesen auszu-
      rechnen, bestimmen wir die Gleichung der Lotgeraden durch M auf E2 nach 2.4.8. Dabei
      ergibt sich                                       
                                             4          3
                                  l : x =  2  + t 2 .
                                                        
                                           −1          −6
      B erhalten wir, wenn wir den Lotfußpunkt (den Schnittpunkt der Lotgeraden mit E2 )
      berechnen. Dabei erhält man für B die Koordinaten (1|0|5).
 E3    K: Hier ist d(M ; E3 ) = 3 < 7, es gibt also einen Schnittkreis. Genauso wie bei der
      Berechnung des Berührpunktes gehen wir auch bei der Berechnung des Schnittkreismit-
      telpunktes M vor: Die Lotgerade von E3 durch M hat die Gleichung
                                                         
                                             4       −2
                                   l : x =  2  + t 2 .
                                                     
                                            −1        1



                                               77
     Daraus folgen für M als Lotfußpunkt von l√ Koordinaten (2|4|0). Für den Schnitt-
                                               die       √
     kreisradius r gilt r = r 2 − d(E ; M )2 =  72 − 32 = 40.
                                     3


2.5.9 Kugel - Kugel
Zwei Kugeln können 5 verschiedene Lagebeziehungen zueinander haben, die sich anhand der
beiden Kugelradien r1 und r2 sowie dem Abstand zwischen den Kugelmittelpunkten d(M1 ; M2 )
unterscheiden lassen.
 a) |r1 − r2 | > d(M1 ; M2 )
       Die Kugel mit dem kleineren Radius liegt ganz innerhalb der Kugel mit dem größeren
       Radius.
       Beispiel:
       Für die Kugeln
       K1 : (x1 + 2)2 + (x2 − 2)2 + (x3 − 5)2 = 25 und
       K2 : (x1 + 1, 5)2 + (x2 − 1)2 + (x3 − 6)2 = 4 gilt
       r1 = 5, r2 = 2 und
                                                                        √
       d(M1 ; M2 ) = (2 − 1, 5)2 + (−2 − (−1))2 + (−5 − (−6))2 = 2, 25 = 1, 5.
       Wegen |r1 − r2 | = |5 − 2| = 3 > 1, 5 liegt K2 ganz innerhalb von K1 .

 b) |r1 − r2 | = d(M1 ; M2 )
      Die Kugel mit dem kleineren Radius berührt die Kugel mit dem größeren Radius von
      innen (sind die Radien gleich, dann sind die Kugeln identisch). In diesem Fall ist der
      Berührpunkt einer der beiden Schnittpunkte der Geraden durch die Kugelmittelpunkte
      mit z.B. K1 (und zwar derjenige Schnittpunkt, der auch auf K2 liegt, was sich durch eine
      Punktprobe feststellen lässt).
      Beispiel:
      Für die Kugeln
      K1 : (x1 − 4)2 + (x2 − 2)2 + (x3 − 5)2 = 12 und
      K2 : (x1 − 5)2 + (x√− 3)2 + (x3 − 4)2 =√ gilt
                    √      2         √  √       3                      √
      |r1 − r2 | = | 12 − 3| = |2 3 − 3| = 3 und d(M1 ; M2 ) = 3, die kleinere Kugel
      K2 berührt also K1 von innen.
      Die Gerade durch die Kugelmittelpunkte M1 (4|2|5) und M2 (5|3|4) hat die Gleichung
                                                         
                                           4        1
                                     x =  2  + t 1 .
                                                   
                                           5       −1

     Die Schnittpunkte dieser Geraden mit K1 ergeben sich durch Einsetzen der Koordinaten
     aus der Geradengleichung in die Kugelgleichung (vgl. 2.5.6). Die Gleichung wird nach t
     aufgelöst und die beiden Lösungen t1 = 2 und t2 = −2 in die Geradengleichung einge-
     setzt, was die Schnittpunkte S1 (6|4|3) und S2 (2|0|7) liefert. Da nur S1 auch auf K2 liegt
     (Punktprobe) ist dies der gemeinsame Berührpunkt der Kugeln.

 c) |r1 − r2 | < d(M1 ; M2 ) und d(M1 ; M2 ) < r1 + r2
       In diesem Fall haben die beiden Kugeln einen Schnittkreis gemeinsam, dessen Mittelpunkt



                                              78
    und Radius berechnet werden können. Dazu wird zuerst die sogenannte „Schnittebene”
    der Kugeln aufgestellt. Diese ergibt sich, indem die beiden Kugelgleichungen (bei denen
    jeweils zuerst r2 auf die linke Seite gebracht werden muss) gleichgesetzt werden, was nach
    Anwendung der binomischen Formeln und Vereinfachen eine Ebenengleichung liefert.
    Schnittkreismittelpunkt und Schnittkreisradius ergeben sich dann, indem die Schnittebene
    mit einer der beiden Kugeln geschnitten wird (vgl. dazu 2.5.8).
    Beispiel:
    Wir betrachten die Kugeln
    K1 : (x1 − 3)2 + (x2 − 3)2 + (x3 + 0, 5)2 = 42, 25 und
    K2 : (x1 − 4)2 + (x2 − 2)2 + (x3 + 1)2 = 49.
    Es gilt |r1 − r2 | = |6, 5 − 7| = 0, 5, d(M1 ; M2 ) = 1, 5 und r1 + r2 = 13, 5. Somit haben
    die beiden Kugeln einen Schnittkreis. Zur Berechnung von Schnittkreismittelpunkt und
    -radius bestimmen wir erstmal die Gleichung der Schnittebene:

                     (x1 − 3)2 + (x2 − 3)2 + (x3 + 0, 5)2 − 42, 25 =
                        = (x1 − 4)2 + (x2 − 2)2 + (x3 + 1)2 − 49
                                             ⇐⇒ −2x1 + 2x2 + x3 = 4

    Schnittkreismittelpunkt und -radius der Kugeln ergeben sich jetzt z.B. aus dem Schnitt
    dieser Schnittebene mit K2 . Die dazugehörige Rechnung steht im Beispiel von 2.5.8 und
                                                                               √
    ergibt den Schnittkreismittelpunkt M (2|4|0) und den Schnittkreisradius r = 40.

