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                     Cours de Mathematiques
                                                                                                        ´
                                                                                     Entiers naturels, denombrements
                                                                                                                                                Sommaire




                      e
   Entiers naturels, d´nombrements

   Sommaire
                I     Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . .                      .    .   .   .   .   .   .   .    .    . . . .     2
                    I.1    L’ensemble N . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .    2
                    I.2                        e
                           Raisonnement par r´currence . . . . . . . . .                       .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .    2
                    I.3    Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . .                      .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .    3
                    I.4                           e
                           Relation d’ordre et diff´rence . . . . . . . . .                     .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .    4
                    I.5    Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . .                    .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .    5
                    I.6                                    e
                           Pratique du raisonnement par r´currence . .                         .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .    5
                II    Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      .    .   .   .   .   .   .   .    .    . . . .     7
                    II.1   Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . .                      .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .    7
                    II.2          ee
                           Propri´t´s des cardinaux . . . . . . . . . . . .                    .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .    9
                        e
                III D´nombrements . . . . . . . . . . . . . . . . .                           .    .   .   .   .   .   .   .    .    . . . .    10
                    III.1 Applications entre ensembles finis . . . . . . .                      .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .   10
                    III.2 Arrangements et combinaisons . . . . . . . .                         .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .   10
                              o
                    III.3 Binˆme de Newton . . . . . . . . . . . . . . .                       .   .   .   .   .   .   .   .   .    . . . . .   11
                                   e
                IV Ensembles d´nombrables . . . . . . . . . . . .                             .    .   .   .   .   .   .   .    .    . . . .    13




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                    e
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                                                                                                           Partie I : Entiers naturels


   I       Entiers naturels
   I.1       L’ensemble N
            e                                   e                                e
   Conform´ment au programme des classes pr´paratoires, l’ensemble IN est suppos´ connu, ainsi
   que ses propri´t´s (op´rations + et ×, relation d’ordre).
                 ee      e
                               e                              a
   Cependant, en voici une pr´sentation minimale (ou presque) ` partir de laquelle on pourrait
                              ee
   retrouver toutes ses propri´t´s.
                                                   ee                 e
   On admet l’existence d’un ensemble IN, dont les ´l´ments sont appel´s entiers naturels, tel que :
   a. Successeur d’un entier naturel
     Il existe une application s : IN → IN, appel´e succession.
                                                 e
                                                   e
     L’image par s d’un entier naturel n est appel´e le successeur de n.
   b. Entier 0
                   ee                e                     e e
      Il existe un ´l´ment de IN, not´ 0, qui n’a pas d’ant´c´dent par s.
      On note 1 le successeur de 0, 2 celui de 1, 3 celui de 2, etc.
      On note IN∗ = IN − {0} : c’est l’ensemble des entiers naturels non nuls.
         e e
   c. Pr´d´cesseur d’un entier naturel non nul
      L’application s est une bijection de IN sur IN − {0}.
      Tout n de IN∗ est donc le successeur d’un unique m de IN, appel´ le pr´d´cesseur de n.
                                                                     e      e e
                    e
   d. Axiome de r´currence
     Soit A une partie de IN telle que : 0 ∈ A et ∀ n ∈ IN, n ∈ A ⇒ s(n) ∈ A. Alors A = IN.
                                                                                       ee
     Autrement dit, si une partie A de IN contient 0 et le successeur de chacun de ses ´l´ments,
                              e     a
     alors cette partie A est ´gale ` IN tout entier.

                                    e                                    e
   Tout cela permet par exemple de d´finir une addition sur IN, de la mani`re suivante :

                                 ∀ (m, n) ∈ IN2 ,         m + 0 = m,           m + s(n) = s(m + n)

     On constate que : ∀ m ∈ IN, s(m) = m + 1 (poser n = 0 dans la d´finition pr´c´dente).
                                                                    e          e e
   Pour tout n de IN∗ , on note n − 1 le pr´d´cesseur de n. Ainsi m = n − 1 ⇔ n = m + 1 . . .
                                           e e
                e           e
   L’axiome de r´currence s’´crit maintenant :
               Soit A une partie de IN, contenant 0.
               On suppose que : ∀ n ∈ A, n + 1 ∈ A. Alors A = IN.

