Docstoc

orsyn

Document Sample
orsyn Powered By Docstoc
					                                                   ³ÇÖ                                   ×ÙÒ           Õ




                                                                               º È ÖÖÓ



                                                           ½ ÆÓ Ñ ÖÓÙ ¾¼½¾




È        Ö        Õ    Ñ           Ò


½    ËÙÒ          ÖØ       ×           
                                                                                                                  ½




¾    ³ÇÖ                       ×ÙÒ          Õ              ×           ×       Ñ     Ó                                                                   ¾




¿    ÈÐ       ÙÖ                       Ö                ÔÐ             ÙÖ                ×ÙÒ          Õ                                               ½




     ³ÇÖ              ×ØÓ          ±∞                                                                                                                 ½




     ³   Ô        Ö            Ö                                                                                                                      ¾½




         ×        ÑÔØÛØ                
                                                                                                              ¾




     ËÙÒ          Õ            ×                ×Ø         Ñ                                                                                          ¾




     ÇÑÓ              ÑÓÖ                  ×ÙÒ      Õ                                                                                                 ¿




                     ×ÙÒ          Õ           
                                                                                                      ¿




½        ËÙÒ               ÖØ              ×       



Å    ØÓÒ          ÖÓ   ×ÙÒ             ÖØ      ×                       ÒÒÓÓ Ñ             Ñ       ÔÖ          Ñ Ø       ×ÙÒ ÖØ × ¸              Ø 


 Ò       Ðô×ÓÙÑ                            ÓÖ Ø        º       ³       Ø× ¸         Ò    f    Ò          Ñ         ×ÙÒ ÖØ × ¸ Ø Ø          ØÓ Ô          Ó

ÓÖ ×ÑÓ                 ØÓ Ô            Ó Ø ÑôÒ Ø 
                    f       Ò       ÙÔÓ× ÒÓÐ                ØÓÙ   R¸      Ð


                                                   dom (f ) ⊆ R,                          ran (f ) ⊆ R.

     Ä       ÓÒØ 
         Ø Ñ             ×ÙÒ ÖØ ×     f                  ÓÖÞ           Ø       ´        Ò       ÓÖ ×Ñ     Ò   µ ×       Ò   × Ñ Ó

a ∈ R             ×        Ò       × ÒÓÐÓ          S ⊆ R¸                      ÒÒÓÓ Ñ              Ø      a ∈ dom (f )            S ⊆ dom (f )¸
 ÒØ ×ØÓÕÛ
º


     Ä       ÓÒØ 
             Ø   Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×                       f    Ò            Ö        Ñ      Ò      ´ Òغ    ÒÛ        Ö       Ñ     Ò    ¸

     ØÛ           Ö    Ñ           Ò   µ Ô ÒÛ ×                    Ò       × ÒÓÐÓ         S ⊆ dom (f )¸                ÒÒÓÓ Ñ       Ø ØÓ × ÒÓÐÓ

f (S)        Ò        Ö       Ñ ÒÓ ´ Òغ                  ÒÛ              Ö        Ñ ÒÓ¸             ØÛ        Ö    Ñ ÒÓµº



                                                                                     ½
¾º       ³ÇÖ                    ×ÙÒ         Õ         ×    ×    Ñ   Ó                                                                                             ¾




                                                                                                                                  1
È           Ö                   Ñ       ½º½       ³   ×ØÛ       f        ×ÙÒ ÖØ ×                    Ñ    Ø ÔÓ     f (x) =        xº   Ì Ø


         i
        ´ µ ËØÓ                     ×Ø Ñ         (−∞, −1]                     f        Ò        Ö       Ñ Ò º


    ´   iiµ         ËØÓ             ×Ø Ñ         [−1, 0)             f        Ò            ÒÛ       Ö       Ñ Ò       ÐÐ     Õ            ØÛ       Ö       Ñ Ò º


    ´   iiiµ        ËØÓ             ×Ø Ñ         (0, 1]         f        Ò                 ØÛ   Ö        Ñ Ò      ÐÐ         Õ       ÒÛ        Ö       Ñ Ò º


    ´   ivµ         ËØÓ             ×Ø Ñ         [1, +∞)                 f        Ò         Ö       Ñ Ò º




¾                   ³ÇÖ                               ×ÙÒ           Õ                   ×        ×        Ñ       Ó


³       ×ØÛ         a           ε       Ó ÔÖ              Ñ Ø       Ó       Ö     ÑÓ Ñ         ε > 0º         ÌÓ × ÒÓÐÓ


                                    Nε (a) := (a − ε, a + ε) = {x ∈ R : |x − a| < ε}

Ð               Ø       Ô    Ö ÓÕ               ØÓÙ   a    Ñ            ØÒ       ε    ´     ε¹Ô     Ö ÓÕ          ØÓÙ      aµº   ÌÓ × ÒÓÐÓ

                                     ∗
                                    Nε (a) := Nε (a) − {a} = (a − ε, a) ∪ (a, a + ε)
                                                           = {x ∈ R : 0 < |x − a| < ε}

Ð               Ø    ØÖÙÔ               Ñ   Ò         Ô    Ö ÓÕ          ØÓÙ       aÑ          ØÒ εº ´ÌÓ Ö ÑÑ N                           ×ØÓÙ
 ×ÙÑ Ó¹

Ð ×ÑÓ 
                     ÙØÓ 
 ÔÖÓ ÖÕ Ø                          Ô     Ø        Ð Ü       Neighborhoodºµ Ò Ò                            Ò           Ò         Ó

Ò               Ò       ÖÓÙÑ            Ø Ò           ØÒ ¸ Ø Ø                  Ð Ñ         ÔÐô
 “Ô Ö ÓÕ  ØÓÙ a”                               “ØÖÙÔ        Ñ Ò

Ô Ö ÓÕ                  ØÓÙ     a”º

            ³       ×ØÛ     f   Ñ       ×ÙÒ ÖØ ×                        ÓÔÓ           ÓÖÞ Ø            ×    Ñ    ØÖÙÔ Ñ Ò            Ô Ö ÓÕ               ØÓÙ   aº
´ÈÖÓ×ÓÕ                             f   ÑÔÓÖ  Ò               Ñ Ò ÓÖÞ Ø                    ×ØÓ     aºµ     Ä Ñ        Ø         f    Õ    ×ØÓ         a     Ö Ó

L∈R                     Ò                       ε>0         ÙÔ ÖÕ                  Ò        δ>0          Ø ØÓ Ó ô×Ø

                                                               ∗
                                                          x ∈ Nδ (a) ⇒ f (x) ∈ Nε (L) ,

        Ð

                                                  0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.
¾º   ³ÇÖ                  ×ÙÒ      Õ         ×   ×    Ñ   Ó                                                                                        ¿




       ×       Ø              ÙØ       × Ñ Ò             Ø          ô
 ØÓ      x    ÔÐ ×           Þ       ØÓ       a   ´ Ø        Ô     Ö ×Ø Ö

 Ø        Ô          Ü       µ ÕÛÖ
 ÔÓØ             Ò       ØÓ         Ò   ¸ ØÓ    f (x)         ÔÐ ×          Þ       ØÓ     Lº

          Ò        f          Õ    ×ØÓ       a Ö Ó L¸              Ø Ø   Ð Ñ         Ô× 
              Ø       ØÓ   f (x)      Ø    Ò     ×ØÓ   L
      ô
 ØÓ        x      Ø Ò         ×ØÓ    a¸  Ö            ÓÙÑ



                                                 f (x) → L                      ô
       x → a.

È     Ö                   Ñ       ¾º½    ³   ×ØÛ          Øf Õ               ×Ø          Ö        Ø Ñ       c   Ô ÒÛ ×          Ñ        ØÖÙÔ Ñ Ò

Ô Ö ÓÕ         ØÓÙ        aº           ÜØ       Ø   f (x) → c                  ô
   x → aº
Ä     ×        Ä           Û ÙÔ          × 
¸ ÙÔ ÖÕ                  Ò       ρ>0     Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                          ∗
                                                     x ∈ Nρ (a) ⇒ f (x) = c.

                   ε > 0¸          ÕÓÙÑ



                              0 < |x − a| < ρ ⇒ |f (x) − c| = |c − c| = 0 < ε.

 ÔÓÑ ÒÛ
              f (x) → c                  ô
       x → aº

È     Ö                   Ñ       ¾º¾    ³   ×ØÛ          Ø f (x) = x           Ô ÒÛ ×              Ñ           ØÖÙÔ Ñ Ò             Ô Ö ÓÕ    ØÓÙ

aº          ÜØ           Ø   f (x) → a                   ô
 x → aº


Ä     ×        Ä           Û ÙÔ          × 
¸ ÙÔ ÖÕ                  Ò       ρ>0     Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                          ∗
                                                     x ∈ Nρ (a) ⇒ f (x) = x.

                   ε > 0¸          ÕÓÙÑ



                          0 < |x − a| < min {ρ, ε} ⇒ |f (x) − a| = |x − a| < ε.

 ÔÓÑ ÒÛ
              f (x) → a                  ô
       x → aº

                                                                                                                                     3x2 −14x+15
È     Ö                   Ñ       ¾º¿    ³   ×ØÛ          Ø  f           Ò Ø        Ô        ØÓÒ Ø ÔÓ               f (x) =             x−3     º

      ÜØ         Ø   f (x) → 4                      ô
   x → 3º
Ä     ×               Ô           3x2 − 14x + 15 = (x − 3) (3x − 5)¸                                        ÕÓÙÑ



                                                               f (x) = 3x − 5

                   x = 3º          À     Ö            Ô Ö ×Ø ×               Ø 
     f       Ò
¾º   ³ÇÖ           ×ÙÒ   Õ        ×       ×    Ñ      Ó




ÌôÖ ¸        ×ØÛ     Ø Ñ 
        Ò Ø            Ò    ε > 0º      ÈÖ Ô            Ò    ÖÓ Ñ      Ò   δ>0Ø        ØÓ Ó ô×Ø


                                  0 < |x − 3| < δ ⇒ |f (x) − 4| < ε.

    Ò   x = 3¸    Ø Ø


                                  |f (x) − 4| < ε ⇔ |3x − 5 − 4| < ε
                                                                 ε
                                   ⇔ |3x − 9| < ε ⇔ |x − 3| < .
                                                                 3
ËÙÒ Ôô
 ÑÔÓÖÓ Ñ               Ò    Ô ÖÓÙÑ                  δ = ε/3º

       ôÖ   Ñ     ¾º         Ò       f       Õ            Ö Ó ×ØÓ   a¸    Ø   Ø       ÙØ   Ò     ÑÓÒ        º




     Ô        Ü         
 ÙÔÓ      ×ÓÙÑ                Ø    L, M      Ò           Ó        ÓÖ Ø          Ö   Ø 
   f   ×ØÓ   aº
 ÛÖÓ Ñ           ØÓÒ     Ø           Ö       Ñ


                                                                 |L − M |
                                                           ε=             .
                                                                    2
    Ô        f (x) → L             ô
     x → a¸             ÙÔ ÖÕ         Ò       δ1 > 0   Ø ØÓ Ó ô×Ø


                              0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ε.

ÇÑÓÛ
¸        Ô         f (x) → M                         ô
   x → a¸     ÙÔ ÖÕ            Ò    δ2 > 0   Ø ØÓ Ó ô×Ø


                              0 < |x − a| < δ2 ⇒ |f (x) − M | < ε.

    
       Ð ÜÓÙÑ      ØôÖ       Ò       x0      Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                          0 < |x0 − a| < min {δ1 , δ2 } .

³    Ø× ¸

                        |f (x0 ) − L| < ε                                      |f (x0 ) − M | < ε.
¾º      ³ÇÖ                  ×ÙÒ          Õ           ×    ×       Ñ    Ó




Ç           Ò× Ø Ø 
                  ÙØ 
            ÑÛ
 Ó                  Ó Ò ×             ØÓÔÓ



                                          2ε = |L − M | = |L − f (x0 ) + f (x0 ) − M |
                                          ≤ |L − f (x0 )| + |f (x0 ) − M | < ε + ε = 2ε.



        À ÑÓÒ                        Ø Ø           ØÓÙ ÓÖÓÙ Ñ 
                       Ô ØÖ Ô         Ò    ÓÖ×ÓÙÑ



                                                       lim f (x) := ØÓ                      ÖÓ Ø 
         f    ×ØÓ     a,
                                                      x→a

        ×ÓÒ ØÓ               ÖÓ           ÙØ          ÙÔ ÖÕ            º     Ö         ÓÒØ 
 ÐÓ Ô Ò



                                                                             lim f (x) = L
                                                                             x→a

 ÒÒÓÓ Ñ                  Ø       f (x) → L                          ô
       x → aº                 Ô Ö            Ñ ¸         ÕÓÙÑ



                                                               lim c = c,                       lim x = a,
                                                               x→a                              x→a

    ÔÓÙ         c   Ñ   ×Ø               Ö       ´       Ø   È Ö                 Ñ Ø         ¾º½            ¾º¾µº



        ³       ×ØÛ      f       Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×                         ÓÔÓ        ÓÖÞ Ø         ×     Ñ      Ô Ö ÓÕ           ØÓÙ   aº       Ä Ñ       Ø

f       Ò          ×ÙÒ          Õ        
   ×ØÓ      a       Ò



                                                                           lim f (x) = f (a) ,
                                                                           x→a

        ×Ó          Ò Ñ ¸                              ε>0             ÙÔ ÖÕ               Ò    δ>0         Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                                      |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.

            ×       Ø                ÙØ       × Ñ Ò                Ø             Ö             Ô Ö ×Ø ×               Ø 
     f     Ò    Ñ        ÒÞ   “           ¹

    ÓÔ          ”   Ø Ò      x = aº

È        Ö                   Ñ        ¾º           Å           ×Ø            Ö     ×ÙÒ ÖØ ×               ´ Ô      ØÓ      R   ×ØÓ   Rµ       Ò    ×ÙÒ Õ 


×                    × Ñ Ó           a ∈ Rº

È        Ö                   Ñ        ¾º           À Ø ÙØÓØ                       ×ÙÒ ÖØ ×                f (x) = x            Ò    ×ÙÒ Õ 
 ×

× Ñ Ó              a ∈ Rº

       ôÖ           Ñ       ¾º




     ´ µi           Ò        f       Õ         Ö Ó ×ØÓ          a   ¸ Ø      Ø         f       Ò     Ö        Ñ   Ò       Ô   ÒÛ ×      Ñ     ØÖÙÔ      Ñ       Ò


                Ô   Ö ÓÕ             ØÓÙ      aº




    ´ii     µ       Ò        f       Ò       ×ÙÒ      Õ       
 ×ØÓ         a   ¸ Ø   Ø        f   Ò         Ö       Ñ   Ò    Ô   ÒÛ ×       Ñ     Ô   Ö ÓÕ


                ØÓÙ      a
                         º
¾º      ³ÇÖ                         ×ÙÒ     Õ                ×           ×       Ñ    Ó




     Ô                  Ü            (i)            ³       ×ØÛ              Ø       limx→a f (x) = Lº                               Ð       ÓÙÑ          Ò       δ>0        Ø ØÓ Ó

ô×Ø

                                                            0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < 1.
³    Ø× ¸
                                                 ∗
                                            x ∈ Nδ (a)                               ÕÓÙÑ


                                                                                 L − 1 < f (x) < L + 1,

                Ö               f   Ò                  Ö     Ñ Ò                Ô ÒÛ ×Ø Ò
                                                                                                            ∗
                                                                                                           Nδ (a)º

         (ii)           ³       Ñ ×         ×ÙÒ Ô                            ØÓÙ      (i)º

       ôÖ              Ñ           ¾º



     ´ µi       ³       ×ØÛ          Ø      limx→a f (x) = L                                  º




                    ´       µ       Ò    L>0                ¸ Ø          Ø       f (x) > L/2                   Ô   ÒÛ ×         Ñ    ØÖÙÔ         Ñ   Ò       Ô   Ö ÓÕ       ØÓÙ   a   º



                    ´       µ       Ò    L<0                ¸ Ø          Ø       f (x) < L/2                   Ô   ÒÛ ×         Ñ    ØÖÙÔ         Ñ   Ò       Ô   Ö ÓÕ       ØÓÙ   a   º



                    ´       µ       Ò    L = 0               ¸       Ø       Ø    |f (x)| > |L| /2                      Ô      ÒÛ    ×       Ñ    ØÖÙÔ        Ñ   Ò      Ô   Ö ÓÕ


                                ØÓÙ      a  º




    ´ii     µ   ³       ×ØÛ          Ø              f        Ò              ×ÙÒ         Õ   
       ×ØÓ   a   º




                    ´       µ       Ò    f (a) > 0                   ¸       Ø   Ø       f (x) > f (a) /2                   Ô   ÒÛ       ×    Ñ       Ô   Ö ÓÕ      ØÓÙ      aº



                    ´       µ       Ò    f (a) < 0                   ¸       Ø   Ø       f (x) < f (a) /2                   Ô   ÒÛ       ×    Ñ       Ô   Ö ÓÕ      ØÓÙ      aº



                    ´       µ       Ò    f (a) = 0                   ¸       Ø   Ø       |f (x)| > |f (a)| /2                    Ô   ÒÛ      ×    Ñ       Ô   Ö ÓÕ       ØÓÙ      aº




     Ô                  Ü                        Ò Ø                 Û
           ×          × º



       ôÖ              Ñ           ¾º          ³       ×ØÛ              f, g            Ó    ×ÙÒ      ÖØ          ×   
   Ø    ØÓ   
   ô×Ø          limx→a f (x) = L
            limx→a g (x) = M                                     º           Ô ÔÐ        ÓÒ¸          ×ØÛ          Ø   f (x) ≤ g (x)              Ô   ÒÛ      ×    Ñ     ØÖÙÔ          ¹


Ñ       Ò       Ô         a
                        Ö ÓÕ          ØÓÙ               º   Ì        Ø           L≤M             º




     Ô                  Ü            Ã Ø                    ÖÕ 
                     Ð       ÓÙÑ           Ò       ρ>0         Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                                          ∗
                                                                     x ∈ Nρ (a) ⇒ f (x) ≤ g (x) .

