Documents
Resources
Learning Center
Upload
Plans & pricing Sign in
Sign Out

Materi Integral

VIEWS: 2 PAGES: 13

									Lampiran Materi

MENENTUKAN LUAS DAERAH
DIANTARA SEBUAH KURVA DAN
SUMBU KOORDINAT
Oleh
Kelompok 1/Matematika
Ketua : Muhamad Said, S.Pd, M.Pd
Anggota : 1. Ikmi Afif, S.Si
                         2. A.M. Sri Endang Martuti
                         3. Drs H. M. Rikrik Iriana N
               4. Masdaniah, S.Pd
Luas sebagai limit jumlah                   Luas Daerah


                                       Y
 Menentukan luas daerah dengan
 limit jumlah dapat diilustrasikan
 oleh gambar di samping. Langkah
                                                  y  sin x
 utama yang dilakukan adalah
                                                         X

 memartisi, mengaproksimasi,
 menjumlahkan, dan menghitung
 limitnya.




   Home                                    Back          Next
                                1/19
Luas Sebagai Limit Jumlah                             Luas Daerah

                                             y
 Langkah menghitung luas daerah                   y  f(x)

 dengan limit jumlah adalah:
 1. Bagilah interval menjadi selang
     yang sama panjang.
                                                 Li              f (x i )
 2. Partisilah daerah tersebut.
                                                             x
 3. Masing-masing partisi buatlah        0            xi a
                                                 x
     persegi panjang.
 4. Perhatikan persegi panjang
     pada interval [xi-1 , xi].



   Home                                           Back                      Next
                                  2/19
Luas Sebagai Limit Jumlah                                             Luas Daerah

 Langkah menghitung luas                           y
                                                                  y  f(x)

 daerah ( lanjutan ) :
 5. Tentukan luas persegi
  panjang ke-i (Li)
 6. Jumlahkah luas semua                                         Li              f (x i )

  persegi panjang                                                            x
                                               0                      xi a
 7. Hitung nilai limit jumlahnya
                                                                 x



                    Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x


                   Jumlah luas persegi panjang :L   f(xi) x

                   Limit jumlah : L = lim  f(xi) x   (n∞)
   Home                                                           Back                      Next
                                      3/19
Luas Sebagai Limit Jumlah                                                      Luas Daerah
                                                                               Luas
   Contoh 1.

  Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3 dengan
  menggunakan cara limit jumlah.

     Jawab
  Langkah penyelesaian:                                                                    f ( x)  x 2

  1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah             y

     selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
  2. Partisi daerah tersebut menurut persegi
     panjang luar.
  3. Tentukan ukuran persegi panjang pada
     interval [x i , xi+1] dan hitunglah luasnya.
     x0 = 0                                                                                        x i 12
     x1 = 3/n                                                                        Li
     x2 = (3/n) × 2 = 6/n
     Jadi xi = 3i/n dan x i + 1 = 3(i +1)/n

                                  
                                                                                                   x
                                 3(i 1) 2                                      xi        xi+1 3
          Li    xi 12    3
                          n      n
                                             3
                                             n
                                                        0   x1   x2   x3
                                                                                 3/n
               27
          L i  3 i  12
               n

   Home                                                                       Back                     Next
                                                 4/19
Luas Sebagai Limit Jumlah                                                      Luas Daerah
                                                                               Luas


    4. Jumlahkan luas semua partisi
               n 1   27                        n        n ( n 1)( 2 n 1)
          L            i  12                2
                                               k 
               i 0   n3                                         6                       f ( x)  x 2
                                              k 1
                                                     y
             27
             n
                  
          L  3 12  2 2  ...  n 2     
               27 1
          L      n(n  1 2n  1
                          )(     )
               n3 6
               9      1       1
          L     (1  n )(2  n )
               2                                                                                 x i 12

    5. Tentukan limitnya                                                           Li

                    9      1       1
          L   lim    (1  n )(2  n )
               n  2
                                                                                                 x
                                                     0   x1   x2   x3         xi        xi+1 3
               9
          L     (1  0)(2  0)  9                                            3/n
               2

          Jadi luas daerah = 9 satuan


   Home                                                                       Back                         Next
                                             5/19
Integral Tentu                                                               Luas Daerah
                                                                             Luas Daerah

 Perhatikan gambar di bawah ini!
                                            Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n
    y
                                            bagian (lebar tidak harus sama) dengan
                                            lebar selang ke-i adalah xi = xi – xi-1.
                                            Pada selang [xi-1, xi] diambil titik sampel
                                            xk maka jumlah Riemann dituliskan
                                            sebagai :
                                        x
0       a                           b                    n
                       xi-1 xk xi
                                                          f ( x k ) Δx k
                                                        k 1
                           xi

                                             b                      n
    Selanjutnya didefinisikan bahwa:  f ( x) dx  lim              f ( x k ) Δx k
                                             a               n   k 1
               b
    Bentuk  f ( x ) dx disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)
               a

