Your Federal Quarterly Tax Payments are due April 15th Get Help Now >>

makalah graph by NAH37jQ5

VIEWS: 0 PAGES: 28

									   TUGAS KELOMPOK
       STRUKTUR DATA
             (Yuniasyah)




            “ GRAPH ”




             Disusun oleh :
      Agung Juliansyah (1031123)
        Akbar Aswad (1031089)
     Nafisatul Hasanah (1031085)
         Indra Putra (1031095)
    Nurhadi Jumain Fantri (1031099)



UNIVERSITAS INTERNASIONAL BATAM
               2010
                           KATA PENGANTAR



      Puji Syukur khadirat Allah Yang Maha Kuasa karena atas Rahmat dan
Hidayah-Nyalah kami dapat menyelesaikan Tugas Tengah Semester ini.
Makalah ini merupkan salah satu bagian dalam Tugas kami yang berjudul
“GRAPH”. Terima kasih juga kepada Bapak Yuniasyah selaku dosen
Pembimbing Mata Kulias Struktur Data di kelas kami 1SIMC.

      Makalah ini berisi tentang Pembelajaran mengenai “GRAPH” di dalam
Struktur Data. Tentunya kami sangat berharap Makalah ini dapat berguna bagi
siapapun yang membacanya.

      Masih banyak kekurangan dalam makalah ini . Selain itu dalam
penyusunan tugas atau materi ini, tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi.
Namun penulis menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak
lain berkat bantuan, dorongan dan bimbingan orang tua, sehingga kendala-
kendala yang penulis hadapi teratasi




                                                    Batam, 9 November 2010




                                                            Tim Penyusun




                                                                                2
                                                     DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR .......................................................................................... 2
DAFTAR ISI ........................................................................................................ 3
I. PENDAHULUAN .............................................................................................. 4
II. TEORI GRAPH ............................................................................................... 6
    A. Definisi Graph .......................................................................................... 6
    B. Istilah dalam Graph .................................................................................. 9
    C. Jenis – jenis Graph .................................................................................. 11
    D. Konektivitas Tiap Jenis Graph.................................................................. 12
    E. Metode Pencarian Vertex ......................................................................... 14
         a. Depth First Search (DFS) ..................................................................... 14
         b. Breadth First Search (BFS) .................................................................. 15
    F. Shortest Path ........................................................................................... 17
         a. Graph Berbobot (Weighted Graph) ...................................................... 18
         b. Algoritma Dijkstra’s .............................................................................. 19
         c. Dinamic Programming .......................................................................... 19
    G. Minimum Spanning Tree .......................................................................... 21
    H. Algoritma Menentukan Minimum Spanning Tree (MST) .......................... 22
III. GRAPH PADA JAVA ..................................................................................... 25
IV. KESIMPULAN ............................................................................................... 27
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 28




                                                                                                                        3
I. PENDAHULUAN


         Dalam istilah ilmu komputer, sebuah struktur data adalah cara
penyimpanan, pengorganisasian dan pengaturan data di dalam                       media
penyimpanan komputer sehingga data tersebut dapat digunakan secara efisien.
Dalam tehnik pemrograman, struktur data berarti tata letak data yang berisi
kolom-kolom data, baik itu kolom yang tampak oleh pengguna (user) ataupun
kolom yang hanya digunakan untuk keperluan pemrograman yang tiadak tampak
oleh pengguna.

         Graph merupakan struktur data yang paling umum. Jika struktur linear
memungkinkan pendefinisian keterhubungan sikuensial antara entitas data,
struktur data tree memungkinkan pendefinisian keterhubungan hirarkis, maka
struktur graph memungkinkan pendefinisian keterhubungan tak terbatas antara
entitas data.

         Banyak entitas-entitas data dalam masalah-masalah nyata secara
alamiah memiliki keterhubungan langsung (adjacency) secara tak terbatas
demikian. Contoh: informasi topologi dan jarak antar kota-kota di pulau Jawa.
Dalam masalah ini kota x bisa berhubungan langsung dengan hanya satu atau
lima kota lainnya. Untuk memeriksa keterhubungan dan jarak tidak langsung
antara     dua    kota   dapat    diperoleh    berdasarkan     data    keterhubungan-
keterhubungan langsung dari kota-kota lainnya yang memperantarainya.

