Docstoc

parag

Document Sample
parag Powered By Docstoc
					                                                      ÈÖ ÛÓ
                                                              º È ÖÖÓ



                                                  ¾      ÆÓ Ñ ÖÓÙ ¾¼½¾




È Ö Õ Ñ Ò
½    È     Ö        Û    Ó
 ×ÙÒ             ÖØ       ×    
    ×       ×   Ñ    Ó                              ½




¾               ÓÖ      
       ÖÑ    Ò        
 Ø       
 Ô      Ö       ô    ÓÙ

     ¾º½       ÃÐ×           º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

     ¾º¾       Ì Õ Ø Ø            º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

     ¾º¿       Å            ÙÒ×        º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

     ¾º        ÈÙ Ò Ø Ø           º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

     ¾º        ÊÙ    Ñ 
 Ñ Ø            ÓÐ 
 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º



¿    ÈÐ        ÙÖ        
 Ô      Ö         Û     Ó




     Ì     ÔÓ                     Ò    Ò    
 Ô       Ö        ô       ×    





     ÄÓ         Ö       Ñ         Ô     Ö        ô        ×                                                    ¾




          ÒôØ       Ö    
 Ô      Ö        Û     Ó                                                             ¾




     ÌÓÔ                    Ö     Ø   Ø                                                                        ¾




     ÌÓ             ôÖ      Ñ     Ñ     ×       
 Ø Ñ      
                                                   ¿¼




     ÂÅÌ ØÓÙ                Cauchy                            Ò    Ò   
   L’Hospital                          ¿




½¼ ÃÙÖØ             
 ×ÙÒ         ÖØ      ×      
                                                                 ¾




½½ ÈÓÐÙôÒÙÑ                      Taylor


½ È Ö                       Û Ó
 ×ÙÒ ÖØ × 
 × × Ñ Ó
³   ×ØÛ    f    Ñ       ´ÔÖ      Ñ Ø          µ ×ÙÒ ÖØ ×                   ÓÔÓ      ÓÖÞ Ø   ×   Ñ   Ô Ö ÓÕ   Ò 


× Ñ ÓÙ        a ∈ Rº           Ò Ó Ð       Ó
 Ñ Ø         ÓÐ 



                                                          f (x) − f (a)
                                                              x−a

                                                                   ½
½º È Ö                Û Ó
 ×ÙÒ ÖØ × 
 ×                      × Ñ Ó                                                                            ¾




Õ               ÖÓ    L∈R              ô
        x → a¸ Ø Ø ØÓ                  ÖÓ       ÙØ           ×ÙÑ ÓÐÞ Ø         Ñ    f ′ (a)
Ð           Ø    Ô     Ö      Û     Ó
         Ø 
 f ×ØÓ aº Å                  ÐÐ    Ð            ¸     Ô Ö     Û    Ó
 Ø     
 f ×ØÓ a

Ò          Ó ÔÖ        Ñ Ø       
        Ö    Ñ 



                                                                       f (x) − f (a)
                                                   f ′ (a) := lim                    ,
                                                                   x→a     x−a
    ×Ó           Ò Ñ
                                                                     f (a + h) − f (a)
                                               f ′ (a) := lim                          .
                                                                 h→0         h
    Ò           Ô Ö     Û   Ó
    f ′ (a)       ÙÔ ÖÕ            ¸ Ø Ø    Ð Ñ        Ø        f        Ò   Ô   Ö        Û    × Ñ         ´

            ÓÖ× Ñ          µ ×ØÓ × Ñ Ó                a¸                      ×       ÙÔÓÐÓ           ×ÑÓ    Ø 
   f ′ (a)      Ð       Ø

Ô       Ö        ô      ×     Ø 
     f    ×ØÓ         aº

È       Ö               Ñ      ½º½     ³       ×ØÛ      f    Ñ    ×Ø       Ö    ×ÙÒ ÖØ × º                    ÜØ    Ø



                                                                   f ′ (a) = 0

                      a ∈ Rº
Ä       ×         ÍÔÓ       ØÓÒØ 
             Ø        ×Ø         Ö     Ø Ñ   Ø 
   f    Ò           c¸   ÕÓÙÑ


                                                   f (x) − f (a)       c−c
                        f ′ (a) = lim                            = lim       = lim 0 = 0.
                                       x→a             x−a         x→a x − a   x→a




È       Ö               Ñ      ½º¾     ³       ×ØÛ      f        Ø ÙØÓØ         ×ÙÒ ÖØ × ¸                  Ð         ×ÙÒ ÖØ ×             Ñ

Ø ÔÓ        f (x) = xº                ÜØ          Ø

                                                                   f ′ (a) = 1
                      a ∈ Rº
Ä       ×         ³    ÕÓÙÑ


                                                   f (x) − f (a)       x−a
                        f ′ (a) = lim                            = lim       = lim 1 = 1.
                                       x→a             x−a         x→a x − a   x→a




È       Ö               Ñ      ½º¿     ³       ×ØÛ      f        ×ÙÒ ÖØ ×       Ñ    Ø ÔÓ             f (x) = x2 º           ÜØ       Ø



                                                                  f ′ (a) = 2a

                      a ∈ Rº
½º È Ö         Û Ó
 ×ÙÒ ÖØ × 
 ×               × Ñ Ó                                                        ¿




Ä    ×     ³    ÕÓÙÑ


                                             f (x) − f (a)       x2 − a2
                            f ′ (a) = lim                  = lim
                                         x→a     x−a         x→a x − a

                                      (x + a) (x − a)
                           = lim                      = lim (x + a) = 2a.
                               x→a        x−a           x→a

Ç ÙÔÓÐÓ        ×Ñ 
        ÙØ 
 ÑÔÓÖ  Ò             Ò        Û
      Ü 




                      ′          f (a + h) − f (a)       (a + h)2 − a2
                     f (a) = lim                   = lim
                             h→0         h           h→0       h
                                         2ah + h2
                               = lim              = lim (2a + h) = 2a.
                                     h→0    h       h→0




                                                                                        1
È    Ö           Ñ        ½º     ³   ×ØÛ   f    ×ÙÒ ÖØ ×          Ñ    Ø ÔÓ   f (x) =   xº   ÜØ     Ø


                                                                  1
                                                    f ′ (a) = −
                                                                  a2
               a ∈ R∗ º
Ä    ×     ³    ÕÓÙÑ


                                                                   1
                                               f (x) − f (a)         −1
                               f ′ (a) = lim                 = lim x a
                                           x→a     x−a         x→a x − a

                                           a−x            −1    1
                                = lim               = lim    =− 2.
                                     x→a xa (x − a)   x→a xa   a

³   ÐÐÓ
 ØÖ ÔÓ



                                                                                 1      1
                                          f (a + h) − f (a)                     a+h −   a
                          f ′ (a) = lim                     = lim
                                      h→0         h           h→0                  h
                                         −h             −1        1
                           = lim                = lim          =− 2.
                               h→0    (a + h) ah h→0 (a + h) a   a



È    Ö           Ñ        ½º     ³   ×ØÛ   f        ×ÙÒ ÖØ ×      Ñ    Ø ÔÓ   f (x) = |x|º     ÜØ       Ø

f     Ò   Ò     Ô Ö       Û × Ñ       ×ØÓ    0º
Ä    ×     ³    ÕÓÙÑ


                      f (x) − f (0)        |x|       −x
               lim                  = lim      = lim    = lim −1 = −1
           x→0−           x−0        x→0 − x    x→0 − x  x→0−
¾º                ÓÖ 
          ÖÑ Ò  
 Ø 
 Ô Ö                    ô     ÓÙ




                                      f (x) − f (0)        |x|        x
                        lim                         = lim      = lim    = lim 1 = 1.
                        x→0+              x−0        x→0 + x    x→0 + x  x→0+

ËÙÒ Ôô
 ØÓ                      ÖÓ

                                                                  f (x) − f (0)
                                                               lim
                                                              x→0     x−0
        Ò ÙÔ ÖÕ         ¸        Ð               f       Ò    Õ      Ô Ö          Û   Ó ×ØÓ         0º

³       ×       ×       ½º        ³       ×ØÛ    f       ×ÙÒ ÖØ ×              Ñ      Ø ÔÓ     f (x) = x |x|º               ÜØ         Ø



                                                                    f ′ (a) = 2 |a|

                    a ∈ Rº

        ôÖ         Ñ       ½º             Ò Ñ       ×ÙÒ      ÖØ    ×        Ò       Ô   Ö     Û       × Ñ    ×        ÔÓ Ó ×     Ñ   Ó¸ Ø   Ø


    Ò              ×ÙÒ     Õ     
       ×ØÓ   ×    Ñ   Ó    ÙØ     º




        Ô           Ü       ³    ×ØÛ       f    Ñ    ×ÙÒ ÖØ ×                  ÓÔÓ            Ò       Ô Ö     Û × Ñ      ×ØÓ × Ñ Ó          aº
Ì Ø


                                                                   f (x) − f (a)
                                lim f (x) = lim                                  · (x − a) + f (a)
                                x→a                      x→a           x−a
                                                     = f ′ (a) · 0 + f (a) = f (a) ,

            Ö       f       Ò        ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ              aº


¾                               ÓÖ 
 ÖÑ Ò  
 Ø 
 Ô Ö                                                           ô ÓÙ
¾º½             ÃÐ×

³    ×ØÛ        f   Ñ       ×ÙÒ ÖØ ×                     ÓÔÓ           Ò     Ô Ö        Û × Ñ           ×ØÓ      aº     Ò        ÛÖ ×ÓÙÑ

    Ò       Ñ Ø     Ð Ø          × Ñ Ó         M (x, f (x)) Ô ÒÛ ×Ø                           Ö              Ô Ö ×Ø ×         Cf   Ø 
     f
    ÓÒØ         ×ØÓ ×Ø                Ö    ×    Ñ Ó A (a, f (a))¸ Ø Ø                        Ó Ð        Ó
 Ñ Ø      ÓÐ 



                                                                    f (x) − f (a)
                                                                        x−a
    Ò      Ó ×ÙÒØ Ð ×Ø 
                            ÙÒ× 
 Ø 
 Ø ÑÒÓÙ× 
                            Ù      
   AM
¾º¾          Ì Õ Ø Ø




È Ö Ø ÖÓ Ñ                     Ø             ô
    x → a¸          ØÓ Ñ Ø         Ð Ø       × Ñ Ó            M      ÔÐ ×       Þ        ØÓ ×Ø       Ö

× Ñ Ó         A¸          Ø×           Ø ÑÒÓÙ×                Ù           AM     Ø Ò          ×       Ñ    ÓÖ               Ù          ε     ÓÔÓ

         ÔØ Ø        Ø 
       Cf      ×ØÓ       Aº        À   Ð×          ´      ×ÙÒØ Ð ×Ø 
                             ÙÒ× 
µ          ÙØ 
 Ø 


         ÔØ Ñ Ò 
           Ù           
   ε        Ò       Ô Ö          Û    Ó
    f ′ (a)¸              ÓÔÓ      Ð        Ø                  Ð×

Ø        
      ÑÔ     Ð       
    Cf       ×ØÓ      A        Ð×           Ø    
 ×ÙÒ          ÖØ          ×    
   f    ×ØÓ      aº    À    Ü×Û×

Ø 
      ε    Ò

                                                       y − f (a) = (x − a) f ′ (a) .
ÈÖ Ô           Ô ÒØÛ
 Ò                 ÕÓÙÑ           ÙÔ      ÝÒ       Ø        ×Õ ×        Ø 
         εÑ      Ø     Cf      Ò      Õ Ø      Ò    Ñ Ò

    Ò       Ø ×Ó      ÔÐ              ×Ó        ÕÒ           Ô Ö Ô ÒÛ                     Ò ¸ ÔºÕº ÑÔÓÖ                    εÒ           Ø ÑÒ      Ø

Cf       ×     Ô     ÖÓ ÔÐ             Ó
 × Ñ ÛÒ¸                   Ñ Ð ×Ø             Ù        Ö Ø            ÓÒØ       ×ØÓ Aº



¾º¾            Ì Õ Ø Ø

³    ×ØÛ        Ø     Ò         ÒØ           Ñ ÒÓ ´ÔÓÙ ØÓ                   ÛÖÓ Ñ          × Ò × Ñ Óµ                     Ò Ø          Ô ÒÛ ×ØÓÒ

    ÜÓÒ       ØÛÒ ÔÖ            Ñ Ø          ôÒ        Ö    ÑôÒ         Ø×       ô×Ø                 ×       ØÓÙ ´         Ð              Ø ØÑ Ñ Ò

ØÓÙµ Ò              Ò Ø           Ô    Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×               f (t)¸      ÔÓÙ      t       Ò      Ó ÕÖ ÒÓ





Ì Ø            Ô Ö         Û       Ó

                                                                                 f (t) − f (t0 )
                                                      f ′ (t0 ) = lim
                                                                     t→t0            t − t0
         Ö Þ        Ø Ò    Ø       Õ    Ø     Ø        ØÓÙ     ÒØ           Ñ ÒÓÙ Ø         ÕÖÓÒ                 ×Ø    Ñ       t0 º

¾º¿            Å                   ÙÒ×

³    ×ØÛ        Ø     Ò 
 ´ ×ÙÒ                   ×ØÓ
µ Ñ                   ÙÒØ        
              
      Ö×       Ø        Ò Ñ ×          ×         Ó

ÓÖ Þ ÒØ            
 Ô Ö ÐÐ Ð 
                   Ù         
 Ó ÓÔÓ 
           Ò        ÒØ Ö                ØÓÙ        ÜÓÒ       ØÛÒ ÔÖ        Ñ ¹
¾º       ÈÙ Ò Ø Ø




Ø    ôÒ           Ö       ÑôÒº       Ô ÔÐ ÓÒ¸             
 ÙÔÓ       ×ÓÙÑ        Ø             × Ñ Ó           x   Ø 
         ØÛ   Ù      


ÔÖÓ          ÐÐ Ø          ¸ Ñ ×Û ØÓÙ                     Ó ¸ ×        ÔÓ Ó × Ñ Ó            f (x)        Ø 
 Ô ÒÛ         Ù       





Ì Ø               Ô Ö          Û Ó
      f ′ (a)           Ö Þ     Ø    Ñ             ÙÒ×          ÔÓÙ ÔÖÓ               Ð  Ó            
 ×Ø

     ×       aº

¾º            ÈÙ Ò Ø Ø

³    ×ØÛ          Ø       Ò Ø          Ò     ÓÖ Þ ÒØ Ó Ñ          ÓÑÓ Ó          Ò 
 × ÖÑ             Ø ØÓ Ó ô×Ø              Ø   ÔÖôØ      x
´ Ô          Ö ×Ø Ö µ                   ØÓ×Ø Ñ ØÖ            ØÓÙ × ÖÑ ØÓ
                 ÕÓÙÒ Ñ Þ              f (x)      Ö ÑÑ Ö




Ì Ø               Ô Ö          Û    Ó
      f ′ (a)         Ö Þ        Ø Ò   ÔÙ       Ò    Ø   Ø       ´×         Ö ÑÑ Ö              Ò          ¹

ØÓ×Ø Ñ ØÖÓµ ØÓÙ × ÖÑ ØÓ
 ×Ø                                       ×     aº

¾º            ÊÙ            Ñ 
 Ñ Ø                   ÓÐ 


     Ò        ¸       Ò        Ó Ñ Ø        Ð Ø       Ñ           x          y   ×ÙÒ      ÓÒØ          Ñ    Ñ      ×Õ ×       Ø 
 ÑÓÖ           



                                                                  y = f (x) ,
Ø Ø           Ô Ö              Û   Ó
   f ′ (a)            Ö Þ    ØÓÒ    ÖÙ       Ñ       Ñ    Ø        ÓÐ       
   ØÓÙ   y     Û
 ÔÖÓ
 ØÓ

x     Ø Ò         x = aº


¿ ÈÐ ÙÖ                                     
Ô Ö                  Û Ó
ÌÓ ÔÐ ÙÖ                        ÖÓ


                           ′                              f (x) − f (a)       f (a + h) − f (a)
                          f− (a) := lim                                 = lim
                                              x→a−            x−a        h→0−         h
´ Ò ÙÔ ÖÕ                           Ò          ×ØÓ    Rµ Ð         Ø         Ö ×Ø         Ö    Ô       Ö        Û    Ó
    Ø 
 ×ÙÒ ÖØ ¹

× 
      f   ×ØÓ          aº   ´À       Ô ÖÜ       ØÓÙ ÓÖÓÙ           ÙØÓ       ÔÖÓÔÓ            Ø        Ø        f   ÓÖÞ Ø       ×     Ò

     ×Ø Ñ             Ø 
 ÑÓÖ            
    (u, a]ºµ      ÇÑÓÛ
¸ ØÓ ÔÐ ÙÖ                       ÖÓ


                            ′                         f (x) − f (a)        f (a + h) − f (a)
                           f+ (a) = lim                             = lim
                                             x→a+         x−a        h→0 +         h
¿º ÈÐ ÙÖ                    
 Ô Ö             Û           Ó




Ð         Ø                 Ü        Ô       Ö            Û        Ó
       Ø 
     f    ×ØÓ      aº     À      Ö ×Ø Ö                              Ü        Ô Ö       Û       Ó


Ð        ÓÒØ            ÔÐ       ÙÖ               
       Ô       Ö         Û       Ó    º        Ò Ñ           ×ÙÒ ÖØ ×                   Õ            Ö ×Ø Ö         ´ Òغ

    Ü     µ Ô Ö                 Û Ó ×                 Ò        × Ñ Ó¸ Ø Ø                        ×ÙÒ ÖØ ×               ÙØ       Ð            Ø        Ô     Ö        Û       ¹

× Ñ                Ô             Ö ×Ø             Ö           ´ Òغ             Ü        µ ×ØÓ          Ò Ð      Û × Ñ Óº



È        Ö     Ø        Ö       ×        ¿º½          ³       ×ØÛ      A (a, f (a))               Ò      × Ñ Ó Ô ÒÛ ×Ø                         Ö             Ô Ö ×Ø ¹

×       Cf     Ø 
      fº           Ò       f        Ò          Ô Ö        Û      × Ñ           Ô         Ö ×Ø Ö          ×ØÓ       a¸ Ø        Ø          Ù           ÔÓÙ

        ÖÕ Ø                Ô    ØÓ      A                    Õ         Ð×
                                                                                   ′
                                                                                  f− (a)            Ò          “    Ö ×Ø Ö                     ÔØ Ñ Ò             Ù          ”
Ø 
      Cf        ×ØÓ          Aº       ÇÑÓÛ
¸                   Ò        f       Ò        Ô Ö           Û × Ñ            Ô            Ü           ×ØÓ    a¸   Ø Ø

    Ù         ÔÓÙ                  ÖÕ Ø                  Ô    ØÓ      A                Õ         Ð×
                                                                                                              ′
                                                                                                             f+ (a)          Ò            “       Ü              ÔØ Ñ Ò

    Ù         ”   Ø 
          Cf    ×ØÓ        Aº

        ôÖ        Ñ            ¿º¾           Ò            f       Ò       Ô   Ö        Û    × Ñ           ×ØÓ     a
                                                                                                                     ¸   Ø    Ø    Ó               Ó    ÔÐ   ÙÖ        
   Ô       ¹


Ö        Û    Ó     Ø       
   f    ×ØÓ      a       ÙÔ       ÖÕÓÙÒ                     Ò       ×    
   Ñ    Ø   Ò   f ′ (a)       º        ÒØ×ØÖ Ó           ¸       Ò   Ó


        Ó ÔÐ       ÙÖ           
 Ô      Ö        Û       Ó    Ø    
   f   ×ØÓ      a       ÙÔ   ÖÕÓÙÒ                  Ò       ×    
 Ñ         Ø   Ü     ØÓÙ
¸ Ø          Ø


    f         Ò        Ô    Ö       Û       × Ñ             ×ØÓ      a
                                                                              ′        ′
                                                                   f ′ (a) = f− (a) = f+ (a) .

    Ô               Ü            ÌÓ           ôÖ Ñ                    Ò     ÔÖÓ             Ò 
º



È        Ö                   Ñ        ¿º¿         ³       ×ØÛ           Ø


                                                                                        3x2 +9
                                                                                          4              Ò   x ≤ 1,
                                                              f (x) =                 √
                                                                                     3 x                 Ò   x > 1.

    Ü Ø ×Ø                  Ò        f       Ò           Ô Ö           Û × Ñ           ×ØÓ       1º
Ä        ×          ³       ÕÓÙÑ


                                                                                                                         3x2 +9
                                      ′                          f (x) − f (1)                                             4    −3
                                     f− (1)               = lim                = lim
                                                           x→1 −     x−1        x→1−                                          x−1

                                     3x2 − 3        3 (x + 1) (x − 1)        3 (x + 1)   3
              = lim                          = lim                    = lim            =
                   x→1−             4 (x − 1) x→1 −     4 (x − 1)      x→1 −     4       2

                                                                                                 √
                                       ′                                    f (x) − f (1)       3 x−3
                                      f+ (1) = lim                                        = lim
                                                               x→1+             x−1        x→1+ x − 1
                                               √
                                            3 ( x − 1)            3    3
                                 = lim   √         √      = lim √     = .
                                  x→1 + (  x + 1) ( x − 1) x→1+ x + 1  2
                             ′                            3       ′
³   Ø× ¸                Ó   f− (1) =                      2    = f+ (1)¸             ×ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ                        Ø        f        Ò           Ô Ö       Û × Ñ

×ØÓ       1             f ′ (1) = 3 º
                                  2
    º Ì ÔÓ                         Ò Ò 
 Ô Ö                    ô    × 





³       ×        ×        ¿º            Ò Ø                ×ÙÒ ÖØ ×



                                                                          x2 − 3x             Ò   x ≤ 2,
                                                    f (x) =
                                                                          5−x                 Ò   x > 2.

         ÜØ         Ø


            ′
         i f− (2) = 1º
        ´ µ


                                   f (x)−f (2)
    ´   iiµ limx→2+                    x−2           = +∞º
                                                                                              √
³       ×        ×        ¿º            Ò Ø                ×ÙÒ ÖØ ×            f (x) =               1 − x2 º            ÜØ         Ø



         i f ′ (a) =
        ´ µ                        √ −a                              a ∈ (−1, 1)º
                                    1−a2

                                    f (x)−f (−1)
    ´   iiµ limx→−1+                   x−(−1)                = +∞º

                                   f (x)−f (1)
    ´iiiµ limx→1−                      x−1           = −∞º

    ´   ivµ     À    Ü×Û×              Ø 
      Ù           
      ÓÔÓ              ÔØ Ø           Ø 
   Cf        ×       Ò   × Ñ Ó      (x1 , y1 )
                Ò       xx1 + yy1 = 1º

³       ×        ×        ¿º        ³   ×ØÛ          Ø          ×ÙÒ ÖØ ×           f     Ò       ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ              aº     Ë           Ñ         Ô

Ø
 Ô Ö                   ØÛ Ô Ö ÔØô×                 
¸ ×Õ              ×Ø     Ñ          ÑÔ Ð             ÓÔÓ               ÑÔÓÖÓ ×         Ò       Ò

            Ö            Ô Ö ×Ø ×               Ø 
         f       ÓÒØ       ×ØÓ × Ñ Ó          (a, f (a))
                               f (x)−f (a)
         i limx→a
        ´ µ
                                   x−a              = +∞º
                               f (x)−f (a)
    ´   iiµ limx→a                 x−a              = −∞º
                                   f (x)−f (a)                                                        f (x)−f (a)
    ´iiiµ limx→a−                      x−a              = +∞                       limx→a+                x−a             = −∞º
                                   f (x)−f (a)                                                        f (x)−f (a)
    ´   ivµ limx→a−                    x−a              = −∞                       limx→a+                x−a             = +∞º

           ôÖ       Ñ        ¿º            Ò       f       Ò      Ô     Ö    Û   × Ñ           Ô        Ö ×Ø       Ö   ´   Òغ         Ü   µ   ×ØÓ   a   ¸


Ø       Ø        f       Ò    ×ÙÒ       Õ      
       Ô        Ö ×Ø     Ö    ´   Òغ        Ü       µ   ×ØÓ   a º




        Ô            Ü                  Ò Ø         Û
          ×    × º




                Ì ÔÓ                                        Ò Ò 
Ô Ö                              ô × 

³       ×ØÛ     y = f (x)               Ñ       ×ÙÒ ÖØ × º                     Ò   x     Ò       Ò       × Ñ Ó ×ØÓ ÓÔÓÓ                        f   Ò

Ô Ö             Û × Ñ ¸ Ø Ø                    ÕÓÙÑ


                                                                         f (x + h) − f (x)
                                                    f ′ (x) = lim                          .
                                                                     h→0         h
 º Ì ÔÓ                     Ò Ò 
 Ô Ö                ô        × 





À × Ø Ø                ÙØ    ×ÙÕÒ               Ö         Ø                 Û



                                                                            f (x + ∆x) − f (x)
                                          f ′ (x) = lim
                                                              ∆x→0                 ∆x

                                                                                      ∆f
                                                          f ′ (x) = lim
                                                                                 ∆x→0 ∆x


                                                                                          ∆y
                                                          f ′ (x) = lim                       ,
                                                                             ∆x→0         ∆x
 ÔÓÙ ØÓ         ∆x      ×ÙÑ ÓÐÞ                Ñ     Ñ       Ö        Ñ Ø        ÓÐ      ØÓÙ x¸               ØÓ



                                            ∆f = ∆y = f (x + ∆x) − f (x)

 Ò             ÒØ×ØÓ Õ          Ñ Ø           ÓÐ    Ø 
          f    ´     Ð           ØÓÙ      y µº        Ò ×                   × Ñ Ó       x    ×ØÓ

ÓÔÓÓ         f    Ò       Ô Ö       Û      × Ñ             ÒØ ×ØÓ Õ×ÓÙÑ                   ØÓÒ      Ö       Ñ    f ′ (x)¸ ØÓ            ÔÓØ Ð ×Ñ

