Pembahasan soal matematika dasar SIMAK UI 2012 kode 221

Document Sample
Pembahasan soal matematika dasar SIMAK  UI 2012 kode 221 Powered By Docstoc
					Tutur Widodo                                 Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012


             Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012
                                         Kode 221
                                  Oleh Tutur Widodo

  1. Sebuah garis h yang melalui titik asal memotong kurva 2y = 3x2 − 2x + 1 di dua titik
     di mana jumlah nilai x-nya adalah 10, maka gradien dari garis h adalah ...

    a. −1                                        d. 14
         3
    b.                                           e. 15
         2
    c. 6

    Jawaban : d
    Misal, gradien garis h adalah m maka persamaan garis h adalah y = mx. Misalkan
    pula, absis dari titik potong garis h dengan kurva 2y = 3x2 − 2x + 1 ialah x1 dan x2 .
    Oleh karena itu, x1 dan x2 adalah akar - akar persamaan kuadrat,

                         2mx = 3x2 − 2x + 1 ⇔ 3x2 − (2m + 2)x + 1 = 0

    dan karena diketahui x1 + x2 = 10 maka diperoleh,

                           2m + 2
                                  = 10 ⇔ m + 1 = 15 ⇔ m = 14
                             3

    Jadi, gradien garis h adalah 14.
                             3 3 9 15
  2. Diketahui sebuah barisan , , , , · · · . Jumlah sepuluh suku pertama dari barisan
                             2 4 8 16
     tersebut adalah ...

              1 − 2−10                                  −2−10 − 1
    a. 10 +                                      d.
                 3                                         3
              −2−10 − 1
    b. 10 −                                      e. 10
                 3
              2−10 − 1
    c. 10 +
                 3

    Jawaban : a
    Rumus suku ke-n barisan pada soal adalah

                                                  1
                                            1+   2n
                                                    ,   jika n ganjil
                                 Un =             1
                                            1−   2n
                                                    ,   jika n genap

    Karena yang ditanyakan jumlah 10 suku pertama maka kita perlu menghitung jumlah
    5 suku pertama untuk suku ganjil dan jumlah 5 suku pertama untuk suku genap.
    Jumlah 5 suku pertama suku ganjil adalah,
                                     1
                                     2
                                         1 − 415     2 (1 − 2−10 )
                                5+               =5+
                                         1− 1
                                            4
                                                           3

    Jumlah 5 suku pertama suku genap adalah,

                                     1 2 (1 − 2−10 )     1 − 2−10
                                5−     ·             =5−
                                     2       3              3


                                                                                        1
Tutur Widodo                                          Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012


    Oleh karena itu, jumlah 10 suku pertama barisan tersebut adalah

                                 2 (1 − 2−10 )     1 − 2−10        1 − 2−10
                         5+                    +5−          = 10 +
                                       3              3               3

  3. Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan x > 1 dan y > 0. Jika xy = xy dan
     x
        = x5y , maka x2 + 3y = · · ·
     y

    a. 29                                                 d. 26

    b. 28                                                 e. 25

    c. 27

    Jawaban : b
    Dengan mengalikan kedua persamaan yang diketahui diperoleh,

                                                       x2 = x6y

    karena x > 1 maka 6y = 2 ⇔ y = 1 . Sehingga didapat,
                                   3

                                     x    1               2                      3
                                       = x3          ⇔ x3 = 3 ⇔ x = 32
                                     3

    Jadi, x2 + 3y = 33 + 1 = 28.
                                                                         x2     10000
  4. Hasil perkalian dari nilai - nilai x yang memenuhi                      = 2(log x)−8 adalah ...
                                                                       10000  x
    a. 102                                                d. 105

    b. 103                                                e. 107

    c. 104

    Jawaban : b
                                                                              x2     10000
    Misalkan x1 dan x2 adalah nilai - nilai x yang memenuhi                       = 2(log x)−8 . Perhatikan
                                                                            10000  x
                x2     10000
    bahwa           = 2(log x)−8 equivalen dengan
              10000  x
                               10 log x)−6
                         x2(                 = 108    ⇔       log(x2(log x)−6 ) = log(108 )
                                                      ⇔ (2(log x) − 6) log x = 8
                                                      ⇔ 2 log2 x − 6 log x = 8
                                                      ⇔ 2 log2 x − 6 log x − 8 = 0

