1 سلسلة حول دراسة الدوال by DikaAziz

VIEWS: 270 PAGES: 10

									                           ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﺣﻮل دراﺳﺔ اﻟﺪوال‬
                                                                           ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺳﻠﻚ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬


                                                                                                       ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ1‬
                                            ‫2‬     ‫‪x‬‬
                                   ‫‪f ( x ) = + ln‬‬             ‫أدرس وﻣﺜﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬
                                            ‫‪x‬‬     ‫2‬
                                                                                                       ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ2‬
                       ‫‪f ( x ) = ( ln x ) − ln x‬‬
                                            ‫2‬
                                                            ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬
                                                ‫ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪاﺗﻬﺎ‬     ‫1- ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬و ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪f‬‬
                                                                                        ‫2- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬
                                                                           ‫0 = )‪f ( x‬‬      ‫3- ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
                       ‫ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬               ‫4- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ ‪ C f‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل 1‬
                                                                                                      ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ3‬
                                              ‫‪x‬‬
                               ‫‪f ( x ) = ln‬‬                 ‫أدرس وﻣﺜﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬
                                            ‫1+ ‪x‬‬
                                                                                                    ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ4‬
                                                          ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬
              ‫2 ) ‪f ( x ) = x (1 − ln x‬‬
              ‫‪‬‬                                             ‫‪x‬‬     ‫0‬
              ‫‪‬‬
              ‫0 = )0( ‪ f‬‬
              ‫‪‬‬
                                        ‫0‬        ‫1- ﺣﺪد ‪ D f‬و ) ‪ lim f ( x‬ﺛﻢ أدرس اﺗﺼﺎل ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ‬
                                                                                    ‫∞+→ ‪x‬‬
                                                   ‫2- أدرس اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ 0 و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬
                                                                                    ‫3- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬
                                                                      ‫4- ﺣﺪد ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬
                                                          ‫5- أدرس اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ‪ C f‬ﻓﻲ م.م.م‬
                                                                                                      ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ5‬

                   ‫(‬
    ‫1 + ‪f ( x ) = ln x + x‬‬     ‫2‬
                                    ‫)‬                       ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

                                                                      ‫1- ﺣﺪد ‪ D f‬و ) ‪ lim f ( x‬و ) ‪lim f ( x‬‬
                                                                   ‫∞−→ ‪x‬‬            ‫∞+→ ‪x‬‬
                                                                                         ‫2- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬
                                                                            ‫3- ﺣﺪد ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬
                                                       ‫4 - أدرس اﻟﻔﺮﻋﺎن اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺎن ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ‪ C f‬ﻓﻲ م.م.م‬
‫2‪x + 1 + x‬‬     ‫1‬            ‫1 = 2‪x + 1 + x‬‬                ‫5- اﺳﺘﻌﻤﻞ ‪ C f‬ﻟﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ و اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ‬
                                                                                                        ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ6‬
                           ‫(‬
             ‫1 + ‪f ( x ) = ln e 2 x − e x‬‬          ‫)‬      ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬
                                                                      ‫1- ﺣﺪد ‪ D f‬و ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات ‪D f‬‬
                                                                  ‫2- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ‬
                                                                               ‫3- ﺣﺪد ) ‪lim (f ( x ) − 2x‬‬
                                                                                 ‫∞+→ ‪x‬‬
                                                        ‫4- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل 0‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬                                              ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                         ‫5- أﻧﺸﺊ ‪ C f‬ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ م.م.م‬

                                                                                                 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ7‬
                  ‫1− ‪f ( x) = −x + 2 x‬‬             ‫‪ -I‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬
                                                              ‫1- ﺣﺪد ‪ D f‬و ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات ‪D f‬‬
                                                             ‫2- أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻋﻠﻰﻳﻤﻴﻦ0‬
                                                             ‫3- أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬و أﻋﻂ ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات‬

                                                       ‫‪ -II‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﺣﻴﺚ 1 − ‪g ( x ) = −e x + 2 e x‬‬
                             ‫1- ﺣﺪد ‪ Dg‬و ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ g‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات ‪ Dg‬و أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟـ ‪C g‬‬
                                                                                    ‫2- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪g‬‬
                                                                ‫3- ﺑﻴﻦ أن ‪ Cg‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف وﺣﺪدهﺎ‬
                                                           ‫:) ∆ (‬    ‫1= ‪y‬‬       ‫4- ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ Cg‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                                                         ‫5- أﻧﺸﺊ ‪ C g‬ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ م.م.م‬
                                                                    ‫]0;∞−]‬    ‫6- ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ‬
              ‫ﺑﻴﻦ أن ‪ h‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ]0;∞−] ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻳﺠﻴﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ و ﺣﺪد ) ‪ h −1 ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪I‬‬

