Pembahasan soal matematika ipa SIMAK UI tahun 2012

Document Sample
Pembahasan soal matematika  ipa  SIMAK UI  tahun 2012 Powered By Docstoc
					Tutur Widodo                                  Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


             Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012
                                         Kode 521
                                   Oleh Tutur Widodo

  1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :

                                  x2 − xy + 3y 2 + 2x − 5y − 4 = 0
                                                        x + 2y = 4

    maka nilai x2 − y 2 = · · ·

    a. −6                                       d. 3

    b. −3                                       e. 6

    c. 0

    Jawaban : d
    Dari pers. kedua diperoleh x = 4−2y. Substitusikan nilai ini ke pers. pertama sehingga
    diperoleh,

                     (4 − 2y)2 − (4 − 2y)y + 3y 2 + 2(4 − 2y) − 5y − 4 = 0
                       ⇔ 16 − 16y + 4y 2 − 4y + 2y 2 + 8 − 4y − 5y − 4 = 0
                       ⇔ 9y 2 − 29y + 20 = 0
                       ⇔ (9y − 20)(y − 1) = 0

    karena y bulat maka y = 1 sehingga x = 2. Oleh karena itu, x2 − y 2 = 4 − 1 = 3.

  2. Misalkan f (x) = (x − 3)3 + (x − 2)2 + (x − 1), maka sisa dari pembagian f (x + 2) oleh
     x2 − 1 adalah ...

    a. −2 + 5x                                  d. 14 − 9x

    b. −9 + 14x                                 e. 11 + 19x

    c. 5 − 2x

    Jawaban : a
    Perhatikan bahwa,

                             f (x + 2) = (x − 1)3 + x2 + x + 1
                                      = x3 − 3x2 + 3x − 1 + x2 + x + 1
                                      = x3 − 2x2 + 4x
                                      = x2 (x − 2) − (x − 2) + 5x − 2
                                      = (x − 2)(x2 − 1) + 5x − 2

    mudah dilihat bahwa sisa dari f (x + 2) jika dibagi (x2 − 1) adalah 5x − 2.

  3. Nilai - nilai x yang memenuhi x − 2 ≤ |1 − 2x| adalah ...

    a. semua bilangan riil                      d. x ≤ −1 atau x ≥ 1


                                                                                          1
Tutur Widodo                                Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


                          1                           1
    b. x ≥ −1 atau x ≤                       e. x ≤     atau x ≥ 1
                          2                           2
    c. −1 ≤ x ≤ 1

    Jawaban : a
    Karena melibatkan nilai mutlak, maka akan lebih mudah jika kita bagi kasus :
                 1
    a) Untuk x ≤   , maka persamaan menjadi x − 2 ≤ 1 − 2x ⇔ x ≤ 1. Jadi, Hp =
                 2
                 1
       {x ∈ R|x ≤ }.
                 2
                  1
    b) Untuk x > , maka persamaan menjadi x − 2 ≤ 2x − 1 ⇔ x ≥ −1. Jadi,
                  2
                        1
       Hp = {x ∈ R|x > }.
                        2
    Oleh karena itu, berdasarkan dua kasus di atas pertidaksamaan tersebut dipenuhi untuk
    semua bilangan riil x.

  4. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 −(2k 2 −k−1)x+(3k+4) = 0
     dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x1 , k, x2 merupakan 3 suku
     pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah
     ...

         1       1
    a. − (−1)n +                             d. −(−1)n
         2       2
         1       1                                1         1
    b. − (−1)n −                             e.     (−1)n −
         2       2                                2         2
       1       1
    c. (−1)n +
       2       2

    Jawaban : a
    Dari rumus Vieta kita tahu bahwa x1 x2 = 3k + 4. Padahal, x1 , k, x2 membentuk
    barisan geometri sehingga berlaku pula x1 x2 = k 2 . Oleh karena itu, diperoleh k 2 =
    3k + 4 ⇔ k 2 − 3k − 4 = 0 ⇔ (k − 4)(k + 1) = 0.