d) r1 + r2 = d(M1 ; M2 )
     Hier berühren sich die beiden Kugeln von außen. Der Berührpunkt ergibt sich analog zu
     b) indem du die Verbindungsgerade durch die Kugelmittelpunkte mit einer der Kugeln
     schneidest.
     Beispiel:
     K1 : (x1 + 3)2 + (x2 + 2)2 + (x3 − 9)2 = 21
     K2 : x2 + (x2 − 4)√+ (x3 + √ 2 = 84
            1
                        2          3)             √      √      √        √        √
     =⇒ d(M1 ; M2 ) = 189 = 3 21; r1 + r2 = 21 + 84 = 21 + 2 21 = 3 21
     Wegen r1 + r2 = d(M1 ; M2 ) berühren sich die Kugeln also von außen - die Berechnung
     des Berührpunkts erfolgt mithilfe der Verbindungsgeraden durch die Kugelmittelpunkte:
                                                          
                                        −3          3
                                  x =  −2  + t  6  .
                                                   
                                         9        −12

    Der Schnitt dieser Geraden mit z.B. K1 (vgl. 2.5.6) ergibt die Punkte S1 (−2|0|5) und
    (−4| − 4|13). Von diesen liegt nur S1 auch auf K2 , deshalb ist S1 der gemeinsame Be-
    rührpunkt von K1 und K2 .

e) r1 + r2 < d(M1 ; M2 )
     Die Kugeln liegen außerhalb voneinander und haben keine gemeinsamen Punkte.
     Beispiel:
     K1 : (x1 + 1)2 + (x2 − 2)2 + (x3 − 7)2 = 4



                                             79
      K2 : (x1 + 5)2 + (x2 − 4)2 + (x3 − 3)2√ 9=
      Hier gilt r1 + r2 = 5 und d(M1 ; M2 ) = 36 = 6, es gilt also r1 + r2 = 5 < d(M1 ; M2 ),
      d.h., die Kugeln sind getrennt voneinander.

2.5.10 Spurpunkte einer Geraden
Die Spurpunkte einer Geraden sind ihre Schnittpunkte (falls vorhanden) mit den Koordinatene-
benen. Diese erhältst Du wie in 2.5.2 beschrieben.
Beispiel:
Wir berechnen die Spurpunkte der Geraden mit der Gleichung
                         
           −1             1
g : x =  2  + t 0 .
                         
              6           3
Dazu setzen wir die Koordinaten aus der Geradengleichung nacheinander in die Koordinaten-
formen der Koordinatenebenen ein.
Für x1 = 0 ergibt sich −1 + t = 0 bzw. t = 1 mit dem Spurpunkt S(0|2|9).
Für x2 = 0 ergibt sich 2 = 0, was eine falsche Aussage ist. Die Gerade schneidet die x1 -x3
Ebene also nicht.
Für x3 = 0 ergibt sich 6 + 3t = 0 bzw. t = −2 mit dem Spurpunkt S(−3|2|0).

2.5.11 Spurpunkte einer Ebene
Die Spurpunkte einer Ebene sind ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Am Einfachs-
ten hast Du es wenn Du zuerst die Koordinatenform der Ebene aufstellst. Mit den Gleichungen
für die Koordinatenachsen aus 2.4.5 kannst Du dann die Schnittpunkte nach 2.5.2 ausrechnen
(dabei kann es wie im allgemeinen Fall so sein, dass eine Ebene eine Achse enthält oder gar
nicht schneidet).
Beispiel:
Wir suchen die Spurpunkte der Ebene E : −x1 + 4x2 + 4 = 0.
Für die x1 -Achse gilt nach 2.4.5 x1 = t, x2 = 0 und x3 = 0. Das wird in die Koordinatenglei-
chung eingesetzt: −t + 4 = 0, bzw. t = 4, was wieder in die Gleichung der x1 -Achse eingesetzt
den Spurpunkt S(4|0|0) liefert.
Für den Schnittpunkt mit der x2 -Achse bekommt man mit x1 = 0, x2 = t und x3 = 0 für t den
Wert t = −1 und damit S(0| − 1|0) als zweiten Spurpunkt.
Bei der Berechnung des dritten Spurpunktes, ergibt sich seitens der Koordinatengleichung beim
Einsetzen von x1 = 0, x2 = 0 und x3 = t der Widerspruch 4 = 0. Also gibt es nur zwei
Spurpunkte.

2.5.12 Spurgeraden einer Ebene
Auch die Berechnung der Spurgeraden einer Ebene (das sind die Schnittgeraden der Ebene mit
den Koordinatenebenen) ist nur ein Spezialfall des Schnitts zweier beliebiger Ebenen. Dabei
kannst Du je nach der Form, in der die Ebene gegeben ist, die Koordinatenform oder die Para-
meterform der Koordinatenebenen aufstellen (s. 2.4.5) und nach 2.5.3 vorgehen.




                                             80
Beispiel:
Wir berechnen die Schnittgerade von E : 4x1 + 2x2 + x3 = 0 mit der x1 -x2 Ebene:
                                            
                      2x 
                4x1 +  2 + x3 = 0  
                                     
                                      
                        1         0   
                                        =⇒ 4s + 2t = 0, bzw. t = −2s.
                x = s 0  + t 1  
                                 
                                      
                                      
                        0         0   

Die Spurgerade hat also die Gleichung
                                                        
                                  1          0         1
                          x = s  0  − 2s  1  = s −2  .
                                                    
                                  0          0         0




                                                81
2.6 Abstände
2.6.1 Abstand Punkt-Punkt
Den Abstand zwischen zwei Punkten P und Q bestimmst Du mit der Abstandsformel d(P ; Q) =
|p − q|(= |q − p|) aus 2.1.
Beispiel:
Die Punkte P (1|2|3) und Q(3|2|1) haben den Abstand
                                                  
                       1       3      −2                                             √
          d(P ; Q) =  2  −  2  =  0  =                    (−2)2 + 02 + 22 =        8.
                                    
