Docstoc

Όλα τα φύλλα εργασίας κατεύθυνσης

Document Sample
Όλα τα φύλλα εργασίας κατεύθυνσης Powered By Docstoc
					Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                              Επαναληπτικά Φύλλα


                             1ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢


Δπαλάιεςε ζηελ ζεσξία ησλ κηγαδηθώλ θαη ζε όιεο ηηο αζθήζεηο ηνπ ζρνιηθνύ
βηβιίνπ.
Πξόρεηξν δηαγώληζκα ζηελ ηάμε.



                            Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢


Άζθεζε 1ε:


Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f  z  
                                 z  1 z  1 , κε z       θαη Re  z   0 .
                                    zz
                        1
α) Να απνδείμεηε όηη f     f  z  .
                        z
β) Να βξείηε ην είδνο ηεο θακπύιεο ζηελ νπνία αλήθνπλ ηα ζεκεία M  x,y  γηα
ηα νπνία νη κηγαδηθνί αξηζκνί z  αx  βyi , κε α, β, x, y  θαη αβx  0
ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε: Re f  z   0 .
                                
                                                  (Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 1993)


Άζθεζε 2ε

Γίλνληαη νη κηγαδηθνί z  α  βi , όπνπ α,β  θαη w  3z  iz  4 , όπνπ z είλαη ν
ζπδπγήο ηνπ z.
α) Να απνδείμεηε όηη Re  w   3α  β  4 θαη Im  w   3β  α .
β) Να απνδείμεηε όηη αλ νη εηθόλεο ηνπ w ζην κηγαδηθό επίπεδν θηλνύληαη ζηελ
επζεία κε εμίζσζε y  x  12 , ηόηε νη εηθόλεο ηνπ z θηλνύληαη ζηελ επζεία κε
εμίζσζε y  x  2 .
γ) Να βξείηε πνηνο από ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο z, νη εηθόλεο ησλ νπνίσλ
θηλνύληαη ζηελ επζεία κε εμίζσζε y  x  2 , έρεη ην ειάρηζην κέηξν.
                                              (Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 2003)




 Νικολόπουλος Αθανάσιος              1 / 50               email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                 Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 3ε


Αλ z1  z 2  z 3  1 , λα δείμεηε όηη ν αξηζκόο w 
                                                                 z1  z 2  z 2  z 3  z 3  z1 
                                                                                   z1  z 2  z 3
είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο.


Άζθεζε 4ε

                                                 2004  i
Να δεηρζεί όηη ε εμίζσζε 1  iz 
                                     2004
                                                         δελ έρεη πξαγκαηηθή ξίδα.
                                                1  2004i

Άζθεζε 5ε

Αλ γηα z     είλαη z  1  i  5 , λα δείμεηε όηη z  10  13i  10 .


Άζθεζε 6ε

Να βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 1  i                   1  i 
                                                    2004                2004
                                                                               .


Άζθεζε 7ε

α) Να βξείηε ηνλ z  , ώζηε λα ηζρύεη z  2i  z  3  z  i .
β) Αλ w δνζκέλνο κηγαδηθόο, λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ M  z 
                                     w  zw
ηνπ επηπέδνπ όηαλ ν αξηζκόο α              , z  1 , είλαη πξαγκαηηθόο.
                                      1z

Άζθεζε 8ε

Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό αξηζκό z ηζρύεη z  i  1 , λα δεηρζεί όηη: 4  z  4  2i  6 .


Άζθεζε 9ε

                      2
Έζησ z  1 θαη w  z  . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ w.
                      z

 Νικολόπουλος Αθανάσιος             2 / 50                  email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                               Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 10ε

Αλ z1  z 2  z 3  0 θαη z1  z 2  z 3 , δείμηε όηη νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ z1 , z 2
θαη z 3 είλαη θνξπθέο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ.


Άζθεζε 11ε


                                                     , λα απνδεηρζεί όηη x
                                                        λ
                    
Αλ x,y  , λ           θαη x  yi         3 i 7                             2
                                                                                    y 2  10ν .


Άζθεζε 12ε

Να ιπζεί ε εμίζσζε z 5  z 9  1 , z  .


Άζθεζε 13ε

Αλ z, w είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί κε κέηξν κηθξόηεξν ηνπ 1, λα απνδεηρζεί όηη:
z  w  1 z w .


Άζθεζε 14ε

               z
α) Αλ ηζρύεη       1 , λα απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ z είλαη
             z 1
ζπλεπζεηαθά ζεκεία.
β) Να βξείηε όια ηα ζεκεία M  z  ζην κηγαδηθό επίπεδν, γηα ηα νπνία ηζρύεη
z i  z 1 .

Άζθεζε 15ε

Να απνδείμεηε όηη:
α) z  z  2 z ,
                2        2
β) zw  zw  z  w .



 Νικολόπουλος Αθανάσιος                     3 / 50         email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου           Επαναληπτικά Φύλλα




 Νικολόπουλος Αθανάσιος      4 / 50    email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                        Επαναληπτικά Φύλλα


                                       2ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢

Δπαλάιεςε ζηελ ζεσξία ησλ ελνηήησλ ΢πλαξηήζεηο – Όξηα - ΢πλέρεηα θαη ζε
όιεο ηηο αζθήζεηο ηνπ ζρνιηθνύ βηβιίνπ.
Πξόρεηξν δηαγώληζκα ζηελ ηάμε.




                                       Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢



Άζθεζε 1ε:

Έζησ ζπλάξηεζε f :       , ε νπνία είλαη 1-1 θαη ηζρύεη ε ηζόηεηα:
          
2f x5  1  4  2x . Να βξεζεί ην f 1  0  θαη ε ζπλάξηεζε f 1  x  .




Άζθεζε 2ε


Θεσξνύκε ηηο ζπλαξηήζεηο f  x   2x  2 x2  1  x  1 θαη g  x   x  1 . Να
βξεζνύλ:
α) Σν ππνζύλνιν ηνπ           ζην νπνίν είλαη ίζεο.
β) Η ζύλζεζε ηεο g κε ηελ f.
                 
γ) Η εηθόλα f f  g  8   .  
                            x 1    , όπνπ h  x  f
                                                      f                x   1 , κε θ  x   1 , γηα θάζε
                     h
δ) Σν όξην lim                                            2   2
                                                                  θ
               x1 f   x        2
x     .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                        5 / 50            email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                              Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 3ε

                 2x
Έζησ f  x          .
               1  2x
α) Να βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f.
                                                                         4 
β) Να δείμεηε όηη είλαη 1-1 θαη λα βξεζεί , αλ ππάξρεη , ε εηθόλα f 1  f 1    .
                                                                         5 
γ) Να βξεζεί ην lim f  x  .
                 x
δ) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε f  x   x έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην  5,1 .


Άζθεζε 4ε

                                     x2  ehx  2x
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f  x   lim                   , x        . Να δείμεηε όηη ε f είλαη
                                h    2  ehx
ζπλερήο.



Άζθεζε 5ε

Έζησ f ζπλερήο ζην Γ   1,1 θαη ηζρύεη όηη:             f  x   x  1 , γηα θάζε x   .
Να δείμεηε όηη ε f δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν. Αλ επηπιένλ f  0   1 , λα βξεζεί ν
ηύπνο ηεο f ζην Γ.



Άζθεζε 6ε

                            2ζπλx  3εκ5x
Να βξεζεί ην όξην lim            1
                                               .
                     x
                                3x    3x


Άζθεζε 7ε

Γίλεηαη ζπλάξηεζε f :               θαη ηζρύεη ε ζρέζε f 2  x   ln  x  1  1 , γηα x  1 .
Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ f 1 .


 Νικολόπουλος Αθανάσιος                 6 / 50            email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 8ε

Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f :  πνπ ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε
f  x  y   f  x   f  y   xy , γηα θάζε x,y  .


Άζθεζε 9ε

                       α x1  β x2  γ x3
Να βξεζεί ην όξην lim                        , όπνπ α, β, γ δηάθνξνη κεηαμύ ηνπο θαη
                  x    α x  βx  γ x
ζεηηθνί αξηζκνί.


