Modul Matematika - sma mamatematika

Document Sample
Modul Matematika - sma mamatematika Powered By Docstoc
					                   Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)




                             an
                          lik
               be
             al
          rju
     M A T E M A T I K A
       pe


     PROGRAM STUDI IPA
     di
  k
da
Ti
                                                             Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


                                   KATA PENGANTAR


       Keputusan Menteri Pendidikan Nasional No. 153/U/2003, tanggal 14 Oktober 2003,
tentang Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran 2003/2004, antara lain menetapkan bahwa dalam
pelaksanaan ujian akhir nasional ada mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh pusat
dan ada mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh sekolah. Mata pelajaran yang naskah
soalnya disiapkan oleh pusat untuk SMA dan MA adalah (1) Program IPA mata pelajaran
Bahasa dan Sastra Indonesia, Bahasa Inggris, dan Matematika; (2) Program IPS mata pelajaran
Bahasa dan Sastra Indonesia, Bahasa Inggris, dan Ekonomi; (3) program Bahasa mata pelajaran




                                                                        an
Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, dan bahasa asing lainnya (Bahasa Arab, Bahasa Jepang,
Bahasa Jerman, Bahasa Prancis atau Bahasa Mandarin).




                                                                     lik
       Berkaitan dengan hal tersebut, Pusat Penilaian Pendidikan menyiapkan buku panduan
materi untuk mata pelajaran-mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh pusat. Buku ini
memuat uraian tentang hal-hal sebagai berikut.




                                           be
1. Gambaran umum.
2. Standar kompetensi lulusan.
3. Ruang lingkup, ringkasan materi, beserta latihan dan pembahasannya.
                                         al
        Buku panduan materi ujian ini dimaksudkan untuk memberi arah kepada guru dan siswa
                                      rju
tentang materi yang akan diujikan berkaitan dengan berbagai kompetensi lulusan dalam mata
pelajaran-mata pelajaran tersebut. Dengan adanya buku panduan materi ujian ini, diharapkan
para guru dapat menyelenggarakan proses pembelajaran yang lebih terarah, dan para siswa dapat
belajar lebih terarah pula. Dengan demikian, diharapkan para siswa dapat mencapai hasil ujian
                       pe


yang sebaik mungkin.

       Semoga buku ini bermanfaat bagi berbagai pihak dalam rangka meningkatkan mutu
                     di



proses dan hasil belajar siswa.
       k




                                                     Jakarta, Desember 2003
     da




                                                     Kepala Pusat Penilaian Pendidikan,
Ti




                                                     Bahrul Hayat, Ph.D.
                                                     NIP 131602652




DEPDIKNAS                   Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                          i
                                                                                            Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


                                                               DAFTAR ISI


                                                                                                                              Halaman
Kata Pengantar ...........................................................................................................         i
Daftar Isi ....................................................................................................................   ii
Gambaran Umum.......................................................................................................               1
Standar Kompetensi Lulusan .....................................................................................                   2




                                                                                                          an
Ruang Lingkup dan Ringkasan Materi ......................................................................                          3
     •     Kompetensi 1 .................................................................................................          3




                                                                                                       lik
     •     Kompetensi 2 .................................................................................................         31

     •     Kompetensi 3 .................................................................................................         37




                                                                 be
     •     Kompetensi 4 .................................................................................................         44

     •

     •
                                                               al
           Kompetensi 5 .................................................................................................

           Kompetensi 6 .................................................................................................
                                                                                                                                  50

                                                                                                                                  57
                                                            rju
     •     Kompetensi 7 .................................................................................................         77
                                    pe
                                  di
           k
         da
Ti




DEPDIKNAS                                    Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                                                 ii
                                                        Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)




                                GAMBARAN UMUM

      •     Pada ujian nasional tahun pelajaran 2003/2004, bentuk tes Matematika




                                                                       an
            tingkat SMA/MA berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda,
            sebanyak 40 soal dengan alokasi waktu 120 menit.




                                                                    lik
      •     Acuan yang digunakan dalam menyusun tes ujian nasional adalah
            kurikulum 1994 beserta suplemennya, dan standar kompetensi lulusan.




                                          be
      •     Materi yang diujikan untuk mengukur kompetensi tersebut meliputi:
            persamaan dan fungsi kuadrat; fungsi komposisi dan invers; suku
                                        al
            banyak; sistem persamaan linear dan program linear; matriks; notasi
                                     rju
            sigma; barisan dan deret bilangan; eksponen dan logaritma; bangun
            ruang; ukuran pemusatan; ukuran penyebaran; peluang; fungsi
            trigonometri; persamaan dan pertidaksamaan trigonometri; logika
                    pe


            matematika; lingkaran; ellips; parabola; hiperbola; transformasi; vektor;
            limit; diferensial, dan integral.
                  di
   k
 da
Ti




DEPDIKNAS                  Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       1
                                                    Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)




                   Standar Kompetensi Lulusan

1. Siswa mampu memahami konsep dan operasi hitung pada bentuk aljabar,
   persamaan, pertidaksamaan, fungsi, sistem persamaan linear dan program linear,
   barisan dan deret bilangan, matriks, dan suku banyak, serta mampu
   menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
2. Siswa mampu memahami konsep kedudukan titik, garis, bidang, jarak, dan sudut




                                                                   an
   pada bangun ruang, serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
3. Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan mampu menggunakan
   kaidah pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta mampu




                                                                lik
   menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
4. Siswa mampu memahami konsep perbandingan dan fungsi trigonometri, serta
   mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.




                                      be
5. Siswa mampu memahami konsep logika matematika untuk penarikan kesimpulan
   dan pemecahan masalah.
6. Siswa mampu memahami konsep irisan kerucut, transformasi, dan vektor, serta
   mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
                                    al
7. Siswa mampu memahami konsep limit, diferensial, dan hitung integral, serta mampu
   menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
                                 rju
                  pe
                di
   k
 da
Ti




DEPDIKNAS              Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       2
                                                               Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)




       RUANG LINGKUP DAN RINGKASAN MATERI


    KOMPETENSI 1




                                                                                an
  Siswa mampu memahami konsep dan operasi hitung pada bentuk aljabar,
  persamaan, pertidaksamaan, fungsi, sistem persamaan linear dan program linear,
  barisan dan deret bilangan, matriks, dan suku banyak, serta mampu
  menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.




                                                                             lik
Ruang Lingkup




                                                 be
  I. 1. Logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma, fungsi eksponen, fungsi
        logaritma, dan fungsi rasional.