 Ò       Ñ     ×ÙÒ ÖØ ×



                                      f′              f ′ (x)                         (f (x))′                 y′,

     ÓÔÓ       ÓÒÓÑ Þ Ø              Ô     Ö         Û        Ó
       ×ÙÒ           ÖØ       ×       ´       ÔÐ       Ô       Ö        Û       Ó
µ   Ø 


fº    À ×ÙÒ ÖØ ×                 f′   ×ÙÑ ÓÐÞ Ø                             Ñ


                              df                    d (f (x))                       d                                  dy
                                                                                      (f (x))                             ,
                              dx                       dx                          dx                                  dx
                                                                                                                                                         d
 ÔÓÙ          ÑÛ
 Ø         × Ñ ÓÐ              ÙØ            Ò        Ò         Ð ×Ñ Ø           Ñ       Ø   ×ÙÒ                   ÒÒÓ     º ´ÌÓ
                                                                                                                                                        dx
 Ò       Ò 
      “Ø   Ð ×Ø 
        ” Ó ÓÔÓÓ
                  Ø Ò             ÖÑ Þ Ø            Ô ÒÛ ×             Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×           ØÓÙ   x
 Ò       Ø Ò      ÒØ×ØÓ Õ           Ô Ö           Û Ó ×ÙÒ ÖØ × ºµ À Ô Ö                                  Û       Ó
 Ø 
        f   ×       Ò    × Ñ Ó

a¸        Ð        Ó    Ö     Ñ 
         f ′ (a)¸        Ù×                Ø ÙØÞ Ø           Ñ       Ø Ò Ø Ñ             Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 
               f′
×ØÓ    aº       Ò ÐÐ         Ø        ¸ Ó       Ö    Ñ 
           ÙØ 
           Ö        Ø


                                                                       df                  dy
                                                f ′ (a) =                             =                    ,
                                                                       dx    x=a           dx      x=a

     ÔÓ       ÔÐ

                                                                            df             dy
                                                     f ′ (a) =                        =                .
                                                                            dx    a        dx      a


          
     Ó Ñ         ØôÖ       ×Ø Ò ÔÖ Ü                    Ñ Ö       Ó 
          Ô     ØÓÙ
 Ô Ö Ô ÒÛ ×ÙÑ ÓÐ ×ÑÓ 
º
                                                              1
   Ò f   Ò             ×ÙÒ ÖØ ×              y =             x¸   Ø Ø            Ô     ØÓ È Ö                     Ñ       ½º        ÒÛÖÞÓÙÑ            Ø
            1
f ′ (a) = − a2                              a ∈ R∗ º               ÔÓÑ ÒÛ
 ÑÔÓÖÓ Ñ                         Ò           Ö ÝÓÙÑ


                                            ′
                                      1                   1                             d          1               1
                                                =−                                                         =−         .
                                      x                   x2                           dx          x               x2
    º Ì ÔÓ                             Ò Ò 
 Ô Ö                  ô    × 
                                                                                       ½¼




ÇÑÓÛ
¸ Ø                    È Ö                 Ñ Ø         ½º½¸ ½º¾                  ½º¿ ×ÙÒ Ô            ÓÒØ             ØÓÙ
 Ø ÔÓÙ



                                                                                                                ′
                                                (c)′ = 0,                  (x)′ = 1,                    x2          = 2x,

     ×Ó           Ò Ñ


                                        d                                  d                                d
                                          (c) = 0,                           (x) = 1,                         x2 = 2x,
                                       dx                                 dx                               dx
    ÔÓÙ      c       Ò       Ñ        ×Ø           Ö º À Ô Ö                 Û        Ó
 Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 
                    y = x2      ×ØÓ × Ñ Ó              3
    Ò
                                           dy                   d
                                                          =       x2                        = 2x            = 2 · 3 = 6.
                                           dx   x=3            dx                  x=3              x=3


È        Ö       Ø       Ö    ×             º½       À Ô Ö            Û Ó
 Ñ             
 ×ÙÒ ÖØ × 
                f (x)       ÒÓØ        Ö           Ø

Û


                                           f ′ (x) = Df (x)                                      f ′ (x) = Dx f (x) ,
    ÐÐ        Ñ 
            Ò                     ÒÓÙÑ       ÕÖ ×            ÙØôÒ ØÛÒ ×ÙÑ ÓÐ ×ÑôÒº



        ôÖ          Ñ           º¾ ´Ô               Ö       Û        Ó
           Ò     Ñ      
 Ñ                  Ö       Ó           Ø       µ

³    ×ØÛ         n ∈ Z+            º       À    ×ÙÒ      ÖØ       ×     xn         Ò       Ô   Ö   Û      × Ñ          ×           ×   Ñ       Ó      x∈R      ¸


             Ô       Ö       Û         
   Ø    
    Ò


                                                                        (xn )′ = nxn−1 .
À ×ÙÒ             ÖØ      ×       x−n           Ò       Ô    Ö       Û    × Ñ         ×              ×    Ñ       Ó   x=0     ¸           Ô       Ö       Û    



Ø    
       Ò

                                                                               ′
                                                                      x−n          = −nx−n−1 .
    ÔÓÑ       ÒÛ
¸                                  k∈Z           ×Õ         Ó Ø        ÔÓ





                                                                                   ′
                                                                          xk            = kxk−1 .

     Ô               Ü                 Ö        Ò        ÔÓ          ÜÓÙÑ        ØÓ           ôÖ Ñ                n ≥ 2º       Â ØÓÒØ 
             f (x) =
xn ¸      ÕÓÙÑ


                                                                 f (w) − f (x)       w n − xn
                                           f ′ (x) = lim                       = lim
                                                             w→x     w−x         w→x w − x

                                     (w − x) wn−1 + wn−2 x + · · · + wxn−2 + xn−1
                          = lim
                                 w→x                   w−x
                                       = lim wn−1 + wn−2 x + · · · + wxn−2 + xn−1
                                            w→x

                                  = xn−1 + xn−2 x + · · · + xxn−2 + xn−1 = nxn−1 .
    º Ì ÔÓ                       Ò Ò 
 Ô Ö                 ô       × 
                                                                                     ½½




ÇÑÓÛ
¸                  ØÓÒØ 
          g (x) = x−n ¸

                                                        g (w) − g (x)       w−n − x−n
                                 g′ (x) = lim                         = lim
                                                    w→x     w−x         w→x   w−x
                                                            1
                                                            − x1
                                                           wn  n         xn − w n
                                          = lim                  = lim
                                               w→x         w−x     w→x (w − x) w n xn


                                 (x − w) xn−1 + xn−2 w + · · · + xwn−2 + wn−1
                         = lim
                             w→x                (w − x) wn xn

                                     − xn−1 + xn−2 w + · · · + xwn−2 + wn−1
                             = lim
                                 w→x                 w n xn
             − xn−1 + xn−2 x + · · · + xxn−2 + xn−1   −nxn−1
        =                                           =        = −nx−n−1 .
                             xn xn                     x2n



     ôÖ         Ñ           º¿ ´Ô            Ö        Û       Ó
 ÖÞ               
µ
                                                                   √
³   ×ØÛ      n ∈ Z+          º   À       ×ÙÒ      ÖØ       ×
                                                                   n
                                                                     x         Ò    Ô      Ö        Û       × Ñ        ×              ×   Ñ    Ó   x>0   ¸


             Ô   Ö       Û       
   Ø    
    Ò




                                                       √
                                                       n           ′            1    ′              1 1 −1
                                                               x = xn                    =            xn .
                                                                                                    n
                 Ô   ÖÔØÛ×

                                                                       √    ′  1
                                                                           x = √ .
                                                                              2 x
    Ô                Ü              ÙÔÓ          ×ÓÙÑ             Ø   n ≥ 2¸                   Ó            Ô ÖÔØÛ×          n=1          Ò        Ø ØÖ Ñ¹
                                                    1
Ñ Ò º Â ØÓÒØ 
                   f (x) = x n ¸                     ÕÓÙÑ

                                                                                        1                1                          1            1
         ′          f (w) − f (x)       wn − xn         wn − xn
        f (x) = lim               = lim         = lim  1 n                                                                                             n
                w→x     w−x         w→x w − x     w→x
                                                      wn − xn
                                                                1




                                                                                            1
         = lim                           n−1                        n−2                                                      n−2                 n−1
                 w→x             1                             1               1                             1       1                      1
                             w   n                + w          n           x + · · · + w n xn
                                                                               n                                                   + xn

                                                                                    1
                 =                   n−1                       n−2                                                   n−2                    n−1
                             1                         1                   1                         1           1                  1
                          xn                  + xn                     xn + · · · + xn xn                                     + xn

                                                                       1                        1 1 −1
                                                       =                       n−1      =         xn .
                                                                       1                        n
                                                               n x     n
    º Ì ÔÓ                       Ò Ò 
 Ô Ö               ô     × 
                                                                    ½¾




        ôÖ      Ñ           º       ´        Ò    Ò     
    Ô    Ö        ô       ×   
          ÖÓ×Ñ         ØÓ
µ

³   ×ØÛ          Ø   Ó   ×ÙÒ          ÖØ      ×    
   f, g       Ò    Ô   Ö       Û   × Ñ   
   ×ØÓ   x   º   Ì   Ø       f +g    Ò


Ô    Ö       Û   × Ñ        ×ØÓ         x
                                                   (f + g)′ (x) = f ′ (x) + g′ (x) .
    Ô            Ü       ³       ÕÓÙÑ

                                                                        (f + g) (w) − (f + g) (x)
                                     (f + g)′ (x) = lim
                                                               w→x                w−x
                                                   f (w) + g (w) − [f (x) + g (x)]
                                          = lim
                                               w→x             w−x
                                                  [f (w) − f (x)] + [g (w) − g (x)]
                                          = lim
                                              w→x              w−x
                                                         f (w) − f (x) g (w) − g (x)
                                          = lim                       +
                                              w→x            w−x           w−x

                                                              = f ′ (x) + g′ (x) .


È        Ö   Ø       Ö   ×            º       Ç        Ò Ò 
 Ô Ö                ô   × 
         ÖÓ×Ñ ØÓ
            Ò        Ø     ´ÕÖ ¹

× ÑÓÔÓ ôÒØ 
                     Ô       Û        µ Û
       Ü 



                     (f1 + f2 + · · · + fn )′ (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) .
                                                     ′        ′                ′


        ôÖ      Ñ           º       ´        Ò    Ò     
    Ô    Ö        ô       ×   
              ÓÖ    
µ

³   ×ØÛ          Ø   Ó   ×ÙÒ          ÖØ      ×    
   f, g       Ò    Ô   Ö       Û   × Ñ   
   ×ØÓ   x   º   Ì   Ø       f −g    Ò


Ô    Ö       Û   × Ñ        ×ØÓ         x
                                                   (f − g)′ (x) = f ′ (x) − g′ (x) .
    Ô            Ü                    Ò Ø         Û
     ×        × º


        ôÖ      Ñ           º       ´        Ò    Ò     
    Ô    Ö        ô       ×   
       ÒÓÑ      ÒÓÙµ

³   ×ØÛ          Ø   Ó   ×ÙÒ             ÖØ   ×    
    f, g       Ò       Ô   Ö   Û    × Ñ      
   ×ØÓ   x   º   Ì   Ø     fg    Ò


Ô    Ö       Û   × Ñ        ×ØÓ         x
                                             (f g)′ (x) = f ′ (x) g (x) + f (x) g′ (x) .
    Ô            Ü       ³       ÕÓÙÑ

                                 (f g) (w) − (f g) (x)   f (w) g (w) − f (x) g (x)
                                                       =
                                         w−x                      w−x
                                         [f (w) − f (x)] g (w) + f (x) [g (w) − g (x)]
                                 =
                                                            w−x
                                      f (w) − f (x)                   g (w) − g (x)
                                 =                  · g (w) + f (x) ·               ,
                                          w−x                             w−x
    º Ì ÔÓ                      Ò Ò 
 Ô Ö                     ô       × 
                                                                                  ½¿




ÓÔ Ø


                                                                                    (f g) (w) − (f g) (x)
                                          (f g)′ (x) = lim
                                                                       w→x                  w−x
                                          f (w) − f (x)                   g (w) − g (x)
                            = lim                       · g (w) + f (x) ·
                                w→x           w−x                             w−x

                                                      = f ′ (x) g (x) + f (x) g′ (x) .

ËØÓ Ø Ð ÙØ Ó                       Ñ     ÕÖ × ÑÓÔÓ                       × Ñ        Ø       ×ÙÒ Õ           Ø 
      g   ×ØÓ     x   ´     ÓÔÓ      ÔÖÓ¹

     ÔØ         Ô           Ø Ò Ô Ö          Û        × Ñ Ø Ø              Ø 
       g   ×ØÓ      xµº

È       Ö   Ø        Ö      ×        º       Ç            Ò Ò 
 Ô Ö                   ô       × 
        ÒÓÑ ÒÓÙ              Õ       Ø Ò            ÐÓÙ

     Ò     Ù×


      (f1 f2 · · · fn )′ (x) = f1 (x) f2 (x) · · · fn (x) + f1 (x) f2 (x) f3 (x) · · · fn (x)
                                ′                                   ′
                                                                                                              ′
                                         + · · · + f1 (x) f2 (x) · · · fn−1 (x) fn (x) .

È       Ö   Ø        Ö      ×        º       ³    ×ØÛ             Ø        ×ÙÒ ÖØ ×               f     Ò    Ô Ö             Û   × Ñ         ×ØÓ   x¸
    ×ØÛ     c   Ñ       ×Ø         Ö º Ì Ø                   cf          Ò    Ô Ö           Û    × Ñ      ×ØÓ      x

                                                              (cf )′ (x) = c · f ′ (x) .

ÌÓ        ÔÓØ Ð ×Ñ                  ÙØ           Ò                       Ô ÖÔØÛ×                ØÓÙ        Ò Ò          Ô Ö      ô      × 
        ÒÓÑ ¹

ÒÓÙº



     ôÖ        Ñ             º½¼ ´              Ò        Ò   
       Ô    Ö         ô        ×     
   Ô    Ð       ÓÙµ

³   ×ØÛ         Ø    Ó      ×ÙÒ     ÖØ    ×      
    f, g        Ò      Ô     Ö        Û   × Ñ     
 ×ØÓ   x   ¸           Ô ÔÐ        ÓÒ   g (x) = 0    º

                f
Ì    Ø
                g        Ò     Ô   Ö      Û      × Ñ            ×ØÓ      x
                                                      ′
                                             f                         g (x) f ′ (x) − f (x) g′ (x)
                                                          (x) =                                     .
                                             g                                     g (x)2

    Ô               Ü           Ô         g (x) = 0                             g     Ò      ×ÙÒ Õ 
 ´Û
 Ô Ö                     Û    × Ñ µ ×ØÓ  x¸
ÙÔ ÖÕ           Ñ           Ô Ö ÓÕ       Nρ (x) ØÓÙ x Ô                        ÒÛ ×Ø Ò ÓÔÓ              g = 0º                                ∗
                                                                                                                                          w ∈ Nρ (x)¸
ÑÔÓÖÓ Ñ                 Ò       Ö ÝÓÙÑ


                     f                    f                           f (w)          f (x)
                     g       (w) −        g       (x)                 g(w)     −     g(x)         g (x) f (w) − f (x) g (w)
                                                              =                               =
                                w−x                                       w−x                        g (w) g (x) (w − x)

                                         g (x) [f (w) − f (x)] − f (x) [g (w) − g (x)]
                                    =
                                                      g (w) g (x) (w − x)
                                                              f (w)−f (x)                               g(w)−g(x)
                                                 g (x) ·          w−x          − f (x) ·                   w−x
                                         =                                                                                .
                                                                           g (w) g (x)
 º Ì ÔÓ                   Ò Ò 
 Ô Ö                     ô    × 
                                                                           ½




 ÔÓÑ ÒÛ



                                                                              f                  f
                                        f           ′
                                                                              g    (w) −         g       (x)
                                                        (x) = lim
                                        g                         w→x               w−x
                                                                 f (w)−f (x)                     g(w)−g(x)
                                                g (x) ·              w−x       − f (x) ·            w−x
                               = lim
                                 w→x                                       g (w) g (x)

                                                        g (x) f ′ (x) − f (x) g′ (x)
                                                =                                    .
                                                                    g (x)2



      ³ÇÐÓ       Ó   ÔÖÓ       Ó Ñ ÒÓ                     Ò Ò 
 ×Õ ÓÙÒ                           ÔÐ ÙÖ              Ô Ö       ô     × º

Ô Ö          Ñ ¸         Ò Ó    f, g        Ò           Ô Ö           Û   × Ñ 
    Ô           Ü       ×ØÓ       x¸   Ø Ø         fg    Ò

Ô Ö       Û × Ñ          Ô         Ü           ×ØÓ      x

                                (f g)′ (x) = f+ (x) g (x) + f (x) g+ (x) .
                                     +
                                              ′                    ′



            ô×ÓÙÑ            ØôÖ       Ñ Ö                 Ô Ö             Ñ Ø    ÙÔÓÐÓ        ×ÑÓ         Ô Ö        ô     ÛÒº



È     Ö              Ñ         º½½      ÍÔÓÐÓ ×Ø                      Ø Ò Ô Ö       Û       Ó Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 



                                                                       x2     √     x
                                    f (x) = 5x3 −                         − 28 7 x + − 6.
                                                                       3            2
Ä   ×        ³   ÕÓÙÑ

                                                                                                               ′
                                                                       x2           x
                               f ′ (x) =                  5x3 −           − 28x1/7 + − 6
                                                                       3            2
                                                                   ′
                                            ′               x2                           ′           x   ′
                          = 5x3 −                                      − 28x1/7              +               − (6)′
                                                            3                                        2
                                          1 2 ′ ′          ′   1
                           = 5 x3 −         x − 28 x1/7 + (x)′ − 0
                                          3                    2
                                            1          1         1
                                = 5 · 3x2 − · 2x − 28 · x−6/7 + · 1
                                            3          7         2
                                               2x            1
                                      = 15x2 −    − 4x−6/7 + .
                                                3            2


È     Ö              Ñ         º½¾      ÍÔÓÐÓ ×Ø                      Ø Ò Ô Ö       Û       Ó Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 



                                                                           √        x4   √
                                    f (x) = 2x10 −                          x          +93x .
                                                                                    8
    º Ì ÔÓ                           Ò Ò 
 Ô Ö                   ô       × 
                                                                        ½




Ä        ×           ³   ÕÓÙÑ


                                                                                                                      ′
                                                                                    √           x4
                                             f ′ (x) =               2x10 −             x          + 9x1/3
                                                                                                8
                                                                                                                                          ′
                                             √       ′       x4                                         √            x4
                    = 2x10 −                     x              + 9x1/3                + 2x10 −          x              + 9x1/3
                                                             8                                                       8
                                1                            x4                                         √            x3
                =        20x9 − √                               + 9x1/3                 + 2x10 −            x           + 3x−2/3 .
                               2 x                           8                                                       2


                                                                                                        dy                             x2 +4
È        Ö                   Ñ           º½¿         ÍÔÓÐÓ ×Ø                 Ø Ò Ô Ö          Û   Ó
                                                                                                        dx x=1 ¸          ÔÓÙ   y=    6x3 −x
                                                                                                                                             º



Ä        ×           ³   ÕÓÙÑ


                                                                      d                                      d
                              dy   6x3 − x                           dx   x2 + 4 − x2 + 4                   dx       6x3 − x
                                 =
                              dx                                                   (6x3 − x)2

                              6x3 − x 2x − x2 + 4                                  18x2 − 1                −6x4 − 73x2 + 4
                     =                                                                              =                                 .
                                                         (6x3 − x)2                                             (6x3 − x)2

    ÔÓÑ ÒÛ


                                               dy                      −6 · 14 − 73 · 12 + 4
                                                                 =                                         = −3.
                                               dx        x=1                   (6 · 13 − 1)2


³    ×           ×            º½               ÜØ           Ø



                 d       2x4             x+1              8x5 +7
     ´ µi       dx        7      −        x          =     7x2 º

                d
    ´   iiµ     dt       3t2 + 4 (t + 2) (t − 1) = 12t3 + 9t2 − 4t + 4º


                     Ò       Ô Ö         Û ×ÓÙÑ              Ñ          × Ò       Ø    ×ÙÒ ÖØ ×           ÕÖ        Þ Ñ ×Ø         ØÓÒ Ð          Ñ ¹

ÒÓ               Ò       Ò       Ø       
     ÐÙ×               
º      À        Ô        Ü   ØÓÙ        Ò Ò        ÙØÓ           ×Þ Ø          ×ØÓ

         ÐÓÙ         Ó       ÔÓØ Ð ×Ñ



Ä        ÑÑ              º½          ³   ×ØÛ         f   Ñ       ×ÙÒ      ÖØ       ×        ÓÔÓ      Ò    Ô    Ö    Û    × Ñ      ×ØÓ      x   ´ÔÓÙ


ØÓ              ÛÖ Ó     Ñ       ×Ø          Ö   µº       Ì      Ø       ÙÔ    ÖÕ       Ô   Ö ÓÕ      Nρ (0)     ØÓÙ      0         ×ÙÒ       ÖØ   ×


δ : Nρ (0) −→ R                          Ñ     Ø 
       Ü    
           Ø    Ø   





     ´ µi limh→0 δ (h) = 0 = δ (0)                                   º




    ´ii f (x + h) − f (x) = f ′ (x) h + δ (h) h
            µ                                                                                               h ∈ Nρ (0)          º
    º Ì ÔÓ                            Ò Ò 
 Ô Ö               ô      × 
                                                                           ½




     Ô                   Ü                 Ò Ø      Û
        ×       × º



        ôÖ           Ñ           º½        ´       Ò    Ò       
   Ø    
            ÐÙ×           
µ

³    ×ØÛ             Ø           ×ÙÒ       ÖØ   ×    f        Ò      Ô   Ö            Û    × Ñ      ×ØÓ   x   ¸         ×ÙÒ    ÖØ      ×   g    Ò


Ô    Ö           Û       × Ñ        ×ØÓ    f (x)   º    Ì    Ø           ×   Ò         Ø       ×ÙÒ   ÖØ    ×       g◦f   Ò     Ô   Ö       Û   × Ñ


×ØÓ          x
                                                    (g ◦ f )′ (x) = g′ (f (x)) · f ′ (x) .
     Ô                   Ü                 h    ÓÒØ      ×ØÓ         0¸   ØÓ ÔÖÓ                Ó Ñ ÒÓ Ð ÑÑ           Ñ 
      Ô ØÖ Ô        Ò     Ö ¹

ÝÓÙÑ

                                                f (x + h) − f (x) = f ′ (x) h + δ (h) h


                                      g (f (x) + h) − g (f (x)) = g′ (f (x)) h + ε (h) h,
    ÔÓÙ          limh→0 δ (h) = 0 = δ (0)                                     limh→0 ε (h) = 0 = ε (0)º                     Â ØÓÒØ 



                                                         θ (h) = f ′ (x) h + δ (h) h,

    Ò           ×           
   Ø     limh→0 θ (h) = 0º                       ³       Ø× ¸           h ≈ 0         ÐÐ    h = 0¸         ÕÓÙÑ      Ø


    × Ø Ø 



                             (g ◦ f ) (x + h) − (g ◦ f ) (x)   g (f (x + h)) − g (f (x))
                                                             =
                                            h                              h
                         g (f (x) + θ (h)) − g (f (x))   g′ (f (x)) θ (h) + ε (θ (h)) θ (h)
                     =                                 =
                                       h                                  h
                                                                                                           θ (h)
                                                    = g′ (f (x)) + ε (θ (h))
                                                                                                             h
                                            = g′ (f (x)) + ε (θ (h))                               f ′ (x) + δ (h) .

    ÔÓÑ ÒÛ
¸


                                                                       (g ◦ f ) (x + h) − (g ◦ f ) (x)
                                      (g ◦ f )′ (x) = lim
                                                                   h→0                h
                                      = lim             g′ (f (x)) + ε (θ (h))                        f ′ (x) + δ (h)
                                           h→0

                                                                 = g′ (f (x)) · f ′ (x) .



È        Ö ×Ñ                    º½         Á×Õ     ÓÙÒ      Ó            ÐÓÙ          Ó    Ø   ÔÓ




                                  ′
     ´ µ i           f (x)k           = kf (x)k−1 f ′ (x)                 ¸            ÔÓÙ      k∈Z    º




                                       ′                  1
    ´ii      µ
                     n
                          f (x)            = n f (x) n −1 f ′ (x)
                                             1
                                                                                   ¸        ÔÓÙ    n ∈ Z+       º
    º Ì ÔÓ                      Ò Ò 
 Ô Ö                ô        × 
                                                                                ½




    Ô           Ü           (i)       Â ØÓÙÑ            g (y) = y k ¸ ÓÔ                Ø    g′ (y) = ky k−1 º         ÉÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 


ØôÖ         ØÓÒ         Ò Ò           Ø 
       ÐÙ×         
¸       ÕÓÙÑ


                                            ′
                            f (x)k              = [g (f (x))]′ = [(g ◦ f ) (x)]′ = (g ◦ f )′ (x)
                                        = g′ (f (x)) · f ′ (x) = kf (x)k−1 f ′ (x) .


        (ii)    ³   ×        × º



È       Ö ×Ñ                º½        ´Ô        Ö       Û     Ó
               Ò    Ñ       
 Ñ      Ö     Ø                   Ø       µ

³   ×ØÛ     r∈Q         º    À        ×ÙÒ   ÖØ      ×        xr       Ò       Ô   Ö        Û   × Ñ       ×           ×       Ñ       Ó   x>0  ¸


    Ô   Ö       Û       
   Ø     
    Ò


                                                                  (xr )′ = rxr−1 .
È Ó         Ò       ¸    ×Õ            Ó    Ø   ÔÓ





                                                    [f (x)r ]′ = rf (x)r−1 f ′ (x) .
                                                             m
    Ô           Ü               Ö      ÓÒØ 
        r=       n¸        ÔÓÙ         m, n ∈ Z                n ≥ 2¸      ÕÓÙÑ


                                                    m    ′                 1       m ′                 1       m−1         1       ′
                            (xr )′ = x n                     =         xn                = m xn                        xn

                                                1   m−1            1 1 −1                       m m −1
                                = m xn                               xn                  =        xn   = rxr−1 .
                                                                   n                            n



È       Ö               Ñ             º½        ÍÔÓÐÓ ×Ø                  Ø Ò Ô Ö              Û   Ó Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 



                                                                                                         −3/4
                                            f (x) = (2x − 5)10 − x4 + 1                                         .

Ä       ×       ³   ÕÓÙÑ


                                                                                                3                   −7/4                     ′
               f ′ (x) = 10 (2x − 5)9 (2x − 5)′ − −                                                  x4 + 1                    x4 + 1
                                                                                                4
                                                                                   3 4                 −7/4
                                       = 10 (2x − 5)9 · 2 +                          x +1                      · 4x3
                                                                                   4
                                                                                                         −7/4
                                            = 20 (2x − 5)9 + 3x3 x4 + 1                                          .