         Representasi data dengan struktur data linear ataupun hirarkis pada
masalah ini masih bisa digunakan namun akan membutuhkan pencarian-
pencarian yang kurang efisien. Struktur data graph secara eksplisit menyatakan
keterhubungan ini sehingga pencariannya langsung (straightforward) dilakukan
pada strukturnya sendiri.

         Graf adalah salah satu jenis struktur data yang terdiri dari titik (vertex) dan
garis (edge), dimana dalam graf tersebut, vertex - vertex yang ada


                                                                                           4
dihubungkan oleh   edge,   hingga      menjadi   suatu   kesatuan   yang   disebut
graf. Sebagai contoh dari pemodelan graf adalah peta kota kota, dimana kota
disini sebagai vertex dan jalur yang menghubungkannya berlaku sebagai edge.

      Agar lebih jelas perhatikan gambar dibawah ini :




      Dalam gambar tersebut, terdapat beberapa kota yang berada dipulau
jawa dimana kota - kota tersebut dihubungkan oleh beberapa jalur jalur yang
ada. Untuk contoh diatas kita bisa menganggap bawah kota-kota yang ada
merupakan vertex, dan jalur-jalur yang menghubungkan kota-kota tersebut
sebagai edge. Sehingga secara keseluruhan peta diatas dapat dibuat
pemodelannya sebagai sebuah graf.

      Ada terdapat beberapa jenis graf yang bisa kita gunakan, yaitu beberapa
diantaranya adalah sebagai berikut :

• Graf Berarah : adalah graf yang edge-nya memiliki arah, sebagai contoh edge
AB menghubungkan vertex A ke B, dimana hubungan vertex B ke A, harus
diperoleh dari edge lain, yaitu edge BA, dan jika edge BA tidak ada, maka vertex
B ke A tidak memiliki hubungan, meski vertex A ke B memiliki hubungan

• Graf Tak Berarah : adalah graf yang edge-nya tidak memiliki arah, sehingga
jika edge AB menghubungkan vertex A ke B, maka secara otomatis juga
menghubungkan vertex B ke A.



                                                                                     5
• Graf Berbobot : adalah suatu graf dimana edge dari graf tersebut memiliki
bobot atau nilai tertentu.

• Graf Tidak Berbobot : adalah suatu graf dimana edge dari graf tersebut tidak
memiliki bobot atau nilai. Untuk merepresentasikannya dalam pemrograman
komputer, graf dapat disusun dari LinkedList yang berada dalam LinkedList.




II. TEORI GRAPH
  A. Definisi Graph


       Suatu graph didefinisikan oleh himpunan verteks dan himpunan sisi
(edge).   Verteks       menyatakan   entitas-entitas   data   dan   sisi   menyatakan
keterhubungan antara verteks. Biasanya untuk suatu graph G digunakan notasi
matematis.
                                      G = (V, E)
       Dimana :         G = Graph
                        V = Simpul atau Vertex, atau Node, atau Titik
                        E = Busur atau Edge, atau arc


      V adalah himpunan verteks dan E himpunan sisi yang terdefinisi antara
pasangan-pasangan verteks. Sebuah sisi antara verteks x dan y ditulis {x, y}.
Suatu graph H = (V1, E1) disebut subgraph dari graph G jika V1 adalah
himpunan bagian dari V dan E1 himpunan bagian dari E.

      Cara pendefinisian lain untuk graph adalah dengan menggunakan
himpunan keterhubungan langsung Vx. Pada setiap verteks x terdefinisi Vx
sebagai himpunan dari verteks-verteks yang adjacent dari x. Secara formal:

Vx = {y | (x,y) -> E}

       Dalam digraph didefinisikan juga terminologi-terminologi berikut ini.
Predesesor dari suatu verteks x (ditulis Pred(x)) adalah himpunan semua verteks


                                                                                        6
yang adjacent ke x. Suksesor dari verteks x (ditulis Succ(x)) adalah himpunan
semua verteks yang adjacent dari x, yaitu adjacenct set di atas.

