Struttura discretta dello spaziotempo

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					          Struttura discreta dello spaziotempo
                               Nicola D’Alfonso
                      Studioso indipendente - Milano, Italy
                          nicola.dalfonso@hotmail.com

PACS 02.30.Lt: Sequences, series, and summability
PACS 03.30.+p: Special relativity

                                     Sommario
          In questo paper introduco un particolare spaziotempo discreto che
                                                                                 e
      dovrebbe essere preso in seria considerazione nell’ambito della fisica perch´
      permette di spiegare le caratteristiche del movimento in modo adegua-
      to, al contrario di come accade per lo spaziotempo continuo di comune
      concezione.


1    Paradosso della dicotomia
                                                a
Sappiamo dalle nostre osservazioni della realt` che i movimenti sono possibili.
Tuttavia in uno spaziotempo continuo il movimento sembra non poter avvenire,
perlomeno stando al paradosso della dicotomia che qui viene presentato prima
nella versione spaziale e poi in quella temporale.
    Una persona deve compiere un tratto di strada lungo una linea retta che si
estende in una direzione qualsiasi, i cui estremi sono identificati con le lettere A
                       e
e B, e la cui distanza ` AB. Chiaramente questa persona per arrivare in B dovr`   a
prima arrivare alla posizione intermedia C. Una volta giunta in C per arrivare
           a
in B dovr` ancora una volta passare per la posizione intermedia D, e cos` via  ı
in un progresso senza fine. Questo significa che in uno spazio continuo, dotato
                                                                          a
di un numero illimitato di posizioni, il passaggio da A a B richieder` infinite
                                   e
operazioni, ma nessuna persona ` in grado di compiere un numero davvero
infinito di operazioni, e quindi nessun movimento dovrebbe essere completabile
e dunque possibile. Si osservi in proposito la seguente figura 1:




       Figura 1: rappresentazione spaziale del paradosso della dicotomia

   Consideriamo adesso la versione temporale del paradosso. Sia TAB il tempo
totale che dovrebbe impiegare la persona per passare da A a B. Chiaramente
                                                     a
questa persona per giungere in B al tempo TAB dovr` prima muoversi per il
tempo intermedio TAB /2. Una volta trascorso il tempo TAB /2, per giungere
                        a
in B al tempo TAB dovr` ancora una volta muoversi per il tempo intermedio


                                           1
              ı
TAB /4, e cos` via in un progresso senza fine. Questo significa che in un tem-
po continuo dotato di un numero illimitato di momenti, il passaggio da A a B
         a                                        e
richieder` infinite operazioni, ma nessuna persona ` in grado di compiere un nu-
mero davvero infinito di operazioni, e quindi nessun movimento dovrebbe essere
completabile e dunque possibile. Si osservi in proposito la seguente figura 2:




      Figura 2: rappresentazione temporale del paradosso della dicotomia

    La presunta soluzione del paradosso viene dall’impiego della matematica.
Infatti la matematica permette di assegnare un valore finito anche alla somma
di infiniti termini. Nel nostro caso basta fare riferimento alle formule 1:

         ∑ ( 1 )n
         ∞           (
                    AB
                        ) (
                            AB
                                ) (
                                    AB
                                       ) (
                                           AB
                                               )
    AB ·         =       +       +       +       + . . . = AB                  (1a)
         n=1
              2      2       4       8      16
          ∑ ( 1 )n ( TAB ) ( TAB ) ( TAB ) ( TAB )
           ∞
    TAB ·         =       +        +       +          + . . . = TAB            (1b)
          n=1
               2      2        4       8       16

    Secondo queste formule alle somme degli infiniti intervalli spaziali e temporali
considerati possono essere associate l’intera distanza AB e l’intera durata TAB .
                 e
    Il problema ` che questa soluzione non risolve il paradosso sul piano fisico.
             e
La ragione ` presto detta e dipende dal fatto che le precedenti formule si basano
sulla nozione di limite, e la nozione di limite indica il valore a cui una funzione
e
` in grado di avvicinarsi a piacere e non il valore che effettivamente assume. Si
legga in proposito quanto viene affermato in [1].
    In pratica nel caso dell’addizione di infiniti termini quello che fa la matem-
       e
atica ` verificare se al crescere del loro numero, la somma si avvicina a piacere
                                                      e
ad un certo valore. Se questo accade, quel valore ` preso come il limite a cui
tende l’intera addizione, ma non rappresenta veramente il suo risultato. Cos`      ı
                                                                 e
tutto quello che le formule precedenti ci consentono di dire ` che un intervallo
dopo l’altro saremo in grado di avvicinarci a piacere al punto B e al tempo TAB ,
ma non che tali traguardi siano effettivamente raggiungibili.
          e
    Poich´ individuare un limite non equivale in alcun modo a fare infinite op-
           e
erazioni n´ permette di stabilire quale possa essere il loro risultato, il paradosso
                        o
della dicotomia non pu` essere considerato risolto per uno spaziotempo continuo.


