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									                Seminario di didattica - Contents




       Seminario di didattica 1
Alessia Bonanini, Alessio Cirimele, Alice Bottaro,
           Laura Spada, Laura Tarigo
                 28 maggio 2012




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                  Seminario di didattica - Contents




Indice

Introduzione     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      3

L’area nella scuola media . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
   0.1 Prerequisiti dalla scuola primaria . . . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
   0.2 Calcolo dell’area di figure piane . . . . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
                Rettangolo e quadrato . . . . . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
                Parallelogramma . . . . . . . . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
                Triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .    8
                Quadrilatero con diagonali perpendicolari              .   .   .   .   .   .   .   .   .    8
                Rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
                Trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
                Poligoni regolari . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
                Poligono generico e figura piana curvilinea             .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
                Cerchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   15
   0.3 Calcolo di superfici dei solidi . . . . . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   15

L’area nelle scuole superiori . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
   0.4 Concetto di similitudine tra figure . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
   0.5 Approfondimento sulle derivate . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
   0.6 Introduzione e sviluppo del concetto di integrale           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16

L’area in altre materie scolastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                          17

Conclusioni e considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                           18




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 Seminario di didattica - Introduzione




Introduzione




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                 Seminario di didattica - L’area nella scuola media




   L’area nella scuola media
Prerequisiti dalla scuola primaria
   Riportiamo dal programma didattico della scuola primaria (Decreto del Pre-
sidente della Repubblica 12 febbraio 1985, n. 104) gli obbiettivi che i bambini
dovrebbero raggiungere alla fine delle scuole elementari riguardo all’area delle
figure piane:

   • riconoscere in contesti diversi, denominare, disegnare e costruire le prin-
     cipali figure geometriche piane; costruire, con tecniche e materiali diversi,
     alcune semplici figure geometriche solide e descriverne alcune caratteri-
     stiche, come, nel caso di poliedri, numero dei vertici, degli spigoli, delle
     facce;

   • riconoscere l’equiestensione di semplici figure piane mediante scomposi-
     zioni e ricomposizioni;

   • misurare e calcolare il perimetro e l’area delle principali figure piane, aven-
                                       a
     do consapevolezza della diversit` concettuale esistente tra le due nozioni;

   • trovare il volume di oggetti anche irregolari con strategie e unit` di misura
                                                                       a
                                                     a
     diverse, avendo consapevolezza della diversit` concettuale esistente tra la
     nozione di volume e quella di area della superficie di una figura solida.

   Diamo dunque come acquisiti e consolidati tali concetti per un alunno delle
scuole medie, ma proponiamo esercizi per verificare che lo siano.



Calcolo dell’area di figure piane
Rettangolo e quadrato

     Partiamo ricordando le formule delle aree del rettangolo e del quadrato.
     Diamo un foglio (come quello di figura 1) a quadretti ai ragazzi con dei qua-
drati e dei rettangoli disegnati in varie posizioni nello spazio di cui sono date le
misure dei lati e per ogni figura gli chiediamo di indicare la misura dell’area.
               `
     Lo scopo e verificare che sappiano che l’area si calcola moltiplicando tra loro
                                              `
i lati indipendentemente da come la figura e collocata nello spazio.
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       Seminario di didattica - L’area nella scuola media




Figura 1: Disegno che mostra come calcolare l’area del parallelogramma.




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                 Seminario di didattica - L’area nella scuola media



Parallelogramma
    Per introdurre l’area del parallelogramma ci serviamo del meccano, con que-
sto realizziamo un rettangolo e mostriamo che muovendo due lati paralleli (pri-
ma quelli lunghi e poi quelli corti) otteniamo un parallelogramma.
    Chiediamo ai ragazzi se il parallelogramma ottenuto ha superificie maggio-
re, minore o uguale al rettangolo di partenza.
    Dopo averli lasciati ragionare un paio di minuti al riguardo diciamo che la
            `
superificie e minore.
    Per convicerli di questo alla lavagna disegniamo il rettangolo di partenza del
meccano, quello blu di figura 2, poi completiamo la figura con il parallelogram-
ma azzurro e il rettangolo verde. Dalla figura ottenuta (la figura 2) si vede che
ha l’area di un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza.




       Figura 2: Disegno che mostra come calcolare l’area del parallelogramma.


   Quindi l’area del parallelogramma si misura con la formula:

                              Area = base x altezza.
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              Seminario di didattica - L’area nella scuola media



     Ora possiamo riprendere il discorso sull’area del rettangolo da cui si era par-
                                                    `
titi con il meccano, tale rettangolo ha l’altezza piu grande del parallelogramma
e la stessa base, quindi ha area maggiore come si vede da figura 2.
     Riprendiamo in mano il meccano per mostrare come l’area si modifica muo-
vendo i lati del rettangolo di partenza, fino al caso limite in cui i lati si sovrap-
pongono e si ottiene una figura di area nulla. Facciamo notare che i parallelo-
grammi che si generano hanno lo stesso perimetro ma aree diverse e che quindi
                                                            `
perimetro e area non sono collegati. Inoltre il rettangolo e la figura che ha area
massima rispetto a tutte quelle ottenute muovendo le sbarrette del meccano.
     Disegniamo alla lavagna la figura 3 e chiediamo ai ragazzi come calcolare
l’area di questi parallelogrammi.




