Docstoc

نظرية النسبية العامة -آينشتاين

Document Sample
نظرية النسبية العامة -آينشتاين Powered By Docstoc
					‫1‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
‫2‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
  ‫3‬                                                                                                           ‫لا ج‬                                                               ‫ا‬                   ‫ا‬


                                                                                                                                                                                                                 ‫ا‬
                                                                                                         ‫ا‬             ‫ا ا‬               ‫ﺏ‬
                ‫وی‬                         ‫ر. ی‬                 ‫ا‬            ‫رو لﺏ‬                   ‫ا‬                  ‫م‬            ‫ةوا‬              ‫وا‬                 ‫و‬                                       ‫ا‬
  ‫ا ﻡ.‬                         ‫ی ا‬                            ‫ی أ وه‬                      ‫ﻡ ﻡ ﺥ ا‬                      ‫ی‬                 ‫أه أ ز‬                                  ‫أن أ م دراﺱ ﻡ‬
   ‫ه‬            ‫ك‬                      ‫ا‬                                 ‫ی‬           ‫، و ذ‬        ‫ه‬            ‫و‬                         ‫ﻡ‬                  ‫ﻡ ﻡ‬              ‫ی ﻡ‬             ‫ا‬                  ‫إن‬
       ‫آ‬           ‫ﺡ‬                   ‫بﺏ‬                     ‫هاا‬                 ‫ﺏ .آ‬           ‫ﺏﺱ‬                ‫وی‬                ‫ﺏ‬           ‫ّ أن ی‬             ‫ّو‬           ‫. أﺱ ل ا‬                        ‫ﺏ‬
                                                                                       ‫ّ أدا .‬                 ‫ب أﻡ‬             ‫ﺏنه اا‬                ‫، و أ أﺵ‬                       ‫آ‬               ‫ا‬          ‫أﺥ‬


                   ‫ی‬                                ‫م‬          ‫ی،‬                ‫ي‬         ‫م‬     ‫ﺏ‬                 ‫ا ه ت،‬                     ‫ه ﺡ‬                        ‫اﺏ ت ا‬                          ‫أن ا‬
   ‫وﻡ‬                              ‫أن ی‬                         ‫م‬                ‫ا ا‬                     ‫ی‬     ‫یﺕ ، و آ ﻡ‬                        ‫ﻡ‬                      ‫ا دراك‬                              ‫و إ‬
       ‫ب‬                   ‫ﺱ وا‬                       ‫ا‬             ‫ب‬                    ‫. ﺕ ا‬                 ‫ﺏتا‬              ‫ا‬                          ‫وا‬           ‫وﻡ ا‬         ‫ی ] 1[، آ‬                  ‫ﻡ‬
   ‫ی‬                           ‫ا‬                ‫ی‬             ‫...‬            ‫ی‬       ‫ا‬           ‫ﺏو ا‬                                ‫ا‬               ‫ی ا‬                ‫ه ﺡ ﻡ‬                        ‫ﺕ ری ا‬
               ‫ﺥ‬            ‫رز ا‬                          ‫ا‬                  ‫ﺱ، و‬               ‫ت ا ازي أﻡ م ا‬                               ‫ﻡ وﻡ ﻡ‬                               ‫ة ﻡ‬                            ‫ا‬
                                                                                                                                                           ‫ب.‬            ‫أﻡ م ا‬                  ‫اد ا‬            ‫ا‬


       ‫ا‬           ‫،إ‬                           ‫اه ا‬                ‫ا‬                          ‫أو ﻡ‬                ‫أ ﻡً ﻡ ا‬                                     ‫وا‬           ‫ی‬       ‫ا‬       ‫أآ ا ا‬
               ‫اه ه ، و‬                         ‫و‬                    ‫ا‬                     ‫و أﺏ ت آ ا‬                                    ‫ا‬       ‫ا‬         ‫ﻡ ی ة‬                                 ‫یء ا‬
           ‫ﺕ‬                               ‫اد ا‬               ‫ی وا‬                       ‫وا‬                    ‫ﺱ ا‬          ‫ا‬                ‫و‬         ‫ا‬                 ‫ﺱ وا‬            ‫ا‬                 ‫ا ر‬
  ‫ی و‬                  ‫ا‬                   ‫ي‬                  ‫ذج ا‬               ‫ا‬        ‫آ‬                   ‫ﺱ ا‬                ‫.‬           ‫ی وﺏ‬                   ‫ه ا‬              ‫ی ﻡ و‬                       ‫أ‬
                                                                                                                                ‫.‬                    ‫ذج ا‬           ‫ا‬        ‫ی آ‬                 ‫ﺱ ا‬             ‫ا‬


      ‫ت، آ ه ا ل ﻡ ﻡ ی ﻡ ﻡ‬                                                                     ‫ا ی‬                              ‫ﺱ فی‬                   ‫ری‬                ‫هن‬                      ‫آ ﻡ ی‬
   ‫ی‬                                        ‫ا‬                            ‫، ی‬                   ‫ی ء]1[.‬             ‫ا‬                         ‫فی‬                 ‫غ‬                        ‫وﺙ‬               ‫ﻡ أا‬
                ‫ةا‬                 ‫ا‬              ‫أ‬                  ‫ا ﻡ‬                       ‫ب ی ول ا‬                ‫ا م و ا ص، و ﺏ أن ه ا ا‬                                                   ‫ﺏ‬               ‫ا‬
   ‫ی‬                       ‫ن‬                      ‫ران ا‬                      ‫ﻡن ه ا‬                          ‫ن و ا ﻡ ن، و ه ان ا‬                           ‫ه :ا‬                          ‫ﻡ‬               ‫ه ﻡ‬


‫.‪1- Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Second edition, Marvin Jay Greenberg, W. H‬‬
‫.9791 , .‪Freeman & Co‬‬
‫4‬                                                                                        ‫لا ج‬                                                             ‫ا‬             ‫ا‬


‫ن‬                    ‫ﻡن ﻡ‬                     ‫ه ان ا‬          ‫ا ﻡ آ‬                  ‫ی ا‬                ‫ً.‬           ‫ی ً و ری‬                  ‫ًو‬                 ‫ا ﻡ‬             ‫ا‬
                 ‫ا راء ا‬                      ‫ً. ه ك ﺏ‬              ‫ی ًو‬             ‫ًو‬       ‫ﺏ ﺥ ری‬                     ‫ی ﺏ ﺏ آ ﻡ‬                        ‫ﻡ ه ا‬                  ‫ﺡ‬
                          ‫ا‬                     ‫.‬         ‫ا‬        ‫اه‬            ‫ﺕ‬        ‫آ‬         ‫نوا ﻡن‬                        ‫ﺕ ّﺏ ﺡةا‬                        ‫ی ا‬
    ‫ﺏ ه‬                       ‫ا‬                 ‫،ی‬         ‫آ‬                ‫ره ه‬                ‫ا ﻡ وﺡ‬                                ‫را‬                  ‫ﻡن‬                ‫ه ان ا‬
                          ‫رها‬                   ‫ی ،وﺱدا‬                 ‫إ‬        ‫ره ﺱ‬           ‫ﺏ م إﻡ ن ﺕ‬                        ‫آ‬            ‫آنی‬            ‫.ﺡ‬            ‫ﺏ‬
    ‫آ‬                  ‫ً‬
                      ‫یاﺕ‬                 ‫ً‬          ‫ا‬    ‫ّﺹ‬                    ‫وس و ﺏ‬          ‫و‬                    ‫ﺕ‬       ‫ا ل ﺏن‬                   ‫ی‬             ‫راﺕ ،‬         ‫ﺕ‬
                                                                                 ‫.‬       ‫ه اا‬           ‫ی‬                ‫ی‬        ‫أ‬        ‫،ﻡ ﺙ و‬                 ‫رات آ‬           ‫ﺕ‬


    ‫اه‬                    ‫م ی ﻡً‬                    ‫د، ﺏ و إن ی‬                 ‫ُ‬
                                                                                ‫آنﻡ‬           ‫تﻡ‬            ‫وع ا ی‬                    ‫عﻡ‬        ‫أي‬                 ‫د ﺕ‬            ‫ﺏ‬
‫ن و ا ﻡن‬                          ‫ا‬                      ‫ه،ا‬                ‫یت‬            ‫أ ى‬           ‫تﺕ‬                       ‫ا ﻡ‬                  ‫]1[.‬           ‫ا ا‬          ‫ا‬
‫فو‬                    ‫ا‬                   ‫ی ﺕ‬                  ‫ا ﻡ ﺏ‬                 ‫تا‬         ‫ﺱ.‬               ‫ا‬           ‫ی‬         ‫ی ء، و ا‬           ‫ا‬             ‫ﺕ‬       ‫وا‬
‫ت‬                ‫ا ی‬                  ‫ه‬              ‫ا ﻡ ﺏ ه أ زات‬                            ‫ی ا‬                        ‫. أﺱ‬              ‫ا‬    ‫وف ﻡ ا ر ا‬                        ‫ا‬
             ‫ا‬            ‫ر ا ی‬                      ‫،‬         ‫حا ی‬              ‫روا‬            ‫ی وﺡ با‬                                ‫وا‬                 ‫ﺱ ا‬           ‫وه ا‬
                                          ‫!‬         ‫و زﻡ‬            ‫ی ﺕ ﺥ ﺵ ً ﺕ وز ﻡ‬                         ‫ه ا‬                       ‫ا ﻡ‬                ‫دة وراء ا‬               ‫ا‬


‫ﺡ ل‬                       ‫.و د‬                  ‫وﻡ ه‬                    ‫ﺱ ا‬          ‫ا‬        ‫ا ﻡ ﺏ ا‬
                                                                                              ‫ً‬                                  ‫ی ا‬                          ‫فا‬                ‫ﻡ ا‬
         ‫ی‬                            ‫ّه‬            ‫ﻡ‬         ‫ا ﻡ.‬               ‫ا‬         ‫بﻡ ه و‬                        ‫ﺱ‬             ‫ا ر‬           ‫ُ‬
                                                                                                                                                     ‫ی‬               ‫ﺱ ا‬          ‫ا‬
    ‫ذج ﺏ اﻡ – آ ی‬                                              ‫ﻡ‬        ‫ی،و‬               ‫ﺱ ا‬       ‫ا‬                        ‫ا هن‬               ‫ی‬                    ‫ﺱ ا‬          ‫ا‬
‫ف‬                ‫ا‬            ‫،و‬                    ‫ف‬          ‫لا‬           ‫ذج ﺕ ی ً ﻡ ی ا‬
                                                                            ‫ً‬                                ‫هاا‬                 ‫(‬             ‫ل )ا‬           ‫یﺥ ا‬              ‫وآ‬
‫وﺱ ن‬                      ‫أ ّﻡ ﺙ ث ﻡ‬                               ‫ع زوای ا اﺥ‬                ‫ع ﻡ‬            ‫أ‬               ‫ع ﻡ ت )رﺏ‬                        ‫أ‬         ‫رﺏ‬
‫ل و إﺕ ع ا ﻡ و ﺕ س‬                                            ‫شا‬            ‫آ‬         ‫ی ا‬           ‫ی،‬               ‫ا‬           ‫حا‬                   ‫ا ر‬               ‫در ( ﺕ‬
                                                                                                                                                                  ‫ء و ...‬         ‫ا‬




