Docstoc

NEWTON LAW 1

Document Sample
NEWTON LAW 1 Powered By Docstoc
					Inertial Frames of Reference (IFR) and Accelerated Frame of Reference (AFR): IFR are frame of reference where Newton’s
laws are applicable. Frame of reference at rest or going with constant velocity w.r.t, an IFR are also IFR. Frame of reference
accelerating w.r.t, IFR are AFR or non-inertial frame of reference.

জড়ত্বীয় নির্‍েশতন্ত্র: ত্বরণহীন বা স্থির বা সমদ্রুস্থিতি গস্থিশীল স্থনত‍েশ িত্রকেতজ ত্ত্বীন স্থনত‍েশিত্রকে বতলন স্থননেতনর গস্থিস্রগুলিস্থল ত্ত্বীন
স্থনত‍েশিতত্রকেপ রযোত াতহ হনন িাপ ত্ত্বীন স্থনত‍েশিত্রকে হল ্জরযোজার স্থনত‍েশিত্রকে খ নাতন বাতব ব বতলর ্স্থিনা-রযোস্থিস্থিনাতস্থনি) অনুপস্থিস্থিতি
খজাতনা বস্তুতজ স্থির বা সমতবতগ গস্থিশীল বতল মতন হনন খজাতনা ত্ত্বীন স্থনত‍েশিতত্রকের সাতপতঅ অপর খজাতনা অপর খজাতনা স্থির বা Page |
সমতবতগ গস্থিশীল স্থনত‍েশিত্রকে স‍বো ত্ত্বীন স্থনত‍েশিত্রকে হনন                                                                                    1

অজড়ত্বীয় নির্‍েশতন্ত্র: খজাতনা ত্ত্বীন স্থনত‍েশিতত্রকের সাতপতঅ অপর খজাতনা ত্বরণ বা মদনযন ুত ন স্থনত‍েশিত্রকেতজ অত্ত্বীন স্থনত‍েশিত্রকে বতলন
অত্ত্বীন স্থনত‍েশিতত্রকে স্থননেতনর গস্থিস্রগুলিস্থল রযোত াতহ হন নান ্তঅতরগু খজাতনা জণার ত্বরণ শিস্থশজবাতব অত্ত্বীন স্থনত‍েশিতত্রকের ত্বরণ
্বি শিস্থশজবাতব বস্তুজণালিস্থলর পারষ্পস্থরজ স্থিনা-রযোস্থিস্থিনার তনহ ঘতেন
অত্ত্বীন স্থনত‍েশিতত্রকে খজাতনা বস্তুর গস্থির অবিা স্থননেতনর গস্থিস্তরগুর সাহাত হ স্থবতবানা জরতি খগতল বাতব ব বতলর সতএ ্জ অ অলীজ
বল খ াগ জরতি হনন ���� বতরর খজাতনা বস্তুর �������� ত্বরন ুত ন অত্ত্বীন স্থনত‍েশিতত্রকের সাতপতঅ ত্বরণ ����′ হতল ্বি বস্তু অর নপর রযো ুত ন
            ⃗
বাতব ব বল ���� হতল স্থননেতনর সমীজরন হতব
                  ���� = ��������′ + ������������
                  বা, ��������′ = ���� − ������������
                  বা, ��������′ = ���� + (−������������ )
সুিরাি বাতব ব বতলর সতএ শরও ্জ অ ত্ত্বীন বল বা অলীজ বল খ াগ জরতি হন ার মান বস্তুর বর ও অত্ত্বীন স্থনত‍েশতেতমর
ত্বরতণর লিনফতলর মাতনর সমানন ্প বতলর অস্থবমুন হন অত্ত্বীন স্থনত‍েশতেতমর ত্বরতণর স্থবপরীি অস্থবমুতনন

Pseudo Force: In order to use Newton’s law in AFR, we must include a correcting factor. This correcting factor is called
Pseudo force. If a body subjected to a force in a AFR then an inertial force in opposite direction are to be consider.




                                              চলন্ত নলফর্ে প্রন্নিয়া:
স্থির অবিা খেতজ স্থলফে ত্বরণ স্থনতন নপতর নঠতি শুরু জরতল শতরাহী স্থনতততজ অতপঅাজৃ ি বারী বতল মতন জতরন স্থজন্তু স্থলফে সমতবতগ
ালতি োজতল শর ্প অনুব্স্থি োতজ নান শবার স্থলফে স্থিরাবিা খেতজ নন ত্বরণ স্থনতন নামতি শুরু জতর িনন শতরাহী স্থনতততজ
হালজা খবাধ জতরন ্নাতন পৃস্থেবীর স্থনত‍েশতেম ও স্থলফতের স্থনত‍েশতেতমর সাহাত হ স্থননেতনর গস্থিস্রগু খেতজ ্প ঘেনা লিতলা বহানা জরা
                            হলন


