Docstoc

Trigonometri

Document Sample
Trigonometri Powered By Docstoc
					      Smart Solution
UJIAN NASIONAL
 TAHUN PELAJARAN 2012/2013
   Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013




 Matematika SMA
           (Program Studi IPA)


                 Disusun oleh :
                 Pak Anang
SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah..


4. 1.      Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus..

                                        Nilai Perbandingan Trigonometri
                                                                 Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku



                                              Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?
                                                                                      ����                        ���� adalah sisi di depan sudut ����
                                                                      ����                        ����              ���� adalah sisi di depan sudut ����
                                                            ����                             ����                   ����  adalah sisi di depan sudut ����
                                                                            ����


                                                   Aturan Sinus dan Kosinus
                         Aturan Sinus                                                                                                                        Aturan Kosinus
        “Ada dua pasangan sudut–sisi yang berhadapan”                                                                                  “Diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut”


                                                                                                                                                                   ����                                         ?
                    ?              ����                  ����                        ����                                                                    ����               ����                     ����                 ����

               ����             ����                  ����                        ?
                                                                                                                                                               ?                                         ����
            sisi – sudut – sudut                sisi – sisi – sudut                                                                           sisi – sudut – sisi                          sisi – sisi – sisi

           (diketahui satu sisi dan            (diketahui dua sisi dan                                                                      (diketahui dua sisi dan                   (diketahui ketiga sisi
                 dua sudut)                   satu sudut di depannya)                                                                       sudut yang diapitnya)                           segitiga)




                          ����     ����     ����                                                                                                                  ����2 = ���� 2 + ���� 2 − 2�������� cos ����
                              =      =                                                                                                                                         ���� 2 + ���� 2 − ����2
                        sin ���� sin ���� sin ����
                                                                                                                                                            ⇒ cos ���� =
                                                                                                                                                                                     2��������




                                                                                                     Luas Segitiga

                                                                                                                                             ����
                                         ����                                                                ����                                                                    ����                 ����
                                                                                                      ����                      ����                  ����
                                   ����                                                      ����                                          ����                                             ����
                          alas – tinggi                                    sisi – sudut – sisi                         satu sisi dan semua sudut                             sisi – sisi – sisi

                              1                                                 1                                                1 ����2 sin ���� sin ����               ���� = √����(���� − ����)(���� − ����)(���� − ����)
                          ���� = (���� × ����)                                    ���� = �������� sin ����                              ���� =                                                        1
                              2                                                 2                                                2      sin ����                     dimana ���� = (���� + ���� + ����)
                                                                                                                                                                                      2




                                                                 ����                                          a         b
                                                  sin ���� =                                                       =
                                                                 ����                                        sin A sin B
                                                                                                                  ���� sin ����
                                                ⇒ ���� = ���� sin ����                                           ⇒ ���� =
                                                                                                                   sin ����

Halaman 152                             Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
                                             Luas Segitiga

                                                                                    ����
                                                                               ����
                                                                   ����
                                                     sisi – sudut – sisi

                                                                 1
                                                          ���� =     �������� sin ����
                                                                 2




                                   Luas Segi-n Beraturan
                                            Misal segidelapan beraturan.

                        Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.
                                                                                                360°
                          Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar                    8
                                                                                                       = 45°.

                    Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.




                                                           ����            ����




                                              Luas dan Keliling
                                              Segi-n Beraturan



                                                                 360°
                                                                  ����

                                                     ����                         ����




                                                                              ������������°
                                                   sudut pusat =
                                                                                 ����
                                                           1          360°
                                                  ���� = ���� ∙ ���� 2 sin (     )
                                                           2           ����


                                                                                    360°
                                                ���� = ��������√2 (1 − cos (                     ))
                                                                                     ����




Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)                               Halaman 153
  LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus:

      Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah
      segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut:

      Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah
      harus menggunakan aturan kosinus.

      Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah:
      -   Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus.
      -   Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah:
               o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat
                  sudut segitiga 180°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus.
               o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu
                  sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang
                  berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu
                  menggunakan sifat sudut segitiga 180°)



      Atau bisa digambarkan seperti berikut:




                                 Periksa jumlah komponen
                               yang diketahui dan ditanyakan




          3 sisi dan 1 sudut                                      2 sisi dan 2 sudut




                                                                        Periksa!
      Gunakan aturan kosinus                                   Apakah kedua pasangan
                                                                sisi dan sudut tersebut
                                                                  saling berhadapan



                                           Saling berhadapan                           Ada yang tidak berhadapan




                                                                                              Periksa!
                                         Gunakan aturan sinus                            Berapa jumlah sudut
                                                                                           yang diketahui




                                                                         Dua sudut                                 Satu sudut




                                                                   Cari sudut ketiga, lalu               Gunakan aturan kosinus
                                                                   gunakan aturan sinus                    dilanjutkan dengan
                                                                                                               aturan sinus




Halaman 154                Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
      Tipe Soal yang Sering Muncul
      Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus.
      Contoh Soal:
      Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah!
      Panjang BC adalah ….
                                                       10√2 cm B
      a. 4√2 cm                                     A
      b. 6√2 cm                                        60°
      c. 7√3 cm
      d. 5√6 cm                         D   30°        45°
                                                           C
      e. 7√6 cm

      Penyelesaian:
      Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus.
      Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut.

            Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga.
            1. ∆������������ dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut.
            2. ∆������������ dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut.

      Nah, ternyata ∆������������ tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus
      bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga!

      Sekarang amati ∆������������ ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar ∆������������ tepat diketahui
      minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang �������� terlebih dahulu.

      Perhatikan ∆������������,
                        A             Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi ��������. (2 sisi dan 2 sudut)
                                      Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan?
                             ?        Ya! Maka pada ∆������������ berlaku aturan sinus:
        D     30°           45°
                                  C              ��������   ��������            ��������
                                                      =       ⇒ �������� =        × sin ����
                                                sin ���� sin ����          sin ����
                                                                          10
                                                                     =          × sin 30°
                                                                       sin 45°
                                                                        10      1
                                                                     =        ×
                                                                       1        2
                                                                       2 √2
                                                                       10
                                                                     =
                                                                       √2
                                                                       10 √2
                                                                     =      ×     (rasionalisasi penyebut bentuk akar)
                                                                       √2 √2
                                                                       10√2
                                                                     =
                                                                          2
                                                                     = 5√2 cm

      Nah, sekarang perhatikan ∆������������,

                                      Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi ��������. (3 sisi dan 1 sudut)
              10√2 cm B               Pasti berlaku aturan kosinus pada ∆������������:
            A
              60°
                        ?                     �������� 2 = ��������2 + �������� 2 − 2 �������� �������� cos ����
        5√2 cm
                                                                2            2
                    C                               = (10√2) + (5√2) − 2(10√2)(5√2) cos 60
                                                                       1
                                                    = 200 + 50 − 200 ∙
                                                                       2
                                                    = 250 − 100
                                                    = 150 cm

                                      Jadi,
                                              �������� = √150 = √25√6 = 5√6 cm

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)                         Halaman 155
      Menentukan luas segi-n beraturan.
      Contoh Soal:
      Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….
      a. 192 cm2
      b. 172 cm2
      c. 162 cm2
      d. 148 cm2
      e. 144 cm2

      Penyelesaian:
      Ingat luas segitiga:



                                          ����
                                     ����
                            ����
                    sisi – sudut – sisi

                         1
                     ���� = �������� sin ����
                         2



      Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga
      penyusun segi-12 beraturan tersebut.

                                                Perhatikan ∆������������,
                                                                1
                                                    ����∆������������ = �������� �������� sin ∠������������
                                                                2
                                                                1
                                                              = ∙ 8 ∙ 8 ∙ sin 30°
                                                                2
                                 O                                   1
                                                              = 32 ∙
                           ����                                        2
                      8                                       = 16 cm2
                                 8
                                                Jadi, luas segi-12 beraturan adalah:
                A                                    ��������������������−12 ������������������������������������ = 12 × ����∆������������
                             B                                                        = 12 ∙ 16
                                                                                      = 192 cm2


      Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
      Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar ���� adalah:
                                                 1         360°       1
          ��������������������−���� ������������������������������������ = ���� ∙ ���� 2 sin      = 12 ∙ ∙ 82 ∙ sin 30° = 192 cm2
                                                 2          ����        2




Halaman 156                      Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
      Menentukan keliling segi-n beraturan.
      Contoh Soal:
      Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….
      a. 96√2 + √3 cm
      b. 96√2 − √3 cm
      c. 8√2 + √3 cm
      d. 8√2 − √3 cm
      e. √128 − √3 cm

      Penyelesaian:
      Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada
      salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi ��������.

