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Cours de Mathematiques
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Entiers naturels, denombrements
Sommaire
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Entiers naturels, d´nombrements
Sommaire
I Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.1 L’ensemble N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 e
Raisonnement par r´currence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 e
Relation d’ordre et diff´rence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.5 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.6 e
Pratique du raisonnement par r´currence . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II.1 Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II.2 ee
Propri´t´s des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
e
III D´nombrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III.1 Applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III.2 Arrangements et combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
o
III.3 Binˆme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
e
IV Ensembles d´nombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
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e e
Tous droits de l’auteur des œuvres r´serv´s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
e
individuelle et priv´e sont interdites.
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Cours de Mathematiques
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Entiers naturels, denombrements
Partie I : Entiers naturels
I Entiers naturels
I.1 L’ensemble N
e e e
Conform´ment au programme des classes pr´paratoires, l’ensemble IN est suppos´ connu, ainsi
que ses propri´t´s (op´rations + et ×, relation d’ordre).
ee e
e a
Cependant, en voici une pr´sentation minimale (ou presque) ` partir de laquelle on pourrait
ee
retrouver toutes ses propri´t´s.
ee e
On admet l’existence d’un ensemble IN, dont les ´l´ments sont appel´s entiers naturels, tel que :
a. Successeur d’un entier naturel
Il existe une application s : IN → IN, appel´e succession.
e
e
L’image par s d’un entier naturel n est appel´e le successeur de n.
b. Entier 0
ee e e e
Il existe un ´l´ment de IN, not´ 0, qui n’a pas d’ant´c´dent par s.
On note 1 le successeur de 0, 2 celui de 1, 3 celui de 2, etc.
On note IN∗ = IN − {0} : c’est l’ensemble des entiers naturels non nuls.
e e
c. Pr´d´cesseur d’un entier naturel non nul
L’application s est une bijection de IN sur IN − {0}.
Tout n de IN∗ est donc le successeur d’un unique m de IN, appel´ le pr´d´cesseur de n.
e e e
e
d. Axiome de r´currence
Soit A une partie de IN telle que : 0 ∈ A et ∀ n ∈ IN, n ∈ A ⇒ s(n) ∈ A. Alors A = IN.
ee
Autrement dit, si une partie A de IN contient 0 et le successeur de chacun de ses ´l´ments,
e a
alors cette partie A est ´gale ` IN tout entier.
e e
Tout cela permet par exemple de d´finir une addition sur IN, de la mani`re suivante :
∀ (m, n) ∈ IN2 , m + 0 = m, m + s(n) = s(m + n)
On constate que : ∀ m ∈ IN, s(m) = m + 1 (poser n = 0 dans la d´finition pr´c´dente).
e e e
Pour tout n de IN∗ , on note n − 1 le pr´d´cesseur de n. Ainsi m = n − 1 ⇔ n = m + 1 . . .
e e
e e
L’axiome de r´currence s’´crit maintenant :
Soit A une partie de IN, contenant 0.
On suppose que : ∀ n ∈ A, n + 1 ∈ A. Alors A = IN.
I.2 e
Raisonnement par r´currence
Soit P un pr´dicat, de r´f´rentiel IN.
e ee
Rappelons qu’on ´crit P(n) pour dire “P(n) est vraie”.
e
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Partie I : Entiers naturels
e
R´currence simple (ou faible)
On suppose P(0) et, pour tout entier n, P(n) ⇒ P(n + 1).
Alors, pour tout entier n, P(n).
Voici donc comment montrer qu’une propri´t´ P(n) est vraie pour tous les entiers naturels :
ee
e a ee e
– On v´rifie que l’entier 0 satisfait ` la propri´t´ : c’est le pas initial de la r´currence.
– On se donne ensuite un entier n, pour lequel on suppose que P(n) est vraie.
e e
C’est l’hypoth`se de r´currence.
– On d´montre alors que P(n + 1) est vraie (c’est le “passage du rang n au rang n + 1”).
e
On exprime l’implication P(n) ⇒ P(n + 1) en disant que la propri´t´ P est h´r´ditaire.
ee e e
c e ee
– On conclut en annon¸ant que, par r´currence, la propri´t´ est vraie pour tout entier n.
