APPLICAZIONI

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APPLICAZIONI Powered By Docstoc
					   MOTO
ROTAZIONALE
            Rotazione

in 2 dimensioni: particella sull’anello

in 3 dimensioni: particella sulla sfera
    PARTICELLA SULL’ANELLO




Il momento angolare di una particella di massa m in moto su
un anello di raggio r nel piano xy è rappresentato da un
vettore Jz di grandezza pr perpendicolare al piano.
MOTO RETTILINEO   MOTO CIRCOLARE

     v              

    m               I

    p              J=rxp

     1                1 2
  T  mv 2
                   T  I
     2                2
         2              2
     p                J
  T               T
     2m               2I
Ipotesi di de Broglie: alla particella associamo
un’onda di lunghezza d’onda =h/mv

                       (  2 )  ( )

                            primo
             secondo        giro
             giro




              NON accettabile
Secondo        Primo
giro           giro




          accettabile
numero intero di
lunghezze d’onda
ACCETTABILE




numero non intero di
lunghezze d’onda
NON ACCETTABILE
ORIGINE QUALITATIVA DELLA QUANTIZZAZIONE
Condizioni cicliche al contorno
Una circonferenza di raggio r deve contenere un numero intero ml di λ
                  ml  2r
                      2r       ml = 0, ± 1, ± 2, ….
                  
                       ml       ml numero quantico
              Solo certi valori di λ sono accettabili
              λ = h/mv  sono accettabili solo certi valori della
              velocità e quindi dell’energia cinetica, cioè
              dell’energia totale
                                 2                 2
        1 2 1  h     1  hml     m                    2   2
     E  mv  m      m                              l

        2    2  m   2  m2r     2I

              Quantizzazione dell’energia
                             J=rxp

                             Jz = ± p r


Per la relazione di de Broglie λ = h/p
                 h
J z   pr         r
                 
                    2r
Solo i valori               sono accettabili
                    ml
                        ml h       
solo i valori    Jz        sono accettabili
                        2
    Quantizzazione del momento angolare
                Trattazione quantistica
        z                     ˆ
                              H ( )  E ( )

            k                      2  d2  d2   2 d 2
                              H =-     2  2 -
                                   2m  dx
                                          dy   2I d 2

                    j
                r        y  2 d 2
                                      ( )  E ( )
                             2 I d 2
    i
                             d2            2 IE
                                  ( )   2  ( )  ml2  ( )
x                           d 2            
                                 2 IE
                            ml  2
                              2

                                  

                                    iml 
                        ( )  e
(  2 )  ( )
     iml (  2 )              iml 
 e                        e
     iml        iml 2           iml 
 e           e            e
     iml 2
 e                 1
  ml = 0,            ± 1,       ± 2, ….


                      2     2
                m 
             E       l
                                          Energia è quantizzata
                 2I
                            2   2
                         m 
                      E    l

                          2I
                                       ml
                                       3
Stati doppiamente
degeneri
                                       2

                                       1
                                       0
 Stato non degenere

                        Energia di punto zero = 0
   I valori positivi e negativi di ml corrispondono
            a rotazioni in direzioni opposte

                                              2    2
                                       m 
                                    E        l

                                        2I
                                  E non dipende dal senso
                                  della rotazione
      2   2     2
     m      J
E    l
               z
       2I    2I
J z  ml 
  AUTOFUNZIONI




               iml
ml ( )  e
ml  0         0 ( )  1
                                   Nodo




ml  1                 Parte reale della Ψ

          i
1 ( )  e  cos   i sin 
Numero di nodi = 2
  Numero di nodi = ml


Al crescere di ml la lunghezza d’onda
 diminuisce
     ↓
p=h/ cresce
     ↓
E=p2/2m cresce
       ml h              Momento
Jz  
       2
                         angolare




              Il momento angolare è quantizzato
  eiml         *  eiml e iml  1




La posizione della particella sull’anello è
     completamente indeterminata
                              2   2
                       m
                    E        l
                                             I  mr   2

                       2I
                     I livelli energetici si avvicinano
                     al crescere del raggio dell’anello
            Polieni ciclici
Energia di eccitazione e lunghezza dell’anello

                         Benzene λ = 204 nm

                         Azulene      λ = 340 nm
         Regola di Huckel            4n+2




   n=1                                   n=2



Sistemi con 4n elettroni sono in stato di tripletto
        PARTICELLA SULLA SFERA

Latitudine   Longitudine


                 distanza




                Coordinate sferiche
                     Una particella su una sfera
                     deve soddisfare 2 condizioni al
                     contorno cicliche

                     Questa richiesta porta a 2
                     numeri quantici per definire il
                     momento angolare

                     Le 2 condizioni al contorno
                     cicliche sono collegate


I due numeri quantici hanno una relazione
                           2
                    L
H T           T
                    2I
H ( ,  )  E ( ,  )
L  ( ,  )  2 IE ( ,  )
 2


L ( ,  )  l (l  1) ( ,  )
 2                     2
                                     l = 0, 1, 2, …
                                     ml = l, l-1, …, -l
Il momento angolare è quantizzato.