      Struktur data yang berbentuk network/jaringan, hubungan antar elemen
adalah many-to-many. Contoh dari graph adalah informasi topologi jaringan dan
keterhubungan antar kota-kota. Keterhubungan dan jarak tidak langsung antara
dua kota sama dengan data keterhubungan langsung dari kota-kota lainnya yang
memperantarainya. Penerapan struktur data linear atau hirarkis pada masalah
graph dapat dilakukan tetapi kurang efisien. Struktur data graph secara eksplisit
menyatakan keterhubungan ini sehingga pencariannya langsung (straight
forward) dilakukan pada strukturnya sendiri.
   1. Struktur Data Linear = keterhubungan sekuensial antara entitas data
   2. Struktur Data Tree = keterhubungan hirarkis
   3. Struktur Data Graph = keterhubungan tak terbatas antara entitas data.


Representasi Graph dalam Bentuk Matrik

a. Graph Tak Berarah




      Graf tersebut dapat direpresentasikan dalam sebuah matrik 5x5 , dimana
      baris dan kolom di matriks tersebut menunjukan vertex yang ada.




                                                                                    7
b. Graph Berarah




      Dalam matrik diatas dapat kita lihat bahwa kotak yang berisi angka satu
menunjukan    bahwa    dalam   dua   vertex   tersebut   terdapat   edge   yang
menghubungkannya. Dan jika dalam kotak terdapat angka nol, maka hal tersebut
menandakan tidak ada edge yang mengubungkan secara langsung dua vertex
tersebut.

      Untuk representasi dalam pemorgraman komputer, graf tersebut dapat
digambarkan seperti dibawah ini :




                                                                                  8
B. Istilah Dalam Graph


   1. Incident
          Jika e merupakan busur dengan simpul-simpulnya adalah v dan w
   yang ditulis e=(v,w), maka v dan w disebut “terletak” pada e, dan e disebut
   incident dengan v dan w.


   2. Degree
          Didalam Graph ada yang disebut dengan Degree, Degree
   mempuyai 3 jenis antara lain :

         Degree dari suatu verteks x dalam undigraph adalah jumlah busur
          yang incident dengan simpul tersebut.
         Indegree dari suatu verteks x dalam digraph adalah jumlah busur
          yang kepalanya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur
          yang “masuk” atau menuju simpul tersebut..
         Outdegree dari suatu verteks x dalam digraph adalah jumlah busur
          yang ekornya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur
          yang “keluar” atau berasal dari simpul tersebut.




                                                                                 9
3. Adjacent

   Pada graph tidah berarah, 2 buah simpul disebut adjacent bila ada
   busur yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Simpul v dan w
   disebut adjacent.




   Pada graph berarah, simpul v disebut adjacent dengan simpul w bila
   ada busur dari w ke v.




4. Successor dan Predecessor

       Pada graph berarah, bila simpul v adjacent dengan simpul w, maka
simpul v adalah successor simpul w, dan simpul w adalah predecessor
dari simpul v.

5. Path

       Sebuah path adalah serangkaian simpul-simpul berbeda yang
adjacent secara berturut-turut dari simpul satu ke simpul berikutnya.




                                                                          10
   C. Jenis - Jenis Graph

    1. Directed Graph (Digraph)
       Jika sisi-sisi graph hanya berlaku satu arah. Misalnya : {x,y} yaitu arah x
ke y, bukan dari y ke x, x disebut origin dan y disebut terminus. Secara notasi sisi
digraph ditulis sebagai vektor (x, y).


Contoh Digraph G = {V, E} :
V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M}
E = {(A,B), (A,C), (A,D), (A,F), (B,C), (B,H), (C,E), (C,G), (C,H), (C,I), (D,E), (D,F),
(D,G), (D,K), (D,L), (E,F), (G,I), (G,K), (H,I), (I,J), (I,M), (J,K), (J,M), (L,K), (L,M)}.




    2. Graph Tak Berarah (Undirected Graph atau Undigraph)
       Setiap sisi {x, y} berlaku pada kedua arah: baik x ke y maupun y ke x.
Secara grafis sisi pada undigraph tidak memiliki mata panah dan secara
notasional menggunakan kurung kurawal.
Contoh Undigraph G = {V, E}



                                                                                              11
V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M}
E = { {A,B},{A,C}, {A,D}, {A,F}, {B,C}, {B,H}, {C,E}, {C,G}, {C,H}, {C,I}, {D,E}, {D,F},
{D,G}, {D,K}, {D,L}, {E,F}, {G,I}, {G,K}, {H,I}, {I,J}, {I,M}, {J,K}, {J,M}, {L,K}, {L,M}}.




