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					          RESISTANCE
              DES
          MATERIAUX




F.Golay
              I.S.I.T.V.
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      I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                -3-




   Ce cours de résistance des matériaux a pour objectif d'approfondir la mécanique des
solides élastiques, puis à partir de la mécanique des milieux continus, nous introduirons la
théorie des poutres. Dans une première partie, nous étudierons la démarche qui nous permet
l'établissement des équations de la théorie des poutres (une démarche similaire pourrait être
utilisée pour les plaques et coques). Dans une deuxième partie, nous nous attacherons à
exposer les outils classiques de la théorie des poutres: étude de cas simples, méthodes
énergétiques, …etc…
   La résistance des matériaux est un outil indispensable à toute modélisation en calcul des
structures. Même si d'autres méthodes (par exemple les éléments finis) sont en général
utilisées, un calcul rapide de RDM permet de vérifier les ordres de grandeur et de juger de
l'opportunité d'utiliser d'autres méthodes plus complexes.



   Ce polycopié est en perpétuel correction (quand j’en prends le temps). C'est pourquoi, je
serai reconnaissant aux étudiants de m'exposer toute suggestion susceptible d'en améliorer le
contenu.




                                          I.S.I.T.V.
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                                                             SOMMAIRE


 RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

      I - CINEMATIQUE ............................................................................................................................................7
          I - 1 Configuration, mouvement, déplacement, ........................................................................................7
          I - 2 Déformation......................................................................................................................................8
          I - 3 Cas des petites perturbations............................................................................................................9
          I - 4 Conditions de compatibilité ............................................................................................................10
      II - STHENIQUE .............................................................................................................................................11
          II -1 Forces.............................................................................................................................................11
          II - 2 Contraintes ....................................................................................................................................11
          II -3 Equilibre.........................................................................................................................................13
          II - 4 Quelques propriétés du tenseur des contraintes............................................................................18
      III - LOI DE COMPORTEMENT POUR LES SOLIDES ELASTIQUES ......................................................................21
          III - 1 Approche expérimentale: essai de traction ..................................................................................21
          III - 2 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP) .......................................................................22
          III - 3 Théorème de superposition ..........................................................................................................24
          III - 4 Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes .........................................................24
          III - 5 Thermoélasticité...........................................................................................................................24

 THEORIE DES POUTRES

      I - DEFINITIONS, HYPOTHESES DE BERNOUILLI ............................................................................................25
          I - 1 Définition d'une poutre ...................................................................................................................25
          I - 2 Notations.........................................................................................................................................25
          I - 3 Hypothèse de Bernouilli..................................................................................................................26
      II - DEPLACEMENTS ET FORCES GENERALISES ..............................................................................................27
          II - 1 Déplacement généralisé ................................................................................................................27
          II - 2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs ......................................................................................28
          II - 3 Forces généralisées .......................................................................................................................28
      III - DEFORMATION ET CONTRAINTES GENERALISEES ..................................................................................29
          III - 1 Déformations généralisées...........................................................................................................29
          III - 2 Puissance Virtuelle des efforts intérieurs.....................................................................................31
          III - 3 Contraintes généralisées, équation d'équilibre............................................................................32
      IV - LOI DE COMPORTEMENT ELASTIQUE LINEAIRE .....................................................................................34




                                                                          I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                                                                                     -5-

   ETUDE DE SOLLICITATIONS SIMPLES

      I - TRACTION OU COMPRESSION ...................................................................................................................36
          I - 1 Définition ........................................................................................................................................36
          I - 2 Déformations et contraintes............................................................................................................36
      II - TORSION .................................................................................................................................................37
          II - 1 Définition.......................................................................................................................................37
          II - 2 Déplacement, contraintes, déformations .......................................................................................37
          II - 3 Exemple .........................................................................................................................................39
      III - FLEXION................................................................................................................................................40
          III - 1 Flexion pure .................................................................................................................................40
          III - 2 Flexion pure plane .......................................................................................................................40
          III - 3 Flexion plane simple ....................................................................................................................41
          III - 4 Exemples ......................................................................................................................................42
          III - 5 Etude de la déformation des poutres en flexion ...........................................................................44

   METHODES ENERGETIQUES

      I - THEOREMES DE L'ENERGIE EN ELASTICITE LINEAIRE ...............................................................................49
          I - 1 Notations et définitions ...................................................................................................................49
          I - 2 Théorème fondamental ...................................................................................................................50
      II - ENERGIE DE DEFORMATION EN RDM .....................................................................................................51
          II - 1 Cas général ...................................................................................................................................51
          II - 2 Cas particulier de la Traction/Compression .................................................................................51
          II - 3 Cas particulier de la flexion plane simple.....................................................................................52
          II - 4 Cas particulier de la torsion..........................................................................................................52
      III - THEOREME DE RECIPROCITE DE MAXWELL-BETTI ................................................................................53
      IV - THEOREME DE CASTIGLIANO ET APPLICATIONS ....................................................................................54
          IV - 1 Théorème de Castigliano .............................................................................................................54
          IV - 2           Conséquence: Principe du travail minimum ou théorème de Ménabréa .............................55
          IV - 3 Exemples ......................................................................................................................................56
      V - EQUATION DE BERTRAND DE FONTVIOLANT ..........................................................................................58
          V - 1 Enoncé ...........................................................................................................................................58
          V-2          Application: Evaluation des réactions hyperstatiques surabondantes .....................................59
          V-3          Application: Détermination des déplacements et rotations ......................................................60

   FLAMBEMENT

      I - STABILITE D'UNE POUTRE EN COMPRESSION ............................................................................................62
      II - ETUDE DE QUELQUES CAS SIMPLES .........................................................................................................63
          II-1 Colonne Rotule-Rotule ....................................................................................................................63



                                                                          I.S.I.T.V.
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          II-2 Colonne Encastrée-Libre.................................................................................................................65
          II-3 Colonne Encastrée-Rotule...............................................................................................................65
      III - GENERALISATION: FORMULE D'EULER..................................................................................................66
      IV - EXEMPLE ..............................................................................................................................................68

 COMPORTEMENT AU DELA DU DOMAINE ELASTIQUE - CHARGES LIMITES

      I - INTRODUCTION ........................................................................................................................................70
          I-1 Critères de défaillance......................................................................................................................70
          I-2 Comportement du matériau ..............................................................................................................70
      II - ANALYSE LIMITE EN TRACTION ..............................................................................................................71
          II-1 Analyse élastique.............................................................................................................................71
          II-2 Analyse élastique-plastique .............................................................................................................72
          II-3 Décharge .........................................................................................................................................73
      III - ANALYSE LIMITE A LA TORSION ............................................................................................................74
          III-1 Généralités .....................................................................................................................................74
          III-2 Exemple..........................................................................................................................................75
      IV - ANALYSE LIMITE A LA FLEXION ............................................................................................................76
          IV-1 Généralités .....................................................................................................................................76
          IV-2 Exemple: Méthode "pas à pas".......................................................................................................77
          IV-3 Théorème énergétique ....................................................................................................................79

 BIBLIOGRAPHIE.........................................................................................................................................82


 ANNEXE.........................................................................................................................................................84




                                                                         I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                           -7-



                     RAPPELS DE MECANIQUE DES
                         MILIEUX CONTINUS


I - Cinématique

   I - 1 Configuration, mouvement, déplacement, ...
   L'espace physique est rapporté à un repère orthonormé direct (O, e 1 , e 2 , e3 ). L'ensemble
des particules ou points matériels constituant le milieu continu étudié, occupe à chaque instant
t, un ensemble de positions dans l'espace: c'est la configuration du système à l'instant t, noté
 Ω(t) (d'intérieur Ω(t) et de frontière ∂Ω(t)).
   On introduit aussi la notion de configuration de référence: c'est la configuration
particulière du système à un instant t0 fixé. Souvent on prendra Ω0 = Ω (0) , et on parlera alors
de configuration initiale.
   Toute particule M0 de Ω0 est repérée par son vecteur position X(t) dans la configuration
de référence. Toute particule M de Ω(t) est repérée par son vecteur position x(t) dans la
configuration actuelle (à l'instant t).
                                                             ϕ ( X ,t)                         Ω
                           Ω0
        e3                                                                        x( X , t )

                e2                  M                                           M
                                          X                   u( X , t )
         O
   e1
                                Configuration de référence
                                                                           Configuration actuelle
                                à l’instant t0
                                                                           à l’instant t
                                         Figure 1
   La position de chaque particule M sera donc déterminée si on connaît sa position dans la
configuration de référence et une fonction Φ telle que:
                     ( )
         x(t) = Φ X, t                                                                   (1)
  Φ définit le mouvement par rapport à (O, e 1 , e 2 , e3 ) . Dire que le milieu est continu, c'est
dire que Φ est une fonction continue et biunivoque de X.
   X et t définissent les variables de Lagrange
   x et t définissent les variables d'Euler



                                               I.S.I.T.V.
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   Le déplacement par rapport à la configuration Ω0 , à l'instant t, de la particule M0 est le
vecteur
          u(X, t) = x(X, t) − X                                                         (2)



   I - 2 Déformation

  Considérons deux particules voisines X et X+dX. A l'instant t ces particules occupent la
                                        (          ) ( )
position x et x+dx avec dx(t) = Φ X + dX, t − Φ X, t
   Par définition du gradient on écrit:

            (            )
          Φ X + dX, t = Φ X, t +  ( )   ∂Φ
                                        ∂X
                                             ( )
                                           X, t dX + Θ dX 
                                                      
                                                      
                                                          2
                                                            
                                                            
   Soit

                   ( )
          dx = F X, t dX avec               ( )
                                           ∂Φ
                                        F X, t =
                                           ∂X
                                               X, t    ( )                            (3)

   F est une application linéaire qui fait passer de l'espace vectoriel dans lequel peut varier
dX dans l'espace vectoriel où varie à priori dx . Cette application linéaire, appelée tenseur
gradient, permet donc le passage de la configuration Ω0 à la configuration Ω(t).
   En notation indicielle,
                                               ∂x 1   ∂x 1     ∂x 1 
                                                                    
                                               ∂X1    ∂X 2     ∂X 3 
                  ∂Φ i ∂x i                     ∂x     ∂x 2     ∂x 2 
          Fij =       =                     F= 2
                  ∂X j ∂X j                    ∂X     ∂X 2     ∂X 3 
                                               1                    
                                               ∂x 3   ∂x 3     ∂x 3 
                                               ∂X1
                                                      ∂X 2     ∂X 3 
                                                                     


Remarques:
* Transformation d'un élément de volume dV dans Ω0 en un élément de volume dv dans Ω(t).
                    ()
          dv = det F dV
* Transformation d'un élément de surface N dS dans Ω0 en un élément de surface dans Ω(t).
                             -T
          n ds = det F F N dS


   Le tenseur gradient décrit la transformation locale au voisinage d'une particule donnée.
Afin de rendre compte des déformations, c'est à dire des changements de forme autour de
cette particule, on s'intéresse à l'évolution du produit scalaire de deux vecteurs matériels pris
respectivement dans les deux configurations Ω0 et Ω(t).
  Considérons trois particules voisines X, X+dX, X+dX'. Après déformations, elles occupent
dans Ω(t) les positions respectives x, x+dx, x+dx'.


                                                   I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                            -9-

                      (            )(                )
                                                      ∂x       ∂x ′      
          dx ⋅ dx ′ = F(X, t) dX ⋅ F(X ′, t ) dX ′ =  k dX i  ⋅  k dX ′j 
                                                      ∂X
                                                      i
                                                                ∂X ′
                                                                          
                                                                       j    
   d'où sa variation autour de la transformation
                                   ∂x ∂x ′k          
          dx ⋅ dx ′ - dX ⋅ dX ′ =  k          − δ ij dX i dX ′j
                                   ∂X i ∂X ′j        
                                                     
   soit
          dx ⋅ dx ′ - dX ⋅ dX ′ = 2dXεdX ′
   en posant
                    1 T                    
               ε=     F (X, t )F(X, t ) − 1
                                                                                            (4)
                    2                      


  L'application linéaire ε est appelée tenseur des déformations. Cette application est
symétrique mais dépend bien sûr de la base (O, e 1 , e 2 , e3 ) initialement choisie.


Autre écriture:
  D'après (2) et (3)
                      ∂x              ∂u
          F(X, t) =      (X, t) = 1 +    (X, t)
                      ∂X              ∂X
   soit
                           T            T               
             1  ∂u      ∂u           ∂u         ∂u      
          ε =  (X, t) +      (X, t)+      (X, t) (X, t)                                     (5)
             2  ∂X      ∂X           ∂X         ∂X      
                                                        
   ou encore en notation indicielle
               1  ∂u ∂u j ∂u k ∂u k 
         ε ij =  i +       +          
               2  ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j 
                                      


   I - 3 Cas des petites perturbations

                                                                    ∂u
   Cette hypothèse correspond au cas où u (X, t ) et                   (X, t ) sont petits.
                                                                    ∂X

   En reprenant (5) et en ne retenant que les termes d'ordre 1, on obtient:
                                 T        
                1  ∂u         ∂u          
         ε HPP =  (X, t) +         (X, t)                                                   (6)
                2  ∂X         ∂X          
                                          
   ou encore en notation indicielle
               1  ∂u ∂u j 
         ε ij =  i +        
               2  ∂X j ∂X i 
                            


                                                    I.S.I.T.V.
- 10 -                                                                                    Rappel de MMC

   I - 4 Conditions de compatibilité

   A tout déplacement u on fait correspondre une déformation ε . On peut aussi se poser le
problème inverse. Ce problème est dit 'problème de compatibilité géométrique d'un champ de
déformation', ou encore 'problème d'intégrabilité d'un champ de déformation'.
   Les conditions de compatibilité peuvent être établies dans le cas général, cependant nous
ne les établirons que dans le cas des petites perturbations.
   Décomposons maintenant le gradient des déplacements en une partie symétrique ε et une
partie antisymétrique ω .
          ∂u
             (X, t) = ε(X, t ) + ω(X, t )
          ∂X
                                 T        
              1  ∂u          ∂u                                     1  ∂u i ∂u j
                                                                        
                                                                                      
                                                                                      
          ω=        (X, t) −       (X, t)                   ωij =           −
              2  ∂X          ∂X                                     2  ∂X j ∂X i
                                                                        
                                                                                      
                                                                                      
                                          
   On a
          ωij,k = ε ki, j − ε jk ,i
   soit en dérivant une nouvelle fois
          ω ij,kl = ω ij,lk ∀ i,j,k,l dans {1,2,3}
          ∀i, j, k, lε ij, kl + ε kl, ij − ε ik , jl − ε jl, ik = 0                           (7)


   Réciproquement, si ε vérifie (7), alors les formes différentielles
                    (                 )
         dωij = ε ki , j − ε jk ,i dx k
   sont exactes; elles permettent donc de construire le champ ω de tenseur antisymétrique.
On vérifie ensuite que les formes différentielles
         du i = (ωik + ε ik )dx k
sont exactes, d'où la possibilité de construire un champ de déplacement u (X,t) défini dans Ω0 .




                                                              I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                                - 11 -

II - Sthénique
   II -1 Forces
   Elles résument les effets mécaniques, autres que cinématiques, exercés sur le milieu
continu considéré par le reste du domaine physique. Leur schématisation à chaque instant
repose sur la définition d'un champ de vecteur Φ (x,t) et d'une mesure positive ω, définis sur
la configuration actuelle Ω(t). Φ (x,t) est une densité de force pour la mesure ω.
   * Si ω est une mesure de volume, alors Φ (x,t) est une force volumique (densité
volumique de force) définie dans Ω(t) de la configuration actuelle, par la fonction
   f: x ∈Ω(t) → f (x, t) ∈ ℜ3
   * Si ω est une mesure de surface, alors Φ (x,t) est une force surfacique (densité surfacique
de force) définie sur ∂ΩF(t) de la configuration actuelle, par la fonction
   F : x ∈∂Ω F (t) → F(x,t) ∈ ℜ 3
   * ... etc ...
Remarques:
* Les forces sont définies sur la configuration actuelle.
* A un instant donné et en un point donné x de ∂Ω(t), on ne peut imposer à la fois le
déplacement et la force !. Mais l'un des deux doit être imposé. On note ∂ΩF(t) la frontière où
la force est imposée, et ∂ΩU(t) la frontière où le déplacement est imposé. Dans le cas des
appuis mobiles, les composantes non imposées cinématiquement le sont pour les forces
* Le monde extérieur au milieu considéré doit, pour imposer le déplacement U(t) au bord
∂ΩU(t), exercer des forces que nous noterons R (x,t) . Comme elles sont à priori inconnues,
nous les appellerons réactions pour éviter de les confondre avec les autres forces qui, elles,
sont données.

   II - 2 Contraintes
           II - 2.1 Notion de Vecteur-contrainte et tenseur des contraintes
                                       Soit un corps (C) en équilibre par application d'un
      e3
                                       système d'actions mécaniques extérieures. Imagi-nons
             e2 dF
      O                                             qu'une surface Σ divise (C) en deux parties (1) et (2). La
 e1         Σ                                       partie (1) est en équilibre sous les actions mécaniques
                   δΣ         n
                                                    extérieures qui lui sont appliquées et les actions
                    M       ds
                                                    mécaniques exercées par la partie (2). Nous admettrons
                                                    que sur chaque élément de surface dΣ de Σ, (2) exerce sur
                                                    (1) une force dF( x , t , n )1 / 2 de densité superficielle
                                                    T(x, t, n ) .
           dF( x, t , n )1 / 2 = T( x , t , n )dΣ                                                    (8)
   T ( x , t , n ) est le vecteur contrainte au point x, relativement à la facette dΣ définie par son


                                                           I.S.I.T.V.
- 12 -                                                                                  Rappel de MMC

vecteur normal n .

   La densité surfacique de forces exercées en x dépend de x, t et aussi de l'orientation de la
surface Σ au voisinage de x. Elle est linéairement dépendante de n . On introduit alors
l'application σ telle que:
         T( x , t , n ) = σ( x , t )n                                                       (9)
   L'application σ (x,t) s'appelle le tenseur des contraintes de Cauchy en x à l'instant t; il
caractérise, dans la configuration actuelle, les efforts intérieurs de cohésion exercés sur une
partie du solide à travers l'élément de surface n dΣ.


         II - 2.2 Autre écriture du tenseur des contraintes
   En utilisant la remarque du §I-2 pour exprimer n dΣ en fonction de N dS, (8) devient:
            (                           )
         dF x (X, t ), t , n ( N, t ) = Π N(X)dS
   où Π est le tenseur
        Π (X,t): N ∈ℜ 3 → Π(X, t, N ) = Π(X,t)N                              ∈ ℜ3
   défini par
                                      −T
         Π (X, t ) = (det F)σF
   Cette application linéaire Π (X, t ) , définie pour X ∈Ω 0 , s'appelle le premier tenseur des
contraintes de Piola-Kirchoff en X à l'instant t; la composante Πij est la iième composante du
vecteur contrainte exercée sur la déformée d'une surface unité, normale à e j , de la
configuration de référence. On prendra garde au fait que le tenseur Π n'est pas symétrique.

   Si maintenant on cherche le vecteur "force de cohésion" dans la configuration de référence
                (         )                        (                     )
                                 −1
         dF0 X, t , N = F               (X, t )dF x (X, t ), t , n ( N, t ) = SN(X)dS
   où S est le tenseur défini par
                    −1
         S=F Π
   Cette application linéaire S(X,t) , définie pour X ∈Ω 0 , s'appelle le second tenseur des
contraintes de Piola-Kirchoff en X à l'instant t. Attention, sa composante Sij n'est pas la
iième composante du vecteur contrainte exercée sur la déformée d'une surface unité, normale à
e j , de la configuration de référence, mais seulement la iième composante de son transporté
dans la configuration de référence.

   Selon le jeu d'écriture adopté, on a donc trois descriptions des contraintes:
                ( )
         σ = det F
                         −1      T
                                      ( )
                              Π F = det F
                                             −1
                                                  FSF
                                                        T
                                                                                           (10)




                                                            I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                       - 13 -


      II -3 Equilibre

            II - 3.1 Le Principe des Puissances Virtuelles
      Pour schématiser les efforts mis en jeu, il est commode d'imaginer des mouvements fictifs
(ou virtuels) et d'analyser le travail ou la puissance qui en résulte. Par exemple, pour évaluer
les forces de gravité agissant sur un objet, on peut imaginer de le soulever (mouvement virtuel
de bas en haut).


                 II-3.1.1 Le Principe des Puissances Virtuelles (Germain 1972)
      Un milieu matériel étant isolé, on peut distinguer les actions extérieures qui agissent sur le
milieu, des actions intérieures qui représentent les liaisons existant entre toutes les parties du
milieu.


                                          Axiome d'objectivité
      La puissance virtuelle des efforts intérieurs associée à tout mouvement rigidifiant est nulle.
                                        Axiome d'équilibre
      Pour tout milieu matériel repéré dans un référentiel absolu, à chaque instant et pour tout
      mouvement virtuel, la puissance virtuelle des quantités d'accélération ∏a est égale à la
       somme des puissances virtuelles des efforts intérieurs ∏i et des efforts extérieurs ∏e.


                 II-3.1.2 Position du problème
                                           F        Soit un milieu continu Ω(t) d'intérieur Ω(t) et de
                                                 frontière ∂Ω(t). Isolons maintenant un domaine Σ(t)
       e3                                        de frontière ∂Σ(t) intérieur à   Ω(t), et soit n la
                                     n   Ω(t )
            e2                                   normale en un point de ∂Σ (t). A un instant t fixé,
      O                    Σ(t )
 e1                 f                            un mouvement virtuel défini par une vitesse
                                                 virtuelle δv est appliqué à Σ(t). Cette vitesse est
                                                 supposée continue et continûment dérivable sur
                                                 Σ(t).