    Oleh karena itu log x1 dan log x2 adalah akar - akar dari 2t2 − 6t − 8 = 0. Sehingga

                                        log(x1 x2 ) = log x1 + log x2 = 3

    Jadi, x1 x2 = 103

  5. Jika luas dari gambar di atas adalah 40 satuan luas dan jika 3 < a < 5, maka ...
         2         31
    a.   3
             <b<   6
                                                          d. 9 < b < 31
         32         31
    b.    2
              <b<   6
                                                          e. 43 < b < 45

    c. 9 < b < 25

                                                                                                         2
Tutur Widodo                              Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012


    Jawaban : b
    Luas gambar di atas adalah (a + b)2 − b2 = a2 + 2ab. Sehingga diperoleh,

                                                 40 − a2
                            a2 + 2ab = 40 ⇔ b =
                                                   2a
                                                 20 a
                                            ⇔ b=    − = f (a)
                                                 a    2

    karena f (a) monoton turun untuk interval (3, 5) maka

                                                      3     31
                              f (5) < b < f (3) ⇔       <b<
                                                      2      6

  6. Diketahui bahwa jika Deni mendapatkan nilai 75 pada ulangan yang akan datang, maka
     rata - rata nilai ulangannya adalah 82. Jika Deni mendapatkan nilai 93, maka rata-rata
     nilai ulangannya adalah 85. Banyaknya ulangan yang sudah diikuti Deni adalah ...

    a. 3                                     d. 6

    b. 4                                     e. 7

    c. 5

    Jawaban : d
    Misalkan banyaknya ulangan yang diikuti Deni adalah n, dan misalkan pula jumlah
    seluruh nilai ulangan Deni pada n − 1 ulangan sebelumnya adalah x, maka diperoleh
    sistem persamaan

                                x + 75
                                       = 82 ⇔ 82n − x = 75
                                  n
                                x + 93
                                       = 85 ⇔ 85n − x = 93
                                  n

    dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama diperoleh 3n =
    18 ⇔ n = 6.

  7. Sebuah dadu dilempar sebanyak 6 kali. Peluang munculnya angka yang lebih besar
     atau sama dengan 5 dalam minimal 5 kali pelemparan adalah ...
        13                                       3
    a.                                       d.
       729                                      729
        12                                       2
    b.                                       e.
       729                                      729
       11
    c.
       729
    Jawaban : a
    Jika sebuah dadu dilempar sekali maka peluang munculnya angka yang lebih besar
                             1
    atau sama dengan 5 adalah . Oleh karena itu, jika sebuah dadu dilempar 6 kali maka
                             3
    peluang munculnya angka yang lebih besar atau sama dengan 5 dalam minimal 5 kali
    pelemparan adalah

         • Jika angka 5 atau 6 muncul dalam 6 kali pelemparan maka peluangnya adalah
            1       1
             6
                =      .
           3       729
         • Jika angka 5 atau 6 muncul dalam 5 kali pelemparan maka peluangnya adalah
              6     1 2      2    12
                  · 5 · =6·     =     .
              5     3 3     729   729

                                                                                         3
Tutur Widodo                                          Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012


    Jadi, peluang munculnya angka yang lebih besar atau sama dengan 5 dalam minimal
                             1   12     13
    5 kali pelemparan yaitu    +     =     .
                            729 729    729
                                      z
                               2          log b
  8. Diketahui A =          a     1
                                                  merupakan matriks singular. Maka a log b3 a +z log a ·b
                              log z        1
    log z 2 = · · ·

    a. −10                                                d. 6

    b. −6                                                 e. 10

    c. 0

    Jawaban : b
    Karena A adalah matriks singular maka det A = 0. Oleh karena itu,

                                            1 z
                               2 −a log       · log b = 0 ⇔ 2 =a log z −1 ·z log b
                                            z
                                                          ⇔ 2 = −a log z ·z log b
                                                            ⇔ 2 = −a log b
                                                                  a
                                                            ⇔         log b = −2

    sehingga,

                      a                                                                  2
                          log b3 a +z log a ·b log z 2 = 3a log b +a log a +      a log z ·z log b

