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HISTORIA DE LAS MATEMATICAS EN LAS CIVILIZACIONES ANTIGUAS CHINA, INDIA E ISLAMICA

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HISTORIA DE LAS MATEMATICAS EN LAS  CIVILIZACIONES ANTIGUAS CHINA, INDIA E ISLAMICA Powered By Docstoc
					UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN”

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION MACI – I

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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION MACI – I

“Año de las Cumbres Mundiales en el Perú”

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN DE TACNA FACULTAD DE EDUCACIÓN ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA, COMPUTACIÓN E INFORMATICA

TRABAJO ENCARGADO

TEMA

: LAS CIVILIZACIONES CHINA, INDIA E ISLAMICA

INTEGRANTES

: MOLINERO RAMOS, YULY NATHALI 08-32310 VICENTE ALFEREZ, ROGER ROMELL 08-32298

CURSO

: ARITMETICA Y ALGEBRA

PROFESOR

: JOSE LUIS ALVAREZ QUISPE

FECHA DE ENTREGA: 30 / 11 / 2008

TACNA - PERÚ 2008

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INDICE
I. IDENTIFICACION, SITUACION PROBLEMÁTICA Y OBJETIVOS formulacion del problema:……………………………………… planteamiento del problema:………………………….……...... identificación de variables:…………………………………….. objetivos……………………………………………….……….. II. FUNDAMENTO TEORICO: CAPITULO I…………………………………………………. INDIA ANTIGUA…………………………………… la aritmetica PRECURSORES MATEMATICOS brahmagupta ………………………….……… bhaskara……………………………………… āryabhaṭa……………………………….……. CAPITULO II: LA CIVILIZACION CHINA ANTIGUA:……….. descubrimientos mas importantes de la civilización china: MATEMATICOS EN LA CIVILIZACION CHINA chu shih-chieh………………………………… liu hui …………………………………....…… li zhi…………………………………………... zhu shijie……………………………………… guo shoujing………………………………….. CAPITULO III: MATEMATICA ISLAMICA Aritmetica…………………………………. Algebra……………………………………. Geometría…………………………………. Triconometria…………………………….. MATEMATICOS ISLAMICOS 31 32 33 33 20 21 23 24 24 16 9 10 13 7 7 5 5 5 6

al-khuwarizmi ………………………... abu'l-wafa………………………………
III. IV. CONCLUSIONES…………………………………… BIBLIOGRAFIA…………………………………….

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INTRODUCCION
El estudiar la aportación matemática que hicieron los Hindúes, los Chinos e Islamicos de la antigüedad, uno sospecha que se ha perdido información muy valiosa, ya que se conoce muy poco de lo que produjeron debido en parte al material que usaban para sus escritos, al parecer una especie de papel poco durable; la sospecha de esta pérdida se debe a que sus aportaciones matemáticas se encuentran registradas en períodos muy aislados, es decir, hay decenas y hasta centenas de años de un escrito a otro, de lo que resulta una falta de continuidad en su estudio. Sin embargo, han sobrevivido algunos documentos que nos dan una idea del avance que se tenía en la India y China en aquellos tiempos, es sobre estos escasos documentos de que comentaremos aquí tratando de explicar cuales fueron sus contribuciones, principalmente sobre los que tratan del álgebra, aritmética y muy poco sobre la Geometría. Por otro lado, la obra matemática en India, China e incluso en la Cultura Islámica muestra, en algunos aspectos, una falta de motivación y justificación en el sentido de que al realizar sus escritos nunca se preocuparon realmente por el rigor matemático, ni daban una ilustración del por qué se creó o se llegó a tal o cual resultado, también hablaremos de algunos de algunos de sus precursores.

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I.

IDENTIFICACION, SITUACION PROBLEMÁTICA Y OBJETIVOS:
FORMULACION DEL PROBLEMA: ¿Como influye hoy en día en el proceso de aprendizaje de los estudiantes los conocimientos sobre matemáticas en las diversas Civilizaciones antiguas como son la India, China e Islámica?

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

Hoy en día los conocimientos acerca de las antiguas civilizaciones como son la India, China e Islámica sobre las matemáticas no tienen mucha influencia en la enseñanza académica a los universitarios.

Las causas de que exista poco interés en los temas relacionados con las historias de las matemáticas por parte de los alumnos es tal vez el poco incentivo que existe de parte del docente hacia el alumno.

Esta situación es la que genera que los Estudiantes Universitarios tengan un bajo conocimiento acerca de las historias de las Matemáticas que en futuro probablemente le sería de utilidad.

IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES: a) Independientes: Las civilizaciones antiguas China, India y las Matemáticas en el Islam. Indicadores: Conocer el origen y aportaciones que generaron las diversas civilizaciones.

b)

Dependientes: El enriquecimiento del conocimiento en la Cultura General de los Estudiantes Universitarios. Indicadores: El grado de compromiso de los estudiantes Universitarios.

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OBJETIVOS:

a) Objetivo General: Determinar y explicar cuales son los orígenes, aportaciones e importancia que tuvieron las diversas civilizaciones antiguas como son la China, India e Islámica. b) Objetivo Especifico:    Identificar como es que surgieron las Matemáticas en las antiguas Civilizaciones. Determinar cual fue la Importancia y aportaciones de las antiguas Civilizaciones como son la India, China e Islámica. Diferenciar las distintas aportaciones que tuvieron en las Matemáticas las antiguas Civilizaciones.

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II.

FUNDAMENTO TEORICO:
CAPITULO I: INDIA ANTIGUA: Son muy escasos los documentos de tipo

matemático que han llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de esta civilización, existe una tremenda falta de

continuidad en la tradición matemática hindú, no existe ningún tipo de formalismo teórico. Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos las números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Como resumen acabaremos diciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en evidencia la existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos, egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.

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LA ARITMETICA: En las excavaciones de Mohenjo Daro se tiene constancia de una civilización de alto nivel cultural tan antigua como la egipcia, pero de la que no nos ha llegado ningún documento matemático. Los primeros documentos matemáticos hindúes datan del siglo V d.C., sin embargo se piensa que debió haber una actividad matemática mucho antes de esta época. Parte de sus conocimientos geométricos primitivos utilizados en la construcción de templos y altares se encuentran en los salvasutras o "reglas de la cuerda", versiones de conocimientos que pueden remontarse a la época de Pitágoras El sistema de numeración hindú En el Arabhatiya, texto del siglo VI que trata sobre astronomía y trigonometría esférica, nos encontramos con el sistema decimal posicional. Tiene nueve cifras distintas, para los nueve primeros números, que sirven también para los nueve primeros múltiplos de diez del sistema Brahmi. El símbolo para el 0 aparece en el siglo IX. Con la introducción del símbolo para el 0 de la numeración hindú tenemos el sistema de numeración que actualmente usamos y que no consiste más que en:
  

una base decimal una notación posicional una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos

La suma y la multiplicación se hacían en la India casi como las hacemos hoy, salvo porque la escritura de los números se hacía con los de orden menor a la izquierda. Veamos un ejemplo de su forma de multiplicar, que se llama multiplicación de celosía o de celdilla. Multiplicaremos 456 x 34 = 15.504.