‫.‪1- Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Second edition, Marvin Jay Greenberg, W. H‬‬
‫.9791 , .‪Freeman & Co‬‬
‫5‬                                                                                                ‫لا ج‬                                                                                                ‫ا‬                ‫ا‬


‫و‬                 ‫وا ی‬                        ‫وا‬               ‫ا ری‬                  ‫ا‬           ‫ا ﻡ،آ‬                                           ‫ا‬            ‫أه ﻡ ا‬                 ‫بﺏ‬                      ‫هاا‬                    ‫ی‬
    ‫ا ﺹ‬                            ‫وا‬                  ‫ﺱ ا‬           ‫نﺙ ا‬                    ‫ءوا ﻡنوا‬                                                              ‫ما‬                ‫ی أﺏ‬                     ‫ﺡ‬               ‫ی‬     ‫ا‬
    ‫ی ه ﻡ ه و رواﺏ‬                                         ‫ه ا‬                       ‫نﺏ‬                  ‫ی‬               ‫ا‬                       ‫ه ا ی‬              ‫ا ﻡ.ا‬                                 ‫ی ا‬                     ‫ﺙ ا‬
‫حو‬               ‫در ﺕ‬               ‫ﺏ‬          ‫ا واﺏ و أﺱ‬                                        ‫ا ﺏ‬                         ‫ا‬                                    ‫آ ا‬                ‫ﺱ‬                        ‫وﻡ‬                    ‫ﻡ‬
         ‫در و آ‬                     ‫رواﺏ ه ا‬                       ‫وف‬            ‫ﺏ ﺡ ا‬                                   ‫،و ّ‬                            ‫و‬          ‫رة ﻡ‬                 ‫ی ﺏ‬                  ‫ه ا‬                   ‫ﺕ‬
    ‫رو ﺥ ،وآ ﺏ‬                                ‫ﻡ‬        ‫ﺏ‬                ‫ری ﺕ‬                     ‫د تا‬                            ‫ا‬                            ‫ی‬     ‫ﺕ ﺡ آ ﺏ ه ا واﺏ ،‬
             ‫ت‬         ‫ﺕ‬                ‫ع.‬              ‫ا‬           ‫س و رﺏ ﺱ ء‬                                           ‫ا‬           ‫ی دي ا‬                       ‫قﻡ‬            ‫د ت و ا واﺏ ﺏ‬                                       ‫ا‬
‫،‬                              ‫در ا‬           ‫ا‬         ‫أآ‬              ‫ا واﺏ .‬                  ‫ه‬                                                   ‫ﻡ‬            ‫وف ا‬               ‫و ا‬                  ‫ا واﺏ‬                   ‫ﺕ ﺡ‬
‫أ‬            ‫ا رئ ا‬                      ‫وهای‬                       ‫ی ﻡ ﺏ‬                        ‫و‬           ‫ﺏ‬               ‫ا ﻡ ﻡ‬                                ‫ﻡ د تا‬                                          ‫وف‬                ‫ا‬
                   ‫أوا‬              ‫بﺏ يوآ‬                         ‫هاا‬                                   ‫ع،‬                              ‫ا‬                   ‫د ت و رﺏ ی ك ﻡ‬                                   ‫ه ا‬                   ‫ی‬
‫ع‬                ‫دواﻡ ا‬                  ‫ﺏ د‬                   ‫د ت و ا واﺏ و ذ‬                                           ‫أر ا‬                                ‫ا ﻡ ،آ‬                          ‫ا‬                ‫ﻡ‬               ‫ﻡ أ‬
    ‫ه‬                      ‫ا‬        ‫ا ﻡ‬                             ‫ﻡ‬                    ‫.ه ك‬                    ‫ﺙ‬                ‫وری آ‬                           ‫د ا‬           ‫د تا ﺏ ،وا‬
‫د‬            ‫بﺏ‬                ‫ا‬         ‫ﺥ‬         ‫ﺏ ،آ‬                     ‫ﺕ‬    ‫ا‬               ‫ا‬           ‫ا‬                                               ‫ا ﻡ،ﺕ‬                       ‫ا‬                   ‫ﺏ ﺏ ﺕ ری‬
                                                                                                                                                     ‫ا ﻡ.‬                   ‫ﺡتا‬                          ‫أه أﺹ‬


        ‫ا ﻡ ﺡ‬                           ‫ی ا‬                    ‫أه‬                    ‫ی‬               ‫ا‬                   ‫ا ﺹ ﻡ‬                                    ‫ی ا‬                ‫ﺏ‬               ‫ا‬                ‫ا‬           ‫ﺕ و‬
        ‫أﻡ‬                 ‫ا ﺹ وﻡ أ‬                                 ‫ی ا‬                      ‫ﺕ ﺹ‬                                 ‫ﻡ دﺥ‬                        ‫،‬                   ‫ﻡ‬                       ‫ً‬
                                                                                                                                                                                                         ‫ﺡ ا‬                      ‫أﺹ‬
    ‫ی‬            ‫ّه ا‬               ‫ﻡ ﻡ‬                    ‫ا‬                     ‫ا‬                       ‫. أﺥ ت أآ‬                                           ‫و‬      ‫ﻡ ه‬                          ‫ﺏ‬            ‫و أآ‬
                       ‫ا ﺹ ﻡ‬                            ‫ی وﺏ ﺥ ّا‬                                    ‫ه ا‬                             ‫ً ﺕ وز أﺏ ده ا ﺥ ى، و أﺹ‬                                                                     ‫ً‬
                                                                                                                                                                                                                                  ‫ﺏ ا‬
             ‫ی و أآ‬                 ‫ه ا‬                                 ‫ا‬                    ‫أﺥ ت‬                            ‫،‬               ‫ی‬           ‫و‬          ‫ی ری‬                                 ‫ﻡ ﻡ ه‬                     ‫أآ‬
                                                                        ‫ا ﻡ.‬                         ‫با‬                      ‫ا ذه ن ﺱ‬                                   ‫،‬            ‫ا ی‬                     ‫ﻡ ه‬                    ‫ﺏ‬


             ‫ا‬         ‫ی ،‬               ‫أ‬              ‫ه‬                   ‫؟ﺏ‬           ‫ی أم آ‬                      ‫أ‬                           ‫به‬               ‫أن ی ل ا رئ ه ه ا ا‬                                               ‫ی‬
‫ی.‬               ‫ﺱ إ‬               ‫ﺕ ،وا‬                                ‫،وا‬                  ‫آ‬                       ‫ی ه‬                             ‫ره ا‬                       ‫زﻡ‬                                ‫ا‬                 ‫ا‬
                 ‫إذن‬                ‫ﺱ،‬         ‫ا‬               ‫س‬                         ‫ا‬               ‫یء و‬                        ‫ا‬                   ‫ﺕ‬                  ‫ا‬                             ‫ا‬
    ‫ا ﻡ‬                        ‫ا‬        ‫ض‬          ‫ا‬           ‫ی‬        ‫ی .‬              ‫أ‬                       ‫س، ه‬                        ‫إ‬                    ‫ﺕ و‬                                    ‫و‬                ‫آ‬
‫6‬                                                                                       ‫لا ج‬                                                                     ‫ا‬             ‫ا‬


                    ‫ا رﺕ ز‬                     ‫ن‬               ‫نی‬         ‫ن، و ﺏ أن ا ﻡ ن و ا‬                                   ‫ما ﻡنوا‬                  ‫ﻡ‬               ‫ص‬             ‫دون ا‬
        ‫ن(،‬                 ‫ا ﻡ ، )آ ﺱ ﺡ‬                                 ‫ا‬      ‫ا‬                   ‫ﻡ‬       ‫ی ﻡ ی ﺱ‬                       ‫ﻡ أو‬                               ‫،و ّ‬            ‫آ‬
‫یت‬              ‫ا‬             ‫ء ﺏ‬             ‫ء ها ا‬                ‫ن، و ّ أ‬                ‫ا ﻡن و ا‬                                ‫یت آ‬                                 ‫ء‬         ‫ا‬         ‫أ‬
‫ظ‬                       ‫ن )ﻡ ﺕ ه ( و ذ‬                             ‫ﻡن و ا‬           ‫دي‬                  ‫ما‬                  ‫أدﺥ ﺏ‬         ‫ت ﺏن‬               ‫ﺕ‬               ‫ا ﺥ ى. و‬
                            ‫ﺏَ ﻡ ا ا .‬                     ‫ی‬              ‫لوا‬           ‫ا‬               ‫،‬                        ‫ا ﻡ آ‬               ‫ا‬               ‫روح و ﺡ‬


        ‫ﻡ ه‬                 ‫ّه و ﺏ‬                         ‫ی وا ی ﺱه‬                        ‫ه أ‬                 ‫ا ﻡ ﻡ ﻡ‬                        ‫ی ا‬                   ‫به‬                ‫هاا‬
    ‫ﻡ‬           ‫ی ﻡ ن. و‬              ‫، ری ن، ﺵ ارﺕ ﺵ ،‬                                             ‫ﺕ‬       ‫وس،‬                 ‫ﻡخ ،‬           ‫،أر‬               ‫ﺕ ،آ‬                  ‫أﻡ ل‬
‫ا ﻡ، و‬                            ‫رﻡ ه ا‬                   ‫ّوﺕ‬                      ‫ً‬
                                                                               ‫دورا ه ﻡً‬                        ‫أ ر ری ن ا ی‬                             ‫أ ل: ّ‬                        ‫ا ری‬
                                              ‫ﺏ ا ری .‬                   ‫ا ﻡ آ‬                      ‫ی ا‬                     ‫ﻡ‬    ‫أو أد‬     ‫ي ری ن ّ ب ﺱ‬                                      ‫ﺏ‬


                    ‫ا‬                 ‫ا‬                    ‫،و ّ‬                 ‫و‬                   ‫ة ری‬                    ‫ا ﻡ‬           ‫ی ا‬                ‫ب‬               ‫هاا‬             ‫ی‬
‫.‬           ‫ا‬                 ‫ﺕ و‬                  ‫ی ﺏ ی‬           ‫ﺙ يا‬                 ‫،وذ‬                             ‫وﻡ‬        ‫،وا‬           ‫ا‬          ‫ي‬
                                                                                                                                                      ‫ا ر ّ، و ا‬                             ‫ﻡ‬
‫و إن‬             ‫ﺵ ًإ‬                 ‫أ‬                   ‫ُ‬
                                                   ‫ﺏ ﻡ ﻡ ّ ی ،و‬                                 ‫ﺕ‬       ‫یت ا‬                    ‫ی وا‬           ‫ه ا‬                   ‫بی‬            ‫وهاا‬
                                                                                                            ‫.‬               ‫ت‬            ‫ات و ا‬          ‫ا‬                   ‫ی ﺏ‬             ‫آ‬