         • Jika k = 4 maka diperoleh persamaan kuadrat x2 − 27x + 16 = 0 yang tidak punya
           akar bulat.
         • Jika k = −1 maka diperoleh persamaan kuadrat x2 −2x+1 = 0 ⇔ (x−1)2 = 0
           yang akar - akarnya x1 = x2 = 1

    Oleh karena itu, barisan geometri yang dimaksud adalah 1, −1, 1, −1, 1, · · · . Sehingga
    diperoleh,
                                   1 − (−1)n     1         1
                              Sn =            = − (−1)n +
                                    1 − (−1)     2         2
                         −→   − − →   −
                                      →
  5. Dalam segitiga ABC, AB = →, AC = b . Jika titik G adalah titik berat segitiga
                              a
                − →
     ABC maka AG = · · ·

       1 → → −                                  2 → → −
    a.   (− + b )
          a                                  d.   (− + b )
                                                   a
       6                                        3
       1 − →  −                                3 − →  −
    b. (→ + b )
          a                                  e. (→ + b )
                                                   a
       4                                       4
      1 − →  −
    c. (→ + b )
          a
      3



                                                                                          2
Tutur Widodo                                     Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


     Jawaban : c
                                                                                 −
                                                                                 −→
     Misal AD adalah garis berat segitiga ABC yang ditarik dari A maka diperoleh AD =
     1 → →  −                                          −→ 2−   −→ 1 − →    −
       (− + b ). Akan tetapi karena G titik berat maka AG = AD = (→ + b )
        a                                                              a
     2                                                       3      3
  6. Dalam segitiga ABC diketahui sudut α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika b > c
          b−c
     maka       = ···
          b+c
              1                                             1
          sin 2 (β − γ)                                 tan 2 (β − γ)
     a.                                            d.
             cos 1 α
                  2
                                                           tan 1 α
                                                                2

          cos 1 (β − γ)
              2
                                                        tan 1 (β − γ)
                                                            2
     b.                                            e.
             sin 1 α
                  2
                                                           cot 1 α
                                                                2
            1
        tan 2 (β − γ)
     c.
           sin 1 α
                2


     Jawaban : e
     Pada ABC berlaku aturan sinus yaitu

                                        a       b       c
                                            =       =       = 2R
                                      sin α   sin β   sin γ

     sehingga

                                 b−c   2R sin β − 2R sin γ
                                     =
                                 b+c   2R sin β + 2R sin γ
                                                             1
                                       2 cos 1 (β + γ) · sin 2 (β − γ)
                                              2
                                     =        1
                                       2 sin 2 (β + γ) · cos 1 (β − γ)
                                                             2
                                           1                1
                                     = cot (β + γ) · tan (β − γ)
                                           2                2
                                                ◦  1          1
                                     = cot(90 − α) · tan (β − γ)
                                                   2          2
                                            1        1
                                     = tan α · tan (β − γ)
                                            2        2
                                            1
                                       tan 2 (β − γ)
                                     =           1
                                           cot 2 α

  7. Jika sin2 t(csc2 t − 1)(1 − sin t + sin2 t − sin3 t + · · · ) = x dengan   π
                                                                                2
                                                                                    < t ≤ π, maka nilai
     dari cos t adalah ...

                                                                  1
     a.     1 − (x − 1)2                           d. −
                                                            1 − (x − 1)2
                                                              1
     b. −     1 − (x − 1)2                         e.
                                                          1 + (x − 1)2

     c. −     1 + (x − 1)2

     Jawaban : b
     Untuk t = π jelas bahwa sin t = 0 oleh karena itu x = 0 dan cos t = −1. Untuk kasus
     ini jelas tidak ada pilihan yang memenuhi. Oleh karena itu, haruslah batasan pada




                                                                                                     3
Tutur Widodo                                        Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


                  π
    soal adalah   2
                       < t < π. Untuk kondisi ini kita peroleh,

                             x = sin2 t · cott (1 − sin t + sin2 t − sin3 t + · · · )
                                            1
                               = cos2 t
                                        1 + sin t
                                 1 − sin2 t
                               =
                                  1 + sin t
                               = 1 − sin t

    Oleh karena itu, sin t = 1 − x sehingga cos t = − 1 − sin2 t = − 1 − (1 − x)2 =
    − 1 − (x − 1)2 .
    Catatan : Menurut saya batasan variable t pada soal seharusnya tidak menyertakan
    nilai t = π agar ada pilihan jawaban yang sesuai.
                  √
  8. lim 2x −         4x2 + 27 = · · ·
    x→−∞


    a. −∞                                               d. 4

    b. −2                                               e. ∞

    c. 0

    Jawaban : c
    Misalkan t = −x maka pertanyaan pada soal equivalent dengan,
                                          √                    √
                              lim 2x −     4x2 + 27 = lim −2t − 4t2 + 27
                             x→−∞                     t→∞
                                                          √     √
                                                    = lim 4t2 − 4t2 + 27
                                                             t→∞
                                                             0−0
                                                         =    √ =0
                                                             2 4