                                               al
  I. 2. Persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat.
  I. 3. Fungsi kuadrat, komposisi fungsi dan fungsi invers.
  I. 4. Sistem persamaan linear.
                                            rju
  I. 5. Program linear.
  I. 6. Notasi sigma, barisan bilangan dan deret.
  I. 7. Matriks.
  I. 8. Suku banyak.
                    pe


Ringkasan Materi
                  di



  I. 1. Logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma, fungsi eksponen,
        fungsi logaritma dan fungsi rasional.
   k




        A. Sifat-sifat eksponen
 da




                                                                p
                   p          q       p+q                a  ap
            1. a × a = a                              5.   = p
                                                         b  b
            2. a p : a q = a p − q                    6. a0 = 1
Ti




                       q                                            1
            3.  a p  = a p .q
                                                    7. a -p =
                                                                  ap
                                                                         p
                                                         q p
            4.   (a.b )   p
                              = a p .b p              8.  a = aq




DEPDIKNAS                         Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       3
                                                      Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


       B. Sifat-sifat logaritma
          1. a log b + a log c = a log bc
                                       b
          2. a log b − a log c = a log
                                       c
          3.  a log b n = n a log b

            4. a log b × b log c = a log c
                          c
            5. a log b = log b




                                                                      an
                         c log a

       C. Bentuk persamaan eksponen




                                                                   lik
          1. Jika a f ( x ) = 1 maka f (x ) = 0
          2. Jika a f ( x ) = a p maka f (x ) = p
            3. Jika a f ( x ) = a g ( x ) maka f (x ) = g ( x )




                                         be
            4. Persamaan eksponen yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.

       D. Pertidaksamaan eksponen
          1. Untuk 0 < a < 1           al
             a. Jika a f ( x ) ≥ a g ( x ) maka f (x ) ≤ g ( x )
                                    rju
             b. Jika a f ( x ) ≤ a g ( x ) maka f (x ) ≥ g ( x )
          2. Untuk a > 1
             a. Jika a f ( x ) ≥ a g ( x ) maka f (x ) ≥ g ( x )
                   pe


             b. Jika a f ( x ) ≤ a g ( x ) maka f (x ) ≤ g ( x )
                 di



       E. Bentuk persamaan logaritma
          1. Jika a log f ( x ) = a log p maka f ( x ) = p
          2. Jika a log f ( x ) = a log g ( x ) maka f ( x ) = g ( x )
   k




                                   dengan syarat : f ( x ) > 0 dan g (x ) > 0
 da




          3. Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.

       F. Pertidaksamaan logaritma
Ti




          1. Untuk 0 < a < 1
             a. Jika a log f ( x ) ≥ a log g ( x ) maka f (x ) ≤ g ( x )
             b. Jika a log f ( x ) ≤ a log g ( x ) maka f (x ) ≥ g ( x )
          2. Untuk a > 1
             a. Jika a log f ( x ) ≥ a log g ( x ) maka f (x ) ≥ g ( x )
               b. Jika a log f ( x ) ≤ a log g( x ) maka f (x ) ≤ g ( x )
                                       dengan syarat : f ( x ) > 0 dan g ( x ) > 0


DEPDIKNAS                Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       4
                                                       Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)




   Latihan dan Pembahasan

    1. Nilai x yang memenuhi persamaan 4 x + 3 =
                                                           4 x +5
                                                            8     adalah …
             9              2                9
       a. −             c.              e.
             5              5                5
              2             4
       b. −             d.                                                (Ebtanas 2000)




                                                                      an
             5              5

        Pembahasan :
          4 x + 3 = 8 x +5
                    4




                                                                   lik
                          x +5
        ( )
         2           ( )
           2 x + 3 = 23 4




                                         be
                     3x + 15
          2x + 6 =
                        4
              5x = −9
               x = −
                      9
                      5
                                       al
                                    rju
        Kunci : A

    2. Himpunan penyelesaian 2 log( x 2 − 3 x + 2) < 2 log(10 − x) , x ∈ R , adalah…
                   pe


       a. { x / − 2 < x < 1 atau 2 < x < 4 }
       b. { x / x < 1 atau x > 2 }
       c. { x / − 2 < x < 4 }
                 di



       d. { x / x > 10 }
       e. { }                                                    (Ebtanas 2002)
   k




    Pembahasan :                                               syarat :
       2log( x 2 − 3 x + 2 ) < 2log( 10 − x )                   ⊗ x 2 − 3x + 2 > 0
 da




              x 2 − 3 x + 2 < 10 − x                                   (x − 2) (x − 1) > 0
                x 2 − 2x − 8 < 0                                    x < 1 atau x > 2
Ti




             (x − 4) (x + 2) < 0                                 ⊗ 10 − x > 0
                    −2< x< 4                                            x < 10




DEPDIKNAS                 Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                         5
                                                      Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)




                  −2< x< 4
                x < 1 atau x > 2           -2                 4
                    x < 10
                                                  1       2


                                                                                   10
                                    − 2 < x < 1 atau 2 < x < 4




                                                                     an
       Kunci : A




                                                                  lik
                                2
    3. Nilai x yang memenuhi 3 x − 3x + 4 < 9 x −1 adalah …
       a. 1 < x < 2     c. − 3 < x < 2     e. − 1 < x < 2




                                         be
       b. 2 < x < 3     d. − 2 < x < 3
                                                                      (UAN 2003)
       Pembahasan :
          2
       3 x − 3 x + 4 < 9 x −1
          2
       3 x − 3 x + 4 < 3 2(x − 1)
                                       al
                                    rju
       x 2 − 3x + 4 < 2 x − 2
       x 2 − 5x + 6 < 0
       (x − 2)(x − 3) < 0
                   pe


       2< x<3

       Kunci : B
                 di



                                                                    2
    4. Jika x1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan :       3log x  − 3.3 log x + 2 = 0 ,
                                                                 
                                                                 
       maka x1 . x 2 = ….
   k




       a. 2             c. 8                    e. 27
 da




       b. 3             d. 24
                                                                      (UAN 2003)
                                2
       Pembahasan :  3log x  − 3.3 log x + 2 = 0
Ti




                             
                             
                      3log x − 2  3 log x − 1 = 0
                                             
                                             
       3log x = 2 atau 3log x = 1
             x = 9 atau x = 3
                   x1 . x 2 = 9 . 3 = 27

       Kunci : E


DEPDIKNAS                Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                         6
                                                     Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


  I. 2. Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat.

       A. Persamaan Kuadrat
            1. Bentuk Umum : ax 2 + bx + c = 0 , a ,b dan c ∈ R dan a ≠ 0
            2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara
               a. memfaktorkan
               b. melengkapi kuadrat sempurna
                                                      − b ± b 2 − 4ac
               c. menggunakan rumus ABC : x1.2 =