    ‫ا رﺕ ز ه‬                        ‫رﺥ س‬                             ‫أ‬       ‫ا رض" .‬                                    ‫أرﺕ ز‬                        ‫ی ل أرﺥ س " أ‬
    ‫ﺏ أرﺥ س ا رض ه أآ وز ً )أو آ ( ﻡ‬                                                                    ‫ﺱ‬               ‫ا‬        ‫ر ا رض؟ أن ا‬                                ‫ﺱ ر‬
‫. إذن‬                   ‫ه ا‬                   ‫در‬           ‫ه‬        ‫ا رﺕ ز ه ، و‬                                ‫ء أرﺥ س‬                    ‫أ‬         ‫ی‬               ‫!‬             ‫ا رض‬
        ‫،‬                    ‫أ لﻡ ا‬                    ‫آ ،‬           ‫اه‬        ‫نو‬               ‫ا‬           ‫ﺕ‬               ‫ا رة‬               ‫حﻡ‬                ‫ی أو‬                        ‫و‬
                                                                                                                            ‫.‬      ‫أرﺕ ز أرﺥ س و‬                                   ‫أ لآ‬


                ‫و‬             ‫درﺱً‬                 ‫ﺕ‬       ‫،و‬                   ‫ﻡ لﺕ‬                            ‫ه‬           ‫و‬              ‫ا ﻡ ه ﺕ‬                                 ‫ا‬
‫ً‬
‫ﺡ ا‬                     ‫ا‬     ‫ه ا‬              ‫ﻡ‬           ‫ی.‬        ‫إ‬       ‫ﺱ ا‬            ‫ا‬               ‫ر، و‬                  ‫ﺡ با‬                   ‫ا ﺹ ،و‬                              ‫ا‬
                            ‫ﺕ ا‬           ‫ا‬            ‫ا‬       ‫ﺕ‬         ‫هاا‬            ‫ي، و ی‬                          ‫ی ًﻡ‬        ‫و ً‬                  ‫يوأ‬                        ‫ً‬
                                                                                                                                                                                   ‫آ اﻡ‬
    ‫ي وﺡ‬                          ‫ﻡ‬                        ‫ا‬        ‫ﺹ ً‬             ‫آ‬           ‫م، ﺡ‬                ‫ا‬                      ‫ﺏ أﺏ‬                          ‫ﺡی‬        ‫ا‬         ‫ﺏ‬
‫7‬                                                            ‫لا ج‬                                                          ‫ا‬                ‫ا‬


        ‫ﺏ ضو‬                     ‫ءی‬       ‫ﺏ‬     ‫م،ﺏ ﺏ‬             ‫ا‬         ‫م‬          ‫ا‬               ‫ا ﺏ ا ، رأی‬                 ‫دراﺱ‬         ‫أ‬
    ‫و ه أﻡ ﻡ‬               ‫أ وا‬       ‫نا يآ‬             ‫ا‬         ‫ء ... و‬              ‫ا‬           ‫و أی‬          ‫را ، و آ‬               ‫ﺏ‬       ‫ا‬
‫ﺏ ون‬             ‫،وأ‬       ‫ﺏ‬              ‫)و أ أﺵ‬             ‫هاا‬               ‫ﺱ ت‬            ‫:‬       ‫وﺱ‬              ‫ا‬       ‫رأﺱ إ‬            ‫ر‬
    ‫ه ا ؤی و أﺡ اﺙ‬              ‫ا ن! ، ﺏ‬           ‫نا يأ‬               ‫ا‬           ‫م‬       ‫ا‬                ‫ﺏ‬          ‫( أی ﺱ ﺹ ؟‬               ‫ﺕ‬
‫ون‬          ‫وا‬         ‫ﻡ ی رب ا‬               ‫ا نو ّﻡّ‬                ‫و ذاآ ﺕ و أ أآ‬                   ‫و ذه‬            ‫يوو‬              ‫ﺕ رق‬
    ‫ﻡ‬        ‫و‬         ‫عوا‬          ‫ي ه ا ؤی ﺡ ّ ا ﺱ‬                           ‫م أﻡ ﻡ ا ن. أﺙ رت‬                       ‫ا‬             ‫ﻡً و آ‬
    ‫،وﺡ‬                ‫ا‬         ‫عﻡ‬           ‫تﻡ‬            ‫ا ی‬            ‫ار أن ﺕ‬         ‫ا‬           ‫ﺵ‬        ‫ً، ﺡ‬           ‫ه‬            ‫ﺕ‬   ‫ﺡ‬
‫ت،‬           ‫ا‬         ‫ه و دﺏ‬                   ‫، و ﻡ أده‬                  ‫ی‬                       ‫ا ﻡ و ﺕ‬                     ‫ا‬                ‫ﺕ‬
‫ع‬       ‫ا‬         ‫، أي ی‬       ‫ﻡ ارات ﻡ‬             ‫ﺏ‬                 ‫ما‬        ‫أو ا‬               ‫ا‬       ‫یّ ا ﺵ‬                  ‫ﺕ ﺱ أو إ‬
                           ‫ا ؤی .‬     ‫ﺕ‬        ‫ﺏ ﺏ ﺕ‬              ‫به‬           ‫ﻡ .وه اا‬                     ‫أ‬      ‫ا‬           ‫ا‬    ‫إ‬           ‫ا‬

            ‫لا ج‬
            ‫7002‬
‫8‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
‫9‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
‫01‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
‫11‬                                                                                   ‫لا ج‬                                                                          ‫ا‬               ‫ا‬


                                                                                                                                                                          ‫ءا‬                ‫ا‬
‫ء‬          ‫ا ﺹ )5091(‬                               ‫ا‬               ‫،ﺕ‬                ‫ءا‬            ‫ةا‬                        ‫یء ه ر‬                         ‫ا‬                     ‫ا‬        ‫ﻡ‬
                                               ‫.‬            ‫ﺕ ا‬              ‫ء‬          ‫ا ﻡ )5191(‬                                    ‫ا‬                    ‫،وﺕ‬             ‫نا‬               ‫ﻡ‬


    ‫ا ذﺏ‬              ‫ﺕ‬           ‫ی‬         ‫أﺹ ح‬                ‫ﺡو‬               ‫ا‬              ‫ا‬                                                     ‫ا ﻡ ه‬                    ‫را‬
           ‫ی ا‬        ‫أ‬           ‫ر‬         ‫ا ﺹ.آ‬                            ‫ا‬        ‫ﻡ ا‬                ‫ی‬               ‫ﺏ‬           ‫ا ﺹ ( و إدﺥ‬                                        ‫)ﺕ ﺏ‬
                                                                                                                     ‫ی ء.‬            ‫ﻡ ا‬                         ‫ءا‬        ‫ﺡ فا‬


      ‫ﻡ‬                               ‫ی ﻡ‬           ‫ه ا‬             ‫ا ﺹ ، إن آ‬                               ‫ا‬               ‫ة‬            ‫ﻡ‬                ‫ی ﺙ‬           ‫ﺏ ء‬            ‫ی‬
‫ات‬        ‫ﺥ‬          ‫ی أن ی‬             ‫أ‬           ‫،وهاﻡ أ‬                             ‫ا‬       ‫ا ﺹ ﺕ أﺏ ضو دﻡ ا‬                                                                   ‫، نا‬
                                                                                                                                              ‫ا ﺹ.‬                         ‫أوﺱ ﻡ ا‬


    ‫ا آ‬          ‫ا ﻡ؟ی‬                       ‫ﻡﺥ ا‬                    ‫رات‬                ‫ﻡ ه ا‬                        ‫ی ،‬              ‫أ رأ‬                        ‫ﻡخ‬                   ‫أﺙ ت‬
‫ذات‬           ‫ل ﺏ‬             ‫ا‬        ‫أ ا‬         ‫ها ا‬              ‫ی‬                  ‫، آ‬          ‫آ ﺱ‬                         ‫ﺕ‬        ‫ور آ‬                   ‫ﺏ ن ﻡ أ ﻡ خ ذو‬
           ‫،وذ‬            ‫ی‬       ‫ر‬          ‫أي أ‬                   ‫ﻡ أ‬              ‫ﻡ أ ﻡخ ﺏ‬                ‫ا‬               ‫ُ‬
                                                                                                                             ‫ء. أﺡ ً ی‬                       ‫ا‬                 ‫ﻡ رأﺡ‬
      ‫ی‬       ‫أ. و ﻡ ه ا‬                ‫ﺏ هاا‬               ‫ﺕ‬            ‫ی‬           ‫ﺏ ، إذن‬                     ‫ن آّ‬                ‫عا‬               ‫إﺥ‬          ‫و ی‬                  ‫ﻡ أآ‬
‫أ أﻡ م‬        ‫ﻡ هاا‬                            ‫،‬            ‫ام ا‬             ‫أو ا‬               ‫ءا‬               ‫ا‬                   ‫ه ﻡ‬                          ‫أن ا‬             ‫ا د ء‬
    ‫ﻡ :‬          ‫ﺕ‬            ‫تا‬         ‫ا‬              ‫ﺏ‬   ‫ی يا‬                            ‫آ‬            ‫ا‬                   ‫.‬        ‫ی‬               ‫، وإﻡ‬               ‫إﻡ‬           ‫ﺥ ری‬


‫( ﺡ ود 052‬                        ‫با‬         ‫)ﻡ آ ا وران‬                         ‫ﺕ ور، و ﻡ ة دورا‬                                             ‫ﻡ‬             ‫ﺕ ، ه أﺵ ﺏ‬                      ‫ﻡ‬
‫ﺡ ود 02‬              ‫ةﺏ‬           ‫ﻡ آ ا‬                         ‫ا‬                       ‫آ ا ورا‬                      ‫ا‬                    ‫ﺕ ﺕ‬               ‫إن ﻡ‬          ‫ﻡ نﺱ .‬
                 ‫ض‬                    ‫ﻡ ﺥ لﻡ‬                        ‫ﺕ ،‬                     ‫آ ا ورا‬                      ‫ه ا‬                      ‫ﻡخ‬               ‫أ‬      ‫ﻡ نﺱ .‬
     ‫ﻡ ا‬             ‫یءﺏﺱ ه‬                  ‫م إﺱ د ا‬                                ‫ﻡ أﻡخ ی‬                                  ‫ءا‬                  ‫ا‬          ‫ة.‬          ‫ﺥ رج ه ا‬
                                                                                                                                                                               ‫.‬            ‫ا‬
‫21‬                                                                              ‫لا ج‬                                                                          ‫ا‬                   ‫ا‬


