03 Ringkasan Materi Matematika by MediHarja

VIEWS: 141 PAGES: 41

									                                 Ringkasan Materi
                                             Matematika




                   28



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 28            11/07/2012 11:17:03
                                  Bab                                 Bentuk Pangkat, Akar,
                                                                          dan Logaritma
                                    1

                                                                                                   n
                                                                                  5)         a  an
                 Kelas X Semester 1                                                            = n
                                                                                             b  b
                  Standar Kompetensi                        Kompetensi Dasar
                                                                                  6) a0 = 1
                                                         Menggunakan                                  1
                  Memecahkan masalah yang                 aturan pangkat, akar,   8)        a−n =
                                                                                                       an
                  berkaitan dengan bentuk                 dan logaritma.
                  pangkat, akar, dan logaritma.          Melakukan                              Bentuk Akar
                                                                                       B.
                                                          manipulasi aljabar
                                                          dalam perhitungan
                                                          yang melibatkan         Pada bentuk akar berlaku sifat-sifat:
                                                                                              m
                                                          pangkat, akar, dan      1)    a = an
                                                                                      n m

                                                          logaritma.                        m a ×n b = m×n a×b
                                                                                  2)

                                                                                  3)        m a m a
                     A.     Bentuk Pangkat                                                     =
                                                                                            n b n b
                Bentuk pangkat meliputi: pangkat bulat positif,                   4)        m
                                                                                                a × n a = mn a n × a m
                pangkat bulat negatif, dan pangkat nol.
                                                                                  5)
                                                                                            m
                                                                                              a mn a n
                       Secara umum perpangkatan bulat positif suatu                             =
                                                                                            n
                                                                                              b    am
                bilangan real didefinisikan sebagai
                                                                                       C.        Logaritma
                                         a = a × a × a × ... × a
                                           n

                                                                                  Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari
                                                 sebanyak n faktor
                                                                                  perpangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai
                                                                                  berikut.
                       Sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat
                untuk a, b ∈ R; m, n ∈ B ; a ≠ 0, b ≠ 0 (dengan R adalah
                                                                                                            x = an ⇔ alog x = n
                himpunan bilangan real dan B adalah himpunan
                bilangan bulat) adalah sebagai berikut,
                                                                                  untuk a > 0, a ≠ 1 dan x > 0.
                1)        am × an = am +n
                        am                                                        Keterangan:
                2)        n
                            = a m−n                                               a =bilangan pokok atau basis logaritma
                        a                                                         x = numerus, bilangan yang dicari logaritmanya, x > 0
                3)     (am)n = am × n                                             n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif

                4) (ab)n = an × bn

                                                                                                                                                   29



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 29                                                                                                          11/07/2012 11:17:06
                                                           an               m a
           Sifat-sifat logaritma:                    9)         log x m =     . log x
                                                                            n
           1)     a
                   log a = 1                                        1
                                                     10) alog         = − a log x
                                                                    x
           2)     a
                   log 1 = 0                               1
                                                     11)   a
                                                               log x = − a log x
           3)     a
                   log x + alog y = alog (x . y)
                                                     12) alog x . xlog y = alog y
                                                 x
           4)     a
                   log x – alog y = alog
                                                 y   13) alog an = n
           5)     a
                   log xn = n . alog x
                                                     14) log2x = log x . log x
                                     c
                             log x
           6)     a
                   log x =                                                  1
                             log a   c
                                                     15) log-1 x =
                               1                                          log x
           7)     a
                   log x = x
                             log a
                      a log x
           8)     a             =x




                   30



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 30                                          11/07/2012 11:17:07
                                    Bab                             Persamaan dan Fungsi
                                       2

                Kelas X Semester 1                                                B.      Persamaan Kuadrat
                  Standar Kompetensi                  Kompetensi Dasar
                                                                             Bentuk umum persamaan kuadrat dalah:
                                                    Memahami konsep
                                                     fungsi                                ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R, a ≠ 0
                  Memecahkan masalah
                                                    Menggambar
                  yang berkaitan dengan                                      Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan
                                                     grafik fungsi aljabar
                  fungsi, persamaan dan
                                                     sederhana dan           dengan:
                  fungsi kuadrat serta
                                                     fungsi kuadrat          1)        memfaktorkan;
                  pertidaksamaan kuadrat
                                                                             2)        melengkapkan bentuk kuadrat sempurna;
                                                                             3)        menggunakan rumus abc:

                             Pengertian Relasi dan Fungsi                                                    −b ± b2 − 4ac
                     A.                                                                             x1,2 =
                                                                                                                  2a
                Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah
                                                                             Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kadrat:.
                pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan
                                                                             1)        jumlah akar-akar persamaan kadrat:
                anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu                                              b
                fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu                          x1 + x2 = −
                                                                                                         a
                relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan              3)        hasil kali akar-akar persamaan kadrat:
                tepat satu anggota B.
                                                                                           x1 . x2 = c
                Fungsi f dari himpunan A ke B ditulis                                                a

                                                                                  C.      Fungsi Kuadrat
                                                 f:A→B
                              (dibaca: fungsi f memetakan A ke B)            Bentuk umum fungsi kuadrat
                                                                                          f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈R
                Pada fungsi f : A → B berlaku
                                                                             Cara-cara menentukan fungsi kadrat:
                1)        Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari
                                                                             a.        jika diketahui titik potong dengan sumbu x di
                          f, ditulis Df.
                                                                                       x1 dan x2, diganakan maka
                2)        Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain)
                                                                                           y = f(x) = a (x – x1) (x – x2);
                          dari f.
                                                                             b.        jika diketahui koordinat titik puncak (titik balik)
                3)        Himpunan dari semua peta f di B disebut daerah
                                                                                       nya P(p,q), digunakan y = f(x) = a(x – p)2 + q;
                          hasil (range) dari fungsi tersebut, ditulis Rf..
                                                                             c.        jika melalui tiga titik yang diketahui, digunakan
                                                                                            y = ax2 + bx + c.
                                                                                                                                   31



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 31                                                                                          11/07/2012 11:17:13
                             Bab
                                                                        Sistem Persamaan
                                  3

           Kelas X Semester 1                                             2)    Sistem persamaan linear dengan tiga variabel.
             Standar Kompetensi                      Kompetensi Dasar           Bentuk umumnya adalah
                                                  Menyelesaikan                       ax + by + cz = d
             Memecahkan masalah                    sistem persamaan                                             ;
                                                                                      kx + ly + mz = n
             yang berkaitan dengan                 linear dan sistem                   px + qy + rz = s
             sistem persamaan linear               persamaan                          
             dan pertidaksamaan satu               campuran linear dan
             variabel                              kuadrat dalam dua            a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s bilangan real.
                                                   variabel
                                                  Merancang model        3)    Sistem persamaan linear dengan persamaan
                                                   matematika dari              kuadrat. Bentuk umumnya adalah
                                                   masalah yang
                                                                                        y = ax + b
                                                   berkaitan dengan                                            ;
                                                                                        y = px + qx + r
                                                                                                2
                                                   sistem persamaan
                                                   linear
                                                                                a, b, p, q, r bilangan real.
                                                  Menyelesaikan
                                                   model matematika       4)    Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel.
                                                   dari masalah yang
                                                                                Bentuk umumnya adalah
                                                   berkaitan dengan
                                                   sistem persamaan                      y = ax 2 + bx + c
                                                                                        
                                                   linear dan                                                  ;
                                                                                         y = px + qx + r
                                                                                                 2
                                                                                        
                                                   penafsirannya
                                                                                a, b, c, p, q, r bilangan real.
                A.      Sistem Persamaan Linear

                                                                               B.   Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan
           Sistem persamaan linear terdiri atas dua atau lebih
           persamaan linear. Sistem persamaan linear terbagi              Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem per-
           atas:                                                          samaan linear dengan dua variabel dan persamaan
           1)     Sistem persamaan linear dengan dua variabel.            kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu:
                  Bentuk umumnya adalah                                   1)    substitusi,
                          ax + by = c                                    2)    eliminasi, dan
                                                ;
                           px + qy = r                                   3)    gabungan substitusi dan eliminasi.
                     a, b, c, p, q, r bilangan real.

                     32



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 32                                                                                      11/07/2012 11:17:14
                2)     Sistem persamaan linear dengan tiga variabel.       4)   Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel.
                       Bentuk umumnya adalah                                    Bentuk umumnya adalah

                                                                                     y = ax 2 + bx + c
                                                                                    
                               ax + by + cz = d                                                            ;
                                                       ;                            y = px + qx + r
                                                                                    
                                                                                             2

                              kx + ly + mz = n
                               px + qy + rz = s
                                                                               a, b, c, p, q, r bilangan real.

                       a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s bilangan real.   Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem
                                                                           persamaan linear dengan dua variabel dan persamaan
                3)     Sistem persamaan linear dengan persamaan            kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu:
                       kuadrat. Bentuk umumnya adalah                      1)   substitusi,
                                 y = ax + b                               2)   eliminasi, dan
                                                      ;
                                 y = px + qx + r
                                         2
                                                                           3)   gabungan substitusi dan eliminasi.

                       a, b, p, q, r bilangan real.