                                                                    an
                                                             2a
            3. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat :
               ax 2 + bx + c = 0 mempunyai : akar real berlainan jika D > 0




                                                                 lik
                                              akar real sama jika D = 0
                                              akar tidak real jika D < 0
               D adalah diskriminan ax 2 + bx + c = 0 , D = b 2 − 4ac




                                       be
            4. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :
               Akar-akar persamaan ax 2 + bx + c = 0 adalah x dan x .1   2
                            b                      c
               x1 + x 2 = −
                            a        al
                                dan x1 . x 2 =
                                                   a
            5. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya dengan cara :
                                  rju
               a. perkalian faktor : (x − x1 ) (x − x 2 ) = 0
               b. menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut :
                                  x 2 − (x + x )x + x .x = 0
                                          1     2       1 2
                   pe


            6. Menyusun persamaan kuadrat baru jika akar-akarnya diketahui
               mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang
               diketahui.
                 di



       B. Pertidaksamaan Kuadrat
          1. Bentuk Umum : ax 2 + bx + c < 0 , bisa juga menggunakan tanda >, ≤
   k




             atau ≥ , a ,b dan c ∈ R , a ≠ 0
          2. Menyelesaikan pertidak samaan kuadrat dengan menggunakan garis
 da




             bilangan atau grafik fungsi kuadrat.
          3. Pemakaian diskriminan persamaan kuadrat .
             Menentukan koefisien persamaan kuadrat yang akarnya memenuhi sifat
Ti




             tertentu.
             misal : akar real, akar tidak real, akar berkebalikan, dsb.




DEPDIKNAS               Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       7
                                                     Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)



  Latihan dan Pembahasan

    1. Jika x1 dan x 2 akar-akar persamaan x 2 + px + 1 = 0 , maka persamaan kuadrat
                             2    2
       yang akar-akarnya        +   dan x1 + x 2 adalah ….
                            x1 x 2
       a. x 2 − 2 p 2 x + 3 = 0        d. x 2 − 3 px + p 2 = 0
       b. x 2 + 2 px + 3 p 2 = 0             x2 + p2x + p = 0




                                                                    an
                                        e.
       c. x 2 + 3 px + 2 p 2 = 0
                                                                     (Ebtanas 2001)




                                                                 lik
       Pembahasan :
       Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β .
             2    2     2( x1 + x 2 )
       α=       +                      = − 2 p dan β = x1 + x 2 = − p




                                        be
                     =
             x1 x 2         x1 x 2
       Jadi persamaan kuadrat baru : (x − α )( x − β) = 0
                                 (x − (− 2 p ))(x − (− p )) = 0
                                      al (x + 2 p )(x + p ) = 0
                                        x 2 + 3 px + 2 p 2 = 0
                                   rju
       Kunci : C
                  pe


    2. Jika x1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + x − p = 0 , p konstanta
                      x       x
       positif, maka 1 + 2 = ….
                di



                      x 2 x1
                 1                      1                       1
       a. − 2 −                  c. 2 −                  e. 2 +
                 p                      p                       p
   k




           1                        1
       b.     −2                 d.
            p                       p
 da




                                                                 (Ebtanas 2001)
       Pembahasan :
                    x12 + x 2 2 (x1 + x 2 )2 − 2 x1 x 2 1 + 2 p
Ti




        x1 x 2
           +     =              =                      =
        x 2 x1         x1 x 2            x1 x 2           −p
           1
       = − −2
            p

       Kunci : A




DEPDIKNAS               Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       8
                                                     Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)



    3. Persamaan kuadrat x 2 + (m − 2 )x + 9 = 0 mempunyai akar-akar nyata. Nilai m
       yang memenuhi adalah ….
       a. m ≤ −4 atau m ≥ 8       c. m ≤ −4 atau m ≥ 10     e. − 8 ≤ m ≤ 4
       b. m ≤ −8 atau m ≥ 4       d. − 4 ≤ m ≤ 8
                                                              (Ebtanas 2002)
       Pembahasan :
       Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata D ≥ 0
       b 2 − 4ac ≥ 0




                                                                    an
       (m − 2)2 − 4.1.9 ≥ 0
       m 2 − 4m + 4 − 36 ≥ 0
                                              -4                 8
       m 2 − 4m − 32 ≥ 0




                                                                 lik
       (m − 8)(m + 4) ≥ 0
       m ≤ −4 atau m ≥ 8




                                        be
       Kunci : A

    4. Persamaan x 2 (1 − m ) + x(8 − 2m ) + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai
       m = ….
       a. − 2                   c. 0
                                      al              e. 2
                                   rju
             3                       3
       b. −                     d.
             2                       2
                                                                (UAN 2003)
                  pe


       Pembahasan :
       Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar :
       D=0
                di



       b 2 − 4ac = 0
       (8 − 2m )2 − 4(1 − m ) .12 = 0                m 2 + 4m + 4 = 0
       64 − 32m + 4m 2 − 48 + 48m = 0                (m + 2)2 = 0
   k




       4m 2 + 16m + 16 = 0                           m = −2
 da




       Kunci : A
Ti




  I. 3. Fungsi kuadrat, Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.
        A. Fungsi Kuadrat
           1. Bentuk Umum : f ( x ) = ax 2 + bx + c , a , b dan c ∈ R dan a ≠ 0
           2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabola, dengan persamaan :
                                 y = ax 2 + bx + c




DEPDIKNAS               Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       9
                                                                Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


                                                                                                     D
            3. Nilai maksimum atau nilai minimum y = ax 2 + bx + c adalah y = −
                                                                                                     4a
                           b
                 untuk x = −
                          2a
            4. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya :
               a. mempunyai titik balik maksimum/minimum ( p , q )
                  adalah y = f (x ) = α( x − p )2 + q
                 b. memotong sumbu x di (x1 ,0) dan (x 2 ,0)




                                                                                an
                    adalah y = f (x ) = α( x − x1 )( x − x 2 )

       B. Komposisi Fungsi :




                                                                             lik
          1. Komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi (lebih) secara berturutan.
          2. Notasi Komposisi Fungsi :
                     A                  B             C
                                f             g




                                                 be
                                                              x ∈ A , y ∈ B , dan z ∈ C
                                                              f ( x ) = y , g ( y ) = z dan h( x ) = z
                     x                  y             z
                                                              h( x ) = g ( f ( x )) = ( g o f )( x )
                                        h      al
                   g o f ( x ) = komposisi fungsi f dilanjutkan dengan fungsi g.
                                            rju
            3. Sifat Komposisi Fungsi :
                      f og ≠ go f
                      f o I = I o f = f , I adalah fungsi identitas
                       pe