I.3 Somme et produit
e e e e e
Toutes les op´rations sur IN peuvent ˆtre d´finies par r´currence (on l’a d´ja vu pour l’addition).
ee e e e e
Leurs propri´t´s peuvent ˆtre ´tablies de la mˆme mani`re.
Addition
La loi + est associative : ∀ (m, n, p) ∈ IN3 , m + (n + p) = (m + n) + p.
La loi + est commutative : ∀ (m, n) ∈ IN2 , m + n = n + m.
0 est ´l´ment neutre : ∀ n ∈ IN, n + 0 = n (cette propri´t´ d´coule de la d´finition).
ee ee e e
Tout ´l´ment de IN est r´gulier : ∀ (m, n, p) ∈ IN3 , m + p = n + p ⇒ m = n.
ee e
∀ (m, n) ∈ IN2 , m + n = 0 ⇔ m = n = 0.
Multiplication
e
On d´finit un produit sur IN, en posant :
∀ (m, n) ∈ IN2 , m0 = 0, m(n + 1) = mn + m
e e
Une r´currence montre que mn est d´fini pour tout couple (m, n).
e e ee
Toujours par r´currence, on peut alors v´rifier les propri´t´s suivantes :
La loi × est distributive par rapport ` la loi + :
a
∀ (m, n, p) ∈ IN3 , m(n + p) = mp + mp.
La loi × est associative : ∀ (m, n, p) ∈ IN3 , m(np) = (mn)p.
La loi × est commutative : ∀ (m, n) ∈ IN2 , mn = nm.
Tout ´l´ment de IN∗ est r´gulier : ∀ (m, n) ∈ IN2 , ∀ p ∈ IN∗ , mp = np ⇒ m = n.
ee e
1 est ´l´ment neutre : ∀ n ∈ IN, n1 = n.
ee
Factorielle
On d´finit n! (factorielle n) par 0! = 1, et ∀ n ∈ IN∗ , n! = n (n − 1)!
e
n
Autrement dit : ∀ n ∈ IN∗ , n! = k.
k=1
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Entiers naturels, denombrements
Partie I : Entiers naturels
Exponentiation
On d´finit la notation mn : ∀ (m, n) ∈ IN2 , m0 = 1, mn+1 = mn m.
e
ee e
On montre alors les propri´t´s suivantes par r´currence :
3 n p n+p n p
∀ (m, n, p) ∈ IN : m m = m , (m ) = mnp , (mn)p = mp np .
∀ n ∈ IN, n1 = n, 1n = 1.
∀ n ∈ IN∗ , 0n = 0 (mais par convention 00 = 1).
Remarques
mn = 1 ⇔ m = n = 1.
mn = 0 ⇔ (m = 0) ou (n = 0).
I.4 e
Relation d’ordre et diff´rence
e
D´finition
On pose : ∀ (m, n) ∈ IN2 , m ≤ n ⇔ ∃ p ∈ IN, m + p = n.
Les notations n ≥ m et m ≤ n sont bien sˆr ´quivalentes.
u e
On note m < n pour ´crire : (m ≤ n) et (m = n).
e
2
Soit (m, n) dans IN . On pose : [[m, n]] = {p ∈ IN, m ≤ p ≤ n}.
e e
Propri´t´s
– ≤ d´finit une relation d’ordre total sur IN.
e
– ∀ (m, n) ∈ IN2 : m < n ⇔ m + 1 ≤ n ⇔ m ≤ n − 1.
– 0 est le minimum de IN.
e ee
– Toute partie non vide de IN poss`de un plus petit ´l´ment.
e e ee
– Toute partie major´e non vide de IN poss`de un plus grand ´l´ment.
– La relation ≤ est compatible avec les op´rations + et ×, ce qui signifie :
e
∀ (m, n, p) ∈ IN : m ≤ n ⇒ (m + p ≤ n + p) et (mp ≤ np)
Soustraction
e e
L’existence de la relation d’ordre et de l’addition sur IN permettent de d´finir la diff´rence
p = n − m de deux entiers naturels n et m.