        Ç       Ò Ò 
 Ø 
                  ÐÙ×         
¸        Ð                × Ø Ø



                                                (g ◦ f )′ (x) = g′ (f (x)) · f ′ (x) ,
 º Ì ÔÓ                     Ò Ò 
 Ô Ö                        ô        × 
                                                               ½




ÑÔÓÖ  Ò              ØÙÔÛ                           Ñ       Ñ           Ò ÐÐ    Ø        ÑÓÖ       Ø Ò ÓÔÓ            Ô Ö      Ö ÝÓÙÑ

ØôÖ º À                    Ò    Ò                   ×ÓÙÑ             y = f (x)            u = g (y)º         ³   Ø× ¸


                          du    d            d                d
                             =    [g (y)] =    [g (f (x))] =    [(g ◦ f ) (x)]
                          dx   dx           dx               dx
                                             = (g ◦ f )′ (x) = g′ (f (x)) · f ′ (x)
                                                                                           du dy
                                                      = g′ (y) · f ′ (x) =                   ·   ,
                                                                                           dy dx
ÓÔ Ø
                                                                      du   du dy
                                                                         =   ·   .
                                                                      dx   dy dx

                                                                                                   d
                                                                                                        √
È        Ö            Ñ         º¾¼          ÍÔÓÐÓ ×Ø                      Ø Ò Ô Ö        Û Ó
                                                                                                  dx         x2 + 1      ÕÖ × ÑÓÔÓ ôÒ¹

Ø 
 Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ                    Ò ÐÐ                  Ø           ÑÓÖ        ØÓÙ       Ò Ò         ÐÙ×       
º

                                                                                 √
Ä       ×     Â ØÓÒØ 
           y = x2 + 1                                u=        y¸    ÕÓÙÑ


                                 d                                           d √      du   du dy
                                                     x2 + 1 =                  ( y) =    =   ·
                                dx                                          dx        dx   dy dx
                                                   1        x       x
                                                 = √ · 2x = √ = √       .
                                                  2 y        y    x 2+1




       ôÖ    Ñ           º¾½ ´Ô                 Ö           Û        Ó    ØÖ     ÛÒÓÑ          ØÖ      ôÒ ×ÙÒ           ÖØ   ×   ÛÒµ




     ´ µi (   Ñ   x)′ = ×ÙÒ x            º




 ´   ii (×ÙÒ x)′ = −
         µ                           Ñ       x   º




´iii (   µ        x)′ = Ø       Ñ
                                    2 xº


 ´  iv (× x)′ = − ×Ø
         µ                               Ñ
                                                 2 xº


    ´v (ص    Ñ   x)′ = Ø        Ñ   x               x   º




 ´  vi (×Ø
         µ        Ñ   x)′ = − ×Ø                 Ñ    x× x            º




     Ô        Ü           (i)¸ (ii)          ³       ÕÓÙÑ             Ò     ÔÓ    ÜÓÙÑ        Ø
    × Ø Ø 



                                                                  Ñ   (x + h) −        Ñ   x
                                                     lim                                       = ×ÙÒ x
                                                 h→0                       h

                                                      ×ÙÒ         (x + h) − ×ÙÒ x
                                             lim                                  =−                    Ñ   x.
                                         h→0                           h
 º Ì ÔÓ                           Ò Ò 
 Ô Ö                ô            × 
                                                                                 ½




    Ö      ÓÒØ 



                                 Ñ   (x + h) −             Ñ    x     x ×ÙÒ h + ×ÙÒ x Ñ h −
                                                                                Ñ                                                    Ñ   x
                                                                        =
                                          h                                      h
                                                               ×ÙÒ h − 1              Ñh
                                         =(       Ñ   x)                  + (×ÙÒ x)
                                                                   h                  h


                            ×ÙÒ      (x + h) − ×ÙÒ x    ×ÙÒ x ×ÙÒ h − Ñ x Ñ h − ×ÙÒ x
                                                     =
                                          h                            h
                                                   ×ÙÒ h − 1             Ñh
                                       = (×ÙÒ x)               − ( Ñ x)       ,
                                                       h                  h
                                                                                                                                         ×ÙÒ h−1
Ó       ÔÓ              Ø       
 ÔÖÓ         ÔØÓÙÒ            Ñ ×Û
                Ô    Ø        Û×Ø           Ö       limh→0               h       =0
                  Ñh
limh→0              h       = 1º

        (iii)       ÉÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓÙ
 Ø ÔÓÙ
                                             (i)        (ii)¸        ÕÓÙÑ


                                                     xÑ             ′       (×ÙÒ x) (             Ñ   x)′ − ( Ñ x) (×ÙÒ x)′
                            (        x)′ =                              =                                  2
                                                  ×ÙÒ x                                                ×ÙÒ x


                                                    (×ÙÒ x) (×ÙÒ x) − ( Ñ x) (−                                     Ñ   x)
                                              =                      2
                                                                 ×ÙÒ x


                                                  ×ÙÒ
                                                           2x   +           Ñ
                                                                              2x                  1                     2
                                              =               2
                                                                                        =          2x
                                                                                                          =Ø        Ñ       x.
                                                           ×ÙÒ x                             ×ÙÒ




        (iv) ¹ (vi)              ³    ×       × º



È       Ö     Ø     Ö       ×            º¾¾          Ô


                                                           Ñ   h                Ñ   (0 + h) −           Ñ   0
                                                                        =                                       ,
                                                           h                             h
                                     Ñh
ØÓ      ÖÓ    limh→0                 h    =1          Ò            Ô Ö             Û Ó
 Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 
                          Ñ   x ×ØÓ 0º        ÇÑÓÛ
¸

Ô

                                                  ×ÙÒ     h−1                   ×ÙÒ      (0 + h) − ×ÙÒ 0
                                                              =                                          ,
                                                          h                                   h
                                     ×ÙÒ h−1
ØÓ      ÖÓ      limh→0                    h       =0           Ò               Ô Ö         Û     Ó
 Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 
 ×ÙÒ                          x   ×ØÓ   0º

È       Ö     Ø     Ö       ×            º¾¿      ËÙÒ Ù ÞÓÒØ 
 Ø 
 Ô Ö                                ô     ÓÙ
 ØÛÒ ØÖ               ÛÒÓÑ ØÖ           ôÒ ×Ù¹

Ò ÖØ × ÛÒ Ñ                      ØÓÒ          Ò Ò         Ø 
           ÐÙ×            
¸ Ô ÖÒÓÙÑ             ØÓÙ
 Ô Ö                 ØÛ Ø ÔÓÙ




     ´ µi [     Ñ   f (x)]′ = [×ÙÒ f (x)] f ′ (x)º

    ´iiµ [×ÙÒ f (x)]′ = [−                          Ñ   f (x)] f ′ (x)º
º Ì ÔÓ                        Ò Ò 
 Ô Ö                     ô       × 
                                                          ¾¼




´iiiµ [             f (x)]′ =              Ø Ñ
                                                2f      (x) f ′ (x)º
´   ivµ [× f (x)]′ = − ×Ø                               Ñ
                                                            2f      (x) f ′ (x)º
´ µ v [Ø        Ñ   f (x)]′ = [Ø                Ñ   f (x)               f (x)] f ′ (x)º
´   viµ [×Ø         Ñ   f (x)]′ = [− ×Ø                     Ñ   f (x) × f (x)] f ′ (x)º
È       Ö               Ñ             º¾        ÍÔÓÐÓ ×Ø                       Ø Ò Ô Ö       Û    Ó Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 


                                                                                      3
                                                            f (x) =               Ñ       x2 + 5x .
Ä    ×          ³    ÕÓÙÑ

                                                                                                                ′
                                       f ′ (x) = 3                  Ñ
                                                                        2
                                                                                x2 + 5x        Ñ   x2 + 5x
                                                2                                                                    ′
                                  =3        Ñ           x2 + 5x                  ×ÙÒ      x2 + 5x        x2 + 5x
                                                    2
                                      =3        Ñ       x2 + 5x                   ×ÙÒ      x2 + 5x       (2x + 5)
                                                                            2
                                      = 3 (2x + 5)                      Ñ        x2 + 5x      ×ÙÒ      x2 + 5x .



È       Ö               Ñ             º¾        ÍÔÓÐÓ ×Ø                       Ø Ò Ô Ö       Û    Ó Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 



                                                            f (x) =                   1 + ×ÙÒ4 x .
Ä    ×          ³    ÕÓÙÑ

                                                                ′
                ′      1 + ×ÙÒ4 x    4 ×ÙÒ3 x (×ÙÒ x)′    2 Ñ x ×ÙÒ3 x
               f (x) = √           =    √              = −√            .
                      2 1 + ×ÙÒ4 x     2 1 + ×ÙÒ4 x         1 + ×ÙÒ4 x


    ôÖ         Ñ           º¾         ´Ô       Ö           Û       Ó           ØÛÒ ×ÙÒ        ÖØ      ×   ÛÒ   ex       ln xµ
     i (ex )′ = ex
    ´ µ                           º




´   ii (ln x)′ =
        µ
                              1
                              xº

    Ô           Ü           (i)        Ö        ÓÙÑ


                                                        ex+h − ex                            eh − 1
                                                                  = ex
                                                            h                                   h
                                                                                             eh −1
        ÕÖ × ÑÓÔÓ Ó Ñ                      ØÓ       ÒÛ×Ø                    ÖÓ   limh→0        h       = 1º

        (ii)        Ö       ÓÙÑ


                ln (x + h) − ln x   ln x+h
                                        x    ln 1 +                                                h
                                                                                                   x          1 ln 1 +   h
                                                                                                                         x
                                  =        =                                                             =          h
                        h              h         h                                                            x     x
                                                                                             ln(1+t)
        ÕÖ × ÑÓÔÓ Ó Ñ                      ØÓ       ÒÛ×Ø                    ÖÓ   limt→0         t       = 1º
    º Ì ÔÓ                            Ò Ò 
 Ô Ö                 ô    × 
                                                                  ¾½




È           Ö    Ø        Ö   ×          º¾            Ô



                                                                eh − 1   e0+h − e0
                                                                       =           ,
                                                                   h         h
                                      eh −1
ØÓ           ÖÓ     limh→0              h     =1           Ò           Ô Ö       Û     Ó
 Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 
        ex     ×ØÓ    0º   ÇÑÓÛ
¸

    Ô

                                                      ln (1 + h)   ln (1 + h) − ln 1
                                                                 =                   ,
                                                           h               h
                                      ln(1+h)
ØÓ           ÖÓ     limh→0               h            =1        Ò           Ô Ö        Û   Ó
 Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 
           ln x   ×ØÓ   1º

È           Ö    Ø        Ö   ×          º¾       ËÙÒ Ù ÞÓÒØ 
 ØÓ ÔÖÓ                           Ó Ñ ÒÓ       ôÖ Ñ       Ñ      ØÓÒ     Ò Ò

Ø 
             ÐÙ×          
¸ Ô ÖÒÓÙÑ              ØÓÙ
 Ø ÔÓÙ



                                                  ′                                                         f ′ (x)
                                       ef (x)         = ef (x) f ′ (x) ,                    [ln f (x)]′ =           .
                                                                                                            f (x)

³       ×         ×           º¾              ÜØ          Ø



                 d              2 −5x                                       2 −5x
         i
        ´ µ
                dx        e4x              = (8x − 5) e4x                           º



    ´   iiµ      d
                dx    [   Ñ   (e×ÙÒ x )] = −e×ÙÒ x                      Ñ   x ×ÙÒ (e×ÙÒ x )º

                 d
                                         √                                           x √
    ´iiiµ       dx        ln 3 +              x2 + 1                =         √                º
                                                                        (3+       x2 +1) x2 +1

                 d                                                          4x Ñ(ln(2x2 +7))
    ´   ivµ     dx        ×ÙÒ         ln 2x2 + 7                    =−           2x2 +7      º



        ôÖ          Ñ            º¿¼ ´Ô          Ö            Û     Ó      ØÛÒ ×ÙÒ            ÖØ   ×   ÛÒ     ax           loga xµ
³       ×ØÛ      a ∈ R+ − {1}                 º   Ì    Ø




                                                                                                      loga e
                                          (ax )′ = ax ln a,                             (loga x)′ =          ,
                                                                                                        x
                Ò         Ø   Ö




                                  ′                                                                           loga e ′
                    af (x)            = af (x) ln a f ′ (x) ,                            [loga f (x)]′ =             f (x) .
                                                                                                              f (x)

        Ô             Ü               ÒÛÖÞÓÙÑ              Ø



                                                                     af (x) = ef (x) ln a


                                                                        ln f (x)
                                          loga f (x) =                           = (loga e) ln f (x) .
                                                                          ln a
    º Ì ÔÓ                            Ò Ò 
 Ô Ö                  ô   × 
                                                           ¾¾




    ÔÓÑ ÒÛ
¸


                                                        ′                       ′
                                              af (x)        = ef (x) ln a           = ef (x) ln a [f (x) ln a]′

                                               = af (x) f ′ (x) ln a = af (x) ln a f ′ (x)



                                                                                                f ′ (x)   loga e ′
              [loga f (x)]′ = [(loga e) ln f (x)]′ = (loga e)                                           =        f (x) .
                                                                                                f (x)     f (x)



³    ×          ×           º¿½                   ÜØ        Ø



    ´ µ i (2        Ñ x )′       = (2          Ñ x ×ÙÒ x) ln 2º

                            √                       ′
                                                                  4x
    ´   iiµ        log3          4x2 + 1                =    (4x2 +1) ln 3 º


³    ×          ×           º¿¾           ³  ×ØÛ     a ∈ R+ º             ÈÓ        Ô Ö     Û   Ó
    Ö   Ø   Ô×Û   Ô    ØÓ       ÒÛ¹
                                          ah −1
×Ø            ÖÓ     limh→0                   h     = ln a

        ôÖ         Ñ                º¿¿ ´Ô            Ö         Û   Ó
         Ò    Ñ    
 Ñ        ÔÖ   Ñ   Ø                Ø   µ



³   ×ØÛ        c∈R          º        Ì    Ø


                                                                         (xc )′ = cxc−1 ,
               Ò        Ø   Ö


                                                            [f (x)c ]′ = cf (x)c−1 f ′ (x) .
    Ô               Ü            ³    ÕÓÙÑ


                                                                                ′
                                          [f (x)c ]′ = ec ln f (x)                  = ec ln f (x) [c ln f (x)]′

                                                                         f ′ (x)
                                               = f (x)c c ·                      = cf (x)c−1 f ′ (x) .
                                                                         f (x)


                                                                                                                          ′
               Ò        ¸             Ò       ÙÔÓÐÓ ×ÓÙÑ                 Ñ    Ô Ö      Û   Ó Ø 
 ÑÓÖ     
   f (x)g(x)       ¸ ÔÖôØ

    Ö         ÓÙÑ

                                                                 f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) ,
         Ñ Ø        Ô Ö              Û        ÞÓÙÑ           Ø      Ø        ÒÛ×Ø º



³    ×          ×           º¿                    ÜØ        Ø


                             ′
    ´ µ i       xx+1                 = xx (1 + x + x ln x)º
    º Ì ÔÓ                                 Ò Ò 
 Ô Ö                  ô       × 
                                                                                                            ¾¿




                                                    x−1/2 ln (e√x)º
                          √       ′             √
    ´   iiµ           x       x           =x

           ôÖ        Ñ                   º¿       ´Ô     Ö           Û       Ó            ÙÔ      Ö       ÓÐ              ôÒ ×ÙÒ                       ÖØ       ×    ÛÒµ




        ´ µ i (sinh x)′ = cosh x                             º




    ´   ii (cosh x)′ = sinh x
            µ                                                º




    ´   iii (tanh x)′ = sech2 x
            µ                                                    º




    ´   iv (coth x)′ = − csch2 x
            µ                                                        º




        ´v (sech x)′ = − sech x tanh x
            µ                                                                         º




    ´   vi (csch x)′ = − csch x coth x
            µ                                                                      º




        Ô                 Ü           ³    ×        × º



È           Ö     Ø       Ö       ×             º¿               Ò           Ø Ö ¸           ÕÓÙÑ


                                                          [sinh f (x)]′ = [cosh f (x)] f ′ (x) ,

                                                          [cosh f (x)]′ = [sinh f (x)] f ′ (x) ,
    Øк



           ôÖ        Ñ                   º¿       ´Ô     Ö           Û       Ó
               ÒØ×ØÖÓ                          
 ×ÙÒ                   ÖØ       ×    
µ

³       f
        ×ØÛ               Ñ       ×ÙÒ          Õ    
                Ò       ×Û
 ÑÓÒ              ØÓÒ             ×ÙÒ          ÖØ       ×          Ô   ÒÛ ×           Ò             ×Ø      Ñ


I   ¸                 ×ØÛ         Ø        ×            ÔÓ Ó ×           Ñ    Ó      x    ØÓÙ     I           f       Ò           Ô    Ö          Û       × Ñ      Ñ     Ô    Ö        Û    Ó


f ′ (x) = 0                   º   Ì        Ø            ÒØ×ØÖ Ó                      ×ÙÒ        ÖØ     ×          g = f −1                      Ò         Ô    Ö     Û    × Ñ          ×ØÓ


×       Ñy = f (x)
                 Ó


                                                                                                           1
                                                                              g′ (y) =                                 .
                                                                                                       f ′ (x)
    ËØ       Ò Ô       ÖÔØÛ×                  ÔÓÙ ØÓ         x      Ò                   Ö Ó ØÓÙ      I   ¸    ÒÒÓ            Ø           Ø    Ó      Ô    Ö   Ô    ÒÛ Ô       Ö       Û     Ó


f ′ (x)                   g′ (y)               Ò       ÔÐ    ÙÖ             
º              Ô    Ö                Ñ       ¸    Ò ØÓ            x     Ò         ØÓ   Ö ×Ø       Ö           ÖÓ


ØÓÙ  I                     f          Ò            Ò   ×Û
                 ÒÓÙ×          ¸ Ø    Ø           ÒØ              Ø       Ò    ×      Ø   Ø        g′ (y) = 1/f ′ (x)
            ÔÖ    Ô               ÒÓÒ               Ò        Ö       ÝÓÙÑ
                                                                                       ′          ′
                                                                                      g− (y) = 1/f+ (x)                             º℄




        Ô                 Ü           Â        ÙÔÓ           ×ÓÙÑ                 Ø       ØÓ   x       Ò            ×ÛØ Ö                          × Ñ Ó ØÓÙ              Iº    ´      Ò ØÓ

x           Ò            ÖÓ ØÓÙ               I¸         Ô              Ü        Ò         Ô Ö ÑÓ                ºµ À             g    ÓÖÞ Ø                        Ò        ×ÙÒ Õ 


Ô ÒÛ ×ØÓ                          ×Ø Ñ            J = f (I)º Ô×                               
¸ Ð             Û Ø 
 ÑÓÒÓØÓÒ 
 Ø 
                                   f¸   ØÓ       y    Ò

    ×ÛØ Ö                     × Ñ Ó            ØÓÙ J º Â ØÓÒØ 



                                                                                             f (w) − f (x)
                                                                     F (w) =                               ,
                                                                                                 w−x
    ÕÓÙÑ

                                                                             lim F (w) = f ′ (x)
                                                                             w→x
    º Ì ÔÓ                        Ò Ò 
 Ô Ö             ô        × 
                                                                    ¾




                Ö ¸       Ó    limz→y g (z) = g (y) = x                                             g    Ò    1 − 1¸

                                                        lim F (g (z)) = f ′ (x) .
                                                        z→y

³       Ø× ¸


                                                        g (z) − g (y)           g (z) − x
                               g′ (y) = lim                           = lim
                                            z→y             z−y         z→y f (g (z)) − f (x)

                                                                         1         1
                                                    = lim                      = ′    .
                                                            z→y      F (g (z))  f (x)



È           Ö    Ø    Ö   ×           º¿    ³      y = f (x) Ñ
                                                    ×ØÛ                                             ×ÙÒ Õ 
              Ò ×Û
 ÑÓÒ ØÓÒ

×ÙÒ ÖØ × ¸                         ×ØÛ     x = g (y)  ÒØ×ØÖÓ                                       Ø 
º Ì Ø            × Ø Ø


                                                                                           1
                                                                    g′ (y) =
                                                                                      f ′ (x)

ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ
                        º¿        Ö           Ø             Ñ       Ø    ÑÓÖ


                                                                      dx   1
                                                                         = dy .
                                                                      dy
                                                                                      dx

           ôÖ        Ñ       º¿      ´Ô    Ö           Û        Ó         ÒØ×ØÖÓ                      ÛÒ ØÖ      ÛÒÓÑ      ØÖ   ôÒµ




        ´ µ i (ØÓÜ        Ñ   x)′ =    √ 1
                                        1−x2
                                                        ´       ÔÓÙ   |x| < 1         µº




    ´   ii (ØÓÜ×ÙÒ x)′ = − √1−x2
            µ
                             1
                                                                ´    ÔÓÙ      |x| < 1          µº




    ´   iii (ØÓÜ
            µ                 x)′ =      1
                                       1+x2
                                            º




    ´   iv (ØÓÜ× x)′ = − 1+x2
            µ
                           1
                                                    º




        ´v (ØÓÜØ
            µ             Ñ   x)′ =        √1
                                        |x| x2 −1
                                                                ´    ÔÓÙ      |x| > 1          µº




    ´   vi (ØÓÜ×Ø
            µ                 Ñ   x)′ = − |x|√1 2 −1
                                              x
                                                                      ´   ÔÓÙ         |x| > 1           µº




        Ô            (i) ³ ×ØÛ f : − π , π −→ [−1, 1] ×ÙÒ ÖØ × ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Ô
                      Ü
                                     2 2
                                                         π π
ØÓÒ         Ø ÔÓ f (y) = Ñ y ¸     ×ØÛ g : [−1, 1] −→ − ,        ÒØ×ØÖÓ   Ø 
 fº
                                                         2 2
Å            ÐÐ  Ð     ¸ g Ò    ×ÙÒ ÖØ ×   ØÓÜ Ñº  ÛÖÓ Ñ ØôÖ     Ò  x ∈ (−1, 1)
                                                    π π         ′
              ØÓÙÑ y = g (x)º            
 Ø y ∈ − ,
                               Ò  ×
                                                    2 2 ¸ ÓÔ Ø f (y) = ×ÙÒ y > 0º
³       Ø× ¸          ÖÑ ÞÓÒØ 
 ØÓ Â ôÖ Ñ                                 º¿ ¸


                                  1                 1                         1                                1            1
                g′ (x) =                =                   =                                  =                        =√       .
                              f ′ (y)       ×ÙÒ         y             1−              2y                                  1 − x2
                                                                                  Ñ
                                                                                                             1 − f (y)2
 º Ì ÔÓ                         Ò Ò 
 Ô Ö                     ô       × 
                                                            ¾




        (ii)        Â     ÕÖ × ÑÓÔÓ                       ×ÓÙÑ            Ò Ò Ô Ó ÔÖ              Ø         ØÖ ÔÓº     À ×ÙÒ ÖØ ×   y =
ØÓÜ×ÙÒ          x    Ò                     ÒØ×ØÖÓ           Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 
                     x = ×ÙÒ y º          ÔÓÑ ÒÛ



                                                           d              dy   1                                        1
                        (ØÓÜ×ÙÒ x)′ =                        (ØÓÜ×ÙÒ x) =    = dx =                               d
                                                          dx              dx   dy                                dy    (×ÙÒ y)
                                                     1                              1                   1
                                            =                 =−                                  = −√       .
                                                −     Ñ   y                   1   − ×ÙÒ2 y            1 − x2

        (iii)    ¹   (vi)       ³       ×       × º


       ôÖ       Ñ          º       ¼ ´Ô             Ö        Û       Ó           ÒØ×ØÖÓ             ÛÒ ÙÔ      Ö     ÓÐ   ôÒµ


                                    ′
    ´ µ i       sinh−1 x                    =   √ 1
                                                 1+x2
                                                      º




                                    ′
 ´   ii     µ   cosh−1 x =                      √ 1
                                                 x2 −1
                                                                  ´   ÔÓÙ      x>1       µº




                                        ′
´   iii     µ   tanh−1 x =                        1
                                                1−x2
                                                              ´   ÔÓÙ         |x| < 1    µº




                                    ′
´   iv      µ   coth−1 x =                        1
                                                1−x2
                                                              ´   ÔÓÙ         |x| > 1   µº




                                    ′
    ´v      µ   sech−1 x = − x√1−x2
                               1
                                                                      ´       ÔÓÙ   0<x<1              µº




                                    ′
´   vi      µ   csch−1 x = − |x|√1 2
                                 1+x
                                                                          ´    ÔÓÙ      x=0      µº




    Ô            Ü   (i) À ×ÙÒ                            ÖØ ×        y = sinh−1 x                    Ò       ÒØ×ØÖÓ      Ø 
 ×ÙÒ ÖØ ¹

× 
         x = sinh y ¸ ÓÔ Ø
                                                 ′         d            dy   1                                          1
                          sinh−1 x =                         sinh−1 x =    = dx =                                d
                                                          dx            dx   dy                                  dy   (sinh y)
                                                   1                                1                         1
                                             =          =                                         =√               .
                                                 cosh y                       1 + sinh y     2              1 + x2
 Ò ÐÐ            Ø        ¸ ÕÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓÒ                                   ÒÛ×Ø           Ø ÔÓ



                                                      sinh−1 x = ln x +                          1 + x2 ,

ÕÓÙÑ

                                                                                                                 √           ′
                                                 ′                                                ′         x+   1 + x2
                          sinh−1 x = ln x +                                       1 + x2              =         √
                                                                                                             x + 1 + x2
                                                                  x
                                                            1 + √1+x2      1
                                                         =     √      =√        .
                                                           x + 1 + x2    1 + x2

        (ii) ¹ (vi)         ³       ×           × º
    º ÄÓ          Ö    Ñ               Ô Ö           ô     ×                                                                                            ¾




È        Ö    Ø       Ö    ×                º    ½    Ç Ø ÔÓ ØÛÒ ÔÖÓ                        Ó Ñ ÒÛÒ              Ó         ÛÖ Ñ ØÛÒ        Ö       ÓÒØ

ÔÓ            Ò        Ñ           Ø       ÑÓÖ


                                                                                            1
                                                 [ØÓÜ      Ñ   f (x)]′ =                                   · f ′ (x) ,
                                                                                                      2
                                                                                       1 − f (x)

                                                                         ′                   1
                                                 sinh−1 f (x) =                                               · f ′ (x) ,
                                                                                                       2
                                                                                       1 + f (x)
    Øк




             ÄÓ                    Ö Ñ                         Ô Ö                ô ×
ÇÖÞÓÙÑ               Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×                    L : R∗ −→ R                 Û
       Ü 



