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cours math 1 annee bac

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cours math 1 annee bac Powered By Docstoc
					                                                ‫اﻟﻤﺮﺟﺢ‬
                                           ‫اﻟﻘﺪرات اﻟﻤﻨﺘﻈﺮة‬
                                                            ‫اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺮﺟﺢ ﻓﻲ ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﻣﺘﺠﻬﻲ؛‬     ‫ـ‬
                                                                  ‫إﻧﺸﺎء ﻣﺮﺟﺢ ‪ n‬ﻧﻘﻄﺔ ) 4 ≤ ‪ (2 ≤ n‬؛‬   ‫ـ‬
                                             ‫اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺮﺟﺢ ﻹﺛﺒﺎت اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى؛‬       ‫ـ‬
                                                        ‫اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺮﺟﺢ ﻓﻲ إﺛﺒﺎت ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت؛‬    ‫ـ‬
                                                  ‫اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺮﺟﺢ ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ هﻨﺪﺳﻴﺔ وﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ.‬       ‫ـ‬
                                                                               ‫‪ -I‬ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
                                                                              ‫1- اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﻤﺘﺰﻧﺔ‬
                                                                                         ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
                                                ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى و ‪ α‬ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ‬
‫اﻟﺰوج ) ‪ ( A ; α‬ﻳﺴﻤﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ. ﻧﻘﻮل آﺬﻟﻚ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻣﻌﻴﻨﺔ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ‪ . α‬أو اﻟﻌﺪد ‪ α‬وزن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. A‬‬
                                                                           ‫2- ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
                                                                                    ‫أﻧﺸﻄﺔ‬
                                                             ‫‪ (I‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‬
                                   ‫1- ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪ GA − 4GB‬ﺛﻢ أﻧﺸﺌﻬﺎ‬
                                  ‫2- ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪ 2GA + 3GB‬ﺛﻢ أﻧﺸﺌﻬﺎ‬
                          ‫‪ (II‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ و ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ‬
                           ‫1- ﺑﻴﻦ اذا آﺎن 0 ≠ ‪ α + β‬ﻓﺎن ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪αGA + β GB‬‬
                             ‫2- إذا آﺎن 0 = ‪ α + β‬ﻓﺎﻧﻪ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ أﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪αGA + β GB‬‬
                                                                               ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ و ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
                          ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺘﺰﻧﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪. α + β‬‬
                                          ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ 0 = ‪αGA + β GB‬‬
                                         ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﺟﺢ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻤﺘﺰﻧﺘﻴﻦ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪( B ; β‬‬
                                                                                               ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                         ‫إذا آﺎن 0 = ‪ α + β‬ﻓﺎن اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻤﺘﺰﻧﺘﻴﻦ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬ﻻ ﺗﻘﺒﻼن ﻣﺮﺟﺤﺎ.‬
                                                                                  ‫3- ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
                                                                                            ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

                      ‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬هﻮ ﻣﺮﺟﺢ ‪ A‬و ‪ B‬اﻟﻤﻌﻴﻨﻴﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬

                                                                                               ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

                                                                ‫] ‪[ AB‬‬   ‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬هﻮ ﻣﻨﺘﺼﻒ‬

                                                                                               ‫4-اﻟﺼﻤﻮد‬
                                                                                           ‫*‬
                                                                                        ‫∈‪k‬‬     ‫ﻟﻴﻜﻦ‬
                      ‫0≠ ‪α +β‬‬       ‫‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻤﺘﺰﻧﺘﻴﻦ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪α GA + β GB = 0 ⇔ ( B ; β‬‬
                   ‫0 ≠ ‪kα + k β‬‬      ‫⇔ 0 = ‪kα GA + k β GB‬‬
    ‫⇔ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻤﺘﺰﻧﺘﻴﻦ ) ‪ ( A; kα‬و ) ‪( B; k β‬‬
                                                                                          ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

                                   ‫ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ إذا ﺿﺮﺑﻨﺎ وزﻧﻴﻬﻤﺎ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻌﺪد اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬

                                                                                                 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                       ‫ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ‬       ‫(‬ ‫ﺣﺪد ‪ α‬و ‪ β‬ﺣﻴﺚ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪B ; β‬‬
                                                                               ‫أ- ‪2GA − 3GB = 5AB‬‬
                                                                            ‫ب- ‪ A‬ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ‪ G‬و ‪. B‬‬


                                                     ‫1‬
                                                                          ‫5- اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
                                                                                     ‫ﻧﺸﺎط‬
                                               ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β‬‬
‫) ‪∀M ∈ ( P‬‬       ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪α MA + β MB = (α + β ) MG‬‬                ‫ﺑﻴﻦ أن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪( B ; β‬‬        ‫1-‬

                                                   ‫ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ) ‪(O ; i ; j‬‬               ‫2-‬
                                                                ‫‪α‬‬                 ‫‪β‬‬
                                                      ‫= ‪OG‬‬             ‫+ ‪OA‬‬            ‫أ/ ﺑﻴﻦ أن ‪OB‬‬
                                                               ‫‪α +β‬‬            ‫‪α +β‬‬
                           ‫ب/ اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ G‬ﻋﻠﻤﺎ أن ) ‪ A ( x A ; y A‬و ) ‪B ( x B ; y B‬‬
     ‫ﺣﻴﺚ )3;2− ( ‪ A‬و ) 4 ;1( ‪B‬‬     ‫ﻣﺮﺟﺢ )5− ;‪ ( A‬و ) 2 ;‪( B‬‬      ‫ح/ ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ' ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ‬
                                                                                                        ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                                                ‫‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β‬‬
                      ‫ﺗﻜﻮن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                                                                  ‫‪α MA + β MB = (α + β ) MG‬‬
                                                                                             ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬
                                                               ‫‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β‬‬
                                   ‫‪β‬‬
                       ‫= ‪AG‬‬               ‫‪AB‬‬       ‫ﺗﻜﻮن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬
                               ‫) ‪(α + β‬‬
                                   ‫‪α‬‬
                       ‫= ‪BG‬‬               ‫‪BA‬‬          ‫ﺗﻜﻮن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬
                               ‫) ‪(α + β‬‬
                                                                                  ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                                    ‫ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( AB‬‬
                                                                                 ‫6- إﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
                                                           ‫(‬
‫‪ . O ; i ; j‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ A ( x A ; y A‬و ) ‪ B ( x B ; y B‬و ) ‪G ( x G ; y G‬‬   ‫)‬   ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬
                        ‫‪‬‬    ‫‪αx A + βx B‬‬
                        ‫‪xG = α + β‬‬
                        ‫‪‬‬
                        ‫‪‬‬                                        ‫ﻓﺎن‬       ‫) ‪ ( A ;α‬و ) ‪( B ; β‬‬   ‫إذا آﺎن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ‬
                        ‫‪y = α y A + β y B‬‬
                        ‫‪ G‬‬
                        ‫‪‬‬       ‫‪α +β‬‬
                                                                                        ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                    ‫) 2 ; ‪ ( A‬و )1; ‪( B‬‬   ‫أﻧﺸﺊ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) 2− ; ‪ ( A‬و )3; ‪ ( B‬ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ' ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ‬
                                                                      ‫أﺣﺴﺐ ' ‪ GG‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪AB‬‬
                                                                                          ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
     ‫أﻧﺸﺊ ‪ I‬ﻣﺮﺟﺢ ) 2 ; ‪ ( A‬و )1; ‪ (C‬ﺛﻢ ‪ J‬ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ ( A‬و ) 2 ; ‪ ( B‬و ‪ K‬ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ (C‬و ) 4− ; ‪( B‬‬
                                                                    ‫)1; ‪ (C‬و )3; ‪( K‬‬      ‫1- أﺛﺒﺖ أن ‪ B‬ﻣﺮﺟﺢ‬
                                                                              ‫] ‪. [ KI‬‬    ‫2- ﺑﻴﻦ أن ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻒ‬
                                                                                                           ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                             ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪A ≠ B‬‬
                                                ‫1- ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪3MA + 2MB‬‬
                               ‫‪3MA + 2MB = 2MA + 3MB‬‬                       ‫2- ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ‬
               ‫) 2 ;1− ( ‪ A‬و )3;4− ( ‪B‬‬         ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) 2− ; ‪ ( A‬و ) 6; ‪ ( B‬ﺣﻴﺚ‬
                                                                                           ‫‪ -II‬ﻣﺮﺟﺢ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ‬
                                                                                                 ‫1- أﻧﺸﻄﺔ‬
                                                                                                    ‫ﻧﺸﺎط1‬
                                                  ‫2‬
                                                 ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﺛﻠﺚ ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                                      ‫1- أﻧﺸﺊ ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪GA + 2GB − 5GC‬‬
                                              ‫2- هﻞ ﻳﻤﻜﻦ إﻧﺸﺎء ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪GA − 2GB + GC‬‬
                                                                                     ‫ﻧﺸﺎط2‬
                                        ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ و ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬
                                                       ‫‪(*) αGA + β GB + λGC‬‬          ‫ﻧﺤﺪد ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 =‬
                                                                                        ‫اﻟﺠﻮاب‬
                                                       ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ )*( ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪(α + β + λ ) AG = β AB + λ AC‬‬
                                      ‫‪β‬‬                 ‫‪λ‬‬
                          ‫= ‪AG‬‬                ‫+ ‪AB‬‬              ‫*- إذا آﺎن 0 ≠ ‪ α + β + λ‬ﻓﺎن ‪AC‬‬
                                 ‫) ‪(α + β + λ‬‬      ‫) ‪(α + β + λ‬‬
                                     ‫وﻣﻨﻪ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪αGA + β GB + λGC‬‬
                                             ‫*- إذا آﺎن 0 = ‪ α + β + λ‬ﻓﺎن 0 = ‪β AB + λ AC‬‬
              ‫- إذا آﺎن 0 ≠ ‪ β AB + λ AC‬ﻓﺎﻧﻪ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪αGA + β GB + λGC‬‬
       ‫- إذا آﺎن 0 = ‪ β AB + λ AC‬ﻓﺎن ﺟﻤﻴﻊ ﻧﻘﻂ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﺤﻘﻖ 0 = ‪αGA + β GB + λGC‬‬
                                                                            ‫2- ﻣﺒﺮهﻨﺔ و ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
         ‫0 ≠ ‪.α + β + λ‬‬     ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬ﻧﻘﻂ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ‬
                            ‫0 = ‪αGA + β GB + λGC‬‬          ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ‬
                                          ‫و ) ‪(C ; λ‬‬      ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪( B ; β‬‬
                                                                                               ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                 ‫إذا آﺎن 0 = ‪ α + β + λ‬ﻓﺎن اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺘﺰﻧﺔ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺮﺟﺤﺎ‬
                                                                     ‫3- ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ‬
                                                                                   ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬هﻮ ﻣﺮﺟﺢ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬اﻟﻤﻌﻴﻨﻴﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬
                                                                                  ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                        ‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪C‬هﻮ ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ ( A‬و )1; ‪ ( B‬و )1; ‪(C‬‬
                                                                                     ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
               ‫ﻣﺘﻮﺳﻄﺎت ﻣﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬هﻲ ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬
                                                                 ‫و ﺗﺤﻘﻖ 0 = ‪GA + GB + GC‬‬
                ‫2‬
          ‫اذا آﺎن ' ‪ A‬و ' ‪ B‬و ' ‪ C‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] ‪ [ BC‬و ] ‪ [ AC‬و ] ‪ [ AB‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﺎن ' ‪ AG = AA‬و‬
                ‫3‬
                                                                       ‫2‬                 ‫2‬
                                                                  ‫' ‪ BG = BB‬و ' ‪CG = CC‬‬
                                                                       ‫3‬                 ‫3‬
                                                                                   ‫4- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