   I.2                         e
             Raisonnement par r´currence
   Soit P un pr´dicat, de r´f´rentiel IN.
               e           ee
   Rappelons qu’on ´crit P(n) pour dire “P(n) est vraie”.
                   e


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                                                                                                           Partie I : Entiers naturels


    e
   R´currence simple (ou faible)
       On suppose P(0) et, pour tout entier n, P(n) ⇒ P(n + 1).
       Alors, pour tout entier n, P(n).

   Voici donc comment montrer qu’une propri´t´ P(n) est vraie pour tous les entiers naturels :
                                           ee
         e                              a          ee                                e
   – On v´rifie que l’entier 0 satisfait ` la propri´t´ : c’est le pas initial de la r´currence.
   – On se donne ensuite un entier n, pour lequel on suppose que P(n) est vraie.
                   e       e
     C’est l’hypoth`se de r´currence.
   – On d´montre alors que P(n + 1) est vraie (c’est le “passage du rang n au rang n + 1”).
          e
       On exprime l’implication P(n) ⇒ P(n + 1) en disant que la propri´t´ P est h´r´ditaire.
                                                                       ee         e e
                        c              e                   ee
   – On conclut en annon¸ant que, par r´currence, la propri´t´ est vraie pour tout entier n.

   I.3       Somme et produit
                e                       e     e           e                  e
   Toutes les op´rations sur IN peuvent ˆtre d´finies par r´currence (on l’a d´ja vu pour l’addition).
               ee           e    e               e       e
   Leurs propri´t´s peuvent ˆtre ´tablies de la mˆme mani`re.
   Addition
    
     La loi + est associative : ∀ (m, n, p) ∈ IN3 , m + (n + p) = (m + n) + p.
    
    
     La loi + est commutative : ∀ (m, n) ∈ IN2 , m + n = n + m.
    
    
    
       0 est ´l´ment neutre : ∀ n ∈ IN, n + 0 = n (cette propri´t´ d´coule de la d´finition).
             ee                                                 ee e              e
     Tout ´l´ment de IN est r´gulier : ∀ (m, n, p) ∈ IN3 , m + p = n + p ⇒ m = n.
    
             ee                 e
    
    
    
     ∀ (m, n) ∈ IN2 , m + n = 0 ⇔ m = n = 0.
    

   Multiplication
         e
    On d´finit un produit sur IN, en posant :
                                      ∀ (m, n) ∈ IN2 ,          m0 = 0,        m(n + 1) = mn + m
          e                                e
     Une r´currence montre que mn est d´fini pour tout couple (m, n).
                   e                           e                 ee
     Toujours par r´currence, on peut alors v´rifier les propri´t´s suivantes :
     
      La loi × est distributive par rapport ` la loi + :
                                              a
      ∀ (m, n, p) ∈ IN3 , m(n + p) = mp + mp.
     
     
     
     
      La loi × est associative : ∀ (m, n, p) ∈ IN3 , m(np) = (mn)p.
     

      La loi × est commutative : ∀ (m, n) ∈ IN2 , mn = nm.
     
      Tout ´l´ment de IN∗ est r´gulier : ∀ (m, n) ∈ IN2 , ∀ p ∈ IN∗ , mp = np ⇒ m = n.
     
             ee                   e
     
     
     
     
      1 est ´l´ment neutre : ∀ n ∈ IN, n1 = n.
             ee
   Factorielle
     On d´finit n! (factorielle n) par 0! = 1, et ∀ n ∈ IN∗ , n! = n (n − 1)!
         e
                                                      n
       Autrement dit : ∀ n ∈ IN∗ , n! =                    k.
                                                     k=1



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                                                                                                           Partie I : Entiers naturels


   Exponentiation
    On d´finit la notation mn : ∀ (m, n) ∈ IN2 , m0 = 1, mn+1 = mn m.
         e
                                ee                e
    On montre alors les propri´t´s suivantes par r´currence :
                       3   n   p     n+p    n p
     ∀ (m, n, p) ∈ IN : m m = m , (m ) = mnp , (mn)p = mp np .
    
       ∀ n ∈ IN, n1 = n, 1n = 1.
       ∀ n ∈ IN∗ , 0n = 0 (mais par convention 00 = 1).
    
