Pembahasan soal matematika ipa SIMAK UI tahun 2012 by TuturWidodo

VIEWS: 0 PAGES: 6

									Tutur Widodo                                  Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


             Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012
                                         Kode 521
                                   Oleh Tutur Widodo

  1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :

                                  x2 − xy + 3y 2 + 2x − 5y − 4 = 0
                                                        x + 2y = 4

    maka nilai x2 − y 2 = · · ·

    a. −6                                       d. 3

    b. −3                                       e. 6

    c. 0

    Jawaban : d
    Dari pers. kedua diperoleh x = 4−2y. Substitusikan nilai ini ke pers. pertama sehingga
    diperoleh,

                     (4 − 2y)2 − (4 − 2y)y + 3y 2 + 2(4 − 2y) − 5y − 4 = 0
                       ⇔ 16 − 16y + 4y 2 − 4y + 2y 2 + 8 − 4y − 5y − 4 = 0
                       ⇔ 9y 2 − 29y + 20 = 0
                       ⇔ (9y − 20)(y − 1) = 0

    karena y bulat maka y = 1 sehingga x = 2. Oleh karena itu, x2 − y 2 = 4 − 1 = 3.

  2. Misalkan f (x) = (x − 3)3 + (x − 2)2 + (x − 1), maka sisa dari pembagian f (x + 2) oleh
     x2 − 1 adalah ...

    a. −2 + 5x                                  d. 14 − 9x

    b. −9 + 14x                                 e. 11 + 19x

    c. 5 − 2x

    Jawaban : a
    Perhatikan bahwa,

                             f (x + 2) = (x − 1)3 + x2 + x + 1
                                      = x3 − 3x2 + 3x − 1 + x2 + x + 1
                                      = x3 − 2x2 + 4x
                                      = x2 (x − 2) − (x − 2) + 5x − 2
                                      = (x − 2)(x2 − 1) + 5x − 2

    mudah dilihat bahwa sisa dari f (x + 2) jika dibagi (x2 − 1) adalah 5x − 2.

  3. Nilai - nilai x yang memenuhi x − 2 ≤ |1 − 2x| adalah ...

    a. semua bilangan riil                      d. x ≤ −1 atau x ≥ 1


                                                                                          1
Tutur Widodo                                Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


                          1                           1
    b. x ≥ −1 atau x ≤                       e. x ≤     atau x ≥ 1
                          2                           2
    c. −1 ≤ x ≤ 1

    Jawaban : a
    Karena melibatkan nilai mutlak, maka akan lebih mudah jika kita bagi kasus :
                 1
    a) Untuk x ≤   , maka persamaan menjadi x − 2 ≤ 1 − 2x ⇔ x ≤ 1. Jadi, Hp =
                 2
                 1
       {x ∈ R|x ≤ }.
                 2
                  1
    b) Untuk x > , maka persamaan menjadi x − 2 ≤ 2x − 1 ⇔ x ≥ −1. Jadi,
                  2
                        1
       Hp = {x ∈ R|x > }.
                        2
    Oleh karena itu, berdasarkan dua kasus di atas pertidaksamaan tersebut dipenuhi untuk
    semua bilangan riil x.

  4. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 −(2k 2 −k−1)x+(3k+4) = 0
     dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x1 , k, x2 merupakan 3 suku
     pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah
     ...

         1       1
    a. − (−1)n +                             d. −(−1)n
         2       2
         1       1                                1         1
    b. − (−1)n −                             e.     (−1)n −
         2       2                                2         2
       1       1
    c. (−1)n +
       2       2

    Jawaban : a
    Dari rumus Vieta kita tahu bahwa x1 x2 = 3k + 4. Padahal, x1 , k, x2 membentuk
    barisan geometri sehingga berlaku pula x1 x2 = k 2 . Oleh karena itu, diperoleh k 2 =
    3k + 4 ⇔ k 2 − 3k − 4 = 0 ⇔ (k − 4)(k + 1) = 0.