                     ( f o g ) o h = f o (g o h )
       C. Fungsi Invers
                     di



                 A                  B
                          f                   x ∈ A dan y ∈ B
                                              f ( x ) = y , f −1 ( y ) = x
   k




                 x                  y
                         f -1                 f −1 adalah fungsi invers dari f.
 da




            Fungsi f mempunyai fungsi invers jika f korespondensi satu-satu.
            Sifat Fungsi Invers :
Ti




            1. f o f −1 = f −1 o f = I
            2.   (g o f )−1 =       f −1 o g −1




DEPDIKNAS                       Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                               10
                                                        Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)



   Latihan dan Pembahasan

    1. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum − 2 untuk x = 3 dan untuk
       x = 0 nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah ....
       a. f ( x ) = x 2 + 6 x + 8          d. f ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 16
       b.   f (x ) = x 2 − 6 x + 8             e.    f ( x ) = 2 x 2 − 12 x − 16
       c.   f ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 16




                                                                         an
                                                                           (Ebtanas 2002)
       Pembahasan :
       Fungsi kuadrat dengan nilai minimum − 2 untuk x = 3




                                                                      lik
       adalah f ( x ) = α( x − 3)2 − 2
                 f (0) = 16            f (0) = α(0 − 3)2 − 2 = 16




                                               be
                                       9α = 18
                                         α=2
                      ∴Fungsi kuadrat f (x ) = 2(x − 3)2 − 2

       Kunci : D
                                             al
                                       f ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 16
                                          rju
    2. Nilai maksimum dari fungsi f ( x ) = −2 x 2 + (k + 5)x + 1 − 2k adalah 5.
       Nilai k yang positif adalah…
                   pe


       a. 1                   c. 7               e. 9
       b. 5                   d. 8
                                                                   (UAN 2003)
                 di



       Pembahasan :
                                                    b 2 − 4ac 
                                                              
                                            −D                
       Nilai maksimum adalah y =                =−
   k




                                             4a          4a
        f ( x ) = −2 x 2 + (k + 5)x + 1 − 2k
 da
Ti




DEPDIKNAS                  Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       11
                                                         Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


                                b 2 − 4ac 
                                          
        Nilai maksimum : y = −             =5
                                     4a
                                (k + 5)2 − 4(− 2)(1 − 2k )
                                                          
                             −                             =5
                                           4(− 2 )
                             −  k 2 + 10k + 25 + 8 − 16k 
                                                          
                                                           =5
                                            −8




                                                                        an
                                  k 2 − 6k + 33 = 40
                                        k 2 − 6k − 7 = 0
                                       (k + 1)(k − 7 ) = 0




                                                                     lik
                                      k = −1 atau k = 7




                                           be
       Kunci : C

    3. Diketahui fungsi f ( x ) = 6 x − 3 dan g ( x ) = 5 x + 4
       Jika ( f o g )(a ) = 81 maka nilai a = ….
       a. –2
       b. –1
                             c. 1
                             d. 2
                                         al    e. 3
                                      rju
                                                                         (Ebtanas 2001)
        Pembahasan :
              f ( g (a )) = 81
                     pe


           f (5a + 4 ) = 81
        6(5a + 4 ) − 3 = 81
                    30a = 60
                   di



                        a=2

        Kunci : D
   k




                                  x −1       1
    4. Diketahui f ( x − 1) =           , x ≠ dan f −1 ( x ) adalah invers dari f ( x ) .
 da




                                 2x − 1      2
        Rumus f −1 (2 x − 1) = ….
           −x−2            1                x −1        1                      x +1
Ti




        a.        , x≠−                 c.        , x≠−                  e.          , x≠2
           2x + 1          2               2x + 1       2                     2x − 4
           − x +1          3               − 2x + 1       3
        b.        , x≠−                 d.          , x≠−
           4x + 3          4                4x + 3        4
                                                                         (Ebtanas 2002)




DEPDIKNAS                   Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       12
                                                         Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


       Pembahasan :
                       x −1
        f ( x − 1) =
                      2x − 1
        f (x ) =
                  (x + 1) − 1
                 2( x + 1) − 1
                     x
        f (x ) =
                 2x + 1
       Misal :     f ( x ) = y maka f −1 ( y ) = x




                                                                        an
                            x                                                    −y
                   y=                                              f −1 ( y ) =
                          2x + 1                                                2y −1
                                                                                 −x
                   2 xy + y = x                                    f −1 ( x ) =




                                                                     lik
                                                                                2x − 1
                                                                                 − (2 x − 1)
                   2 xy − x = − y                             f −1 (2 x − 1) =
                                                                                2(2 x − 1) − 1




                                           be
                                                                                − 2x + 1
                   x(2 y −1) = − y                                            =
                                                                                 4x − 3
                         −y
                   x=
                        2y −1            al
                                      rju
       Kunci : D

    5. Ditentukan g ( f ( x )) = f ( g ( x )) .
       Jika f ( x ) = 2 x + p dan g ( x ) = 3x + 120 , maka nilai p = ….
                    pe


       a. 30                    c. 90             e. 150
       b. 60                    d. 120
                                                                      (UAN 2003)
                  di



       Pembahasan :
                 g ( f ( x )) = f ( g ( x ))
              g (2 x + p ) = f (3x + 120 )
   k




       3(2 x + p ) + 120 = 2(3x + 120 ) + p
 da




         6 x + 3 p + 120 = 6 x + 240 + p
                         2 p = 120
                           p = 60
Ti




       Kunci : B




DEPDIKNAS                   Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                           13
                                                          Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


                                                                 2x − 1      4
    6. Fungsi f : R → R didefinisikan sebagai f ( x ) =                 , x≠− .
                                                                 3x + 4      3
       Invers dari fungsi f adalah f −1 ( x ) = ….
           4x − 1         2            4x + 1               2                  4x + 1       2
       a.         , x≠−            c.           , x≠                     e.           , x≠−
           3x + 2         3            2 − 3x               3                  3x + 2       3
           4x + 1       2              4x − 1               2
       b.         , x≠             d.           , x≠
           3x − 2       3              3x − 2               3
                                                                              (UAN 2003)




                                                                         an
     Pembahasan :
                                 Misal : f ( x ) = y , maka f −1 ( y = x )
       Cara I :                                           Cara II :




                                                                      lik
              2x − 1
        f (x ) =                                          Menggunakan rumus :
              3x + 4
           2x − 1                                                    ax + b
        y=                                                 f (x ) =




