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					Quantum
Computing
Hartmut Klauck
Universität Frankfurt
WS 04/05
9.2.
Unser Modell von
Quantenrechnern
 Qubits
 Initialer Zustand |0i

   unitäre Operationen
     H
     CNOT
     Rotationen

   Projektionsmessungen
Schrödinger-Bild der QM
   System: betrachteter Teil der Welt
   Zustand: beschrieben durch Wellenfunktion (r,t); Z.B.
    r:Koordinaten, t Zeit
    Schrödingergleichung beschreibt Evolution des
    Zustandes, Wellenfunktion ist Lösung der
    Schrödingergleichung




   V: Potential;
    Planck Konstante
   Beschreibt Veränderung des Zustandes
Schrödinger-Bild der QM

   Allgemeinere Form der
    Schrödingergleichung:



   H: Hamilton Operator
Schrödinger-Bild der QM
   Hamilton Operator normalerweise fest, Evolution des
    Zustandes in der Zeit
   Hamilton Operator: Hermitesche Matrix
   Daher alle Eigenwerte reell, entsprechen z.B.
    Energielevels
   Hamilton Operator ist eine Observable, d.h. kann
    gemessen werden
   Auflösung der Schrödingergleichung ergibt:
Schrödinger-Bild der QM

 exp(-i H) ist unitär: wechsele in
  Eigenvektorbasis, exponentiere
  Diagonale, es ergibt sich Operator mit
  Werten ei  auf der Diagonalen
 So ergibt sich Heisenberg-Bild
Beispiel

 H=~ w0 Z; Z: Pauli Operator
 |ti= exp(-iHt/~) |0i=exp(-i w0 t Z)

   Zeit t=/(2w0): Gatter Z ausgeführt
    (bis auf globale Phase)
Ein Qubit: Beispiel II
   Betrachte “square well” Potential V:




   Effekt auf Elektronen
   Z.B. Elektron in einem Halbleiter
   Interessant: Elektron wird festgehalten (Energie zu
    gering)
   Unendlicher Fall: V! 1 bzw. V=0 und aussen 1
Ein Qubit
   Hamilton Operator: p2/m +V(x), V(x)=0 zwischen -A und A
    und 1 sonst
   Eigenzustände als Wellenfunktionen:
    |ni=(1/A)1/2 sin(n  x /(2A)) mit n integer
   |n(t)i=e-i e(n) t |ni mit e(n)=2n22m/A2
   Angenommen nur kleinste zwei Energielevels relevant
    (durch Wahl der Tiefe der square well)
   Zustand sei |i=a |1i+b|2i
   Dann |(t)i= a e-i e(1) t |1i+b e-i e(2) t |2i
   =e-i t(e(1)+e(2))/2 [ae-i w t |1i+b ei w t|2i]
   Mit w=(e(1)-e(2))/2
   Effektiver Hamilton Operator: ~wZ
   Ignoriere die Evolution durch Zeit abhängige Basis, dann
    ergibt sich Speicher für Qubits (a,b) !
Ein Qubit

   Dies ist allerdings ein schlechtes
    Qubit, da Isolierung der niedrigsten
    Energielevels praktisch nicht möglich,
    auf höheren Levels entflieht das
    Elektron, daher Verlust der Kohärenz
Beispiel III

   H=~ w Z + g1(t) X+ g2(t) Y
   Hamilton Operator zeitabhängig
   Steuerung der Operation
   Durch rotierende Basis Z-Anteil ignorieren
   g1 und g2 pulsförmig
       g1=1 für /2
       g2=1 für 
       Ergibt H Gatter
Beispiel IV

   H=/2 J (Z-Z)+ g1x X-I+ g2x I-X
    + g1y Y-I+ g2y I-Y
   CNOT:

   Pulse:
Beispiel: NMR

   Zwei Qubit System in Chloroform Molekül,
    Spin-System



   Hamilton Operator:
    H=~ wa I- Z+~ wb Z- I + ~ wab Z- Z+Henv
   Z-Z Kopplung noch 20 mal stärker als Henv
Kopplungen mit anderen
Qubits
   Wie kann erreicht werden, dass
    Kopplungen mit anderen Qubits keinen
    Einfluss haben?
   Z.B. drei Qubits:
    H= /2 J12 Z- Z- I +/2 J23 I- Z- Z
   Gewünscht CNOT auf 1,2
   I- I- X ¢ ei I- Z- Z t I- I- X = e-i I- Z- Z t
   Durch geeignete X Operationen Einfluss
    abschalten
Dekohärenz

   Allgemeines Problem:
    Kopplung mit der Umgebung in
    nichtvorhersehbarer Weise
   Dadurch werden Superpositionen zerstört
   Formal: In Dichtematrix klingen Einträge
    ausserhalb der Diagonale ab, Diagonale
    nähert sich klassischer Verteilung an
   Im Hamilton Operator: Einfluss der
    gewünschten Kopplungen gegen Einfluss
    der Umgebung
Voraussetzungen für gute
Implementierung
 Qubits: Robuste Repräsentation
 Transformationen

 Guter initialer Zustand

 Messung
Qubit Realisierungen

   Parameter
       Dekohärenzzeit Q: Zeit bis Qubit nicht mehr
        im gewünschten Zustand
        op Zeit für eine Operation
       nop Anzahl möglicher Operationen
Photonen als Qubits
   Photon: Quantum von elektromagnetischer Energie,
    Energie ~ w
   Qubit als Superposition zweier unterschiedlicher
    Orte/Pfade (dual rail) eines Photons, Photon an einem
    Ort/Pfad im Basiszustand
   Superposition a|01i+b|10i
      Laser kann einzelne Photonen erzeugen mit hoher
       Ws/
      Messung mit hoher Präzision möglich
      Geringe Interaktion mit Umgebung
      Nahezu verlustfreie Spiegel existieren
Photonen als Qubits
   Operationen:
      Phase Shifter: Medium mit anderem Refraktionsindex,
       erzeugt Phasenfaktor (Verzögerung)
      Beamsplitter: halbdurchlässiger Spiegel, “teilt”
       Lichtstrahl
      Kerr Medien: zwei Lichtstrahlen gleichzeitig erzeugen
       extra Phasenfaktor (spezielles Glas)
   Probleme:
      Kerr Medien absorbieren Photonen
      Mehrere einzelne Photonen gleichzeitig schwierig
Photonen als Qubits
   Operatoren a, ay:


        erzeuge/entferne ein Photon
   Evolution im freien Raum: H=~ w ay a, daher wird in freien
    nur ein Phasenfaktor erzeugt:
    c0|0i+c1|1i wird zu c0|0i+c1 e-iwt|1i
   Phase Shifter: Im Vergleich zum freien Raum wird
    Phasenfaktor langsamer erzeugt
        z-Rotation
   b, by: Analog zu a auf zweitem Pfad
   Beamsplitter: Hbs=i (aby-ay b)
   Auf einem Qubit allein wird y-Rotation ausgeführt
Photonen als Qubits
   Kerr Medien: H=- ay a by b
   : Koeffizient
   K sei unitäre Matrix dazu:
      K|00i =|00i
      K|01i =|01i
      K|10i =|10i
      K|11i =ei L |11i
   Auf dual rail Darstellung |01i; |10i 2 Qubits als |0101i
    etc.
   Wende I-H¢K¢I-H an, um CNOT zu erhalten!
   Problem: Kerr Medium schluckt Photonen
Optical Cavity
   Verbindung von Photonen als Qubits und Spins statt
    Kerr Media
   Operatoren a, ay: erzeuge/entferne ein Photon
   Spin: H=~ w Z
   Spin Flip: §=(X§ iY)/2
   Jaynes-Cummings Hamilton Operator:
Optical Cavity