                                                                                                                       33



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 33                                                                              11/07/2012 11:17:16
                             Bab
                                                                         Pertidaksamaan
                                  4

           Kelas X Semester 1                                             1)   Pertidaksamaan linear, yaitu suatu pertidak-
             Standar Kompetensi                    Kompetensi Dasar            samaan yang mempunyai variabel pangkat
                                                  Menyelesaikan               satu.
                                                   pertidaksamaan              Contoh: x + 4 < 2x + 7
             Memecahkan masalah
                                                   satu variabel yang
             yang berkaitan dengan
                                                   melibatkan bentuk      2)   Pertidaksamaan kuadrat, yaitu suatu pertidak-
             fungsi, persamaan dan
                                                   pecahan aljabar             samaan yang mempunyai variabel pangkat
             fungsi kuadrat serta
                                                  Merancang model             dua.
             pertidaksamaan kuadrat
                                                   matematika dari
                                                                               Contoh: x2 – 2x + 4 < 7
                                                   masalah yang
                                                   berkaitan dengan       3)   Pertidaksamaan pecahan, yaitu suatu pertidak-
                                                   pertidaksamaan satu
                                                                               samaan yang mempunyai bentuk pecahan dan
                                                   variabel
                                                  Menyelesaikan               mengandung variabel x pada penyebutnya.
                                                   model matematika                       2x + 3
                                                                               Contoh:           >0
                                                   dari masalah yang                      1− 2 x
                                                   berkaitan dengan       4)   Pertidaksamaan nilai mutlak (harga mutlak),
                                                   pertidaksamaan
                                                                               yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai
                                                   satu variabel dan
                                                   penafsirannya               tanda mutlak. Pada pertidaksamaan nilai mutlak
                                                                               berlaku
                                                                               •	      x > 0 sama artinya –a < x < a.
               A.      Pengertian Pertidaksamaan                          	
                                                                          	    •	      x < 0 sama artinya x < –a atau x > a.
           Pertidaksamaan adalah suatu kalimat terbuka yang
                                                                          6)   Pertidaksamaan bentuk akar, yaitu pertidak-
           memuat satu variabel (peubah) atau lebih dan tanda-
                                                                               samaan yang variabelnya terletak di bawah
           tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, atau ≥).
                                                                               tanda akar. Cara penyelesaiannya diawali
                                                                               dengan menguadratkan kedua ruas.
                       Jenis-Jenis Pertidaksamaan
                                                                                    Contoh:     x −1 < 0
               B.      dan Penyelesaiannya

           Berdasarkan pangkat dari variabelnya (bentuk
           pertidaksamaan), pertidaksamaan dapat dibagi
           atas:

                    34



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 34                                                                                 11/07/2012 11:17:17
                                  Bab
                                                                  Logika Matematika
                                       5

                Kelas X Semester 1                                          A.   Kalimat Terbuka, Pernyataan, dan Negasinya
                  Standar Kompetensi               Kompetensi Dasar
                                                                        Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat
                                                  Memahami
                                                                        variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan,
                                                   pernyataan dalam
                  Menggunakan logika
                                                   matematika dan       apakah bernilai benar atau salah.
                  matematika dalam
                                                   ingkaran atau              Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat
                  pemecahan masalah
                                                   negasinya            ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau
                  yang berkaitan dengan
                                                  Menentukan           salah, tetapi tidak dapat terjadi benar dan salah
                  pernyataan majemuk dan
                                                   nilai kebenaran
                  pernyataan berkuantor                                 bersamaan.
                                                   dari suatu per-
                                                   nyataan majemuk            Ingkaran pernyataan (negasi penyataan) adalah
                                                   dan pernyataan       kebalikan dari penyataan. Jika pernyataan benar,
                                                   berkuantor           ingkarannya salah, dan sebaliknya.
                                                  Merumuskan
                                                   pernyataan yang
                                                   setara dengan            Ingkaran dari p dinotasikan dengan ~p, dibaca:
                                                   pernyataan majemuk       tidak p atau bukan p atau tidak benar bahwa p
                                                   atau pernyataan          atau non-p.
                                                   berkuantor yang
                                                   diberikan            Contoh:
                                                  Menggunakan
                                                                        p    = Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat.
                                                   prinsip logika
                                                   matematika yang               (benar/B)
                                                   berkaitan dengan     Ingkarannya:
                                                   pernyataan majemuk   ∼ p = Bandung bukan ibu kota Provinsi Jawa Barat.
                                                   dan pernyataan
                                                                                 (salah/S)
                                                   berkuantor
                                                   dalam penarikan      ∼ p = Tidak benar bahwa Bandung adalah ibu kota
                                                   kesimpulan dan                Provinsi Jawa Barat. (salah/S)
                                                   pemecahan masalah
                                                                            B.   Penyataan Majemuk

                                                                        Perrnyataan majemuk adalah penyataan yang terdiri
                                                                        dari dua pernyataan atau lebih dapat dihubungkan

                                                                                                                    35



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 35                                                                           11/07/2012 11:17:18
           dengan kata hubung, yaitu: ... dan ... , ... atau ... , jika   4)    Biimplikasi, dibentuk dari (p → q) ∧ (q → p),
           ... maka ..., dan ... jika dan hanya jika ... .                      dinotasikan dengan
           Contoh: Hari ini mendung atau langit berwarna biru.
                                                                                                      p⇔q

           Jenis-Jenis Kalimat Majemuk                                          dibaca: p jika dan hanya jika q,
           Ada empat pernyataan majemuk, yaitu:                                 p syarat cukup dan perlu untuk q,
           1)     Konjungsi, yaitu gabungan antara dua per-                     p ekuivalen dengan q
                  nyataan dengan memakai kata hubung ”dan”,
                                                                                Tabel kebenaran biimplikas:
                  dinotasikan dengan
                                                                                     p          q      p→q         q→p    p⇔q

                                      p ∧ q dibaca: p dan q                          B          B        B          B      B
                                                                                     B          S        S          B      S
                  Tabel kebenaran konjungsi                                          S          B        B          S      S
                            p                    q       p∧q                         S          S        B          B      B
                            B                    B           B
                            B                    S           S
                            S                    B           S                 C.   Ingkaran Pernyataan Majemuk
                            S                    S           S
                                                                          Ingkaran pernyataan majemuk terbagi atas
           2)     Disjungsi, yaitu gabungan antara dua pernyataan         1)    Ingkaran dari konjungsi, berlaku
                  dengan memakai kata hubung ”atau”, dinotasi-
                  kan dengan                                                                  ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

                                     p ∨ q dibaca: p atau q.
                                                                          2)    Ingkaran dari disjungsi, berlaku
                  Tabel kebenaran disjungsi
                            p                    q       p∨q                                  ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
                            B                    B           B
                            B                    S           B
                                                                          3)    Ingkaran dari implikasi, berlaku
                            S                    B           B
                            S                    S           S
                                                                                               ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
           3)     Implikasi, yaitu gabungan antara dua pernyataan
                  dengan memakai kata hubung ”jika … maka …”,             4)    Ingkaran dari biimplikasi, berlaku
                  dinotasikan dengan

                                                 p→q                                     ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

                  dibaca: jika p maka q, p hanya jika q,p syarat
                  cukup untuk q, q syarat perlu untuk p, atau q                D.   Konvers, Invers, dan Kontraposisi
                  jika p                                                  Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi baru,
                  Tabel kebenaran implikasi:                              yaitu:
                            p                    q       p→q
                                                                          •	    Konvers: q → p
                            B                    B           B
                                                                          •	    Invers: ~p → ~q dan
                            B                    S           S
                            S                    B           B            •	    Kontraposisi: ~q → ~p
                            S                    S           B

                   36



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 36                                                                                  11/07/2012 11:17:20
                               Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya             b) Aturan Tollens, berlaku
                     E.
                Pernyataan berkuantor terdiri atas:                                   Jika p→q benar dan ~q benar
                1)        Pernyataan berkuantor universal, dinotasikan                maka pernyataan ~p bernilai benar.
                          dengan

                                                   ∀p(x)                              p→q
                               (dibaca: “Untuk semua x, berlakulah p(x)”)             ~p
                                                                                      ∴ ~q
                          Ingkarannya adalah
                                                                                 c)   Silogisme, berlaku:
                               ~(“∀ p(x)) ≡ ∃x ~p(x) (dibaca: “ingkaran
                               untuk semua x yang berlaku p(x) adalah                 Jika p → q dan q → r keduanya benar
                               ada x yang bukan p(x)”).                               maka p → r juga benar.

                3)        Pernyataan berkuantor eksistensial, dinotasikan             p→q
                          dengan                                                      q→r
                                                   ∃(x) p(x)                          ∴ p→r
                                (dibaca: “Ada x sehingga berlaku p(x)”)
                                                                            3)   Penarikan kesimpulan dari pernyataan ber-
                          Ingkarannya adalah                                     kuantor
                                                                                 Contoh:
                                             ~(∃x p(x)) ≡ ∀x ~p(x)               p(x) : Jika suatu segitiga merupakan segitiga
                               (dibaca: “ingkaran beberapa x berlaku p(x)               sama kaki maka mempunyai dua sudut
                                      adalah semua x bukan p(x)”).                      sama besar.
                                                                                 ≡ Setiap segitiga sama kaki mempunyai dua
                     F.        Penarikan Kesimpulan                              sudut sama besar.

                Penarikan kesimpulan terbagi atas:
                1)        Penarikan kesimpulan dari pernyataan majemuk,
                          dengan aturan
                          a)    Modus Ponens, berlaku

                                Jika p → q benar dan p benar
                                maka pernyataan q bernilai benar.


                                p→q
                                p
                                ∴ q

                                merupakan argumentasi yang sah.




                                                                                                                       37



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 37                                                                              11/07/2012 11:17:21
                          Bab
                                                                        Trigonometri
                               6

           Kelas X Semester 1                                                 A.      Perbandingan Trigonometri
             Standar Kompetensi                    Kompetensi Dasar
                                                                         Rumus-rumus perbandingan trigonometri
             Menggunakan                          Melakukan
             perbandingan,                         manipulasi aljabar
             fungsi, persamaan,                    dalam perhitungan     1)    sin α = panjang sisi depan = y
                                                                                             panjang sisi miring   r
             dan identitas                         teknis yang
             trigonometri dalam                    berkaitan dengan            cos α = panjang sisi apit = x
             pemecahan masalah                     perbandingan,                             panjang sisi miring   r
                                                   fungsi, persamaan
                                                   dan identitas               tan α = panjang sisi depan = y
                                                                                               panjang sisi apit       x
                                                   trigonometri
                                                  Merancang model
                                                   matematika dari                          1
                                                                         2)        sin α =      ;
                                                   masalah yang                           cos α
                                                   berkaitan dengan                            1
                                                                                   cosec α =       ;
                                                   perbandingan,                             sin α
                                                   fungsi, persamaan                           1       cos α
                                                   dan identitas                   cotan α =         =
                                                                                             tan α sin α
                                                   trigonometri
                                                  Menyelesaikan         3)    sin (90° – α)          = cos α
                                                   model matematika            cos (90° – α)          = sin α
                                                   dari masalah yang
                                                                               tan (90° – α)          = cotan α
                                                   berkaitan dengan
                                                   perbandingan,               cotan (90° – α) = tan α
                                                   fungsi, persamaan
                                                                         4)        sin (180° – α) = sin α
                                                   dan identitas
                                                   trigonometri, dan           cos (180° – α)         = –cos α
                                                   penafsirannya               tan (180° – α)         = –tan α
                                                                               cotan (180° – α) = –cotan α

                                                                         5)    sin (180° + α)         = –sin α
                                                                               cos (180° + α) = –cos α
                                                                               tan (180° + α) = tan α
                                                                               cotan (180° + α) = cotan α

                   38



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 38                                                                             11/07/2012 11:17:23
                                                                             D.        Persamaan Trigonometri