                                            be
           3x + 4                                                    cx + d
                                                                        − dx + b
       3 xy + 4 y = 2 x − 1                                f −1 ( x ) =
                                                                         cx − a
       3xy − 2 x = −4 y − 1               al               f (x ) =
                                                                     2x − 1
                                                                     3x + 4
                                       rju
                                                                        − 4x − 1
        x(3 y − 2 ) = −4 y − 1                             f −1 ( x ) =
                                                                         3x − 2
            − 4y −1                                                     4x + 1
        x=                                                 f −1 ( x ) =
                     pe


             3y − 2                                                     2 − 3x
                     − 4y −1
        f −1 ( y ) =                                      Kunci : C
                      3y − 2
                   di



                     4x + 1
        f −1 ( x ) =
                     2 − 3x
   k




       Kunci : C
 da




  I. 4. Sistem Persamaan Linear.
Ti




       Bentuk Umum :
       A. Sistem Persamaan Linear 2 peubah
           a1 x + a 2 y = a3
           
            b1 x + b2 y = b3




DEPDIKNAS                 Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                            14
                                                       Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)




       B. Sistem Persamaan Linear 3 peubah
          a1x + a2 y + a3 z = a4
          
           b1x + b2 y + b3 z = b4
          c x +c y +c z = c
           1      2      3      4

       C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
            Dengan cara :




                                                                     an
                  1. Substitusi
                  2. Eliminasi
                  3. Determinan
                  4. Matriks




                                                                  lik
  Latihan dan Pembahasan




                                        be
                                     x + y =1
                                    
    1. Himpunan penyelesaian :  y + z = 6


       adalah {(x , y , z )} .
                                      al
                                    2 x + y + z = 4
                                    
                                   rju
       Nilai dari x + z = ….
       a. −5                   c. 1             e. 3
       b. −3                   d. 2
                   pe


                                                                      (Ebtanas 1999)
       Pembahasan :
       x + y =1                            y+z =6
                 di



       y+z =6                         2x + y + z = 4
       x − z = −5                          − 2x = 2
                                               x = −1
   k




                       x − z = −5
                           z = −1 + 5 = 4
 da




                       ∴ x + z = −1 + 4 = 3
  Kunci : E
Ti




DEPDIKNAS                Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       15
                                                      Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)



                                                     5       4
                                                     x +     y
                                                                = 13
                                                     
    2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan : 
                                                     3 −     2
                                                                = 21
                                                     x
                                                             y
       adalah {(x0 , y 0 )}. Nilai x0 − y 0 = ….
                                  8                2
       a. 8                  c.                e.
                                 15               15
                                  6




                                                                     an
       b. 2                  d.
                                 15
                                                                       (Ebtanas 2000)
       Pembahasan :




                                                                  lik
       5 4                            5 4
         + = 13    ×1                  + = 13
       x y                            x y




                                        be
        3 2                           6 4
         − = 21       ×2               − = 42
        x y                           x y
                                         11
                                      al  x
                                            = 55

                                           x=
                                              11 1
                                                 = → xo =
                                                          1
                                   rju
                                              55 5        5
                      3 2
                        − = 21
                      x y
                  pe


                           2
                             = 15 − 21 = −6
                           y
                                 2      1       1
                            y=       = − → yo =
                di



                                −6      3       5
                                       1 1 3+5 8
                      Nilai x0 − y 0 = + =       =
                                       5 3   15    15
   k




       Kunci : C
 da




  I. 5. Program linear
Ti




  Program linear adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum suatu bentuk linear
  (bentuk atau fungsi obyektif atau fungsi tujuan) pada daerah himpunan penyelesaian
  suatu sistem pertidaksamaan linear.

  Nilai optimum tersebut dapat ditentukan dengan cara :
  1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.
  2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut.
  3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik sudut tersebut.



DEPDIKNAS                Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                      16
                                                           Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)




  Latihan dan Pembahasan

    1. Nilai minimum fungsi objektif (5 x + 10 y ) pada himpunan penyelesaian sistem
       pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah
       terasir gambar dibawah adalah…
          y




                                                                          an
                                                           a.   400
        32
                                                           b.   320
                                                           c.   240




                                                                       lik
        24

        16                                                 d.   200
                                                           e    160
                                                    x                      (Ebtanas 2001)




                                              be
           0        16        36    48



     Pembahasan :

           y                                al
                                         rju
      32
                          pe


      24                      Hp
               A
      16

                         B
                        di



       0
                                                x
                   16        36    48
                                    g2     g3
                        g1
   k




     Persamaan garis yang melalui (16, 0) dan (32, 0)
                   2 x + y = 32 ……. ( garis g1 )
 da




     Persamaan garis yang melalui (36, 0) dan (0, 24)
                   2 x + 3 y = 72 ……( garis g 2 )
Ti




     Persamaan garis yang melalui (48, 0) dan (0, 16)
                   x + 3 y = 48 ……..( garis g 3 )

     A adalah titik potong garis g1 dan g 2              B adalah titik potong garis g 2 dan g 3
                     2x + y = 32                                         2x + 3 y = 72
                     2x + 3 y = 72                                        x + 3 y = 48
                         −2 y = −40                                             x = 24
                            y = 20



DEPDIKNAS                     Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                           17
                                                    Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


                     2 x + y = 32                                 x + 3 y = 48
                          2 x = 12                                    3 y = 24
                            x=6                                         y =8
                    Koordinat titik A (6, 20)                   Koordinat titik B (24, 8)

     Koordinat titik sudut pada daerah penyelesaian
           (0, 32), (6, 20), (24, 8) dan (48, 0)

     Nilai optimum :




                                                                   an
     Bentuk obyektif : 5x + 10y

            Pada titik (0, 32)         5.0 + 10.32 = 320




                                                                lik
                       (6, 20)         5.6 + 10.20 = 230
                       (24, 8)         5.24 + 10.8 = 200               Nilai minimum
                       (48, 0)         5.48 + 10.0 = 240




                                       be
                    ∴ Nilai minimum 200
       Kunci : D

                                     al
    2. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua
       jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp 200,0 dengan keuntungan
                                  rju
       40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp 300,0 dengan keuntungan
       30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp 100.000,000 dan paling
       banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang
       dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah…
                  pe


       a. 30%             c. 34%              e. 40%
       b. 32%             d. 36%
                                                                  (Ebtanas 2002)
                di



       Pembahasan :
       Misal banyaknya kue jenis I = x buah dan kue jenis II = y buah
                                            200 x + 300 y ≤ 100000
                                            x + y ≤ 400
   k




       Sistem pertidaksamaan linear :
                                            x≥0
 da




                                            y≥0
                              40
       Laba kue I = 40% =         × 200 = 80
                             100
Ti