        ‫ء دور ﻡ‬                         ‫و د .‬             ‫ا‬       ‫ی ء، و‬             ‫ا‬            ‫ء دور‬                     ‫ا‬            ‫ًی‬        ‫ﻡ أ ﻡ خ، ﺕ‬                         ‫ً‬
                                                                                                                                                                                      ‫إﺱ دا‬
‫ء – ا ﻡن آّ‬                            ‫هاا‬       ‫ا ﺏ د. ی‬                   ‫ء – زﻡ ن رﺏ‬                                         ‫ا ﻡ ، ه ا ا وره ﺏ‬                                       ‫ا‬
         ‫ء – ا ﻡ ن؟ ﺕ‬                   ‫ا دة ا‬           ‫ُ‬
                                                         ‫ال ه ه ﺕ‬                    ‫.ا‬                ‫و‬               ‫ﺙ‬                ‫أي ﺡ آ ﺕ‬              ‫آ ،ی‬                    ‫أ اع ا‬
                ‫ء – زﻡ ن ی ﺙ‬                 ‫ی ﺙ ،وا‬              ‫ی ﺙ و‬                       ‫ءا‬           ‫ب أن ا‬                        ‫ﻡ أ ﻡخ ﺏﺡ‬                        ‫ً‬                  ‫ا‬
    ‫ا ﻡ‬                 ‫ا‬         ‫ء. ﺡ‬         ‫ءا‬             ‫إ‬    ‫ﻡ ﺥ لﺕ‬                                              ‫ﻡ ل أو ﺡ ، و ﺕ ﺙ ا‬                                         ‫ﺏ‬          ‫ا‬
‫ً‬                     ‫،وآ‬               ‫ی ﺏ ﻡ‬             ‫أ‬        ‫أآ‬           ‫ء ﺏآ‬               ‫ﺡفا‬                              ‫ً‬                          ‫ً‬
                                                                                                                                                  ‫ءا ﻡ ﺏ ﻡ ﻡ خ، و‬
‫،وا ى‬                        ‫أزر ا‬            ‫ى ﻡ دی ﺕ‬                          ‫ر ﻡ خ،‬                 ‫آ ﺕ‬                          ‫، ىﺙ‬                      ‫ا ىا‬
                                                                                                               ‫ء.‬                   ‫ا‬         ‫ﺕ‬     ‫ا‬             ‫ا‬                          ‫ا‬


                                                                                                                                    ‫ه :‬                 ‫ﺕ ا‬           ‫ء‬                     ‫أﺵ‬
        ‫آ‬             ‫وأﺵ ﺏ‬                      ‫ﺕ‬                          ‫و د ، وه‬                           ‫و‬                         ‫ء‬          ‫ءه‬                ‫- هاا‬
                                                          ‫ﻡ اراﺕ .‬                       ‫اآ‬       ‫كا‬               ‫ﺕ‬        ‫ه ا‬                         ‫ل أن ا‬                ‫ﺡ‬
    ‫.‬            ‫ﺕ ا‬         ‫ء‬                       ‫ی‬             ‫ا‬        ‫ا‬        ‫ی ﻡ ا‬                             ‫ﻡ‬        ‫ی ﻡ ﺏ‬                   ‫و د ي‬                          ‫-‬
                ‫ه ا‬         ‫ی رض ﻡ ا‬                      ‫ی ﺙ ه ﺏي‬                            ‫لو‬               ‫ا‬                         ‫رﺵ ﺕ ثﻡ‬                               ‫- ﺕ‬
                                                                                                                                                         ‫ن.‬           ‫ا‬


‫رب‬               ‫ﺕی ا‬        ‫.‬          ‫ی ا‬                       ‫ه ﻡ أه ا اه‬                                      ‫ی‬            ‫ا‬         ‫و وﺡ ة ا ا‬                  ‫م ﺕی ا ﺙ‬
            ‫ی‬     ‫،‬         ‫ةا ﺙ .آ‬            ‫ّ‬
                                               ‫و رد‬                ‫ء، أي‬                 ‫ا‬                     ‫وﺕ‬                            ‫ا ﻡ اج ا‬                 ‫و د ﻡ دة ﺕ‬
        ‫ا‬                        ‫ﻡ‬                        ‫وﻡ‬            ‫ا‬        ‫ا‬            ‫،‬            ‫ﺏ‬                              ‫وع ﻡ‬                ‫یء ا‬                ‫ا‬          ‫ﺕ‬
                                 ‫دة.‬                     ‫وﻡ‬       ‫ﻡ ا ءا‬                           ‫ﻡ‬                        ‫ه‬                     ‫ﺏ ﻡ‬         ‫،وآّﺕ‬                          ‫ا‬


    ‫ن، و ﻡ و ﺕ‬                     ‫ﺏ ی ا ﻡ ن و ﺡ ود ا‬                           ‫ن ﺏ ﻡ ﺏ هن‬                                      ‫ﺡ لا ﻡنوا‬                                      ‫ا أﺏ‬
            ‫نوه :‬                ‫ﺡ ل ﺏ ی ا ﻡ ن و ﺡ ود ا‬                          ‫ﺏ اه‬              ‫آ‬                       ‫إﻡ‬           ‫ﺏ اه‬       ‫ﻡ ﺏ‬                    ‫اا‬          ‫ﻡ ﺱً‬
‫31‬                                                                                               ‫لا ج‬                                                                            ‫ا‬                  ‫ا‬


‫آن‬                  ‫ا ﻡ ،وإ‬                     ‫ﺏ ی‬                           ‫أن‬                      ‫: إذا‬                   ‫ا‬                    ‫ﺏ‬              ‫أن‬                              ‫ا هنا‬
                ‫ا‬                ‫ّ أآ‬                        ‫ا‬                                    ‫ات زﻡ‬                   ‫، ی م أن ﺕ ن‬                                                ‫ً‬
                                                                                                                                                                                 ‫دا ﻡ زﻡ‬                      ‫ﻡ‬
‫أن‬                        ‫. إذن ﻡ ا‬                                      ‫ﺱ‬              ‫أن ﺕ‬                          ‫ﻡ ا‬                          ‫ﺱﺏ .‬                  ‫أي‬                  ‫ة أو‬              ‫ا‬
                                                            ‫ا ﻡ .‬                 ‫ﺏ ی‬                 ‫. إذن ﺏ إن آ‬                                              ‫زﻡ‬               ‫ّو‬                     ‫ی نا‬


            ‫ن‬         ‫ا‬          ‫ﺡ ود‬                               ‫أن‬                          ‫ن: إذا‬        ‫ا‬                   ‫ود‬                            ‫أن ا‬                             ‫ا هن ا‬
                     ‫ا ﻡ ا‬                  ‫ﻡ ودة.‬                       ‫اء ﻡ‬           ‫أ‬             ‫ور‬                                               ‫زﻡ‬                            ‫أﺱ‬           ‫ضأ‬
‫ا ول‬                           ‫أن ی ن‬                       ‫ﻡ دة ی‬                                        ‫أ‬               ‫ا‬           ‫ا ﻡ‬                        ‫- ن ا‬                       ‫-آ‬               ‫ﻡ‬
                                                                                         ‫ً‬
                                                                                        ‫ن ﻡ ودا.‬                      ‫ا‬                    ‫أن ی ن ا‬                                 ‫ً‬
                                                                                                                                                                        ‫ﻡ ودا أی ً، إذن ی‬


‫ا يی م‬                               ‫ا‬              ‫ا‬        ‫ﺹ‬           ‫ران‬                ‫أ ران ﻡ‬                       ‫آ‬                        ‫ن آ أﺵ ر إی‬                       ‫أن ا ﻡ ن و ا‬
‫نﺥ ة‬                          ‫ﺱ وﻡ‬                      ‫ته ا‬                  ‫ﻡ‬             ‫ﺕ ﺕ‬          ‫ﺱ ی و ً‬                                        ‫ن‬            ‫، ﺵ ًن‬                         ‫ا‬          ‫ﺏ‬
‫ن‬               ‫ن أو ﺵ‬                   ‫ن إذن ﺹ رﺕ ن‬                             ‫ﻡن و ا‬                 ‫.‬            ‫ا ر‬                  ‫ﺏ‬           ‫، أو ﺕ‬          ‫ا ر‬                        ‫نﺏ‬           ‫ا‬
    ‫ﺏ‬           ‫ﺕ‬        ‫،وا ﻡنه ﺵ‬                               ‫ﺏ ا ر‬                  ‫ﺕ‬         ‫نه ﺵ‬                        ‫ا‬                ‫ا‬            ‫ا‬          ‫نﺡ‬                ‫.وذ‬
            ‫ا‬                 ‫وط ا اﺥ‬                   ‫ا‬                 ‫ی‬             ‫ی‬         ‫ا‬                               ‫ّ‬        ‫آ ﺕ‬                   ‫ا ر‬                 ‫ا‬            ‫ا اﺥ .‬
                                                                                                                                                                             ‫ر ]2[.‬                     ‫ا يی‬


        ‫ا‬                 ‫ا‬              ‫أو ا‬                ‫نا ﺹ ا‬                     ‫ر)‪ ،(S. Alexander‬أن ا ﻡ ن و ا‬                                                            ‫ا‬                ‫ی ىﺹ‬
‫ا ﻡن و‬                          ‫ق،‬              ‫دﺏ‬               ‫آ ا‬                        ‫ﺹ رت‬              ‫ه أﺹ‬                             ‫أو‬        ‫أو‬             ‫،ه‬                   ‫ا‬
‫ن أی ً‬                   ‫ی‬       ‫ه ،ﺏ أ‬                        ‫ً‬
                                                             ‫، و أﺥ ا ا‬                         ‫ة، ﺙ ا‬            ‫ا‬                   ‫ری أ‬              ‫أو ً ا دة، و ﺏ‬                              ‫نأ‬         ‫ا‬
                               ‫]2[.‬                 ‫ﻡ‬        ‫ره زﻡ‬                 ‫آ ا ﺵ ءﻡ ﻡ‬                                          ‫،‬                             ‫دات ﺏ أ‬                            ‫ﻡه ا‬


                     ‫ا ﻡ ن، إذن، أن ا ﻡ ن ی‬                                                                   ‫ن، أﻡ ا ﻡ ن‬                                   ‫ا‬          ‫دا ً‬              ‫ن آ‬                ‫أن ا‬
‫واة و‬                ‫ما‬                         ‫ا‬            ‫ن(‬      ‫)ا ﻡ ن و ا‬                          ‫ن.‬                   ‫ا‬                ‫ی‬       ‫أﺏ ،‬                  ‫و‬                    ‫یت‬          ‫ﻡ‬
                ‫أن ﺹ‬            ‫.ﺡ‬                  ‫نوﻡ م‬                     ‫ا‬             ‫ا‬
                                                                                            ‫ً‬         ‫، ﺏ آ ن ا ﻡ ن دا ً ﻡ‬                                               ‫أو ﻡ‬                ‫وی‬         ‫ﻡ‬
‫ﻡ ن‬                  ‫ی‬          ‫ًﻡ أ‬                              ‫ی ا‬              ‫ً ﻡ أآ ﺕ ا‬                                 ‫ن، و أآ‬                       ‫ی‬      ‫ان‬                ‫ر رأى أ‬                   ‫ا‬