Cette “op´ration” n’est pas partout d´finie sur IN (l’entier p n’existe que si m ≤ n).
e e
Soit (m, n) un couple d’entiers naturels, tels que m ≤ n. L’entier p tel que m + p = n (unique
par r´gularit´) est appel´ diff´rence de n et de m, et on note p = n − m.
e e e e
e e ee e e e
Cette notation g´n´ralise celle qui a ´t´ utilis´e au d´but de ce chapitre pour d´finir le
pr´d´cesseur m = n − 1 d’un entier naturel non nul n.
e e
e e
Propri´t´s
e e e e
On a (entre autres) les ´galit´s suivantes, sous r´serve que les diff´rences existent dans IN :
∀ (m, n, p) ∈ IN3 , (m − n) − p = m − (n + p). Cette quantit´ est not´e m − n − p.
e e
3
∀ (m, n, p) ∈ IN , (m − n) + p = m − (n − p). Cette quantit´ est not´e m − n + p.
e e
3
∀ (m, n, p) ∈ IN , (m + n) − p = m + (n − p). Cette quantit´ est not´e m + n − p.
e e
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e e
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Entiers naturels, denombrements
Partie I : Entiers naturels
I.5 Division euclidienne
e
D´finition
On dit que n divise m (ou que m est un multiple de n) si : ∃ q ∈ IN, m = nq.
On note alors n | m. On d´finit ainsi une relation d’ordre partiel sur IN.
e
Pour cette relation, 1 est le minimum de IN.
e
D´finition
Soit (m, n) dans IN × IN∗ .
Il existe un unique couple (q, r) de IN2 tel que : (m = nq + r) et (r ≤ n − 1)
Le passage du couple (m, n) au couple (q, r) s’appelle division euclidienne de m par n.
Dans cette division, m est le dividende, n le diviseur, q le quotient, et r le reste.
Remarque
n | m ⇔ (m = n = 0) ou (n = 0 et le reste dans la division de m par n est nul).
I.6 e
Pratique du raisonnement par r´currence
e e
Le raisonnement de r´currence admet plusieurs variantes, dont celle-ci, qui ne diff`re de l’original
o
que par le “pas initial” qui peut se situer en n0 (entier naturel) plutˆt qu’en 0 :
Soit n0 un entier naturel.
On suppose P(n0 ).
On suppose ´galement que : ∀ n ≥ n0 , P(n) ⇒ P(n + 1).
e
Alors, ∀ n ≥ n , P(n).
0
e e e
Une autre variante r´side dans la mani`re d’avancer dans la r´currence.
Il arrive en effet que l’hypoth`se P(n) seule soit insuffisante pour d´montrer P(n + 1).
e e
e e u e
Le cas le plus fr´quent est celui de la r´currence double, o` le pas initial et l’hypoth`se de
e e
r´currence portent sur deux entiers cons´cutifs.
e
R´currence de pas double
Soit n0 un entier naturel.
On suppose P(n0 ) et P(n0 + 1).
On suppose ´galement que : ∀ n ≥ n0 , (P(n) et P(n + 1)) ⇒ P(n + 2).
e
Alors, ∀ n ≥ n0 , P(n).
Il reste ` voir une derni`re version du raisonnement par r´currence. Pour d´montrer P(n + 1),
a e e e
on peut en effet utiliser tout ou partie des hypoth`ses P(n0 ), P(n0 + 1), . . ., et P(n).
e
e
R´currence forte
Soit n0 un entier naturel. On suppose P(n0 ).
On suppose aussi que : ∀ n ≥ n0 , (P(n0 ), P(n0 + 1), . . . , P(n)) ⇒ P(n + 1).
Alors, ∀ n ≥ n0 , P(n).
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Entiers naturels, denombrements
Partie I : Entiers naturels
e e
Voici enfin quelques conseils pour “r´ussir” un raisonnement par r´currence :
ee
– Ne pas oublier le “pas initial” (la propri´t´ est souvent triviale, mais on doit la prouver).