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La disposición en celdillas es un recurso para evitar las "llevadas", sólo hay que tener en cuenta las llevadas de las sumas parciales diagonalmente MATEMATICOS DE LA INDIA:

BRAHMAGUPTA Brahmagupta vive entre los años 598 y 665 en la India central. Menciona dos valores de pi, el "valor práctico" 3 y el "valor exacto" raíz de 10; en su obra más conocida Brahmaspshuta Siddhanta adopta como radio del círculo el valor 3,270. Calcula el "área bruta" de un triángulo isósceles multiplicando la mitad de la base por uno de los lados iguales; para el triángulo escaleno de base 14 y lados 13 y 15 calcula el "área bruta" multiplicando la mitad de la base por la media aritmética de los otros dos lados. El resultado más bello en la obra de Brahmagupta es su generalización de la fórmula de Herón para calcular el área de un cuadrilátero: donde a, b, c y d son los lados del cuadrilátero y s el semiperímetro. Este resultado queda un tanto

empañado pues sólo es válido para el caso de un cuadrilátero cíclico (insciptible). La fórmula correcta para un cuadrilátero arbitrario es , donde es la semisuma de dos ángulos opuestos del

cuadrilátero. También utiliza expresiones que permiten obtener las diagonales de un

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cuadrilátero

inscriptible

conocidos

los

lados,

que

hoy

escribiríamos:

En su obra aparecen soluciones generales de ecuaciones cuadráticas incluyendo las dos raíces incluso en los casos en que una de ellas sea negativa; de hecho es la primera vez que aparece sistematizada la aritmética de los números negativos y del cero. En su contribución al análisis indeterminado presenta una regla para la formación de ternas pitagóricas expresadas de la forma Fue el primero que dio una solución general de la ecuación diofántica lineal ax+by=c, con a, b y c enteros. Para que esta ecuación tenga soluciones enteras, el máximo común divisor de a y b debe dividir a c, y Brahmagupta sabía que si a y b son primos entre sí, entonces todas las soluciones de la ecuación vienen dadas por las fórmulas x=p+mb y y=q-ma, donde m es un entero arbitrario. Estudió también la ecuación diofántica cuadrática x2=1+py2 que apareció por primera vez en el problema de los bueyes de Arquímedes.

BHASKARA Matemático y astrónomo (1114 Bijapur, India, 1185 Ujjain, India) Bhaskara es también conocido como Bhaskara II o como Bhaskaracharya, que significa "Bhaskara el maestro". Bhaskaracharya es probablemente el matemático indú de la antiguedad mejor conocido. Nació en 1114 en Bijjada Bida cerca de las montañas de Sahyadri, Bijjada Bida es hoy conocido como Bijapur en el estado de Mysore, India. Bhaskaracharya murió en el año 1185, en Ujjain, India. El padre de Bhaskaracharya fue un brahman llamado Mahesvara. El propio Mahesvara era famoso como astrónomo y enseñó matemáticas a su hijo. Bhaskaracharya se

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convirtió en jefe del observatorio astronómico en Ujjain, el mejor centro de la India en su tiempo. Sobresalientes matemáticos como Varahamihira y Brahmagupta habían trabajado allí y habían construido una importante escuela de astronomia y matemáticas. Bhaskaracharya representa la cima del conocimiento matemático del siglo XII. Consigue un conocimiento de los sistemas de numeración y de la resolución de ecuaciones que no se alcanzaría en Europa hasta varios siglos después. Fue el último de los matemáticos clásicos de la India. Descubrió el doble signo de los radicales cuadráticos y el carácter anormal de los mismos cuando el radicando es negativo. En su obra Vijaganita aparece por primera vez el intento de resolver la división por cero, indicando que se trata de una cantidad infinita. Seis trabajos de Bhaskara son conocidos, pero se cree que un séptimo se perdió. Los primeros tres trabajos son los más interesantes desde el punto de vistas matemático. Bhaskara escribe su famoso Siddhanta Siroman en el año 1150. Este libro se divide en 4 partes, Lilavati (aritmética), Vijaganita (álgebra), Goladhyaya (globo celestial), y Grahaganita (matemáticas de los planetas). La mayor parte del trabajo de Bhaskara en el Lilavati y Bijaganita procede de matemáticos anteriores, pero los sobrepasa sobre todo en la resolución de ecuaciones. Su trabajo matemático parte del de Brahmagupta que ya manejaba el cero y los números negativos. Pero va más allá en su uso, por ejemplo Bhaskara afirma que x2 = 9 tiene dos soluciones. También obtiene la fórmula sorprendente para el siglo XII:

En el Lilavati, estudia algunas ecuaciones diofánticas, interés, progresiones artiméticas y geométricas, geometría plana y sólida, combinaciones, etc. También da dos algoritmos famosos de multiplicación de números en base diez Bhaskaracharya, como muchos matemáticos indues, considera el cuadrado como un caso especial de la multiplicación que merece un algoritmo especial. En el Lilavati da 4 métodos para hallar el cuadrado de dos números en base diez. En relación con la ecuación de Pell, x2=1+61y2, casi resuelta por Brahmagupta, Bhaskara dió un método, llamado proceso Chakravala, para resolverla. Estudia la

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ecuación de Pell: x2=1+py2 para p=8, 11, 32, 61 y 67. Cuando p=61 encuentra la solución x=226153980, y=1776319049. Cuando p=67 encuentra la solución x=5967, y=48842. Bhaskaracharya estudia la ecuación diofántica 195x = 221y + 65, obteniendo las soluciones (x,y) =

(6,5),(23,20),(40, 35),... Entre los problemas geométricos da una resolución del teorema de Pitágoras: teniendo en cuenta el cuadrado de una suma, (b+c)2=b2+c2+2bc y observado la figura (b+c)2=2bc+a2 y por tanto se obtiene a2=b2+c2. También da algunos valores aproximados de π como 22/7 y 3927/1250. En el capítulo final sobre combinatoria Bhaskaracharya considera el siguiente problema. Dado un número de n-digitos, en base diez. ¿Cuantos existen que satisfacen que la suma de sus dígitos es constante? Bijaganita tiene doce capítulos. Los números negativos se denotan colocando un punto encima. Después de explicar como hacer artimética con ellos Bhaskara propone ejercicios donde hay que obtener soluciones tanto positivas como negativas o donde hay que manejar números negativos para hallar la solución. Quizás la más famosa de sus fórmulas sea la solución de la ecuación de segundo grado, de la que obtiene siempre dos soluciones, aunque sólo sean de interés las enteras positivas. Un ejemplo de problema: Dentro de un bosque, un número de monos es igual al cuadrado de un octavo del total de un conjunto de ellos que estan jugando ruidosamente. Hay doce monos mas, que están en una colina cercana y no juegan. ¿Cuantos monos están jugando?. Este problema conduce a una ecuación de segundo grado, x2 / 82 = x - 12, o bien x2 - 64x + 768 = 0, que tiene dos soluciones, 16 y 48 y ambas son igualmente admisibles como calcula y afirma Bhaskara. También resuelve sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Por ejemplo: los caballos que pertenecen a 4 hombres son respectivamente 5, 3, 6 y 8. Los camellos que pertenecen a los mismos son 2, 7, 4 y 1. Las mulas son 8, 2, 1 y 3. Los bueyes son

