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					                   Centro di massa
Consideriamo un sistema di due punti materiali di masse m1 e
m2 che possono muoversi in una dimensione lungo un asse x

                   m1                m2
                                                           x
                   x1         xc      x2
                         m1 x1  m 2 x 2 m1 x1  m 2 x 2
Centro di massa:    xc                 
                           m1  m 2           M

 Il centro di massa è in una posizione intermedia tra x1 e x2
 Il centro di massa è più vicino al corpo di massa maggiore
     Caso particolare: se m1=0 è xc=x2 (se m2=0 è xc=x1 )
Centro di massa di un sistema di punti
Per un sistema di n punti materiali in una dimensione si pone:
              m 1 x1  m 2 x 2  ...  m n x n   1    n
         xc 
                  m1  m 2  ...  m n
                                               
                                                 M
                                                     m x
                                                     i 1
                                                                 i   i



In 3 dimensioni, la posizione del centro di massa è definita da:
                                      
           m 1 r1  m 2 r2  ...  m n rn   1 n    
          rc 
                  m 1  m 2  ...  m n
                                               mi ri
                                             M i 1


               n                   n                         n
           1                  1                 1
      xc 
           M
                m i x i yc  M
               i 1
                                   m i yi zc  M
                                  i 1
                                                            m z
                                                            i 1
                                                                         i i



 Il centro di massa è un punto geometrico che si muove come
  se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema
            Moto del centro di massa
                                
 M rc  m1 r1  m 2 r2  ...  m n rn

                                
 M ac  m1a1  m 2 a 2  ...  m n a n

                                             
     M ac  F1  F2  ... Fn            Fext  M ac

Nella somma delle forze vanno considerate sia le forze
 interne (interazioni tra i punti del sistema) che quelle esterne
 (dovute all’azione di agenti esterni al sistema)
Per la terza legge di Newton, le forze interne sono a due a
 due uguali e opposte, quindi non contribuiscono alla somma
 a secondo membro, dove rimane la risultante delle sole forze
 esterne
               Forze interne e forze esterne
                                                f23
         f21
                                f13            m3
                    f31
               m1
                                                Fext,3
Fext,1


                           m2
                                      Fext,2
                          f32
                                 f12

La risultante delle forze interne è sempre nulla perchè sono a
due a due uguali in modulo e dirette in verso opposto
                   Quantità di moto
Per una particella si definisce il vettore quantità di moto:
                                 
                             p  mv
Derivando rispetto al tempo la quantità di moto si ha:
                              dp 
            dp    dv    
               m     ma  F  F 
            dt    dt                dt
L’equazione precedente è una formulazione più generale
 della seconda legge di Newton in quanto tiene conto della
 possibilità che la massa della particella possa variare nel
 tempo
       Quantità di moto di un sistema
Si definisce la quantità di moto di un sistema di punti materiali
come somma delle singole quantità di moto:
                                    
                    P  p1  p2  ... pn
                                                    
 Centro di massa:    M rc  m1 r1  m 2 r2  ...  m n rn
                                                    
                    M vc  m1v 1  m 2 v 2  ...  m n v n
La quantità di moto del sistema è pari alla quantità di moto
 che avrebbe il centro di massa se in esso fosse concentrata
 tutta la massa del sistema
Equazione del moto del centro di massa:
                                            
                         dv c dP          dP
         Fext    M ac  M          Fext 
                            dt   dt          dt
                Teorema dell’impulso
Consideriamo un punto materiale su cui agisce una forza molto
intensa per un breve intervallo di tempo Δt tra t1 e t2 (situazione
tipica in un urto):
                 
         dp    
  F(t)      dp  F(t)dt
         dt
  t2
          
           t2
                        
                              t2
                                            
   dp   F(t)dt  p2  p1   F(t)dt  Δp  J
  t1       t1                             t1


              t2          
Impulso:     J   F(t)dt  F Δt
                  t1


La variazione della quantità di moto è pari all’impulso
Conservazione della quantità di moto
 Sistema chiuso = nessuna particella può entrare o uscire dal
  sistema
 Sistema isolato = sistema di punti materiali in cui la risultante
  delle forze esterne è nulla
                          