                                                                                   ln x                   Ò   x > 0,
                                                L (x) = ln |x| =
                                                                                   ln (−x)                Ò   x < 0.
À        Ö                 Ô Ö ×Ø ×                      Ø 
    L    ÔÓØ Ð Ø                   Ô     Ø Ò          ÑÔ Ð         y = ln x                ØÓ

×ÙÑÑ ØÖ                        ÙØ 
 Ø 
                    ÑÔ Ð 
 Û
 ÔÖÓ
 ØÓÒ                         ÜÓÒ      yº      Ç    ×ÙÒ        
           Ø Ø 


Ø 
 ÐÓ            Ö        Ñ           
 ×ÙÒ ÖØ × 
 Ñ Ø                            ÞÓÒØ             ×Ø Ò      L

       ôÖ        Ñ                º½



     ´ µi L (x1 x2 · · · xn ) = L (x1 ) + L (x2 ) + · · · + L (xn )                                                º




                      x1
    ´ii Lµ
                      x2       = L (x1 ) − L (x2 )                   º




´   iii L (xc ) = cL (x)
         µ                                        º



                                       1
 ´  iv L′ (x) =
         µ
                                       xº
                                                 f ′ (x)
    ´   v [L (f (x))]′ =
         µ
                                                 f (x) º

     Ô            Ü            ³       ×        × º


         Ç ÙÔÓÐÓ               ×Ñ 
 Ñ                 
 Ô Ö         ô ÓÙ      f ′ (x) Ñ Ö              
       ÓÖ 
         Ù ÓÐ Ò Ø            Ò       ÒØ

         Ø Ò      f (x)            Ô Ö           Û ×ÓÙÑ            Ø Ò      L (f (x)) ÕÖ             × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓ ÔÖÓ                      Ó Ñ ÒÓ

     ôÖ Ñ º               À Ø ÕÒ                         ÙØ ¸ ÔÓÙ Ð                Ø     ÐÓ           Ö        Ñ            Ô   Ö     ô        ×    ¸    ¹

Ò            ÔÓØ Ð ×Ñ Ø                           Ø Ò          f (x)         Ò         Ò Ñ ÒÓ             Ô Ð Ó           ÐÐÛÒ      ÔÐÓ ×Ø ÖÛÒ

×ÙÒ ÖØ × ÛÒº


È        Ö                 Ñ                º¾    ÍÔÓÐÓ ×Ø              Ñ        ÐÓ     Ö      Ñ         Ô Ö          ô    ×   Ø Ò   f ′ (x)¸      ÔÓÙ

    f        Ò Ø          Ô           ØÓÒ Ø ÔÓ

                                                                                                    9/2
                                                                              x3 1 + x8
                                                      f (x) =                                                      .
                                                                    (1 + x4 )1/2 (1 + x6 )1/3
    º     ÒôØ Ö 
 Ô Ö                  Û     Ó                                                                                                       ¾




Ä        ×         ³   ÕÓÙÑ


                                                         9           1          1
             L (f (x)) = 3L (x) +                          L 1 + x8 − L 1 + x4 − L 1 + x6 .
                                                         2           2          3
È Ö            Û ÞÓÒØ 
                    Ø           Ó Ñ Ð       Ø 
 × Ø Ø 
                  ÙØ 
¸ Ô ÖÒÓÙÑ


                            f ′ (x)    1 9   8x7  1   4x3  1   6x5
                                    =3· + ·      − ·      − ·
                            f (x)      x 2 1 + x8 2 1 + x4 3 1 + x6
                                                    3   36x7   2x3   2x5
                                             =        +      −     −       .
                                                    x 1 + x8 1 + x4 1 + x6
    ÔÓÑ ÒÛ



                                                             3   36x7   2x3   2x5
                                f ′ (x) = f (x)                +      −     −                                              .
                                                             x 1 + x8 1 + x4 1 + x6




                   ÒôØ Ö 
 Ô Ö                                   Û Ó
³       ×ØÛ    f   Ñ        ×ÙÒ ÖØ × º                   Ò   ×ÙÒ ÖØ ×                 f′   ´      ×ÓÒ ÙÔ ÖÕ            µ       Õ    Ô Ö         Û     Ó

×            ÔÓ Ó × Ñ Ó              x¸    Ø Ø          Ô Ö        Û    Ó
       ÙØ       ×ÙÑ ÓÐÞ Ø            Ñ



                                                                        f ′′ (x)

         Ð         Ø              Ø    Ö        Ô    Ö       Û      Ó
   Ø 
      f    ×ØÓ      xº   ³   Ø× ¸    ÕÓÙÑ          ÓÖ×       Ñ       Ò

×ÙÒ ÖØ ×

                                                                         f ′′ .
ËÙÒ ÕÞÓÒØ 
                       Ø       ØÓÒ         Ó ØÖ ÔÓ ´                      ×ÓÒ       ÙØ        Ò        ÙÒ Ø Òµ¸ ÓÖÞÓÙÑ

Ø       ×ÙÒ ÖØ ×

                                                                          f ′′′
        ÓÔÓ       Ð        Ø     ØÖØ           Ô      Ö    Û      Ó
     Ø 
        f¸       ºÓº º



È        Ö     Ø       Ö    ×          º½        Ò   f (t)     Ò                 ×    ´Ø ØÑ Ñ Ò µ               Ò 
       Ò ØÓ           ÒØ             ¹

Ñ ÒÓÙ Ô ÒÛ ×ØÓÒ                        ÜÓÒ          ØÛÒ ÔÖ       Ñ Ø       ôÒ          Ö       ÑôÒ¸ Ø Ø                Ø Ö         Ô Ö        Û      Ó


f ′′ (t0 )                 Ö Þ     Ø Ò          Ô Ø      ÕÙÒ×           ØÓÙ       ÒØ           Ñ ÒÓÙ Ø          ÕÖÓÒ           ×Ø     Ñ       t0 º

         ËÙÕÒ                    Ø
 Ô Ö             ô    ÓÙ
 Ñ      
 ×ÙÒ ÖØ × 
                 y = f (x)       ÕÖ × ÑÓÔÓ Ó Ñ

ØÓÙ
               ÐÓÙ          ÓÙ
 ×ÙÑ ÓÐ ×ÑÓ 



                                                                    df   dy
                                             f (1) = f ′ =             =    = y ′ = y (1) ,
                                                                    dx   dx
                                                                 d2 f  d2 y
                                            f (2) = f ′′ =            = 2 = y ′′ = y (2) ,
                                                                 dx2   dx
    º       ÒôØ Ö 
 Ô Ö       Û        Ó                                                                                                           ¾




                                                                   d3 f  d3 y
                                  f (3) = f ′′′ =                       = 3 = y ′′′ = y (3) ,
                                                                   dx3   dx
             Ò

                                                                   dn f  dn y
                        f (n) =        f ′′′··· ′        =              = n =                       y ′′′··· ′     = y (n) ,
                                                                   dxn   dx
                                  Ñ n Ø ÒÓÙ
                                                   Ñ n Ø ÒÓÙ


                                                                   dn f                      dn y
                                        f (n) (a) =                                      =                   .
                                                                   dxn          x=a          dxn     x=a
    Ô× 
¸          ØÓÙÑ

                                                                   f (0) := f.

È        Ö              Ñ    º¾    ³    ×ØÛ          Ø        f (x) = 2x5 º                  Ì Ø

                        ′                  4                  ′′                         3
                       f (x) = 10x ,                     f (x) = 40x ,                              f ′′′ (x) = 120x2 ,
        ×Ó       Ò Ñ


              d                                       d2                                                  d3
                2x5 = 10x4 ,                             2x5 = 40x3 ,                                        2x5 = 120x2 .
             dx                                      dx2                                                 dx3
È        Ö              Ñ    º¿            ÜØ        Ø            Ò       y = f (x)               u = g (y)¸          Ø Ø

                                                                                     2
                                       d2 u  d2 u                              dy             du d2 y
                                            = 2 ·                                        +      ·     ,
                                       dx2   dy                                dx             dy dx2
                                                                                                                                                   2
                                                                                                                             d2 u       d2 u
         ×ÓÒ Ó         Ò Ð   Û Ô Ö             Û    Ó ÙÔ ÖÕÓÙÒº ´ÈÖÓ×ÓÕ                                          × Ø Ø
                                                                                                                             dx2
                                                                                                                                    =   dy 2
                                                                                                                                               · dxy
                                                                                                                                                 d
                                                                                                                                                   2

        Ò ×Õ       ºµ


Ä        ×        ÉÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓÒ                              Ò Ò         Ø 
       ÐÙ×       
¸     ÕÓÙÑ


                                       d2 u           d            du                 d        du dy
                                                =                               =                ·
                                       dx2           dx            dx                dx        dy dx
                                            d         du                   dy   du d                    dy
                                   =                                   ·      +   ·
                                           dx         dy                   dx dy dx                     dx
                                                d      du                   dy   dy   du d2 y
                                   =                                   ·       ·    +   ·
                                               dy      dy                   dx dx dy dx2
                                                                                2
                                                    d2 u               dy                du d2 y
                                           =             ·                          +      ·     .
                                                    dy 2               dx                dy dx2


³       ×     ×         º    ÔÓ         ÜØ        ØÓÒ    Ø        ÔÓ ØÓÙ                Leibniz                 Ø Ò   n¹Ó×Ø        Ô Ö        Û       Ó

ØÓÙ          ÒÓÑ ÒÓÙ         Ó ×ÙÒ ÖØ × ÛÒ                         f            g
                                                                           n
                                                                                n (n−k) (k)
                                           (f g)(n) =                             f    g .
                                                                                k
                                                                       k=0
                                                         ′′
Ⱥպ          Ø Ò   n = 2¸    ÕÓÙÑ             (f g) = f ′′ g + 2f ′ g′ + f g′′ º
    º ÌÓÔ                         Ö Ø Ø                                                                                                                        ¾




                ÌÓÔ                                  Ö Ø Ø
³    ×ØÛ         f       Ñ     ×ÙÒ ÖØ ×                     ÓÔÓ        ÓÖÞ Ø         Ô ÒÛ ×               Ò     × ÒÓÐÓ           Sº     Ä Ñ     Ø    f
    Õ       ØÓÔ                    Ñ        ×ØÓ         ×     Ò     × Ñ Ó        c∈S              Ò ÙÔ ÖÕ            Ñ       Ô Ö ÓÕ          Nε (c) ØÓÙ
c    Ø ØÓ                ô×Ø

                                            f (x) ≤ f (c)                                      x ∈ S ∩ Nε (c) .
    È Ó ×Ù                     Ö Ñ Ò ¸          ØÓÔ             Ñ         ×ØÓ         Ø 
      f   Ð        Ø     Ó       Ö       Ñ 
     f (c)¸          Òô ØÓ

c    Ð           Ø                ×         ×       Ñ    Ó   ØÓÔ         Ó        Ñ           ×ØÓÙº℄           Ç ÓÖ ×Ñ 
 ØÓÙ                ØÓÔ              Ó

    Ð       Õ×ØÓÙ                  Ò    Ô Ö ÑÓ Ó
 ´ ÔÐô
                        ÒØ ×ØÖ           ÓÙÑ       Ø Ò      Ò × Ø Ø µº Ì                    ØÓÔ

Ñ           ×Ø                Ø       ØÓÔ            Ð Õ ×Ø         Ø 
   f   Ð        ÓÒØ         ØÓÔ                        Ö   Ø     Ø     Ø 
         fº   Ì

ØÓÔ                          Ö Ø Ø            Ò ÔÖ Ô               Ù×        Ò        ×Ù Õ ÓÒØ               Ñ    Ø       ÓÐ                      Ö    Ø       Ø       ¸

     Ð               ØÓ      ÓÐ             Ñ           ×ØÓ    ´        ÔÐ        Ñ            ×ØÓµ              ØÓ   ÓÐ                  Ð   Õ ×ØÓ                ´

    ÔÐ              Ð        Õ ×ØÓµ         Ø 
     f º½

È           Ö                 Ñ          º½     ³    ×ØÛ      f : [a, b] −→ R Ñ                    ×ÙÒ ÖØ ×               Ø 
 ÓÔÓ 
                  Ö

Ô Ö ×Ø ×                       Ò        Û
     Ü 





À       f        Õ           ØÓÔ            Ñ       ×ØÓ ×Ø          a, c2 , c4 ¸           ØÓÔ             Ð Õ ×ØÓ ×Ø                 c1 , c3 , b¸        ÓÐ

Ñ           ×ØÓ ×ØÓ               c2 ¸          ÓÐ            Ð Õ ×ØÓ ×ØÓ             bº

           ôÖ           Ñ         º¾ ´     Fermatµ            ³    ×ØÛ       Ø            f   ÓÖÞ    Ø     ×        Ò           ×Ø      Ñ   I                Õ


ØÓÔ                      Ö    Ø    ØÓ ×         Ò       ×ÛØ    Ö         ×    Ñ       Ó   c   ØÓÙ     I   ×ØÓ ÓÔÓÓ              Ô   Ö       Û   Ó
      f ′ (c)
ÙÔ          ÖÕ       º   Ì     Ø


                                                                         f ′ (c) = 0.
     Ô                   Ü              ÙÔÓ            ×ÓÙÑ        Ø         f       Õ        ×ØÓ     c   ØÓÔ            Ñ       ×ØÓ ´               Ô        Ü

×Ø Ò Ô ÖÔØÛ×                            ØÓÔ        Ó       Ð Õ×ØÓÙ          Ò           Ô Ö ÑÓ          µº ³   ×ØÛ  Nε (c) Ñ                       Ô Ö ÓÕ

ØÓÙ         c   Ø ØÓ           ô×Ø          f (x) ≤ f (c)                                  x ∈ Nε (c)º             Ò x ∈ Nε (c)                           x < c¸
Ø Ø
                                                                   f (x) − f (c)
                                                                                 ≥ 0.
                                                                       x−c
        ½
            À   f        Õ    ÓÐ            Ñ        ×ØÓ ×          Ò    × Ñ Ó       c∈S          Ò   f (x) ≤ f (c)                          x ∈ Sº
    º ÌÓ           ôÖ Ñ              Ñ × 
 Ø Ñ 
                                                                                                      ¿¼




³   Ø× ¸
                                                                                             f (x) − f (c)
                                                     ′
                                          f ′ (c) = f− (c) = lim                                           ≥ 0.
                                                                                x→c−             x−c
Å           Ô Ö ÑÓ Ó ØÖ ÔÓ                     Ð ÔÓÙÑ                           Ø


                                                                                             f (x) − f (c)
                                                     ′
                                          f ′ (c) = f+ (c) = lim                                           ≤ 0.
                                                                                x→c+             x−c

    ÔÓÑ ÒÛ
            f ′ (c) = 0º

È       Ö     Ø    Ö        ×             º¿   ÌÓ          ÒØ×ØÖÓ              Ó ØÓÙ             ÛÖ Ñ ØÓ
 ØÓÙ       Fermat                 Ò   ×Õ       º

Ⱥպ           Ò f (x) = x3 ¸                    Ø Ø            ÔÖÓ          Òô
         f ′ (0) = 0          ÐÐ     f Ò               Õ        ØÓÔ

     Ö Ø      ØÓ ×ØÓ 0º



        Ì     × Ñ               ×Ø       ÓÔÓ         Ñ        ÒÞ Ø                   Ô Ö       Û   Ó
 Ñ     
 ×ÙÒ ÖØ × 
            f    Ð    ÓÒØ

    Ö× Ñ              ×         Ñ        Ø 
     fº           Ò       f           Õ       ØÓÔ             Ö Ø ØÓ ×         Ò    × Ñ Ó        c    ×ØÓ

ÓÔÓÓ         Ò        Ô Ö           Û × Ñ ¸ Ø Ø                   ØÓ  c          Ò        Ö× ÑÓ × Ñ Ó Ø 
          f   ´× Ñ      ÛÒ        Ñ    ØÓ

     ôÖ Ñ          ØÓÙ           Fermatµ¸          ÐÐ            Õ          ÒØ ×ØÖ            Û
º Ⱥպ ×Ø Ò Ô Ö                   ØÛ            Ò ¸ Ø

c1 , c2 , c3           Ò            Ö× Ñ     × Ñ             Ø 
         f       ÐÐ       ØÓÔ            Ö Ø Ø   ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ñ ÒÓ ×Ø

c1        c2




             ÌÓ                      ôÖ Ñ Ñ × 
 Ø Ñ 

Ä Ñ           Ø Ñ           ×ÙÒ ÖØ ×               f       Ò       Ô       Ö           Û    × Ñ      ´Ô     ÒÛµ ×           Ò             ×Ø       Ñ

I       Ò ×Õ ÓÙÒ Ø                           ÐÓÙ



        i
    ´ µ À         f         Ò       Ô Ö       Û × Ñ               ×                       ×ÛØ Ö       × Ñ Ó ØÓÙ           Iº

    ´iiµ     À     f        Ò       Ô Ö       Û × Ñ                   Ô            Ü       ×ØÓ      Ö ×Ø Ö        ÖÓ   a       ØÓÙ   I¸       Ò ØÓ     a
              Ò        ÔÖ           Ñ Ø       
       Ö        Ñ 
                  Ò         ×ØÓ     Iº   ËØ Ò Ô ÖÔØÛ×                  ÙØ ¸       ÒØ
                        ′
                       f+ (a)         ×ÙÒ       Û
          Ö        ÓÙÑ            f ′ (a)º
    º ÌÓ              ôÖ Ñ          Ñ × 
 Ø Ñ 
                                                                                                                        ¿½




    ´iiiµ       À     f    Ò           Ô Ö          Û       × Ñ              Ô         Ö ×Ø Ö            ×ØÓ           Ü            ÖÓ    b    ØÓÙ      I¸     Ò ØÓ      b
                 Ò       ÔÖ        Ñ Ø              
       Ö       Ñ 
                    Ò          ×ØÓ      Iº       ËØ Ò Ô ÖÔØÛ×                     ÙØ ¸       ÒØ
                       ′
                      f− (b)            ×ÙÒ          Û
              Ö        ÓÙÑ        f ′ (b)º

³       Ø× ¸     Ò         f       Ò       Ô Ö              Û × Ñ                ×ØÓ      I¸   Ø Ø            Ô Ö              Û Ó
 ×ÙÒ ÖØ ×                  f′    ÓÖ¹

Þ Ø             Ô ÒÛ ×              ÐÓ ØÓ            Iº

È           Ö              Ñ            º½      À ×ÙÒ ÖØ × f (x) = x2 Ò                f : [3, 7] −→ R                   Ñ       Ø ÔÓ

Ô Ö  Û × Ñ ×ØÓ [3, 7] º Ô× 
¸                      x ∈ [3, 7]º                   f ′ (x)   = 2x
                                                                    √
È Ö       Ñ    º¾ À ×ÙÒ ÖØ ×     f : [−1, 1] −→ R Ñ Ø ÔÓ f (x) = 1 − x2
 Ò ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ [−1, 1]  ÐÐ  Ô Ö   Û × Ñ    Ñ ÒÓ Ô ÒÛ ×ØÓ (−1, 1)º



        ôÖ          Ñ             º¿ ´     Rolleµ               ³       ×ØÛ       f    Ñ        ×ÙÒ       ÖØ   ×                ÓÔÓ       Ò       ×ÙÒ Õ       
    ×ØÓ


[a, b]                Ô    Ö       Û     × Ñ            ×ØÓ         (a, b)     º        Ô ÔÐ        ÓÒ¸    ×ØÛ          Ø       ×Õ              ×    Ø    Ø




                                                                               f (a) = f (b) .

Ì       Ø       ÙÔ    ÖÕ           Ò     c ∈ (a, b)                  Ø       ØÓ Ó   ô×Ø




                                                                                    f ′ (c) = 0.

        ÛÑ      ØÖ              ÙØ          ×   Ñ     Ò                 Ø               ÔØ      Ñ    Ò     Ù               ×ØÓ      ×   Ñ     Ó   (c, f (c))       ØÓÙ


    Ö           Ñ     ØÓ
 Ø         
   f       Ò        Ô      Ö       ÐÐ    Ð        ÔÖ Ó
 ØÓÒ           ÜÓÒ          x   º




        Ô             Ü        ³    ×ØÛ         k := f (a) = f (b)º Ë Ñ                                    ÛÒ        Ñ       ØÓ         ôÖ Ñ         Ñ         ×Ø 


    Ð Õ ×Ø 
 Ø Ñ 
¸                         f    Ô ÖÒ  ×ØÓ [a, b] Ñ Ñ                                      ×Ø       Ø Ñ          f (c1 )            Ñ         Ð Õ ×Ø

Ø Ñ         f (c2 )º               Ò ×ÕÙ Ò Ó                 × Ø Ø 




                                                                         f (c1 ) = k = f (c2 ) ,

Ø Ø              f              Ø Ò ×Ø                   Ö       Ô ÒÛ ×ØÓ                 [a, b]   Ø×                ØÓ          ÔÓ        Ø Ó                 Ø Ò ÔÖÓ¹

        Ò 
º              
 ÙÔÓ          ×ÓÙÑ                ÐÓ Ô Ò                 Ø    f (ci ) = k¸                ÔÓÙ         i = 1           i = 2º               ÙØ
 º ÌÓ          ôÖ Ñ          Ñ × 
 Ø Ñ 
                                                                                                                 ¿¾




×ÙÒ Ô           Ø        Ø       ci ∈ (a, b)¸ ÓÔ Ø  f Ò Ô Ö                                        Û       × Ñ        ×ØÓ   ci º    ³    Ø× ¸          Ö¹

Ñ ÞÓÒØ 
 ØÓ                  ôÖ Ñ
                                                    ′
                                       ØÓÙ Fermat¸ f (ci ) = 0º



        ÌÓ     Ô Ñ ÒÓ            ÔÓØ Ð ×Ñ ¸ ÔÓÙ ÓÒÓÑ Þ Ø                                            ôÖ       Ñ      Ñ    ×     
     Ø Ñ        
    ØÓÙ

         ÓÖ         Ó     ÐÓ             ×ÑÓ                   ÂÅÌ           ´Õ Ö Ò ×ÙÒØÓÑ 
µ¸                    Ò    Ñ           Ò       Ù×    ØÓÙ

    ÛÖ Ñ ØÓ
 ØÓÙ                 Rolle

    ôÖ        Ñ         º       ´ÂÅ̵                     ³       ×ØÛ   f   Ñ     ×ÙÒ      ÖØ      ×         ÓÔÓ        Ò         ×ÙÒ       Õ    
 ×ØÓ


[a, b]          Ô    Ö       Û       × Ñ         ×ØÓ      (a, b)    º   Ì    Ø    ÙÔ      ÖÕ       Ò        c ∈ (a, b)       Ø    ØÓ Ó        ô×Ø




                                                                             f (b) − f (a)
                                                           f ′ (c) =                       .
                                                                                 b−a
    ÛÑ     ØÖ            ÙØ          ×    Ñ       Ò           Ø             ÔØ    Ñ   Ò        Ù           ×ØÓ    ×    Ñ    Ó     (c, f (c))      ØÓÙ


 Ö         Ñ    ØÓ
 Ø        f
                             
           Ò       Ô    Ö       ÐÐ    Ð   ÔÖ Ó
 Ø        Ò    Ù             ÔÓÙ ÓÖÞ      Ø          Ô     Ø    ×    Ñ   


(a, f (a))               (b, f (b))           º




    Ô           Ü        À       Ù               ÔÓÙ ÓÖÞ Ø                  Ô    Ø       × Ñ         (a, f (a))                (b, f (b))         Ò

     Ö              Ô Ö ×Ø ×                  Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 



                                                           f (b) − f (a)
                                      g (x) =                            · (x − a) + f (a) .
                                                               b−a
 ÛÖÓ Ñ              ØôÖ         Ø       ×ÙÒ ÖØ ×



                                                           F (x) = f (x) − g (x) ,

    ÓÔÓ        Ò       ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                   [a, b]                Ô Ö       Û    × Ñ        ×ØÓ   (a, b)      Ñ    Ô Ö             Û Ó


                                                                                                    f (b) − f (a)
                          F ′ (x) = f ′ (x) − g′ (x) = f ′ (x) −                                                  .
                                                                                                        b−a
À    F   Ô ÔÐ ÓÒ                 ÒÓÔÓ             

                                                                F (a) = F (b) = 0.
    º ÌÓ                    ôÖ Ñ             Ñ × 
 Ø Ñ 
                                                                                                             ¿¿




³       Ø× ¸ Õ Ö                       ×ØÓ        ôÖ Ñ       ØÓÙ   Rolle¸   ÙÔ ÖÕ                   Ò       c ∈ (a, b)            Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                                       F ′ (c) = 0,

        Ð

                                                                            f (b) − f (a)
                                                              f ′ (c) =                   .
                                                                                b−a


           ôÖ              Ñ            º    ´Ñ    Ð    Ø    ÑÓÒÓØÓÒ              
 Ñ             ×Û Ô             Ö        ô        ÓÙµ

³       ×ØÛ             f   Ñ          ×ÙÒ    ÖØ   ×         ÓÔÓ      Ò    ×ÙÒ         Õ      
 ×ØÓ           [a, b]             Ô      Ö    Û     × Ñ            ×ØÓ


(a, b)              º




        ´ µ i             Ò       f ′ (x) = 0                      x ∈ (a, b)   ¸   Ø       Ø           f       Ò       ×Ø           Ö       ×ØÓ   [a, b]   º




    ´    ii     µ         Ò       f ′ (x) ≥ 0                      x ∈ (a, b)   ¸   Ø       Ø           f       Ò        ÜÓÙ×                ×ØÓ   [a, b]   º




    ´   iii     µ         Ò       f ′ (x) ≤ 0                      x ∈ (a, b)   ¸   Ø       Ø           f       Ò            ÒÓÙ×           ×ØÓ    [a, b]      º




    ´   iv      µ         Ò  f ′ (x) > 0                           x ∈ (a, b)       ¸   Ø       Ø           f    Ò           Ò       ×Û
          ÜÓÙ×             ×ØÓ


                        [a, b]     º




        ´v      µ         Ò  f ′ (x) < 0                           x ∈ (a, b)   ¸       Ø   Ø           f       Ò        Ò        ×Û
             ÒÓÙ×            ×ØÓ


                        [a, b]     º




        Ô     (i) ³ ×ØÛ Ø f ′ (x) = 0
                            Ü                   x ∈ (a, b)¸   
                                                                                     ÛÖ ×ÓÙÑ

   Ó   Ö ÑÓ 
 x1 , x2 ∈ [a, b] Ñ x1 < x2 º Ç ×Ø ÕÓ
 Ñ 
 Ò  Ò                                                                                       ÜÓÙÑ             Ø

f (x1 ) = f (x2 )º Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ÂÅ̸ ÙÔ ÖÕ Ò c ∈ (x1 , x2 ) Ø                                                                                    ØÓ Ó ô×Ø


                                                                         f (x2 ) − f (x1 )
                                                             f ′ (c) =                     .
                                                                             x2 − x1
³       Ø× ¸                  Ó        f ′ (c) = 0       Ü ÙÔÓ      × Û
¸     ÕÓÙÑ


                                                  f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (c) (x2 − x1 ) = 0.


