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									         Corso di laurea in Matematica
                          a
        SAPIENZA Universit` di Roma




Prove scritte di Meccanica Razionale
          (testi e soluzioni)


               `
     Paolo Butta & Piero Negrini


       Dipartimento di Matematica
          “Guido Castelnuovo”
                         a
      SAPIENZA Universit` di Roma
Indice
1 Testi                                                                                                                                 3
  1.1 Compito     1.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    3
  1.2 Compito     2.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    3
  1.3 Compito     3.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
  1.4 Compito     4.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
  1.5 Compito     5.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
  1.6 Compito     6.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
  1.7 Compito     7.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
  1.8 Compito     8.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
  1.9 Compito     9.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    8
  1.10 Compito    10   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    8
  1.11 Compito    11   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
  1.12 Compito    12   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
  1.13 Compito    13   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
  1.14 Compito    14   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
  1.15 Compito    15   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
  1.16 Compito    16   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
  1.17 Compito    17   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
  1.18 Compito    18   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   13
  1.19 Compito    19   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   13
  1.20 Compito    20   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   14
  1.21 Compito    21   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   15
  1.22 Compito    22   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   15
  1.23 Compito    23   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
  1.24 Compito    24   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
  1.25 Compito    25   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   17
  1.26 Compito    26   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18
  1.27 Compito    27   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18
  1.28 Compito    28   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   19
  1.29 Compito    29   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   19

2 Soluzioni                                                                                                                            21
  2.1 Soluzione   Compito              1   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   21
  2.2 Soluzione   Compito              2   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   24
  2.3 Soluzione   Compito              3   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   26
  2.4 Soluzione   Compito              4   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   29
  2.5 Soluzione   Compito              5   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   31
  2.6 Soluzione   Compito              6   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   33


                                                           1
2.7    Soluzione   Compito   7 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   35
2.8    Soluzione   Compito   8 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   37
2.9    Soluzione   Compito   9 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   39
2.10   Soluzione   Compito   10    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   40
2.11   Soluzione   Compito   11    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   43
2.12   Soluzione   Compito   12    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   45
2.13   Soluzione   Compito   13    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   47
2.14   Soluzione   Compito   14    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   49
2.15   Soluzione   Compito   15    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   52
2.16   Soluzione   Compito   16    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   54
2.17   Soluzione   Compito   17    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   56
2.18   Soluzione   Compito   18    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   58
2.19   Soluzione   Compito   19    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   59
2.20   Soluzione   Compito   20    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   61
2.21   Soluzione   Compito   21    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   63
2.22   Soluzione   Compito   22    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   65
2.23   Soluzione   Compito   23    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   68
2.24   Soluzione   Compito   24    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   70
2.25   Soluzione   Compito   25    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   72
2.26   Soluzione   Compito   26    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   73
2.27   Soluzione   Compito   27    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   76
2.28   Soluzione   Compito   28    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   78
2.29   Soluzione   Compito   29    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   80




                                               2
1     Testi
1.1     Compito 1
In un piano verticale una sbarra materiale di massa M , di estremi A, B, lun-
                                                   e
ghezza 2 , con distribuzione di massa omogenea, ` libera di ruotare attorno
                                     e
al suo centro fisso O. Sulla sbarra ` fissato un punto materiale P di massa
m ad una distanza 2 da B.
                                                              o
    Su una retta immateriale orizzontale passante per O pu` scorrere senza
attrito un punto materiale P1 di ugual massa m. Tra i punti P e P1 si esercita
una forza elastica di costante k, k > 0. Assunta la retta orientata come asse
coordinato, sia x la corrispondente ascissa del punto P1 e θ l’angolo che la
          −−→
direzione AB forma con il suddetto asse. Si chiede:

    1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di
       Eulero-Lagrange.

    2) Individuare le posizioni di equilibrio, al variare del parametro λ =
       2mg
                                               a            a
        k , studiandone le relative propriet` di stabilit`. Si determinino
       quindi le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione
       di equilibrio stabile.

    3) Si consideri ora lo stesso sistema ma su un piano orizzontale. Fissate
                                      ˙
       le condizioni iniziali θ0 = 0, θ0 = 0, determinare i corrispondenti moti.

1.2     Compito 2
Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con
l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarretta omogenea AB,
di massa M e lunghezza , giace in tale piano ed ha l’estremo A vincolato a
scorrere senza attrito lungo l’asse delle ascisse. L’estremo B della sbarretta
e
` richiamato dall’origine delle coordinate attraverso una molla di costante
elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si denoti con x l’ascissa del punto
                                       −
                                       −→
A e con θ l’angolo che la direzione AB forma con l’asse delle ascisse.
    Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equili-
                                                                  Mg
                                 a
brio e se ne discuta la stabilit` al variare del parametro λ =        .
                                                                  2k
    Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una
posizione di equilibrio stabile.




                                        3
1.3    Compito 3
Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale
con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Il baricentro G di una
                                                       e
sbarretta omogenea AB di massa m e lunghezza 2 ` vincolato a scorrere
senza attrito lungo la guida curvilinea di equazione y = x2 /2. L’estremo A
                e
della sbarretta ` attratto dall’asse delle ordinate tramite una molla ideale
di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si indichino con x
                                                         −→
l’ascissa del punto G e con θ l’angolo che il vettore GA forma con l’asse
delle ascisse.
  1) Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equi-
                                       a
     librio e se ne discuta la stabilit`. Si calcolino inoltre le frequenze delle
     piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.
  2) Si modifichi il sistema assumendo che anche l’estremo B della sbar-
           e
     retta ` attratto dall’asse delle ordinate tramite una molla ideale di
     uguale costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si scri-
     va la lagrangiana del problema individuando due integrali primi del
     moto. Quindi si discutano qualitativamente i moti del sistema, con
     particolare riguardo all’esistenza di soluzioni periodiche non banali.

1.4    Compito 4
Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z diretto
secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P1 di massa m
e
` vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di centro l’origine
O, raggio unitario e giacente sul piano coordinato {O; x, y}. Tale punto `       e
attratto da un secondo punto pesante P2 , di ugual massa m, tramite una
molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Il punto
    e
P2 ` a sua volta vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di
centro l’origine O, raggio unitario e giacente sul piano coordinato {O; y, z}.
                                              −→
                                               −
Si indichino con ϕ l’angolo che il vettore 0P1 forma con l’asse delle ascisse
                                    −
                                   −→
x e con θ l’angolo che il vettore OP2 forma con l’asse delle ordinate z.
    Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equili-
                                a
brio e se ne discuta la stabilit`. Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole
oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

1.5    Compito 5
                                     e
Una guida parabolica (immateriale) ` libera di ruotare attorno l’asse verti-
cale u, passante per il punto fisso O. Si introduca un sistema di riferimento

                                        4
fisso {O; x, y, z}, con origine in O ed asse z diretto coincidente con l’asse u e
diretto come la verticale ascendente. Si consideri un sistema di riferimento
solidale alla guida {O; ξ, η, ζ}, con piano della guida π assegnato da η = 0,
asse ζ coincidente con u e diretto come la verticale ascendente. In questo
                                  e
sistema di coordinate la guida ` rappresentata da
                                   a 2
                              ζ=     ξ ,   a > 0.
                                   2
Sia infine φ l’angolo che π forma col piano fisso y = 0, contato in verso
                        e
antiorario. Sulla guida ` libero di scorrere senza attrito un punto materiale
P , di massa m. Inoltre, fissato sulla guida nel punto di coordinata ξ = L,
   e
vi ` il punto Q, di massa M .

  1) Si scrivano le coordinate dei punti P ed Q nel sistema fisso. Si scriva
     di conseguenza la Lagrangiana del sistema e le relative equazioni di
     Lagrange.

  2) Si individui l’integrale primo del sistema di Lagrange L corrispondente
     alla coordinata ciclica, e lo si denoti con P . Si consideri poi il sistema
                   ˆ
     lagrangiano L, ad un grado di libert`, ottenuto restringendo l’originale
                                            a
     sistema sulla superficie assegnata da P = k, k ∈ R.
                                                             ˆ
  3) Si considerino gli equilibri del sistema lagrangiano L al variare del
     parametro λ = M L|k| ga , studiando le relative propriet` di stabilit`.
                        2√                                   a            a

                                        ˆ
  4) Si disegnino le orbite del sistema L nello spazio delle fasi, nel caso
     λ > 1.

1.6   Compito 6
Si consideri un cerchio rigido libero di ruotare attorno al suo diametro fissato
su un asse verticale (u). Sia R il raggio del cerchio, O il suo centro, M la
                                   a
sua massa distribuita con densit` uniforme µ.
    Si assuma come sistema di riferimento fisso il sistema {O; x, y, z} con
asse coordinato z diretto come l’asse (u) contro orientato rispetto all’acce-
                    a
lerazione di gravit`. Sia poi φ l’angolo che il piano solidale al disco forma
con il piano fisso y = 0. Quindi, se indichiamo con {O; ξ, η, z} un sistema
                                   e
ortonormale solidale, l’ angolo φ ` quello che l’asse coordinato ξ forma con l’
asse coordinato x, mentre il piano solidale ha equazione η = 0. Sul cerchio
e
` libero di scorrere (senza attrito) un punto materiale P di massa m. Que-
                                                −
                                                →
    e
sto ` richiamato dall’asse (u) con una forza f proporzionale alla reciproca

                                       5
distanza. Precisamente, denotato con Q il piede della perpendicolare da P
                                                                    e
ad (u), detta K una costante positiva la forza che si esercita su P `
                                −
                                →    −
                                     −→
                                f = KP Q

Infine, si denoti con ψ l’angolo che individua la posizione di P sul cerchio.
Scelte come coordinate lagrangiane (φ, ψ) si risponda alle seguenti domande.

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema.

  2) Scrivere il sistema di Lagrange e determinarne gli integrali primi.

  3) Studiare le soluzioni del sistema di Lagrange in corrispondenza al dato
              ˙
     iniziale φ(0) = 0. In particolare, usando gli integrali primi, analizzare
     i moti della cordinata ψ, rappresentando le relative orbite nel piano
     delle fasi.

1.7   Compito 7
Due punti materiali P1 e P2 di uguale massa m sono vincolati agli estremi di
                                                      e
un’asta immateriale di lunghezza 2 il cui centro G ` vincolato a muoversi
su una guida circolare di raggio R (R > ), fissa in un piano orizzontale
π. Si consideri un riferimento fisso ortonormale {O, i, j, k} con origine O
nel centro della guida e versore k perpendicolare a π, orientato lungo la
                                     e
verticale ascendente. Il punto P1 ` attratto, tramite una molla elastica di
costante K, dal punto immateriale Q1 situato sull’asse k alla stessa quota
                             e
di P1 . Analogamente P2 ` attratto, tramite una molla elastica di uguale
costante K, dal punto immateriale Q2 situato sull’asse k alla stessa quota
di P2 .
                                  −→
                                   −
     Sia θ ∈ [0, 2π) l’angolo che OG forma con la direzione i e si denoti con
                   −
                  −→
ψ l’angolo che GP2 forma con la direzione k. Si restringa il dominio di ψ
all’intervallo aperto (0, π) e, detta H la proiezione di P2 sul piano π, sia
                                  −
                                 −→
infine ϕ ∈ [0, 2π) l’angolo che GH forma con i.
     Si chiede:

                                        ˙ ˙ ˙
  1) Scrivere la lagrangiana L(θ, ϕ, ψ, θ, ϕ, ψ) e determinare tre integrali
     primi del moto.

  2) Utilizzando i suddetti integrali primi si dimostri che il problema la-
               e
     grangiano ` risolubile per quadrature. In particolare si dimostri che si
     riduce ad un problema unidimensionale nella coordinata ψ.


                                      6
  3) Si denoti con pϕ l’impulso coniugato alla coordinata ϕ. Restringendosi
     al caso pϕ = 0 si discuta il diagramma delle orbite nello spazio delle
     fasi per il suddetto problema unidimensionale al variare del parametro
            p2
             ϕ
     λ = 4Km 4 .

  4) Si determini una soluzione periodica del sistema lagrangiano completo.

1.8   Compito 8
Sia π una lastra piana rigida, di distribuzione di massa omogenea, di forma
quadrata con lato l, massa tootale M . Si G il suo baricentro. La lastra `  e
vincolata a ruotare attorno ad una sua retta r (immateriale) orizzontale e
parallela ad uno dei lati, passante per G.
                                           e
    Su un asse verticale passante per G ` fissato l’estremo Q di una molla
elastica di costante K. Tale molla si esercita sul punto materiale P di massa
m, libero di muoversi senza attrito sulla lastra.
    Si assuma una terna fissa levogira di assi i, j, k e origine il baricentro
della lastra. Siano (X, Y, Z) le corrispondenti coordinate. Per definitezza si
supponga la terna orientata in modo tale che

                           Q ≡ (0, 0, Z0 ),   Z0 ≥ 0

Inoltre sia j il versore della retta r. Sia c un versore normale a π. Si denoti
con φ l’angolo (contato in modo antiorario) che c forma con k. Siano poi
(x, y) le coordinate del punto P relativamente ad un sistema solidale piano,
con secondo asse coincidente con j, origine nel baricentro della lastra.

  1) Si scriva la lagrangiana del sistema, in funzione delle coordinate la-
     grangiane (φ, x, y).

  2) Si determini il moto della coordinata y del punto P .

  3) Si individuino le posizioni di equilibrio del sistema. Si consideri in
     particolare il caso
                                      mg − KZ0
                                λ :=            =0
                                           K
                             a
     e si discuta la stabilit` degli equilibri.

  4) Si consideri il caso λ = 0 e si determini esplicitamente il moto del
     sistema.




                                       7
1.9    Compito 9
Si consideri in un piano verticale Π una guida rettilinea immateriale. Tale
       e
guida ` libera di ruotare attorno ad un suo punto fisso O ed ha fissato su di
essa, a distanza da O, un punto materiale P di massa m. Sull’asta ` poie
libero di scorrere senza attrito il centro G di un disco omogeneo, di massa
                        e
M e raggio R. Il disco ` libero di ruotare, mantenendosi nel piano Π. Tra i
punti P e G si esercita una forza elastica di costante K.
                                        −→
                                         −
    Siano ϕ l’angolo che la direzione OP forma con l’asse coordinato oriz-
zontale, ψ l’angolo di rotazione propria del disco ed s ∈ R l’ascissa di G
lungo la guida. Assunti come parametri lagrangiani (ϕ, ψ, s), si chiede:

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema, mostrando che

                                ˙ ˙ ˙                ˙ ˙         ˙
                     L(ϕ, ψ, s, ϕ, ψ, s) = L1 (ϕ, s, ϕ, s) + L2 (ψ)

       e determinare quindi il moto di ψ.

                                                                ˙ ˙
  2) Si consideri ora il sistema corrispondente ad L1 (ϕ, s, ϕ, s). Se ne de-
                                                   a            a
     terminino gli equilibri e le relative propriet` di stabilit` al variare del
     parametro
                                      K (M + m)
                                 λ=
                                           M 2g
       nell’insieme (0, 1) ∪ (1, +∞).

  3) Si determinino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una
     posizione di equilibrio stabile.

1.10     Compito 10
Sia U un asse verticale fisso, orientato come la verticale ascendente. Un
         e                                         e
piano Π ` libero di ruotare attorno ad U (il piano ` considerato senza massa).
Su di un asse orizzontale V , fisso in questo piano e passante per il punto
O ∈ U , ` disposto il centro Q di un cerchio C, solidale a Π , di massa
          e
anch’essa ignorabile, raggio r, con r < |OQ| := R.
                                               e
    Infine un punto materiale P , di massa m, ` libero di scorrere senza attrito
lungo C. Su P si esercita una forza di richiamo elastica, di costante elastica
k. Il centro di applicazione della forza ` fissato nel punto D ∈ U al di sopra
                                         e
di O; la distanza d := |OD| ` scelta tale che k = mg .
                              e                      d

  1) Si scriva la lagrangiana del sistema, utilizzando come coordinate la-
     grangiane l’angolo θ che identifica P su C e l’angolo φ che il piano Π

                                        8
       forma con il piano Y = 0 di un sistema di coordinate fisso {O; X, Y, Z}
       (l’asse Z essendo diretto lungo U ).
                                              e
  2) Dimostrare che una delle due coordinate ` ciclica e scrivere quindi, uti-
     lizzando il corrispondente integrale primo, la lagrangiana del sistema
     ridotto.
  3) Determinare gli equilibri di tale sistema ridotto al variare dei parame-
                                                a            a
     tri. Discuterne quindi le relative propriet` di stabilit`.
  4) Mostrare che il sistema completo ammette soluzioni periodiche esiben-
     done almeno una.

1.11     Compito 11
Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale
con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Due punti materiali
pesanti P1 e P2 di uguale massa m sono vincolati agli estremi di un asta
                                                         e
immateriale di lunghezza 2. Il centro C di tale asta ` libero di scorrere
senza attrito lungo la guida curvilinea di equazione y = −x2 ed ` richiamato
                                                                e
dal punto Q di coordinate (0, 1) attraverso una molla di costante elastica
                                                                        −→
                                                                        −−
K > 0. Si indichi con x l’ascissa del punto C e con ϕ l’angolo che P1 P2
forma con l’asse delle ascisse. Si richiede:
  1) Calcolare la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate (x, ϕ),
     mostrando che
                       L(x, ϕ, x, ϕ) = L(1) (x, x) + L(2) (ϕ, ϕ).
                               ˙ ˙              ˙             ˙

  2) Integrare esplicitamente il moto della coordinata ϕ.
  3) Discutere qualitativamente il moto della variabile x al variare del
     parametro
                                      mg
                                  λ=     .
                                      K
  4) Si calcoli, nel caso λ = 1, la frequenza delle piccole oscillazioni at-
     torno ad una posizione di equilibrio stabile relativa alla lagrangiana
     L(1) (x, x).
              ˙
  5) Esistono soluzioni non globali delle equazioni del moto nel caso in cui
     K = 0 (ovvero si escluda la molla)?
  6) Esistono soluzioni periodiche del problema completo t → (x(t), ϕ(t))
     tali che x(t) e ϕ(t) siano entrambe funzioni non costanti?

                                        9
1.12     Compito 12
Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale su un piano verticale
Π, con l’asse delle ordinate y diretto secondo la verticale ascendente. Un
                                                       e
punto materiale P di massa m giace su tale piano ed ` vincolato a rimanere
a distanza costante > 0 dal punto materiale Q di uguale massa m, che `     e
                                                            e
libero di scorrere lungo l’asse delle ascisse x. Il punto P ` richiamato dal
punto geometrico C di coordinate (0, ) attraverso una molla di costante
elastica k > 0. Si richiede:

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema, utilizzando come coordinate l’ascis-
                                                   −
                                                   −→
     sa x del punto Q e l’angolo θ che il vettore QP forma con la direzione
     verticale discendente.

  2) Determinare le posizioni di equilibro del sistema al variare del para-
     metro
                                        mg
                                   λ=      .
                                         k
                                           a            a
     Discuterne quindi le relative propriet` di stabilit` restringendosi al
     caso λ = 2.

  3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-
     ne di equilibrio stabile nel caso λ > 2.

1.13     Compito 13
                                                e
Un punto materiale pesante P di massa m ` vincolato senza attrito alla
superficie di rotazione d’asse verticale x3 ascendente, descritta in coordinate
cartesiane dall’equazione

                              x3 = log        x2 + x2 .
                                               1    2

Si richiede:

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate polari
     (r, ϕ) definite da
       x1 = r cos ϕ,   x2 = r sin ϕ.

  2) Determinare due integrali primi del sistema.

  3) Discutere i moti del punto P utilizzando gli integrali primi e restrin-
                                                     ˙
     gendosi al caso di condizioni iniziali tali che ϕ(0) = 0.


                                         10
  4) Determinare almeno una soluzione periodica delle equazioni del moto.

                                                                    ˙
  5) Discutere i moti del punto P per condizioni iniziali tali che ϕ(0) = 0.
     Esistono in tal caso soluzioni non globali delle equazioni del moto?

1.14    Compito 14
Su un piano verticale sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con
l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Due punti materiali P1 e P2
di uguale massa m sono vincolati a scorrere senza attrito lungo una guida
curvilinea di equazione
                              y = ax2 ,     a = 0.
I punti sono soggetti alla forza peso ed inoltre si attraggono reciprocamente
attraverso una forza di energia potenziale
                                      k
                   Uin (x1 , x2 ) =     (x1 − x2 )4 ,   k > 0,
                                      4
essendo x1 ed x2 le ascisse dei punti P1 e P2 rispettivamente. Si richiede:

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate lagrangia-
     ne (x1 , x2 ).

  2) Determinare le posizioni di equilibro del sistema al variare del para-
                                                  a            a
     metro a = 0 e discuterne le relative propriet` di stabilit`.

  3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-
     ne di equilibrio stabile nel caso a > 0.

  4) Integrare le equazioni del moto nel caso in cui a = 0.

