Probabilidades - PowerPoint
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Introducción a las Probabilidades ¿Qué es una probabilidad? Es un número entre 0 y 1 inclusive, que mide la creencia que se tiene de que llegue a ocurrir un evento específico que sea resultado de un experimento. Enfoques de la probabilidad Probabilidad Clásica Concepto de Frecuencia Relativa Probabilidad Subjetiva Eventos Excluyentes No ocurren simultáneamente, es decir P(A y B) =0 Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A ó B) = P(A) + P(B) P(A) + P(no A) = 1 P(no A) = 1 - P(A) Regla del Complemento Regla de la Multiplicación Probabilidad de la ocurrencia de dos eventos: P(A y B) = P(A) P(B/A) Léase: La probabilidad de que ocurran simultáneamente dos eventos A y B es igual al producto de la probabilidad de A por la probabilidad de B, dado que ocurre A. Eventos Independientes Eventos Independientes: Si la ocurrencia de uno no afecta la posibilidad de ocurrencia del otro. = P(A) P(A y B) = P(A) P(B) Eventos No Independientes Si P(A/B) la ocurrencia de uno afecta la posibilidad de la ocurrencia del otro. Caso Panificadora Santa Elena ¿Cuál es la probabilidad de falla de cada máquina? ¿Cuál es la probabilidad de que una línea de producción sea interrumpida debido a una falla? ¿Cuál es la probabilidad de que falle todo el sistema (que no pueda entregar ninguna unidad de pan)? Variable Aleatoria ¿Qué es una variable? ¿Qué es aleatorio? Variable Aleatoria Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de evento no predecible Ejemplo Se lanza tres veces una moneda. Sea X el número de caras. ¿Cuántas caras puedo obtener al lanzar una moneda 3 veces? ¿Es X una variable aleatoria? Distribución de probabilidad Es la enumeración de todos los resultados de posibles de una variable aleatoria, con las probabilidades asociadas. X 0 1 2 3 P(X) 0.125 0.25 0.50 0.125 Tipos de Variables Aleatorias Variables Discretas Toman valores específicos Normalmente relacionados con conteos Variables Continuas Pueden tomar cualquier valor dentro de determinados rango de valores Normalmente relacionado con procesos de medición Distribuciones Discretas Distribución Binomial Sólo dos posibles resultados mutuamente excluyentes (éxito y fracaso). Los resultados son eventos independientes La probabilidad P(éxito) permanece constante Un número limitado de observaciones Probabilidad Binomial Sirve para calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos en un número de observaciones Distribución Binomial (Cont.) P ( x / n, p) = nCx px qn-x Ejemplo: Si cada vendedor de un equipo de ventas cumple su cuota el 20% de los meses ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de 5 vendedores cumplan su cuota este mes? Caso Vender o no Vender ¿Cuántos de los pasajeros que compraron boletos se presentas a la hora del vuelo? Distribución de Poisson Permite determinar la probabilidad ocurrencia de un evento que ocurre en un continuo. Ejemplo: Entrada o llegada de llamadas telefónicas en un periodo Número de elementos defectuosos en un lote r e- P ( X= r / ) = ----------- = número promedio de ocurrencias por unidad. X = Número de ocurrencias r! Distribución de Poisson: Un ejemplo Un teléfono público recibe 5 clientes por hora en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que determinada hora reciba exactamente 3 clientes? Caso Vender o no vender ¿Qué demanda de asientos habrá para cada vuelo? Distribuciones de Probabilidad Continuas Variables Aleatorias Continuas Pueden tomar cualquier valor comprendido en un determinado rango No puede listarse cada valor individual con su probabilidad La probabilidad que ocurra un valor específico tiende a cero Las probabilidades son representadas por áreas bajo las curvas de probabilidad. Un ejemplo: La Distribución Normal Características de la Distribución Normal con respecto a la media. Forma de Campana. El área bajo la curva suma la unidad. Está definida por dos parámetros Media Desviación estándar (varianza) Simétrica Distribución Normal Estándar 4 3 2 1 0 Z 1 2 3 4 Efecto de la Estandarización .10 .08 .06 .04 .02 .00 0 10 20 30 40 -4 -2 0 2 4 Z = (X- m)/ s Z indica que tan alejada se encuentra una observación respecto del promedio (cuan excepcional es) Z es el número de desviaciones estándares entre la observación y la media Ejemplo Qué es más excepcional ( o fuera de lo común): Un valor de 3 en una población que tiene media de 1 y desviación estándar de 1 Una valor de 10 en una población que tiene media 7 y desviación estándar de 3 CASO 1 4 3 2 1 0 Z 1 2 3 4 CASO 2 4 3 2 1 0 Z 1 2 3 4 Áreas en la curva normal -3s-2s-sm+s+2s+3s Ejemplo de una distribución normal El consumo de agua diario por persona tiene una distribución normal con media de 20 galones y desviación estándar de 5 galones. Ejemplo: probabilidades en l distribución normal es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar use menos de 20 galones por día? ¿Qué porcentaje usan entre 20 y 24 galones? ¿Qué porcentaje de la población utiliza entre 18 y 26 galones? ¿Cuál Aproximación Normal de Probabilidades Binomiales aplica cuando n es relativamente grande (n > 30) y np > 5 ó nq >5. m = np s 2 = npq Ejemplo: Se ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 12 elementos en una muestra de 50 defectuosos si el porcentaje en el lote es 30%? Aproximación Normal de la Distribución de Poisson aplica cuando la distribución de la media de la distribución de Poisson es relativamente grande. Regla práctica: la aproximación es buena si > 10 m= s=()2 Ejemplo: Se ¿Cuál es la probabilidad de recibir 15 llamadas telefónicas si en promedio entran 20 llamadas por hora? La Distribución Exponencial Cuando la ocurrencia de determinados eventos sigue el comportamiento de una distribución de Poisson, el tiempo entre ocurrencias sigue una distribución exponencial. Es una variable continúa. La probabilidad de que ocurra un evento dentro de cierto límite de tiempo x, está dada por P ) 1 e ( x=T -x donde representa el número medio de ocurrencias para el intervalo de interés. Relación entre la Distribución Exponencial y la Distribución Poisson distribución Poisson trata del numero de ocurrencias (llegadas, fallas, accidentes etc.) en un periodo de tiempo. indica el numero medio de ocurrencias en una unidad de tiempo. La Distribución Exponencial trata del tiempo entre ocurrencias (llegadas, fallas). indica también el numero medio de ocurrencias en una unida de tiempo. Pero el promedio de tiempo entre llegadas es 1/ La Caso Call Center ¿Cuántas llamadas llegarán en una hora? ¿Cuál es el tiempo entre llamadas? Otras distribuciones útiles Distribución uniforme a b Otras distribuciones útiles Distribución triangular a m b