Άζθεζε 10ε

Η ζπλάξηεζε f :  ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε f  f  x    f 3  x   2x  3 , γηα x                  .
α) Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1-1.
                                           
β) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε: f x3  x  f  4  x  , γηα x  .
                                                              (Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 1998)


Άζθεζε 11ε

Η ζπλάξηεζε f :  ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε f 2  x   2f  x   ζπλ 2x  0 , γηα
x .
α) Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην 0.
                                 1 
β) Να βξείηε ην όξην lim  x  f    .
                     x0         x 



Άζθεζε 12ε

Μία ζπλάξηεζε f, πνπ είλαη νξηζκέλε θαη ζπλερήο ζην                     , ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε
f 3  x   βf 2  x   γf  x   x3  2x2  6x  1 , γηα θάζε x    , όπνπ β, γ  , κε
β 2  3γ . Nα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε f  x   0 έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην
δηάζηεκα  0,1 .


 Νικολόπουλος Αθανάσιος                  7 / 50            email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                   Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 13ε

Έζησ ζπλάξηεζε f ζπλερήο θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην α,β  . Να απνδείμεηε όηη
                                                             αβ
                                         f α   f β   f    
ππάξρεη μ  α,β  ηέηνην ώζηε f  μ                        2 .
                                                       3


Άζθεζε 14ε

                                              xf  x   εκ3x
Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 θαη lim                               2 , λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο f ζην
                                        x0       x2  x
0.


Άζθεζε 15ε

Οη ζπλαξηήζεηο f ,g :               έρνπλ ηελ ηδηόηεηα:
f 2  x   g 2  x   2f  x   5  4g  x   ζπλ 2x , γηα θάζε x    . Να απνδείμεηε όηη νη
                                                   π
ζπλαξηήζεηο f θαη g είλαη ζπλερείο ζην               .
                                                   2




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                    8 / 50              email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                               Επαναληπτικά Φύλλα

                               3ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢

Δπαλάιεςε ζηελ ζεσξία ησλ ελνηήησλ Γηαθνξηθνύ Λνγηζκνύ θαη ζε όιεο ηηο
αζθήζεηο ηνπ ζρνιηθνύ βηβιίνπ, κέρξη θαη ηελ ελόηεηα «Ρπζκόο Μεηαβνιήο».
Πξόρεηξν δηαγώληζκα ζηελ ηάμε.




                              Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢



Άζθεζε 1ε:

Μία κεηαβιεηή νξζή γσλία ΑΟΒ ηέκλεη ηελ παξαβνιή y  x 2 ζηα ζεκεία Α θαη
Β. Αλ ε ηεηκεκέλε x A ηνπ ζεκείνπ Α κεηαβάιιεηαη κε ξπζκό 3 cm , λα βξείηε
                                                              s
ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ ηε ρξνληθή ζηηγκή θαηά
ηελ νπνία είλαη x A  2cm .



Άζθεζε 2ε

Έζησ f :           κε ηελ ηδηόηεηα xf  x   εκ 2x  x4 , γηα θάζε x           θαη f
ζπλερήο ζην 0. Να δείμεηε όηη f  0   0 θαη f   0   1 .



Άζθεζε 3ε

Έζησ f :  ζπλερήο ζπλάξηεζε κε ηελ ηδηόηεηα f 3  x   3f  x   x , γηα θάζε
x .
α) Να απνδεηρζεί όηη ε f είλαη παξαγσγίζηκε.
β) Να απνδεηρζεί όηη ε f αληηζηξέθεηαη.




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                9 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                             Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 4ε

Έλα ζώκα θηλείηαη ζηνλ άμνλα xx θαη ε ζέζε ηνπ δίλεηαη από ηελ ζπλάξηεζε:
x  t   t 3  6t 2  9t  4 , όπνπ t ν ρξόλνο ζε sec. Να βξείηε:
α) Πνπ βξίζθεηαη ην ζώκα ηελ ρξνληθή ζηηγκή t  0 .
β) Πξνο πνηα θαηεύζπλζε θηλείηαη ην ζώκα ηε ρξνληθή ζηηγκή t  0 .
γ) Πνηεο ρξνληθέο ζηηγκέο ην ζώκα αιιάδεη θαηεύζπλζε.
δ) Πόζεο θνξέο αιιάδεη ε θαηεύζπλζε ηεο θίλεζεο;
ε) Πνηα ρξνληθή ζηηγκή δελ επηηαρύλεη ην ζώκα;

Άζθεζε 5ε

Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν xo  2 κε f  2   3 θαη
                                         f 2 x  9
f   2   5 , λα ππνινγίζεηε ην lim                  .
                                 x2    x 2  5x  6

Άζθεζε 6ε

             αx 2  β , x  1
             
Αλ f  x    γ                , λα πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ησλ α,β,γ  γηα ηηο
                      , x  1
             x
νπνίεο ε Cf έρεη ζην ζεκείν A  1,f  1  εθαπηνκέλε θάζεηε ζηελ επζεία κε
εμίζσζε x  2y  10 .


Άζθεζε 7ε

                                 1
              x  3   εκ 2
                       5
                                       , x  3
Αλ f  x                    x 9              , λα απνδείμεηε όηη:
             0
                                      , x3
                  f  x  f  3
α)   x  3                      x  3  , γηα θάζε x  3 .
              4                              4
                       x3
β) Η f είλαη παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν 3.
γ) Η Cf έρεη εθαπηνκέλε ζην ζεκείν ηεο N  3,0  ηνλ άμνλα xx .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                  10 / 50         email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                              Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 8ε

Γηα κία ζπλάξηεζε f ηζρύεη f  x  y   f  x   f  y   αxy  β , γηα θάζε x,y  .
Δπίζεο ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην 0. Να απνδείμεηε όηη f  0   β θαη όηη ε f
είλαη παξαγσγίζηκε ζην .



Άζθεζε 9ε

Να βξεζνύλ νη θνηλέο εθαπηνκέλεο ησλ θακππιώλ f  x   x2  4x  4 θαη
g  x   2x2  6x  3 .



Άζθεζε 10ε

Μία ζπλάξηεζε f :  ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε
3f  x  1  2f  2  x   x2  14x  5 , γηα θάζε x    .
α) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.
β) Να απνδεηρζεί όηη νη εθαπηνκέλεο πξνο ηελ Cf νη νπνίεο άγνληαη από ην
              1
ζεκείν A  1,   είλαη θάζεηεο.
              4



Άζθεζε 11ε

Σα άθξα Α θαη Β ελόο επζύγξακκνπ ηκήκαηνο AB  10cm νιηζζαίλνπλ επί ησλ
εκηαμόλσλ Ox θαη Oy αληίζηνηρα. Αλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t o πνπ ην Α απέρεη από
ην Ο απόζηαζε 6cm, ε ηαρύηεηά ηνπ είλαη 4 cm , λα βξεζεί ε ηαρύηεηα ηνπ
                                            s
ζεκείνπ Β θαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ Δ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ.




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                11 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                              Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 12ε

΢ε έλα νμπγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ κε AB  AΓ  10cm , ε πιεπξά ΒΓ
απμάλεη κε ξπζκό 2 3 cm . Να βξεζεί ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ ηνπ
                         s
ηξηγσλνπ ηε ζηηγκή πνπ απηό είλαη ηζόπιεπξν.


Άζθεζε 13ε

                                                                  λ  λ  2 !
Αλ f  x   xlnx , x  0 , λα απνδείμεηε όηη f    x    1
                                                 λ
                                                                               , λ  3.
                                                                       x λ1




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                 12 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                        Επαναληπτικά Φύλλα


                               4ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢


Δπαλάιεςε ζηελ ζεσξία ηεο ελόηεηαο Γηαθνξηθόο Λνγηζκόο θαη ζε όιεο ηηο
αζθήζεηο ηνπ ζρνιηθνύ βηβιίνπ, από ηελ ελόηεηα «Θεώξεκα Μέζεο Σηκήο» εσο
ην ηέινο ηνπ θεθαιαίνπ.
Πξόρεηξν δηαγώληζκα ζηελ ηάμε.