1.15    Compito 15
Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale
con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Il baricentro C di una
                                                       e
sbarretta omogenea AB di massa m e lunghezza 2 ` vincolato a scorrere
senza attrito lungo la guida rettilinea di equazione y = −x. L’estremo A
                e
della sbarretta ` attratto dal punto d’origine O del sistema di riferimento
tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo
                                    e
nulla. L’estremo B della sbarretta ` attratto dall’asse delle ordinate tramite
una molla ideale di uguale costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.
    Si indichino con x l’ascissa del punto C e con θ l’angolo che il vettore
−→
CA forma con l’asse delle ascisse.

                                          11
  1) Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equi-
     librio e se ne discuta la stabilit` al variare del parametro λ = mg ,
                                        a                                    4k
                                           ae
     limitandosi ai casi in cui la stabilit` ` riconosciuta dalla parte lineare.
     Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una
     posizione di equilibrio stabile.

  2) Si modifichi il sistema bloccando il baricentro C della sbarretta nella
     posizione x = 0. Si discutano qualitativamente i moti del sistema,
     rappresentando le orbite nello spazio delle fasi.

1.16    Compito 16
Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale
con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Su tale piano giace una
sbarretta omogenea AB di massa 2m e lunghezza 1. L’estremo A della sbar-
       e
retta ` vincolato a scorrere senza attrito lungo l’asse delle ascisse. L’estremo
   e
B ` attratto dal punto Q di coordinate (0, 1) tramite una molla ideale di co-
stante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si indichino con x l’ascissa
                                              −−→
del punto A e con θ l’angolo che il vettore AB forma con l’asse delle ascisse.
     Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equili-
brio e se ne discuta la stabilit` al variare del parametro λ = 1 − mg , limitan-
                                a                                    k
                               ae
dosi ai casi in cui la stabilit` ` riconosciuta dalla parte lineare. Si calcolino
inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di
equilibrio stabile.

1.17    Compito 17
                                 e
Un punto materiale di massa m ` libero di muoversi su un piano orizzontale
   e
ed ` soggetto all’azione di una forza di energia potenziale
                                   1
                   U (x, y) = λx2 + y 2 − log(1 + x2 + y 2 ),
                                   2
essendo (x, y) le coordinate del punto in un riferimento ortonormale {O; x, y}
               e
nel piano e λ ` un parametro positivo.

  1) Si scriva la lagrangiana del sistema e si individuino le posizioni di
     equilibrio al variare del parametro λ > 0; se ne discuta la stabilit`  a
                                      e
     limitandosi ai casi in cui essa ` riconosciuta dalla parte lineare. Si
     calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una
     posizione di equilibrio stabile.


                                       12
  2) Si consideri ora il caso λ = 1 . Si individuino due integrali primi del
                                  2
     moto e si determini almeno una soluzione periodica delle equazioni del
     moto.

1.18    Compito 18
Sia {O; x, y} un riferimento ortonormale in un piano orizzontale. Un punto
                               e
materiale P di massa m = 1 ` vincolato a scorrere senza attrito lungo la
guida curvilinea di equazione

                                       x4
                                  y=      − x2
                                       2
   e
ed ` soggetto al campo di forza

                                              x
                               F (x, y) =       .
                                              1

  1) Si scriva la lagrangiana del sistema utilizzando come coordinata l’a-
     scissa x del punto P .

  2) Si discuta qualitativamente il moto di P . In particolare si disegni il
     ritratto delle fasi, specificando il numero di orbite su ciascun livello di
     energia, ed il tipo di moto corrispondente a ciascuna di esse. Esistono
     moti che non sono definiti globalmente nel tempo?

  3) Si calcoli la frequenza delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione
     di equilibrio stabile.

                                                      ˙
  4) Sia x(t) la soluzione di dati iniziali x(0) = 0, x(0) = 1. Calcolare

                                           ˙
                                       lim x(t).
                                       t→+∞


1.19    Compito 19
Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z diretto
secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa m
e
` vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie cilindrica di equazione
x2 + y 2 = 1. Il punto P ` richiamato dall’origine O tramite una molla ideale
                         e
                                                                    e
di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Tale punto ` inoltre
sottoposto alla forza di energia potenziale

                             Uα (x, y, z) = −αyz

                                       13
con α un parametro positivo. Si denoti con z la quota del punto P e con
                             −
                            −→
θ l’angolo che la direzione OQ forma con l’asse delle ascisse, essendo Q la
proiezione di P sul piano coordinato orizzontale.

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di
     Eulero-Lagrange.

                                                                      a
  2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le propriet` di sta-
                                          mg
          a
     bilit` al variare del parametro λ =      , limitandosi ai casi in cui esse
                                           α
     sono riconosciute dalla parte lineare.

  3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-
     ne di equilibrio stabile.

  4) Posto α = 0, si determini esplicitamente la soluzione delle equazioni
     di Eulero-Lagrange di dati iniziali
                        mg                                    ˙
             z(0) = −      ,    ˙
                                z(0) = 0,      θ(0) = 1,      θ(0) = 1.
                        k

1.20    Compito 20
Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z diretto
secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa m
` vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie di equazione z = −x−y 2 .
e
            e
Il punto P ` richiamato dall’origine O tramite una molla ideale di costante
elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di
     Eulero-Lagrange, utilizzando le coordinate cartesiane orizzontali (x, y)
     del punto P come coordinate lagrangiane.

                                                                       a
  2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le propriet` di sta-
                                           mg
          a
     bilit` al variare del parametro λ =       , limitandosi ai casi in cui esse
                                            k
     sono riconosciute dalla parte lineare. (Facoltativo: studiare anche il
                                    a            a
     caso critico in cui le propriet` di stabilit` non sono riconosciute dalla
     parte lineare).

  3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-
     ne di equilibrio stabile.




                                      14
1.21    Compito 21
Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale su un piano orizzontale.
Due sbarrette omogenee AB ed A B , di uguale massa m e lunghezza =
 √
2 3, giacciono su tale piano. La sbarretta AB ha gli estremi vincolati a
scorrere senza attrito lungo la guida circolare di raggio r = 2 e centro O =
(0, 0). Analogamente, la sbarretta A B ha gli estremi vincolati a scorrere
senza attrito lungo la guida circolare di uguale raggio e centro O = (2d, 0),
essendo d un parametro positivo. I baricentri G, G delle sbarrette AB
ed A B si attraggono attraverso una molla di costante elastica k > 0 e
lunghezza a riposo nulla. Si denotino con θ e φ gli angoli che le direzioni
−−→ −→  −
OG e O G rispettivamente formano con l’asse delle ascisse.
  1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di
     Eulero-Lagrange.

                                                                     a
  2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilit` al variare
                                                                ae
     del parametro d > 0, limitandosi ai casi in cui la stabilit` ` riconosciuta
     dalla parte lineare.

  3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-
     ne di equilibrio stabile.

1.22    Compito 22
Sia {O; x1 , x2 , x3 } un sistema di riferimento ortonormale con l’asse x3 diretto
secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa m
e
` vincolato senza attrito alla superficie di equazione

                              x2 + x2 1
                       x3 =    1    2
                                      − log x2 + x2 .
                                             1    2
                                 2     2
            e
Il punto P ` inoltre sottoposto all’azione di una forza costante F = f e1 ,
f ∈ R, essendo e1 il versore dell’asse x1 .

  1) Utilizzando le coordinate cilindriche (r, ϕ, x3 ), r > 0, ϕ ∈ [0, 2π) si
     scriva la lagrangiana del sistema. Nel caso f = 0 si individuino le po-
                                                      a
     sizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilit` al variare dei parametri
     in gioco.

  2) Si consideri il caso f = 0. Utilizzando gli integrali primi del sistema
     si discutano qualitativamente i moti del punto P . Si determini inoltre
     una soluzione periodica delle equazioni del moto.

                                       15
1.23    Compito 23
Si considerino due sistemi di riferimento ortonormali, levogiri, l’uno fisso
(O, X, Y, Z) l’altro (O, x, y, Z), libero di ruotare attorno all’asse coordinato
                e
Z. Tale asse ` orientato come la verticale ascendente. Si denoti con φ
l’angolo che l’asse coordinato x forma con l’asse coordinato X. L’angolo `     e
contato positivamente in senso antiorario a partire dall’asse X. Sul piano
x = 0 ` posto un cerchio immateriale C, di centro O e raggio di lunghezza 1.
      e
Su C si trovano due punti P1 e P2 di rispettive masse m1 ed m2 . Il punto P1
   o                                                         e
pu` scorrere liberamente sul cerchio e la sua posizione ` individuata dalla
anomalia θ, contata positivamente in senso antiorario a partire dall’ asse y.
Il punto P2 ` fisso su C in (x2 , y2 , Z2 ) = (0, 1, 0), ed ` sottoposto ad una
             e                                             e
forza schematizzata come quella di molla di costante elastica k (k > 0) e
punto di applicazione in X = Z = 0, Y = L, L > 0.

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di
     Lagrange.

  2) Si individuino le soluzioni di equilibrio.

  3) Si scelga una posizione di equilibrio stabile e in corrispondenza si
     determinino le frequenze delle piccole oscillazioni.

  4) Si determini il moto di φ in corrispondenza alle condizioni iniziali φ0 =
         ˙
     π, φ0 = 0.

1.24    Compito 24
                       e
In un piano verticale ` posta un’asta omogenea di massa M e lunghezza ,
libera di ruotare attorno ad un suo estremo fisso. Si consideri un sistema di
coordinate {O; x, y} con origine O nell’estremo fisso, asse orizzontale x ed
asse verticale y diretto secondo la verticale ascendente.
    Detto G il baricentro dell’asta, si consideri la retta immateriale (r), pas-
sante per G e perpendicolare all’asta stessa. Si orienti questa retta in modo
                                                               −→
                                                                −
                                    ˆ
tale che il corrispondente versore n si allinei alla direzione OG mediante una
rotazione oraria si π/2.
    Sia P un punto materiale di massa m libero di scorrere su (r) e sia s la
                                       −−→
                                                 ˆ            e
sua coordinata su (r), precisamente GP = s n. Il punto ` richiamato da G
tramite una molla elastica di costante k.
    Sia infine θ l’angolo che l’asta forma con l’asse verticale, contato in verso
                                                            u
antiorario, con θ = 0 corrispondente alla posizione pi` bassa dell’estremo
libero dell’asta.

                                      16
  1) Si scriva la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate (s, θ).
  2) Si determinino le posizioni di equilibrio del sistema e le relative pro-
          a            a
     priet` di stabilit` al variare del parametro positivo
                                          M +m
                                     λ=         k ,
                                          2m2 g
                                               a
       limitandosi ai casi in cui tali propriet` sono riconosciute dalla parte
       lineare.
  3) Si cambi ora problema abolendo la molla (k = 0). Si studino le posi-
                                           a            a
     zioni di equilibrio e le loro propriet` di stabilit` per la corrispondente
     lagrangiana.

1.25     Compito 25
Si consideri un piano orizzontale Π e su di esso una guida circolare C di
                                       e
centro O e raggio unitario. La guida ` immateriale. Si assuma un sistema di
riferimento ortonormale {O; x, y, z}, con asse z orientato lungo la verticale
                             e
ascendente. Su tale asse ` libero di scorrere un punto P1 di massa m1 .
Sulla guida circolare C ` libero di scorrere un punto P2 di massa m2 . Infine,
                         e
            e
sull’asse x ` libero di scorrere un punto P3 di massa m3 .
    Tra il punto P1 ed il punto P2 si esercita una forza elastica (una molla)
di costante k, k > 0. Tra il punto P2 ed il punto P3 si esercita una forza
elastica (una molla) di costante k , k > 0.
    Si denoti con θ l’anomalia angolare che il raggio vettore di P2 forma con
l’asse x. Si denoti con z la coordinata di P1 sull’asse verticale, con x la
coordinata di P3 sull’asse corrispondente.

                                         ˙ ˙ ˙
  1) Si scriva la lagrangiana L(x, θ, z, x, θ, z) del sistema, mostrando che si
     separa in due lagrangiane indipendenti,
                                ˙ ˙ ˙             ˙              ˙ ˙
                     L(z, θ, x, z, θ, x) = L1 (z, z) + L2 (θ, x, θ, x).

                                                                     ˙
  2) Si studi per primo il sistema lagrangiano di lagrangiana L1 (z, z), de-
     terminandone la soluzione generale e, in particolare, le soluzioni di
     equilibrio.
                                                                      ˙ ˙
  3) Si passi quindi allo studio del sistema di lagrangiana L2 (θ, x, θ, x), de-
                                                                              a
     terminandone le soluzioni di equilibrio ed il loro carattere di stabilit`.
  4) Scelta una soluzione di equilibrio stabile, si determinino le frequenze
     dei modi normali.

                                         17
1.26    Compito 26
Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale
con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarretta omogenea
AB, di massa m e lunghezza 2 , giace in tale piano ed ha gli estremi vincolati
                                                                       √
a scorrere senza attrito lungo una guida circolare di raggio r = 2 e
                                                                   e
centro l’origine O. Un punto materiale P di uguale massa m ` libero di
scorrere senza attrito lungo una guida rettilinea immateriale passante per
                                                e
gli estremi A e B della sbarretta. I punto P ` richiamato dal baricentro G
della sbarretta attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza
                                        −
                                       −→
a riposo nulla. Detto e il versore di GB, si denoti con ξ l’ascissa del punto
                       −−→                                         − →
                                                                     −
materiale P tale che GP = ξ e, e con θ l’angolo che la direzione OG forma
con l’asse delle ascisse.
  1) Scrivere la lagrangiana del sistema.
                                                                     a
  2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilit` al va-
                                2k
     riare del parametro α =                                               ae
                                   , limitandosi ai casi in cui la stabilit` `
                                mg
     riconosciuta dalla parte lineare.
  3) Si modifichi il problema trascurando la forza peso. Individuare due
     integrali primi del moto e mostrare come, mediante questi, l’integra-
     zione delle equazioni del moto si riconduce allo studio di un opportuno
     problema unidimensionale efficace.

1.27    Compito 27
Su un piano orizzontale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale.
Su tale piano si muovono due sbarrette omogenee di lunghezza 2 e massa m
di estremi rispettivamente A, B e B, C, incernierate tra loro in B ma libere
di ruotare senza attrito. Gli estremi A e C sono inoltre vincolati a scorrere
                                                       e
senza attrito lungo l’asse delle ascisse. L’estremo A ` richiamato dal punto
Q1 di coordinate (− , 0) attraverso una molla di costante elastica k > 0 e
                                                        e
lunghezza a riposo nulla. Analogamente, l’estremo C ` richiamato dal punto
Q2 di coordinate ( , 0) attraverso una molla di uguale costante elastica k > 0
e lunghezza a riposo nulla. Si scelgano come variabili lagrangiane l’ascissa
                                      −→
                                       −
x di B e l’angolo θ che la direzione AB forma con l’asse delle ascisse.

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le relative equazioni di Eulero-
     Lagrange.
                                                                    a
  2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilit`.

                                     18
  3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-
     ne di equilibrio stabile.

  4) Trovare se esistono condizioni iniziali per cui il moto sia armonico non
     solo per piccole oscillazioni ma anche per oscillazioni finite.

1.28   Compito 28
Una sbarra rigida omogenea pesante OA di lunghezza e massa M = 2m
e                                 e
` posta in un piano verticale ed ` libera di ruotare senza attrito attorno
al suo estremo O. Per l’altro estremo passa una guida rettilinea di massa
trascurabile ed ortogonale alla sbarra. Lungo tale guida si muove senza
                                                                e
attrito un punto materiale pesante P di massa m. Tale punto ` richiamato
dall’estremo O attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza
a riposo nulla.
                                                                         −→
    Si scelgano come variabili lagrangiane l’angolo θ che la direzione OA
forma con la verticale discendente e l’ascissa ξ del punto P lungo la guida.

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema.

                                                                     a
  2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilit` al va-
                                2k
     riare del parametro α =                                               ae
                                   , limitandosi ai casi in cui la stabilit` `
                                mg
     riconosciuta dalla parte lineare.

  3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-
     ne di equilibrio stabile.

1.29   Compito 29
Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z diretto
secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa m
e
` vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie di equazione z = xy.
            e
Il punto P ` richiamato dall’origine O tramite una molla ideale di costante
elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.

  1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate cartesiane
     orizzontali (x, y) del punto P come coordinate lagrangiane.

                                                                     a
  2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le propriet` di sta-
                                                   mg
          a
     bilit` al variare del parametro positivo λ =      , limitandosi ai casi in
                                                     k
     cui esse sono riconosciute dalla parte lineare.


                                     19
3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-
   ne di equilibrio stabile.

                       a            a
4) Studiare le propriet` di stabilit` delle posizioni di equilibrio nel caso
   critico, ovvero quando esse non sono riconosciute dalla parte lineare.




                                   20
2     Soluzioni
2.1    Soluzione Compito 1
1) Siano e1 ed e2 rispettivamente i versori degli assi coordinati orizzontale e
verticale ascendente. Si ha
                 −−→                             −→−
                 OP = cos θ e1 + sin θ e2 , OP1 = x e1 ,
                         2             2
cosicch´e
                 →
                − = − θ sin θ e + θ cos θ e , − = x e .
                vP         ˙              ˙         v→     ˙ 1
                                   1           2     P1
                        2               2
      e                             e
Poich´ il baricentro della sbarra ` fissato in O l’energia cinetica della sbarra
e
`
                                      1      M 2 ˙2
                           Tsbarra = Iω 2 =       θ ,
                                      2        6
                                2
essendo I = M − dr r2 = M3 il momento di inerzia della sbarra rispetto
              2
                     ˙           a
al baricentro ed ω = θ la velocit` angolare della sbarra. Quindi l’energia
                e
cinetica totale `
                       m− 2 m− 2 m 2                      M 2 m 2
       T = Tsbarra +      →
                         |vP | + |v→| = x +
                                   P1    ˙                   +                     ˙
                                                                                   θ2 ,
                       2        2      2                   6   8
Il punto fisso della sbarra coincide con il suo baricentro e la quota del punto
P1 non varia. Quindi l’energia potenziale ` e
                                                                       2           2
       −
       −→          −
                k −→        mg         k
U = mg OP · e2 + |P P1 |2 =    sin θ +              x−         cos θ       +           sin2 θ ,
                2            2         2                   2                   4
ovvero, a meno di una costante additiva,
                           k                 1
                      U=       x2 − x cos θ + λ     2
                                                        sin θ ,
                           2                 2
                                         2mg
avendo introdotto il parametro λ =        k .   Concludiamo che la lagrangiana
L = T − U = L2 + L0 ` e
           1           M 2 m 2         ˙    k                  1
      L=     m x2 +
               ˙          +            θ2 −      x2 − x cos θ + λ              2
                                                                                   sin θ
           2            3   4               2                  2
e le equazioni di Eulero-Lagrange sono
             m¨ = −kx + 1 k cos θ,
            
             x
            
                            2
                 M 2 m 4           ¨    1           1
                                    θ = − k x sin θ − k 2 λ cos θ.
             