                              30
       Laba kue II = 30% =        × 300 = 90
                             100
                           ⊗ Bentuk obyektif : 80 x + 90 y




DEPDIKNAS              Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       18
                                                        Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


       Daerah himpunan penyelesaian :
           Garis 2 x + 3 y = 1000
                                                                          1000
              Titik potong dengan sumbu x (500, 0) dan sumbu y (0,             )
                                                                            3
              Garis x + y = 400
              Titik potong dengan sumbu x (400, 0) dan sumbu y (0, 400)
                y                       Titik potong :
                                        2 x + 3 y = 1000 × 1
            400                            x + y = 400 × 2




                                                                      an
            1000
              3
                        (200, 200)             2 x + 3 y = 1000
                   Hp                          2 x + 2 y = 800




                                                                   lik
                                           x           y = 200
               0             400     500
                                                       x = 200  (200, 200)
       Bentuk obyektif : 80x + 90y




                                                be
       Koordinat titik-titik sudut dan nilai optimum bentuk obyektif
            (0, 0)              800.0 + 90.0 = 0
            (400, 0)            80.400 + 90.0 = 32000
            (200, 200)
            (0,
                1000
                     )
                                              al
                                80. 200 + 90.200 = 34000
                                80.0 + 90.
                                            1000
                                                  = 30000
                                                                     maksimum
                                           rju
                   3                          3
                                          34000
       Laba maksimum Rp 34.000,0 =                × 100% = 34%
                                         100000
                     pe


       Kunci : C

    3. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan :
                   di



                  4 x + 2 y ≤ 60
                  2 x + 4 y ≤ 48
                  x ≥ 0 , y ≥ 0 adalah ….
   k




       a. 120               c. 116         e. 112
       b. 118               d. 114
 da




                                                               (UAN 2003)
       Pembahasan :
       Daerah himpunan penyelesaian :
Ti




       garis 4 x + 2 y = 60
             Titik potong dengan sumbu x (15, 0) dan sumbu y (0, 30)
       garis 2 x + 4 y = 48
             Titik potong dengan sumbu x (24, 0) dan sumbu y (0, 12)




DEPDIKNAS                 Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       19
                                                        Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)



             y                                          Titik potong garis
                                                        4 x + 2 y = 60 × 1
        30
                                                                            1
                                                        2 x + 4 y = 48 ×
                                                                            2
                                                                 4 x + 2 y = 60
                                                                   x + 2 y = 24
                                                                        3 x = 36
        12
                                                                          x = 12
                                                                          y=6




                                                                       an
                                                                              (12, 6)
            0
                                            x
                      15         24




                                                                    lik
                     ⊗ Bentuk obyektif : z = 6 x + 8 y
       Koordinat titik sudut- titik sudut : (0, 0), (15, 0), (0, 12), (12, 6)
       Nilai optimum : z = 6 x + 8 y pada titik :




                                           be
       (0, 0)         z = 6.0 + 8.0 = 0
       (15, 0)        z = 6.15 + 8.0 = 90
       (0, 12)        z = 6.0 + 8.12 = 96
       (12, 6)

       Kunci : A
                                         al
                      z = 6.12 + 8.6 = 120            maksimum
                                      rju
  I. 6. Notasi Sigma, Barisan Bilangan dan Deret
                   pe

       A. Notasi Sigma
          Notasi sigma atau ∑ digunakan untuk menyatakan Operasi penjumlahan
          bilangan berurutan.
          Sifat-sifat Notasi ∑ :
                 di



                n         n
          1. ∑ i = ∑ p
              i=m p=m
   k




                n            n
          2. ∑ k.i = k ∑ i , k = konstanta
 da




              i=m         i=m
              a −1       n         n
          3. ∑ i + ∑ k.i = ∑ k.i
Ti




              i=m i=a            i=m
                n+a             n−a
          4.      ∑ (i − a ) = ∑ (i + a )
              i=m+a            i=m−a
                n          n      n
          5. ∑ ai ± ∑ bi = ∑ (ai ± bi )
              i=m        i=m     i=m




DEPDIKNAS                  Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                      20
                                                     Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


       B. Barisan dan Deret Aritmetika
          ⊗ Barisan Aritmetika
             U1 , U 2 , U 3 , … , U n
             a , a + b , a + 2b , … , a + (n − 1)b

            ⊗ Deret Aritmetika
              U1 + U2 + U3 + … + U n
              a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n –1) b)




                                                                    an
               keterangan :
               U1 = a = suku pertama
               b = U2 – U1 = beda




                                                                 lik
               U n = a + (n − 1)b = suku ke–n
                     n                 n
               S n = {2a + (n − 1)b} = {a + U n } = Jumlah n suku pertama
                     2                 2




                                        be
               U n = Sn − Sn - 1

       C. Barisan dan Deret Geometri
          ⊗ Barisan Geometri
             U1 , U 2 , U 3 , … , U n
                                      al
                                   rju
             a , ar , ar 2 , … ar n −1

            ⊗ Deret Geometri
                  pe


              U1 + U2 + U3 + … + U n
               a + ar + ar 2 + … + ar n −1
                di



               keterangan :
               U1 = a = suku pertama
                    U2
               r =        = rasio
   k




                     U1
 da




               U n = ar n −1 = suku ke–n
                     a r n − 1
                              
               Sn =            , r >1
Ti




                       r n −1

                   a 1 − r n 
                             
               Sn =           , 0 < r <1
                     1− r  n
               S n = Jumlah n suku pertama




DEPDIKNAS               Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                      21
                                                       Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


       D. Deret Geometri tak hingga
          Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika − 1 < r < 1 ,
          r≠0
                  a
          S∞ =
                1− r
          S ∞ = Jumlah sampai tak hingga
             a = suku pertama
             r = rasio




                                                                      an
   Latihan dan Pembahasan




                                                                   lik
                   100       100
    1. Nilai dari ∑ 2k + ∑ (3k + 2 ) = …
                   k =1      k =1
       a. 25450             c. 25700             e. 50750




                                          be
       b. 25520             d. 50500
                                                                       (Ebtanas 1999)
       Pembahasan :
       100

       k =1
                 100
        ∑ 2k + ∑ (3k + 2 ) =
                 k =1
                                        al
                                     rju
       100                   100
        ∑ (2k + 3k + 2 ) = ∑ (5k + 2 ) = 7 + 12 + 17 + … + 502
       k =1                  k =1
       selanjutnya penjumlahan di atas dapat di cari dengan menggunakan rumus
                   pe


       jumlah n suku pertama deret aritmetika.
             7 + 12 + 17 + … + 502 = …
             a=7            b=5          U n = 502
                 di



             a + (n − 1)b = 502
             7 + (n − 1)5 = 502
              7 + 5n − 5 = 502
   k