                 II-3.1.3 Puissance virtuelle des efforts intérieurs
      Pour déterminer la puissance virtuelle des efforts intérieurs nous ferons les hypothèses
suivantes:
   * Πi admet une densité volumique pi:
         Π i =∫∫∫Σ p i dx
      * Πi est en chaque point une forme linéaire des valeurs en ce point de δ v et de ses
dérivées premières:



                                                  I.S.I.T.V.
- 14 -                                                                                   Rappel de MMC


   En décomposant le gradient des vitesses virtuelles en une partie symétrique δD et une
partie antisymétrique δW ,
           ∂δv
               =δD+δW
            ∂x
                          T
                1  ∂δv ∂δv                                                    1  ∂δv i ∂δv j 
           δW =       −                                                  δWij =        −      
                2  ∂x ∂x                                                     2  ∂x j ∂x i 
                                                                                               
                            
                          T
               1  ∂δv ∂δv                                                      1  ∂δv i ∂δv j 
           δD=        +                                                  δD ij =        +      
               2  ∂x ∂x                                                       2  ∂x j ∂x i 
                                                                                                
                           
   la densité volumique des efforts intérieurs devient:
         pi = Ai δvi + Bij δwij - σij δDij                                                   (11)


   Le premier axiome du principe des puissances virtuelles impose que pour tout mouvement
de solide rigide la puissance des efforts intérieurs soit nulle. D'où:
   - Soit un mouvement de translation: δv ≠ 0 , δW=0 et δD=0
   alors
           Π i =∫∫∫Σ p i dx =∫∫∫Σ A ⋅ δvdx =0      ∀ ∑ dans Ω
   soit A ⋅ δv = 0 ∀ δv , ou encore A = 0
   - Soit un mouvement de rotation: δv = 0 , δW≠0 et δD=0
   alors
           Π i = ∫∫∫ pi dx = ∫∫∫ B:δW dx = 0                 ∀ Σ dans Ω
                    Σ               Σ
   soit B : δW =0∀δW , ou encore B = 0 .


   Donc en définitive:
           Π i =− ∫∫∫Σ σ:δDdx                                                                (12)


   On peut montrer que le tenseur σ introduit ici correspond bien au tenseur des contraintes
de Cauchy exprimé au §II-2.1.


              II-3.1.4 Puissance virtuelle des efforts extérieurs
   Les efforts extérieurs comprennent
   - des efforts exercés à distance par des systèmes extérieurs à Ω, supposés définis par une
densité volumique de forces f ,
   - des efforts de cohésion schématisés par une densité surfacique de force T sur ∂∑
          Π e =∫∫∫Σ f ⋅ δvdx + ∫∫∂Σ T ⋅ δvdx                                        (13)




                                                I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                      - 15 -



             II-3.1.5 Puissance virtuelle des quantités d'accélération
   Si γ est l'accélération et ρ la masse volumique de chacun des points de ∑, alors
         Π a =∫∫∫Σ ργ ⋅ δvdx                                                        (14)


        II - 3.2 Application du Principe des Puissances Virtuelles
   En application du Principe des Puissances Virtuelles on obtient:
           − ∫∫∫Σ σ:δDdx+ ∫∫∫Σ f ⋅ δvdx+ ∫∫∂Σ T ⋅ δvdx =∫∫∫Σ ργ ⋅ δvdx                     (15)
   Pour exploiter le fait que (15) est vérifié pour tout mouvement virtuel, nous allons faire
apparaître δv dans chacun des termes.
   En appliquant le théorème de la divergence, le premier terme devient:
                                         ∂δv
           − ∫∫∫Σ σ:δDdx =− ∫∫∫Σ σ:          dx=−∫∫∂Σ σ ⋅ δv ⋅ ndx + ∫∫∫Σ div x σ ⋅ δvdx
                                         ∂x
   Soit:
                (          )               (                 )
           ∫∫∂Σ T−σ ⋅ n ⋅ δvdx+ ∫∫∫Σ f +div x σ−ργ ⋅ δvdx = 0∀δv
   Ou encore
        f +div x σ=ργ dansΣ
        
                                                                                          (16)
        T=σ ⋅ n sur∂Σ
        



         II - 3.3 Equilibre
   En considérant les développements du paragraphe précédent et en se ramenant au domaine
Ω(t), nous pouvons donc écrire les équations d'équilibre d'un solide soumis à un champ de
forces extérieures f dans Ω(t), à un champ de forces extérieures Fe sur ∂ΩF(t) et à un
déplacement imposé U e sur ∂ΩU(t).


   Dans la configuration actuelle:
           f ( x , t )+div x σ( x , t )=0∀x∈Ω( t )                                         (17)
                                    Fe ( x , t )∀x∈∂Ω F ( t )
                                    
           σ( x , t ) ⋅ n ( x , t )=                                                      (18)
                                    R ( x , t ) ∀x∈∂Ω U ( t )
                                    


   Dans la configuration de référence:
   De même, si on note f0 , R 0 et F0 les densités volumiques et surfaciques de forces
mesurées dans la configuration de référence:
           f 0 (X, t )+div X Π (X, t )=0∀x∈Ω 0                                             (19)



                                                           I.S.I.T.V.
- 16 -                                                                                Rappel de MMC

                                F ( x , t )∀x∈x −1 (∂Ω F ( t ), t )
                                
           Π (X, t ) ⋅ N(X, t )= 0                                                      (20)
                                R 0 ( x , t )∀x∈∂Ω 0 U
                                


        II - 3.4 Cas des petites perturbations
   Reprenons (17), en l'exprimant en fonction de X
                             ∂σ ij
        f i (x (X, t ), t )+       ( x (X, t ), t )=0∀x (X, t )∈Ω( t )
                             ∂x j
                                  ∂σij              ∂X k
           f i (x (X, t ), t )+           (X, t )        (X, t )=0∀X∈Ω 0
                                  ∂X k              ∂x j

                                 ∂x            ∂u
   Or x(X,t) = X + u(X,t) soit      (X, t )=1+    ( X, t )
                                ∂X             ∂X
   On peut donc écrire l'équation d'équilibre sous la forme
                                                                 −1
                                  ∂σij       ∂u        
           f i (x (X, t ), t )+      (X, t )1+  (X, t ) =0∀X∈Ω 0
                                ∂X k         ∂X
                                                        kj
                                                        
   Sous l'hypothèse des petites perturbations, on peut alors écrire:
                                  −1
            ∂u             ∂u
           1+  (X, t ) =1−    ( X, t )
            ∂X
                      
                            ∂X

   soit
                                  ∂σ ij            ∂u       
           fi (x(X,t),t ) +            (X,t) δ jk − k (X,t)  = 0         ∀ X ∈Ω 0
                                  ∂X k             ∂X j     
    Enfin, en ne retenant que les termes d'ordre 0, et après avoir effectué un développement de
fi au voisinage de X, on obtient:
                       ∂σij
          f i (X, t )+      (X, t )=0∀X∈Ω 0
                       ∂X j
   soit
           f (X, t )+div X σ(X, t )=0∀x∈Ω 0                                              (21)
   Le raisonnement qui a permis de remplacer f (x(X,t),t) par f (X,t), permet aussi de
remplacer Fe (x(X,t),t) par Fe (X,t) et R (x(X,t),t) par R (X,t). Donc, comme condition sur la
frontière on obtient:
                               Fe (X, t )∀X∈∂Ω 0F
                               
           σ(X, t ) ⋅ N(X, t )=                                                         (22)
                               R (X, t ) ∀X∈∂Ω 0 U
                               




                                                             I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                   - 17 -

         II - 3.5 Autre approche
   On utilise la loi fondamentale de la dynamique qui stipule que :
   le torseur dynamique, qui est la dérivée temporelle du torseur cinématique est égal au
torseur des actions extérieures.
   Ce qui se met en équations sous la forme suivante, en l’appliquant au domaine d ‘étude Σ :
         d
            ∫∫∫ ρv dx = ∫∫∂Σ T dx + ∫∫∫Σ f dx
         dt Σ
                                                                                    (23)
         d
            ∫∫∫ OM ∧ ρv dx = ∫∫∂Σ OM ∧ T dx + ∫∫∫Σ OM ∧ f dx
         dt Σ
   Par application des propriétés de la dérivée particulaire on peut écrire pour tout vecteur b :
         d                       ∂ρb               
            ∫∫∫Σ ρb dx = + ∫∫∫Σ      + div(ρb ⊗ v)  dx
         dt                      ∂t                
   puis en utilisant le fait que pour tout vecteurs a et b
         div(a ⊗ b) = ∇a ⋅ b + a divb
   on peut développer sous la forme
         d                     ∂ρb                     
            ∫∫∫Σ ρb dx = ∫∫∫Σ      + ∇ρb ⋅ v + ρb divv  dx
         dt                    ∂t                      
          d                     ∂b   ∂ρ                                
             ∫∫∫Σ ρb dx = ∫∫∫Σ  ρ + b + ρ∇b ⋅ v + ∇ρ ⊗ b ⋅ v + ρb divv  dx
          dt                    ∂t   ∂t                                
          d                      ∂b               ∂ρ                
             ∫∫∫Σ ρb dx = ∫∫∫Σ  ρ  + ∇b ⋅ v  + b  + ∇ρ ⋅ v + ρ divv   dx
                                                                         
          dt                     ∂t               ∂t                
   Par définition de la dérivée particulaire :
          d                    db     ∂ρ      
            ∫∫∫Σ ρb dx = ∫∫∫Σ  ρ + b  + divρv   dx
         dt                    dt     ∂t      
   Donc, grâce à la conservation de la masse
          ∂ρ               dρ
               + divρv =        + ρ divv = 0                                            (24)
           ∂t              dt
   et la définition du vecteur contrainte (8), la première équation de (23) devient :
           d                      dv
              ∫∫∫Σ ρv dx = ∫∫∫Σ ρ    dx = ∫∫∫Σ ργ dx = ∫∫∂Σ σn dx + ∫∫∫Σ f dx
          dt                      dt
   et par application du théorème de la divergence
          ∫∫∫Σ ργ dx = ∫∫∫Σ div σ dx + ∫∫∫Σ f dx .
   On retrouve donc bien la forme locale de la conservation de la quantité de mouvement :
          div σ + f = ργ                                                                (25)




                                                     I.S.I.T.V.
- 18 -                                                                                    Rappel de MMC



  II - 4 Quelques propriétés du tenseur des contraintes

  Le tenseur des contraintes est un tenseur symétrique. Dans tous les développements à
venir, nous nous placerons dans le cas des petites perturbations pour un solide en équilibre.
En conséquence, nous omettrons les variables x et t.
         II - 4.1 Contrainte normale et contrainte tangentielle


         σn                                Considérons une facette de normale n . Tout naturellement, le
                                        vecteur contrainte T (n ) peut être décomposé en une
                    T(n)
         n                              composante normale σn et une composante tangentielle τ.
                                        σ n =T (n ) ⋅ n =n ⋅ σ ⋅ n
                                           et
                   τ
                                                ( ) (
                                         τ = σ⋅n − n ⋅σ⋅n
                                                         2
                                                                        ) 2


  On dira que σn est positive en traction et négative en compression.


              II - 4.2 Directions principales, contraintes principales
    La matrice représentant le tenseur des contraintes est symétrique, elle est donc
diagonalisable. Les valeurs propres sont réelles et appelées contraintes principales (σI, σII,
σIII). Les vecteurs propres, orthogonaux deux à deux, sont les directions principales
(n I , nII , nIII ). On a donc:
         σ I =T (n I ) ⋅ n I ,σ II =T (n II ) ⋅ n II ,σ III =T (n III ) ⋅ n III


         II - 4.3 Invariants
   Le tenseur des contraintes possède trois invariants définis mathématiquement comme les
                                                              (               )
coefficients de l'équation caractéristique det σ − α 1 . C'est à dire les quantité scalaires:
         Σ I = Tr(σ)                                                                          (27)
               1               2 
         Σ II = Tr (σ) 2 −Tr (σ )                                                           (28)
               2                 
         Σ III =Det (σ)                                                                       (29)
  Exprimés en fonction des contraintes principales, on obtient
       ΣI = σI + σII + σIII
         ΣII = σI σII + σII σIII + σIII σI
         ΣIII = σI σII σIII

        II - 4.4 Cercles de Mohr
  Connaissant le tenseur des contraintes σ , on se propose de déterminer le domaine
engendré par l'extrémité du vecteur contrainte quand n varie. Par commodité, nous nous


                                                             I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                     - 19 -

plaçons dans une base orthonormée dirigée suivant les directions principales de σ . Soit
           n1       σ1 0 0 
            
         n=n 2 et σ= 0 σ2 0  avecn1 +n 2 +n 3 =1
                                
                                        2
                                            2
                                                2

           n         0 0 σ3 
            3                 
   et
             n1 σ1 
                      
          T = n 2 σ 2 
             n σ 
              3 3
   D'après (23)
                   2         2           2
         σ n = σI n1 + σ II n2 + σ III n 3
   et d'après (24)
           2     2    2 2     2 2        2    2
          τ + σ n = σ I n1 + σII n 2 + σ III n3
   Dans l'hypothèse où les contraintes principales sont distinctes, on obtient alors après
résolution du système:
           2 τ + (σ n −σ II )(σ n −σ III )
               2
         n1 =
                 (σ I −σ II )(σ I −σ III )
                 τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ III )
          n2=
           2
                    (σ II −σ I )(σ II −σ III )
                 τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ II )
          n3 =
           2
                   (σ III −σ I )(σ III −σ II )
   Si on ordonne les contraintes principales de telle sorte que σI ≥ σII ≥ σIII , alors
          τ 2 + (σ n −σ II )(σ n −σ III )≥0
          τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ III )≤0
          τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ II )≥0
   ou encore
                                       2                  2
                   σ +σ   σ −σ 
          τ + σ n − II III  ≥ II III 
            2
                                                                                          (30)
                      2         2    
                                    2                 2
                     σ +σ   σ −σ 
          τ 2 + σ n − I III  ≤ I III                                                  (31)
                       2   2 
                                   2              2
                   σ +σ   σ −σ 
          τ + σ n − I II  ≥ I II 
            2
                                                                                          (32)
                     2   2 
   Dans le plan de Mohr, l'extrémité du vecteur contrainte, d'après (31), est donc intérieure au
cercle centré sur 0σn d'abscisse (σI + σIII)/2 et de rayon (σI - σIII)/2. Par contre, d'après (30)
(res. (32)), l'extrémité du vecteur contrainte est extérieure au cercle centré sur 0σn d'abscisses
(σII + σIII)/2 (resp.(σI + σII)/2) et de rayon (σII - σIII)/2 (resp.(σI + σII)/2).




                                                              I.S.I.T.V.
- 20 -                                                                                        Rappel de MMC


                                                               τ

                                                   →
                                                   T

                                           σIII      σII            σI    σn




   Description des Cercles principaux:
   Nous allons étudier la description du grand Cercle de Mohr. Les facettes concernées sont
parallèles à la direction associée à la contrainte principale σII.

         III                       On constitue avec les directions I,III,II un trièdre direct
  →                              (O, e I , e III , e II ) , la normale n de la facette évoluant dans le plan I
  t           →
              n
                     θ           III.
                         I       Et on définit l'angle θ = (I, n ), et le vecteur t tel que ( n , t ,II) soit
                                 direct.


  On a alors
        n =Cosθe I +Sinθe III
  et
              T=σ I Cosθe I +σ III Sinθe III
  En utilisant les formules de changement de base de (O, e I , e III , e II ) à ( n , t ,II), on a donc
             σ +σ      σ −σ
        σ n = I III + I III Cos 2θ
                 2        2
             σ −σ
         τ=− I III Sin 2θ
                 2
              τ
                                                    Lorsque la facette tourne autour de la direction de
                                                  la contrainte principale σII d'un angle donné,
                       σ
                    σI+σIII
                                                  l'extrémité du vecteur-contrainte tourne sur le cercle
       σIII           2           σI       σn
                                                  de Mohr d'un angle double dans le sens opposé
                               − 2θ               (autour du centre du cercle).
                      →
                      T




                                                       I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                     - 21 -

III - Loi de Comportement pour les solides élastiques
     Pour déterminer l'évolution d'un système déformable, nous avons déjà déterminé les
équations de la cinématique et de la sthénique. A ces équations, il est maintenant nécessaire
d'adjoindre une relation supplémentaire reliant les efforts internes et les grandeurs
cinématiques. Cette relation, appelée Loi de Comportement, dépend du matériau considéré.
La construction d'une loi de comportement est basée sur des observations expérimentales.
     Dans ce chapitre nous exposerons le modèle de comportement des matériaux élastiques,
sous l'hypothèse des petites perturbations.

     III - 1 Approche expérimentale: essai de traction

                                          Pour effectuer un essai de traction simple sur un
                                          métal,      on   utilise   une   éprouvette   cylindrique
                                          caractérisée par:
                                          - des extrémités surdimensionnées
                                          - des congés de raccordement (pour éviter les
                                          concentrations de contrainte)
                                        - une partie médiane cylindrique dans laquelle le
                   L0                 L champ de contrainte est supposé homogène, de
S0
                                          traction simple parallèlement à l'axe de l'éprouvette.


                                          L'essai de traction consiste à enregistrer l'évolution
                                          de l'allongement relatif de la longueur initiale L0 en
                                          fonction de la force de traction F, ou du rapport
                                          F/S0, où S0 représente l'aire initiale de la section de
                                          l'éprouvette.
                   B                La figure ci-contre représente un tel enregistrement pour un
       F
       S0                           acier inox. On remarque alors les propriétés suivantes:
        A                           - Le diagramme est indépendant de la vitesse de chargement
σ0                                  - La partie OA du diagramme est réversible. Si on charge
                                    jusqu'à un niveau inférieur à σ0, alors la décharge décrit la
                                    même courbe OA.
                           ²L       - La partie réversible est linéaire
                           L0       - Si on effectue un chargement au delà du seuil σ0, puis
               C
                                    une décharge, l'éprouvette         présente une déformation
permanente.



                                              I.S.I.T.V.
- 22 -                                                                               Rappel de MMC

  La partie réversible du diagramme de traction est, par définition, représentative du
comportement élastique du matériau. σ0 est la limite initiale d'élasticité du matériau. La
linéarité du segment OA caractérise le comportement élastique linéaire du matériau.



    III - 2 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP)

         III - 2.1 Forme générale
    A partir des observations expérimentales on peut écrire que les contraintes dépendent
linéairement des déformations. En l'absence d'effets thermique et de contraintes initiales on a:
             σ( x , t )=C( x ):ε( x , t )                                                 (33)
    C est un tenseur du quatrième ordre, dont les composantes sont les coefficients d'élasticité
du matériau.
         σ ij ( x , t )=C ijkl ε kl ( x , t )
En utilisant les propriétés des tenseurs de contrainte et de déformation, on peut montrer que:
         Cijkl = Cjikl Cijkl = Cijlk Cijkl = Cklij
    Le tenseur C , dont la matrice représentative comporte 81 composantes, ne dépend donc
plus que de 21 paramètres indépendants.


         III - 2.2 Matériau élastique homogène isotrope
    Toutes les directions sont équivalentes, de telle sorte que la loi de comportement est
invariante dans toute rotation de la configuration de référence. Ce modèle s'applique à la
plupart des matériaux: acier, béton, ...
    Si la configuration est libre de contraintes, alors la loi de comportement s'écrit:
             σ=λTr (ε)1+2µε                                                               (34)
    ou encore en notation indicielle
          σij =λε kk δij +2µεij
    Les coefficients matériel λ et µ, qui dépendent de la particule considérée, sont appelés les
coefficients de Lamé. Leur expression en fonction du module d'Young E et du coefficient
de Poisson ν, est
               E            νE
         µ=        etλ=             ou
            2(1+ν)      (1+ν)(1−2ν)
                                                                                          (35)
                µ(3λ + 2µ)           λ
             E=            etν =
                  λ+µ            2( λ + µ )
    avec, en inversant (34)
               ν        1+ν
          ε=− Tr (σ)1+      σ                                                             (36)
               E         E



                                                I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                 - 23 -

       III - 2.3 Matériau élastique homogène orthotrope
   Le matériau possède trois directions privilégiées deux à deux orthogonales. La loi de
comportement est invariante par les symétries par rapport aux plans orthogonaux construits à
partir de ces directions. Dans ces matériaux, on peut classer les tôles laminées, les composites
tissés, le bois, certains bétons structurés, ...
   Dans ce cas on montre que la matrice de comportement est définie par 9 paramètres
indépendants. Dans le repère principal d'orthotropie, la loi se met sous la forme:
                  1       − ν12 − ν13                              
                  E                          0        0        0 
                            E1      E1
                  1                                                
                  − ν 21    1     − ν 23
        ε11                                0        0        0   σ11 
                    E2      E2      E2                              
        ε                                                         σ 22 
         22   − ν 31 − ν 32       1
                                              0        0        0         
        ε 33   E
                          E3      E3                              σ 33 
                                                                            
               =
                      3
                                                                   σ             (37)
        2ε12   0
                                              1
                             0       0                 0        0   12 
        2ε 23                             G12                     σ 23 
                                                    1                  
        2ε13 
                0         0       0        0                 0   σ13 
                                                                           
                                                     G 23
                                                                   
                  0                                            1 
                             0       0        0        0
                 
                                                              G13 
   Avec les conditions de symétrie
         ν12 ν 21 ν13 ν31 ν32 ν 23
             =            =        =
         E1    E2     E1    E 3 E3   E2


       III - 2.4 Matériau élastique homogène isotrope transverse
   Un matériau homogène isotrope transverse est tel que la matrice de comportement est
invariante par toute rotation autour d'un axe privilégié. En utilisant cette invariance, on
montre que seuls 5 paramètres indépendants caractérisent le comportement. Si l'axe est porté
par la direction 3, on a alors:
                    1       − ν12     − ν13                            
                    E                              0           0    0 
                               E1       E1
                    1                                                  
                    − ν 21     1      − ν13
          ε11                                    0           0    0  σ11 
                                                                        
          ε   E1            E1       E1
                                                                        σ 22 
            22  − ν 31     − ν 31
                                                                     0        
                                         1
                                                   0           0
          ε 33   E 3
                             E3       E3                               σ 33 
                                                                               
                =                                                      
                                                                         σ 
                                                                                     (38)
          2ε12   0
                                                    1
                                0        0                      0    0  12 
          2ε 23                                 G12                  σ 23 
                                                                             
          2ε13   0                                                0  σ13 
                                                            1
                             0        0          0
                                                                              
                                                           G13
                                                                    1 
                    0          0        0          0           0       
                   
                                                                   G13 
                                                                        



                                                   I.S.I.T.V.
- 24 -                                                                                       Rappel de MMC

  III - 3 Théorème de superposition

  Si ( U, f , F) et (V, g, G ) sont deux jeux de données engendrant respectivement des solutions
u et v , alors α u +β v est solution du problème de données (αU + βV,αf + β g,αF + β G ) .