                               Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢

Άζθεζε 1ε:

Αλ α, β, γ πξαγκαηηθνί αξηζκνί κε α  β  0 , λα απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f κε ηύπν f  x   αx2  βlnx  γ δελ έρεη 3 ζεκεία
ζπλεπζεηαθά.

Άζθεζε 2ε

                                    ln x
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν f  x    .
                                      x
α) Να κειεηεζεί ε κνλνηνλία θαη ε θπξηόηεηα ηεο f.
                           π        e
β) Να απνδείμεηε όηη e         π       .

Άζθεζε 3ε

Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 3x  2x2  1 έρεη αθξηβώο ηξεηο πξαγκαηηθέο ξίδεο,
ηηο νπνίεο θαη λα βξείηε.

Άζθεζε 4ε

Να απνδείμεηε όηη log 2 3  log 3 4 .


Άζθεζε 5ε

Να ππνινγίζεηε ηα α,β          ώζηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f κε
                                                                             1
ηύπν f  x   3 αx3  βx2 , κε x  0 , λα έρεη αζύκπησηε ηελ επζεία y  2x  .
                                                                             3

 Νικολόπουλος Αθανάσιος                  13 / 50    email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                         Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 6ε

Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ζπλαξηήζεηο f :               γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη f 1  1 θαη
x2f   x   f  x   0



Άζθεζε 7ε

Η ζπλάξηεζε f  x  είλαη δύν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην 1,9 θαη θπξηή. Να
                        5       3
απνδεηρζεί όηη f  4   f 1  f  9  .
                        8       8

Άζθεζε 8ε

                                  x 1
α) Να απνδεηρζεί όηη: ln x            , γηα θάζε x  0 .
                                    x
                                                        ln x
β) Θεσξνύκε ηελ ζπλάξηεζε f  x   x 1  ln x            . Να απνδεηρζεί όηη ε
                                                          8
                                       6
f   x   0 έρεη κνλαδηθή ξίδα ζην  1,  .
                                       5



Άζθεζε 9ε

Έζησ ε ζπλάξηεζε f κε f  x   x5  x3  x .
 α) Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα θνίια θαη λα απνδείμεηε
όηη ε f έρεη αληίζηξνθε ζπλάξηεζε.
                             
β) Να απνδείμεηε όηη f ex  f  x  1 , γηα θάζε x        .
γ) Να απνδείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν
 0,0  είλαη ν άμνλαο ζπκκεηξίαο ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ ηεο f θαη ηεο f 1 .
δ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο f 1 , ηνλ άμνλα xx θαη ηελ επζεία x  3 .
                                         (3ο Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 2003)




 Νικολόπουλος Αθανάσιος               14 / 50        email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                             Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 10ε

Έζησ κία ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα α,β  , πνπ έρεη ζπλερή δεύηεξε
παξάγσγν ζην  α,β  . Αλ ηζρύεη f  α   f  β   0 θαη ππάξρνπλ αξηζκνί γ   α,β 
θαη δ   α,β  έηζη ώζηε f  γ   f  δ   0 , λα απνδείμεηε όηη:
α) Τπάξρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ηεο εμίζσζεο f  x   0 ζην δηάζηεκα  α,β  .
β) Τπάξρνπλ ζεκεία μ1 ,μ 2   α,β  ηέηνηα ώζηε f   μ1   0 θαη f   μ 2   0 .
                                          (4ο Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 2003)



Άζθεζε 11ε

Έζησ νη ζπλαξηήζεηο f, g κε πεδίν νξηζκνύ ην               . Γίλεηαη όηη ε ζπλάξηεζε ηεο
ζύλζεζεο f g είλαη 1-1.
α) Να δείμεηε όηη ε g είλαη 1-1.
                                                      
β) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε g f  x   x3  x  g  f  x   2x  1 έρεη αθξηβώο δύν
ζεηηθέο θαη κία αξλεηηθή ξίδα.
                                                  (3ο Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 2002)




Άζθεζε 12ε

Γίλεηαη ε παξαγσγίζηκε ζην               ζπλάξηεζε f, πνπ ηθαλνπνηεί ηηο ζρέζεηο :
f  x   e    x  1 , γηα θάζε x  , θαη f  0   0 .
           f x

α) Να εθθξαζηεί ε f  σο ζπλάξηεζε ηεο f.
                         x
β) Να δείμεηε όηη  f  x   x  f   x  , γηα θάζε x  0 .
                         2
γ) Αλ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ νξίδεηαη από ηελ γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο f, ηηο επζείεο x  0 θαη x  1 θαη ηνλ άμνλα xx , λα δείμεηε όηη
1          1
    E  f 1 .
4          2
                                                 (4ο Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 2002)



 Νικολόπουλος Αθανάσιος                   15 / 50        email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                           Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 13ε

Να βξεζεί ε παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε f :                   κε f  0   2 , ε νπνία γηα θάζε
x                                                 
      ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε f  x   ex f   x   ex  0 .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος             16 / 50         email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                             Επαναληπτικά Φύλλα

                                  5ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢

Δπαλάιεςε ζηελ ζεσξία ηεο ελόηεηαο Οινθιεξσηηθόο Λνγηζκόο θαη ζε όιεο ηηο
αζθήζεηο ηνπ ζρνιηθνύ βηβιίνπ.
Πξόρεηξν δηαγώληζκα ζηελ ηάμε.

                                  Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢

Άζθεζε 1ε:

Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα:

     
      e2x  4ex
α)                dx ,
     e2x  ex  2

     
         2
             4x 3  6x 2
β)                         dx .
      1      x  2x  1
              4      3



Άζθεζε 2ε

Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ησλ δηαγξακκάησλ
ησλ ζπλαξηήζεσλ f  x   3x2  x3 θαη g  x   3x  x2 .


Άζθεζε 3ε



                                                                   
                                          10                            10
Αλ 0  α  1 , λα δείμεηε όηη :                1  x   α
                                                             dx             1  αx  dx .
                                          0                             0



Άζθεζε 4ε



                                                 
                                                     x
α) Έζησ ε ζπλάξηεζε f κε f  x  
                                                     0
                                                                               
                                                         ln 4t  3  2t  3 dt . Να κειεηεζεί σο πξνο

ηελ κνλνηνλία θαη λα βξεζνύλ νη ηεηκεκέλεο ησλ αθξνηάησλ.
                     1    x h           
 β) Να βξεζεί ην lim  
                 h0  h
                         x       
                                et  1 dt  .
                                          
                                          



 Νικολόπουλος Αθανάσιος                        17 / 50                email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                             Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 5ε

α) Έζησ ζπλάξηεζε f κε f  x   0 ζην  0,1 θαη κε f   x   xex , f  0   0 . Να
βξεζεί ε f  x  αλ ην εκβαδόλ Δ κεηαμύ ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f , ηνπ xx
θαη ησλ επζεηώλ x  0 θαη x  1 είλαη 40.
β) Έζησ f γλεζίσο αύμνπζα θαη παξαγσγίζηκε γηα x  0 θαη f  x   0 γηα x  0 .


                                            
                                                x
                          1
Να δείμεηε όηη ε g  x                           f  t  dt , x  0 , είλαη γλεζίσο αύμνπζα.
                          x                     0




Άζθεζε 6ε

Έζησ κία πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε f, ζπλερήο ζην  0,  , γηα ηελ νπνία ηζρύεη :


            
                    t  f t 
                x
       1
f x                          dt , κε x  0 .
       x
             1
                       x2
α) Να δείμεηε όηη ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην  0,  .
                                                                                    1  ln x
β) Να δείμεηε όηη ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : f  x                                     , x  0.
                                                                                       x
γ) Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f.
δ) Να βξείηε ηηο αζύκπησηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f.
ε) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο f, ηνλ άμνλα xx θαη ηηο επζείεο x  1 θαη x  e .
                                        (4ο Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 2001)



Άζθεζε 7ε

                                    x2
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε f  x        .
                                   ln x
α) Να εμεηάζεηε αλ ηζρύεη ε ζρέζε f  x   2e , x  1 .
                                        e2
β) Να απνδείμεηε όηη :
                                       e
                                             f  x  dx  2e2  e  1 .