                       3       1       2

2.6.2 Abstand Punkt-Ebene
Für den Abstand zwischen einem Punkt P und einer Ebene E brauchst Du zuerst die Hessesche
Normalform der Ebene. Da setzt Du den Punkt ein und nimmst als Abstand den Betrag vom
Ergebnis.
                                            1 +bp2 +cp3
Das entsrpicht dann der Formel d(P ; E) = ap√a2 +b2 +c2+d .
Beispiel:
Um den Abstand von P (1|1|0) zu E : −2x1 + x2 − 3x3 − 5 = 0 zu berechnen, wird P in die
Hessesche Normalform eingesetzt und davon der Betrag genommen:

                                     (−2) · 1 + 1 − 3 · 0 − 5     6     6
                   d(P ; E) =                  √              = −√    =√ .
                                                 14                14   14

2.6.3 Abstand Punkt-Gerade
Hier gibt es wie beim Abstand zwischen Punkt und Ebene eine Formel (s. 2.1), die durch allge-
meine Rechnung hergeleitet wird. Du solltest sie aber nur als Probe für dein Ergebnis verwenden,
und den Lösungsweg immer vorrechnen.
Dabei stellst Du zuerst die Normalenform einer Hilfsebene H auf, wobei Du als Normalenvektor
den Richtungsvektor v der Geraden g verwendest, und als Stützvektor den vorgegebenen Punkt
P . Danach wird g mit H geschnitten. Der gesuchte Abstand ist dann der Abstand zwischen P
und dem Schnittpunkt S.
Beispiel:
Gegeben sind 
                          
            1         −1
g : x =  4  + t  1  und P (2|0|3).
                         
          −2             1
Die Hilfsebene hat dann die Gleichung
                                         
                −1            2
                1  • x −  0  = 0, bzw.               − x1 + x2 + x3 − 1 = 0.
                            
                 1            3




                                                  82
Der Schnittpunkt von dieser Ebene mit g wird ausgerechnet durch Einsetzen von x1 , x2 und x3
aus der Geradengleichung in die Koordinatenform von E (vgl. 2.5.5). Das ergibt dann nach t
aufgelöst t = 0 und wieder in die Geradengleichung eingesetzt den Schnittpunkt S(1|4| − 2).
Der Abstand d(P ; g) beträgt jetzt also
                                                                         
                                        1       2      −1    √
                d(P ; g) = d(P ; S) =  4  −  0  =  4  = 42.
                                                     
                                       −2       3      −5
                                                                                                v•(p−u)
Mit der Abstandsformel aus 2.1 kann dieses Ergebnis nochmal bestätigt werden: Für                  v2
rechnet man dabei den Wert 0 aus, und weiter
                                                                       
                           1          −1       2      −1    √
              d(P ; g) =  4  + 0 ·  1  −  0  =  4  = 42.
                                                  
                          −2           1       3      −5

2.6.4 Abstand Gerade-Gerade
1. Fall: die Geraden haben linear abhängige Richtungsvektoren.
In diesem Fall bestimmst du den Abstand zwischen einer der beiden Geraden und dem Auf-
punkt/Stützvektor der anderen Geraden, so wie in 2.6.3 beschrieben.
Ergibt sich ein Abstand von 0, dann sind die Geraden identisch, ist der Abstand ungleich 0, dann
sind sie parallel.

2. Fall: die Geraden haben linear unabhängige Richtungsvektoren.
                                                   |(v1     v2 )•(u1 −u2 )|
In diesem Fall ist die Abstandsformel d(g; h) =           |v1     v2 |
                                                                              aus 2.1 die einfachste Be-
rechnung. Dabei sind u1 und u2 die Stützvektoren und v1 und v2 die Richtungsvektoren der zwei
Geraden.
Ergibt sich hier ein Abstand von 0, dann haben die Geraden einen Schnittpunkt, ist der Abstand
ungleich 0, dann sind sie windschief.

Beispiele:
Die Geraden 
                                                        
            2           1                    1           −1
g1 : x =  0  + s −1  und g2 : x =  4  + t  1 
                                                       
            3         −1                    −2              1
haben linear abhängige Richtungsvektoren.
Wir bestimmen also den Abstand vom Aufpunkt P (2|0|3)) von g1 zur Geraden g2 . Nach der
                                                                           √
Rechnung im Beispiel von 2.6.3 ergibt sich dabei d(g1 ; g2 ) = d(P ; g2 ) = 42

Die Geraden 
                                              
            1          2                    5     0
g1 : x =  5  + s −1  und g2 : x =  9  + t −5 
                                             
            2        −2                     1     3
haben linear unabhängige Richtungsvektoren.



                                              83
                                           
                 2            0       −13
Mit v1    v2 = −1         −5  =  −6 
                                      
                          
                −2            3       −10
                                        
                       1          5       −4
und u1 − u2 = x =  5  −  9  = −4 
                                        
                       2          1        1
erhalten wir für den Abstand der Geraden:
                                    
                       −13      −4
                        −6  • −4 
                                
                      
                       −10       1             |(−13)(−4) + (−6)(−4) + (−10)|   66
      d(g1 ; g2 ) =                      =             2 + (−6)2 + (−10)2
                                                                              =√
                           −13                     (−13)                        305
                            −6 
                               
                           −10

2.6.5 Abstand Gerade-Ebene
Sind eine Gerade und eine Ebene parallel, dann haben sie überall den gleichen Abstand. Diesen
berechnest du, indem du den Abstand von der Ebene zum Aufpunkt der Geraden berechnest, so
wie in 2.6.2 beschrieben.

2.6.6 Abstand Ebene-Ebene
Sind zwei Ebenen parallel zueinander, dann haben sie ebenfalls überall den gleichen Abstand.
Du ermittelst ihn, indem du einen beliebigen Punkt auf einer Ebene wählst und mit 2.6.2 den
Abstand von diesem Punkt zur anderen Ebene berechnest.




