Materi OSP

					                                                                      Materi Pembinaan Menuju OSP Matematika 2013


                                  Bank Soal Teori Bilangan untuk Persiapan OSP 2013
                                              Oleh Didik Sadianto, S.Pd.

1. Buktikan bahwa jika x dan y adalah bilangan rasional yang memenuhi persamaan x 5  y 5  2x 2 y              2


   maka 1  xy adalah kuadrat dari suatu bilangan rasional.
2. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n maka 121n  25n  1990n   4 habis dibagi
                                                                                                 n

   2000.
                                                                                             1       4       1
3. Tentukan semua bilangan bulat positif m, n dengan n bilangan ganjil yang memenuhi:                         .
                                                                                            m        n       12
4. Diberikan bahwa 34!  295 232 799 cd 9 604 140 847 618 609 643 5ab 000 000 . Tentukan digit a, b,
   c dan d.
5. Misalkan n adalah bilangan bulat lebih dari 6. Buktikan bahwa jika n  1 & n  1 keduanya prima maka
   n 2 n 2  16  habis dibagi 720.
6. Tentukan penjumlahan 1. 1!2. 2!3. 3!...  n  1 n  1!n . n ! dinyatakan dalam n.
7. Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat a, b, dan c yang memenuhi a 2  b 2  8c  6.
8. Untuk n bilangan bulat, tunjukkan bahwa n 2  2n  12 bukan kelipatan 121.
9. Buktikan bahwa persamaan x 3  11 3  y 3 tidak memiliki solusi bilangan asli x dan y.
10. Buktikan bahwa jika p dan p + 2 keduanya bilangan prima lebih besar dari 3, maka 6 merupakan faktor
    dari p + 1.
11. n adalah bilangan bulat. Jika angka puluhan n 2 adalah tujuh, berapakah angka satuan dari n 2 ?
12. Tentukan semua pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi persamaan 2a 2  3b 3 .
13. Buktikan bahwa penjumlahan 1984 bilangan asli berurutan bukan merupakan bilangan kuadrat.
14. Sebuah bilangan bulat disebut habis dibagi secara digital jika tidak ada digit-digitnya angka nol dan
    bilangan tersebut habis dibagi oleh penjumlahan semua penjumlahan semua digit-digitnya. Sebagai
    contoh 322 adalah habis dibagi secara digital. Tunjukkan bahwa ada tak hingga banyaknya bilangan
    bulat habis dibagi secara digital.
15. Tunjukkan bahwa persamaan x 2  y 5  z 3 mempunyai takhingga penyelesaian untuk bilangan bulat x,
    y, z dengan xyz  0.
                        1     1 3 5         1997 1
16. Buktikan bahwa           . . . ...                 .
                     1999 2 4 6             1998 44
                                                    2002 2001
17. Tentukan tiga digit terakhir dari bilangan 2003
18. Tentukan semua bilangan bulat positif n sedemikian sehingga n 2  1 habis dibagi oleh n  1.
19. Tentukan semua bilangan bulat x  3 sehingga x  3 x 3  3.
20. Buktikan bahwa ada tak hingga banyak bilangan bulat positif n sedemikian sehingga 4n 2  1 habis dibagi
    oleh 5 dan 13.
                                                                     
21. Buktikan bahwa untuk bilangan bulat positif n kita memiliki 169 33n 3  26n  27   
22. Buktikan bahwa 19 2
                        2
                              6k 2
                                          
                                        3 untuk k  0, 1, 2, ....

                           
23. Buktikan bahwa 13 270  370           
24. Buktikan bahwa 11.31.61            20    15
                                                    
                                                   1
                                                                                       
25. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, bilangan 3 15  2 5  ....  n 5 habis dibagi oleh
   13  23  ...  n 3 .
26. Tentukan semua bilangan p sedemikian sehingga semua 6 bilangan
    p , p  2, p  6, p  8, p  12, dan p  14 adalah bilangan prima.
27. Buktikan bahwa persamaan 3x 2  7y 2  1  0 mempunyai banyak solusi bilangan bulat positif x, y.
28. Tentukan semua solusi bilangan bulat x, y dari persamaan 2x 3  xy  7  0


SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG                                                           NUMBER THEORY/MAY 2013
                                                                 Materi Pembinaan Menuju OSP Matematika 2013


29. Buktikan bahwa persamaan x  1  x  1  y 2  1 memiliki tak hingga banyak solusi bilangan bulat
                                      2         2


    positif x, y.
30. Tentukan semua bilangan bulat positif x, y dari persamaan y 2  x x  1x  2x  3  1.
                               x y z
31. Buktikan bahwa persamaan        1 tidak memiliki solusi bilangan bulat positif x, y, z.
                               y z x
32. Tentukan semua solusi bilangan bulat positif m, n dari persamaan 2 m  3n  1.
33. Tentukan semua bilangan bulat positif n sedemikian sehingga n  1 n 2  1
                                                     
34. Jika 7 3x  2 , buktikan bahwa 7 15x 2  11x  14

                            
35. Buktikan bahwa 6 n 3  n , untuk semua bilangan bulat n.
36. Tentukan semua bilangan prima berbentuk n 3  1 , untuk bilangan bulat n > 1.
37. Tentukan semua bilangan bulat n  1 sedemikian sehingga n 4  4 n bilangan prima.
                                                                            
38. Tunjukkan bahwa 1001 membagi habis 11993  21993  31993  ....  1000 1993
39. Tunjukkan bahwa 2903n  803n  464n  261n habis dibagi 1897 untuk semua bilangan asli n.
40. Diketahui bahwa 1002004008016032 memiliki faktor prima p  250000 tentukan p tersebut.
                                                                      ,
41. Tentukan sisa pembagian 12012  22012  32012  4 2012 oleh 5.
42. Tentukan sisa pembagian ketika 61987 dibagi oleh 37.
43. Buktikan bahwa 7 membagi 32n 1  2n 2 untuk semua bilangan asli n.
44. Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat sehingga x 2  5y 2  2.
    [Gunakan konsep Modulo 5]
                      
45. Buktikan bahwa 7 22225555  55552222  

Rujukan:
[1] Hermato, Edy. 2006. Kumpulan Soal & Penyelesaian: Persiapan Menuju OSN Bidang Matematika.
               Bengkulu: SMAN 5 Bengkulu.

[2] “Kumpulan Soal “Canadian Mathematical Olympiad” Tahun 2003 – 2011.




SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG                                                         NUMBER THEORY/MAY 2013

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:1
posted:4/30/2013
language:
pages:2
Description: Latihan Soal Teori Bilangan 1-Didik Sadianto