                       5n = 500
 da




                                                                         100
                          n = 100 (n dapat ditentukan dari indeks atas ∑ )
                                                                         k =1
                     1
Ti




               Sn =    n(a + U n )
                     2
              S100 = 50(7 + 502)
                   = 25450

       Kunci : A




DEPDIKNAS                 Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                      22
                                                    Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


                                                                                16
    2. Suku kedua suatu Barisan geometri adalah 2 dan suku kelima adalah           . Suku
                                                                                27
       ketujuh adalah ….
           34               64                     32
       a.                c.                   e.
           84               243                    243
           32               34
       b.                d.
           81               243
                                                                    (Ebtanas 2000)
       Pembahasan :




                                                                   an
            U 2 = ar = 2
                        16
           U 5 = ar 4 =
                        27




                                                                lik
          U 5 ar 4      8
              =       =
          U2     ar     27




                                      be
                         8                  2
                   r3 =                  r=
                         27                 3
                                            2 2 3
                    ar = 2               a = = . =3
                                    al
                                    2
                                        6
                   U 7 = ar 6 = 3 ⋅   =
                                          64
                                            r 1 2
                                 rju
                                    3   243

       Kunci : C
                  pe


                                                                     5
    3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = n 2 +       n . Beda dari deret
                                                                     2
                di



       aritmetika tersebut adalah ….
               1                                       1
       a. − 5             c. 2                e.   5
               2                                       2
   k




                                1
       b. − 2             d. 2
                                 2
 da




                                   5
    Pembahasan :       Sn = n 2 +    n
                                   2
Ti




                                5      1
                       S1 = 1 + = 3 = a
                                2      2
                       S2 = 4 + 5 = 9
                       U n = S n − S n −1
                       U 2 = S 2 − S1
                                   1      1
                       U2 = 9 − 3 = 5
                                   2      2



DEPDIKNAS              Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                      23
                                                       Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


                              1   1
       beda = b = U 2 - U1 = 5 − 3 = 2
                              2   2

       Kunci : C

    4. Empat bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan
       pertama dan keempat adalah 46 dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah
       144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah ….
       a. 40               c. 98              e. 190




                                                                      an
       b. 50               d. 100
                                                              (Ebtanas 2002)
       Pembahasan :
       Misal bilangan tersebut a , a + b , a + 2b , a + 3b .




                                                                   lik
             a(a + 3b ) = 46                a 2 + 3ab = 46
              (a + b ) (a + 2b ) = 144         a 2 + 3ab + 2b 2 = 144




                                          be
                                                   46 + 2b 2 = 144
                                                           2b 2 = 98
                                        al                     b=7
                                                      a 2 + 3ab = 46
                                     rju
                                              a 2 + 21a − 46 = 0
                                             (a + 23)(a − 2) = 0
                                                          a=2
                   pe


            ∴ ke-4 bilangan tersebut 2, 9, 16, 23
              Jumlah ke-4 bilangan tersebut = 2+9+16+23 = 50

       Kunci : B
                 di



  5.   Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri.
       Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54
   k




       orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah ….
       a. 324 orang       c. 648 orang       e. 4.374 orang
 da




       b. 486 orang       d. 1.458 orang
                                                              (Ebtanas 2002)
       Pembahasan :
Ti




             U1 = 6
             U 3 = 54
             U3 ar 2 54
                 =      =               r2 = 9         r =3
             U1     a      6
             U 6 = ar 5 = 6 ⋅ 35 = 1.458 orang

       Kunci : D


DEPDIKNAS                 Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                      24
                                                    Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


    6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang
       bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah ….
           7                   4                       1
       a.                 c.                      e.
           4                   7                       4
           3                   1
       b.                 d.
           4                   2
                                                                           (UAN 2003)
       Pembahasan :
       Misal deret tersebut a , ar , ar 2 , ar 3 , ar 4 , ar 5 , … , ar n −1




                                                                     an
       S∞ = 7                               ar = 31 − r 2 
                                                           
                                                           
        a
                                            7(1 − r )r = 31 − r 2 




                                                                  lik
            =7                                                    
       1− r                                                       
       a = 7(1 − r )                        7 r − 7 r 2 = 3 − 3r 2




                                      be
       S∞genap = 3                          4r 2 − 7 r + 3 = 0
         ar
                =3                          (4r − 3)(r − 1) = 0
       1− r2
                                    al       3
                                            r= , r =1
                                 rju
                                             4
                                                    3
                                                 r=
                                                    4
                                      3       1 7
                   pe


                                a = 71 −  = 7. =
                                      4       4 4

       Kunci : A
                 di



  I. 7. Matriks
        Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam
   k




        baris dan kolom.
 da




                           a b 
                           c d 
       Misal : Matriks A =     
                               
                           e f 
Ti




                           g h
               Matriks B =     
                               
                                      a c 
       1. Transpose Matriks A = A t = 
                                      b d 
                                           
                  a b   e f   a ± e b ± f 
                   c d  ±  g h  = c ± g d ± h
       2. A ± B =                            
                                             




DEPDIKNAS              Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                      25
                                                       Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


                     a b   ka kb 
       3. k ⋅ A = k 
                     c d  =  kc kd  , k = konstanta
                                    
                                   
                   a b  e f   ae + bg af + bh 
       4. A ⋅ B = 
                   c d  g h  =  ce + dg cf + dh 
                                                    
                                                   
       5. Determinan matriks A = Det. A = A = ad − bc
          Matriks A disebut Matriks Singular jika det. A = 0
                                           1  d − b
       6. Invers Matriks A = A −1 =                     
                                       ad − bc  − c a 




                                                                     an
                                                        
                                 1 1
       7. A . I = I . A = A, I = 
                                  0 0  , I adalah matriks identitas
                                       
                                      




                                                                  lik
       8. A . A -1 = A -1 . A = I
       9. Jika Ax = B, maka x = A -1 . B




                                       be
            Jika xA = B, maka x = B . A -1
                      x adalah matriks


   Latihan dan Pembahasan            al
                                  rju
                                 2 0            1 2
                                 − 1 3  dan B =  0 2  .
       1. Diketahui matriks A =                      
                                                     
          Matriks C yang memenuhi ABC = I dengan I matriks Identitas adalah ….
                   pe


             1  2 4                 1  2 4               2 4
          a.                    c.                       −1 4
                                                         e. 
              4  −1 4
                                    6  −1 4
                                                          
                                                                  
                                                                  
                 di



                1     1              1         1
                                             − 
            b.  6     3           d.  3        3
               − 1    1              1        1 
                                                