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7, 1, 2 y 1. Los 4 hombres tienen igual fortuna. ¿Cuál es el precio de cada uno de los animales? Naturalmente estos problemas no tiene solución única. Bhaskara lo sabe y obtiene la mínima, en el ejemplo anterior 85 para caballos, 76 para camellos, 31 para mulos y 4 para bueyes. Bhaskaracharya se interesa también por la trigonometría, obteniendo las sorprendentes fórmulas para el seno de la suma y diferencia de dos ángulos: sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b, sin(a - b) = sen a cos b - cos a sen b. En Lilivati, recopila diversos problemas de otros matemáticos añadiendo sus propios resultados. Aparecen problemas de ecuaciones lineales y cuadráticas, tanto determinadas como indeterminadas. Veamos algunos ejemplos:

ĀRYABHAṭA: Biografia: Āryabhaṭa (Devanagari) (AD 476 - 550) nació en Pataliputra (actualmente Patna), en la India. Sus escritos ejercieron una influencia considerable sobre la ciencia árabe. Aryabhata mantuvo que la Tierra gira sobre su eje y dio la explicación correcta sobre los eclipses de Sol y de Luna. En matemáticas, resolvió ecuaciones de segundo grado, aunque muchas de sus fórmulas geométricas eran incorrectas. El único trabajo que nos ha quedado es el Aryabhatiya, una serie de reglas y propuestas astronómicas y matemáticas escritas en sánscrito. Es el primero en la línea del gran matemático-astrónomos de la época clásica de la India las matemáticas y la astronomía india. Aryabhata es el padre de la hindú-árabe o el sistema numérico decimal que se ha convertido en universal el día de hoy. Sus obras más famosas son las Aryabhatiya (499 dC a la edad de 23 años) y Arya-Siddhanta.

Aunque Aryabhata del año de nacimiento se menciona claramente en Aryabhatiya, ubicación exacta de su lugar de nacimiento sigue siendo motivo de controversia entre

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los estudiosos. Algunos creen que nació en la región situada entre Narmada y Godavari, que fue conocido como Ashmaka y se identifican con Ashmaka centro de la India incluyendo Maharashtra y Madhya Pradesh, aunque a principios textos budistas describen como Ashmaka más al sur, o el dakShiNApath Deccan, mientras que otros describir los textos Ashmakas haber luchado como Alexander, que les pondría más al norte.

Sin embargo, es bastante seguro que en algún momento, se fue a Kusumapura para estudios superiores, y que vivió aquí durante algún tiempo. Bhāskara I (dC 629) identifica Kusumapura como Pataliputra (moderna Patna). Vivió allí en los años de la muerte el imperio Gupta, el tiempo que se conoce como la edad de oro de la India, cuando ya era objeto de Hun ataque en el Nordeste, durante el reinado de Buddhagupta y algunos de los más pequeños antes de reyes Vishnugupta.

Arayabhatta Sri Lanka utiliza como referencia para sus sistemas astronómicos y Sri Lanka mencionar numerosas ocasiones en Aryabhatiya. Según el renombrado historiador de las matemáticas, Florian Cajori, Aryabhatta la matemática es mucho más cerca de Sri Lanka, la India que las matemáticas matemáticas.

TRABAJOS: Aryabhata es el autor de varios tratados de matemáticas y la astronomía, algunos de los cuales se han perdido. Su obra principal, Aryabhatiya, un compendio de las matemáticas y la astronomía, se refiere ampliamente a la India en la literatura matemática, y ha sobrevivido a los tiempos modernos. El matemático parte de la Aryabhatiya incluye aritmética, álgebra, trigonometría plana y la trigonometría esférica. También contiene siguió fracciones, ecuaciones cuadráticas, las sumas de series de potencia y una tabla de senos.

El Siddhanta-Arya, un trabajo perdido en los cálculos astronómicos, se conoce a través de los escritos de Aryabhata de Varahamihira contemporáneo, así como a través de los matemáticos más tarde y comentaristas incluidos Brahmagupta y Bhaskara I. Este trabajo parece ser sobre la base de las mayores Siddhanta Surya, y los usos la media noche-día cómputo, en contraposición a la salida del sol en Aryabhatiya. Esta figura también una descripción de varios instrumentos astronómicos, el gnomon (shankuYantra), un instrumento de sombra (chhAyA-Yantra), posiblemente de ángulo aparatos

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de medición, semi-círculo y en forma de círculo (dhanur-Yantra / chakra-Yantra), un yasti palo cilíndrico-Yantra, un paraguas en forma de dispositivo llamado chhatra Yantra-, y los relojes de agua de al menos dos tipos, en forma de arco y cilíndrica.

Un tercer texto que puede haber sobrevivido a la traducción en árabe es Al NTF o de Al-nanf, que pretende ser una traducción de Aryabhata, pero el nombre sánscrito de este trabajo no se conoce. Probablemente data de la novena c., es mencionado por el erudito persa y cronista de la India, Abu al-Rayhan Bīrūnī [1].

Descubrimientos mas importantes de la India:

1) Se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C. y aparecen evidentes que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. 2) Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C. cuando la contribución a la evolución d las matemáticas se hizo especialmente interesante, destapando cuatro nombres propio: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s.IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). 3) La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de evolución de ecuaciones diofanticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación, denominada ecuación de Pelt. 4) Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas del cálculo.

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CAPITULO II:

LA CIVILIZACION CHINA ANTIGUA: Aunque china es la civilización

cronológicamente

comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los

registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, sistemáticos y ordenados de manera lógica. Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos. El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, tranformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.

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Esta

orientación

algorítmica

de

las

matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao . El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal. No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento. UBICACIÓN GEOGRÁFICA 1)Civilización China:

En este mapa se muestra la civilización China cuando se estaban dando los primeros pasos a las matemática China

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Numeración y operatorias La escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C.

aproximadamente.

Como muestra el ejemplo los dos primeros símbolos se multiplican entre si y así sucesivamente , si sobra algún símbolo se mantiene. Los resultados de las multiplicaciones se suman entre si, así dando el numero.

Operatoria

El Ábaco fue su principal instrumento de operatoria, como: Sum    Resta División Multiplicación

Cada alambre tenia 5 bolas por debajo de la barra central y dos por encima, cada bola superior equivale a 5 de las inferiores

La operatoria y numeración tenían que ser posesiónales, o sea, ordenados porque si las escribían desordenadas cambiaba el resultado.