 Νικολόπουλος Αθανάσιος                                18 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                              Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 8ε



                                                                                           
                                                                                               x
Έζησ f παξαγσγίζηκε ζην                            , ηέηνηα ώζηε λα ηζρύεη : f   x             f  x  t  dt γηα
                                                                                               0

θάζε x  θαη f  0   1 .
α) Να απνδείμεηε όηη ε f  είλαη παξαγσγίζηκε ζην      θαη λα βξείηε ηελ f  .
β) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f θαη λα απνδείμεηε όηη ε f είλαη θπξηή ζην .



Άζθεζε 9ε

Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε f :                                     πνπ είλαη παξαγσγίζηκε θαη ηζρύεη :

                 
                         x
f  x   x2                et  f  x  t  dt γηα θάζε x          .
                     0




Άζθεζε 10ε

Να απνδείμεηε όηη :

                                             
                     1
                             ex  e1x dx  1  e ,
                               2           2
α) 2 e 
                     0



           
                 8
   1                 2x  9
β)                         dx  1 .
   5             5   2x  5




Άζθεζε 11ε

                                                f x
                                   
                                       1
Να δείμεηε όηη : I                                          dx  1
                                       1 f  x   f  x 




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                                19 / 50            email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                             Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 12ε



                                                            
                                                                x
                                                                          t 1
Η f είλαη ζπλερήο θαη γηα θάζε x  0 ηζρύεη f  x  
                                                                                        
                                                                                             dt .
                                                                           f t 
                                                              1     t e            1

α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε x  0 ηζρύεη : e    f  x   x  ln x .
                                              f x


β) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε x  0 ηζρύεη : f  x   ln x .
                                                         e
γ) Να βξείηε ην κέγηζην ηεο g , κε g  x   f  x   f   , x  0 .
                                                         x
                                                     f β   f α  f  γ   f β 
δ) Αλ 0  α  β  γ , λα απνδείμεηε όηη ηζρύεη :                                     .
                                                          βα             γ β




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                20 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                           Επαναληπτικά Φύλλα

                                6ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢

                         Μηθηέο αζθήζεηο Μηγαδηθώλ θαη Αλάιπζεο.


                               Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢


Άζθεζε 1ε:

Γίλνληαη δύν κηγαδηθνί z , w θαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν
f  x   z  x3  w  x2  z  w . Να δείμεηε όηη ε f  x   0 έρεη κία ηνπιάρηζηνλ
ξίδα ζην  1,1 .


Άζθεζε 2ε

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f , παξαγσγίζηκε ζην              κε f 1  0 θαη f  1  0 θαζώο
θαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί z γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη e    1  z  f  x  , γηα θάζε
                                                            f x

x . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ z ζην επίπεδν.


Άζθεζε 3ε

Γίλεηαη κία ζπλάξηεζε f παξαγσγίζηκε ζην α,β  κε 0  α,β , θαζώο θαη νη
κηγαδηθνί αξηζκνί z x  x  i  f  x  , x α,β . Δάλ είλαη γλσζηό όηη zα  zβ  , λα
                                                                                   f ζ
δείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ ζ   α,β  ώζηε λα ηζρύεη : f   ζ               .
                                                                                     ζ


Άζθεζε 4ε

Γίλεηαη κία ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην α,β  θαη παξαγσγίζηκε ζην  α,β  , κε
f  α   α θαη f  β   β . Γίλεηαη επίζεο ην ζύλνιν ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ ηεο
κνξθήο z x  1  i  f   x  , x   α,β  . Να δείμεηε όηη ππάξρνπλ x1 ,x2   α,β  ώζηε
z x1  z x2  2 1  i  .


 Νικολόπουλος Αθανάσιος                21 / 50         email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                        Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 5ε

Έζησ z,w         θαη ε ζπλάξηεζε f  x   z  x  w , x  . Να απνδείμεηε όηη :
α) Η f είλαη αληηζηξέςηκε.
                                                                              1
β) Αλ ε εμίζσζε f  x   f 1  x  έρεη κνλαδηθή ιύζε, ηόηε ηζρύεη : w  z  .
                                                                              4


Άζθεζε 6ε

Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο z  ex  i θαη w  f  x   i  e όπνπ f : 1,  
παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε θαη w  z  w  z  0 . Αλ ηζρύεη f 1  1 , λα δείμεηε όηη :
f  1  1 .



Άζθεζε 7ε

              αx2  5βx  10
Έζησ f  x                 , α,β  . Να βξεζνύλ ηα α, β ώζηε ε γξαθηθή
                   x 1
παξάζηαζε ηεο f λα έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην  ηελ επζεία πνπ νξίδεηαη
από ηηο εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z κε : z  1  2i  z  7  2i .




Άζθεζε 8ε

Γίλεηαη ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f : α,β                           θαη z,w      κε z  α 2  i  f  α  θαη
w  β2  i  f  β  , αβ  0 , f  α   f  γ   f  β θαη w  z  w  z . Να δείμεηε όηη :
α) Τπάξρεη μ   α,β  ηέηνην ώζηε : f  μ   0 .
β) Τπάξρεη μ1   α,β  ηέηνην ώζηε : f  μ1   f  γ  .


                             
                                 x
                                         t 2 f  t 
γ) Η ζπλάξηεζε f  x               e                  dt είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην α,β  .
                                 α




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                           22 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                              Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 9ε

Γίλεηαη ε παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε f ζην α,β  κε α,β  0 . Έζησ z1 , z 2
κηγαδηθνί κε z1  f  x1   i  x1 θαη z 2  f  x2   i  x2 , κε x1 , x2 α,β , x1  x2 ,
γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη z1  z 2  z1  z 2 . Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε :

                  
f  x   ln x2  1  ex1  εκx   0 έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην
                                 
                                                                                .




Άζθεζε 10ε

Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο z  z  x   2 x  i  ex , x  0 .
α) Να βξεζεί ν z ηνπ νπνίνπ ε εηθόλα έρεη ηε κηθξόηεξε απόζηαζε από ηελ
αξρή ησλ αμόλσλ.
                                          4  zi
β) Να απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ησλ w           αλήθνπλ ζηνλ θπθιηθό δίζθν κε
                                          z  3i
                                1
θέληξν K  i  θαη αθηίλα ξ            .
                              4ln 2  1



Άζθεζε 11ε

                                                                                  1
Έζησ f :              δύν θνξέο παξαγσγίζηκε ώζηε f   x   0 , x    θαη f     0 .
                                                                                  2
Έζησ νη κηγαδηθνί z  x   x  i  f   x  , x  . Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ
                                                                1
κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα αλ ηζρύεη : Re  z 0  z1   0 θαη f    e .
                                                                2


Άζθεζε 12ε

Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ
z  w  i  θ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη : z  ι  Re  z   θ  1 , όπνπ θ, ι είλαη νη
ξίδεο ηεο εμίζσζεο : 17x  15x  13x  11x , κε ι  0 .


 Νικολόπουλος Αθανάσιος                  23 / 50          email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                     Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 13ε

Έζησ ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f :                           ηέηνηα ώζηε f 1  1 . Αλ γηα θάζε x 
                       x3

                   
                                                   1
ηζρύεη g  x              z f  t  dt  3 z       x  1  0 , όπνπ z  α  βi     , κε α,β      
                                                                                                             ,
                       1                           z
ηόηε:
 α) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη παξαγσγίζηκε ζην                              θαη λα βξείηε
ηελ g .
                             1
 β) Να απνδείμεηε όηη z  z  .
                             z
 γ) Με δεδνκέλε ηε ζρέζε ηνπ εξσηήκαηνο (β) λα απνδείμεηε όηη Re z 2   .
                                                                                    1
                                                                                    2
                                                                                            
 δ) Αλ επηπιένλ f  2   α  0 , f  3   β θαη α  β , λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη
x0   2,3  ηέηνην ώζηε f  x0   0 .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                        24 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                               Επαναληπτικά Φύλλα

                                          7ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢

                                          Τπνινγηζηηθό Οινθιήξσκα.