                                                                                 2
                                                       = 3 · (−2) + 1 +     a   log b
                                                       = −5 + (−1) = −6


  9. Jika garis singgung parabola y = 4x−x2 di titik M (1, 3) juga merupakan garis singgung
                                                    √
     parabola y = x2 − 6x + k, maka nilai dari 5 − k − 1adalah ...

    a. 0                                                  d. 3

    b. 1                                                  e. 4

    c. 2

    Jawaban : b
    Gradien garis singgung parabola y = 4x − x2 di titik M (1, 3) adalah m = 4 − 2x dengan
    x = 1 sehingga m = 2. Jadi, persamaan garis singgung parabola y = 4x − x2 di titik
    M (1, 3) yaitu
                             y − 3 = 2(x − 1) ⇔ y = 2x + 1

    Selanjutnya substitusikan y = 2x + 1 ke pers. parabola y = x2 − 6x + k diperoleh
    persamaan kuadrat

                              2x + 1 = x2 − 6x + k         ⇔ x2 − 8x + k − 1 = 0

    yang nilai diskriminannya sama dengan 0 sebab y = 2x + 1 menyinggung parabola
    y = x2 − 6x + k,

                      (−8)2 − 4(k − 1) = 0 ⇔ 64 − 4k + 4 = 0 ⇔ k = 17

                                                                                                       4
Tutur Widodo                                    Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012

                 √            √
    Jadi, 5 −        k−1=5−       16 = 1.
                                          5 − cos 2θ
 10. Nilai maksimum dari k dimana                    ≥ 2k dan 0 < θ < π adalah ...
                                             sin θ

    a. 3                                             d. 6

    b. 4                                             e. 7

    c. 5

    Jawaban : a
                     5 − cos 2θ
    Misalkan f (θ) =            , perhatikan bahwa
                        sin θ

                                               5 − cos 2θ
                                      f (θ) =
                                                  sin θ
                                               5 − (1 − 2 sin2 θ)
                                             =
                                                      sin θ
                                               4 + 2 sin2 θ
                                             =
                                                   sin θ
                                                 4
                                             =       + 2 sin θ
                                               sin θ

    Untuk mencari batas maksimum nilai k berarti harus dicari nilai minimum dari f (θ)
    pada interval (0, π). Untuk mencari nilai minimum dari f (θ) dapat memanfaatkan
    turunan pertama dari f yaitu

                                      4 cos θ                           2
                          f (θ) = −       2   + 2 cos θ = 2 cos θ(1 −        )
                                      sin θ                           sin2 θ
                                                2
    Agar f minimum maka f (θ) = 0. Karena 1 −        = 0 maka f (θ) = 0 dicapai saat
                    π
                                              sin2 θ
    cos θ = 0 ⇔ θ = 2 . Oleh karena itu,

                                                π
                                    2k ≤ f            =6 ⇔ k≤3
                                                2

    Jadi, nilai maksimum dari k yang mungkin adalah k = 3.
                         1                 2
 11. Diketahui y =           . Jika y ≤ 1 + dan 0 ≤ x ≤ 2π maka nilai x yang memenuhi
                       csc x               y
    adalah ...

               π
    a. 0 < x <                                       d. 0 < x ≤ π
               2
               π
    b. 0 < x ≤                                       e. 0 < x < π
               2
    c. 0 ≤ x ≤ π

    Jawaban : e
                               1
    Perhatikan bahwa y =           = sin x. Sehingga
                             csc x
                                      2                             2
                            y ≤1+           ⇔       sin x ≤ 1 +
                                      y                           sin x
                                                                    2
                                            ⇔       sin x − 1 −         ≤0
                                                                 sin x
                                                    sin2 x − sin x − 2
                                            ⇔                           ≤0
                                                           sin x
                                                    (sin x − 2)(sin x + 1)
                                            ⇔                              ≤0
                                                             sin x

                                                                                        5
Tutur Widodo                                       Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012




                               0                           π            3π       2π
                                                                         2




                                                  3π
     Jadi, Hp = {x ∈ R|0 < x < π atau              2
                                                       ≤ x < 2π}.
                     sin 2(x − 1)
 12. lim                                  = ···
     x→1    (x2   − 2x + 1) cot 1 (x − 1)
                                2