        Khusus graph, undigraph bisa sebagai digraph (panah di kedua ujung
edge berlawanan) Struktur data linear maupun hirarkis adalah juga graph. Node-
node pada struktur linear ataupun hirarkis adalah verteks-verteks dalam
pengertian graph dengan sisi-sisinya menyusun node-node tersebut secara
linear atau hirarkis.
        Struktur data linear adalah juga tree dengan pencabangan pada setiap
node hanya satu atau tidak ada. Linear 1-way linked list (digraph), linear 2- way
linked list (undigraph).



    D. Konektivitas Tiap Jenis Graph

a. Konektivitas pada Undigraph

   Adjacency: Dua verteks x dan y yang berlainan disebut berhubungan langsung
    (adjacent) jika terdapat sisi {x, y} dalam E.
   Path: Sederetan verteks yang mana setiap verteks adjacent dengan verteks
    yang tepat berada disebelahnya.



                                                                                              12
   Panjang dari path: jumlah sisi yang dilalui path.
   Siklus: suatu path dengan panjang lebih dari satu yang dimulai dan berakhir
    pada suatu verteks yang sama.
   Siklus sederhana: dalan undigraph, siklus yang terbentuk pada tiga atau lebih
    verteks-verteks yang berlainan yang mana tidak ada verteks yang dikunjungi
    lebih dari satu kali kecuali verteks awal/akhir.
   Dua verteks x dan y yang berbeda dalam suatu undigraph disebut berkoneksi
    (connected) apabila jika terdapat path yang menghubungkannya.
   Himpunan bagian verteks S disebut terkoneksi (connected) apabila dari setiap
    verteks x dalam S terdapat path ke setiap verteks y (y bukan x) dalam S.
   Suatu komponen terkoneksi (connected components) adalah subgraph
    (bagian dari graph) yang berisikan satu himpunan bagian verteks yang
    berkoneksi.
   Suatu undigraph dapat terbagi atas beberapa komponen yang terkoneksi; jika
    terdapat lebih dari satu komponen terkoneksi maka tidak terdapat path dari
    suatu verteks dalam satu komponen verteks di komponen lainnya.
   Pohon bebas (free tree): suatu undigraph yang hanya terdapat satu komponen
    terkoneksi serta tidak memiliki siklus sederhana.

b. Konektivitas pada Digraph

        Terminologi di atas berlaku juga pada Digraph kecuali dalam digraph
harus dikaitkan dengan arah tertentu karena pada arah yang sebaliknya belum
tentu terdefinisi.

   Adjacency ke / dari: Jika terdapat sisi (x,y) maka dalam digraph dikatakan
    bahwa x "adjacent ke" y atau y "adjacent dari" x. Demikian pula jika terdapat
    path dari x ke y maka belum tentu ada path dari y ke x Jadi dalam digraph
    keterkoneksian didefinisikan lebih lanjut lagi sebagai berikut.
   Terkoneksi dengan kuat: Himpunan bagian verteks S dikatakan terkoneksi
    dengan kuat (strongly connected) bila setiap pasangan verteks berbeda x dan




                                                                                    13
    y dalam S, x berkoneksi dengan y dan y berkoneksi dengan x (dpl., ada path
    dari x ke y dan sebaliknya dari y ke x).
   Terkoneksi dengan Lemah: Himpunan bagian verteks S dikatakan terkoneksi
    dengan lemah (weakly connected) bila setiap pasangan verteks berbeda x dan
    y dalam S, salah satu: x berkoneksi dengan y (atau y berkoneksi dengan x)
    dan tidak kebalikan arahnya (dpl., hanya terdefinisi satu path: dari x ke y atau
    sebaliknya dari y ke x).

    E. Metode Pencarian Vertex

        Pencarian vertex adalah proses umum dalam graph. Terdapat 2 metoda
pencarian, yakni Depth First Search (DFS) dan Breadth First Search (BFS).


a. Depth First Search (DFS)
        Pencarian dengan metode ini dilakukan dari node awal secara mendalam
hingga yang paling akhir (dead-end) atau sampai ditemukan. Dengan kata lain,
simpul cabang atau anak yang terlebih dahulu dikunjungi.