                                                                        Untuk k ∈ B (B = himpunan bilangan bulat), diperoleh
                                                                        persamaan sebagai berikut,
                                                                        1)        Jika sin     x = sin a, penyelesaiannya adalah
                                                                                  x1 = a + k . 360°     x2 = (180° – a) + k . 360°
                                                                        2)        Jika cos x = cos a, penyelesaiannya adalah
                                                                                  x1 = a + k . 360°     x2 = –a + k . 360°
                                                                        3)        Jika tan x = tan a, penyelesaiannya adalah
                                                                                  x = a + k . 180°
                                                                        4)        Jika cotan x = cotan a, penyelesaiannya adalah
                                                                                  x = a + k . 180°


                     B.     Fungsi Trigonometri                                        Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Rumus
                                                                             E.        Segitiga
                Fungsi trigonometri dapat berbentuk sebagai
                berikut,
                1)     f(x) = a sin (kx + b)                            Aturan sinus:
                                        360° 2π
                       Periode =            =                                       a     b    c
                                         k    k                                        =    =
                                                                                  sin α sinβ sin γ
                       nilai maksimum = a         nilai minimum = – a
                                                                        Aturan kosinus:
                2)     f(x) = a cos (kx + b)
                                        360° 2π                                   1)    a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
                       Periode =            =
                                         k    k                                   2)    b2 = a2 + c2 – 2ac cos β
                       nilai maksimum = a         nilai minimum = – a             3)    c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

                3)     f(x) = a tan (kx + b)                            Luas segitiga:
                                        180° π                                                  1
                       Periode =            =                                           L∆ABC = b . c sin α
                                         k    k                                                 2
                       Tidak ada nilai maksimum dan minimum.                                     1
                                                                                         L∆ABC = ac sin β
                                                                                                 2
                                                                                                1
                     C.     Identitas Trigonometri                                      L∆ABC = a . b sin γ
                                                                                                2
                Contoh identitas trigonometri
                1) sin2 a + cos2 a = 1
                2)     1 + tan2 a = sec2 a




                                                                                                                             39



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 39                                                                                    11/07/2012 11:17:25
                             Bab
                                                                     Ruang Dimensi Tiga
                                  7


           Kelas X Semester 2
             Standar Kompetensi                     Kompetensi Dasar

             Menentukan                           Menentukan
             kedudukan, jarak,                     kedudukan titik,
             dan besar sudut                       garis, dan bidang
             yang melibatkan                       dalam ruang dimensi
             titik, garis, dan                     tiga
             bidang dalam ruang                   Menentukan jarak          Kedudukan suatu garis terhadap garis lain (dua garis)
             dimensi tiga                          dari titik ke garis dan   dibedakan atas:
                                                   dari titik ke bidang
                                                                             1)   Berimpit           3)   Berpotongan
                                                   dalam ruang dimensi
                                                   tiga                      3)   Sejajar            4)   Bersilangan
                                                  Menentukan besar
                                                   sudut antara garis
                                                   dan bidang dan
                                                   antara dua bidang
                                                   dalam ruang dimensi
                                                   tiga
                                                                             Kedudukan suatu bidang terhadap bidang lain (dua
                                                                             bidang) dibedakan atas:
                       Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang                    1)   Berimpit
                       pada Bangun Ruang                                     2)   Sejajar
                A.
                                                                             3)   Berpotongan


           Kedudukan titik dibedakan atas:
           1)     Titik terletak pada garis
           2)     Titik terletak di luar garis
           3)     Titik terletak pada bidang
           4)     Titik terletak di luar bidang




                     40



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 40                                                                                  11/07/2012 11:17:26
                     B.     Proyeksi Ruang


                Proyeksi ruang meliputi:
                1)     Proyeksi titik pada garis.
                2)     Proyeksi titik pada bidang.
                3)     Proyeksi garis pada bidang.




                                                     41



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 41            11/07/2012 11:17:28
                          Bab
                                                               Statistika dan Peluang
                               8


           Kelas XI Semester 2                                                       Statistika
                                                                                A.
             Standar Kompetensi                     Kompetensi Dasar
             Menggunakan                          Membaca data            Perbedaan Pengertian Statistik dengan Statistika
             aturan statistika,                    dalam bentuk tabel
                                                                           Statistik merupakan kumpulan angka-angka dari
             kaidah pencacahan,                    dan diagram batang,
             dan sifat-sifat                       garis, lingkaran, dan   suatu permasalahan, sehingga dapat memberikan
             peluang dalam                         ogive                   gambaran mengenai masalah tersebut. Sedangkan
             pemecahan masalah                    Menyajikan data         statistika adalah cara ilmiah yang mem pelajari
                                                   dalam bentuk tabel      pengumpulan, pengaturan, perhitungan, peng-
                                                   dan diagram batang,
                                                                           gambaran, dan penganalisisan data, serta penarikan
                                                   garis, lingkaran,
                                                   dan ogive serta         kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan
                                                   penafsirannya           yang dilakukan, dan pembuatan kesimpulan yang
                                                  Menghitung ukuran       rasional.
                                                   pemusatan, ukuran
                                                   letak, dan ukuran
                                                                           Penyajian Data Tunggal
                                                   penyebaran data,
                                                   serta penafsirannya     Penyajian data dapat berupa:
                                                  Menggunakan             1)    Diagram batang, yaitu penyajian data dengan
                                                   aturan perkalian,             menggunakan batang-batang berbentuk
                                                   permutasi, dan                persegi panjang dengan lebar batang yang
                                                   kombinasi dalam
                                                                                 sama dan dilengkapi dengan skala tertentu
                                                   pemecahan masalah
                                                  Menentukan ruang              untuk menyatakan banyaknya tiap jenis data.
                                                   sampel suatu            2)    Diagram lingkaran, yaitu penyajian data statistik
                                                   percobaan                     dengan menggunakan gambar yang berbentuk
                                                  Menentukan
                                                                                 lingkaran, yang dibagi atas juring-juring.
                                                   peluang suatu
                                                   kejadian dan            3)    Diagram garis, yaitu penyajian data pada
                                                   penafsirannya                 bidang Cartesius dengan menghubungkan
                                                                                 titik-titik data pada bidang Cartesius (sumbu x
                                                                                 dan sumbu y), sehingga diperoleh suatu grafik
                                                                                 berupa garis.

                   42



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 42                                                                                  11/07/2012 11:17:29
                4)     Diagram Batang daun, yaitu penyajian data yang
                       dibagi atas dua bagian, yaitu bagian batang dan                          Frekuensi relatif kelas ke-k
                       daun. Bagian batang memuat angka puluhan,                                          frekuensi kelas ke-k
                                                                                                      =                        × 100%
                       sedangkan bagian daun memuat angka                                                     banyak data
                       satuan.
                5)     Diagram kotak garis, yaitu penyajian data dalam               2)   Tabel distribusi frekuensi kumulatif,
                       bentuk kotak garis.                                                merupakan tabel frekuensi yang berisikan
                                                                                          frekuensi kumulatif (frekuensi hasil
                Penyajian Data Berkelompok                                                akumulasi). Frekuensi kumulatif adalah
                       Apabila data cukup banyak maka data                                frekuensi yang dijumlahkan, yaitu frekuensi
                dikelompokkan dalam beberapa kelompok,                                    suatu kelas dijumlahkan dengan frekuensi
                kemudian data tersebut disajikan dalam bentuk                             kelas sebelumnya.
                tabel distribusi frekuensi.
                       Langkah-langkah membuat tabel distribusi                 Ukuran Data Statistik
                frekuensi adalah sebagai beriku,.                               a.   Ukuran Pemusatan Data (Ukuran Tendensi
                1)     Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar.             Sentral)
                2)     Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi                   Ada tiga macam ukuran tendensi sentral,
                       frekuensi, dengan menggunakan metode                          yaitu:
                       Sturgs:                                                       a) Rata-rata atau mean ( x ), yaitu jumlah
                                                                                          seluruh nilai-nilai data dibagi dengan
                                   k = 1 + 3,3 log n                                      banyaknya data.
                                                                                          1)    Rata-rata untuk data tunggal (tidak
                       Keterangan:
                       k = banyak kelas              n = banyak data
                                                                                                berkelompok) , rumusnya adlah:
                3)     Tentukan interval kelas dengan rums:                                                                                        n


                                                                                                     x + x + x + .... + x n                        ∑x         i
                                                                                                   x= 1 2 3                 =                      i =1

                                                 R                                                           n                                         n
                                          I=
                                                 k                                        3)    Rata-rata untuk data berkelompok,
                       Keterangan:
                                                                                                rumusnya adlah:
                       I = interval kelas
                       R = range = jangkauan = data tertinggi – data terendah                                                                             n
                       k = banyak kelas
                                                                                                      f1x1 + f2 x 2 + f3 x 3 + .... + fn x n           ∑f x       i       i
                                                                                                 x=                                          =         i =1
                                                                                                                                                          n
                                                                                                           f1 + f2 + f3 + .... + fn
                4)     Tentukan batas atas kelas (Ba) dan batas bawah                                                                                     ∑f
                                                                                                                                                           i =1
                                                                                                                                                                      i


                       kelas (Bb).
                       Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan                         5)    Rata-rata sesungguhnya, rumusnya
                       atas:                                                                    adalah:
                       1)    Tabel distribusi frekuensi relatif: mempunyai                                                      n

                             frekuensi relatif dalam bentuk persentase                                                        ∑f d     i       i
                                                                                                                 x = x0 +      i =1
                             (%). Besarnya frekuensi relatif dapat                                                                n


                             ditentukan dengan rums:
                                                                                                                               ∑f
                                                                                                                                i =1
                                                                                                                                           i




                                                                                                                                                    43



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 43                                                                                                                    11/07/2012 11:17:30
                         7)    Rata-rata sesungguhnya dengan mem-           b. Ukuran Letak
                               faktorkan interval kelasnya, rumusnya               Ukuran letak suatu data dapat dinyatakan
                               adalah:                                         dalam bentuk fraktil.
                                                                                   Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi
                                                       n       
                                                       ∑ fi ui 
                                                                               seperangkat data yang telah berurutan menjadi
                                            x = x 0 +  i =1
                                                           n    I             beberapa bagian yang sama, yaitu:
                                                               
                                                       ∑ fi 
                                                       i =1 
                                                                               a) Kuartil, yaitu ukuran letak yang membagi
                                                                                   sekumpulan data tersebut menjadi
                               Keterangan:                                         4 bagian yang sama. Kuartil terbagi atas:
                                   x    (eksbar) = rata-rata data
                               n         = jumlah semua bobot data
                                                                                   •	     Kuartil bawah (Q1), terletak pada data

