CTF3MS_logExp

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					              Ld      23/12/2012        3M05

                            Corrigé : Logarithmes et exponentielles

 Exercice 1
 Déterminer l’ensemble de définition et la dérivée des fonctions suivantes :
                        x
                                                                                                               x2
   a) f (x) = 2 x+2                                                               b) f (x) = ln               1−x

    c) f (x) = x3 · e−x                                                           d) f (x) = x · log3 (2x + 1)


Solution

  a) Df = R \ {−2}
                                                                                  x                       x
                       x                1.(x + 2) − x.1   2 ln(2) · 2 x+2   ln(4) · 2 x+2
       f (x) = 2 x+2 · ln(2) ·                     2
                                                        =             2
                                                                          =
                                            (x + 2)          (x + 2)          (x + 2)2

  b) Df =] − ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; 1[
                     1 − x 2x.(1 − x) − x2 .(−1)  −x2 + 2x     x−2
       f (x) =          2
                          ·             2
                                                 = 2        =
                       x         (1 − x)          x (1 − x)   x(x − 1)

  c) Df = R                 f (x) = 3x2 e−x + x3 e−x (−1) = (3 − x)x2 e−x

                      1
  d) Df =] −            ; +∞[
                      2
                                                     1     2                            2x
       f (x) = 1 · log3 (2x + 1) + x ·                  ·       = log3 (2x + 1) +
                                                   ln(3) 2x + 1                   ln(3)(2x + 1)



 Exercice 2
 Lorsqu’elles sont définies, calculer les intégrales suivantes :
              2                                                                              3
                  6x2 + 2x − 12                                                                   4x2
   a)                           dx                                                b)                    dx
          1           2x + 4                                                             2       x3 − 7
              1                                                                              3
                        2
    c)             x · ex dx                                                      d)             43x dx
          −1                                                                             1



Solution
                                                                   2                                      2
                                                                       6 x2 + 2 x − 12                                      8
                                                                                       dx =                    3x − 5 +            dx
           2                                                   0            2x + 4                    0                   2x + 4
       6x +            2 x − 12           2x+4                         2                          2
                                                                                        4
       6 x2 +         12 x                3x−5                =            (3x − 5) dx +   dx
                                                                                      x+2
  a)                 −10 x − 12                                  0                 0

                     −10 x − 20
                              8
                                                              =
                                                                3x2
                                                                 2
                                                                    − 5x + 4 ln(|x + 2|)
                                                                                          2

                                                                                          0
                                                                                                          |
                                                                                             = 6 − 10 + 4 ln(4) − 4 ln(2)

                                                              = −4 + 8 ln(2) − 4 ln(2) = −4 + 4 ln(2)



  b) =
          4
          3
            ln(|x3 − 7|)        | 32    =
                                            4
                                            3
                                                                  4
                                              · (ln(20) − ln(1)) = · ln(20)
                                                                  3


  c) =
          1 x2
          2
            e        | −1
                        1
                               =
                                   1
                                   2
                                     (e − e) = 0



  d) =
           1
               3
                   eln(4)·3x dx =
                                         43x
                                       3 ln(4)
                                                 | 31   =
                                                            49 − 43
                                                            3 ln(4)
                                                                             ou
                                                                                      87 360
                                                                                       ln(4)
Corrigé : Logarithmes et exponentielles        Ld, 23/12/2012                                       2



 Exercice 3
 Calculer les limites suivantes :
            e−3x                                                      ln(cos(x))
   a) x→0
      lim                                                 b) lim
        >
             x2                                                 x→0       x2


Solution
                   lim e−3x
         e−3x      x→0
                                     1
  a) x→0
                    >
     lim      =                  =      = +∞
       >
          x2         lim x2
                     x→0
                                     +0
                      >




                                       1
                                            · (− sin(x))
         ln(cos(x))                  cos(x)                      1        1                sin(x)
  b) lim                  B.H.
                           =     lim                     = lim        · −          · lim
     x→0     x2                  x→0         2x            x→0 cos(x)     2         x→0       x
               1            1
     =1· −         ·1 = −
               2            2

				
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Description: Test formatif sur les d�riv�es et primitives des fonctions exponentielles et logarithmes