                                 প‍যর্ক্ষক     প
                                               ূপষর্ঠে  নথির ছর্   বক নলফে ���� ত্ব ণ নির্য় উপর্ উঠর্ :
                                        ্তঅতরগু স্থলফে অ ���� ত্বরণ স্থনতন নপতর ওঠান ঊ‍ধমুনী রযোস্থিস্থিনা বল ����, শতরাহীর ওতন �������� ্র
                                খেতজ খবশী হনন সুিরাি শতরাহীর নপর খমাে ঊ‍ধমুনী বল = ���� − ��������। ্প বতলর স্থিনান স্থলফে অ ����
                                ত্বরণ স্থনতন নপতর ওতঠন িাপ
                                                 ���� − �������� = ��������
                                                 বা, ���� = ����(���� + ����)


                                 প‍যর্ক্ষক    নলফর্ে মর্যে নথির ছর্        বক নলফে ���� ত্ব ণ নির্য় উপর্ উঠর্ :
                                ্তঅতরগু স্থলফে অ ���� ত্বরণ স্থনতন নপতর ওঠান শতরাহীর নপর �������� মাতনর অলীজ বল স্থনম্নমুতন
স্থিনা জতর ্বি বস্তুর ওতন �������� ও স্থনম্নমুতন স্থিনা জতরন িাপ ্তঅতরগু খমাে রযোস্থিস্থিনা
                                                  ���� = �������� + ��������
                                                  বা, ���� = ����(���� + ����)


                                   প‍যর্ক্ষক     প
                                                 ূপষর্ঠে  নথির ছর্    বক নলফে ���� ত্ব ণ নির্য় িীর্চ িামর্ :
                                       ্তঅতরগু স্থলফে অ ���� ত্বরণ স্থনতন নীতা নামান স্থনম্নমুনী শতরাহীর ওতন ��������, ঊ‍ধমুনী রযোস্থিিনা বল
                                  ���� অতপঅা খবশী হনন সুিরাি শতরাহীর নপর খমাে স্থনম্নমুনী বল = �������� − ����। ্প বতলর স্থিনান Page |
                                  স্থলফে অ ���� ত্বরণ স্থনতন নীতা নাতমন িাপ                                               2
                                                  �������� − ���� = ��������
                                                  বা, ���� = ����(���� − ����)


                                   প‍যর্ক্ষক    নলফর্ে মর্যে নথির ছর্       বক নলফে ���� ত্ব ণ নির্য় িীর্চ িামর্ :
            ্তঅতরগু স্থলফে অ ���� ত্বরণ স্থনতন নীতা নামতল শতরাহীর নপর �������� মাতনর অলীজ বল ঊ‍ধমুতন স্থিনা জতরন ্বি বস্তুর ওতন
�������� স্থনম্নমুতন স্থিনা জতরন িাপ ্তঅতরগু খমাে রযোস্থিস্থিনা
                        ���� + �������� = ��������
                        বা, ���� = ����(���� − ����)

                               প‍যর্ক্ষক        প
                                                ূপষর্ঠে  নথির ছর্    বক নলফেি  অকার্য িীর্চ িামর্ :
                                       স্থলফ অ অবাতধ নীতা নামতি োজতল ্স্থলফেতের েস্থ্ স্থ িঁ ত্ খগতল) ত্বরতণর মান হন ����। ্তঅতরগু
                              ���� = ���� হওনান ���� = ����(���� − ����) = ����(���� − ����) = 0। ্তঅতরগু রযোস্থিস্থিনা বল শ্নহ হওনান শতরাহী স্থনতততজ
                              সম্প্‍ন বারহীন খবাধ জতরন


                               প‍যর্ক্ষক       নলফের্ে মর্যে নথির ছর্       বক নলফেি  অকার্য িীর্চ িামর্ :
                                   স্থলফে অ অবাতধ নীতার স্থেতজ নামতি োজতল ত্বরতণর মান হন ���� = ����। খসতঅতরগু �������� মাতনর ্জ অ
                              অলীজ বল ঊ‍ধমুতন স্থিনা জতর ্বি স্থনম্নমুতন �������� মাতনর ওতন স্থিনা জতরন িাপ রযোস্থিস্থিনা বল হন
                                            ���� = ����(���� − ����) = 0


 নলফেি  নথির কা সমর্কর্ে েন্শতনীল:
       স্থলফে অ স্থির োজতল বা সমতবতগ ওঠা নামা জরতল ত্বরতণর মান হন ���� = 0। খসতঅতরগু রযোস্থিস্থিনা বল শতরাহীর ওততনর সমান
হতবন িাপ শতরাহী স্থির অবিান ব্ পৃতে খ ওতন খবাধ জতর স্থলফেতের মতধহও ঠিজ ্জপ ওতন অনুবব জরতবন