    
 ÙÔÓ                   ×ÓÙÑ            ØôÖ                      Ø       L > M¸               Ñ    × ÓÔ            Ò         Ø Ð ÜÓÙÑ             ×       ØÓÔÓº               Ð ¹

    ÓÙÑ             δ1 , δ2 > 0              Ø ØÓ                    ô×Ø


                                                                                                                                         L−M
                                             0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f (x) − L| <                                                                ,
                                                                                                                                          2
                                                                                                                                         L−M
                                            0 < |x − a| < δ2 ⇒ |g (x) − M | <                                                                ,
                                                                                                                                          2
                ×Ø Ö                    Ð       ÓÙÑ                      Ò       x0      Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                                     0 < |x0 − a| < min {ρ, δ1 , δ2 } .
¾º   ³ÇÖ                 ×ÙÒ    Õ         ×   ×       Ñ   Ó




À        Ò× Ø Ø
                                                                                L−M
                                                      |f (x0 ) − L| <
                                                                                 2
×ÙÒ Ô            Ø        Ø
                                                              L+M
                                                                  < f (x0 ) ,
                                                               2
    Òô          Ò× Ø Ø
                                                                                L−M
                                                      |g (x0 ) − M | <
                                                                                 2
×ÙÒ Ô            Ø        Ø
                                                                           L+M
                                                              g (x0 ) <        .
                                                                            2
³    Ø× ¸
                                         L+M                       L+M
                                             < f (x0 ) ≤ g (x0 ) <     ,
                                          2                         2
ØÓ ÓÔÓÓ            Ò         ØÓÔÓº



        ôÖ     Ñ        ¾º½¼ ´           Ö Ø     Ö Ó Ô           Ö   Ñ    ÓÐ    
µ

³    f, g, h
     ×ØÛ                 ×ÙÒ limx→a f (x) = L
                                    ÖØ    ×   
   Ñ                                      limx→a h (x) = L        º       Ô ÔÐ        ¹


ÓÒ¸      ×ØÛf (x) ≤ g (x) ≤ h (x)
                    Ø                                             Ô   ÒÛ ×   Ñ    ØÖÙÔ    Ñ   Ò   Ô   Ö ÓÕ   ØÓÙ     a   º   Ì   Ø


limx→a g (x) = L                º




     Ô          Ü         Ã Ø           ÖÕ 
              Ð    ÓÙÑ     Ò     ρ>0      Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                             ∗
                                        x ∈ Nρ (a) ⇒ f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) .

     Ó     ÒØÓ
         Ò 
    ε > 0¸             Ð       ÓÙÑ     δ1 , δ2 > 0    Ø ØÓ    ô×Ø


                                         0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ε,

                                         0 < |x − a| < δ2 ⇒ |h (x) − L| < ε.
    Ò    0 < |x − a| < min {ρ, δ1 , δ2 }¸                        Ø Ø


                                        L − ε < f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) < L + ε

           Ö

                                                               |g (x) − L| < ε.
Å          ÐÐ    Ð         ¸        Ü Ñ          Ø


                          0 < |x − a| < min {ρ, δ1 , δ2 } ⇒ |g (x) − L| < ε.

ËÙÒ Ôô
          limx→a g (x) = Lº

        ôÖ     Ñ        ¾º½½       ³    ×ØÛ      limx→a f (x) = L                    limx→a g (x) = M       º   Ì   Ø




     ´ µi limx→a [f (x) + g (x)] = L + M                               º
¾º   ³ÇÖ              ×ÙÒ       Õ         ×   ×      Ñ   Ó




 ´   ii limx→a [f (x) − g (x)] = L − M
         µ                                                                 º




´   iii limx→a [f (x) g (x)] = LM
         µ                                                       º




 ´   iv limx→a [f (x) /g (x)] = L/M
         µ                                M =0                       ¸         ×ÓÒ          º


                            √
    ´ v limx→a n f (x) = n L
         µ                          n ∈ Z+               ´       ÔÓÙ                 µ¸     ×ÓÒ    f (x) ≥ 0        Ô   ÒÛ   ×   Ñ


             ØÖÙÔ     Ñ    Ò    aÔ   Ö ÓÕ        ØÓÙ         º




 ´   vi limx→a |f (x)| = |L|
         µ                                       º




     Ô           Ü        (i)    ³   ×ØÛ      ε > 0º                  Ð        ÓÙÑ   δ1 , δ2 > 0   Ø ØÓ       ô×Ø


                                                                                                   ε
                                     0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f (x) − L| <                                ,
                                                                                                   2
                                                                                                      ε
                                     0 < |x − a| < δ2 ⇒ |g (x) − M | <                                  .
                                                                                                      2
    Ò    0 < |x − a| < min {δ1 , δ2 }¸                        Ø Ø


                                                                                                              ε ε
          |f (x) + g (x) − (L + M )| ≤ |f (x) − L| + |g (x) − M | <                                            + = ε.
                                                                                                              2 2
 ÔÓÑ ÒÛ
             limx→a [f (x) + g (x)] = L + M º

         (ii)    ³ÇÔÛ
               ØÓ   (i)¸   Ñ ÒÓ ÔÓÙ ØôÖ                    ÕÖ × ÑÓÔÓ Ó Ñ          Ø Ò    Ò× Ø Ø



                     |f (x) − g (x) − (L − M )| ≤ |f (x) − L| + |g (x) − M | .


         (iii)   Ë Ñ       ÛÒ        Ñ    ØÓ Â ôÖ Ñ                   ¾º ¸ ÙÔ ÖÕÓÙÒ         ρ, K > 0        Ø ØÓ    ô×Ø


                                                   ∗
                                              x ∈ Nρ (a) ⇒ |g (x)| < K.

     Ó       ÒØÓ
    Ò 
       ε > 0¸            Ð       ÓÙÑ         δ1 , δ2 > 0     Ø ØÓ       ô×Ø


                                                                                                  ε
                                0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f (x) − L| <                                        ,
                                                                                                K + |L|
                                                                                                  ε
                                0 < |x − a| < δ2 ⇒ |g (x) − M | <                                       .
                                                                                                K + |L|
    Ò    0 < |x − a| < min {ρ, δ1 , δ2 }¸                            Ø Ø



                 |f (x) g (x) − LM | = |(f (x) − L) g (x) + (g (x) − M ) L|
                                                          εK        ε |L|
             ≤ |f (x) − L| |g (x)| + |g (x) − M | |L| <         +           = ε.
                                                        K + |L| K + |L|

 ÔÓÑ ÒÛ
             limx→a [f (x) g (x)] = LM º
¾º   ³ÇÖ                 ×ÙÒ   Õ      ×      ×    Ñ   Ó




         (iv)       Ä     Û ØÓÙ     (iii)¸       Ö     Ò       ÜÓÙÑ      Ø      limx→a [1/g (x)] = 1/M º           Ë Ñ¹

    ÛÒ      Ñ       ØÓ Â ôÖ Ñ         ¾º ¸ ÙÔ ÖÕ            ρ>0         Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                               ∗                                   |M |
                                          x ∈ Nρ (a) ⇒ |g (x)| >                        .
                                                                                    2
     Ó     ÒØÓ
          Ò 
   ε > 0¸         Ð       ÓÙÑ     Ò     δ>0    Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                                                          εM 2
                                   0 < |x − a| < δ ⇒ |g (x) − M | <                            .
                                                                                           2
    Ò    0 < |x − a| < min {ρ, δ}¸                    Ø Ø


                      1    1                       1         εM 2     2
                         −   = |g (x) − M | ·              <      ·       = ε.
                    g (x) M                   |g (x)| |M |    2     |M |2

    ÔÓÑ ÒÛ
             limx→a [1/g (x)] = 1/M º

         (v)    ³       f (x) ≥ 0
                        ×ØÛ    Ø
                                             ∗
                                        x ∈ Nρ (a)º ³                                     Ø× ¸ × Ñ   ÛÒ    Ñ       ØÓ Â ô¹

Ö Ñ       ¾º    ¸ ÕÓÙÑ     L ≥ 0º     n=1   ÔÓ    Ø                                        × Ø Ø     Ò    Ø ØÖ ÑÑ Ò ¸

ÓÔ Ø             ÙÔÓ  ×ÓÙÑ   Ø n ≥ 2º



È ÖÔØÛ× ½                     L = 0º             Ó    ÒØÓ
       Ò 
   ε > 0¸        Ð     ÓÙÑ      Ò    δ >0      Ø ØÓ Ó

ô×Ø

                                        0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| < εn .
³    Ø× ¸



                0 < |x − a| < min {ρ, δ} ⇒ 0 ≤ f (x) < εn ⇒                                    n
                                                                                                   f (x) < ε,
                                       √
          Ö     limx→a n f (x) = 0 = n L º

È ÖÔØÛ× ¾                     L > 0º     À       ÒÛ×Ø      Ø ÙØ Ø Ø


                                                                        n−1
                                             n        n
                                          a − b = (a − b)                     an−1−i bi
                                                                        i=0

×ÙÒ Ô               Ø      Ø



                                                            √       n−1                              √
                                                            n
                                                                                           n−1−i     n
                                                                                                           i
                                          n                                   n
                    f (x) − L =                  f (x) −        L                 f (x)                L       .
                                                                    i=0

Ë Ñ       ÛÒ        Ñ     ØÓ Â ôÖ Ñ           ¾º ¸ ÙÔ ÖÕ            σ>0       Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                                   ∗                                L
                                              x ∈ Nσ (a) ⇒ f (x) >                    .
                                                                                    2
¾º      ³ÇÖ                     ×ÙÒ        Õ            ×         ×      Ñ   Ó                                                                                                                      ½¼




³    Ø× ¸
                                            ∗
                                       x ∈ Nσ (a)                            ÕÓÙÑ


                         n−1                                                                            n−1                                n−1−i                                     i
                                      n
                                                                 n−1−i            √
                                                                                  n
                                                                                               i                         n    L                                 n        L
                                           f (x)                                      L            ≥
                                                                                                                              2                                          2
                            i=0                                                                            i=0
                                                                n−1                        n−1                                         n−1
                                                                             n    L                                      n    L
                                                        =                                              =n                                           .
                                                                                  2                                           2
                                                                i=0

     Ó          ÒØÓ
            Ò 
    ε > 0¸                       Ð        ÓÙÑ           Ò           δ>0          Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                                                                                                                            n−1
                                                                                                                                           n     L
                                     0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < εn                                                                                                  .
                                                                                                                                                 2

    Ò    0 < |x − a| < min {σ, δ}¸                                           Ø Ø



            n
                                     √
                                     n                                               |f (x) − L|                                                        |f (x) − L|
                    f (x) −               L =                                                          n−1−i              √            i
                                                                                                                                            ≤                                n−1          < ε.
                                                                  n−1            n                                        n
                                                                  i=0                f (x)                                  L                       n           n       L
                                                                                                                                                                        2


                                           n
                                                                          √
                                                                          n
ËÙÒ Ôô
                     limx→a                     f (x) =                Lº

         (vi)                     Ò Ø              Û
           ×        × º



È           Ö ×Ñ                ¾º½¾           ³       ×ØÛ          Ø    limx→a fi (x) = Li i = 1, 2, . . . , n          ¸                                          º    Ì       Ø




     ´ µ i limx→a [f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x)] = L1 + L2 + · · · + Ln                                                                                                      º




    ´ii limx→a [f1 (x) f2 (x) · · · fn (x)] = L1 L2 · · · Ln
            µ                                                                                                                      º




È           Ö ×Ñ                ¾º½¿                Ò       Ó    ×ÙÒ         ÖØ      ×    
        f, g        Ò        ×ÙÒ Õ              
      ×ØÓ     a   ¸       Ø    Ø               Ó       ×Ù¹


Ò    ÖØ         ×       



                                                                    f + g,               f − g,                f g,           f /g
    Ò          ×ÙÒ         Õ   
   ×ØÓ           a            f /g     ÙÔ          Ø    Ò    ÔÖ ÓÔ                 ×          Ø         g (a) = 0                ℄º       Ô×         
¸      Ò    Ó


f1 , f2 , . . . , fn                  Ò           ×ÙÒ          Õ   
   ×ØÓ         a   ¸ Ø       Ø             Ó




                                                                f1 + f2 + · · · + fn ,                              f1 f2 · · · fn

    Ò          ×ÙÒ         Õ   
   ×ØÓ           aº




È           Ö ×Ñ                ¾º½                 Ò       f       Ò       Ñ        ÔÓÐÙÛÒÙÑ                            ×ÙÒ          ÖØ        ×      ¸   Ø       Ø            f       Ò          ×Ù¹


Ò    Õ          
   ×                 ×    Ñ           Ó    a∈R         º        Ô×      
¸          Ò   g        Ò       Ñ         Ö        Ø       ×ÙÒ          ÖØ          ×       ´       Ð


    Ð    ×Ñ             ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ó                        Ö     Ñ      Ø    
           Ó Ô          Ö ÓÒÓÑ            ×Ø    
           Ò       ÔÓÐÙÛÒÙÑ                             
 ×ÙÒ        Ö¹


Ø       ×       
µ¸     Ø   Ø         g            Ò       ×ÙÒ          Õ    
   ×                    ×       Ñ     Ó      a ∈ dom (g)                    º
¾º      ³ÇÖ               ×ÙÒ          Õ               ×     ×        Ñ   Ó                                                                                         ½½




³    ×           ³ ×ØÛ f Ñ
                 ×       ¾º½×ÙÒ                                                            ÖØ ×           ÓÔÓ            ÓÖÞ Ø         ×   Ñ        ØÖÙÔ Ñ Ò

Ô Ö ÓÕ      a¸     ×ØÛ L ∈ Rº
                    ØÓÙ                                                                    ÜØ      Ø    limx→a f (x) = L                    Ò         Ñ ÒÓÒ          Ò

limx→a [f (x) − L] = 0º

³    ×           ×       ¾º½            ³          ×ØÛ       f    Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×                     ÓÔÓ      ÓÖÞ Ø   × Ñ    Ô Ö ÓÕ ØÓÙ aº

        ÜØ         Ø        f     Ò              ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                     a       Ò        Ñ ÒÓÒ         Ò   limx→a [f (x) − f (a)] = 0º

³    ×           ×       ¾º½            ³          ×ØÛ       n ∈ Z+ º                      ÜØ      Ø

                                                   √
        i
     ´ µ À ×ÙÒ ÖØ ×
                                                   n
                                                       x         Ò       ×ÙÒ Õ 
 ×                            × Ñ Ó       a ∈ R+ º

    ´   iiµ √ f
              Ò                   Ò           ×ÙÒ Õ 
 ×                            ÔÓ Ó × Ñ Ó               a∈R          Ñ     f (a) > 0¸           Ø Ø
            n
              f Ò                 ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                            aº

³       ×        ×       ¾º½                       ÜØ            Ø



        i
     ´ µ À ×ÙÒ ÖØ ×                                |x|       Ò           ×ÙÒ Õ 
 ×                        × Ñ Ó          a ∈ Rº

    ´   iiµ      Ò       f        Ò        ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                           a¸   Ø Ø                 |f |    Ò       ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ               aº

³    ×           ×       ¾º½                       ÜØ            Ø        Ò      limx→a |f (x)| = 0¸                     Ø Ø     limx→a f (x) = 0º

³    ×           ×       ¾º¾¼                      ÜØ            Ø        Òlimx→a f (x) = 0        g Ò                                      Ö       Ñ Ò       Ô ÒÛ

×       Ñ        ØÖÙÔ Ñ Ò                  Ô Ö ÓÕ                 ØÓÙ      a¸ Ø Ø limx→a [f (x) g (x)] = 0º

        ôÖ         Ñ     ¾º¾½                 ³    ×ØÛ          limx→a f (x) = L                              limy→L g (y) = M                   º   Ì    Ø




                                                                           lim g (f (x)) = M,
                                                                          x→a

ÙÔ          Ø   Ò   ÔÖ ÓÔ                 ×           Ø     ×Õ                   ØÓÙÐ      Õ ×ØÓÒ       Ñ       Ô       Ø 
    Ô   Ö       ØÛ ×ÙÒ              





     ´ µi f (x) = L                    Ô    ÒÛ         ×      Ñ           ØÖÙÔ         Ñ       Ò   Ô    Ö ÓÕ      ØÓÙ      a º




    ´ii     µ   À   g    Ò        ×ÙÒ             Õ     
   ×ØÓ          L   ¸        Ð           M = g (L)          º




     Ô               Ü        ³    ×ØÛ                 Ø     ×Õ                     ×ÙÒ                 (i)¸      Ð              ÙÔ ÖÕ            ÔÓ Ó         ρ > 0
Ø ØÓ Ó ô×Ø
                                                                      ∗
                                                                 x ∈ Nρ (a) ⇒ f (x) = L.
     Ó          ÒØÓ
      Ò 
      ε > 0¸                        Ð        ÓÙÑ          Ò         δ1 > 0    Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                                   0 < |y − L| < δ1 ⇒ |g (y) − M | < ε.