        Home                                                                Back        Next
                                             6/19
Integral Tentu                                                                       Luas Daerah
                                                                                     Luas Daerah

      Teorema Dasar Kalkulus

   Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan

   misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
                 b
   berlaku :      f ( x ) dx  F(b)  F(a)
                 a

   Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai  F(x)  a
                                                                       b



   Contoh 2.
                                  2
                                      
  Hitunglah nilai dari  6 x 2  4 x dx              
                                 1

   Jawab             2
                      6x   2
                                                         
                                                           2
                                  4 x dx = 2 x 3  2 x 2 1
                 1
                                              = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]

                                              = 16 – 8 + 2 - 2 = 8
   Home                                                                             Back     Next
                                                    7/19
Menghitung Luas dengan Integral                                                     Luas Daerah
                                                                                    Luas

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai

luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

        Jumlah Luas Partisi              Berubah Menjadi             Integral
    y                                                            y
                                                                                           f(x)
                                  f(x)


                                             Tentukan limitnya
                                                  n



                                                                                b
                   n
                        f ( xi )xi                                             f ( x ) dx
                  i 1                                                          a
                                             x                                                        x
    0      a             x              b                       0   a                            b

                                   b                        n
                              L   f ( x ) dx  lim  f ( x i ) x i
                                   a                n   i 1

   Home                                                                             Back          Next
                                                   8/19
Menghitung Luas dengan Integral                       Luas Daerah
                                                      Luas


  Kegiatan pokok dalam menghitung luas                  xi            y  f(x)
                                                 y

  daerah dengan integral tentu adalah:
  1. Gambar daerahnya.
  2. Partisi daerahnya
                                                                        f(xi )
                                                         Li
  3. Aproksimasi luas sebuah partisi
     Li  f(xi) xi
  4. Jumlahkan luas partisi
                                                                        x
                                                 0            xi   a
     L   f(xi) xi
  5. Ambil limitnya L = lim  f(xi) xi
                                    a
  6. Nyatakan dalam integral L         f ( x ) dx
                                     0

   Home                                               Back                  Next
                                       9/19
Menghitung Luas dengan Integral                                       Luas Daerah
                                                                      Luas
  Contoh 3.
 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3

   Jawab

 Langkah penyelesaian :                                                         f ( x)  x 2
                                                  y
 1. Gambarlah daerahnya                                              xi

 2. Partisi daerahnya
 3. Aproksimasi luasnya Li  xi2 xi
 4. Jumlahkan luasnya L   xi2 xi
 5. Ambil limit jumlah luasnya                                                         xi 2
     L = lim  xi2 xi                                                Li

 6. Nyatakan dalam integral dan
                            3
     hitung nilainya L   x 2 dx                                                      x
                            0                     0                        xi      3

                            x 3 3       33
                       L                     0  9
                             3 0
                                         3
   Home                                                              Back                      Next
                                               10/19
Menghitung Luas dengan Integral                                                Luas Daerah
 Contoh 4.
 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
 dan garis x = 5

   Jawab
                                                     y        xi
 Langkah penyelesaian:
 1. Gambar dan Partisi daerahnya                                                    4 xi  xi 2

 2. Aproksimasi : Li  (4xi - xi2)xi dan                     Li
                                                                                                  xj

    Aj  -(4xj - xj2)xj                                                               4     xj         5   x
                                                0                   xi
 4. Jumlahkan : L  (4xi - xi2)xi dan              A
      -(4xj - xj2)xj                                                  0  (4 x  x 2 )
                                                                                                  Aj

 5. Ambil limitnya L = lim  (4xi - xi2)xi
    dan A = lim  -(4xj - xj2)xj
 6. Nyatakan dalam integral                                                      f ( x)  4 x  x 2
          4                       5
    L   (4 x  x 2 ) dx   A   (4 x  x 2 ) dx
          0                       4
   Home                                                                       Back                      Next
                                        11/19
Menghitung Luas dengan Integral                                                            Luas Daerah
                                                                                           Luas
          4
      L   (4 x  x 2 ) dx
          0                                                      y   xi

          
      L  2x 2      1
                     3
                          x3   
                               4
                               0
                                                                                           4 xi  xi 2
      L  2(4)2  3 (4)3  0  32 
                  1                                64
                                                    3
                                                                     Li
                                                                                                         xj
           5
      A   (4 x  x 2 ) dx                                                                  4     xj         5   x
           4                                                0              xi

           
      A   2x 2          1
                           3
                               x3   
                                    5
                                    4                                           0  (4 x  x 2 )
                                                                                                         Aj

                                      1
                                        
      A  2(5)2  3 (5)3   2(4)2  3 (4)3
                   1
                                                            
      A  50  125  32 
                 3
                                        64
                                         3
                                                                                        f ( x)  4 x  x 2
              61
      A      3
                    18

      Luas daerah  32  64 
                          3
                                             61
                                             3
                                                   18

     Luas daerah 13
   Home                                                                                   Back                     Next
                                                         12/19

								
To top