    

   Remarques
    mn = 1 ⇔ m = n = 1.
    mn = 0 ⇔ (m = 0) ou (n = 0).

   I.4                              e
             Relation d’ordre et diff´rence
     e
   D´finition
     On pose : ∀ (m, n) ∈ IN2 , m ≤ n ⇔ ∃ p ∈ IN, m + p = n.
     Les notations n ≥ m et m ≤ n sont bien sˆr ´quivalentes.
                                                 u e
     On note m < n pour ´crire : (m ≤ n) et (m = n).
                             e
                          2
     Soit (m, n) dans IN . On pose : [[m, n]] = {p ∈ IN, m ≤ p ≤ n}.
            e e
   Propri´t´s
   – ≤ d´finit une relation d’ordre total sur IN.
          e
   – ∀ (m, n) ∈ IN2 : m < n ⇔ m + 1 ≤ n ⇔ m ≤ n − 1.
   – 0 est le minimum de IN.
                                       e                  ee
   – Toute partie non vide de IN poss`de un plus petit ´l´ment.
                           e                     e                ee
   – Toute partie major´e non vide de IN poss`de un plus grand ´l´ment.
   – La relation ≤ est compatible avec les op´rations + et ×, ce qui signifie :
                                               e
        ∀ (m, n, p) ∈ IN : m ≤ n ⇒ (m + p ≤ n + p) et (mp ≤ np)
   Soustraction
                                                                               e           e
     L’existence de la relation d’ordre et de l’addition sur IN permettent de d´finir la diff´rence
     p = n − m de deux entiers naturels n et m.
       Cette “op´ration” n’est pas partout d´finie sur IN (l’entier p n’existe que si m ≤ n).
                 e                            e
       Soit (m, n) un couple d’entiers naturels, tels que m ≤ n. L’entier p tel que m + p = n (unique
       par r´gularit´) est appel´ diff´rence de n et de m, et on note p = n − m.
            e       e           e    e
                         e e                   ee        e      e                             e
       Cette notation g´n´ralise celle qui a ´t´ utilis´e au d´but de ce chapitre pour d´finir le
       pr´d´cesseur m = n − 1 d’un entier naturel non nul n.
         e e
         e e
   Propri´t´s
                            e    e                   e                 e
   On a (entre autres) les ´galit´s suivantes, sous r´serve que les diff´rences existent dans IN :
   
    ∀ (m, n, p) ∈ IN3 , (m − n) − p = m − (n + p). Cette quantit´ est not´e m − n − p.
                                                                   e       e
                     3
     ∀ (m, n, p) ∈ IN , (m − n) + p = m − (n − p). Cette quantit´ est not´e m − n + p.
                                                                    e       e
                     3
   
     ∀ (m, n, p) ∈ IN , (m + n) − p = m + (n − p). Cette quantit´ est not´e m + n − p.
                                                                    e       e
   


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                                                                                                           Partie I : Entiers naturels


   I.5       Division euclidienne
     e
    D´finition
     On dit que n divise m (ou que m est un multiple de n) si : ∃ q ∈ IN, m = nq.
     On note alors n | m. On d´finit ainsi une relation d’ordre partiel sur IN.
                                 e
     Pour cette relation, 1 est le minimum de IN.

      e
    D´finition
     Soit (m, n) dans IN × IN∗ .
     Il existe un unique couple (q, r) de IN2 tel que : (m = nq + r) et (r ≤ n − 1)
     Le passage du couple (m, n) au couple (q, r) s’appelle division euclidienne de m par n.
     Dans cette division, m est le dividende, n le diviseur, q le quotient, et r le reste.
   Remarque
    n | m ⇔ (m = n = 0) ou (n = 0 et le reste dans la division de m par n est nul).


   I.6                                     e
             Pratique du raisonnement par r´currence
                        e                                                            e
   Le raisonnement de r´currence admet plusieurs variantes, dont celle-ci, qui ne diff`re de l’original
                                                                          o
   que par le “pas initial” qui peut se situer en n0 (entier naturel) plutˆt qu’en 0 :
   Soit n0 un entier naturel.
   
    On suppose P(n0 ).
   