   Figura 3: Disegno che mostra parallelogrammi in posizioni diverse nello spazio.


    Dopo averli fatti ragionare mostriamo che l’idea di ricondurre il parallelo-
gramma ad un rettangolo vale indipendentemente dalla posizione occupata nel-
                                              `
lo spazio. Lo scopo di questo esercizio e evitare che vedano il parallelogramma
sempre nella stessa posizione e che si creino dei misconcetti.
    Potremmo proporre ai ragazzi il seguente esercizio su questi concetti:
Tra tutti i quadrilateri isoperimetrici, quale disegno per avere area maggiore?
Diamo tempo ai ragazzi di ragionarci sopra e poi facciamo vari esempi alla
lavagna.


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                 Seminario di didattica - L’area nella scuola media



Triangolo
    Introduciamo l’area del triangolo a partire dal parallelogramma.
    Disegniamo un triangolo rettangolo alla lavagna e chiediamo agli studenti
                   `                                        a
se da questo si puo ottenere una figura di cui sappiamo gi` calcolare l’area.
    Li lasciamo riflettere per qualche minuto prima di svelare che il triangolo
                 `                  a
rettangolo si puo vedere come met` rettangolo. Da qui si ottiene che l’area del
           `    a
triangolo e met` di quella del rettangolo e dunque

                                      base x altezza
                             Area =                  .
                                            2
    Disegniamo ora alla lavagna un triangolo qualunque con base orizzontale e
                                                 `
chiediamo agli alunni, come prima, se si puo vedere come parte di una figura
di cui sappiamo calcolare l’area. Dopo averli lasciati riflettere mostriamo che si
   `                     a
puo vedere come met` di un parallelogramma, come riportato in figura 4. Da
cui si ottiene la stessa formula per il calcolo dell’area del triangolo, ma vista nel
caso di triangolo qualsiasi.




                                                   `    a
    Figura 4: Disegno che mostra come il triangolo e met` di un parallelogramma.




Quadrilatero con diagonali perpendicolari
   Partiamo disegnando due segmenti perpendicolari, costruiamo intorno un
quadrilatero avente tali segmenti come diagonali. Conduciamo le parallele alle
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             Seminario di didattica - L’area nella scuola media



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diagonali passanti per i vertici del quadrilatero. Otteniamo cos` un rettangolo
                                                          `
con i lati congruenti alle diagonali. Il disegno ottenuto e quello di figura 5.




                Figura 5: Quadrilatero con diagonali perpendicolari.


                                   `
   Osserviamo che il rettangolo e formato da 8 triangoli congruenti a 2 a 2. Il
                                              `
quadrilatero di cui dobbiamo calcolare l’area e composto da 4 di questi triangoli,
                                 `
pertanto l’area del quadrilatero e

                             diagonale x diagonale
                                                   .
                                       2

Rombo
    L’area del rombo si ottiene come caso particolare del precedente, quindi lo
introduciamo chiedendo alla classe come si potrebbe calcolare. Lasciamo ragio-
nare per qualche minuto gli studenti e disegniamo il rombo come in figura 6 e
                                                             e
mostriamo che l’area si ottiene come nel caso precedente, cio` :
                             diagonale x diagonale
                                       2




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                     Figura 6: Rombo iscritto in un rettangolo.



Trapezio
   Disegniamo il trapezio come in figura 7. Tracciamo 1 altezza e dividiamo il
trapezio in 2 triangoli. Tali triangoli hanno rispettivamente come basi le 2 basi
                                                           `
del trapezio e come altezza l’altezza del trapezio. L’area e dunque:

                         b1 · h b2 · h   (b1 + b2 ) · h
                               +       =                .
                           2      2           2
    `
    E compito dell’insegnante approfittare di questa costruzione per sottolineare
l’importanza di scomporre la figura in parti non sovrapposte tra loro affinch`    e
                                           a
continui a valere il principio di additivit` di figure piane.
                                                        `
    Un’altro metodo per calcolare l’area del trapezio e il seguente. Disegniamo
alla lavagna un trapezio e prolunghiamo le 2 basi di un segmento pari alla base
opposta, uniamo gli estremi e otteniamo un parallelogramma come in figura 8.
    Il parallelogramma costruito ha per base la somma delle basi del trapezio e
per altezza l’altezza del trapezio. servendoci di un foglio di carta trasparente
possiamo verificare che i trapezi sono congruenti. Quindi possiamo concludere
                  `                      a
che un trapezio e equivalente alla met` di un parallelogrammo che ha per base
la somma delle basi del trapezio e per altezza l’altezza del trapezio. La formula
                         `
per il calcolo dell’area e dunque:

                                   (b1 + b2 ) · h
                                                  .
                                        2
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Seminario di didattica - L’area nella scuola media




                   Figura 7: Trapezio.