ËØ          ×ÙÒ Õ             ¸            Ð        ÓÙÑ               Ò       δ2 > 0           Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                                   0 < |x − a| < δ2 ⇒ |f (x) − L| < δ1 .
¾º      ³ÇÖ               ×ÙÒ      Õ            ×           ×       Ñ   Ó                                                                        ½¾




³       ÕÓÙÑ        ÐÓ Ô Ò



                              0 < |x − a| < min {ρ, δ2 } ⇒ 0 < |f (x) − L| < δ1
                                                                 ⇒ |g (f (x)) − M | < ε,

ÓÔ Ø            limx→a g (f (x)) = M º

            ³   ×ØÛ ØôÖ             Ø       ×Õ                          ×ÙÒ           (ii)º      Ó        ÒØÓ
   Ò 
       ε > 0¸        Ð     ÓÙÑ

ÔÖôØ              Ò     δ1 > 0         Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                            |y − L| < δ1 ⇒ |g (y) − g (L)| < ε,

            Ñ Ø           Ð    ÓÙÑ              Ò           δ2 > 0           Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                            0 < |x − a| < δ2 ⇒ |f (x) − L| < δ1 .

³       Ø× ¸



                                            0 < |x − a| < δ2 ⇒ |f (x) − L| < δ1
                                                                ⇒ |g (f (x)) − g (L)| < ε,

ÓÔ Ø            limx→a g (f (x)) = g (L) = M º

È           Ö ×Ñ          ¾º¾¾              Ò           f        Ò      ×ÙÒ Õ        
 ×ØÓ      a          g    Ò    ×ÙÒ       Õ    
 ×ØÓ    f (a)   ¸


Ø       Ø        g◦f          Ò       ×ÙÒ          Õ       
    ×ØÓ     a   º




È           Ö   Ø     Ö   ×        ¾º¾¿                     Ò ×ØÓ Â ôÖ Ñ                  ¾º¾½       Ò ×Õ             Ñ     Ô       Ø 
 ×ÙÒ       


(i)               (ii)¸   Ø Ø       Ô           Òô
 Ò                   Ñ Ò      ×Õ                  × Ø Ø       limx→a g (f (x)) = M º
            Ô Ö           Ñ ¸       ×ØÛ                 Ø       f (x) = 1                        x ∈ R¸

                                                                                      2    Ò   y = 1,
                                                                g (y) =
                                                                                      3    Ò   y = 1.

Ì Ø             limx→0 f (x) = 1                                    limy→1 g (y) = 2¸                ÐÐ    limx→0 g (f (x)) = 3º

           ôÖ      Ñ     ¾º¾           ³   ÕÓÙÑ




                               Ñx
         i limx→0
        ´ µ
                               x       =1       º




                              ×ÙÒ x−1
    ´   ii limx→0
            µ
                                   x            =0          º




                              ex −1
    ´   iii limx→0
            µ
                                x       =1          º




                              ln(1+x)
    ´   iv limx→0
            µ
                                 x           =1             º




        Ô           Ü         È Ö Ð Ô Ø                        º
¾º      ³ÇÖ                             ×ÙÒ        Õ           ×        ×    Ñ   Ó                                                                           ½¿




³       ×               ×           ¾º¾            ³       ×ØÛ         f    Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×             Ø ØÓ             ô×Ø    limx→a f (x) = 0        ÐÐ

f (x) = 0                       Ô ÒÛ ×                 Ñ           ØÖÙÔ Ñ Ò                  Ô Ö ÓÕ       ØÓÙ         aº       ÜØ   Ø


                                          Ñ f (x)
        ´ µ i limx→a                      f (x)            = 1º

                                         ×ÙÒ f (x)−1
    ´   iiµ limx→a                             f (x)                   = 0º

                                         ef (x) −1
    ´   iiiµ limx→a                        f (x)               = 1º

                                         ln(1+f (x))
    ´   ivµ limx→a                          f (x)                      = 1º

                                                                                                 ax −1
³       ×               ×           ¾º¾                     ÜØ             Ø    limx→0            x      = ln a                     a ∈ R+ º

           ôÖ              Ñ           ¾º¾            Ç                   ÐÓÙ           
   ×ÙÒ     ÖØ   ×       
       Ò   ×ÙÒ   Õ   
   ×       ×   Ñ   Ó


×ØÓ             ÓÔÓÓ ÓÖÞÓÒØ




        ´ µ i           Ñ   x   º




    ´   ii      µ   ×ÙÒ      x      º




    iii
    ´           µ           x   ¸   ×     x    ¸   Ø Ñ         x   ¸   ×Ø Ñ      x   º




    ´   iv ex   µ        º




        v ln x
        ´       µ            º




    ´   vi bx logb x
                µ       ¸                  ¸               ÔÓÙ         b ∈ R+ − {1}              º




        Ô                   Ü            (i)               Ö        Ò           ÜÓÙÑ               Ø



                                                                                lim (        Ñ   x−       Ñ   a) = 0,
                                                                                x→a

    ÔÓÙ             a       Ò           Ò 
 ÓÔÓ Ó×                         ÔÓØ           ÔÖ     Ñ Ø          
       Ö    Ñ 
º          x = a¸    ÕÓÙÑ


                                                                                                                       x−a
                                                                           x−a     x+a                                Ñ
                                                                                                                         2                        x+a
                        Ñ    x−           Ñ    a=2                     Ñ       ×ÙÒ     =                              x−a      (x − a) ×ÙÒ            .
                                                                            2       2                                  2
                                                                                                                                                   2

Ë Ñ                 ÛÒ          Ñ       Ø Ò ³          ×           ×        ¾º¾ ¸


                                                                                                  x−a
                                                                                                 Ñ
                                                                                                    2
                                                                                         lim     x−a          = 1.
                                                                                     x→a
                                                                                                  2

    Ô× 
¸ × Ñ                           ÛÒ            Ñ       Ø Ò ³        ×        ×       ¾º¾¼¸


                                                                                                          x+a
                                                                       lim (x − a) ×ÙÒ                        = 0.
                                                                       x→a                                 2
¾º   ³ÇÖ                  ×ÙÒ       Õ        ×    ×    Ñ   Ó                                                                       ½




³    Ö


                                                                     x−a
                                                                    Ñ
                                                                       2                                x+a
                lim (     Ñ   x−         Ñ   a) = lim               x−a       (x − a) ×ÙÒ                   = 1 · 0 = 0.
            x→a                                       x→a
                                                                     2
                                                                                                         2


         (ii)      Ö       Þ Ñ ×Ø                ÔÛ
 Ô Ö Ô ÒÛ¸                    ÐÐ       ÕÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 Ø 
 × Ø Ø 



                                                                                                     x−a
                                                       x−a                  x+a                     Ñ
                                                                                                       2                 x+a
          ×ÙÒ    x − ×ÙÒ a = −2                    Ñ                    Ñ       =−                  x−a    (x − a)   Ñ       .
                                                        2                    2                       2
                                                                                                                          2


         (iii)    À ×ÙÒ Õ                     ÐÛÒ       ÙØôÒ ØÛÒ ×ÙÒ ÖØ × ÛÒ ÔÖÓ                             ÔØ      Ñ ×Û
      Ô   Ø

×ÙÒ Õ             ØÛÒ ×ÙÒ ÖØ × ÛÒ                          Ñ   x            ×ÙÒ   xº

         (iv)         Ö        Ò           ÜÓÙÑ          Ø



                                                            lim (ex − ea ) = 0,
                                                            x→a

    ÔÓÙ    a     Ò        Ò 
 ÓÔÓ Ó×                 ÔÓØ          ÔÖ       Ñ Ø        
    Ö       Ñ 
º      x = a¸     ÕÓÙÑ


                                                                    ex−a − 1
                                                 ex − ea =                   (x − a) ea .
                                                                      x−a
Ë Ñ        ÛÒ      Ñ      Ø Ò ³         ×     ×       ¾º¾ ¸


                                                               ex−a − 1
                                                            lim         = 1.
                                                            x→a x − a

³    Ö

                                                                ex−a − 1
                  lim (ex − ea ) = lim                                   (x − a) ea = 1 · 0 · ea = 0.
                  x→a                              x→a            x−a

         (v)       Ö        Ò           ÜÓÙÑ          Ø



                                                           lim (ln x − ln a) = 0,
                                                        x→a

    ÔÓÙ    a ∈ R+ º                     x ∈ R+ − {a}¸                   ÕÓÙÑ


                                                                                 x−a
                                                                        ln 1 +    a                 x−a
                                             ln x − ln a =                    x−a               ·       .
                                                                               a
                                                                                                     a

Ë Ñ        ÛÒ      Ñ      Ø Ò ³         ×     ×       ¾º¾ ¸


                                                                               x−a
                                                                   ln 1 +       a
                                                       lim                  x−a            = 1.
                                                       x→a
                                                                             a
¾º      ³ÇÖ                     ×ÙÒ      Õ         ×   ×    Ñ   Ó                                                                    ½




³       Ö
                                                                                   x−a
                                                                          ln 1 +    a             x−a
                        lim (ln x − ln a) = lim                                 x−a           ·       = 1 · 0 = 0.
                        x→a                                     x→a
                                                                                 a
                                                                                                   a


            (vi)        ³    ×      × º




                   ô×ÓÙÑ                ØôÖ       Ñ Ö          Ô Ö            Ñ Ø    ÙÔÓÐÓ          ×ÑÓ     ÓÖÛÒº



È           Ö                   Ñ       ¾º¾        ÍÔÓÐÓ ×Ø              Ø    Ô Ö      ØÛ        Ö



        ´ µ i limx→−1 8x4 + 3x3 − 4x                                  º


                                    3x2 −x+2
    ´   iiµ limx→5                    x−7 º
                                    √
    ´iiiµ limx→3                        x2 + x + 1 º

Ä           ×       (i)          À ×ÙÒ ÖØ ×                 8x4 + 3x3 − 4x             Ò     ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ           −1¸   ÓÔ Ø



                            lim         8x4 + 3x3 − 4x = 8 (−1)4 + 3 (−1)3 − 4 (−1) = 9.
                            x→−1


                                                   3x2 −x+2
            (ii)    À ×ÙÒ ÖØ ×
                                                     x−7             Ò       ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ         5¸   ÓÔ Ø



                                                 3x2 − x + 2   3 · 52 − 5 + 2
                                             lim             =                = −36.
                                             x→5    x−7             5−7
                                                       √
            (iii)       À ×ÙÒ ÖØ ×                         x2 + x + 1          Ò    ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ         3¸   ÓÔ Ø ¸

                                                                                                        √
                                             lim       x2 + x + 1 =                 32 + 3 + 1 =             13 .
                                             x→3




                                                                                            x2 +x−6
È           Ö                   Ñ       ¾º¾        ÍÔÓÐÓ ×Ø              ØÓ   limx→2       x2 −5x+6
                                                                                                     º


                                                                x2 +x−6
Ä           ×               Ô             ×ÙÒ ÖØ ×
                                                                x2 −5x+6            Ò ÓÖÞ Ø             x = 2¸     ØÓ    ÖÓ     Ò   Ò

    ÙÒ Ø            Ò       ÙÔÓÐÓ            ×Ø  Ñ          Ô Ù       
      ÒØ     Ø ×Ø × º           Ò    ÑÛ
   x = 2¸     Ø Ø


                                             x2 + x − 6     (x − 2) (x + 3)   x+3
                                               2 − 5x + 6
                                                          =                 =     .
                                             x              (x − 2) (x − 3)   x−3

    ÔÓÑ ÒÛ


                                            x2 + x − 6        x+3     2+3
                                        lim             = lim       =     = −5.
                                        x→2 x2 − 5x + 6   x→2 x − 3   2−3
¿º      ÈÐ       ÙÖ            Ö          ÔÐ    ÙÖ        ×ÙÒ   Õ                                                             ½



                                                                                 √
                                                                                     x+4−2
È        Ö                Ñ        ¾º¿¼    ÍÔÓÐÓ ×Ø            ØÓ   limx→0           x    º


Ä        ×               Ô Ù        
    ÒØ       Ø ×Ø ×            Ò ÑÔÓÖ  Ò              Ò   ¸     ÙØ   ÔÓÐÐ ÔÐ ×            ¹

ÞÓÙÑ                     ØÓÙ
        Ó    ÖÓÙ
 ØÓÙ         Ð ×Ñ ØÓ
 Ñ            Ø     ×ÙÞÙ           Ô Ö ×Ø ×      ØÓÙ   Ö       ¹

Ñ Ø

                                    √        √       √
                                     x+4−2     x+4−2  x+4+2
                                           =      √
                                       x         x x+4+2
                                                x+4−4       1
                                           =    √      =√       .
                                               x x+4+2    x+4+2

³    Ø× ¸
                             √
                              x+4−2           1        1    1
                         lim        = lim √       =√       = .
                         x→0    x     x→0   x+4+2    0+4+2  4


                                                                                     Ñ 12x
È        Ö                Ñ        ¾º¿½    ÍÔÓÐÓ ×Ø            ØÓ   limx→0          3x      º


Ä        ×           ³   ÕÓÙÑ


                                           Ñ    12x           Ñ 12x
                                    lim             = lim 4 ·                             = 4 · 1 = 4.
                                   x→0         3x     x→0     12x


                                                                                 e2−7x −e2
È        Ö                Ñ        ¾º¿¾    ÍÔÓÐÓ ×Ø            ØÓ   limx→0         8x     º


Ä        ×           ³   ÕÓÙÑ


                                             e2−7x − e2            e−7x − 1
                                         lim            = lim e2 ·
                                         x→0     8x       x→0         8x
                                               −7e2 e−7x − 1                     −7e2      7e2
                               = lim               ·                         =        ·1=−     .
                                    x→0         8     −7x                         8         8




¿            ÈÐ           ÙÖ                   Ö                    ÔÐ       ÙÖ                  ×ÙÒ    Õ


³    ×ØÛ         f   Ñ     ×ÙÒ ÖØ ×                ÓÔÓ    ÓÖÞ Ø        ×       Ò         ×Ø Ñ       (a − ρ, a)º   Ä Ñ       Ø

     f       Õ       ×ØÓ   a       Ö ×Ø        Ö     Ö Ó    L ∈ R¸       ×ÙÑ ÓÐ


                                               f (x) → L               ô
        x → a− ,

    Ò                      ε>0       ÙÔ ÖÕ           Ò    δ>0        Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                          a − δ < x < a ⇒ |f (x) − L| < ε.
¿º      ÈÐ       ÙÖ                   Ö             ÔÐ      ÙÖ           ×ÙÒ   Õ                                                              ½




             ×        Ø               ÙØ          × Ñ Ò         Ø             ô
 ØÓ     x ÔÐ      ×    Þ   ØÓ    a       Ô      Ö ×Ø Ö ¸ ÕÛÖ


ÔÓØ          Ò        ØÓ                  Ò   ¸ ØÓ     f (x)     ÔÐ ×          Þ    ØÓ   Lº

         ³       ×ØÛ          f   Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×                  ÓÔÓ       ÓÖÞ Ø         ×       Ò         ×Ø Ñ          (a, a + ρ)º   Ä Ñ

    Ø            f     Õ          ×ØÓ         a        Ü         Ö Ó      L ∈ R¸        ×ÙÑ ÓÐ


                                                           f (x) → L                    ô
      x → a+ ,

    Ò                             ε>0             ÙÔ ÖÕ          Ò       δ>0        Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                    a < x < a + δ ⇒ |f (x) − L| < ε.




             ×        Ø               ÙØ      × Ñ Ò             Ø          ô
 ØÓ       x ÔÐ      ×    Þ    ØÓ   a    Ô         Ü   ¸ ÕÛÖ
 ÔÓØ

Ò       ØÓ                Ò       ¸ ØÓ        f (x)    ÔÐ ×          Þ    ØÓ       Lº

             Ò            f       Õ       ×ØÓ      a       Ö ×Ø Ö         Ö Ó¸ Ø Ø           ÙØ        Ò   ÑÓÒ                º ÇÑÓÛ


     Ü               Ö Óº ³        Ø× ¸ ÑÔÓÖÓ Ñ                  Ò       ÓÖ×ÓÙÑ


                                              lim f (x) := ØÓ                  Ö ×Ø Ö          ÖÓ Ø 
       f    ×ØÓ      a¸
                                              x→a−
¿º   ÈÐ          ÙÖ               Ö                    ÔÐ    ÙÖ        ×ÙÒ          Õ                                                                             ½




                                                      lim f (x) := ØÓ                       Ü        ÖÓ Ø 
      f   ×ØÓ         a¸
                                                  x→a+

         ×ÓÒ Ø                Ö           ÙØ           ÙÔ ÖÕÓÙÒº Ì                  limx→a− f (x)                        limx→a+ f (x)               Ð       ÓÒØ

ÔÐ           ÙÖ                   Ö               Ø 
   f    ×ØÓ   aº

        ôÖ          Ñ           ¿º½          ³    ×ØÛ       Ø         f    ÓÖÞ        Ø       ×    Ñ       ØÖÙÔ        Ñ   Ò        Ô   Ö ÓÕ    ØÓÙ    a   ¸


 ×ØÛ         L∈R             º    Ì       Ø




                                      lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim f (x) = L.
                                      x→a                                      x→a−                        x→a+

     Ô               Ü            ³   ×           × º



         ³   ×ØÛ         f    Ñ           ×ÙÒ ÖØ ×                ÓÖ ×Ñ Ò               ×        Ò       ×Ø Ñ            (a − ρ, a]º         Ä Ñ         Ø            f
 Ò          ×ÙÒ         Õ            
           Ô         Ö ×Ø       Ö           ×ØÓ      a    Ò



                                                                       lim f (x) = f (a) ,
                                                                   x→a−

     ×Ó           Ò Ñ ¸                                  ε>0       ÙÔ ÖÕ                    Ò    δ>0         Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                                      a − δ < x ≤ a ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.


