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					Il bello della matematica


             Il matematico, come il pittore
                  poeta,
             e il poeta è un creatore di
             forme.

             G H Hardy
             G.H.




                                              Renato Betti
                                          Politecnico di Milano
                                         San Pellegrino, 7.9.09
                                        (Galileo: La matematica è
                                        il linguaggio con cui Dio ha
                                        scritto l’universo)




(Pitagora)




             Mysterium Cosmographicum
             (Keplero 1596)
                       all estetica
  Matematica applicata all’estetica




   5 +1
Φ=
    2
       La successione di Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…..
               Estetica della matematica
Quali sono i più belli? (D. Wells, 1988)
                    iπ
        Eulero: e        +1 = 0
         V-E+F=2




        I ponti di Königsberg
            Estetica della matematica


                        (Pristem,
Quali sono i più belli? (Pristem 1992)

Cantor : l’insieme dei numeri reali non è numerabile




Gödel : l’aritmetica non è completa




Ippaso da Metaponto: la diagonale del quadrato non è
                     commensurabile con il lato
   I solidi platonici


terra
                           aria



fuoco

                              etere
                        (modello di universo)

acqua
I numeri…
Gli enunciati….



          G. Desargues, 1636:
          Teorema dei triangoli omologici
                                Le costruzioni…




                      C.F. Gauss, 1796:
                      Costruzione del 17-gono regolare con riga e compasso




Teorema. Il poligono regolare con un
numero primo p di lati è costruibile con riga
e compasso se e solo se
         p = 2 +12n
 Bellezza matematica = sorpresa ?


Teorema di Morley




 Teorema di Napoleone
            Bellezza matematica = sintesi ?


Il teorema dei 4 colori




                        p
Una dimostrazione senza parole




La media geometrica non
supera la media aritmetica
             (G.H. Hardy, Apologia di un matematico, 1940)




Il matematico, come il pittore e il poeta, è un creatore di forme. Se le forme
che crea sono più durature delle loro è perché le sue sono fatte di idee. Il
pittore crea forme con i segni ed il colore, il poeta con le parole…



Il matematico invece non ha altro materiale con cui lavorare se non le idee.
Quindi le forme che crea hanno qualche probabilità di durare più a lungo,
perché le idee si usurano meno delle parole…
                            (                      )
                 Aristotele (Metafisica XIII.3.107b)




             “Quelli che affermano che le scienze matematiche
             non parlano della bellezza sono in errore. Le
             maggiori forme di bellezza sono ordine,
                gg                                  ,
             commensurabilità, precisione”.



1. Commensurabilità - struttura


2. Ordine            - algoritmo


3. Precisione
3 P i i                 dimensione
                      - di    i
1. Commensurabilità
         Il tema del sole
        (neolitico superiore)




     La      bellezza è una
     L vera b ll
     deliberata, parziale,
     rottura di simmetria
             (proverbio Zen)




(Saqqara, 25 sec. a.C.)
          “Quanta” simmetria ha una figura?




    i      i         fi      i           l i    i
Le simmetrie di una figura piana sono le isometrie T
del piano che lasciano inalterata la figura:
       T(F) = F
              τ
                        σ




I numeri misurano quantità. La “misura” della simmetria deve
tener conto della struttura che ha l’insieme delle trasformazioni.




Gruppo di isometrie F          F
   Esempi
                      B

                      D
in       i
i geometria…
                          C
                      O       A


in cristallografia…
in chimica




             NaCl
in fisica (invarianza delle leggi)




                               Gruppo di Galileo




                                Gruppo di Lorentz
     algebra
  in algebra…




 Le funzioni simmetriche elementari (formule di Viète):




   “          G l i”       ’      i     l bi                d ll
Il “gruppo di Galois” di un’equazione algebrica è il gruppo delle
permutazione delle radici α1, α2, …,αn che conservano tutte le loro
                        vere
espressioni algebriche “vere” (e quindi è il gruppo di simmetria di
queste espressioni).
Rosoni,
Rosoni fregi e mosaici



         ……              ……
       Rosoni




Maya            Egitto pre-dinastico




                Alhambra di Granada
Fregi




        (paleolitico)
I gruppi cristallografici piani
     o gruppi dei mosaici
  o gruppi di carte da parati
         o arabeschi




                                  Egitto




                                  Cnosso
Mosaici dell’Alhambra di Granada
E in altri spazi ?