      On suppose ´galement que : ∀ n ≥ n0 , P(n) ⇒ P(n + 1).
                   e
   
    Alors, ∀ n ≥ n , P(n).
                     0

                       e                 e                      e
   Une autre variante r´side dans la mani`re d’avancer dans la r´currence.
   Il arrive en effet que l’hypoth`se P(n) seule soit insuffisante pour d´montrer P(n + 1).
                                 e                                    e
                    e                       e                  u                           e
   Le cas le plus fr´quent est celui de la r´currence double, o` le pas initial et l’hypoth`se de
    e                                      e
   r´currence portent sur deux entiers cons´cutifs.
    e
   R´currence de pas double
    Soit n0 un entier naturel.
    
     On suppose P(n0 ) et P(n0 + 1).
    
       On suppose ´galement que : ∀ n ≥ n0 , (P(n) et P(n + 1)) ⇒ P(n + 2).
                    e
    
       Alors, ∀ n ≥ n0 , P(n).
    

   Il reste ` voir une derni`re version du raisonnement par r´currence. Pour d´montrer P(n + 1),
            a               e                                e                   e
   on peut en effet utiliser tout ou partie des hypoth`ses P(n0 ), P(n0 + 1), . . ., et P(n).
                                                     e
    e
   R´currence forte
    
     Soit n0 un entier naturel. On suppose P(n0 ).
    
       On suppose aussi que : ∀ n ≥ n0 , (P(n0 ), P(n0 + 1), . . . , P(n)) ⇒ P(n + 1).
    
       Alors, ∀ n ≥ n0 , P(n).
    


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                                                                                                           Partie I : Entiers naturels


                                       e                            e
   Voici enfin quelques conseils pour “r´ussir” un raisonnement par r´currence :
                                               ee
   – Ne pas oublier le “pas initial” (la propri´t´ est souvent triviale, mais on doit la prouver).
   – Ne pas ´crire : “Supposons que pour tout n, P(n). Montrons P(n+1)” alors qu’il faut ´crire :
            e                                                                            e
     “Soit n un entier naturel ; on suppose P(n). Montrons P(n + 1)”.
                                              e       e
   – Bien articuler le pas initial et l’hypoth`se de r´currence.
     Si le pas initial est par exemple n0 , et si on veut d´montrer P(n) ⇒ P(n + 1), alors n doit
                                                           e
     ˆtre sup´rieur ou ´gal ` n0 . On peut tout ` fait prouver P(n − 1) ⇒ P(n), mais dans ce cas
     e        e          e   a                    a
            e                     e       a
     n doit ˆtre strictement sup´rieur ` n0 .
           e                                                  u                   e
   – Bien s´parer le “passage du rang n au rang n + 1”, o` l’entier n est fix´, et la conclusion
     finale (qui est obligatoire, et qui doit porter sur tous les entiers naturels n).




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                                                                                                          Partie II : Ensembles finis


   II        Ensembles finis
   II.1        Cardinal d’un ensemble fini
   Pour tout entier naturel, on note En = {m ∈ IN, 1 ≤ m ≤ n}.
                  e    e
   Dans les trois ´nonc´s suivants, n et p sont des entiers naturels non nuls.
    Proposition
     Il existe une injection de En dans Ep si et seulement si n ≤ p.

    Proposition
     Il existe une surjection de En sur Ep si et seulement si n ≥ p.

    Proposition
     Il existe une bijection de En sur Ep si et seulement si n = p.

    Proposition
                                                                            e
     Soit n un entier naturel non nul, et f une application de En dans lui-mˆme.
     Alors : f est bijective ⇔ f est injective ⇔ f est surjective.
                                 e
   On peut maintenant donner la d´finition d’un ensemble fini.
    Proposition
     Un ensemble non vide E est dit fini s’il existe une bijection de En sur E, avec n ≥ 1.
                                                     e
     L’entier n, s’il existe, est unique et est appel´ le cardinal de E. On note n = card (E).
     Par convention, on dit que ∅ est fini de cardinal nul. Un ensemble non fini est dit infini.
   Remarques
                   e             u                ee
   – card (E) repr´sente bien sˆr le “nombre d’´l´ments” de E.
                e
   – Dans la d´finition, on aurait pu aussi bien dire : “ s’il existe une bijection de E sur En ”
   – Si m ≤ n, l’intervalle [[m, n]] est fini de cardinal n − m + 1. En effet l’application f d´finie
                                                                                               e
     par f (k) = k − m + 1 est bijective de [[m, n]] sur En−m+1 .
   – S’il existe une bijection f de E fini sur F , alors F est fini et card (E) = card (F ).
                 e
   On peut caract´riser les parties finies de IN :
    Proposition
                                                        e
     Une partie A non vide de IN est finie⇔elle est major´e. En particulier IN est infini.