2     Soluzione del paradosso in uno spazio tempo
      discreto
Consideriamo uno spaziotempo discreto, nel quale ogni intervallo spaziale sia
costituito da un numero finito di posizioni disposte lungo una qualunque di-


                                         2
rezione, e ogni intervallo temporale da un numero finito di momenti nella di-
                              e
rezione verso il futuro. Poich´ il numero di momenti e di posizioni sono finiti,
saranno finite anche le operazioni necessarie alla realizzazione di un qualunque
                                                             e
movimento, superando il paradosso della dicotomia. Non ` necessario per la
risoluzione del suddetto paradosso che le singole posizioni che compongono lo
spazio siano fisse o omogenee tra loro.
    Supponiamo che lo spazio AB considerato sia costituito da undici posizioni.
Si osservi in proposito la seguente figura 3 (in cui le posizioni sono disegnate
                   a
fisse per semplicit`):




     Figura 3: rappresentazione delle posizioni che formano lo spazio AB

    La persona che parte da A non fa altro che spostarsi per le 11 posizioni
                                      a                                   a
che lo separano da B. La possibilit` di suddividere tale percorso sar` limitata
               a
dalla necessit` che ciascun intervallo spaziale sia copribile da un numero intero
di posizioni. Ad esempio rifacendoci sempre alla figura precedente, possiamo
assegnare alla persona la posizione AB · (5/11) che si trova dopo aver passato
                                                                    a
le prime cinque posizioni a partire da A. Nessuna persona potr` invece trovarsi
nella posizione AB/2, a cui corrisponderebbero 5.5 posizioni a partire da A.
                            a
    Il fatto che nella realt` sembrino raggiungibili tutte le posizioni del percor-
                                                     e
so AB e quindi ad esempio anche quella AB/2, ` dovuto dal gran numero di
posizioni di cui sono costituiti gli intervalli spaziali osservabili. In sostanza le
                                       ı
posizioni raggiungibili riempiono cos` tanto lo spazio che non siamo in grado di
identificare quelle invece non raggiungibili.
    Per quanto riguarda le durate temporali occorre identificare i momenti come
               a
le opportunit` a disposizione della natura per manifestare un qualsiasi cambia-
                                           a
mento. Questo significa che la possibilit` di ricostruire il movimento compiuto
   a                         a
sar` limitata dalla necessit` che ciascun intervallo temporale sia copribile da un
numero intero di momenti. Ad esempio considerando il tempo TAB composto
                                                         a
da 11 momenti, la persona che parte da A avanzer` di una posizione ad og-
ni momento successivo (stiamo ipotizzando che le posizioni totali siano sempre
11). Ad esempio al tempo TAB /11 potremo assegnare alla persona la prima
                                    a
posizione a partire da A. Non avr` invece senso chiederci in quale posizione si
                               e
trovi al tempo TAB /2 perch´ ad esso corrisponderebbero 5.5 momenti.
                             a
    Il fatto che nella realt` sembrino osservabili tutti i momenti richiesti per
completare il percorso AB e quindi ad esempio anche quello TAB /2, deriva
                 a                                                            e
dalla contiguit` del movimento nello spazio. Detto in altre parole: poich´ ogni
oggetto in movimento passa sempre per tutte le posizioni che costituiscono il
                                              a
suo percorso, osserveremo sempre una realt` capace di evolversi attraverso ogni
possibile fase intermedia.



                                         3
3           a
     Velocit` massima
                                      a
A causa della teoria della relativit` ristretta sappiamo che esiste una velocit`  a
                  a
limite (la velocit` della luce) oltre la quale gli oggetti non possono muoversi, si
consulti a questo proposito [2]. Anche questa caratteristica della natura mette
            a
in difficolt` la concezione di uno spaziotempo continuo.
    Per comprendere come questo sia possibile dobbiamo fare riferimento alla
          a                            e                a
contiguit` dei movimenti. Il fatto ` che la necessit` di pensare il movimento
                                                                 a
come contiguo nello spazio ci costringe a relazionare la velocit` di un oggetto ai
momenti che impiega per passare da una posizione a quella contigua. In questo
                                                     a
senso in uno spaziotempo discreto la natura sar` intrinsecamente soggetta ad
             a
una velocit` massima: quella in corrispondenza della quale un oggetto raggiunge
la posizione contigua ad ogni successivo momento del tempo. Le altre velocit`,   a
minori di quella appena considerata, saranno possibili ogniqualvolta l’oggetto
                   a               u
in movimento avr` bisogno di pi` di un momento per passare da una posizione
                                                          a            a
all’altra. Ad esempio un oggetto che si muove alla met` della velocit` massima si
        a
sposter` da una posizione a quella contigua ad ogni coppia di momenti successivi
del tempo.
    Viceversa in uno spaziotempo continuo i movimenti contigui nello spazio non
                                                        a      e
dovrebbero essere soggetti ad alcun limite di velocit` perch´ data una qualsiasi
        a           a                                             a
velocit`, ce ne sar` sempre una superiore. A questo scopo sar` sufficiente pen-
                                                                      u
sare che l’oggetto in questione impieghi un intervallo di tempo pi` piccolo per
                                                  e
passare attraverso le stesse posizioni. E non c’` limite a quanto un intervallo di
tempo possa essere pensato piccolo in uno spaziotempo continuo.
    In questo senso uno spaziotempo davvero continuo, oltre ai problemi evi-
                                                                           a
denziati dal paradosso della dicotomia, sarebbe soggetto ad una velocit` mas-
                                                    a
sima non giustificata dalla struttura della realt`, perlomeno in termini spazio
temporali.


4    Conclusione
             a
La possibilit` che lo spaziotempo abbia proprio la struttura discreta qui pre-
sentata deve essere considerata un’ipotesi molto seria nell’ambito della fisica
      e
perch´ oltre a descrivere in maniera coerente quello che osserviamo dei movimen-
                                                                a
ti, supera i problemi dovuti al paradosso della dicotomia e d` una spiegazione
                                       a
strutturale all’esistenza della velocit` massima.


Riferimenti bibliografici
 [1] Hardy G.H. A couse of pure Mathematics, Cambridge University Press,
     Cambridge 1908, pp. 117-123.

 [2] Rindler W. Relativity. Special, general, and cosmological. Second Edition,
     Oxford University Press, New York 2006, pp. 54-75.



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