  III - 4 Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes

  Les critères de résistance que nous allons définir représentent des valeurs limites pour les
contraintes maximales, et permettent de ce fait de garder un caractère élastique aux
déformations.
        III - 4.1 Critère de Tresca
  Il consiste à considérer de manière indépendante les trois contraintes de cisaillement
maximal du tricercle de Mohr. Soit en fonction des contraintes principales
        Sup{σ I −σ II , σ I −σ III , σ II −σ III }≤σ 0                                          (39)


         III - 4.2 Critère de Von-Mises
           1
           2
              (                                              )
              (σ I −σ II ) 2 +(σ I −σ III ) 2 +(σ II −σ III ) 2 ≤σ 0                            (40)

  ou encore
          1
          2
              (                                                                     )
            (σ11 −σ 22 ) 2 +(σ11 −σ 33 ) 2 +(σ 22 −σ33 ) 2 +6(σ12 2 + σ13 2 + σ 232 ) ≤σ 0




  III - 5 Thermoélasticité

  Tout solide soumis à un écart de température cherche à se dilater s’il le peut. S’il ne peut
se dilater, alors il y a apparition de contraintes dites « d’origine thermiques ». Ce phénomène,
pour des écarts de température δT faibles par rapport à la « température de repos se traduit par
une loi de comportement dans le cas général sous la forme:

                              (
         σ(x, t) = C(x) : ε(x, t) − αδT         )                                               (41)

où α représente le tenseur anisotrope des dilatations (en °C-1).
  Pour plus de rigueur, nous invitons le lecteur à se référer au polycopié du cours de
Mécanique des Milieux Continus.
  Dans le cas où le matériau est isotrope la loi se simplifie en :
         σ = λ Tr( ε) 1 + 2 µ ε − α(3λ + 2µ) δT 1                                               (42)
  Et la relation inverse :
                  ν        1+ ν
         ε = − Tr( σ) 1 +       σ + α δT 1                                                      (43)
                  E         E


                                                        I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                 - 25 -



                            THEORIE DES POUTRES

  A partir de ce chapitre, on utilise les hypothèses des petites perturbations, du quasi-
équilibre et de l'élasticité linéaire isotrope.



I - Définitions, hypothèses de Bernouilli

   I - 1 Définition d'une poutre

   On appelle poutre le solide engendré par une surface plane dont le centre de gravité décrit
une courbe γ, la surface S restant normale à cette courbe, avec:
   * La courbe γ est appelée ligne moyenne ou fibre moyenne
   * La surface S est appelée section normale
   * Le rayon de courbure en tout point de γ doit être grand par rapport aux dimensions de S
   * Les dimensions de S sont négligeables devant la longueur de la courbe γ
   * Les variations de forme et de dimension de S doivent être progressives



   I - 2 Notations

   Considérons une poutre rectiligne de section droite constante S0 et de longueur L0 dans la
configuration de référence. A cette configuration de référence on associe le repère orthonormé
direct (O,e1 ,e 2 ,e3 ) , tel que :
   * O est un point d'une section extrémité de la poutre sur la fibre moyenne
   * e1 est le vecteur unitaire porté par l'axe de la poutre
   * e 2 est un vecteur unitaire dans le plan des sections droites, de préférence parallèle à un
axe de symétrie de S (s'il en existe un)
                           →e   2

                                                                         →
                                                                         e1
                                              X1
                           →
                           e3                  S
   On note S(X1) la section droite d'abscisse X1. Dans la configuration déformée, le point
courant de la fibre moyenne déformée est x( X1 ) ,
   * le vecteur unitaire tangent à la déformée de la fibre moyenne


                                            I.S.I.T.V.
- 26 -                                                                            Théorie des poutres

                                                     −1
            t (X1 )=a F(X1 )e1 aveca = F(X1 )e1

   * Le plan P(X1) tangent en x( X1 ) à x(S(X1 )) , défini par le point x( X1 ) et les vecteurs
                                                                    −1
            F(X1 )e3 et E 2 (X1 )=bF(X1 )e 2 avecb= F(X1 )e 2

   * Le vecteur unitaire E 1 (X1 ) normal à P(X1)
   * Le vecteur unitaire E 3 (X1 ) tel que ( x (X1 ),E1 (X1 ),E 2 (X1 ),E 3 (X1 )) soit un repère
orthonormé direct.



                                                                   → (X )
                                                                   E2 1
                                                      S(X 1 )
                                                                         → (X )
                                                                         E1 1

                                                                         →(X )
                                                                         t 1
                                                          → (X )
                                                          E3 1
   On notera u (X)=u (X1 , X 2 , X 3 ) le déplacement de la particule X, et u (X1 ) celui de la
particule située sur la fibre moyenne.

   I - 3 Hypothèse de Bernouilli

   Le caractère linéique de la géométrie des poutres fait qu'on s'attend à ce que les
phénomènes prépondérants soient essentiellement longitudinaux. On ne s'intéressera donc pas
aux déformations de sections droites. On énonce alors les hypothèses de Bernouilli
   (i) Les sections droites restent planes
   (ii) Les sections droites se déforment librement dans leur plan
   (iii) La variation des déformations de la section le long de la poutre est très petite

   Remarques:
   * D'après (i) on peut confondre P(X1) et x(S(X1))


    * Le déplacement de la section droite peut être représenté par un vecteur translation (par
exemple u (X1 ) et par un vecteur rotation (par exemple le vecteur rotation ω (X1 ) du repère
( x (X1 ),E1 (X1 ),E 2 (X1 ),E 3 (X1 )) par rapport au repère (O, e1 , e 2 , e3 ).


   * Le déplacement d'un point courant de la section considérée, dû à la déformation de la
section, est donc de la forme
          v 2 ( X )E 2 ( X1 )+ v 3 ( X )E 3 ( X1 )
   les fonctions v2 et v3 sont nulles en X1, et d'après (iii) leurs dérivées v2,1 et v3,1 petites



                                                      I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                       - 27 -

devant ui , ωi et ui,1 , ωi,1. On peut donc écrire:
           ∀ X ∈ S(X1 ) u(X) = u(X1 ) + ω(X1 ) ∧ X1X + v 2 (X) E 2 (X1 ) + v 3 (X) E 3 (X1 ) (1)
  L'hypothèse des petites perturbations fait que les composantes ui, vi, et ωi sont petites; ceci
implique que E 2 (X1 ) est de la forme e 2 + η , ainsi que E 3 (X1 ).
   Si on explicite (1) dans la base (e1 , e 2 , e3 ) en ne retenant que les termes d'ordre 1, on
obtient:
                          u1 (X1 )+ω 2 (X1 )X 3 −ω3 (X1 )X 2 
                                                             
           ∀X∈S(X1 )u (X)=u 2 (X1 )−ω1 (X1 )X 3 + v 2 (X)                                 (2)
                           u ( X ) +ω ( X ) X + v ( X )      
                           3 1       1   1    2     3        
   On remarque alors, en ne retenant que les termes d'ordre 1:
   - F(X1 ) e 2 et x(X1 ) x(X1 ,1,0) sont égaux et unitaires, donc égaux à E 2
   - F(X1 ) e 3 est unitaire et orthogonal à F(X1 ) e 2
   Par contre,
           (F(X )e )⋅ (F(X )e )≈u
                 1   1     1   2    2,1 (X1 )−ω3 ( X1 ) + ⋯

           (F(X )e )⋅ (F(X )e )≈u
                 1   1     1   3    3,1 ( X1 )+ω 2 ( X1 ) + ⋯

   Donc en général la déformée d'une section droite n'est pas, au second ordre près,
orthogonale à la déformée de la fibre moyenne.



II - Déplacements et forces généralisés
   La géométrie des poutres fait que les sollicitations extérieures peuvent être considérées
comme données
                                                  i    i +1                        0        J
  - soit sur une partie de la surface latérale [ X1 ; X1 ]∈∂S i ∈ {0,...,J} avec X 1 =0 et X1 =L
   - soit sur les sections extrémités
                                  i
   - soit sur des cercles Γi = { X1 }∈∂S


   II - 1 Déplacement généralisé

   Afin de bien distinguer le déplacement du milieu continu de celui de la fibre moyenne, on
note
   u (X1 ,0,0)=u f
   D'après (2), se donner u satisfaisant à l'hypothèse de Bernouilli équivaut à se donner
u p =(u f , ω)
   On appellera uP le déplacement généralisé de la poutre.




                                                 I.S.I.T.V.
- 28 -                                                                                           Théorie des poutres



   II - 2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs

   Soit δu une vitesse virtuelle de déplacement et φ un système de forces extérieures, c'est à
dire le couple ( f , F ) densité volumique de forces et densité surfacique de forces. La puissance
virtuelle des efforts extérieurs s'écrit alors:
          Π ext (δu , φ)=∫∫∫Ω f ⋅ δudx + ∫∫∂Ω F ⋅ δudx
   ou encore
                         J −1x i +1
                                   (                 )
                                                  J −1x i +1 
                                                             
                                                                             J
          Π ext (δu , φ)= ∑ ∫ ∫∫S f ⋅ δu dx dX i + ∑ ∫  ∫ F ⋅ δu dx dX i + ∑ ∫ F ⋅ δu dx
                                                                     
                         i =1 x i                 i =1 x i  ∂S            i =1Γi
            p        f
   Soit δu = (δu ,δω ) une vitesse virtuelle généralisée de la poutre, et associons lui la
vitesse virtuelle de déplacement
                                                δu1   δω1   0  δu1 + δωf2 X 3 − δωf3 X 2 
                                                     f         f                 f

                                                                                            
          δu(X) = δu f (X1 ) + δω(X1 ) ∧ X1X =  δu f2  + δωf2  ∧  X 2  =    δu f2 − δω1 X 3
                                                                                             f
                                                                                                   
                                                δu f   δωf   X              δu 3 + δω1 X 2
                                                                                      f      f     
                                                3  3  3                                     

                                                             (                         )
   et en utilisant la propriété du produit mixte (a ∧ b) ⋅ c = a ⋅ (b ∧ c) , on a finalement
                                       f                  
                              J −1 x i +1
          Π ext ( δu, φ) =    ∑ ∫ δu ⋅  ∫∫S f dx + ∫ F dx  dX1
                              i =1 x i             ∂S     

                         +             
                              J −1 x i +1
                                                                      
                              ∑ ∫ δω⋅  ∫∫S X1X ∧ f dx + ∫ X1X ∧ F dx  dX1                              (3)
                              i =1 x i                  ∂S           
                             J                                            
                         + ∑ δu f (X1 ) ⋅ ∫ F dx + δω(X1 ) ⋅ ∫ X1X ∧ F dx 
                                     i                  i

                           i =1           Γi                 Γi           



   II - 3 Forces généralisées

   En posant
        f f (X1 ) = ∫∫S f dx + ∫ F dx                             Fi = ∫ F dx
                                   ∂S                                 Γi

          c f (X1 ) = ∫∫S X1X ∧ f dx + ∫ X1X ∧ F dx Ci = ∫ X1X ∧ F dx
                                                ∂S                    Γi

   Soit
                                                                                 J
          Π ext (δu , φ)=Π ext (δu p , φ p )=∫0 δu f (X1 ) ⋅ φ f (X1 )dX1 + ∑ δu f (X1 ) ⋅ Φ i
                                              L                                      i
                                                                                                         (4)
                                                                                i =1
                (              )            (        ) (
   avec φp = φf ,Φ1 ,⋯, Φ J etφf = f f ,c f ,Φ i = Fi ,Ci        )
   On appelle φP force généralisée appliquée à la poutre. Cette force est constituée d'une
densité linéique de force généralisée φf répartie le long de la fibre moyenne et de forces
généralisée concentrées Φi.


                                                         I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                 - 29 -


III - Déformation et contraintes généralisées

   III - 1 Déformations généralisées

   D'après (2) en utilisant l'hypothèse des petites perturbations, et en négligeant les dérivées
de v2 et v3,on obtient
              f                                                
             u1,1 + ω2,1X 3 − ω3,1X 2       Sym          Sym 
             1
                 (
          ε=  u f ,1 − ω1,1X 3 − ω3
                   2                    )    v 2, 2       Sym 
                                                                
                                                                                        (5)
             2                                                 

             
                 (
              1 uf + ω X + ω
              2 3,1     1,1 2      2
                                       1
                                       2
                                        )(v 2,3 + v 3,2 ) v 3,3 
                                                                
                                                                
   En introduisant alors les six quantités
         a1 (X1 )=u1,1 (X1 )
                   f
                                         χ1 (X1 )=ω1,1 (X1 )
          a 2 (X1 )=u f ,1 (X1 ) − ω3 (X1 ) χ 2 (X1 )=ω2,1 (X1 )
                      2                                                                (6)
          a 3 (X1 )=u 3,1 (X1 ) + ω 2 (X1 )
                      f
                                              χ 3 (X1 )=ω3,1 (X1 )
   on trouve de manière simple
                                                                     
            a 1 + χ 2 X 3 − χ 3 X 2          Sym               Sym 
             1                                                       
         ε=      (a 2 − χ1X 3 )              v 2, 2            Sym                   (7)
             2                                                       
             1 (a + χ X )
             2 3          1 2
                                        1
                                          (v 2,3 + v 3,2 )      v 3,3 
                                                                      
                                       2                             
   Les six quantités définies par (6) constituent la déformation généralisée de la poutre en la
section S(X1).
   Afin d'interpréter mécaniquement cette définition nous allons étudier successivement les
cas où une seule de ces quantités est non nulle.

Cas1: a1≠0, a2=a3=χ1=χ2=χ3=0
On en déduit
u 2 = 0, u f = 0 et ω = 0
  f
           3

soit                                                                            a1 L
u1(X)=a1X1 et u3(X)=u2(X)=0
La poutre est dans un état d'allongement
pur




                                                       I.S.I.T.V.
- 30 -                                                                       Théorie des poutres



Cas2: a2≠0,a1=a3=χ1=χ2=χ3=0
On en déduit
                                                       →
u 1 = 0,u 3 = 0et ω = 0
  f       f                                            e2
                                                                                      a2 L
u f (X1 ) = a 2 X1 et u 2 (X) = a 2 X1
  2
La poutre est dans un état de glissement
                                                            →
                                                            e1
dans le plan (e1 , e 2 )
Cas3: a3 ≠0, a1=a2=χ1=χ2=χ3=0
La poutre est dans un état de glissement
dans le plan (e1 , e 3 )                 →
                                         e3                                             a3 L


                                                             →
                                                             e1
Cas4: χ1≠0, a1 = a2 = a3 = χ2 = χ3 =0
On en déduit
a i = 0soit u f = 0
                                                   →
etω2 = ω3 = 0,etω1 = χ1X1                          e2
                                                                                        χ1 L
La poutre est dans un état de torsion autour
de son axe
                                                                 →
                                                                 e1
Cas5: χ2≠0, a1=a2=a3=χ1=χ3=0
u1 = u f2 = 0 et ω1 = ω3 = 0
 f


                                  1                  →
                                                     e3
Soit ω2 = χ 2 X1 et u f3 (X1 ) = − χ 2 X1
                                        2

                                  2
                                                                                  1
D ' où u1 (X) = χ 2 X1X 3 ,                                                     - 2 χ2 x 2
                                                                                         1
                        1                                   →
u 2 (X) = 0, u 3 (X) = − χ 2 X1
                              2
                                                            e1
                                                                      χ2 L
                        2
La fibre moyenne se déforme selon une
parabole dans le plan (e1 , e 3 ), la section
droite tournant de χ2X1 autour de e 2 .

Cas6: χ3≠0, a1=a2=a3=χ1=χ2=0
ω1 = ω2 = 0 et par suite u1 (X) = −χ3X1X 2 ,
                                                                         χ3 L
                       1                           →
u3 (X) = 0 et u 2 (X) = χ3X1
                           2
                                                   e2
                       2
                                                                                      1
La fibre moyenne se déforme selon une                                                   χ x2
                                                                                      2 3 1
parabole dans le plan (e1 , e 2 ) , la section
droite tournant de χ3X1 autour de e 3                        →
                                                             e1



                                               I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                      - 31 -


   On en déduit alors la signification des déformées généralisées:
- a1 est l'allongement unitaire de la fibre moyenne
- a2 et a3 sont des glissements dans les plans (e1 , e 2 ) et (e1 , e 3 )
- χ1 est l'angle de torsion autour de l'axe e 1 par unité de longueur
- χ2, χ3 sont les courbures de la fibre moyenne dans les plans (e1 , e 2 ) , (e1 , e 3 )


   III - 2 Puissance Virtuelle des efforts intérieurs

   En tenant compte de la cinématique particulière des poutres, nous allons expliciter
l'équation
          Π int (δε, σ)=− ∫∫∫Ω σ : δεdX                                                     (8)
   où δε désigne une vitesse virtuelle de déformation, et σ l'état de contrainte dans la poutre.
Nous choisirons, bien sûr, δε de la forme
                                                                   
            δa 1 + δχ 2 X 3 − δχ 3 X 2        Sym           Sym 
             1                                                     
        δε=       (δa 2 − δχ1X 3 )           δv 2, 2        Sym                           (9)
             2                                                     
             1 (δa + δχ X )
             2        3      1 2
                                        1
                                          (δv 2,3 + δv 3,2 ) δv 3,3 
                                                                    
                                       2                           
   Pour que les contraintes satisfassent l'hypothèse (ii) de Bernouilli, il est nécessaire que
             σ11 σ12 σ13 
         σ= σ12
                   0      0                                                           (10)
            σ13
                   0      0 
   En portant (9) et (10) dans (8), on trouve finalement
                 ( )
          − Π int δε, σ    = ∫0 [δa 1 ∫∫S σ11dX + δa 2 ∫∫S σ12 dX + δa 3 ∫∫S σ13dX ]dX1
                              L

                           + ∫0 [δχ1 ∫∫S (X 2 σ 31 − X 3 σ 21 )dX ]dX1
                              L
                                                                                           (11)
                           +    L
                               ∫0   [δχ 2 ∫∫S X 3σ11dX − δχ 3 ∫∫S X 2 σ11dX]dX1
   Posons alors
        T1 (X1 ) = ∫∫S σ11dX         M1 (X1 ) = ∫∫S (X 2 σ 31 − X 3 σ 21 )dX
          T2 (X1 ) = ∫∫S σ12 dX M 2 (X1 ) = ∫∫S X 3 σ11dX                                  (12)
          T3 (X1 ) = ∫∫S σ13dX       M 3 (X1 ) = − ∫∫S X 2 σ11dX
   avec ces notation, on obtient plus simplement
                 ( )     L
                              3                               
         − Π int δε, σ =∫0  ∑ (δa i Ti (X1 )+δχ i M i (X1 ) ) dX1
                           i =1                              
   ou encore
          T = ∫∫S σe1dX et       M = ∫∫S X1X ∧ σe1dX                                       (13)




                                                   I.S.I.T.V.
- 32 -                                                                                 Théorie des poutres



   III - 3 Contraintes généralisées, équation d'équilibre

        III - 3.1 Contraintes généralisées
   On définit les contraintes généralisées comme étant la fonction
 s : X1 ∈ [0, L] → s p (X1 ) = T1 (X1 ), T2 (X1 ), T3 (X1 ), M1 (X1 ), M 2 (X1 ), M 3 (X1 ) ∈ ℝ6 (14)
  p




   On appelle T1 l'effort normal, T2 et T3 les efforts tranchants, M1 le moment de
torsion, M2 et M3 les moments de flexion.

   Si on considère la partie de la poutre à gauche de la section S(X1), alors la normale unitaire
sur S(X1) sortante est n = e1 ; la densité surfacique de force exercée par la partie droite de la
poutre sur la partie gauche est σn , c'est à dire le vecteur de composante σ11,σ12,σ13. En
conséquence,

                la contrainte généralisée sP(X1) est constituée des éléments de
                réduction, au centre de la section S(X1), du torseur des forces
              appliquées par la partie droite de la poutre sur la partie gauche!