          e         e
   On en d´duit le r´sultat suivant :
    Proposition
     Soit E un ensemble fini. Soit A une partie de E.
     Alors A est un ensemble fini et card (A) ≤ card (E).
            e e
     Plus pr´cis´ment, on a card (A) = card (E) si et seulement si A = E.



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                                                                                                          Partie II : Ensembles finis


   Remarque
    Si E est infini, il peut exister des bijections de E sur une partie stricte de E.
    Par exemple, l’application n → 2n est une bijection de IN sur l’ensemble des entiers pairs, et
    la succession n → n + 1 est une bijection de IN sur IN∗ .

   Les trois propositions suivantes peuvent permettre de montrer qu’un ensemble est fini.

    Proposition
                                         e
     Soient E et F deux ensembles, E ´tant fini. Soit f une application de E vers F .
     Alors f (E) est fini, et card (f (E)) ≤ card (E).
     De plus on a card (f (E)) = card (E) si et seulement si f est injective.

                                e         e e
   Voici un cas particulier du r´sultat pr´c´dent (on remplace f (E) par F ) :

    Proposition
     Soit E un ensemble fini. Soit F un ensemble quelconque.
     Soit f une application surjective de E sur F .
     Alors F est fini, et card (F ) ≤ card (E).
     De plus on a card (F ) = card (E) ⇔ f est bijective.

    Proposition
     Soient E et F deux ensembles.
     Soit f une application injective de E dans F .
     Si f (E) est fini, alors E est fini et card (E) = card (f (E)).

               e           e                 e e                     o              e
    Voici des r´sultats tr`s proches des pr´c´dents. Il s’agit plutˆt ici de caract´riser l’existence
    d’applications injectives, surjectives ou bijectives entre deux ensembles dont l’un est fini.

    Proposition
                                                            e
     Soient E et F deux ensembles non vides, l’ensemble F ´tant fini.
     Il existe une injection de E dans F ⇔ (E est fini et card (E) ≤ card (F )).

    Proposition
                                                            e
     Soient E et F deux ensembles non vides, l’ensemble E ´tant fini.
     Il existe une surjection de E sur F ⇔ (F est fini et card (F ) ≤ card (E)).
     Il existe une bijection de E sur F ⇔ (F est fini et card (E) = card (F )).

    Proposition
                                                         e
     Soient E et F deux ensembles finis non vides de mˆme cardinal.
     Soit f une application de E vers F .
     f est bijective ⇔ f est injective ⇔ f est surjective.



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                                                                                                             Partie II : Ensembles finis


   II.2              e e
               Propri´t´s des cardinaux
                                                                   a
   On voit ici comment calculer le cardinal d’ensembles construits ` partir d’ensembles finis.
                    e
    Proposition (R´union d’ensembles finis disjoints)
     Si E et F sont finis disjoints, alors E ∪ F est fini et card (E ∪ F ) = card (E) + card (F ).
                                                                           n                                 n             n
                                                  a
      Si E1 , . . . , En sont finis disjoints deux ` deux,                        Ei est fini et card (             Ei ) =         card (Ei ).
                                                                           i=1                              i=1            i=1


                      e
    Proposition (R´union de deux ensembles finis)
     Si E et F sont finis, alors E ∪F est fini et card (E ∪F ) = card (E)+card (F )−card (E ∩F ).
     En particulier : card (E ∪ F ) ≤ card (E) + card (F ), avec ´galit´⇔ E ∩ F = ∅.
                                                                 e     e

                  e e           a
    Proposition (G´n´ralisation ` n ensembles finis)
                                                          n                             n             n
      Si E1 , E2 , . . . , En sont finis, alors                 Ei est fini et card (          Ei ) ≤         card (Ei ).
                                                         i=1                           i=1            i=1
                                     n            n
      On a l’´galit´ card (
             e     e                     Ei ) =         card (Ei ) ⇔ les Ei sont disjoints deux ` deux.
                                                                                                a
                                   i=1            i=1


       e         e e          e     e e     e           e
   Le r´sultat pr´c´dent peut ˆtre g´n´ralis´ (mais la d´monstration est admise) :