                12    3               12      6 
   k
 da




       Pembahasan :

               ABC = I
Ti




                 2 0    1   2     1      0
                 − 1 3
                        
                          0     C =         
                            2
                                
                                      0
                                             1
                                               
                        2     4     1      0
                        
                        −1      C =         
                              4
                                
                                      0
                                             1
                                               
                                             −1
                                       2 4 1 0
                                       −1 4 0 1
                                  C =          
                                               



DEPDIKNAS               Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                        26
                                                      Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)



                                           1  4 − 4 1 0
                                      =
                                          12
                                             
                                             1 2  0 1
                                                        
                                                       
                                        1        1
                                               − 
                                      = 3        3
                                          1     1 
                                                  
                                         12 6 

       Kunci : D




                                                                     an
                              4 − 9                5 p − 5              − 10 8 
    2. Diketahui matriks A = 3 − 4p, B =
                                                   
                                                     1       , dan C =   
                                                                            − 4 6 p  . Jika
                                                        3 
                                                                          
                                                                                     
                                                                                     




                                                                  lik
       matriks A – B = C −1 , nilai 2p = ….
                                  1
       a. –1                 c.                       e. 2
                                  2




                                           be
              1
       b. –                  d. 1
              2
                                                                      (Ebtanas 2001)
       Pembahasan :
          A – B = C −1
                                         al
                                      rju
                                               −1
    4 − 9         5 p − 5   − 10 8 
    3 − 4p –
                 
                    1         =           
                        3   − 4 6 p
                                           
        4 − 5p         −4                     6 p − 8 
                    pe

                                        1
        
         2                    =
                                                       
                    − 4 p − 3    − 60 p + 32  4 − 10 
                                                        
                                       −8
                             –4 =
                  di



                                   − 60 p + 32
                            –8 = 240p – 128
                         240p = 120
   k




                                  1
                              p=
                                  2
 da




                            2p = 1

       Kunci : D
Ti




                                     4 3   a b  16 3 
                                    1 2 ×  c d  =  9 7 .
    3. Diketahui hasil kali matriks                   
                                                      
       Nilai a+b+c+d = ….
       a. 6 c.               8 e.           10
       b. 7 d.               9
                                                         (UAN 2003)




DEPDIKNAS                Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       27
                                                        Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)


      Pembahasan :

                 4 3   a b  16 3 
                
                1 2  c d  =  9 7
                                     
                                    
                     a b  1  2 − 3  16 3 
                     c d  = 5 −1 4   9 7
                                            
                                            
                     a b  1  5 − 15 
                    
                     c d  = 5  20 25 
                                         
                                        




                                                                       an
                   a = 1, b = -3, c = 4, dan d = 5
                   a+b+c+d=1–3+4+5=7




                                                                    lik
        Kunci : B

  I. 8. Suku banyak




                                            be
        Bentuk Umum Suku banyak :
                       a n x n + a n −1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 +….+ a1 x + a 0
                      a = konstanta
                      n = bilangan cacah
                                          al
        Suku banyak sering dinyatakan dengan f ( x )
        Nilai suku banyak f ( x ) untuk x = k adalah f (k )
                                       rju
        Teorema Sisa
        ⊗ Jika suku banyak f ( x ) dibagi (x − a ) maka sisanya adalah f (a ) .
                    pe


           Suku banyak f ( x ) dapat ditulis dalam bentuk :

                          f(x) = (x – a) . H(x) + S
                  di



                             (x – a)   =   pembagi
                               H(x)    =   hasil bagi
   k




                                  S    =   sisa
                                  S    =   f(a)
 da




        ⊗ Jika f ( x ) dibagi oleh pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n –1.
          Misal : pembagi = fungsi kuadrat
Ti




                          Sisa = fungsi linear

        Teorema faktor
        ⊗ Suku banyak f ( x ) mempunyai faktor (x − a ) jika dan hanya jika f (a ) = 0




DEPDIKNAS                 Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                       28
                                                           Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)



  Latihan dan Pembahasan

       1. Jika suku banyak P(x) = 2x 4 + ax 3 – 3x 2 + 5x + b dibagi oleh  x 2 −1
                                                                                 
                                                                                 
          memberi sisa (6 x + 5) maka a . b = ….
          a. –6                c. 1             e. 8
          b. –3                d. 6
                                                             (Ebtanas 2002)




                                                                           an
          Pembahasan :
          Sisa = S = f(x) = 6x + 5
          Pembagi  x 2 −1 = (x + 1) (x − 1)
                            




                                                                        lik
                            
              dibagi (x + 1) , maka sisa f(–1) = –1
              dibagi (x − 1) , maka sisa f(1) = 11




                                           be
          P(x) dibagi (x + 1) sisanya P(–1) = f(–1) = –1
          P(x) = 2x 4 + ax 3 – 3x 2 + 5 + b
            P(–1) = 2 – a – 3 – 5 + b = –1
                                         al
                              – a + b = 5 ……….(1)
            P(x) dibagi (x − 1) sisanya P(1) = f(1) = 11
                                      rju
            P(1) = 2 + a – 3 + 5 + b = 11
                                 a + b = 7 ……….(2)

                 Persamaan 1 : – a + b = 5
                    pe


                 Persamaan 2 : a + b = 7
                                    2b = 12
                                     b= 6
                  di



                                     a= 1
                                  a.b= 1.6 = 6

            Kunci : D
   k




       2. Diketahui (x + 1) salah satu faktor dari suku banyak :
 da




          f ( x ) = 2x 4 – 2x 3 + px 2 – x – 2, salah satu faktor yang lain adalah ….
            a.   (x − 2)         c.   (x − 1)         e.     ( x + 3)
Ti




            b.   (x + 2)         d.   ( x − 3)
                                                                          (UAN 2003)
            Pembahasan :
            Jika (x + 1) faktor dari f ( x ) , maka f (− 1) = 0
             f ( x ) = 2x 4 – 2x 3 + px 2 – x – 2
            f (− 1) = 2 + 2 + p + 1 – 2 = 0
                                      p = –3


DEPDIKNAS                  Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                         29
                                                      Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)



            f ( x ) = 2x 4 – 2x 3 + px 2 – x – 2
               –1        2        –2       –3       –1       –2
                                  –2        4       –1        2
                 2       2        –4        1       –2        0
                                   4        0        2
                         2         0        1        0




                                                                     an
               ∴ (x − 2) adalah faktor yang lain

            Kunci : A




                                                                  lik
                                         be
                                       al
                                    rju
                   pe
                 di
   k
 da
Ti




DEPDIKNAS                Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan                      30

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:6
posted:1/15/2013
language:Malay
pages:33