                                   x0    = rata-rata sementara
                                                                                          uruta ke- 1 ¼ (n + 1)
                                                                                                     4
                               fi        = bobot untuk nilai-nilai xi              •      Kuartil tengah (Q2), terletak pada data
                               xi        = nilai data ke-I
                                                                                          uruta ke- 1 ½ (n + 1)
                               I         = interval kelas
                                                                                                     2

                                        d                                          •      Kuartil atas (Q3), terletak pada data
                                u=        = faktor interval
                                        I                                                 uruta ke- 3 ¾ (n + 1)
                                                                                                     4
                                                                                   Rumus kuartil untuk data berkeompok:
                  b) Median (Md), yaitu nilai yang terletak di
                         tengah deretan data setelah diurutkan dari                                      j           
                         yang terkecil.                                                                     n − fkQ j
                                                                                                        4            
                                                                                          Q j = TbQ j +              I
                         Rumus median untuk data berkelopok:                                                 fQ j
                                                                                                        
                                                                                                                     
                                                                                                                      
                                                   1         
                                                       n − fk                      Keterangan:
                                                             
                                         Md = Tb +  2          I                  Qj   = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3)
                                                    f                           TbQi = tepi bawah kelas yang memuat Qj
                                                                                   n    = jumlah seluruh frekuensi
                                                                                   fkQi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas
                                                                                           yang memuat Qj
                         Keterangan:                                               fQi  = frekuensi kelas yang memuat Qj
                         Md = median                                               I    = lebar atau panjang kelas (interval kelas)
                         Tb = tepi bawah kelas
                         fk = frekuensi kumulatif

                  c)     Modus (Mo), yaitu data yang paling sering             b) Desil, yaitu ukuran letak yang membagi
                         muncul atau yang mempunyai frekuensi                      sekumpulan data menjadi 10 bagian.
                         terbanyak.                                                Rumus desil untuk data berklompok:
                         Rumus modus data kelompok adalah
                                                                                                       j            
                                                                                                           n − fkD j
                                                                                                       10           
                                                    d1                                D j = TbD j +               I
                                         Mo = Tb +            I                                            fD j
                                                    d1 + d2 
                                                                                                     
                                                                                                                    
                                                                                                                     

                         Keterangan:                                               Keterangan:
                         Mo = modus                                                Dj   = desil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 9)
                         d = selisih antara frekuensi kelas modus dengan           TbDi = tepi bawah kelas yang memuat Dj
                          1
                                frekuensi kelas sebelumnya                         n    = jumlah seluruh frekuensi
                         d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan          fkDi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas
                                frekuensi kelas sesudahnya                                 yang memuat Dj
                                                                                   fDi  = frekuensi kelas yang memuat Dj
                                                                                   I    = lebar atau panjang kelas (interval kelas)


                   44



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 44                                                                                        11/07/2012 11:17:32
                       d) Persentil, yaitu ukuran letak yang membagi                                               Peluang
                                                                                                            B.
                             sekumpulan data menjadi 100 bagian.
                             Rumus kuartil untuk data berelompok:                                      Permutasi
                                                                                                       Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah
                                                  j                                                  unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.
                                                     n − fkPj
                                                 4           
                                     Pj = TbPj +             I                                       Rumusny adalah:
                                                      fPj
                                                 
                                                             
                                                              
                                                                                                                                     Di mana: k ≤ n
                             Keterangan:
                             Pj   = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 99)
                             TbPi = tepi bawah kelas yang memuat Pj                                    Permutasi terbagi atas:
                             n    = jumlah seluruh frekuensi                                           1)    Permutasi dengan beberapa objek sama,
                             fkPi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas
                                     yang memuat Pj                                                          berlaku:
                             fPi  = frekuensi kelas yang memuat Pj
                             I    = lebar atau panjang kelas (interval kelas)                                a)     Banyaknya permutasi dari n objek dengan
                                                                                                                    r objek sama (r < n) adalah
                c.     Ukuran Penyebaran Data (Dispersi)
                       Ukuran penyebaran data terbagi atas:                                                                                            n!
                                                                                                                                                 P =
                                                                                                                                               n r
                                                                                                                                                       r!
                       a)    jangkauan atau range (R),berlaku:
                                                                                                             b) Banyaknya permutasi dari n objek, di mana
                                                  R = Xmaks – Xmin
                                                                                                                    ada beberapa objek sama, misalnya ada m1
                       c)    simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata                                             objek yang sama, ada m2 objek yang sama
                             (SR), rumusny adalah:                                                                  serta m3 objek yang sama, dan seterusnya
                                        n                                          n
                                                                                                                    adalah
                                       ∑x     i   −x                               ∑f     i   xi − x
                                SR =   i =1
                                                                 atau       SR =   i =1
                                                                                                                                                          n!
                                                                                                                                               =
                                                                                              n
                                              n                                                                           P
                                                                                          ∑f
                                                                                          i =1
                                                                                                  i
                                                                                                                        n m1 , m2 , m3 ,....
                                                                                                                                                   m1 ! m2 ! m3 ! ....

                       e)    simpangan baku/standar deviasi / deviasi
                                                                                                       3)    Permutasi siklis,berlaku:
                             standar (SD), rumusnya
                                                                                                             Banyaknya permutasi siklis dari n objek = (n –
                                                       n                                                     1)!
                                                    ∑ (x         − x)
                                                                        2
                                                             i
                                       SD =         i =1
                                                                             jika n > 30
                                                             n                                         Kombinasi
                                                       n                                               Banyaknya kombinasi r objek dari n objek ditulis
                                                    ∑ (x         − x)
                                                                        2
                                                             i
                                                                                                       dengan nCr atau Crn adalah
                                       SD =         i =1
                                                                             jika n ≤ 30
                                                           n −1
                                                                                                                                                     n!
                                                                                                                                     Cr =
                       f)    simpangan kuartil atau jangkauan semi                                                                             r ! (n − r )!
                                                                                                                                 n


                             interkuartil (Qd), rumusny adalah:

                                                                  1
                                                                                                       Peluang Suatu Kejadian
                                                           Qd =
                                                                  2
                                                                    (Q3 − Q1 )                               Peluang (P) merupakan ukuran mengenai
                             Keterangan:
                                                                                                       kemungkinan suatu kejadian tertentu akan
                             Qd = simpangan kuartil                                                    terjadi dalam suatu percobaanabilaJika hasil suatu
                             Q3   = simpangan atas
                             Q1   = simpangan bawah                                                    percobaan yang mungkin itu dihimpun dalam suatu

                                                                                                                                                                         45



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 45                                                                                                                                11/07/2012 11:17:33
           himpunan maka himpunan itu disebut ruang sampel                  Kejadian Majemuk
           yang dilambangkan dengan S.                                      Pada kejadian majeuk berlaku:
                  Peluang P untuk terjadinya suatu kejadian E               1)   Peluang kejadian saling asing atau kejadian sling
           adalah                                                                lepas:

                                                 n( E )                                        P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
                                   P(E ) =
                                                 n( S )                     3)   Untuk peluang kejadian sembarang A da B
                                                                                 berlaku:
           Keterangan:
           P(E) = peluang kejadian yang diharapkan sukses
           n(E) = banyaknya anggota kejadian E                                            P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
           n(S) = banyaknya anggota ruang sampel (banyaknya kejadian yang
           mungkin terjadi)
                                                                            5)   Pada kejadian A dan B saling bebas, kejadian A
           Peluang komplemen suatu kejadin berlaku:                              tidak memengaruhi kejadian B atau kejadian
                                                                                 B tidak memengaruhi kejadian A, sehinga
                               P(E ) = 1 – P(E)
                                     C
                                                                                 berlaku:

           Keterangan:
           P(EC) = peluang komplemen suatu kejadian                                            P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
           P(E) = peluang yang diharapkan sukses


                                                                            7)   Dua buah kejadian disebut kejadian tidak saling
           Frekuensi Harapan
                                                                                 bbas berlaku:
           Jika suatu percobaan dilakukan n kali maka peluang
           kejadian yang diharapkan adalah P(E). Perkalian
                                                                                            P(A ∩ B) = P(A) × P(B| A)
           antara berapa kali percobaan dilakukan dengan
           peluang kejadian itu dinamakan frekuensi harapan                      Peluang bersyarat P(B| A) artinya peluang
           (fh), ditlis dengan:                                                  terjadinya B setelah A terjadi.

                                 fh (E) = n × P(E)
           Keterangan:
           fh (E) = frekuensi harapan
           P(E) = peluang kejadian E
           n = banyak kejadian




                   46



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 46                                                                                  11/07/2012 11:17:34
                               Bab
                                                                           Trigonometri
                                   9


                Kelas XI Semester 2                                           B.     Sudut Ganda
                  Standar Kompetensi                    Kompetensi Dasar
                                                                            Rumus untuk sudut ganda
                  Menurunkan rumus                   Menggunakan
                  trigonometri dan                    rumus sinus dan
                  penggunaannya                       kosinus jumlah                  1) sin 2α = 2 sinα cos α
                                                      dua sudut, selisih              2) cos 2α = cos2 α– sin2 α
                                                      dua sudut, dan                                 2tan α
                                                      sudut ganda untuk               3) tan 2α =
                                                                                                    1− tan2 α
                                                      menghitung sinus
                                                      dan kosinus sudut
                                                      tertentu                       Penjumlahan dan Pengurangan Sinus,
                                                     Menurunkan rumus        C.     Kosinus, dan Tangen
                                                      jumlah dan selisih
                                                      sinus dan kosinus                               1               1
                                                     Menggunakan            1) sin P + sin Q = 2 sin    (P + Q) cos (P – Q)
                                                                                                      2               2
                                                      rumus jumlah dan                               1              1
                                                                             2) sin P – sin Q = 2 cos (P + Q) sin (P – Q)
                                                      selisih sinus dan                              2              2
                                                      kosinus                                          1               1
                                                                             3) cos P + cos Q = 2 cos (P + Q) cos (P –Q)
                                                                                                       2               2
                                                                                                       1              1
                            Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut               4) cos P – cos Q= –2 sin (P + Q) sin        (P – Q)
                    A.                                                                                 2              2
                Rumus jumlah dan selisih dua sudut adalah
                                                                              D.     Perkalian Sinus dan Kosinus
                       1)    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
                       2)    sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β        Rumus perkalian sinus dan kosinus