                                          Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢


Άζθεζε 1ε:

Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα :


   1.
          ln x  1  x 2 dx         
   2.
               ln 2 x dx


        
            ln 3 x
   3.              dx
             x2

        
                    εθx
   4.                           dx
            ζπλx  ζπλx  εκx 


        
            1
   5.           ζπλ 2 x dx
            0



        
               8 x
   6.                 dx
            3
              x 5 x

        
                dx
   7.       3
              x 1 1

        
            1
   8.           x 2 1  x 2 dx
            0
        (ππόδεημε: ζέηνπκε x  εκu )


        
            1
                     dx
   9.
                x            
                                  2
            0        2
                         1
        (ππόδεημε: ζέηνπκε x  εθu )




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                         25 / 50    email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                              Επαναληπτικά Φύλλα

             xln  x  1
   10.
           x  1 dx               2



         e 1
            dx
   11.           x



         
             εθ 3x
   12.              dx
             ζπλ 2x

         
             ζπλ x
   13.               dx
                x
   14.
          εκ ln x dx
                 π


         
                 2      εκx                                                    π
   15.                          dx                    (ππόδεημε: ζέηνπκε x      u)
             0       εκx  ζπλx                                                2


           
                     3
                             1  2x 2
   16.                                       dx
             1           x2 1  x2
             1


         
             2            x
   17.                        dx
             0           1 x
         (ππόδεημε: ζέηνπκε x  εκ 2t )


         
             e3x  1
   18.                dx
             ex  5

         
               3x 2  3
   19.                   dx
              3x  1
                       2



          xln x  xln x
               dx
   20.                       2

         (ππόδεημε: ζέηνπκε x  lnt )
             π                                        π
   21.
            0
                         x       2
                     e εκ x dx θαη
                                                     0
                                                          exζπλ 2x dx

         (ππόδεημε: ππνινγίδνπκε πξώηα ην άζξνηζκα θαη ηελ δηαθνξά ησλ δύν
         νινθιεξσκάησλ)
                 π


                    1  ζπλ x  ζπλ x  dx
                 6                       2        4
   22.
                 π
             
                 3



 Νικολόπουλος Αθανάσιος                                       26 / 50    email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                     Επαναληπτικά Φύλλα

             π


         
             2
   23.            εκ5xζπλ6x dx
             0
              π
   24.
            0
                  εκ 7 x dx



Άζθεζε 2ε

Να ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ θακπύιε
y  x3 θαη ηελ επζεία y  x .


Άζθεζε 3ε

Να ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο θακπύιεο
y  x2 θαη y  x2  4x  4 θαη ηνλ άμνλα xx .


Άζθεζε 4ε

Να ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο παξαβνιέο
y 2  4x θαη x2  4y .


Άζθεζε 5ε

Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ε
νπνία ρσξίδεη ζε δύν ίζα κέξε ην εκβαδόλ ηεο επηθάλεηαο πνπ ζρεκαηίδεηαη από
ηελ θακπύιε y  2x  x2 θαη ηνλ άμνλα xx .


Άζθεζε 6ε

Να βξεζεί ην εκβαδόλ ην ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε
ηεο ζπλάξηεζεο f κε ηύπν f  x   x2  4x  3 θαη από ηηο εθαπηόκελεο απηήο
ζηα ζεκεία A  0, 3  θαη B  3,0  .



 Νικολόπουλος Αθανάσιος               27 / 50    email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                        Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 7ε

Γίλεηαη ε παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε f κε f 3  x   3f  x   x , x       . Να


                 
                     4
ππνινγηζηεί ην           f  x  dx .
                     0




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                  28 / 50    email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                                    Επαναληπτικά Φύλλα


                                            8ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢

                                               Δπαλαιεπηηθέο Αζθήζεηο

                                           Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢

Άζθεζε 1ε:

Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f :                                   , αλ ηζρύεη :
                 f  x
f x 
                0
                          1  e  dt , γηα θάζε x 
                                  εκt
                                                                       .


Άζθεζε 2ε

Να βξείηε ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f :                                         , αλ ηζρύεη :

                     
                          x
f x  1                    2te   dt , γηα θάζε x
                                 f t
                                                                   .
                         0


Άζθεζε 3ε

Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f :  0 ,                                      , κε ζπλερή δεύηεξε παξάγσγν, αλ


                                                    
                     x                                   x
ηζρύεη :                 t f   t  dt  x e  2
                             2           4 x
                                                             f  t  dt , γηα θάζε x  0 .
                     0                                   0


Άζθεζε 4ε

Να βξείηε ηε ζπλερή ζπλάξηεζε f :  0 ,                                       , αλ ηζρύεη :


         
             x
2004             f  t   t  dt  xf  x   x2 , γηα θάζε x  0 .
             0


Άζθεζε 5ε

Να βξείηε ηε ζπλερή ζπλάξηεζε f :                                         , αλ ηζρύεη :


    x
        f  t  dt  f  x   ex  2004 , γηα θάζε x                      .
    0



 Νικολόπουλος Αθανάσιος                               29 / 50                   email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                            Επαναληπτικά Φύλλα



Άζθεζε 6ε

Έζησ ε ζπλάξηεζε f :  , γηα ηελ νπνία ηζρύεη :
             x            
                    
                 t
f x  x     f  u  du  dt , γηα θάζε x .
              
            0  0
                           
                           
Α. Να απνδείμεηε όηη f   x   f  x  , γηα θάζε x .
Β. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε h :  , κε ηύπν
   h  x    f  x  εκx    f   x   ζπλx 
                                  2                   2


   είλαη ζηαζεξή.
Γ. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f.



Άζθεζε 7ε

Αλ ε f  είλαη ζπλερήο ζην  0,1 , κε f  1  e  f  0  , λα απνδείμεηε όηη ηζρύεη :
        f  x  f  x

    1
                           dx  0 .
    0         ex



Άζθεζε 8ε

Έζησ ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f :  0,                               , γηα ηελ νπνία γηα θάζε x  0 ,
                                          x                          
                                          
                                                  u
                                                          f t 
ηζρύεη: f  x   2 1  x   ln 2                  e            dt  du . Να απνδείμεηε όηη :
                                                                      
                                         1        1                   
Α. f   x   e   γηα θάζε x  0 .
                   f x

Β. Η ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα.
                  2
Γ. f  x   ln 2 , γηα x  0 .
                 x
Γ. Γελ ππάξρεη πνιπώλπκν P :  , ώζηε λα ηζρύεη P  x   f  x  , γηα θάζε
x  0.



 Νικολόπουλος Αθανάσιος                    30 / 50                      email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                       Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 9ε

Έζησ ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f :                          , γηα ηελ νπνία ηζρύεη :

                  
                      x
f x  e   
         f 0               1
                                f t
                                        dt ,
                      0   1e
γηα θάζε x .
Α. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη θνίιε.
Β. Να απνδείμεηε όηη ηζρύεη f  β   f  α   β  α , γηα θάζε α,β                         .


                                
                                        1
                                                  1
Γ. Να απνδείμεηε όηη:                 f  x  dx  f 2  0   f  0   1 . Γίλεηαη όηη f  1  0 .
                                    0             2




Άζθεζε 10ε

Έζησ ν πξαγκαηηθόο αξηζκόο α  0 θαη έζησ ε ζπλάξηεζε f :  ,                                                   , κε
                                                                                                   0 tf  t  dt
                                                                                                    x
                                                                                  xf  x 
f  ζπλερή ζην  α,  , γηα ηελ νπνία ηζρύεη ε ζρέζε : f  x  e                           e                      , γηα
xα.
Α. Να απνδείμεηε όηη f   x   f 2  x  .
Β. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f.
Γ. Να βξείηε ηελ κηθξόηεξε ηηκή ηνπ α.