 প‍যর্ক্ষক    প
              ূপষর্ঠে  নথির ছর্    বক নলফেি  ���� অর্প্ষকা বকশতনী ত্ব র্ণ িীর্চ িামর্ল:
              স্থলফ অ অ ���� অতপঅা খবস্থশ ত্বরতণ নীতার স্থেতজ ারগুা শুরু জরা মারগু শতরাহীর সতএ স্থলফেতের খমতের সিত াগ স্থিন্ন হতবন
জারন ্তঅতরগু শতরাহী ���� ত্বরতণ নীতা নামতব ্বি স্থলফে অ ���� অতপঅা খবস্থশ ত্বরতণ নীতা নামতবন ফতল স্থলফে শতরাহী সহ নীতা নামত
স্থজন্তু স্থলফেতের মতধহ শতরাতহ নপতর নঠত ন ্বি খশষ প‍ ন্ত  খস স্থলফেতের াে ্পর‍শ জরতবন িাপ স্থলফেতের াে শতরাহীর নপর
নীতার স্থেতজ রযোস্থিস্থিনা বল রযোতনাগ জরতবন
                        সুিরাি ���� + �������� = ��������
                        বা, ���� = ����(���� − ����)


 প‍যর্ক্ষক   নলফের্ে মর্যে নথির ছর্        বক নলফেি  ���� অর্প্ষকা বকশতনী ত্ব র্ণ িীর্চ িামর্ল:
        ্তঅতরগু শতরাহীর নপর �������� মাতনর ্) অলীজ বল ঊ‍ধমুতন স্থিনা জতর ্বি শতরাহীর ওতন �������� স্থনম্নমুতন স্থিনা জতরন
ফতল �������� − �������� = ����(���� − ����) বতলর স্থিনান শতরাহী নপতরর স্থেতজ নঠতি োতজ ্বি স্থলফতের াে ষ্প‍শ জতরন িাপ ���� = ����(���� − ����)
                      প
                  অিুূনম              নের্      ত্ব ণযুক্ত ব ার্িা োড়ী মর্যে কস্তু েন্:
                                                      ধরা াজ খজাতনা গা্ী ���� ত্বরণ স্থনতন অনুব্স্থমজ স্থেতজ গস্থিশীলন গা্ীর অবহন্ত তর
                                                      ���� বতরর ্জ অ বস্তু খোলাতনা শত ন ্তঅতরগু বস্তু অর নপর েু অ বল স্থিনা
                                                      জতরন
                                                      ্i) অস্থবজ‍ষ বল �������� া না্া নীতার স্থেতজ স্থিনা জতরন                           Page |
                                                      ্ii) ্জ অ অলীজ বল �������� া গা্ীর গস্থির স্থবপরীতি স্থিনা জতরন                    3

                                                                সুিরাি বস্তু অর নপর স্থিনারি লস্থিবল ���� = √(��������)2 + (��������)2 =
                                                      ����√����2 + ����2
                                                       লস্থিবল নল্লতের সাতে ���� খজাণ জরতল
                                                                                                            ��������   ����
                                                              বা বস্তু অ নল্লতের সাতে ���� খজাণ জরতল tan ���� =      =
                                                                                                                    ��������   ����
                                                       জা‍ জর অস্থবজ‍ষত ত্বরণ = �������� =            √����2   +   ����2



            েনড় বকর্য় খাড়া উপর্                       নের্     উঠর্ল কা িীর্চ েন্ িামর্ল েন্:
���� বতরর খজাতনা বহস্থত ন েস্থ্ খবতন ���� ত্বরণ স্থনতন নপতরর স্থেতজ নঠতল েস্থ্তি োন হতব
               ���� − �������� = ��������
               বা, ���� = ����(���� + ����)

���� বতরর খজাতনা বহস্থত ন েস্থ্ খবতন ���� ত্বরণ স্থনতন নীতার স্থেতজ নামতল েস্থ্তি োন হতব
               �������� − ���� = ��������
               বা, ���� = ����(���� − ����)