             
                    +
                   3   2                 2           4

                                         21
2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema
                 
                  ∂L0 = −kx + 1 k cos θ = 0,
                 
                  ∂x
                 
                                    2
                        ∂L      1           1
                            0
                              = − k x sin θ − k 2 λ cos θ = 0,
                       
                       
                       
                          ∂θ     2           4
ovvero
                                        x=     cos θ,
                                             2
                                        (sin θ + λ) cos θ = 0.
Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni 0, ± π . Se λ ≤ 1
                                                               2
si hanno inoltre le soluzioni
                                                              π   π
                   (x± , θ± ) =     ±           1 − λ2 , −      ±   − arcsin λ               .
                                        2                     2   2

                      a                            e
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                                      −k              − 1 k sin θ
                                                        2
               H(x, θ) =                                                                         .
                                  − 1 k sin θ − 1 k x cos θ + 1 k 2 λ sin θ
                                    2           2             4

Quindi
                                     1                                                         1
           π             −k        −2k                                 π            −k         2k
    H 0,           =                                 ,        H 0, −       =
           2            −1k
                         2
                                   1 2
                                   4k λ                                2            1
                                                                                    2k       − 1 k 2λ
                                                                                               4

e
                                                          −k   −1k λ
                                                                2
                           H(x± , θ± ) =                                        ,
                                                          1
                                                         −2k λ −1k 2
                                                                4

da cui si ricava che 0, π ` instabile, 0, − π ` stabile se λ > 1 ed instabile
                        2 e                    2 e
se λ < 1, mentre le posizioni (x± , θ± ) sono stabili se λ < 1 (ovvero quando
esistono distinte da 0, − π ).
                           2
    Nel caso critico λ = 1, in cui la soluzione 0, − π biforca, la stabilit` non
                                                     2                     a
e
` riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede un autovalore
                                           o
negativo ed uno nullo). Osserviamo per` che in tal caso si ha
                                                                                         2
               k                            1                      k                             k 2
    L0 = −          x2 − x cos θ +              2
                                                    sin θ     =−       x−       cos θ        +       g(θ),
               2                            2                      2        2                     8

con g(θ) = cos2 θ − 2 sin θ = 2 − (1 + sin θ)2 . Poich´ g(θ) possiede un
                                                      e
                           π
massimo proprio in θ = − 2 , si ricava immediatamente che 0, − π ` un
                                                                 2 e


                                                         22
punto di massimo proprio di L0 . Siamo quindi nelle ipotesi del teorema di
Lagrange-Dirichlet, dunque 0, − π ` stabile anche per λ = 1.
                                 2 e

    Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-
zione 0, − π per λ > 1. Sia A la matrice dell’energia cinetica calcolata in
            2
 0, − π , ovvero
      2
                                m         0
                         A=          M 2    m 2    .
                                0     3 + 4

Posto H = H 0, − π , le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =
√                   2
  −µ± , essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica
                                                           1
                                  −k − µm                  2k
    det(H − µA) = det                 1                         M 2       m 2          =0
                                      2k        − 1 k 2λ − µ
                                                  4              3    +    4

ovvero
          M m m2            2 2        2    1      M   m           1
             +              µ +k              mλ +   +          µ − k2          2
                                                                                    = 0,
           3   4                            4      3   4           4

                        m    M        m −1
da cui, ponendo α =     4    3    +   4    ,

                              k
                  ω± =                αλ + 1 ±      (αλ + 1)2 + 4α.
                              m


                     e                                              e
3) Quando il sistema ` posto su un piano orizzontale la lagrangiana `

                        1                  M 2 m 2          k    1
              ˙ ˙
      L(x, θ, x, θ) =     mx2 +
                           ˙                  +         ˙
                                                        θ2 − x2 − k x cos θ
                        2                   3   4           2    2

e le equazioni di Eulero-Lagrange sono

                     m¨ = −kx + 1 k cos θ,
                    
                     x
                    
                                   2
                           M 2 m 2             ¨    1
                                                θ = − k x sin θ.
                    
                    
                              +
                             3   2                   2

                                               ˙             ˙             ˙
Cerchiamo le soluzioni di dati iniziali (x(0), x(0)) = (x0 , x0 ) e (θ(0), θ(0)) =
                                                  e
(0, 0). Osserviamo che la seconda equazione ` identicamente soddisfatta



                                               23
dalla funzione θ(t) ≡ 0 (che soddisfa le condizioni iniziali). Possiamo quin-
di ricercare la soluzione delle equazioni nella forma (x(t), θ(t)) = (x(t), 0).
Sostituendo si ricava che x(t) deve essere soluzione dell’equazione
                                            1
                                  m¨ = −kx + k ,
                                   x
                                            2
che ` un oscillatore armonico nella variabile y = x − 1 . Quindi la soluzione
    e                                                 2
del problema ` e     
                     
                      x(t) = + A cos         k
                                                t+φ ,
                     
                              2               m
                     
                     
                     
                     
                       θ(t) = 0,
                     

dove le costanti A > 0, φ ∈ [0, 2π) sono fissate dalle condizioni iniziali:
                          k
A cos φ = x0 − 2 , −A     m           ˙
                              sin φ = x0 .

2.2   Soluzione Compito 2
Siano e1 ed e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Si ha
               −→                 −
                                 −→
               OA = x e1 ,       OB = (x + cos θ) e1 + sin θ e2 ,

e quindi, detto G il baricentro della sbarretta,

                       −
                       −→
                       OG =      x+        cos θ e1 +          sin θ e2 ,
                                       2                   2

       e
cosicch´
                    →
                    − =
                    vG             ˙            ˙
                              x − θ sin θ e1 + θ cos θ e2 .
                              ˙
                                 2            2
                                                             e
Per il teorema di Koenig, l’energia cinetica della sbarretta `
                                       M − 2 1 2
                                          →
                                 T =     |vG | + Iω ,
                                       2        2
               M    /2                     2
essendo I =        − /2 dr r = M il momento di inerzia della sbarretta
                             2
                                 12
                              ˙ la velocit` angolare della sbarretta. Quindi
rispetto al baricentro ed ω = θ           a
                                               2       2
                   M          ˙                          ˙           M 2 ˙2
            T =          x − θ sin θ
                         ˙                         +     θ2 cos2 θ +    θ ,
                   2        2                          4             24


                                               24
da cui
                            M 2   2
                      T =           ˙       ˙˙
                              x + θ2 − sin θxθ .
                              ˙
                            2    3
                     e
L’energia potenziale `
          −
          −→          −
                   k −→     Mg         k
  U = M g OG · e2 + |OB|2 =    sin θ +   (x + cos θ)2 +                 2
                                                                            sin2 θ ,
                   2         2         2
ovvero, a meno di una costante additiva,
                            k 2               Mg
                      U=      x + k x cos θ +    sin θ.
                            2                  2
Concludiamo che la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 `
                                                   e

                 M 2   2             k
         ˙ ˙
 L(x, θ, x, θ) =         ˙       ˙˙
                   x + θ2 − sin θxθ − x2 − k x cos θ − k 2 λ sin θ,
                   ˙
                 2    3              2
                                      Mg
avendo introdotto il parametro λ =    2k .

   Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema
                   
                    ∂L0 = −kx − k cos θ = 0,
                   
                    ∂x
                   

                     ∂L
                         0
                           = k x sin θ − k 2 λ cos θ = 0,
                    
                    
                    
                       ∂θ
ovvero
                              x = − cos θ,
                              (sin θ + λ) cos θ = 0.
Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni 0, ± π . Se λ ≤ 1
                                                               2
si hanno inoltre le soluzioni
                                        π     π
             (x± , θ± ) =     1 − λ2 , − ±      − arcsin λ .
                                        2     2
                      a                            e
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                               −k           k sin θ
                H(x, θ) =                                        .
                             k sin θ k x cos θ + k 2 λ sin θ

Quindi

            π        −k k                        π          −k        −k
     H 0,       =                 ,     H 0, −         =
            2        k  k 2λ                     2          −k       −k 2 λ

                                      25
e
                                                 −k −k λ
                       H(x± , θ± ) =                             ,
                                                −k λ −k 2
da cui si ricava che 0, π ` instabile, 0, − π ` stabile se λ > 1 ed instabile
                        2 e                    2 e
se λ < 1, mentre le posizioni (x± , θ± ) sono stabili se λ < 1 (ovvero quando
esistono distinte da 0, − π ).
                           2
    Nel caso critico λ = 1, in cui la soluzione 0, − π biforca, la stabilit` non
                                                     2                     a
e
` riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede un autovalore
                                           o
negativo ed uno nullo). Osserviamo per` che in tal caso si ha

            k                                       k               k 2
      L0 = − x2 − k x cos θ − k        2
                                           sin θ = − (x + cos θ)2 +     g(θ),
            2                                       2                2
con g(θ) = cos2 θ − 2 sin θ = 2 − (1 + sin θ)2 . Poich´ g(θ) possiede un
                                                       e
massimo proprio in θ = − π , si ricava immediatamente che 0, − π ` un
                           2                                       2 e
punto di massimo proprio di L0 . Siamo quindi nelle ipotesi del teorema di
Lagrange-Dirichlet, dunque 0, − π ` stabile anche per λ = 1.
                                 2 e

    Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-
zione 0, − π per λ > 1. Sia A la matrice dell’energia cinetica calcolata in
            2
 0, − π , ovvero
      2
                                   M M     2
                            A=     M     M 2     .
                                            2       3

Posto H = H       0, − π    , le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =
√                      2
  −µ± , essendo   µ± le    radici dell’equazione caratteristica

                                      −k − µM            −k − µ M  2
          det(H − µA) = det                                           2      =0
                                      −k − µ M2         −k 2 λ − µ M3
ovvero
               M2 2 2             2             2
                   µ + Mk              λ−           µ + k 2 2 (λ − 1) = 0,
                12                              3
da cui
                             k
                  ω± =             6λ − 4 ±          36λ2 − 60λ + 28.
                             M

2.3      Soluzione Compito 3
1) Siano e1 ed e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Si ha

                   −
                   −→        x2                     →
                                                    − = xe + xxe .
                   OG = xe1 + e2 ,                  vG  ˙ 1   ˙ 2
                             2

                                            26
                                                                                   m   1      2       m
                                                      e
Il momento di inerzia della sbarretta AB rispetto a G ` I =                        2   −1 ds s    =   3.
                                      e
Quindi l’energia cinetica del sistema `

                         m − 2 1 ˙2 m
                            →                           1˙
                T =        |vG | + I θ =   (1 + x2 )x2 + θ2 .
                                                    ˙
                         2        2      2              3

Essendo
                     −→                                x2
                     OA = (x + cos θ)e1 +                 + sin θ e2 ,
                                                       2
                     e
l’energia potenziale `
                                               k                mg 2
                   U = Umolla + Upeso =          (x + cos θ)2 +    x ,
                                               2                 2
cosicch´ la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 `
       e                                    e

                          m              1˙   k               mg 2
              ˙ ˙
      L(x, θ, x, θ) =       (1 + x2 )x2 + θ2 − (x + cos θ)2 −
                                     ˙                           x .
                          2              3    2                2


   Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema
                   
                    ∂L0 = −(k + mg)x − k cos θ = 0,
                   
                    ∂x
                   

                       ∂L
                          0
                      
                            = k(x + cos θ) sin θ = 0.
                         ∂θ
Per ogni valore dei parametri si hanno le quattro soluzioni

                                     π                                    3π
                   (x1 , θ1 ) = 0,     ,            (x2 , θ2 ) =     0,        ,
                                     2                                     2

                                 k                                           k
          (x3 , θ3 ) =    −          ,0 ,             (x4 , θ4 ) =               ,π .
                              k + mg                                      k + mg
                      a                            e
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                           −k − mg             k sin θ
          H(x, θ) =                                                                       .
                            k sin θ −k sin2 θ + k(x + cos θ) cos θ

Quindi

                     −k − mg k                                            −k − mg −k
   H(x1 , θ1 ) =                           ,        H(x2 , θ2 ) =                                 ,
                        k    −k                                             −k    −k

                                               27
                                            −k − mg      0
             H(x3 , θ3 ) = H(x4 , θ4 ) =               k2                 ,
                                               0    − k+mg + k
da cui si ricava che (x1 , θ1 ) e (x2 , θ2 ) sono stabili mentre (x3 , θ3 ) e (x4 , θ4 )
sono instabili.

    Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla po-
sizione (x1 , θ1 ). Sia A la matrice dell’energia cinetica calcolata in (x1 , θ1 ),
ovvero
                                       m 0
                               A=                .
                                       0 m  3
Posto H = H(x1 , θ1 ), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =
√
  −µ± , essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica

                                     −k − mg − mµ    k
           det(H − µA) = det                                       m    =0
                                           k      −k −             3µ
ovvero
                    m2 2 m
                        µ + (4k + mg)µ + mgk = 0,
                      3    3
da cui, posto λ = mg ,
                  k

                                                √
                                k     4+λ±          λ2 − 4λ + 16
                      ω± =                                       .
                                m                    2


2) Essendo
                     −→
                      −                          x2
                     OB = (x − cos θ)e1 +           − sin θ e2 ,
                                                 2
                                                         e
l’energia potenziale del sistema con la molla aggiuntiva `
           k               k               mg 2 2k + mg 2
      U=     (x + cos θ)2 + (x − cos θ)2 +    x =      x + k cos2 θ,
           2               2                2      2
cosicch´ la lagrangiana L = T − U `
       e                          e

                               ˙ ˙                            ˙
                       L(x, θ, x, θ) = L(1) (x, x) + L(2) (θ, θ)
                                                ˙

con
                                     m               2k + mg 2
                   L(1) (x, x) =
                            ˙          (1 + x2 )x2 −
                                                ˙           x
                                     2                  2
                            ˙        m ˙2
                   L(2) (θ, θ) =       θ − k cos2 θ.
                                     6

                                           28
             e
Il problema ` completamente separato nei due problemi unidimensiona-
li di lagrangiane L(1) ed L(2) . Sono quindi integrali primi del moto le
corrispondenti energie
                                       m               2k + mg 2
                     E1 (x, x) =
                            ˙            (1 + x2 )x2 +
                                                  ˙           x
                                       2                  2
                            ˙          m ˙2
                     E2 (θ, θ) =         θ + k cos2 θ.
                                       6
                                                        ˙
Consideriamo i moti sul livello E1 (x, x) = E1 , E2 (θ, θ) = E2 . Se E1 = 0 il
                                       ˙
                        e
moto della coordinata x ` stazionario: x(t) = 0; se E1 > 0 il moto di x `   e
periodico di periodo

                  x+ (E1 )
                                       m(1 + x2 )                                     2E1
 T1 (E1 ) = 2                dx                      ,                 x± (E1 ) =           .
                 x− (E1 )          2E1 − (2k + mg)x2                                2k + mg

Se E2 = 0 il moto della coordinata θ ` stazionario: θ(t) = π o θ(t) = 3π . Se
                                     e                     2           2
0 < E2 < k il moto di θ ` periodico attorno a θ = π od a θ = 3π , di uguale
                         e                          2           2
periodo
                   θ+ (E1 )
                                         m                                                E2
  T2 (E2 ) = 2                dθ                    ,               θ± (E1 ) = ± arccos      .
                 θ− (E1 )          6(E2 − k cos2 θ)                                       k

                          e
Se E2 = k il moto di θ ` stazionario, θ(t) = 0 o θ(t) = π, oppure lungo
un’orbita eteroclina che connette tali punti. Infine, se E2 > k, il moto di θ
e
` periodico con rotazioni complete della barretta di periodo
                                           2π
                                                                m
                        T2 (E2 ) =              dθ                         .
                                       0                  6(E2 − k cos2 θ)

                                                         e
Per avere moti periodici non banali del sistema completo ` necessario che le
energie E1 ≥ 0 ed E2 ≥ 0, E2 = k, siano scelte in modo tale che esistano
interi N, M per cui N T1 (E1 ) = M T2 (E2 ).

2.4   Soluzione Compito 4
Siano e1 , e2 ed e3 i versori degli assi coordinati x, y e z rispettivamente. Si
ha
             −
            −→                               −
                                            −→
            OP1 = cos ϕ e1 + sin ϕ e2 ,     OP2 = sin θ e2 + cos θ e3 .
                               e
L’energia cinetica del sistema `
                               m − 2              m 2 ˙2
                      T =                v→
                                 |v→| + |− 2 |2 =
                                   P1     P         ˙
                                                    ϕ +θ ,
                               2                  2

                                                     29
                            e
mentre l’energia potenziale `
                                        −→
                                     k −− 2           −
                                                     −→ −→  −
            U    = Umolla + Upeso =    |P1 P2 | + mg OP1 + OP2 · e3
                                     2
                 = −k sin ϕ sin θ + mg cos θ + costante,

cosicch´ la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 `
       e                                    e
                                  m 2 ˙2
                        ˙ ˙
                L(ϕ, θ, ϕ, θ) =     ϕ + θ + k sin ϕ sin θ − mg cos θ.
                                    ˙
                                  2

   Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema

                   ∂L0 = k cos ϕ sin θ = 0,
                  
                  
                   ∂ϕ
                  

                        ∂L0
                       
                             = k sin ϕ cos θ + mg sin θ = 0.
                       
                       
                          ∂θ
Per ogni valore dei parametri si hanno le otto soluzioni
                                                      π
  (ϕi , θi ) = (0, 0), (0, π), (π, 0), (π, π),           , − arctan λ ,
                                                       2
                      π                  π                          π
                     − , arctan λ ,        , π − arctan λ , − , π + arctan λ ,
                      2                  2                          2
                         (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),
                       k
avendo posto λ =       mg .                         a                            e
                              Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                                  −λ sin ϕ sin θ    λ cos ϕ cos θ
            H(ϕ, θ) = mg                                                           .
                                  λ cos ϕ cos θ −λ sin ϕ sin θ + cos θ

Si ha
                                     0        λ cos ϕi cos θi
        H(ϕi , θi ) = mg                                            ,     i = 1, 2, 3, 4,
                              λ cos ϕi cos θi        0

                                λ2 cos θi       0
          H(ϕi , θi ) = mg                  2 + 1) cos θ        ,       i = 5, 6, 7, 8.
                                    0     (λ             i

Essendo det H(ϕi , θi ) = −k 2 per i = 1, 2, 3, 4 e cos θi > 0 se i = 5, 6, le prime
sei posizioni di equilibrio sono instabili. Viceversa, cos θi < 0 se i = 7, 8,
dunque gli equilibri (ϕ7 , θ7 ) e (ϕ8 , θ8 ) sono stabili.



                                            30
    Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-
zione (ϕ7 , θ7 ) = π , π − arctan λ . La matrice dell’energia cinetica ` costan-
                   2                                                   e
te
                                       m 0
                                A=              .
                                        0 m
Poich´ sia la matrice A che H(ϕ7 , θ7 ) sono diagonali, le frequenze delle
      e
piccole oscillazioni si determinano immediatamente:

                                                   k         λ
                    ω− =      −gλ2 cos θ7 =             √        ,
                                                   m        λ2+1

                                                                √
                                                        k           λ2 + 1
                   ω+ =     −g(λ2   + 1) cos θ7 =                          ,
                                                        m            λ

essendo gλ =   k
                   e (cos θ7 , sin θ7 ) =   √ −1 , √ λ      .
               m                             λ2 +1  λ2 +1


2.5   Soluzione Compito 5
Le coordinate assolute e le coordinate del sistema solidale sono legate da
                          
                           x = ξ cos φ − η sin φ
                             y = ξ sin φ + η cos φ
                             z=ζ
                          

Quindi                                                       
                       ξ cos φ                          L cos φ
                −
                −→                               −
                                                 −→ 
                OP =   ξ sin φ  ,               OQ =   L sin φ 
                         a 2                             a 2
                         2ξ                              2L
                                               e
Ne consegue che l’energia cinetica del sistema `

                            m                ˙
                                             φ2
                     T =                ˙
                              (1 + ξ 2 )ξ 2 + (mξ 2 + M L2 ),
                            2                2
                       e
e l’energia potenziale `
                                            m
                                     U=       gaξ 2 .
                                            2
Quindi la lagrangiana si scrive

                     m                ˙
                                      φ2               m
               L=                ˙
                       (1 + ξ 2 )ξ 2 + (mξ 2 + M L2 ) − gaξ 2 .
                     2                2                2


                                            31
           a
La ciclicit` di φ comporta l’esistenza dell’integrale primo
                                   ˙
                               P = φ(mξ 2 + M L2 ).

Si conserva inoltre l’energia meccanica

                    m                ˙
                                     φ2               m
              E=                ˙
                      (1 + ξ 2 )ξ 2 + (mξ 2 + M L2 ) − gaξ 2 .
                    2                2                2
Fissato il livello P = k, il sistema ristretto ha quindi lagrangiana

                ˆ m           ˙    m              k2
                L = (1 + ξ 2 )ξ 2 − gaξ 2 −
                   2               2        2(mξ 2 + M L2 )

Gli equilibri sono assegnati dai punti critici di

                         ˆ     m              k2
                         L0 = − gaξ 2 +                 ,
                               2        2(mξ 2 + M L2 )

ovvero le soluzioni di
                                          k2
                         ξm −ga +                     =0
                                    (mξ 2 + M L2 )2

che sono
                                          1   |k|
                   ξ = 0,       ξ± = ±        √ − M L2
                                          m    ga
Ovviamente la soluzione ξ = 0 esiste per ogni valore di k, mentre ξ± esistono
         |k|
solo se √ga > M L2 , cio` se λ > 1. Per conoscere la stabilit` delle soluzioni
                        e                                    a
                                                 ˆ
di equilibrio esaminiamo la derivata seconda di L0 . Si ha
              ˆ
           d2 L0                 k2               k 2 mξ 2
                 = −m ag +                 −4
            dξ 2           (mξ 2 + M L2 )2    (mξ 2 + M L2 )3

                e
Quindi ξ = 0 ` un massimo propio per λ < 1 e quindi equilibrio stabile,
        e
mentre ` un minimo proprio per λ > 1, quindi equilibrio instabile. Al
contrario, quando ξ± esistono (cio` per per λ > 1) sono massimi per L0
                                     e                                    ˆ
                                                           e
e quindi equilibri stabili. Per λ = 1, l’equilibrio ξ = 0 ` multiplo, quindi
                      e                               a
la derivata seconda ` nulla e l’esame della stabilit` abbisogna di ulteriori
                      o
investigazioni. Si pu` facilmente vedere dal grafico dell’energia potenziale
                                     e
che in effetti, in questo caso, ξ = 0 ` equilibrio stabile.