            (ii)     f ′ (x) ≥ 0
                              ³    ×ØÛ        Ø                                         x ∈ (a, b)¸                               
           ÛÖ ×ÓÙÑ                 Ó

 Ö ÑÓ 
 x1 , x2 ∈ [a, b] Ñ    x1 < x2 º                                                 Ç ×Ø ÕÓ
 Ñ 
                          Ò          Ò         ÜÓÙÑ             Ø

f (x1 ) ≤ f (x2 )º Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ÂÅ̸                                                 ÙÔ ÖÕ                   Ò        c ∈ (x1 , x2 )            Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                                         f (x2 ) − f (x1 )
                                                             f ′ (c) =                     .
                                                                             x2 − x1
³       Ø× ¸                  Ó        f ′ (c) ≥ 0       Ü ÙÔÓ      × Û
¸     ÕÓÙÑ


                                                  f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (c) (x2 − x1 ) ≥ 0.


            (iii)           ¹     (v)    ³   ×     × º
    º ÌÓ                 ôÖ Ñ          Ñ × 
 Ø Ñ 
                                                                                                                             ¿




È           Ö        Ø    Ö   ×                    º       ËØÓ Â ôÖ Ñ                          º     ×Õ ÓÙÒ                   Ø        ÒØ×ØÖÓ                  ØÛÒ    (i)¸ (ii)¸
(iii)¸ ÐÐ                     Õ        Ø               ÒØ×ØÖÓ                     ØÛÒ    (iv)              (v)º                  Ô Ö              Ñ ¸               ×ÙÒ ÖØ ×

f (x) = x3                    Ò               Ò ×Û
                      ÜÓÙ×           ×ØÓ          ×Ø Ñ              [−1, 1]¸           ÐÐ       f ′ (0) = 0º

        ôÖ              Ñ         º           ³       ×ØÛ       f, g               Ó ×ÙÒ      ÖØ      ×     
   Ó    ÓÔÓ        
    Ò      ×ÙÒ          Õ    
   ×ØÓ    [a, b]
            Ô    Ö        Û   × Ñ             
       ×ØÓ      (a, b)         º     Ô ÔÐ      ÓÒ¸     ×ØÛ           Ø




                                                           f ′ (x) = g′ (x)                                          x ∈ (a, b) .

Ì       Ø        ÙÔ      ÖÕ            Ò           c∈R             Ø    ØÓ Ó        ô×Ø




                                                       f (x) = g (x) + c                                              x ∈ [a, b] .

        Ô                Ü         Ë Ñ                 ÛÒ          Ñ    ØÓ Â ôÖ Ñ                      º ¸           ×ÙÒ ÖØ ×               f −g                Ò     ×Ø       Ö

×ØÓ                  ×Ø Ñ          [a, b]º

³       ×            ×         º           ³       ×ØÛ          f, g Ó               ×ÙÒ ÖØ ×              
 Ó       ÓÔÓ 
            Ò      ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                  [a, b]
            Ô Ö           Û × Ñ 
 ×ØÓ                          (a, b)º                  ÜØ       Ø



         i
        ´ µ          Ò    f (a) < g (a)                                 f ′ (x) ≤ g′ (x)                                      x ∈ (a, b)¸            Ø Ø



                                                                   f (x) < g (x)                                          x ∈ [a, b] .

    ´   iiµ          Ò    f (a) = g (a)                                 f ′ (x) ≤ g′ (x)                                      x ∈ (a, b)¸            Ø Ø



                                                                   f (x) ≤ g (x)                                          x ∈ [a, b] .

    ´iiiµ            Ò    f (a) = g (a)                                 f ′ (x) < g′ (x)                                      x ∈ (a, b)¸            Ø Ø



                                                                   f (x) < g (x)                                         x ∈ (a, b] .


            Ì            Ô Ñ Ò                         Ó           ÛÖ Ñ Ø                 ÒÓÙÒ         ÖØ Ö              Ø       ÓÔÓ             Ò       ÕÖ × Ñ            ×Ø

Ñ Ð Ø                ØÛÒ ØÓÔ                   ôÒ               ÖÓØ ØÛÒº



        ôÖ              Ñ         º           ´        Ö Ø            Ö Ó ÔÖôØ                
 Ô         Ö         ô        ÓÙµ

³       ×ØÛ      f       Ñ    ×ÙÒ              ÖØ          ×           ÓÔÓ          Ò        ×ÙÒ Õ        
 ×          Ò    ×       Ñ   Ó   c            Ô    Ö     Û    × Ñ


×                Ó       ÒÓ   Ø                    ×Ø          Ñ   Ø       (a, c)              (c, b) ¾ º




         i
        ´ µ          Ò        f′       Ò                   Ø           ×ØÓ         (a, c)             ÖÒ        Ø        ×ØÓ         (c, b)   ¸ Ø      Ø   ØÓ       f (c)    Ò


                 ØÓÔ           Ñ               ×ØÓ          Ø      
   f   º




    ´   ii   µ       Ò        f′       Ò                  ÖÒ      Ø               ×ØÓ   (a, c)                  Ø        ×ØÓ         (c, b)   ¸ Ø      Ø   ØÓ       f (c)    Ò


                 ØÓÔ               Ð       Õ ×ØÓ               Ø   
    f      º



        ¾ ËØÓ        × Ñ Ó        c           f       ÑÔÓÖ  Ò            Ñ Ò       Ò      Ô Ö       Û × Ñ º
    º ÌÓ             ôÖ Ñ              Ñ × 
 Ø Ñ 
                                                                                                                       ¿




    ´iii     µ       Ò           f′     Õ           ØÓ       Ó    ÔÖ     ×       ÑÓ       ×Ø               ×Ø   Ñ   Ø   (a, c)               (c, b)    ¸   Ø    Ø       ØÓ


                 f (c)            Ò     Ò          ØÓÔ                 Ö     Ø    ØÓ Ø         
   f   º




        Ô            Ü            (i)       ³       (a, c)
                                                    ×ØÛ       Ø ÖÒ Ø    f′×ØÓ (c, b)º
                                                                                  Ò            Ø           ×ØÓ

    Ð   ÓÙÑ     Ò  a1 ∈ (a, c)     Ò   b1 ∈ (c, b)º À f Ò ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ [a1 , c]
      Õ     Ø     Ô Ö   Û Ó ×ØÓ (a1 , c)º    Ô× 
¸   f Ò ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ [c, b1 ]
     Õ    ÖÒ Ø      Ô Ö   Û Ó ×ØÓ (c, b1 )º Ë Ñ ÛÒ ÐÓ Ô Ò Ñ ØÓ Â ôÖ Ñ             º ¸

  f Ò     Ò ×Û
      ÜÓÙ× ×ØÓ [a1 , c]       Ò ×Û
     ÒÓÙ× ×ØÓ [c, b1 ]º   ÙØ

ÔÖÓ    Òô
 ×ÙÒ Ô      Ø    Ø f (x) ≤ f (c)            x ∈ [a1 , b1 ]¸ ÓÔ Ø ØÓ f (c)
 Ò   ØÓÔ     Ñ   ×ØÓ Ø 
 f º



            (ii)¸ (iii)           ³    ×         × º



        ôÖ          Ñ            º½¼ ´              Ö Ø         Ö Ó              ÙØ       Ö        
 Ô      Ö       ô   ÓÙµ

³       ×ØÛ      f   Ñ           ×ÙÒ    ÖØ          ×          ÓÔÓ          Ò        Ô    Ö       Û       × Ñ     ×   Ñ       Ô   Ö ÓÕ          Ò   
 ×       Ñ       ÓÙ


c   ¸                    Ó       ÓÖ     
       Ô   Ö        Û     × Ñ       ×ØÓ          c            Ð                 Ø   Ö       Ô   Ö        Û    Ó
      f ′′ (c)
ÙÔ       ÖÕ        ℄º




         i
        ´ µ          Ò   f ′ (c) = 0                         f ′′ (c) < 0         ¸    Ø   Ø    ØÓ      f (c)      Ò    ØÓÔ          Ñ           ×ØÓ       Ø   
    f   º




    ´   ii   µ       Ò   f ′ (c) = 0                         f ′′ (c) > 0         ¸    Ø   Ø    ØÓ      f (c)      Ò    ØÓÔ              Ð   Õ ×ØÓ         Ø    
   f       º




        Ô            Ü            (i)       ³       ×ØÛ        Ø    f ′ (c) = 0                     f ′′ (c) < 0º            Ô


                                                                       f ′ (x) − f ′ (c)       f ′ (x)
                                                f ′′ (c) = lim                           = lim         ,
                                                                   x→c       x−c           x→c x − c

                                                                           ∗                                                              f ′ (x)
ÙÔ ÖÕ                Ñ        ØÖÙÔ Ñ Ò                   Ô Ö ÓÕ           Nε (c)            ØÓÙ      c Ô ÒÛ ×Ø           Ò ÓÔÓ
                                                                                                                                          x−c       < 0º             ÙØ

× Ñ Ò                   Ø        f′        Ò            Ø            ×ØÓ             ×Ø Ñ         (c − ε, c)                ÖÒ Ø                ×ØÓ           ×Ø Ñ

(c, c + ε)º                  ³    Ö     ØÓ          f (c)        Ò     ØÓÔ                Ñ        ×ØÓ Ø 
 f ¸          × Ñ         ÛÒ       Ñ     ØÓ          ÖØ ÖÓ

ÔÖôØ 
 Ô Ö                        ô     ÓÙº



            (ii)     ³   ×            × º



È           Ö                Ñ              º½½          Å Ð Ø ×Ø                 Ø        ×ÙÒ ÖØ ×                f (x) = x3 − x2 − x                      Û
 ÔÖÓ


Ø       ÑÓÒÓØÓÒ                            Ø       ØÓÔ                 Ö Ø Ø º


Ä        ×           À Ô Ö                 Û        Ó
 Ø 
         f    Ò


                                                                   f ′ (x) = 3x2 − 2x − 1,

ÓÔ Ø
                                                                           1
                             f ′ (x) = 0 ⇔ 3x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = − .
                                                                           3
         x ∈ −∞, − 1 ∪ (1, +∞) ÕÓÙÑ f ′ (x) > 0¸ Òô
                      3                                  x ∈ −1, 1
                                                                3                                                                                               ÕÓÙÑ

f ′ (x)     < 0º ³ Ø× ¸ ÕÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓ Â ôÖ Ñ º ¸ f Ò    Ò ×Û
                                                                                                ÜÓÙ¹

×        ×Ø     ×Ø Ñ Ø    −∞, − 1 ¸ [1, +∞)¸
                                 3               Ò ×Û
 ÒÓÙ×  ×ØÓ                                                                                              ×Ø Ñ
 º ÌÓ          ôÖ Ñ    Ñ × 
 Ø Ñ 
                                                                                      ¿




 −1, 1
  3        º    Ô× 
¸ × Ñ         ÛÒ       Ñ        ØÓ    Ö Ø Ö Ó ÔÖôØ 
 Ô Ö               ô    ÓÙ¸ ×ØÓ × Ñ Ó         −1
                                                                                                                         3
 f Õ           ØÓÔ      Ñ     ×ØÓ

                                                               1            5
                                                     f     −           =      ,
                                                               3           27
      ×ØÓ × Ñ Ó       1     f     Õ       ØÓÔ             Ð Õ ×ØÓ



                                                          f (1) = −1.

ËØ            ×ÙÑÔ Ö ×Ñ Ø                  Ø     ØÓÔ              Ö Ø Ø            Ø Ð    ÓÙÑ            Ñ   ØÓ   ÖØ ÖÓ

  ÙØ Ö 
 Ô Ö           ô ÓÙ

                                                     f ′′ (x) = 6x − 2,
                                            1                      1
                               f ′′ −                =6 −                  − 2 = −4 < 0,
                                            3                      3
                                           f ′′ (1) = 6 · 1 − 2 = 4 > 0,
 Ö    ØÓ   f −1
              3         Ò     ØÓÔ           Ñ        ×ØÓ          ØÓ      f (1)    Ò    ØÓÔ         Ð Õ ×ØÓº



      ËØ Ò Ô Ö          ØÛ             Ò         Ò Ø              Ö             Ô Ö ×Ø ×       Ø 
   f




      ÌÓ       ÖØ ÖÓ         ÙØ Ö 
 Ô Ö                   ô ÓÙ         Ò Ó           ×      Ò Ò      ×ÙÑÔ Ö ×Ñ             Ò

f ′ (c) = 0           f ′′ (c) = 0º

È     Ö          Ñ          º½¾   ³    ×ØÛ       f        ×ÙÒ ÖØ ×           Ñ     Ø ÔÓ   f (x) = x4 º        ÌÓ   ÖØ ÖÓ

ÔÖôØ 
 Ô Ö            ô ÓÙ        ÕÒ        Ø ØÓ         f (0)    Ò       ØÓÔ          Ð Õ ×ØÓ ´        Ø Ò      Ö       ¸

ÓÐ         Ð Õ ×ØÓµ Ø 
           fº        ÒØ       Ø ¸ ØÓ           ÖØ ÖÓ         ÙØ Ö 
 Ô Ö           ô ÓÙ     Ò Ñ 


 Ò        Ñ    ÔÐ ÖÓ       ÓÖ º
    º ÌÓ       ôÖ Ñ             Ñ × 
 Ø Ñ 
                                                                                                         ¿




        ôÖ    Ñ               º½¿    ³       ×ØÛ     f    Ñ        ×ÙÒ      ÖØ      ×       ÓÔÓ          Ò      ×ÙÒ   Õ       
 ×ØÓ    [a, b)
Ô    Ö     Û   × Ñ            ×ØÓ    (a, b)      º       Ò ØÓ      limx→a+ f ′ (x)               ÙÔ      ÖÕ             Ò           ×ØÓ    R ¸ Ø   Ø


    f     Ò       Ô   Ö        Û    × Ñ             Ô         Ü        a
                                                                         ×ØÓ




                                                            ′
                                                           f+ (a) = lim f ′ (x) .
                                                                                 x→a+

    Ô          Ü           ÍÔÓ            ØÓÒØ 
            Ø



                                                               lim f ′ (x) = L ∈ R,
                                                           x→a+

Ó × ÓÔ 
 Ñ 
                    Ò        Ò           ÜÓÙÑ          Ø


                                                                     f (x) − f (a)
                                                           lim                     = L.
                                                          x→a+           x−a
    Ó      ÒØÓ
        Ò 
      ε > 0¸                Ð        ÓÙÑ           Ò       δ>0     Ø ØÓ Ó ô×Ø



                                              a < x < a + δ ⇒ f ′ (x) − L < ε.

    
      ÛÖ ×ÓÙÑ                  ØôÖ           Ò       x ∈ (a, a + δ)º                Ë Ñ          ÛÒ       Ñ   ØÓ ÂÅ̸ ÙÔ ÖÕ                    Ò

x∗      ∈ (a, x)       Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                                                 f (x) − f (a)
                                                          f ′ (x∗ ) =                          .
                                                                                     x−a
    ÔÓÑ ÒÛ


                                          f (x) − f (a)
                                                        − L = f ′ (x∗ ) − L < ε,
                                              x−a
     Ó     a < x∗ < a + δ º                           Ü Ñ          ÐÓ Ô Ò           Ø


                                                                                 f (x) − f (a)
                                     a<x<a+δ ⇒                                                 − L < ε.
                                                                                     x−a
                                f (x)−f (a)
³   Ø× ¸   limx→a+                  x−a               =L                         Ô       Ü       Ò    ÔÐ Ö 
º



        ôÖ    Ñ               º½     ³       ×ØÛ     f    Ñ        ×ÙÒ      ÖØ      ×       ÓÔÓ          Ò      ×ÙÒ   Õ       
 ×ØÓ    (a, b]
Ô    Ö     Û   × Ñ            ×ØÓ    (a, b)      º       Ò ØÓ      limx→b− f ′ (x)               ÙÔ   ÖÕ                Ò           ×ØÓ   R  ¸ Ø   Ø


    f     Ò       Ô   Ö        Û    × Ñ             Ô        Ö ×Ø      Ö   b   ×ØÓ




                                                            ′
                                                           f− (b) = lim f ′ (x) .
                                                                                 x→b−

    Ô          Ü           ³    ×     × º



        ôÖ    Ñ               º½     ´   Darbouxµ                   ³   ×ØÛ         f   Ñ   ×ÙÒ       ÖØ      ×      ÓÔÓ           Ò   Ô   Ö     Û¹


    × Ñ       ×       Ò             ×Ø      IÑ       º   Ì     Ø        f′          Õ   Ø   Ò   Á    Ì    Ô    ÒÛ   ×ØÓ     I   º
 º ÌÓ              ôÖ Ñ             Ñ × 
 Ø Ñ 
                                                                                         ¿




     Ô             Ü        ³       ×ØÛ   a, b ∈ I Ñ a < bº Ç × ÓÔ 
 Ñ 
 Ò Ò    ÜÓÙÑ   Ø    Ò ØÓ

k    Ò            Ò Ñ ×            ×Ø     f ′ (a)   f ′ (b)¸ Ø Ø k = f ′ (c) ÔÓ Ó c ∈ (a, b)º Â

ÙÔÓ          ×ÓÙÑ               Ø    f ′ (a) < k < f ′ (b)¸ Ó ×Ø Ò Ô ÖÔØÛ× f ′ (a) > k > f ′ (b)
     Ô             Ü       Ò        Ô Ö ÑÓ             º       Ô


                                                            f (a + h) − f (a)
                                                  lim                         = f ′ (a) < k
                                              h→0+                  h

                                f (b) − f (b − h)       f (b − h) − f (b)
                   lim                            = lim                   = f ′ (b) > k,
               h→0+                     h          h→0+        −h
ÑÔÓÖÓ Ñ                Ò            Ð ÜÓÙÑ              Ò       h0 ∈ (0, b − a)            Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                     f (a + h0 ) − f (a)     f (b) − f (b − h0 )
                                                         <k<                     .
                                             h0                      h0
 ÛÖÓ Ñ                ØôÖ           Ø    ×ÙÒ ÖØ ×                  F : [a, b − h0 ] −→ R                  Ñ   Ø ÔÓ


                                                                      f (x + h0 ) − f (x)
                                                       F (x) =                            .
                                                                              h0
À    F        Ò       ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                     [a, b − h0 ]¸              Ó         f     Ò       ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ       Iº    Ô× 
¸

 ÕÓÙÑ


                                f (a + h0 ) − f (a)                                                    f (b) − f (b − h0 )
             F (a) =                                ,                         F (b − h0 ) =                                ,
                                        h0                                                                     h0
          Ö

                                                            F (a) < k < F (b − h0 ) .
Ç        Ò× Ø Ø 
                   ÙØ 
 ×ÙÒ Ô                  ÓÒØ        ´Õ Ö       ×ØÓ        ôÖ Ñ          Ò   Ñ ×ÛÒ Ø ÑôÒµ Ø Ò

 Ô ÖÜ              Ò 
      t ∈ (a, b − h0 )                    Ø ØÓ ÓÙ ô×Ø           F (t) = k¸               Ð


                                                             f (t + h0 ) − f (t)
                                                                                 = k.
                                                                     h0
Ì ÐÓ
¸ × Ñ                 ÛÒ           ØôÖ        Ñ    ØÓ ÂÅ̸ ÙÔ ÖÕ                       Ò    c ∈ (t, t + h0 )      Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                                    f (t + h0 ) − f (t)
                                                   f ′ (c) =                            = k,
                                                                            h0
      Ø×               Ô            Ü        Ò    ÔÐ Ö 
º



         ÅÔÓÖ  Ñ                   ×ÙÒ ÖØ ×                f   Ò     Ò    Ô Ö        Û       × Ñ    ×       Ò      ×Ø Ñ    I¸   ÐÐ

f′   Ò       Ñ Ò       Ò           ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                 I

È        Ö                 Ñ            º½        À ×ÙÒ ÖØ ×


                                                                                  1
                                                                       x2    Ñ
                                                                                  x        Ò    x = 0,
                                                   f (x) =
                                                                       0                   Ò    x=0
    º ÂÅÌ ØÓÙ                  Cauchy                            Ò Ò 
         L’Hospital                                                                     ¿




 Ò        Ô Ö             Û   × Ñ             ×ØÓ     R    Ñ       Ô Ö        Û        Ó

                                                                                    1          1
                                                ′
                                                                      2x        Ñ
                                                                                    x    − ×ÙÒ x                 Ò    x = 0,
                                            f (x) =
                                                                      0                                          Ò    x = 0.
À    f′        ÑÛ
             Ò       Ò       ×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ                    0¸         Ó       ØÓ       limx→0 f ′ (x)                  Ò ÙÔ ÖÕ     º




           ÂÅÌ ØÓÙ Cauchy                                                                                  Ò Ò 
 L’Hospital
ÌÓ ÂÅÌ Ó                       Ð Ø                 ×ØÓÒ     Lagrange¸                   ×ÙÒ Ôô
                      Ø Ò Ô Ó ×Û×Ø                Ò    Ð      Ø

ÂÅÌ ØÓÙ                        Lagrangeº                    ÌÓ            ôÖ Ñ                ÙØ           Õ     Ø Ò              ÐÓÙ            Ò    Ù×



     ôÖ           Ñ           º½ ´ÂÅÌ ØÓÙ                                Cauchyµ                  ³   ×ØÛ       f, g          Ó ×ÙÒ        ÖØ   ×    
 Ó   ÓÔÓ¹


 
        Ò       ×ÙÒ         Õ   
       ×ØÓ      [a, b]                Ô    Ö        Û    × Ñ         
    ×ØÓ  (a, b)       º    Ì    Ø    ÙÔ   ÖÕ      Ò


c ∈ (a, b)             Ø   ØÓ Ó        ô×Ø




                                        f ′ (c) [g (b) − g (a)] = g′ (c) [f (b) − f (a)] .
ÌÓ        ÂÅÌ ØÓÙ                  Lagrange                 Ò                           Ô    ÖÔØÛ×             g (x) = x            º℄




     Ô             Ü                    ÖÑ ÞÓÙÑ                  ØÓ        ôÖ Ñ               ØÓÙ      Rolle      ×Ø          ×ÙÒ ÖØ ×


                               F (x) = f (x) [g (b) − g (a)] − g (x) [f (b) − f (a)] .