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Descubrimientos mas importantes de la civilización China:

1) el sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como

singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de estas a común denominador. Dieron por sentado la

existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. 2) La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método génico de

Como se escribían algunos números.

resoluciones muy similares al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, transformándolos en ceros de manera escalonada. 3) Inventaron el “tablero de calculo”, artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (uno para el nº negativo y otro para el nº positivo) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo. 4) Esta orientación de las matemáticas en la China antigua , se mantiene hasta mediados des siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones Socioeconómicas de esta sociedad. Con el desarrollo del “método del elemento celeste” se culmino el desarrollo del algebra en China en la edad media. Este método, desarrolla por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no solo enteras, sino también racionales, incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma. El método del elemento celeste es equivalente al que en occidente denominamos “método de Horner”, matemático que vivió medio siglo mas tarde. 5) Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s.XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se “espejo precioso” de manera similar a lo que hoy conocemos como triangulo de tartaglia o pascal.

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MATEMATICOS EN LA CIVILIZACION CHINA

CHU SHIH-CHIEH Chu Shih-Chieh fue el último y más importante matemático

chino del período Sung. Se desconocen las fechas exactas de su nacimiento y de su muerte. Sólo se sabe que se ganaba la vida enseñando matemáticas de forma itinerante durante 20 años. Publicó un libro elemental, Introducción a los estudios matemáticos, de gran influencia en Corea y Japón. pero su libro más importante fue Espejo Precioso de los Cuatro Elementos. Los cuatro elementos a los que se refiere son el cielo, la tierra, el hombre y la materia y representan a las cuatro incógnitas de una ecuación. Este libro representa el punto más alto del desarrollo del álgebra en China y en él se estudian ecuaciones y sistemas de hasta de grado 14. En ese libro, en el año 1303, Chu Shih Chieh describió el conocido triángulo de "Pascal" e indicó que servía para obtener los coeficientes del binomio (a+b)n . El método del fan fa Es un método de cambio de variable para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones polinómicas. Veamos un par de ejemplos: I. Para resolver x2+252x-5292=0, obtiene por tanteo un valor aproximado por defecto, x=19. Luego hace el cambio de variable (el fan fa) y=x-19 para obtener y2+290y-143=0. Esta ecuación tiene como solución aproximada

y=143/(1+290)=143/291. Deshaciendo el cambio la solución aproximada es x=19+143/291.

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II. En el caso de la ecuación x3-574=0, se obtiene por tanteo x=8 y se hace el cambio y=x-8. La nueva ecuación y3+24y2+192y-62=0 tiene como solución aproximada y=62/(1+24+192)=2/7. Por tanto la aproximación buscada es x=8+2/7. En el Espejo Precioso aparecen ejemplos de sumas de series finitas sin demostración alguna: 12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)/3! 1+8+30+80+...n2(n+1)(n+2)/3!=n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)/5! El libro comienza con un diagrama del triángulo aritmético, conocido en Occidente como triángulo de Pascal, donde figuran los coeficentes de los distintos desarrollos binómicos hasta la octava potencia, escritos en el sistema de numerales a base de varillas y con un símbolo redondo para elc ero. No pretende ser el descubridor del triángulo pues se refiere a él como El Viejo Método del Diagrama de los Siete Cuadrados Multiplicativos LIU HUI: LIU HUI Liu Hui: Liu Hui 劉徽 fue un matemático chino que vivió durante el Reinado de Wei. En el año 263 publicó un libro con las soluciones a problemas matemáticos de la época, se trata de uno de los libros chinos más famosos en el dominio de las matemáticas y se conoce como Jiuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático. En estos comentarios él presenta (entre otras cosas): Una estimación del número π a 3,141014 y sugiere que 3,14 es una muy buena representación de esta constante. Su estimación fue realizada de forma muy similar a Arquímedes, utilizando para ello un polígono de 192 lados.

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Liu Hui: Nació: alrededor de 220 en Wei, China Murió: alrededor de 280 en China
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Algunos valores de Pi obtenidos antes de 1600

Matemático o Lugar año Bandhayana (India) Liu Hui (China) Tsu Chung Chih Al-Kashi (Persia) Zu Chongzhi al-Khwarizmi al-Kashi 500 a.C. 260 480 1429 430-501 A.C 800 1430

valor 3,09 3,1416 Entre : 3,145926 y

3,1415927 3,1415926535897932 355 / 113 3,1416 14 dígitos

Liu Hui (alrededor del 220 - alrededor del 280) hizo un importante avance matemático en un comentario al Jiuzhang suanshu o Nueve capítulos del arte matemático alrededor del 263. Dong y Yao escriben Liu Hui, gran matemático de la dinastía Wei Jin Dynasty, apareció en una época de teorización matemática en la antigua China, y contribuyó de gran manera a la materia. Entre el 'Jiu Zhang Suan Shu Zhu' y el 'Hai Dao Suan Jing' es posible ver que Liu Hui hizo un hábil uso del pensamiento en imágenes al igual que en forma lógica y dialéctica. Resolvió muchos problemas matemáticos, llevando su razonamiento matemático más allá de la dialéctica. Liu Hui proporcionó un acercamiento más matemático que los textos chinos primitivos, creando principios en los cuales se basaron sus cálculos. Encontró aproximaciones al uso de polígonos regulares con 3 × 2n lados inscritos en un círculo. Su mejor aproximación de lo que era 3,14159 la obtuvo de un polígono regular de 3072 lados. Está claro que comprendía el proceso iterativo y la
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noción de límite. Liu escribió también Haidao suanjing o Manual de matemáticas de la isla marina (ver el artículo en Diez clásicos) que fue originariamente un apéndice a su comentario al capítulo 9 de los Nueve capítulos del arte matemático. En él, Liu emplea el Teorema de Pitágoras para calcular la altura de objetos y la distancia a esos objetos que no se pueden medir directamente. Este fue uno de los principales temas de las matemáticas chinas.

LI ZHI Li Zhi (llamado también Li Yeh) (11921279) fue el siguiente de los grandes matemáticos del siglo XIII. Su trabajo más famoso es el Ce yuan hai ping (Espejo marino de medidas del círculo). Escrito en 1248 contiene el tian yuan o 'método de arreglos de coeficientes' o 'método de la incógnita celeste', un método para trabajar con ecuaciones polinómicas. También

escribió el Yi gu yan duan (Nuevos pasos en conteo) en 1259, un trabajo más elemental que contiene problemas geométricos resueltos mediante el álgebra. La siguiente gran figura de esta era dorada de la matemática china fue Yang Hui (alrededor del 1238 - alrededor del 1298). Escribió el Xiangjie jiuzhang suanfa (Análisis detallado de las reglas matemáticas en nueve capítulos y sus reclasificaciones) en 1261, y sus otros trabajos se recogen en el Yang Hui suanfa (Método de conteo de Yang Hui) aparecido en 1275. Describió la multiplicación, la división, la extracción de raíces, las ecuaciones cuadráticas y simultáneas, las series, el cálculo de áreas de un rectángulo, un trapecio, un círculo, y otras figuras. También proporcionó una maravillosa cantidad de cuadrados y círculos mágicos.