    Proposition (Formule du crible)
     Soient E1 , . . ., En des ensembles finis. Posons I = {1, 2, . . . , n}.
                        n
      On a card (           Ei ) =          (−1)1+card (J) card (          Ej )
                      i=1            J ⊂I                            j∈J


   Par exemple, si E, F , G sont trois ensembles finis :
     card (E ∪ F ∪ G) = card (E) + card (F ) + card (G)
                        − card (E ∩ F ) − card (E ∩ G) − card (F ∩ G)
                        + card (E ∩ F ∩ G).
    Proposition (Principe des bergers)
     Soit E, F deux ensembles finis, et f une application de E vers F .
                                             -1
      Alors card (E) =               card f ({y}).
                               y∈F
                       ee                    e                 e e
      Donc si tous les ´l´ments de F ont le mˆme nombre q d’ant´c´dents : card (E) = q card (F ).

                                e
    Proposition (Produit cart´sien d’ensembles finis)
     Si E et F sont finis, alors E × F est fini et card (E × F ) = card (E) card (F ).
                                                                                              n              n
            e e
      Plus g´n´ralement, si E1 , E2 , . . ., En sont finis, alors card (                            Ei ) =         card (Ei ).
                                                                                             i=1            i=1
      En particulier, si E est fini, alors pour tout n ≥ 1 : card (E ) = card (E)n .          n




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                                                                                                                      e
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   III          e
               D´nombrements
   III.1         Applications entre ensembles finis
   On note F(E, F ) l’ensemble des applications d’un ensemble E vers un ensemble F .

    Proposition (Nombre d’applications entre deux ensembles finis)
     Si E et F sont finis non vides, F(E, F ) est fini et card (F(E, F )) = card (F ) card (E) .
     Ce r´sultat justifie que l’on note souvent F E l’ensemble F(E, F ).
         e

    Proposition (Ensemble des parties d’un ensemble fini)
     Soit E un ensemble fini, de cardinal n. Alors P(E) est fini et card (P(E)) = 2n .

    Proposition (Nombre d’injections ou de bijections entre deux ensembles finis)
     Soient E et F deux ensembles finis non vides.
     Notons card (E) = p, et card (F ) = n, avec 1 ≤ p ≤ n.
                                                   n!
      Le nombre d’injections de E dans F est (n−p)! ·
      En particulier, si card (E) = card (F ) = n, le nombre de bijections de E dans F est n!
                                                                  e
      C’est le cas si E = F (les bijections de E sur E sont appel´es permutations de E).


   III.2         Arrangements et combinaisons

     e
    D´finition
     Soient p, n deux entiers tels que 0 ≤ p ≤ n.
                      n!            1             n!
      On pose A p = (n−p)! et C p = p ! A p = p !(n−p)! · C p est souvent not´
                n               n         n                 n                e                                  n
                                                                                                                p
                                                                                                                    .

                                                     A p = n(n − 1) · · · (n − p + 1)
                                                       n
   On constate que, si 1 ≤ p ≤ n :                         n(n−1)···(n−p+1)
                                                     C p = p(p−1)···2·1
                                                       n

                            ∀ n ∈ IN, A 0 = 1, A n = n!, C 0 = C n = 1.
                                        n        n         n     n
   Par exemple :
                            ∀ n ∈ IN∗ , A 1 = n, A n−1 = n!, C 1 = C n−1 = n.
                                          n        n           n     n

   On sait que si 1 ≤ p ≤ n, A p repr´sente le nombre d’applications injectives d’un ensemble ` p
                               n     e                                                        a
   ee                         a ee
   ´l´ments vers un ensemble ` n ´l´ments.
    Proposition (Arrangements)
     Soit F un ensemble fini de cardinal n ≥ 1. Soit p un entier v´rifiant 1 ≤ p ≤ n.
                                                                   e
                            ee                                                    e      ee
     Un arrangement de p ´l´ments de F est un p-uplet (y1 , y2 , . . . , yp ) form´ de p ´l´ments de
                        a
     F , distincts deux ` deux.
     Le nombre d’arrangements de p ´l´ments de F est A p (on parle souvent d’arrangements
                                     ee                   n
           ee
     de p ´l´ments parmi n).