                       3)    cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
                       4)    cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β            1)    2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β)
                                                                                2)    2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β)
                       5)    tan (α + β) = tan α + tanβ                         3)    2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
                                                 1− tan α tanβ
                                                                                4)    –2 sin α cos β = cos (α + β) – cos (α – β)
                       6)    tan (α + β) = tanα + tanβ
                                                 1 + tan α tanβ



                                                                                                                           47



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 47                                                                                    11/07/2012 11:17:36
                          Bab
                                                                           Lingkaran
                               10


           Kelas XI Semester 1
             Standar Kompetensi                        Kompetensi Dasar         B.   Persamaan Garis Singgung Lingkaran
             Menyusun                               Menyusun
                                                                           Persamaan lingkaran dapat dibedakan atas:
             persamaan                               persamaan lingkaran
             lingkaran dan garis                     yang memenuhi         1)    Persamaan garis singgung di titik P(x1,y1) pada
             singgungnya                             persyaratan yang            lingkaran x2 + y2 = r2 adalah
                                                     ditentukan
                                                    Menentukan                                    x1 x + y1 y = r2
                                                     persamaan garis
                                                     singgung pada         2)    Persamaan garis singgung di titik P(x1,y1) pada
                                                     lingkaran dalam
                                                                                 lingkaran (x – a)2 + (y – b) 2 = r2 adalah
                                                     berbagai situasi
                                                                                        (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
                A.     Persamaan Lingkaran
                                                                           3)    Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) pada
           Persamaan lingkaran dapat dibedakan atas:
                                                                                 lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 adalah
           1)     Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0)
                  dan berjari-jari r adalah                                           x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0

                                                 x2 + y2 = r2
                                                                           4)    Persamaan garis singgung dengan gradien m
           2)     Persamaan lingkaran yang berpusat di M(a, b)                   terhadap lingkaran x2 + y2 = r2 adalah
                  dan jari-jari r adalah
                                                                                                   y = mx ± r 1+ m2
                                     (x – a)2 + (y – b) 2 = r2
                                                                           5)    Persamaan garis singgung dengan gradien m
           3)     Persamaan umum lingkaran adalah
                                                                                 terhadap lingkaran (x – a) 2 + (y – b) 2 = r2
                                x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0                      adalah

                  di mana titik pusatnya adalah (–A, –B) dan jari-                          (y − b) = m(x − a) ± r 1 + m2
                  jarinya adalah r sehingga

                                           r = A2 + B 2 − C

                     48



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 48                                                                                    11/07/2012 11:17:38
                               Bab
                                                                                 Suku Banyak
                                   11

                Kelas XI Semester 2                                                    B.      Menentukan Nilai Suku Banyak
                     Standar Kompetensi                  Kompetensi Dasar
                                                                                  nilai suku banyak dapat ditentukan dengan dua
                     Menggunakan                       Menggunakan
                                                                                  cara, yaitu
                     aturan sukubanyak                  algoritma
                     dalam penyelesaian                 pembagian                 1)    Cara subsitusi, dengan ketentuan
                     masalah                            sukubanyak untuk                    nilai suku banyak f(x) = an xn + an–1 xn–1 + an–2 xn–2
                                                        menentukan hasil                +… + a2 x2 + a1x + a0, untuk x = k dan k suatu
                                                        bagi dan sisa
                                                                                        bilangan real adalah
                                                        pembagian
                                                       Menggunakan
                                                        teorema sisa dan                        f(k) = an kn + an–1 kn–1 + an–2 kn–2 +…
                                                        teorema faktor                                  + a2 k2 + a1k + a0, a0 ≠ 0
                                                        dalam pemecahan
                                                        masalah
                                                                                  3)    Cara bagan atau skema. Cara ini merupakan
                                                                                        dasar untuk melakukan pembagian suku banyak
                            Pengertian Suku Banyak                                      dengan cara Horner (W.G. Horner 1786–1837).
                      A.
                                                                                        Misalkan: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d maka nilai x
                                                                                        diperoleh dengan cara
                Suku banyak adalah bentuk aljabar yang mempunyai
                lebih dari dua suku. Bentuk umum suku banyak
                                                                                        x=k a           b        c                       d
                dalam variabel x berderajat n adalah
                                                                                                        ak       ak + bk
                                                                                                                     2
                                                                                                                                   ak + bk2 + ck
                                                                                                                                     2
                                                                                                                                                        +
                              f(x) = an xn + an–1 xn–1 + an–2 xn–2 +…                            a      ak + b   ak2 + bk + c      ak3 + bk2 + ck + d

                                           + a2 x2 + a1x + a0                                                                   = [(ak + b)k + c]k + d


                berlaku:
                •	     an, an–1, … , a1 = koefisien-koefisien suku banyak              B.      Pembagian Suku Banyak
                                                 yang merupakan konstanta real
                                                 dan an ≠ 0.                      Misalkan f(k) = an kn + an–1 kn–1 + an–2 kn–2 +… + a2 k2 +
                •	     a0 = suku tetap yang merupakan konstanta real              a1k + a0 dibagi oleh (x – k) maka mendapatkan sisa
                •	     n = derajat suku banyak dan n adalah bilangan              H(x) sehingga berlaku
                             cacah

                                                                                                                                             49



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 49                                                                                                     11/07/2012 11:17:40
                                                                          1)   Teorema 1: Sukubanyak f(x) berderajat n dibagi
                                    f(x) = (x – k) . H(x) + S
                                                                               (x – k) maka sisanya S = f(k).
           Keterangan:
           f(x)    = suku banyak
           H(x)    = hasil bagi                                           2)   Teorema 2: Suku banyak P(x) yang berderajat
           (x – k) = pembagi
           S       = sisa
                                                                               n dibagi dengan (ax+b) maka sisanya adalah P

                                                                                b
                  Misalkan f(k) = an kn + an–1 kn–1 + an–2 kn–2 +… + a2        −  .
                                                                                a
           k2 + a1k + a0 dibagi oleh bentuk kuadrat (ax2 + bx +
           c; a ≠ 0) maka berlaku                                         3)   Teorema 3: Sukubanyak f(x) berderajat n dibagi
                                                                               (x – a)(x – b) maka sisanya
                         f(x) = (ax + bx + c) · H(x) + (px + q)
                                      2

                                                                                       x − a           x − b
                                                                                    S=       f (b ) +         f (a)
                                                                                       b−a             a −b

               D.      Teorema Sisa

           Sisa pembagian dapat ditentukan dengan
           menggunakan teorema berikut,




                    50



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 50                                                                             11/07/2012 11:17:41
                               Bab                                        Fungsi Komposisi
                                                                          dan Fungsi Invers
                                   12

                Kelas XI Semester 2
                                                                                   B.     Fungsi Invers
                  Standar Kompetensi                       Kompetensi Dasar

                  Menentukan                            Menentukan
                                                                                 Rumus untuk invers fungsi komposisi dari
                  komposisi dua                          komposisi fungsi dari
                  fungsi dan invers                      dua fungsi
                  suatu fungsi                          Menentukan invers           (f  g( x ))−1 = ( g −1  f −1( x ))
                                                         suatu fungsi                ( g  f ( x ))−1 = (f −1  g −1( x ))




                    A.      Fungsi Komposisi


                Fungsi komposisi g dan f berlaku

                             (f  g( x )) = f ( g( x ))
                             ( g  f ( x )) = g(f ( x ))




                                                                                                                             51



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 51                                                                                    11/07/2012 11:17:42
                            Bab                                              Limit Fungsi
                                13


           Kelas XI Semester 2                                                3)        lim (f ( x ) . g( x )) = xlim f ( x ). xlim g( x )
                                                                                                                   →x            →x
                                                                                        x → x0                        0             0

             Standar Kompetensi                          Kompetensi Dasar
                                                                              4)        lim k f ( x ) = k lim f ( x ) ; k = konstanta
                                                                                        x→a                  x→a
             Menggunakan                            Menjelaskan secara                                                   n
                                                                                        lim [f ( x )] =  lim f ( x ) ; n = bilangan bulat
                                                                                                      n
             konsep limit fungsi                     intuitif arti limit      5)
                                                                                        x→a                 x →a       
             dan turunan fungsi                      fungsi di suatu titik                       1           1
             dalam pemecahan                         dan di takhingga         6)         lim           =            , jika lim g( x ) ≠ 0
                                                                                        x → x 0 g( x )   lim g( x )        x → x0
                                                                                                          x → x0
             masalah                                Menggunakan
                                                     sifat limit fungsi                         f ( x ) xlim0 f ( x )
                                                                              7)        lim            =
                                                                                                          →x
                                                                                                                      , jika lim g( x ) ≠ 0
                                                                                        x → x 0 g( x )   lim g( x )          x → x0
                                                     untuk menghitung                                     x → x0

                                                     bentuk tak tentu
                                                                              8)        lim n f ( x ) = n lim f ( x ) ; lim f ( x ) ≥ 0
                                                     fungsi aljabar dan                 x→a                    x→a            x→a

                                                     trigonometri

                                                                                   B.         Limit Fungsi Trigonometri

                A.       Limit Fungsi Aljabar                                 Pada limit fungsi trigonometri berlaku
           Limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada                                 sin x
                                                                              1)        lim         =1
           suatu bilangan real, dinotasikan dengan                                      x→0     x

                                      lim f ( x ) = L                                            cos x
                                      x →a
                                                                              2)        lim            =1
                                                                                        x → x0     x

                  Dibaca: “limit fungsi f(x) pada saat x mendekati                            tan x
                                                                              3)        lim         =1
                                                                                        x→0     x
           a sama dengan L”.
                  nilai lim f (x) = L diperoleh dengan mensub-                                sin ax
                             x →a                                             4)        lim          =1
           stitusikan x = a ke bentuk f(x) yang tidak mendapatkan
                                                                                        x→0     ax
            0                              0                                                    ax
               . Jika mendapatkan             maka f(x) diubah                5)        lim          =1
            0                              0              0                             x→0   sin ax
           sedemikian sehingga tidak menghasilkan .
                                                                       0
                  Pada limit fungsi aljabar di suatu titik berlaku                            cos ax
                                                                              6)        lim          =1
           1)
                                                                                        x→0     ax
                     lim f ( x ) + g( x ) = lim f ( x ) + lim g( x )
                     x→a                     x→a         x→a
                                                                                                ax
           2)        lim f ( x ) − g( x ) = lim f ( x ) − lim g( x )          7)        lim          =1
                     x→a                     x→a         x→a
                                                                                        x→0   cos ax