        Proses pencarian dilakukan dengan mengunjungi cabang terlebih dahulu
hingga tiba di simpul terakhir. Jika tujuan yang diinginkan belum tercapai maka
pencarian dilanjutkan ke cabang sebelumnya, turun ke bawah jika memang
masih ada cabangnya. Begitu seterusnya hingga diperoleh tujuan akhir (goal).
Depth First Search, memiliki kelebihan diantaranya adalah cepat mencapai
kedalaman ruang pencarian. Jika diketahui bahwa lintasan solusi permasalahan
akan panjang maka Depth First Search tidak akan memboroskan waktu


                                                                                       14
untuk melakukan sejumlah besar keadaan dangkal dalam permasalahan graf.
Depth First Search jauh lebih efisien untuk ruang pencarian dengan banyak
cabang karena tidak perlu mengeksekusi semua simpul pada suatu level
tertentu pada daftar open. Selain itu, Depth First Search memerlukan memori
yang relatif kecil karena banyak node pada lintasan yang aktif saja yang Selain
kelebihan, Depth First Search juga memiliki kelemahan di antaranya adalah
memungkinkan tidak ditemukannya tujuan yang diharapkan dan hanya akan
mendapatkan satu solusi pada setiap pencarian.

b. Breadth First Search (BFS)
      Prosedur Breadth First Search (BFS) merupakan pencarian yang
dilakukan dengan mengunjungi tiap-tiap node secara sistematis pada setiap
level hingga keadaan tujuan (goal state) ditemukan. Atau dengan kata lain,
penulusuran    yang   dilakukan    adalah   dengan mengunjungi tiap-tiap node
pada level yang sama hingga ditemukan goal state-nya.




Implementasi algoritma BFS :


Pengimplementasian BFS dapat ditelusuri dengan menggunakan daftar (list),
open, dan closed, untuk menelusuri gerakan pencarian di dalam ruang keadaan.
Prosedur untuk Breadth First Search dapat dituliskan sebagai berikut:




                                                                                  15
Pada diatas, state 21 merupakan tujuannya (goal) sehingga bila ditelusuri
menggunakan prosedur Breadth First Search, diperoleh:
       1)    Open = [1]; closed = [ ].
       2)    Open = [2, 3, 4]; closed = [1].
       3)    Open = [3, 4, 5, 6]; closd = [2, 1].
       4)    Open = [4, 5, 6, 7, 8]; closed = [3, 2, 1].
       5)    Open = [5, 6, 7, 8, 9, 10]; closed = [4, 3, 2, 1].
       6)    Open = [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]; closed = [5, 4, 3, 2, 1].
       7)    Open = [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13] (karena 12 telah di-open);
             closed = [6, 5, 4, 3, 2, 1].
       8)    Open = [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]; closed = [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1].
       9)    Dan seterusnya sampai state 21 diperoleh atau open = [ ].


       Ada    beberapa     keuntungan       menggunakan      algoritma    Breadth First
Search ini, diantaranya adalah tidak akan menemui jalan buntu dan jika ada
satu solusi maka Breadth First Search akan menemukannya, dan jika ada lebih
dari satu solusi maka solusi minimum akan ditemukan.
       Namun ada tiga persoalan utama berkenaan dengan Breadth First
Search ini yaitu :
1) Membutuhkan memori yang lebih besar, karena menyimpan semua node
  dalam satu pohon.




                                                                                          16
2) Membutuhkan sejumlah besar pekerjaan, khususnya jika lintasan solusi
  terpendek cukup panjang, karena jumlah node yang                 perlu diperiksa
  bertambah secara eksponensial terhadap panjang lintasan.
3) Tidak relevannya operator akan menambah jumlah node yang harus diperiksa.


      Oleh karena proses Breadth First Search mengamati node di setiap
level graf sebelum bergerak menuju ruang yang lebih dalam maka mula-
mula semua keadaan akan dicapai lewat lintasan yang terpendek dari
keadaan awal. Oleh sebab itu, proses ini menjamin ditemukannya lintasan
terpendek dari keadaan awal ke keadaan tujuan              (akhir).     Lebih    jauh
karena   mula-mula    semua     keadaan ditemukan melalui lintasan terpendek
sehingga setiap keadaan    yang ditemui     pada    kali   kedua      didapati   pada
sepanjang sebuah lintasan yang sama atau lebih panjang. Kemudian, jika tidak
ada kesempatan ditemukannya       keadaan    yang     identik   pada      sepanjang
lintasan yang lebih baik maka algoritma akan menghapusnya


   F. Shortest Path

      Pencarian shortest path (lintasan terpendek) adalah masalah umum
dalam suatu weighted, connected graph. Misal : Pencarian jaringan jalan raya
yang menghubungkan kota-kota disuatu wilayah.