                                                                                            ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ8‬
                                                   ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب‬
                      ‫‪‬‬                 ‫‪ 1‬‬
                                   ‫‪x ln 1− ‬‬
                      ‫‪f (x ) = e  x ‬‬                       ‫‪; x‬‬        ‫1‬
                      ‫‪‬‬
                      ‫) ‪f ( x ) = (1 − x ) ln (1 − x‬‬           ‫1≺ ‪; x‬‬
                      ‫0 = )1( ‪ f‬‬
                      ‫‪‬‬
                      ‫‪‬‬
                                         ‫) ‪lim f ( x‬‬      ‫) ‪lim f ( x‬‬       ‫) ‪lim f ( x‬‬   ‫) ‪lim f ( x‬‬     ‫1- ﺣﺪد‬
                                         ‫−→‪x‬‬
                                           ‫1‬              ‫+→‪x‬‬
                                                            ‫1‬            ‫∞−→ ‪x‬‬            ‫∞+→ ‪x‬‬
                                               ‫2- أدرس اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪ 1 و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬
                          ‫3- أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ [∞+ ;1] و [1;∞−] و أﻋﻂ ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات .‬
                                                                      ‫4- أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ و أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬
                                                                                                         ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ9‬
                                                                                      ‫‪ 2x ‬‬‫2‬
                                                                     ‫2 ‪f ( x ) = x + ln ‬‬   ‫‪‬‬           ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
                                                                                      ‫‪ x +1‬‬
                                                                    ‫ﺣﺪد ‪ D f‬و ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات ‪D f‬‬            ‫1-‬
                                                                     ‫2- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ‬
                                                                                ‫3- أﺛﺒﺖ أن ‪ C f‬ﻣﻘﻌﺮ ﻋﻠﻰ ‪D f‬‬
                 ‫‪1 ‬‬
‫4- أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ و أﻧﺸﺊ ‪) C f‬ﻧﻘﺒﻞ أﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪ د وﺣﻴﺪ ‪ α‬ﻣﻦ ‪  ;1‬ﺣﻴﺚ 0 = ) ‪( f (α‬‬
                 ‫‪2 ‬‬
                                                                    ‫ب- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬

                                                                                                   ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ21‬
                 ‫2‬
               ‫‪2x‬‬
   ‫= )‪f ( x‬‬          ‫1 − 2 ‪+ ln x‬‬    ‫ﺑﺤﻴﺚ‬              ‫‪ -I‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞+ ;1] ∪ [1;0 [ = ‪D‬‬
              ‫1 − 2‪x‬‬

   ‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬                                            ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                  ‫1- أﺣﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات ‪. D‬‬

                                                        ‫= ) ‪ f ' ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D‬‬
                                                                                       ‫(‬
                                                                                    ‫3 − 2 ‪2x x‬‬          ‫)‬   ‫2- ﺑﻴﻦ أن‬
                                                                                     ‫‪(x‬‬         ‫)‬
                                                                                          ‫2‬         ‫2‬
                                                                                              ‫1−‬
                                                                              ‫و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬
                                                       ‫3- اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ إﺷﺎرة ) ‪ f ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D‬‬
                                           ‫‪ - II‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ﺑـ 1 − 2 ‪g ( x ) = x ln x‬‬
                                                              ‫1- أ- أﺣﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ g‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات ‪. D‬‬
                                                                                      ‫) ‪g (x‬‬
                         ‫‪ lim‬و أﻋﻂ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ.‬                              ‫ب- أﺣﺴﺐ‬
                                                                              ‫∞+→ ‪x‬‬       ‫‪x‬‬
                                       ‫2- ﺑﻴﻦ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ g ' ( x ) = f ( x ) D‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪. g‬‬
                       ‫3- أ- اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ دراﺳﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ I‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪Cg‬‬
                                                                   ‫ب- ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ D‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ) ‪g ( x‬‬
                                                                                              ‫ج- أﻧﺸﺊ ‪Cg‬‬
                                                                                                               ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ31‬
              ‫‪‬‬     ‫‪1‬‬
    ‫2 − ‪f ( x ) =  x −  e 2 x − 4 ( x − 1) e x‬‬                       ‫اﻟﺠﺰء اﻷول ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬
              ‫‪‬‬      ‫‪2‬‬
                 ‫‪‬‬    ‫1‬     ‫4‬       ‫4‬         ‫‪2 ‬‬
‫− 1‪f ( x ) = xe 2 x ‬‬    ‫‪− x + x − 2x ‬‬                        ‫1- أﺣﺴﺐ ) ‪ lim f ( x‬و ﺑﻴﻦ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬
                 ‫‪ 2x e‬‬            ‫‪xe‬‬       ‫‪xe ‬‬                                    ‫∞−→ ‪x‬‬

