# cours math 1 annee bac

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```					                                                ‫اﻟﻤﺮﺟﺢ‬
‫اﻟﻘﺪرات اﻟﻤﻨﺘﻈﺮة‬
‫اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺮﺟﺢ ﻓﻲ ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﻣﺘﺠﻬﻲ؛‬     ‫ـ‬
‫إﻧﺸﺎء ﻣﺮﺟﺢ ‪ n‬ﻧﻘﻄﺔ ) 4 ≤ ‪ (2 ≤ n‬؛‬   ‫ـ‬
‫اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺮﺟﺢ ﻹﺛﺒﺎت اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى؛‬       ‫ـ‬
‫اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺮﺟﺢ ﻓﻲ إﺛﺒﺎت ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت؛‬    ‫ـ‬
‫اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺮﺟﺢ ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ هﻨﺪﺳﻴﺔ وﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ.‬       ‫ـ‬
‫‪ -I‬ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
‫1- اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﻤﺘﺰﻧﺔ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى و ‪ α‬ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ‬
‫اﻟﺰوج ) ‪ ( A ; α‬ﻳﺴﻤﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ. ﻧﻘﻮل آﺬﻟﻚ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻣﻌﻴﻨﺔ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ‪ . α‬أو اﻟﻌﺪد ‪ α‬وزن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. A‬‬
‫2- ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
‫أﻧﺸﻄﺔ‬
‫‪ (I‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‬
‫1- ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪ GA − 4GB‬ﺛﻢ أﻧﺸﺌﻬﺎ‬
‫2- ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪ 2GA + 3GB‬ﺛﻢ أﻧﺸﺌﻬﺎ‬
‫‪ (II‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ و ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ‬
‫1- ﺑﻴﻦ اذا آﺎن 0 ≠ ‪ α + β‬ﻓﺎن ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪αGA + β GB‬‬
‫2- إذا آﺎن 0 = ‪ α + β‬ﻓﺎﻧﻪ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ أﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪αGA + β GB‬‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ و ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺘﺰﻧﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪. α + β‬‬
‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ 0 = ‪αGA + β GB‬‬
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﺟﺢ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻤﺘﺰﻧﺘﻴﻦ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪( B ; β‬‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫إذا آﺎن 0 = ‪ α + β‬ﻓﺎن اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻤﺘﺰﻧﺘﻴﻦ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬ﻻ ﺗﻘﺒﻼن ﻣﺮﺟﺤﺎ.‬
‫3- ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬هﻮ ﻣﺮﺟﺢ ‪ A‬و ‪ B‬اﻟﻤﻌﻴﻨﻴﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫] ‪[ AB‬‬   ‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬هﻮ ﻣﻨﺘﺼﻒ‬

‫4-اﻟﺼﻤﻮد‬
‫*‬
‫∈‪k‬‬     ‫ﻟﻴﻜﻦ‬
‫0≠ ‪α +β‬‬       ‫‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻤﺘﺰﻧﺘﻴﻦ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪α GA + β GB = 0 ⇔ ( B ; β‬‬
‫0 ≠ ‪kα + k β‬‬      ‫⇔ 0 = ‪kα GA + k β GB‬‬
‫⇔ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻤﺘﺰﻧﺘﻴﻦ ) ‪ ( A; kα‬و ) ‪( B; k β‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ إذا ﺿﺮﺑﻨﺎ وزﻧﻴﻬﻤﺎ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻌﺪد اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ‬       ‫(‬ ‫ﺣﺪد ‪ α‬و ‪ β‬ﺣﻴﺚ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪B ; β‬‬
‫أ- ‪2GA − 3GB = 5AB‬‬
‫ب- ‪ A‬ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ‪ G‬و ‪. B‬‬

‫1‬
‫5- اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
‫ﻧﺸﺎط‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β‬‬
‫) ‪∀M ∈ ( P‬‬       ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪α MA + β MB = (α + β ) MG‬‬                ‫ﺑﻴﻦ أن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪( B ; β‬‬        ‫1-‬