         ³   ×ØÛ         f    Ñ           ×ÙÒ ÖØ ×                ÓÖ ×Ñ Ò               ×        Ò       ×Ø Ñ            [a, a + ρ)º         Ä Ñ         Ø            f
 Ò          ×ÙÒ         Õ            
           Ô          Ü      ×ØÓ        a        Ò



                                                                       lim f (x) = f (a) ,
                                                                    x→a+

     ×Ó           Ò Ñ ¸                                  ε>0       ÙÔ ÖÕ                    Ò    δ>0         Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                                      a ≤ x < a + δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.
                                                                                                                             √
È        Ö                   Ñ            ¿º¾                           n ∈ Z+ ¸                     ×ÙÒ ÖØ ×
                                                                                                                             n
                                                                                                                                 x    Ò     ×ÙÒ Õ 
              Ô

     Ü        ×ØÓ        0º

        ôÖ          Ñ           ¿º¿          Å         ×ÙÒ       ÖØ    ×          f    ÔÓÙ       ÓÖÞ   Ø       ×       Ñ       Ô    Ö ÓÕ       ØÓÙ     a       Ò


×ÙÒ          Õ   
    ×ØÓ         a       Ò              Ñ    ÒÓÒ          Ò        f       Ò       ×ÙÒ     Õ   
               Ô        Ö ×Ø   Ö                Ô


     Ü        ×ØÓ     a   º




     Ô               Ü            Å           ØÓ Â ôÖ Ñ                ¿º½º



         Ì                   ÓÖ                   ÛÖ Ñ Ø          ÔÓÙ          Ò        ÖÓÒØ         ×       Ö       ´ Òغ ×ÙÒ Õ                 µ ×     × Ñ Ó

ÑÔÓÖÓ Ò Ò                     ØÖÓÔÓÔÓ                       Ó Ò        Ø ÐÐ Ð                   Ø×   ô×Ø         Ò       ×Õ ÓÙÒ                      ÔÐ ÙÖ

 Ö           ´ Òغ            ÔÐ ÙÖ                     ×ÙÒ Õ          µº                   Ô Ö          Ñ ¸         Ò   limx→a− f (x) = L
limx→a− g (x) = M ¸                                    Ø Ø



                                                             lim [f (x) + g (x)] = L + M,
                                                            x→a−
    º    ³ÇÖ        ×ØÓ         ±∞                                                                                                         ½




                                                            lim [f (x) − g (x)] = L − M,
                                                         x→a−

                                                                 lim [f (x) g (x)] = LM,
                                                              x→a−

                                                                                f (x)   L
                                                                       lim            =   ,
                                                                      x→a−      g (x)   M
    ÔÓÙ ×ØÓ Ø Ð ÙØ Ó                              Ö Ó ÙÔÓ              ØÓÙÑ         Ø   M = 0º

³       ×       ×           ¿º           ³       ×ØÛ    f    Ñ            ÜÓÙ×       ×ÙÒ ÖØ ×                   Ô ÒÛ ×     Ò     ´Ô    Òô
 Ñ

    Ö          Ñ ÒÓµ         ÒÓ              Ø         ×Ø Ñ           (a, b)º        ÜØ       Ø



         i
        ´ µ                          c ∈ (a, b)¸              Ø       ÔÐ ÙÖ              Ö     Ø 
     f    ×ØÓ    c   ÙÔ ÖÕÓÙÒ            ÒÓ¹

               ÔÓ Ó Ò



                            lim f (x) = sup f (x) ≤ f (c) ≤ inf f (x) = lim f (x) .
                            x→c−                            x∈(a,c)                                x∈(c,b)                x→c+


    ´   iiµ        Ò    a < c1 < c2 < b¸                      Ø Ø



                                                                       lim f (x) ≤ lim f (x) .
                                                                      x→c+
                                                                         1                    x→c−
                                                                                                 2


                ÍÔ                   Ü                 Ð ÜØ           Ò   d ∈ (c1 , c2 )º℄

    ´   iiiµ   Ì        × Ñ                 ØÓÙ       (a, b)     ×Ø      ÓÔÓ            f        Ò       Ò     ×ÙÒ Õ 
      ÔÓØ ÐÓ Ò    Ò

                Ö       Ñ × ÑÓ × ÒÓÐÓº                           ÍÔ    Ò        Üc ∈ (a, b) ×ØÓ ÓÔÓÓ f
                    Ò       Ò       ×ÙÒ Õ 
                         qc ∈ Q Ø× ô×Ø Ò
                                                                 Ð ÜÓÙÑ          Ò            ÒÓÔÓ Ó ÒØ

               Ó        Ò× Ø Ø                   
 limx→c− f (x) < qc < limx→c+ f (x)¸ Ø Ø     ×ÙÒ ÖØ ×

               c → qc               Ò            Ò ×Û
   ÜÓÙ×       Ö 1 − 1º℄



È         Ö     Ø       Ö       ×        ¿º        È Ö ÑÓ                 ÔÓØ Ð ×Ñ Ø               Ñ        ÙØ    Ø 
 ³   ×    × 
 ¿º    ×Õ ¹

ÓÙÒ                                 ÒÓÙ×              ×ÙÒ ÖØ ×            Ô ÒÛ ×             ÒÓ       Ø         ×Ø Ñ º




               ³ÇÖ                  ×ØÓ                ±∞
³       ×ØÛ     f   Ñ           ×ÙÒ ÖØ ×                     ÓÔÓ         ÓÖÞ Ø         ×     Ò            ×Ø Ñ       Ø 
 ÑÓÖ    
   (t, +∞)º
Ä Ñ             Ø           f       Õ            ×ØÓ   +∞         ÖÓ      L ∈ R¸         ×ÙÑ ÓÐ



                        f (x) → L                            ô
         x → +∞                                   lim f (x) = L,
                                                                                                                x→+∞

    Ò                           ε>0              ÙÔ ÖÕ            Ò       u∈R       Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                                             x > u ⇒ |f (x) − L| < ε.
    º   ³ÇÖ         ×ØÓ   ±∞                                                                          ¾¼




´       Ò       f    Õ        Ö Ó ×ØÓ    +∞¸   Ø Ø    Ù×       ØÓ     ÖÓ   ÙØ     Ò   ÑÓÒ       ºµ



                Ò ÐÓ      ÓÖÞÓÙÑ            ØÓÙ
 ×ÙÑ ÓÐ ×ÑÓ 




                     f (x) → L              ô
     x → −∞                       lim f (x) = L.
                                                                           x→−∞

È           Ö             Ñ     º½   ³   ×ØÛ   n ∈ Z+ º       ÜØ     Ø



        ´ µ i limx→+∞ 1/xn = 0º

    ´ iiµ limx→−∞ 1/xn = 0º
                     √
    ´iiiµ limx→+∞ 1/   x = 0º
                     n



Ä           ×       (i)                  ε > 0¸   ÕÓÙÑ


                                                  1             1
                                               x> √       ⇒        < ε.
                                                  n
                                                      ε         xn

³       Ö     limx→+∞ 1/xn = 0º

            (ii)                 ε > 0¸     ÕÓÙÑ


                                                1                    1
                                             x<−√ ⇒                    < ε.
                                                n
                                                  ε                 xn

³       Ö     limx→−∞ 1/xn = 0º

            (iii)                ε > 0¸      ÕÓÙÑ


                                                      1         1
                                               x>       ⇒      √ < ε.
                                                     εn        n
                                                                 x
                         √
³       Ö     limx→+∞ 1/ n x = 0º
    º   ³    Ô       Ö           Ö                                                                                                            ¾½




³       ×           ×             º¾            ÜØ    Ø   limx→−∞ ex = 0º

            Ì            ÒÛ×Ø               ÛÖ Ñ Ø                   Ö        ×   × Ñ Ó ÑÔÓÖÓ Ò Ò              ØÖÓÔÓÔÓ             Ó Ò       Ø×

ô×Ø              Ò           ×Õ ÓÙÒ                            Ö     ×ØÓ      ±∞º         Ⱥպ        Ò   limx→+∞ f (x) = L
limx→+∞ g (x) = M ¸                               Ø Ø


                                                       lim [f (x) + g (x)] = L + M,
                                                      x→+∞

                                                       lim [f (x) − g (x)] = L − M,
                                                      x→+∞

                                                            lim [f (x) g (x)] = LM,
                                                           x→+∞

                                                                        f (x)   L
                                                                    lim       =   ,
                                                                   x→+∞ g (x)   M
    ÔÓÙ ×Ø Ò Ø Ð ÙØ                              × Ø Ø            ÙÔÓ     ØÓÙÑ           Ø    M = 0º

                                                                                                  3x2 −2x+7
È           Ö                     Ñ        º¿    ÍÔÓÐÓ ×Ø               ØÓ   limx→+∞             5x2 +4x+1 º

Ä           ×            ³       ÕÓÙÑ


                                            1        1
                 3x2 − 2x + 7       3 − 2 · x + 7 · x2   3−2·0+7·0  3
             lim              = lim                    =           = .
            x→+∞ 5x2 + 4x + 1  x→+∞ 5 + 4 · 1 + 1         5+4·0+0   5
                                              x   x2




³       ×           ×             º             ÜØ    Ø


                                           an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0   an
                                          lim   n+b       n−1 + · · · + b x + b
                                                                                 =    ,
                                      x→±∞ bn x     n−1 x                1     0   bn

    ÔÓÙ         n ∈ Z+                     bn = 0º


                ³        Ô            Ö          Ö


³       ×ØÛ         f        Ñ       ×ÙÒ ÖØ ×              ÓÔÓ      ÓÖÞ Ø           ×       Ñ    ØÖÙÔ Ñ Ò         Ô Ö ÓÕ         ØÓÙ   aº     Ò

                             M >0          ÙÔ ÖÕ           Ò       δ>0     Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                      0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M,

Ø Ø                 Ö        ÓÙÑ


                             f (x) → +∞                        ô
        x→a                           lim f (x) = +∞.
                                                                                                      x→a

            ×           Ø             ÙØ    × Ñ Ò             Ø          ô
 ØÓ       x   ÔÐ ×        Þ   ØÓ    a   ´ Ø       Ô     Ö ×Ø Ö

    Ø           Ô               Ü    µ ÕÛÖ
 ÔÓØ              Ò     ØÓ           Ò   ¸ ØÓ       f (x)      Ò Ø           Ø              ÔÓÐ

Ñ            ÐÓº À                Ö              Ô Ö ×Ø ×           Ø 
    f      ÓÒØ         ×ØÓ a ÑÓ      Þ   Ñ          ÑÒ
 º   ³   Ô    Ö       Ö                                                                                       ¾¾




 Ò                        M >0    ÙÔ ÖÕ           Ò   δ>0        Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                    0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M,

Ø Ø          Ö       ÓÙÑ


                     f (x) → −∞               ô
       x→a                    lim f (x) = −∞.
                                                                              x→a

         ×       Ø         ÙØ   × Ñ Ò        Ø         ô
 ØÓ      x   ÔÐ ×   Þ     ØÓ   a   ÕÛÖ
 ÔÓØ    Ò   ØÓ

         Ò   ¸ ØÓ     f (x)     Ò Ø     ÖÒ Ø                ÔÓÐ       Ñ   ÐÓ ´ Ö        Ñ Ø    µº   À   Ö

Ô Ö ×Ø ×              Ø 
 f     ÓÒØ    ×ØÓ    a   ÑÓ    Þ    Ñ    ÕÓ Ò




             Ò ÐÓ         ÓÖÞÓÒØ         Ó            ÐÓÙ   Ó    ×ÙÑ ÓÐ ×ÑÓ


                 f (x) → +∞               ô
          x → a−                  lim f (x) = +∞,
                                                                              x→a−

                 f (x) → −∞               ô
          x → a−                  lim f (x) = −∞,
                                                                              x→a−

                 f (x) → +∞               ô
          x → a+                  lim f (x) = +∞,
                                                                              x→a+
    º   ³       Ô   Ö         Ö                                                                                          ¾¿




                    f (x) → −∞                             ô
    x → a+                           lim f (x) = −∞,
                                                                                               x→a+
                    f (x) → +∞                           ô
      x → +∞                           lim f (x) = +∞,
                                                                                                  x→+∞

                    f (x) → −∞                           ô
      x → +∞                           lim f (x) = −∞,
                                                                                                  x→+∞

                    f (x) → +∞                           ô
      x → −∞                           lim f (x) = +∞,
                                                                                                  x→−∞

                    f (x) → −∞                           ô
      x → −∞                           lim f (x) = −∞.
                                                                                                  x→−∞

Ⱥպ                × Ø Ø          limx→+∞ f (x) = −∞                      × Ñ Ò             Ø               M >0   ÙÔ ÖÕ

    Ò           u∈R         Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                           x > u ⇒ f (x) < −M.

È           Ö                 Ñ        º½      ³   ×ØÛ     n ∈ Z+ º        ÜØ       Ø


        ´ µ i       Ò Ó       n   Ò           ÖØ Ó
¸ Ø Ø


                                                                        1
                                                                   lim    = +∞.
                                                                   x→0 xn

    ´   iiµ         Ò Ó       n   Ò       Ô Ö ØØ 
¸ Ø Ø


                                                             1                                 1
                                                   lim         = −∞,                 lim         = +∞.
                                                   x→0−     xn                   x→0+         xn

Ä           ×           (i)   ³   ×ØÛ          Ø   Ó   n    Ò    ÖØ Ó
º                      M > 0¸       ÕÓÙÑ


                                                                1    1
                                                    0 < |x| < √   ⇒ n > M.
                                                              n
                                                                M   x
³       Ö       limx→0 1/xn = +∞º

            (ii)        ³   ×ØÛ        Ø   Ó   n    Ò     Ô Ö ØØ 
º                      M > 0¸       ÕÓÙÑ


                                                       1          1
                                                   − √ < x < 0 ⇒ n < −M
                                                     n
                                                       M         x

                                         1        1
                                 0<x< √     ⇒ n > M.
                                       n
                                         M       x
³       Ö       limx→0− 1/x n = −∞  limx→0+ 1/x n = +∞º


³       ×           ×         º¾   ³       ×ØÛ     n ∈ Z+ º        ÜØ      Ø


                                                                 lim xn = +∞
                                                                 x→+∞


                                                                 +∞        Ò Ó   n       Ò       ÖØ Ó
¸
                                           lim xn =
                                       x→−∞                      −∞        Ò Ó   n       Ò   Ô Ö ØØ 
º
    º   ³       Ô    Ö     Ö                                                                                  ¾




³       ×            ×         º¿        ÜØ       Ø



        ´ µ i limx→+∞ ex = +∞º

    ´   iiµ limx→+∞ ln x = +∞º

    ´   iiiµ limx→0+ ln x = −∞º

³       ×            ×         º         ÜØ       Ø



        ´ µ i        Ò  limx→a f (x) = 0    f (x) > 0                    Ô ÒÛ ×     Ñ    ØÖÙÔ Ñ Ò    Ô Ö ÓÕ   ØÓÙ

                    a¸ Ø Ø limx→a 1/f (x) = +∞º

    ´   iiµ          Ò  limx→a f (x) = 0    f (x) < 0                    Ô ÒÛ ×     Ñ    ØÖÙÔ Ñ Ò    Ô Ö ÓÕ   ØÓÙ

                    a¸ Ø Ø limx→a 1/f (x) = −∞º

´È Ö ÑÓ                    ÔÓØ Ð ×Ñ Ø                  ×Õ ÓÙÒ            x → a±         x → ±∞ºµ

³       ×            ×         º         limx→a f (x) = L ∈ R
                                         ÜØ       Ø    Ò                                  limx→a g (x) = +∞¸
Ø Ø             limx→a [f (x) + g (x)] = +∞º Å ×Ó Ò Ñ                                     Ø ÔÛ×     ØÓÙ   ÔÓØ Ð ¹

×Ñ ØÓ
                   ÙØÓ        Ò   Ñ     Ø   ÑÓÖ        ØÓÙ    Ò Ò



                                                   L + (+∞) = +∞,             L ∈ R.