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                                                                                                        Partie III : D´nombrements


    Proposition (Combinaisons)
     Soit F un ensemble fini de cardinal n ≥ 1. Soit p un entier v´rifiant 0 ≤ p ≤ n.e
                             ee
     Une combinaison de p ´l´ments de F est une partie de F , de cardinal p.
     Si p ≥ 1, elle peut donc s’´crire {y1 , y2 , . . . , yp }, o` y1 , y2 , . . ., yp sont distincts deux ` deux
                                e                                u                                         a
     dans F (on parle souvent de combinaison sans r´p´titions). e e
     Le nombre de combinaisons de p ´l´ments de F est ´gal ` C p (on parle souvent de combi-
                                        ee                          e      a n
                   ee
     naisons de p ´l´ments parmi n).

   Propri´t´s fondamentales des coefficients C p
         e e                                        n
       Pour tous entiers n, p avec 0 ≤ p ≤ n : C p = C n−p .
                                                 n     n

           Si 1 ≤ p ≤ n − 1, alors C p = C p + C p−1 .
                                     n     n−1   n−1


   Cette derni`re formule, avec C 0 = C n = 1, permet de calculer les C p de proche en proche.
               e                   n       n                             n
   On place souvent les C p dans un tableau triangulaire, dont les lignes et les colonnes sont
                            n
   num´rot´es ` partir de 0. Le coefficient C p vient alors se placer ` l’intersection de la ligne
       e e a                                  n                       a
   d’indice n et de la colonne d’indice p.
   Le tableau ci-dessous est connu sous le nom de “triangle de Pascal” :

                                     p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 ···
                           n=0         1
                           n=1         1     1
                           n=2         1     2     1
                           n=3         1     3     3     1
                           n=4         1     4     6     4     1
                           n=5         1     5     10    10    5     1
                           n=6         1     6     15    20    15    6     1
                            .
                            .          .
                                       .     .
                                             .      .
                                                    .     .
                                                          .     .
                                                                .    .
                                                                     .    ..   ..
                            .          .     .      .     .     .    .       .    .
                                                                               ..
                              n       C0 n  C1 n  C2  n C3  n C4  n C5 n  C6 n    .
                              .
                              .        .
                                       .     .
                                             .      .
                                                    .     .
                                                          .     .
                                                                .    .
                                                                     .     .
                                                                           .   ...
                              .        .     .      .     .     .    .     .
                 e e
   Autres propri´t´s
          e                                            e               e     e
    Sous r´serve que les coefficients ci-dessous soient d´finis, on a les ´galit´s :
                                              n−p
                                  C p+1 =
                                    n         p+1   C p , C p = n C p−1 , C p =
                                                      n     n   p   n−1     n
                                                                                                    n
                                                                                                   n−p   Cp
                                                                                                          n−1



   III.3            o
                 Binˆme de Newton
       e                            e
   Le r´sultat suivant est particuli`rement important.
                                                  o
   C’est sans doute en utilisant la formule du binˆme qu’on a le plus de chances de rencontrer les
                 p
   coefficients C n (qui pour cette raison sont appel´s coefficients du binˆme).
                                                    e                    o



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                               o
    Proposition (Formule du binˆme de Newton)
                                                         n
      ∀ (x, y) ∈ C2 , ∀ n ∈ IN, (x + y)n =
                 l                                           C k xk y n−k .
                                                               n
                                                       k=0
                                                          n
      En particulier : ∀ x ∈ C, (1 + x)n =
                             l                                  C k xk .
                                                                  n
                                                          k=0




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                                                                                             Partie IV : Ensembles d´nombrables


   IV                     e
               Ensembles d´nombrables
                              e                                           e
   NB : la notion d’ensemble d´nombrable est hors-programme des classes pr´paratoires.

     e
    D´finition
                            e
     Un ensemble E est dit d´nombrable s’il existe une bijection de IN sur E.
                                    e                            e
     Un ensemble E est dit au plus d´nombrable s’il est fini ou d´nombrable.