Άζθεζε 11ε

Έζησ ε παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε f :                             , γηα ηελ νπνία ηζρύεη :


    x
        f  t  dt  xf 1 . Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ x0 πνπ αλήθεη
    0

ζην  0,1 , ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη : f   x0   0 .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                         31 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                            Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 12ε

Έζησ ε δύν θνξέο παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε f :  0,2  , γηα ηελ νπνία
ηζρύνπλ: f  1  1 θαη f   x   0 , γηα θάζε x   0,2 . Να απνδείμεηε όηη :


                                      
                                          x
                                                              x
Α. Η ζπλάξηεζε g, κε ηύπν g  x             f  t  dt  xf   είλαη γλεζίσο θζίλνπζα.
                                          0                   2


     
         2
Β.           f  t  dt  2 .
         0




 Νικολόπουλος Αθανάσιος              32 / 50            email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                  Επαναληπτικά Φύλλα


                                  9ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢



                                   Δπαλαιεπηηθέο Αζθήζεηο


                                 Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢


Άζθεζε 1ε:

Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη παξαγσγίζηκεο ζην                        θαη ηζρύνπλ νη ζρέζεηο
f   x   e  g  x  , g  x   e  f  x , f  ln π   0 θαη g  ln π   1 , ηόηε :
             x                         x


α) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε h  x   f  lnx   εκx   g  lnx   ζπλx  είλαη
                                                                     2                       2
                                                                            
ζηαζεξή ζην  0,  .
β) Να βξείηε ηνλ ηύπν ησλ f , g .


Άζθεζε 2ε

                                           1
Να δείμεηε όηη ηζρύεη : ln x  1            γηα θάζε x  1 θαη ζηε ζπλέρεηα όηη ε
                                           x
                   ln x
ζπλάξηεζε f  x       είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην  1,  .
                   x1
Αλ α, β  1 κε αβα  βαβ , ηόηε λα δείμεηε όηη α  β .


Άζθεζε 3ε

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f :          
                                          γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ f  xy   f  x  f  y  θαη
f  x   0 , γηα θάζε x,y      
                                   . Αλ   ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν 1, λα δείμεηε
                                                           
όηη είλαη παξαγσγίζηκε ζε θάζε ζεκείν x0                  .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                     33 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                               Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 4ε

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f :  γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ
f  x  y   exf  y   eyf  x  , γηα θάζε x,y  θαη f  0   0 .
α) Αλ ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην 0, κε f   0   2 , ηόηε λα απνδείμεηε όηη ηζρύεη
f   x   f  x   2ex .
β) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.



Άζθεζε 5ε

α) Να δείμεηε όηη lnx  x  1 , γηα θάζε x  0 θαη x  1 .
β) Έζησ όηη νη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη παξαγσγίζηκεο ζην                   κε f   x   g  x  γηα
θάζε x .
   Να δείμεηε όηη : f  x  1  f  lnx   g  x  1  g  lnx  , γηα x  0 θαη x  1 .
γ) Αλ f  0   g  0  ηόηε λα δείμεηε όηη :
    β                                        β

   α
         
        f x  x  1 dx 
             2
                                           α
                                                               
                                                 g x 2  x  1 dx .



Άζθεζε 6ε

Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη δύν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην  α,β  θαη νη αξηζκνί
          αβ
f α , f     , f  β  είλαη δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ, λα δείμεηε όηη
           2 
ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ ζεκείν x0   α,β  ηέηνην ώζηε f   x0   0 .


Άζθεζε 7ε

Αλ ε f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην  α ,β  , λα δείμεηε όηη :
    β                      β

   α
        f  x  dx 
                          α
                               f 1  x  dx  β  f  β   α  f  α  .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                                 34 / 50            email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                              Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 8ε

                                                        2x2 x
Έζησ ε ζπλάξηεζε f :  0,        κε f  x  
                                                       1
                                                                  t 2  1 dt .

α) Να βξείηε ηελ f  .
β) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην x  1 .
                                                    7
γ) Να πξνζδηνξίζεηε ην ι  ώζηε ε επζεία y  2  ι2   x  3 λα είλαη
                                                    6
θάζεηε ζηελ εθαπηνκέλε.



Άζθεζε 9ε

 Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f  x   ln2 x  4lnx  3 σο πξνο ηελ κνλνηνλία,
ηα αθξόηαηα, ηα θνίια θαη ηα ζεκεία θακπήο.
 ΢ηε ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ
γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f, ηνλ άμνλα xx θαη ηηο επζείεο x  e θαη x  e3 .



Άζθεζε 10ε

                                                                                     1  ln  t  1
                                                                            
                                                                                 x
Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε γηα x  0 θαη ηζρύεη : f  x                                           dt ,
                                                                                 0         t  1   2

ηόηε :
 α) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f.
 β) Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία.
                                                                 
γ) Να δείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθό x0 ζην δηάζηεκα e  1 , e2  1 ηέηνην ώζηε         
f  x0   .
          1
          3
                          β 2        β1
δ) Να δείμεηε όηη  β  1   β  2  , γηα θάζε β  e  1 .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος            35 / 50                email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                     Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 11ε

Γίλνληαη νη νξηζκέλεο ζπλαξηήζεηο f , g ζην                     . Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 θαη ε g
είλαη παξαγσγίζηκε ζην 0 θαη ζπλερήο ζην                        θαη επηπιένλ ηζρύεη :

                       
                           x
          xf  x             εκx  g  t  dt
g x                         , γηα θάζε x  0 , λα δείμεηε όηη ε f είλαη
                           0
                x
παξαγσγίζηκε ζην 0 θαη όηη f   0   g  0   g  0  .


Άζθεζε 12ε

Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό αξηζκό z  2x  yi ηζρύεη ε ζρέζε : Re  z   2Im  z   0 ,
ηόηε :
α) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηε κνλνηνλία, ηα αθξόηαηα, ηα θνίια θαη ηα ζεκεία
                                 f  x
θακπήο ηελ ζπλάξηεζε g  x   2         , όπνπ
                              f  x  1
f  x   Re2  z  1  Im2  z   Im  5z   z  1 .
                                                           2

β) Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία θακπήο ηεο g είλαη ζπλεπζεηαθά.
γ) Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο g.


Άζθεζε 13ε

Αλ γηα ηηο ζπλερείο ζπλαξηήζεηο f θαη g ζην                     ηζρύνπλ :

                    
                        x
                             1
     1. g  x              t  2  dt ,
                        x1        
    2. f   x   g  x   3αx2  2βx  4 ,
                    10
    3. f  1   , ηόηε :
                     3
α) Να βξείηε ηνπο ηύπνπο ησλ f , g.
β) Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ α,β γηα ηηο νπνίεο ε f παξνπζηάδεη αθξόηαηα ζηα
ζεκεία x  1 θαη x  3 θαη λα θαζνξίζεηε ην είδνο ησλ αθξνηάησλ.




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                            36 / 50       email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                                 Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 14ε

Να εμεηάζεηε αλ ηζρύνπλ νη πξνϋπνζέζεηο ηνπ Rolle γηα ηελ ζπλάξηεζε
                            ζην δηάζηεκα  α  1 , α  3 , όπνπ α είλαη ε κηθξόηεξε ξίδα
                       α
f  x   3  x  1
                        α

                               3x                          70
ηεο εμίζσζεο                          2
                                           6x  2 dx           .
                        α 1                                   3


Άζθεζε 15ε

Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην                              θαη γηα θάζε x             ηζρύεη :

                                                                      
    x                                                                      1
        xf  t  dt  3x  ex  ζπλ2x , λα δείμεηε όηη :                       f  x  dx  2 .
    1                                                                      0




Άζθεζε 16ε

                                     2ln x
Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε f  x   x         .
                                       x
α) Να δείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο.
β) Να βξείηε ηηο αζύκπησηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f.
γ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν M  1,f  1  .
δ) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο f , ηελ πιάγηα αζύκπησηε θαη ηηο επζείεο x  1 θαη x  4 .


Άζθεζε 17ε

                                           π π
Έζησ ε ζπλάξηεζε f  x   ζπλ 2x2 κε x    ,  .
                                           2 2
                                          π


                                
                                          2                    π
Να δείμεηε όηη : 0                           ζπλ 2x 2 dx       .
                                    0                          2




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                                   37 / 50            email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου            Επαναληπτικά Φύλλα




 Νικολόπουλος Αθανάσιος      38 / 50    email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                          Επαναληπτικά Φύλλα


                             10ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢

                              Δπαλαιεπηηθέο Αζθήζεηο



                             Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢



Άζθεζε 1ε:

Αλ α x  βx  γ x  2  ζπλx γηα θάζε x          θαη α,β,γ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί
αξηζκνί,
λα απνδείμεηε όηη αβγ  1 .