                                         32
2.6   Soluzione Compito 6
                                                       e
La relazione tra coordinate solidali e coordinate fisse ` data da
                          
                           x = ξ cos φ − η sin φ
                             y = ξ sin φ + η cos φ
                             z=ζ
                          

                                                 o
Quindi, il generico punto solidale al cerchio pu` essere individuato tramite
le coordinate              
                            x = R cos χ cos φ
                               y = R cos χ sin φ
                               z = R sin χ
                           

Al variare di χ tra 0 e 2π otteniamo tutti i punti del cerchio. Le coordinate
del punto P , libero di muoversi sul cerchio sono invece
                            
                             x = R cos ψ cos φ
                               y = R cos ψ sin φ
                               z = R sin ψ
                            

                               e
L’energia cinetica del cerchio ` puramente rotazionale. Si ha
                          ˙
                          φ2 3          2π
                                                          R2 ˙ 2
                   TC =     R µ              cos2 χdχ =     Mφ .
                          2         0                     4
                               e
L’energia cinetica del punto P `
                                 R2   ˙           ˙
                          TP =      m(φ2 cos2 ψ + ψ 2 ).
                                 2
                            e
Infine, l’energia potenziale `
                                                  K 2 R2
                       V = mgR sin ψ +                   cos2 ψ.
                                                    2
Pertanto
           R2 ˙ 2 R2   ˙           ˙                   K 2 R2
      L=     Mφ +    m(φ2 cos2 ψ + ψ 2 ) − mgR sin ψ −        cos2 ψ
           4      2                                      2
Quindi le equazioni di Lagrange sono
         
          d [R2 ( M + m cos2 )φ] = 0
                               ˙
          dt
         
                    2
            d
                     ˙          ˙
                [R2 mψ] = −R2 (mφ2 − K) cos ψ sin ψ − mgR cos ψ
           
           
           
             dt

                                             33
da cui gli integrali primi,
                  M               ˙
   P   =     R2 (   + m cos2 ψ)φ ,
                  2
            R2 ˙ 2 R2         ˙         ˙                   K 2 R2
   E =         Mφ +       m(φ2 cos2 ψ + ψ 2 ) + mgR sin ψ +        cos2 ψ.
            4          2                                      2
                            ˙
In particolare, eliminando φ dalla prima equazione, equivalentemente otte-
niamo
     ˙               P
    φ =       2 ( M + m cos2 ψ)
                                ,
            R 2
             R2 ˙ 2             K 2 R2                  P2
    E =        mψ + mgR sin ψ +        cos2 ψ +                     .
             2                    2             2R2 ( M + m cos2 ψ)
                                                      2
                                                                ˙
Consideriamo ora i moti corrispondenti alla condizione iniziale φ(0) = 0.
Essi soddisfano allora le condizioni
                P  = 0,
                       R2 ˙ 2                   K 2 R2
               E =        mψ ) + mgR sin ψ +           cos2 ψ,
                        2                          2
     o                 e
perci` la coordinata ψ ` governata dalla stessa legge del moto unidimensio-
nale di lagrangiana ridotta
                      R2 ˙ 2                  K 2 R2
                    Lr = mψ − mgR sin ψ −            cos2 ψ
                       2                        2
Basta quindi, per conoscere il comportamento delle orbite, studiare la fun-
zione V . Si ha
                                        K 2 R2
                     V = cos ψ[mgR −           sin ψ],
                                           2
quindi abbiamo sempre i due equilibri
                                        π
                                ψ1,2 = ± .
                                        2
             mg
Se poi λ := KR < 1 si aggiungono gli equilibri
                              mg                       mg
                 ψ3 = arcsin      , ψ4 = π − arcsin
                              KR                      KR
Si ha infine
                  V = −KR2 {sin ψ[λ − sin ψ] − cos2 ψ}.
             e                                      e
Dunque ψ1 ` stabile se λ < 1 instabile se λ > 1, ψ1 ` stabile. Nel caso λ < 1
si vede subito che ψ3,4 sono minimi per V e quindi stabili. Il grafico di V nei
due casi λ < 1 e λ > 1 permette subito di tracciare i corrispondente grafici
delle orbite delle soluzioni nel piano delle fasi.

                                     34
2.7      Soluzione Compito 7
1) Si ha
                       −
                      −→ −  −→ −→ −              −→ −
                                                  −    −→ −→ −
                      OP2 = OG + GP2 ,           OP1 = OG + GP1
     −
    −→      −
           −→
con GP1 = −GP2 a causa del vincolo. Quindi, posto
                                  d− −→                d −→−
                           vG =      OG,          v=      GP2 ,
                                  dt                   dt
                               e
l’energia cinetica del sistema `
                      m             m
               T =      |v G + v|2 + |v G − v|2 = m|v G |2 + m|v|2 .
                      2             2
Ma
                             −
                             −→
                             OG = R cos θ i + sin θ j
mentre
            −    −
           − → −→ − →  −
           GP2 = GH + HP2 = sin ψ cos ϕ i + sin ϕ j + cos ψ k

da cui
                               ˙
                       T = mR2 θ2 + m       2                   ˙
                                                sin2 ψ ϕ2 + m 2 ψ 2
                                                       ˙
                     e
L’energia potenziale `
                          −→
                       K −− 2        −→
                                     −−
                V =      |Q1 P1 | + |Q2 P2 |2 + mg (zP1 + zP2 ) .
                       2
Ma
                            −→ −
                            −−      −→ −→−                 −−
                                                           −→ −    −→ −→−
          zP1 = −zP2 ,      Q2 P2 = OG + GH,               Q1 P1 = OG − GH
per cui
                       −
                       −→       −
                               −→
                V = K |OG|2 + |GH|2 = K R2 +                      2
                                                                      sin2 ψ

Quindi, trascurando la costante additiva KR2 , la lagrangiana del sistema `
                                                                          e
                       ˙
               L = mR2 θ2 + m     2                    ˙
                                       sin2 ψ ϕ2 + m 2 ψ 2 − K
                                              ˙                        2
                                                                           sin2 ψ

Le variabili θ e ϕ sono cicliche. Abbiamo quindi i tre integrali primi dell’e-
nergia E e degli impulsi coniugati pθ e pϕ ,
                      ˙
              E = mR2 θ2 + m       2                   ˙
                                       sin2 ψ ϕ2 + m 2 ψ 2 + K
                                              ˙                        2
                                                                           sin2 ψ
                      ∂L        ˙                    ∂L
               pθ =      = 2mR2 θ,          pϕ =        = 2m      2
                                                                      sin2 ψ ϕ
                                                                             ˙
                       ˙
                      ∂θ                              ˙
                                                     ∂ϕ

                                            35
2) Inserendo gli integrali primi degli impulsi nell’integrale dell’energia tro-
                                                     e
viamo che, per ogni moto (θ(t), ϕ(t), ψ(t)), la ψ(t) ` soluzione del problema
unidimensionale di energia

                                  p2     p2ϕ
                        ˙
                 E = m 2ψ2 +       θ
                                     +            +K                 2
                                                                         sin2 ψ
                                 4mR2 4m 2 sin2 ψ

La soluzione completa si ottiene quindi dagli integrali primi degli impulsi:

                      pθ                                         t                 p2
                                                                                    ϕ
   θ(t) = θ(t0 ) +        (t − t0 ),    ϕ(t) = ϕ(t0 ) +              ds           2 sin2 ψ(s)
                     2mR2                                       t0        2m


                                                         p2
3) Sia ora pϕ = 0. A meno del termine costante            θ
                                                        4mR2
                                                             ,       il potenziale efficace
e
` dato dalla funzione

                          2      λ                                p2
                                                                   ϕ
          Veff (ψ) = K                + sin2 ψ ,        λ=                       > 0,
                              sin2 ψ                            4Km         4


definita sull’aperto (0, π) e simmetrica rispetto a π . Si ha Veff (ψ) → +∞ per
                                                   2
ψ → 0+ o ψ → π − . Per λ ≥ 1 vi ` un minimo in ψ = π , mentre se 0 < λ < 1
                                  e                     2
si hanno tre punti critici ψ1 < π < ψ2 di cui ψ1 , ψ2 sono di minimo e π
                                  2                                          2
` di massimo. Quindi per λ ≥ 1 tutte le orbite sono chiuse (una soluzione
e
stazionaria stabile e moti periodici attorno ad essa), mentre per 0 < λ < 1
si hanno sia orbite aperte (corrispondenti ai moti a meta asintotica verso la
posizione di equilibrio instabile) che orbite chiuse (le soluzioni stazionarie
ed i moti periodici attorno ad una delle due posizioni di equilibrio stabili
oppure attorno ad entrambe).


4) Sia ψ(t) = ψ0 una delle soluzioni stazionarie del moto unidimensionale.
Allora

                  pθ                                   p2
                                                        ϕ
θ(t) = θ(t0 )+        (t−t0 ),   ϕ(t) = ϕ(t0 )+        2 sin2 ψ
                                                                 (t−t0 ),              ψ(t) = ψ0
                 2mR2                             2m           0

e                                                              e
` soluzione periodica del sistema lagrangiano completo purch´ il rapporto
                               pθ             p2
                                               ϕ
ωθ /ωϕ tra le frequenze ωθ = 2mR2 e ωϕ = 2m 2 sin2 ψ sia razionale.
                                                            0




                                        36
2.8    Soluzione Compito 8
1) Si ha                        
                                 X = x cos φ
                                  Y =y
                                  Z = −x sin φ
                                

                                                                     M 2
Quindi, detto I il momento di inerzia dell’asta rispetto ad r (I =   12 L ),   si
ha
          I ˙2 m 2 ˙2                          K
     L=     φ + (x φ + x2 + y 2 ) + mgx sin φ − (x2 + y 2 + 2x sin φZ0 )
                       ˙    ˙
          2    2                               2
Si vede quindi che si tratta di due problemi disaccoppiati
                                       m 2 K 2
                                L1 =     y − y
                                         ˙
                                       2    2
ed
             I ˙2 m 2 ˙2                             K
      L2 =     φ + (x φ + x2 ) + (mg − KZ0 )x sin φ − x2 = T + U
                          ˙
             2    2                                  2

                e
2) Il moto di y ` quindi assegnato da

                                                       K
                   y(t) = A cos ωt + B sin ωt,    ω=     ,
                                                       m
   e
cio´ un oscillatore armonico.

3) Passiamo allo studio di L2 . Gli equilibri relativi sono assegnati dalle
soluzioni del sistema

                    ∂U = −(mg − KZ ) sin φ − Kx = 0
                   
                   
                    ∂x
                                     0

                    ∂U
                        = −(mg − KZ0 )x cos φ = 0
                   
                   
                   
                     ∂φ
Si ricordi la definizione del parametro λ;
                                       mg − KZ0
                                λ=
                                          K




                                        37
Per λ = 0 si hanno i seguenti equilibri:

                          (I) : (x1 , φ1 ) = (0, 0)
                          (II) : (x2 , φ2 ) = (0, π)
                                                      π
                          (III) : (x3 , φ3 ) = − λ,
                                                      2
                                                    π
                          (IV ) : (x4 , φ4 ) = λ, −
                                                    2


Se λ = 0 gli equilibri sono un continuum:

                             (V ) : (0, φ),     φ ∈ [0, 2π).

Naturalmente gli equilibri del sistema con Lagrangiana totale L sono iden-
                                                              a
tificati da quanto sopra scritto e y = 0 Passiamo alla stabilit` degli equilibri
per λ = 0. Ovviamente le parti quadratiche di L1 , L2 sono disaccoppiate,
     o
perci` dobbiamo esaminare solo lo Hessiano di U,

                                           −1     +λ cos φ
                     H(x, φ) := K
                                         +λ cos φ λx sin φ

nei vari casi. Nei casi (I) e (II) si ha

                                     det H < 0,

dunque (I) e (II) sono instabili. Nei casi (III) e (IV) si ha

                   det H = K 2 λ2 ,           TrH = −K(1 + λ2 ),

e quindi (III) e (IV) sono stabili.

4) Il caso λ = 0 presenta una degenerazione. Per λ = 0 la lagrangiana L2 si
riduce a
                           I ˙    m     ˙         K
                     L2 = φ2 + (x2 φ2 + x2 ) − x2
                                            ˙
                           2      2                2
e quindi
                                ˙       c
                               φ=
                                    I + mx2
essendo c la costante asssegnata dalle condizioni iniziali L’evoluzione della
              e
coordinata x ` assegnata dalla legge di conservazione

                              2    Kx2       c2
                      x2 =
                      ˙         E−     +
                              m     2    2(I + mx2 )

                                           38
essendo E l’energia del sistema di lagrangiana L2 . Si ha quindi per I <
     mc2                                                                      2
      Kuna doppia buca di potenziale, mentre per I ≥ mc una buca con
                                                          K
un solo minimo. Si completi tracciando il grafico delle curve integrali nello
spazio delle fasi.

2.9        Soluzione Compito 9
1) Fissato un riferimento cartesiano sul piano Π di origine O ed asse verticale
ascendente, i punti P e G hanno rispettivamente coordinate ( cos ϕ, sin ϕ)
ed (s cos ϕ, s sin ϕ). Quindi, detto I il momento di inerzia del disco rispetto
all’asse ortogonale al piano Π e passante per il baricentro, la lagrangiana del
         e
sistema ` L = L1 + L2 con
              1                         K
       L1 =     (M s2 + m 2 )ϕ2 + M s2 − (s − )2 − g sin ϕ(M s + m )
                             ˙      ˙
              2                         2
ed
                                                  I ˙2
                                         L2 =       ψ .
                                                  2
               e                                  ˙
Il moto di ψ ` quindi ψ(t) = ψ(0) + ω0 t con ω0 = ψ(0) la velocita angolare
iniziale del disco.

2) Le posizioni di equilibrio per la lagrangiana L1 sono le soluzioni del
sistema
                         −g cos ϕ(M s + m ) = 0,
                         −K(s − ) − M g sin ϕ = 0.
Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni

                           π     Mg                                   3π     Mg
            (ϕ1 , s1 ) =     , −             ,        (ϕ2 , s2 ) =       , +           .
                           2     K                                     2     K

Quando λ ∈ (0, 1] si hanno inoltre le soluzioni

                                     m                                                 m
       (ϕ3 , s3 ) =    arcsin λ, −       ,        (ϕ4 , s4 ) =       π − arcsin λ, −
                                     M                                                 M

                                                                              a
(se λ = 1 allora (ϕ1 , s1 ) = (ϕ3 , s3 ) = (ϕ4 , s4 )). Studiamone la stabilit`; la
matrice hessiana del potenziale `   e

                                     g sin ϕ(M s + m ) −M g cos ϕ
                      H(ϕ, s) =
                                         −M g cos ϕ      −K



                                                 39
Quindi
                      2 g 2 (1−λ)                                        2 g 2 (1+λ)
                 −M                  0                              −M                  0
 H(ϕ1 , s1 ) =           K               ,        H(ϕ2 , s2 ) =            K
                         0          −K                                    0            −K

                                  0       −M g cos ϕi
           H(ϕi , si ) =                              ,              i = 3, 4.
                              −M g cos ϕi   −K
Ricaviamo quindi che (ϕ1 , s1 ) ` stabile se λ ∈ (0, 1) ed instabile se λ > 1,
                                  e
           e
(ϕ2 , s2 ) ` stabile per ogni λ > 0, mentre (ϕi , si ), i = 3, 4, sono instabili per
λ ∈ (0, 1).

                                                   e
3) La matrice dell’energia cinetica relativa ad L1 `

                                         M s2 + m     2   0
                             A(ϕ, s) =                          .
                                              0           M

Consideriamo l’equilibrio stabile (ϕ1 , s1 ), λ ∈ (0, 1); le matrici A(ϕ1 , s1 ) ed
H(ϕ1 , s1 ) sono diagonali e quindi calcoliamo subito le frequenze,

                   (1)          M 2 g 2 (1 − λ)           (2)       K
                 ω1 =                           ,         ω1 =        .
                               K(M s2 + m 2 )
                                       1                            M

Analogamente, per l’equilibrio stabile (ϕ2 , s2 ), λ > 0, otteniamo

                   (1)          M 2 g 2 (1 + λ)           (2)       K
                 ω2 =                           ,         ω2 =        .
                               K(M s2 + m 2 )
                                       2                            M

2.10     Soluzione Compito 10
1) Sia {O; x, y, z} un sistema solidale a Π, tale che z = Z e l’asse delle ascisse
  e
x ` diretto lungo V . Si ha allora
                            
                             X = x cos φ − y sin φ
                              Y = x sin φ + y cos φ
                              Z=z
                            

      e
Poich´ le coordinate di P nel sistema solidale sono x = R + r cos θ, y = 0 e
z = r sin θ, ne consegue che le coordinate inerziali di P sono
                         
                          X = (R + r cos θ) cos φ
                            Y = (R + r cos θ) sin φ
                            Z = r sin θ
                         


                                             40
                                               e
Di qui si ricava subito che l’energia cinetica `
                             m                ˙       ˙
                      T =      (R + r cos θ)2 φ2 + r2 θ2 .
                             2
                                e
Il potenziale dovuto alla molla `

                       Umolla = −kRr cos θ + kdr sin θ,

                                     e
mentre quello dovuta alla forza peso `

                          Upeso = −mgY = −mgr sin θ.

Con le richieste fatte su d (kd = mg) si ha allora

                      U = Umolla + Upeso = −kRr cos θ.

                      e
Quindi la lagrangiana `
                           m                ˙       ˙
           L=T +U =          (R + r cos θ)2 φ2 + r2 θ2 − kRr cos θ.
                           2

2) Si vede che resta conservato l’impulso coniugato a φ,
                                                 ˙
                             p = m(R + r cos θ)2 φ,

          e
per cui φ ` ciclica. Sostituendo nell’integrale primo dell’energia,
                           m                ˙       ˙
           E =T −U =         (R + r cos θ)2 φ2 + r2 θ2 + kRr cos θ,
                           2
troviamo
                     m 2 ˙2                    p2
                E=     r θ + kRr cos θ +                  ,
                     2                   2m(R + r cos θ)2
                                            e
da cui ricaviamo che la lagrangiana ridotta `

                          m 2 ˙2                    p2
             Lridotta =     r θ − kRr cos θ −                  .
                          2                   2m(R + r cos θ)2


3) Denotando con Ueff il potenziale efficace,

                                                  p2
                   Ueff = −kRr cos θ −                        ,
                                            2m(R + r cos θ)2


                                       41
si ha
                     dUeff              rp2
                          = kRr −                 sin θ.
                      dθ          m(R + r cos θ)3
Si hanno sempre i punti critici

                               θ1 = 0,        θ2 = π.

Gli altri punti critici sono le soluzioni di
                                                   1/3
                                    1    p2
                          cos θ =                        −R ,
                                    r   mkR
ovvero
                                        1/3
                         1  p2                    R
             θ3 = arccos                      −     ,      θ4 = 2π − θ3 ,
                         r mkR                    r
che esistono se e solo se A1 ≤ |p| ≤ A2 dove

              A1 =      mkR(R − r)3 ,          A2 =       mkR(R + r)3 .

(in particolare, se |p| = A1 allora θ2 = θ3 = θ4 , mentre se |p| = A2 allora
θ1 = θ3 = θ4 ). Infine si ha

                         d2 Ueff                 p2
                                (θ1 ) = kR −           ,
                          dθ2                m(R + r)3

                         d2 Ueff            p2
                                (θ2 ) =           − kR
                          dθ2           m(R − r)3
e, se A1 ≤ |p| ≤ A2 ,

                d2 Ueff         d2 Ueff            3r2 p2 sin2 θ3
                       (θ3 ) =        (θ4 ) = −                   .
                 dθ2            dθ2             m(R + r cos θ3 )4
Quindi
    i) se |p| ≤ A1 allora θ1 ` instabile e θ2 ` stabile.
                             e                 e
    ii) se |p| ≥ A2 allora θ1 ` stabile e θ2 ` instabile.
                              e              e
    iii) se A1 < |p| < A2 allora θ1 e θ2 sono instabili mentre θ3 e θ4 sono
stabili.
    Si osservi che nel caso critico |p| = A1 (rispettivamente |p| = A2 ) si ha
Ueff (θ2 ) = 0 (rispettivamente Ueff (θ1 ) = 0). Possiamo comunque affermare
                                        e              e                      e
che il punto θ2 (rispettivamente θ1 ) ` stabile poich` si vede facilmente che `
un punto di massimo proprio del potenziale, per cui siamo nelle ipotesi del
Teorema di Lagrange-Dirichlet.