   Remarques
             e               e                    e
   – IN est ´videmment lui-mˆme un ensemble d´nombrable.
        ∗
     IN est d´nombrable car la succession n → n + 1 est une bijection de IN sur IN∗ .
               e
           e                                                                  e                  e
     De mˆme, l’ensemble des entiers pairs et celui des entiers impairs sont d´nombrables (consid´rer
     les applications n → 2n et n → 2n + 1.)
                    e                                     e
   – Tout ensemble d´nombrable est infini (car IN est lui-mˆme infini.)
   – Si E est d´nombrable, et si on note n → an une bijection de IN sur E, on peut donc ´crire
               e                                                                        e
     E = {an , n ∈ IN}, les an ´tant distincts deux ` deux. Le caract`re d´nombrable de E est
                               e                    a                e    e
                   e            e                           e     ee
     donc une mani`re de “num´roter” distinctement les diff´rents ´l´ments de E.
               e                           e
   – Si E est d´nombrable (resp. au plus d´nombrable) et s’il existe une bijection de E sur un
                               e                          e
     ensemble F , alors F est d´nombrable (resp. au plus d´nombrable).

                                        e
    Proposition (Parties d’un ensemble d´nombrable)
                                   e                         e
     Toute partie F d’un ensemble d´nombrable E est au plus d´nombrable.

                               e                e
    Proposition (Produit cart´sien d’ensembles d´nombrables)
     L’ensemble IN × IN est d´nombrable.
                             e
                                                                                         n
                               e                             e
      Si E1 , . . . , En sont d´nombrables, leur produit cart´sien                                   e
                                                                                             Ek est d´nombrable.
                                                                                       k=1


                               e                            e
    Proposition (Une caract´risation des ensembles au plus d´nombrables)
                             e                                             e
     Soient E un ensemble d´nombrable. Un ensemble F non vide est au plus d´nombrable si et
     seulement s’il existe une surjection de E sur F .

                    e
   Remarques et cons´quences
                       e e                                                        e
   – La proposition pr´c´dente signifie qu’un ensemble non vide E est au plus d´nombrable si et
     seulement s’il peut s’´crire E = {an , n ∈ IN}, (les an ´tant non n´cessairement distincts.)
                           e                                 e          e
   – L’ensemble Z est d´nombrable car il est infini (il contient IN) et l’application d´finie sur IN2
                  Z     e                                                             e
                                                 2
     par f (m, n) = m − n est une sujection de IN sur Z Z.
                l       e                                                               e
   – L’ensemble Q est d´nombrable car il est infini (il contient IN) et l’application f d´finie sur
     Z × IN∗ par f (m, n) = m est une surjection de Z × IN∗ sur Q.
      Z                     n                        Z            l




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individuelle et priv´e sont interdites.
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                     Cours de Mathematiques
                                                                                                        ´
                                                                                     Entiers naturels, denombrements
                                                                                                                  e
                                                                                           Partie IV : Ensembles d´nombrables


                     e                             e
    Proposition (R´unions d’ensembles au plus d´nombrables)
                                                   e
     Soit (En )n∈IN une suite d’ensembles au plus d´nombrables.
                 e
     Alors leur r´union F =                                   e
                                  En est un ensemble au plus d´nombrable.
                             n∈IN



   Remarques
                                  e
   – Si l’un au moins des En est d´nombrable, alors F =                                           e
                                                                                          En est d´nombrable.
                                                                                   n∈IN
                                             e                           e
   – Une union finie d’ensembles au plus d´nombrables est au plus d´nombrable : il suffit en effet
             e                                                     e                 a
     de compl´ter une famille finie E0 , E1 , . . . , En par des Ek ´gaux par exemple ` En .

    Proposition
     L’ensemble P(IN) est infini non d´nombrable.
                                     e

    Proposition
                                  e
     L’ensemble IR est infini non d´nombrable.




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                                     e   e
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                    e
individuelle et priv´e sont interdites.

				
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