                                                 84
2.7 Spiegelungen
2.7.1 Punkt an Ebene
Einen Punkt P spiegelst Du an einer Ebene E, indem Du den Lotfußpunkt L der Lotgeraden
durch P auf E ausrechnest (vgl. 2.4.8). Den Spiegelpunkt P bekommst Du durch p = p +
2(l − p) (Von P zweimal in Richtung von P nach L weitergehen).
Beispiel:
                                         − 
P (7| − 3|5) soll an E : 6x1 − 4x2 + 3x3 8 = 0 gespiegelt werden.
                                                       
                                          7           6
Die Lotgerade hat die Gleichung x = −3  + t −4 . Mit E geschnitten gibt das den
                                                     
                                          5           3
Lotfußpunkt L(1|1|2). Jetzt haben wir P :
                                                                   
                                 7            1       7       −5
            p = p + 2(l − p) = −3  + 2 ·  1  − −3  =  5  .
                                                        
                                 5            2       5       −1

2.7.2 Punkt an Gerade
Zuerst wird genau das Gleiche gemacht, wie beim Abstand zwischen Punkt und Gerade: Die
Normalenform einer Hilfsebene H mit dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor
und dem gegebenen Punkt als Stützvektor wird aufgestellt, und der Schnittpunkt S von H mit
der Geraden berechnet. Jetzt bekommst Du den Spiegelpunkt P von P wie oben durch zweimal
Weitergehen von P aus in Richtung von P nach S: p = p + 2(s − p).
Beispiel:                                        
                                     −9           1
P (−3|3|2) wird an der Geraden x =  1  + t  3  gespiegelt.
                                                 
                                       3        −2
Die Hilfsebene hat die Gleichung
                                 
               1           −3
              3  • x −  3  = 0          ⇐⇒     x1 + 3x2 − 2x3 − 2 = 0.
                          
              −2            2
x1 , x2 und x3 aus der Geradengleichung in die Koordinatenform der Hilfsebene eingesetzt er-
gibt nach t aufgelöst t = 1 und das wieder in die Geradengleichung eingesetzt S(−8|4|1) als
Schnittpunkt der Hilfsebene mit der Geraden. Damit steht der Spiegelpunkt P fest:
                                                                    
                               −3           −8      −3        −13
           p = p + 2(s − p) =  3  + 2 ·  4  −  3  =    5 .
                                                         
                                2            1       2          0

2.7.3 Gerade an Ebene
Die Aufgabe kann zurückgeführt werden auf die Spiegelung von einem Punkt an einer Ebene.
Du rechnest zuerst den Schnittpunkt S von der Geraden mit der Ebene aus. Dann nimmst Du



                                              85
einen Punkt P auf der Geraden, z.B. den Stützvektor oder einen anderen (den Du für x durch
Einsetzen einer beliebigen Zahl für den Parameter t erhältst), der aber verschieden von S sein
muss. Die Spiegelgerade ist dann die Gerade, die durch den Spiegelpunkt P von P und durch
S geht (vgl.2.4.1).
Beispiel:                           
                         4          13
Wir spiegeln g : x = −3  + t  6  an E : x1 − 2x2 + 3x3 − 17 = 0.
                                    
                         7         −5
Dazu wird als Erstes der Schnittpunkt S ermittelt: x1 , x2 und x3 aus g in E einsetzen und nach
t auflösen. Das Ergebnis t = 1 wieder in g eingesetzt liefert als Schnittpunkt S(17|3|2). Wie in
2.7.1 kann dann der Spiegelpunkt P von z.B. P (4| − 3|7) ∈ g ausgerechnet werden. Dieser hat
die Koordinaten (2|1|1). Also hat die Spiegelgerade g beispielsweise die Parameterform
                                                                                      
                                 2          17      2        2         15
       g : x = p + t(s − p ) =  1  + t  3  −  1  =  1  + t  2  .
                                                               
                                 1           2      1        1         1

2.7.4 Ebene an Ebene
Sogar dieses Problem kannst Du zurückführen auf die Spiegelung von einem Punkt an einer
Ebene. Bestimme zuerst die Schnittgerade s der beiden Ebenen. Dann spiegelst Du einen Punkt
P auf der zu spiegelnden Ebene (der aber nicht auf der Schnittgeraden liegen darf) an der ande-
ren Ebene und erhältst P . Die Ebene, die P und s enthält (s. 2.4.3) ist dann die gesuchte Ebene.
Beispiel:

E1 : −8x1 + 11x2 + 9x3 − 29 = 0                                                         
                                                      0         1         0
E2 :       2x1 − x2 + 3x3 − 5 = 0        ⇐⇒     x = −5  + s  2  + t  3 
                                                                       
                                                      0         0         1

Um E1 an E2 zu spiegeln, bestimmen wir zuerst nach 2.5.5 die Schnittgerade: Einsetzen von
x1 , x2 und x3 aus der Parameterform von E2 in E1 und Auflösen nach s ergibt s = 6 − 3t, was
wieder in die Parameterform von E2 eingesetzt die Schnittgerade liefert:
                                                                                
                    0                1         0       6        −3
              x = −5  + (6 − 3t)  2  + t  3  =  7  + t −3  .
                                                          
                    0                0         1       0         1

Jetzt wählen wir irgendeinen Punkt auf E1 , z.B. P (5|3|4) und rechnen nach 2.7.1 den Spiegel-
punkt P (1|5| − 2) Damit hat die Spiegelebene E1 von 1 die  Parameterform
                aus.                              E      mögliche       
        1             6        1            −3            1          5         −3
x =  5  + s  7  −  5  + t −3  =  5  + s  2  + t −3 .
                                                                    
       −2             0       −2              1         −2           2           1




                                                86
2.7.5 Kugel an Ebene
Wird die Kugel mit der Gleichung K : (x − m)2 = r2 an einer Ebene gespiegelt, dann hat die
gespiegelte Kugel die Gleichung K : (x − m )2 = r2 , wobei m der an der Ebene gespiegelte
Mittelpunktvektor m ist (vgl. 2.7.1).
Beispiel:
Beim Spiegeln von K : (x1 − 1)2 + (x2 + 6)2 + (x3 − 8)2 = 5 an E : 3x1 + x2 − 7x3 = 0 wird
also der Mittelpunkt M (1| − 6|8) von K an E gespiegelt, mit dem Ergebnis M (7| − 4| − 6).
K hat dann die Gleichung K : (x1 − 7)2 + (x2 + 4)2 + (x3 + 6)2 = 5.