                           L’energia è
    l (l  1)   2
                           • quantizzata
 E
         2I                • indipendente da ml
                 l (l  1)   2
              E
                      2I
l

2
    ml -2     -1         0        +1   +2




1
    ml   -1    0        +1

0
    ml   0
  C60
    2
E  (  1)        I = me (0.7 nm)2
    2I

      2          2
 E  ' ('1)  ' ' (' '1)
      2I          2I



Ponendo l’’ = 4 e l’ = 5 calcoliamo ΔE = 398 nm.
Una transizione è stata osservata nell’UV-VIS a 404 nm.
Aromaticità sferica
2 (N+1)2
                      C60
N       2 (N+1)2
0             2
1             8
2          18
3          32
                      Au32
4          50
5          72
..          ..
        ,    Yl   ml
                              ,   Pl cos e
                                       ml             iml 



Autofunzioni: armoniche sferiche
Gli autovalori di L2 sono l(l+1)ħ2          con   l = 0, 1, 2, …
L’intero l è il numero quantico principale del momento angolare
Determina la grandezza del momento angolare


Gli autovalori di Lz sono mlħ        con     -l ≤ ml ≤ l
L’intero ml è il numero quantico magnetico
Determina la componente z del momento angolare
Per ciascun valore di l ci sono 2l+1 possibili valori di ml
              Conclusione
• La meccanica quantistica afferma che un corpo
  ruotante NON può avere un’orientazione
  arbitraria rispetto ad un asse. Questa vincolo
  sull’orientazione è detto quantizzazione spaziale.

• Il numero quantico ml è detto numero quantico
  magnetico perché indica l’orientazione di un
  campo magnetico causato dalla rotazione di un
  corpo carico attorno ad un asse.
       ARMONICHE SFERICHE

 ml = 0




Il numero di linee nodali aumenta al crescere di l: tanto più
grande il momento angolare, tanto maggiore l’energia cinetica.
    ARMONICHE SFERICHE

l               La distanza dall’origine
                corrisponde alla
                grandezza (modulo)
                della quantità disegnata




         ml
Rappresentazione vettoriale del
     momento angolare
               l=2




La lunghezza è costante.
L’orientazione nei 5 stati è diversa.
           Effetto Zeeman (1896)
                                    +1

l=1                                 0
                                    -1




l =0                                0




       B=0                    B0
         2l+1 livelli energetici
Conosciamo la proiezione del momento angolare
lungo l’asse z

Che valori hanno le proiezioni lungo x e y ?
ESPERIMENTO DI STERN-GERLACH (1921)

                       Problema
 le particelle hanno momento angolare intrinseco?

 Particelle cariche con momento angolare intrinseco
 hanno momento magnetico
 Interagiscono con un campo magnetico B non
 uniforme
                        N



                        S
a) Apparato sperimentale




b) Risultato classico atteso



c) Risultato sperimentale
   con atomi di Ag
                                     B uniforme           z
                                      Magnete
     Sorgente
                                          N                            x

                                                                                0
                                                          Fascio di Ag
                                              S
vapore di        Ag
   Ag                           collimatore
                                                                           schermo




                                        Numero atomi Ag
     N                                                        B0
           Fascio di                                         B unif
 B            Ag                                                       B non
                                                                      unif
             B  B z z  e z
     S          non
              uniforme
                                                          0                 z
           Atomi in un campo magnetico
 Teoria classica : interazione di un elettrone orbitante con il
 campo magnetico
                             μ

                                 r

                                     v
L’elettrone orbitante si comporta come una spira percorsa da
corrente
Momento magnetico μ  momento angolare L
In un campo magnetico B, l’energia di interazione è E = -μ.B

 B         Teoria classica: tutti i valori di μ in
       μ   modulo e direzione sono accettabili
           Fascio deflesso in modo continuo
Teoria quantistica: quantizzazione spaziale  solo certe
orientazioni sono accettabili




                                                 ml = +1
                                                 ml = 0
                                                 ml = -1
             B=0
      (2l+1) stati degeneri
      con ml = -l, …, +l             B≠0
                              (2l+1) stati con
                              energie diverse

            ml numero quantico magnetico
                                            Β
Particella con
                                               0
spin ½                                      z
( 107Ag o 1H)


                                            Β
Particella con                                 0
spin 1                                      z
(2H)



                                            Β
Particella con
                                               0
spin 3/2                                    z
(7Li)


Nell’esperimento di Stern-Gerlach con atomi di Ag non
compaiono (2 l + 1) fasci
       Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach



                                               ?

                                       Β
Particella con                            0
spin ½ (107Ag)                         z
                   Β
                      0
                   z
           Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach




                                              Β
Particella con                                   0
spin ½ (107Ag)                                z
                      Β
                         0            Una volta che abbiamo
                      z               selezionato una componente
                                       pura lungo l’asse z, rimane in
                                       quello stato
           Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach



                                                     ?

