Wyznaczenie mno_ników bezpo_rednich

Document Sample
Wyznaczenie mno_ników bezpo_rednich Powered By Docstoc
					Modele wielorównaniowe -
       symulacja


           opracował:
           Grzegorz Szafrański
Co to są prognozy systemowe?
Są to prognozy na podstawie modeli wielorównaniowych. Każde równanie
   opisuje pewien mechanizm gospodarczy (model przyczynowy) lub tylko
   dynamikę powiązanych zmiennych (modele statystyczne).

Prognozy systemowe to rozwiązania tych modeli.

Modele przyczynowe (opisowe) bazują na wiedzy a priori. Są to modele
  tradycyjnej szkoły ekonometrii. Cechuje je wyraźny podział na zmienne
  endogeniczne i egzogeniczne, stałość parametrów, dokładne
  dopasowywanie do danych empirycznych, stacjonarna dynamika).

Modele statystyczne bazują na długich szeregach statystycznych i małej
  ilości założeń ekonomicznych. Są to modele dynamiczne typu ADL,
  modele o zmiennych skointegrowanych, czy modele wektorowej
  autoregresji tzw. VAR.
Dlaczego stosujemy prognozy
systemowe?
Prognoza kompetentnego eksperta jest na ogół bardziej dokładna od
   najlepszego modelu.

Metody strukturalne i systemowe:
 dostarczają zbilansowanych (zgodnych ekonomicznie) prognoz,
 umożliwiają formułowanie i zmianę jawnych założeń,
 są testowalne i weryfikowalne,
 jasno precyzują przesłanki prognozy.


Inne korzyści z posiadania modelu – zobacz Dodatek A2 do
   Gajda(2004)
     Modele wielorównaniowe – zapis

 Dokonujemy denormalizacji każdego z liniowych równań
 modelu: wszystkie zmienne przenosimy na prawą stronę, po
 lewej zostają tylko zakłócenia , wyróżniamy w oddzielnych
 macierzach zmienne endogeniczne Y i egzogeniczne X.

11y1(t )   21y 2(t )  ...  M 1y M (t )  11x1(t )   21x 2(t )  ...  K 1x K (t )  ξ1(t )
12 y1(t )   22 y 2(t )  ...  M 2 y M (t )  12 x1(t )   22 x 2(t )  ...  K 2 x K (t )  ξ 2 (t )
1M y1(t )   2 M y 2 (t )  ...  MM y M (t )  1M x1(t )   2 M x 2(t )  ...  KM x K (t )  ξ M (t )

y   1( t )   y 2 (t ) ... y M (t )   
                                      T *M
                                                       
                                             A M *M  x1( t )   x 2( t ) ... x K (t )   
                                                                                        T *K
                                                                                               B K *M  ΞT *M
 Model Kleina I
Składa się z równań behawioralnych konsumpcji (cons), inwestycji netto (invest) i
płac w sektorze prywatnym (wp), oraz z tożsamości produkcji (prod), zysku (profit)
i akumulacji kapitału (cas).
Zmienne egzogeniczne w tym modelu to płace w sektorze państwowym (wg),
wydatki rządowe bez płac (gexp), podatki łącznie z eksportem netto (tax), oraz
trend (t).
           const   o  1profitt   2 profitt 1   3 ( wpt  wg t )   C ,t
           investt   o  1profitt   2 profitt 1   3cast 1   I ,t
           wpt   o   1 prod t   2 prod t 1   3t  W ,t
            prod t  const  investt  gexpt
           profitt  prod t  wpt  taxt
           cast  cast 1  investt
Model Kleina I