        1
     a.                                                  d. 2
        4
        1
     b.                                                  e. 4
        2
     c. 1

     Jawaban : c
                                                                                     1
                       sin 2(x − 1)                  2 sin(x − 1) · cos(x − 1) · tan 2 (x − 1)
            lim                             = lim
            x→1 (x2 − 2x + 1) cot 1 (x − 1)  (x−1)→0                 (x − 1)2
                                  2
                                                   1
                                            =2·1·
                                                   2
                                            =1


 13. Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas persegi. Jika
     jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak adalah 192 cm2 , maka volume
     kotak terbesar yang mungkin adalah ....

     a. 256 cm3                                          d. 381 cm3

     b. 320 cm3                                          e. 428 cm3

     c. 364 cm3

     Jawaban : a
     Misal panjang sisi alas persegi adalah s dan tinggi kotak t diperoleh,

                                                                      192 − s2
                                     s2 + 4st = 192 ⇔ t =
                                                                         4s

     Maka volume kotak yaitu

                                           V = s2 · t
                                                    192 − s2
                                              = s2 ·
                                                       4s
                                                      s3
                                              = 48s −     = f (s)
                                                       4

     Perhatikan bahwa, f (s) = 48 − 3 s2 sehingga f (s) = 0 diperoleh ketika s = 8. Oleh
                                    4
     karena itu volume kotak mencapai maksimum ketika s = 8 yaitu sebesar V = f (8) =
     384 − 128 = 256 cm3 .

 14. Jika diketahui xyz = 26 dan (2 log x)(2 log yz) + (2 log y)(2 log z) = 10 dengan x, y, z ≥ 0
     maka 2 log2 x +2 log2 y +2 log2 z = · · ·


                                                                                                 6
Tutur Widodo                                     Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012


     a. 2                                              d. 5

     b. 3                                              e. 6

     c. 4

     Jawaban : c
     Dari identitas (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca maka diperoleh,

     2
         log2 x +2 log2 y +2 log2 z
               = (2 log x +2 log y +2 log z)2 − 2 (2 log x)(2 log y) + (2 log y)(2 log z) + (2 log z)(2 log x)

               =2 log2 xyz − 2 (2 log x) (2 log y) + (2 log z) + (2 log y)(2 log z)

               = 62 − 2 · 10
               = 16
                                                       √
     Sehingga       2   log2 x +2 log2 y +2 log2 z =       16 = 4.

 15. Jika diketahui,

                                                 a + b + c = 18
                                              a2 + b2 + c2 = 756
                                                            a2 = bc

     maka a = · · ·

     a. −18                                            d. 12

     b. −12                                            e. 18

     c. 1

     Jawaban : b

           (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ⇔ 182 = 756 + 2(ab + bc + ca)
                                                                     ⇔ 2(ab + bc + ca) = 324 − 756
                                                                     ⇔ ab + bc + ca = −216
                                                                     ⇔ a(b + c) + bc = −216
                                                                     ⇔ a(18 − a) + a2 = −216
                                                                     ⇔ 18a = −216
                                                                     ⇔ a = −12


 16. Jika kedua akar persamaan px2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat
     kedua akar-akar tersebut akan bernilai ...

     a. maksimum 30                                    d. maksimum 6

     b. minimum 30                                     e. minimum − 15
                                                                    2

     c. minimum 6



                                                                                                         7
Tutur Widodo                               Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012


    Jawaban : c
    Misalkan akar - akar persamaan kuadrat px2 + 8x + 3p = 0 adalah x1 dan x2 maka
                8
    x1 + x2 = − p dan x1 x2 = 3. Oleh karena itu,

                                x2 + x2 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2
                                 1    2
                                                  2
                                              8
                                          = −    −2·3
                                              p
                                           64
                                          = 2 −6
                                           p

    Ingat pula bahwa kedua akar persamaan px2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, sehingga
                8                                                             64
    x1 + x2 = − p < 0 ⇔ p > 0 dan diskriminannya 64 − 12p2 ≥ 0 ⇔ p2 ≤ . Oleh
                                                                              12
               64                              2   64
    karena itu, 2 − 6 mencapai minimum ketika p =     yaitu
               p                                   12