         • Jika k = 4 maka diperoleh persamaan kuadrat x2 − 27x + 16 = 0 yang tidak punya
           akar bulat.
         • Jika k = −1 maka diperoleh persamaan kuadrat x2 −2x+1 = 0 ⇔ (x−1)2 = 0
           yang akar - akarnya x1 = x2 = 1

    Oleh karena itu, barisan geometri yang dimaksud adalah 1, −1, 1, −1, 1, · · · . Sehingga
    diperoleh,
                                   1 − (−1)n     1         1
                              Sn =            = − (−1)n +
                                    1 − (−1)     2         2
                         −→   − − →   −
                                      →
  5. Dalam segitiga ABC, AB = →, AC = b . Jika titik G adalah titik berat segitiga
                              a
                − →
     ABC maka AG = · · ·

       1 → → −                                  2 → → −
    a.   (− + b )
          a                                  d.   (− + b )
                                                   a
       6                                        3
       1 − →  −                                3 − →  −
    b. (→ + b )
          a                                  e. (→ + b )
                                                   a
       4                                       4
      1 − →  −
    c. (→ + b )
          a
      3



                                                                                          2
Tutur Widodo                                     Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


     Jawaban : c
                                                                                 −
                                                                                 −→
     Misal AD adalah garis berat segitiga ABC yang ditarik dari A maka diperoleh AD =
     1 → →  −                                          −→ 2−   −→ 1 − →    −
       (− + b ). Akan tetapi karena G titik berat maka AG = AD = (→ + b )
        a                                                              a
     2                                                       3      3
  6. Dalam segitiga ABC diketahui sudut α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika b > c
          b−c
     maka       = ···
          b+c
              1                                             1
          sin 2 (β − γ)                                 tan 2 (β − γ)
     a.                                            d.
             cos 1 α
                  2
                                                           tan 1 α
                                                                2

          cos 1 (β − γ)
              2
                                                        tan 1 (β − γ)
                                                            2
     b.                                            e.
             sin 1 α
                  2
                                                           cot 1 α
                                                                2
            1
        tan 2 (β − γ)
     c.
           sin 1 α
                2


     Jawaban : e
     Pada ABC berlaku aturan sinus yaitu

                                        a       b       c
                                            =       =       = 2R
                                      sin α   sin β   sin γ

     sehingga

                                 b−c   2R sin β − 2R sin γ
                                     =
                                 b+c   2R sin β + 2R sin γ
                                                             1
                                       2 cos 1 (β + γ) · sin 2 (β − γ)
                                              2
                                     =        1
                                       2 sin 2 (β + γ) · cos 1 (β − γ)
                                                             2
                                           1                1
                                     = cot (β + γ) · tan (β − γ)
                                           2                2
                                                ◦  1          1
                                     = cot(90 − α) · tan (β − γ)
                                                   2          2
                                            1        1
                                     = tan α · tan (β − γ)
                                            2        2
                                            1
                                       tan 2 (β − γ)
                                     =           1
                                           cot 2 α

  7. Jika sin2 t(csc2 t − 1)(1 − sin t + sin2 t − sin3 t + · · · ) = x dengan   π
                                                                                2
                                                                                    < t ≤ π, maka nilai
     dari cos t adalah ...

                                                                  1
     a.     1 − (x − 1)2                           d. −
                                                            1 − (x − 1)2
                                                              1
     b. −     1 − (x − 1)2                         e.
                                                          1 + (x − 1)2

     c. −     1 + (x − 1)2

     Jawaban : b
     Untuk t = π jelas bahwa sin t = 0 oleh karena itu x = 0 dan cos t = −1. Untuk kasus
     ini jelas tidak ada pilihan yang memenuhi. Oleh karena itu, haruslah batasan pada




                                                                                                     3
Tutur Widodo                                        Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


                  π
    soal adalah   2
                       < t < π. Untuk kondisi ini kita peroleh,

                             x = sin2 t · cott (1 − sin t + sin2 t − sin3 t + · · · )
                                            1
                               = cos2 t
                                        1 + sin t
                                 1 − sin2 t
                               =
                                  1 + sin t
                               = 1 − sin t

    Oleh karena itu, sin t = 1 − x sehingga cos t = − 1 − sin2 t = − 1 − (1 − x)2 =
    − 1 − (x − 1)2 .
    Catatan : Menurut saya batasan variable t pada soal seharusnya tidak menyertakan
    nilai t = π agar ada pilihan jawaban yang sesuai.
                  √
  8. lim 2x −         4x2 + 27 = · · ·
    x→−∞


    a. −∞                                               d. 4

    b. −2                                               e. ∞

    c. 0

    Jawaban : c
    Misalkan t = −x maka pertanyaan pada soal equivalent dengan,
                                          √                    √
                              lim 2x −     4x2 + 27 = lim −2t − 4t2 + 27
                             x→−∞                     t→∞
                                                          √     √
                                                    = lim 4t2 − 4t2 + 27
                                                             t→∞
                                                             0−0
                                                         =    √ =0
                                                             2 4