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ZHU SHIJIE El último de los matemáticos de esta era dorada fue Zhu Shijie (alrededor del 1260 - alrededor del 1320), escribió el Suanxue qimeng (Introducción a los estudios

matemáticos) publicado en 1299, y el Siyuan yujian (Reflexiones de los cuatro

verdaderas

desconocidos) publicado en 1303. Usó una extensión del 'método de arreglos de coeficientes' o 'método de la incógnita celeste' para manejar polinomios con hasta cuatro incógnitas. También produjo muchos resultados en las sumas de series. Esto representa el punto más álgido en las matemáticas de la antigua China.

GUO SHOUJING

Guo Shoujing también se conoce como Kuo Shou-ching. No sabemos los nombres de sus padres, pero su abuelo paternal, que era claramente más famoso que sus padres, era Guo Yong que era famoso como experto en una amplia gama de asuntos de estudios clásicos a las matemáticas y a la hidráulica. Uno puede conjeturar solamente que pues un muchacho joven Guo pudo haber sido influenciado por su abuelo para llegar a estar interesado en construir el agua registra. Sabemos que en la edad 14 Guo construyó tal reloj. Él diseñó una clepsidra del loto, de que es un reloj del agua que tenía un en forma de cuenco como una flor del loto en la tapa en la cual el agua goteó. Por la edad de dieciséis Guo estudiaba matemáticas.

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Antes de que continuemos describiendo acontecimientos de la vida de Guo debemos mirar brevemente la situación política, porque era un rato preocupado con muchas guerras. Después de la muerte de Genghis Khan, uno de sus hijos Ogodei había hecho el gran Khan en 1229. Él había ampliado el imperio Mongol que enviaba a ejércitos para terminar la derrota del Jurchens. Por 1234 los Mongols habían terminado la destrucción del imperio de Jurchen y habían dado vuelta a su atención al sur. Ésta entonces era la situación en la parte norteña de China en donde Guo crecía para arriba. Por la edad de veinte Guo trabajaba como ingeniero hidráulico. En 1251, como oficial del gobierno, él trabajó en un proyecto para reparar un viejo puente sobre el río Dahuoquan. Esto era un río en la provincia casera de Guo de Hebei y el puente que él renovó estaba un pequeño norte de la manera de la ciudad de Xinzhou. Kublai, un nieto del líder Mongol Genghis Khan comenzó a conducir otros avances Mongol en los últimos años del 1250s. El 5 de mayo de 1260 Kublai fue elegido Khan en su residencia en Shang-tu y él comenzó a organizar el país. Zhang Wenqian, que era un amigo de Guo y como él era un oficial del gobierno central, fue enviado por Kublai Khan en 1260 a Daming donde el malestar había sido divulgado en la población local. Guo acompañó Zhang en su misión. Guo estaba no sólo interesado en la ingeniería, pero él era también astrónomo experto. Particularmente él era un fabricante experto del instrumento y entendido que las buenas observaciones astronómicas dependieron de los instrumentos experto hechos. Él ahora comenzó a construir los instrumentos astronómicos, incluyendo los relojes del agua para la sincronización exacta y las esferas armillary que representan el globo celestial. Zhang aconsejó Kublai Khan que su amigo Guo fuera un experto principal en la ingeniería hidráulica. Kublai sabía la importancia de la gerencia del agua, para la irrigación, el transporte del grano, y el control de la inundación, y él pidió Guo para mirar estos aspectos en el área entre Dadu (ahora Beijing o Pekín) y el río amarillo. Para proveer de Dadu una nueva fuente de agua, Guo encontró el resorte de Baifu en la montaña de Shenshan y tenía un canal de 30 kilómetros construido para traer el agua a Dadu. Él propuso el conectar del abastecimiento de agua a través de diversos lavabos del río, construyó los canales nuevos con muchas esclusas para controlar el nivel del agua, y alcanzó gran éxito con las mejoras que él podía llevar a cabo. Este Kublai contento Khan y conducido a

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Guo que es pedido emprender proyectos similares en otras partes del país. En 1264 te pidieron ir a la provincia de Gansu a reparar el daño que había sido causado a los sistemas de irrigación por los años de la guerra durante el avance de Mongul con la región. Guo viajó extensivamente junto con su amigo Zhang que tomaba las notas del trabajo que necesitó ser hecho para desbloquear las partes dañadas del sistema y para llevar a cabo mejoras a su eficacia. Él envió su informe directamente a Kublai Khan. Kublai Khan estableció un observatorio astronómico en Beijing en 1279. El edificio comenzó en marcha de ese año y, siguiendo un diseño propuesto por Guo, el trabajo fue terminado en dos meses. Designaron al amigo Zhang Wenqian de Guo como director y Guo junto con su colega Wang Xun era los dos co-directores. Tener sentido de los datos recolectó de los instrumentos requirió un conocimiento de la trigonometría esférica y Guo ideó algunos fórmulas notables. Miramos abajo las matemáticas listas que él introdujo en la empresa de su proyecto sobre el calendario nuevo. El trabajo fue terminado antes de 1280, Guo que calculaba la longitud del año correcto en el plazo de a 26 segundos, y en el año siguiente Kublai Khan introdujo el uso de este calendario extremadamente exacto. Seguía siendo funcionando por 364 años. Zhang Wenqian muerto en 1283 y Guo fue promovido para ser director del observatorio en Beijing. En 1292, además de su papel del director del observatorio, le hicieron jefe de la oficina de los trabajos de agua. Él ahora emprendió los proyectos importantes que diseñaban un sistema del canal para ligar el capital a otras ciudades importantes. Pues él satisfizo siempre con éxito e incluso después de la muerte de Kublai Khan, aunque Guo era por este tiempo un viejo hombre, su consejo continuó siendo buscado por el sucesor de Kublai. Debemos ahora mirar el trabajo algo notable que Guo hizo en la trigonometría esférica y las ecuaciones el solucionar. Él produjo un número de fórmulas para los triángulos, dos lados de los cuales eran líneas rectas y el tercero era el arco de un círculo. Estos fórmulas son los aproximados, pero Guo estaba bien