cons t            invest t



wp t               prod t



profit t         cas t
 Zapis macierzowy
Przenosimy zmienne endogeniczne, oraz zmienne z góry ustalone (w tym
endogeniczne opóźnione i egzogeniczne) na prawą stronę i grupujemy je w
macierze Y, Y(t-1), i X.
Ustalamy skład macierzy A, A-1 i B uwzględniając wszelkie ekonomiczne
restrykcje, w tym restrykcje stochastyczne.
         const  1profitt   2 profitt 1   3 wpt   3 wg t   o   C ,t
         investt  1profitt   2 profitt 1   3cast 1   o   I ,t
         wpt   1 prod t   2 prod t 1   o   3t  W ,t
         prod t  const  investt  gexpt  0
         profitt  prod t  wpt  taxt  0
         cast  investt  cast 1  0
Rodzaje modeli
     Ze względu na postać, do jakiej możemy sprowadzić (zmieniając
     kolejność kolumn) macierz A wyróżniamy:
1.   modele proste, jeśli A jest diagonalna
2.   modele rekurencyjne, jeśli A można sprowadzić do macierzy
     trójkątnej
3.   modele łącznie współzależne, w pozostałych przypadkach.
     Można również zbudować graf powiązań między zmiennymi
     endogenicznymi, a na nim szukać związków między zmiennymi
     endogenicznymi (brak związków – przypadek 1), oraz sprzężeń
     zwrotnych między nimi (występowanie – przypadek 3).
Estymacja i rozwiązanie modeli
Modele proste i rekurencyjne na ogół nie wymagają specjalnych sposobów ich
   estymacji i rozwiązania. Estymujemy je MNK, a prognozy budujemy przez
   podstawianie zmiennych równanie po równaniu (ewentualnie zgodnie z
   zachowaniem kolejności podstawiania zmiennych objaśnianych do kolejnego
   równania w modelach rekurencyjnych).
Modele łącznie współzależne wymagają (formalnie) specjalnych metod estymacji
   tzw. metod systemowych (np. PMNK, 2MNK, MZI, 3MNK, odmiany
   MNW), gdyż metody równaniowe są na ogół obciążone i niezgodne. W
   praktyce „duże” modele szacowane są równanie po równaniu, gdyż większą
   wagę przykłada się do ich struktury deterministycznej niż stochastycznej.
   Również rozwiązanie tych modeli nie jest sprawą banalną (poza tym nie
   istnieje, jeśli model nie jest kompletny por. A.Welfe, 1995, s.206).
Modele statyczne i dynamiczne

Modele statyczne możemy zapisać w postaci macierzowego
równania (czyli układu równań):
                                YA  XB  Ξ
W modelach dynamicznych musimy jeszcze uwzględnić
opóźnienia dla zmiennych endogenicznych Yt-p opóźnionych
o p okresów. Przyjmiemy dalej, że p=1, bo każdy model
można sprowadzić do modelu z p=1 przez podstawianie:

                             YA  Yt  p A  p  XB  Ξ
 Rozwiązanie analityczne

Modele statyczne możemy łatwo rozwiązać mnożąc przez A-1:
                                  Y  XBA1  ΞA1  XD  Z
 W modelach dynamicznych otrzymujemy następującą postać
 zredukowaną modelu:
                Y(t )  Y(t 1) A1A1  XBA1  ΞA1  Y(t 1) D1  XD2  V

 W modelach dynamicznych tzw. postać końcową
 otrzymujemy przez podstawianie:
               Y(t )  Xt D2  Xt 1D2D1  Xt 2D2D1  Xt 3D2D1  ... V'
                                                   2           3
 Problemy estymacji modelu

Równania postaci zredukowanej możemy oszacować MNK,
gdyż wśród zmiennych objaśniających nie występują zmienne
losowe (za wyjątkiem opóźnionych zmiennych objaśnianych).
                    Y( t )  Y( t 1) D1  XD 2  V

Jeżeli składniki losowe nie będą skorelowane dla różnych
równań i różnych okresów, to następująca metoda (pośrednia
- PMNK) może okazać się wystarczająco efektywna:
Oszacuj MNK parametry modelu postaci zredukowanej i na
ich podstawie oblicz parametry modelu postaci strukturalnej.
 Problem identyfikowalności

Z uwagi na ograniczenia ekonomiczne macierze postaci
strukturalnej A, A-1 i B są macierzami „rzadkimi”. Powstaje w
związku z tym kwestia jednak kwestia, czy ilość tych
ograniczeń (głównie zer) nie uniemożliwia wyznaczenia ocen
ich elementów na podstawie układu równań :
                        ˆ ˆ ˆ
                      D1A  A 1
                       ˆ ˆ ˆ
                       D2 A  B
Układ ten może mieć dla każdego z równań dokładnie jedno
rozwiązanie, nieskończenie wiele lub nie mieć rozwiązania.
 Warunki identyfikowalności