                    ‫ب – 9991‬                    ‫ی ا ﻡ‬                ‫ا‬             ‫–ﻡ ﺏ ا‬                     ‫ا‬           ‫ی‬                ‫–ا آ ری‬                      ‫وا‬               ‫ا‬        ‫1- ا ﻡ ن‬
‫41‬                                                                                         ‫لا ج‬                                                                       ‫ا‬               ‫ا‬


 ‫آ‬                   ‫م زﻡ ً – ﻡ ً أو ً ﺕ‬                                         ‫ﺕ‬            ‫زﻡ ت ﻡ‬                                       ‫،ﺏ ﺙ‬               ‫أو زﻡ ن ﻡ‬                         ‫ﻡ‬
‫ﻡ زي‬                 ‫ﺹ ء، أو ﺏ‬                     ‫نآ‬                    ‫نا‬                           ‫،‬           ‫ﺵن ا ﻡن ﺏ ﺹ ﻡ أ ﺕ‬                                       ‫ا ﺵ ء، ﺙ ی‬
                                                                                                                   ‫]2[.‬                ‫نوا ﻡن‬                 ‫ا‬               ‫ن‬           ‫ی لا‬


                                                                                     ‫نوا ﻡنه :‬                             ‫ا‬               ‫ﺕ‬                      ‫تآ‬              ‫ا‬           ‫أه أ‬
     ‫– ه ﻡ أﺱ‬                            ‫ا‬      ‫ع إدراك ﺡ‬                            ‫–وه ﻡ‬                             ‫وا ﻡ ا‬                       ‫نا‬        ‫ﺕ ا‬                     ‫أن ﻡ ﺱ‬
 ‫ن ا اﺡ و ا ﻡ‬                            ‫اء ا‬      ‫ه أ‬                   ‫ا‬                 ‫و ا زﻡ ا‬                        ‫ا ﻡ‬             ‫وا ﻡ‬                       ‫تا‬                  ‫ا‬     ‫آ‬
               ‫(ه ﻡ‬                  ‫)آ‬         ‫وا ﻡ‬                         ‫تا‬                   ‫) ﺕ ( أو ا‬                           ‫وا ﻡ ا‬                         ‫نا‬              ‫ا اﺡ . ا‬
    ‫ف ا ﺱﺱ ﺏ‬                          ‫ی . أن ا‬                       ‫وس ا‬                                          ‫ی – ﺹ رﺕ‬                     ‫ا‬                ‫أ ر‬                  ‫–‬         ‫آ‬
      ‫ً‬
‫و دا ﺥ ر ً‬                                   ‫نوا ﻡ ا‬                         ‫ا ول‬                                 ‫قه أ ﺏ‬                   ‫هاا‬                    ‫ﺕ وآ‬                          ‫ﻡ‬
‫ا ات‬            ‫ران‬              ‫ﺕ‬           ‫وا ﻡ‬                        ‫تا‬               ‫ا‬           ‫آ‬                ‫،‬           ‫أي إدراك إ‬                     ‫ً‬        ‫ًﻡ‬                   ‫ﻡ‬
                                                    ‫ن و ﺡ ﺱ ]4[.‬                                  ‫ا‬                            ‫ﺏ اه‬                  ‫ً. ﺱ ب ﺱ‬                          ‫ً‬
                                                                                                                                                                                       ‫ﺹ ورا‬


      ‫ن ا اﺡ و ا ﻡ ا اﺡ‬                                     ‫ه ا‬                           ‫وا ﻡ ا‬                           ‫نا‬          ‫ﺕ ا‬               ‫ا ل أن ﻡ ﺱ‬                              ‫ی‬
‫أو ا اﺡ و‬                            ‫أو ا‬            ‫نا‬                  ‫ا‬                 ‫آ ةﻡ آ‬                          ‫ﻡ ا‬                      ‫ثآ‬            ‫. ﺏ وآ ن ی‬                    ‫آ‬
                                                                                                          ‫]4[.‬         ‫أو ا اﺡ ﺏ ﺕ‬                               ‫أو ا‬                  ‫ا ﻡ ا‬


     ‫ﺱ ﺏ‬             ‫)و ا‬                    ‫ا ی‬             ‫ا‬               ‫تی‬                       ‫نوا ﻡ أ‬                      ‫ا‬            ‫ﺕ‬        ‫ی‬            ‫ات‬              ‫أن أه ﻡ‬
 ‫ﺕ‬         ‫ی‬         ‫ت‬               ‫.‬             ‫ا ﺵ ءا‬                                                 ‫ﺱ ا‬          ‫ا‬           ‫ﺡ‬            ‫ت إﻡ ن ﺕ‬                          ‫ﺥ ص( آ‬
‫ن‬      ‫ا‬             ‫ﻡ ی‬             ‫.وذ‬                     ‫و‬                            ‫ﻡ‬           ‫ﺕ‬       ‫نا‬           ‫أن ا‬                ‫ﻡ ﺡ‬               ‫تا‬               ‫ا ی‬            ‫ی‬
‫ن‬      ‫ر أن ا‬            ‫أ‬           ‫سﻡ ﺡ‬                        ‫ا‬               ‫ا‬                ‫ﺱ‬           ‫ا‬        ‫ﺡ‬                ‫ی إﻡ ن ا‬                      ‫ت‬           ‫ﺱ .‬            ‫ا‬
               ‫ه :‬     ‫ﺕ‬             ‫نوا ﻡنا‬                         ‫ا‬                ‫ﺕ‬       ‫ا‬           ‫ي]4[. وﺥ ﺹ أ‬                          ‫(ﻡ نإ‬                 ‫ی‬       ‫)ا‬                 ‫ا‬


                             ‫.‬               ‫أي إدراك أ‬                      ‫ل‬        ‫آ ا ﺱ‬                        ‫ﻡ‬                   ‫ﻡ‬             ‫ﺕ‬                    ‫ا دي‬                 ‫-ا‬
‫ن‬      ‫نا‬             ‫،ذ‬                     ‫رﻡ‬         ‫ﺕ‬                             ‫و ده ا‬                                   ‫وا‬               ‫نوا ﻡ آ‬                       ‫را‬               ‫-ﺕ‬
                                     ‫ا ا‬           ‫دی‬            ‫ﻡ‬                   ‫دان و‬                ‫ﻡ‬        ‫نأ‬          ‫ی‬       ‫ﺕ‬        ‫ا‬            ‫ﺏ‬                    ‫وا ﻡ ا‬

           ‫ب – 9991‬                          ‫ی ا ﻡ‬               ‫ا‬            ‫–ﻡ ﺏ ا‬                          ‫ا‬    ‫ی‬               ‫–ا آ ری‬               ‫وا‬               ‫ا‬           ‫2- ا ﻡ ن‬
                                              ‫– 9791‬                 ‫ا‬               ‫رف – ا‬               ‫د زی ان – دار ا‬               ‫ی – دآ ر ﻡ‬                    ‫ا‬               ‫و‬       ‫4- آ‬
‫51‬                                                                      ‫لا ج‬                                                        ‫ا‬               ‫ا‬


  ‫ﺕ‬    ‫ا‬             ‫ﺏ‬         ‫نوا ﻡ ا‬                           ‫ا‬                  ‫ی إذا ﺡ‬           ‫ﻡ لا‬                  ‫ﺹ ﺏت‬                    ‫د‬        ‫-ﺕ‬
      ‫نوا ﻡ ﺥ ی‬                ‫ر ا‬           ‫. إذا ﺕ‬                            ‫ﺕ‬         ‫، و ه ﺕ ن ی ره‬                        ‫دوا‬                 ‫ا‬        ‫ﺹ‬
                         ‫، و ه ا ]4[.‬                ‫ﻡ‬               ‫ن، و أ‬           ‫ا‬             ‫د ﺥ‬         ‫رﻡ‬                      ‫ﺱ‬


                                                                                                                    ‫:‬           ‫آ‬           ‫ﺡ ت‬                ‫ا‬
‫ق، و أن‬      ‫ا‬           ‫یتﻡ‬             ‫ﻡ‬               ‫آ‬           ‫ی أرﺱ‬                 ‫ّ ﺕ و أآ‬             ‫ا‬           ‫أن‬              ‫آ‬               ‫آنی‬
      ‫أو أ‬       ‫ا‬         ‫أن أرﺱ أرﺱ‬                        ‫ﺱ‬                  ‫ضأ‬          ‫ﺱ ى‬           ‫ﻡ ﺏ‬                   ‫دات ا‬               ‫ﻡ‬
 ‫ی ﻡ‬                       ‫ض آ‬       ‫ی‬           ‫ی ت. ﺡ‬                     ‫ا‬       ‫ه ﺕ‬         ‫ع‬     ‫ﺕ‬     ‫ت‬                                       ‫ﺕ ی ت‬
      ‫ی .و ّ‬                ‫ﺕ ا‬          ‫ﺕ‬               ‫ذاﺕ ﺏ ر ﻡ ی‬                        ‫ی‬       ‫یت ا‬        ‫ا‬           ‫ی‬           ‫ﺕ‬           ‫یت‬
                     ‫ی ء]4[.‬     ‫ا‬           ‫ﺕ‬           ‫و‬              ‫ا‬            ‫أرﺱ‬        ‫ا‬         ‫ﺱ آ‬           ‫ا‬           ‫س‬       ‫إ‬           ‫ا‬      ‫آ‬




                            ‫– 9791‬               ‫ا‬           ‫رف – ا‬             ‫د زی ان – دار ا‬       ‫ی – دآ ر ﻡ‬                ‫ا‬               ‫و‬       ‫4- آ‬
‫61‬                                                                                ‫لا ج‬                                                                      ‫ا‬                 ‫ا‬


                                                                                                                                   ‫ن‬                                  ‫ما‬                   ‫ا‬
‫ّ و‬              ‫ﺥر‬           ‫تﺏ ﺹ‬                                ‫را‬              ‫ا ه (،‬                           ‫)ه أﺡ ﺥ‬                        ‫ا ر‬                     ‫ا‬           ‫ﺏ اﺱ‬
‫أن‬           ‫ی‬       ‫نا ﻡن‬                         ‫،آ‬        ‫أن ی ن ﺵ ً‬                         ‫ی‬        ‫ن‬        ‫ن. و آ أن ا‬                     ‫ا‬                                   ‫ﺏ ﺹ‬
                                                                                                                                                          ‫ی س ﺥ ر ً]3[.‬


‫ةو‬           ‫ه ﻡ‬              ‫ﻡ ﺡ‬                           ‫،وﺏ‬             ‫ﺏ‬                ‫ﺥ رج و ا‬                          ‫را ﺵ ءﺏ‬                    ‫أن أﺕ‬                   ‫ی‬       ‫ﺡ‬
‫ا ﺱس‬                  ‫ن‬       ‫را‬                  ‫أن ی ن ﺕ‬                  ‫أی ً، ی‬                 ‫ﻡ‬             ‫ﻡ ا‬                         ‫ه‬            ‫،ﺏ ﻡ ﺡ‬                         ‫ﺡ‬
‫، ﺏ إن‬               ‫ه ات ا ر‬                      ‫تا‬                  ‫ﺏ ﻡ‬             ‫ﺏ‬            ‫أن ی‬           ‫ی‬           ‫ن‬        ‫را‬            ‫ﺱ ً. و ﻡ ﺙ ّ ن ﺕ‬
                                                                  ‫ر]3[.‬            ‫ا‬        ‫ذ‬           ‫إ ﺏ اﺱ‬                     ‫ﻡ‬                            ‫ﺏ ا ر‬                      ‫ا‬