 aya: Phase Shifter
 ayb+ bya: Beamsplitter

   ayabyb: Kerr
    durch JC Ham realisiert (mit kleinem
    g)
Fast ein CNOT (1995)




   erzeugt kontrollierte Phasendrehung um 16
    Grad, Kerr Medium ist Cäsium Atom
Spins als Qubits
   Spins natürliche Wahl als Qubits
   Fermionen: Spins Vielfache von 1/2
       z.B Elektronen: 1/2,-1/2 “up,down”
       Atome: zusammengesetzte Spins
   Spins reagieren auf elektromagnetische
    Felder (Spinveränderung z.B. durch
    Aufnahme von Photonen)
   “Beschiesse Atomkerne mit Laserlicht”
   Alles nahe an Temperatur 0K, um
    Bewegungsenergie etc. vernachlässigbar
    zu machen
Ionenfallen




   Einzelne Ionen werden durch (z.Teil rotierende)
    elektromagnetische Felder festgehalten (bis zu 30
    Tage)
Ionenfallen

   Ionen werden dann mit genau
    eingestellten Lasern mit einzelnen
    Photonen beschossen, um Spins zu
    verändern
Kontrolle von Spins

   Hamilton Operator:

   Erzeuge k-Photon Zustand |ki

   Ergebnis:

   Möglich: Erzeuge “ungefähr” k Photonen
    (Superposition scharf um konzentriert k)
Interaktionen

   Hamilton Operator umfasst den
    Bewegungszustand der Ionen
    (Vibrationen), Kopplungen der
    einzelnen Ionen vorhanden
    (quantisiert durch sog. Phononen)
Ionenfallen QC

   Möglich CNOT zu implementieren:
       Beryllium Atom Spin
       Lebensdauer Qubit ca 0.1 - 1 ms
   Sogar möglich Ionen mit “Zangen” einzeln
    zu entnehmen
   Probleme:
       Bisher nicht funktionsfähig (schwache
        wechselwirkung, kurze Dekohärenzzeeiten)
       keine prinzipiellen Hindernisse
NMR Quantenrechner
   Problem bei Spinrepräsentation: Kopplung durch
    Phononen, sehr schwach
   Wenn man Moleküle einfangen könnte Kopplungen
    durch Dipole und Fermi Interaktionen
   Nuclear magnetic resonance:
      Manipulation und Detektion von Spins durch
       elektromagnetische Wellen auf Radiofrequenz
      Sehr gut entwickelte Methoden (Messinstrument zur
       Identifikation von Stoffen und Stoffgemischen)
   Ansatz: Probe aus vielen Molekülen wird verwendet,
    Pulse zur Anwendung der K|00i =|00i Operationen
   Problem: initialer Zustand ist (fast) chaotisch
   Gut: Moleküle ziemlich isoliert, starke Kopplungen
    lange Kohärenz
NMR Quantenrechner

   Pulse von Radiowellen
    erzeugen Rotationen etc.
NMR

   Implementiert: Deutsch,
    Faktorisierung von 15 (7 Qubits),
    Grover (3 Qubits)
NMR
NMR

   7 Qubit Molekül
Initialer Zustand

 Erzeuge Anfangszustand der zum Teil
  maximal gemischt, zum Teil |0i ist,
  d.h.
 Durch Permutation der nicht |0i
  Zustände vor Beginn, und
  Durchschnitt über Messergebnisse
  leichter Vorteil für |0i
NMR
   Qubits: Spins
   Beliebige unitäre Transformationen durch
    Radiowellen
   Kopplungen durch chemische Bindungen
   Initialer Zustand: Polarisierung vieler Spins
    in der Probe durch starkes Magnetfeld
   Messung der durchschnittlichen
    magnetischen Momente
   Problem: Präparation des initialen
    Zustandes verschlechtert Signal
    exponentiell in der Anzahl der Qubits

				
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