Ç     Ð ÔØÓÑ Ö                     
            ÒÓÒØ          Û
          ×         × º



     ôÖ           Ñ           º¾ ´                 Ò   Ò     
      L’Hospitalµ                       ³    ×ØÛ       Ø




                       lim f (x) = lim g (x) = 0                                                                  lim g (x) = ±∞,
                       x→a+                             x→a+                                                     x→a+


                                                                               f ′ (x)
                                                                     lim               = L ∈ R.
                                                                 x→a+          g′ (x)
Ì     Ø

                                                                                    f (x)
                                                                       lim                = L.
                                                                      x→a+          g (x)
´Ç             Ò   Ò   
       ×Õ                        Òx → a+
                                                             ØÓ                               ÒØ            Ø   ×Ø           Ô   ÒØÓ        Ñ    x → a−
x→a                x → +∞                           x → −∞            ºµ




     Ô             Ü           ËØ Ò                     ôÒ ×          ØÓÙ            ÛÖ Ñ ØÓ
 ÙÔÓ                         ØÓÙÑ         × ÛÔ Ö          Ø    Ô ÒÛ

×          ÔÓ Ó                ×Ø Ñ             (a, s)¸          Ó    f, g          Ò        Ô Ö           Û   × Ñ 
     g′ (x) = 0º Ö 
Ò          ÜÓÙÑ               Ø            Ò       Ò 
 ÔÖ            Ñ Ø            
        Ö        Ñ    
 M        ÒÓÔÓ  M > L ´ Òغ
                                                                                                             f (x)              f (x)
M < Lµ¸ Ø Ø ÙÔ ÖÕ Ò b > a Ø ØÓ Ó ô×Ø                                                                         g(x) < M      Òغ
                                                                                                                                g(x) > M ℄
    x ∈ (a, b)º ³ ×ØÛ ÐÓ Ô Ò Ø M > Lº                                                                         Ð    ÓÙÑ   Ò  M1 ∈ (L, M )
Ò c ∈ (a, s) Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                    f ′ (x)
                                                            < M1                                           x ∈ (a, c) .
                                                    g′ (x)
    º ÂÅÌ ØÓÙ              Cauchy                 Ò Ò 
         L’Hospital                                                                ¼




ÌôÖ            Ü Ø ÞÓÙÑ             Ô Ö ÔØô×       
º



È        ÖÔØÛ×                ½    limx→a+ f (x) = limx→a+ g (x) = 0º                             É Ö          ×ØÓ          ôÖ Ñ    ØÓÙ

Rolle¸ Ò                 ÔÖÓ       Ò 
    Ø   ÙÔ ÖÕ            ØÓ ÔÓÐ           Ò       × Ñ Ó ØÓÙ     (a, s)              ×ØÓ ÓÔÓÓ

g Ñ ÒÞ               Ø    º       ÔÓÑ ÒÛ
 ÑÔÓÖÓ Ñ               Ò          Ð ÜÓÙÑ             Ò    b ∈ (a, c)              Ø ØÓ Ó ô×Ø

  g ÒÑ                     ÒÞ Ø      ×        Ò Ò      × Ñ Ó ØÓÙ           (a, b)º ³ ×ØÛ ØôÖ                          Ø    x ∈ (a, b)º
Ë Ñ       ÛÒ          Ñ    ØÓ ÂÅÌ ØÓÙ            Cauchy¸                       t ∈ (a, x) ÙÔ ÖÕ                          Ò    u ∈ (t, x)
Ø ØÓ Ó ô×Ø
                                            f (x) − f (t)  f ′ (u)
                                                          = ′      < M1 ,
                                            g (x) − g (t)  g (u)
ÓÔ Ø
                                     f (x)       f (x) − f (t)
                                           = lim               ≤ M1 < M.
                                     g (x) t→a+ g (x) − g (t)

È        ÖÔØÛ×                ¾    limx→a+ g (x) = +∞º                              Ð     ÓÙÑ          Ò       c1 ∈ (a, c)        Ø ØÓ Ó

ô×Ø

                                g (x) > max {g (c) , 0}                                    x ∈ (a, c1 ) .
³    Ø× ¸ ÕÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓ ÂÅÌ ØÓÙ                                 Cauchy¸             ÕÓÙÑ


                                    f (x) − f (c)
                                                  < M1                                    x ∈ (a, c1 ) .
                                    g (x) − g (c)
                                                                                     g(x)−g(c)
    Ò ÔÓÐÐ ÔÐ ×                    ×ÓÙÑ    Ø Ò    Ò× Ø Ø              ÙØ     Ñ
                                                                                        g(x) ¸          Ô ÖÒÓÙÑ



                          f (x)        f (c) − M1 g (c)
                                < M1 +                                                             x ∈ (a, c1 ) .
                          g (x)              g (x)
ÌÓ             Ø ÖÓ Ñ ÐÓ
 Ø 
 Ø Ð ÙØ  
                         Ò × Ø Ø 
 Ø Ò                ×ØÓ       M1              ô
   x → a+ º
                                                                                                             f (x)
³    Ö    ´      Ó        M1 < M µ        ÙÔ ÖÕ         Ò       b ∈ (a, c1 )         Ø ØÓ Ó ô×Ø
                                                                                                             g(x)       <M
x ∈ (a, b)º

È        ÖÔØÛ×                ¿    limx→a+ g (x) = −∞º                      ÔÕ          Ö Ñ ØÓÐÓ ôÒØ 
 Ô Ö ÑÓ                        Ñ

Ø Ò È ÖÔØÛ×                   ¾¸    Ò          ÓÐÓ Ò          Ó Ñ        Ø Ô Ð         ÙÔ ÖÕ              Ò    b ∈ (a, c1 )      Ø ØÓ Ó
              f (x)
ô×Ø
              g(x)    <M                       x ∈ (a, b)º

          ÔÓÑ Ò            ØôÖ       Ò      ÜÓÙÑ           Ø     Ò   M < L¸             Ø Ø   ÙÔ ÖÕ                Ò    b>a       Ø ØÓ Ó
              f (x)
ô×Ø
              g(x)    >M                       x ∈ (a, b)º            ÙØ    ÑÔÓÖ  Ò               Ò       Ñ       Ò Ò ×ÙÐÐÓ        ×Ñ

Ô Ö ÑÓ Ó Ñ                ØÓÒ ÔÖÓ          Ó Ñ ÒÓº Ç            Ð ÔØÓÑ Ö             
         ÒÓÒØ          Û
      ×       × º


                                                                                                                                    f (x)
         ËØ Ò ÔÖ Ü              Ó     Ò Ò 
      L’Hospital                ÖÑ Þ Ø           Û
      Ü 
             Ò ØÓ    limx→λ  g(x)
                                                                           0 ∞                                  ∞                  +∞
    Ò    Ñ          Ô    Ø
       ÔÖÓ×       Ö ×Ø 
 ÑÓÖ             

                                                                           0, ∞      ´ ÔÓÙ Ñ            ØÓ
                                                                                                                ∞    ÒÒÓÓ Ñ
                                                                                                                                   +∞
+∞             −∞          −∞
−∞             +∞          −∞ µ¸     Ø Ø


                                                     f (x)       f ′ (x)
                                                 lim       = lim ′       ,
                                                 x→λ g (x)   x→λ g (x)
    º ÂÅÌ ØÓÙ             Cauchy                      Ò Ò 
         L’Hospital                                                                ½




ÙÔ       Ø Ò ÔÖÓÔ                     ×    Ø    ØÓ Ø Ð ÙØ Ó               Ö Ó ÙÔ ÖÕ             º    ´ÌÓ     λ   ÑÔÓÖ  Ò     Ò        a¸
a+ ¸ a− ¸ +∞                      −∞¸       ÔÓÙ      a ∈ Rºµ
                                                                                        Ñx
È        Ö              Ñ          º¿      ÌÓ     ÒÛ×Ø              ÖÓ    limx→0        x     ÑÔÓÖ  Ò             ÙÔÓÐÓ    ×Ø  ÔÓÐ

         ÓÐ    Ñ        ØÓÒ        Ò Ò      L’Hospital

                                   Ñ   x        0       ( Ñ x)′      ×ÙÒ x
                         lim               =      = lim          lim
                                                             ′ = x→0       = ×ÙÒ 0 = 1.
                        x→0        x            0 x→0 (x)              1

    ÌÓ ÔÖ          Ð Ñ                      Ò           Ø   Ó Ø ÔÓ
       (   Ñ   x)′ =      ×ÙÒ     x      ×Þ Ø        ×ØÓ   Ò Ð       Û

    Ö Óº℄ ÇÑÓÛ
                            Ø     Ö


                                   ×ÙÒ     x−1                        ex − 1                      ln (1 + x)
                          lim                  ,                  lim        ,                lim            .
                         x→0               x                      x→0    x                    x→0      x
È        Ö              Ñ          º       ËØÓÒ Ô Ö                ØÛ ÙÔÓÐÓ          ×Ñ       Ó        Ò Ò 
       L’Hospital             Ö¹

Ñ Þ Ø               Ó       ÓÖ 




                ex − x − 1  0      (ex − x − 1)′        ex − 1      0
              lim   x−x
                           = = lim                lim
                                              ′ = x→0 x           =
             x→0 xe         0 x→0 (xex − x)           e + xex − 1   0
                           (ex − 1)′               ex              1    1
               = lim                  ′ = lim x    x + xex
                                                           = lim       = .
                    x→0 (ex + xex − 1)    x→0 e + e          x→0 2 + x  2

È        Ö              Ñ          º       ËØÓÒ       Ô Ñ ÒÓ ÙÔÓÐÓ                 ×Ñ     Ó           Ò Ò 
    L’Hospital            ÖÑ ¹

Þ Ø          ØÖ     
    ÓÖ 



                                                                     ′                                                          ′
                  x3  ∞       x3          3x2   ∞       3x2
              lim x =   = lim       = lim     =   = lim
             x→+∞ e   ∞ x→+∞ (ex )′  x→+∞ ex    ∞ x→+∞ (ex )′
                                        6x   ∞       (6x)′        6
                                  = lim    =   = lim        = lim x = 0.
                                   x→+∞ ex   ∞  x→+∞ (ex )′  x→+∞ e


È        Ö              Ñ          º        Ò       ×        
     Ø


                                                                 x + 17
                                                              lim       = 4,
                                                             x→3 x + 2

                                                                                    0       ∞
             Ù×             ô          Ò ÙÔ ÖÕ               ÔÖÓ×        ÓÖ ×Ø
                                                                                    0       ∞º            Ò ×Ø Ò Ô ÖÔØÛ×                ÙØ

         ÖÑ ×ÓÙÑ              ´    Ø ÕÖ ×Ø               µ ØÓÒ           Ò Ò       L’Hospital¸            ØÓ       ÔÓØ Ð ×Ñ         Ò    Ó

Ô Ö            ØÛ Ð Ò             ×Ñ ÒÓ
 ÙÔÓÐÓ                ×Ñ 




                                       x + 17       (x + 17)′       1
                                   lim        = lim             lim = 1.
                                                            ′ = x→3
                                   x→3 x + 2    x→3 (x + 2)         1

³    Ö            Ø Ò             ÖÑÓ          ØÓÙ           Ò Ò ¸         Ô ÖÜ         ÔÖÓ×          ÓÖ ×Ø 
       Ò     Ô Ö Ø Ø

ÔÖÓÔ               × º
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                                      
                                                                                                          ¾




È           Ö           Ñ                º           ÉÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓÒ                                Ò Ò         L’Hospital¸               ÕÓÙÑ


                                         1                              1                    ′
                        x2           Ñ
                                         x               0       x2 Ñ x                                                         1       1
                 lim                             =         = lim                                 = lim               2x     Ñ     − ×ÙÒ                .
                x→0              x                       0 x→0     (x)′                                x→0                      x       x
                                                                                                                    1                                    1
ÌÓ Ø Ð ÙØ Ó                     ÖÓ              Ò ÙÔ ÖÕ              ´        Ó    limx→0 2x                   Ñ
                                                                                                                    x   =0      ÐÐ       ØÓ   limx→0 ×ÙÒ x
        Ò ÙÔ ÖÕ         µº ³ÇÑÛ
¸


                                                                               1
                                                                   x2      Ñ
                                                                               x                            1
                                                             lim                    = lim x             Ñ     = 0.
                                                          x→0           x             x→0                   x
³       ×       ×        º               ÔÓ           ÜØ       Ø
             ÐÓÙ       
 × Ø Ø 



                                 1
         i limx→0
        ´ µ
                                 x   − ×Ø             Ñ      x = 0º
                                       x3
    ´   iiµ limx→+∞                  (ln x)4
                                                      = +∞º

    ´iiiµ limx→0+ xx = 1º

    ´   ivµ limx→0 (1 +                          Ñ   3x)×        4x
                                                                      = e3/4 º

    ´ µ v limx→+∞ (ex + 2x)5/x = e5 º


½¼ ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ × 

    Ò       {a1 , . . . , an } ⊆ R                       ´ ÔÓÙ        n ≥ 1                  Ø         a1 , . . . , an          Ò    Ò            Ø       Ò

            ÓÖ Ø        Ñ Ø Ü                    ØÓÙ
µ¸ Ø Ø                    ÙÖØ       
       ×ÙÒ        Ù        ×Ñ     
   ØÛÒ      a1 , . . . , an       Ò

    Ò           ÖÓ ×Ñ

                                                                      λ1 a1 + · · · + λn an
Ñ

                             {λ1 , . . . , λn } ⊆ R+
                                                   0                                                   λ1 + · · · + λn = 1.
ËØÓÒ ÓÖ ×Ñ                       ÙØ Ò ÑÔÓÖÓ Ñ                             Ù×         Ò           ÒØ         Ø ×Ø ×ÓÙÑ               ØÓ   R+
                                                                                                                                          0    Ñ       [0, 1]º

        ôÖ      Ñ      ½¼º½                 ³        {a1 , . . . , an } ⊆ R
                                                     ×ØÛ                                         º    Ì     Ø       ØÓ ×    ÒÓÐÓ     ÐÛÒ ØÛÒ               ÙÖØôÒ


×ÙÒ         Ù   ×ÑôÒ        ØÛÒ          a1 , . . . , an              Ò       ØÓ    Ð   ×Ø                 ×Ø          Ñ   [m, M ]      Ñ         Ö




                                                     m := min ai ,                           M := max ai .
                                                                   1≤i≤n                                    1≤i≤n

        Ô           Ü        ³    ×ØÛ                Ø       {λ1 , . . . , λn } ⊆ [0, 1]                        λ1 + · · · + λn = 1º                   ÈÖÓ×         ¹

ØÓÒØ 
              Ø    Ñ Ð             Ø
              Ò× Ø Ø 




                                                     λi m ≤ λi ai ≤ λi M,                             i = 1, . . . , n,

Ô ÖÒÓÙÑ

                                                             m ≤ λ1 a1 + · · · + λn an ≤ M,
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                                 
                                                                                          ¿




        Ð            Ó       ÙÖØ 
 ×ÙÒ Ù ×Ñ 
                     λ1 a1 + · · · + λn an               Ò         ×ØÓ    [m, M ]º

                ÒØ×ØÖÓ              ¸             ÜÓÙÑ           Ø       Ò   ÓÔÓ Ó       ÔÓØ       xÑ     ×     ×ØÓ        ×Ø Ñ    [m, M ]
    Ò                           a1 , . . . , an º À Ô ÖÔØÛ× m = M Ò
                ÙÖØ 
 ×ÙÒ Ù ×Ñ 
 ØÛÒ                                                                                           Ø ØÖ ÑÑ Ò

´           Ó     x = a1 = 1a1 + 0a2 + · · · + 0an µ¸ Ö ÑÔÓÖÓ Ñ Ò
                 Ø Ø                                                                                                          ÙÔÓ     ×ÓÙÑ

    Ø       m < Mº    Ð  ÓÙÑ p, q ∈ {1, . . . , n} Ø ØÓ     ô×Ø m = ap                                                              M = aq º
 ØÓÒØ 

                                                                M −x                                x−m
                                                   λp :=             ,                 λq :=
                                                                M −m                                M −m

                                         λi := 0                               i ∈ {1, . . . , n} − {p, q} ,
    ÕÓÙÑ

                                                                {λ1 , . . . , λn } ⊆ [0, 1] ,
                                                                                      M −x   x−m
                                 λ1 + · · · + λn = λp + λq =                               +     = 1,
                                                                                      M −m M −m

                                                   λ1 a1 + · · · + λn an = λp ap + λq aq
                                                        M −x                          x−m
                                              =                            m+                            M = x.
                                                        M −m                          M −m

³    Ø× ¸ ØÓ             x    Ò             ÙÖØ 
 ×ÙÒ Ù ×Ñ 
 ØÛÒ                      a1 , . . . , an º

È           Ö    Ø       Ö    ×          ½¼º¾       ³   ×ØÛ       a, b ∈ Rº à                      ÙÖØ 
 ×ÙÒ Ù ×Ñ 
 ØÛÒ             a, b   Õ

Ø        ÑÓÖ             λa + (1 − λ) b                 Ñ       λ ∈ [0, 1]º ³ Ø× ¸         × Ñ       ÛÒ     Ñ     ØÓ Â ôÖ Ñ         ½¼º½¸ ØÓ

× ÒÓÐÓ

                                                        {λa + (1 − λ) b : λ ∈ [0, 1]}
    Ò          ØÓ       Ð    ×Ø              ×Ø Ñ          Ñ          Ö   a         bº        Ò   a = b¸   Ø Ø     ØÓ × ÒÓÐÓ



                                                        {λa + (1 − λ) b : λ ∈ (0, 1)}

    Ò          ØÓ       ÒÓ      Ø            ×Ø Ñ          Ñ          Ö   a          bº


            ³   ×ØÛ      f Ñ ×ÙÒ                   ÖØ ×           ÓÔÓ         ÓÖÞ Ø          ×     Ò          ×Ø Ñ    Iº     Ò

a, b ∈ I             Ñ    a=b                               λ ∈ (0, 1)             ÕÓÙÑ



                                         f (λa + (1 − λ) b) ≤ λf (a) + (1 − λ) f (b) ,

Ø Ø             Ð Ñ          Ø       f        Ò        ÙÖØ            ´Ô ÒÛµ ×ØÓ          Iº      ´Á×Ó     Ò Ñ ¸        ÑÔÓÖÓ × Ñ         Ò

    Ô       Ø ×ÓÙÑ                   Ô Ö Ô ÒÛ               Ò× Ø Ø             Ò     ×Õ              ÓÔÓ          ÔÓØ    × Ñ  a, b ∈ I ¸
    Õ            Ø       Ò                         ÓÖ Ø           Ñ Ø Ü            ØÓÙ
¸           ÓÔÓ Ó     ÔÓØ     λ ∈ [0, 1]ºµ    Û¹

Ñ ØÖ                     ÙØ      × Ñ Ò                 Ø   ØÓ      Ö          Ñ    Ø 
    f       Ò Ñ ×     ×ØÓ    A (a, f (a))     ØÓ

B (b, f (b))                     Ò       Õ          Ò Ò         × Ñ Ó Ô ÒÛ            Ô       Ø    ÕÓÖ      AB
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                     





          Ò ×ØÓÒ ÔÖÓ               Ó Ñ ÒÓ ÓÖ ×Ñ                     Ô   Ø ×ÓÙÑ           Ù×Ø Ö       Ò× Ø Ø ¸ Ø Ø     Ô Ö¹

ÒÓÙÑ       Ø Ò         ÒÒÓ        Ø 
     Ò ×           
 ´     Ù×Ø Ö 
µ              ÙÖØ Ø Ø 
º Å        ÐÐ    Ð   ¸    f
 Ò       ×Û
               ÙÖØ     ×ØÓ     I       Ò                       a, b ∈ I    Ñ   a=b                 λ ∈ (0, 1)
ÕÓÙÑ

                              f (λa + (1 − λ) b) < λf (a) + (1 − λ) f (b) .

È     Ö    Ø       Ö    ×     ½¼º¿          Ò          ÔÖÓ     Ò 
         Ø   ×ØÓÙ
 Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ ×ÑÓ 
 Ø 
             ÙÖ¹

Ø 
            Ø 
          Ò ×Û
      ÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ × 
¸                         ÒØ        a = b        ÑÔÓÖÓ × Ñ      Ò

 Ö ÝÓÙÑ            a < bº           Ð



     i
  ´ µ À        f       Ò         ÙÖØ   ×ØÓ         I     Ò         Ñ ÒÓÒ         a, b ∈ I Ñ a < b
                                                                                  Ò

                       λ ∈ (0, 1)       ÕÓÙÑ            f (λa + (1 − λ) b) ≤ λf (a) + (1 − λ) f (b)º

 ´  iiµ   À    f       Ò     Ò ×Û
            ÙÖØ      ×ØÓ    I Ò      Ñ ÒÓÒ Ò           a, b ∈ I Ñ a < b
                             λ ∈ (0, 1)          ÕÓÙÑ          f (λa + (1 − λ) b) < λf (a) + (1 − λ) f (b)º

      Ç    ÓÖ ×ÑÓ Ø 
              ÓÐ         
             Ø 
       Ò    ×Û
        ÓÐ   
   ×ÙÒ ÖØ × 
 ´Ô ÒÛ ×

     ×Ø Ñ µ            Ò     ÔÛ
 Ø 
            ÙÖØ 
              Ø 
         Ò ×Û
      ÙÖØ 
¸   ÐÐ   Ñ    Ø
   ÒØ×ØÓ ¹

Õ 
       Ò× Ø Ø 
            ÒØ ×ØÖ ÑÑ Ò 
º
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                                       





Á×Ó          Ò Ñ ¸              f    Ò               ÓÐ             ´ Òغ          Ò ×Û
             ÓÐ µ ×ØÓ              I        Ò         Ñ ÒÓÒ            Ò       −f
    Ò           ÙÖØ       ´ Òغ          Ò ×Û
                      ÙÖØ µ ×ØÓ               Iº

È        Ö                 Ñ        ½¼º               ³       ×ØÛ    m, c ∈ Rº Ò     ÓÐÓ Ò                                                  Ó Ñ          Ø       Ô ÒÛ ×

ÓÔÓ Ó             ÔÓØ               ×Ø Ñ ¸                        ×ÙÒ ÖØ ×  f (x) = mx + c Ò                                                    ÙÖØ          ´ ÐÐ             Õ

    Ò ×Û
                ÙÖØ µ               Ø ÙØÓÕÖ ÒÛ
                            ÓÐ          ´ ÐÐ         Õ           Ò ×Û
            ÓÐ µº


È        Ö                 Ñ        ½¼º                       ÜØ           Ø        ×ÙÒ ÖØ ×                 f (x) = x2                    Ò        Ò ×Û
           ÙÖØ

Ô ÒÛ ×ØÓ                  Rº
Ä        ×            ³   ×ØÛ       a, b ∈ R                  Ñ       a = b¸                      ×ØÛ       λ ∈ (0, 1)º                à ÒÓÒØ 
               Ð        Ö       


ÔÖ Ü             
 ÖÓÙØÒ 
¸              Ð ÔÓÙÑ                       Ø


                      f (λa + (1 − λ) b) < λf (a) + (1 − λ) f (b) ⇔ (a − b)2 > 0,
             Ö             Ò× Ø Ø


                                         f (λa + (1 − λ) b) < λf (a) + (1 − λ) f (b)
    ×Õ       º


                                                                                                                       1
³    ×           ×         ½¼º                ÜØ                 Ø         ×ÙÒ ÖØ ×                   f (x) =         x        Ò           Ò ×Û
           ÙÖØ          ×ØÓ

(0, +∞)                         Ò ×Û
                    ÓÐ         ×ØÓ       (−∞, 0)º

        ôÖ          Ñ         ½¼º        ´       Ò ×             Ø Ø        Jensenµ                    ³    ×ØÛ       f   Ñ            ÙÖØ       ×ÙÒ         ÖØ   ×       Ô   ¹


ÒÛ ×              Ò            ×Ø    Ñ        I   º           Ò   a1 , . . . , an n ≥ 2   ´             µ     Ò       ×    Ñ          ØÓÙ      I        λ1 , . . . , λn
    Ò       Ñ            ÖÒ   Ø     Ó ÔÖ                Ñ       Ø    Ó       Ö    ÑÓ Ñ                  Ö Ó ×Ñ         1¸      Ø    Ø




                               f (λ1 a1 + · · · + λn an ) ≤ λ1 f (a1 ) + · · · + λn f (an ) .
´        Ò       f        Ò        Ò    ×Û
                 ÙÖØ       ¸   Ø        ai        Ò       Ò         Ð    ×       Ñ       Ø   Ü     ØÓÙ
¸                Ø    λi
    Ò            Ø       Ó    Ö    ÑÓ Ñ                        Ö Ó ×Ñ            1¸    Ø   Ø             Ò ×    Ø   Ø           Ò        Ù×Ø      Ö   ºµ




     Ô                Ü         Ã Ø           ÖÕ 
 Ô Ö Ø ÖÓ Ñ                                      Ø        Ò Ø        ai               λi       Ò       ÔÛ
 Ô Ö ¹

Ô ÒÛ¸ Ø Ø        λ1 a1 + · · · + λn an ∈ I ´× Ñ ÛÒ Ñ ØÓ Â ôÖ Ñ ½¼º½µ                 Ö

ØÓ f (λ1 a1 + · · · + λn an ) ÓÖÞ Ø º  ÕÖ × ÑÓÔÓ ×ÓÙÑ Ô Û ×ØÓ nº À
Ô ÖÔØÛ×        n = 2 Ò ÓÙ× ×Ø           Ó ÓÖ ×Ñ 
 Ø 
         ÙÖØ Ø Ø 
º ÍÔÓ   ØÓÒØ 


ØôÖ        Ø ØÓ    ÔÓ    Ø Ó ×Õ             ÔÓ Ó n ≥ 2¸        
   ÛÖ ×ÓÙÑ   Ò  × ÒÓÐÓ
                                                                            n+1
{a1 , . . . , an+1 } ⊆ I        Ò   × ÒÓÐÓ {λ1 , . . . , λn+1 } ⊆ [0, 1] Ñ
                                                                            i=1 λi = 1º
Ç ×Ø ÕÓ
 Ñ 
                        Ò                    Ò× Ø Ø

                                                                      n+1                          n+1
                                                              f             λi ai             ≤             λi f (ai ) .
                                                                      i=1                          i=1

³    ×ØÛ         κ := n λi º
                       i=1                        À Ô ÖÔØÛ×                         κ=0               Ò      Ø ØÖ ÑÑ Ò ¸                           ÙØ            ÙÔÓ         ¹

×ÓÙÑ              Ø κ > 0º Ô

                                                              n                           n
                                                                      λi   1                                1
                                                                         =                    λi =            · κ = 1,
                                                                      κ    κ                                κ
                                                          i=1                         i=1
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                               





     Ô        Û          ÙÔ           ×           Ò


                                          n                                  n                                    n
                                                  λi ai                          λi f (ai )   1
                              f                                    ≤                        =                             λi f (ai ) .
                                                   κ                                 κ        κ
                                      i=1                                i=1                                  i=1

    ÔÓÑ ÒÛ



                                          n+1                                             n
                                                                                               λi ai
                              f                       λi ai         =f            κ                  + λn+1 an+1
                                                                                                κ
                                          i=1                                         i=1
                                                                    n
                                                                         λi ai
                                              ≤ κf                                        + λn+1 f (an+1 )
                                                                          κ
                                                                   i=1
                                          n                                                               n+1
                              ≤               λi f (ai ) + λn+1 f (an+1 ) =                                               λi f (ai ) .
                                      i=1                                                                 i=1




     ôÖ          Ñ     ½¼º           ³       ×ØÛ         f   Ñ          ÙÖØ          ×ÙÒ       ÖØ   ×        Ô   ÒÛ ×             Ò        ×Ø   Ñ   I   ¸


    ×ØÛ      a, b, c    ØÖ       ×   Ñ              ØÓÙ     I    Ø    ØÓ           ô×Ø       a<b<c                  º    Ì   Ø




                              f (b) − f (a)   f (c) − f (a)   f (c) − f (b)
                                            ≤               ≤               .
                                  b−a             c−a             c−b
´    Ò        f    Ò         Ò   ×Û
                ÙÖØ      ¸    Ó        Ò ×      Ø    Ø   
     ÙØ   
       Ò           Ù×Ø     Ö   
ºµ




    Ô             Ü      ÌÓ               ôÖ Ñ                Ò             ÛÑ ØÖ                 ÔÖÓ        Ò 





         Ò    ØÓ       ÔÓ     ÜÓÙÑ                   Ð        Ö         ¸       Ö        ÓÙÑ



                                                                   b = λa + (1 − λ) c,
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                              





    ÔÓÙ        λ ∈ (0, 1)º      ³       Ø× ¸


          f (b) − f (a)   f (λa + (1 − λ) c) − f (a)   f (λa + (1 − λ) c) − f (a)
                        =                            =
              b−a             λa + (1 − λ) c − a            (1 − λ) (c − a)
               λf (a) + (1 − λ) f (c) − f (a)   (1 − λ) [f (c) − f (a)]   f (c) − f (a)
        ≤                                     =                         =
                      (1 − λ) (c − a)              (1 − λ) (c − a)            c−a


          f (c) − f (b)   f (c) − f (λa + (1 − λ) c)   f (c) − f (λa + (1 − λ) c)
                        =                            =
              c−b             c − λa − (1 − λ) c                λ (c − a)
                 f (c) − [λf (a) + (1 − λ) f (c)]   λ [f (c) − f (a)]   f (c) − f (a)
             ≥                                    =                   =               .
                            λ (c − a)                   λ (c − a)           c−a



³       ×        ×       ½¼º        ³       ×ØÛ      f   Ñ        ×ÙÒ ÖØ ×             ÓÔÓ    ÓÖÞ Ø        ×    Ò          ×Ø Ñ     Iº
         ÜØ         Ø   Ó          ÐÓÙ          
 ×ÙÒ                   
   Ò   ×Ó      Ò Ñ 




         i
        ´ µ À     f      Ò     ÙÖØ              ×ØÓ     Iº
                                                                                           f (b)−f (a)       f (c)−f (a)
    ´   iiµ                    a, b, c ∈ I               Ñ       a < b < c¸       ÕÓÙÑ
                                                                                               b−a       ≤       c−a     º


                                                                                           f (c)−f (a)       f (c)−f (b)
    ´   iiiµ                   a, b, c ∈ I               Ñ       a < b < c¸       ÕÓÙÑ
                                                                                               c−a       ≤       c−b     º


                                                                                           f (b)−f (a)       f (c)−f (b)
    ´   ivµ                    a, b, c ∈ I               Ñ       a < b < c¸       ÕÓÙÑ
                                                                                               b−a       ≤       c−b     º



³       ×        ×       ½¼º½¼          ³       ×ØÛ      f   Ñ       ×ÙÒ ÖØ ×           ÓÔÓ   ÓÖÞ Ø        ×    Ò          ×Ø Ñ     Iº
         ÜØ         Ø   Ó          ÐÓÙ          
 ×ÙÒ                   
   Ò   ×Ó      Ò Ñ 




         i
        ´ µ À     f      Ò     Ò ×Û
                   ÙÖØ         ×ØÓ     Iº
                                                                                           f (b)−f (a)       f (c)−f (a)
    ´   iiµ                    a, b, c ∈ I               Ñ       a < b < c¸       ÕÓÙÑ
                                                                                               b−a       <       c−a     º


                                                                                           f (c)−f (a)       f (c)−f (b)
    ´   iiiµ                   a, b, c ∈ I               Ñ       a < b < c¸       ÕÓÙÑ
                                                                                               c−a       <       c−b     º


                                                                                           f (b)−f (a)       f (c)−f (b)
    ´   ivµ                    a, b, c ∈ I               Ñ       a < b < c¸       ÕÓÙÑ
                                                                                               b−a       <       c−b     º



         ôÖ      Ñ          ½¼º½½          ³    ×ØÛ  f          Ñ    ×ÙÒ Õ       
 ×ÙÒ   ÖØ   ×   Ô   ÒÛ ×       Ò          ×Ø   I
                                                                                                                                  Ñ    ¸


               ×ØÛ       Ø                       a, b ∈ I            Ñ       a=b   ÙÔ     ÖÕ   ØÓÙÐ      Õ ×ØÓÒ       Ò   λ ∈ (0, 1)
Ø       ØÓ Ó     ô×Ø


                                f (λa + (1 − λ) b) ≤ λf (a) + (1 − λ) f (b) .
Ì        Ø       f       Ò    ÙÖØ              ×ØÓ      I   º
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                                             





        Ô                Ü              
 ÙÔÓ                   ×ÓÙÑ                 Ø        f       Ò       Ò      ÙÖØ º Ì Ø                      ÙÔ ÖÕÓÙÒ        p, q ∈ I ¸
p < q¸                        µ ∈ (0, 1)                    Ø ØÓ             ô×Ø



                                             f (µp + (1 − µ) q) > µf (p) + (1 − µ) f (q) .