                                             Perhatikan ∆������������,
                                             Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi ��������. (3 sisi dan 1 sudut)
                                             Pasti berlaku aturan kosinus:
                                                 ��������2 = ���� 2 + ���� 2 − 2 ���� ���� cos ����
                                                       = (8)2 + (8)2 − 2(8)(8) cos 30
                                                                                1
                                                       = 64 + 64 − 128 ∙ √3
                                O                                               2
                           ����                          = 128 − 64√3 cm
                  ���� = 8
                                ���� = 8       Jadi,

                  A                                  �������� = √128 − 64√3 cm
                            B


      Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah
          ��������������������−12 ������������������������������������ = 12 × ��������

                                    = 12√128 − 64√3 cm

                                    = 12 × √64√2 − √3 cm

                                    = 12 × 8√2 − √3 cm

                                    = 96√2 − √3 cm

      Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
      Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar ���� adalah:
                                                                                   1
           ��������������������−���� ������������������������������������ = ��������√2(1 − cos ����) = 12 ∙ 8 ∙ √2 (1 − √3) = 96√2 − √3 cm
                                                                                   2




Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)                           Halaman 157
      Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus.
                                                                                                       D                    F
      Contoh Soal:
      Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan
      panjang rusuk �������� = 6 cm, �������� = 3√7 cm, dan �������� = 3 cm.
                                                                                            E
      Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….
      a. 55√2 cm3
      b. 60√2 cm3
      c. 75√3 cm3                                                                                      A
      d. 90√3 cm3                                                                                                           C
      e. 120√3 cm3

      Penyelesaian:                                                                         B
      Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut:
                    D                F


         E




                    A
                                     C


         B

      Perhatikan ∆������������,
                A          3 cm          C



         6 cm
                           3√7 cm



         B

      Ingat lagi tentang luas segitiga,


                                                                                            ����
                                ����                                ����                                                   ����              ����
                                                             ����              ����                  ����
                          ����                            ����                             ����                                       ����
                    alas – tinggi            sisi – sudut – sisi       satu sisi dan semua sudut                  sisi – sisi – sisi

                        1                         1                              1 ����2 sin ���� sin ����       ���� = √����(���� − ����)(���� − ����)(���� − ����)
                    ���� = (���� × ����)            ���� = �������� sin ����            ���� =                                              1
                        2                         2                              2      sin ����             dimana ���� = (���� + ���� + ����)
                                                                                                                            2




      Ternyata kita bisa menggunakan rumus ���� = √����(���� − ����)(���� − ����)(���� − ����).
      Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti.
                                                    1
      Pilih saja rumus luas segitiga yang ���� = 2 �������� sin ����, dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari
      segitiga tersebut.

      Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan ∠����), dengan diketahui 3 sisi segitiga. (3 sisi dan 1 sudut)
      Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu:
          �������� 2 = ��������2 + �������� 2 − 2 �������� �������� cos ��������




Halaman 158                    Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
      Sehingga,
                                                                        ��������2 + �������� 2 − �������� 2
              �������� 2 = ��������2 + �������� 2 − 2 �������� �������� cos ���� ⇒ cos ���� =
                                                                             2 ∙ �������� ∙ ��������
                                                                                           2
                                                                            2
                                                                        (6) + (3√7) − (3)2
                                                                  =
                                                                             2(6)(3√7)
                                                                        36 + 63 − 9
                                                                  =
                                                                          36√7
                                                                         90
                                                                  =
                                                                        36√7
                                                                         5
                                                                  =
                                                                        2√7

      Jadi,
                             5
              cos ���� =
                           2√7

      Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut,


                 2√7
                                   √3
                B
                       5

      Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari ∠����,
                   √3
          sin ���� =
                   2√7
                                                                                                  1
      Dari nilai sinus ∠���� dan panjang sisi �������� dan �������� dan rumus luas segitiga ���� = 2 �������� sin ���� diperoleh luas
      segitiga ������������, yaitu:

                         1
              ����∆������������ = �������� �������� sin ∠����
                         2
                         1               √3
                        = (6)(3√7) (        )
                         2              2√7
                             9
                         =       √3 cm2
                             2