Άζθεζε 2ε

Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην  0,1 θαη ηζρύεη f   x   0 γηα θάζε
x   0,1 .
Αλ f  0   2 θαη f  1  4 , λα δείμεηε όηη :
α) Η επζεία y  3 ηέκλεη ηελ Cf ζε έλα αθξηβώο ζεκείν κε ηεηκεκέλε x0 ζην
 0,1 ,
                                                     1  2  3  4
                                                   f f f f 
β) Τπάξρεη x1 ζην  0,1 , ηέηνην ώζηε : f  x1           .
                                                      5    5    5    5
                                                             4


Άζθεζε 3ε

Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην  2,7 κε f  2   f  7  , λα δείμεηε όηη
ππάξρνπλ x1 , x2 ζην  2,7  , κε x1  x2 , ηέηνηα ώζηε 2f   x1   3f   x2   0 .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος              39 / 50          email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                            Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 4ε

Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην  0,3 κε f  0   2 θαη f  3   8 , λα
                                                                         1          1
δείμεηε όηη ππάξρνπλ x1 , x2   0,3  , κε x1  x2 , ηέηνηα ώζηε :                        1.
                                                                    f   x1  f   x 2 



Άζθεζε 5ε

                                                                                ln x
Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο ηεο ζπλάξηεζεο f  x   x                       .
                                                                                2 x
                                                           (Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 1991)




Άζθεζε 6ε

Η ζπλάξηεζε f είλαη δύν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην  1,  κε f   x   0 . Αλ ε Cf
δηέξρεηαη από ην ζεκείν A  3,3  , λα δεηρζεί όηη : f  4   f  2   6 .



Άζθεζε 7ε

Έζησ ε ζπλάξηεζε f :  ε νπνία είλαη δύν θνξέο παξαγσγίζηκε, άξηηα θαη
έρεη f   x   0 . Να δείμεηε όηη ε f παξνπζηάδεη κέγηζην.



Άζθεζε 8ε

Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ α θαη β γηα ηηο νπνίεο νη γξαθηθέο
                                      x2  3x  3
παξαζηάζεηο ησλ ζπλαξηήζεσλ f  x               θαη g  x   x2  αx  β
                                           x
δηέξρνληαη από έλα ζεκείν ζην νπνίν έρνπλ θνηλή εθαπηνκέλε κε ζπληειεζηή
δηεύζπλζεο -2.




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                40 / 50          email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                      Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 9ε

                               xln x, x  0
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f  x                  .
                              0      , x0
α) Γείμηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην  0,  .
β) Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ εθάπηεηαη ζηελ Cf ζην ζεκείν  1,0  θαη
δείμηε όηη βξίζθεηαη θάησ από ηελ Cf .
γ) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ Cf , ηελ
εθαπηνκέλε ζην  1,0  θαη ηηο x  0 θαη x  1 .


Άζθεζε 10ε

Έζησ ε παξαγσγίζηκε ζην  0,  ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη :
                           1
           1           
f   x  2 f  x  e x , x  0 .
          x
α) Να βξεζεί ε f αλ παξνπζηάδεη αθξόηαην ζην x  1 .
                                    x2  f   x 
β) Να ππνινγηζηεη ην όξην lim                      .
                                x1   x1
γ) Να βξείηε ηηο αζύκπησηεο ηεο f .


Άζθεζε 11ε

                                                                    f  x
Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο g :  α,β                  κε g  x              θαη θ : α,β       κε
                                                                    f   x
          f   x
θ x             , όπνπ ε f είλαη δύν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην  α,β  θαη
          f  x
f  x  f   x   0 , γηα θάζε x   α,β .
                  f α f α
Αλ ηζρύεη                      , λα δείμεηε όηη ππάξρνπλ x1 , x2   α,β  , κε x1  x2 ,
                  f β f β
ηέηνηα ώζηε : f  x1  f   x1   f  x2  f   x2   0 .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                       41 / 50             email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                            Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 12ε

                                           1           1 1
Γείμηε όηη γηα θάζε x  0 ηζρύεη :             ln  1    .
                                          x1          x x


Άζθεζε 13ε

Έζησ ε ζπλάξηεζε f , παξαγσγίζηκε ζην                κε f  1  1002e θαη γηα ηελ νπνία
                                           
ηζρύεη : x2  1 f   x   2xf  x   x2  1 f  x  . Να βξεζεί ε f .


Άζθεζε 14ε

Έζησ παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε f :  α,β                 κε f  α   α  0 , ηέηνηα ώζηε ν
                           β  if  β 
κηγαδηθόο αξηζκόο z                    λα είλαη θαληαζηηθόο. Να απνδείμεηε όηη :
                           α  if  α 
α) Η εμίζσζε f  x   x έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην  α,β  .
β) Τπάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ x0 ζην  α,β  ηέηνην ώζηε f   x0   1 .
γ) Αλ ε εμίζσζε f  x   x έρεη ξίδεο ηνπο αξηζκνύο x1 , x2 κε x1  x2 , ηόηε
ππάξρεη εθαπηνκέλε ηεο Cf πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                42 / 50          email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                              Επαναληπτικά Φύλλα


                                 11ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢


   Γεληθέο Δπαλαιεπηηθέο Αζθήζεηο Μαζεκαηηθώλ Καηεύζπλζεο Γ΄ Λπθείνπ



                                 Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢


Άζθεζε 1ε:

Γίλνληαη νη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο f , g :  α,β               κε g  x   0 , γηα θάζε
x   α,β . Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη μ   α,β  ηέηνην ώζηε:
f μ   1    1
               .
gμ μ  α μ  β


Άζθεζε 2ε

                                            x1
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε f  x   ln x          , x  0.
                                              x
α) Να δείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζπλάξηεζε.
                                    ln x  1              ex
β) Να ιπζεί ε εμίζσζε ln  ln x             1  ln x      .
                                      ln x                 e


Άζθεζε 3ε

 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f :  ε νπνία είλαη παξαγσγίζηκε ζην                          θαη πιεξεί
ηηο ζρέζεηο: f  x  y   f  x  f  y   xy , γηα θάζε x,y  θαη f  0   f   0   1 . Να
απνδείμεηε όηη:
α) f   x   f  x   x , x  ,
β) f  x   2ex  x  1 , x     .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                 43 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                               Επαναληπτικά Φύλλα


Άζθεζε 4ε

                               x2  α 2
 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f  x             ln x  lnα , α  0 .
                                2αx
α) Να βξεζεί ε κνλνηνλία ηεο f .
β) Να ιπζεί ε εμίζσζε x2  α 2  2αx  lnx  lnα  .
γ) Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο Cf .
δ) Να βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f .
ε) Να κειεηεζεί ε f σο πξνο ηα θνίια θαη ηα ζεκεία θακπήο.
                                         α α 2  β2
ζη) Αλ 0  α  β , λα απνδείμεηε όηη ln              .
                                         β      2αβ



Άζθεζε 5ε

Έζησ f ,g :           ζπλαξηήζεηο δύν θνξέο παξαγσγίζηκεο κε f  0   g  0  θαη
f   0   1  g  0  , νη νπνίεο ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε
f   x   g  x    f   x   g  x    e2x , x  .
                                               
α) Να απνδείμεηε όηη f   x   g  x   e x , x  .
β) Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο Cf , Cg θαη ηηο
επζείεο x  0 θαη x  1 .




Άζθεζε 6ε

Αλ νη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη ζπλερείο ζην  α,α  θαη επί πιένλ ε f είλαη άξηηα,
                         α
                              g f  x               α
λα απνδείμεηε όηη
                        α    1  ex
                                            dx 
                                                      0
                                                           g  f  x   dx .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                       44 / 50                  email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                              Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 7ε

Έζησ ζπλάξηεζε f παξαγσγίζηκε ζην                  κε f  lnα   f  lnβ  . Αλ ηζρύεη
                                        γ β
lnα  ln γ  lnβ , κε α,β, γ  0 θαη   e2 , λα απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ
                                       α α
αξηζκνί μ1 , μ 2 κε μ1  μ 2 , ηέηνηνη ώζηε f   μ1   f   μ 2   0 .