– Ne pas ´crire : “Supposons que pour tout n, P(n). Montrons P(n+1)” alors qu’il faut ´crire :
e e
“Soit n un entier naturel ; on suppose P(n). Montrons P(n + 1)”.
e e
– Bien articuler le pas initial et l’hypoth`se de r´currence.
Si le pas initial est par exemple n0 , et si on veut d´montrer P(n) ⇒ P(n + 1), alors n doit
e
ˆtre sup´rieur ou ´gal ` n0 . On peut tout ` fait prouver P(n − 1) ⇒ P(n), mais dans ce cas
e e e a a
e e a
n doit ˆtre strictement sup´rieur ` n0 .
e u e
– Bien s´parer le “passage du rang n au rang n + 1”, o` l’entier n est fix´, et la conclusion
finale (qui est obligatoire, et qui doit porter sur tous les entiers naturels n).
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Partie II : Ensembles finis
II Ensembles finis
II.1 Cardinal d’un ensemble fini
Pour tout entier naturel, on note En = {m ∈ IN, 1 ≤ m ≤ n}.
e e
Dans les trois ´nonc´s suivants, n et p sont des entiers naturels non nuls.
Proposition
Il existe une injection de En dans Ep si et seulement si n ≤ p.
Proposition
Il existe une surjection de En sur Ep si et seulement si n ≥ p.
Proposition
Il existe une bijection de En sur Ep si et seulement si n = p.
Proposition
e
Soit n un entier naturel non nul, et f une application de En dans lui-mˆme.
Alors : f est bijective ⇔ f est injective ⇔ f est surjective.
e
On peut maintenant donner la d´finition d’un ensemble fini.
Proposition
Un ensemble non vide E est dit fini s’il existe une bijection de En sur E, avec n ≥ 1.
e
L’entier n, s’il existe, est unique et est appel´ le cardinal de E. On note n = card (E).
Par convention, on dit que ∅ est fini de cardinal nul. Un ensemble non fini est dit infini.
Remarques
e u ee
– card (E) repr´sente bien sˆr le “nombre d’´l´ments” de E.
e
– Dans la d´finition, on aurait pu aussi bien dire : “ s’il existe une bijection de E sur En ”
– Si m ≤ n, l’intervalle [[m, n]] est fini de cardinal n − m + 1. En effet l’application f d´finie
e
par f (k) = k − m + 1 est bijective de [[m, n]] sur En−m+1 .
– S’il existe une bijection f de E fini sur F , alors F est fini et card (E) = card (F ).
e
On peut caract´riser les parties finies de IN :
Proposition
e
Une partie A non vide de IN est finie⇔elle est major´e. En particulier IN est infini.
e e
On en d´duit le r´sultat suivant :
Proposition
Soit E un ensemble fini. Soit A une partie de E.
Alors A est un ensemble fini et card (A) ≤ card (E).
e e
Plus pr´cis´ment, on a card (A) = card (E) si et seulement si A = E.
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e e
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Entiers naturels, denombrements
Partie II : Ensembles finis
Remarque
Si E est infini, il peut exister des bijections de E sur une partie stricte de E.
Par exemple, l’application n → 2n est une bijection de IN sur l’ensemble des entiers pairs, et
la succession n → n + 1 est une bijection de IN sur IN∗ .
Les trois propositions suivantes peuvent permettre de montrer qu’un ensemble est fini.
Proposition
e
Soient E et F deux ensembles, E ´tant fini. Soit f une application de E vers F .
Alors f (E) est fini, et card (f (E)) ≤ card (E).
De plus on a card (f (E)) = card (E) si et seulement si f est injective.
e e e
Voici un cas particulier du r´sultat pr´c´dent (on remplace f (E) par F ) :
Proposition
Soit E un ensemble fini. Soit F un ensemble quelconque.
Soit f une application surjective de E sur F .
Alors F est fini, et card (F ) ≤ card (E).
De plus on a card (F ) = card (E) ⇔ f est bijective.
Proposition
Soient E et F deux ensembles.