   1. Lintasan terpendek yag menghubungkan antara dua kota berlainan
      tertentu (Single-source Single-destination Shortest Path Problems)
   2. Semua lintasan terpendek masing-masing dari suatu kota ke setiap kota
      lainnya (Single-source Shortest Path problems)
   3. Semua lintasan terpendek masing-masing antara tiap kemungkinan
      pasang kota yang berbeda (All-pairs Shortest Path Problems)
Untuk memecahkan masing-masing dari masalah-masalah tersebut terdapat
sejumlah solusi.




                                                                                        17
      Dalam beberapa masalah graph lain, suatu graph dapat memiliki bobot
negatif dan kasus ini dipecahkan oleh algoritma Bellman-Ford. Yang akan
dibahas di sini adalah algoritma Dijkstra yaitu mencari lintasan terpendek dari
suatu verteks asal tertentu vs ke setiap verteks lainnya.

a. Graph berbobot (weighted graph)

      Apabila sisi-sisi pada graph disertai juga dengan suatu (atau beberapa)
harga yang menyatakan secara unik kondisi keterhubungan tersebut maka graph
tersebut disebut graph berbobot. Biasanya dalam masalah-masalah graph bobot
tersebut merupakan "harga" dari keterhubungan antar vertex. Pengertian "harga"
ini menggeneralisasikan banyak aspek, biaya ekonomis dari proses/aktifitas,
jarak geografis/tempuh, waktu tempuh, tingkat kesulitan, dan lain sebagainya.

       Dalam beberapa masalah lain bisa juga bobot tersebut memiliki
pengertian "laba" yang berarti kebalikan dari "biaya" di atas. Dalam pembahasan
algoritma-algoritma graph nanti pengertian bobot akan menggunakan pengertian
biaya sehingga apabila diaplikasikan pada masalah yang berpengertian laba
maka kuantitas-kuantitas terkait adalah kebalikannnya. Misalnya mencari jarak
tempuh minimum digantikan dengan mencari laba maksimum.




                                                                                  18
b. Algoritma Dijkstra’s

Algoritma Dijkstra's :
   1. Menyelesaikan problem single-source shortest-path ketika semua edge
       memiliki bobot tidak negatif.
   2. Algoritma greedy mirip ke algoritma Prim's.
   3. Algoritma di awali pada vertex sumber s, kemudian berkembang
       membentuk sebuah tree T, pada akhirnya periode semua vertex dijangkau
       dari S. Vertex di tambah ke T sesuai urutan
Misalnya :
Pertama S, kemudian vertex yang tepat ke S, kemudian yang tepat berikutnya
dan seterusnya.


c. Dynamic Programming
       Terdiri dari sederetan tahapan keputusan. Pada setiap tahapan berlaku
prinsip optimality (apapun keadaan awal dan keputusan yang diambil, keputusan
berikutnya harus memberikan hasil yang optimal dengan melihat hasil keputusan
sebelumnya.
Misalnya :       Multistage Graph
Dimana       :   Cost (i,j) = Min(C(j,l) + Cost(i+1,l)}
Dengan       :   C(j,l) = Bobot edge j dan l
                 l = Elemen Vi+1 Dan <j,l> eemen E
                 i=stage ke-I dan j = node dalam V
Proses dimulai dari k-2, dimana k adalah banyak stage.


Perhatikan contoh untuk menentukan biaya termurah dari 1 hingga 12.
   Diketahui graph dengan stage sebagai berikut :




                                                                                19
Maka langkah-langkah yang dilakukan adalah :
K=5, sehingga dimulai dari S3
Cost(3,6) = Min{6+Cost(4,9); 5+Cost(4,10)} = Min{6+4;5+2} = 7
Cost(3,7) = Min{4+Cost(4,9); 3+Cost(4,10)} = Min{4+4;3+2} = 5
Cost(3,8) = Min{5+Cost(4,10); 6+Cost(4,11)} = Min(5+2;6+5} = 7
Cost(2,2) = Min{4+Cost(3,6);2+Cost(3,7);1+Cost(3,8)}
= Min{4+7;2+5;1+7} = 7
Cost(2,3) = Min{2+Cost(3,6); 7+Cost(3,7)} = Min(2+7; 7+5) = 9
Cost(2,4) = Min{11+Cost(3,8)} = 18
Cost(2,5) = Min{11+Cost(3,7); 8+Cost(3,8)} = Min(11+5;8+7} = 15
Cost(1,1) = Min{9+Cost(2,2);7+Cost(2,3);3+Cost(2,4),2+Cost(2,5)}
= Min{9+7;7+9;3+18;2+15} = 16