³    ×ØÛ             g         ×ÙÒ ÖØ ×                         Ø 
 ÓÔÓ 
 ØÓ                         Ö        Ñ      Ò                 Ù           ÔÓÙ ÓÖÞ Ø                 Ô

Ø        × Ñ           (p, f (p))                              (q, f (q))º ³ Ø× ¸ Ô Ö Ô ÒÛ Ò × Ø Ø Ö       Ø  Ñ Ø

ÑÓÖ                  f (r) > g (r)¸                          ÔÓÙ    r := µp + (1 − µ) q º À ×ÙÒ ÖØ × φ := f − g Ò
×ÙÒ Õ                
 ×ØÓ I                                ÒÓÔÓ             



                                                                φ (p) = φ (q) = 0,                                  φ (r) > 0.

 ØÓÒØ 


                                                                a := sup {x ∈ [p, r] : φ (x) = 0}


                                                                b := inf {x ∈ [r, q] : φ (x) = 0} ,
    Ò                   ÓÐÓ Ò               Ó Ñ                 Ø



                                                                                 p≤a<r<b≤q


                                                                                 φ (a) = φ (b) = 0.
    Ô× 
¸                Ò        ×           
           Ø    φ (x) > 0                                     x ∈ (a, b)¸                   Ð
                                                                                                                                                      ¿


                                                f (λa + (1 − λ) b) > λf (a) + (1 − λ) f (b)

                          λ ∈ (a, b)º                        ÙØ              ÑÛ
         Ò           ØÓÔÓº



È            Ö ×Ñ              ½¼º½¾                ³       ×ØÛ          f   Ñ           ×ÙÒ Õ            
   ×ÙÒ   ÖØ       ×       ×       Ò            ×Ø   Ñ     I   º   Ì   Ø


        f        Ò           ÙÖØ           ×ØÓ         I        Ò               Ñ   ÒÓÒ          Ò                      a, b ∈ I            ×Õ                Ò ×    Ø      Ø




                                                                             a+b                      f (a) + f (b)
                                                                     f                            ≤                 .
                                                                              2                             2

            ôÖ          Ñ         ½¼º½¿                ³       ×ØÛ      f       Ñ           ÙÖØ          ×ÙÒ       ÖØ       ×   Ô       ÒÛ      ×        Ò    Ð     ×Ø              ¹


×Ø           Ñ        [a, b]   º    Ì       Ø               f       Ò           Ö       Ñ    Ò       ×ØÓ      [a, b]    ¸       Ð           ÙÔ       ÖÕÓÙÒ    m, M ∈ R
Ø       ØÓ           ô×Ø


                                                        m ≤ f (x) ≤ M                                                    x ∈ [a, b] .
        Ô                Ü          ³       ×ØÛ         M := max {f (a) , f (b)}º                                                        λ ∈ [0, 1]¸           ÕÓÙÑ



                                                f (λa + (1 − λ) b) ≤ λf (a) + (1 − λ) f (b)
                                                                         ≤ λM + (1 − λ) M = M.
         ¿
             ÍÔ           Ü             Ô           φ (a) = φ (b) = 0¸                            Ø       × Ñ       (a, f (a))                  (b, f (b))     Ò     ÓÙÒ ×ØÓ

    Ö            Ñ       Ø 
   gº
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                                         





ËÙÒ Ôô
                 f (x) ≤ M                                            x ∈ [a, b]º           Ó     ÒØÓ
 ØôÖ               Ò 
     x ∈ [a, b]¸       ×ØÛ

y    ØÓ ×ÙÑÑ ØÖ                              ØÓÙ        x   Û
 ÔÖÓ
 ØÓ Ñ ×Ó ØÓÙ                        [a, b]º     Ì Ø


                                                        a+b                             x+y              f (x) + f (y)
                                                f                           =f                     ≤
                                                         2                               2                     2

                 Ö

                                                                        a+b                                        a+b
                                    f (x) ≥ 2f                                          − f (y) ≥ 2f                            − M.
                                                                         2                                          2
Å                ÐÐ     Ð               ¸       Ü Ñ                Ø                     x ∈ [a, b]        ×Õ               Ò× Ø Ø         f (x) ≥ m¸
                                            a+b
    ÔÓÙ          m := 2f                     2          − Mº

        ôÖ            Ñ       ½¼º½                 ³    ×ØÛ            f   Ñ        ÙÖØ      ×ÙÒ      ÖØ   ×          Ô   ÒÛ   ×       Ò   ÒÓ   Ø            ¹


×Ø       Ñ           (a, b)    º    Ì       Ø




     ´ µ i       È     ÒÛ      ×                            Ð       ×Ø       ÙÔÓ         ×Ø   Ñ    [p, q] ⊆ (a, b)                  f       ÒÓÔÓ         Ñ


                 ×ÙÒ                    Lipschitz               º




    ´ii      µ   À     f       Ò           ×ÙÒ     Õ       
   ×ØÓ         (a, b)  º




     Ô                 Ü            (i)                 Ð           ÓÙÑ         Ò   ε > 0 Ø ØÓ Ó               ô×Ø         [p − ε, q + ε] ⊆ (a, b)º
Ë Ñ              ÛÒ        Ñ       ØÓ Â ôÖ Ñ                        ½¼º½¿¸          f Ò   Ö   Ñ               Ò       ×ØÓ   [p − ε, q + ε]     Ö

ÙÔ ÖÕÓÙÒ                   m, M ∈ R                     Ø ØÓ             ô×Ø        m<M

                                            m ≤ f (x) ≤ M                                          x ∈ [p − ε, q + ε] .

ÌôÖ ¸                 ×ØÛ       x, y                Ó               ÓÖ Ø            × Ñ      ØÓÙ      [p, q]º      ØÓÒØ 




                                                                        ε (y − x)                 y+ε              Ò   y > x,
                                             z := y +                             =
                                                                         |y − x|                  y−ε              Ò   y < x,

    Ò           ×         
        Ø       z ∈ [p − ε, q + ε]                                ØÓ   y      Ò           Ò Ñ ×        ×ØÓ     z         ØÓ   xº
    ÔÓÑ ÒÛ


                                                                            y = λz + (1 − λ) x
                     ÔÓ Ó   λ ∈ (0, 1)¸                 ØÓ ÓÔÓÓ ÑÔÓÖÓ Ñ                               ÓÐ      Ò       ÙÔÓÐÓ ×ÓÙÑ


                                                        y−x       y−x           |y − x|
                                            λ=              =     ε(y−x)
                                                                            =             .
                                                        z−x   y + |y−x| − x   ε + |y − x|

³    Ø× ¸



                                   f (y) = f (λz + (1 − λ) x) ≤ λf (z) + (1 − λ) f (x)
                                                                    = λ [f (z) − f (x)] + f (x) ,
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                                         
                                                                                                                           ¼




ÓÔ Ø


                                     f (y) − f (x) ≤ λ [f (z) − f (x)] ≤ λ |f (z) − f (x)|
                                                                               |y − x| (M − m)   |y − x| (M − m)
                             ≤ λ (M − m) =                                                     <                 .
                                                                                  ε + |y − x|             ε
    ÙØ              ÕÒ               Ø       Ô ÒÛ ×ØÓ                  [p, q]              f          ÒÓÔÓ               Ñ          ×ÙÒ             Lipschitz               Ñ    ×Ø ¹

    Ö           K = (M − m) /εº

        (ii)         ³    Ñ ×             ×ÙÒ Ô                    ØÓÙ          (i)º

       ôÖ           Ñ           ½¼º½                 ³    ×ØÛ          f       Ñ              ÙÖØ       ×ÙÒ             ÖØ       ×    Ô   ÒÛ     ×       Ò        ÒÓ          Ø           ¹


×Ø      Ñ        (a, b)          º   Ì     Ø




    ´ µ i                                 x ∈ (a, b)               ¸   Ó       ÔÐ      ÙÖ          
 Ô       Ö        Û       Ó
                                                                                                                                   ′        ′
                                                                                                                                  f− (x) , f+ (x)             ÙÔ          ÖÕÓÙÒ


                 ÒÓÒØ                    Ô       ØÓÙ
         Ø       ÔÓÙ





                                                       ′                                       f (w) − f (x)
                                                      f− (x) = sup                                           : w ∈ (a, x) ,
                                                                                                   w−x

                                                           ′                                   f (y) − f (x)
                                                          f+ (x) = inf                                       : y ∈ (x, b) .
                                                                                                   y−x

 ´   ii     µ                             x ∈ (a, b)               ¸    ÕÓÙÑ
                                                                                            ′        ′
                                                                                           f− (x) ≤ f+ (x)                        º




´   iii     µ                             x, y ∈ (a, b)                            Ñ    x < y            ¸       ÕÓÙÑ
                                                                                                                            ′        ′
                                                                                                                           f+ (x) ≤ f− (y)                         º           Ò       f
                 Ò              Ò        ×Û
             ÙÖØ         ¸       Ø   Ø                                 x, y ∈ (a, b)   x < y        Ñ                       ¸       ÕÓÙÑ

                 ′        ′
                f+ (x) < f− (y)                           º℄




´   iv      µ   Ç
                          ′    ′
                         f− , f+              Ò                ÜÓÙ×            
º     ´       Ò       f         Ò           Ò       ×Û
       ÙÖØ      ¸   Ø   Ø       Ó
                                                                                                                                                                                ′    ′
                                                                                                                                                                               f− , f+
                 Ò              Ò    ×Û
                 ÜÓÙ×            
ºµ




    ´v      µ                             c ∈ (a, b)               ÙÔ          ÖÕ           Ò      m∈R                Ø   ØÓ Ó        ô×Ø




                                                  f (x) ≥ m (x − c) + f (c)                                                                 x ∈ (a, b) ,

                         Ø×          ØÓ           Ö         Ñ          Ø       
   f           Ò   Õ                 Ò    Ò       ×    Ñ   Ó      ØÛ         Ô       Ø    Ò       Ù   


                y = m (x − c) + f (c)                                      º




´   vi      µ   Ì        ×       Ñ           ØÓÙ         (a, b)       ×Ø          ÓÔÓ              f           Ò       Ò       Ô   Ö      Û    × Ñ            ÔÓØ     ÐÓ       Ò   Ò


                 Ö       Ñ       × ÑÓ             ×   ÒÓÐÓº




    Ô                 Ü           (i)¸ (ii) ³ ×ØÛ x                                        Ò       ØÙÕ Ó × Ñ Ó ØÓÙ                            (a, b)º        ÛÖÓ Ñ                  Ø


×ÙÒ ÖØ ×                     
   F1 : (a, x) −→ R                                           F2 : (x, b) −→ R                          Ñ    Ø ÔÓÙ



                                                           f (w) − f (x)                                                              f (y) − f (x)
                                 F1 (w) =                                ,                                   F2 (y) =                               .
                                                               w−x                                                                        y−x
        Å           Ø ØÓ             Ù               Ð        Ø           Ù            ×Ø Ö Ü 
 Ø                       
   f   ×ØÓ × Ñ Ó          (c, f (c))º
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                               
                                                                                                 ½




É Ö         ×ØÓ Â ôÖ Ñ                       ½¼º ¸ Ó     F1 , F2           Ò          ÜÓÙ× 
             F1 (w) ≤ F2 (y)
w ∈ (a, x)                         y ∈ (x, b)º         Â ØÓÒØ 




                s := sup {F1 (w) : w ∈ (a, x)} ,                                       t := inf {F2 (y) : y ∈ (x, b)} ,

    ÕÓÙÑ


                           ′                                          ′
                          f− (x) = lim F1 (w) = s ≤ t = lim F2 (y) = f+ (x) .
                                                w→x−                                       y→x+



        (iii)        ³    ×ØÛ          x, y ∈ (a, b)         Ñ    x < yº               Ð       ÓÒØ 
      Ò       z ∈ (x, y)¸         ÕÓÙÑ



                                    ′                 f (z) − f (x)   f (z) − f (y)    ′
                                   f+ (x) ≤                         ≤               ≤ f− (y) .
                                                          z−x             z−y

´    Ò          f        Ò        Ò ×Û
             ÙÖØ ¸ Ø Ø               Ñ ×             Ò× Ø Ø             Ò         Ù×Ø Ö ºµ



        (iv)         ³        ×ØÛ      x, y ∈ (a, b)          Ñ       x < yº          ÉÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓ                      (ii)         ØÓ   (iii)¸
    ÕÓÙÑ
                                                  ′        ′        ′        ′
                                                 f− (x) ≤ f+ (x) ≤ f− (y) ≤ f+ (y) .
´    Ò          f        Ò        Ò ×Û
             ÙÖØ ¸ Ø Ø               Ñ ×             Ò× Ø Ø             Ò         Ù×Ø Ö ºµ



        (v) ³ ×ØÛ c ∈ (a, b)º                                     Ð       ÓÙÑ     ØÓ   m       Ø×    ô×Ø
                                                                                                                   ′            ′
                                                                                                                  f− (c) ≤ m ≤ f+ (c)º
    Ò   x ∈ (a, c)¸ Ø Ø
                                                       f (x) − f (c)    ′
                                                                     ≤ f− (c) ≤ m
                                                           x−c
            Ö       f (x) ≥ m (x − c) + f (c)º                                Ò   x ∈ (c, b)¸       Ø Ø



                                                            ′                      f (x) − f (c)
                                                       m ≤ f+ (c) ≤
                                                                                       x−c
            Ö       Ô Ð        f (x) ≥ m (x − c) + f (c)º

        (vi)              Ò                       c ∈ (a, b)          ×ØÓ ÓÔÓÓ                f     Ò    Ò           Ô Ö     Û × Ñ             Ð ¹

ÜÓÙÑ             Ò        qc ∈ Q         Ø ØÓ Ó ô×Ø


                                                              ′             ′
                                                             f− (c) < qc < f+ (c) ,

Ø Ø             ×ÙÒ ÖØ ×                    c → qc       Ò           Ò ×Û
           ÜÓÙ× º



       ôÖ          Ñ         ½¼º½           ³    ×ØÛ   f     Ñ       Ô   Ö       Û   × Ñ      ×ÙÒ      ÖØ       ×    Ô   ÒÛ ×       Ò     ÒÓ     Ø


     ×Ø         Ñ        (a, b)    º    Ì   Ø




    ´ µ i   À       f         Ò        ÙÖØ       ´    Òغ        Ò   ×Û
         ÙÖØ     µ   ×ØÓ   (a, b)            Ò       Ñ     ÒÓÒ    Ò      f′
                Ò             ÜÓÙ×          ´   Òغ     Ò    ×Û
              ÜÓÙ×   µ   ×ØÓ     (a, b)     º
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                                        
                                                                                                            ¾




    ´   ii   µ   À    f            Ò            ÓÐ       ´     Òغ         Ò        ×Û
          ÓÐ    µ       ×ØÓ      (a, b)       Ò          Ñ    ÒÓÒ     Ò      f′
                     Ò                ÒÓÙ×           ´   Òغ          Ò    ×Û
               ÒÓÙ×          µ   ×ØÓ      (a, b)   º




    Ô                     Ü            (i)           Ò         f       Ò            ÙÖØ     ´ Òغ             Ò ×Û
           ÙÖØ µ¸ Ø Ø                    ÙÒ Ñ    ØÓÙ

 ÛÖ Ñ ØÓ
 ½¼º½                                           f′       Ò                ÜÓÙ×       ´ Òغ              Ò ×Û
                ÜÓÙ× µº              ÒØ×ØÖÓ       ¸

    
            ÛÖ ×ÓÙÑ                    ØÖ           × Ñ   x, y, z                  ØÓÙ (a, b) Ñ x < y < z º                            ÉÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 


ØÓ ÂÅ̸                             Ð          ÓÙÑ         c1 ∈ (x, y)                      c2 ∈ (y, z) Ø ØÓ ô×Ø

                                                           f (y) − f (x)                                                     f (z) − f (y)
                                   f ′ (c1 ) =                           ,                           f ′ (c2 ) =                           .
                                                               y−x                                                               z−y

    Ò            f′       Ò                ÜÓÙ× ¸ Ø Ø


                                           f (y) − f (x)                           f (z) − f (y)
                                                         = f ′ (c1 ) ≤ f ′ (c2 ) =               ,
                                               y−x                                     z−y

                 Ö            f        Ò            ÙÖØ         ´      Ø       ³    ×     ×       ½¼º µº             ÇÑÓÛ
¸           Ò       f′      Ò      Ò ×Û


        ÜÓÙ× ¸ Ø Ø                              f     Ò             Ò ×Û
               ÙÖØ º



         (ii)         ³       ×            × º



        ôÖ           Ñ            ½¼º½               ³    ×ØÛ          f    Ñ        ×ÙÒ       ÖØ   ×         Ø       ØÓ    ô×Ø             f ′′   ÙÔ    ÖÕ      ×     Ò


    ÒÓ           Ø             ×Ø          Ñ        (a, b)   º     Ì    Ø




    ´ µ  i       À    f        Ò              ÙÖØ         ×ØÓ       (a, b)           Ò         Ñ    ÒÓÒ           Ò    f ′′ (x) ≥ 0                          x ∈ (a, b)    º


                      Ò   f ′′ (x)              > 0                               x ∈ (a, b)         ¸    Ø    Ø             f  Ò           Ò   ×Û
          ÙÖØ    ×ØÓ


                 (a, b)        º




    ´   ii   µ   À    f        Ò              ÓÐ        ×ØÓ        (a, b)          Ò          Ñ    ÒÓÒ           Ò    f ′′ (x) ≤ 0                          x ∈ (a, b)    º


                      Ò   f ′′ (x)              < 0                                  x ∈ (a, b)       ¸    Ø       Ø         f  Ò           Ò      ×Û
       ÓÐ    ×ØÓ


                 (a, b)        º




    Ô                     Ü            ³    ×        × º



È        Ö                         Ñ        ½¼º½               À ×ÙÒ ÖØ ×                    ex       Ò               Ò ×Û
        ÙÖØ         ×ØÓ     R¸       Ø


                                                                              d2 x
                                                                                 (e ) = ex > 0.
                                                                             dx2
È        Ö                         Ñ        ½¼º½               À ×ÙÒ ÖØ ×                       ln x       Ò               Ò ×Û
           ÓÐ      ×ØÓ      (0, +∞)¸
        Ø
                                                                         d2            1
                                                                            (ln x) = − 2 < 0.
                                                                        dx2           x
³       ×            ×         ½¼º¾¼                       ÜØ          Ø



         i
        ´ µ                                c ∈ (1, +∞)¸                      ×ÙÒ ÖØ ×                 xc           Ò        Ò ×Û
          ÙÖØ      ×ØÓ      [0, +∞)º
½¼º ÃÙÖØ 
 ×ÙÒ ÖØ ×                                      
                                                                                                                 ¿




    ´   iiµ                             c ∈ (0, 1)¸                      ×ÙÒ ÖØ ×                xc          Ò         Ò ×Û
         ÓÐ         ×ØÓ    [0, +∞)º

         ³      ×ØÛ         f      Ñ       ×ÙÒ ÖØ ×                        ÓÔÓ           Ò             ×ÙÒ Õ 
 ×                Ò        × Ñ Ó    cº          Ô ÔÐ ÓÒ¸

 ×ØÛ                Ø           f ′′    ÙÔ ÖÕ                ×       Ñ         ØÖÙÔ Ñ Ò                  Ô Ö ÓÕ             ØÓÙ   c                ÐÐ Þ       ÔÖ × ÑÓ

×ØÓ          c¸         Ðε > 0 ÕÓÙÑ f ′′ > 0 Ô ÒÛ ×ØÓ (c − ε, c)
                                                     ÔÓ Ó           f ′′ < 0
Ô ÒÛ ×ØÓ (c, c + ε)¸    f ′′ < 0 Ô ÒÛ ×ØÓ (c − ε, c)    f ′′ > 0 Ô ÒÛ ×ØÓ
(c, c + ε)º Ì Ø ØÓ (c, f (c))¸ Ô Ó ÔÐ ØÓ c¸ Ð Ø × Ñ Ó           ÑÔ 
 Ø 


fº À Ô Ñ Ò       Ò     ÕÒ   Ñ  ×ÙÒ ÖØ × f Ñ ØÖ × Ñ        ÑÔ 
 ´Ø +

Ø − Ò     ÔÖ × Ñ Ø 
 f µ
                         ′′




        ôÖ             Ñ        ½¼º¾½               ³   ×ØÛ         f     Ñ     ×ÙÒ         ÖØ          ×        Ø   ØÓ     ô×Ø            f ′′   ÙÔ    ÖÕ        ×   Ñ


Ô   Ö ÓÕ                Ò       
 ×     Ñ       ÓÙ      c
                                                         º




    ´ µ i           Ò ØÓ         c      Ò          ×    Ñ   Ó            ÑÔ    
   Ø       
   f   ¸ Ø         Ø    f ′′ (c) = 0     º




    ii
    ´       µ       Ò   f ′′ (c) = 0                             f ′′′ (c) = 0                   ÔÓÙ         ÙÔÓ        ØÓÙÑ          Ø        f ′′′ (c)      ÙÔ     ÖÕ    ℄¸


                Ø   Ø         c
                             ØÓ            Ò        ×       Ñ   Ó         ÑÔ       
   Ø       
   f   º




    Ô                   Ü            (i)        ³    ×ØÛ             Ø    ØÓ    c    Ò          × Ñ Ó                    ÑÔ 
 Ø 
 fº                    Ð      ÓÙÑ          ¹

Ò        ε > 0                  Ø×         ô×Ø           ×Ø                ×Ø Ñ Ø                (c − ε, c)                   (c, c + ε)                  f ′′   Ò     Õ

             ÓÖ Ø                ÔÖ × Ñ º                            Ô Ö ×× Ø Ö                      ×           Ò     ¸      ÙÔÓ           ×ÓÙÑ        ´ÕÛÖ
         Ð ¹

         Ø 
             Ò             Ø Ø 
µ            Ø       f ′′      > 0 Ô ÒÛ                  ×ØÓ         (c − ε, c)                 f ′′
                                                                                                                                             < 0 Ô ÒÛ                  ×ØÓ

(c, c + ε)º ÌôÖ                            ¸        ×ØÛ          Ø       f ′′ (c) > 0º                       Ð        ÓÙÑ     Ò       k ∈ (0, f ′′ (c))                   Ò

a ∈ (c, c + ε)º ³                            Ø× ¸

                                                                     f ′′ (a) < 0 < k < f ′′ (c) .
    Ô                       f ′′       Õ            Ø Ò Á        Ì Ô ÒÛ ×Ø Ò Ô Ö ÓÕ                               Nε (c) ´ ôÖ Ñ Darbouxµ¸
ÑÔÓÖÓ Ñ                     Ò              Ð ÜÓÙÑ                    Ò     b ∈ (c, a)                Ø ØÓ Ó ô×Ø       f ′′ (b) = kº ÙØ ÑÛ

 Ò               ØÓÔÓº ÇÑÓÛ
                           ÔÓ Ð ÓÙÑ                           Ø Ò Ô           ÖÔØÛ×  f ′′ (c) < 0º
½½º ÈÓÐÙôÒÙÑ                       Taylor


        (ii)       ³   ×ØÛ         Ø   f ′′ (c) = 0            f ′′′ (c) = 0º                        Ð     ÓÙÑ       Ò    ε>0            Ø×   ô×Ø
                                                               ∗                                f ′′ (x)−f ′′ (c)         f ′′ (x)
Ô ÒÛ ×Ø Ò ØÖÙÔ Ñ Ò                               Ô Ö ÓÕ       Nε (c) Ó Ð Ó
                            x−c          =      x−c       Ò        Õ    ØÓ

ÔÖ × ÑÓ Ø 
                 f ′′′ (c)º           Ò     ×       
       Ø    ×Ø         ×Ø Ñ Ø                 (c − ε, c)            (c, c + ε)
    f ′′       Õ             ÓÖ Ø                ÔÖ × Ñ ¸ ×ÙÒ Ôô
 ØÓ                    c       Ò       × Ñ Ó          ÑÔ 
º