Soit f une application injective de E dans F .
Si f (E) est fini, alors E est fini et card (E) = card (f (E)).
e e e e o e
Voici des r´sultats tr`s proches des pr´c´dents. Il s’agit plutˆt ici de caract´riser l’existence
d’applications injectives, surjectives ou bijectives entre deux ensembles dont l’un est fini.
Proposition
e
Soient E et F deux ensembles non vides, l’ensemble F ´tant fini.
Il existe une injection de E dans F ⇔ (E est fini et card (E) ≤ card (F )).
Proposition
e
Soient E et F deux ensembles non vides, l’ensemble E ´tant fini.
Il existe une surjection de E sur F ⇔ (F est fini et card (F ) ≤ card (E)).
Il existe une bijection de E sur F ⇔ (F est fini et card (E) = card (F )).
Proposition
e
Soient E et F deux ensembles finis non vides de mˆme cardinal.
Soit f une application de E vers F .
f est bijective ⇔ f est injective ⇔ f est surjective.
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Partie II : Ensembles finis
II.2 e e
Propri´t´s des cardinaux
a
On voit ici comment calculer le cardinal d’ensembles construits ` partir d’ensembles finis.
e
Proposition (R´union d’ensembles finis disjoints)
Si E et F sont finis disjoints, alors E ∪ F est fini et card (E ∪ F ) = card (E) + card (F ).
n n n
a
Si E1 , . . . , En sont finis disjoints deux ` deux, Ei est fini et card ( Ei ) = card (Ei ).
i=1 i=1 i=1
e
Proposition (R´union de deux ensembles finis)
Si E et F sont finis, alors E ∪F est fini et card (E ∪F ) = card (E)+card (F )−card (E ∩F ).
En particulier : card (E ∪ F ) ≤ card (E) + card (F ), avec ´galit´⇔ E ∩ F = ∅.
e e
e e a
Proposition (G´n´ralisation ` n ensembles finis)
n n n
Si E1 , E2 , . . . , En sont finis, alors Ei est fini et card ( Ei ) ≤ card (Ei ).
i=1 i=1 i=1
n n
On a l’´galit´ card (
e e Ei ) = card (Ei ) ⇔ les Ei sont disjoints deux ` deux.
a
i=1 i=1
e e e e e e e e
Le r´sultat pr´c´dent peut ˆtre g´n´ralis´ (mais la d´monstration est admise) :
Proposition (Formule du crible)
Soient E1 , . . ., En des ensembles finis. Posons I = {1, 2, . . . , n}.
n
On a card ( Ei ) = (−1)1+card (J) card ( Ej )
i=1 J ⊂I j∈J
Par exemple, si E, F , G sont trois ensembles finis :
card (E ∪ F ∪ G) = card (E) + card (F ) + card (G)
− card (E ∩ F ) − card (E ∩ G) − card (F ∩ G)
+ card (E ∩ F ∩ G).
Proposition (Principe des bergers)
Soit E, F deux ensembles finis, et f une application de E vers F .
-1
Alors card (E) = card f ({y}).
y∈F
ee e e e
Donc si tous les ´l´ments de F ont le mˆme nombre q d’ant´c´dents : card (E) = q card (F ).
e
Proposition (Produit cart´sien d’ensembles finis)
Si E et F sont finis, alors E × F est fini et card (E × F ) = card (E) card (F ).
n n
e e
Plus g´n´ralement, si E1 , E2 , . . ., En sont finis, alors card ( Ei ) = card (Ei ).
i=1 i=1
En particulier, si E est fini, alors pour tout n ≥ 1 : card (E ) = card (E)n . n
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Partie III : D´nombrements
III e
D´nombrements
III.1 Applications entre ensembles finis
On note F(E, F ) l’ensemble des applications d’un ensemble E vers un ensemble F .
Proposition (Nombre d’applications entre deux ensembles finis)
Si E et F sont finis non vides, F(E, F ) est fini et card (F(E, F )) = card (F ) card (E) .