  9. Diberikan f (x) = sin2 x. Jika f (x) menyatakan turunan pertama dari f (x) maka
                   1
     lim h f (x + h ) − f (x) = · · ·
    h→∞


    a. sin 2x                                           d. 2 sin x

    b. − cos x                                          e. −2 cos x

    c. 2 cos 2x

    Jawaban : c
    Ingat kembali definisi dari turunan suatu fungsi yaitu

                                                        f (x + t) − f (x)
                                         f (x) = lim
                                                  t→0           t

    Berdasarkan definisi ini kita punya,

                                                               1
                                      1                 f (x + h ) − f (x)
                          lim h f (x + ) − f (x) = 1
                                                   lim           1
                         h→∞          h            h
                                                     →0          h

                                                          = f (x)
                                                          = 2 cos 2x



                                                                                          4
Tutur Widodo                                Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


 10. Jika diketahui garis singgung parabola y = 3x2 + ax + 1, pada titik x = −2 membentuk
     sudut terhadap sumbu X sebesar arctan(6). Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus
     y = −9x − 59 dan parabola tersebut adalah ...

    a. 0                                      d. 3
         1
    b.   2
                                              e. ∞

    c. 1

    Jawaban : b
    Garis singgung parabola y = 3x2 + ax + 1 di x = −2 memiliki gradien m = 6x + a =
    a − 12. Karena garis singgung tersebut membentuk sudut sebesar arctan(6) terhadap
    sumbu X maka gradiennya, m = 6. Oleh karena itu, diperoleh a−12 = 6 ⇔ a = 18.
    Jadi, persamaan parabola yang dimaksud adalah y = 3x2 + 18x + 1. Misalkan F (x) =
    −9x − 59 − (3x2 + 18x + 1) = −3x2 − 27x − 60. Oleh karena itu, luas daerah yang
    dibatasi oleh garis lurus y = −9x − 59 dan parabola y = 3x2 + 18x + 1 sama dengan
    luas yang dibatasi oleh kurva F (x) dan sumbu X yaitu
                                                 √
                                                9 9      1
                                      Luas =         2
                                                       =
                                             6 · (−3)    2

 11. Diberikan bidang empat A.BCD dengan BC tegaklurus BD dan AB tegaklurus bidang
                              √
     BCD. Jika BC = BD = a 2 cm, dan AB = a cm, maka sudut antara bidang ACD
     dan BCD sama dengan ...

         π                                         3π
    a.   6
                                              d.    4

         π                                         π
    b.   4
                                              e.   2

         π
    c.   3


    Jawaban : b
    Perhatikan sketsa di bawah ini!


               A




               B
                               D

                    E

         C
    Perhatikan bahwa BCD adalah segitiga siku - siku sama kaki, sehingga BE = CE =
    ED = a. Oleh karena itu, BE = a = AB dan karena ∠ABE = 90◦ maka ∠AEB = 45◦ .

 12. Persamaan kuadrat x2 − pqx + p2 + q 2 = 0 akar - akarnya x1 dan x2 dengan 2x1 x2 =
     5(x1 + x2 ). Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara p dan q adalah
     ...



                                                                                       5
Tutur Widodo                              Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


    (1) p = q

    (2) p = 2q

    (3) p = q + 2

    (4) 2p = q

    Jawaban : c
    Berdasarkan rumus Vieta diperoleh, x1 + x2 = pq dan x1 x2 = p2 + q 2 sehinggga

                       2x1 x2 = 5(x1 + x2 ) ⇔ 2p2 + 2q 2 = 5pq
                                            ⇔ 2p2 − 5pq + 2q 2 = 0
                                            ⇔ (2p − q)(p − 2q) = 0



    Jadi, diperoleh hubungan 2p = q atau p = 2q.




                                                      Disusun oleh : Tutur Widodo
                                             Apabila ada saran, kritik maupun masukan
                                                              silakan kirim via email ke
                                                                   tutur.w87@gmail.com
                                                                           Terima kasih.
                                        My blog : http://mathematic-room.blogspot.com




                                                                                      6

								
To top