                                             Β
Particella con                                  0
spin ½ (107Ag)                               x
                      Β
                         0
                      z
           Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach

                                                              dietro
                                                                   davanti




                                               Β
Particella con                                    0
spin ½ (107Ag)                                 x
                      Β
                         0
                      z              Quello che è successo lungo
                                      l’asse z non ha importanza se
                                      ora guardiamo lungo l’asse x.
                                      Il fascio si divide ancora in 2.
  Esperimenti di Stern-Gerlach in sequenza

                 comp.Sz+                               Componente Sz+
Sorgente   SGz                 SGz                      Nessuna comp. Sz-
                  comp. Sz-



                 Fascio Sz+
                                                         Fascio Sx+
Sorgente   SGz                 SGx
                                                         Fascio Sx-
                  Fascio Sz-
                                     Fascio Sx+
                 Fascio Sz+                                 Fascio Sz+
Sorgente   SGz                 SGx                SGz       Fascio Sz-
                 Fascio Sz-          Fascio Sx-


Possiamo conoscere una sola delle componenti
                    Il modello vettoriale
  Immaginiamo che L precessi attorno all’asse z. Quindi la grandezza di L
  e della componente lungo z Lz sono costanti, mentre le componenti x e y
  possono avere qualunque valore e il loro valor medio è zero

  Un dato numero quantico l determina la grandezza del vettore L
                                                                   z

                L2  l (l  1)   2


                 L  l (l  1)
                                                                            L
La componente z può avere 2l+1 valori corrispondenti a             θ
            Lz  ml        l  ml  l
Nel modello vettoriale questo vuol dire che solo certi
angoli fra il vettore momento angolare e l’asse z sono
permessi
                   Il modello vettoriale
Esempio: l = 2                                   Lz


La grandezza del momento angolare è
                                                      Ly
       L  l (l  1)
         2             2
                           6   2


        L  l (l  1)  6

La componente del momento
                                                      Lx
angolare lungo z può essere

 l  ml  l              Lz  2,,0, ,2
Rappresentazione del momento angolare


            Proiezione lungo z
            definita



           Proiezioni lungo x
           ed y non specificate.
                      
           Un cono è una
           rappresentazione più
           realistica di un
           vettore.
                Principio di corrispondenza
        L                                    L
            z                                    z
                    L       =
                        z                                L
                                                          z =2
                L                                L
                                =0                       L =
                        L                                  z
                L           z
            L                                            L =0
                                                     L    z
                    L       = -
                        z                        L       L   =-
                                                            z
|L| =   2                                                L = -2
                                                          z

                                     |L| =   6
                          SPIN
Il risultato dell’esperimento di Stern-Gerlach NON è in accordo
1) con la fisica classica che predice una distribuzione continua
2) con quanto visto sinora sul momento angolare in meccanica
   quantistica: 2 l + 1 numero dispari di gruppi.

                        • Momento angolare intrinseco
                        • Non esiste un analogo classico, è un
                          effetto puramente quantistico

                                               s
Lo Spin è una proprietà quanto meccanica di molte
particelle fondamentali o di combinazioni di particelle.
E’ detto “spin” perché è un tipo di momento angolare ed è
descritto dalle equazioni che trattano il momento angolare.


Il momento angolare è un vettore.
Dovremmo essere capaci di determinare l’orientazione 3D e
la lunghezza di questo vettore.
L’esperimento rivela che è impossibile.
Possiamo conoscere una sola orientazione (per convenzione
l’asse z) e la sua grandezza simultaneamente, ma le altre
orientazioni sono completamente incognite.
        1 spin dell'elettrone                1
     s                       ms          
        2                                    2         S
   Lo spin dell’elettrone (s = 1/2) può avere solo 2
   orientazioni rispetto ad un asse specificato


Un elettrone  (↑) è un elettrone con ms = + 1/2

Un elettrone  (↓) è un elettrone con ms = - 1/2




                                                       S

  La lunghezza del momento angolare di spin è
                              1 1        3
   | S | =  s(s + 1) =       ( + 1) 
                              2 2        2
    NUMERI QUANTICI
   MOMENTO ANGOLARE
       Nome            Simbolo   Intervallo di
                                     valori
Momento angolare          l       0, 1, 2, …..
orbitale
Momento magnetico        ml      0, ±1, …, ±l
orbitale
Momento angolare di       s       1/2 per un
spin                               elettrone
Momento magnetico di     ms      ±1/2 per un
spin                               elettrone
                     Spin Nucleare I

 Isotopi con numero di massa pari  spin 0 o intero

  Numero pari di protoni + numero pari di neutroni
     nessuno spin             (12C and 18O)

  Numero dispari di protoni + numero dispari di neutroni
     spin = intero > 0         (14N)

 Isotopi con numero di massa dispari  spin
  semi-intero

  (13C, 1H, 31P, 19F, 15N)

				
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