Warunkiem koniecznym identyfikowalności równania modelu
jest, aby liczba zmiennych z góry ustalonych (łącznie z
wyrazem wolnym) nie występujących w równaniu była
większa (równanie przeidentyfikowane) lub równa
(jednoznacznie identyfikowane) liczbie zmiennych
endogenicznych występujących w równaniu po prawej
stronie. Warunki wystarczające identyfikowalności związane
są z rzędem podmacierzy A-1
A zatem zmienne z góry ustalone nie występujące w danym
równaniu stają się w tym równaniu tzw. instrumentami w
postaci zredukowanej (więc nie może ich być za mało).
 Podwójna metoda najmniejszych
 kwadratów (2MNK)

W sytuacji gdy układ wyznacza nieskończenie wiele
rozwiązań (równanie nadmiernie identyfikowalne) PMNK nie
może zostać zastosowana. Proponuje się wtedy stosować
dwustopniową metodę najmniejszych kwadratów (2MNK):
Oszacuj MNK parametry modelu postaci zredukowanej i
wstaw uzyskane wartości teoretyczne zmiennych
endogenicznych do tych równań strukturalnych, w których
występują one po prawej stronie (jako zmienne objaśniające),
a następnie oszacuj każde równanie strukturalne z osobna:
      investt   o  1profit_teo ret t   2 profit t 1   3cast 1   I ,t
 Mnożniki modelu

Poszczególne elementy macierzy D2 są mnożnikami
bezpośrednimi modelu, mierzą natychmiastową reakcję
każdej ze zmiennych endogenicznych na zmianę każdej ze
                                      t 1


zmiennych egzogenicznych.                      ym,t
                                     D 2 m,k 
                                               xk ,t
 W modelach dynamicznych wyróżniamy też miary reakcji y
 na zmianę x po upływie czasu: mnożniki pośrednie i ich sumy
 czyli mnożniki skumulowane i całkowite (długookresowe):
                            S                         
               ym,t
                           D D                       D 2 D1  D 2 (I  D1 ) 1
                                                 s            s
D2 D1 m,k 
     s
                                  2          1
              xk ,t  s   s 0                      s 0
Syndrom dużego modelu
 Realistyczne i stosowane w praktyce modele ekonometryczne
 charakteryzuje na ogół tzw. „syndrom dużego modelu”

 Na czym on polega? por. Gajda (1992, s. 24-25):
 –   nieliniowość modelu (względem zmiennych, rzadziej względem
     parametrów)
 –   rozbudowana dynamika modelu (modele z pamięcią),
 –   mało zmiennych egzogenicznych w porównaniu do ilości
     zmiennych endogenicznych,
 –   silne współzależności między zmiennymi endogenicznymi (dużo
     sprzężeń zwrotnych)
  Rozwiązanie analityczne trudne lub
  niemożliwe
Nie zawsze opisane metody rozwiązania
modelu są przydatne w praktyce, gdyż
nie zawsze potrafimy rozwiązać model                       występuje syndrom dużego
analitycznie:                                                      modelu:
bo zmienne endogeniczne są silnie
powiązane                                                  macierzA nie jest rzadka

bo ma dużo zmiennych endogenicznych
                                                                     M  K
bo model jest nieliniowy względem
zmiennych, parametrów lub/i zakłóceń,                      Y(t )  F (Y( t 1) , X K *M , VT *M )
bo ma dynamikę, którą trudno sprowa-
dzić do dynamiki 1. rzędu opóźnienia Y(t )  F (Y(t 1) ,..., Y( t  m ) , X ( t ) ,..., X (t  k ) , V )
 Rozwiązanie numeryczne
Porządkujemy znormalizowany układ          y1  f1 (y 2 ,...,y M , y1(t 1) ,...,y M (t 1) , X (1) )
równań (najpierw blok prerekurencyjny,     ...
współzależny i postrekurencyjny),
                                           y M  f1 (y1 ,...,y M 1 , y1(t 1) ,...,y M (t 1) , X ( M ) )
w symulacji deterministycznej
przyjmujemy, zakłócenia na poziomie „0”.                          0        0
                                                         y10,t , y2,t ,...yM ,t
określamy wartości zmiennych X we
wszystkich okresach i zmiennych z góry
ustalonych w okresie „0”, przyjmujemy                    y1,0 , y2,0 ,...yM ,0
startowe wartości dla bieżących Y                        x1,t , x2,t ,...,xK ,t
 Rozwiązanie statyczne
Należy pamiętać, że żadna metoda numeryczna nie pozwoli nam uzyskać takich
y*, które są dokładnymi rozwiązaniami układu równań, a więc takich że:

         y1,t  f1 ( y2,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t (1) )
          *           *      *          *


         y2,t  f 2 ( y1,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., y M ,t 1 , x t ( 2) )
          *            *      *          *


         y3,t  f 3 ( y1,t , y2,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t (3) )
          *            *      *          *