‫ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ) ‪(O ; i ; j‬‬               ‫2-‬
‫‪α‬‬                 ‫‪β‬‬
‫= ‪OG‬‬             ‫+ ‪OA‬‬            ‫أ/ ﺑﻴﻦ أن ‪OB‬‬
‫‪α +β‬‬            ‫‪α +β‬‬
‫ب/ اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ G‬ﻋﻠﻤﺎ أن ) ‪ A ( x A ; y A‬و ) ‪B ( x B ; y B‬‬
‫ﺣﻴﺚ )3;2− ( ‪ A‬و ) 4 ;1( ‪B‬‬     ‫ﻣﺮﺟﺢ )5− ;‪ ( A‬و ) 2 ;‪( B‬‬      ‫ح/ ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ' ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β‬‬
‫ﺗﻜﻮن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪α MA + β MB = (α + β ) MG‬‬
‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬
‫‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β‬‬
‫‪β‬‬
‫= ‪AG‬‬               ‫‪AB‬‬       ‫ﺗﻜﻮن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬
‫) ‪(α + β‬‬
‫‪α‬‬
‫= ‪BG‬‬               ‫‪BA‬‬          ‫ﺗﻜﻮن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬
‫) ‪(α + β‬‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( AB‬‬
‫6- إﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻣﺮﺟﺢ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
‫(‬
‫‪ . O ; i ; j‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ A ( x A ; y A‬و ) ‪ B ( x B ; y B‬و ) ‪G ( x G ; y G‬‬   ‫)‬   ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬
‫‪‬‬    ‫‪αx A + βx B‬‬
‫‪xG = α + β‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬                                        ‫ﻓﺎن‬       ‫) ‪ ( A ;α‬و ) ‪( B ; β‬‬   ‫إذا آﺎن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ‬
‫‪y = α y A + β y B‬‬
‫‪ G‬‬
‫‪‬‬       ‫‪α +β‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫) 2 ; ‪ ( A‬و )1; ‪( B‬‬   ‫أﻧﺸﺊ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) 2− ; ‪ ( A‬و )3; ‪ ( B‬ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ' ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ‬
‫أﺣﺴﺐ ' ‪ GG‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪AB‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫أﻧﺸﺊ ‪ I‬ﻣﺮﺟﺢ ) 2 ; ‪ ( A‬و )1; ‪ (C‬ﺛﻢ ‪ J‬ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ ( A‬و ) 2 ; ‪ ( B‬و ‪ K‬ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ (C‬و ) 4− ; ‪( B‬‬
‫)1; ‪ (C‬و )3; ‪( K‬‬      ‫1- أﺛﺒﺖ أن ‪ B‬ﻣﺮﺟﺢ‬
‫] ‪. [ KI‬‬    ‫2- ﺑﻴﻦ أن ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻒ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪A ≠ B‬‬
‫1- ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪3MA + 2MB‬‬
‫‪3MA + 2MB = 2MA + 3MB‬‬                       ‫2- ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ‬
‫) 2 ;1− ( ‪ A‬و )3;4− ( ‪B‬‬         ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) 2− ; ‪ ( A‬و ) 6; ‪ ( B‬ﺣﻴﺚ‬
‫‪ -II‬ﻣﺮﺟﺢ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ‬
‫1- أﻧﺸﻄﺔ‬
‫ﻧﺸﺎط1‬
‫2‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﺛﻠﺚ ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫1- أﻧﺸﺊ ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪GA + 2GB − 5GC‬‬
‫2- هﻞ ﻳﻤﻜﻦ إﻧﺸﺎء ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪GA − 2GB + GC‬‬
‫ﻧﺸﺎط2‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ و ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬
‫‪(*) αGA + β GB + λGC‬‬          ‫ﻧﺤﺪد ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 =‬
‫اﻟﺠﻮاب‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ )*( ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪(α + β + λ ) AG = β AB + λ AC‬‬
‫‪β‬‬                 ‫‪λ‬‬
‫= ‪AG‬‬                ‫+ ‪AB‬‬              ‫*- إذا آﺎن 0 ≠ ‪ α + β + λ‬ﻓﺎن ‪AC‬‬
‫) ‪(α + β + λ‬‬      ‫) ‪(α + β + λ‬‬
‫وﻣﻨﻪ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪αGA + β GB + λGC‬‬
‫*- إذا آﺎن 0 = ‪ α + β + λ‬ﻓﺎن 0 = ‪β AB + λ AC‬‬
‫- إذا آﺎن 0 ≠ ‪ β AB + λ AC‬ﻓﺎﻧﻪ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺣﻴﺚ 0 = ‪αGA + β GB + λGC‬‬
‫- إذا آﺎن 0 = ‪ β AB + λ AC‬ﻓﺎن ﺟﻤﻴﻊ ﻧﻘﻂ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﺤﻘﻖ 0 = ‪αGA + β GB + λGC‬‬
‫2- ﻣﺒﺮهﻨﺔ و ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫0 ≠ ‪.α + β + λ‬‬     ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬ﻧﻘﻂ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ‬
‫0 = ‪αGA + β GB + λGC‬‬          ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ‬
‫و ) ‪(C ; λ‬‬      ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪( B ; β‬‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫إذا آﺎن 0 = ‪ α + β + λ‬ﻓﺎن اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺘﺰﻧﺔ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺮﺟﺤﺎ‬
‫3- ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬هﻮ ﻣﺮﺟﺢ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬اﻟﻤﻌﻴﻨﻴﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪C‬هﻮ ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ ( A‬و )1; ‪ ( B‬و )1; ‪(C‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻣﺘﻮﺳﻄﺎت ﻣﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬هﻲ ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬
‫و ﺗﺤﻘﻖ 0 = ‪GA + GB + GC‬‬
‫2‬
‫اذا آﺎن ' ‪ A‬و ' ‪ B‬و ' ‪ C‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] ‪ [ BC‬و ] ‪ [ AC‬و ] ‪ [ AB‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﺎن ' ‪ AG = AA‬و‬
‫3‬
‫2‬                 ‫2‬
‫' ‪ BG = BB‬و ' ‪CG = CC‬‬
‫3‬                 ‫3‬
‫4- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ﻣﺮﺟﺢ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ إذا ﺿﺮﺑﻨﺎ وزﻧﻴﻬﻤﺎ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻌﺪد اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬

‫5- اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
‫ﻧﺸﺎط‬
‫‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β + λ‬‬
‫1- ﺑﻴﻦ أن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪α MA + β MB + λMC = (α + β + λ ) MG‬‬
‫إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ) ‪(O ; i ; j‬‬   ‫)‪( P‬‬   ‫2- ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪α‬‬            ‫‪β‬‬            ‫‪λ‬‬
‫= ‪OG‬‬           ‫+ ‪OA‬‬         ‫+ ‪OB‬‬         ‫أ/ ﺑﻴﻦ أن ‪OC‬‬
‫‪α +β +λ‬‬      ‫‪α +β +λ‬‬      ‫‪α +β +λ‬‬
‫ب/ اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ G‬ﻋﻠﻤﺎ أن ) ‪ A ( x A ; y A‬و ) ‪B ( x B ; y B‬‬

‫3‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β + λ‬‬
‫ﺗﻜﻮن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪α MA + β MB + λ MC = (α + β + λ ) MG‬‬
‫6- إﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻣﺮﺟﺢ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ‬
‫(‬
‫‪ . O ; i ; j‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ A ( x A ; y A‬و ) ‪ B ( x B ; y B‬و ) ‪ C ( x C ; y C‬و‬   ‫)‬   ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬
‫‪‬‬      ‫‪α x A + β x B + λx C‬‬
‫= ‪ xG‬‬      ‫‪α +β +λ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬                           ‫) ‪ G ( xG ; yG‬إذا آﺎن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬ﻓﺎن‬
‫= ‪y‬‬   ‫‪α y A + β y B + λyC‬‬
‫‪ G‬‬
‫‪‬‬           ‫‪α +β +λ‬‬
‫7- ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻴﺔ‬
‫‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β + λ‬‬
‫‪α MA + β MB + λ MC = (α + β + λ ) MG‬‬                  ‫وﻣﻨﻪ‬      ‫‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪(C ; λ‬‬
‫1‪α MA + β MB = (α + β ) MG‬‬            ‫وﻣﻨﻪ‬    ‫* ﻟﻮ آﺎن 0 ≠ ‪ α + β‬ﻓﺎن ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺮﺟﺤﺎ 1‪G‬‬
‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪(α + β ) MG1 + λ MC = ( (α + β ) + λ ) MG‬‬
‫إذن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ (G1 ;α + β‬و ) ‪(C ; λ‬‬
‫ﺣﻴﺚ 2 ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪(C ; λ‬‬          ‫* ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ (G 2 ;α + λ‬و ) ‪( B ; β‬‬
‫ﺣﻴﺚ 2 ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪(C ; λ‬‬         ‫* ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ (G 3 ; β + λ‬و ) ‪( A ;α‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻣﺮﺟﺢ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ إذا ﻋﻮﺿﻨﺎ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺑﻤﺮﺟﺤﻬﻤﺎ ﻣﻌﻴﻨﺎ ﺑﻤﺠﻤﻮع ﻣﻌﺎﻣﻠﻴﻬﻤﺎ اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫أﻧﺸﺊ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ ( A‬و )1; ‪ ( B‬و ) 2 ; ‪(C‬‬
‫)1− ; ‪(C‬‬   ‫و‬       ‫)2 ; ‪( B‬‬   ‫أﻧﺸﺊ ' ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ )3− ; ‪ ( A‬و‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫4‬
‫= ‪AD‬‬      ‫و ) 2− ; ‪ (C‬و ‪ D‬ﻧﻘﻄﺔ ﺣﻴﺚ ‪AB‬‬                 ‫)4 ; ‪( B‬‬   ‫‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ و ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ ( A‬و‬