Ce r´sultat justifie que l’on note souvent F E l’ensemble F(E, F ).
e
Proposition (Ensemble des parties d’un ensemble fini)
Soit E un ensemble fini, de cardinal n. Alors P(E) est fini et card (P(E)) = 2n .
Proposition (Nombre d’injections ou de bijections entre deux ensembles finis)
Soient E et F deux ensembles finis non vides.
Notons card (E) = p, et card (F ) = n, avec 1 ≤ p ≤ n.
n!
Le nombre d’injections de E dans F est (n−p)! ·
En particulier, si card (E) = card (F ) = n, le nombre de bijections de E dans F est n!
e
C’est le cas si E = F (les bijections de E sur E sont appel´es permutations de E).
III.2 Arrangements et combinaisons
e
D´finition
Soient p, n deux entiers tels que 0 ≤ p ≤ n.
n! 1 n!
On pose A p = (n−p)! et C p = p ! A p = p !(n−p)! · C p est souvent not´
n n n n e n
p
.
A p = n(n − 1) · · · (n − p + 1)
n
On constate que, si 1 ≤ p ≤ n : n(n−1)···(n−p+1)
C p = p(p−1)···2·1
n
∀ n ∈ IN, A 0 = 1, A n = n!, C 0 = C n = 1.
n n n n
Par exemple :
∀ n ∈ IN∗ , A 1 = n, A n−1 = n!, C 1 = C n−1 = n.
n n n n
On sait que si 1 ≤ p ≤ n, A p repr´sente le nombre d’applications injectives d’un ensemble ` p
n e a
ee a ee
´l´ments vers un ensemble ` n ´l´ments.
Proposition (Arrangements)
Soit F un ensemble fini de cardinal n ≥ 1. Soit p un entier v´rifiant 1 ≤ p ≤ n.
e
ee e ee
Un arrangement de p ´l´ments de F est un p-uplet (y1 , y2 , . . . , yp ) form´ de p ´l´ments de
a
F , distincts deux ` deux.
Le nombre d’arrangements de p ´l´ments de F est A p (on parle souvent d’arrangements
ee n
ee
de p ´l´ments parmi n).
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e
Partie III : D´nombrements
Proposition (Combinaisons)
Soit F un ensemble fini de cardinal n ≥ 1. Soit p un entier v´rifiant 0 ≤ p ≤ n.e
ee
Une combinaison de p ´l´ments de F est une partie de F , de cardinal p.
Si p ≥ 1, elle peut donc s’´crire {y1 , y2 , . . . , yp }, o` y1 , y2 , . . ., yp sont distincts deux ` deux
e u a
dans F (on parle souvent de combinaison sans r´p´titions). e e
Le nombre de combinaisons de p ´l´ments de F est ´gal ` C p (on parle souvent de combi-
ee e a n
ee
naisons de p ´l´ments parmi n).
Propri´t´s fondamentales des coefficients C p
e e n
Pour tous entiers n, p avec 0 ≤ p ≤ n : C p = C n−p .
n n
Si 1 ≤ p ≤ n − 1, alors C p = C p + C p−1 .
n n−1 n−1
Cette derni`re formule, avec C 0 = C n = 1, permet de calculer les C p de proche en proche.
e n n n
On place souvent les C p dans un tableau triangulaire, dont les lignes et les colonnes sont
n
num´rot´es ` partir de 0. Le coefficient C p vient alors se placer ` l’intersection de la ligne
e e a n a
d’indice n et de la colonne d’indice p.
Le tableau ci-dessous est connu sous le nom de “triangle de Pascal” :
p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 ···
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .. ..
. . . . . . . . .
..
n C0 n C1 n C2 n C3 n C4 n C5 n C6 n .
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ...