   Certains états de sollicitation élémentaires sont appelés 'sollicitations simples', ils
correspondent à des cas de chargement fréquemment rencontrés. Leur étude permet par le
théorème de superposition l'étude de cas plus complexes appelés 'sollicitations combinées'.

         T1      T2ou3       M1      M2ou3                       Désignation
         ≠0         0         0         0      Traction ou compression simple
          0        ≠0         0         0      Cisaillement pur
          0         0        ≠0         0      Torsion pure
          0         0         0        ≠0      Flexion pure
          0        ≠0         0        ≠0      Flexion simple
         ≠0         0         0        ≠0      Flexion composée




                                                I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                                                     - 33 -

        III - 3.2 Equation d'équilibre
   Nous allons maintenant appliquer le principe des puissances virtuelles pour déterminer les
équations d'équilibre. Pour toute vitesse virtuelle de déplacement généralisé, on doit avoir
        Πext + Πint = 0
   Nous avons d'après (4)
                       J −1x i +1

                       i =1 x i
                                     (                                 i
                                                                            )         J
          Π ext = ∑ ∫ δu f ⋅ f f (X1 ) + δω ⋅ c f (X1 ) dX1 + ∑ δu f (X1 ) ⋅ F i +δω(X1 ) ⋅ C i
                                                                                      i
                                                                                     i =1
                                                                                          {                              }
   et d'après (13)
                   L                                   
                        3
          Π int =−∫0  ∑ (δa i Ti (X1 )+δχ i M i (X1 ) ) dX1
                     i =1                              
   En utilisant la définition des déformations généralisées (6),
                   L
                          [
         Π int =− ∫0 δu ,f1 ⋅ T(X1 ) − δω3T2 + δω 2 T3 + δω,f1 ⋅ M (X1 ) dX1                         ]
   Soit en remarquant que e1 ∧ T = T2 e 3 − T3 e 2
                    L
                          [
          Π int =− ∫0 δu ,f1 ⋅ T(X1 ) + δω,f1 ⋅ M (X1 ) − δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1                     ]
   On décompose alors l'intégrale en somme d'intégrales comme pour les efforts extérieurs
                       J −1

                       i =1 X1
                                i +1
                                         [
          Π int =− ∑ ∫ Xi1 δu ,f1 ⋅ T(X1 ) + δω,f1 ⋅ M (X1 ) − δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1                        ]
                                                                                            i+                      i
   En effectuant une intégration par partie et en notant X1 la valeur de X1 pris par valeur
supérieur,
          Π int      =
                              J −1
                              ∑∫
                                   X1+1
                                    i
                              i =1 X1
                                     i
                                             [δu   f
                                                       ⋅ T,1 (X1 ) + δωf ⋅ M ,1 (X1 ) + δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1   ]
                              J −1
                                          i +1 −   i+                                      i −         i+ 
                     −        ∑ δu ⋅  T(X1 ) − T(X1 )  + δω
                                       f                       f
                                                                                     ⋅  M (X1+1 ) − M (X1 ) 
                                                                                                            
                              i =1                                                                       
   Soit
          Π int      =
                              J −1
                              ∑∫
                                   X1+1
                                    i
                              i =1 X1
                                     i
                                             [δu   f
                                                       ⋅ T,1 (X1 ) + δωf ⋅ M ,1 (X1 ) + δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1   ]
                                           i+       i−                i+        i − 
                                J 
                     +                                       f 
                              ∑ δu ⋅  T(X1 ) − T(X1 )  + δω ⋅  M (X1 ) − M (X1 ) 
                                       f
                              i =1                                               
   Enfin en application du principe des puissances virtuelles
              J −1
                   X1+1
                  ∑∫i
              i =1 X1
                     i
                              [δu ⋅ (f f     f
                                                         )         (
                                                 + T,1 + δωf ⋅ c f + M ,1 + e1 ∧ T dX1        )]
                                                                                                                         (15)
                               i+       i−                                                      i+         i− 
                J 
          + ∑ δu ⋅  F i + T(X1 ) − T(X1 )  + δωf
                    
                       f
                                                                                ⋅  C i + M ( X1 ) − M ( X1 )   = 0
                                                                                                              
            i =1                                                                                           
   Comme (15) est vérifié pour toute vitesse virtuelle, on obtient pour l'équilibre
          Pourchaqueint ervalle X1 , X1+1
                                 i    i
                                                   ]           [   f f + T,1 = 0                             (a )
                                                                   c + M ,1 + e1 ∧ T = 0
                                                                       f
                                                                                                             ( b)
                                                                                                                        (16)
                                                                              i+         i−
          Pour X1 i = 1, … , J
                i
                                                                   F i + T ( X1 ) − T ( X1 ) = 0             (c )
                                                                               i+          i−
                                                                   C i + M ( X1 ) − M ( X1 ) = 0             (d )



                                                                    I.S.I.T.V.
- 34 -                                                                                  Théorie des poutres


   Remarque importante:
                                  ]         [
   Sur un tronçon de poutre X1 , X1+1 , dans le cas où il n'est pas chargé, on a
                             i    i

          T,1 = 0et M ,1 + e1 ∧ T = 0
   soit en particulier
          dM 2         dM 3
                =T3 et      =− T2
           dX1         dX1


IV - Loi de Comportement élastique linéaire
                                                              σ11 Sym Sym 
   D'après (10), à cause de l'hypothèse (ii) de Bernouilli σ= σ12
                                                                   0  Sym 
                                                                           
                                                              σ13
                                                                   0   0 
   Or, pour un matériau élastique la loi de comportement en fonction du module d'Young E et
du coefficient de poisson est
             ν          1+ν
         ε=− Tr (σ)1+       σ
             E           E
   Soit dans notre cas
                1                   −ν              1+ ν              1+ ν
         ε11 = σ11 ,ε 22 = ε 33 =      σ11 ,ε12 =         σ12 ,ε13 =       σ13 ,ε 23 = 0
                E                    E               E                  E
   D'où
         T1 = ∫∫S σ11 dX = ∫∫S Eε11 dX = ∫∫S E(a 1 + χ 2 X 3 − χ 3 X 2 )dX

          T2 = ∫∫S σ12 dX = ∫∫S
                                   E
                                       ε12 dX = ∫∫S
                                                        E
                                                             (a 2 − χ1X 3 )dX
                                1+ ν                2(1 + ν)

          T3 = ∫∫S σ13 dX = ∫∫S
                                  E
                                       ε13 dX = ∫∫S
                                                        E
                                                             (a 3 + χ1X 2 )dX
                                1+ ν                2(1 + ν)

          M 1 = ∫∫S (X 2 σ 31 − X 3 σ 21 )dX = ∫∫S
                                                      E
                                                   2(1 + ν)
                                                              (                                )
                                                            − a 2 X 3 + a 3 X 2 + χ1 (X 2 + X 3 ) dX
                                                                                        2
                                                                                              2


                                        (                           )
          M 2 = ∫∫S X 3 σ11 dX = ∫∫S E a 1X 3 + χ 2 X 3 − χ 3 X 2 X 3 dX
                                                      2


                                            (                           )
          M 3 = − ∫∫S X 2 σ11 dX = − ∫∫S E a 1X 2 − χ 3 X 2 + χ 2 X 2 X 3 dX
                                                          2

   Pour simplifier les écritures, nous définirons la fibre moyenne telle que
         ∫∫S E(X)OMdX=0
   c'est à dire
          ∫∫ E X2 dX = ∫∫ E X 3 dX = 0
            S                S
   de plus nous choisirons e 2 de telle manière que
         ∫∫ E X2 X3 dX = 0
            S
   Dans ces conditions, nous obtenons




                                                 I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                    - 35 -
          T1 = a 1 ∫∫S EdX
                          E                   E
          T2 = a 2 ∫∫S          dX−χ1 ∫∫S           X 3 dX
                       2(1 + ν)            2(1 + ν)
                          E                   E
          T3 = a 3 ∫∫S          dX+χ1 ∫∫S           X 2 dX
                       2(1 + ν)           2(1 + ν)
                        E
          M1 = ∫∫S           χ1 (X 2 + X 3 )dX
                                   2
                                         2
                    2(1 + ν)
          M 2 = χ 2 ∫∫S EX 3 dX
                           2


          M 3 = χ 3 ∫∫S EX 2 dX
                           2

   Si de plus les caractéristiques ne dépendent pas de l'espace, c'est à dire que l'on peut sortir
E et ν des intégrales, on obtient:
                         a ES          a ES
         T1 =a1 ES,T2 = 2        ,T3 = 3                                                 (17)
                        2(1 + ν)      2(1 + ν)
   et
                   χ1 E
          M1 =            ∫∫S (X 2 + X 3 )dX,M 2 =Eχ 2 ∫∫S X 3 dX,M 3 =Eχ 3 ∫∫S X 2 dX
                                 2     2                     2                    2
                 2(1 + ν)
   ou encore
                  χ1 EI1
          M1=             ,M 2 =Eχ 2 I 2 ,M 3 =Eχ3 I3                                    (18)
                 2(1 + ν)
   où Ii est le moment d'inertie autour de l'axe (O, e i ).




                                                   I.S.I.T.V.
- 36 -                                                                      Sollicitations simples




            ETUDE DE SOLLICITATIONS SIMPLES



I - Traction ou compression

  I - 1 Définition

  On dit qu'une poutre est dans un état de traction (ou compression) quant le torseur des
actions extérieures est de la forme:
         T1 ≠ 0 , T2 = 0 , T3 = 0 , M1 = 0 , M 2 = 0 , M 3 = 0


         f f = f f e1 ,c f = 0,Fi = Fi e1 ,Ci = 0
  Attention: lorsque la longueur est supérieure à environs 8 fois la plus grande dimension
transversale, une poutre sollicitée en compression est calculée au "flambement".

  I - 2 Déformations et contraintes

  De (II-17) et (II-18) on déduit:
        T1 = a 1 E S , a 2 = a3 = 0 et       χ1 = χ 2 = χ 3 = 0                        (1)
  Le tenseur des contraintes qui satisfait l'équilibre est de la forme:
           σ n 0 0 
        σ= 0 0 0
                                                                                     (2)
            0 0 0
                     
  où σn est une valeur constante dans toute la section. On obtient alors pour le tenseur des
déformations:
            σn                      
           E          0          0  
                        σn          
        ε=  0      −ν           0                                                    (3)
                        E           
                                 σn 
            0         0       −ν
                                 E 


  Relation de la contrainte avec l'effort normal
  On sait que
        T1 (X1 )=∫∫S σ11 dX



                                                    I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                         - 37 -

   donc dans notre cas

                 T1
          σn =                                                                                 (4)
                 S



   Allongement de la poutre
   Soit ∆L l'allongement subi par une poutre de longueur L. Par définition
         ∆L=∫γ du1
   Dans le cas présent, le déplacement d'une section droite est une translation d'axe e1 .
              du σ
         ε11 = 1 = n                                                                    (5)
              dX1 E
   Soit
                            σn         T
          ∆L=∫γ ε11dX1 =∫γ     dX1 =∫γ 1 dX1                                                   (6)
                            E          SE
   Si la section de la poutre est constante
               TL
          ∆L= 1                                                                                (7)
               SE


II - Torsion
   Les sections droites de contour quelconque, lorsqu'elles sont sollicitées en torsion, se
gauchissent. Ce phénomène remet en cause l'hypothèse de Bernouilli. Les poutres droites de
section circulaire ne subissent pas de gauchissement.

   II - 1 Définition

   Une poutre est sollicitée en torsion pure si:
        T1 = 0 , T2 = 0 , T3 = 0 , M1 ≠ 0 , M 2 = 0 , M 3 = 0                                  (8)
          f = 0, c = f e1 , F = 0, C = C e1
           f          f        f   i       i     i




   II - 2 Déplacement, contraintes, déformations

   De (8), (II-17) et (II-18) on déduit:
         a1 = 0,a 2 = 0,a 3 = 0,χ1 ≠ 0,χ 2 = 0,χ3 = 0                                          (9)
                           f
   D'après (9), on a u = 0 , la section tourne donc uniformément autour de son axe. χ1 est
l'angle unitaire de torsion.
                                                                           0    σ12   σ13 
   Comme ε11 = a 1 + χ 2 X 3 − χ 3 X 2 = 0 alors σ11        = 0 , soit σ= σ12
                                                                                 0     0 
                                                                          σ13
                                                                                 0     0 


                                               I.S.I.T.V.
- 38 -                                                                                                                   Sollicitations simples

                                                ν
   De la loi de comportement, ε ij = 1+ν σ ij − E σ kk δ ij , on tire:
                                      E
                                                            0                   χ1X3         χ1X 2 
                0           1+ν σ          1+ ν σ                        −
                                                         χ1X3
                              E 12           E 13                                  2            2 
               
            ε= 1+ν σ12
                  E
                                  0             0       = − 2                  0  0 
                1+ν σ13          0             0        χ1X 2                       
                E                                       2
                                                           
                                                                            0       0 
                                                                                       
             e3                                                           Dans le repère (G, e1 , e r , eθ )
                     e
                         θ                                                ∀ M u(M) = −ω1 X3 e2 + ω 1X2 e 3
                             er
                                                                          Or         e r = Cosθ e 2 + Sinθ e 3
                                  e2
             G           θ
                                                                          et         eθ = − Sinθ e 2 + Cosθ e3

                                                                          Soit u (M )=ω1reθ                                             (10)

   Pour déterminer les déformations, nous utilisons la définition des déformations en
coordonnées cylindriques:
                              ∂u1
                              ∂X1
                                        (
                                       1 ∂u1 + ∂u r
                                       2 ∂r     ∂X1
                                                       )        (
                                                             1 1 ∂u1 + ∂u θ
                                                             2 r ∂θ      ∂X1
                                                                                          )     0                0        ( )
                                                                                                                          1 ∂u θ
                                                                                                                          2 ∂X1
                                                                                                                                        

                                                            (                                 )                         (               )
                                                                                                                                      
                                           ∂u r                ∂u r         ∂u                                         1 − u θ + ∂u θ
        ε (G ,e1 ,er ,eθ ) = Sym                                                             = 0                                     
                                                                      uθ
                                                           1 1      − r + ∂rθ                                      0
                                                                    (                 )
                                           ∂r             2 r ∂θ                                                    2    r     ∂r    
                             Sym           Sym                1 ∂u θ + u                      Sym          Sym            0          
                                                               r ∂θ       r
                                                                                                                                     
   Soit, en utilisant (II-6)
                               0 0         r ω1,1 
                                                   0 0                 r χ1 
                                              2                        2 
          ε (G ,e1 ,er ,eθ ) = 0 0          0  = 0 0                 0
                              Sym 0         0  Sym 0                 0
                              
                                               
                                                                       
                                                                         
   et
                                  0 0 τ 
            σ ( G ,e1 ,er ,eθ ) = 0 0 0
                                              avec τ = 2Gε X1θ                      et          G=       E
                                                                                                        2(1+ ν )
                                   τ 0 0
                                        
   G est appelé le module de glissement ou module de Coulomb. En définitive, on peut écrire:
           τ = Grχ1                                                              (11)


    Relation entre la contrainte et les efforts généralisés
           2                                                     χ EI          τI
                             En utilisant (II-18) et (11)   M1 = 1 1 =χ1 G I1 = 1
                                                                2(1 + ν)        r
                       τ
                             Soit
                                 Μ
  3                          τ= 1r                                                                                                          (11)
                                  Ι1
                                       La contrainte de cisaillement est maximale à la périphérie.




                                                            I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                    - 39 -

   Détermination de l'angle de torsion
   χ1 est l'angle unitaire de torsion. Donc, si on note θAB l'angle de torsion entre deux sections
A et B, on obtient:
                                         τ
            θ AB =∫X B χ1dX1 =∫X B
                   X           X
                                            dX1
                       A             A   Gr
   soit
                       XB   M1
            θ AB = ∫             dX1
                     XA     G I1                                                         (12)


   II - 3 Exemple

   Un arbre en acier de longueur L=1m est sollicité en torsion par un couple M=1500 mN.
Sous l'action de ce couple, on désire que l'angle unitaire de torsion reste inférieur à une
valeur limite αL=0.25 °/m et que la contrainte de cisaillement soit inférieure à 120 N/mm2.
On prendra G=8.104 N/mm2 et ρ=7800 kg/m3.
  a) Calculer le diamètre admissible D1 de l'arbre.
   b) On suppose que l'arbre est un tube de diamètre extérieur De=90 mm. Quel doit-être le
diamètre intérieur Di ?
   c) Quelle économie de masse a-t-on réalisée ?
   Réponses:
   a) Pour que la géométrie de l'arbre soit admissible, il est nécessaire de satisfaire deux
critères.
   * Critère de déformation
                                          M                          M
   On veut χ1 < αL soit χ1 =                   ≤ α L ou encore I1 ≥      =43.10 5 mm 4
                                          G I1                      Gα L

                 (           )                     R 4 D1 4
   Or       I1 =∫∫ X 2 + X 3 dX=∫∫ r 2 rdrdθ=2π
                     2
                           2
                                                      =π
                                                    4    32
                                 1
                  32M  4
   Soit           πGα  ≈82mm
              D1≥     
                     L

   * Critère de résistance
                                                             1
              MD1                       16M  3
   On veut τ=                           120π  ≈40mm
                  ≤120N / mm 2 soit D1≥      
              2I1                            
   Pour satisfaire au cahier des charges, l'arbre doit au moins avoir 82 mm de diamètre.

   b) Pour un tube, le moment quadratique est I1 = π
                                                         D 4 − D4
                                                           e    i (
                                                                  .
                                                                        )
                                                             32
   Avec la condition I1<43.105 mm4, on trouve Di=68.3 mm
   c) Il est immédiat de constater que le gain de poids est de environs 20 Kg.



                                                     I.S.I.T.V.
- 40 -                                                                      Sollicitations simples



III - Flexion

  III - 1 Flexion pure

  Une poutre est sollicitée en flexion pure lorsque:
       T1=T2=T3=M1=0 et M2≠0 , M3≠0                                                  (13)
  De (II-17) et (II-18) on déduit:
        a 1 = a 2 = a 3 = 0 et χ 1 = 0, χ 2 ≠ 0, χ 3 ≠ 0,
                         et ε12 = ε13 = 0
  Soit ε 11 = χ 2 X3 − χ 3X 2
                                       σ11         σ12     σ13 
              1+ ν σ − ν σ δ et σ = σ
  Comme ε ij = E ij E kk ij                          0       0 
                                       12                      
                                      σ13
                                                    0       0 
  On obtient:
       σ12 = σ13 = 0etσ11 = Eχ 2 X 3 − Eχ 3 X 2
  Soit, d'après (II-18):
               M         M
         σ 11 = 2 X 3 − 3 X2                                                         (14)
                I2       I3



  III - 2 Flexion pure plane

  Une poutre est sollicitée en flexion pure plane lorsque:
       T1=T2=T3=M1=M2=0 et M3≠0
  D'après les développements du paragraphe précédent:
                 M
        σ11 = − 3 X 2 = − Eχ 2 X 3                                                   (15)
                 I3


  La contrainte est maximale à la périphérie de la poutre.
                                                                    2

                                Zone comprimée σ <0
                                                                    3   1

                                Zone tendue σ>0




                                               I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                    - 41 -

   Déformée de la poutre
   D'après (II-6), on peut écrire:
   a1 = 0       → u 1,1 = 0
                    f
                                          → u 1 = Cste = 0
                                              f

   χ1 = 0       → ω1,1 = 0                → ω1 = Cste = 0
   χ 2 = 0 → ω 2,1 = 0                    → ω 2 = Cste = 0
   a3 = 0       →      f
                     u 3,1    =0          → u 3 = Cste = 0
                                              f

   a2 = 0 →          u f ,1
                       2      = ω3        → u f ,11 = ω3,1 = χ 3
                                              2

   Soit, en utilisant (II-18)
          d2 u f2 M3
              2 =                                                                        (16)
          dX 1 EI 3


   III - 3 Flexion plane simple

   Il s'agit du cas particulier où:
          T1=T3=M1=M2=0 et M3≠0 , T2≠0                                                   (17)
          (ou T1=T2=M1=M3=0 et M2≠0 , T3≠0)
   La poutre n'est soumise qu'à des efforts tranchants et des moments fléchissants.

