מצגת טריגונומטריה - גירסה עברית

‫טריגונומטריה‬ ‫מאת: אבי משולם‬ ‫719002 ‪31 October‬‬ ‫9002 ‪October‬‬ ‫טריגונומטריהטריגונומטריה‬ ‫1‬ ‫מתודולוגיה‬ ‫• הגדרה‬ ‫• משפט פיתגורס‬ ‫• הפונקציות הבסיסיות במשולש ישר-זווית‬ ‫• משפטים בסיסיים‬ ‫• מעגל היחידה‬ ‫• תכונות הפונקציות הבסיסיות‬ ‫• זהויות טריגונומטריות‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫2‬ ‫הגדרה‬ ‫• טריגונומטריה – ענף במתמטיקה העוסק בקשר שבין זוויות וצלעות‬ ‫במשולש (מיוונית: "טריגונון"=משולש, "מטרון"=מדידה).‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫3‬ ‫משפט פיתגורס‬ ‫• משפט פיתגורס – במשולש ישר-זווית, היתר בריבוע שווה לסכום‬ ‫הניצבים בריבוע.‬ ‫2‪c 2  a 2  b‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫4‬ ‫משפט פיתגורס (המשך)‬ ‫• דוגמא:‬ ‫‪ AD‬הוא התיכון לניצב ‪ BC‬במשולש ישר-זווית ‪.ABC‬‬ ‫נתון: 01=‪.CD=4 ,AC‬‬ ‫חשב את אורך התיכון ‪.AD‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫4‬ ‫‪C‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫5‬ ‫משפט פיתגורס (המשך)‬ ‫‪A‬‬ ‫• פיתרון:‬ ‫נימוק‬ ‫טענה‬ ‫‪ AD‬תיכון‬ ‫4=‪DC‬‬ ‫4=‪BD‬‬ ‫8=‪BC‬‬ ‫6=‪AB‬‬ ‫נתון‬ ‫נתון‬ ‫‪C‬‬ ‫6‬ ‫‪B‬‬ ‫4‬ ‫‪D‬‬ ‫4‬ ‫2 ‪AB 2  AC 2  BC‬‬ ‫63 ‪AB 2  102  82  100  64 ‬‬ ‫6 ‪AB ‬‬ ‫תיכון חוצה את הצלע‬ ‫לשתיים‬ ‫‪BC=BD+DC‬‬ ‫ע"פ משפט פיתגורס‬ ‫(ראו חישוב)‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫6‬ ‫משפט פיתגורס (המשך)‬ ‫‪A‬‬ ‫• פיתרון:‬ ‫נימוק‬ ‫טענה‬ ‫נסתכל על משולש‬ ‫‪ABD‬‬ ‫31 2 ‪AD ‬‬ ‫6‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫נמצא את ‪AD‬‬ ‫ע"פ משפט פיתגורס‬ ‫(ראו חישוב)‬ ‫4‬ ‫‪D‬‬ ‫4‬ ‫2 ‪AD 2  AB 2  BD‬‬ ‫25 ‪AD 2  62  42  36  16 ‬‬ ‫31 2 ‪AD  52 ‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫7‬ ‫הפונקציות הבסיסיות במשולש‬ ‫ישר-זווית‬ ‫• סינוס זווית – שווה למנה שבין הניצב הנמצא מול הזווית ובין היתר.‬ ‫‪sin a ‬‬ ‫• קוסינוס זווית – שווה למנה שבין הניצב הנמצא ליד הזווית ובין היתר.‬ ‫‪b‬‬ ‫‪cos a ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫8‬ ‫הפונקציות הבסיסיות במשולש‬ ‫ישר-זווית (המשך)‬ ‫• טנגנס זווית – שווה למנה שבין הניצב הנמצא מול הזווית ובין הניצב‬ ‫‪tga ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫הנמצא ליד הזווית.‬ ‫• קוטנגנס זווית – שווה למנה שבין הניצב הנמצא ליד הזווית ובין הניצב‬ ‫‪b‬‬ ‫‪cot ga ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫הנמצא מול הזווית.‬ ‫‪C‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫9‬ ‫הפונקציות הבסיסיות במשולש‬ ‫ישר-זווית (המשך)‬ ‫• זוויות מיוחדות:‬ ‫00‬ ‫‪Sin‬‬ ‫‪Cos‬‬ ‫‪Tg‬‬ ‫‪Cotg‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫אין‬ ‫פיתרון‬ ‫003‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫054‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫006‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫009‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫אין‬ ‫פיתרון‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫01‬ ‫הפונקציות הבסיסיות במשולש‬ ‫ישר-זווית (המשך)‬ ‫• דוגמא:‬ ‫במשולש ישר זווית אחד מהניצבים קטן ב-6 ס"מ מהניצב השני.‬ ‫אחת הזוויות החדות היא בת 053.‬ ‫חשב את שני הניצבים.‬ ‫‪A‬‬ ‫053‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪C‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫11‬ ‫הפונקציות הבסיסיות במשולש‬ ‫ישר-זווית (המשך)‬ ‫• פיתרון:‬ ‫ראשית, נחשב במחשבון את 053‪( tg‬נשתמש בפונקצית הטנגנס מאחר‬ ‫ונתונים 2 הניצבים): 2007.0 ‪tg 350 ‬‬ ‫מאחר ופונקציה זו קטנה מאחת, הרי הניצב מול הזווית הוא הניצב‬ ‫הקטן יותר.