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enterado de esto. En sentido una aproximación no fue mirada como importante por el chino y ellos nunca se obsesionó por "ajustando el tipo del círculo" de pregunta como los Griegos antiguos, desde el acercamiento chino era más práctico y nunca axiomático. En el diagrama d es el diámetro del círculo, a es la longitud del arco AB y x es la longitud de NOTA qué Guo deseó calcular. Él dio el fórmula aproximado x 4+ ( d 2- 2 anuncio ) x 2- d 3 x + a 2 d 2= 0. Solucionar esta ecuación Guo utilizó un método numérico similar método de s de Horner '. La ecuación tiene dos raíces verdaderas, el ser cuanto más pequeña es la solución al problema mientras que el otro, siendo numéricamente más grande que la longitud del arco, fue desechado derecho por Guo. Hay un hecho fascinador referente a este trabajo que sea interesante investigar. Dos de los coeficientes de la ecuación, a saber el término constante y el coeficiente de x 2, implicar la longitud a del arco, así que requerir un valor ser elegido para el p. Guo toma el p = 3 que a primera vista se parece extraño desde que valores mucho más exactos eran sabidos en China en ese entonces que Guo hacía sus cálculos. Por ejemplo 22/7was known to be more accurate and 355/113, dado por Zu Chongzhi, era sabido para ser un alambique más exacto. ¿Por qué Guo eligió el p = 3? Esto da asombrosamente una respuesta mejor que los valores más exactos del p, porque recuerda que el fórmula sí mismo está basado en aproximaciones. Uno tiene que creer que Guo eligió el p = 3 porque él sabía que las respuestas en las cuales él entonces encontró para diversos tamaños del ángulo O los valores más de cerca aproximados él encontró por la medida directa. Aquí está un cómputo de un sistema de la álgebra de la computadora que ilustre el punto. Los valores se computan para los ángulos de aumento hasta 90 para un círculo del radio 100. La primera columna es el valor de x usando el fórmula de Guo que lleva una aproximación moderna exacta el p, la segunda columna es el
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resultado dado por el fórmula con el p = 3, mientras que la tercera columna es la respuesta correcta calculada usando la trigonometría (de hecho el coseno). fórmula con fórmula con correcto p = p 3.141592654 = 3 1.24018313 1.13043117 1.2311659 5.02134529 4.57325602 4.8943483 11.4521976 10.4253695 10.8993475 20.5459874 18.7159078 19.0983005 32.0790854 29.2893218 29.2893218 45.5479024 41.7514260 41.2214747 60.2936574 55.5434416 54.6009500 75.7085631 70.1045733 69.0983006 91.3723645 85.0063893 84.3565534 107.0799476 100.0000000 100.0000000 Guo utilizó otras técnicas matemáticas listas en sus cálculos para el calendario. Él interpolaría valores entre sus puntos de referencias y él hizo esto que usaba un fórmula cúbico de la interpolación. La razón que la interpolación fue requerida era que el movimiento del sol a través de las estrellas a través del año es irregular. Esto fue descubierta por los astrónomos chinos en el sexto siglo. Guo miraba la diferencia acumulada, a saber la diferencia los grados movidos por el sol en un día comparado con los grados previstos movido si el movimiento era constante. Él entonces tabuló primero, segundo, y las terceras diferencias de la diferencia acumulada como en método de la interpolación de la diferencia de s del neutonio 'adelante.

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CAPITULO III:

MATEMATICA ISLAMICA:

Las matemáticas del Islam El calendario musulmán empieza el año 662 de nuestra era, cuando Mahoma huyó de la Meca, su lugar de nacimiento al oeste de la península arábica, a Medina unos 350 kms. más al Norte. Sus doctrinas de un único Dios, Alá, que anunció le habían sido reveladas por el arcángel Gabriel, habían creado un auténtico revuelo en la Meca. En la Meca estaba la Kaaba, entonces dedicada al culto de varios dioses y un gran centro de peregrinación. Ocho años después Mahoma regresa a la Meca y empieza la gran expansión de la religión del Islam. Entraron en la península ibérica el 711, hasta que fueron derrotados por Charles Martel en Tours el 732. El esplendor científico y cultural musulmán empieza en Baghdad, cuando el 766 el califa al-Mansur funda allí su nueva capital. En una atmósfera tolerante y propicia, se fundó una nueva biblioteca que fue recogiendo los manuscritos que se habían salvado de de la persecución de las academias de Atenas y Alejandría y que se encontraban dispersos en distintos lugares del Oriente. Entre estos manuscritos estaban muchos de los textos de los antiguos griegos. El califa al-Mamun (813-833) fundó la "Casa de la sabiduría", un centro de estudio e investigación que duraría unos 200 años. Allí se tradujeron al árabe textos hindús y griegos. Entre ellos las principales obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto y Ptolomeo. La matemática islámica desarrolló principalmente la aritmética decimal con fracciones decimales, que tomó de los hindúes, el álgebra, la trigonometría plana y esférica y la resolución numérica de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones. Mucho de este desarrollo vino estimulado por uno de los grandes problemas de la astronomía y geodesia árabe, el de la qibla (o kibla), de deteminar la dirección a la Meca hacia donde debían mirar los creyentes durante sus oraciones. Entre los matemáticos más destacados están al-Kwarizmi (780-850), ibn al-Haytham (conocido en europa como Alzacén) (965-1039), al-Khayyami (1048-1131), al-Biruni (973-1055) y al-Kashi (1380-1429). De al-Kwarizmi, miembro de la casa de la sabiduría, viene la palabra "algoritmo". La palabra "álgebra" proviene de "al-jabr", de la frase "al-jabr wa al-muqabala", que Kwarizmi utilizaba en sus escritos, "al-jabr" significa "trasponer" (de un lado al otrode la igualdad cambiando de signo), "wa" es " y", mientras que "al-muqabala" significa

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"simplificar". Por ejemplo al pasar de 3x+2=4-2x a 5x+2=4 es un ejemplo de "al-jabr", mientras que pasar de esta última a 5x=2 es "al-muqabala". Junto con Baghdad en Oriente, otro gran centro cultural apareció con el califato de Córdoba (929-1031) en Andalucía. Su famosa Biblioteca del Palacio, llegó a contar

con más de 400000 volúmenes. Entonces empieza el gran apogeo cultural español que llegaría a durar unos tres siglos. De entre sus más destacados astrónomos y matemáticos está Maslama de Madrid, Azarquiel de Toledo o al-Yyani de Jaén. Pero la edad de oro de las ciencias en la España musulmana fue entre 1036 y 1085, cuando el califato de Córdoba había ya desaparecido. Entre los distintos reinos de taifas en que se disgregó el califato, la de Zaragoza, controlada por la dinastía de los Banu Hud desde 1039 a 1110, sobresale especialmente. El tercer rey de esta dinastía, que reinó desde 1081 hasta su muerte el 1085, fue Abu Amir Yusuf ibn Ahmad ibn Hud, al-Mutamin. Este personaje, cuyos trabajos se han encontrado muy recientemente, parece haber sido uno de los más grandes matemáticos de la España musulmana. Al-Mutamin escribió una obra enciclopédica, el Kitab alIstikmal (Libro de perfección), de la que se han encontrado algunos fragmentos en Leiden, Copenague y el Cairo. Contiene la aritmética y geometría conocida hasta entonces, pero tiene una presentación novedosa y original. Entre sus temas están por ejemplo los números amigos, los números irracionales, la cuadratura de la parábola, etc. Una de sus aportaciones más interesantes es la presentación

y simplificación de unos Lemas del libro de Optica de al-Haytham (escrito entre 10301040), cuando estudia la solución al famoso problema de Alhazen: Dadas la posición de un espejo circular (cóncavo o convexo), el ojo y un objeto, hallar los puntos de reflexión.