ÇÑÓÛ
¸                   ÜØ        Ø



        ´ µ i L + (−∞) = −∞                                     L ∈ Rº

    ´   iiµ (+∞) + (+∞) = +∞º

    ´   iiiµ (−∞) + (−∞) = −∞º

    ´   ivµ L · (+∞) = +∞                                     L∈R    Ñ     L > 0º

    ´ µ v L · (+∞) = −∞                                       L∈R    Ñ     L < 0º

    ´   viµ L · (−∞) = −∞                                     L∈R    Ñ     L > 0º

´   viiµ L · (−∞) = +∞                                        L∈R    Ñ     L < 0º

´   viiiµ (+∞) · (+∞) = +∞º

    ´   ixµ (+∞) · (−∞) = −∞º

    ´ µ x (−∞) · (−∞) = +∞º

    ´   xiµ L/ (±∞) = 0                                     L ∈ Rº

´³ÇÐÓ               Ó    Ô Ö Ô ÒÛ              Ò Ò 
 ×Õ ÓÙÒ                 x → a±        x → ±∞ºµ
    º   ³    Ô    Ö       Ö                                                                                                 ¾




              Ò   limx→a f (x) = +∞                       limx→a g (x) = −∞¸ Ø Ø Ò                                   Ò ØÓ Ò

            ÐÓÙÑ              ÔÓ Ó         Ò         ×ÙÑÔ Ö ×Ñ    ØÓ limx→a [f (x) + g (x)]º                      Ⱥպ          Ò

f (x) =           2/x2 ¸        Ø Ø       Ñ     g (x) = −2/x 2 ÕÓÙÑ


                                                       lim [f (x) + g (x)] = 0,
                                                       x→0

    Òô Ñ          g (x) = −1/x2                  ÕÓÙÑ



                                                      lim [f (x) + g (x)] = +∞.
                                                     x→0

             ÙØ       Ð Ñ        Ø        Ô ÖÔØÛ×



                                                             (+∞) + (−∞)

    Ò        Ñ           ÔÖÓ×                Ö ×Ø          ÑÓÖ     º     ³    ÐÐ 
       ÔÖÓ×       Ö ×Ø 
 ÑÓÖ   
    Ò   Ó

            ÐÓÙ       




                              (+∞) − (+∞) ,                       (−∞) − (−∞) ,                     0 · (±∞) ,
                                  0              +∞                +∞                 −∞                 −∞
                                    ,               ,                 ,                  ,                  ,
                                  0              +∞                −∞                 +∞                 −∞
                                                     00 ,         1±∞ ,             (+∞)0 .

                                                          x2 −4
³       ×         ×         º         Ò   f (x) =       x2 −2x−3
                                                                 ¸            ÜØ     Ø



        ´ µ i limx→−1− f (x) = −∞º

    ´   iiµ limx→−1+ f (x) = +∞º

    ´   iiiµ limx→3− f (x) = −∞º

    ´   ivµ limx→3+ f (x) = +∞º

³       ×         ×         º             ÜØ     Ø



                                               lim      −4x3 + x2 + 9x − 5 = −∞.
                                           x→+∞

    ÍÔ                Ü         −4x3 + x2 + 9x − 5 = −4x3 (· · · )º℄

³       ×         ×         º             ÜØ     Ø


                                               3x8 + x5 − 6x4 − x2 + 1
                                           lim                         = −∞.
                                          x→−∞    2x3 − 4x2 + x − 7
                                3x8 +x5 −6x4 −x2 +1               3x8                 3x5
    ÍÔ                Ü
                                  2x3 −4x2 +x−7
                                                             =    2x3
                                                                        (· · · ) =     2    (· · · )º℄
    º       ×    ÑÔØÛØ        
                                                                                                 ¾




³       ×        ×        º              ÜØ     Ø


                         lim        an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = lim an xn ,
                     x→±∞                                                                           x→±∞

    ÔÓÙ         n ∈ Z+                  an = 0º

³       ×        ×        º½¼             ÜØ        Ø


                                        xn
                           an + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0         an xn
                      lim                                       = lim       ,
                     x→±∞ bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0  x→±∞ bm xm

    ÔÓÙ         n, m ∈ Z+                 an , bm = 0º


                     ×    ÑÔØÛØ                  



À       Ù           y=c            Ð     Ø      ÓÖ Þ         ÒØ        ×   ÑÔØÛØ              Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 
      y = f (x)
        Ö        ×Ø Ö          ØÓÙ       Ö       Ñ ØÓ
 Ø 
         y = f (x)℄      Ò   Ð             ØÓÙÐ Õ ×ØÓÒ Ñ             Ô

Ø
      × Ø Ø 


                                             lim f (x) = c,                  lim f (x) = c.
                                          x→+∞                              x→−∞
À       Ù           x=c            Ð        Ø           Ø         ÖÙ       ×   ÑÔØÛØ               Ø 
   y = f (x)    Ò    Ð ¹

                ØÓÙÐ Õ ×ØÓÒ Ñ                   Ô   Ø
 × Ø Ø 



                                         lim f (x) = +∞,                    lim f (x) = −∞,
                                        x→c−                                x→c−

                                         lim f (x) = +∞,                    lim f (x) = −∞.
                                        x→c+                                x→c+
                                                         x−1
Ⱥպ                 Ø    ×ÙÒ ÖØ ×               y=      x+2 ¸   Ø 
 ÓÔÓ 
 ØÓ         Ö        Ñ         Ò Ø   Ô Ö       ØÛ¸

    Ù           y=1           Ò       ÓÖ Þ ÒØ              × ÑÔØÛØ ¸             Ù          x = −2       Ò     Ø       ÖÙ

    × ÑÔØÛØ º
    º    ×    ÑÔØÛØ          
                                                                                              ¾




        Å            Ù  y = ax + b Ñ a = 0 Ð Ø                                 ÔÐ                  ×   ÑÔØÛØ       Ø 
 ×Ù¹

Ò ÖØ × 
             y = f (x) ×ØÓ +∞ ´ Òغ −∞µ                                  Ò ØÓ       Ö       Ñ    Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 


ÔÐ ×         Þ       ×ÙÒ Õô
 Ø Ò             Ù            ´ ÐÐ    ÕÛÖ
 Ø Ð           Ò    Ø ÙØÞ Ø          Ñ    ÙØ Òµ        ¹

    ô
   x → +∞               ´ Òغ    x → −∞µº             Ç     ÔÐ        
 Ñ Þ Ñ       Ø 
 ÓÖ Þ ÒØ        
   × ÑÔØÛØ 


Ð       ÓÒØ          ÔÐ          ÓÓÖ Þ       ÒØ        
     ×    ÑÔØÛØ        
º




        Â        Ü         ×ÓÙÑ        ØôÖ    Ôô
 ÑÔÓÖÓ Ñ               Ò     ÖÓ Ñ      Ø 
 ÔÐ          ÓÓÖ Þ ÒØ    
   × Ñ¹

ÔØÛØ 
 Ñ                 
 ×ÙÒ ÖØ × 
º             Ò        y = ax + b         Ò      ÔÐ       ÓÓÖ Þ ÒØ          × ÑÔØÛØ

Ø 
      y = f (x)           ×ØÓ    +∞¸      Ø Ø       ÔÖÓ        Òô




                                              lim [f (x) − (ax + b)] = 0.
                                             x→+∞

ÉÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓ                       ÖÓ       ÙØ ¸       Ò          ÓÐÓ Ò       Ó Ñ        Ø


                                           f (x)
                                 a = lim         ,                     b = lim [f (x) − ax] .
                                       x→+∞ x                               x→+∞

ÇÑÓÛ
¸              Ò       y = ax + b           Ò       ÔÐ     ÓÓÖ Þ ÒØ           × ÑÔØÛØ            Ø 
   y = f (x)    ×ØÓ

−∞¸         Ø Ø
                                                 f (x)
                                 a = lim               ,               b = lim [f (x) − ax] .
                                       x→−∞        x                        x→−∞

È       Ö                Ñ        º½     Ö Ø      Ø 
 ÔÐ          ÓÓÖ Þ ÒØ      
     × ÑÔØÛØ 
 Ø 



                                                                   3
                                                   f (x) =               x2 + 25 .
                                                                   5
Ä       ×        ³   ÕÓÙÑ

                                   √
                      f (x)       3 x2 + 25       3 1 + 25/x2   3
                  lim       = lim           = lim             =
                 x→+∞ x      x→+∞    5x      x→+∞     5         5


                                        3x               3              3x
                              lim       f (x) −
                                             = lim           x2 + 25 −
                             x→+∞        5      x→+∞ 5                   5
                                        √                 √
                                      3   x2 + 25 − x       x2 + 25 + x
                               = lim             √
                                 x→+∞
                                             5     x2 + 25 + x
                                                      15
                                             = lim √           = 0.
                                              x→+∞ x2 + 25 + x

    Ô× 
¸

                               √
                  f (x)       3 x2 + 25       −3 1 + 25/x2    3
              lim       = lim           = lim              =−
             x→−∞ x      x→−∞    5x      x→−∞      5          5
    º       ×   ÑÔØÛØ   
                                                                                 ¾




                                 3x               3             3x
                     lim                = lim
                                f (x) − −             x2 + 25 +
                    x→−∞          5       x→−∞ 5                 5
                                √               √
                              3   x2 + 25 + x     x2 + 25 − x
                        = lim           √
                         x→−∞
                                     5    x2 + 25 − x
                                                 15
                                        = lim √           = 0.
                                         x→−∞ x2 + 25 − x

ËÙÒ Ôô
             f    Õ      ÔÐ        × ÑÔØÛØ


                                                             3x
                                                      y=
                                                              5
×ØÓ         +∞¸         ÔÐ             × ÑÔØÛØ


                                                             3x
                                                     y=−
                                                              5
×ØÓ       −∞º À             Ö           Ô Ö ×Ø ×      Ø 
    f    Ò    ØÓ Ô ÒÛ Ñ ×           Ø 
 ÙÔ Ö ÓÐ 

y2         2
    9    −x =1
          25




³       ×       ×    º¾         Ò Ø      Ö Ø     ×ÙÒ ÖØ ×


                                              an+1 xn+1 + · · · + a1 x + a0
                                  f (x) =                                   ,
                                                bn xn + · · · + b1 x + b0
    ÔÓÙ         n ∈ Z+           an+1 , bn = 0º       ³   ×ØÛ     cx + d     ØÓ Ô Ð Ó Ø 
        Ù Ð        


         Ö × 
 ØÓÙ         Ö   Ñ Ø        ØÓÙ Ô ÖÓÒÓÑ ×Ø º                 ÜØ    Ø     Ù       y = cx + d
    Ò      ÔÐ          × ÑÔØÛØ         Ø 
   f   Ø ×Ó ×ØÓ   +∞        ×Ó         ×ØÓ   −∞º
    º    ËÙÒ         Õ            ×                 ×Ø           Ñ                                                                                                                    ¾




                 ËÙÒ                   Õ                     ×                           ×Ø             Ñ


Ä Ñ                  Ø       Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×                        f        Ò           ×ÙÒ             Õ    
    ´Ô       ÒÛµ     ×        Ò                   ×Ø       Ñ
                                                                                                                                                                                     ½    I
    Ò ×Õ ÓÙÒ Ø                                      ÐÓÙ



         i
        ´ µ À            f        Ò           ×ÙÒ Õ 
 ×                                             ×ÛØ Ö               × Ñ Ó ØÓÙ            I    ´       Ð            ×

                 × Ñ Ó               c∈I            ØÓ ÓÔÓÓ                       Ò       Ò              ÖÓ ØÓÙ         I µº

    ´   iiµ      À       f        Ò           ×ÙÒ Õ 
                    Ô                 Ü        ×ØÓ          Ö ×Ø Ö               ÖÓ ØÓÙ       I¸          Ò    ÙØ              Ò

                 ÔÖ              Ñ Ø            
        Ö       Ñ 
                     Ò              ×ØÓ       Iº

    ´   iiiµ     À       f        Ò           ×ÙÒ Õ 
                    Ô              Ö ×Ø Ö                 ×ØÓ        Ü           ÖÓ ØÓÙ       I¸          Ò    ÙØ              Ò

                 ÔÖ              Ñ Ø            
        Ö       Ñ 
                     Ò              ×ØÓ       Iº

             ×           Ø        ¸        f        Ò           ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                     I      Ò            Ñ ÒÓÒ        Ò ÑÔÓÖÓ Ñ             Ò       ×Õ           ×ÓÙÑ

ØÓ           Ö               Ñ    Ø 
          f    ´                x ∈ Iµ         ÕÛÖ
 Ò                 ×         ô×ÓÙÑ           ØÓ ÑÓÐ             Ô      ØÓ Õ ÖØ




³       ×            ×             º½      ³        ×ØÛ          f    Ñ         ×ÙÒ ÖØ ×                             ÓÔÓ      ÓÖÞ Ø          ×        Ò            ×Ø Ñ          Iº
         ÜØ             Ø        f Ò                   ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                            I       Ò            Ñ ÒÓÒ        Ò                     c∈I                      ε>0
ÙÔ ÖÕ                        Ò    δ>0Ø                   ØÓ Ó ô×Ø



                                                x ∈ I ∧ |x − c| < δ ⇒ |f (x) − f (c)| < ε.

            ôÖ          Ñ             º¾ ´         Bolzanoµ                        ³    ×ØÛ            Ø         f      Ò     ×ÙÒ Õ      
    ×ØÓ     [a, b]

                                                                                        f (a) · f (b) < 0,

        Ð            Ø           f (a)     f (b)                          Ò            Ø   Ö       ×   ÑÓ           Ö   ÑÓº     Ì    Ø   ÙÔ      ÖÕ           Ò    c ∈ (a, b)
Ø       ØÓ Ó     ô×Ø               f (c) = 0                 º




        Ô                Ü            ÅÔÓÖÓ Ñ                         Ò    ÙÔÓ              ×ÓÙÑ                ´ÕÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 Ø Ò                    −f          Ò ÕÖ              Þ ¹

Ø        µ       Ø       f (a) < 0                           f (b) > 0º                     ÌÓ × ÒÓÐÓ



                                                                      X = {x ∈ [a, b] : f (x) ≤ 0}
         ½
             Å       ØÓÒ          ÖÓ   “            ×Ø Ñ         ” ×ØÓ Ü 
       ÒÒÓÓ Ñ     ×Ø Ñ Ñ    ÓÖ Ø                                                           Ö       ´    Ð
        ×Ø Ñ             ÔÓÙ           Ò       Ò        Ø 
 ÑÓÖ      
 [a, a] = {a}µ¸  Ø 
     Ò  Ðô×ÓÙÑ                                                           ÓÖ Ø         º
 º   ËÙÒ       Õ         ×          ×Ø       Ñ                                                                              ¿¼




 Ò       ÔÖÓ           Òô
 Ñ            Ò             ÒÛ       Ö     Ñ ÒÓº Â          ÜÓÙÑ         Ø    Ó   Ö   Ñ 




                                                               c = sup X

 Õ        Ø    Þ ØÓ Ñ Ò  Ø Ø º Ã Ø    ÖÕ 
¸ Ò    ×   
  Ø c ∈ [a, b]º   
 ÙÔÓ  ¹

×ÓÙÑ        f (c) > 0 ´
               Ø            Ö a < cµº   Ô        f Ò ×ÙÒ Õ 
 Ô Ö ×Ø Ö ×ØÓ
c¸ ÙÔ ÖÕ s ∈ (a, c) Ø ØÓ Ó ô×Ø f Ò            Ø    Ô ÒÛ ×ØÓ (s, c]º    Ð   ÓÒØ 


 Ò x0 ∈ X ∩ (s, c]¸ ÕÓÙÑ f (x0 ) ≤ 0         f (x0 ) > 0¸ ØÓÔÓº ÌôÖ ¸ ×ØÛ Ø
f (c) < 0 ´       Ö  c < bµº Ô         f Ò ×ÙÒ Õ 
 Ô         Ü    ×ØÓ c¸ ÙÔ ÖÕ

t ∈ (c, b) Ø ØÓ Ó ô×Ø     f Ò    ÖÒ Ø     Ô ÒÛ ×ØÓ [c, t)º ÔÓÑ ÒÛ
 [c, t) ⊆ X ¸

ÔÓÙ   ÑÛ
 Ô Ð     Ò    ØÓÔÓ ´  Ó c = sup X µº


      ³    ÕÓÒØ 
            ÔÓ Ð ×              Ø 
 Ô Ö ÔØô×        
    f (c) > 0           f (c) < 0¸ ×ÙÑÔ      Ö ÒÓÙÑ

Ø Ð            Ø       f (c) = 0                  c ∈ (a, b)º

È     Ö                 Ñ       º¿       ³    ×ØÛ      Ø       f     Ò     ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ          [a, b]        f (x) ∈ [a, b]
                 x ∈ [a, b]º                     ÜØ    f      Õ     ØÓÙÐ Õ ×ØÓÒ           Ò    ×Ø        Ö   × Ñ Ó¸   Ð

 Ò     × Ñ      Ó x0 ∈ [a, b]               Ø ØÓ Ó ô×Ø            f (x0 ) = x0 º
Ä     ×         À       Ô ÖÜ        ×Ø            ÖÓ   × Ñ ÓÙ        x0    Ò      ÛÑ ØÖ            ÔÖÓ      Ò 





       Ò       ô×ÓÙÑ          Ñ              Ù×Ø Ö         Ô        Ü ¸     ÛÖÓ Ñ      Ø       ×ÙÒ ÖØ ×



                                                           g (x) = f (x) − x,

     ÓÔÓ          Ò             [a, b]º Ò f (a) = a f (b) = b¸ Ø Ð ô× Ñ º Â
                            ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ

ÙÔÓ           ×ÓÙÑ            f (a) > a
                         ÐÓ Ô Ò          Ø    f (b) < b¸ Ð    g (a) > 0    g (b) < 0º
ÌÓ           ôÖ Ñ    ØÓÙ Bolzano ×ÙÒ Ô       Ø    ØôÖ   Ø ÙÔ ÖÕ    x0 ∈ (a, b) Ø ØÓ Ó
ô×Ø         g (x0 ) = 0¸ Ð      f (x0 ) = x0 º