Shorthest Path menjadi :
1 -> 3 ->   ->     ->           u 1 ->   ->    ->      ->
Jika ada dua atau lebih shorthest path maka total biaya harus sama.




                                                                      20
Shortest Path Pertama adalah :




Shortest Path Kedua adalah :




      G. Minimum Spanning Tree


      Definisi Pohon rentangan atau spanning tree dari suatu connected graph
didefinisikan sebagai free-tree yang terbentuk dari subset sisi-sisi serta
menghubungkan setiap verteks dalam graph tersebut. Minimum Spanning Tree




                                                                               21
(MST) adalah pohon rentangan dengan total bobot dari sisi-sisinya adalah
minimal. Dalam penelusuran vertex tidak diperkenankan terbentuk siklus (cycle).


Diketahui sebuah graph tak berarah dan tak berbobot sebagai berikut :




                        Kemungkinan Spanning Tree :




Bila jalur (edge) mempunyai biaya (cost) maka yang dicari adalah minimum
cost spanning tree.



      H. Algoritma Menentukan Minimum Spanning Tree (MST)

      Dua algoritma populer untuk menentukan minimum spanning tree (MST)
adalah Kruskal Algorithm dan Prim’s Algorithm.


1. Algoritma Kruskal
      Algoritma ini lebih sederhana jika dilihat dari konsepnya namun lebih sulit
dalam implementasinya. Idenya adalah mendapatkan satu demi satu sisi mulai
dari yang berbobot terkecil untuk membentuk tree, suatu sisi walaupun berbobot
kecil tidak akan diambil jika membentuk siklik dengan sisi yang sudah termasuk


                                                                                    22
dalam tree. Yang menjadi masalah dalam implementasinya adalah keperluan
adanya pemeriksaan kondisi siklik tersebut.Salah satu pemecahaannya adalah
dengan subsetting yaitu pembentukan subset-subset yang disjoint dan secara
bertahap dilakukan penggabungan atas tiap dua subset yang berhubungan
dengan suatu sisi dengan bobot terpendek. Algoritma lengkapnya:


        Tahap pertama, jika dalam V terdapat n verteks maka diinisialisasi n buah
         subset yang disjoint, masing-masing berisi satu verteks, sebagai subset-
         subset awal.
        Tahap berikutnya, urutkan sisi-sisi dengan bobot yang terkecil hingga
         terbesar.
        Mulai dari sisi dengan bobot terkecil hingga terbesar lakukan dalam iterasi:
         jika sisi tsb. menghubungkan dua vertex dalam satu subset (berarti
         membentuk siklik) maka skip sisi tersebut dan periksa sisi berikutnya jika
         tidak (berarti membentuk siklik) maka kedua subset dari verteks-verteks
         yang bersangkutan digabungkan menjadi satu subset yang lebih besar.
         Iterasi akan berlangsung hingga semua sisi terproses.


MST_KRUSKAL (G)
{ For setiap vertex v dalam V[G] Do
{ set S(v) ← {v} }

        Inisialisasi priority queue Q yang berisi semua edge dari G,
gunakan bobot sebagai keys.
        A ← { } // A berisi edge dari MST
        While A lebih kecil dari pada n-1 edge Do
        { set S(v) berisi v dan S(u) berisi u }
        IF S(v) != S(u) Then
        { Tambahkan edge (u, v) ke A
        Merge S(v) dan S(u) menjadi satu set
        }
        Return A
}