                                           87
2.8 Winkel
2.8.1 Winkel zwischen zwei Vektoren
                                                               x•y
Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren x und y gilt cos α = |x|·|y| . Um α zu berechnen,
rechnest Du den Wert der rechten Seite aus und bekommst dann mit dem Taschenrechner und
der Umkehrfunktion von cos den Wert für α.
Beispiel:                  
           3                2
Für x = −3  und y =  0  gilt
                           
           2              −3

                                    3 · 2 + (−3) · 0 + 2 · (−3)
                   cos α =                                       = 0.
                                32 + (−3)2 + 22 · 22 + 0 + (−3)2
Daraus folgt dann α = arccos 0 = 90° (arccos ist die Bezeichnung der Umkehrfunktion von
cos und wir mit INV COS oder SHIFT COS eingetippt).

2.8.2 Winkel zwischen zwei Geraden
Du setzt die zwei Richtungsvektoren in die Formel aus 2.1 ein und bekommst dabei den Wert
für cos α. Daraus kannst Du wie oben mit dem Taschenrechner und der Umkehrfunktion von cos
den Winkel α berechnen.
Beispiel:                                              
             2           2                       2          4
g1 : x = −3  + t  1  und g2 : x =  6  + t  0  sind gegeben.
                                                       
             7        −3                         0          5
                                                   |v1 •v2 |
Die zwei Richtungsvektoren werden in cos α =      |v1 |·|v2 |   eingesetzt:

                                     |2 · 4 + 1 · 0 + (−3) · 5|       7
                   cos α =                            √            =√     .
                                22   + 1 + (−3)    2 · 42 + 0 + 52    574
                         7
Das bedeutet α = arccos √574 ≈ 73, 0°.

2.8.3 Winkel zwischen Gerade und Ebene
Von der Geraden nimmst Du den Richtungsvektor v, von der Ebene den Normalenvektor n, und
setzt sie in die Formel aus 2.1 ein.
Beispiel:                             
                            2         −3
Für die Gerade g : x = −5  + t  1 , und die Ebene E : 2x1 − 3x3 + 1 = 0 gilt
                                      
                            1          1

                       |n • v|          |2 · (−3) + 0 · 1 + (−3) · 1|    9
            sin α =             =                                     =√     ,
                      |n| · |v|       22 + 0 + (−3)2 (−3)2 + 12 + 12     143
                               9
was für den Winkel α = arcsin √143 ≈ 48, 8° bedeutet.



                                                88
2.8.4 Winkel zwischen zwei Ebenen
Aus den Normalenvektoren n1 und n2 der Ebenen bekommst Du mit der Formel aus 2.1 den
eingeschlossenen Winkel.
Beispiel:
E1 : 2x1 − x3 + 7 = 0 und E2 : 4x2 + 2x3 − 1 = 0 schließen einen Winkel α ein, mit
                           |n1 • n2 |            |2 · 0 + 0 · 4 − 1 · 2|      2
                cos α =                 =                      √             = ,
                          |n1 | · |n2 |     22   + 0 + (−1)   2 0 + 4 2 + 22  10
                2
d.h. α = arccos 10 ≈ 78, 5°.




                                                  89
2.9 Scharen
2.9.1 Geradenscharen
Eine Geradenschar ist eine Gerade, in der außer dem üblichen Parameter vor dem Richtungsvek-
tor noch ein (Schar-)Parameter vorkommt, und zwar im Richtungsvektor oder im Stützvektor.
Für jeden speziellen Wert dieses Parameters ergibt sich dann eine Gerade aus der Schar.
Eine typische Aufgabe zu Geradenscharen ist es, nach derjenigen Geraden aus der Schar zu fra-
gen, die eine bestimmte Bedingung erfüllt. Dabei kommt es dann darauf an, für diese Bedingung
eine Gleichung oder ein Gleichungssystem zu finden, und daraus dann den Scharparameter zu
bestimmen.
Eine andere Möglichkeit für eine Aufgabe wäre es, eine Schar anzugeben, bei der alle Geraden
der Schar in einer Ebene liegen, die man dann bestimmen soll.
Beispiele:
    • Gibt es ein s, für welches die Gerade
                                                                     
                                             1+s       2
                                  gs : x =  s  + t  1 
                                                      
                                              −2      −1

      durch den Punkt P (2|0| − 3) geht?
      Um das zu untersuchen, wird die Punktprobe gemacht, d.h. P wird in der Geradenglei-
      chung für x eingesetzt, was ein Gleichungssystem für s und t ergibt:
                                                           
                   2      1+s        2       2 = 1 + s + 2t
                                            
                  0  =  s  + t  1  ⇐⇒    0 = s+t
                                  
                  −3       −2       −1       −3 = −2 − t.
                                            


      Das Gleichungssystem hat die Lösungen s = −1 und t = 1, was bedeutet, dass die
      Gerade g−1 durch P geht. Wenn das Gleichungssystem keine Lösung gehabt hätte, dann
      wäre keine Gerade aus der Schar durch diesen Punkt gegangen.

    • Gibt es ein s, so dass die Gerade
                                                                   
                                               3        −2
                                    gs : x =  4  + t  4s 
                                                         
                                              −2          5

      parallel (senkrecht) zur Ebene E : x1 − 2x2 + x3 = 1 verläuft?
      Parallel verläuft die Gerade, falls sie E nicht schneidet, d.h. wenn die Schnittgleichung
      keine Lösung für t hat. Für die Schnittgleichung erhalten wir nach Einsetzen von x1 , x2
      und x3 aus der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene

                      3 − 2t − 2 · (4 + 4st) − 2 + 5t = 1 ⇐⇒ (3 − 8s)t = 8.
                                                       3
      Hier sieht man, dass die Gleichung für s =       8   nicht nach t auflösbar ist, d.h. der Scharpa-
      rameter ist bestimmt.



                                                  90
      Senkrecht verläuft die Gerade dann zur Ebene E, wenn ihr Richtungsvektor und der Nor-
      malenvektor linear abhängig sind. das bedeutet, dass es eine Zahl r gibt, mit
                                              
                             −2          1      −2 = r
                             4s  = r −2  ⇐⇒ 4s = −2r
                                        
                               5         1       5 = r.