È     Ö                 Ñ       º        ³    ×ØÛf Ò ×ÙÒ
                                                       Ø                         Õ 
 ×ØÓ   [a, b]     f (a) = f (b)º
      ÜØ          Ø    ÙÔ    ÖÕÓÙÒ × Ñ     x1 ∈ a, a+b
                                                      2                                x2 ∈    a+b
                                                                                                 2 , b Ø ØÓ   ô×Ø
                       b−a
x2 − x1 =               2        f (x1 ) = f (x2 )º
    º   ËÙÒ      Õ            ×                ×Ø    Ñ                                                                                                                       ¿½




Ä        ×           Â ÛÖÓ Ñ                    Ø       ×ÙÒ ÖØ ×


                                                                                          b−a
                                                        g (x) = f                x+                            − f (x) ,
                                                                                           2

        ÓÔÓ             Ò        ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                  a, a+b
                                                                    2             º           Ò   f       a+b
                                                                                                           2            = f (a)¸                Ø Ø         ÑÔÓÖÓ Ñ           Ò
                                                               a+b                                                                                          a+b
Ô ÖÓÙÑ               x1 = a                         x2 =        2 ¸                   ÙØ                  ÙÔÓ           ×ÓÙÑ                Ø       f        2      = f (a)º
³       Ø× ¸ Ø
                                                                                      a+b
                                                              g (a) = f                                   − f (a)
                                                                                       2

                                       a+b                                            a+b                                                       a+b
                              g                         = f (b) − f                                       = f (a) − f
                                        2                                              2                                                         2
    Ò          Ø Ö × ÑÓ                    Ö       ÑÓº Ë Ñ             ÛÒ       ØôÖ             Ñ       ØÓ           ôÖ Ñ  ØÓÙ Bolzano¸                           ÙÔ ÖÕ

x1 ∈ a, a+b
          2                        Ø ØÓ Ó ô×Ø                  g (x1 ) = 0º                    ØÓÒØ 
                  x2 = x1 + b−a ¸ Ò
                                                                                                                                   2                                    ×         


 Ø Ø x1 , x2                       ÕÓÙÒ Ø 
                    Ø Ø 
 ÔÓÙ                      ÐÓÙÑ º



È           Ö    Ø       Ö    ×             º       ÌÓ È Ö                       Ñ        º       ×ÙÒ Ô                    Ø        Ø       ÙÔ ÖÕÓÙÒ                Ò    Ô ×

×Ø          Ñ            Ó        ÒØ           Ñ ØÖ            × Ñ              ØÓÙ       × Ñ Ö ÒÓ                    Ø 
           
 Ø            ÓÔÓ           ÕÓÙÒ Ø Ò

                ÖÑÓ Ö × º                     ÈÖ       Ñ Ø ¸               Ð        ÓÒØ 
               Ò        ×Ø           Ö       × Ñ Ó              A     Ô ÒÛ ×ØÓÒ

    × Ñ Ö Ò ¸ ÑÔÓÖÓ Ñ                               Ò    ÙÔÓ         ×ÓÙÑ                 Ø                   ÖÑÓ Ö ×                          Ø       Ñ       Ó
 ØÓÙ       × ¹

Ñ Ö ÒÓ               ´×        Ñ                 ÓÑ Ò          ÕÖÓÒ               ×Ø          Ñ µ             Ò       Ñ        ×ÙÒ Õ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                             Ø 


    Ô ×Ø × 
                  x        Ô    ØÓ      Aº    ³    ×ØÛ       T : [0, ℓ] −→ R                                   Ò Ð       Û ×ÙÒ ÖØ × ¸                        ÔÓÙ      ℓ
    Ò       ØÓ Ñ             Ó
 ØÓÙ × Ñ Ö ÒÓ º                           Ô         T Ò                           ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                      [0, ℓ]

                                                    T (0) = T (ℓ) =                        ÖÑÓ Ö ×                     ×ØÓ         A,

ÙÔ ÖÕÓÙÒ ´× Ñ                              ÛÒ       Ñ    ØÓ È Ö                       Ñ           º µ              Ó × Ñ               x1 , x2 ∈ [0, ℓ]                Ø ØÓ

ô×Ø             x2 − x1 = ℓ/2                            T (x1 ) = T (x2 )º

³       ×        ×            º            ÉÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓ                                 ôÖ Ñ                 ØÓÙ         Bolzano¸                     ÜØ     Ø

ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ô Ö ØØÓ                                        ÑÓ         ´Ñ       ÔÖ       Ñ Ø             Ó 
 ×ÙÒØ Ð ×Ø 
µ                              Õ        ØÓÙÐ Õ ×ØÓÒ

Ñ          ÔÖ       Ñ Ø               ÖÞ º



            ÌÓ           ôÖ Ñ              ØÓÙ      Bolzano              Õ       Ø Ò               ÐÓÙ                     Ò       Ù×



        ôÖ          Ñ             º       ´    Ò         Ñ     ×ÛÒ              Ø ÑôÒµ               ³       ×ØÛ          Ø         f          Ò          ×ÙÒ    Õ     
   ×ØÓ


[a, b]      ¸                 ×ØÛ           Ø     k
                                                 ØÓ            Ò            Ò   
    ÔÖ          Ñ       Ø        
       Ö     Ñ      
       Ò       Ñ   ×     ×Ø     f (a)
     f (b)           ¸        Ð             f (a) < k < f (b)                                 f (a) > k > f (b)                             º   Ì       Ø    ÙÔ     ÖÕ        Ò


c ∈ (a, b)               Ø    ØÓ Ó         ô×Ø  f (c) = k                º




        Ô            Ü            À ×ÙÒ ÖØ ×                   g =f −k                     Ò         ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                    [a, b]

                                                g (a) · g (b) = [f (a) − k] [f (b) − k] < 0.

³       Ø× ¸ × Ñ              ÛÒ       Ñ       ØÓ        ôÖ Ñ        ØÓÙ         Bolzano¸ ÙÔ                       ÖÕ           Ò    c ∈ (a, b) Ø                 ØÓ Ó ô×Ø

g (c) = 0¸                    Ð             f (c) = kº
    º    ËÙÒ         Õ           ×               ×Ø       Ñ                                                                                                                                     ¿¾




È           Ö                    Ñ           º        ³    ×ØÛ         a ∈ R+                           n ∈ Z+ º                       ÔÓ        ÜØ         Ø Ò           Ô ÖÜ             Ø 


n¹Ó×Ø                
 ÖÞ 
 ØÓÙ                 a    ÕÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓ                                         ôÖ Ñ                  Ò    Ñ ×ÛÒ Ø ÑôÒº


Ä        ×                       Ð       ÓÙÑ              Ò    b > max {1, a}º                           À ×ÙÒ ÖØ ×                         f (x) = xn                         Ò       ×ÙÒ ¹

Õ 
 ×ØÓ                 [0, b]
                                                           f (0) = 0 < a < b ≤ bn = f (b) .
³       Ø× ¸ × Ñ             ÛÒ          Ñ       ØÓ           ôÖ Ñ                 Ò        Ñ ×ÛÒ Ø ÑôÒ¸ ÙÔ ÖÕ                                       Ò       c ∈ (0, b)              Ø ØÓ Ó

ô×Ø                 f (c) = a¸                   Ð            cn   = aº

            ³       ×ØÛ      f   Ñ           ×ÙÒ ÖØ ×                          ÓÔÓ              ÓÖÞ Ø              ×         Ò                ×Ø Ñ          Iº           Ä Ñ              Ø

f        Õ           Ô ÒÛ ×ØÓ                I       Ø Ò               Ø       Ø        ØÛÒ              Ò             Ñ     ×ÛÒ            Ø ÑôÒ              ´           Á        Ì    Õ ÖÒ

×ÙÒØÓÑ 
µ                       Ò                             x1 , x2 ∈ I Ñ x1 < x2            k                                                     Ò Ñ ×                ×Ø        f (x1 )
            f (x2 )¸         ÙÔ ÖÕ                    Ò       c ∈ (x1 , x2 ) Ø ØÓ Ó ô×Ø f (c) = kº

           ôÖ          Ñ            º       ³       ×ØÛ       Ø           f           Ò        ×ÙÒ Õ            
      ×         Ò             ×Ø       Ñ        I   º       Ì    Ø            f
    Õ           Ô    ÒÛ ×ØÓ          I    Ø      Ò    Á       ̺




        Ô                Ü           Å       ØÓ            ôÖ Ñ                Ò        Ñ ×ÛÒ Ø ÑôÒº



È           Ö       Ø    Ö       ×               º½¼       ÌÓ          ÒØ×ØÖÓ               Ó ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ
                                     º           Ò        ×Õ            º

Ô Ö                     Ñ ¸          ×ÙÒ ÖØ ×


                                                                                                    1
                                                                                             Ñ
                                                                                                    x        Ò       x = 0,
                                                               f (x) =
                                                                                            0                Ò       x=0

    Õ           Ô ÒÛ ×ØÓ              [−1, 1]              Ø Ò Á           Ì           ÐÐ           Ò        Ò          ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                      [−1, 1]              ´        Ø        Ò

    Ò          ×ÙÒ Õ 
              ×ØÓ 0µº



           ôÖ          Ñ            º½½         ³    ×ØÛ          Ø           f       Ò        ×ÙÒ         Õ    
 ×            Ò              ×Ø       Ñ    I                ÔÐô
          Õ


Ø       Ò       Á   Ì    Ô   ÒÛ          ×ØÓ     I   º    Ì    Ø     ØÓ    ×       ÒÓÐÓ          f (I)            Ò               ×Ø       Ñ        ´Ô       Òô
                  ÔÓØ      ÐÓ    ¹


Ñ       ÒÓ          Ô        Ò       Ñ    ÒÓ      ×       Ñ   Óµº




        Ô               Ü        ³       ×ØÛ         k     Ò 
         Ö       Ñ 
           Ò Ñ ×               ×           Ó              ÓÖ Ø              ×ØÓ Õ             y1 , y2
ØÓÙ          f (I)º          Ç × ÓÔ 
 Ñ 
                       Ò         Ò            ÜÓÙÑ                Ø    k ∈ f (I)º                         Ð       ÓÙÑ           x1 , x2 ∈ I
         f (x1 ) = y1
    Ø× ô×Ø               f (x2 ) = y2 º ÉÛÖ
                                                                         Ð          Ø 
             Ò           Ø Ø 
¸ ÑÔÓÖÓ Ñ

Ò ÙÔÓ   ØÓÙÑ     Ø x1 < x2 º Ä   Û ØôÖ    Ø 
                                                                     Á       ̸ ÙÔ ÖÕ                    c ∈ (x1 , x2 )                 Ø ØÓ Ó

ô×Ø f (c) = k ¸ ÓÔ Ø k ∈ f (I)º



³       ×            ×           º½¾         ³       ×ØÛ       Ø           f       Õ         Ø Ò Á           Ì Ô ÒÛ ×                       Ò    ×Ø Ñ I º                                   ÜØ

    Ø                          c ∈ I¸                Ò ØÓ ÔÐ ÙÖ                             ÖÓ      limx→c− f (x)                           limx→c+ f (x) ÙÔ                                ÖÕ

                Ò            ×ØÓ R¸ Ø                 Ø        Ø Ñ         ØÓÙ              Ò      f (c)º

           ôÖ          Ñ            º½¿ ´                Ö        Ñ       Ò       
 ×ÙÒ                ÖØ        ×       
µ       ³       ×ØÛ        Ø           f            Ò        ×ÙÒ      ¹


Õ        
      ×ØÓ           ×Ø         Ñ       I = [a, b]            º   Ì       Ø            f       Ò           Ö       Ñ     Ò        Ô   ÒÛ        ×ØÓ     I    º
 º      ËÙÒ    Õ              ×                ×Ø       Ñ                                                                                                                  ¿¿




     Ô            Ü                   Ô                 f        Ò     ×ÙÒ Õ 
                   Ô            Ü     ×ØÓ     a¸ ÙÔ         ÖÕ         Ò        u0 ∈ (a, b)
Ø ØÓ Ó ô×Ø                        f           Ò            Ö     Ñ Ò        Ô ÒÛ ×ØÓ                     [a, u0 ]º      ³   Ø× ¸ ØÓ × ÒÓÐÓ


                              U = {u ∈ (a, b) :                             f        Ò           Ö         Ñ Ò       Ô ÒÛ ×ØÓ                [a, u]}
Ò        Ñ           Ò º ÌÓ                   U        Ò        Ô× 
           ÒÛ              Ö       Ñ ÒÓ        Ô      ØÓ      bº   Â ØÓÒØ 



                                                                                 c = sup U,
ÕÓÙÑ              c ≤ bº                 Ø c < b¸
                                               
 ÙÔÓ Ð     c ∈ (a, b)º Ô
                                                                  ×ÓÙÑ          f
Ò           ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ              s ∈ (a, c)
                                               c¸  t ∈ (c, b) Ø ØÓ ô×Ø
                                                      ÙÔ ÖÕÓÙÒ             f Ò
    Ö     Ñ   Ò Ô ÒÛ ×ØÓ [s, t]º   Ò    Ð ÜÓÙÑ   Ò   u1 ∈ U Ø ØÓ Ó ô×Ø s < u1 ¸
Ø Ø           f Ò    Ö   Ñ Ò  Ô ÒÛ ×ØÓ [a, u1 ]    Ö  Ô ÒÛ ×ØÓ [a, t]º ÙØ   ÑÛ


× Ñ Ò          Ø t ∈ U ¸ ØÓ ÓÔÓÓ Ò    ØÓÔÓº   Ü Ñ ÐÓ Ô Ò    Ø


                                                                                      c = b.

         ÌôÖ ¸            Ô                       f     Ò        ×ÙÒ Õ 
                 Ô           Ö ×Ø Ö         ×ØÓ      b¸     ÙÔ ÖÕ            Ò     w ∈ (a, b)
Ø ØÓ Ó ô×Ø                f Ò                               Ö        Ñ Ò       Ô ÒÛ ×ØÓ                   [w, b]º           Ò            Ð ÜÓÙÑ           Ò  u2 ∈ U
Ø ØÓ Ó ô×Ø              w < u2 ¸                        Ø Ø             f       Ò            Ö       Ñ Ò          Ô ÒÛ ×ØÓ               [a, u2 ]               Ö       Ô ÒÛ

×       ÓÐ        Ð   ÖÓ ØÓ I º



È        Ö    Ø       Ö       ×               º½         ÌÓ            ôÖ Ñ                   Ö       Ñ Ò 
 ×ÙÒ ÖØ × 
                            Ò       ×Õ             Ò ØÓ

        ×Ø Ñ          I        Ò          Ò            Ð       ×Ø º             Ô Ö                      Ñ ¸        ×ÙÒ ÖØ ×                    x        Ò     ×ÙÒ Õ 


 ÐÐ           Õ           Ö       Ñ Ò              Ô ÒÛ ×ØÓ                 −π, π
                                                                             2 2              º



       ôÖ        Ñ               º½           ´Ñ                ×Ø     
                     Ð       Õ ×Ø           
 Ø Ñ           
µ     ³   ×ØÛ        Ø         f    Ò


×ÙÒ      Õ    
    ×ØÓ                    ×Ø       Ñ        I = [a, b]       º   Ì        Øf                Ô      ÖÒ       ×ØÓ     I    Ñ      Ñ        ×Ø              Ñ


Ð       Õ ×Ø          Ø Ñ         ¸           Ð             ÙÔ    ÖÕÓÙÒ          c1 , c2 ∈ I               Ø    ØÓ       ô×Ø




                                                                      f (c1 ) ≤ f (x) ≤ f (c2 )
                      x∈I             º




     Ô            Ü            Ë Ñ             ÛÒ           Ñ    ØÓ         ôÖ Ñ                  Ö        Ñ Ò 
 ×ÙÒ ÖØ × 
¸ ØÓ × ÒÓÐÓ                                   f (I)
Ò            Ö       Ñ ÒÓ                         Ö        Ø


                                                        M = sup f (I) ,                                   m = inf f (I)
ÙÔ ÖÕÓÙÒº                 À           Ô             Ü                 Ò     ÔÐ Ö 
                   Ò         ÜÓÙÑ            Ø    M, m ∈ f (I)º                  ³   ×ØÛ

 Ø        /
        M ∈ f (I)º                        Ì Ø               ×ÙÒ ÖØ ×


                                                                                    1
                                                                                 M − f (x)
Ò            Ø                           ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                  I º ÉÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
                               Ô Ð         ØÓ         ôÖ Ñ            Ö    Ñ Ò 


×ÙÒ ÖØ × 
¸                               Ð        ÓÙÑ           Ò     u > 0 Ø ØÓ Ó ô×Ø                                                       x ∈ I        Ò        ×Õ

 Ò× Ø Ø
                                                                               1
                                                                                      ≤ u,
                                                                            M − f (x)
    º   ËÙÒ          Õ            ×             ×Ø        Ñ                                                                                                                       ¿




        ×Ó          Ò Ñ
                                                                                        1
                                                                            f (x) ≤ M −   .
                                                                                        u
    ÙØ              ÑÛ
           Ò             ØÓÔÓ               Ó       M = sup f (I)º ËÙÒ                              Ôô
         M ∈ f (I)º                    ÇÑÓÛ


        ÕÒÓÙÑ                         Ø    m ∈ f (I)º

È           Ö ×Ñ                  º½         ³       ×ØÛ           Ø        f       Ò       ×ÙÒ      Õ    
    ×ØÓ             ×Ø          Ñ       I = [a, b]        º   Ì       Ø


f (I) = [m, M ]                        ¸    ÔÓÙ          m         Ò           Ð   Õ ×Ø          Ø Ñ               M           Ò              Ñ       ×Ø          Ø Ñ       Ø       



f       Ô   I
            ÒÛ       ×ØÓ           º




           ôÖ       Ñ                º½         ³   ×ØÛ            Ø           f       Ò       1−1                     Õ          Ø    Ò      Á   Ì       Ô    ÒÛ   ×           Ò


         ×Ø      Ñ       I    º   Ì    Ø             f        Ò        Ò   ×Û
 ÑÓÒ              ØÓÒ       Ô    ÒÛ ×ØÓ             I   º   ´                   Ô   ÖÔØÛ×


    Ò           f        Ò        1−1                         ×ÙÒ      Õ   
       ×        Ò            ×Ø    Ñ       I   ¸   Ø    Ø              f   Ò            Ò   ×Û



ÑÓÒ         ØÓÒ           Ô       ÒÛ   ×ØÓ           I   ºµ




        Ô            Ü             ³   ×ØÛ     x1 , x2 , x3 ØÖ × Ñ  ØÓÙ I                                         ×           ÜÓÙ×                    Ø Ü ¸             Ð

x1 < x2 < x3 º                                   Ô        f Ò 1 − 1¸ Ó Ø Ñ                                         
 f (x1 ) , f (x2 ) , f (x3 )                             Ò

            ÓÖ Ø              
º           Ò    Ø Ñ     f (x2 ) Ò Ò Ñ Ø Ü                                           ØÛÒ f (x1 )         f (x3 )¸                         Ø Ø

Ð Ñ              Ø        ØÖ                 (x1 , x2 , x3 ) Ò Ñ    ØÖÓÔ                                           Ø 
 fº


            Â            ÜÓÙÑ                  Ø         f             Ò   Õ               ØÖÓÔ 
º              
 ÙÔÓ              ×ÓÙÑ                Ø       (x1 , x2 , x3 )
    Ò       Ñ                ØÖÓÔ          Ø 
          fº ³       Ö       ×Õ              Ñ    Ô        Ø
       Ò× Ø Ø 




                                                              f (x2 ) < min {f (x1 ) , f (x3 )} ,

                                                              f (x2 ) > max {f (x1 ) , f (x3 )} .
³       ×ØÛ          Ø    ×Õ                     ÔÖôØ                  Ò× Ø Ø º                   Ð        ÓÙÑ          Ò       k    Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                                         f (x2 ) < k < min {f (x1 ) , f (x3 )} .