                                         42
4) Ovviamente, in corrispondenza ai punti critici θi , i = 1, 2, 3, 4, del poten-
ziale efficace troviamo le soluzioni periodiche (θi , φi (t)) del sistema completo
con
                                       p
                      φi (t) =                   t + φ0 .
                               m(R + r cos θi )2

2.11    Soluzione Compito 11
1) Siano e1 ed e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Si ha
                 −
                 −→                    −
                                       −→
                 OC = xe1 − x2 e2 ,    QC = xe1 − (1 + x2 )e2 ,
 −
−→                                           −
                                            −→
OP1 = (x+cos ϕ)e1 +(−x2 +sin ϕ)e2 ,         OP2 = (x−cos ϕ)e1 −(x2 +sin ϕ)e2 ,
e quindi
                  v→
                  − = (x − ϕ sin ϕ)e + (−2xx + ϕ cos ϕ)e ,
                       ˙   ˙                 ˙   ˙
                   P1               1                    2
                    →
                   − = (x + ϕ sin ϕ)e − (2xx + ϕ cos ϕ)e .
                   v     ˙   ˙             ˙   ˙
                    P2                  1                     2

                   e
L’energia cinetica `
                         m − 2 − 2
                 T =       v→ + v→ = m (1 + 4x2 )x2 + ϕ2
                            P1   P2              ˙    ˙
                         2
                                       e
L’energia potenziale dovuta alla molla `
                                  −→
                               K − 2 K 2
                    Umolla =     |QC| =   x + (1 + x2 )2 ,
                               2        2
                                     e
mentre quella dovuta alla forza peso `

   Upeso = mg yP1 + yP2 = mg − x2 + sin ϕ − x2 − sin ϕ = −2mgx2 ,

Quindi, a meno di una costante additiva, l’energia potenziale totale U =
               e
Umolla + Upeso `
                                K
                   U = U (x) =    (3 − 4λ)x2 + x4 .
                                2
La lagrangiana L = T − U si decompone come richiesto essendo

           L(1) (x, x) = m(1 + 4x2 )x2 − U (x),
                    ˙               ˙                 L(2) (ϕ, ϕ) = mϕ2 .
                                                               ˙     ˙


                                 e                           ¨
2) L’equazione di Lagrange per ϕ ` quella di un moto libero (ϕ = 0), da cui

                                             ˙
                               ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ(0)t.


                                       43
3) Il moto della variabile x si determina qualitativamente utilizzando l’inte-
grale primo dell’energia generalizzata

                       ∂L(1)
         E(x, x) = x
              ˙    ˙         (x, x) − L(1) (x, x) = m(1 + 4x2 )x2 + U (x).
                                 ˙             ˙               ˙
                         ˙
                        ∂x
Osserviamo che U (x) → +∞ se |x| → +∞, cosicch` tutti i moti sono
                                                          e
limitati. Distinguiamo due casi:
    i) λ ≤ 3/4. L’energia potenziale U possiede un unico punto di minimo
in x = 0. Esiste quindi un unico insieme di livello critico, quello di energia
E0 = U (0) = 0, costituito dal singolo punto (0, 0), che rappresenta la curva
di fase della soluzione stazionaria x(t) ≡ 0. Ogni insieme di livello di energia
         e
E > E0 ` costituito da una curva di fase chiusa che corrisponde ad un moto
periodico.
    ii) λ > 3/4. L’energia potenziale U possiede un punto di massimo
relativo in x = 0 e due punti di minimo assoluto in

                                              4λ − 3
                                x± = ±               .
                                                2
Si hanno due insiemi di livello critici di energia E1 = U (x− ) = U (x+ ) < 0
                                  e
ed E0 = U (0) = 0. Il primo ` costituito dall’unione dei punti (x− , 0) ed
(x+ , 0), curve di fase delle soluzioni stazionarie x− (t) ≡ x− ed x+ (t) ≡ x+
rispettivamente. Gli insiemi di livello di energia E1 < E < E0 sono l’unione
di due curve di fase chiuse corrispondenti a soluzioni periodiche attorno alle
posizioni di equilibrio x± . L’insieme di livello critico di energia E = E0 `e
invece l’unione di tre curve di fase, il punto (0, 0), relativo alla soluzione
stazionaria x(t) ≡ 0, e le due curve aperte corrispondenti ai moti a meta
asintotica verso x = 0. Infine gli insiemi di livello di energia E > E0
sono costituiti da un’unica curva di fase chiusa, corrispondente ad un moto
periodico.

4) Se λ = 1 le posizioni di equilibrio stabili sono x± = ± 1/2. Per simme-
                  e
tria la frequenza ` la stessa per entrambe; per fissare la notazione conside-
                                   ˙
riamo la posizione x+ . Posto (ξ, ξ) = (x − x+ , x), la lagrangiana quadratica
                                                  ˙
attorno a x+ `e

                 ˙               ˙    1               ˙
            L(ξ, ξ) = m(1 + 4x2 )ξ 2 − U (x+ )ξ 2 = 3mξ 2 − Kξ 2
                              +
                                      2
da cui
                                              K
                                    ω=           .
                                              3m

                                         44
5) Se si esclude la molla l’energia potenziale si riduce ad U (x) = −2mgx2 ,
cosicch`, a parte la soluzione stazionaria x(t) ≡ 0, tutti gli altri moti di
       e
x sono illimitati (il punto C “cade” lungo la guida. Per stabilire se tali
moti sono soluzioni globali dobbiamo stimare il tempo necessario per la
caduta. Restringiamoci al caso in cui una soluzione x(t) tende a +∞ (per
                         e
la simmetria di U non ` limitativo). Dopo una prima eventuale fase di
moto retrogrado il moto diventa progressivo, e durante tale fase il tempo
                                        ¯
necessario ad andare da una posizione x a +∞ `    e
                                         +∞
                                                   m(1 + 4x2 )
                    t(¯ → +∞) =
                      x                       dx
                                     x
                                     ¯             E + 2mgx2

                  ˙                                        e
con E = E(x(0), x(0)) l’energia del moto considerato. Poich` la funzio-
ne integranda converge al valore positivo 2/g per x → +∞, l’integrale
improprio diverge. Quindi t(¯ → +∞) = +∞ e tutte le soluzioni sono
                             x
globali.

                e
6) La risposta ` affermativa. Consideriamo un qualsiasi moto periodico della
variabile x; se x1 < x2 , sono i punti di arresto di tale moto allora il periodo
e
`
                                   x2
                                           m(1 + 4x2 )
                          Tx = 2      dx               ,
                                  x1        E − U (x)
essendo E = U (x1 ) = U (x2 ). D’altra parte il moto della variabile angolare
   e                                      ˙     `
ϕ ` uniforme con periodo Tϕ = 2π/ϕ(0). E sufficiente quindi scegliere
          a          ˙                                                   e
la velocit` iniziale ϕ(0) tale che il rapporto Tx /Tϕ sia razionale perch` la
soluzione t → (x(t), ϕ(t)) sia periodica.

2.12    Soluzione Compito 12
1) Il punto Q ha coordinate (x, 0), mentre il punto P ha coordinate (x +
 sin θ, − cos θ). L’energia cinetica `
                                     e
                 m − 2             m
           T =      →       →
                   |vQ | + |− |2 =
                            vP                     ˙˙
                                     2x2 + 2 cos θ xθ +
                                      ˙                             2 ˙2
                                                                      θ .
                 2                 2
                                       e
L’energia potenziale dovuta alla molla `
                          −→
                       k − 2 k 2                         2
            Umolla =     |CP | = x + k x sin θ + k           cos θ + k 2 ,
                       2        2
                                     e
mentre quella dovuta alla forza peso `

                             Upeso = −mg cos θ.

                                         45
                                                        e
Quindi (a meno di una costante additiva) la lagrangiana ` L = L2 + L0 con
       m                                      k
L2 =                  ˙˙    ˙
         2x2 +2 cos θ xθ+ 2 θ2 ,
          ˙                             L0 = − x2 −k x sin θ+(mg −k 2 ) cos θ.
       2                                      2

2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema
               
                ∂L0 = −kx − k sin θ = 0
               
                ∂x
               

                ∂L
                    0
                      = −k x cos θ − (mg − k 2 ) sin θ = 0
               
               
               
                  ∂θ
La prima equazione implica x = − sin θ; sostituendo nella seconda e ricor-
dando la definizione di λ troviamo
                              x = − sin θ
                              (cos θ − λ + 1) sin θ = 0
Quindi per tutti i valori di λ > 0 si hanno le soluzioni

                     (x1 , θ1 ) = (0, 0),        (x2 , θ2 ) = (0, π).

Inoltre, nel caso in cui 0 < λ ≤ 2 si hanno anche le soluzioni

           (x3 , θ3 ) = (− sin θλ , θλ ),        (x4 , θ4 ) = ( sin θλ , −θλ ),

essendo θλ = arccos(λ − 1), ovvero l’angolo tale che

                 cos θλ = λ − 1,            sin θλ =     1 − (λ − 1)2 .

                                                                               e
Chiaramente se λ = 2 allora (x1 , θ1 ) = (x3 , θ3 ) = (x4 , θ4 ), ovvero λ = 2 `
                                                                          a
un punto di biforcazione della soluzione (x1 , θ1 ). Studiamo la stabilit` degli
equilibri trovati. La matrice hessiana di L0 `e
                           −k               −k cos θ
           H(x, θ) =                                            .
                         −k cos θ k x sin θ − (mg − k 2 ) cos θ

Poniamo Hi := H(xi , θi ) per i = 1, 2, 3, 4. Quindi

               −k        −k                         det H1 = k 2 (λ − 2)
       H1 =                                 =⇒
               −k     −(mg − k 2 )                  Tr H1 = −k − k 2 (λ − 1)

                                e
da cui ricaviamo che (x1 , θ1 ) ` stabile per λ > 2 ed instabile per 0 < λ < 2.

                −k     k                           det H2 = −k 2 λ
        H2 =                            =⇒
                k  (mg − k 2 )                     Tr H2 = −k + k 2 (λ − 1)

                                            46
                                e
da cui ricaviamo che (x2 , θ2 ) ` instabile per ogni λ > 0. Infine, per i = 3, 4
si ha
               −k      −k (λ − 1)                       det Hi = k 2 2 [1 − (λ − 1)2 ]
   Hi =                                    =⇒
            −k (λ − 1)   −k 2                           Tr Hi = −k(1 + 2 )
da cui ricaviamo che (xi , θi ) sono stabili per 0 < λ < 2.

                                                     e
3) Se λ > 2 l’unica posizione di equilibrio stabile ` (x1 , θ1 ) = (0, 0). Sia A
la matrice dell’energia cinetica A(x, θ) calcolata in (0, 0), ovvero
                                          2m m
                                A=              .
                                          m m 2
Detto H = H(0, 0) l’hessiano di L0 in (0, 0), le frequenze delle piccole oscil-
                 √
lazioni sono ω± = −µ± , essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica

                               −k − 2mµ     −k − m µ
         det(H − µA) = det                                                     = 0,
                               −k − m µ −(mg − k 2 ) − m 2 µ
ovvero, ricordando la definizione di λ,

                     m2 µ2 + mk(2λ − 3)µ + k 2 (λ − 2) = 0,

da cui
                                          √
                              2λ − 3 ±        4λ2 − 16λ + 17        k
                    ω± =                                              .
                                               2                    m

2.13      Soluzione Compito 13
1) Nelle coordinate polari (r, ϕ), r > 0, ϕ ∈ [0, 2π], l’equazione della
          e
superficie `
                                x3 = log r.
Siano inoltre
                .                                 .
             er = cos ϕ e1 + sin ϕ e2 ,        eϕ = − sin ϕ e1 + cos ϕ e2 .

essendo {e1 , e2 , e3 } i versori degli assi coordinati. Si ha allora
              −
              −→                                               ˙
                                              − = r e + rϕ e + r e .
                                              → ˙
              OP = r er + log r e3 ,          vP     r   ˙ ϕ      3
                                                               r
                                        e
da cui ricaviamo che l’energia cinetica `
                         m− 2 m
                           →                       1
                   T =    |v | =              1+          r 2 + r 2 ϕ2 ,
                                                          ˙         ˙
                         2 P     2                 r2

                                          47
                            e
mentre l’energia potenziale `

                           V = mgx3 = mg log r.

                               e
Concludiamo che la lagrangiana `
                       m          1
                 L=         1+          r2 + r2 ϕ2 − mg log r.
                                        ˙       ˙
                       2          r2


                  e                                                  e
2) La lagrangiana ` indipendente dal tempo ed inoltre la variabile ϕ ` ciclica.
Sussistono quindi gli integrali primi
                       m          1
                 E=          1+         r2 + r2 ϕ2 + mg log r,
                                        ˙       ˙
                       2          r2
                                       ∂L
                             Pϕ =         = mr2 ϕ.
                                                ˙
                                        ˙
                                       ∂ϕ

3) Le equazioni del moto si riducono a quadratura mediante gli integrali
         u
primi. Pi` precisamente si ha
                                                 t
                                                           Pϕ
                        ϕ(t) = ϕ(0) +                ds          ,
                                             0            mr(s)2

con t → r(t) soluzione due volte differenziabile di

                             m          1
                       E=         1+             r2 + Veff (r),
                                                 ˙
                             2          r2
avendo posto
                                     2
                                . Pϕ
                        Veff (r) =       + mg log r.
                                   2mr2
                  ˙
Osserviamo che ϕ(0) = 0 se e solo se Pϕ = 0. Consideriamo allora il po-
                                                        2
tenziale efficace Veff per Pϕ = 0: essendo Veff (r) = −Pϕ /(mr3 ) + mg/r,
il potenziale possiede un unico punto critico in r0 = |Pϕ |/ m2 g; inoltre
Veff (r) → +∞ per r → 0+ oppure r → +∞. Posto allora E0 = Veff (r0 ) ed
osservato che
                                  2 E − Veff (r) r2
                         r=±
                         ˙                         ,
                                     m(1 + r2 )
concludiamo che tutti i moti possibili t → r(t) sono limitati (l’insieme
{r : Veff (r) ≤ E} ` un intervallo chiuso e limitato per ogni E ≥ E0 ). In
                  e

                                        48
particolare l’insieme di livello critico E = E0 si compone del singolo pun-
to {(r0 , 0)}, che ` l’orbita nello spazio delle fasi della soluzione stazionaria
                   e
r(t) ≡ r0 . Se invece E > E0 l’insieme di livello ` costituito da una curva
                                                       e
regolare chiusa, orbita nello spazio delle fasi di un moto periodico t → r(t).

4) Una soluzione periodica per il moto complessivo t → (r(t), ϕ(t)) `
                                                                    e
                                                             Pϕ
                      r(t) = r0 ,            ϕ(t) = ϕ(0) +     2t
                                                             mr0

(quindi si ottengono infinite soluzioni periodiche variando il parametro Pϕ =
0).

5) Se ϕ(0) = 0 allora Pϕ = 0, cosicch` ϕ(t) ≡ ϕ(0) mentre t → r(t) `
       ˙                              e                            e
soluzione due volte differenziabile di
                              m               1
                         E=            1+          r2 + mg log r,
                                                   ˙
                              2               r2
ovvero
                                           2(E − mg log r)r2
                           r=±
                           ˙                                 .
                                              m(1 + r2 )
Quindi per ogni valore di E ∈ R si hanno cadute nel centro (se r(0) > 0 la
                                                                ˙
                  e
caduta nel centro ` preceduta da una fase di moto progressivo fino al punto
              .
di arresto rE = − exp[−E/mg]). Infine il tempo necessario alla caduta `e

                                  r
                                                m(1 + r2 )
                t(r → 0) =            dr                       = +∞,
                              0              2(E − mg log r)r2

per cui tutte le soluzioni sono globali.

2.14     Soluzione Compito 14
1) Le coordinate cartesiane di P1 [risp. P2 ] sono (x1 , ax2 ) [risp. (x2 , ax2 )].
                                                           1                  2
                 a                                 ˙         ˙       ˙        ˙
Quindi le velocit` di P1 e P2 hanno componenti (x1 , 2ax1 x1 ) e (x2 , 2ax2 x2 )
                                    e
rispettivamente. L’energia cinetica ` dunque
                         m
                   T =     (1 + 4a2 x2 ) x2 + (1 + 4a2 x2 ) x2 .
                                     1 ˙1               2 ˙2
                         2
                     e
L’energia potenziale ` invece
                                           k
               U = Uin + Upeso =             (x1 − x2 )4 + mga(x2 + x2 ).
                                                                1    2
                                           4

                                              49
                      e
Quindi la lagrangiana `
              m                                 k
L = T −U =      (1+4a2 x2 ) x2 +(1+4a2 x2 ) x2 − (x1 −x2 )4 −mga(x2 +x2 ).
                        1 ˙1            2 ˙2                      1   2
              2                                 4

2) Le posizioni di equilibrio del sistema sono i punti critici di L0 = −U ,
ovvero le soluzioni del sistema
                   ∂L0 = −k(x1 − x2 )3 − 2mga x1 = 0
                  
                  
                   ∂x
                        1

                      ∂L
                         0
                           = k(x1 − x2 )3 − 2mga x2 = 0
                     
                     
                     
                       ∂x2
da cui
                                  x1 + x2 = 0
                                  x3 + mga x1 = 0
                                   1    4k
Concludiamo che per ogni a = 0 esiste la posizione di equilibrio (x1 , x2 ) =
(0, 0), mentre se a < 0 si hanno inoltre le posizioni

                                                                       mg|a|
   (x1 , x2 ) = (A, −A),    (x1 , x2 ) = (−A, A),      essendo   A=          .
                                                                        4k
Calcoliamo l’hessiano di L0
                       −3k(x1 − x2 )2 − 2mga     3k(x1 − x2 )2
     H(x1 , x2 ) =                      2                          .
                           3k(x1 − x2 )      −3k(x1 − x2 )2 − 2mga
Quindi
                                                    1 0
                            H(0, 0) = −2mga             ,
                                                    0 1
        e                    e
cosicch´ la posizione (0, 0) ` stabile se a > 0 ed instabile se a < 0. Se a < 0
si ha inoltre
                  −12kA2 − 2mga     12kA2                             −1 3
H(±A, A) =                 2                                = mg|a|         ,
                      12kA      −12kA2 − 2mga                          3 −1
       e
cosicch´ le soluzioni (±A, A) sono instabili (l’ultima matrice possiede au-
tovalori λ1 = −4, λ2 = 2).

                                                           e
3)Se a > 0 abbiamo l’unica posizione di equilibrio stabile ` (x1 , x2 ) = (0, 0).
                                 e
La matrice dell’energia cinetica `
                                       1 + 4a2 x2
                                                1     0
                     A(x1 , x2 ) = m                         ,
                                           0      1 + 4a2 x2
                                                           2


                                         50
       e
cosicch´
                                             1 0
                         A = A(0, 0) = m         .
                                             0 1
           a
Abbiamo gi` calcolato l’hessiano H = H(0, 0), anch’esso proporzionale alla
               a
matrice identit`. Le frequenze sono quindi
                             ω1 = ω2 =     2ga.

4) Se a = 0 l’equazione del vincolo diventa y = 0, ovvero i due punti sono
vincolati a scorrere lungo l’asse coordinato orizzontale. La lagrangiana del
         e
sistema ` allora
                             m 2              k
                       L=       x + x2 − (x1 − x2 )4 .
                                      ˙2
                             2 1              4
       e
Poich` l’interazione dipende solo dalla differenza delle coordinate dei due
punti, conviene utilizzare le coordinate del loro centro di massa e della loro
posizione relativa, ovvero
                            . x1 + x2           .
                       xG =           ,      x = x1 − x2 .
                                 2
In tali coordinate la lagrangiana si scrive
                                          m        k
                           L = m x2 + x2 − x4 .
                                   ˙G       ˙
                                          4        4
Osserviamo che essa non dipende esplicitamente dal tempo e che la varia-
         e
bile xG ` ciclica. Quindi si conservano l’energia meccanica ed il momento
associato a xG :
                                m        k
                  E = m x2 + x2 + x4 ,
                          ˙G       ˙                         ˙
                                                     P = 2mxG .
                                4        4
Dalla conservazione di P ricaviamo che il baricentro si muove di moto
rettilineo uniforme:
                                              P
                        xG (t) = xG (t0 ) +       (t − t0 ).
                                             2m
              ˙
Sostituendo xG = P/(2m) nell’integrale primo dell’energia possiamo infine
determinare i moti della variabile x quali soluzioni due volte differenziabili
dell’equazione
                               ¯     m        k
                               E = x2 + x4 ,
                                        ˙
                                     4        4
          ¯ .
essendo E = E−P 2 /(4m) l’energia meccanica dei due punti in un riferimento
                                                                     ¯
inerziale solidale al baricentro. Chiaramente il livello di energia E = 0 si
                                   ˙
compone del singolo punto (x, x) = (0, 0) che corrisponde alla soluzione
                                                ¯
stazionaria x(t) ≡ 0. I livelli di energia E > 0 sono invece delle curve
regolari chiuse che corrispondono a moti periodici di x.