                                                                              ‫) ‪lim f ( x‬‬               ‫ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ‬
                                                                              ‫∞+→ ‪x‬‬
                                                                                         ‫2- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬
                                                                        ‫3- أ- أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟـ ‪C f‬‬
                        ‫]1− ;2− [‬    ‫إﻟﻰ‬   ‫ب- ﺑﻴﻦ أن ‪ C f‬ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0‪ x‬ﺗﻨﺘﻤﻲ‬
                                                                 ‫4 ‪‬‬     ‫522‬          ‫51‬               ‫‪‬‬‫11‬
                                                                 ‫‪e‬‬          ‫2‪; e‬‬        ‫‪; e‬‬           ‫‪‬‬
                                                                 ‫‪‬‬        ‫4‬            ‫2‬               ‫‪‬‬ ‫4‬
                                                                       ‫‪i = j = 2cm‬‬             ‫ج- أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬
            ‫‪‬‬                         ‫2 1‬
            ‫)4 + ‪g ( x) = ( x − 4x) ln x − ( x − 8x‬‬
                         ‫2‬
                                                           ‫0 ‪x‬‬
            ‫‪‬‬                         ‫2‬                          ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬                   ‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ‬
            ‫2− = )0 ( ‪ g‬‬
            ‫‪‬‬
                                                           ‫[∞+ ;0] ∈ ‪∀x‬‬         ‫1- ﺑﻴﻦ أن ) ‪g ( x ) = f ( ln x‬‬
                                                               ‫2- أدرس اﺗﺼﺎل و اﺷﺘﻘﺎق ‪ g‬ﻓﻲ ﻳﻤﻴﻦ 0‬
                                                                                      ‫3- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪g‬‬
                                                                      ‫4- أ- أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟـ ‪Cg‬‬
      ‫وﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬       ‫ب- أﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ 2- ب- ﻓﻲ اﻟﺠﺰء اﻷول , ﺗﺄﻃﻴﺮا ﻷﻓﺼﻮل ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪C g‬‬
                          ‫ج- ﺣﺪد ﻧﺼﻒ اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ ‪ Cg‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل 0 ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ‪C g‬‬




    ‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬                                       ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                                                                           ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ41‬
‫‪‬‬                        ‫1‬
‫)2 + ‪ f ( x ) = ( x‬‬   ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬      ‫0≺ ‪x‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪f ( x ) = x (1 − ln x‬‬
              ‫2‬
                                    ‫‪x‬‬       ‫0‬                            ‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬        ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
‫0 = )0( ‪ f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
                                                                                          ‫1- ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0‬
                                                                                ‫) ‪lim f ( x‬‬       ‫2- أﺣﺴﺐ ) ‪lim f ( x‬‬
                                                                                ‫∞−→ ‪x‬‬                  ‫∞+→ ‪x‬‬
                               ‫3- أ- ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ آﺎﺗﺠﺎﻩ ﻣﻘﺎرب ﺑﺠﻮار ∞+ .‬
    ‫‪ C f‬ﺑﺠﻮار ∞− .‬           ‫ب- ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 3 + ‪ y = x‬ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬
                                            ‫4- ﺑﻴﻦ أن ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻــــﻴﻞ ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. O‬‬
                                                                                ‫5- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ.‬
                                                         ‫1‬
                                    ‫‪( 5x‬‬    ‫)2 +‬        ‫‪ex‬‬
 ‫[0;∞−] ∈ ‪∀x‬‬           ‫= ) ‪f "( x‬‬                             ‫[∞+ ;0] ∈ ‪ ∀x‬و‬            ‫) ‪f " ( x ) = − (1 + 2 ln x‬‬    ‫6- أـ ﺑﻴﻦ أن‬
                                            ‫4‪x‬‬
                                                              ‫ب- ﺣﺪد أﻓﺼﻮل آﻞ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺘﻲ اﻧﻌﻄﺎف اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬
                                                                 ‫1‬                            ‫‪e‬‬
                                                ‫4,0 ≈ 1−‪( e‬‬             ‫6,0 ≈‬      ‫6,1 ≈ ‪e‬‬      ‫)ﻧﺄﺧﺬ 4,1 ≈‬           ‫7- أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬
                                                                    ‫‪e‬‬                         ‫2‬
                                                                                                                             ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ51‬
‫‪‬‬                         ‫1‬
‫‪‬‬ ‫+ 1 − ‪f ( x ) = ln x‬‬                  ‫‪x‬‬           ‫0‬        ‫1≠ ‪x‬‬
‫‪‬‬                       ‫1− ‪x‬‬
‫‪‬‬                                                                       ‫= ‪ D‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬          ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ }1{ −‬
‫2 ‪f ( x ) = ( x − 1) e x + 1 x‬‬             ‫0≤ ‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬                         ‫2‬
                                                                                  ‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0‬                   ‫1-‬
                                                                               ‫أﺣﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات ‪D‬‬                       ‫2-‬
                                                                 ‫أدرس اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻓﻲ 0 و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ.‬                      ‫3-‬
                                                                        ‫أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ.‬                     ‫4-‬
                                                                ‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل3 ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ل ‪C f‬‬                    ‫5-‬
                                                                                 ‫6- أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪. C f‬‬
                        ‫7- أﺛﺒﺖ أن ‪ C f‬ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ ‪ α‬ﺣﻴﺚ 1− ≺ ‪. −2 ≺ α‬‬
                                                                                                                            ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ61‬
    ‫‪‬‬              ‫1‬
    ‫= ) ‪f ( x‬‬  ‫‪xe‬‬ ‫‪x‬‬                            ‫0≺ ‪x‬‬
    ‫‪‬‬
    ‫‪‬‬          ‫2‪x‬‬
    ‫= ) ‪f (x‬‬     ‫)3 − ‪( 2ln x‬‬                  ‫‪x‬‬       ‫0‬                          ‫آﻤﺎﻳﻠﻲ‬        ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
    ‫‪‬‬          ‫4‬
    ‫0 = )0( ‪ f‬‬
    ‫‪‬‬
    ‫‪‬‬
                                                                                          ‫1- ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ0 .‬
                                                                                 ‫2- أ- ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0.‬
                                                                         ‫ب- ﺣﺪد اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ . ﺛﻢ ﺣﺪد ﺗﻐﻴﺮات ‪. f‬‬



      ‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬                                                         ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                                         ‫‪‬‬     ‫‪3‬‬
‫و أآﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﻤﺎس ‪ C f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪A‬‬                   ‫3- ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A  1; − ‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬
                                                                                         ‫‪‬‬     ‫‪4‬‬
                                                                                                                                                    ‫.‬
                                                                                                  ‫4- أ- ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ C f‬و ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ .‬
      ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 1 + ‪ y = x‬ﻣﻘﺎرب ﻟـ ‪ C f‬ﺑﺠﻮار ∞− .‬               ‫ب- ﺑﻴﻦ أن ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ و أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻲ ذا‬
                                                                                                                                  ‫ج- أﻧﺸﺊ ‪. C f‬‬
                                                                                                                                          ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ71‬
                                                                                                               ‫2‬
                                                                                                           ‫‪x‬‬                    ‫1‬
                                                                                         ‫∈ ‪∀x‬‬                         ‫−1 =‬          ‫‪ -1 -I‬ﺗﺄآﺪ أن‬
                                                                                                          ‫1+ ‪x‬‬
                                                                                                           ‫2‬
                                                                                                                             ‫2‪1 + x‬‬

                                                                           ‫(‬   ‫1− ‪t = e x‬‬            ‫)‬     ‫0∫‬
                                                                                                               ‫2 ‪ln‬‬
                                                                                                                      ‫2- أﺣﺴﺐ ‪e x − 1dx‬‬
                                                                                                                ‫‪x‬‬       ‫1+ ‪x‬‬
                                                                                                          ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪− ln‬‬      ‫‪ -II‬ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
                                                                                                              ‫1+ ‪x‬‬        ‫2‬
                                                                                                   ‫1- ﺣﺪد ‪ D f‬وﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪاﺗﻬﺎ‬
                                                                               ‫2- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬
                                                                              ‫‪ 1‬‬
                        ‫3- ﺗﺤﻘﻖ أن ‪ A 1; ‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ‪ C f‬و أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻋﻨﺪ هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ.‬
                                                                              ‫‪ 2‬‬
                                                            ‫4- أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﻧﻴﺔ ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬
        ‫5- أﺣﺴﺐ ﺣﻴﺰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C f‬وﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬
                                                                                                                                 ‫1‬
                                                                                                    ‫= ‪ x‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬                ‫1= ‪; x‬‬
                                                                                                                                 ‫2‬

                                                                                                                                          ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ81‬
                                      ‫2 + ‪x − 2x‬‬
                                       ‫2‬
             ‫‪f ( x ) = 2 x − 2 + ln‬‬                                            ‫ﺑـ‬        ‫*‬
                                                                                             ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                         ‫2‪x‬‬
                                                                                                      ‫*‬
                                                                                                          ‫1- أﺣﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات‬
                                                                                                  ‫) 2 + ‪2 ( x − 1) ( x 2 − x‬‬
                         ‫و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬               ‫∈ ‪∀x‬‬        ‫*‬
                                                                                ‫= )‪f '( x‬‬                                              ‫2- ﺑﻴﻦ أن‬
                                                                                                     ‫)2 + ‪x ( x2 − 2 x‬‬
                                                                                         ‫3- أ- أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬
                                           ‫: )‪( D‬‬   ‫2 − ‪y = 2x‬‬             ‫ب- أدرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟـ ‪ C f‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
            ‫‪‬‬         ‫8‬            ‫‪‬‬                                           ‫‪ −1 −1 ‬‬
            ‫52 ‪ ln‬‬     ‫‪; ln13 ≺ 3 ‬‬                     ‫0 = ) ‪f (α‬‬        ‫ج- ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ‪ α‬ﻣﻦ ‪  ; ‬ﺣﻴﺚ‬
            ‫‪‬‬         ‫3‬            ‫‪‬‬                                           ‫‪2 3‬‬
                                                                                               ‫د- أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬
                                                                    ‫4 − ‪2x‬‬      ‫2 − ‪2x‬‬        ‫2‬
                                                        ‫∈ ‪∀x‬‬                ‫2 =‬        ‫−‬             ‫4- أ- ﺗﺤﻘﻖ أن‬
                                                                  ‫2)1− ‪x − 2x + 2 x − 2x + 2 1 + ( x‬‬
                                                                   ‫2‬