‫ر أن‬                 ‫أن‬       ‫ا‬               ‫ی‬    ‫و‬         ‫وس ا ر‬                ‫ا‬                    ‫أﺱ ﺱ ً‬             ‫ی‬            ‫وري‬               ‫ر‬           ‫نه ﺕ‬                 ‫ا‬
‫ی ّﺏ ﺏ ﺵ ط ﻡ ن‬                                         ‫ن.‬     ‫ا‬                 ‫ﻡ ا‬          ‫ﺙ‬               ‫أن‬            ‫أن‬               ‫أ ی‬           ‫ه كﻡ نر‬
‫ورة]3[.‬                   ‫ﺏ‬       ‫ه ات ا ر‬                        ‫أﺱ ﺱً‬            ‫ی‬                ‫ر‬        ‫،وه ﺕ‬                     ‫ﺕﺏ‬         ‫ﺏ ﺏ ﺕ‬               ‫ه ات،‬                ‫ا‬


    ‫أ‬   ‫.ذ‬                ‫ا ﺵ ءﺏ ﻡ ،ﺏ ه ﺡسﻡ‬                                                 ‫ﻡً‬          ‫ﻡً‬        ‫ً، أو آ ی ل أ‬                   ‫ﻡً ﺱ‬            ‫أ‬               ‫ن‬        ‫ا‬
‫ن‬       ‫اء ا‬         ‫إ أ‬              ‫ﺏ‬                               ‫ة أﻡ‬                              ‫ﻡ‬         ‫ر ﻡ ن واﺡ ، و‬                                  ‫ً‬
                                                                                                                                                              ‫ﺏ ءا أن‬                 ‫ی‬
        ‫ًآ‬                        ‫نا ﺡ ا يی‬                             ‫ا‬                  ‫أن ﺕ ن ﺱ ﺏ‬                          ‫ی‬       ‫اء‬         ‫.وه ا‬                       ‫ا اﺡ ﺏ‬
‫ع‬        ‫ا‬           ‫ﻡ ه یً واﺡ ، و ی‬                        ‫إ ﺏ.‬                ‫أن ﺕ‬               ‫ﻡ (، ﺏ ی‬                       ‫ﺕ آ‬        ‫ی‬            ‫)ا‬         ‫ﺹ‬                   ‫آ‬
‫ﻡ ﺙّ‬             ‫ذ‬                ‫.وی‬              ‫وﺡ‬             ‫ی‬         ‫ﺡ ود ﺡ‬               ‫ﺏ ﻡ ،ا‬                ‫ﻡ‬           ‫ما م‬               ‫ا‬         ‫،وﺏ‬                   ‫ا ي‬
‫دئ‬       ‫ا‬                ‫ن‬                       ‫.و‬        ‫أ ه‬                 ‫أﺱ س‬                        ‫أﻡ یً( ی‬                     ‫ﺏ )ا ي‬                   ‫سا‬                  ‫أن ا‬
 ‫ﻡ‬           ‫ﻡ أ ه‬                ‫ا‬                    ‫ﻡ‬           ‫"‬            ‫ﻡ ا‬         ‫ه أآ‬                   ‫ا‬                   ‫ع زاوی‬              ‫ﺱ ﻡ ل "ﻡ‬                        ‫ا‬
                                                                  ‫وري]3[.‬                           ‫ًوﺏ‬                    ‫س، و ذ‬            ‫،ﺏ ﻡ ا‬                           ‫و‬


‫ً‬
‫را‬      ‫مﺏ ﺹ ﺕ‬                        ‫ﺡًأ‬                   ‫أن‬         ‫. و ا ل، إ ی‬                               ‫ﻡ هًﻡ‬                 ‫رﺏ ﺹ آ ً‬                              ‫نی‬           ‫ا‬
        ‫ك(. و ن‬                           ‫ا‬        ‫ﺏ‬             ‫)ﻡ ﺡ‬                      ‫رات ا‬                  ‫ﻡ ه ﻡ ﺕ عا‬                               ‫آ ة‬                ‫ً‬           ‫ﻡ‬




                                                                                       ‫ﻡ ﺱ وه .‬                        ‫–ﺕ‬          ‫آ‬          ‫– ّ‬                     ‫ا‬           ‫ا‬       ‫3-‬
‫71‬                                                                                ‫لا ج‬                                                                      ‫ا‬                  ‫ا‬


             ‫و‬              ‫ن ه إذن ﺡ س‬                              ‫ر ا ﺹ‬                        ‫ﻡ ه ،‬                        ‫ا‬            ‫ﻡ ً‬             ‫ن ﺕ‬               ‫اء ا‬        ‫أ‬
                                                                                                                                                                          ‫ﻡً]3[.‬          ‫أ‬


‫ن‬            ‫را‬            ‫أن ی ن إذن ﺕ‬                 ‫ذا ی‬    ‫ً.‬        ‫ً، و ﻡ ذ ،‬                      ‫نﺕ‬               ‫ا‬                 ‫ﺥ‬         ‫ی‬                      ‫ﺱ ه‬         ‫ا‬
     ‫م‬           ‫دأ‬         ‫ﻡ ﻡ‬               ‫ن ﺡ ﺱً،‬           ‫أﺹ ً أن ی ن ا‬                         ‫ﺏ؟ی‬                      ‫ﻡ‬                  ‫ا‬     ‫ﺕ‬        ‫ﺕ نﻡ‬                    ‫ﺡ‬
     ‫ذ‬                ‫،‬         ‫ﺱ ﻡ ذ .‬                 ‫ا‬           ‫م، و ه أﻡ ﺡ ﺹ‬                                  ‫ا‬                   ‫ﺕ‬              ‫ّ أي‬                    ‫أن‬          ‫ی‬
     ‫ً أﻡ ی . ذ‬                     ‫أن ی ن ﺡ ﺱً ﻡ‬                    ‫ﺏ‬            ‫ع، و‬                ‫إدراك ا‬                          ‫ً، أي‬                    ‫س أن ی م‬                  ‫ا‬
‫ن ذو‬                 ‫ل "ا‬       ‫ا‬     ‫ﺱ‬          ‫ورﺕ ، و‬                          ‫ﺏ‬       ‫ﻡ ﺏ‬                 ‫،أ‬           ‫آ ،أ‬                       ‫ﺱ ی‬         ‫ی ا‬                  ‫أن ا‬
                                                                                                                                             ‫"]3[.‬              ‫أﺏ د ﺙ ﺙ و ﺡ‬


‫ﺱ ى‬                   ‫ن‬         ‫.ا‬       ‫ﺏ‬          ‫ﺕ‬                    ‫ه ا ﺵ ء‬              ‫ذاﺕ و‬                        ‫ﺵ ء‬                 ‫ﺥﺹ‬                         ‫ی‬        ‫ن‬      ‫ا‬
 ‫ةا ،إ ﻡ‬                            ‫نوا ﺵ ءا‬                ‫ا‬        ‫م‬        ‫إذن ا‬           ‫ی‬       ‫.‬            ‫اس ا ر‬                     ‫ه ات ا‬                               ‫ﺹ رة‬
‫ﺡ ﺱً ﺥ ر ً،‬                           ‫أن‬         ‫ر‬                  ‫ط ا اﺕ ا ي ﻡ دو‬                             ‫ﻡ ا‬                        ‫ن. وإذا ﺥ‬              ‫ا‬                      ‫و‬
 ‫ل ﺏ ﺵ ء، إ ﻡ‬                                 ‫ی ﺏ هاا‬            ‫ن ﺵ ً. و‬                ‫را‬           ‫ﺕ‬                ‫ی‬           ‫ت،‬                       ‫ﺙ ﺏ‬               ‫أن‬          ‫أ‬
                      ‫،ا‬            ‫رة ا‬        ‫رة ا ﺏ‬               ‫ﺱ .وا‬                    ‫ت‬                        ‫ه ﻡ‬                  ‫، اي ﻡ ﺡ‬                      ‫ﺕ و‬            ‫ﺡ‬
‫. ذا‬                 ‫ﺥر‬         ‫تﺏ ﺹ‬                        ‫سا‬                ‫ﺏ‬       ‫تا‬              ‫ا‬                    ‫وري‬                 ‫طا‬               ‫ﺡ ﺱ ،ه ا‬
‫أن‬               ‫ی‬          ‫إ‬        ‫ن. و ﺡ‬             ‫أﺱ ا‬             ‫ًی‬           ‫ن ﺡ ﺱً ﻡ‬                             ‫ت‬                     ‫د ه ﻡ ه ا‬                               ‫ﻡ‬
         ‫ی‬                ‫ه اﺕ ،‬             ‫ﺵ و ً‬              ‫ﺱ ا ﺹ ﺵ و ً ﻡ ن ا ﺵ ء، ﺏ‬                                                               ‫ﻡ ﺵ وط ا‬
                                                ‫ﺥ ر ً]3[.‬                         ‫أن ﺕ‬            ‫ی‬           ‫ا ﺵ ءا‬                                       ‫نی‬             ‫ا ل إن ا‬


‫یً: أن ﺕ ﺥ ا ﺵ ء‬                             ‫ود ﺡ‬        ‫ه ا‬                  ‫ق‬        ‫ن"، ﺕ‬              ‫ا‬            ‫ورة‬             ‫ه : "آ ّ ا ﺵ ء ﻡ‬                                   ‫ا‬
    ‫ا ﺵ ء، ﺏ‬                        ‫:"‬         ‫مه و‬             ‫ا‬        ‫طا‬           ‫إذن ا‬                   ‫ّ. ذا أ‬                      ‫ﺱ ا‬         ‫ً‬                  ‫ﻡ‬            ‫ﺏ ﺹ‬
                            ‫]3[.‬           ‫ةآ ًوﺏ ﺡ‬                  ‫قه ا‬                         ‫ن"،‬              ‫ا‬           ‫، ﻡ ورة‬                 ‫ه ات ﺥ ر‬                          ‫ه‬




                                                                                  ‫ﻡ ﺱ وه .‬                         ‫–ﺕ‬              ‫آ‬           ‫– ّ‬                    ‫ا‬            ‫ا‬    ‫3-‬
‫81‬                                                                   ‫لا ج‬                                                                      ‫ا‬            ‫ا‬


                                                                         ‫ن]1[‬                                       ‫وا‬                                 ‫ةا‬                   ‫ا‬