‬ ‫‪A‬‬ ‫053‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪C‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫21‬ ‫הפונקציות הבסיסיות במשולש‬ ‫ישר-זווית (המשך)‬ ‫• פיתרון:‬ ‫נסמן את הניצב הקטן כ-‪ .X‬במקרה זה, הניצב הגדול יהיה 6+‪.X‬‬ ‫נשתמש בפונקצית הטנגנס למצוא את הניצבים:‬ ‫‪x‬‬ ‫‪tg 35  0.7002 ‬‬ ‫6‪x‬‬ ‫‪0.7002 x  0.7002  6  x‬‬ ‫0‬ ‫2102.4 ‪0.2998 x ‬‬ ‫41 ‪x ‬‬ ‫02 ‪x  6 ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫053‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫6+‪X‬‬ ‫‪C‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪X‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫31‬ ‫משפטים בסיסיים‬ ‫• משפט הסינוסים – בהינתן משולש כלשהו, היחס בין אורך צלע לסינוס‬ ‫הזווית שמולה הוא גודל קבוע השווה לקוטר המעגל החוסם את‬ ‫המשולש.‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2R‬‬ ‫‪sin a sin b sin g‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪B b‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪C‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫41‬ ‫משפטים בסיסיים (המשך)‬ ‫• דוגמא:‬ ‫‪A‬‬ ‫נתון משולש שווה-שוקיים ‪.)AB=AC( ABC‬‬ ‫‪ BD‬הוא התיכון לשוק ‪.AC‬‬ ‫0001‬ ‫‪D‬‬ ‫זווית ‪ ADB‬היא בת 001 מעלות.‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫חשב את זווית הראש (‪ )A‬של המשולש.‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫51‬ ‫משפטים בסיסיים (המשך)‬ ‫• פיתרון:‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪X‬‬ ‫נימוק‬ ‫טענה‬ ‫נתון‬ ‫‪D‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ AD‬תיכון‬ ‫‪AD=CD=X‬‬ ‫‪AB=AC‬‬ ‫‪AB=2X‬‬ ‫0001 ‪ADB ‬‬ ‫‪2X‬‬ ‫0001‬ ‫תיכון חוצה את הצלע‬ ‫נתון‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫נתון‬ ‫סכום זוויות במשולש‬ ‫081 מעלות‬ ‫נסמן: ‪A  a‬‬ ‫‪ABD  800  a‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫61‬ ‫משפטים בסיסיים (המשך)‬ ‫• פיתרון:‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪X‬‬ ‫נימוק‬ ‫נשתמש במשפט הסינוסים‬ ‫‪D‬‬ ‫‪X‬‬ ‫טענה‬ ‫נסתכל על משולש‬ ‫‪ABD‬‬ ‫05.05 ‪a ‬‬ ‫‪2X‬‬ ‫0001‬ ‫חישוב ע"פ משפט‬ ‫הסינוסים‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪sin1000 sin(800  a‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪0.9848 sin(80 0  a‬‬ ‫8489.0‬ ‫‪sin(800  a ) ‬‬ ‫4294.0 ‪‬‬ ‫2‬ ‫05.92 ‪sin(800  a )  sin‬‬ ‫05.92 ‪800  a ‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫05.0 5 ‪a ‬‬ ‫71‬ ‫משפטים בסיסיים (המשך)‬ ‫• משפט הקוסינוסים – ריבוע צלע במשולש שווה לסכום ריבועי שתי‬ ‫הצלעות האחרות פחות פעמיים מכפלתן בקוסינוס הזווית שביניהן.‬ ‫‪c 2  a 2  b 2  2ab cos g‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪b 2  a 2  c 2  2ac cos b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a 2  b2  c 2  2bc cos a‬‬ ‫‪B b‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪a‬‬ ‫81‬ ‫‪C‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫משפטים בסיסיים (המשך)‬ ‫• דוגמא:‬ ‫נתון משולש ‪ AD .ABC‬תיכון לצלע ‪.BC‬‬ ‫נתון: 3=‪.AC=4 ,AB=6 ,AD‬‬ ‫מצא את ‪.BC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫91‬ )‫משפטים בסיסיים (המשך‬ A :‫• פיתרון‬ .BD=CD=X :‫נסמן‬ 6 4 ADB  a :‫נסמן‬ :ACD-‫ ו‬ABD ‫ניישם את משפט הקוסינוסים במשולשים‬ ABD ACD C 3 a x D x B 62  32  x 2  2  3x cos a 36  9  x 2  6cos a x x 2  6cos a x  27  0 42  32  x 2  2  3x cos(180  a ) 16  9  x 2  6cos a x x 2  6cos a x  7  0 31 