                             ‫ﻣﺮﺟﺢ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ إذا ﺿﺮﺑﻨﺎ وزﻧﻴﻬﻤﺎ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻌﺪد اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬

                                                                             ‫5- اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
                                                                                        ‫ﻧﺸﺎط‬
                                                     ‫‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β + λ‬‬
    ‫1- ﺑﻴﻦ أن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪α MA + β MB + λMC = (α + β + λ ) MG‬‬
                                                  ‫إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ) ‪(O ; i ; j‬‬   ‫)‪( P‬‬   ‫2- ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                    ‫‪α‬‬            ‫‪β‬‬            ‫‪λ‬‬
                          ‫= ‪OG‬‬           ‫+ ‪OA‬‬         ‫+ ‪OB‬‬         ‫أ/ ﺑﻴﻦ أن ‪OC‬‬
                                 ‫‪α +β +λ‬‬      ‫‪α +β +λ‬‬      ‫‪α +β +λ‬‬
                              ‫ب/ اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ G‬ﻋﻠﻤﺎ أن ) ‪ A ( x A ; y A‬و ) ‪B ( x B ; y B‬‬


                                                 ‫3‬
                                                                                                             ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                                              ‫‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β + λ‬‬
                  ‫ﺗﻜﻮن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                                             ‫‪α MA + β MB + λ MC = (α + β + λ ) MG‬‬
                                                                                       ‫6- إﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻣﺮﺟﺢ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ‬
                                                                  ‫(‬
     ‫‪ . O ; i ; j‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ A ( x A ; y A‬و ) ‪ B ( x B ; y B‬و ) ‪ C ( x C ; y C‬و‬   ‫)‬   ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬
                 ‫‪‬‬      ‫‪α x A + β x B + λx C‬‬
                 ‫= ‪ xG‬‬      ‫‪α +β +λ‬‬
                 ‫‪‬‬
                 ‫‪‬‬                           ‫) ‪ G ( xG ; yG‬إذا آﺎن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬ﻓﺎن‬
                 ‫= ‪y‬‬   ‫‪α y A + β y B + λyC‬‬
                 ‫‪ G‬‬
                 ‫‪‬‬           ‫‪α +β +λ‬‬
                                                                                     ‫7- ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻴﺔ‬
                                                      ‫‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β + λ‬‬
            ‫‪α MA + β MB + λ MC = (α + β + λ ) MG‬‬                  ‫وﻣﻨﻪ‬      ‫‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪(C ; λ‬‬
    ‫1‪α MA + β MB = (α + β ) MG‬‬            ‫وﻣﻨﻪ‬    ‫* ﻟﻮ آﺎن 0 ≠ ‪ α + β‬ﻓﺎن ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺮﺟﺤﺎ 1‪G‬‬
                                                           ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪(α + β ) MG1 + λ MC = ( (α + β ) + λ ) MG‬‬
                                                                           ‫إذن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ (G1 ;α + β‬و ) ‪(C ; λ‬‬
        ‫ﺣﻴﺚ 2 ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪(C ; λ‬‬          ‫* ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ (G 2 ;α + λ‬و ) ‪( B ; β‬‬
        ‫ﺣﻴﺚ 2 ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪(C ; λ‬‬         ‫* ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ (G 3 ; β + λ‬و ) ‪( A ;α‬‬
                                                                                         ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
        ‫ﻣﺮﺟﺢ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ إذا ﻋﻮﺿﻨﺎ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺑﻤﺮﺟﺤﻬﻤﺎ ﻣﻌﻴﻨﺎ ﺑﻤﺠﻤﻮع ﻣﻌﺎﻣﻠﻴﻬﻤﺎ اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬
                                                                                           ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                     ‫أﻧﺸﺊ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ ( A‬و )1; ‪ ( B‬و ) 2 ; ‪(C‬‬
                                                               ‫)1− ; ‪(C‬‬   ‫و‬       ‫)2 ; ‪( B‬‬   ‫أﻧﺸﺊ ' ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ )3− ; ‪ ( A‬و‬
                                                                                                                ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                         ‫4‬
                 ‫= ‪AD‬‬      ‫و ) 2− ; ‪ (C‬و ‪ D‬ﻧﻘﻄﺔ ﺣﻴﺚ ‪AB‬‬                 ‫)4 ; ‪( B‬‬   ‫‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ و ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ ( A‬و‬
                         ‫5‬
                                                                                                  ‫أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‬
                                                                                    ‫ﺑﻴﻦ أن ‪ D‬و ‪ C‬و ‪ G‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬
                                                                                                         ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