Ä           Û Á          ̸ ÙÔ ÖÕÓÙÒ × Ñ                                   c1 ∈ (x1 , x2 )                             c2 ∈ (x2 , x3 )                     Ø ØÓ          ô×Ø

f (c1 ) = k                                f (c2 ) = kº                     ÙØ              ÑÛ
       Ò         ØÓÔÓ ´       Ó      f                      Ò        1 − 1µº
Å           Ô Ö ÑÓ Ó ØÖ ÔÓ                                    ÕÒÓÙÑ            Ø                          Ø Ö          Ò× Ø Ø                  Ó                ×       ØÓÔÓº

    ÔÓÑ ÒÛ
                       f         Ò        Õ             ØÖÓÔ 
º


    ËØ ×ÙÒ Õ        Ð  ÓÙÑ   Ó × Ñ  a, b ∈ I Ñ a < b¸     Ö f (a) < f (b)

  f (a) > f (b)º ³ ×ØÛ Ø f (a) < f (b)º Ò ÙÔ ÖÕ Ò u, v ∈ I Ñ u < v ÐÐ
f (u) > f (v)¸ Ø Ø ØÖ Ô Ø × Ñ  a, b, u, v       ÔÓØ ÐÓ × Ò    ØÖÓÔ   Ø 


f ´Ó Ð ÔØÓÑ Ö 
       ÒÓÒØ  Û
  ×   × µ¸     Ø×     Õ Ñ   ØÓÔÓº ËÙÒ Ôô


  f Ò     Ò ×Û
   ÜÓÙ×  Ô ÒÛ ×ØÓ I º ÇÑÓÛ
¸ Ò      ÓÐÓ Ò   Ó Ñ   Ø   Ò

f (a) > f (b)¸ Ø Ø   f Ò   Ò ×Û
     ÒÓÙ× Ô ÒÛ ×ØÓ I º



           ôÖ       Ñ                º½         ³   ×ØÛ            Ø           f       Ò       1−1                     Õ          Ø    Ò      Á   Ì       Ô    ÒÛ   ×           Ò


         ×Ø      Ñ       I    º   Ì    Ø             f        Ò        ×ÙÒ     Õ       
   ×ØÓ   I   º
    º   ÇÑÓ              ÑÓÖ             ×ÙÒ          Õ                                                                                                                             ¿




        Ô                Ü           Ë Ñ          ÛÒ          Ñ       ØÓ Â ôÖ Ñ                  º½ ¸         f       Ò           Ò ×Û
 ÑÓÒ ØÓÒ                              Ô ÒÛ

×ØÓ             Iº       ËÙÒ Ôô
 ÑÔÓÖÓ Ñ                                  Ò        ÙÔÓ       ×ÓÙÑ         ÕÛÖ
                ÔôÐ                      Ø 
             Ò      Ø Ø 


´           Ó                     −f             Õ        Ø Ò Á           Ì Ô ÒÛ ×ØÓ                 Iµ       Ø            f       Ò               Ò ×Û
                    ÜÓÙ× º

³       ×ØÛ          c ∈ Iº              Ò ØÓ         c   Ò              ×ÛØ Ö             × Ñ Ó ØÓÙ                I¸      Ø Ø           Ô           Ø Ò ³         ×       ×    ¿º

    ÒÛÖÞÓÙÑ                         Ø    Ø       ÔÐ ÙÖ                    Ö       limx→c± f (x)                  ÙÔ ÖÕÓÙÒ                               Ò        ÓÙÒ ×ØÓ           Rº
    Ò ØÓ             c   Ò              Ö ×Ø Ö                   ÖÓ ØÓÙ           I¸ Ø Ø

                                              lim f (x) = inf {f (x) : x ∈ I, x > c} ∈ R.
                                             x→c+

ÇÑÓÛ
¸                      Ò ØÓ        c       Ò           Ü            ÖÓ ØÓÙ           I¸   Ø Ø


                                              lim f (x) = sup {f (x) : x ∈ I, x < c} ∈ R.
                                             x→c−

ÉÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØôÖ                                           Ø Ò ³        ×       ×        º½¾¸ ×ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ                               Ø            f       Ò         ×ÙÒ Õ 


Ô ÒÛ ×ØÓ                     Iº

           ôÖ           Ñ           º½           ³   ×ØÛ             Ø        f       Ò    1−1                   ×ÙÒ         Õ    
       ×            Ò              ×Ø     Ñ    I   º


Ì       Ø            f −1         Ò          ×ÙÒ         Õ    
      Ô   ÒÛ   ×ØÓ            ×Ø     Ñ        f (I)       º




        Ô                Ü                        Ù ÓÐ                   ØÓÙÑ         g = f −1                   J = f (I)º                    ³       Ø× ¸          g     ÓÖÞ Ø

Ô ÒÛ ×ØÓ                     J¸      ØÓ ÓÔÓÓ                 Ò               ×Ø Ñ          × Ñ         ÛÒ       Ñ        ØÓ Â ôÖ Ñ                             º½½º          Ô

        f       Ò            Ò ×Û
 ÑÓÒ ØÓÒ                              Ô ÒÛ ×ØÓ               I   ´Â ôÖ Ñ                      º½ µ¸                 g      Ò             Ò ×Û


ÑÓÒ ØÓÒ                  Ô ÒÛ ×ØÓ                 J               Ñ Ð ×Ø            Õ       ØÓ      Ó     Ó
 ÑÓÒÓØÓÒ 
 ´                                  Ð                ÜÓÙ×

            ÒÓÙ× µ Ñ                    Ø       Ò fº          Ò         ØôÖ               ÓÐÓ Ò             Ó Ñ             Ø         g           Õ        Ø Ò Á          Ì Ô ÒÛ

×ØÓ         Jº       ³   Ö ¸ × Ñ                 ÛÒ       Ñ        ØÓ Â ôÖ Ñ                     º½ ¸         g    Ò          ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                        Jº


                ÇÑÓ                      ÑÓÖ                          ×ÙÒ           Õ


³       ×ØÛ          f   Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×                         ÓÔÓ        ÓÖÞ Ø            ×       Ò             ×Ø Ñ       Iº Ä Ñ                            Ø         f Ò
ÓÑÓ                  ÑÓÖ                  ×ÙÒ             Õ       
   ´Ô ÒÛµ ×ØÓ             I       Ò                         ε > 0 ÙÔ ÖÕ                                Ò    δ>0
Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                  x1 , x2 ∈ I ∧ |x1 − x2 | < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.

È           Ö                    Ñ            º½              ÜØ          Ø        ×ÙÒ ÖØ ×              f (x) = 4x + 3                                Ò       ÓÑÓ          ÑÓÖ

×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                       Rº
Ä           ×                Ó       ÒØÓ
             Ò 
     ε > 0¸           ÔÖ Ô         Ò        ÖÓ Ñ             Ò        δ>0          Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                  |x1 − x2 | < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.

È Ö Ø ÖÓ Ñ                               Ø


                                  |f (x1 ) − f (x2 )| < ε ⇔ |4x1 + 3 − (4x2 + 3)| < ε
                                                                                                                                                                 ε
                         ⇔ |4 (x1 − x2 )| < ε ⇔ 4 |x1 − x2 | < ε ⇔ |x1 − x2 | <                                                                                    ,
                                                                                                                                                                 4
ÓÔ Ø             ÑÔÓÖÓ Ñ                     Ò        Ô ÖÓÙÑ              δ = ε/4º
    º   ÇÑÓ      ÑÓÖ             ×ÙÒ      Õ                                                                                               ¿




È       Ö                Ñ           º¾              ÜØ        Ø     ×ÙÒ ÖØ ×              f (x) = x2      Ò    Ò   ÓÑÓ         ÑÓÖ

×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ               Rº
Ä       ×        ÍÔÓ             ØÓÙÑ            ØÓ       ÒØ       ØÓ Ñ    × ÓÔ        Ò       Ø Ð ÜÓÙÑ        ×     ØÓÔÓº       È Ö¹

ÒÓÒØ 
          ε = 1¸               Ð       ÓÙÑ           Ò     δ>0        Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                         |x1 − x2 | < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < 1.

                    x ∈ R¸           ÕÓÙÑ


                                                                      δ     δ
                                                                x+      −x = <δ
                                                                      2     2

            Ö

                                                                        δ
                                                           f     x+           − f (x) < 1.
                                                                        2
    ÐÐ

                                                                                        2
                         δ                                                        δ                                   δ2
            f    x+               − f (x) < 1 ⇔                             x+              − x2 < 1 ⇔ δx +              <1
                         2                                                        2                                   4
                                                                δ2      −4 − δ2     4 − δ2
                         ⇔ −1 < δx +                               <1 ⇔         <x<        .
                                                                4         4δ          4δ
                                                          −4−δ2 4−δ2
        Ü Ñ        ÐÓ Ô Ò           Ø    R⊆               4δ , 4δ            ¸ ØÓ ÓÔÓÓ         Ò      ØÓÔÓº



È       Ö                Ñ           º¿      ³       ×ØÛ    b ∈ R+ º             ÜØ        Ø   ×ÙÒ ÖØ ×         f (x) = x2           Ò

ÓÑÓ          ÑÓÖ         ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                      [0, b]º
Ä       ×            Ó       ÒØÓ
         Ò 
            ε > 0¸     ÔÖ Ô     Ò        ÖÓ Ñ      Ò     δ>0   Ø ØÓ Ó ô×Ø


                      x1 , x2 ∈ [0, b] ∧ |x1 − x2 | < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.

    Ò   x1 , x2 ∈ [0, b]¸                Ø Ø

                                                                 0 ≤ x1 + x2 ≤ 2b



             |f (x1 ) − f (x2 )| < ε ⇔ x2 − x2 < ε ⇔ |x1 − x2 | |x1 + x2 | < ε,
                                        1    2

    Ö       ÑÔÓÖÓ Ñ          Ò       Ô ÖÓÙÑ               δ = ε/2bº

³       ×       ×        º       ³b ∈ R+ º
                                     ×ØÛ      ÜØ   Ø   ×ÙÒ ÖØ ×   f (x) = 1/x Ò Ò
ÓÑÓ          ÑÓÖ         ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ (0, b)º ÍÔ       Ü   Ü Ø ×Ø × Ñ     x1 , x2 ∈ (0, b)
Ø ØÓ            ô×Ø      x1 = 1/n     x2 = 1/ (n + 1) Ñ n ∈ Z + º℄


       ôÖ       Ñ           º           Ò           f     Ò     ÓÑÓ      ÑÓÖ         ×ÙÒ Õ    
   ×   Ò        ×Ø   Ñ   I   ¸   Ø   Ø


f       Ò      ×ÙÒ      Õ   
    ×ØÓ        I   º
    º   ÇÑÓ       ÑÓÖ              ×ÙÒ       Õ                                                                                                                                 ¿




        Ô         Ü                     Ò Ø           Û
        ×        × º



            Ç    Ô Ñ ÒÓ
 ×Ø ÕÓ
 Ñ 
                                 Ò        Ò            ÜÓÙÑ            Ø   Ñ        ×ÙÒ Õ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                              Ô ÒÛ

×           Ð   ×Ø             ×Ø Ñ                  Ò     Ô ÒØ              ÓÑÓ          ÑÓÖ             ×ÙÒ Õ 
º                 À    Ô            Ü       ÕÖ       Þ Ø

        ÔÓ       ÔÖÓ Ö             × º ³            ×ØÛ        f   Ñ         ×ÙÒ ÖØ ×                      ÓÔÓ            ÓÖÞ Ø               ×        Ò           ×Ø Ñ

Iº                Ó       Ò    ε > 0¸            Ð Ñ            Ø         f           Ò       ε¹          Ð        ×ØÓ         I       Ò ÙÔ ÖÕ                   Ò   δ >0
Ø ØÓ Ó ô×Ø



                           x1 , x2 ∈ I ∧ |x1 − x2 | < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.

³       Ø× ¸      f       Ò           ÓÑÓ       ÑÓÖ                ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                    I       Ò            Ñ ÒÓÒ            Ò           f       Ò       ε¹       Ð

×ØÓ         I                      ε > 0º

Ä        ÑÑ           º        ³       ×ØÛ       Ø          f   ÓÖÞ      Ø           ×        Ò           ×Ø       Ñ       I   ¸           ×ØÛ          Ø                 ÔÓ Ó


c∈I                       ÔÓ Ó         ε>0               ÕÓÙÑ




                                                                                                                        ε
                                                         x ∈ I ⇒ |f (x) − f (c)| <                                        .
                                                                                                                        2
Ì       Ø        f    Ò           ε
                                   ¹       Ð         Ô    ÒÛ    ×ØÓ       I   º




        Ô         Ü                                  x1 , x2 ∈ I ¸                ÕÓÙÑ



                              |f (x1 ) − f (x2 )| = |f (x1 ) − f (c) + f (c) − f (x2 )|
                                                                          ε ε
                               ≤ |f (x1 ) − f (c)| + |f (x2 ) − f (c)| < + = ε.
                                                                          2 2



Ä        ÑÑ           º        ³       ×ØÛ       Ø          f       Ò        ε   ¹        Ð       Ô   ÒÛ      ×Ø               ×Ø      Ñ    Ø       [a, b]            [b, c]      ¸


            Ô ÔÐ      ÓÒ ×ÙÒ           Õ     
   ×ØÓ        ×       Ñ    Ó   b   º   Ì    Ø           f       Ò       ε¹          Ð    Ô      ÒÛ ×ØÓ            [a, c]   º




        Ô         Ü                    Ð       ÓÙÑ          δ1 , δ2 , δ3 > 0                   Ø ØÓ         ô×Ø



                      x1 , x2 ∈ [a, b] ∧ |x1 − x2 | < δ1 ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε,

                       x1 , x2 ∈ [b, c] ∧ |x1 − x2 | < δ2 ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε,
                                                                      ε
                                  |x − b| < δ3 ⇒ |f (x) − f (b)| < .
                                                                      2
 ØÓÒØ 
              δ = min {δ1 , δ2 , δ3 }¸ ×ÕÙÖ Þ Ñ ×Ø Ø

                       x1 , x2 ∈ [a, c] ∧ |x1 − x2 | < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.

