polynomials by rl8rk1

VIEWS: 0 PAGES: 4

									                                                                 http://matematica.noads.biz

                                 Exerciţii rezolvate cu polinoame
Enunţuri
Ex.1.




                                                                        Variante M2 bac 2009
Ex.2.




                                                                        Variante M2 bac 2009
Ex.3.




                                                                        Variante M2 bac 2009
Ex.4.
Se consideră a    7
                                                   ˆ
                       şi polinomul f  X 6  aX  5  7 [ X ]




                                                                        Variante M1 bac 2009
Ex.5.




                                                                        Variante M2 bac 2009
        http://matematica.noads.biz
Ex.6.




               Variante M2 bac 2009
                                                                                            http://matematica.noads.biz
Rezolvări:
Ex.1.
a) h  X 4  4 X 2  2 X 3  8 X  24 X 2  96  X 4  2 X 3  28 X 2  8 X  96 este forma algebrică a polinomului h.
b)Prin identificarea coeficienţilor obţinem că polinoamele f şi h sunt egale pentru a  2 şi b  8 .
c)Ecuaţia dată se scrie sub forma  2 x   2   2 x   28   2 x   8  2 x  96  0
                                            4           3            2



     Facem substituţia 2 x  y şi obţinem ecuaţia y 4  2 y 3  28 y 2  8 y  96  0
     Folosind punctual b) obţinem  y 2  2 y  24 y 2  4   0 .
     y 2  2 y  24  0 are soluţiile y1  4 şi y2  6
     y 2  4  0 are soluţiile y3  2 şi y4  2 .
     Revenind la notaţia făcută avem x1  2 şi x2  1 .
Ex.2.
               ˆ    ˆ     ˆ    ˆ   ˆ ˆ      ˆ ˆ ˆ
a) f g  f ( 3)  0  f (2)  0  3  4a  2  1  0
   ˆ    ˆ ˆ      ˆ      ˆ ˆ      ˆ      ˆ
   4a  1  0  4a  1  4a  4  a  1 .
                       ˆ
b) f  X 3  X 2  X  1
           ˆ        ˆ                   ˆ
   ( X  1)( X 2  1)  X 3  X 2  X  1 c.c.t.d.
             ˆ         ˆ         ˆ ˆ
c) f ( x )  0  ( x  1)( x 2  1)  0
         ˆ ˆ             ˆ
   x  1  0  x  1  x  4       ˆ
                           ˆ ˆ
   Pentru ecuaţia x 2  1  0 se incearcă toate elementele mulţimii                   ˆˆ ˆ ˆ ˆ                                 ˆ
                                                                                    {0,1,2,3,4} şi se mai obţin soluţiile x  2 şi
                                                                               5
       ˆ
   x  3.
                                              ˆ       ˆ        ˆ
  In concluzie ecuaţia dată are soluţiile x  2 , x  3 şi x  4 .
Ex.3.
a)Polinoamele f şi g sunt egale dacă şi numai dacă avem:
    ˆ        ˆ
    3a  3b  2   ˆ     ˆ           ˆ
                         3( a  b)  2            ˆ
                                          a  b  4
                                                      ˆ     ˆ
                                                        2a  4           ˆ
                                                          a  b  2.
   2
          ˆ    ˆ    ˆ
     ˆ a  3b  3a  2b  
                             ab         
                                            ab       
                                                         ab
                   ˆ           ˆ      ˆ
b)Pentru a  b  2 avem f  2 X 2  2 X .
        ˆ    ˆ
     f (0)  0
        ˆ ˆ
     f (1)  4
        ˆ    ˆ
     f (2)  2
        ˆ    ˆ
     f (3)  4
      ˆ    ˆ
   f (4)  0
      ˆ       ˆ       ˆ       ˆ       ˆ    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
   f (0)  f (1)  f (2)  f (3)  f (4)  0  4  2  4  0  0 .
                 ˆ    ˆ       ˆ    ˆ                                       ˆ          ˆ        ˆ
c)Deoarece f (0)  0 şi f (4)  0 rezultă că rădăcinile ecuaţiei f ( x )  0 sunt x  0 şi x  4 .
Ex.4.
a)    7    ˆ ˆ ˆ      
                       ˆ
           0,1, 2,...,6 este mulţime finită deci le putem verifica pe toate:
                                                                                                               http://matematica.noads.biz
   
         6
    ˆ  ˆ
    1 1

   2  1
           6
     ˆ     ˆ

    3  1
           6
     ˆ     ˆ

   4  1
           6
     ˆ     ˆ

    5  1
           6
     ˆ     ˆ

   6  1
           6
     ˆ     ˆ

b)  x  4  x
       3 ˆ              3     ˆ        ˆ         ˆ
                             4  x 6  2  x 6  5, x          7

c)Fie a            7
                              ˆ
                        , a  0 .Tripletul      7   , ,  este corp comutativ (deoarece 7 este prim) deci există a 1      7
                                                                                                                                            ˆ
                                                                                                                                   , a 1  0 .
    f (a 1 )   a 1   a  a 1  5  1  1  5  0 deci f este divizibil prin X  a 1 adică f este reductibil in
                                      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
                        6
                                                                                                                                       7   [X ] .
             ˆ                ˆ         ˆ       ˆ                       
  Pentru a  0 avem f  x 6  5  x 3  4 x 3  4 deci f este reductibil şi in acest caz.
Ex.5.
  a)       ˆ    
                 ˆ   ˆ ˆ ˆ
         f 1  g 0  2  0  0.
           ˆ     ˆ        ˆ     ˆ    ˆ     ˆ       ˆ       ˆ     ˆ
       b) (3 X  3)  g  2 X  2  (3 X  3)( X  2 X )  2 X  2  f .
                                                2


                                            ˆ ˆ     ˆ          ˆ ˆ         ˆ    ˆ
       c) Din b) rezultă că f ( x )  ( x  1)(3g  2)  ( x  1)(3x  x  2)  0
                                                                                 2


            ˆ ˆ                  ˆ ˆ 2         ˆ ˆ
de unde x  1  0 cu soluţia x  4 şi 3x  x  2  0 care nu are soluţii în Z 5 .
                                                                   ˆ
În concluzie,polinomul f are o singură soluţie în Z 5 şi anume x  4 .
Ex.6.
    a) Aplicăm relațiile lui Viete pentru cele două polinoame: S  3, S  2  S  S  5.
                                                                                           '               '


    b) Folosim teorema împărțirii cu rest și obținem câtul                  q  X  5 și restul r  12 X  4.
                                                           g sunt y1  y2  1 . Rezultă f ( y1 )  f ( y2 )   f (1)   64
                                                                                                                    2
    c)         Rădăcinile y1 , y2 ale polinomului

								
To top