October 2009 ‫טריגונומטריה‬ 20 )‫משפטים בסיסיים (המשך‬ A :‫• פיתרון‬ :‫נשווה בין 2 המשוואות‬ 6 4 x 2  6cos a x  27  x 2  6cos a x  7 12cos a x  20 C 3 a x D x B cos a x  1.67 1.67 cos a   x 31 October 2009 ‫טריגונומטריה‬ 21 ‫משפטים בסיסיים (המשך)‬ ‫‪A‬‬ ‫• פיתרון:‬ ‫נציב את התשובה שקיבלנו באחת המשוואות המקוריות:‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x 2  6( ‬‬ ‫76.1‬ ‫0 ‪) x  27 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫0 ‪x 2  10  27 ‬‬ ‫71 ‪x 2 ‬‬ ‫71 ‪x ‬‬ ‫71 2 ‪BC ‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫22‬ ‫משפטים בסיסיים (המשך)‬ ‫• שטח משולש – שטח משולש שווה לחצי מכפלת 2 צלעות כפול סינוס‬ ‫הזווית שביניהן.‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bc sin a‬‬ ‫2‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪ac sin b‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪ab sin g‬‬ ‫2‬ ‫‪B b‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫‪a‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫מעגל היחידה‬ ‫• מעגל היחידה – מעגל בעל רדיוס של יחידה אחת, שמרכזו בראשית‬ ‫הצירים.‬ ‫• הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות:‬ ‫– משרטטים רדיוס מראשית הצירים אל המעגל.‬ ‫– מסתכלים על הזווית שהרדיוס יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ‪.X‬‬ ‫– סינוס – הערך על ציר ‪.Y‬‬ ‫– קוסינוס – הערך על ציר ‪.X‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫42‬ ‫מעגל היחידה‬ ‫• הרדיאן:‬ ‫– מעבירים רדיוס כך שהקשת שבין הנקודה‬ ‫בה נוגע הרדיוס במעגל ובין חלקו החיובי‬ ‫של ציר ‪ X‬תהיה שווה באורכה לרדיוס (כלומר 1).‬ ‫את הזווית שבין הרדיוס לראשית הצירים מסמנים אז‬ ‫כרדיאן אחד. בגלל שהיקפו של מעגל היחידה הוא ‪,2‬‬ ‫מקבלים כי זווית של סיבוב מלא היא ‪ 2‬רדיאנים.‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫52‬ ‫תכונות הפונקציות הבסיסיות‬ ‫• סינוס: פונקציה מחזורית‬ sin a  sin(180  a ) sin a  cos(90  a ) sin a  tga  cos a sin(a )   sin a A a c b B b 31 October 2009 ‫טריגונומטריה‬ g C 26 a ‫תכונות הפונקציות הבסיסיות (המשך)‬ ‫• קוסינוס: פונקציה מחזורית‬ ‫) ‪ cos a  cos(180  a‬‬ ‫) ‪cos a  sin(90  a‬‬ ‫‪sin a‬‬ ‫‪cos a ‬‬ ‫‪tga‬‬ ‫‪cos(a )  cos a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪B b‬‬ ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪g‬‬ ‫‪C‬‬ ‫72‬ ‫‪a‬‬ )‫תכונות הפונקציות הבסיסיות (המשך‬ ‫• טנגנס: פונקציה מחזורית‬ tga  sin a cos a tga  tg (a ) A a tg (90  a )  cot a  2 cos a sin a B b c b 1 1  tg a  cos 2 a 31 October 2009 ‫טריגונומטריה‬ g C 28 a ‫זהויות טריגונומטריות‬ :‫• זהויות מורכבות‬ sin(a  b )  sin a cos b  cos a sin b sin 2 a  cos2 a  1 sin 2a  2sin a cos a sin(a  b )  sin a cos b  cos a sin b cos(a  b )  cos a cos b  sin a sin b cos(a  b )  cos a cos b  sin a sin b cos 2a  cos2 a  sin 2 a  2cos2 a  1  1  2sin 2 a 31 October 2009 ‫טריגונומטריה‬ 29 )‫זהויות טריגונומטריות (המשך‬ :‫• סכום והפרש זוויות‬ sin a  sin b  2sin( a b 2 ) cos( a b 2 ) a b a b sin a  sin b  2cos( )sin( ) 2 2 a b a b cos a  cos b  2cos( ) cos( ) 2 2 cos a  cos b  2sin( a b 2 )sin( a b 2 ) 31 October 2009 ‫טריגונומטריה‬ 30 )‫זהויות טריגונומטריות (המשך‬ :‫• נוסחאות כפל‬ sin a cos b  sin(a  b )  sin(a  b ) 2 sin(a  b )  sin(a  b ) cos a sin b  2 cos(a  b )  cos(a  b ) cos a cos b  2 sin a sin b  cos(a  b )  cos(a  b ) 2 31 October 2009 ‫טריגונומטריה‬ 31 ‫9002 ‪31 October‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫23‬