                                     51
2.15    Soluzione Compito 15
1) Siano e1 ed e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Si ha
                      −
                      −→                        →
                                                − = xe − xe .
                      OC = xe1 − xe2 ,          vC  ˙ 1 ˙ 2
                                                                      m   1      2       m
                                                      e
Il momento di inerzia della sbarretta AB rispetto a C ` I =           2   −1 ds s    =   3.
                                      e
Quindi l’energia cinetica del sistema `
                          m − 2 1 ˙2 m
                             →                            1˙
                   T =      |vC | + I θ =            2x2 + θ 2 .
                                                      ˙
                          2        2      2               3
Essendo
−→                                              −
                                               −→
OA = (x + cos θ)e1 + (−x + sin θ) e2 ,         OB = (x − cos θ)e1 + (−x − sin θ) e2 ,

                     e
l’energia potenziale `
                          k
U = Umolle + Upeso =        (x + cos θ)2 + (−x + sin θ)2 + (x − cos θ)2 − mgx,
                          2
ovvero, a meno di una costante additiva,
                  k                                               . mg
            U=      3x2 − 2x sin θ + cos2 θ − 8λx ,              λ=    .
                  2                                                 4k
La lagrangiana L = T − U = L2 + L0 ` dunque
                                   e
                      m         1˙            k
            ˙ ˙
    L(x, θ, x, θ) =        2x2 + θ2
                            ˙             −     3x2 − 2x sin θ + cos2 θ − 8λx .
                      2         3             2

   Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema
                   
                    ∂L0 = −k 3x − sin θ − 4λ = 0,
                   
                    ∂x
                   

                       ∂L
                          0
                      
                            = k x + sin θ cos θ = 0.
                         ∂θ
Per ogni valore dei parametri si hanno le due soluzioni
                          4λ + 1 π                            4λ − 1 3π
          (x1 , θ1 ) =          ,     ,        (x2 , θ2 ) =         ,       .
                            3     2                             3     2
Se λ ∈ (0, 1) si hanno le altre due soluzioni

         (x3 , θ3 ) = (λ, − arcsin λ) ,        (x4 , θ4 ) = (λ, π + arcsin λ) .

                                          52
                      a                            e
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                                        −3          cos θ
                     H(x, θ) = k                                      .
                                       cos θ −x sin θ + cos(2θ)

Quindi

                        −3    0                                       −3     0
   H(x1 , θ1 ) = k          4(λ+1)         ,        H(x2 , θ2 ) = k        4(λ−1)   ,
                         0 − 3                                         0      3
                                                        √
                                           √ −3           1 − λ2
                      H(x3 , θ3 ) = k                            ,
                                            1 − λ2       1 − λ2
                                                          √
                                           √−3          − 1 − λ2
                     H(x4 , θ4 ) = k                               .
                                          − 1 − λ2        1 − λ2
                         e
Chiaramente (x1 , θ1 ) ` stabile per ogni valore del parametro λ > 0 mentre
(x2 , θ2 ) ` stabile per λ ∈ (0, 1) ed instabile per λ > 1. Infine, essendo
           e

                 det H(x3 , θ3 ) = det H(x4 , θ4 ) = −4(1 − λ2 ),

le posizioni (x3 , θ3 ) ed (x4 , θ4 ) sono instabili per λ ∈ (0, 1), ovvero quando
esistono distinte da (x2 , θ2 ).

    Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-
                                                                         e
zione stabile (x1 , θ1 ). La matrice dell’energia cinetica in (x1 , θ1 ) `

                                            2m      0
                                   A=               m    .
                                             0      3

Essendo diagonale anche la matrice hessiana H(x1 , θ1 ), le frequenze delle
piccole oscillazioni si calcolano immediatamente,

                                   3k                   4(λ + 1)k
                        ω1 =          ,        ω2 =               .
                                   2m                       m

2) Con l’ulteriore vincolo x = 0 si giunge al problema unidimensionale di
lagrangiana
                                    m˙     k
                         L(x, x) = θ2 − cos2 θ.
                               ˙
                                     6     2
che si integra mediante l’integrale primo dell’energia,

                                   ˙       m ˙2 k
                              H(θ, θ) =      θ + cos2 θ.
                                           6    2

                                               53
Il livello critico E = 0 si compone delle orbite corrispondenti alle soluzioni
                   ˙
stazionarie (θ, θ) = π , 0 , 3π , 0 . I livelli 0 < E < k si compongono delle
                          2       2                        2
orbite corrispondenti ai moti periodici attorno alle posizioni di equilibrio
θ = π , 3π . Il livello critico E = k si compone delle orbite corrispondenti alle
      2 2                           2
                              ˙
soluzioni stazionarie (θ, θ) = (0, 0) , (π, 0) ed ai relativi moti a meta asinto-
tica. Infine i livelli E > k si compongono di moti progressivi o retrogradi
                                2
corrispondenti a rotazioni complete della sbarretta attorno al suo baricentro.

2.16    Soluzione Compito 16
Siano e1 ed e2 i versori degli assi        coordinati x ed y rispettivamente ed
indichiamo con G il baricentro della       sbarretta. Si ha
         −
        −→           −→                      −
                                            −→
        OQ = e2 ,    OA = x e1 ,            OB = (x + cos θ) e1 + sin θ e2 ,
−
−→      1          1                           − = x − 1 θ sin θ e + 1 θ cos θ e .
                                               →         ˙             ˙
OG = x + cos θ e1 + sin θ e2 ,                 vG  ˙              1             2
        2          2                                   2             2
                                                                            1/2      2
                                                      e
Il momento di inerzia della sbarretta AB rispetto a G ` I = 2m              −1/2 ds s    =
m
 6                                         e
   . Quindi l’energia cinetica del sistema `
                  2m − 2 1 ˙2 m
                      →                                 2 ˙2
           T =       |vG | + I θ =             2 x2 +
                                                 ˙                    ˙ ˙
                                                          θ − 2 sin θ x θ .
                   2        2      2                    3
                     e
L’energia potenziale `
                                       −
                                    k −→   2       k 2
U = Upeso + Umolla = 2mgyG +          QB       =     x + k x cos θ + (mg − k) sin θ + k.
                                    2              2
                           e
La lagrangiana L = L2 + L0 ` dunque
                  m             2 ˙2               k
        ˙ ˙
L(x, θ, x, θ) =        2 x2 +
                         ˙                    ˙ ˙
                                  θ − 2 sin θ x θ − x2 −k x cos θ −(mg −k) sin θ.
                  2             3                  2

   Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema
                 
                  ∂L0 = −kx − k cos θ = 0,
                 
                  ∂x
                 

                       ∂L
                          0
                      
                            = kx sin θ − (mg − k) cos θ = 0.
                         ∂θ
Per ogni valore dei parametri si hanno le due soluzioni
                                    π                              3π
                  (x1 , θ1 ) = 0,     ,        (x2 , θ2 ) =   0,        .
                                    2                               2

                                          54
Se |λ| < 1 si hanno le altre due soluzioni

 (x3 , θ3 ) = − 1 − λ2 , arcsin λ ,             (x4 , θ4 ) =   1 − λ2 , π − arcsin λ .

                      a                            e
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                                     −1         sin θ
                     H(x, θ) = k                                   .
                                    sin θ x cos θ − λ sin θ

Quindi

                           −1 1                                    −1 −1
         H(x1 , θ1 ) = k               ,         H(x2 , θ2 ) = k               ,
                            1 −λ                                   −1 λ

                                                         −1 λ
                    H(x3 , θ3 ) = H(x4 , θ4 ) = k                  ,
                                                         λ −1
                           e
Chiaramente (x1 , θ1 ) ` instabile per ogni valore del parametro λ < 1 mentre
(x2 , θ2 ) ` stabile per λ < −1 ed instabile per |λ| < 1. Infine, le posizioni
           e
(x3 , θ3 ) ed (x4 , θ4 ) sono stabili per |λ| < 1, ovvero quando esistono distinte
da (x2 , θ2 ).

    Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-
zione stabile (x2 , θ2 ) per λ < −1. La matrice dell’energia cinetica in (x1 , θ1 )
e
`
                                      2m m
                                A=               .
                                       m 2m 3

Posto H = H(x2 , θ2 ), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =
√
  −µ± , essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica

                                      −k − 2mµ −k − mµ
               det(H − µA) = det                                       = 0,
                                      −k − mµ kλ − 2m µ
                                                    3

ovvero
                     m2 2 2mk
                       µ −    (2 + 3λ)µ − k 2 (λ + 1) = 0,
                     3     3
da cui
                             k
                    ω± =           −2 − 3λ ±          9λ2 + 15λ + 7.
                             m




                                           55
2.17     Soluzione Compito 17
                              e
1) La lagrangiana L = L2 + L0 `
                               m 2              1
             L(x, y, x, y) =
                     ˙ ˙         x + y 2 − λx2 − y 2 + log(1 + x2 + y 2 ).
                                 ˙   ˙
                               2                2
Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema

                     ∂L0 = −2λx +           2x
                    
                                                      = 0,
                                        1 + x2 + y 2
                    
                     ∂x
                    
                         ∂L              2y
                            0
                        
                              = −y +              = 0,
                           ∂y         1 + x2 + y 2
ovvero del sistema
                                x x2 + y 2 − 1 − λ = 0,
                               
                               
                                                λ
                               
                                 y x2 + y 2 − 1 = 0.
                               

                               1
Per ogni valore di λ =         2   si hanno le soluzioni (0, 0) e (0, ±1). Se λ ∈ (0, 1)
                                                1−λ                              1
si hanno le ulteriori soluzioni            ±     λ ,0    . Infine, se λ =         2   si ha un
continuo di soluzioni, precisamente tutti i punti sulla circonferenza unitaria.
                       a
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 ` e

                               1 − x2 + y 2
                                                                    
                                                        2xy
                    −λ + (1 + x2 + y 2 )2      −
                                                  (1 + x2 + y 2 )2   
                                                                    
      H(x, y) = 2                                                  .
                                                                     
                                2xy           1       1+x  2 − y2   
                         −                    − +
                           (1 + x2 + y 2 )2    2 (1 + x2 + y 2 )2

Quindi

                        2(1 − λ) 0                                1 − 2λ 0
       H(0, 0) =                           ,        H (0, ±1) =                       ,
                            0    1                                   0   −1

                               1−λ               4λ(λ − 1)   0
                    H ±            ,0      =                              .
                                λ                    0     2λ − 1

Si deduce che l’equilibrio (0, 0) ` instabile, gli equilibri (0, ±1) sono stabili
                                  e
         1                          1                             1−λ
se λ >   2   ed instabili se λ ∈ 0, 2 , gli equilibri        ±     λ ,0       sono stabili se


                                               56
λ ∈ 0, 1
       2    ed instabili se λ ∈    1
                                   2, 1   . Le frequenze delle piccole oscillazioni
                                             1
attorno alle posizioni (0, ±1) per λ >       2   sono

                                  2λ − 1                  1
                          ω1 =           ,         ω2 =     .
                                    m                     m

2) Se λ = 1 il campo di forze ` centrale, ovvero l’energia potenziale ` funzione
            2                  e                                      e
della sola distanza del punto dall’origine O delle coordinate. In tale caso,
oltre all’integrale primo dell’energia meccanica,
                       m 2            1
        H(x, y, x, y) =
                ˙ ˙       x + y 2 + x2 + y 2 ) − log(1 + x2 + y 2 ),
                           ˙   ˙
                        2             2
e                                                        a
` integrale primo del moto anche il momento della quantit` di moto rispetto
al centro O, ovvero la grandezza
                           P (x, y, x, y) = m(xy − xy).
                                    ˙ ˙        ˙ ˙
Per determinare una soluzione periodica conviene utilizzare le coordinate
polari (r, θ), nelle quali gli integrali primi si scrivono
                  m                 r2
          ˙ ˙                 ˙
  H(r, θ, r, θ) = (r2 + r2 θ2 ) +
                      ˙                − log(1 + r2 ),               ˙ ˙         ˙
                                                            P (r, θ, r, θ) = mr2 θ.
                   2                2
Quindi, fissati i livelli E ed M di tali integrali, il moto della variabile angolare
e
`
                                             t
                                                    M
                           θ(t) = θ(0) +       ds        ,
                                           0      mr(s)2
           e
dove r(t) ` una soluzione due volte differenziabile del problema del prim’or-
dine
     m 2                                       r2                   M2
       r + UM (r) = E,
       ˙                     dove UM (r) :=       − log(1 + r2 ) +      .
     2                                         2                   2mr2
Possiamo facilmente determinare diverse soluzioni periodiche. Una prima
                 e
classe di queste ` costituita dai moti circolari uniformi che si ottengono
                                        ∗         ∗
fissando M = 0 e scegliendo r(t) = rM , con rM un punto critico della
                                             e
funzione UM (r), che esiste sicuramente poich´, se M = 0,
                       lim UM (r) = lim UM (r) = +∞.
                      r→0+             r→+∞

`
E facile determinare anche un’altra classe di soluzioni periodiche. Infatti se
                                                    1
M = 0 la funzione UM (r) ha un minimo in r = 2 . Quindi, fissando M = 0
                   ¯
ed indicando con r(t) un qualsiasi moto periodico attorno alla posizione
      1
                                  r
r = 2 , la coppia (r(t), θ(t)) = (¯(t), θ(0)) fornisce una soluzione periodica
del sistema.

                                          57
2.18    Soluzione Compito 18
                                  1
1) Il punto P ha coordinate (x, 2 x4 − x2 ) e quindi velocit` vP di componenti
                                                             a
(x, 2x(x
 ˙       2 − 1) x). Poich´ U (x, y) := − x2 − y ` l’energia potenziale associata
                ˙        e                      e
                                         2
al campo di forza F (x, y) la lagrangiana del sistema si scrive
         1             1         1                      1
L(x, x) = |vP |2 − U x, x4 − x2 = 1 + 4x2 (x2 − 1)2 x2 + (x4 − x2 ).
     ˙                                              ˙
         2             2         2                      2

2) L’analisi qualitativa si realizza utilizzando l’integrale primo dell’energia
generalizzata
                ∂L                   1                      1
  H(x, x) = x
       ˙    ˙      (x, x) − L(x, x) = 1 + 4x2 (x2 − 1)2 x2 − (x4 − x2 ).
                       ˙         ˙                      ˙
                 ˙
                ∂x                   2                      2
                                    e                                    ˙
L’insieme di livello E dell’energia ` l’unione dei grafici delle funzioni x =
±fE (x) con
                                        2E + x4 − x2
                        fE (x) = ±                      .
                                      1 + 4x2 (x2 − 1)2

I livelli critici dell’energia sono E = 0 ed E = 1 . Su ogni livello E < 0
                                                  8
si hanno due moti illimitati, ciascuno con un punto di inversione del moto;
sul livello E = 0 si hanno due moti illimitati, ciascuno con un punto di
inversione del moto, e la soluzione stazionaria corrispondente all’equilibrio
                                   1
x = 0; su ogni livello 0 < E < 8 si hanno due moti illimitati, ciascuno con
un punto di inversione del moto, ed un moto periodico attorno ad x = 0;
sul livello E = 1 si hanno le due soluzioni stazionarie corrispondenti agli
                   8
equilibri x = ± 1 , due moti a meta asintotica, uno progressivo ed uno
                   2
retrogrado, che connettono tali equilibri tra loro, e quattro moti a meta
asintotica, due progressivi e due retrogradi, che connettono gli stessi equilibri
                                                1
a ±∞ rispettivamente; sul ogni livello E > 8 si hanno due moti illimitati,
uno progressivo ed uno retrogrado, che connettono −∞ a +∞. Asseriamo
infine che tutti moti sono definiti globalmente nel tempo. Infatti, essendo
fE (x) → 0 per x → ±∞, si ha in particolare che tutti i moti illimitati
raggiungono l’infinito in un tempo infinito.

                                           e
3) L’unica posizione di equilibrio stabile ` x = 0. La parte quadratica dello
sviluppo della lagrangiana attorno a (0, 0) ` L(x, x) = 1 x2 − 1 x2 , che descrive
                                            e      ˙    2˙     2
un moto armonico di frequenza ω = 1.



                                       58
                                                                            1
4) L’energia corrispondente ai dati iniziali (x(0), x(0)) = (0, 1) ` E0 =
                                                    ˙              e        2   > 1,
                                                                                  8
                    e
quindi il moto x(t) ` progressivo illimitato. Pertanto

                          lim x(t) = lim fE0 (x) = 0.
                              ˙
                         t→+∞          x→+∞


2.19    Soluzione Compito 19
1) Il punto P ha coordinate (cos θ, sin θ, z), da cui
                       ˙
                           
                   −θ sin θ
             →
            − =  θ cos θ  ,              m →        m 2 ˙2
            vP       ˙               T = |− |2 =
                                              vP        ˙
                                                        z +θ .
                                           2          2
                         ˙
                         z

                     e
L’energia potenziale `
                                     −→
                                  k − 2
                             U=     |OP | + Upeso + Uα
                                  2
ovvero, a meno di una costante additiva,
                                  k 2
                          U=        z + mgz − αz sin θ.
                                  2
Concludiamo che la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 `
                                                   e
                         m 2 ˙2   k
                  L=       z + θ − z 2 − mgz + αz sin θ
                           ˙
                         2        2
e le relative equazioni di Eulero-Lagrange sono
                        
                         m¨ = −kz − mg + α sin θ,
                             z
                             ¨
                             mθ = αz cos θ.


2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema
                    
                     ∂L0 = −kz − mg + α sin θ = 0,
                    
                     ∂z
                    

                      ∂L
                         0
                     
                           = αz cos θ = 0,
                        ∂θ
ovvero le soluzioni di almeno uno dei sistemi
          −kz − mg + α sin θ = 0,              −kz − mg + α sin θ = 0,
          cos θ = 0,                           z = 0.

                                        59
                         mg
Ricordando che λ =       α ,   il primo ha soluzioni
                        α          π                          α           π
         (z1 , θ1 ) =     (1 − λ),   ,          (z2 , θ2 ) = − (λ + 1), −   .
                        k          2                          k           2
Il secondo ammette soluzioni solo per λ ≤ 1, precisamente

            (z3 , θ3 ) = (0, arcsin λ) ,        (z4 , θ4 ) = (0, π − arcsin λ) .

                      a                            e
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                                             −k     α cos θ
                         H(z, θ) =                                  .
                                           α cos θ −αz sin θ

Quindi

                   −k          0                                    −k      0
 H(z1 , θ1 ) =           α2                ,        H(z2 , θ2 ) =       α2           ,
                    0    k (λ   − 1)                                 0 − k (λ + 1)
                                             √
                                    √−k     α 1 − λ2
                    H(z3 , θ3 ) =                     ,
                                   α 1 − λ2    0
                                              √
                                    √−k     −α 1 − λ2
                   H(z4 , θ4 ) =                        ,
                                  −α 1 − λ2     0
                                e
da cui si ricava che (z1 , θ1 ) ` stabile se λ < 1 ed instabile se λ > 1, (z2 , θ2 )
e
` sempre stabile, mentre le posizioni (z3 , θ3 ), (z4 , θ4 ) sono instabili se λ < 1
(ovvero quando esistono distinte da (z1 , θ1 )).
                                                            e
     Il caso λ = 1, in cui la soluzione (z1 , θ1 ) biforca, ` critico, ovvero la stabi-
   a
lit` non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede
un autovalore negativo ed uno nullo).

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione
                                                     e
stabile (z2 , θ2 ). La matrice dell’energia cinetica ` costante e diagonale,

                                               m 0
                                   A=                      .
                                               0 m

Essendo diagonale anche H(z2 , θ2 ) le frequenze delle piccole oscillazioni si
deducono immediatamente,

                                  k                      α2
                        ω1 =        ,          ω2 =         (λ + 1).
                                  m                      km


                                               60
3) Se α = 0 le equazioni di Eulero-Lagrange diventano
                           
                            m¨ = −kz − mg,
                                z
                                ¨
                                mθ = 0.
La prima descrive un oscillatore armonico nella variabile ζ = z + mg , la k
seconda un moto uniforme della variabile angolare θ. I dati iniziali per la
variabile z corrispondono alla soluzione stazionaria dell’oscillatore, pertanto
                                 mg
                       z(t) = −     ,     θ(t) = 1 + t.
                                  k

2.20     Soluzione Compito 20
1) Il punto P ha coordinate (x, y, −x − y 2 ), da cui
                   
              ˙
              x
  →
  − =                          m →         m
  vP          y
              ˙     ,    T = |− |2 =
                                    vP          2x2 + (1 + 4y 2 )y 2 + 4y xy .
                                                  ˙              ˙        ˙˙
                                 2           2
          −x − 2y y
            ˙     ˙
                     e
L’energia potenziale `
                                     −→
                                  k − 2
                             U=     |OP | + Upeso
                                  2
ovvero
                    k 2
                 U=    x + y 2 + (x + y 2 )2 − mg(x + y 2 ).
                    2
Concludiamo che la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 `  e
     m                               k     1
L=     2x2 + (1 + 4y 2 )y 2 + 4y xy − y 4 − (k −2mg)y 2 −kxy 2 −kx2 +mgx
        ˙               ˙        ˙˙
     2                               2     2
e le relative equazioni di Eulero-Lagrange sono
                          ˙2     2

 2m¨ + 2my y = −2my − ky − 2kx + mg,
       x        ¨

    2my¨ + m(1 + 4y 2 )¨ = −2mxy − 8my y 2 − 2ky 3 − (k − 2mg)y − 2kxy,
       x               y      ˙˙       ˙


che possono successivamente essere poste in forma normale.