Dos libros griegos fueron fundamentales para la civilización islámica: "El Almagesto" (Ptolomeo), sobre Astronomía, y "Los Elementos" (Euclides), acerca de la Geometría. El primero les enseñaba a orientarse por las estrellas y el segundo, a hacer dibujos que señalasen la dirección de La Meca desde cualquier parte de la Tierra. Así, las Matemáticas fueron las ciencias más necesarias e importante en el Islam desde un primer momento. Los musulmanes las estudiaron y dominaron como pocos pueblos,

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llegando a convertir la Geometría en el lenguaje gráfico para representar a su Dios y al Reino de los Cielos de una forma abstracta mediante el uso de formas geométricas. Así nos dejaron grandes avances, que trataremos de reseñar brevemente a continuación.

ARITMÉTICA


El sistema de numeración decimal actual, denominado arábigo (aunque procedente de la India), fue conocido gracias a la labor de AlKhwarizmi, que escribió hacia el año 820 el primer tratado completo sobre el empleo de los numerales hindúes. Este "nuevo" sistema de numeración fue conocido como "el de AlKhwarizmi" y, a través de deformaciones

lingüísticas, derivó en "algorismi" y después en algoritmo. Como anécdota hay que indicar que, más de cien años después, un francés llamado Gerberto (el futuro Papa Silvestre II), muy interesado en conocerlo, decidió viajar a la España árabe, mucho más avanzada por aquel entonces que los otros países europeos (que aún vivían en la «oscura Edad Media», sin apenas escuelas ni libros y cuyos habitantes eran, casi sin excepción, analfabetos). ¡Y pese a su importante posición, tampoco lo escucharon!


Las fracciones. Los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales.



Un matemático importante fue Al-Khashi, nacido en Irán en 1390. Además de sus escritos sobre álgebra y geometría, fue considerado como el inventor de las fracciones decimales. También calculó el número pi hasta llegar a 17 decimales. Después de más de 150 años, en 1593, en Europa se encontraron sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir su cálculo.



En el siglo XII, el matemático persa Omar Khayyam (también poeta y astrónomo) generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior.

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ÁLGEBRA Algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Destaca un nombre propio, Mohammed ibn-Musa Al-Khwarizmi, padre de esta rama matemática. Era un persa de Bagdad, nacido en el siglo VIII, que escribió más de media docena de obras matemáticas y astronómicas. Del titulo de su obra más importante, “Hisab al-jabr wa-al-muqabala” (El cálculo de integración y ecuación), deriva la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos de ecuaciones cuadráticas, así como un sin fin de elementos griegos. Una traducción latina de la misma apareció en Europa en el siglo XII. A principios del s. XIII apareció el nuevo álgebra en los escritos del famoso matemático italiano Leonardo Fibonacci. En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la Edad Media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.

Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de cálculo y algoritmos especiales:


A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra.



Al-Karayi completó el álgebra de los polinomios incluso con infinito número de términos.



Cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de Ruffini. Además fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial y fue también enunciada la tabla de coeficientes binomiales.

 

Extracción aproximada de raíces, utilizando la interpolación lineal. Sumación de progresiones aritméticas y geométricas.
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

Asimismo, en virtud de la frecuente aplicación en los cálculos de las irracionalidades, el límite entre los números racionales y los irracionales comenzó a difuminarse, ampliándose la concepción de número real positivo. Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV incluían también la

resolución de ecuaciones cúbicas. A estas últimas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un plano, la trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados... Otra dirección en la resolución de ecuaciones cúbicas se basaba en la obtención de la imagen geométrica de la raíz positiva, por medio de la intersección de secciones cónicas, convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del álgebra de esta época era la ausencia de una simbología, lo que contuvo su desarrollo.

GEOMETRÍA Los musulmanes se basaron en los descubrimientos de otras culturas (egipcios, hebreos y griegos), de las que tradujeron y mejoraron sus conocimientos, para aplicarlos en el diseño y construcción de diversos mecanismos: molinos, norias, sistemas de captación de agua, armas de guerra, etc. También se utilizó para el arte, con hermosos diseños geométricos. Geómetras como Ibrahim Ibn Sinan continuaron las investigaciones griegas (Euclides, Arquímedes...) sobre áreas y volúmenes. Kamal Al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica.

TRIGONOMETRÍA La trigonometría, rama que estudia el plano y los triángulos esféricos, es también de creación musulmana. Funciones trigonométricas tales como seno y coseno, tangente y cotangente fueron bastante desarrolladas. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometría plana como esférica. Habas Al-Hasib y

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Al-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica que no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta 1533. Nasir Al-Din Al-Tusi (1201-1274) es considerado como el padre de esta rama, siendo su principal contribución la de conferirle el rango de nueva disciplina matemática.

MATEMATICOS ISLAMICOS

AL-KHUWARIZMI Muhammad ben Musa (Al-khuwarizmi) originario de Jiva al sur del mar Aral, fue una figura destacada de la matemática árabe, siendo además geógrafo y astrónomo. Fue bibliotecario del califa Al-Mamun que reinó entre 813 y 833. Su obra ha ejercido una gran influencia no sólo en la ciencia del islam sino también en la ciencia cristiana occidental. De la deformación de su nombre surgió más tarde el término "algoritmo" con la acepción técnica actual.. La Aritmética de Al-Khuwarizmi contribuyó a la difusión en el mundo árabe de las cifras hindúes y del uso del cero. Pero sin duda el libro más importante, que dio nombre a una rama de las matemáticas, el Álgebra, fue Hisab aljabar wa-al-muqabala: Según nuestra notación la ecuación 2x2 + 100 - 20x = 58. Luego se transformaría por aljabr en la ecuación 2x2 + 42 = 20x, y fianlmente por al-muqabala en la ecuación x2 + 21 = 10x. No conoce el método general de la resolución de las ecuaciones de primero y segundo grado, lo que le obliga a reducirlas a uno de los casos canónicos siguientes: I. ax2 = bx IV. ax2 +bx = c II. ax2 = c V. ax2 + c = bx III. bx = c VI. bx +c = ax2

El Álgebra de Al-Khuwarizmi es retórica, llamando cuadrados (x2), raíces (x) o números (a, b, c) a los elementos de las ecuaciones.

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Veamos la resolución "retórica" de la ecuación: x2 +10x =39 que pertenece al tipo (IV) después de haberle aplicado al-muqabala: "Debes tomar la mitad del número de las raíces (5), y multiplicarlo por sí mismo (25) al que le sumas el número 39, obteniendo 64. Toma la raíz cuadrada de ese número (8) y le restas la mitad de las raíces (5), y obtienes 3 que es el valor buscado". Junto a la resolución siempre se acompañaba una comprobación geométrica. Vamos a exponer la resolución geométrica de la ecuación anterior en el caso general: x2 + px = q:

Se construye un cuadrado de lado x. Luego sobre cada lado del mismo un rectángulo de altura p/4. El área de esa región es x2 + px y por tanto igual a q de acuerdo con la ecuación propuesta. Si se añaden los cuadrados de las esquinas se tiene x2 +px +p2/4 = (x + p/2)2 = q + p2/4 que valdrá el área del cuadrado completo. Y por tanto el lado de ese cuadrado será x+p/2 = raíz(q + p2/4). Finalmente se obtendrá x = -p/2 + raíz (q + p2/4).