      Die erste und die letzte Gleichung widersprechen sich, und deshalb gibt es keine Lösung
      fr r und s bzw. keine Gerade, die senkrecht auf E steht.

   • Welche Ebene enthält alle Geraden der Schar
                                                           
                                             0         2
                                  gs : x = −3  + t −2 ?
                                                      
                                             1         s

      Das Ziel ist es, die Koordinatengleichung der Ebene zu finden, und zwar indem aus den
      drei Gleichungen
                                          x1 = 0 + 2t
                                          x2 = −3 − 2t
                                          x3 = 1 + ts
      für die Koordinaten die Parameter s und t eliminiert werden. Das geht hier, indem die
      erste und die zweite Gleichung addiert werden, so dass t wegfällt. Dabei ergibt sich die
      Gleichung x1 + x2 = −3, welche die gesuchte Ebene beschreibt.

2.9.2 Ebenenscharen
Taucht in der Koordinatenform einer Ebene außer den Koordinaten x1 , x2 und x3 ein Parameter
auf, bzw. in der Parameterform außer den Parametern vor den Richtungsvektoren noch ein zu-
sätzlicher Parameter, dann handelt es sich um eine sogenannte Ebenenschar.
Wie bei den Geradenscharen geht es dann meistens darum, wie dieser Scharparameter gewählt
werden muss, damit die dazugehörige Ebene eine vorgegebene Bedingung erfüllt.
Beispiele:

   • Für welche Werte von s hat die Ebene E mit der Koordinatengleichung x1 − 2x2 + 2x3 +
     s = 1 vom Punkt P (1|0|1) den Abstand d(E; P ) = 2?
     Mit der Hesseschen Normalform von E und der Abstandsformel aus 2.6.2 kann diese
     Bedingung als Gleichung formuliert werden:
                          1−2·0+2·1+s−1
                                        = 2 ⇐⇒ |2 + s| = 6.
                                3
      Diese Gleichung hat die beiden Lösungen s = 4 und s = −8 für den gesuchten Parameter
      s.




                                             91
   • Gegeben ist  Ebenenschar Es : sx1 + (3 − 2s)x2 + x3 = 4 und die Ursprungsgerade
                 die
               2
     x = t 1 .
                
             −3
     Es soll gezeigt werden, dass keine Ebene dieser Schar die Gerade schneidet.
     Um die Schnittmenge zu berechnen, setzen wir nach 2.5.5 die Geradenkoordinaten in die
     Ebenengleichung ein:

                             s · 2t + (3 − 2s) · t − 3t = 4 ⇐⇒ 0 = 4.

     Diese Gleichung ist unabhängig von s falsch, deshalb gibt es für kein s einen Schnittpunkt.

   • Für welchen Wert von s ist die Ebene Es : −4x1 + sx2 − 3sx3 = 1 orthogonal zur Ebene
     E : x1 + 2x2 + x3 = 0?
     Nach 2.1 sind zwei Ebenen orthogonal zueinander, wenn ihre Normalenvektoren orthogo-
     nal sind, also wenn ihr Skalarprodukt den Wert Null ergibt:
                                
                    −4      1
                   s  •  2  = 0 ⇐⇒ (−4) · 1 + s · 2 + (−3s) · 1 = 0.
                           
                   −3s      1

     Diese Gleichung hat die Lösung s = −4 was bedeutet, dass E−4 orthogonal zu E ist.

2.9.3 Kugelscharen
Was bei den Geraden- und Ebenenscharen gilt, kann man auch über Kugelscharen sagen. In der
Gleichung für die Kugel kommt ein Scharparameter vor, der meistens aufgrund von Forderun-
gen an die Kugel bestimmt werden soll.
Außerdem solltest Du selbst die Gleichung einer Kugelschar aufstellen können, deren Kugeln
alle einen festen gegebenen Radius haben, und deren Mittelpunkte auf einer vorgegebenen Ge-
raden liegen.
Beispiele:

   • Bestimme die              Kugeln mit dem Radius r = 3, deren Mittelpunkte auf der
                    Schar aller 
                                   
                      0           2
     Geraden x =  3  + s −2 liegen.
                                 
                    −6            7
     Die Mittelpunktskoordinaten sollen auf der Geraden liegen, für sie gilt deshalb m1 = 2s,
     m2 = 3 − 2s und m3 = −6 + 7s. Mit r2 = 9 lässt sich dann die Kugelform der Schar
     hinschreiben:
                   (x1 − 2s)2 + (x2 − (3 − 2s))2 + (x3 − (−6 + 7s))2 = 9.
                                                                          .
                ⇐⇒ (x1 − 2s)2 + (x2 − 3 + 2s)2 + (x3 + 6 − 7s)2 = 9

   • Wir betrachten die Kugelschar Ks : (x1 + 1)2 + (x2 − 2s)2 + (x3 + 3s)2 = 4, und die
     Ebene E mit der Koordinatenform −x1 + 2x2 + 2x3 = 5.



                                              92
 Gesucht sind diejenigen Kugeln aus der Schar, die E berühren.
 Nach 2.5.8 berühren sich die Kugel und die Ebene genau dann, wenn der Abstand d(M ; E)
 zwischen Kugelmittelpunkt M (−1|2s| − 3s) und Ebene gleich dem Radius der Kugel ist.
 Wir berechnen diesen Abstand nach 2.6.2 zu d(M ; E) = 1+4s−6s−5 = |−(4+2s)| =
                                                                 3              3
  |4+2s|
    3 ,    in Abhängigkeit von s. Damit gilt dann bei Berührung

                               |4 + 2s|
                                        = 2 ⇐⇒ |4 + 2s| = 6,
                                  3
 mit den zwei Lösungen s = 1 und s = −5.

• Welche Kugel der Schar Ks : (x1 + 3)2 + (x2 − s)2 + (x3 + 2s − 1)2 = 1 hat einen
  Mittelpunkt, der auf der Geraden g mit der Gleichung
                          
            −3           −4
  g : x =  2  + t  0  liegt?
                          