         ...
         yM ,t  f M ( y1,t , y3,t ,..., yM 1,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t ( M ) )
          *             *      *          *
 Rozwiązanie dynamiczne
Ani tym bardziej takich, w których przyjmiemy zamiast wartości zmiennych
opóźnionych ich rozwiązania systemowe z poprzedniego okresu:

         y1,t  f1 ( y2,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t (1) )
          *           *      *          *       *             *


         y2,t  f 2 ( y1,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., y M ,t 1 , x t ( 2) )
          *            *      *          *       *              *


         y3,t  f 3 ( y1,t , y2,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t (3) )
          *            *      *          *       *             *


         ...
         yM ,t  f M ( y1,t , y3,t ,..., yM 1,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t ( M ) )
          *             *      *          *         *             *
 Symulacja metodą Gaussa
Dla danego okresu t (zaczynając od t=1) rozpoczynamy iterację (k+1) kolejno
wstawiając po prawej stronie poszczególnych równań odpowiednie zmienne z
góry ustalone (na okres t) i wyznaczając zmienne endogeniczne w aktualnej
iteracji. Za każdym razem za zmienne endogeniczne po prawej stronie
wstawiamy ostatnie ich przybliżenia (z iteracji k). Po przejściu wszystkich
równań wracamy do pierwszego i proces wielokrotnie powtarzamy.

 y1k,t1  f1 ( y2,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t (1) )
                 k      k          k


 y2,1  f 2 ( y1k,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t ( 2 ) )
  k
    t
                        k          k


 y3,1  f 3 ( y1k,t , y2,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t ( 3) )
  k
    t
                        k          k


 ...
 yM,1  f M ( y1k,t , y3,t ,..., yM 1,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t ( M ) )
  k
     t
                        k          k
 Symulacja metodą Gaussa-Seidela
Postępujemy tak samo jak poprzednio, ale za każdym razem za zmienne
endogeniczne po prawej stronie wstawiamy najbardziej aktualne ich
przybliżenia (z iteracji k lub k+1).
Po przejściu wszystkich równań wracamy do pierwszego i proces powtarzamy.
Tak metoda jest o wiele wydajniejsza.

 y1k,t1  f1 ( y2,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t (1) )
                 k      k          k


 y2,1  f 2 ( y1k,t1 , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t ( 2 ) )
  k
    t
                          k          k


 y3,1  f 3 ( y1k,t1 , y2,1 ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t ( 3) )
  k
    t
                          k
                            t
                                      k


...
 yM,1  f M ( y1k,t1 , y3,1 ,..., yM1,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , x t ( M ) )
  k
     t
                          k
                            t
                                      k 1
Zakończenie symulacji
Tak metoda jest o wiele wydajniejsza. To znaczy
szybciej dostaniemy wystarczająco dobre            k m ax  50000
przybliżenia prawdziwych rozwiązań.
                                                   lub
Należy przyjąć kryteria zatrzymania iteracji dla
                                                   y m ,t  y m ,t          1
                                                                                  m
                                                      m ax           m ax
                                                     k        k
wszystkich zmiennych (niekoniecznie te same):
kryterium liczby iteracji,
                                                   lub
                                                                            1
                                                   y m ,t  y m ,t
                                                      m ax           m ax
                                                     k        k
kryterium zmian absolutnych lub
                                                             k m ax 1
                                                                                  m
zmian względnych dla kolejnych przybliżeń.               y   m ,t
Problemy zakończenia symulacji
Nie zawsze symulacja przynosi oczekiwane rezultaty tj. nie zawsze
uzyskujemy zbieżność w kolejnych iteracjach.
Warunek konieczny i dostateczny związany jest z promieniem
spektralnym (por. Milo 2002, s. 169)
Zazwyczaj pomóc może inne uporządkowanie równań modelu, zmiana
wartości startowych, zmiana normalizacji równań, lub wprowadzenie
współczynnika relaksacji, czy też zastosowanie innej metody (np. metody
Newtona-Raphsona).
Szczególnie modele nieliniowe mogą sprawić wiele kłopotów, bo mogą
dawać tzw. rozwiązania wielokrotne, a więc różne rozwiązania lokalne.
Zwykle niektóre z nich nie posiadają sensownej interpretacji
ekonomicznej, więc je od razu odrzucamy.
 Wyznaczenie mnożników
 bezpośrednich (statycznych)
Dla nas najważniejsze, że symulacja pozwala w łatwy sposób wyznaczyć
mnożniki modelu względem dowolnego z xk poprzez jego zaburzenie o
jednostkową wartość xk.