  9. Diberikan f (x) = sin2 x. Jika f (x) menyatakan turunan pertama dari f (x) maka
                   1
     lim h f (x + h ) − f (x) = · · ·
    h→∞


    a. sin 2x                                           d. 2 sin x

    b. − cos x                                          e. −2 cos x

    c. 2 cos 2x

    Jawaban : c
    Ingat kembali definisi dari turunan suatu fungsi yaitu

                                                        f (x + t) − f (x)
                                         f (x) = lim
                                                  t→0           t

    Berdasarkan definisi ini kita punya,

                                                               1
                                      1                 f (x + h ) − f (x)
                          lim h f (x + ) − f (x) = 1
                                                   lim           1
                         h→∞          h            h
                                                     →0          h

                                                          = f (x)
                                                          = 2 cos 2x



                                                                                          4
Tutur Widodo                                Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


 10. Jika diketahui garis singgung parabola y = 3x2 + ax + 1, pada titik x = −2 membentuk
     sudut terhadap sumbu X sebesar arctan(6). Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus
     y = −9x − 59 dan parabola tersebut adalah ...

    a. 0                                      d. 3
         1
    b.   2
                                              e. ∞

    c. 1

    Jawaban : b
    Garis singgung parabola y = 3x2 + ax + 1 di x = −2 memiliki gradien m = 6x + a =
    a − 12. Karena garis singgung tersebut membentuk sudut sebesar arctan(6) terhadap
    sumbu X maka gradiennya, m = 6. Oleh karena itu, diperoleh a−12 = 6 ⇔ a = 18.
    Jadi, persamaan parabola yang dimaksud adalah y = 3x2 + 18x + 1. Misalkan F (x) =
    −9x − 59 − (3x2 + 18x + 1) = −3x2 − 27x − 60. Oleh karena itu, luas daerah yang
    dibatasi oleh garis lurus y = −9x − 59 dan parabola y = 3x2 + 18x + 1 sama dengan
    luas yang dibatasi oleh kurva F (x) dan sumbu X yaitu
                                                 √
                                                9 9      1
                                      Luas =         2
                                                       =
                                             6 · (−3)    2

 11. Diberikan bidang empat A.BCD dengan BC tegaklurus BD dan AB tegaklurus bidang
                              √
     BCD. Jika BC = BD = a 2 cm, dan AB = a cm, maka sudut antara bidang ACD
     dan BCD sama dengan ...

         π                                         3π
    a.   6
                                              d.    4

         π                                         π
    b.   4
                                              e.   2

         π
    c.   3


    Jawaban : b
    Perhatikan sketsa di bawah ini!


               A




               B
                               D

                    E

         C
    Perhatikan bahwa BCD adalah segitiga siku - siku sama kaki, sehingga BE = CE =
    ED = a. Oleh karena itu, BE = a = AB dan karena ∠ABE = 90◦ maka ∠AEB = 45◦ .

 12. Persamaan kuadrat x2 − pqx + p2 + q 2 = 0 akar - akarnya x1 dan x2 dengan 2x1 x2 =
     5(x1 + x2 ). Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara p dan q adalah
     ...



                                                                                       5
Tutur Widodo                              Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012


    (1) p = q

    (2) p = 2q

    (3) p = q + 2

    (4) 2p = q

    Jawaban : c
    Berdasarkan rumus Vieta diperoleh, x1 + x2 = pq dan x1 x2 = p2 + q 2 sehinggga

                       2x1 x2 = 5(x1 + x2 ) ⇔ 2p2 + 2q 2 = 5pq
                                            ⇔ 2p2 − 5pq + 2q 2 = 0
                                            ⇔ (2p − q)(p − 2q) = 0



    Jadi, diperoleh hubungan 2p = q atau p = 2q.




                                                      Disusun oleh : Tutur Widodo
                                             Apabila ada saran, kritik maupun masukan
                                                              silakan kirim via email ke
                                                                   tutur.w87@gmail.com
                                                                           Terima kasih.
                                        My blog : http://mathematic-room.blogspot.com




                                                                                      6

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Stats:
views:337
posted:3/25/2013
language:Unknown
pages:6