                                                                                        23
2. Algoritma Prim
       Algoritma dimulai dari suatu verteks awal tertentu dan bisa ditentukan oleh
pemanggil atau dipilih sembarang oleh algoritma. Misalnya verteks awal tersebut
adalah v. Pada setiap iterasi terdapat kondisi di mana himpunan vertex V terbagi
dalam dua:
       W yaitu himpunan verteks yang sudah dievaluasi sebagai node di dalam
       pohon, serta (V-W) yaitu himpunan verteks yang belum dievaluasi.
Di awal algoritma W diinisialisasi berisi verteks awal v. Selanjutnya, di dalam
iterasinya:
       Pada setiap adjacency dari tiap verteks dalam W dengan verteks dalam
       (V-W) dicari sisi dengan panjang minimal. setelah diperoleh, sisi tersebut
       ditandai sebagai sisi yang membentuk tree dan verteks adjacent sisi
       tersebut dalam (VW) dipindahkan ke W (menjadi anggota W).
       Jika sisi tersebut tidak ada maka proses selesai.
       Dari contoh di atas misalnya dilakukan pencarian mulai dari verteks A
Maka algoritma ini menghasilkan tahapan-tahapan iterasi pencarian sbb.:


MST_PRIM (G, w, v)
{ Q ← V[G]
       for setiap u dalam Q do key [u] ← ∞
       key [r] ← 0
       π[r] ← NIl
       while queue tidak kosong do
               { u ← EXTRACT_MIN (Q)
                      for setiap vertex v dalam Adj[u] do
                      { if v ada dalam Q dan w(u, v) < key [v] then
                              { π[v] ← w(u, v)
                                      key [v] ← w(u, v)
                      }
               }
}




                                                                                     24
III. GRAPH PADA JAVA

       Pada Project ini, kita lakukan pengaplikasian dari teori Graph pada
program Java. Software yang kita gunakan adalah Eclipse.




       Didalam Project ini terdapat 5 package Java. Dan yang akan kita bahas
disini adalah Package GRAPH_BASIC. Package GRAPH_BASIC, berisi 5 file
berextensi .java yang saling berhubungan satu sama lain. Untuk detail File bisa
di lihat di gambar di bawah ini.




Untuk melakukan Logika Aplikasi Graph terdapat pada File Main.java



                                                                                  25
Tampilan Scriptnya seperti gambar di bawah ini.




Dapat Kita lihat dari gambar diatas, logika Graph di mulai dari penambahan
Vertex/Node, dengan memanggil fungsi “AddVertex” pada file Graph.java.
Setelah vertex tercipta, dilakukan penambahan Edge/Busur dan terakhir
memanggil fungsi untuk menghasilkan output.

Untuk Output yang di hasilkan bisa di lihat gambar di bawah ini.




                                                                             26
IV. KESIMPULAN
Mengenal Graph :
   Terdiri dari node dan terdiri dari link (busur)
   Node disebut vertex dan Link disebut edge
   Informasi penting dalam graph adalah koneksi antar vertex
   Pada undirected graph, tidak terdapat directions (arah), Edge dari v0 ke
     v1 adalah sama dengan edge dari v1 ke v0
   Jika sebuah masalah dapat direpresentasikan ke dalam bentuk kgraph
     maka solusi dari masalah tersebut bisa dicari dengan bantuan graph
   Setiap vertex mewakili sebuah kondisi (state) dan edge mewakili transisi
     antar state


Analogi Graph dalam Kehidupan Sehari-Hari


     Graph dalam kehidupan sehari-hari dapat dianalogikan sebagai suatu
     jaringan satu dengan jaringan lainnya yang saling terhubung. Misal seperti
     negara Indonesia yang memiliki banyak kota seperti: Jakarta, Bandung,
     Surabaya, Yogyakarta. Kota-kota itulah yang tergabung dalam negara
     Indonesia dan kota-kota itulah yang saling berhubungan.




                                                                                  27
                            DAFTAR PUSTAKA




Undip, BFS dan DFS,
http://eprints.undip.ac.id/5202/2/BAB_I_dan_II.pdf,
Tanggal Akses : 10 November 2010

Rachmat Antonius, Struktur Data
http://lecturer.ukdw.ac.id/anton/download/TIstrukdat11.ppt
Tanggal Akses : 10 November 2010

AlpenYap, Struktur Data Hirarkis
http://alpz.files.wordpress.com/2007/12/tree-btree-graph.pdf
Tanggal Akses : 2 November 2010

Ciptarjo Imam, Pengantar Graph
http://134738.yolasite.com/resources/17782333-Struktur-Data-Graph-
wwwaloneareacom.pdf
Tanggal Akses : 2 November 2010




                                                                     28

								
To top