Άζθεζε 8ε

Έζησ ζπλάξηεζε f παξαγσγίζηκε ζην  α,β  κε f 2  α   f 2  β   3 θαη f  β   0 .
Έζησ αθόκα νη κηγαδηθνί αξηζκνί z1  f  α   1  if  β  θαη z 2  z1  2z1  2f  α  .
Αλ ηζρύεη z 2  2 , λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη xo   α,β  : f  xo   0 .


Άζθεζε 9ε

 Αλ ν κηγαδηθόο αξηζκόο z ηθαλνπνηεί ηελ ζπλζήθε  1  iz                     i  z
                                                                       1821           1819
                                                                                             , ηόηε
λα απνδεηρζεί όηη Im  z   0 .


Άζθεζε 10ε

Έζησ ν κηγαδηθόο αξηζκόο z  x  yi , x,y              .
α) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ M  z  ηνπ z ζην κηγαδηθό
                       z2  z 2 z 2  4 
επίπεδν αλ:  z  z                   i  z  z.
                      
                      
                           4        2 
                                         
β) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ N  z  ηνπ z ζην κηγαδηθό
                                               3
επίπεδν αλ ν κηγαδηθόο αξηζκόο w κε w   z  z    z  z  i  2i είλαη
                                                     2
                                               2
θαληαζηηθόο.
γ) Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηέρεηαη κεηαμύ ησλ 2 γεσκεηξηθώλ
ηόπσλ.




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                45 / 50            email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                              Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 11ε

Έζησ f :  0,4                     κία ζπλερήο θαη γλεζίσο αύμνπζα ζπλάξηεζε. Αλ
                                         2 x

                                    
                  x
g x                f  t  dt               f  t  dt , ηόηε:
              1                          1
α) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g.
β) Να κειεηήζεηε ηελ g σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηελ θπξηόηεηα.



Άζθεζε 12ε

Έζησ ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f :  0,                                  , γηα ηελ νπνία ππνζέηνπκε όηη
lnt  f  t   t  1 γηα θάζε t  0 . Να απνδείμεηε όηη:
α) f   1  1 .


              
                  x
          2            f  t  dt  x 2  1  2e x1
                                                           1.
                  1
β) lim
   x1
                              x  1    2




                                 
                                         x
γ) ε εμίζσζε 2  2                          f  t  dt  2  ln x  x 2 έρεη κία αθξηβώο ξίδα ζην  1,e  .
                                     1




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                                   46 / 50         email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                 Επαναληπτικά Φύλλα


                                12ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢


      Γεληθέο Δπαλαιεπηηθέο Αζθήζεηο Μαζεκαηηθώλ Καηεύζπλζεο Γ΄ Λπθείνπ


                                 Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢



Άζθεζε 1ε

Έζησ ζπλάξηεζε f 2 θνξέο παξαγσγίζηκε ζην 1,e κε f  1  2 θαη
f  e   e  1 θαη ζύλνιν ηηκώλ ην  1,4 . Να απνδείμεηε όηη:
α) ππάξρνπλ x1 ,x2  1,e  κε x1  x2 , ώζηε f   x1   f   x2   0 .
β) ππάξρεη μ   1,e  , ηέηνην ώζηε f   μ   0 .
γ) ππάξρεη xo   1,e  ώζηε f  xo  f   xo   4f 4  xo    xo .
                                                               
δ) ε επζεία ε : y   x  e  2 ηέκλεη ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ζε έλα
ηνπιάρηζηνλ ζεκείν κε ηεηκεκέλε co   1,e  .
ε) ππάξρνπλ μ1 ,μ 2  1,e  , κε μ1  μ 2 γηα ηα νπνία ηζρύεη f   μ1   f   μ 2   1 .




Άζθεζε 2ε

                                                    γηα ηελ νπνία νξίδεηαη ε f    x  κε
                                                                                3
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην
f    x   0 γηα θάζε x .
  3

α) Να απνδεηρζεί όηη ε f έρεη ην πνιύ έλα ζεκείν θακπήο.
β) Να δεηρζεί όηη δελ ππάξρεη επζεία πνπ λα εθάπηεηαη ζε δύν δηαθνξεηηθά
ζεκεία Α  x1 ,f  x1   θαη Β  x2 ,f  x2   ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f .




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                   47 / 50           email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                            Επαναληπτικά Φύλλα

Άζθεζε 3ε

                                    κε f  x   0 θαη ηζρύεη: lnf  x   e    x , γηα
                                                                            f x
 Η f είλαη παξαγσγίζηκε ζην
θάζε x .
α) Να κειεηεζεί ε f σο πξνο ηελ κνλνηνλία.
β) Να απνδεηρζεί όηη ε f αληηζηξέθεηαη.
γ) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο f  x   1 θαη f  x   e .
                                                                                 ee 1

                                                                            
                                                 e
δ) Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα I                     f   1
                                                               x  dx                  f  x  dx .
                                                 1                               e




Άζθεζε 4ε

 Να βξείηε ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο θ,ι,κ κε θ  0 , ι  0 , γηα ηνπο
νπνίνπο ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f κε ηύπν:
f  x   θx  ιx2  κx  1 , κε πεδίν νξηζκνύ ην , έρεη αζύκπησηε ζην  κία
επζεία παξάιιειε πξνο ηελ y  2x  1 θαη ζην  έρεη αζύκπησηε ηελ επζεία
y  1 .



Άζθεζε 5ε

 Να απνδείμεηε όηη:
α) x lnx  x  1 , x   0,1 ,
β)   x lnx  x  1 , x  1,   .


Άζθεζε 6ε

 Έζησ ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θαη ζπλερήο ζην  0,  κε f  x   0 , x  0 , γηα


                              
                                  1
ηελ νπνία ηζρύεη: f  x             3x  f 2  t  dt , x  0 . Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.
                                  0




 Νικολόπουλος Αθανάσιος                    48 / 50                     email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                            Επαναληπτικά Φύλλα

                               13ν ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑ΢ΙΑ΢
                    3ν θαη 4ν Θέκα Παλειιελίσλ Δμεηάζεσλ 2005

Άζθεζε 1ε

 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν f  x   eιx , ι  0 .
 α) Γείμηε όηη ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα.
 β) Γείμηε όηη ε εμίζσζε ηεο εθπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f , ε
νπνία δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ, είλαη ε y  ιex .
 γ) Γείμηε όηη ην εκβαδόλ E  ι  ηνπ ρσξίνπ, ην νπνίν πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηεο
γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f , ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ζην ζεκείν Μ θαη ηνπ άμνλα
                      e2
yy , είλαη Δ  ι        .
                       2ι
                             ι2  Δ  ι 
 δ) Τπνινγίζηε ην lim                     .
                      ι  2  εκι
                                            (3ο Θέμα Πανελληνίων εξετάσεων 2005)

Άζθεζε 2ε

 Έζησ κία ζπλάξηεζε f παξαγσγίζηκε ζην                                  ηέηνηα ώζηε λα ηζρύεη ε ζρέζε
2f   x   e   , γηα θάζε x θαη f  0   0 .
              xf x

                                1  ex 
α) Να δεηρζεί όηη f  x   ln         .
                                2 
                          x


β) Να βξεζεί ην lim
                        0
                              f  x  t  dt
                                               .
                   x0         εκx
                                                   x                                          x 2007
γ) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο h  x  
                                                                   f  t  dt θαη g  x  
                                                            2005
                                                        t                                            .
                                                   x                                         2007
   Γείμηε όηη h  x   g  x  , γηα θάζε x                 .
                                  x

                              
                                                                    1
δ) Γείμηε όηη ε εμίζσζε                t 2005  f  t  dt             έρεη κία αθξηβώο ιύζε ζην
                                  x                               2008
 0,1 .
                                                             (4ο Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 2005)



 Νικολόπουλος Αθανάσιος                      49 / 50                    email: nikolopoulosathanasios@gmail.com
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου            Επαναληπτικά Φύλλα




 Νικολόπουλος Αθανάσιος      50 / 50    email: nikolopoulosathanasios@gmail.com

				
DOCUMENT INFO
Categories:
Tags:
Stats:
views:56
posted:1/5/2013
language:Greek
pages:50