   * Contrainte normale due au moment fléchissant
   σ11 = E(a 1 + χ 2 X 3 − Eχ 3 X 2 ) = −Eχ 3 X 2 , soit:
                     M3
          σ11 = −       X2                                                               (18)
                     I3
   * Contrainte tangentielle
                                                     2
             A                                             D                A     2 A'
                                                                              S2
                                                           C              B         B'
            B                                                             3      1
                                                           3          1       b

                                                                            S1
                X1                                  X1+dX1
   Considérons un tronçon de poutre, non-chargé, compris entre X1 et X1+dX1.
                                                σ11 σ12 0
   Le problème est plan de telle sorte que σ = σ12
                                                        0 0 .  
                                                0
                                                        0 0    
   Les équation d'équilibre nous donnent σ11,1 + σ12, 2 = 0 , σ12 ,1 = 0 et T,1 = 0
         T1,1 = 0֏ ∫∫ σ11,1dX 2 dX 3 = 0
                        S
            ∫∫ σ11,1dX 2 dX 3 + ∫∫ σ11,1dX 2 dX 3 =0
          S1                         S2




                                                         I.S.I.T.V.
- 42 -                                                                          Sollicitations simples

                                      − M3  
                                      I X 2  dX 2 dX 3 =0
          ∫∫ − σ12, 2 dX 2 dX 3 + ∫∫        
          S1                      S 2   3    ,1
                      T2
          − bσ12 + ∫∫      X 2 dX 2 dX 3 =0
                    S2 I 3

    Soit en définitive,
                  T
           σ12 = 2 ∫∫ X 2 dX 2 dX 3                                                      (19)
                  bI 3 S2
    * Déformée de la fibre moyenne
                                                                             1      y ′′
    Rappel: Pour une courbe d'équation y=f(x), la courbure est définie par     =              .
                                                                             R (1 + y ′)3 / 2
    Donc pour des déformées "petites", c'est-à-dire y'<<1, on obtient 1/R≅y".
    Soit dans notre cas:
           d2uf M3
              2
               2
                 =                                                                       (20)
           dX1     EI 3


    III - 4 Exemples

          III - 4.1 Exemple de flexion pure plane
             F        F           Une poutre droite rectiligne de section constante repose sans
A                            B      frottement sur 2 appuis simples en A et B et supporte une
           C        D               charge concentrée F=1500 N en C et D.
AC=CD=DB=a=0,5 m.
  RA   F      F RB                    a) On cherche à déterminer les réactions aux points où sont
                                  imposées des conditions cinématiques (en A et B). Comme il
A          C        D        B
                                  s'agit d'appuis simples, il ne peut y avoir que des réactions
(pas de couples).
    Pour déterminer les réactions, on applique le principe fondamental de la statique.
    Soit RAX, RAY, RBX, RBY les composantes des réactions en A et B.
          ∑ Forces = 0soit R A + 2F + R B = 0
          R AX   0   0  R BX  0
                                     
          R AY  + − F + − F + R BY  = 0
           0   0   0   0  0
                                     
          ∑ Momentsen A = 0soit AC ∧ F + AD ∧ F + AB ∧ R B = 0
          a   0  2a   0  3a  R BX  0
                                             
          0 ∧ − F +  0  ∧ − F +  0  ∧ R BY  = 0
          0  0   0   0   0   0  0
                                             
    Les équations d'équilibre et la symétrie du problème impliquent: R A = R B = − F



                                               I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                     - 43 -


    b) On cherche les contraintes généralisées dans la poutre.
    On sait que les contraintes généralisées dans une section donnée sont égales au torseur des
actions extérieures à droite de la section, ou encore, à l'inverse du torseur des actions
extérieures à gauche.
    * soit une section G dans le tronçon de poutre AC.
           −T = R A soit T1 = T3 = 0 et T2 = − F
            − M = GA ∧ R A     soit M1 = M 2 = 0 et M 3 = xF
    Le tronçon AC est dans un état de flexion plane simple.
    * soit une section G dans le tronçon de poutre CD.
           − T = R A + Fsoit T1 = T2 = T3 = 0
            − M = GA ∧ R A + GC ∧ Fsoit M1 = M 2 = 0et M 3 = aF
    Le tronçon CD est dans un état de flexion pure.

            III - 4.2 Exemple de flexion plane simple

P=1500N               P=1500N               Une poutre droite rectiligne de section circulaire
                                            constante repose sans frottement sur 2 appuis simples en
        A                              B
                                            A et B. La poutre est constituée d'un matériau de limite
  C                       D
  1m             2m           2m            élastique de 1600 bars. Quel doit être le rayon de cette
                                            poutre ?
    P       RA    P           RB           a) On cherche à déterminer les réactions aux points où
                                     sont imposées des conditions cinématiques (en A et B).
C       A             D            B Comme il s'agit d'appuis simples, il ne peut y avoir que des
réactions (pas de couples).
          ∑ Forces = 0soit R A + 2P + R B = 0
            R A + R B = 2P
            ∑ Momentsen A = 0soit AC ∧ P + AD ∧ P + AB ∧ R B = 0
            P − 2 P + 4R B = 0
    Soit RB=P/4 et RA=7P/4
    b) On cherche les contraintes généralisées dans la poutre.
    On sait que les contraintes généralisées dans une section donnée sont égales au torseur des
actions extérieures à droite de la section , ou encore, à l'inverse du torseur des actions
extérieures à gauche.
    * soit une section G dans le tronçon de poutre CA.
           − M = GC ∧ Psoit M1 = M 2 = 0et M 3 = − xP
    * soit une section G dans le tronçon de poutre AD.



                                                  I.S.I.T.V.
- 44 -                                                                           Sollicitations simples

          − M = GC ∧ P + GA ∧ R A soit M1 = M 2 = 0et M 3 = − Px + 7P( x − 1) / 4
   * soit une section G dans le tronçon de poutre DB.
          M = GB ∧ R B soit M1 = M 2 = 0et M 3 = P(5 − x ) / 4
   Le moment maximal est atteint pour x=1, soit M3max=-1*P.
              M               4M 3                   4M 3
   σ max = Max 3 X 2  = Max
               I                    X 2  d'où R = 3
               3              πR 4
                                                       πσ max


   III - 5 Etude de la déformation des poutres en flexion

        III - 5.1 Méthode de la double intégration
                d2uf M3
   On a vu que
                   2
                    2
                      =      , donc par intégrations successives on obtient:
                 dX1    EI 3
                  M       
         u f = ∫  ∫ 3 dX1 dX1 + C1X1 + C 2
           2      EI                                                               (21)
                     3    
   où C1 et C2 sont des constantes qui seront déterminées par les conditions aux limites.


   Exemple:
                            F=16kN
                            B                                       RA F    RD
                   A              C            D
                                                                        B

                       1m    1m        2m                       A                D
   On cherche à déterminer la déformée de la poutre.
   a) Premièrement on cherche les réactions aux points d'appuis.
         R A + R D + F = 0     R A + R D = F R A = 3F / 4
                                              
         AB ∧ F + AD ∧ R D = 0− F + 4R D = 0R D = F / 4
   b) On détermine maintenant le moment de flexion dans chacun des tronçons de la poutre.
   * Dans le tronçon AB: 0<x<1
   M = −GA ∧ R A soit M 3 = R A X = 3FX / 4 = 12X
   Soit EI 3 u 2 = 2X + C1X + C2
              f        3


   * Dans le tronçon BC: 1<x<2
   M = −GA ∧ R A − GB ∧ Fsoit M 3 = R A X + F(1 − X) = 16 − 4X
   Soit EI 3 u f = −2(X − 4) 3 / 3 + C 3 X + C 4
               2



   c) Pour déterminer les constantes on utilise les conditions aux limites et les conditions de
continuité.




                                                   I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                     - 45 -
          u f    (0) = 0
           2 AB                                C1 = −14
          u f                                  C = 0
           2 AB (1) = u 2 BD (1)
                          f
                                                
           f                         cequidonne 2
          u 2,1 AB (1) = u 2,1 BD (1)          C 3 = 10
                            f

           f                                   C 4 = −40
                                                
          u 2    ( 4) = 0
           BD
   En définitive u f
                   2         (X) = 2X 3 − 14Xet u f
                                                  2           (X) = −2(X − 4) 3 + 10X − 40
                        AB                               BD



         III - 5.2 Fonctions de singularité
   Les fonctions de singularité permettent d'exprimer analytiquement une discontinuité.
   On définit la fonction de singularité d'ordre n:
                                   Sin < 0 f n (X) = ∞lorsqueX = a
                                              f n (X) = 0lorsqueX ≠ a
                          n        
        f n (X) ≡ X − a telleque
                                   Sin ≥ 0 f n (X) = (X − a ) lorsqueX ≥ a
                                                                n

                                   
                                              f n (X) = 0lorsqueX < a
   De la même manière on définit les règles d'intégration suivantes:
                            X
                                      n                n +1
          lorsque n<0       ∫ x−a         dx = X − a
                            −∞
                                                       n +1
                            X                    X−a
                            ∫ (x − a ) dx =
                                      n
          lorsque n≥0
                            −∞                    n +1

   Utilisation pour le calcul des flèches
   Soit q(X) un chargement vertical agissant sur une poutre. En accord avec les notations
utilisées dans ce cours (II-16), on a:
    T2 = − ∫ qdX , et d'après (II-16b) M 3 = − ∫ T2 dX puis en utilisant (16), on détermine la
flèche. Donc, par quatre intégrations successives on détermine la déformée de la poutre.

   Principales fonctions de singularités et leur utilisation

                 q
                        a
                                                                                  −2
                                             X                   q = −M 0 X − a
                                 M0

                 q
                        a                                                       −1
                                                                 q = W0 X − a
                                 W0          X




                                                    I.S.I.T.V.
- 46 -                                                                                                   Sollicitations simples

                 q
                       a
                                                     W0                                      0
                                                                         q = W0 X − a
                                                 X
                 q                  b
                      a                              W0                       w0                 1
                                                                         q=       X−a
                                                 X                            b−a
                 q                  b
                      a                               W0
                                                                                   w0                2
                                                                         q=                  X−a
                                                 X                            (b − a ) 2


  Utilisation dans l'exemple précédent:
  On sait que RA=12kN et RB=4kN.
                           −1                    −1               −1
  D'où q(X) = 12 X              − 16 X − 1            +4 X−4
                                         0                   0                  0
  Par intégration, T2 = −12 X                + 16 X − 1          −4 X−4             + cste
  La constante est nulle car pour X<0 et X>4 il n'y a aucun effort tranchant.
                                                           1                   1                 1
  Par une nouvelle intégration M 3 = 12 X − 16 X − 1 + 4 X − 4 + cste
  La constante est nulle car pour X<0 et X>4 il n'y a aucun effort moment fléchissant.
  Et par la suite:
                                         1                  1                  1
         EI 3 u f ,11 = M 3 = 12 X − 16 X − 1 + 4 X − 4
                2
                                2                2               2
         EI 3 u f ,1 = 6 X
                2                   − 8 X −1         +2 X−4          + C1
                            3                3                       3
         EI 3 u f = 2 X
                2               − 8 X −1 / 3 + 2 X − 4                   / 3 + C1X + C 2
   Pour déterminer les deux constantes, on utilise les conditions aux limites; le déplacement
vertical est nul pour X=0 et X=4. Soit C1=-14kN.m2 et C2=0.


        III - 5.3 Poutres constituant un système hyperstatique
  Jusqu'alors, nous n'avons étudié que des poutres formant des systèmes isostatiques, ou
statiquement déterminés; c'est-à-dire que nous pouvions déterminer les réactions à l'aide des
seules équations du principe fondamental de la statique. Les réactions qui ne peuvent être
calculées par les seules équations d'équilibre détermine le degré d'hyperstaticité d'un système.

              RA                                 P Nous avons dans ce cas, 2 équations d'équilibre et 2
                                                   inconnues RA et MA: le système est isostatique.
MA
             A                               B




                                                           I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                                                             - 47 -
                            RB
               RA                                    P
                                                          Nous avons dans ce cas, 2 équations d'équilibre et 3
MA
                                                          inconnues RA, RB et MA: le système est hyperstatique
              A                B
                                                          de degré 1.
                                    RB                                                  Nous avons dans ce cas, 2 équations
               RA     P                          P    RC
                                                                                        d'équilibre et 5 inconnues RA, RB, RC
MA                                                                             MC et MA, MC: le système est hyper-
              A                B                              C                         statique de degré 3.


   Exemple: Résolution en utilisant les conditions géométriques
                                                                                                                   RC
                                         P                                                     RA          P
                               a                 b
                                                                                MA
                            A           B        C                                            A       B        C


   * Conditions d'équilibre statique:
        RA + RC − P = 0
          M A + (a + b)R C − aP = 0
   * Equation de la déformée
                      −2                     −1                        −1                             −1
   q(X) = −M A X            + RA X                   −P X−a                 + R C X − ( a + b)
                      −1                     0                     0                              0
   T2 (X) = M A X          − RA X                +P X−a                − R C X − (a + b )
                           0                     1                     1                          1
   M 3 (X) = −M A X            + RA X − P X −a                             + R C X − ( a + b)
                                    1                 2                         2                                  2
   EI 3 u f ,1 (X) = − M A X + R A X
          2                                               /2−P X−a                  / 2 + R C X − (a + b )             / 2 + C1
                                2                         3                         3                                  3
   EI 3 u f (X) = − M A X
          2                         /2 + RA X                 /6−P X −a                 / 6 + R C X − (a + b )             / 6 + C1X + C 2


   * Utilisation des conditions aux limites.
   Onsait queu f (0) = u f (a + b) = 0 et u f ,1 (0) = 0
                2        2                   2
   Donc C1=C2=0
           Pb(L2 − b 2 )                Pa 2 (3L − a )
   MA =                    ,R C =                             et R A = P − R C
               2L2                           2L3




                                                                  I.S.I.T.V.
- 48 -                                                                                                                          Sollicitations simples


  Exemple: Résolution en utilisant la méthode de superposition
              P                              P
            a            b
                                                                                      B           C                         A   B     C
          A      B       C                                                A
                                                                                                                                             RC
                                                                          Problème I                                        Problème II

  Problème I:
  L'équilibre nous donne RAI=P et MAI=Pa
                                          −2                         −1                           −1
         q I (X) = − M AI X                    + R AI X                   −P X−a
                     (
         q I (X) = P − a X
                                         −2
                                              + X
                                                           −1
                                                                − X−a
                                                                                  −1
                                                                                          )
         T2 I (X) = P a X(           −1
                                          − X
                                                       0
                                                           + X−a
                                                                              0
                                                                                  )
         M 3I ( X ) = P − a X(            0
                                               + X − X−a
                                                           1                      1
                                                                                      )
                2                    (
         EI 3 u f I,1 (X) = P − a X + X
                                                   1             2
                                                                     /2− X−a
                                                                                                  2
                                                                                                      / 2 + C1     )
         EI 3 u f I (X) = P − a X
                2                (             2
                                                   /2+ X
                                                                     3
                                                                          /6− X −a
                                                                                                      3
                                                                                                          / 6 + C1X + C 2   )
  Et en utilisant les conditions aux limites : u f I (0) = 0et u f I,1 (0) = 0
                                                 2               2

         EI 3 u f I (X) = P − a X
                2                (             2
                                                   /2+ X
                                                                     3
                                                                          /6− X −a
                                                                                                      3
                                                                                                          /6   )
  Flèche en L=a+b
               2                 (
        EI 3 u f I (L) = P − aL2 / 2 + L3 / 6 − b 3 / 6 = Pa 2 (− 3L + a ) / 6        )
  Problème II:
  Il suffit de remplacer P par -RCI et a par L.
         EI 3 u f II (X) = −R C − L X
                2                         (                2
                                                                /2+ X
                                                                                  3
                                                                                      /6      )
  Flèche en L=a+b
        EI 3 u f II (L) = R C L3 / 3
               2



  Superposition des problèmes :
  Comme il y a un appui simple en C, on doit écrire,
      u f I (L) + u f II (L) = 0
        2           2
  Soit
                                                                                          Pa 2
         2R C L3 + Pa 2 (−3L + a ) = 0 et                                 RC =                        (3L − a )
                                                                                          2L3




                                                                          I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                - 49 -



                       METHODES ENERGETIQUES


I - Théorèmes de l'énergie en élasticité linéaire

   I - 1 Notations et définitions

   On note u, ε et σ les solutions du problème général d'élasticité linéaire. Les autres champs
de déplacement seront notés v , ceux de déformations e et ceux de contraintes s .

   a) Champ de déplacements cinématiquement admissible (C.A.):
   Un champ de déplacements v est dit cinématiquement admissible, si il satisfait:
          - les conditions de régularité (continuité et différentiabilité)
          - les conditions aux bords v(X) = U(X)∀X∈∂Ω U
   b) Champ de contraintes statiquement admissible (S.A.):
   Un champ de contraintes s est dit statiquement admissible, si il satisfait aux équations
d'équilibre:
          div(s)+f (X)=0∀X∈Ω
          
                                                                                     (1)
          s ⋅ n =F(X) ∀X∈∂Ω F
          
   c) Energie de déformation élastique:
   On appelle énergie de déformation élastique d'un champ de déformations e :
                                   1
         W (e)=∫∫∫Ω ω(e)dXoù ω(e) = Ce : e                                            (2)
                                   2
   d) Energie complémentaire élastique:
   On appelle énergie complémentaire élastique d'un champ de contraintes s :
                                               −1
                                            1
          W * (s)=∫∫∫Ω ω* (s)dXoùω* (s) =     C s:s                                   (3)
                                            2
   e) Energies potentielles:
   On appelle énergie potentielle élastique d'un champ de déplacements v C.A.:
         ξ( v)= W (Bv) − ∫∫∫Ω f (X) ⋅ v(X)dX − ∫∫∂Ω F(X) ⋅ v(X)dX                     (4)
                                                        F

   où Bv est le champ de déformations dû au champ de déplacement v , c'est-à-dire:
             2
                 (
        B = 1 grad +grad T    )
   On appelle énergie potentielle élastique d'un champ de contraintes s S.A.:
                                      (       )
          ξ* (s)= − W * (s) − ∫∫∂Ω s(X) ⋅ n (X) ⋅ U(X)dX
                                  U
                                                                                      (5)



                                                  I.S.I.T.V.
- 50 -                                                                                          Méthodes énergétiques



   I - 2 Théorème fondamental

   Proposition:
     Pour tout champ de déformations e et tout champ de contraintes s , on a:
      W (e) + W * (s) − ∫∫∫Ω e(X) : s(X)dX≥0                                                               (6)
      et l'égalité n'a lieu que si et seulement si e et s satisfont la loi de comportement
      s = C:e.
   Démonstration:
  C est un opérateur défini positif. Donc,
                                                                               −1
                                                1                  1
∀X ∈ W, ∀s(X) ∈ ℝ 3 ⊗S ℝ 3 Max 3  e′(X) : s(X) − e′(X) : C(X)e′(X) = s(X) : C (X)s(X)
                          e′(X)∈R 3 ⊗S R        2                  2
                                                                       −1
   Comme le maximum est atteint pour e(X) = C (X)s(X) , on peut écrire
                                                                                     −1

∀e(X) ∈ ℝ   3
                ⊗S   ℝ , ∀s(X) ∈ ℝ
                      3              3
                                         ⊗S   ℝ   3 1
                                                    2   e(X) : C(X)e(X) + s(X) : C (X)s(X) − e(X) : s(X) ≥ 0
                                                                             1
                                                                             2

Par intégration, on retrouve donc bien (6).
Il est évident que si la loi de comportement est satisfaite pour e(X) et s(X) , alors nous avons
égalité.


   Théorème fondamental:
      Le triplet (u , ε, σ) est solution du problème d'élasticité linéaire
        u estC.A.
                                                        ∀vC.A.
        σestS.A.
                             (                           )
       ∀X ∈ Ωε = 1 gradu + grad T u sietseulementsi ∀sS.A.
                      2
                                                                                                           (7)
                                                         ξ( v) ≥ ξ(u ) = ξ* (σ) ≥ ξ* (s)
        σ = Cε
   Démonstration:
Soient v C.A. et s S.A.; d'après (6) on a
   W(Bv) + W * ( s ) − ∫∫∫Ω Bv : s dX                   ≥0
Par application du principe des puissances virtuelles et des équations d'équilibre (I-18), on a
   ∫∫∫Ω Bv : s dX         = ∫∫∫Ω f ⋅ v dX + ∫∫∂Ω F F ⋅ v dX + ∫∫∂ΩU s n ⋅ v dX

                          = ∫∫∫Ω f ⋅ v dX + ∫∫∂Ω F F ⋅ v dX + ∫∫∂ΩU s n ⋅ U dX
En reportant dans (6)
   W(Bv) − ∫∫∫Ω f ⋅ v dX − ∫∫∂Ω F F ⋅ v dX                   ≥ − W * ( s ) + ∫∫∂ΩU s n ⋅ U dX
   Soit, en utilisant (4) et (5)
   ξ(v )≥ξ* ( s )



                                                                I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                                              - 51 -


II - Energie de déformation en RDM

   II - 1 Cas général

 Nous sommes dans le cas où ξ(u) = ξ* (σ) ,donc :
   1
   2
                   1
                   2
                                          1                      1
W = ∫∫∫Ω σ : ε dX = ∫∫∫Ω f (X) ⋅ u(X) dX + ∫∫∂ΩF F(X) ⋅ u(X) dX + ∫∫∂ΩU σ(X) ⋅ n(X) ⋅ U(X) dX
                                          2                      2
                                                                                               (                  )
   Soit le cas de l'élasticité linéaire isotrope
            2
                   (
      W = 1 ∫∫∫Ω σ xx ε xx + σ yy ε yy + σ zz ε zz + 2σ xy ε xy + 2σ xz ε xz + 2σ yz ε yz dX        )
       W = ∫∫∫Ω   [ (σ
                   1
                  2E
                         2
                         xx   + σ2 + σ2 −
                                 yy   zz ) (σ ν
                                              E      xy σ xy                          )
                                                               + σ xz σ xz + σ yz σ yz +    1
                                                                                           2G
                                                                                                   (σ   2
                                                                                                        xy   + σ 2 + σ 2 dX
                                                                                                                 xz    yz )]
       W = ∫∫∫Ω  2(1+νEν −2ν ) ε xx + ε yy + ε zz
                
                      )(1
                                (                    )2
                                                               (
                                                          + G ε 2 + ε 2 + ε 2 + 2G ε 2 + ε 2 + ε 2 dX
                                                                xx    yy    zz    )  xy    (
                                                                                           xz    yz 
                                                                                                    
                                                                                                                      )
   et pour les poutres
              1 L 3                  
         W = ∫0  ∑ (a i Ti +χ i M i ) dX1                                                                      (8)
              2 i =1                 
   Mais comme d'après (II-17) et )II-18)
                  a ES           a ES           χ EI
   T1 =a1 ES,T2 = 2        ,T3 = 3        , M1= 1 1 ,M 2 =Eχ 2 I 2 ,M 3 =Eχ3 I3
                 2(1 + ν )      2(1 + ν )      2(1 + ν)
   on obtient
             1 L  2         a2       a3 
                                         2                                    
                                               + E I1 χ1 + I 2 χ 2 + I 3 χ 3  dX1
                                                          2
          W = ∫0 ES a 1 +     2
                                    +                                        2
                                                                                                                 (9)
             2            2(1 + ν) 2(1 + ν)      2(1 + ν)      2           
                                                                           
   ou encore
                1 L  T12 T22 T32 M1 M 2 M 2 
                                                                              (                     )
                                   2
          W=     ∫0     +   +   +   + 2 + 3 dX1 = ∑ Fi ⋅ u i + Ci ⋅ θi                                          (9)
                2  ES GS GS GI1 EI 2 EI 3       i


   Dans le second membre de (9), pour l’exemple et par soucis de simplification, nous ne
présentons que des chargements ponctuels, mais la généralisation ne pose aucun problème.