. . . . . . . .
e e
Autres propri´t´s
e e e e
Sous r´serve que les coefficients ci-dessous soient d´finis, on a les ´galit´s :
n−p
C p+1 =
n p+1 C p , C p = n C p−1 , C p =
n n p n−1 n
n
n−p Cp
n−1
III.3 o
Binˆme de Newton
e e
Le r´sultat suivant est particuli`rement important.
o
C’est sans doute en utilisant la formule du binˆme qu’on a le plus de chances de rencontrer les
p
coefficients C n (qui pour cette raison sont appel´s coefficients du binˆme).
e o
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e e
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e
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´
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e
Partie III : D´nombrements
o
Proposition (Formule du binˆme de Newton)
n
∀ (x, y) ∈ C2 , ∀ n ∈ IN, (x + y)n =
l C k xk y n−k .
n
k=0
n
En particulier : ∀ x ∈ C, (1 + x)n =
l C k xk .
n
k=0
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e
Partie IV : Ensembles d´nombrables
IV e
Ensembles d´nombrables
e e
NB : la notion d’ensemble d´nombrable est hors-programme des classes pr´paratoires.
e
D´finition
e
Un ensemble E est dit d´nombrable s’il existe une bijection de IN sur E.
e e
Un ensemble E est dit au plus d´nombrable s’il est fini ou d´nombrable.
Remarques
e e e
– IN est ´videmment lui-mˆme un ensemble d´nombrable.
∗
IN est d´nombrable car la succession n → n + 1 est une bijection de IN sur IN∗ .
e
e e e
De mˆme, l’ensemble des entiers pairs et celui des entiers impairs sont d´nombrables (consid´rer
les applications n → 2n et n → 2n + 1.)
e e
– Tout ensemble d´nombrable est infini (car IN est lui-mˆme infini.)
– Si E est d´nombrable, et si on note n → an une bijection de IN sur E, on peut donc ´crire
e e
E = {an , n ∈ IN}, les an ´tant distincts deux ` deux. Le caract`re d´nombrable de E est
e a e e
e e e ee
donc une mani`re de “num´roter” distinctement les diff´rents ´l´ments de E.
e e
– Si E est d´nombrable (resp. au plus d´nombrable) et s’il existe une bijection de E sur un
e e
ensemble F , alors F est d´nombrable (resp. au plus d´nombrable).
e
Proposition (Parties d’un ensemble d´nombrable)
e e
Toute partie F d’un ensemble d´nombrable E est au plus d´nombrable.
e e
Proposition (Produit cart´sien d’ensembles d´nombrables)
L’ensemble IN × IN est d´nombrable.
e
n
e e
Si E1 , . . . , En sont d´nombrables, leur produit cart´sien e
Ek est d´nombrable.
k=1
e e
Proposition (Une caract´risation des ensembles au plus d´nombrables)
e e
Soient E un ensemble d´nombrable. Un ensemble F non vide est au plus d´nombrable si et
seulement s’il existe une surjection de E sur F .
e
Remarques et cons´quences
e e e
– La proposition pr´c´dente signifie qu’un ensemble non vide E est au plus d´nombrable si et
seulement s’il peut s’´crire E = {an , n ∈ IN}, (les an ´tant non n´cessairement distincts.)
e e e
– L’ensemble Z est d´nombrable car il est infini (il contient IN) et l’application d´finie sur IN2
Z e e
2
par f (m, n) = m − n est une sujection de IN sur Z Z.
l e e
– L’ensemble Q est d´nombrable car il est infini (il contient IN) et l’application f d´finie sur
Z × IN∗ par f (m, n) = m est une surjection de Z × IN∗ sur Q.
Z n Z l
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e
Partie IV : Ensembles d´nombrables
e e
Proposition (R´unions d’ensembles au plus d´nombrables)
e
Soit (En )n∈IN une suite d’ensembles au plus d´nombrables.
e
Alors leur r´union F = e
En est un ensemble au plus d´nombrable.
n∈IN
Remarques
e
– Si l’un au moins des En est d´nombrable, alors F = e
En est d´nombrable.
n∈IN
e e
– Une union finie d’ensembles au plus d´nombrables est au plus d´nombrable : il suffit en effet
e e a
de compl´ter une famille finie E0 , E1 , . . . , En par des Ek ´gaux par exemple ` En .
Proposition
L’ensemble P(IN) est infini non d´nombrable.
e
Proposition
e
L’ensemble IR est infini non d´nombrable.
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