                                          64            12
                             x 2 + x2 =
                               1    2        − 6 = 64 ·    −6=6
                                          p2            64

 17. Apabila k = x + y maka k 2 − k = 1 dan apabila k = x − y maka k 2 + k = 1, maka
     x + y = ···
          1 1√
    (1)    +   5
          2 2
          1
    (2)
          2
        1 1√
    (3)   −  5
        2 2
        1√
    (4)    5
        2
    Jawaban : b, (1) dan (3) benar
                                                                       1 1√
    Dengan rumus ABC diperoleh akar - akar dari k 2 − k − 1 = 0 adalah +    5 dan
                                                                       2 2
    1 1  √                                                  1 1  √      1 1√
     −     5. Oleh karena itu kemungkinan nilai x + y adalah +    5 atau −    5.
    2 2                                                     2 2         2 2
 18. Misalkan f : R → R dan g : R → R f (x) = x + 2 dan (g ◦ f )(x) = 2x2 + 4x − 6.
     Misalkan juga x1 dan x2 adalah akar - akar dari g(x) = 0, maka x1 + 2x= · · ·

    (1) 0

    (2) 1

    (3) 3

    (4) 5

    Jawaban : c, (2) dan (4) benar
    Perhatikan bahwa,
                         (g ◦ f )(x) = g(x + 2) = 2x2 + 4x − 6

    sehingga

               g(x) = 2(x − 2)2 + 4(x − 2) − 6 = 2x2 − 4x − 6 = 2(x + 1)(x − 3)

    Oleh karena itu, akar - akar dari g(x) = 0 adalah −1 dan 3. Jadi, x1 +2x2 = −1+2·3 = 5
    atau x1 + 2x2 = 3 + 2 · (−1) = 1.

                                                                                        8
Tutur Widodo                              Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012


                                  y 2 + 3y − 1
 19. Jika diketahui y 2 + 2y + 1,              , y − 1 adalah tiga suku barisan aritmatika,
                                        3
     maka nilai suku kedua yang memenuhi adalah ...

     (1) −1

     (2) −2

     (3) 1

     (4) 2

     Jawaban : b, (1) dan (3) benar
                          y 2 + 3y − 1
     Karena y 2 + 2y + 1,              , y − 1 adalah tiga suku barisan aritmatika, maka
                                 3
     berlaku,
                              y 2 + 3y − 1
                          2·                = y 2 + 2y + 1 + y − 1
                                    3
     Ada dua kasus yang mungkin,
             y 2 + 3y − 1                      y 2 + 3y − 1
       • 2·               = y+1+y−1 ⇔                        = y ⇔ y 2 − 1 = 0. Sehingga
                   3                                  3
         y 2 + 3y − 1           y 2 + 3y − 1
                       = 1 atau              = −1
                3                     3
             y 2 + 3y − 1                         y 2 + 3y − 1
       • 2·               = −y − 1 + y − 1 ⇔                   = −1.
                   3                                    3
 20. Diketahui bahwa x2 + 2xy + 2y 2 = 13 dengan x dan y adalah bilangan bulat. Nilai
     x − y yang mungkin dengan x > 0 dan y > 0 adalah ...

     (1) 4

     (2) 1

     (3) −4

     (4) −1

     Jawaban : e, hanya (4) yang benar
     Perhatikan x2 + 2xy + 2y 2 = 13 ⇔ (x + y)2 + y 2 = 13, karena x dan y bilangan bulat
     positif maka ada dua kemungkinan,

       • x + y = 2, yang berakibat y 2 = 9 ⇔ y = 3 yang jelas tidak mungkin.
       • x + y = 3, yang berakibat y 2 = 4 ⇔ y = 2 sehingga x = 1. Oleh karena itu,
         x − y = −1.




                                                       Disusun oleh : Tutur Widodo
                                              Apabila ada saran, kritik maupun masukan
                                                               silakan kirim via email ke
                                                                    tutur.w87@gmail.com
                                                                            Terima kasih.
                                         My blog : http://mathematic-room.blogspot.com



                                                                                         9

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Stats:
views:480
posted:3/25/2013
language:Unknown
pages:9