         নিন‍েষ্ট উ উচতা্া বের্                                       প
                                               পন্্ ব ার্িা কস্তু উপ ূনম প্রন্নিয়া কল:
���� বতরর খজাতনা বস্তুতজ ℎ নচ্চিা খেতজ খফলা হতল ্বি বস্তু অতি ���� মদনযন সৃস্থি হতল, ব্ স্থম বস্তু অতি ্জ অ ঊ‍ধমুনী ধা্া বল ����
রযোোন জতরন স্থননেতনর স্থিিীন স্রগুানু ানী
         �������� = ���� − ��������
         বা, ���� = ����(���� + ����)
্নন বস্তু অ ব্ স্থম ্পর‍শ জরার মুহ্ত‍ি খবগ ���� ্বি বস্তু অ ব্ স্থমতি ���� গবীরিা প‍ ন্ত  রযোতবশ জরতল, খলনা ান
                                        ���� 2
                 ���� 2 = 2�������� বা ���� =
                                        2����
                                                                                   ���� 2
                 সুিরাি ব্ স্থম িারা বস্তুর নপর রযোস্থিস্থিনা বল ���� = ���� (���� +            )
                                                                                   2����
শবার বস্তু অতজ ℎ নচ্চিা খেতজ খফলা হতল শস্থত নর সিরঅন স্রগু খেতজ খলনা                ান,
                 1
                     �������� 2 = ��������ℎ বা, ���� 2 = 2����ℎ
                 2
                                                                          2����ℎ                ℎ
        সুিরাি ব্ স্থম িারা বস্তুর নপর রযোস্থিস্থিনা বল = ���� = ���� (���� +          ) = �������� (1 + )
                                                                          2����                 ����
স্থনস্থ‍েি ���� ও ℎ ্র তনহ, ���� ্র মান খবস্থশ হতল ���� ্র মান জম হনন িাপ খজাতনা বহস্থত ন ্জপ নচ্চিা খেতজ মা অ ও বাস্থলতি লাফ
স্থেতল, মা অ িারা খবস্থশ শঘািরযোাপ্ত হনন
                                Motion of a Block on Horizontal Surface:
Case: (1) যখি ব ার্িা কস্তুর্                    প
                                ���� কল দ্বা া অিুূনম      ূার্ক োিা হয়:


                                             (Without friction)
                                             From free body diagram we get,                                                                 Page |
                                             ���� = �������� and ���� = ��������                                                                        4
                                                        ����
                                              ⇒ ���� =
                                                        ����




                                             (With friction)
                                             From free body diagram we get,
                                             ���� = �������� and ���� − ���� = ��������
                                                     ����−����   ����−������������
                                             ⇒ ���� =        =
                                                        ����        ����




Case: (2) যখি ব ার্িা কস্তুর্                    প
                                ���� কল দ্বা া অিুূনমর্        সার্ে ���� ব ার্ণ ওপর্   নের্   োিা হয়:

                                             From free body diagram we get,
                                             ���� + ���� sin ���� = ��������
                                             ⇒ ���� = �������� − ���� sin ���� and
                                             ���� cos ���� = ��������
                                                      ���� cos ����
                                             ⇒ ���� =
                                                          ����




                                        Case: (3) যখি ব ার্িা কস্তুর্                        প
                                                                            ���� কল দ্বা া অিুূনমর্     সার্ে ���� ব ার্ণ িীর্চ   নের্   বঠলা
                                        হয়:

                                        From free body diagram we get,
                                        ���� = �������� + ���� sin ���� and
                                        ���� cos ���� = ��������
                                                 ���� cos ����
                                        ⇒ ���� =
                                                     ����



Motion of a Block on inclined Plane:

Case: (1) ি্্লি  নথির অকথিরায় ছর্ :
                                          (Without friction)
                                          From free body diagram we get,
                                          ���� = �������� cos ���� and ���� = �������� sin ����
                                          But ���� = ��������
                                          �������� = �������� sin ����
                                          ⇒ ���� = ���� sin ����

                                                                                                                                  Page |
                                                                                                                                  5
                                          (With friction)
                                          Acceleration of a Block down a rough inclined plane:
                                          From free body diagram we get,
                                          ���� = �������� cos ����
                                          Friction force ���� = �������� = ������������ cos ���� act upward opposes the motion.
                                          ���� = �������� = �������� sin ���� − ������������ cos ����
                                          ⇒ ���� = (sin ���� − ���� cos ����)����




                                         (With friction)
                                         Retardation of a Block up a rough inclined plane:
                                         From free body diagram we get,
                                         ���� = �������� cos ����
                                         Friction force ���� = �������� = ������������ cos ���� acts downward opposes the motion.
                                         ���� = �������� = �������� sin ���� + ������������ cos ����
                                         ⇒ ���� = (sin ���� + ���� cos ����)����




Case: (2) ি্্লি  ���� সুষম ত্ব র্ণ েন্শতনীল ছর্ :


                                                       Since the body lie in ARF (accelerating reference frame), an inertial
                                                       force �������� acts on its in the opposite direction. From free body diagram
                                                       we get,
                                                       ���� = �������� cos ���� + �������� sin ���� and ���� = �������� = �������� sin ���� − �������� cos ����
                                                       ⇒ ���� = ���� sin ���� − ���� cos ����

                                                       Special Note: The condition for the body to be at rest relative to the
                                                       inclined plane if ���� = 0
                                                       Thus ���� sin ���� − ���� cos ���� = 0
                                                       ⇒ ���� cos ���� = ���� sin ����
                                                       ⇒ ���� = ���� tan ����
                                                Motion of a Block in Contact:
Case: (1) েুি  নকনূন্ন ূর্       কস্তু স স্পর্‍শতন ো র্ল বক প্রেম কস্তু উপ কল নিয়া              ল:



                                                                                                                                              Page |
                                                                                                                                              6




Here ���� be the applied force on ����1 and ���� be the contact force between ����1 and ����2 then from free body diagram

            ���� − ���� = ����1 ���� … … … … (i)
        And ���� = ����2 ���� … … … … (ii)
From (i) and (ii) we get, ���� − ����2 ���� = ����1 ����
                            ⇒ ���� = ����1 ���� + ����2 ���� = (����1 + ����2 )����
                                       ����
                            ⇒ ���� =
                                        ����1 +����2
                     ����2 ����
And ���� = ����2 ���� =              … … … … … (v)
                    ����1 +����2


Case: (2) েুি  নকনূন্ন ূর্       কস্তু সস্পর্‍শতন ো র্ল বক নদ্ব্ীয় কস্তু উপ কল নিয়া                 র্ল:




Here ���� be the applied force on ����2 and ���� be the contact force between ����1 and ����2 then from free body diagram

           ���� − ���� = ����2 ���� … … … … … (i)
        And ���� = ����1 ���� … … … … … … (ii)
From (i) and (ii) we get, ���� − ����1 ���� = ����2 ����
                            ⇒ ���� = ����1 ���� + ����2 ���� = (����1 + ����2 )����
                                       ����
                            ⇒ ���� =          … … … … … ্iii)
                                        ����1 +����2


Case: (3) ন্িি  নকনূন্ন ূর্        কস্তুর্    স স্পর্‍শতন ব র্খ প্রেম কস্তুর্্ কল প্রর্য়াে   া হল:

                                             Here ���� is the applied force on ����1 and ����12 be the contact force between ����1 and ����2 and ����23
                                             be the contact force between the body ����2 and����3 , then from free body diagram we can
                                             write,

                                             For body A: ���� − ����12 = ����1 ���� … … … … …(i)
                                             For body B: ����12 − ����23 = ����2 ���� … … … … …(ii)
                                             For body C: ����23 = ����3 ���� … … … … … …(iii)
                                                                                                                                                        Page |
                                                                                                                                                        7


From equation (i), (ii) and (iii) we get,
       ����
���� =         … … … … … … … (iv)
    ����1 +����2 +����3
And contact force between ����2 and ����3 is
                           ����3 ����
           ����23 = ����3 ���� =
                                     ����1 +����2 +����3


Contact force between ����1 and ����2 is
               (����2 +����3 )����
      ����12 =
               ����1 +����2 +����3


Case: (4) ন্িি  নকনূন্ন ূর্               কস্তুর্    সস্পর্‍শতন ব র্খ বশতনষ কস্তুি র্্ কল প্রর্য়াে     া হল:

                                                     Here ���� is the applied force on ����3 and ����12 be the contact force between ����1 and ����2 and
                                                     ����23 be the contact force between the body ����2 and ����3 , then from free body diagram we
                                                     can write,

                                                     For body A: ����12 = ����1 ���� … … … … … … … (i)
                                                     For body B: ����23 − ����12 = ����2 ���� … … … … … … … (ii)
                                                     For body C: ���� − ����23 = ����3 ���� … … … … … … … (iii)




From equation (i), (ii) and (iii) we get,
        ����
���� =          … … … … … … … (iv)
     ����1 +����2 +����3


And contact force between ����1 and ����2 is
                  ����1 ����
 ����12 = ����1 ���� =
                     ����1 +����2 +����3
                                                             (����1 +����2 )����
Contact force between ����2 and ����3 is ����23 =
                                                            ����1 +����2 +����3


Case: (5) চা ি  নকনূন্ন ূর্               কস্তু স স্পর্‍শতন বের্   প্রেম কস্তুর্্ কল প্রর্য়াে        া হল:

                                                                             A, B, C and D four body of masses m1 , ����2 , ����3 and ����4 are in contact.
                                                                             Now the force ���� is applied on mass ����4 . Calculate acceleration of the
                                                                             system. Calculate contact force between each mass system.

                                                                                                                       ����
                                                                             Acceleration of the system ���� =
                                                                                                               ����1 +����2 +����3 +����4

                                                                                                                               (����2 +����3 +����4 )����
                                                                             Contact force between ����1 and ����2 is ����12 =
                                                                                                                              ����1 +����2 +����3 +����4
                                                     (����3 +����4 )����
Contact force between ����2 and ����3 is ����23 =
                                                  ����1 +����2 +����3 +����4

                                                         ����4 ����
Contact force between ����3 and ����4 is ����34 =
                                                  ����1 +����2 +����3 +����4


Case: (6) চা ি  নকনূন্ন ূর্       কস্তু স স্পর্‍শতন ব র্খ বশতনষ কস্তুি র্্ কল প্রর্য়াে     া হল:
                                                                                                                                            Page |
                                                                            A, B, C and D four body of masses m1 , ����2 , ����3 and ����4 are in 8
                                                                           contact. Now the force ���� is applied on mass ����4 . Calculate
                                                                           acceleration of the system. Calculate contact force between each
                                                                           mass system.