                     M.C. Escher:
                     Simmetria p3 nel
                      i    i b li
                     piano iperbolico
                      Nelle altre dimensioni?
                                      Teorema: un sottogruppo finito di
                                        rotazioni dello spazio è un gruppo
                                        ciclico oppure diedrale oppure il
                                        gruppo di simmetria rotazionale di
                                                     g       (
                                        un solido regolare (tetraedro,,
                                        ottaedro, icosaedro).
                                                                g pp
                                      Teorema: esistono 230 gruppi
                                      cristallografici in tre dimensioni
                                      (219 classi di isomorfismo diverse)

Il “gruppo mostro”, il più grande dei gruppi semplici finiti, ha circa
 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368×109=
=246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 (~10
                                                         199 883
e rappresenta un gruppo di rotazioni dello spazio a 199.883 dimensioni
                       2. Ordine



                          Chiave k


      m                      c                         m
T            Cifratura               Decifrazione             R



                             I

La sicurezza di un sistema crittografico dipende solo dalla
                        (“Principio Kerckhoffs”)
segretezza della chiave ( Principio di Kerckhoffs )
Enigma




         Alan Turing (1912-1954)
            Scambio delle chiavi

a                                  a
    N                                  N



a       b                          a       b

    N                                  N



        b                                  b
    N                                  N
           La chiave pubblica (1976)

canale simmetrico           T                  R


canale asimmetrico          T                  R


funzioni “a trabocchetto”

    m                   c                      m
T          cifratura            decifrazione       R



                        I
 No cifre                  Primalità    Fattorizzaz.
    20                          sec
                             10 sec.          min.
                                           24 min
    50                       15 sec.        4 ore
   100                       40 sec.       74 anni
   200                       10 min.    4· 109 anni
  1000                        1 sett.   3·1043 anni

Fonte: D.E. Knuth, 1982



Aritmetica modulare:

a ≡ b (mod n) ⇔ a − b = kn (k ∈ Z )

Teorema di Eulero-Fermat (1750):
MCD (m, n) = 1 ⇒ mϕ ( n ) ≡ 1 (mod n)
                   3. Precisione



    (00)
    (01)
    (10)
    (11)




    (00|0)
    (01|1)
    (10|1)
    (11|0)


x1 + x2 + x3 = 0
             Codici correttori d’errore


(000|00)
(011|10)
(101|01)
(110|11)




           ⎧ x1 + x2 + x3 = 0
           ⎪
           ⎨ x1 + x3 + x4 = 0
           ⎪x + x + x + x = 0
           ⎩ 1 2 4 5
                   Codici correttori d’errore



alfabeto F2 ={0, 1}                        Fq ( = pn)
                                              (q


spazio F25
    i                                      Fqm (m = lunghezza del codice)


distanza di Hamming                        Fqm è uno spazio metrico



Teorema. Nella trasmissione di un codice la cui minima distanza è d
         è possibile:

             - rivelare k errori se e solo se: d ≥ k + 1

             - correggere k errori se e solo se: d ≥ 2k + 1
                    gg
                          Conclusione


Quelli che affermano che le scienze matematiche non parlano della
bellezza sono in errore.
(Aristotele)



Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o
    p
dal poeta, devono essere belle…
Le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La
bellezza è il requisito fondamentale. Al mondo non c’è un posto
p             per
permanente p la matematica brutta.
(G.H. Hardy)



Il bello della matematica è l’astrazione: la capacità di immergersi nel
mondo immaginario della teoria e riemergere a spiegare ciò che è reale.



                                                         Grazie per l’attenzione

				
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posted:4/5/2013
language:Italian
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