                     52



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 52                                                                                                11/07/2012 11:17:44
                                Bab
                                                                      Turunan Fungsi
                                    14


                Kelas XI Semester 2
                  Standar Kompetensi               Kompetensi Dasar                                          f ( x + h) − f ( x )
                                                                                            f '( x ) = lim
                                                                                                     h→ 0             h
                  Menggunakan                     Menggunakan
                  konsep limit fungsi              konsep dan aturan     notasi lain untuk menyatakan turunan fungsi, yaitu
                  dan turunan fungsi               turunan dalam         df
                                                                            . Misalkan y = f (x) maka turunan fungsi tersebut
                  dalam pemecahan                  perhitungan turunan   dx
                                                                         berlak:
                  masalah                          fungsi
                                                  Menggunakan                        dy
                                                   turunan untuk                         = y ' = f '( x ) (notasi Leibnitz)
                                                                                      dx
                                                   menentukan
                                                   karakteristik
                                                   suatu fungsi dan
                                                   memecahkan                 B.   Rumus Menentukan Turunan Fungsi
                                                   masalah
                                                  Merancang model       Rumus untuk menentukan turunan fungsi adala:
                                                   matematika dari
                                                                         1)    f(x) = xn       ⇒ f ’(x) = nxn – 1
                                                   masalah yang
                                                   berkaitan dengan      2)    f(x) = axn      ⇒ f ’(x) = naxn – 1
                                                   ekstrim fungsi
                                                  Menyelesaikan         3)    f(x) = C . u ⇒ f ‘ (x) = Cu’, dengan C
                                                   model matematika            adalah konstanta
                                                   dari masalah yang
                                                                         4)    f(x) = u + v ⇒ f ‘(x) = u’ + v’
                                                   berkaitan dengan
                                                   ekstrim fungsi dan    5)    f(x) = u – v ⇒ f ‘(x) = u’ – v’
                                                   penafsirannya
                                                                         6)    f(x) = u . v ⇒ f ‘(x) = u’v + uv’

                    A.      Konsep Turunan                               7)    f(x) = u ⇒ f '( x ) = u ' v − uv '
                                                                                                            2
                                                                                       v                    v
                Apabila fungsi f (x) mempunyai turunan untuk setiap      8)    f(x) = sin x ⇒ f ‘(x) = cos x
                x anggota domain D, dengan D ∈ R (bilangan real)
                                                                         9)    f(x) = cos x ⇒ f ‘ x) = –sin x
                maka diperoleh turunan fungsi dari f (x) yaitu f ‘(x)
                                                                         10) f(x) = tan x ⇒ f '( x ) =            1
                yang dirumuska:                                                                                        = sec2 x
                                                                                                                cos2 x



                                                                                                                                    53



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 53                                                                                           11/07/2012 11:17:46
           Aturan rantai untuk turunan fungs:
           untua y = f(x) = g(h(x)), dengan t = h(x) maka

                                                     dy dy dt
                                        f '( x ) =     = .
                                                     dx dt dx



               C.      Persamaan Garis Singgung pada Kurva


           Gradien garis singgung kurva adalah


                                                             f ( x + h) − f ( x )
                      m = tan α = f '( x ) = lim
                                                      h→ 0            h




                    54



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 54                                      11/07/2012 11:17:47
                               Bab                                                      Integral
                                   15


                Kelas XII Semester 2                                                    B.       Integral Tak Tentu
                  Standar Kompetensi                     Kompetensi Dasar
                  Menggunakan                        Memahami konsep              Bentuk umum dari integral tak tentu dari fungsi f(x)
                  konsep integral                     integral tak tentu
                  dalam pemecahan                                                  terhadap x adalah
                                                      dan integral tentu
                  masalah                            Menghitung integral
                                                      tak tentu dan
                                                      integral tentu dari
                                                                                                                ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C
                                                      fungsi aljabar dan           Keterangan:
                                                                                   f(x) = fungsi integran
                                                      fungsi trigonometri          x    = variabel integrasi
                                                      yang sederhana               F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F (x) = f(x)
                                                     Menggunakan                  C    = konstanta

                                                      integral untuk
                                                                                   Pada integral tak tentu berlaku
                                                      menghitung luas
                                                      daerah di bawah                                       1
                                                                                   a.        ∫ x dx = n + 1 x          + C , n ≠ −1
                                                                                                n               n+1

                                                      kurva dan volum
                                                      benda putar
                                                                                                            a
                                                                                   b.        ∫ ax dx = n + 1 x         + C , n ≠ −1
                                                                                                    n            n+1




                            Pengertian Integral
                    A.                                                             c.        ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
                Integral suatu fungsi merupakan antiturunan
                (antidiferensial) dari fungsi tersebut. Integral                   d.        ∫ (f ( x ) + g( x ))dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g( x ) dx
                disimbolkan dengan ”∫”, sehingga integral dari fungsi
                f(x) terhadap peubah x dapat dituliskan dengan                     e.        ∫ ( f (x) − g(x))dx =∫ f (x) dx − ∫ g(x) dx
                                                                                   f.    Aturan integral subsitusi

                                          ∫ f ( x ) dx                                                                      1
                                                                                             ∫ (u( x )) u′( x )dx = r + 1(u( x ))
                                                                                                        r                             r +1
                                                                                                                                             + C;r ≠ 1
                Keterangan:
                ∫    = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang   h.    Aturan integral parsial
                       matematikawan Jerman)
                f(x) = fungsi integran
                x    = variabel integrasi                                                    ∫ u dv = uv − ∫ v du
                                                                                                                                                         55



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 55                                                                                                                11/07/2012 11:17:49
           j.      Aturan integral trigonometri                                     3)        Rumus menentukan luas daerah yang dibatasi
                     ∫ sin x dx = −cos x + C                                                  kurva f(x) dan sumbu x
                     ∫ cos x dx = sin x + C
                          1
                                                                                                                 b                       c

                     ∫ cos x dx = tan x + C
                            2
                                                                                                            L = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
                                                                                                                 a                       b



                C.       Integral Tertentu
                                                                                    4)        Rumus menentukan luas daerah yang dibatasi
           Bentuk umum dari integral tentu dari fungsi f(x)                                   dua kurva
           terhadap x dari x = a sampai dengan x = b adalah
                                                                                                      b                      b                   b

                                                                                                  L = ∫ f ( x ) dx − ∫ g( x ) dx = ∫ (f ( x ) − g( x )) dx
                            b

                            ∫ f ( x ) dx =[F ( x )]
                                                          b                                           a                      a                   a
                                                          a
                                                               = F (b ) − F ( a )
                            a
                                                                                    5)        Rumus menentukan luas daerah di sebelah
           Pada integral tertentu berlaku                                                     kanan sumbu y
                     b                   b
           a.        ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx                                                                             d

                                                                                                                         L = ∫ g( y ) dy
                     a                   a
                     a

           b.        ∫ f ( x ) dx = 0
                     a
                                                                                                                                 c


                                                                                    6)        Rumus menentukan luas daerah di sebelah kiri
                     b                   a
           c.        ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
                     a                   b
                                                                                              sumbu y

                     b                           b                  b                                                d                       c
           d.d.      ∫ (f ( x ) + g( x ))dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g( x ) dx
                     a                           a                  a
                                                                                                            L = − ∫ g( y ) dy = ∫ g( y ) dy
                                                                                                                     c                       d
                     b                           b                  b
           e. e.     ∫ (f ( x ) − g( x ))dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g( x ) dx
                     a                           a                  a
                                                                                    7)        Rumus menentukan luas daerah yang dibatasi
                     c               b                     c
                                                                                              kurva g(y) dan sumbu y
           f. f.     ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
                     a               a                     b
                                                                                                                         e                   d

                                                                                                             L = − ∫ g( y ) dy + ∫ g( y ) dy
                                                                                                                         c                   e



                D.       Menentukan Luas Daerah

                                                                                         E.      Menentukan Volume Benda Putar
           Rumus menentukan luas daerah dengan mengguna-
           kan integral                                                             Rumus untuk menentukan volume benda putar
           1)      Rumus menentukan luas daerah di atas sumbu x                     1)        Menentukan volume benda putar yang diputar

                                                                b
                                                                                              mengelilingi sumbu x
                                                         L = ∫ f ( x ) dx
                                                                                                                             b

                                                                                                             V = π ∫ (f ( x )) dx
                                                                a                                                                    2


           2)      Rumus menentukan luas daerah di bawah                                                                     a


                   sumbu x

                                                     b                   a

                                             L = − ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
                                                     a                   b




                     56



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 56                                                                                                               11/07/2012 11:17:50
                2)     Menentukan volume benda putar yang diputar               4)   Menentukan volume benda putar yang dibatasi
                       mengelilingi sumbu y                                          oleh kurva f(y) dan g(y) jika diputar mengelilingi
                                                                                     sumbu y
                                                          b

                                                 V = π ∫ (f ( y )) dy
                                                                  2



                                                                                                           (                  )
                                                                                                       b

                                                                                                 V = π ∫ (f ( y )) − (g( y )) dy
                                                          a                                                     2         2

                                                                                                       a




                3)     Menentukan volume benda putar yang dibatasi
                       oleh kurva f(x) dan g(x) jika diputar mengelilingi
                       sumbu x


                                                      (                     )
                                                  b

                                        V = π ∫ (f ( x )) − (g( x )) dx
                                                              2         2

                                                  a




                                                                                                                                   57



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 57                                                                                          11/07/2012 11:17:52
                            Bab
                                                                         Program Linear
                                 16


           Kelas XII Semester 2                                            2)       Tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan
             Standar Kompetensi                     Kompetensi Dasar                dengan cara mengujinya dan memilih
                                                                                    sebuah titik. Himpunan penyelesaian sistem
             Menyelesaikan                        Menyelesaikan
             masalah program                       sistem                           pertidaksamaan linear disebut juga daerah
             linear                                pertidaksamaan                   penyelesaian. Sedangkan daerah penyelesaian
                                                   linear dua variabel              sistem pertidaksamaan linear merupakan irisan
                                                  Merancang model
                                                                                    dari setiap daerah penyelesaian persamaan
                                                   matematika dari
                                                   masalah program                  linear yang menyusunnya.
                                                   linear
                                                  Menyelesaikan
                                                   model matematika
                                                                                       Model Matematika dari Masalah
                                                                                B.     Program Linear
                                                   dari masalah
                                                   program linear dan
                                                                           Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk
                                                   penafsirannya
                                                                           menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa
                                                                           matematika dengan menggunakan persamaan,
                       Sistem Pertidaksamaan Linear Dua                    pertidaksamaan, atau fungsi.
                A.     Variabel

           Sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri                    C      Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif
           dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua
                                                                                    Fungsi objektif disebut juga fungsi tujuan.
           variabel.
                                                                           Fungsi objektif dari suatu masalah program linear
           Contohnya: 2x + y < 5
                                                                           adalah fungsi yang akan dioptimalkan (maksimum
           Langkah-langkah menentukan penyelesaian suatu
                                                                           atau minimum). Bentuk umum fungsi objektif:
           pertidaksamaan linear dua variabel yaitu:
                                                                                    Untuk menentukan nilai optimum fungsi
           1)     Gambarlah garis lurus dengan mengubah tanda
                                                                           objektif ini, dapat digunakan dua metode, yaitu:
                  pertidaksamaan menjadi tanda persamaan.
                                                                           1)       Metode uji titik pojok atau titik sudut
                  Garis lurus ini akan membagi bidang koordinat
                                                                           2)       Metode garis selidik
                  menjadi 2 daerah bagian.