                                                                                                                     ����
                                                                           Acceleration of the system ���� =
                                                                                                             ����1 +����2 +����3 +����4

                                                                                                                                  ����1 ����
                                                                           Contact force between ����1 and ����2 is ����12 =
                                                                                                                            ����1 +����2 +����3 +����4

                                                     (����1 +����2 )����
Contact force between ����2 and ����3 is ����23 =
                                                  ����1 +����2 +����3 +����4

                                                   (����1 +����2 +����3 )����
Contact force between ����3 and ����4 is ����34 =
                                                  ����1 +����2 +����3 +����4



                               Motion of a Block connected in massless string:
Case: (1) Two Body System:
                                                                     Let A and B the two body of masses ����1 and ����2 are connected by a
                                                                     massless string and a pulling force ���� is applied on the body A. If tension
                                                                     of the string between the two body is ���� then, from free body diagram,

                                                                     For body ����1 : ���� − ���� = ����1 ���� … … … … … (i)
                                                                     For body ����2 : ���� = ����2 ���� … … … … … … (ii)




From equation (i) and (ii) we get,
      ����
���� =
    ����1 +����2
                     ����2 ����
And ���� = ����2 ���� =
                    ����1 +����2


Case: (2) Two Body System:

                                                     Let A and B the two body of masses ����1 and ����2 are connected by a massless
                                                    string and a pulling force ���� is applied on the body B. If tension of the string
                                                    between the two body is ���� then, from free body diagram,

                                                    For body ����1 : ���� = ����1 ���� … … … … (i)
                                                    For body ����2 : ���� − ���� = ����2 ���� … … … … (ii)
                                                                                                                                              Page |
                                                                                                                                              9


From equation (i) and (ii) we get,
      ����
���� =
    ����1 +����2
                     ����1 ����
And ���� = ����1 ���� =
                    ����1 +����2



Case: (3) Three Body System:

                                                                      Let A, B and C is the three bodies of masses����1 , ����2 and ����3 is
                                                                     connected by a massless string and a pulling force ���� is applied on a
                                                                     body A. If tension of the string between ����2 and ����3 is ����23 and
                                                                     tension of the string between the body ����1 and ����2 is ����12 , Then from
                                                                     Free body diagram we get,




For mass ����1 : ���� − ����12 = ����1 ���� … … … … (i)
For mass ����2 : ����12 − ����23 = ����2 ���� … … … … (ii)
For mass ����3 : ����23 = ����3 ���� … … … … … (iii)
From equation (i), (ii) and (iii) we get,
        ����
���� =
    ����1 +����2 +����3
                                        (����2 +����3 )����
Tension between ����1 and ����2 is ����12 =
                                        ����1 +����2 +����3

                                                        ����3 ����
Tension between ����2 and ����3 is ����23 = ����3 ���� =
                                                  ����1 +����2 +����3



Case: (4) Three Body System:

                                                                  Let A, B and C be the three body of masses ����1 , ����2 and ����3 are
                                                                 connected by a massless string and a pulling force ���� is applied on a body
                                                                 C. If tension of the string between ����2 and ����3 is ����23 and tension of the
                                                                 string between the body ����1 and ����2 is ����12 , Then from Free body
                                                                 diagram we get,
                                                                                                                                   Page |
                                                                                                                                   10
For body ����1 : ����12 = ����1 ���� … … … … (i)
For body ����2 : ����23 − ����12 = ����2 ���� … … … … (ii)
For body ����3 : ���� − ����23 = ����3 ���� … … … … … (iii)
From equation (i), (ii) and (iii) we get,
        ����
���� =
    ����1 +����2 +����3
                                                        ����1 ����
Tension between ����1 and ����2 is ����12 = ����1 ���� =
                                                  ����1 +����2 +����3

                                        (����1 +����2 )����
Tension between ����2 and ����3 is ����23 =
                                        ����1 +����2 +����3



        Motion of a Connected Block over a Massless or Frictionless Pulley:
Case: (1) Two Body System:

                              Let two body A and B of mass ����1 and ����2 are connected at two ends of a massless inextensible
                              string passing over a frictionless pulley P. Since mass of the pulley is zero, then tension of the
                              string equal. From free body diagram we can write,

                              For mass ����1 : ����1 − ����1 ���� = ����1 ���� … … … … (i)
                              For mass ����2 : ����2 ���� − ����1 = ����2 ���� … … … … … (ii)
                              For pulley P: ����2 = 2����1 … … … … … … … (iii)