      Jadi, volum prisma tersebut adalah:

              ���� = �������� × ����
                 = ����∆������������ × ����
                   9
                 = √3 × 20
                   2
                 = 90√3 cm3




Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)                           Halaman 159
              Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:


1.    Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka
      luas segienam beraturan tersebut adalah ....
            A. 150 satuan luas                           ����       360°      TRIK SUPERKILAT:
                                         ��������������������−���� = ���� 2 sin
                                                         2          ����      Karena bangunnya adalah segienam, berarti
            B. 150 2 satuan luas                         6             360° sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari
                                      ⇒ ��������������������−6 = (10)2 sin            lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa
            C. 150 3 satuan luas                         2              6
            D. 300 satuan luas                         = 3 ∙ 100 ∙ sin 60° bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat
                                                               1            √3 yang berasal dari nilai sin 60°. Dari sini
            E. 300 2 satuan luas                       = 300 ∙ √3
                                                               2            tanpa menghitung kita akan tahu bahwa
                                                                  = 150√3                             jawaban yang benar hanya C saja.



2.    Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah ....
              A. 06 2  2 cm                                                                         360°
                                                    ���� = √���� 2 + ���� 2 − 2 ∙ ���� ∙ ���� ∙ cos
                                                                                                      ����
              B. 12 2  2 cm
                                                                                                                        360°                           360°
              C. 36 2  2 cm              ��������������������−���� = ���� ∙ ���� = ���� ∙ (√���� 2 + ���� 2 − 2 ∙ ���� ∙ ���� ∙ cos                   ) = ���� ∙ (√2���� 2 (1 − cos      ))
                                                                                                                         ����                             ����
              D. 48 2  2 cm
 6        6                                                                          1
              E.   72 2  2 cm ⇒ ��������������������−8 = 8 ∙ 6 (√2 (1 − 2 √2) )
     ����

                                                       = 48√2 − √2 cm


3.    Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah ....
                                                1              2����
                                       ���� = 12 ∙ ∙ ���� 2 ∙ sin ( ) ⇒ 192 = 3���� 2 ⇒ ���� 2 = 64 ⇒ ���� = 8 cm
              A. 96 2  3 cm                    2              12
                                                                                         360°
              B. 96 2  3 cm                     ���� = √���� 2 + ���� 2 − 2 ∙ ���� ∙ ���� ∙ cos
                                                                                          ����

              C. 8 2  3 cm              ��������������������−���� = ���� ∙ ���� = ���� ∙ (√���� 2 + ���� 2 − 2 ∙ ���� ∙ ���� ∙ cos
                                                                                                            360°
                                                                                                                ) = ���� ∙ (√2���� 2 (1 − cos
                                                                                                                                          360°
                                                                                                                                              ))
                                                                                                             ����                            ����

          8
              D. 8 2  3 cm
 8                                                                     1
                                       ⇒ ��������������������−8 = 12 ∙ 6 (√2 (1 − √3) )
              E.    128  3 cm                                         2
     ����
                                                   = 96√2 − √3 cm



4.    Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ....
            A. 432 3 cm              Karena bangun                     ����        360°     TRIK SUPERKILAT:
                                     segienam, maka     ��������������������−���� = ���� 2 sin          Karena segienam, berarti sudut
            B. 432 cm                                                  2          ����      pusatnya 60°, sementara jari-jari
                                     segitiga yang                     6             360° lingkaran luar adalah bilangan
            C. 216 3 cm              terbentuk adalah ⇒ ��������������������−6 = (12)2 sin
                                             segitiga sama sisi.       2              6   bulat tanpa bentuk akar, jadi
              D.   216 2 cm 12         12 Akibatnya semua sisi                                    = 3 ∙ 144 ∙ sin 60°            jawabannya pasti memuat √3
                                                                                                          1                      yang berasal dari nilai sin 60°. Dari
              E.   216 cm                    segitiga adalah 12 cm.                               = 432 ∙ √3                     sini tanpa menghitung kita akan
                                                                                                          2                      tahu bahwa jawaban yang benar
                                  12                                                              = 216√3 cm2                    hanya A atau C saja.



Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.

Pak Anang.



Halaman 160                Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:39
posted:1/16/2013
language:
pages:10