        ‫ب- أﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C f‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻻت 1 = ‪ x = 2 ; x‬و‬
                                                                                                                                         ‫2 − ‪y = 2x‬‬
                                                                                                                                       ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ91‬
                            ‫(‬
                ‫‪f ( x ) = ln x + 1 + x 2 + 2 x‬‬      ‫)‬                               ‫ﺑـ‬       ‫+‬
                                                                                                 ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬


                                                                                                                         ‫1- أﺣﺴﺐ ) ‪lim f ( x‬‬
                                                                                                                         ‫∞+→ ‪x‬‬




              ‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬                                                              ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
‫2- أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ 0 و أﻋﻂ ﺗﺄوﻳﻼ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ‬
                                                    ‫3- أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬
                                                                                       ‫4 - أ- أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬
                                                                                                                            ‫ب- أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬
                                                    ‫+‬                     ‫‪x‬‬                   ‫1+ ‪x‬‬                 ‫1‬
                                         ‫∈ ‪∀x‬‬                                          ‫=‬                 ‫−‬                     ‫5- أ- ﺗﺤﻘﻖ أن‬
                                                                      ‫‪x2 + 2 x‬‬               ‫‪x2 + 2 x‬‬            ‫‪x2 + 2 x‬‬
                                                ‫1‬             ‫‪x‬‬
                                        ‫∫= ‪I‬‬                                  ‫‪dx‬‬            ‫أﺣﺴﺐ‬                        ‫ب- ﻟﻴﻜﻦ [1;0] ∈ ‪λ‬‬
                                                ‫‪λ‬‬
                                                            ‫‪x 2 + 2x‬‬
 ‫ج- أﺣﺴﺐ ) ‪ A ( λ‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C f‬و ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ‬
                                                             ‫1 = ‪ x = λ ; x‬ﺛﻢ ﺣﺪد ) ‪lim A ( λ‬‬                                ‫ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬
                                                             ‫0→ ‪x‬‬

                                                                                                                                           ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ02‬
                               ‫(‬
                     ‫‪f ( x ) = 2 x − 3x e‬‬
                                     ‫2‬
                                                ‫)‬       ‫‪x‬‬
                                                                                       ‫ﺑـ‬     ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                                              ‫) ‪lim f ( x‬‬                 ‫أ- أﺣﺴﺐ ) ‪lim f ( x‬‬                 ‫1-‬
                                                                              ‫∞−→ ‪x‬‬                      ‫∞+→ ‪x‬‬
                                                                                  ‫ب- أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬
                                                ‫و أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬                        ‫ج- أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬
                                                ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪E : y "− 2 y '+ y = 4e x‬‬                                              ‫2-‬
                                                                                     ‫أ- ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E‬‬
                                                                                             ‫ب- ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E‬‬
‫∈ ‪∀x‬‬      ‫‪f ' ( x ) − 2f ( x ) + F ( x ) = 4e x‬‬                       ‫ج- ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ‪ F‬ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺤﻘﻖ‬
                                                                                                                        ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ ) ‪F ( x‬‬
                                                                                                                        ‫3- ﻟﻴﻜﻦ [0;∞−] ∈ ‪α‬‬
       ‫و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ‬              ‫أﺣﺴﺐ ) ‪ A (α‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C f‬و ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬
                                            ‫0 = ‪ x = α ; x‬ﺛﻢ ﺣﺪد ) ‪lim A (α‬‬                                                 ‫ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬
                                           ‫∞−→ ‪α‬‬



                                                                                                                                             ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ12‬
                                    ‫‪x‬‬
                    ‫= ) ‪f (x‬‬
                                ‫‪e‬‬
                               ‫‪1+ e‬‬ ‫‪x‬‬
                                      ‫‪− ln 1 + e x‬‬  ‫(‬                 ‫)‬           ‫ﺑـ‬         ‫1- ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

                                                            ‫‪ -(a‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ‬
                                   ‫‪ -(b‬ﺑﻴﻦ أن 0 = ) ‪ lim ( f ( x ) − 1 + x‬و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬
                                                                                                         ‫∞+→ ‪x‬‬

                                    ‫‪g (x ) = e‬‬          ‫‪−x‬‬
                                                                  ‫(‬
                                                             ‫‪ln 1 + e‬‬         ‫‪x‬‬
                                                                                  ‫ﺑـ )‬         ‫2- ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

                                                                                            ‫∈ ‪∀x‬‬          ‫‪ -(a‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪g ' ( x ) = e − x f ( x‬‬
                                                                                             ‫) ‪lim g ( x‬‬               ‫‪ - -(b‬أﺣﺴﺐ ) ‪lim g ( x‬‬
                                                                                            ‫∞−→ ‪x‬‬                  ‫∞+→ ‪x‬‬
                                                                                               ‫‪ -(c‬أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪ g‬و أﻧﺸﺊ ‪Cg‬‬
                                                                                                     ‫‪λ‬‬
                                                                                        ‫∈ ‪ λ‬ﻧﻀﻊ ‪I ( λ ) = ∫ g ( x ) dx‬‬                    ‫3- ﻟﻴﻜﻦ‬
                                                                                                     ‫0‬
                                                                                   ‫‪ -(a‬أﺣﺴﺐ ) ‪ I ( λ‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء‬


        ‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬                                                                   ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                                                          ‫‪ -(b‬أﺣﺴﺐ ) ‪lim I ( λ‬‬
                                                                                                          ‫∞+→ ‪x‬‬

                                                                                                         ‫1‬
                                                                                 ‫= ‪E : y '+ y‬‬                 ‫4- ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
                                                                                                       ‫‪1+ e x‬‬
                                                                                     ‫‪ -(a‬ﺑﻴﻦ أن ‪ g‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. E‬‬
                                                                                                 ‫‪ -(b‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E‬‬
                                                                                                                           ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ22‬
       ‫‪f (x ) = x +1+ e‬‬       ‫‪−x‬‬
                                                                  ‫ﺑـ‬     ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                                           ‫) ‪lim f ( x‬‬              ‫1- أ- أﺣﺴﺐ ) ‪lim f ( x‬‬
                                                                          ‫∞−→ ‪x‬‬                   ‫∞+→ ‪x‬‬
                                      ‫ب- أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) ‪f ( x‬‬

                                                        ‫(‬
                                         ‫‪g ( x ) = ln x + 1 + e − x‬‬        ‫)‬    ‫ﺑـ‬       ‫2- ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                                       ‫أ- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ g‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ‬
                                            ‫وأول اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬                 ‫ب- ‪ (a‬ﺑﻴﻦ أن 0 = ‪lim g ( x ) + x‬‬
                                                                               ‫∞−→ ‪x‬‬
                                                                       ‫[1− ;∞−] ∈ ‪∀x‬‬           ‫‪ (b‬ﺑﻴﻦ أن 0 ≺ ‪g ( x ) + x‬‬
                                                                             ‫‪ x+2‬‬
           ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪lim g ( x ) − ln x‬‬          ‫∈ ‪. ∀x‬‬ ‫‪0 ≺ g ( x ) − ln x ≤ ln ‬‬
                                                            ‫*+‬
                                                                                  ‫‪‬‬ ‫‪ (c‬ﺑﻴﻦ أن‬
          ‫∞+→ ‪x‬‬
                                                                             ‫‪ x ‬‬
           ‫) ‪. ( o; i ; j‬‬          ‫ج- أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ ‪ C g‬و ‪ Cln‬ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ‬
                                                                ‫3- ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 2 + ‪E : y '+ y = x‬‬
                                                  ‫ﺗﺄآﺪ أن ‪ f‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬و ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. E‬‬
                                                                                                        ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ32‬
                      ‫)1 + ‪2 ln ( x‬‬
       ‫+ ‪f ( x) = x‬‬                                              ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ [∞+ ;1−]‬             ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪g‬‬
                            ‫1+ ‪x‬‬
          ‫)1 + ‪g ( x ) = ( x + 1) + 2 − 2 ln ( x‬‬
                               ‫2‬



                                       ‫)‪. g ( x‬‬       ‫1- أﺣﺴﺐ ) ‪ . g ' ( x‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪ g‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻴﺎ ﺛﻢ إﺷﺎرة‬
                                                                                      ‫) ‪lim f ( x‬‬      ‫2- أ- أﺣﺴﺐ ) ‪lim f ( x‬‬
                                                                                      ‫1−→ ‪x‬‬            ‫∞+→ ‪x‬‬

                                                                          ‫ب- أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬
     ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ .‬             ‫3- ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ( D ) : y = x‬ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬وﺣﺪد وﺿﻌﻴﺘﻪ‬
                                                                                                            ‫4 - أﻧﺸﺊ ‪. C f‬‬
                      ‫1‬
            ‫= )‪h ( x‬‬     ‫)1 + ‪× ln ( x‬‬       ‫5- ‪ (a‬ﺣﺪد داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﺪاﻟﺔ ‪ h‬ﻋﻠﻰ [∞+ ;1−] ﺣﻴﺚ‬
                    ‫1+ ‪x‬‬
‫‪ (b‬أﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C f‬و ﻣﺢ اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬
                                                                                                 ‫1− ‪. x = 0 ; x = e‬‬
                                                                                                                 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ 42‬
                            ‫‪f ( x ) = ( x − 1) e 2 x‬‬
                                                  ‫2‬
                                                                                ‫ﺑـ‬            ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                                               ‫; ) ‪lim f ( x‬‬           ‫1( ﺣﺪد ) ‪lim f ( x‬‬
                                                                               ‫∞−→ ‪x‬‬                  ‫∞+→ ‪x‬‬
                                                         ‫2( أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
         ‫3( أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬و أﻧﺸﺌﻪ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻲ ﻣﻌﻠﻢ م.م.‬
                            ‫4( ‪ - a‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪f " ( x ) − 4f ' ( x ) + 4f ( x ) = 2e 2 x‬‬


        ‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬                                                    ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                              ‫‪ - b‬اﺳﺘﻨﺘﺞ داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
                                                           ‫‪2x‬‬
                               ‫‪y "− 4 y '+ 4 y = 2e‬‬    ‫‪ - c‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬
 ‫5( ‪ - a‬أﺣﺴﺐ ) ‪ A ( λ‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C f‬و ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ‬
                                                            ‫ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ 1 = ‪ x = λ ; x‬ﺣﻴﺚ 1 ≺ ‪λ‬‬
                                                                              ‫‪ - b‬أﺣﺴﺐ ) ‪lim A ( λ‬‬
                                                                                               ‫∞−→ ‪λ‬‬

                                                                                     ‫; ) ‪lim g ( x‬‬        ‫1- ‪ (a‬ﺣﺪد ) ‪lim g ( x‬‬
                                                                                    ‫∞−→ ‪x‬‬                 ‫∞+→ ‪x‬‬

              ‫‪ (b‬أدرس اﺗﺼﺎل ‪ g‬ﻓﻲ 0 ﺛﻢ اﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ و ﻳﺴﺎر0 و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ هﻨﺪﺳﻴﺎ .‬
    ‫3- أﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C g‬و ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬
                                                                                                                  ‫1− = ‪x = − e ; x‬‬
                                                                                                                         ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ52‬
                        ‫1‬
             ‫= )‪f ( x‬‬     ‫)1 + ‪+ ln x − ln ( x‬‬                  ‫ﺑـ‬     ‫*+‬
                                                                             ‫‪ (A‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                        ‫‪x‬‬
                                                                                    ‫) ‪lim f ( x‬‬        ‫3- أﺣﺴﺐ ) ‪lim f ( x‬‬
                                                                                   ‫+0 → ‪x‬‬              ‫∞+→ ‪x‬‬

                                       ‫2- أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) ‪f ( x‬‬
        ‫) )1+ ‪ g ( x ) = e ( x +1)( ln x −ln( x‬‬      ‫0 ‪x‬‬
        ‫‪‬‬
        ‫‪‬‬
        ‫) ‪ g ( x ) = − x ln ( − x‬‬                   ‫0≺ ‪x‬‬               ‫ﺑـ‬        ‫‪ (B‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
        ‫0 = )0 ( ‪ g‬‬
        ‫‪‬‬
        ‫‪‬‬

                                          ‫∈ ‪∀x‬‬        ‫*+‬
                                                            ‫) ‪g '( x ) = f ( x ) × g ( x‬‬
                                                                                                                  ‫3- ‪ (a‬ﺑﻴﻦ أن‬
                                          ‫∈ ‪∀x‬‬        ‫*−‬
                                                            ‫) ‪g ' ( x ) = −1 − ln ( − x‬‬
                                                                             ‫‪ (b‬أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪g‬‬
                                                   ‫‪ (c‬أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪. Cg‬ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ‪. Cg‬‬
                                                                                                                    ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ 62‬
     ‫‪ f ( x ) = − xe‬‬
     ‫‪‬‬
                        ‫1+ ‪x‬‬
                                                      ‫1− ≤ ‪x‬‬
     ‫‪‬‬                                                                       ‫ﺑـ‬     ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
     ‫)1 + ‪f ( x ) = − x + ( x + 1) ln ( x‬‬
     ‫‪‬‬                                                ‫1− ‪x‬‬
                                                                                    ‫) ‪lim f ( x‬‬         ‫3- أ- أﺣﺴﺐ ) ‪lim f ( x‬‬
                                                                                    ‫∞−→ ‪x‬‬              ‫∞+→ ‪x‬‬

                                                                       ‫ب- أدرس اﺗﺼﺎل ‪ f‬ﻓﻲ 1-.‬
                                 ‫ج- أدرس اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ وﻳﺴﺎر 1- و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ هﻨﺪﺳﻴﺎ.‬
                                  ‫4- أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬ﻋﻠﻰ [1− ;∞−] و [∞+ ;1−] و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬
                                    ‫5- أ- ﺑﻴﻦ أن ‪ C f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬اﻟﺘﻲ أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ 2- .‬
                                                                      ‫ب- ﺣﺪد ﻣﻌﺎداة اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ ‪ C f‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. I‬‬
                                                                                               ‫6- أ ـ أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ‬
                                                                 ‫1−‬
                                                            ‫‪(e‬‬          ‫ﻧﺄﺧﺬ ) 4 ,0‬         ‫ب- أﻧﺸﺊ ‪i = j = 2cm C f‬‬
‫ج- أﺣﺴﺐ ﺑـ 2‪ cm‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C f‬وﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ و ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                                                                 ‫اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 1 − ‪. x = e‬‬
                                       ‫7- ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 1+ ‪E : y "− 2 y '− 3 y = 4xe x‬‬
                   ‫أ – ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ h‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑـ 1+ ‪ h ( x ) = − xe x‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. E‬‬


       ‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬                                                       ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                                                         ‫ب- ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. E‬‬
                                                                                                                         ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ72‬
                   ‫2) ‪ f ( x ) = 2 ln x − ( ln x‬‬
                   ‫‪‬‬                                  ‫0 ‪x‬‬
                   ‫‪‬‬                                              ‫ﺑـ‬      ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                   ‫1 + ‪ f ( x) = x e‬‬                ‫0≤‪x‬‬
                                   ‫‪2 x‬‬
                   ‫‪‬‬
                                                                              ‫1- ﺣﺪد )‪lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x‬‬
                                                                          ‫+0→‪x‬‬                 ‫∞−→‪x‬‬               ‫∞+→‪x‬‬

                                                                                                   ‫)0 ( ‪f ( x ) − f‬‬
          ‫.‬    ‫*‬
                   ‫‪ (b‬أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬ﻋﻠﻰ‬                   ‫‪ lim‬و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬                                   ‫1- ‪ (a‬أﺣﺴﺐ‬
                                                                                   ‫−‬
                                                                                         ‫0→ ‪x‬‬             ‫‪x‬‬
                                                                ‫‪ (c‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ.‬
                                          ‫3 – أﺣﺴﺐ ) ‪ f " ( x‬ﻋﻠﻰ * . ﺣﺪد أﻓﺎﺻﻴﻞ ﻧﻘﻂ اﻧﻌﻄﺎف اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪. C f‬‬
                                          ‫‪ (b‬ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ C f‬وﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ.‬                          ‫4-‪ (a‬أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ‬
                                                                                       ‫‪( 4e‬‬   ‫2−‬
                                                                                                   ‫) 45,0 =‬       ‫‪ (c‬أﻧﺸﺊ ‪. C f‬‬
 ‫2‪x = e‬‬       ‫5- ﺣﺪد ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C f‬وﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑـ 1 = ‪; x‬‬




                                                                                                                           ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ 82‬
              ‫‪‬‬           ‫1 − ‪ln x x‬‬  ‫2‬

              ‫= )‪ f ( x‬‬        ‫+‬             ‫0 ‪x‬‬
              ‫‪‬‬             ‫‪x‬‬       ‫‪2x‬‬                                   ‫ﺑـ‬       ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
              ‫‪ f ( x ) = xe x‬‬               ‫0≤‪x‬‬
              ‫‪‬‬
                       ‫‪g ( x ) = x 2 + 3 − 2 ln x‬‬                         ‫1- ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞+ ;0] ب‬
                                                                               ‫أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ g‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) ‪. g ( x‬‬
                                                                       ‫1- ‪ (a‬ﺣﺪد )‪lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x‬‬
                                                                                                    ‫+‬
                                                                       ‫∞−→‪x‬‬              ‫∞+→‪x‬‬                 ‫0→‪x‬‬

                                                                                                                  ‫)‪g ( x‬‬
                             ‫.‬   ‫*−‬
                                      ‫ﻋﻠﻰ‬           ‫و أﺣﺴﺐ ) ‪f ' ( x‬‬            ‫∈ ‪∀x‬‬     ‫*+‬
                                                                                                      ‫= )‪f '( x‬‬
                                                                                               ‫‪ (b‬ﺑﻴﻦ أن‬
                                                                                           ‫2‪2x‬‬
                                                                                 ‫‪ (c‬أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪. f‬‬
                                               ‫‪ (d‬ﺑﻴﻦ أن ‪ C f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل2- .‬
                                                           ‫أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬و أﻧﺸﺊ ‪. C f‬‬                         ‫2-‬
                           ‫3- ﺣﺪد ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C f‬و ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ‬
                                                                                                ‫ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ 1 = ‪x = e ; x‬‬
                                                    ‫‪E : y "− 3 y '+ 2 y = −e x‬‬                      ‫4- ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬
                                                                                                              ‫‪x‬‬
                                                                ‫‪ x → xe‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‪E‬‬                          ‫‪ (a‬ﺗﺄآﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ‬
                                                                                                              ‫‪ (b‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪.E‬‬
                                                                                                                            ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ92‬
‫) 2 + ‪f ( x ) = x + 2 ln ( x‬‬
‫‪‬‬                                               ‫1− ≥ ‪x‬‬
‫‪‬‬                                                                 ‫ﺑـ‬      ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
‫‪ f ( x ) = ( x + 1)e‬‬
                      ‫2+ ‪x‬‬
‫‪‬‬                                             ‫1− ≺ ‪x‬‬
                                                                                     ‫; ) ‪lim f ( x‬‬            ‫1- ‪ (a‬ﺣﺪد ) ‪lim f ( x‬‬
                                                                                    ‫∞−→ ‪x‬‬                     ‫∞+→ ‪x‬‬

                                                       ‫‪ (b‬ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 1- و أدرس اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻓﻲ 1-‬
                                                                    ‫2- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ.‬
                                                                                ‫3- أدرس ﺗﻘﻌﺮ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪. C f‬‬


              ‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬                                                  ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                    ‫أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ و أﻧﺸﺊ ‪. C f‬‬   ‫4-‬
‫5- ﺣﺪد ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ C f‬وﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑـ 1− = ‪x = e − 2 ; x‬‬
    ‫2‬




          ‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬                      ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

								
To top