            −3             3
  Die Mittelpunkte der Scharkugeln haben die drei Koordinaten m1 = −3, m2 = s und
  m3 = 1 − 2s, d.h. sie liegen auf der Mittelpunktgeraden h mit der Gleichung
                                                       
                                         −3        0
                                h : x =  0  + s 1 .
                                                  
                                          1       −2

 Um zu sehen, für welchen Wert von s der Mittelpunkt von Ks auf g liegt, wird nach
 2.5.4 der Schnittpunkt von g mit h berechnet. Dabei ergibt sich nach Gleichsetzen der
 Geradengleichungen und Lösung des Gleichungssystems für s der Wert s = 2 mit dem
 zugehörigen Kugelmittelpunkt M (−3|2| − 3).




                                          93
2.10 Geometrische Figuren und Körper
2.10.1 Dreiecke
Bei Dreiecksaufgaben wird oft nach Beweisen verlangt. Man soll z.B. zeigen, dass ein Dreieck
(das durch die Koordinaten seiner Eckpunkte gegeben ist) gleichseitig oder rechtwinklig ist.
Eine andere Fragemöglichkeit ist es, dass bestimmte Größen, wie z.B Flächeninhalt, Umfang
oder Volumen berechnet werden sollen.
In den folgenden Beispielen siehst Du noch andere mögliche Aufgaben, und es wird kurz erklärt,
wie Du jeweils vorgehen kannst. Allerdings wird nichts mehr konkret vorgerechnet, weil sich
alle Rechenschritte auf die bisherigen Abschnitte beziehen und in den Beispielen dort schon
zahlenmäßig durchgerechnet worden sind.
Beispiele:
    • Gleichseitigkeit
      Du zeigst, dass ein Dreieck, dessen drei Eckpunkte gegeben sind gleichseitig ist, indem
      Du nach 2.6.1 die drei Abstände zwischen den Punkten bestimmst. Sind alle gleich, dann
      hast Du die Gleichseitigkeit gezeigt.
    • Gleichschenkligkeit
      Auch hier bestimmst Du, wie bei der Gleichseitigkeit, die Abstände zwischen allen Eck-
      punkten. Sind zwei davon gleich, dann ist das Dreieck gleichschenklig.
    • Rechtwinkligkeit
      Sind die drei Eckpunkte A, B und C eines Dreiecks gegeben, das Du auf Rechtwinkligkeit
      untersuchen sollst, dann berechnest Du zuerst drei Differenzvektoren, z.B. a − b, b − c
      und c − a (es ist dabei egal, was Du jeweils von was abziehst). Wenn dann zwei von
      diesen Differenzvektoren orthogonal sind, d.h. ihr Skalarprodukt ergibt Null, dann liegt
      ein rechtwinkliges Dreieck vor.
    • Umkreismittelpunkt
      Zu den drei Eckpunkten des Dreiecks ist auch noch ein vierter Punkt M gegeben, von
      dem Du zeigen sollst, dass es der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ist. Dazu zeigst Du
      einfach, dass der Abstand von M zu allen drei Eckpunkten gleichgroß ist.
    • Inkreismittelpunkt
      Auch hier ist zu den drei Eckpunkten noch ein zusätzlicher Punkt M gegeben. Du er-
      kennst, ob dieser der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ist, indem Du die drei Geradenglei-
      chungen durch jeweils zwei der Dreieckspunkte aufstellst. Anschließend musst Du den
      Abstand von M zu jeder von den drei Geraden nach 2.6.3 berechnen. Sind alle drei Ab-
      stände gleich, dann ist M der Inkreismittelpunkt.
    • Bestimmung des Umfangs
      Der Umfang von einem Dreieck ABC ergibt sich aus der Summe der drei Abstände zwi-
      schen den einzelnen Eckpunkten A, B und C.
    • Bestimmung des Flächeninhalts
                                                             1
      Im allgemeinen Dreieck gilt die Flächenformel A =      2   · g · h, wobei g irgendeine der



                                              94
      Dreieckseiten ist, und h die Höhe dazu. Du suchst Dir also eine Seite raus, z.B. AB und
      berechnest die Seitenlänge, also den Abstand zwischen A und B. Als Nächstes brauchst
      Du die dazugehörige Höhe. Dazu stellst Du die Geradengleichung der Geraden durch A
      und B auf und rechnest nach 2.6.3 den Abstand vom Punkt C zu dieser Geraden aus. Das
      ist dann die Höhe zur Seite AB, und mit der obigen Flächenformel kannst Du jetzt den
      Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen.
      Wenn Du schon weißt, dass ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, dann geht es ein bißchen
      schneller. Angenommen, der Rechte Winkel ist beim Punkt C. Dann rechnest Du die
      beiden Kathetenlängen aus, also die Abstände zwischen A und B bzw. zwischen A und
      C. Da jede Kathete die Höhe bezüglich der anderen Kathete ist, kannst Du die beiden
      Katheten direkt für g und h in die Formel oben einsetzen und bist fertig.

    • Bestimmung der Innenwinkel
      Um z.B. den Innenwinkel im Punkt A zu bestimmen, berechnest Du nach 2.8.1 den Winkel
      zwischen den Differenzvektoren a − b und a − c (oder zwischen b − a und c − a).

    • Bestimmung einer Symmetrieachse
      Bei einem gleichschenkligen Dreieck mit den Schenkeln AC und BC ist die Symmetrie-
      achse die Gerade durch die Punkte C und M , wobei M der Mittelpunkt zwischen A und
                                                        1     1
      B ist. Die Koordinaten von M ergeben sich aus m = 2 a + 2 b.

    • Bestimmung des Schwerpunkts
      Der Schwerpunkt eines Dreiecks ABC ist der Schnittpunkt zwischen irgendwelchen zwei
      Seitenhalbierenden. Die Seitenhalbierende der Seite AB ist die Gerade durch C und den
      Mittelpunkt M zwischen A und B. Für M gilt dabei wie bei der Berechnung einer Sym-
      metrieachse m = 1 a + 1 b. Du stellst also die Geradengleichung der Geraden durch C
                        2     2
      und M auf und entsprechend nochmal die Geradengleichung einer anderen Seitenhalbie-
      renden. Dann bekommst Du den Schwerpunkt, indem Du die beiden Geraden schneidest.