From equation (i) and (ii), we get
       ����2 − ����1
���� = (           ) ����
       ����2 + ����1
                                                                      2����1 ����2
Tension of the string (same for both side of the pulley) ����1 =                   ����
                                                                      ����1 +����2
                                                    4����1 ����2
Tension or Thrust on the pulley is ����2 = 2����1 =                  ����
                                                    ����1 +����2
Case: (2) Three Body System:

                                        Let a body A of mass ����1 and other two body B and C of masses ����2 and ����3 are connected at
                                        two end of a massless string passing over a frictionless pulley P. From free body diagram we
                                        can write,

                                        For mass ����1 : ����1 − �������� = ����1 ���� … … … … (i)
                                        For mass ����2 : ����2 ���� + ����2 − ����1 = ����2 ���� … … … … … (ii)                                      Page |
                                        For mass ����3 : ����3 ���� − ����2 = ����3 ���� … … … … … (iii)                                           11
                                        For pulley P: ����3 = 2����1 … … … … … … … (iv)




From equation (i), (ii) and (iii) we get
     [(����2 + ����3 ) − ����1 ]
���� =                       ����
       ����1 + ����2 + ����3

                2����1 (����2 +����3 )
Tension ����1 =                      ����
                ����1 +����2 +����3

                  2����1 ����3
Tension ����2 =                   ����
                ����1 +����2 +����3

                                                     4����1 (����2 +����3 )
Tension or Thrust on the pulley ����3 = 2����1 =                            ����
                                                     ����1 +����2 +����3


When the Pulley have a finite mass ���� and radius ���� then Tension in two segment are different. In such find acceleration and
tension.

Case: (3) Two Body System:




Let mass of the pulley = M
Radius of the pulley = R
From free body diagram of masses ����1 and ����2 are
����1 ���� − ����1 = ����1 ���� … … … … (i)
����2 − ����2 ���� = ����2 ���� … … … … (ii)
Now torque on pulley
���� = (����1 − ����2 )����
⇒ �������� = (����1 − ����2 )����
      1         ����                                                                                                                 Page |
⇒ ( ��������2 ) = (����1 − ����2 )����
      2         ����                                                                                                                 12
                  ��������
⇒ ����1 − ����2 =          … … … … … (iii)
                2


From equation (i), (ii) and (iii) we get
                   ���� −����
Acceleration ���� = 1 2���� ����
                     ����1 +����2 +
                                   2

                          ����
                ����1 (2����2 + )
                           2
Tension ����1 =             ����       ����
                ����1 +����2 +
                           2

                           ����
                ����2 (2����1 + 2 )
Tension ����2 =                 ����   ����
                 ����1 +����2 +
                              2

                                                                 ����
                                                       [4����1 ����2 + (����1 +����2 )]
                                                                 2
Tension or Thrust on pulley ����3 =                                      ����         ����
                                                           (����1 +����2 + )
                                                                       2


Case: (4) Consider a body A of mass �������� rests on a surface which is horizontal. Let a string passing over a pulley connect ��������
with a body B of mass �������� as shown in figure.

(Without friction between ����1 and horizontal table):




From free body diagram we get,

For mass ����1 : ���� = ����1 ���� … … … (i)
For mass ����2 : ����2 ���� − ���� = ����2 ���� … … … (ii)

From equation (i) and (ii) we get,
                   ����2
Acceleration ���� =       ����
                     ����1 +����2

                                        ����1 ����2
Tension of the string ���� =                        ����
                                    ����1 +����2
Tension or thrust on pulley ���� = √���� 2 + ���� 2 = √2����



(With friction between ����1 and horizontal table):


                                                                                                                           Page |
                                                                                                                           13




From free body diagram we get
For mass ����1 : ���� = �������� and ���� − �������� = ����1 ����
                   ⇒ ���� − ��������1 ���� = ����1 ���� … … … (i)
For mass ����2 : ����2 ���� − ���� = ����2 ���� … … … (ii)

From equation (i) and (ii) we get,
                    (����2 −��������1 )
Acceleration ���� =   (����1 +����2 )
                                    ����

                                  ����1 ����2 (1+����)
Tension of the string ���� =                          ����
                                     ����1 +����2



Case: (5) Two masses are suspended over a pulley on an inclined plane as shown in figure. The mass �������� descends with an
acceleration ����. Mass �������� is on inclined plane.