   II - 2 Cas particulier de la Traction/Compression

   Soit un barreau de longueur L, de section S, soumis à une force F à chaque extrémité.
   On a donc, T1=F et T2=T3=M1=M2=M3=0 et
             1 L T2
         W = ∫0 1 dX1
              2 ES
   Soit dans notre cas
              F2 L
         W=                                                                                                     (10)
              2ES


                                                     I.S.I.T.V.
- 52 -                                                                                   Méthodes énergétiques

   II - 3 Cas particulier de la flexion plane simple

   Soit une poutre droite soumise à des charges transversales, c'est-à-dire T1=T3=M1=M2=0
et T2≠0 , M3≠0
   Dans ce cas
             1 L T2 M2 
          W = ∫0  2 + 3  dX1                                                                     (11)
             2  GS EI 3 
                        
   On peut vérifier que, dans la plupart des cas, l'énergie associée aux contraintes de
cisaillement est négligeable comparativement à l'énergie associée aux contraintes normales.
Soit,
                    2
                  M3
          W =∫0
              L
                        dX1                                                                        (12)
                  2EI 3
   Exemple:

                         P                                                           −1
                                                         P      −1         L
                                                      q=   x         −P x−
                                                         2                 2
                                                                                             0
                                                               P         0           L
                        L                             T2 = −     x           +P x−
                                                               2                     2
                                                                                         1
                                                             P       1           L
                                                      M3 =     x         −P x−
                                                             2                   2
                           P2         L P
                                             2
                                                      P2L
           L 2
          ∫0 T2 dX1            dX1 + ∫L / 2 dX1 =
                        = ∫0 / 2
                           L
                            4               4          4
                              2 2               2
                        L/2 P X            L P                 P 2 L3
         ∫0 M 3 dX1 = ∫0           dX + ∫L / 2    (X − L) dX =
          L   2                                          2
                               4               4                48
   Soit une section circulaire de rayon R : S = πR I 3 = πR / 4
                                                     2       4

              2
           L T2
          ∫0    dX1
                        2(1 + ν)    1     P 2 L EπR 4   48           R
                                                                                     2
             GS       =          ×      ×      ×      × 2 3 =6(1 + ν)  <<1
           L M3
                2          E       πR 2    4      4    P L           L
          ∫0      dX1
             EI 3
   Car R<<L. Donc on peut légitimement négligé l'influence du cisaillement.

   II - 4 Cas particulier de la torsion

   Soit une poutre droite soumise à un moment de torsion, c'est-à-dire T2=T3=T1=M2=M3=0
et M1≠0
   Dans ce cas
                  L    M2
          W=∫           1
                           dX1                                                                     (13)
                  0   2GI1


                                             I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                                         - 53 -

III - Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti
   On considère deux états d'équilibre d'un même système.
                                                                                   I   I
   - L'état d'équilibre I, défini par les champs σ , ε , u I , correspond à des forces volumiques
f I et à des efforts surfaciques F I sur ∂Ω.
                I
           div σ + f I = 0 dans Ω
                  I
              σ ⋅ n = FI                     sur ∂Ω
                                                                                           II   II
   - L'état d'équilibre II, défini par les champs σ , ε , u II , correspond à des forces
volumiques f et à des efforts surfaciques F sur ∂Ω.
                           II                                             II

             II
        div σ + f II = 0 dans Ω
                  II
              σ ⋅ n = FII                    sur ∂Ω

                                                                                                                     I
   Par application du principe des puissances virtuelles, au champ de contraintes σ en
prenant pour champ de déplacement virtuel u II , on obtient:
               I II
         ∫∫∫ σ :ε dΩ = ∫∫∫ f ⋅ u dΩ + ∫∫ F ⋅ u d∂Ω
                             I  II              I   II
                       Ω                           Ω                     ∂Ω
          I       II            I       II   II    I
   Or σ : ε = ε C ε = σ : ε , soit
         ∫∫∫ f ⋅ u dΩ + ∫∫ F ⋅ u d∂Ω = ∫∫∫ f ⋅ u dΩ + ∫∫ F ⋅ u d∂Ω
              II  I            II  I        I   II        I   II
                                                                                                              (14)
                       Ω                          ∂Ω                           Ω                     ∂Ω



                                                                 (            )
   Le travail d'un système de forces f I , F I dans le déplacement produit par le système

               (                    )
de forces f II , F II est égal au travail du système de forces f II , F II dans le déplacement       (    )
produit par le système de forces f , F .                 (   I   I
                                                                     )
   Application:
   P                                              Dans le problème suivant, la flèche est donnée par :
                                                            (2L3 − 3L2 X + X3)
                                                         P
                                                  y=−
                                                       6EI
                  L
              Q
  a                                          Quelle est la flèche, à l'extrémité de la poutre si on applique une
               L                             charge Q à une distance 'a' de cette extrémité?

- Soit (yP)Q la flèche au point d'application de la charge P due à la charge Q.
- Soit (yQ)P la flèche au point d'application de la charge Q due à la charge P.
   Par application du théorème de réciprocité:
         (yP)Q P = (yQ)P Q
   Soit
                                        (2L3 − 3L2a + a 3 )
                                     Q
              (y P ) Q = −
                                    6EI



                                                                         I.S.I.T.V.
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IV - Théorème de Castigliano et applications

   IV - 1 Théorème de Castigliano

   Considérons un système de forces Pi (i=1…n) appliqué à une structure. Ces forces et les
réactions constituent le système I. A chaque point d'application de ces forces, on a un
déplacement (u i )I . D’après (9), l'énergie de déformation est alors
              1
         WI = ∑ Pi ⋅ ui
              2 i
   On cherche la variation de l ‘énergie par rapport à une force donnée ou encore la dérivée
de l’énergie par rapport à une force par exemple Pr . Par définition de la dérivée, on a pour
tout accroissement δPr :
          ∂W
          ∂Pr
                          1
                      θ→0 θ
                                  (
              ⋅ δPr = lim W(Pr + θδPr ) − W(Pr )              )
   Augmentons donc la valeur de Pr , d'une quantité θδPr . On constitue ainsi un système de
forces II. En chaque point d'application des forces on aura alors un déplacement u i + θδu i , et
                  1
           WII = ∑ (Pi + θδPi ) ⋅ (u i + θδu i )
                  2 i
   Par application du théorème de réciprocité, on peut alors écrire
           ∑ (Pi + θδPi ) ⋅ u i = ∑ Pi ⋅ (u i + θδu i )
           i                          i
   Soit
           δPr ⋅ u r = ∑ Pi ⋅ δu i
                        i
   Puis
                             1                                  1
           WII − WI         =  ∑ (Pi + θδPi ) ⋅ (u i + θδu i ) − ∑ Pi ⋅ u i
                             2 i                                2 i
                             1               1
                            = ∑ Pi ⋅ θδu i + ∑ θδPi ⋅ (u i + θδu i )
                             2 i             2 i
                             1             1
                            = θδPr ⋅ u r + θδPr ⋅ (u r + θδu r )
                             2             2
                             1
                            = θ2δPr ⋅ δu r + θδPr ⋅ u r
                             2
   Ou encore
        ∂W               11                         
             ⋅ δPr = lim  θ2δPr ⋅ δu r + θδPr ⋅ u r  = δPr ⋅ u r
         ∂Pr         θ→0 θ 2
                                                    
   Donc avec un abus de notation, on écrira classiquement:
        ∂W
             = ur                                                                       (15)
         ∂Pr
   où ur est la valeur du déplacement compté positivement dans le sens d'application de
la force




                                                       I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                              - 55 -

   En généralisant le développement précédent, on peut énoncer le théorème de Castigliano:
      La projection du déplacement du point d'application d'une force sur la direction
      de cette force est égale à la dérivée partielle de l'énergie de déformation par
      rapport à cette force.
      Le vecteur rotation du point d'application d'un couple quelconque, projeté sur
      l'axe de ce couple, est égal à la dérivée partielle, par rapport au moment de ce
      couple, de l'énergie de déformation.

   IV - 2       Conséquence: Principe du travail minimum ou théorème de
                Ménabréa

   Considérons une poutre hyperstatique reposant sur des appuis invariables.
                                                         R'2
                                                        R'1        MB
                                     Fi      Ci
                                                            B
                             R2


                           MA   A    R1

   Les appuis introduisent 6 inconnues R1, R2, MA, R'1, R'2, MB. Or, il n'y a que 3 équations
d'équilibre; le système est donc 3 fois hyperstatique.
   Rendons la poutre isostatique en supprimant les liaisons surabondantes (par exemple en
A).
                                                           R'2
                                                          R'1      MB
                                        Fi        Ci
                                                             B
                                R2


                           MA   A    R1

   Ce système a la même énergie de déformation que précédemment. Par application du
théorème de Castigliano, comme la section A est encastrée, on obtient:
        ∂W            ∂W            ∂W
             =0 ,          =0 ,           =0
        ∂R1           ∂R 2          ∂M A
   ce qui donne 3 équations linéaires en R1, R2, MA.


      Les valeurs que prennent les réactions hyperstatiques correspondant aux liaisons
      surabondantes rendent stationnaire l'énergie interne.

   C'est le théorème de Ménabréa ou théorème du travail minimum.


                                             I.S.I.T.V.
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    IV - 3 Exemples

       IV - 3.1 Poutre console
 P                   Flèche en A et B?
   L/2       L/2     Rotation en A ?
A          B

    a) La poutre est sollicitée en flexion. Le moment fléchissant est M3=-Px
    D'après (12)
                   L    M2          L P 2 x2      P2 L3
           W=∫           3
                             dx = ∫          dx =
                0      2EI 3       0 2EI
                                           3      6EI 3
    Donc
                ∂W PL3
           uA =   =                      (vers le bas)
                ∂P 3EI 3
    b) Pour déterminer le déplacement du point B, on applique en B une charge fictive Q.
          Pour 0≤x≤L/2 M3=-Px         et pour L/2≤x≤L M3=-Px-Q(x-L/2)
    d'où
                  L3
           W=
                48EI 3
                       (8P 2 + Q2 + 5PQ)
    et finalement
                ∂W                 L3                  5PL3
           uB =                 =        (2Q + 5P) =                  (vers le bas)
                ∂Q       Q= 0     48EI 3          Q =0
                                                       48EI 3


    c) Pour déterminer la rotation de la section A, on applique en A un couple fictif MA.
           Pour 0≤x≤L M3=-Px-MA
    d'où
                        1                      1  P 2 L3              2 
                L
           W = ∫0            (M A + Px)2 dx =            + PM A L + M A L
                                                                  2
                       2EI 3                  2EI 3  3                   
    et finalement
                 ∂W                  PL2
           θA =                    =
                ∂M A      M A =0
                                     2EI 3




                                                         I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                        - 57 -

          IV - 3.2 Treilli de barres
          E          D                                  On considère un treilli de barres articulées.
               4m
                 4           1 kN
                                                        Chaque barre est constituée du même
     4m         6     5            3                    matériau et a la même section.
            A              B               C            On cherche le déplacement du point C.
                1              2
                                               P
                4m             4m

                     2 kN              Q


   Pour ce faire, on applique en C deux charges fictives P et Q (avec P=Q=0)
         Equilibre du point C : cos 45° F3 = Q
                                 sin 45° F3 + F2 = P
          Equilibre du point D : F4 = cos45° F3 + 1
                                 sin 45° F3 + F5 = 0
          Equilibre du point B : F2 = cos45° F6 + F1
                                 sin 45° F6 + F5 = 2
   D'où
F1 = P − 2Q − 2 , F2 = P − Q ,         F3 = Q 2 , F4 = 1 + Q , F5 = −Q , F6 = 2(Q + 2)
   Par application de (10),
                 6
                    F2 L     1 6 2
         W=∑ i i =              ∑ Fi L i
               i =1 2S iE i 2SE i=1
   d'où
          W=
               L
             2SE
                   (F12 + F22 + 2F32 + F42 + F52 + 2F62 )
   *Détermination du déplacement vertical du point C
         ∂W
                 =
         ∂Q P =0 2SE
                     L
                        (−4(P − 2Q − 2) − 2(P − Q) + 4 2Q + 2(1 + Q) + 4Q + 4 2(2 + Q))P =0
            Q= 0                                                                       Q= 0

   Soit
          ∆yC = −
                  L
                 SE
                    (5 + 4 2 )
   *Détermination du déplacement horizontal du point C
               ∂W         L
        ∆xC =          =     (2 (P − 2 Q − 2 ) + 2(P − Q) )P = 0
               ∂P Q = 0 2SE
                   P=0
                                                           Q=0

   Soit
                     2L
          ∆xC = −
                     SE




                                                   I.S.I.T.V.
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         IV - 3.3 Application aux systèmes hyperstatiques
                                            ω



                                                            A               L     B
  La réaction en A est une réaction surabondante.
                     −1
        q(x) = R A x − ω x
                              0


  d'où
                         x2
        M 3 = RA x − ω
                         2
  puis d'après (12)
               L M2          1  2 L3
                                  R           L4 ωL5 
        W = ∫0      3
                       dx =              − ωR A +
                            2EI 3                20 
                                     A
                 2EI 3                 3       4
  Or comme le déplacement vertical du point A est nul
        ∂W      1  2R L − ω L  = 0
                          3      4
            =
       ∂R A 2EI 3              4
                       A
                         3
  d'où
                   3ωL
         RA =
                    8


V - Equation de Bertrand de Fontviolant

  V - 1 Enoncé

  L'équation de Bertrand de Fonviolant est une application directe du principe des puissances
virtuelles. Nous avons vu (14), en considérant deux états d'équilibre d'un même système, que:
               I  II
          ∫∫∫ σ :ε dΩ = ∫∫∫ f ⋅ u dΩ + ∫∫ F ⋅ u d∂Ω
                               I   II           I  II
            Ω                                 Ω                        ∂Ω

  Si le système n'est soumis qu'à J forces ou couples ponctuels
                                      n                          n
                 σ :ε dΩ = ∑ F ⋅ u (x ) + ∑ CIi ⋅ ω II (x1 )
                   I   II
         ∫∫∫
                                                   I   IIi  i
            Ω                                     i         1
                                     i =1                       i =1

  d'où, en développant l'énergie interne, on obtient:
            L  T I T II
               1 1 + T2 T2 + T3 T3 + M1 M 1 + M 2 M 2 + M3 M3  dX1 =
                         I II  I II      I  II    I    II  I  II
                                                                 
          ∫0  ES GS GS GI1                       EI 2    EI 3 
                                                                                                (16)
           n                              n

          ∑F ⋅u   i
                   I    II
                             (x1 ) + ∑ C Ii ⋅ ω II (x1 )
                               i                     i

          i =1                        i=1




                                                                     I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                      - 59 -


     V-2             Application: Evaluation                  des     réactions   hyperstatiques
                     surabondantes

                          ω                                                                     MC
                                                                          ω           RCy
      A
                                                        A
                     I AC L           C
                                                                                  C     RCx

         h   I AB
                                                               RBy
             B
                                                              B     RBx
     Réaction en B: RBx, RBy.
     Réaction en C: MC,RCx, RCy.
     Le système est hyperstatique de degré 2.
           
           R Bx + R Cx = 0
           R By + R Cy − ωL = 0
                                     ωL
                                        2
           
             M C − R By L + R Bx h +      =0
                                     2
     * On défini le système I par le portique isostatique associé (on supprime l'articulation en
B).
                          ω
     A                            C
                                          sur AB M I3 = R Bxy
                                                                      ωx2
                                          sur BC M = RBx h − R By x +
                                                         I
                                                         3
                                                                       2
RBy


         B          RBx


     * On défini le système II par :
A                             C
                                          sur AB M 3 = F1y
                                                         II


                                          sur BC M 3 = F1h − F2 x
                                                   II

F2                                        Le point B ne se déplaçant pas

     B         F1


     En négligeant l'influence des effort tranchant et normal, par application de (16), les points


                                                I.S.I.T.V.
- 60 -                                                                       Méthodes énergétiques

B et C étant fixes, on obtient:
        h M I M II       L M I M II

      ∫0 EI AB     dy + ∫           dx = 0
           3   3             3 3
                         0 EI
                               AC


                 [(R Bx y)(F1y)]dy + ∫0 EI1  RBx h − R By x + ωx  (F1 h − F2x)dx = 0
         h 1                           L                        2
                                                                                  
      ∫0 EI AB                             AC 
                                                                2               
      R Bx F1 h 2
                       1  F R h 2 L − F hR L + F hω L − F R h L + F R L − F ω L  = 0
                                                  2        3             2            3       4
                   +
                     I AC                                                                   8
                             1 Bx        1   By       1         2 Bx           2 By       2
        2I AB                                    2        6             2            3
         I R h       2
                                           L2
                                                    L
                                                     3
                                                                   L 2
                                                                                L3
                                                                                        L
                                                                                        4
      F1  AC Bx + R Bxh L − hRBy             + hω  + F2  − RBx h      + R By     −ω      =0
                                2

          2IAB                            2        6              2          3       8
   Ceci doit être vrai en particulier pour F1=0 ou F2=0, d'où
       3I AC R Bx h2
                     + 6R Bx h2 L − 3hRBy L2 + hωL3 = 0
           IAB
      −12RBx hL2 + 8R ByL3 − 3ωL4 = 0
      
                          I h
   Soit, en posant k = AC
                          IAB L
                   ωL 2
                                             3ωL(k + 1)
      R Bx =                     et R By =
              4h(4k + 3)                      2(4k + 3)



V-3                Application: Détermination des déplacements et rotations
                                                 P
   Si en un point d'abscisse curviligne X 1 , on applique une force ponctuelle unitaire pour le
système I, on obtient:
               L

              ∫ (⋯)dX      = u (X1 )
                              II   P
              0        1
         II        P
   où u (X1 ) est le déplacement du point dans le sens d'application de la force unitaire
   Exemple:
   On cherche, dans le cas d'une poutre console chargée uniformément, les déplacements et
rotations aux point A et B.
                                                      ω



                                       A   L/2         B                C
                                                                  L/2
   Pour le système courant, que nous appellerons le système II, on a:
                    x2
          M 3 = −ω
             II

                    2
   * Flèche en A
   Soit le système I suivant:




                                                     I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                              - 61 -
                                     1


                                A              B          C   .
   Dans ce cas M = −1 × x . D'où:
                    3
                     I

          L MI M   II

        ∫0 EI 3 dX1 = 1× u A
             3     3        II




   soit
                  1 L x3       ωL4
                 EI 3 ∫0 2
          uA =          ω dx =
           II

                               8EI 3


   * Flèche en B
   Soit le système I suivant:
                                               1


                                A              B          C   .
   Dans ce cas M = −1 × x − . D'où: L 1
                    I
                    3               2

               1 L x2               1 L x2                  17ωL4
              EI 3 ∫0 2            EI3 ∫L /2 2
        uB =         ω  x − 2 dx =
                            L 1
                                            ω (x − 2 ) dx =
          II                                       L
                                                            384EI 3


   * Rotation en A
   Soit le système I suivant:
                                1

                                    A          B          C       .
   Dans ce cas M = −1. D'où:
                    I
                    3
                L M I M II        1 L x2       ωL3
        θA = ∫
                                 EI 3 ∫0 2
                           dX1 =        ω dx =
          II        3   3
               0   EI3                         6EI 3


   * Rotation en B
   Soit le système I suivant:
                                           1

                                A              B          C   .
   Dans ce cas M = −1 × x −         L 0
                    I
                    3              . D'où:
                                    2
                  I    II
                LM M             1 L x2          7ωL3
        θB = ∫
                                EI 3 ∫L /2 2
                          dX1 =           ω dx =
          II      3    3
               0  EI 3                           48EI 3




                                           I.S.I.T.V.
- 62 -                                                                                 Flambement




                                       FLAMBEMENT


I - Stabilité d'une poutre en compression

  On étudie le comportement d'une poutre droite soumise à une compression P et une charge
répartie transversale q(x). On se place dans la configuration déformée de la poutre.