‫5‬
‫أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‬
‫ﺑﻴﻦ أن ‪ D‬و ‪ C‬و ‪ G‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪2MA + MB + MC = −2MA + MB + MC‬‬                            ‫‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ. ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪ -III‬ﻣﺮﺟﺢ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ‬
‫1- ﻣﺒﺮهﻨﺔ و ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ‬           ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬و ) ‪ ( D ; µ‬ﻧﻘﻂ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﻣﻦ‬
‫0 ≠ ‪.α + β + λ + µ‬‬
‫0 = ‪αGA + β GB + λGC + µGD‬‬                   ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ G‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ‬
‫و ) ‪ (C ; λ‬و ) ‪( D ; µ‬‬            ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ;α‬و ) ‪( B ; β‬‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫و ) ‪ (C ; λ‬و ) ‪ ( D ; µ‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺮﺟﺤﺎ‬        ‫) ‪(B ; β‬‬   ‫إذا آﺎن 0 = ‪ α + β + λ + µ‬ﻓﺎن اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺘﺰﻧﺔ ) ‪ ( A ; α‬و‬
‫2- ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪ D‬هﻮ ﻣﺮﺟﺢ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪ D‬اﻟﻤﻌﻴﻨﻴﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻐﻴﺮ‬
‫اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬

‫4‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫)1; ‪ (C‬و )1; ‪( D‬‬   ‫و‬   ‫)1; ‪( B‬‬   ‫و‬    ‫)1; ‪( A‬‬   ‫ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪ D‬هﻮ ﻣﺮﺟﺢ‬

‫3- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ﻣﺮﺟﺢ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ إذا ﺿﺮﺑﻨﺎ وزﻧﻴﻬﻤﺎ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻌﺪد اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم.‬

‫4- اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬و ‪ µ‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪α + β + λ + µ‬‬
‫ﺗﻜﻮن ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ ) ‪ ( A ; α‬و ) ‪ ( B ; β‬و ) ‪ (C ; λ‬و ) ‪ ( D ; µ‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪α MA + β MB + λ MC + µ MC = (α + β + λ + µ ) MG‬‬
‫5- ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻴﺔ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻣﺮﺟﺢ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻻ ﻳﺘﻐﻴﺮ إذا ﻋﻮﺿﻨﺎ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺑﻤﺮﺟﺤﻬﻤﺎ ﻣﻌﻴﻨﺎ ﺑﻤﺠﻤﻮع ﻣﻌﺎﻣﻠﻴﻬﻤﺎ اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﻨﻌﺪم أو ﻋﻮﺿﻨﺎ‬
‫ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺑﻤﺮﺟﺤﻬﺎ ﻣﻌﻴﻨﺎ ﺑﻤﺠﻤﻮع ﻣﻌﺎﻣﻼﺗﻬﺎ.‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪ ABCD‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬
‫أﻧﺸﺊ ‪ G‬ﻣﺮﺟﺢ )1; ‪ ( A‬و )1; ‪ ( B‬و ) 2 ;‪ ( C‬و )1;‪( D‬‬
‫ﺑﻴﻦ أن ) ‪G ∈ ( AC‬‬

‫5‬

```
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