                                 a
Figura 8: Trapezio visto come met` di un parallelogramma.



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                 Seminario di didattica - L’area nella scuola media



Poligoni regolari

                                                    `
    Approcciamo questo argomento in modo piu sperimentale, nel senso che
proponiamo agli alunni poligoni regolari con n lati e ci aspettiamo che per
calcolare l’area passino attraverso la triangolarizzazione delle figure.
    Vogliamo che arrivino a capire che per calcolare l’area di un poligono rego-
lare di n lati si devono sommare le aree degli n triangolini uguali, come si vede
dalla figura 9.




                    Figura 9: Triangolazione dell’esagono regolare.



                              `
   Quando questo concetto e chiaro introduciamo il concetto di apotema, l’al-
tezza di questi piccoli triangolini e diamo la formula per il calcolo dell’area dei
poligoni regolari:

                               perimetro x apotema
                                                   .
                                        2

Poligono generico e figura piana curvilinea

   Trattiamo l’argomento come laboratorio, proponiamo una serie di figure com-
poste di cui devono calcolare l’area aspettandoci che riescano a riconoscere in
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              Seminario di didattica - L’area nella scuola media



esse i poligoni noti e si riconducono quindi alla somma delle aree di essi. L’atti-
    a                                    a
viti` di laboratorio riguarda l’additivit` delle aree (comprese figure con il buco).
Diamo ai ragazzi un foglio tipo la figura 10.




Figura 10: Esempio di figure composte di cui calcolare l’area decomponendole in figure
note.



    Visto questo lo studio passa al calcolo delle aree di figure piane curvilinee.
Il calcolo dell’area di queste figure avviene per approssimazione. Proponiamo
anche questo argomento come laboratorio, diamo agli studenti una scheda con
figure curvilinee disegnate sui quadretti (tipo quelle in figura 11) Il calcolo del-
l’area si fa stabilendo un intervallo entro cui sta il valore dell’area, tale intervallo
`
e dato dal numero dei quadretti che ci sono dentro la figura (valore approssima-
                                                                  `
to per difetto) e dal numero dei quadretti in cui la figura e contenuta (valore
approssimato per eccesso).
                          `              `                      a
    Per avere misure piu precise si puo rimpicciolire l’unit` di misura, cio` per  e
                               `               `
esempio usare quadretti piu piccoli; si puo fare qualche esercizio al riguardo
                                 13
Seminario di didattica - L’area nella scuola media




     Figura 11: Esempi di figure generiche.




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              Seminario di didattica - L’area nella scuola media



utilizzando la carta millimetrata.

Cerchio
    Come esercizio sulle stile di quelli visti per le figure curvilinee facciamo
                                                                  `
calcolare ai ragazzi l’area del cerchio con quadretti sempre piu piccoli.
    Come laboratorio facciamo riflette gli alunni su un problema: fissato il peri-
            e
metro, qual’` la figura con area massima?. Come aiuto visivo al riguardo diamo agli
alunni un pezzo di spago e gli diciamo di costruire una figura chiusa con tale
                                   `
spago in modo che l’area sia piu grande possibile. Lasciamo i ragazzi riflettere
                                              `
sul problema. Per convincerli del fatto che e il cerchio con lo spago realizziamo
varie figure (quadrato, triangolo, esagono, rombo, . . . ) alla lavagna ricalcandole
con il gesso prima di cambiare figura.


Calcolo di superfici dei solidi
   Appunti: laboratorio, da solidi chiusi li apri per vedere la superficie. Rota-
zione dei solidi.




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                Seminario di didattica - L’area nelle scuole superiori




L’area nelle scuole superiori
Concetto di similitudine tra figure
   APPUNTI:
   Esercizio su triangoli di area e perimetro massimo.


Approfondimento sulle derivate
   APPUNTI:
   Introduzione al concetto di derivata attraverso la dimostrazione che il qua-
      `
drato e il rettangolo di area massima.


Introduzione e sviluppo del concetto di in-
tegrale




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     Seminario di didattica - L’area in altre materie scolastiche




         L’area in altre materie
              scolastiche
    APPUNTI:
    Riprodurre con dati sperimentali diagrammi a torte o istogrammi di cui
calcolare l’area.
    Misurare aree di zone geografiche... cartine...
    Esperimenti fisici su area e pesi.
    nascita del π
    sezione aurea




                              17
     Seminario di didattica - Conclusioni e considerazioni




Conclusioni e considerazioni




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