                     58



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 58                                                                                 11/07/2012 11:17:53
                                 Bab                                          Matriks
                                      17


                Kelas XII Semester 1                                       Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh
                  Standar Kompetensi                Kompetensi Dasar       banyaknya baris dan banyaknya kolom.
                  Menggunakan                     Menggunakan sifat-      Contoh:
                                                                                          2
                  konsep matriks,                  sifat dan operasi                 P =   → berordo 2 × 2, ditulis: P2×2
                  vektor, dan                      matriks untuk                          1
                  transformasi dalam               menunjukkan bahwa
                                                                           Transpos Matriks
                  pemecahan masalah                suatu matriks persegi
                                                   merupakan invers        Cara mengubah sebuah matriks menjadi matriks
                                                   dari matriks persegi    transpose
                                                   lain
                                                  Menentukan
                                                   determinan dan                       a b       a c
                                                                                     A=     ⇒ A =  b d
                                                                                                 T
                                                   invers matriks 2 x 2                 c d           
                                                  Menggunakan
                                                   determinan dan
                                                   invers dalam
                                                   penyelesaian sistem       B.    Operasi Hitung pada Matriks
                                                   persamaan linear
                                                   dua variabel
                                                                           Penjumlahan antarmatriks dapat dilakukan jika
                                                                           keduanya memiliki ordo yang sama. Pola umum
                            Pengertian Matriks                             penjumlahan dua matriks
                    A.


                Bentuk umum matriks adalah                                                    a b         e f 
                                                                                  Misal: A =      dan B =  g h maka
                                                                                              c d             


                                                                                         a b  e f   a + e b + f 
                                                                                  A+B =       +      =
                                                                                         c d   g h  c + g d + h
                                                                                                                 




                                                                                                                        59



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 59                                                                                11/07/2012 11:17:55
                  Pengurangan matriks A dan B berarti pen-              Determinan dan Invers Matriks
                                                                  C.
           jumlahan matriks A dengan matriks lawan B.
                                                                Determinan dari matriks persegi A dinotasikan
                                    A – B = A + (–B)            dengan |A|.

                  Pada perkalian matriks dengan bilangan real
                                                                   Misal:
           (skalar) berlaku
                                                                           a b
                                                                   1) A = 
                                                                           c d
                                                                               
                                            ka kb                     maka determinan A adalah
                                      kA = 
                                            kc kd 
                                                   
                                                                             a b
                                                                         A =      = ad − bc
                                                                             c d
                                                                                 
                  Pada perkalian dua matriks berlaku

                                                                              a b c
                                      Am×p × Bp×n = Cm×n
                                                                   2)    B = d e f 
                                                                                   
                                                                             g h i
                              a b         e f 
                  Misal: A =      dan B =  g h maka
                              c d             
                                                                           a b c a b
                                                                         B=d e f d e
                         a b   e f   ae + bg af + bh
                  A×B =             =                                g h i g h
                         c d   g h  ce + dg cf + dh 
                                                                            = (aei + bfg + cdh)− (ceg + afh + bdi )



                                                                                    a b
                                                                Invers matriks A =       berordo 2 × 2 adalah
                                                                                    c d
                                                                                        


                                                                                       1d      −b 
                                                                              A −1 =
                                                                                       A  −c
                                                                                               a 
                                                                                          1 d         −b 
                                                                                  =                         ; A ≠0
                                                                                       ad − bc  −c
                                                                                                      a 




                   60



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 60                                                                        11/07/2012 11:17:56
                                  Bab                                            Vektor
                                       18


                Kelas XII Semester 1                                          Vektor satuan
                  Standar Kompetensi                Kompetensi Dasar      adalah vektor yang

                  Menggunakan                     Menggunakan sifat-     arahnya searah
                  konsep matriks,                  sifat dan operasi      dengan vektor a dan
                  vektor, dan                      aljabar vektor dalam   panjangnya sama dengan satu satuan, ditulis:
                  transformasi dalam               pemecahan masalah
                  pemecahan masalah               Menggunakan sifat-
                                                   sifat dan operasi                                 a             x1 
                                                                                                                  1
                                                                                 vektor satuan a =     =           
                                                   perkalian skalar                                  a      x + y  y1 
                                                                                                             1
                                                                                                              2
                                                                                                                      1
                                                                                                                       2

                                                   dua vektor dalam
                                                   pemecahan masalah
                                                                              Vektor a pada bidang cartesius (R 2) dapat
                                                                          dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor
                     A.       Pengertian Vektor                           ˆ
                                                                          i dan ˆ dalam bentu:
                                                                                j

                Vektor adalah besaran yang mempunyai besar                             ˆ
                                                                                 a = x1i + y1 ˆ
                                                                                              j      (dinamakan vektor basis)
                dan arah. secara geometri, suatu vektor disajikan
                dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah
                menyatakan panjang atau besar vektor, sedangkan             B.     Operasi Hitung Vektor
                arah panah menunjukkan arah vektor.                       Penjumlahan Vektor
                       Beberapa cara penulisan vektor, yaitu sebagai          Aturan penjumlahan dan pengurangan vektor
                beriku.                                                   adalah sebagai berikut.
                1)     Sebuah huruf kecil dan anak panah di atasnya,          Untuk a dan b vektor-vektor di R 2 (bidang
                                
                       misalnya a .                                       Cartesius), berlaku:
                2)     Sebuah huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya
                       a.                                                                    a1   b1   a1 + b1 
                                                                                    a + b =   +  = 
                3)     Sebuah huruf kecil yang diberi topi, misalnya                         a2   b2   a2 + b2 
                                                                                                                    
                          ˆ
                          a
                4)     Dua buah huruf kapital dan garis di atasnya,                          a1   b1   a1 − b1 
                                
                                                                                   a – b =   −  = 
                       misalnya AB .                                                         a2   b2   a2 − b2 
                                                                                                                    


                                                                                                                           61



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 61                                                                                  11/07/2012 11:17:58
           Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat                                 Perkalian Skala Dua Vektor dan Proyeksi
           dituliskan                                                            D.   Vektor
                                                                            Perkalian Skalar Dua Vektor
                     a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)       Perkalian skalar vektor a dan b didefinisikan oleh
                     a – b = (a1, a2) – (b1, b2) = (a1 – b1, a2 – b2)
                                                                             a . b = |a| |b| cos α atau a . b = x1 x2 + y1 y2 (di R2)

           Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Vektor                                      a . b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 (di R3)
           Jika a, b, dan c vektor-vektor di R atau di R dan
                                                        2               3


           k serta l skalar tak nol maka berlaku hubungan                   Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor:
           berikut.                                                         1)    a.b=b.a
           1.     a+b=b+a                                                   2)    a . (b + c) =a . b + a . c
           2.     (a + b) + c = a + (b + c)                                 3) k(a . b) = (ka) . b = a . (kb)
           3.     a+o=o+a=a                                                 4)    a . a = |a|2
           4.     a + (–a) = o
           5.     k(la) = (kl)a                                             Proyeksi Vektor
           6.     k(a + b) = ka + kb                                        Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b
           7.     (k + l)a = ka + la                                        adalah
           8.     1a = a
           5.     k(la) = (kl)a                                                              a.b
                                                                                        c=
                                                                                              b


                C.     Perbandingan Vektor
                                                                            Vektor proyeksi vektor a pada vektor b adalah

           Misalkan vektor posisi n dalam                                                    a.b
                                                                                        c=           2
                                                                                                         .b
           vektor posisi titik P dan Q                                                           b
           maka berlaku:

                                ms + nr
                          n=
                                m+n




                     62



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 62                                                                                      11/07/2012 11:17:59
                               Bab
                                                                        Transformasi Geometri
                                   19


                Kelas XII Semester 1                                                 3.    Jika bayangan yang diperoleh A’(x1 + a, y1 +b)
                                                                                                                  
                  Standar Kompetensi                           Kompetensi Dasar            ditranslasikan dengan   maka
                                                                                                                  m
                  Menggunakan                                 Menggunakan
                  konsep matriks,                              transformasi                                       
                                                                                                            T2 =  
                  vektor, dan                                  geometri yang dapat             A (x1 , y1 ) A′′ (x1 + a +  , y1 + b + m)
                                                                                                             →    m


                  transformasi dalam                           dinyatakan dengan
                  pemecahan masalah                            matriks dalam
                                                               pemecahan masalah     4.    Jadi, jika titik A(x1, y1) ditranslasikan dengan T1
                                                              Menentukan                  dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan
                                                               komposisi                   bayangan A”(x1 + a +  , y1 + b + m) maka dapat
                                                               dari beberapa
                                                                                           dinotasikn:
                                                               transformasi
                                                               geometri
                                                               beserta matriks                                   a+ 
                                                                                                       T2 T1 = 
                                                               transformasinya             A (x1 , y1 ) A′′ (x1 + a +  , y1 + b + m)
                                                                                                           →     b + m
                                                                                                                       




                     A.     Translasi                                                     B.    Refleksi (Pencerminan)


                Translasi atau pergeseran adalah perpindahan titik-                        Refleksi (pencerminan) merupakan transformasi
                titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.                    yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan
                Pada translasi berlau:                                               sifat bayangan cermin.
                1.     Suatu translasi T yang dinyatakan dengan                      Pada percerminan berlaku:
                       komponen akan memetakan titik A(x1, y1) ke                    1.    Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu-x
                       titik A’(x1 + a, y1 +b) yang dinotasikan dengn:                     menghasilkan bayangan titik B(a’, b’) dengan
                                                                                           a’= a dan b’= –b.
                                                       a
                                                 T1 =  
                               A (x1 , y1 ) A′ (x1 + a , y1 + b )
                                             →         b
                                                                                                            A (a , b )  B (a , −b )
                                                                                                                        sumbu-x
                                                                                                                               →