2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema

                 ∂L0 = −ky 2 − 2kx + mg = 0,
                
                
                 ∂x
                
                 ∂L0
                      = −2ky 3 − (k − 2mg)y − 2kxy = 0,
                
                
                
                   ∂y

                                      61
ovvero le soluzioni di almeno uno dei sistemi
         −ky 2 − 2kx + mg = 0,                    −ky 2 − 2kx + mg = 0,
         y = 0,                                   −2ky 2 − k + 2mg − 2kx = 0.
                          mg
Ricordando che λ =        k ,   il primo ha soluzione

                                                   λ
                                   (x1 , y1 ) =      ,0 .
                                                   2

Il secondo ammette soluzioni solo per λ ≥ 1, precisamente

                           1 √                                       1 √
           (x2 , y2 ) =      , λ−1 ,              (x3 , y3 ) =         ,− λ − 1 .
                           2                                         2

                      a                            e
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                                 −2k           −2ky
               H(x, y) =                                                      .
                                 −2ky −6ky 2 − k + 2mg − 2kx

Quindi
                                     −2k     0
                          H(x1 , y1 ) =             ,
                                      0   k(λ − 1)
                                                √
                                    −2k
                                    √       −2k λ − 1
                  H(x2 , y2 ) =                         ,
                                 −2k λ − 1 4k(1 − λ)
                                              √
                                    √−2k    2k λ − 1
                   H(x3 , y3 ) =                      ,
                                  2k λ − 1 4k(1 − λ)
                                   e
da cui si ricava che (x1 , y1 ) ` stabile se λ < 1 ed instabile se λ > 1, mentre
le posizioni (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) sono stabili se λ > 1 (ovvero quando esistono
distinte da (x1 , y1 )).
                                                                    1
                                                                            e
    Il caso λ = 1, in cui i tre equilibri coincidono con il punto ( 2 , 0), ` critico,
                    a
ovvero la stabilit` non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice
hessiana possiede un autovalore negativo ed uno nullo). D’altra parte, in tal
caso si ha
                      1                k 2                                     k
   L0 (x, y) − L0       ,0       = −     x + y 2 + (x + y 2 )2 − 2(x + y 2 ) −
                      2                2                                       4
                                                                 2                2
                                     k              1 2                   1
                                 = −          x+y −                  + x−             ,
                                     2              2                     2



                                             62
che ` una quantit` negativa per ogni (x, y) = ( 1 , 0). Quindi L0 possiede un
    e            a                               2
massimo proprio in ( 1 , 0) e pertanto tale equilibrio ` stabile per il teorema
                     2                                 e
di Lagrange-Dirichlet.

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di
                                                                          e
equilibrio stabile (x1 , y1 ) per λ < 1. La matrice dell’energia cinetica `

                                       2m   2my
                      A(x, y) =                        ,
                                      2my m(1 + 4y 2 )
pertanto
                                               2m 0
                          A(x1 , y1 ) =                .
                                                0 m
Essendo diagonale anche H(x1 , y1 ) le frequenze delle piccole oscillazioni si
deducono immediatamente,

                              k                   k
                     ω1 =       ,         ω2 =      (1 − λ).
                              m                   m

2.21    Soluzione Compito 21
1) I baricentri G e G hanno coordinate (cos θ, sin θ) e (2d + cos φ, sin φ)
                                    a
rispettivamente. Pertanto le velocit` di tali punti sono

                 − = θ − sin θ ,
                 →
                 vG  ˙                         − = φ − sin φ .
                                               v→  ˙
                                                G
                        cos θ                         cos φ
                           −→
                            −
L’angolo che la direzione AB forma con l’asse delle ascisse ` pari a θ − π ,
                                                            e            2
pertanto la velocit` angolare della sbarretta AB ` ω1 = θ.
                   a                             e        ˙ Analogamente
                                                                     2
                                                 ˙
la velocit` angolare della sbarretta A B ` ω2 = φ. Essendo I = m = m
          a                               e                        12
il momento di inerzia di ciascuna sbarretta rispetto al proprio baricentro,
                                          e
concludiamo che l’energia cinetica totale `
                 m − 2
                   →    →
                        −         2    1
           T =     vG + vG                 2    2     ˙    ˙
                                      + I ω1 + ω2 = m(θ2 + φ2 ).
                 2                     2
                     e
L’energia potenziale `
                  −
              k −→ 2 k
        U=      |GG | =   (2d + cos φ − cos θ)2 + (sin φ − sin θ)2 ,
              2         2
ovvero, a meno di una costante additiva,

                  U = −k cos(θ − φ) − 2kd(cos θ − cos φ).

                                          63
Concludiamo che la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 `
                                                   e
                  ˙    ˙
            L = m(θ2 + φ2 ) + k cos(θ − φ) + 2kd(cos θ − cos φ)

e le relative equazioni di Eulero-Lagrange sono
                           ¨
                     
                      2mθ = −k sin(θ − φ) − 2kd sin θ,
                        ¨
                       2mφ = k sin(θ − φ) + 2kd sin φ.


2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema

                   ∂L0 = −k sin(θ − φ) − 2kd sin θ = 0,
                  
                  
                   ∂θ
                  
                  ∂L0
                       = k sin(θ − φ) + 2kd sin φ = 0.
                 
                 
                 
                   ∂φ
ovvero
                            sin θ = sin φ,
                            sin(θ − φ) = −2d sin φ.
La prima equazione implica φ = θ oppure φ = π − θ. Pertanto le posizioni
di equilibrio sono le soluzioni di almeno uno dei due sistemi

                     φ = θ,              φ = π − θ,
                     sin θ = 0,          sin(2θ) = 2d sin θ.

Il primo ha soluzioni (θ, φ) = (0, 0), (π, π). Per ogni valore del parametro
d > 0 il secondo ha soluzioni (θ, φ) = (0, π), (π, 0). Se d < 1 esso ammette
inoltre le soluzioni

                    (θ± , φ± ) = (± arccos d, π   arccos d).

Chiaramente (θ+ , φ+ ) = (θ− , φ− ) = (0, π) se d = 1.
                        a                                             e
   Studiamo la stabilit` di tali equilibri; la matrice hessiana di L0 `

                −k cos(θ − φ) − 2kd cos θ       k cos(θ − φ)
   H(θ, φ) =                                                              .
                      k cos(θ − φ)        −k cos(θ − φ) + 2kd cos φ

Quindi
                                  −k − 2kd    k
                   H(0, 0) =                               ,
                                     k     −k + 2kd


                                      64
                                    −k + 2kd    k
                     H(π, π) =                                         ,
                                       k     −k − 2kd
                k − 2kd   −k                                      k + 2kd   −k
 H(0, π) =                                ,         H(π, 0) =                            ,
                  −k    k − 2kd                                     −k    k + 2kd
                                           −k     k(1 − 2d2 )
                   H(θ± , φ± ) =               2)                          ,
                                       k(1 − 2d       −k
                                                                       e
da cui si ricava che (0, 0), (π, π), (π, 0) sono instabili, (0, π) ` stabile se
d > 1 ed instabile se d < 1, mentre le posizioni (θ± , φ± ) sono stabili se d < 1
(ovvero quando esistono distinte da (0, π)).
                                                      e                            a
   Il caso d = 1, in cui la soluzione (0, π) biforca, ` critico, ovvero la stabilit`
non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede un
autovalore nullo).

3) Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-
                                                                 e
zione stabile (0, π) per d > 1. La matrice dell’energia cinetica ` costante e
diagonale,
                                    2m 0
                             A=                 .
                                     0 2m
                                                                      √
Posto H = H(0, π), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± = −µ± ,
essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica,

                                 k − 2kd − 2mµ       −k
         det(H − µA) = det                                                        = 0,
                                       −k      k − 2kd − 2mµ
ovvero
                             (k − 2kd − 2mµ)2 = k 2 ,
da cui
                                k                         k
                      ω+ =        d,          ω− =          (d − 1).
                                m                         m

2.22      Soluzione Compito 22
1) Nelle coordinate cilindriche (r, ϕ, x3 ), r > 0, ϕ ∈ [0, 2π), l’equazione
                e
della superficie `
                                    r2
                              x3 =      − log r.
                                     2
Siano inoltre
                .                                     .
             er = cos ϕ e1 + sin ϕ e2 ,            eϕ = − sin ϕ e1 + cos ϕ e2 ,


                                              65
essendo {e1 , e2 , e3 } i versori degli assi coordinati. Si ha allora

    −
    −→                r2                       − = r e + rϕ e + r − 1
                                               → ˙
    OP = r er +          − log r      e3 ,     vP     r   ˙ ϕ                   ˙
                                                                                r e3 ,
                      2                                             r
da cui ricaviamo l’energia cinetica
                       m− 2 m
                         →                          1
                T =     |v | =               r2 +      − 1 r 2 + r 2 ϕ2 ,
                                                           ˙         ˙
                       2 P     2                    r2
                            e
mentre l’energia potenziale `

                                                         r2
       U = Upeso + UF = mgx3 − f x1 = mg                    − log r − f r cos ϕ,
                                                         2
cosicch´ la lagrangiana L = T − U = T + L0 si scrive
       e

           m               1                               r2
     L=             r2 +      − 1 r2 + r2 ϕ2 − mg
                                  ˙       ˙                   − log r + f r cos ϕ.
           2               r2                              2

   Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del seguente sistema,
                 
                  ∂L0                   1
                  ∂r = −mg r − r + f cos ϕ = 0,
                 
                 
                 
                      ∂L
                        0
                           = −f r sin ϕ = 0.
                     
                     
                       ∂ϕ
                     

             f
Posto λ =   2mg ,                     e
                    se il parametro f ` non nullo si hanno le due soluzioni

     (r1 , ϕ1 ) = λ +        λ2 + 1, 0 ,          (r2 , ϕ2 ) = −λ +     λ2 + 1, π .

Se invece f = 0 si ha l’insieme continuo di soluzioni {(1, ϕ) ; ϕ ∈ [0, 2π)}.
                           a
    Studiamone la stabilit` nel caso f = 0; la matrice hessiana di L0 si scrive

                                   −mg 1 + r−2           −f sin ϕ
                     H(r, ϕ) =                                      .
                                     −f sin ϕ            −f r cos ϕ

Quindi
                                                 −2
                                        −mg 1 + r1           0
                      H(r1 , ϕ1 ) =                               ,
                                            0               −f r1
                                                  −2
                                         −mg 1 + r2           0
                       H(r2 , ϕ2 ) =                              .
                                             0               f r2

                                             66
                                e
da cui si ricava che (r1 , ϕ1 ) ` stabile [risp. instabile] se f > 0 [risp. f < 0]
                  e
mentre (r2 , ϕ2 ) ` instabile [risp. stabile] se f > 0 [risp. f < 0].

                                     e
2) Nel caso f = 0 la lagrangiana ` indipendente dal tempo ed inoltre la
            e
variabile ϕ ` ciclica. Sussistono quindi gli integrali primi

                m            1                                        r2
          E=          r2 +      − 1 r2 + r2 ϕ2 + mg
                                    ˙       ˙                            − log r ,
                2            r2                                       2

                                        ∂L
                                 Pϕ =      = mr2 ϕ.
                                                 ˙
                                         ˙
                                        ∂ϕ
Le equazioni del moto si riducono a quadratura mediante gli integrali primi.
  u
Pi` precisamente si ha
                                                  t
                                                            Pϕ
                         ϕ(t) = ϕ(0) +                ds          ,
                                              0            mr(s)2

con t → r(t) soluzione due volte differenziabile di

                             m          1
                     E=          r2 +      − 1 r2 + Ueff (r),
                                               ˙
                             2          r2

avendo posto
                                 2
                             . Pϕ                          r2
                     Ueff (r) =      + mg                      − log r .
                               2mr2                        2
                 ˙
Osserviamo che ϕ(0) = 0 se e solo se Pϕ = 0. Consideriamo il potenziale
                                 2
efficace Ueff : essendo Ueff (r) = −Pϕ /(mr3 ) + mgr − mg/r, esso possiede un
unico punto critico in

                                                       2
                                                      Pϕ
                                    1             1
                             r0 =     +             + 2 ;
                                    2             4 m g

inoltre Ueff (r) → +∞ per r → 0+ e per r → +∞. Posto allora E0 = Ueff (r0 )
ed osservato che
                               2 E − Ueff (r) r2
                        r=±
                        ˙                       ,
                                m(r4 + 1 − r2 )
concludiamo che tutti i moti possibili t → r(t) sono limitati (l’insieme
{r : Ueff (r) ≤ E} ` un intervallo chiuso e limitato per ogni E ≥ E0 ). In
                     e
particolare l’insieme di livello critico E = E0 si compone del singolo pun-
to {(r0 , 0)}, che ` l’orbita nello spazio delle fasi della soluzione stazionaria
                   e

                                         67
r(t) ≡ r0 . Se invece E > E0 l’insieme di livello ` costituito da una curva
                                                     e
regolare chiusa, orbita nello spazio delle fasi di un moto periodico t → r(t).
    Una soluzione periodica per il moto complessivo t → (r(t), ϕ(t)) ` e
                                                       Pϕ
                       r(t) = r0 ,     ϕ(t) = ϕ(0) +     2t
                                                       mr0
(si ottengono pertanto infinite soluzioni periodiche variando il parametro
Pϕ = 0).

2.23    Soluzione Compito 23
Le coordinate solidali e le coordinate assolute sono correlate nel seguente
modo:                                              
                   X          cos φ − sin φ 0        x
                Y  =  sin φ cos φ 0   y  .
                   Z            0       0     1      Z
Le coordinate solidali di P1 sono:

                          x1 = 0, y1 = cos θ, Z1 = sin θ.

Pertanto le coordinate di P1 e P2 nel sistema assoluto sono:

                    P1 ≡ (− sin φ cos θ, cos φ cos θ, sin θ),
                    P2 ≡ (− sin φ, cos φ, 0).

                                a
I corrispondenti vettori velocit`:

vP1      ˙                                    ˙
       ≡ φ(− cos φ cos θ, − sin φ cos θ, 0) + θ(sin φ sin θ, − cos φ sin θ, cos θ),
vP2        ˙
       ≡ −φ(cos φ, sin φ, 0).

L’energia potenziale U :

                           U = −kL cos φ + m1 g sin θ.

               e
La lagrangiana ` quindi:
             1                ˙    m1 ˙2
          L = (m2 + m1 cos2 θ)φ2 +   θ + kL cos φ − m1 g sin θ.
             2                     2
Le equazioni di Lagrange sono:
            d                   ˙
               [(m2 + m1 cos2 θ)φ] = −kL sin φ
            dt
                                 ¨     m1       ˙
                                 θ = −    sin 2θφ2 + m1 g cos θ.                 (1)
                                       2

                                        68
I punti stazionari dell’energia potenziale sono individuati da:
                           ∂U
                                 = kL sin φ = 0,
                           ∂φ
                           ∂U
                                 = m1 g cos θ = 0.
                           ∂θ
Si hanno gli equilibri:
                                                 π
                          (1) : (φ1 , θ1 ) = (0, )
                                                 2
                                                   π
                          (2) : (φ2 , θ2 ) = (0, − )
                                                   2
                                                 π
                          (3) : (φ3 , θ3 ) = (π, )
                                                 2
                                                     π
                          (4) : (φ4 , θ4 ) = (−π, − )
                                                     2
                                                   e
La matrice hessiana di U in una generica posizione `:

                                  kL cos φ     0
                    H(φ, θ) =                             .
                                     0     −m1 g sin θ

                                                           e
Si vede quindi che l’unica posizione di equilibrio stabile ` la (2). La matrice
                                     e
dell’energia cinetica corrispondente `:

                                       m2 0
                             A :=                   .
                                       0 m1

Gli zeri del polinomio caratteristico:
                                          π
                           det(µA + H(0, − )) = 0.
                                          2
sono:
                                     kL
                            µ1 = −      ,     µ2 = −g.
                                     m2
                                                             ˙
Infine dalle (1) si vede che alle condizioni iniziali φ0 = π, φ0 = 0 corrisponde
il moto φ(t) ≡ π, mentre la variabile θ ` governata dall’equazione:
                                         e
                                ¨
                                θ = m1 g cos θ.




                                         69
2.24     Soluzione Compito 24
1) Le coordinate del baricentro G sono

                            xG =       sin θ,    yG = − cos θ.
                                   2                   2
           ˆ
Il versore n ha componenti (cos θ, sin θ), pertanto le coordinate del punto P
sono
              xP = sin θ + s cos θ, yP = − cos θ + s sin θ.
                    2                           2
Essendo I = M 2 /3 il momento d’inerzia dell’asta rispetto al suo estremo
                                   e
fisso, l’energia cinetica dell’asta `

                                                 M 2 ˙2
                                       Tasta =      θ .
                                                  6
                     a
Il punto P ha velocit` di componenti

       xP =
       ˙       ˙    ˙         ˙
               s + θ cos θ − sθ sin θ,               ˙
                                                     yP =    ˙    ˙         ˙
                                                             s + θ sin θ + sθ cos θ,
                  2                                             2

                                 e
pertanto la sua energia cinetica `

                                m 2                     2
                         TP =     ˙   ˙˙
                                  s + sθ +                       ˙
                                                            + s2 θ2 .
                                2                      4

                                 e
L’energia potenziale del sistema `
                                              −→
                                            k − 2
               U = Umolla + Upeso =           GP + mg yP + M g yG ,
                                            2
dunque
                         k 2
                U=         s + mg s sin θ − cos θ − M g cos θ.
                         2                 2           2
La lagrangiana ` L = T − U = Tasta + TP − U , dunque L = L2 + L0 con
               e

                     1                           M   m
              L2 =         ˙      ˙˙
                          ms2 + m sθ +             +            2         ˙
                                                                    + ms2 θ2 ,
                     2                           3   4

                        k
                  L0 = − s2 − mgs sin θ + (M + m)g cos θ.
                        2                         2




                                                70
2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del seguente sistema,
              
               ∂L0 = −ks − mg sin θ = 0,
              
               ∂s
              

                  ∂L
                     0
                 
                       = −mgs cos θ − (M + m)g sin θ = 0.
                    ∂θ                         2
Esplicitando la variabile s nella prima equazione e sostituendo nella seconda
si ricava subito che per ogni λ > 0 si hanno le soluzioni

                       (s1 , θ1 ) = (0, 0),        (s2 , θ2 ) = (0, π),

e che, se λ < 1, si hanno le due ulteriori soluzioni
                                      mg
                    (s± , θ± ) =                  1 − λ2 , ± arccos λ
                                      k
                                                              a
(coincidenti con (s1 , θ1 ) per λ = 1). Studiamone la stabilit` nel caso non
critico λ = 1. La matrice hessiana di L0 si scrive
                          −k                −mg cos θ
           H(s, θ) =                                           .
                        −mg cos θ mgs sin θ − (M + m)g 2 cos θ
Quindi
                  −k    −mg                                           −k    mg
 H(s1 , θ1 ) =                                ,      H(s2 , θ2 ) =                    .
                 −mg −(M + m)g 2                                      mg (M + m)g 2
Poich´ H(s1 , θ1 ) ha traccia negativa e determinante positivo [risp. negativo]
      e
                                                 e
se λ > 1 [risp. λ < 1], deduciamo che (s1 , θ1 ) ` stabile se λ > 1 ed instabile
se λ < 1; invece, poich´ H(s2 , θ2 ) ha determinante sempre negativo, (s2 , θ2 )
                         e
e
` instabile per ogni λ > 0. Infine, se λ < 1, si ha

                             −k            −mgλ
           H(s± , θ± ) =          m2 g 2
                            −mgλ − k (1 − λ2 ) − (M + m)g 2 λ

                                     −k  −mgλ
                              =             2 2               .
                                    −mgλ − mkg
Poich´ H(s± , θ± ) ha traccia negativa e determinante positivo, deduciamo che
       e
(s± , θ± ) sono stabili se λ < 1, ovvero quando esistono distinti da (s1 , θ1 ).

3) Il sistema senza molla ha lagrangiana L = L2 + L0 con

                     L0 = −mgs sin θ + (M + m)g cos θ.
                                               2

                                              71
Gli equilibri sono assegnati dalle soluzioni del sistema
               
                ∂L0 = −mg sin θ = 0,
               
                ∂s
               

                   ∂L
                      0
                  
                        = −mgs cos θ − (M + m)g sin θ = 0.
                     ∂θ                         2
Quindi essi sono (solo) (s1 , θ1 ) = (0, 0) e (s2 , θ2 ) = (0, π). Le rispettive
matrici jacobiane,

                   0     −mg                                     0    mg
 H(s1 , θ1 ) =                              ,   H(s2 , θ2 ) =                      ,
                  −mg −(M + m)g 2                               mg (M + m)g 2

sono a determinante negativo. Quindi entrambi gli equilibri sono instabili.