(Without friction between ����1 and inclined plane):




From free body diagram we get,

For mass ����1 : ���� − ����1 ���� sin ���� = ����1 ���� … … … … (i)
For mass ����2 : ����2 ���� − ���� = ����2 ���� … … … … … (ii)

From equation (i) and (ii) we get,
                 ���� −���� sin ����
Acceleration ���� = 2 1          ����
                       ����1 +����2

                                  ����1 ����2 (1+sin ����)
Tension of the string ���� =                               ����
                                         ����1 +����2


(With friction between ����1 and inclined plane):
                                                                                                                             Page |
                                                                                                                             14



From free body diagram we get,

For mass ����1 : ���� = ����1 ���� cos ���� and ���� − �������� − ����1 ���� sin ���� = ����1 ����
⇒ ���� − ����1 ���� sin ���� − ��������1 ���� cos ���� = ����1 ���� … … … … (i)
For mass ����2 : ����2 ���� − ���� = ����2 ���� … … … … … (ii)

From equation (i) and (ii) we get,
                    [����2 −����1 (sin ����+���� cos ����)]
Acceleration ���� =           (����1 +����2 )
                                                    ����

                                ����1 ����1 (1+sin ����+���� cos ����)
Tension of the string ���� =                (����1 +����2 )
                                                               ����


Case: (6) Two body A and B of masses �������� and �������� are connected by a string passing over a pulley such that �������� > �������� .




From free body diagram we get,
For mass ����1 : ���� − ����1 ���� sin ���� = ����1 ���� … … … (i)
For mass ����2 : ����2 ���� sin ���� − ���� = ����2 ���� … … … … (ii)

From (i) and (ii) we get,
                    (����2 sin ����−����1 sin ����)
Acceleration ���� =                             ����
                           ����1 +����2

                                ����1 ����2 (sin ����+sin ����)
Tension of the string ���� =            (����1 +����2 )
                                                          ����
Case: (7) The mass ���� is connected to �������� and �������� via string passing over light pulleys. Let �������� > �������� . Obviously �������� moves
down an acceleration ����. The Block on the horizontal table moves towards right with acceleration ����.




                                                                                                                                    Page |
                                                                                                                                    15




From free body diagram we get,
For mass ����1 : ����1 ���� − ����1 = ����1 ���� … … … … … (i)
For mass ����2 : ����2 − ����2 ���� = ����2 ���� … … … … … (ii)
For mass ����: ����1 − ����2 = �������� … … … … … (iii)

From equation (i), (ii) and (iii) we get,
                     (����1 −����2 )
Acceleration ���� = (����               ����
                      1 +����2 +����)


               ���� (2����2 +����)
                1
Tension ����1 = (����              ����
                 1 +����2 +����)


               ���� (2����1 +����)
                2
Tension ����2 = (����              ����
                 1 +����2 +����)




                                            Motion of a Massive String:
Case: (1) A rope attached to a block at one end and a force applied to other end. Find the force applied by the rope on the
block:




From free body diagram of mass ����:
����1 = �������� … … … … … … (i)
From free body diagram of rope of mass ����:
���� − ����1 = �������� … … … … … … (ii)
From (i) and (ii) we get
        ����
���� =
    ����+����
                                                  ��������
Force or tension exerted on block ����1 = �������� =
                                                 ����+����
Case: (2) A rope attached to a block fixed at one end and a force applied to other end. Find the tension at the midpoint of the
rope:




                                                                                                                                  Page |
                                                                                                                                  16
                                                           ����
In this case acceleration of the system ���� =
                                             ����+����
From free body diagram we get,
                       ����                  (2����+����)
����2 = (���� + ) ���� =                                    ����
                       2                   2(����+����)



Case: (3) A rope attached to one end and a force applied to other end. Find the tension at a distance ���� from the endpoint of
the rope:




From the free body diagram of entire rope we get,
���� = ��������
        ����
⇒ ���� =
        ����
From free body diagram of rope of length (���� − ����) we get,
       ����(����−����)
���� =               ����
          ����
          ����(����−����)                   ����
⇒ ���� =                       ×
              ����                      ����
          (����−����)
⇒ ���� =                  ����
             ����


Case: (4) A rope or string which subjected to two forces applied to two end points. Find tension at a distance ���� from one end.




From free body diagram of entire rope we get,
����1 − ����2 = ��������
         ���� −����
⇒ ���� = 1 2
            ����
From free body diagram of rope of length ���� we get,
             ��������
����1 − ���� =        ����
                  ����
                        ��������
⇒ ���� = ����1 −                     ����
                            ����
                                 ����              ����
⇒ ���� = ����1 (1 − ) + ����2 ( )
                                 ����              ����
Case: (5) A rope vertically hanged and fixed at one end. A force ���� is applied to other end downward. Find the tension ���� at a
distance ���� from end point.




                                                                                                                                 Page |
                                                                                                                                 17




From free body diagram of entire rope we get,
���� = ��������
        ����
⇒ ���� =
        ����
From free body diagram of rope of length (���� − ����) we get,
       ����(����−����)
���� =               ����
          ����
          (����−����)            ����
⇒ ���� =              ���� = (1 − ) ����
             ����               ����

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags: WBJEE, AIEEE, 10 2
Stats:
views:14
posted:2/3/2013
language:
pages:17