        y1,t  f1 ( y2,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , xk ,t  xk , x't (1) )
          *            *      *          *       *             *


        y2,t  f 2 ( y1,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , xk ,t  xk , x't ( 2 ) )
          *             *      *          *       *             *


        y3,t  f 3 ( y1,t , y2,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , xk ,t  xk , x't (3) )
          *             *      *          *       *             *


       ...
        yM ,t  f M ( y1,t , y3,t ,..., yM 1,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , xk ,t  xk , x't ( M ) )
          *              *      *          *         *             *
 Wyznaczenie mnożników
 pośrednich (dynamicznych)
A także obserwowanie wpływ tej zmiany po dowolnej liczbie okresów r, co
pozwala poznać dynamiczną reakcję modelu czyli wyznaczyć mnożniki
pośrednie oraz ich sumy mnożniki skumulowane i całkowite.
         y1,t  r  f1 ( y2,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , xk ,t  xk , x't (1) )
           *                *      *          *       *             *


         y2,t  r  f 2 ( y1,t , y3,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , xk ,t  xk , x't ( 2 ) )
           *                 *      *          *       *             *


         y3,t  r  f 3 ( y1,t , y2,t ,..., yM ,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , xk ,t  xk , x't ( 3) )
           *                 *      *          *       *             *


         ...
         yM ,t  r  f M ( y1,t , y3,t ,..., yM 1,t , y1,t 1 ,..., yM ,t 1 , xk ,t  xk , x't ( M ) )
           *                  *      *          *         *             *
 Systemowe rozwiązanie kontrolne
Rozwiązania dla zaburzonych równań (poprzez impulsową lub podtrzymaną
zmianę wartości zmiennych egzogenicznych) powinny być porównywane do
rozwiązania nie zaburzonego czyli do rozwiązania kontrolnego (tzw.
bazowego), a w okresie prognozy do prognozy zamrożonej.
Rozwiązanie bazowe z kolei można porównać do prawdziwych wartości
empirycznych i do rozwiązań równaniowych (tj. dla każdego z równań osobno).
Pozwala to poznać własności modelu i ocenić precyzję jego dopasowania.
Rozwiązania systemowe (statyczne czy dynamiczne) są zawsze gorsze od
rozwiązań równaniowych. Co więcej błędy w pojedynczych równaniach na ogół
akumulują się w całym systemie równań. Dlatego ważne jest, aby poszczególne
równania były bardzo precyzyjnie dopasowane – niekiedy kosztem ich treści
ekonomicznej używamy zmiennych sztucznych i techniki constant adjustment.
 Scenariusze
Symulacja pozwala również prowadzić złożone analizy scenariuszowe typu „co
by było gdyby”, w których zmieniamy więcej niż jedną zmienną egzo- w
większej ilości okresów, a przede wszystkim w okresie prognozy i obserwujemy
zmiany zmiennych endogenicznych.


         y1scen1  f 3 ( y2,T 1 , y3,T 1 ,...,yM ,T 1 , y1scen,...,yM ,T , xT 1,(1) )
            ,T 
                          scen      scen         scen
                                                              ,T
                                                                       *       scen


         ...
         yM ,T 1  f M ( y1scen1 , y3,T 1 ,...,yM 1,T 1 , y1scen,..., yM ,T , xT 1,( M ) )
          scen
                             ,T 
                                     scen         scen
                                                                 ,T
                                                                           scen    scen

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:4
posted:1/8/2013
language:Polish
pages:29