            ‫‪2MA + MB + MC = −2MA + MB + MC‬‬                            ‫‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ. ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ‬

                                                                                      ‫‪ -III‬ﻣﺮﺟﺢ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ‬
                                                                                        ‫1- ﻣﺒﺮهﻨﺔ و ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
                  ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ‬           ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬و ) ‪ ( D ; µ‬ﻧﻘﻂ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﻣﻦ‬
                                                                                                     ‫0 ≠ ‪.α + β + λ + µ‬‬
                         ‫0 = ‪αGA + β GB + λGC + µGD‬‬                   ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ‬
                                    ‫و ) ‪ (C ; λ‬و ) ‪( D ; µ‬‬            ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪( B ; β‬‬
                                                                                                       ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫و ) ‪ (C ; λ‬و ) ‪ ( D ; µ‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺮﺟﺤﺎ‬        ‫) ‪(B ; β‬‬   ‫إذا آﺎن 0 = ‪ α + β + λ + µ‬ﻓﺎن اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺘﺰﻧﺔ ) ‪ ( A ; α‬و‬
                                                               ‫2- ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ‬
                                                                              ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
 ‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪ D‬هﻮ ﻣﺮﺟﺢ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪ D‬اﻟﻤﻌﻴﻨﻴﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻐﻴﺮ‬
                                                                            ‫اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬

                                                         ‫4‬
                                                                                                  ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

                 ‫)1; ‪ (C‬و )1; ‪( D‬‬   ‫و‬   ‫)1; ‪( B‬‬   ‫و‬    ‫)1; ‪( A‬‬   ‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪ D‬هﻮ ﻣﺮﺟﺢ‬

                                                                                                 ‫3- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

                             ‫ﻣﺮﺟﺢ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ إذا ﺿﺮﺑﻨﺎ وزﻧﻴﻬﻤﺎ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻌﺪد اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬



                                                                                 ‫4- اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
                                                                                             ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                                     ‫‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬و ‪ µ‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β + λ + µ‬‬
        ‫ﺗﻜﻮن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬و ) ‪ ( D ; µ‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                                      ‫‪α MA + β MB + λ MC + µ MC = (α + β + λ + µ ) MG‬‬
                                                                               ‫5- ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻴﺔ‬
                                                                                          ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻣﺮﺟﺢ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ إذا ﻋﻮﺿﻨﺎ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺑﻤﺮﺟﺤﻬﻤﺎ ﻣﻌﻴﻨﺎ ﺑﻤﺠﻤﻮع ﻣﻌﺎﻣﻠﻴﻬﻤﺎ اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم أو ﻋﻮﺿﻨﺎ‬
                                                         ‫ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺑﻤﺮﺟﺤﻬﺎ ﻣﻌﻴﻨﺎ ﺑﻤﺠﻤﻮع ﻣﻌﺎﻣﻼﺗﻬﺎ.‬
                                                                                            ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                            ‫‪ ABCD‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬
                                              ‫أﻧﺸﺊ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ ( A‬و )1; ‪ ( B‬و ) 2 ;‪ ( C‬و )1;‪( D‬‬
                                                                                        ‫ﺑﻴﻦ أن ) ‪G ∈ ( AC‬‬




                                                         ‫5‬

				
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posted:12/23/2012
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