                                                  q(x)

                                                                       P
                            P

  D'après (II-16) nous savons que l'équilibre se traduit par:
                                   ]         [
        Pourchaqueint ervalle X1 , X1+1 f f + T,1 = 0
        
                                 i    i
                                                                           (a )
                                          c f + M ,1 + e1 ∧ T = 0         ( b)
                                                     i+         i−
                                                                                        (1)
        Pour X1 i = 1, …, J               F i + T ( X1 ) − T ( X1 ) = 0
                 i
                                                                           (c )
                                                      i+          i−
                                          C i + M (X1 ) − M (X1 ) = 0     (d )
  Or dans le cas présent, pour un tronçon, nous obtenons:
        f f = q( x )e 2 , c f = 0 , C 0 = C1 = 0 , F 0 = − F1 = P                       (2)
  et en considérant la déformée
               1 
                     
         e1 = u f ,1 
                 2
               0 
                     
  soit
         T1,1 = 0
         T = −q ( x )
          2,1
                                                                                       (3)
         M 3,1 + T2 − T1u 2,1 = 0
                           f

         T1 (0) = − P
         
  ou encore
        T1 = − P
        
        T2,1 = −q ( x )                                                                (4)
        M
         3,11 − q ( x ) + Pu 2,11 = 0
                              f


  et enfin en utilisant l'expression du moment fléchissant (III -20)
         M 3 = EI 3 u f ,11
                      2



                                                 I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                                        - 63 -

   on peut conclure que
         EI 3 u f ,1111 + Pu f ,11 = q ( x )
                2            2                                                                                (5)
   Si la charge latérale est nulle, l'équation d'équilibre se traduit par:
                  d 4u f        d 2u f
           EI 3        2
                           +P        2
                                         =0                                                                   (6)
                  dx 4          dx 2

                                               f
   Une solution triviale de (6) est u 2 = 0 , mais dans le cas général on trouve:
           u f ( x ) = c1 + c 2 x + c 3 sin(nx ) + c 4 cos(nx )
             2                                                                                                (7)
   où
                     P
           n=                                                                                                 (8)
                    EI 3
   Pour déterminer les 4 constantes, nous utiliserons les conditions aux limites suivantes:
   * Le déplacement latéral de la fibre moyenne
         u f ( x ) = c1 + c 2 x + c 3 sin(nx ) + c 4 cos(nx )
           2                                                                                              (9a)
   * La pente de la déformée de la fibre moyenne
         u f ,1 ( x ) = c 2 + nc 3 cos(nx ) − nc 4 sin(nx )
           2                                                                                              (9b)
   * Le moment fléchissant
                        M (x )
         u f ,11 ( x ) = 3
           2                   = − n 2 c 3 sin(nx ) − n 2 c 4 cos(nx )                                    (9c)
                         EI 3
   * L'effort tranchant (en utilisant (3))
          T2 ( x )     M 3,1 ( x ) Pu f ,1
                                      2
                   =−             −
           EI 3           EI 3      EI 3
                   = −u 2,111 − n u 2,1
                        f         2 f                                                                         (9d)
                         = n 3 c 3 cos(nx ) − n 3 c 4 sin(nx ) − n 2 (c 2 + nc 3 cos(nx ) − nc 4 sin(nx ) )
                         = −n 2 c 2



II - Etude de quelques cas simples

   II-1 Colonne Rotule-Rotule

   Nous considérons une poutre rectiligne ayant une rotule à chacune de ses extrémités. Nous
recherchons alors la charge critique de flambement que peut supporter cette poutre.




                                                        I.S.I.T.V.
- 64 -                                                                                          Flambement

                                                      L


                                                                                            P



   En chaque rotule le déplacement latéral et le moment sont nuls. Donc, si on élimine la
                    f
solution triviale u 2 = 0 , l'équilibre se traduit par une déformée de type (7) avec pour
conditions aux limites:
         u f (0) = c1 + c 4 = 0
            2
         
         M 3 (0) / EI 3 = − n 2 c 4 = 0
          f
         u 2 (L) = c1 + c 2 L + c 3 sin(nL) + c 4 cos(nL) = 0
         M (L) / EI = − n 2 c sin(nL) − n 2 c cos(nL) = 0
          3           3           3               4

   soit,
             c1 = 0
             c = 0
              2
             
             c 3 sin( nL) = 0
             c 4 = 0
             
   si on élimine la solution triviale, on obtient un équilibre pour nL=Nπ. C'est-à-dire, en
utilisant (8), pour chaque compression telle que:
                ( Nπ) 2 EI 3
           P=                                                                                   (10)
                    L2
   et la déformée est telle que:
                               Nπx 
          u f ( x ) = c 3 sin 
            2                                                                                  (11)
                               L 
   On remarquera que le déplacement latéral est indéterminé!
   En conclusion:
                              π 2 EI 3
   * Pour P < Pcr =                       l'équilibre est stable la poutre ne flambe pas.
                                L2


                              π 2 EI 3
   * Pour P = Pcr =                       la poutre flambe
                               L2
                              4π 2 EI 3
   * Pour Pcr < P <                        l'équilibre est instable
                                 L2


                    4π 2 EI 3
   * Pour P =                     la poutre flambe
                         L2
   *       ... etc ...


                                                          I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                      - 65 -



   II-2 Colonne Encastrée-Libre

   Nous considérons une poutre rectiligne encastrée à l'une de ses extrémités. Nous
recherchons alors la charge critique de flambement que peut supporter cette poutre.

                                            L




                                                                    P


    A l'encastrement, le déplacement latéral est nul, ainsi que la pente et l'effort tranchant. A
                                                                                            f
l'extrémité, la poutre est libre de tout moment. Donc, si on élimine la solution triviale u 2 = 0 ,
l'équilibre se traduit par une déformée de type (7) avec pour conditions aux limites:
          u f (0) = c1 + c 4 = 0
              2
           f
           u 2,1 (0) = c 2 + nc 3 = 0
          
          T2 / EI 3 = − n c 2 = 0
                             2

          M (L) / EI = − n 2 c sin(nL) − n 2 c cos(nL) = 0
           3             3         3          4

   soit,
           c1 = −c 4
           c = 0
            2
           
           c 3 = 0
           c 4 cos(nL) = 0
           
                                                                                     π
   si on élimine la solution triviale, on obtient un équilibre pour nL = (2 N − 1)     .
                                                                                     2
   La charge critique est donc atteinte pour:
               π 2 EI 3
         Pcr =                                                                             (12)
               ( 2 L) 2
   et la déformée est telle que:
                                 πx  
          u f ( x ) = c1 1 − cos  
            2                                                                            (13)
                                 2L  



   II-3 Colonne Encastrée-Rotule

   Nous considérons une poutre rectiligne encastrée à l'une de ses extrémités, dont l'autre
extrémité est astreinte à reste dans l'axe. Nous recherchons alors la charge critique de


                                                I.S.I.T.V.
- 66 -                                                                              Flambement

flambement que peut supporter cette poutre.

                                      L


                                                                         P


   A l'encastrement, le déplacement latéral et la pente sont nuls. A l'extrémité, la poutre est
libre de tout moment et ne peut se déplacer latéralement. Donc, si on élimine la solution
           f
triviale u 2 = 0 , l'équilibre se traduit par une déformée de type (7) avec pour conditions aux
limites:
           u f (0) = c1 + c 4 = 0
              2
            f
           u 2,1 (0) = c 2 + nc 3 = 0
            f
           u 2 (L) = c1 + c 2 L + c 3 sin(nL) + c 4 cos(nL)
           M (L) / EI = − n 2 c sin(nL) − n 2 c cos(nL) = 0
            3            3         3                4

   soit,
           c1 = c 3 tg (nL)
           c = −c n
            2        3
           
           c 3 (tg (nL) − nL ) = 0
           c 4 = −c 3 tg (nL)
           
   si on élimine la solution triviale, on obtient un équilibre pour nL=1,43π.
   La charge critique est donc atteinte pour:
                π 2 EI 3
         Pcr =                                                                       (14)
               (0,7 L) 2
   et la déformée est telle que:
                            1,43πx               1,43πx  x 
          u f ( x ) = c 4  cos
            2                        − 0,223 sin          + − 1
                                                                                    (15)
                            L                    L  L 



III - Généralisation: Formule d'Euler

   Historiquement, on appelle "formule d'Euler" la charge critique d'une poutre Rotule-
Rotule.
                   π 2 EI 3
           Pcr =
                     L2
   Pour l'appliquer aux différentes combinaisons possibles d'appuis, on définit la charge
critique comme étant:



                                              I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                              - 67 -

                   π 2 EI 3
          Pcr =
                   (KL) 2
   où L représente la longueur de la poutre et KL la longueur d'une colonne Rotule-Rotule
équivalente.
               P                                                P                 P                     P




                                     P
                                                                    L/4
                                                                                      L/2
                                             0,7L
                         L                                          L/2
   L
                                                                                      L/2
                                            0,3L                    L/4




       K=1                    K=2                K=0,7                    K=0,5                 K=1
  Rotule-rotule          Encastrée-libre    Encastrée-rotule Encastrée - encastrée          Encastrée


   Pour déterminer le facteur K on peut effectuer les développements mathématiques, ou bien
utiliser des arguments de symétrie.
   Par exemple, dans le schéma ci-après on représente en noir la poutre étudiée, et en gris la
symétrie utilisée pour retrouver la colonne rotule-rotule.

                                           L/2
                         L                                                                  L


                                           L/2              L                L


                          L                                                                 L
                                           L/2



                   K=2                           K=0,5                            K=1


                                                   I.S.I.T.V.
- 68 -                                                                                    Flambement



   Autre écriture:
                π 2 EI 3      π 2 ES
         Pcr =            =                                                               (16)
                (KL) 2  KL  2
                                  
                             r 
                                   I
   où S est la section et r = 3 est le rayon de giration de la section.
                                   S
   KL
        est appelé le coefficient d'élancement de la colonne.
    r
   La contrainte critique correspondante est alors
                 P         π2E
         σ cr = cr =             2
                                                                                          (17)
                  S       KL 
                              
                          r 



IV - Exemple
   On cherche la charge maximale que peut supporter la structure ci-après. Ce système est
constitué de deux colonnes (poutre en I) encastrée à leur base, supportant une poutre supposée
infiniment rigide.
                              P                                  P


                                                                     Direction
      Poutre rigide                                                  arrière

                      Direction
                      latérale                                                       y
                                                                                          z


 L                                                                               Iz = 9,18 10 6 mm4
                                                                                 Iy = 4,88 10 6 mm4
                                                                                 S = 2960 mm2
                                                                                 E = 200 Gpa
                                                                                 σe = 200 Mpa
                                                                                 L=4m


   Comme l'indiquent les courbes pointillées, on peut identifier deux mécanismes de
flambement, l'un dans la direction latérale et l'autre dans la direction arrière.




                                              I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                 - 69 -

   * Flambement vers l'arrière
   On se trouve dans la configuration d'une poutre encastrée-libre, donc K=2 et le coefficient
d'élancement de la colonne dans la direction arrière est
         KL KL          2x 4 10 3
             =       =             = 143,6
         rz      Iz      9,18 10 6

                      S              2960


   * Flambement latéral
   On se trouve dans la configuration d'une poutre encastrée, donc K=1 et le coefficient
d'élancement de la colonne dans la direction latérale est
    KL    KL        4 10 3
        =     =              = 98,5
     ry    Iy      4,88 10 6

             S              2960


   * Charge maximale
   Le coefficient d'élancement ayant une valeur maximale pour le flambement vers l'avant, il
s'agit du cas le plus défavorable. On peut alors déterminer la charge critique supportée par une
colonne:
                    π 2 ES          π 2 x 200 109 x 2960 10 −6
           Pcr =            2
                                =                                   = 283343 N
                    KL                     143,6 2
                       
                    r 
   Comme chaque colonne supporte la moitié de la charge totale appliquée, on peut conclure
que
           Pmax= 566,5 kN




                                                       I.S.I.T.V.
- 70 -                                                                            Charges limites




                     COMPORTEMENT AU DELA DU
                        DOMAINE ELASTIQUE
                         CHARGES LIMITES

  (Chapitre en cours de rédaction .... Approche de l'analyse limite par l'exemple)


I - Introduction

  I-1 Critères de défaillance


  - Critères cinématiques : Définis par le cahier des charges
  - Critères de résistance :
     *Rupture statique brusque (comportement élastique fragile
     * Excès de déformation plastique
     * Rupture par fatigue
     * Fluage
     * Ecroulement
     * ... etc ...



  I-2 Comportement du matériau

     σ                                                   σ
                                                    σe




                               ε                                                 ε

  Comportement réel                                 Comportement élastique-plastique parfait




                                           I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                    - 71 -


II - Analyse limite en traction

    II-1 Analyse élastique

                                                     Ce système est hyperstatique de degré 1.
    B      45°             C   45°          D        En appliquant le Principe Fondamental de la
                                                 Statique pour traduire l'équilibre du point A, on
                                                 obtient :
                                                  TAB           T
                                                       + TAC + AD − F = 0
                                                  2               2
                   A                              T         TAD
                                                 −   AB
                                                           +     =0
                                                 
                                                      2       2
                           F

                                     Pour résoudre ce système hyperstatique, on écrit la compa-
B                      C
                                   tibilité des déplacements en A.
                                              ∆L AC
                                    ∆L AB =
                                                 2
                       A
                                     avec
                           ²L AB            TAB L 2                     TAC L
                                   ∆L AB =               et   ∆L AC =
              ²L AC                            ES                        ES
                                     soit en définitive:
                                             F
                                   TAB = 2 + 2
                                   
                                             2F
                                   TAC =
                                   
                                          2+ 2


    La contrainte normale dans chaque barre est constante (état de traction pure). Le premier
barreau qui atteindra la limite d'élasticité est le barreau AC. On peut alors déterminer la
charge limite d'élasticité Fe, ou encore la charge pour laquelle apparaît de la plasticité:
         TAC
               = σe
           S
   soit
                         1 
         Fe = Sσ e 1 +                                                                  (2)
                          2
    et le déplacement correspondant
                    σ L
           ∆L ACe = e                                                                     (3)
                     E




                                                I.S.I.T.V.
- 72 -                                                                                         Charges limites



   II-2 Analyse élastique-plastique

                                                            Pour une charge F>Fe le barreau AC est
  B         45°                     45°           D     entièrement plastifié et ne peut supporter de
                                                        charge supplémentaire. L'effort normal dans le
                       S σe                             barreau AC est donc constant et égal à Sσe.
                                                            En appliquant le Principe Fondamental de la
                                                        Statique pour traduire l'équilibre du point A
                  A
                                                        (isostatique), on obtient :
                          F                              TAB           T
                                                              + Sσ e + AD − F = 0
                                                         2                2
                                                         T        TAD
                                                        − AB +          =0
                                                        
                                                             2       2
   soit,
           TAB = TAC =
                              1
                                  (F − Sσ e )                                                      (4)
                              2
   Lorsque le barreau AB (ou AD) atteint la limite d'élasticité, alors les trois barreaux sont
plastifiés et la structure n'est plus en état de déformation limitée (mécanisme de ruine).
   On peut déterminer la force limite pour laquelle on atteint ce mécanisme de ruine:
                                   T
   On cherche la force Fl telle que AB = σ e . Soit:
                                     S
                  (
        Fl = Sσ e 1 + 2       )                                                       (5)
   et le déplacement correspondant
                              2σ e L
          ∆L ACl = 2∆L AB =                                                                        (6)
                                E


                   F

                  Fl

                  Fe
                                                                             Fl
                                                                                = 1, 41
                                                                             Fe

                                                                                      ∆ L AC

                                                σ eL                2 σe L
                                                 E                    E
   Au-delà du comportement élastique, la structure dispose d'une "réserve" de 41% avant de
rompre !


                                                       I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                                  - 73 -


                            1
                                             TAC
                            1                Sσ e
                            2
                                                                         TAB                 F
                                                                         Sσ e               Sσ e
                                                                                1         1+ 2
                                                                         1+
                                                                                 2
   Attention: Le déplacement n'est plus proportionnel à la charge appliquée. Le principe de
superposition des contraintes ne peut plus être utilisé.



   II-3 Décharge

   On se place juste avant la charge ultime. Les barreaux AB et AD sont élastiques. Le
barreau AC, par contre, est plastifié et a subi un allongement permanent. A la décharge, le
comportement des trois barreaux est élastique. La barre AC sera comprimée et les barres AB
et AD tendues.
   Pour trouver les efforts normaux résiduels, on remplace F par -Fl dans (1) pour obtenir le
retour élastique, puis on superpose avec (4)
          
          TABr = Sσ e − Sσ e
                               1+ 2  (       )
                                             
                                      = Sσ e  1 −
                                                   1 
                                                     
                              2+ 2                2
          
          T
             ACr = Sσ e − 2Sσ e
                                1+ 2     (       )
                                       = Sσ e 1 − 2           (          )
                                                                                                        (7)

          
                               2+ 2



                                1
                                                     TAC
                                 1                   Sσ e
                                 2
                                1                                                                 F
                       1−                                                     TAB
                                                                                                 Sσ e
                                 2                                            Sσ e
                                                                                     1
                                                                              1+           1+ 2
                                                                                      2
                           1− 2




                                                            I.S.I.T.V.
- 74 -                                                                                  Charges limites



III - Analyse limite à la torsion

  III-1 Généralités


          τ              On a vu que pour un cylindre soumis à de la torsion pure :
                                    M
                         τ = Grχ1 = 1 r
                                     I1



         σe                 Cas1: On augmente le couple de torsion de telle sorte que les
                            fibres extérieures atteignent la limite d'élasticité σe.
                                             πR 4
                            Comme I1 =            , nous obtenons donc le moment limite
                                              2
                            élastique
                                                 πR 3
                                        M1e =         σe                                        (8)
                                                  2
                            et
                                                 M1        Lσ e
                                        θe = ∫       dX1 =                                      (9)
                                                 GI1       GR
         σe                 Cas2: On augmente le couple de torsion. La déformation
                            augmente, donc l'angle de torsion augmente, mais la contrainte
                            ne peut dépasser la valeur limite σe.




         σe                 Cas3: La limite d'élasticité est atteinte dans toute la section du
                            cylindre. Toutes les fibres supportent donc une contrainte σe et
                            rien ne s'oppose à la rotation de la section. Le couple limite est
                            alors:
                                        M1L = ∫∫ (X 2 σ13 − X 3 σ 21 )dX 2 dX 3
                                            = ∫∫ (r cos θσ e cos θ − r sin θ(− sin θ) )rdθdr
                                           = 2πσ e ∫0 r 2 dr
                                                    R

                                              2              4
                                        M1L = πσ e R 3 = M1e                                   (10)
                                              3              3

  Il existe donc une réserve de 33% avant l'écoulement de la section ne soit complet.


                                             I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                    - 75 -


     III-2 Exemple



                        MB

                                                             Soit un cylindre plein de longueur L
                                              C
                                                           encastré aux deux extrémités. on lui
                         B                                 applique, à un tiers de sa longueur, un
          A                            2L/3                couple de torsion MB.
                  L/3

     * Analyse élastique
          MA + MC = MB
     et
              θ AC = θ AB + θ BC = 0
                 2
          M A = 3 M B
     Soit 
                  1
          M C = M B
                 3
     A la limite du comportement élastique, la section A commence à plastifier. Soit MA=M1e
et
                      3      3πR 3
              M Be   = M1e =       σe
                      2        4
     * Analyse limite
     Le seul mécanisme de ruine possible est lorsque les deux sections en A et C on atteint la
valeur limite. Soit:
                                   4
              M A = M C = M1L =      M1e
                                   3
     et
                8
              M BL =
                  M1e
                3
     MBL/MBe=1,78
     Donc, à partir de l'apparition de la plasticité, on dispose encore d'une réserve de 78% avant
la ruine complète de la structure.




                                              I.S.I.T.V.
- 76 -                                                                                    Charges limites



IV - Analyse limite à la flexion

     IV-1 Généralités
                           2
                                                    Dans le cas de la flexion plane, la contrainte varie
 h                                            linéairement avec l'épaisseur,
                                         1             M
                                              σ11 = − 3 X 2
                                                       I3
                                          ainsi, bien sur, que la déformation axiale
                     σe                      σ
                                       ε11 = 11 = −χ 3 X 2
                                               E
     Le moment maximum est atteint lorsque les fibres extrémales subissent une contrainte σe.
Soit:
                       I3
            M 3e = ± σ e                                                                     (11)
                        h
     w=I3/h est appelé le module de flexion.
     Si on dépasse le moment M3e alors les fibres inférieures et supérieures plastifient. Lorsque
toute la section est plastifiée, on dit que l'on a une rotule plastique.




                                    σe                                         σe
     Dans ce cas:
           M 3L = − ∫∫ X 2 σ11dX 2 dX 3 = −σ e ∫∫ X 2 dX 2 dX 3
                      S                         S

     soit
            M 3 L = 2σ e S X                                                                 (12)
     où SX est le moment statique de la moitié de la section droite par rapport à l'axe X3.
     Plus généralement, on peut écrire
           M 3L = KM 3e
     où K est le facteur de forme de la section (dépendant uniquement de la géométrie).
            Section rectangulaire pleine K=1,5
            Section circulaire pleine K=1,7
            Section en I K=1,1 à 1,2




                                                    I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                                      - 77 -


    IV-2 Exemple: Méthode "pas à pas"

                 F
                                                                             On étudie une poutre sur trois appuis
                                                                           supportant une charge F et on cherche le
                D
A                                B                                 C       mécanisme de ruine et la charge limite.