THABIT IBN QURRA Uno de los discípulos de los hermanos Banu Musa educado en la Casa de la Sabiduría de Bagdad fue Thabit ibn Qurra (nacido en 836). Thabit hizo múltiples contribuciones en los más diversos campos de las matemáticas, en especial a la teoría de números: descubrió un bello teorema que permite hallar pares de números amigos. Un siglo y medio después, alBaghdadi estudió una ligera variante del teorema de Thabit,

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mientras que Alhacén (al-Haytham) parece haber sido el primero en intentar clasificar todos los números perfectos pares como los de la forma 2k − 1(2k − 1) donde 2k − 1 es primo. También fue Alhacén el primero en formular el Teorema de Wilson, que no habría de ser planteado en occidente hasta 750 años después. Los números amigos tienen un rol significativo en la matemática islámica. Una nueva prueba del teorema de Thabit ibn Qurra fue suministrada a finales del siglo XIII por alFarisi (nacido en 1260), quien introdujo importantes nuevas ideas en los campos de la factorización y de los métodos combinatorios. También señaló el par de números amicales 17296 - 18416; este descubrimiento ha sido atribuido a Leonhard Euler (siglo XVIII), pero se sabe ahora que eran conocidos cinco siglos antes por al-Farisi, y quizás aún antes por el propio Thabit ibn Qurra. Si bien fuera del lapso histórico que estamos considerando en este texto, vale la pena hacer notar que en el siglo XVII Muhammad Baqir Yazdi encontró el par 9363584 - 9437056, todavía muchos años antes del aporte de Euler.

ABU'L-WAFA Abul Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail Buzjani (940 - 998) Fue un Matemático y Astrónomo persa. Nació en Buzhgan, Nishapur en Irán y en 998 muere en Bagdad (Iraq).. Su contribución a las matemáticas esta enfocado principalmente en el campo de la trigonometría Abul'-Wafa introdujo la función tangente y mejoró métodos de calcular las tablas de la trigonometría, ideó un método nuevo de calcular las tablas del seno. Sus tablas trigonométricas son exactas a 8 lugares decimales. y desarrolló maneras de solucionar algunos problemas de triángulos esféricos.

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Abul'l-Wafa estableció las identidades Trigonométricas: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) cos(2a) = 1 − 2sin2(a) sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Y descubrió la formula del Seno para la geometría esférica (que es similar a la Ley de los Senos)

Él escribió una gran cantidad de libros, la mayor parte se han perdido. Entre 961 y 976 escribió al-kuttab del ilayh del yahtaj de Kitab fi mA el 'al-hisab mínimo wa'l-ummal del ilm (Libro el cuál es necesario para la ciencia de la aritmética para los escribanos y los hombres de negocios). En la introducción a este libro Abu'lWafa escribe que el Libro: ...abarca todo lo que un experimentado o un principiante, el subordinado o el jefe necesita saber en aritmética, el arte de funcionarios, el empleo de impuestos de tierra y todas las clases de negocio necesitadas en la administración, las proporciones, la multiplicación, la división, las medidas, los impuestos de tierra, la distribución, el intercambio y el resto de las prácticas usados por varias categorías de los hombres para hacer negocio y que sean útiles en su vida cotidiana

Este trabajo trata sobre aritmética de conteo con los dedos, un sistema de numeración usado en el Imperio islámico en paralelo por mucho tiempo con el sistema de numeración Hindú, y en donde los números se escriben con palabras y los cálculos se

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hacen mentalmente. Aunque Abu'l-Wafa era un experto en el uso de números Hindúes, mas: ... no encontraron aplicación en los círculos comerciales y entre la población del Califato Oriental por largo tiempo. Y de allí que escribiera su texto usando el método de contar con los dedos, puesto que este era el sistema usado por la comunidad comercial de la época y a quienes se dirigía su obra.

Omar Jaiám El poeta Omar Jaiám (1048-1132) fue también un gran astrónomo y matemático: resolvió las ecuaciones algebraicas de segundo, tercer y cuarto grado, utilizó el álgebra en geometría y escribió el tratado de las «Cuestiones matemáticas» (Musadarat). Guiazuddín Ÿamshid al-Kashaní (m. 1429), en su «Tratado sobre el círculo», ar-Risalat al-muhitiyyah, precisó la relación de la circunferencia con el diámetro y, por otro lado, estudió las fracciones decimales. En el Magreb, Abu’l-Abbás Ibn al-Banna al-Marrakushí (m. 1321), de Marrakesh, enunció una nueva teoría de la numeración, y el andalusí Abu al-Hasan Alí al-Qalasadí (m. 1486), refugiado en Túnez, redactó varios tratados de aritmética y de álgebra, en los que estudió los números enteros, las fracciones, la extracción de raíces y la resolución de las ecuaciones. En esta obra, Jaiám afirma conocer una regla para calcular las potencias enteras de un binomio. Si así fuera, se habría adelantado al renombrado cientifico, filósofo y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) en más de cinco siglos. El sucesor de Omar Jaiám fu e Sharafuddín at-Tusí (segunda mitad del siglo XII) redactó la obra «De las ecuaciones», donde plantea los problemas de localización y de separación de las raíces de la ecuación. Otro persa, el matemático y físico Kamaluddín Abu al-

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Hasan al-Farisí (muerto hacia 1320) comentó la obra de Alhazen (ver aparte) y le añadió contribuciones originales. También demostró el teorema del famoso matemático Tabit Ibn Qurrá (836-901). El análisis de las conclusiones de al-Farisí y de los métodos aplicados muestra que ya en el siglo XIII se había llegado en el mundo islámico a un conjunto de proposiciones, de resultados y de técnicas que equivocadamente se habían atribuido a los matemáticos del siglo XVII.

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V.

CONCLUSION:
Después de realizar el trabajo llegamos a concluir que las aportaciones de las antiguas culturas fueron importantes y aunque no existan muchos datos sobre este tema puesto que la información es mínima, pero con la información que tenemos esperamos poder incrementar nuestros conocimientos en cuanto a la historia de las matemáticas.

El trabajo realizado por los antiguos matemáticos tanto de la civilización China, India e Islámica, gracias a las distintas aportaciones, descubrimientos y usos que le dieron hoy en día podemos afirmar que fue y es de gran utilidad ya que nos permiten emplear métodos y fórmulas y nos facilitan en la resolución de problemas.

En las culturas antiguas como son la Civilización China, India e Islámica los matemáticos no solo se dedicaban a realizar una sola actividad sino que también a la vez de ser matemáticos tenían otras profesiones como es el de la Astronomía y la Alquimina.

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VI.

BIBLIOGRAFIA:
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AL-KHUWARIZMI http://www.iescarrus.com/edumat/biografias/siglos2/siglos2_03.htm

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GUO SHOUJING http://espanol.cri.cn/161/2007/11/15/1@140770.htm

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NACIMIENTO: HASTA VI – V A. C. http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Nacimiento.html

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NUMERO ARABIGOS http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~14700596/departamentos/numberab. htm

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HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS http://www.astroseti.org/vernew.php?codigo=2056

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