                                                                                             ‫ن‬        ‫وأ‬           ‫أرﺱ‬                             ‫و‬            ‫ن‬           ‫ا‬
                                         ‫ﺥ .‬      ‫موا‬          ‫ا‬         ‫آ ﻡ‬                ‫ه ﻡ ار ا‬               ‫أرﺱ‬                             ‫ا ﻡنﻡ و‬
                                                                                            ‫ت:‬            ‫ه ا ﺱ‬                ‫ا‬           ‫ی‬        ‫ه اا‬                    ‫ی‬
                                                                                                          ‫آ.‬              ‫- أرﺕ ط ا ﻡ ن ﺏ‬
                                                                              ‫.‬               ‫آ‬       ‫ا‬            ‫آ و‬                 ‫- أ ﻡ ار ا‬
                               ‫آ.‬        ‫ی س ه ذاﺕ ﺏ‬                 ‫ا ن‬                     ‫آ وﻡ ﺱ ،‬                     ‫- و أ ﻡ ار ا‬
                                                        ‫ن.‬          ‫آ ا ﻡ‬                   ‫ی سﺏ ه ا‬                  ‫آ ا‬                  ‫- أن ه ا‬
                                                                                                   ‫د.‬          ‫نوا‬                 ‫را‬              ‫- أ ﻡ‬
‫.و‬            ‫ا‬        ‫ﺡ ه ا‬              ‫، و إن آ ن ﻡ ﺕ ً ﺏ‬                        ‫ا‬             ‫ﻡ ﺕ ًﺏ‬            ‫ًو‬                 ‫ﻡ‬                 ‫- أ‬
              ‫ا‬        ‫ا‬       ‫أ‬         ‫ریً‬      ‫أﺱ‬         ‫أن ﺕ‬        ‫ی‬              ‫ا‬         ‫ه أن ا‬                           ‫أن‬
‫ﺡ أآ . و‬                   ‫ﻡ آ‬                  ‫ا وح ا‬               ‫ن‬       ‫أن ا‬           ‫اا‬
                                                                                             ‫ً‬        ‫أ ى،‬                ‫در‬           ‫ا‬                ‫ﻡ‬
     ‫،‬              ‫ةﻡ‬             ‫ا ﻡن‬         ‫ﻡ ا‬                 ‫ة ا وح ا‬                 ‫إ أن ی ل أن‬                           ‫ی‬               ‫ﻡ ه‬
                                                                                                                                                   ‫ذاﺕ .‬
                                                                                        ‫.‬     ‫ةآ‬               ‫ه‬      ‫إ‬            ‫- أن ا ﻡ ن ُ‬
‫م، و‬              ‫أن ا ﻡ ن آ‬                ‫آ‬     ‫ا‬        ‫ا ﻡ ن وإن ا ﻡ ن‬                            ‫آ‬        ‫أن ا‬                    ‫ﺏ هن‬              ‫أرﺱ‬                ‫ی‬
‫،‬        ‫آ‬         ‫ا ﻡن‬             ‫إﻡ أﺱ ع و إﻡ أﺏ ، ﺏ‬                  ‫ه ا ا ه ن ه إن آ ﺕ‬                                ‫ا‬                       ‫.وی‬                  ‫ی‬
                                                                                                  ‫ی دان ا ﻡ ن.‬                                     ‫ءوا‬          ‫نا‬


     ‫، و آ ﻡ ار آ‬                    ‫ار ا‬                  ‫آ ﺥ‬        ‫ی ل إن ا‬                   ‫نﺡ‬            ‫ا ﻡن ﺏ‬                      ‫ی ﺏ أرﺱ‬                          ‫آ‬
                  ‫.و‬       ‫ﻡ‬        ‫إذن ﻡ‬             ‫آ،‬           ‫. ذا آ ن ا ﻡ ن ﺱ ا و ً‬
                                                                       ‫ً‬                                                  ‫آ إذن ﻡ‬                           ‫،‬               ‫ﻡ‬
             ‫آ آ‬       ‫ن. و ا‬        ‫ا‬          ‫ﻡ موﻡ ﺥ‬             ‫قﺏ‬        ‫وﺹ ل، أي‬                         ‫ﺏءو‬                                 ‫كﺏ‬               ‫ا‬
                                                           ‫ﻡ موﻡ ﺥ .‬                    ‫ﺏ‬                 ‫أن‬                   ‫ن، ذن‬                                        ‫ﺥ‬




                               ‫ن – 3791‬          ‫ﺏ وت‬         ‫ﺏ وي - دار ا‬              ‫ا ﺡ‬        ‫دي –‬             ‫:ا ﻡنا‬                          ‫ره اا‬               ‫1-ﻡ‬
‫91‬                                                                               ‫لا ج‬                                                       ‫ا‬                         ‫ا‬


    ‫آ‬    ‫أن ا‬              ‫ی مإ ﻡ‬                         ‫إذن ﺡ آ ، و‬                          ‫ل: إن ا ﻡ ن‬                   ‫ی‬         ‫هاا‬                      ‫ح أرﺱ‬         ‫ی‬
‫ّ، و ا ﻡ ن‬            ‫وا‬         ‫ا آ‬         ‫ﺏ‬             ‫ﺏ‬                     ‫ه ا أن ا د ی‬                            ‫ار )ا د(. و ا‬                            ‫ا‬           ‫ﺕ‬
‫:‬             ‫ﺏ‬    ‫ا دی‬                 ‫ﻡ ن إذن ع ﻡ ا د. و‬                                    ‫آ.‬       ‫ا‬        ‫ّ‬       ‫وا‬        ‫ا آ‬           ‫ﺏ‬                     ‫ﺏ‬       ‫ی‬
‫ﻡ ی ان. و‬                 ‫ا ّوا‬             ‫ّ. و وﺱ‬                  ‫ّ، و ه ك ا د آ ﺱ‬                           ‫ود و ا ﺏ‬               ‫ا‬                    ‫كا دﺏ‬
‫ً،و‬                   ‫ً‬
                    ‫دا ﻡ‬       ‫ﻡ ا د:‬                                ‫ل إن ﺙ‬               ‫ﺏن‬       ‫ﺡی‬                    ‫غ‬        ‫أن ﺕ‬                      ‫ی‬             ‫ه ا‬
         ‫ّ.‬        ‫وﺏ ی ّا ﺵ ءا ﺏ‬                              ‫ا‬             ‫ی‬        ‫ةا‬                  ‫ً‬
                                                                                                ‫دا ذاﺕ ً ه ا‬            ‫ن ﺕ ّ، و‬                ‫ه ا ﺵ ءا ﺏ‬


                  ‫ا ﺡ ة.‬                    ‫ﻡی ا‬               ‫ار،‬               ‫ةﺕ ً‬           ‫ﻡی ا‬           ‫رة ا‬          ‫نه ا‬                           ‫أ‬             ‫ا ﻡن‬
‫ه ا أن‬                     ‫و ده . و ا‬                 ‫ی‬        ‫و‬                 ‫ی‬    ‫ا ﻡ ن، ن ا ﻡ ن‬                                       ‫ﻡی‬                   ‫إن ا ﺵ ء ا‬
        ‫دات، و ی‬           ‫ﻡ‬        ‫ا‬       ‫ا ل أی ً‬                    ‫.آ‬                                 ‫،وﻡ هاإ‬                     ‫أي أﺙ‬                              ‫ا ﻡن‬
‫ای ً آ ﺵ ء‬                      ‫.‬           ‫ﻡ ا‬                 ‫س ا‬                  ‫ﺏ‬         ‫ﺹً، ﻡ‬            ‫ﺥ‬                ‫ا ی‬                    ‫ا‬             ‫أرﺱ‬     ‫ﺏ‬
                                                                   ‫ً.‬        ‫ﺡ آ أو ﺱ‬                      ‫ﺕ‬             ‫ا ﻡ ن،‬                                       ‫ﻡی‬      ‫ا‬


    ‫أﺥ ى ه‬            ‫ی‬        ‫ﺕ رة و‬                ‫مآّﻡ ی‬                  ‫ا‬            ‫د، و‬         ‫نوا‬                       ‫إن آ ّ ﻡ ه ﺥ‬                                 ‫ا‬
              ‫ی‬      ‫آ،‬                      ‫ی‬         ‫ی ق و ده . أﻡ ﻡ‬                             ‫زﻡ ً أآ‬              ‫ا ﻡ ن، ن ﺙ‬                               ‫ورة‬          ‫ﺏ‬
        ‫ﺡ آ‬                    ‫ا ي رأی ،‬                   ‫ا‬                 ‫آ‬           ‫ﻡ آ ن ا ﻡن ﻡ ﺕ ً ﺏ‬                                ‫ا ﻡ ن، و ه ا وا‬
                                                                   ‫ا ن!‬                    ‫لإ ی‬            ‫إذن؟ ﺏ أن‬                   ‫أي ﺵ ی‬                             ‫زﻡ ن.‬


‫ا ن؟ أم ع ا ن ﺥ رج ا ﻡ ن؟‬                                      ‫ﻡن‬                        ‫دا‬        ‫ا‬                ‫ه‬        ‫ﻡ‬         ‫ة‬            ‫ة-ا ن–‬
    ‫ﻡ‬         ‫: إن ا ن ه ا ي ی‬                                 ‫ادي‬        ‫أﺏ ا آ ت ا‬                                  ‫ا ول أ ب، و ه ا ﻡ‬                                       ‫ا‬
‫ا ا .‬               ‫ن‬          ‫د نﺏ‬                  ‫،ﺏ ا‬               ‫دﺏ‬           ‫ی ّﻡ ﺵ ی‬                  ‫، أي‬       ‫زﻡ ن ا‬                    ‫ی‬            ‫ا ﻡ ن، و‬
    ‫ا ي دﺥ .‬               ‫ا‬            ‫د‬        ‫ا‬        ‫دﺥ ا ﻡ ن‬                       ‫ا ن‬           ‫د ﺏ ن،‬                ‫ا‬         ‫ی ل: ا ﻡ ن ی‬                          ‫آ‬
‫02‬                                                                                      ‫لا ج‬                                                                    ‫ا‬               ‫ا‬