È       Ö               Ñ       ½¼º¾¾                    Ø    ×ÙÒ ÖØ ×              f (x) = x4 − 2x3 − x¸                        ÕÓÙÑ



                                                        f ′ (x) = 4x3 − 6x2 − 1,

                                                         f ′′ (x) = 12x2 − 12x,
ÓÔ Ø  f ′′ (x) > 0     x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞)¸    f ′′ (x) < 0
x ∈ (0, 1)º ËÙÒ Ôô
 f Ò    Ò ×Û
   ÙÖØ  ×Ø    ×Ø Ñ Ø     (−∞, 0)
(1, +∞)¸ Ò ×Û
 ÓÐ ×ØÓ   ×Ø Ñ  (0, 1)¸   Ø 0, 1 Ò    × Ñ    ÑÔ                                                                                 
º




½½ ÈÓÐÙôÒÙÑ Taylor
ÌÓ ÔÖ              Ð Ñ       ÔÓÙ                 Ñ 
     Ô ×ÕÓÐ ×                 Ô Ö           ØÛ        Ò         ÔÖÓ×            ×    ×ÙÒ Ö¹

Ø × ÛÒ Ñ                ÔÓÐÙôÒÙÑ º                    ÈÖôØ          ÑÛ
              ÔÓ          ÜÓÙÑ          Ñ Ö           ÔÖÓ        Ø Ö Ø

    ÔÓØ Ð ×Ñ Ø º



Ä     ÑÑ               ½½º½    ³       ×ØÛ     P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn                          ¸    ÔÓÙ   n ∈ Z+               ai ∈ R       º


Ì    Ø      P (n) (x)        = n! an         º




    Ô              Ü        Å          Ô       Û         ÕÓÙÑ


                                                              dm
                                                                 (axm ) = m! a
                                                             dxm
                       m ∈ Z+                           a ∈ Rº           ³   Ø× ¸


                                                    dn         dn                 dn
                         P (n) (x) =                   (a0 ) + n (a1 x) + · · · + n (an xn )
                                                   dxn        dx                 dx
                                                          d n
                                                       = n (an xn ) = n! an .
                                                         dx



Ä     ÑÑ               ½½º¾    ³       ×ØÛ       n ∈ Z+                      ×ØÛ    P (x)            Ò        ÔÓÐÙôÒÙÑÓ              ÑÓ           ≤ n
Ø   ØÓ Ó       ô×Ø


                                   P (c) = P ′ (c) = P ′′ (c) = · · · = P (n) (c) = 0
               ÔÓ Ó     c∈R        º   Ì   Ø       ØÓ   P (x)       Ò       ØÓ Ñ           Ò            ÔÓÐÙôÒÙÑÓº



                                                          dm                                                                   d
           Ò   m = 1¸     Ø Ø          ØÓ × Ñ ÓÐÓ
                                                         dxm
                                                                    Õ        Ù×      Ø Ò                × Ñ ×     Ñ    ØÓ
                                                                                                                              dx
                                                                                                                                 º
½½º ÈÓÐÙôÒÙÑ                            Taylor


     Ô             Ü                
 ÙÔÓ             ×ÓÙÑ        Ø Ó            Ñ 
 ØÓÙ           P (x)       Ò    m¸      ÔÓÙ      1 ≤ m ≤ nº
³    Ø× ¸

                                        P (x) = a0 + a1 x + · · · + am xm ,                                    am = 0.
    Ô        ØÓ Ä ÑÑ                ½½º½          ÕÓÙÑ       P (m) (x)          = m! am ¸          ÓÔ Ø


                                                             m! am = P (m) (c) = 0.
    ÙØ            ÑÛ
          Ò            ØÓÔÓº           ÔÓÑ ÒÛ
 ØÓ                 P (x)          Ò     ×Ø         Ö   ÔÓÐÙôÒÙÑÓ¸

    Ô            P (c) = 0¸                 ØÓ    P (x)     ÔÖ Ô        Ò       Ò          ØÓ Ñ        Ò          ÔÓÐÙôÒÙÑÓº



Ä        ÑÑ           ½½º¿          ³       ×ØÛ       n ∈ Z+                 ×ØÛ        P (x) , Q (x)               Ó    ÔÓÐÙôÒÙÑ               ÑÓ


≤n           Ø   ØÓ           ô×Ø




                                                      P (c) = Q (c) ,                P ′ (c) = Q′ (c) ,
                                        P ′′ (c) = Q′′ (c) ,                ...,            P (n) (c) = Q(n) (c)
                 ÔÓ Ó     c∈R           º   Ì     Ø     P (x) = Q (x)           º




     Ô             Ü              ÌÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ                  D (x) := P (x) − Q (x)                              Ò             ÑÓ     ≤ n
         ÒÓÔÓ         

                                    D (c) = D ′ (c) = D ′′ (c) = · · · = D (n) (c) = 0.
Ë Ñ          ÛÒ           Ñ    ØÓ Ä ÑÑ                ½½º¾¸     ÕÓÙÑ         D = 0¸                Ð         P = Qº

        ôÖ        Ñ          ½½º            ³    ×ØÛ n ∈ Z+    c, a0 , a1 , . . . , an ∈ R                                  º    Ì   Ø   ÙÔ    ÖÕ


ÑÓÒ                   ÔÓÐÙôÒÙÑÓ                   P (x)      ≤n   ÑÓ                    Ø   ØÓ Ó   ô×Ø




                 P (c) = a0 ,                     P ′ (c) = a1 ,            P ′′ (c) = a2 ,                 ...,     P (n) (c) = an .
ÌÓ       ÔÓÐÙôÒÙÑÓ                      ÙØ         Ò   Ø     Ô    ØÓÒ      Ø    ÔÓ



                                                      a1           a2                    an
                      P (x) = a0 +                       (x − c) +    (x − c)2 + · · · +    (x − c)n .
                                                      1!           2!                    n!
     Ô             Ü                Ò                ÓÐÓ Ò        Ó Ñ              Ø       Ó Ô Ö Ô ÒÛ Ø ÔÓ
                     ÒØÛ
 ÓÖÞ      ÔÓ¹

ÐÙôÒÙÑÓ Ñ                     Ø 
 Þ ØÓ Ñ Ò 
                      Ø Ø 
º À ÑÓÒ                          Ø Ø        ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ              ÙØÓ

    Ò       ×ÙÒ Ô                ØÓÙ Ä ÑÑ ØÓ
 ½½º¿º




         ³   ×ØÛ          f   Ñ         ×ÙÒ ÖØ ×                  c     Ò 
 ÔÖ               Ñ Ø        
     Ö     Ñ 
 Ø ØÓ Ó
 ô×Ø            Ø


                                            f (c) ,         f ′ (c) ,       f ′′ (c) ,         ...,          f (n) (c)
ÓÖÞÓÒØ               ´   n ≥ 1µº            ÌÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ


                                                 f ′ (c)           f ′′ (c)                    f (n) (c)
     Tn (x) := f (c) +                                   (x − c) +          (x − c)2 + · · · +           (x − c)n
                                                    1!                2!                          n!
                                                                  n
                                                                        f (k) (c)
                                                            =                     (x − c)k
                                                                           k!
                                                                k=0
½½º ÈÓÐÙôÒÙÑ                     Taylor


ÓÒÓÑ Þ Ø                ÔÓÐÙôÒÙÑÓ                       Taylor          Ø   Ü       Û
    nØ   
     f   ×ØÓ ×        Ñ Ó cº È Ö                 Ø ¹

ÖÓ Ñ          Ø ØÓ        Tn (x)           Ò        ØÓ ÑÓÒ                 ÔÓÐÙôÒÙÑÓ                    ÑÓ       ≤ n ÔÓÙ ×ÙÑ ÛÒ                   Ñ

Ø Ò   f     ×ØÓ     c Ñ ÕÖ      Ø Ò n¹Ó×Ø  Ô Ö                                      Û Ó ´Â ôÖ Ñ                ½½º µº ËÙÑ ÓÐÞÓÒØ 


Ø             ÓÖ     f (x) − Tn (x) Ñ Rn (x)¸ Ô                                  ÖÒÓÙÑ        Ø Ò × Ø Ø



                                                        f (x) = Tn (x) + Rn (x) ,

    ÓÔÓ      Ð          Ø       Ø     ÔÓ
 ØÓÙ               Taylorº        ÌÓ       Rn (x) ÓÒÓÑ              Þ Ø       ÙÔ       ÐÓ ÔÓ           Tay-
lor   Ø       Ü     Û
       n   Ø     
   f     ×ØÓ ×              Ñ    Ó cº        Ò ÕÖ       Þ Ñ ×Ø             ÔÓ          Ö         
 ×ÙÑ Ó¹

Ð ×ÑÓ 
¸ Ø Ø                     ÒØ            Tn (x)                  Rn (x)        Ö    ÓÙÑ



                                                             Tn,c (x) ,             Rn,c (x)

          Ñ

                                                         Tn,c,f (x) ,               Rn,c,f (x) ,
    ÒØ ×ØÓÕÛ
º Ì                 ÔÓÐÙôÒÙÑ                  ´ Òغ ÙÔ ÐÓ Ô µ           Taylor ×ØÓ ×                  Ñ Ó     0       Ò         ÒÛ×Ø

      Û
      ÔÓÐÙôÒÙÑ                       ´ Òغ          ÙÔ       ÐÓ Ô       µ   Maclaurinº

È     Ö     Ø       Ö    ×        ½½º           ÌÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ                Tn,c,f (x)          Ò       Ñ        ÔÖÓ×           ×        Ø 
    f (x)
×ØÓ    c¸               Rn,c,f (x)              Ò      ØÓ          ÒØ×ØÓ ÕÓ ×           ÐÑ º       À ÔÖÓ×                 ×        ÙØ          Ò

    ÐØ ôÒ Ø                      ô
 ØÓ          n       ÙÜ Ò        º ÌÓ    T1,c,f (x)         Ò             Ù     



                                                        y = f (c) + f ′ (c) (x − c)

    ÓÔÓ                ÔØ Ø           ØÓÙ          Ö       Ñ ØÓ
 Ø 
           f    ×ØÓ × Ñ Ó   (c, f (c))º Å                      Ö      
    ÓÖ 


Ò     ÕÖ × ÑÓ Ò                     ÕÓÙÑ                   Ø       × Ñ ÓÐ          T0,c,f (x) , R0,c,f (x) ×Ø                              ×    Ñ 
¸

ÓÔ Ø        ÓÖÞÓÙÑ



                                     T0,c,f (x) := ØÓ                 ×Ø        Ö     ÔÓÐÙôÒÙÑÓ              f (c) ,

                                                 R0,c,f (x) := f (x) − T0,c,f (x) .

È     Ö                 Ñ        ½½º                 Ö Ø       Ø    ÔÓÐÙôÒÙÑ             Taylor     Ø Ü Û
             3        4   Ø 
 ×ÙÒ Ö¹
                             1
Ø × 
       f (x) =          x    ×ØÓ      2º
Ä     ×         ³   ÕÓÙÑ


                                  1                                  2                               6                                    24
          f ′ (x) = −                ,          f ′′ (x) =              ,       f ′′′ (x) = −           ,         f (4) (x) =                ,
                                  x2                                 x3                              x4                                   x5
ÓÔ Ø


                    1                       1                                       1                   3                                        3
    f (2) =           ,          f ′ (2) = − ,                      f ′′ (2) =        ,    f ′′′ (2) = − ,                  f (4) (2) =            .
                    2                       4                                       4                   8                                        4
½½º ÈÓÐÙôÒÙÑ            Taylor


³   Ø× ¸ Ø    Þ ØÓ Ñ Ò            ÔÓÐÙôÒÙÑ              Ò



                           1 −1             1
                                                        −3
                   T3 (x) =  + 4 (x − 2) + 4 (x − 2)2 + 8 (x − 2)3
                           2   1!          2!            3!
                          1 1           1            1
                         = − (x − 2) + (x − 2)2 −      (x − 2)3
                          2 4           8           16
                                    3     1       1 3
                              = 2 − x + x2 −        x
                                    2     2      16


                                       3
                                                 3     1      1 3     1
        T4 (x) = T3 (x) +              4
                                           (x − 2)4 = 2 −
                                                   x + x2 −      x +    (x − 2)4
                                       4!        2     2     16      32
                                         5 5 5 2    5 3   1 4
                                      = − x+ x −      x +    x .
                                         2 2 4     16     32
À Ô Ö         ØÛ         Ò             ÕÒ       Ø
    Ö         
 Ô Ö ×Ø ×        
 ØÛÒ   f, T3 , T4




    ôÖ      Ñ     ½½º        ³       ×ØÛ    f   Ñ      ×ÙÒ      ÖØ   ×        c   Ò   
   ÔÖ   Ñ   Ø       
       Ö   Ñ   



Ø   ØÓ Ó
    ô×Ø    Ø




                             f (c) ,         f ′ (c) ,       f ′′ (c) ,   ...,     f (n) (c)

ÓÖÞÓÒØ       ´  n ≥1    µº       ³   ×ØÛ    Rn (x)         ØÓ   ÙÔ   ÐÓ ÔÓ   Taylor   Ø   Ü   Û
   n   Ø   
   f   ×ØÓ     c
                                                                                                                            º


Ì   Ø

                                                             Rn (x)
                                                      lim            = 0.
                                                  x→c       (x − c)n
    Ô        Ü      ³   ×ØÛ



                                  f ′ (c)           f ′′ (c)                    f (n) (c)
    Tn (x) = f (c) +                      (x − c) +          (x − c)2 + · · · +           (x − c)n
                                     1!                2!                          n!
½½º ÈÓÐÙôÒÙÑ                        Taylor


ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ                Taylor          Ø Ü Û
          n   Ø 
     f   ×ØÓ    cº     Ò           ÓÐÓ Ò         Ó Ñ      Ø


                                      (n−1)
                                     Tn     (x) = f (n−1) (c) + f (n) (c) (x − c) .

Ç       ×ÙÒ ÖØ ×            



                                    f (x) ,       f ′ (x) ,           f ′′ (x) ,        ...,        f (n−1) (x)

ÓÖÞÓÒØ         ×               ÔÓ      Ô Ö ÓÕ          ØÓÙ      c¸           Ô ÔÐ ÓÒ          Ò     ´Ô Ö       Û   × Ñ 
         Ö µ

×ÙÒ Õ 
 ×ØÓ            cº          ËÙÒ Ôô



                                             (k)                  (k)
                            lim f (k) (x) − Tn (x) = f (k) (c) − Tn (c) = 0
                        x→c

         k = 0, 1, . . . , n − 1º                               ÖÑ ÞÓÒØ 
 ØôÖ                  ØÓÒ         Ò Ò    L’Hospital         Ø

Ô Ò Ð Ý ¸               ÕÓÙÑ


               Rn (x)         f (x) − Tn (x)  0                 ′
                                                     f ′ (x) − Tn (x) 0
          lim         n = lim            n   = = lim            n−1 = 0
          x→c (x − c)     x→c    (x − c)      0 x→c n (x − c)
                                                                                                                      (n−1)
                              ′′
                  f ′′ (x) − Tn (x)  0              f (n−1) (x) − Tn                                                          (x)
         = lim                      = = · · · = lim
           x→c n (n − 1) (x − c)n−2  0          x→c         n! (x − c)

                                        f (n−1) (x) − f (n−1) (c) + f (n) (c) (x − c)
                            = lim
                                    x→c                  n! (x − c)

                                          1 f (n−1) (x) − f (n−1) (c)
                                    = lim                             − f (n) (c)
                                      x→c n!          x−c
                                                   1
                                              =       f (n) (c) − f (n) (c) = 0.
                                                   n!


        ÌÓ     Ô Ñ ÒÓ Ð ÑÑ ¸ ÔÓÙ                         Ò        Ñ        ×ÙÒ Ô         ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ
 ½½º ¸                      Ñ 


 Ó         ×    Ò           Ò           ×ÓÙÑ        ØÓ        ÖØ ÖÓ           ÙØ Ö 
 Ô Ö               ô   ÓÙº



Ä       ÑÑ      ½½º             ³    ×ØÛ      Ø         Ô   Ö      Û     Ó
   f (k) (c)        ÙÔ    ÖÕ           k = 1, 2, . . . , n   ¸


 ÔÓÙ      n≥2       ¸




                                       f ′ (c) = f ′′ (c) = · · · = f (n−1) (c) = 0.

Ì    Ø


                                                    f (x) − f (c)   f (n) (c)
                                                lim           n   =           .
                                                x→c   (x − c)          n!
    Ò   n≥3     ¸ Ø     Ø           Ô ÔÐ   ÓÒ     ÕÓÙÑ




                                                                f ′′ (x)           f (n) (c)
                                                  lim                         =              .
                                                  x→c   (x − c)n−2                 (n − 2)!
½½º ÈÓÐÙôÒÙÑ              Taylor


    Ô           Ü     ÌÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ               Taylor            Ø Ü Û
    n   Ø 
   f    ×ØÓ      c      Ò


                                 f ′ (c)           f ′′ (c)                    f (n) (c)
     Tn (x) = f (c) +                    (x − c) +          (x − c)2 + · · · +           (x − c)n
                                    1!                2!                          n!
                                                                  f (n) (c)
                                           = f (c) +                        (x − c)n .
                                                                     n!
³   Ø× ¸ ÕÖ × ÑÓÔÓ ôÒØ 
 ØÓ Â ôÖ Ñ                                 ½½º ¸


                                                                                                   (n)

                      f (x) − Tn (x)       f (x) − f (c) + f n!(c) (x − c)n
              0 = lim                = lim
                  x→c    (x − c)n      x→c            (x − c)n

                                                  f (x) − f (c) f (n) (c)
                                      = lim                    −          .
                                           x→c      (x − c)n       n!

    ÙØ        ÔÓ      Ò     ØÓ ÔÖôØÓ Ñ ÖÓ
 ØÓÙ Ð ÑÑ ØÓ
¸                                   Ð         Ø Ò × Ø Ø


                                               f (x) − f (c)   f (n) (c)
                                           lim           n   =           .
                                           x→c   (x − c)          n!

         ÌÓ         Ø ÖÓ Ñ ÖÓ
            Ò     ÔÖÓ         Ò 
       Ø Ò   n = 3¸            Ø    ×Ø Ò Ô ÖÔØÛ×              ÙØ

    ÕÓÙÑ


                      f ′′ (x)       f ′′ (x) − f ′′ (c)               f (n) (c)
                lim            = lim                     = f ′′′ (c) =           .
                x→c (x − c)n−2   x→c        x−c                        (n − 2)!

    
 ÙÔÓ       ×ÓÙÑ      ÐÓ Ô Ò           Ø   n ≥ 4º             Ô          Ô Ö       Û Ó
        (f ′′ )(k) (c)    ÙÔ ÖÕ

k = 1, 2, . . . , n − 2
                                 ′                    ′′                             (n−3)
                          f ′′ (c) = f ′′                  (c) = · · · = f ′′                   (c) = 0,

         ÖÑ ÞÓÒØ 
 ØÓ ÔÖôØÓ Ñ ÖÓ
 Ñ                        f ′′       n−2 ×Ø           ×       ØÛÒ      f        n   ÒØ ×ØÓÕÛ
¸

Ô ÖÒÓÙÑ

                                         f ′′ (x) − f ′′ (c)   (f ′′ )(n−2) (c)
                                     lim                     =                  ,
                                     x→c    (x − c)n−2            (n − 2)!
     Ð

                                                 f ′′ (x)   f (n) (c)
                                           lim            =           .
                                           x→c (x − c)n−2   (n − 2)!


        ôÖ     Ñ     ½½º    ´         Ò         ÙÑ    ÒÓ             Ö Ø    Ö Ó Ô     Ö           ô     ÓÙµ     ³   ×ØÛ   Ø    Ô   ¹


Ö     Û    Ó
   f (k) (c)   ÙÔ       ÖÕ           k = 1, 2, . . . , n        ¸   ÔÓÙ   n≥2          ¸




              f ′ (c) = f ′′ (c) = · · · = f (n−1) (c) = 0                             ÐÐ                f (n) (c) = 0.
½½º ÈÓÐÙôÒÙÑ                                  Taylor                                                                                                                                  ¼




      i
    ´ µ            Ò Ó              Ö    Ñ        
   n       Ò           ÖØ Ó
              f (n) (c) > 0       ¸ Ø      Ø             f       Õ        ØÓÔ          Ð      Õ ×ØÓ


              ×ØÓ           c   º




 ´   ii   µ        Ò Ó              Ö     Ñ       
   n        Ò          ÖØ Ó
              f (n) (c) < 0          ¸ Ø     Ø           f       Õ         ØÓÔ         Ñ          ×ØÓ


              ×ØÓ           c   º




´iii      µ        Ò        Ó       Ö     Ñ           
   n       Ò        Ô   Ö ØØ         
¸   Ø    Ø     f           Ò       Õ           Ó    Ø        ØÓÔ         Ñ          ×ØÓ


              Ó     Ø           ØÓÔ                   Ð       Õ ×ØÓ        ×ØÓ   c  ¸             ØÓ   (c, f (c))          Ò        ×        Ñ      Ó         ÑÔ    
   Ø   
   f   º




    Ô               Ü                   (i)       ³       ×ØÛ          Ø   Ó    n       Ò         ÖØ Ó
             f (n) (c) > 0º                       Ë Ñ        ÛÒ       Ñ    ØÓ

Ä ÑÑ               ½½º ¸                ÕÓÙÑ



                                                                        f (x) − f (c)   f (n) (c)
                                                                    lim               =           .
                                                                    x→c   (x − c)n         n!

ËÙÒ Ôô
 ÙÔ ÖÕ                                     Ñ           ØÖÙÔ Ñ Ò              Ô Ö ÓÕ
                                                                                                        ∗
                                                                                                       Nε (c)        ØÓÙ     c   Ø ØÓ                 ô×Ø


                                                                                f (x) − f (c)
                                                                                              >0
                                                                                  (x − c)n
                                ∗
                        x ∈ Nε (c)º Ô                                               Ó   n         Ò        ÖØ Ó
¸           Ô Ö ×Ø ×                       (x − c)n Ò
     Ø         ¸           Ö   f (x) > f (c)                                                           x ∈        ∗
                                                                                                                 Nε (c)º             ³       Ø× ¸           f Õ ØÓÔ
 Ð Õ ×ØÓ                ×ØÓ cº



         (ii)       È ÖÓÑÓÛ
º



         (iii)          ³       ×ØÛ            Ø          Ó   n       Ò       Ô Ö ØØ 
¸                     Ö    n ≥ 3º             Ë Ñ             ÛÒ         Ñ    ØÓ Ä ÑÑ

½½º ¸          ÕÓÙÑ



                       f (x) − f (c)   f (n) (c)                                                                 f ′′ (x)   f (n) (c)
                   lim           n   =           ,                                                         lim            =           .
                   x→c   (x − c)          n!                                                               x→c (x − c)n−2   (n − 2)!

ËÙÒ Ôô
 ÙÔ ÖÕ                                     Ñ           ØÖÙÔ Ñ Ò Ô Ö ÓÕ      ε    ØÓÙ            N ∗ (c)               c Ô ÒÛ ×Ø Ò ÓÔÓ Ø                                   Ð ¹
                f (x)−f (c)                                   f ′′ (x)
×Ñ Ø
                  (x−c)n                                  (x−c)     n−2 ÕÓÙÒ ØÓ ÔÖ × ÑÓ Ø 
                                  f (n) (c)º Ç Ô ÖÓÒÓÑ                             ×Ø 


 ÙØôÒ ØÛÒ                           Ð ×Ñ ØÛÒ                        ÐÐ ÞÓÙÒ ÔÖ × ÑÓ ×ØÓ                          c   ´       Ó           Ó       Ö        ÑÓ    n    n−2
 Ò           Ô Ö ØØÓµ¸                      Ö                   Ó        Ö    Ñ Ø 
             ÐÐ ÞÓÙÒ ÔÖ × ÑÓ ×ØÓ                                 cº    ³   Ø× ¸  f Ò
 Õ            Ó Ø           ØÓÔ                   Ñ           ×ØÓ Ó Ø               ØÓÔ                Ð Õ ×ØÓ ×ØÓ               c¸                  ØÓ     (c, f (c)) Ò
× Ñ Ó                  ÑÔ 
º



È        Ö                      Ñ         ½½º½¼                       Ü Ø ×Ø            Ø         Ö× Ñ      × Ñ            Ø 
 ×ÙÒ ÖØ × 




                                                                       f (x) = (x − 1)2 (x + 1)3

          ØÓÔ                   Ñ        ×Ø                   ØÓÔ              Ð Õ ×Ø º
½½º ÈÓÐÙôÒÙÑ              Taylor                                                                                ½




Ä     ×        ³   ÕÓÙÑ



                         f ′ (x) = 2 (x − 1) (x + 1)3 + 3 (x − 1)2 (x + 1)2
                                       = (x − 1) (x + 1)2 (5x − 1) ,

       Ö      Ø     Ö× Ñ     × Ñ      Ø 
   f     Ò


                                                                                 1
                                   x = 1,              x = −1,            x=       .
                                                                                 5
À         Ø Ö      Ô Ö       Û Ó
 Ø 
    f    Ò



    f ′′ (x) = (x + 1)2 (5x − 1) + 2 (x − 1) (x + 1) (5x − 1) + 5 (x − 1) (x + 1)2
                                       = 4 (x + 1) 5x2 − 2x − 1 .

È Ö Ø ÖÓ Ñ               Ø


                                                                                 1           144
                    f ′′ (1) = 16,            f ′′ (−1) = 0,             f ′′          =−        .
                                                                                 5            25
                                                                                            1
ËÙÒ Ôô
 ×ØÓ           x=1          f    Õ     ØÓÔ           Ð Õ ×ØÓ¸            ×ØÓ    x=   5    f   Õ   ØÓÔ

Ñ     ×ØÓº            ØÓ × Ñ Ó        x = −1          ÕÖ       Þ Ñ ×Ø    Ø Ò ØÖØ         Ô Ö   Û Ó Ø 
   f¸
ÓÔÓ          Ò



      f ′′′ (x) = 4 5x2 − 2x − 1 + 4 (x + 1) (10x − 2) = 12 5x2 + 2x − 1 .

³   ÕÓÙÑ

                                                  f ′′′ (−1) = 24,
          Ö    ×ØÓ × Ñ Ó       x = −1             f        Ò   Õ   Ó Ø     ØÓÔ        Ñ     ×ØÓ Ó Ø     ØÓÔ

    Ð Õ ×ØÓº

				
DOCUMENT INFO
Categories:
Tags:
Stats:
views:890
posted:1/26/2013
language:Unknown
pages:61