    * Etude élastique
                 F
    RA
                                             RB               RC             R A − F + R B + R C = 0
                                                                             
                                                                             − L F + LR + 2LR = 0
                                                                              2
                                                                             
                                                                                         B        C



                                 −1                     −1                   −1
           q(x ) = R A x                 −F x −L/2           + RB x − L
                                         1              1                    1
           M 3 (x) = R A x                   − F x − L/2 + RB x − L

           EI 3 u f ,1 ( x ) =
                  2
                            1
                            2
                                     [
                                     2             2           2
                              R A x − F x − L / 2 + R B x − L + C1                        ]
                  2
                           1
                           6
                                 [ 3             3           3
           EI 3 u f ( x ) = R A x − F x − L / 2 + R B x − L + 3C1 x + C 2                       ]
    Pour déterminer les constantes et l'inconnue hyperstatique, on utilise les conditions aux
limites:
           u f (0) = u f (L) = u f (2L) = 0
             2         2         2
    et on obtient
               13F           22F          3F            3FL2
           RA =      , RB =      , RC = −     , C1 = −         , C2 = 0
                32            32          32              32
    En observant le graphe du moment fléchissant ci-après, on constate que le maximum est
atteint dans la section D.
                      M3                                13FL
                                                         64
                                                                    B                      C     x
                                 A                  D
                                                                     -3FL
                                                                       32




                                                              I.S.I.T.V.
- 78 -                                                                                   Charges limites


     * Premier Pas:
     On augmente la charge F jusqu'à ce que la section D plastifie entièrement. Dans ce cas on
a:
                     13
           ML =         F1L
                     64
     soit la charge
                   64 M L
             F1 =
                   13 L
     Pour cette charge le moment fléchissant dans la section B est :
                           6
             M 3 ( L) = − M L
                          13


     * Deuxième Pas:
              ²F                                                 On augmente alors la charge F1 de ∆F.
                              R'B            R'C            En décomposant le problème, on se
                                                            trouve maintenant dans le cas d'une étude
            Rotule
            plastique                                       élastique avec une rotule dans la section
                                                            D.


     Les équations d'équilibre nous donnent les réactions isostatiques;
                    3             1
            R ′B = − ∆F , R ′ = ∆F
                              C
                    2             2
     et le diagramme des moments fléchissants
                       M3

                                                    B                        C     x
                          A           D

                                                           -² FL
                                                             2
     Donc, par superposition avec le problème précédent, on constate que la section B plastifie
ensuite lorsque M3(L)=-ML, c'est-à-dire:
             6      1
          − M L − ∆FL = − M L
            13      2
   ou encore pour un accroissement de charge
               14 M L
          ∆F =
               13 L
   Lorsque les section D et B sont plastifiées, la structure s'effondre. On a atteint alors la
charge limite
                              ML
           FL = F1 + ∆F = 6
                              L


                                              I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                        - 79 -

   La flèche dans la section D est
                              23 F1L3 ∆FL3    5 M L L2
          u f (L / 2) =
            2                         +     =
                             1536 EI 3 8EI 3 24 EI 3



   IV-3 Théorème énergétique

   D'après le principe des travaux virtuels, la somme du travail des efforts extérieurs et de
l'énergie interne est nulle. Si on se place dans le cas d'une structure soumise en flexion à un
état limite (mécanisme de ruine) alors seules les rotules plastiques contribuent à l'énergie
élastique.
   Soit une structure soumise à N forces d'intensité Pi (1≤i≤N) et présentant un mécanisme de
ruine à M rotules plastiques. On note θj (1≤j≤M) la rotation d'une rotule plastique et δi le
déplacement au point d'application d'une force.
   On peut alors écrire:
             N           M
             ∑ Pi δi = ∑ M jθ j
          i =1           j=1



   Exemple d'application:
            ω                                  Le mécanisme de ruine apparaît lorsque les trois
                                            sections A,B et C plastifient entièrement. Dans ce cas la
                                            déformée est telle que:
                     B                         Travail des forces extérieures
  A                                   C           L               L/2              L/2           L2
                     L                      We = ∫ ωu f ( x )dx = 2 ∫ ωxtgθdx ≈ 2 ∫ ωxθdx = θω
                                                      2
                                                  0                   0             0             4
                     B                        Travail des forces intérieures
                 θ             θ            − Wi = M A θ A + M B θ B + M C θ C = − M A θ + 2M B θ + M C θ
  A                                2θ C
                                              Or           à     l'état         limite     on         a
M A = −M L , M B = M L              , M C = M L , donc
              L2
          θω      − 4M L θ = 0
              4
   et la charge limite est donc:
                    ML
          ω L = 16 2
                     L




                                                   I.S.I.T.V.
- 80 -                                                                                            Charges limites


 Vérification par la méthode pas à pas:
  RA                                       Le système est hyperstatique. Par symétrie on
                                  RB
                 ω                      a naturellement:
MA                                 MB                ωL
                                        RA = RB =
                                                      2
                                        M A = −M B
  Afin de déterminer l'inconnue hyperstatique nous cherchons la déformée:
                            −2               −1               0
         q ( x ) = −M A x        + RA x           −ω x
                                 0           ω1    2
         M 3 ( x ) = −M A x          + RA x     x −
                                             2
                                      R      ω
        EI 3 u f ,1 ( x ) = − M A x + A x 2 − x 3
               2
                                       2     6
                             M         R       ω 4
        EI 3 u f ( x ) = − A x 2 + A x 3 −
               2                                  x
                              2          6     24
                                    f
  La condition de symétrie u 2,1 (L / 2) = 0 nous amène à
                 ωL2
         MA =
                 12
  et
                     ω              2
                                   2
         M 3 (x) = −     x − L  − L 
                                 
                      2 
                              2    12 
                                        
   M3               ωL  2
                                                                   En considérant le comportement élastique
                     24                                        jusqu'à la rotule plastique, les premières
         A                               C                     sections   à   plastifier   sont   les   sections
                        B                             x        extrémités A et C, pour une charge ωe telle
                                                               que :
  ωL2
-                                                 ωL      2
                                                                M 3 (0) = M 3 (L) = M L
  12                                          -
                                                  12               soit
                12M L
         ωe =
                 L2
  La flèche maximale est
              ω L4     M L2
        δe = e      = L
             384EI 3 32EI 3
  Dans une deuxième étape, on se place dans le cas où la poutre est soumise à une charge
répartie, et du fait des rotules plastiques aux extrémités, soumise à 2 couples sur les sections
extrêmes en appui simple.




                                                          I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                               - 81 -

                     ω                             Ce système est isostatique. Le moment
ML                                        ML fléchissant est:
                                                                  ωL    ωx 2
                                               M 3 ( x ) = −M L +    x−
                                                                   2     2
       A                              C
                                                 Le maximum est naturellement atteint dans la
section milieu B:
                           ωL2 ωL2 ωL2
                                −
           M 3 ( L / 2) = − M L +      =     − ML
                             4      8     8
   On aura un mécanisme de ruine quand M3(L/2)=ML, soit
              16M L
        ωL =
                L2


                             16M L    ω
                               L2
                             12 M L
                               L2



                                                                     δ
                                          M L L2      M L L2    M L L2
                                          32EI 3      24EI 3    12EI 3




                                             I.S.I.T.V.
- 82 -                                                                        Bibliographie




                             BIBLIOGRAPHIE

*    "Mécanique des solides avancée: Théorie des poutres"
     Cours ESIM 1991, O. Débordes


*    "Rappels de résistance des matériaux"
     Cours ESIM 1989, O. Débordes


*    "Mécanique des Milieux Continus"
     Cours ESIM 1984, Equipe IMST Marseille


*    "Résistance des matériaux I II III"
     Cours ESIM , C. Nouveau


*    "Mécanique des structure: Poutres"
     Cours Sup'Aéro 1987, S. Laroze


*    "Mécanique des Milieux Continus"
     ed. Masson 1990, G. Duvaut


*    "Introduction à la Mécanique des Milieux Continus"
     ed. Masson 1995, P. Germain - P. Muller


*    "Mécanique des Milieux Continus"
     ed. ellipse 1988, J. Salençon


*    "Résistance des matériaux"
     ed. de l'école polytechnique de Montréal 1993, A. Bazergui, T. Bui-Quoc,A. Biron, G.
     McIntyre, C. Laberge


*    "Résistance des matériaux" Tomes 1,2,3
     ed. Dunod 1976, A. Giet, L. Géminard


*    " Mécanique des Milieux Continus"
     ed. Dunos 1997, J. Coirier



                                           I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                - 83 -




                           I.S.I.T.V.
- 84 -                                                                                          Annexe




                        ANNEXE
               FORMULES ESSENTIELLES EN
             MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS


1. Coordonnées cartésiennes orthonormées

   OM = xe x + ye y + ze z
  * Soit v = v x e x + v y e y + v z e z un vecteur, alors
                                      ∂v x     ∂v x      ∂v x 
                                      ∂x        ∂y        ∂z 
                    ∂v i               ∂v       ∂v y      ∂v y 
   grad ( v) = ∇v =      e i ⊗ e j =  ∂xy       ∂y        ∂z 
                                                                    et
                    ∂x j             
                                      ∂vz      ∂v z      ∂v z 
                                      ∂x
                                                ∂y        ∂z 
               ∂v i                    ∂v   ∂v y ∂v z
      divv =        = Tr (grad ( v) ) = x +     +
               ∂x i                     ∂x   ∂y   ∂z
                             ∂ 2 vi
   ∆v = div(grad ( v) ) =             e i = ∆v x e x + ∆v y e y + ∆v z e z
                            ∂x j ∂x j
  * Soit f une fonction scalaire, alors
                                    ∂f 
                      ∂f            ∂x 
                                    ∂f                                    ∂ 2f      ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
  grad (f ) = ∇f =         e i =  ∂y  et        ∆f = div(grad (f ) ) =           = 2 + 2 + 2
                      ∂x i          ∂f                                 ∂x j∂x j ∂x        ∂y  ∂z
                                    ∂z 
                                    
                                 Txx Txy Txz 
  * Soit T = Tij e i ⊗ e j = Tyx Tyy Tyz  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:
                                  Tzx Tzy Tzz 
                                              
                         ∂Txx + ∂Txy + ∂Txz 
                         ∂x          ∂y    ∂z                                      ∆Txx ∆Txy ∆Txz 
             ∂Tij        ∂Tyx ∂Tyy ∂Tyz                      ∂ 2 Tij                               
  div(T) =        e i =  ∂x + ∂y + ∂z  et ∆T =                         e i ⊗ e j = ∆Tyx ∆Tyy ∆Tyz 
             ∂x j        ∂T                                 ∂x k ∂x k
                                     ∂Tzy  ∂Tzz                                      ∆Tzx ∆Tzy ∆Tzz 
                         ∂x  zx
                                  + ∂y + ∂z                                                         
                                               




                                                       I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                              - 85 -


2. Coordonnées cylindriques
                         ∂ OM           1 ∂ OM         ∂ OM
   OM = re r + ze z et           = er ,         = eθ ,      = ez
                           ∂r           r ∂θ             ∂z
   d(OM) = e r dr + rdθe θ + e z dz
   ∂e r              ∂e θ                 ∂e z
        =0 ,               =0        ,         =0
    ∂r                ∂r                   ∂r
   ∂e r              ∂e θ                 ∂e r
        = eθ ,             = −e r ,            =0
    ∂θ                ∂θ                  ∂θ
   ∂e r              ∂e θ                 ∂e z
        =0 ,               =0        ,         =0
    ∂z                ∂z                   ∂z
   * Soit v = v r e r + v θ e θ + v z e z un vecteur, alors
                     ∂v r        1   (
                                      ∂v r
                                            − vθ   )   ∂v r 
                     ∂∂r
                                      (            )
                                  r   ∂θ                ∂z 
                       v              ∂vθ              ∂v θ
   grad ( v) = ∇v =  ∂rθ         1
                                  r    ∂θ
                                            + vr        ∂z
                                                                   et
                     ∂v z             1   ∂v z        ∂v z 
                     ∂r
                                       r ∂θ            ∂z 
                              ∂v r v r 1 ∂v θ ∂v z
      divv = Tr (grad ( v) ) =      +    +      +
                                ∂r    r r ∂θ      ∂z
                                   2 ∂v   vr            2 ∂v vθ 
   ∆v = div(grad ( v) ) =  ∆v r − 2 θ + 2 e r +  ∆v θ + 2 r − 2 e r + ∆v z e z
                                  r ∂θ r               r ∂θ r 


   * Soit f une fonction scalaire, alors
                 ∂f                                                 ∂ 2f         1 ∂f 1 ∂ 2 f ∂ 2 f
   grad (f ) =   ∂r
                              ∂f
                      e r + 1 ∂θ e θ + ∂f e z et
                                       ∂z
                                                          ∆f =               +       +        +
                            r
                                                                    ∂r 2         r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2

                               Trr Trθ Trz 
   * Soit T = Tij e i ⊗ e j = Tθr Tθθ Tθz  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:
                               Tzr Tzθ Tzz 
                                            
             ∂Trr     ∂Trθ    ∂Trz   Trr −Tθθ 
                   +1        + ∂z + r
             ∂∂r r ∂∂θ
             Tθr 1 Tθθ ∂Tθz 2Trθ             
   div(T) =  ∂r + r ∂θ + ∂z + r 
             ∂Tzr 1 ∂Tzθ ∂Tzz Tzr 
             ∂r + r ∂θ + ∂z + r
                                              
                                               



3. Coordonnées sphériques
                  ∂ OM        1 ∂ OM          1 ∂ OM
   OM = re r et        = er ,        = eθ ,           = eϕ
                    ∂r        r ∂θ          rsin θ ∂ϕ
   d (OM ) = e r dr + rdθe θ + e ϕ r sin θdϕ




                                                                I.S.I.T.V.
- 86 -                                                                                                    Annexe

  ∂e r                   ∂e θ                 ∂e ϕ
       =0             ,       =0          ,        =0
   ∂r                     ∂r                   ∂r
  ∂e r                   ∂e θ                 ∂e ϕ
       = eθ           ,       = −e r      ,        =0
   ∂θ                     ∂θ                   ∂θ
  ∂e r                   ∂e θ                 ∂e ϕ
       = sin θe ϕ ,           = cos θe ϕ ,         = sin θe r − cos θe θ
   ∂ϕ                    ∂ϕ                   ∂ϕ
  * Soit v = v r e r + vθe θ + v ϕ eϕ un vecteur, alors
                  ∂vr
                  ∂r
                             1   (
                                 ∂v r
                                 ∂θ
                                      − vθ   )            (
                                                         1 1 ∂v r − v
                                                         r sin θ ∂ϕ       ϕ  )        
                                                                                      
                                 (           )        (                          )
                             r
                  ∂v            ∂v θ                         ∂v θ                    
     grad ( v) =  ∂rθ       1
                             r    ∂θ
                                      + vr           1 1
                                                     r sin θ ∂ϕ
                                                                   − cot gθv ϕ
                                                                                       et
                  ∂vϕ           1 ∂v ϕ          1  1 ∂v ϕ + cot gθv + v            
                  ∂r             r ∂θ           r  sin θ ∂ϕ
                                                                         θ    r     
                                                                                     
                 
                                     ∂v r        1 ∂v θ   1 ∂v ϕ         v
     divv = Tr (grad( v) ) =
                                            v
                                          +2 r +        +        + cot gθ θ
                                      ∂r     r r ∂θ r sin θ ∂ϕ            r
                  2           1 ∂ ( vθ sin θ) 1 ∂vϕ  
          ∆v r − r 2  v r + sin θ ∂θ + sin θ ∂ϕ 
                                                         
                  2  ∂v r                cos θ ∂vϕ       
     ∆v = ∆vθ + 2  − 2 − 2       vθ
                                                           
                  r  ∂θ 2 sin θ sin θ ∂ϕ 
                                                           
          ∆vϕ + 2 2  ∂v r +cot gθ ∂vθ − ϕ  
                                                   v
                              ∂ϕ                       
                                             ∂ϕ 2 sin θ  
                  r sin θ 


  * Soit f une fonction scalaire, alors
              ∂f 
              1∂∂f r
                                                 ∂ 2 f 2 ∂f 1 ∂ 2 f      1      ∂f    1      ∂ 2f
  grad(f ) =  r ∂θ               et     ∆f = 2 +          +           + cot gθ + 2
              1 ∂f                             ∂r    r ∂r r 2 ∂θ 2 r 2        ∂θ r sin 2 θ ∂ϕ 2
              r sin θ ∂ϕ 
                                Trr Trθ Trϕ 
  * Soit T = Tij e i ⊗ e j =  Tθr Tθθ Tθϕ  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:
                               Tϕr Tϕθ Tϕϕ 
                                             
                                      ∂Trϕ
                                          + 1 (2T −T −T +T cot gθ )
              ∂Trr       ∂Trθ
                    +1        + 1
             ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r rr θθ ϕϕ rθ                        
             ∂Tθr 1 ∂Tθθ           1 ∂Tθϕ + 1 [(T −T ) cot gθ + 3T ]
  div(T) =  ∂r + r ∂θ + r sin θ ∂ϕ r θθ ϕϕ                        rθ 
             ∂Tϕr 1 ∂Tϕθ                                             
             ∂r + r ∂θ + r sin θ ∂ϕ + 1 [2Tθϕ cot gθ + 3Trϕ ] 
                                    1 ∂Tϕϕ
                                              r                      


4.          Comment retrouver les formules en coordonnées
            cylindriques
                                                                                             ∂ 1 ∂ ∂
  On note V = v r e r + v θ e θ + v z e z = v i e i avec i=r, θ, z et , i =                    ,    ,
                                                                                             ∂r r ∂θ ∂z
                                      eθ              e
  Donc, avec cette convention e r ,θ =    et e θ,θ = − r
                                       r               r
  Chercher le gradient d'un tenseur consiste à augmenter l'ordre de ce tenseur, soit



                                                                I.S.I.T.V.
Résistance des Matériaux                                                                                          - 87 -
           grad(**) = (* *), j ⊗ e j
   Si on applique cette remarque à un vecteur, on obtient:
         grad(V) = (v i e i ), j ⊗ e j

   En n'oubliant pas de dériver les vecteurs de base car nous sommes dans un système de
coordonnées cylindrique,
        grad (V) = (v i ei ), j ⊗ e j = v i, j ei ⊗ e j + v i e i, j ⊗ e j = v i, j e i ⊗ e j + v i e i,θ ⊗ e θ
                   = v i , j e i ⊗ e j + v r e r ,θ ⊗ e θ + v θ e θ,θ ⊗ e θ
                                         v                  v
                   = v i, j ei ⊗ e j + r e θ ⊗ eθ − θ e r ⊗ e θ
                                          r                  r
  Pour obtenir l'opérateur divergence, il suffit de prendre la trace du gradient,
        div(**) = Tr (grad(**))
   soit dans le cas d'un vecteur:
                           (            )
                                     v r ∂v r 1 ∂v θ ∂v z v r
                                        =
           div(V) = Tr grad (V) = v i,i +
                                      r
                                               +
                                           ∂r r ∂θ
                                                       +
                                                          ∂z
                                                              +
                                                                 r
   Appliquons maintenant cette méthodologie à un tenseur d'ordre 2.
                           (
           grad (T) = Tij e i ⊗ e j         ),k ⊗ e k
                         = Tij,k e i ⊗ e j ⊗ e k + Tij e i,k ⊗ e j ⊗ e k + Tij e i ⊗ e j,k ⊗ e k
                    = Tij,k e i ⊗ e j ⊗ e k + Tij e i,θ ⊗ e j ⊗ e θ + Tij e i ⊗ e j,θ ⊗ e θ
                                              Trj                    Tθj
                    = Tij,k e i ⊗ e j ⊗ e k +      eθ ⊗ e j ⊗ eθ −         e r ⊗ e j ⊗ eθ
                                               r                        r
                        T                      T
                      + ir e i ⊗ e θ ⊗ e θ − iθ e i ⊗ e r ⊗ e θ
                         r                       r
   Pour obtenir la trace de ce tenseur d'ordre 3 on contracte les deux derniers indices:
                () (                )          T
                                                  r
                                                           T
         div T = Tr grad (T) = Tij, j ei + rθ e θ − θθ e r + ir e i
                                                             r
                                                                       T
                                                                         r
                                       ∂Trr 1 ∂Trθ ∂Trz Tθθ Trr 
                                   =        +           +        −        +      e r
                                       ∂r     r ∂θ           ∂z      r         r 
                                       ∂T     1 ∂Tθθ ∂Tθz Trθ Tθr 
                                   +  θr +              +         +        +      e θ
                                       ∂r     r ∂θ            ∂z      r         r 
                                       ∂T     1 ∂Tzθ ∂Tzz Tzr 
                                   +  zr +              +         +       e z
                                       ∂r     r ∂θ           ∂z      r 
   On peut donc maintenant retrouver l'opérateur Laplacien d'un vecteur :
        ∆v = div(gradv )
                                                                v                 v 
                                                      v r ,θ − θ          v θ ,θ + r 
                             v r ,θ      v θ,θ                                                 v i ,r
                                               er + 
                                                                  r 
                                                                      eθ − 
                                                                                      r 
             = v i, jj e i +        eθ −                                                  er +        ei
                               r           r                  r                    r            r
                            2 ∂v        vr                    2 ∂v     vθ 
             =  ∆v r − 2 θ − 2 e r +  ∆v θ + 2 r − 2 e θ + (∆v θ )e z
                           r ∂θ r                            r ∂θ r 




                                                        I.S.I.T.V.

				
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posted:1/29/2013
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