À Ñ Ò             Ô ÖÔØÛ×                   ÔÓÙ ÕÖ                  Þ Ø               Ð       ÕÓ       Ò           Ø Ò ØÓ                 Ò         Ô       Ø       × Ñ 

x1 , x2          Ò             ×ØÓ               ×Ø Ñ         [a, b]    ØÓ                         ÐÐÓ          Ò               ×ØÓ             ×Ø Ñ          [b, c]º              


ÙÔÓ             ×ÓÙÑ       ÐÓ Ô Ò                Ø       |x1 − x2 | < δ                            Ø   x1 , x2              Ö× ÓÒØ                      Ø ÖÛ          Ò ØÓÙ

bº          Ô

                                                          |xi − b| ≤ |x1 − x2 | < δ ≤ δ3 ,
    º   ÇÑÓ             ÑÓÖ              ×ÙÒ          Õ                                                                                                                    ¿




    ÕÓÙÑ
                                                                                                      ε
                                                           |f (xi ) − f (b)| <                          ,        i = 1, 2,
                                                                                                      2
                Ö


                                     |f (x1 ) − f (x2 )| = |f (x1 ) − f (b) + f (b) − f (x2 )|
                                                                                 ε ε
                                      ≤ |f (x1 ) − f (b)| + |f (x2 ) − f (b)| < + = ε.
                                                                                 2 2



        ôÖ             Ñ            º        ³   ×ØÛ              Ø        f     Ò          ×ÙÒ Õ         
    ×ØÓ            ×Ø    Ñ       I = [a, b]      º   Ì    Ø


f        Ò         ÓÑÓ          ÑÓÖ               ×ÙÒ         Õ       
   ×ØÓ    I   º




        Ô               Ü                Ó        ÒØÓ
             Ò 
      ε > 0¸                        ÜÓÙÑ         Ø         f Ò ε¹                    Ð    ×ØÓ      Iº
    Ô                       f    Ò       ×ÙÒ Õ 
                      Ô         Ü        ×ØÓ      a¸     ÙÔ ÖÕ             Ò    u0 ∈ (a, b] Ø               ØÓ Ó ô×Ø


                                                                                                                                ε
                                                        x ∈ [a, u0 ] ⇒ |f (x) − f (a)| <                                          .
                                                                                                                                2
É Ö             ×ØÓ Ä ÑÑ                          º ¸          f       Ò        ε¹       Ð       Ô ÒÛ ×ØÓ         [a, u0 ]¸                   Ö     ØÓ × ÒÓÐÓ


                                     U = {u ∈ (a, b] :                            f       Ò       ε¹       Ð     Ô ÒÛ ×ØÓ               [a, u]}

    Ò          Ñ               Ò º ÌÓ            U       Ò           Ô× 
          ÒÛ          Ö       Ñ ÒÓ      Ô       ØÓ      bº   Â ØÓÒØ 



                                                                                      c = sup U,

    ×ÕÙÖ Þ Ñ ×Ø                           Ø       c = bº                     Ò        ÔÓ          ÜÓÙÑ          ØÓÒ    ×ÕÙÖ ×Ñ                 ÙØ Ò¸         
 ÙÔÓ            ¹

×ÓÙÑ                    Ø       ×Õ                    Ò× Ø Ø                 c < bº           Ì Ø         ´Ð      Û ×ÙÒ Õ                 
 ×ØÓ       cµ     ÙÔ ÖÕÓÙÒ

s ∈ (a, c)                           t ∈ (c, b)            Ø ØÓ              ô×Ø


                                                                                                                            ε
                                                          x ∈ [s, t] ⇒ |f (x) − f (c)| <                                      .
                                                                                                                            2
³       Ø× ¸ Ô Ð                × Ñ       ÛÒ           Ñ       ØÓ Ä ÑÑ                    º ¸         f     Ò   ε¹         Ð       Ô ÒÛ ×ØÓ          [s, t]º              Ö¹

Ñ ÞÓÒØ 
 ØôÖ                             ØÓ Ä ÑÑ                       º    ×Ø            ×Ø Ñ Ø             [a, u1 ]               [u1 , t]¸       ÔÓÙ ØÓ        u1       Õ

    Ô Ð                    Ø×       ô×Ø           u1 ∈ U                      u1 > s¸ Ó                        Ó Ñ ×Ø           ×ØÓ          ØÓÔÓ ×ÙÑÔ Ö ×Ñ

    Ø           f       Ò        ε¹         Ð        Ô ÒÛ ×ØÓ               [a, t]º  Ü Ñ                      ÐÓ Ô Ò          Ø


                                                                                          c = b.

            Ì ÐÓ
¸               Ô                 f       Ò          ×ÙÒ Õ 
                Ô       Ö ×Ø Ö        ×ØÓ         b¸ ÙÔ     ÖÕ         Ò       w ∈ (a, b)
Ø ØÓ Ó ô×Ø
                                                                                                                                ε
                                                          x ∈ [w, b] ⇒ |f (x) − f (b)| <                                          .
                                                                                                                                2
            Ð       ÓÒØ 
             Ò       u2 ∈ U                Ø ØÓ Ó ô×Ø                    u2 > w¸         ×ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ                     ´ÕÖ × ÑÓÔÓ ôÒ¹

Ø 
 Ø               Ä ÑÑ Ø                    º                 º           ÔÛ
 ÔÖÓ               ÓÙÑ ÒÛ
µ              Ø        f       Ò     ε¹       Ð       Ô ÒÛ ×

    ÐÓ ØÓ                   ×Ø Ñ             [a, b]º
    º                          ×ÙÒ      Õ        
                                                                                                                            ¿




            ³       ×ØÛ          f Ñ           ×ÙÒ ÖØ ×                     ÓÔÓ          ÓÖÞ Ø            ×        Ò              ×Ø Ñ             Iº           Ò ÙÔ ÖÕ

×Ø                  Ö           K>0           Ø ØÓ            ô×Ø



                                             (∀x1 , x2 ∈ I) (|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ K |x1 − x2 |) ,

Ø Ø                 Ð Ñ             Ø        f            ÒÓÔÓ         Ñ       ×ÙÒ                     Lipschitz                   Ô ÒÛ ×ØÓ                 Iº

È           Ö                        Ñ            º       Ä       Û ØÛÒ          ÒÛ×ØôÒ             Ò ×ÓØ ØÛÒ



                        |       Ñ   x1 −          Ñ   x2 | ≤ |x1 − x2 | ,                      |×ÙÒ x1 − ×ÙÒ x2 | ≤ |x1 − x2 | ,

Ó       ×ÙÒ ÖØ ×                         
    Ñ   x           ×ÙÒ      x         ÒÓÔÓ Ó Ò ×ÙÒ                            
   Lipschitz               Ô ÒÛ ×ØÓ               Rº
                                                                                                            √
È           Ö                        Ñ            º½¼              ÜØ      Ø        ×ÙÒ ÖØ ×                x              Ò           ÒÓÔÓ          ×ÙÒ                  Lip-
schitz                  Ô ÒÛ ×ØÓ               [0, 1]º
                                                   √
Ä        ×                  ³    ×ØÛ          Ø             x   ÒÓÔÓ  ×ÙÒ                              Lipschitz Ñ                     ×Ø           Ö       K    Ô ÒÛ ×ØÓ

[0, 1]º                 Ì Ø                                x ∈ (0, 1] ÕÓÙÑ
                                                                       √   √
                                                                        x − 0 ≤ K |x − 0|

                    Ö
                                                                                              1
                                                                                     x≥          .
                                                                                              K2
    ÙØ                  ÑÛ
 ÔÖÓ                   Òô
         Ò         ØÓÔÓº



        ôÖ                 Ñ            º½½              Ò       f         ÒÓÔÓ         Ñ        ×ÙÒ                   Lipschitz               Ô   ÒÛ      ×         Ò           ¹


×Ø          Ñ           I   ¸   Ø    Ø        f        Ò     ÓÑÓ        ÑÓÖ          ×ÙÒ Õ          
   ×ØÓ        I   º




        Ô                    Ü                    Ò Ø         Û
       ×     × º




                                            ×ÙÒ              Õ             



³       ×ØÛ             f       Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×                     ÓÔÓ        ÓÖÞ Ø            ×       Ñ        Ô Ö ÓÕ                aº
                                                                                                                                         ØÓÙ                      Ò     f          Ò

    Ò              ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                    a¸ Ø       Ø       Ð Ñ        Ø        f    Ò           ×ÙÒ             Õ       
 ×ØÓ a                   Ø         f      Õ

    ×ÙÒ                 Õ                ×ØÓ      a¸ ØÓ            aÐ        Ø       ×     Ñ    Ó          ×ÙÒ             Õ        
 Ø 
 fº                À        ×ÙÒ Õ

Ø 
          f          ×ØÓ         a   ´ Ò ÙÔ ÖÕ             µ Ó          Ð Ø      ×         Ò Ò       Ô          ØÓÙ
 Ô Ö                 ØÛ Ð                ÓÙ




         i
        ´ µ ÌÓ            Ö Ó Ø 
 f ×ØÓ a ÙÔ ÖÕ                                                     Ò               ×ØÓ         R       ÐÐ               Ò    Ò       ×Ó Ñ

                    f (a)º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ× ÙØ Ð Ñ                                                Ø        f       Õ           Ô       Ð   Ý Ñ                 ×ÙÒ           Õ

                    ´removable discontinuityµ ×ØÓ aº


    ´   iiµ         Ì               Ó ÔÐ ÙÖ                   Ö        Ø 
   f    ×ØÓ      a ÙÔ      ÖÕÓÙÒ                      Ò        ÓÙÒ ×ØÓ             R         ÐÐ          Ò

                        Ò          ×    Ñ Ø Ü             ØÓÙ
º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ×                             ÙØ       Ð Ñ            Ø        f       Õ            ÐÑ       Ø

                        ×ÙÒ              Õ            ´   jump discontinuityµ                      ×ØÓ      aº
º                  ×ÙÒ      Õ   
                                                                                                          ¼




´   iiiµ    ÌÓÙÐ Õ ×ØÓÒ                Ò               Ô   Ø         Ó ÔÐ ÙÖ                      Ö     Ø 
    f    ×ØÓ   a       Ò ÙÔ ÖÕ

                    Ò       Ô   ÖÓ ´              Ð       ±∞µº ËØ                   Ò Ô ÖÔØÛ×                ÙØ   Ð Ñ       Ø     f   Õ

            ÓÙ× ô                    ×ÙÒ           Õ        ×ØÓ aº


À       Ô Ð Ý Ñ                       ÐÑ Ø                    ×ÙÒ Õ                 Ð    ÓÒØ          ×ÙÒ      Õ     
   ÔÖôØÓÙ        ¹

    ÓÙ
¸        Òô Ó         ÓÙ× ô             
       ×ÙÒ Õ       
        Ò           ÒÛ×Ø 
           Û
        ×ÙÒ       Õ    
        ¹

Ø    ÖÓÙ                ÓÙ
º




È       Ö                Ñ       º½    ³       ×ØÛ         Ø

                                                                            Ñx
                                                                            x            Ò    x = 0,
                                                   f (x) =
                                                                       2                 Ò    x = 0.
    Ô
                                                                            Ñ    x
                                      lim f (x) = lim                                = 1 = 2 = f (0) ,
                                     x→0                       x→0          x
    f       Õ        Ô Ð Ý Ñ              ×ÙÒ Õ               ×ØÓ     0º

È       Ö                Ñ       º¾    ³       ×ØÛ         Ø


                                                                      x2 + 4                 Ò   x ≤ 1,
                                               f (x) =
                                                                      3−x                    Ò   x > 1.
    Ô

                                               lim f (x) = lim                           x2 + 4 = 5
                                               x→1−                     x→1−


                                                   lim f (x) = lim (3 − x) = 2,
                                               x→1+                     x→1+
    f       Õ        ÐÑ Ø            ×ÙÒ Õ                 ×ØÓ    1º

È       Ö                Ñ       º¿    ³       ×ØÛ         Ø

                                                                  x
                                                                 x−2                             Ò    x < 2,
                                       f (x) =
                                                                 x2 − 4x + 7                     Ò    x ≥ 2.
    Ô
                                                                                          x
                                               lim f (x) = lim                               = −∞,
                                           x→2−                        x→2−              x−2
    f       Õ       ÓÙ× ô            ×ÙÒ Õ                 ×ØÓ   2º

È       Ö                Ñ       º     ³       ×ØÛ         Ø

                                                                                 1
                                                                        Ñ
                                                                                 x        Ò   x = 0,
                                                   f (x) =
                                                                       0                  Ò   x = 0.
    Ô           Ø        ÔÐ ÙÖ             Ö           limx→0− f (x)                      limx→0+ f (x)              Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ¸            f
Õ       ÓÙ× ô                ×ÙÒ Õ                 ×ØÓ    0º
 º                   ×ÙÒ            Õ         
                                                                                                                                                            ½




         ³ÇØ Ò Ñ Ð Ñ                                           Ø
          ×ÙÒ Õ                 
 Ñ          
 ×ÙÒ ÖØ × 
 Ô ÒÛ ×                                              Ò                   ×Ø Ñ ¸

ÔÖ Ô             Ò           Ñ ×Ø                 Ð Ó ÔÖÓ×                         Ø       Ó Ñ             Ø            Ö        ØÓÙ                  ×Ø Ñ ØÓ
º ³                   ×ØÛ          f   Ñ

×ÙÒ ÖØ ×                             ÓÔÓ              ÓÖÞ Ø                   ×            Ò                ×Ø Ñ              I       Ñ        Ö ×Ø Ö                    ÖÓ          a                Ü

     ÖÓ      bº           Ò ØÓ            a        Ò              ÔÖ        Ñ Ø                 
        Ö       Ñ 
                       Ò                ×ØÓ      I¸   Ø Ø             Ð        ÓÒØ 


 Ø           f       Ò              ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                           a        ÒÒÓÓ Ñ                    Ø            f            Ò       Ò       ×ÙÒ Õ 
                   Ô           Ü        ×ØÓ

aº       ÙØ           ÑÔÓÖ  Ò                         ×ÙÑ              Ñ               Ó ØÖ ÔÓÙ



     i
     ´ µ ÌÓ                      Ü            ÖÓ Ø 
                   f   ×ØÓ          a    ÙÔ ÖÕ                              Ò                    ×ØÓ      R       ÐÐ               Ò       Ò       ×Ó

             Ñ       f (a)            ´ ×ÙÒ Õ                              ÔÖôØÓÙ                  ÓÙ
µº


 ´   iiµ     ÌÓ              Ü               ÖÓ Ø 
                f     ×ØÓ        a        Ò ÙÔ ÖÕ                            Ò              Ô        ÖÓ ´ ×ÙÒ Õ                                 Ø ÖÓÙ

                  ÓÙ
µº


ÇÑÓÛ
                                    ØÓ       bº

È        Ö                       Ñ             º           ³    ×ØÛ             Ø            f : [0, 4] −→ R                                Ò Ø              Ô       ØÓÒ Ø ÔÓ


                                                                                             3            Ò   x=0                       x = 4,
                                                               f (x) =
                                                                                             1
                                                                                             x            Ò   0 < x < 4.
Ì Ø               f          Õ            ×ÙÒ Õ                                 Ø ÖÓÙ                 ÓÙ
 ×ØÓ                  0¸                   ×ÙÒ Õ                 ÔÖôØÓÙ                    ÓÙ


×ØÓ      4º

È        Ö                       Ñ             º           ³    ×ØÛ             Ø


                                                                                                      −x               Ò    x < 1,
                                                                       f (x) =
                                                                                                      x                Ò    x ≥ 1.
À  f Õ                    ÐÑ Ø                         ×ÙÒ Õ                     ×ØÓ         1º           Ò       ÑÛ
 Ô Ö ÓÖ×ÓÙÑ                                 Ø Ò      f   ×ØÓ                 ×Ø Ñ

[1, 2]¸ Ø            Ø                ×ÙÒ Õ                            ÙØ        Ô                Ò       Ù       ×Ø Ø             º


     ôÖ             Ñ               º         ³       ×ØÛ             Ø         f        Ò          Ñ           ÑÓÒ       ØÓÒ             ×ÙÒ          ÖØ       ×    ÓÖ ×Ñ               Ò       ×        Ò


     ×Ø          Ñ       I   º   Ì        Ø        Ð       
 Ó             ×ÙÒ       Õ           
 Ø          
   f    Ô    ÒÛ ×ØÓ               I       Ò           ×ÙÒ      Õ           
 ÔÖôØÓÙ


    ÓÙ
º




     Ô               Ü               Â         ÙÔÓ                 ×ÓÙÑ                  Ø            f       Ò                ÜÓÙ×                 ´       Ô ÖÔØÛ×                          ÒÓÙ× 


×ÙÒ ÖØ × 
                           Ò        Ô Ö ÑÓ                      µº        Ò            f       Õ                ×ÙÒ Õ                     ×        Ò        ×ÛØ Ö                       × Ñ Ó

ØÓÙ      I¸      Ø Ø                     ×ÙÒ Õ                         ÙØ            Ò              ÐÑ Ø                  ´³   ×           ×         ¿º µº ³          ×ØÛ ØôÖ                         Ø ØÓ

 Ö ×Ø Ö                          ÖÓ      a    ØÓÙ          I        Ò          ÔÖ           Ñ Ø              
        Ö       Ñ 
                       Ò            ×ØÓ      Iº              Ô


                                               lim f (x) = inf {f (x) : x ∈ I, x > a} ∈ R,
                                              x→a+

 Ò           f       Õ               ×ÙÒ Õ                     ×ØÓ         a¸       Ø Ø              ÙØ               Ò       × ÓÙÖ                 ÔÖôØÓÙ                ÓÙ
º ÇÑÓÛ


                     ×ÙÒ Õ                         ×ØÓ                 Ü             ÖÓ ØÓÙ               Iº

     ôÖ             Ñ               º                 Ò           f       Õ         Ø       Ò   Á    Ì           Ô   ÒÛ        ×           Ò                ×Ø    Ñ       I   ¸   Ø       Ø       Ð    
   Ó


 ×ÙÒ         Õ           
   Ø       
    f        Ô   ÒÛ          ×ØÓ       I       Ò              ×ÙÒ          Õ         
               Ø   Ö ÓÙ             ÓÙ
º




     Ô               Ü                        Ø       ³       ×       ×            º½¾º

				
DOCUMENT INFO
Categories:
Tags:
Stats:
views:626
posted:1/26/2013
language:Unknown
pages:41