                                                                                                                                         63



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 63                                                                                                11/07/2012 11:18:01
           2.     Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu-y                     Dilatasi
                                                                          D.
                  menghasilkan bayangan titik C(a’, b’) dengan
                  a’= –a dan b’= b.
                                                                     Dilatasi merupakan suatu transformasi yang
                                                                     mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil)
                                     A (a , b )  C (− a , b )
                                                 sumbu-y
                                                   →                 suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk
                                                                     bangun.
                                                                     Pada dilatasi berlau:
           3.      bBayangan yang diperoleh A’(x1 + a, y1 +b)
                                                                    •	     Titik P(a,b) didilatasi terhadap pusat O(0,
                  ditranslasikan dengan   maka
                                                   m                    0) dengan faktor skala k menghasilkan titik
                                                                            P’ (ka, kb).
                                           
                                     T2 =  
                     A (x1 , y1 ) A′′ (x1 + a +  , y1 + b + m)
                                   →       m

                                                                                         P (a , b ) → P ′ (ka , kb )
                                                                                                     [O ,k ]



                C.     Rotasi
                                                                     •	     Titik	 P(a,b) didilatasi terhadap pusat F(m, n)
           Rumus rotasi sebesar α dengan pusat titik O(0, 0)                dengan faktor skala k menghasilkan titik P’ (k
           adalah                                                           (a – m) + m, k (b – n) + n).

                                a ′  cos α   a
                          A′ =   =                                     P (a , b )  P ′ (k (a − m)+ m, k (b − n)+ n)
                                                                                      [ ]
                                                                                     F ( m , n ), k
                                b ′   sin α   b 
                                                                                     →

           Rumus rotasi sebesar α dengan pusat titik P(m, n)
           adalah


                       a ′  cos α − sin α   a − m  m
                 A′ =   =                         + 
                       b ′   sin α cos α   b − n   n 




                     64



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 64                                                                               11/07/2012 11:18:03
                               Bab                                  Barisan, Deret,
                                                                   dan Notasi Sigma
                                   20


                Kelas XII Semester 2                                     Bentuk umum barisan aritmetika adalah
                  Standar Kompetensi               Kompetensi Dasar
                                                  Menentukan suku            U1, U2, U3, ...,Un       atau
                                                   ke-n barisan dan
                                                   jumlah n suku deret        a, (a + b), (a + 2b), . . ., (a + (n – 1)b)
                                                   aritmetika dan
                                                   geometri
                                                  Menggunakan                Beda (b) = Un – Un – 1
                                                   notasi sigma dalam
                                                   deret dan induksi     Suku ke-n barisan aritmetika adalah
                                                   matematika dalam
                  Menggunakan
                                                   pembuktian
                  konsep barisan                                                           Un = a + (n – 1)b
                                                  Merancang model
                  dan deret dalam
                                                   matematika dari
                  pemecahan masalah                                      Keterangan:
                                                   masalah yang          Un = suku ke-n                a = suku pertama
                                                   berkaitan dengan      b = beda                      n = banyaknya suku

                                                   deret
                                                  Menyelesaikan         Deret Aritmetika
                                                   model matematika
                                                                         Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari
                                                   dari masalah
                                                   yang berkaitan        barisan aritmetika.
                                                   dengan deret dan      Bentuk umum deret aritmetika adalah
                                                   penafsirannya
                                                                              U1 + U2 + U3+ ...+ Un            atau

                    A.      Barisan dan Deret Aritmetika
                                                                              a + (a + b) + (a + 2b) + . . . + (a + (n – 1)b)
                Barisan Aritmetika
                Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan           Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika
                selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu     adalah
                tetap.
                                                                                   n                                  n
                                                                            Sn =
                                                                                 2
                                                                                       [               ]
                                                                                   2a + (n − 1)b atau Sn = a + Un
                                                                                                          2
                                                                                                                          [        ]

                                                                                                                              65



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 65                                                                                     11/07/2012 11:18:04
           Keterangan:                                                           Deret Geometri Tak Terhingga
           Sn = jumlah suku ke-n                      Un = suku ke-n
           a = suku pertama                           b = beda                   Deret geometri tak hingga adalah deret geometri
           n = banyaknya suku
                                                                                 dengan |r| < 1. Jumlah S dari deret geometri tak
                                                                                 hingga adalah
               B.      Barisan dan Deret Geometri

           Barisan Geometri                                                                                            a
           Barisan geometri adalah suatu barisan dengan                                            S∞ =
                                                                                                                      1− r
           pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan
           selalu tetap.
                                                                                      C.          Notasi Sigma
           Bentuk umum barisan geometri adalah

               U1, U2, U3, ...,Un            atau       a, ar, ar2, …, arn – 1   notasi sigma yang dilambangkan dengan ”Σ” adalah
                                                                                 sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan.
                                                                                 notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan
                              U
                  Rasio (r) = n                                                  penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku
                             Un−1
                                                                                 yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku
           Suku ke-n barisan geometri adalah                                     suatu deret.


                         Un = arn – 1                                            Sifat-sifat notasi sigma:
                                                                                           n
           Keterangan:
           Un = suku ke-n                        a = suku pertama                1) ∑ ak = a1 + a2 + a3 +...+an
                                                                                    k =1
           r = rasio                             n = banyaknya suku

                                                                                            n                                 n                   n

           Deret Geometri                                                        2)        ∑ (a
                                                                                           k =m
                                                                                                       k   ± bk ) =          ∑a
                                                                                                                             k =m
                                                                                                                                         k   ±   ∑b
                                                                                                                                                 k =m
                                                                                                                                                         k

           Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan                              n                          n

           geometri.                                                             3)        ∑c a
                                                                                           k =1
                                                                                                           k   =c∑ ak
                                                                                                                      k =1
           Bentuk umum deret geometri adalah                                                n                                        n                   n

                                                                                 4)        ∑ (cak ± cbk ) = c ∑ ak ± c ∑ bk
                                                                                           k =m                                     k =m                k =m
                  U1 + U2 + U3+ ...+ Un atau                                                n                       n+ p

                                                                                 5)        ∑a
                                                                                           k =m
                                                                                                   k       =        ∑
                                                                                                                k =m+ p
                                                                                                                             ak − p

                  a + ar + ar2 + … + arn – 1                                               p−1                  n             n
                                                                                 6)        ∑a
                                                                                           k =m
                                                                                                   k   ±       ∑ a =∑ a
                                                                                                               k =p
                                                                                                                        k
                                                                                                                             k =m
                                                                                                                                      k


           Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika                                    m −1

           adalah                                                                7)        ∑a
                                                                                           k =m
                                                                                                       k   =0



                         Sn =
                                    (
                                 a 1− r n        );   r <1
                                     1− r

           Keterangan:
           Sn = jumlah suku ke-n                 a = suku pertama
           r = rasio                             n = banyaknya suku



                    66



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 66                                                                                                                 11/07/2012 11:18:06
                               Bab                              Fungsi Eksponen dan
                                                                     Logaritma
                                   21


                Kelas XII Semester 2                                        3)    Bentuk af(x) = bf(x), a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, dan a
                  Standar Kompetensi                Kompetensi Dasar              ≠ b, maka f(x) = 0.
                  Menggunakan                     Menggunakan sifat-       4)    Bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x), maka penyelesaiannya
                  aturan yang                      sifat fungsi eksponen          adalah sebagai berikut
                  berkaitan dengan                 dan logaritma dalam            •	    g(x) = h(x)
                  fungsi eksponen                  pemecahan masalah              •	    f(x) = 1
                  dan logaritma dalam             Menggambar grafik
                                                                                  •	    f(x) = 0, asalkan g(x) dan h(x) keduanya
                  pemecahan masalah                fungsi eksponen dan
                                                   logaritma                            positif
                                                  Menggunakan sifat-             •	    f(x) = -1, asalkan g(x) dan h(x) keduanya
                                                   sifat fungsi eksponen                genap atau keduanya ganjil
                                                   atau logaritma
                                                   dalam penyelesaian
                                                                            Pertidaksamaan Eksponen
                                                   pertidaksamaan
                                                   eksponen atau                  Sifat-sifat yang digunakan untuk menyelesaikan
                                                   logaritma sederhana      pertidaksamaan eksponen, antara lain:
                                                                            1)    Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi
                                                                                  naik. Artinya, untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1 <
                     A.     Fungsi Eksponen
                                                                                  x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2).
                                                                            2)    Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi
                Persamaan Eksponen                                                turun. Artinya, untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1
                       Persamaan eksponen adalah persamaan                        < x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2).
                yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat
                variabel.                                                        B.    Fungsi Logaritma
                       Beberapa bentuk persamaan eksponen, di               Persamaan Logaritma
                antaranya:                                                        Persamaan logaritma adalah persamaan yang
                1)     Bentuk af(x) = am, a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = m.   variabelnya sebagai numerus atau sebagai bilangan
                2)     Bentuk af(x) = ag(x), a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) =   pokok dari suatu logaritma.
                       g(x).                                                      Beberapa bentuk persamaan eksponen, di
                                                                            antaranya:

                                                                                                                               67



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 67                                                                                      11/07/2012 11:18:08
           1)     Bentuk alog f(x) = alog m, f(x) > 0, maka               Pertidaksamaan Logaritma
                  f(x) = m.                                                    Sifat-sifat yang digunakan untuk menyelesaikan
           2)     Bentuk alog f(x) = blog f(x), a ≠ b, maka f(x) = 1.     pertidaksamaan eksponen, antara lain:
           3)     Bentuk alog f(x) = alog g(x), a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0,   1)   Untuk a > 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi
                  dan g(x) > 0 maka f(x) = g(x) .                              naik. Artinya, untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku
           4)     Bentuk log g(x) = log h(x), f(x) > 0, g(x) > 0,
                              f(x)               f(x)
                                                                               x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2).
                  h(x) > 0 maka f(x) ≠ 1 maka g(x) = h(x) .               2)   Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = alog x merupakan
                                                                               fungsi turun. Artinya, untuk setiap x1, x2 ∈ R
                                                                               berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2).




                   68



ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 68                                                                                      11/07/2012 11:18:09

								
To top