                        dP       
              Fext   0     0  P  costante
                         dt
 In un sistema chiuso e isolato la quantità di moto del sistema
  si conserva (ma possono variare le quantità di moto delle
  singole particelle!)
 Se è nulla una sola componente della risultante delle forze
  esterne (es. Fext,x ) allora si conserva la corrispondente
  componente della quantità di moto (Px )
            Urto tra due punti materiali
 Processo di urto tra due punti materiali:
    l’interazione tra i due punti è di breve durata (da potersi ritenere
     istantanea) rispetto al tempo di osservazione del sistema
    durante l’urto, l’intensità delle forze esterne è trascurabile
     rispetto a quella delle forze di interazione tra i due corpi
 Affinchè si verifichi un processo di urto, non è necessario che
   ci sia il contatto tra le due particelle
       Negli esperimenti di fisica subnucleare, si verificano urti tra
        particelle elementari senza che queste vengano a contatto
 In un processo di urto si conserva la quantità di moto del
   sistema:
                                          
                       p1,i  p2,i  p1, f  p2, f

 il moto del centro di massa del sistema non risente dell’urto
    Urto completamente anelastico (1)
In urto completamente anelastico, le due particelle, dopo l’urto,
restano attaccate.
Conservazione della quantità di moto:
                                         m1v1  m 2 v 2
 m1v1  m2 v 2  (m 1  m2 )V         V
                                          m1  m 2

La velocità finale dei due corpi è pari alla velocità del centro
 di massa del sistema, che resta inalterata dall’urto
    Urto completamente anelastico (2)
In questo esempio, la particella di
massa m2 è inizialmente ferma (v2=0):

            m1v1
        V
           m1  m 2
                   Pendolo balistico
Il pendolo balistico è usato per
misurare la velocità dei proiettili
Il proiettile penetra nel blocco di legno
   (urto completamente anelastico):
        mv
    V
       M m
Il sistema blocco+proiettile oscilla,
 conservando la sua energia meccanica:
    1
      (M  m)V 2  (M  m)gh
    2
Ricavando V dalla seconda equazione e sostiuendo nella prima:
       M m
    v      2gh
        m
                          Urto elastico
In un urto elastico si conserva l’energia cinetica del sistema
Conservazione della quantità di moto:
          m1v1  m2 v 2  m1V1  m2V2
Conservazione dell’energia cinetica:
          1       1        1      1
            m1v1  m2 v 2  m1V1  m2V22
               2        2       2

          2       2        2      2

                     V1   
                            m1  m 2  v1  2m2 v 2
                                   m1  m 2
  Velocità finali:
                     V2   
                            m 2  m1  v 2  2m1v1
                                   m1  m 2

Se m1=m2 allora V1=v2 e V2=v1 (i corpi si scambiano le velocità)
       Urto elastico con bersaglio fisso
In questo caso v2=0 e le formule per le velocità finali diventano:
                   m1  m 2              2m1
            V1             v1   V2             v1
                   m1  m 2             m1  m 2

 Se m1=m2 :V1 = 0 e V2 = v1 (i corpi si scambiano le velocità)
 Se m2>>m1 : V1 ≈ -v1 e V2 ≈ 0 (il proiettile rimbalza sul
  bersaglio e torna indietro con velocità in modulo uguale a
  quella iniziale)
 Se m2<<m1 : V1 ≈ v1 e V2 ≈ 2v1 (il proiettile prosegue il suo
  moto indisturbato e il bersaglio schizza via con velocità pari
  al doppio della velocità iniziale del proiettile)

				
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posted:1/24/2013
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