2.25    Soluzione Compito 25
1) Le coordinate dei tre punti materiali sono rispettivamente,

            P1 = (0, 0, z),      P2 = (cos θ, sin θ, 0),   P3 = (x, 0, 0).

                   e
L’energia cinetica ` pertanto
                                  m1 2 m2 ˙2 m3 2
                           T =      ˙
                                    z +   θ +   ˙
                                                x ,
                                  2     2     2
                −→
                −−         2               −→
                                           −−      2
mentre, essendo P1 P2          = 1 + z 2 e P2 P3       = x2 − 2x cos θ + 1, l’energia
           e
potenziale `
                                       k 2 k 2
           U = Umolle + Upeso =          z + (x − 2x cos θ) + m1 gz.
                                       2    2
Pertanto la lagrangiana ` L = T − U = L1 + L2 con
                        e
                                       m1 2 k 2
                         L1 (z, z) =
                                ˙        z − z − m1 gz,
                                         ˙
                                       2    2

                           ˙ ˙     m2 ˙2 m3 2 k
                 L2 (θ, x, θ, x) =   θ +   x + (2x cos θ − x2 ).
                                           ˙
                                   2     2    2

                          ˙ e
2) La lagrangiana L1 (z, z) ` quella di un oscillatore armonico con posizione
a riposo in z = −m1 g/k e frequenza ω1 = k/m1 . Quindi la soluzione
             ¯
                       e          ¯
generale del problema ` z(t) = z + A cos(ω1 t) + B sin(ω1 t) con A, B costanti
                                                                       e     ¯
fissate dalle condizioni iniziali, e la posizione di equilibrio (unica) ` z = z .

                                           72
3) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del seguente sistema,
                   
                    ∂L2 (θ, x, 0, 0) = −k x sin θ = 0,
                   
                    ∂θ
                   

                     ∂L
                       2
                    
                         (θ, x, 0, 0) = k cos θ − k x = 0.
                      ∂x
Si hanno quindi le seguenti quattro posizioni di equilibrio,

                                 π                             3π
                  (θ1 , x1 ) =     ,0 ,         (θ2 , x2 ) =      ,0 ,
                                 2                              2

                    (θ3 , x3 ) = (0, 1),        (θ4 , x4 ) = (π, −1).
                                       e
La matrice hessiana di L2 (θ, x, 0, 0) `

                                     −k x cos θ −k sin θ
                       H(θ, x) =                         ,
                                     −k sin θ    −k

da cui si deduce immediatamente che (θi , xi ), i = 1, 2, sono instabili e (θi , xi ),
i = 3, 4, sono stabili.

4) Essendo
                                                      −k        0
                     H(θ3 , x3 ) = H(θ4 , x4 ) =                    ,
                                                       0       −k
le posizioni di equilibrio stabile (θi , xi ), i = 3, 4, hanno uguali frequenze dei
modi normali, ω2 = k /m2 e ω3 = k /m3 .

2.26    Soluzione Compito 26
1) Siano e1 ed e2 i versori degli assi coordinati orizzontale e verticale ascen-
                                   −−→
                                                                       e
dente. L’angolo che la direzione AB forma con l’asse delle ascisse ` uguale
a θ − π , pertanto e = sin θ e1 − cos θ e2 . Si ha allora
      2

                            −
                            −→
                            OG = cos θ e1 + sin θ e2 ,
        −
        −→ − −→
        OP = OG + ξ e = ( cos θ + ξ sin θ) e1 + ( sin θ − ξ cos θ) e2 .
                   a
Pertanto le velocit` di tali punti sono

       − = θ − sin θ ,
       →
       vG  ˙                       − = ξ θ cos θ + (ξ − θ) sin θ .
                                   →
                                   vP    ˙          ˙   ˙
              cos θ                        sin θ           − cos θ


                                           73
               m(2 )2     m 2
Essendo I =            =        il momento di inerzia della sbarretta rispetto
                 12        3
                       ˙           a
al baricentro ed ω = θ la velocit` angolare della sbarretta, concludiamo che
l’energia cinetica di quest’ultima ` e
                            m − 2 1 2 m 2 ˙2 m 2 ˙2 2m 2 ˙2
                              →
             Tsbarretta =     vG + Iω =   θ +   θ =     θ .
                            2     2     2     6      3
                          e
L’energia cinetica totale ` quindi
                    m− 2
                       →                   m 2 ˙2     ˙   ˙     2m 2 ˙2
         T     =      |vP | + Tsbarretta =     ξ θ + (ξ − θ)2 +     θ
                    2                        2                   3
                    m ˙2       7 2         ˙      ˙˙
               =        ξ +        + ξ 2 θ2 − 2 ξ θ .
                    2           3

                     e
L’energia potenziale ` invece
                    −→
                 k − 2                    k
         U=        |GP | + mg (yG + yP ) = ξ 2 + mg (2 sin θ − ξ cos θ) .
                 2                        2
Concludiamo che la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 `
                                                   e

         m ˙2           7 2       ˙      ˙˙   k
   L=      ξ +              + ξ 2 θ2 − 2 ξ θ − ξ 2 + mgξ cos θ − 2mg sin θ.
         2               3                    2


2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema

                   ∂L0 = −kξ + mg cos θ = 0,
                  
                  
                   ∂ξ
                  

                       ∂L0
                      
                            = −mgξ sin θ − 2mg cos θ = 0,
                      
                      
                         ∂θ
ovvero                           mg
                              ξ=    cos θ,
                                  k
                             
                             
                          mg 
                              sin θ + 2 cos θ = 0.
                             
                             
                           k
                                   2k
Per ogni valore del parametro α =      > 0 si hanno le soluzioni
                                   mg
                                       π                              π
                     (ξ1 , θ1 ) = 0,     ,        (ξ2 , θ2 ) = 0, −     .
                                       2                              2


                                             74
Nel caso α ∈ (0, 1) si hanno le due ulteriori soluzioni,
                               mg
                      (ξ3 , θ3 ) =   1 − α2 , − arcsin α ,
                                k
                               mg
                (ξ4 , θ4 ) = −       1 − α2 , π + arcsin α .
                               k
                       a
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 ` e
                              −k            −mg sin θ
             H(y, θ) =                                                     .
                            −mg sin θ −mgξ cos θ + 2mg sin θ
Quindi
                       −k −mg                                         −k  mg
     H(ξ1 , θ1 ) =                         ,         H(ξ2 , θ2 ) =                  ,
                      −mg 2mg                                         mg −2mg
                                                                               
                                         −k                     mgα
      H(ξ3 , θ3 ) = H(ξ4 , θ4 ) =               (mg)2                       ,
                                        mgα −           (1 − α2 ) + 2mg α
                                                    k
                                 e                                 e
da cui si ricava che (ξ1 , θ1 ) ` sempre instabile, (ξ2 , θ2 ) ` stabile se α > 1
ed instabile se α ∈ (0, 1), mentre le posizioni (ξ3 , θ3 ), (ξ4 , θ4 ) sono stabili se
α ∈ (0, 1) (ovvero quando esistono distinte da (ξ2 , θ2 )).
                                                            e
     Il caso α = 1, in cui la soluzione (ξ2 , θ2 ) biforca, ` critico, ovvero la stabi-
   a
lit` non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede
un autovalore nullo).

                                                                     a
3) In assenza di forza peso, ovvero ponendo l’accelerazione di gravit` g = 0,
la lagrangiana si riduce a
                          m ˙2         7 2       ˙      ˙˙   k
                     L=     ξ +            + ξ 2 θ2 − 2 ξ θ − ξ 2 .
                          2             3                    2
Oltre all’energia si conserva anche il momento cinetico associato alla varia-
bile ciclica θ, pertanto sono costanti del moto
                          m ˙2         7 2       ˙      ˙˙   k
                  E=        ξ +            + ξ 2 θ2 − 2 ξ θ + ξ 2 ,
                          2             3                    2
                                ∂L             7 2       ˙     ˙
                          P =      =m              + ξ 2 θ − m ξ.
                                 ˙
                                ∂θ              3
Dalla seconda relazione di ricava

                                ˙         3          P   ˙
                                θ=                     + ξ ,
                                     3ξ 2 + 7   2    m

                                                75
da cui, sostituendo nella prima relazione,

                 m              3 2        ˙   k          3P 2
            E=         1−                  ξ2 + ξ2 +                  .
                 2          3ξ 2 + 7   2       2     2m (3ξ 2 + 7 2 )

Quindi, sul livello P del momento cinetico della variabile θ, i moti della
variabile ξ sono governati dalla lagrangiana efficace

                ˙      m           3 2          ˙   k          3P 2
         LP (ξ, ξ) =       1−                   ξ2 − ξ2 −                  .
                       2        3ξ 2+7     2        2     2m (3ξ 2 + 7 2 )

2.27     Soluzione Compito 27
1) I baricentri G e G delle sbarrette AB e BC hanno coordinate

           G = (x − cos θ, sin θ),              G = (x + cos θ, sin θ),

da cui
              →
              − =     ˙     ˙
                      x + θ sin θ                     ˙
                                         − = x − θ sin θ .
                                                 ˙
              vG         ˙          ,    v→G       ˙
                         θ cos θ                   θ cos θ
                            −
                           −→
L’angolo che la direzione CB forma con l’asse delle ascisse ` uguale a π − θ,
                                                            e
                   a
pertanto le velocit` angolari delle sbarrette AB e BC sono rispettivamente
     ˙
ω = θ ed ω = −ω. Essendo
                                       m(2 )2   m 2
                                I=            =
                                        12       3
il momento di inerzia di ciascuna sbarretta rispetto al proprio baricentro,
                                               e
concludiamo che l’energia cinetica del sistema `

         m − 2            1             m                 m 2 ˙2
            →
            vG + − v→ + I ω 2 + (ω )2 =
                        2                           ˙
T   =               G                     2x2 + 2 2 θ 2 +
                                           ˙                 θ
         2                2             2                  3
         m       8 2 ˙2
    =      2x2 +
             ˙      θ .
         2        3

Essendo A = (x − 2 cos θ, 0) e C = (x + 2 cos θ, 0), l’energia potenziale `
                                                                          e
              −
          k −→ 2       −
                      −→       k
    U=      |Q1 A| + |Q2 C|2 =   2x2 + 2             2
                                                         +8   2
                                                                  cos2 θ − 8   2
                                                                                   cos θ .
          2                    2
                                           e
Concludiamo che la lagrangiana L = L2 + L0 `

                m       8 2 ˙2
           L=     2x2 +
                   ˙       θ − kx2 − 4k              2
                                                         cos2 θ + 4k    2
                                                                            cos θ,
                2        3

                                           76
da cui le equazioni del moto,
                    
                     2m¨ = −2kx,
                         x
                    
                       8m 2 ¨               2
                      
                            θ = 4k              sin θ (2 cos θ − 1) .
                         3

2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema
                   
                    ∂L0 = −2kx = 0,
                   
                    ∂x
                   

                       ∂L
                          0        2
                      
                            = 4k       sin θ (2 cos θ − 1) = 0.
                         ∂θ
Esistono pertanto quattro posizioni di equilibrio,
                                                                                  π
      (x1 , θ1 ) = (0, 0),    (x2 , θ2 ) = (0, π),            (x± , θ± ) = 0, ±     .
                                                                                  3
                      a                            e
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                              −2k              0
               H(x, θ) =                                                    .
                               0  4k 2 [4 cos2 θ − 2 − cos θ]

Quindi

                        −2k  0                                           2k   0
      H(x1 , θ1 ) =                      ,           H(x2 , θ2 ) =                    ,
                         0  4k 2                                          0 12k   2


                                                 −2k   0
                         H(x± , θ± ) =                         2     ,
                                                  0  −6k
da cui si ricava che (x1 , θ1 ) e (x2 , θ2 ) sono instabili, mentre le posizioni
(x± , θ± ) sono stabili.

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alle posizioni
                                             e
(x± , θ± ). La matrice dell’energia cinetica ` costante, precisamente

                                     2m   0
                             A=                                .
                                      0 8m 2 /3
                                                                        √
Posto H = H(x± , θ± ), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ωi = −λi ,
essendo λi , i = 1, 2, le radici dell’equazione caratteristica det(H − λA) =

                                             77
        e
0. Poich´ in questo caso entrambe le matrici sono diagonali, ricaviamo
immediatamente
                              k           9k
                       ω1 =     , ω2 =        .
                              m           4m

                                                                            e
4) Dalle equazioni di Eulero-Lagrange si vede che il moto della variabile x `
quello di un oscillatore armonico di frequenza k/m. Per ottenere un moto
           e
armonico ` pertanto sufficiente scegliere i dati iniziali in modo tale che la
variabile θ rimanga in quiete, ovvero

                x(0) = x0 ,   x(0) = x0 ,
                              ˙      ˙                  ¯
                                                 θ(0) = θ,       ˙
                                                                 θ(0) = 0,
                        ¯
con x0 , x0 qualsiasi e θ = 0, π, ±(π/3).
         ˙

2.28     Soluzione Compito 28
1) Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto
secondo la verticale ascendente. Il baricentro G della sbarra ed il punto P
hanno coordinate

   G=          sin θ, − cos θ ,        P = ( sin θ + ξ cos θ, − cos θ + ξ sin θ),
           2           2
da cui

         − = θ cos θ ,
         →
         vG   ˙                   − = ( θ + ξ) cos θ + ξ θ − sin θ .
                                  →
                                  vP    ˙ ˙              ˙
            2   sin θ                          sin θ        cos θ

Essendo
                                       M 2   2m        2
                                  I=       =
                                        3     3
                                                                        ˙
il momento di inerzia della sbarra rispetto all’estremo fisso O ed ω = θ la
           a                                                          e
sua velocit` angolare, concludiamo che l’energia cinetica del sistema `

                    m                                            2
          T     =       − 2 + 1 Iω 2 = m ( θ + ξ)2 + ξ 2 θ2 + m θ2
                        →
                        vP                    ˙ ˙        ˙         ˙
                    2           2         2                    3
                    m    ˙      ˙˙          5  ˙
                =       ξ 2 + 2 ξ θ + ξ 2 + 2 θ2 .
                    2                       3
                     e
L’energia potenziale ` invece
             −→
          k − 2                   k
    U=      |OP | + M gyG + mgyP = (ξ 2 +              2
                                                           ) + mg(ξ sin θ − 2 cos θ).
          2                       2


                                            78
                                           e
Concludiamo che la lagrangiana L = L2 + L0 `
          m ˙2    ˙˙        5                ˙   k
     L=     ξ + 2 ξθ + ξ2 +             2
                                             θ2 − ξ 2 − mg(ξ sin θ − 2 cos θ).
          2                 3                    2

2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema

                   ∂L0 = −kξ − mg sin θ = 0,
                  
                  
                   ∂ξ
                  

                     ∂L0
                    
                          = −mgξ cos θ − 2mg sin θ = 0,
                    
                    
                       ∂θ
ovvero                         mg
                           ξ=−    sin θ,
                                k
                          
                          
                              mg
                               2 − cos θ sin θ = 0.
                          
                          
                                k
                                  2k
Per ogni valore del parametro α =      > 0 si hanno le soluzioni
                                  mg
                      (ξ1 , θ1 ) = (0, 0),        (ξ2 , θ2 ) = (0, π).

Nel caso α ∈ (0, 1) si hanno le due ulteriori soluzioni,
                                      mg
                    (ξ± , θ± ) =              1 − α2 , ± arccos α .
                                      k
                      a                            e
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                                −k            −mg cos θ
             H(ξ, θ) =                                                   .
                              −mg cos θ mgξ sin θ − 2mg cos θ

Quindi

                      −k        −mg                              −k mg
    H(ξ1 , θ1 ) =                       ,     H(ξ2 , θ2 ) =                    ,
                    −mg −2mg                                     mg 2mg
                                                                      
                                −k               −mgα
           H(ξ± , θ± ) =                (mg)2                         ,
                              −mgα −           (1 − α2 ) − 2mg α
                                           k
                                e                              e
da cui si ricava che (ξ2 , θ2 ) ` sempre instabile, (ξ1 , θ1 ) ` stabile se α > 1 ed
instabile se α ∈ (0, 1), mentre le posizioni (ξ± , θ± ) sono stabili se α ∈ (0, 1)
(ovvero quando esistono distinte da (ξ1 , θ1 )).

                                             79
                                                            e
     Il caso α = 1, in cui la soluzione (ξ1 , θ1 ) biforca, ` critico, ovvero la stabi-
   a
lit` non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede
un autovalore nullo).

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione
                                                                                   e
(ξ1 , θ1 ) nel caso α > 1. La matrice dell’energia cinetica valutata in (ξ1 , θ1 ) `

                                        m      m
                             A=                         .
                                        m    5m 2 /3

Posto H = H(ξ1 , θ1 ), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =
  −λ± , essendo λ± le radici dell’equazione caratteristica

                                  −k − λm          −mg − λm
         det(H − λA) = det                                               = 0.
                                 −mg − λm        −2mg − λ5m 2 /3

Svolgendo i conti si trova

                                   5        25   α−1 k
                        λ± = −       ±         −6 2    ,
                                   2        4     α  m

dunque
                                  5         25   α−1        k
                        ω± =        ±          −6 2           .
                                  2         4     α         m

2.29     Soluzione Compito 29
1) Il punto P ha coordinate (x, y, xy), da cui
                 
             ˙
             x
− =  y  , T = m |− |2 = m (1 + y 2 )x2 + (1 + x2 )y 2 + 2xy xy .
 →
vP           ˙               →
                             vP                ˙    ˙         ˙˙
                          2           2
           ˙    ˙
         y x + xy

                     e
L’energia potenziale `
                                        −→
                                     k − 2
                               U=      |OP | + Upeso
                                     2
ovvero
                         k 2
                        U=  x + y 2 + x2 y 2 + mgxy.
                         2
Concludiamo che la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 ` e
       m                                        k 2
 L=      (1 + y 2 )x2 + (1 + x2 )y 2 + 2xy xy −
                   ˙             ˙         ˙˙     x + y 2 + x2 y 2 − mgxy.
       2                                        2

                                            80
2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema

                     ∂L0 = −kx − kxy 2 − mgy = 0,
                    
                    
                     ∂x
                    

                           ∂L0
                                = −ky − kx2 y − mgx = 0,
                          
                          
                          
                             ∂y
                          mg
ovvero, essendo λ =          ,
                           k
                         
                          x = − λy ,
                         
                                1 + y2
                         
                         
                         
                         
                                      λ2 y 2      λ2
                          y 1+                 −        = 0,
                         
                                     (1 + y 2 )2 1 + y 2
                         

Per ogni λ > 0 si ha la soluzione (x1 , y1 ) = (0, 0). Nel caso λ > 1 sussistono
le due ulteriori soluzioni,
                    √           √                              √      √
    (x2 , y2 ) =        λ − 1, − λ − 1 ,         (x3 , y3 ) = − λ − 1, λ − 1 .

                      a                            e
Studiamone la stabilit`; la matrice hessiana di L0 `

                                            1 + y 2 2xy + λ
                         H(x, y) = −k                            .
                                           2xy + λ 1 + x2

Quindi
                                                    1 λ
                              H(x1 , y1 ) = −k            ,
                                                    λ 1
                                                      λ  2−λ
                   H(x2 , y2 ) = H(x3 , y3 ) = −k                    ,
                                                     2−λ  λ
                                   e
da cui si ricava che (x1 , y1 ) ` stabile se λ < 1 ed instabile se λ > 1, mentre
le posizioni (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) sono stabili se λ > 1 (ovvero quando esistono
distinte da (x1 , y1 )).

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di
                                                                          e
equilibrio stabile (x1 , y1 ) per λ < 1. La matrice dell’energia cinetica `

                                      m(1 + y 2 )   mxy
                         A(x, y) =                           ,
                                        mxy       m(1 + x2 )


                                            81
pertanto
                                             m 0
                        A = A(x1 , y1 ) =              .
                                             0 m
Posto H = H(x1 , y1 ), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =
√
  −µ± , essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica

                                     −k − µm   −kλ
             det(H − µA) = det                                 = 0.
                                       −kλ   −k − µm

Pertanto
                                       k
                              ω± =       (1 ± λ).
                                       m

                   e
4) Il caso critico ` λ = 1, in cui i tre equilibri coincidono con il punto (0, 0)
             a
e la stabilit` non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana
                                                                     o
possiede un autovalore negativo ed uno nullo). Osserviamo per` che in tal
             e
caso, poich´ k = mg, si ha
                                     k 2
            L0 (x, y) − L0 (0, 0) = −  x + y 2 + x2 y 2 + 2xy
                                     2
                                     k
                                  = − (x + y)2 + x2 y 2 ,
                                     2
    e            a
che ` una quantit` negativa per ogni (x, y) = (0, 0). Quindi L0 possiede un
                                                     e
massimo proprio in (0, 0) e pertanto tale equilibrio ` stabile per il teorema
di Lagrange-Dirichlet.




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