2.10.2 Vierecke
Unter den Vierecken sind hauptsächlich die Parallelogramme, also auch die Quadrate und Recht-
ecke wichtig. In den Beispielen siehst Du wieder, was an Fragestellungen oft auftaucht und wie
Du die Sache dann angehen musst. Alle Probleme sind wieder auf die in den vorigen Abschnit-
ten durchgegangenen Methoden zurückführbar.
Beispiele:

    • Parallelogramme
      Liegt ein Viereck ABCD vor, dann kann gefragt werden, ob es ein Parallelogramm ist.
      Das ist der Fall, wenn die Gleichung a − b = d − c erfüllt ist.

    • Rechtecke
      Sollst Du zeigen, dass ein Viereck ABCD ein Rechteck ist, überprüfst Du zuerst die Par-
      allelogrammeigenschaft (s.o.). Zusätzlich dazu musst Du noch zeigen, dass irgendwelche




                                             95
     zwei aneinandergrenzenden Seiten orhogonal sind, z.B. die Seiten AB und AD. Dazu be-
     rechnest Du nach 2.8.1 das Skalarprodukt zwischen den Vektoren b − a und d − a, dessen
     Wert Null ergeben muss.

   • Quadrate
     Ein Viereck ABCD ist ein Quadrat, wenn es ein Rechteck ist (s.o.), mit der Zusatzbe-
     dingung, dass irgendwelche zwei nebeneinanderliegende Seiten gleich lang sind. Dazu
     rechnest Du z.B. die Seitenlängen der Seiten AB und AD, also die Abstände zwischen A
     und B, bzw. zwischen A und D nach 2.6.1 aus. Diese müssen gleich groß sein.

   • Ergänzung zu einem Parallelogramm
     Hier werden Dir drei Punkte A, B und C gegeben, und Du sollst einen vierten angeben,
     so dass die vier Punkte dann ein Parallelogramm ABCD ergeben. Bei einer Ergänzung
     zu einem Quadrat oder Rechteck (wenn die drei Punkte also einen rechten Winkel bilden)
     kannst Du natürlich genauso vorgehen.
     Für den fehlenden Punkt D gilt d = a + c − b, wenn D gegenüber von B liegen soll
     (Allgemein wird der Vektor, der gegenüber vom gesuchten Vektors d liegen soll, von der
     Summe der beiden anderen abgezogen, um d zu erhalten).

   • Bestimmung des Flächeninhalts
     Für Parallelogramme gibt es die Flächenformel A = g · h, wobei g für irgendeine Sei-
     tenlänge steht, und h dann der Abstand von dieser Seite zur gegenüberliegenden Seite ist
     (also die Höhe). Nimm Dir also zwei nebeneinanderliegende Punkte, z.B. A und B und
     rechne ihren Abstand aus, das ist dann die Seitenlänge. Die Höhe ergibt sich dann aus
     dem Abstand des Punktes C (oder D) zur Geraden AB. Hast Du beides bestimmt, dann
     bekommst Du die Fläche mit obiger Formel.
     Bei Rechtecken oder Quadraten ist es einfacher: Du rechnest nur die Seitenlängen zweier
     angrenzender Seiten aus, also z.B. die Abstände zwischen A und B und zwischen B und
     C. Diese beiden Seitenlängen multiplizierst Du und erhältst direkt die Rechtecks- bzw.
     Quadratfläche.

   • Berechnung des Diagonalenschnittpunkts
     Stell die zwei Geradengleichungen der Diagonalen auf, also der Geraden durch jeweils
     gegenüberliegende Punkte, und berechne den Schnittpunkt der beiden Diagonalen nach
     2.5.4.

   • Berechnung des Diagonalenschnittwinkels
     Stell wie oben die Gleichungen der Diagonalen auf, und Du bekommst den Schnittwinkel
     nach 2.8.2.

2.10.3 Körper
Bei den Körpern solltest Du vor allem das Volumen berechnen können. Deshalb kommen dazu
jetzt zwei Beispiele für die wichtigsten Körper, mit einer Kurzbeschreibung wie Du vorgehen
kannst.
Beispiele:



                                            96
• Quader und Würfel
  Quader haben das Volumen V = a · b · c, wobei a, b und c die Kantenlängen sind. Ein
  Quader ist gegeben durch acht Eckpunkte, aus denen sich die drei Kantenlängen berech-
  nen lassen, indem Du zwischen jeweils zwei Punkten, die auf einer Kante liegen, den
  Abstand berechnest (s. 2.6.1 ).
  Beim Würfel ist es besonders einfach. Das Würfelvolumen hat die Formel V = a3 , wobei
  a die Kantenlänge des Würfels ist, die Du als Abstand zweier auf einer Kante liegenden
  Eckpunkte berechnest.

• Pyramiden
  Eine Pyramide wird gegeben durch drei oder mehrere Punkte, die in einer Ebene liegen
  und die Grundfläche bilden, und durch einen weiteren Punkt außerhalb dieser Ebene, der
  die Pyramidenspitze darstellt.
                                                1
  Für Pyramiden gilt die Volumenformel V = 3 · G · h. Dabei ist G der Inhalt der Grundflä-
  che und h die Pyramidenhöhe. Hat die Pyramide z.B. ein Quadrat als Grundfläche, dann
  ist G der Flächeninhalt dieses Quadrats, den Du wie in 2.10.2 ausrechnest. Die Pyrami-
  denhöhe bekommst Du, indem Du den Abstand von der Pyramidenspitze zu der Ebenen
  ausrechnest, in der die Grundfläche liegt (s. 2.6.2). Dazu musst Du möglicherweise zuerst
  noch die dazugehörige Ebenengleichung aufstellen, indem Du eine Ebene durch irgend-
  welche drei Punkte der Grundfläche legst (s. 2.4.2).
  Hast Du Grundfläche und Höhe ermittelt, dann setzt Du sie in die Volumenformel ein und
  bist fertig.




                                         97

				
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