                                                                                                                                              ‫ﺕ‬                         ‫و‬           ‫ن‬       ‫ا‬
    ‫،وه‬                  ‫ا ی‬                      ‫ه ا ﻡن ا‬                         ‫. ا ﻡن ا‬                        ‫،و‬                  ‫:ﻡ‬        ‫زﻡ‬    ‫ﺕ ا ﻡن ا‬                         ‫ّ‬
‫أی ً‬                ‫اد و رﺕ ب، و ی‬                             ‫ﺏ‬         ‫،وی‬          ‫أي ﺵ ﺥ ر‬                     ‫ا‬                              ‫،‬        ‫ﺏ‬                ‫ﺏ اﺕ ﻡ‬
    ‫ی‬             ‫ﻡ ً، و ه ﻡ س ﺡ ّ ﺥ ر‬                                         ‫ه یً‬                      ‫ا ﻡنا‬                     ‫ﻡ ها‬                ‫ا‬            ‫ﺏ ﺱ ا ة، و‬
‫ﺱ ت و أی م و ﺵ ر و‬                                             ‫ه‬          ‫ة ا دی‬            ‫ا‬                              ‫آ ، و ه ا ﻡن ا‬                           ‫ا‬        ‫ﻡ ة ﺏ اﺱ‬
‫ﻡ ﺱً‬                ‫ا‬            ‫م‬            ‫ی‬                ‫دا. و ه ا ا ﻡ ن ا‬
                                                                              ‫ً‬                  ‫ویً ﻡ‬             ‫ی نﻡ‬                     ‫أ ام، و ّ ی ن د ً، و ّ‬
    ‫ﺏی‬        ‫ی ﺕ‬                        ‫آ‬                    ‫ا ﻡنا‬            ‫آ ،ﺏ‬         ‫ﺏ‬        ‫ﻡ ﺕ‬                   ‫وی ، ن زﻡ ن ا‬                       ‫ام ا‬             ‫آ ا‬
                  ‫أن ﺕ ﺡ دﺙ ن ﻡ ً و‬                                   ‫أن ﻡ ا‬                    ‫،ﺏ‬         ‫ﻡ‬           ‫ﻡ‬                    ‫ﺡ آ .وه اا ﻡنا ﺥ ﺕ‬
‫رد، دون أن‬                    ‫ﻡ ً، و ا ﺥ ﺏ‬                                     ‫ﺏ‬      ‫آ ن أﺡ اه ﻡ ﺕ‬                            ‫و‬              ‫ا ﻡن ا‬            ‫ا‬               ‫ﺏ‬           ‫ا‬
        ‫آ‬     ‫، أو ﻡ‬                 ‫ﺏ‬                         ‫ﺱ ن‬                 ‫ﻡ‬             ‫ا‬             ‫ﺏ‬                   ‫ا‬         ‫ﺕ ﺏ ن: ه ه ا‬                                   ‫ی‬
                                                               ‫ﺏ .‬                     ‫یا‬                ‫أﺙ رﺕ‬             ‫ا‬                ‫ا ﺥ ی ؟وه ا‬                              ‫ا اﺡ‬


                                                                                                                                                                        ‫و‬           ‫ن‬       ‫ا‬
‫أﺵ ء‬              ‫دة ﺏ‬               ‫ا‬                ‫ا‬            ‫ی مإ‬            ‫م ا ا ، و ه إذن‬                                     ‫ه‬                                ‫ا ﻡن ﻡ و‬
‫ة‬           ‫ﻡن ﺥ‬             ‫ی‬           ‫ا‬        ‫ی‬           ‫ﺏ اا‬                     ‫ﺥ‬             ‫.‬         ‫ﺱﺏً‬                         ‫ﺵ ء، و‬              ‫أي أ ﺕ ﺏ‬                 ‫ﺕ ا‬
        ‫ه‬     ‫ا‬             ‫ﺡ ّ آ . إذ ه ی‬                           ‫ًا‬                ‫ّﻡ‬                ‫ﻡ ذ‬                   ‫ی و ا اﺕ ،‬                  ‫ا‬            ‫ﺱ‬               ‫واﺱ‬
        ‫ا ا‬             ‫ﺏ‬        ‫،ﺕ‬               ‫تﻡ‬                     ‫،ه‬            ‫ﺡ ود ﺡ‬             ‫ﺏ‬            ‫ﺡ‬                     ‫أ‬         ‫ﺕ ا ،‬                     ‫،‬          ‫ا‬
        ‫ا ﻡن و ﺏ‬                 ‫ﺏ‬           ‫ا اﺕ ﺏ ن ﻡ‬                   ‫أﺕ‬        ‫ّ ﺱر‬                 ‫ة ذوات ا ة. و إذا آ ن ﻡ ذ‬                                              ‫ا ﺵ ءا‬
‫ا ﻡنو‬                    ‫ﺵ ء، ﺏ‬                ‫أﺱ س أن ا ة و ا ﻡ اد ﺹ ت‬                                                ‫ا ﻡ اد‬               ‫نوﺏ‬        ‫ا‬        ‫قﺏ‬                  ‫ا ةآ‬
‫ﺕ ن ا ة و ا ﻡ اد أﺵ ء‬                                              ‫ﺱ ،وﺏ‬                    ‫ﺥ رج ا ﺵ ء ی ان‬                                       ‫أ‬                 ‫إ‬           ‫نی‬          ‫ا‬
            ‫نﺏ‬          ‫ا ﻡن و ا‬                                     ‫ی‬         ‫ا اﺕ .‬           ‫نأ با‬                      ‫ا ﻡن و ا‬                   ‫،ﺏ‬                    ‫ﻡ‬           ‫ﺥر‬
                    ‫ن.‬               ‫نﻡ‬                   ‫ﻡ‬        ‫ﺏن لإ‬               ‫، ﺏ أآ‬             ‫تا ر‬                                ‫ا‬                ‫و د‬              ‫ذاﺕ ن و‬
‫12‬                                                                             ‫لا ج‬                                                                 ‫ا‬                 ‫ا‬


                                                                                                                                       ‫آ‬                 ‫و‬                ‫ن‬      ‫ا‬
                                                           ‫ی ، و ﺥ ﻡ ل.‬                             ‫ضﻡ‬                                         ‫ا ﻡن‬               ‫ضآ‬
                                                          ‫:‬               ‫ا‬         ‫ان ﺕ‬            ‫ی‬        ‫ﺡ‬           ‫ﺥ‬                 ‫ی‬    ‫ی‬                 ‫ضا‬             ‫ا‬
                ‫ا‬        ‫ا‬            ‫. و ی ّه‬                 ‫ی ً، ﺏ ه‬             ‫ًﺕ‬         ‫أﻡ‬            ‫أن ا ﻡ ن‬                      ‫ا ول‬              ‫ا‬                ‫ی ّه‬
                                                                                                                      ‫ً‬
                                                                                                                     ‫را.‬           ‫ﺕ‬           ‫ن، و‬              ‫أن ا ﻡ ن‬


‫ا أن‬                    ‫اه . و ا‬            ‫ا‬         ‫ً‬            ‫أن ی رك ﻡ‬               ‫ن، و ی‬                ‫آّ‬               ‫وري ی م‬                        ‫إن ا ﻡ ن‬
    ‫ﻡ،ﻡ أ‬                    ‫اه‬       ‫ا ﻡن ﻡ ا‬                            ‫أن‬                             ‫هاأ‬                               ‫،وا‬               ‫ا ﻡ ن إذن‬
‫ﺕ م‬           ‫ه ه ا‬               ‫اه ، ﺏ ا‬            ‫ا‬             ‫ی م‬        ‫اه . إذن ا ﻡ ن‬                        ‫ا ﻡنﺥ ًﻡ ا‬                                  ‫أن‬
 ‫ّﺡ آ‬               ‫وري‬                     ‫اه ، أي ان ا ﻡ ن إذن‬                           ‫ا‬            ‫رﺕ‬           ‫ی‬           ‫ا ﻡن‬           ‫ا ﻡ ن، و ﺏ‬
                                                                                                                                                                          ‫.‬     ‫ﺡ‬


‫ن أﻡ ل‬              ‫ا‬        ‫ﺡ‬         ‫، أي‬           ‫ره ا ﻡ لا‬                            ‫ا‬            ‫،ﺏ‬               ‫ه ا ﻡ لا‬                        ‫آ‬                ‫ن‬      ‫ا‬
    ‫ﻡ‬        ‫ن أﺱ‬       ‫ت. و ا‬                  ‫ةﻡ‬                 ‫آ ﺏ‬             ‫تا‬           ‫ر أﻡ ل ا‬                     ‫ا‬     ‫ﺡ‬           ‫ً، و‬               ‫ً‬             ‫ﻡ‬
        ‫ن ﺏ اﺱ‬          ‫ر ی‬            ‫ا‬        ‫، ﺏ‬            ‫ا‬     ‫ی‬               ‫ﻡ ﺵ ة‬                               ‫ﺏ‬             ‫ﻡ ﺵ ی‬                      ‫ر،‬             ‫ا‬
    ‫أ‬          ‫، أي ﺏ‬                 ‫نﺏ اا‬               ‫ت. و ا ﻡ ن ا‬                              ‫ﺹ ﻡ ﺵ ةﺏ‬                                        ‫ت، و ا‬                       ‫ا‬
        ‫. و ی ّه آ‬                ‫اه ا ﻡ‬                  ‫ﻡ ﺏ ﻡ ن،‬                   ‫تا‬                       ‫. أﻡ أﻡ ل ا‬                           ‫ع‬                 ‫أﻡ ل ﻡ‬
‫: أن‬          ‫.ی لآ‬               ‫ﻡ‬        ‫أن ا ﻡ ن‬                 ‫آ ا. و ا‬
                                                                         ‫ً‬                     ‫أن ا ﻡ ن واﺡ ، و‬                            ‫:ا و‬                  ‫هاﺏ‬
‫ر‬            ‫أن ی‬             ‫ی‬       ‫ء‬      ‫نا‬               ‫ّ. و ذ‬           ‫نا‬                       ‫ﺥ‬        ‫ﺵ‬                      ‫ً‬
                                                                                                                                 ‫را آ ً، و‬               ‫ﺕ‬                ‫ا ﻡن‬
 ‫ا‬
‫ا ا ﻡ ن ا اﺡ ، و إذا آ ن ا ﻡ ن واﺡ ً،‬                                         ‫اء‬     ‫إ أ‬                      ‫زﻡ ن واﺡ و وﺡ ، أﻡ ا زﻡ‬
‫ن‬        ‫ا‬      ‫ة أﺵ ء، ﺏ‬              ‫ر ی آ ﻡ أﻡ ل‬                                ‫ن، ﻡ دام ا‬                ‫ر، ﺏ ذا‬               ‫أن ی ن ذا ﺕ‬                        ‫ی‬
                                                                                                                                 ‫واﺡ .‬                       ‫ﻡ أﻡ ل ﺵ‬


‫نو‬            ‫ﺕ ه ، إذن ا ﻡ ن‬                    ‫ً، و ا ﻡ ن أﻡ ل ا‬                              ‫را، ﺏ‬            ‫ﺕ‬               ‫ا ﻡن‬                   ‫ﺕ ه‬           ‫أﻡ ل ا‬
‫أن‬             ‫.وا‬            ‫ا ﻡن و ا ﻡ‬                      ‫قﺏ‬         ‫ن، و ﺏ ا أی ً‬                       ‫أن ا ﻡ ن‬                      ‫آ‬            ‫ً‬
                                                                                                                                                    ‫را. أﺙ‬                ‫ﺕ‬
‫22‬                                                                           ‫لا ج‬                                                                          ‫ا‬                  ‫ا‬


         ‫ﻡنه ﺵ طآ ﻡ‬                                      ‫نا‬       ‫ا ﻡ ن. ه ا ا‬                                   ‫وﻡ‬                  ‫ﻡ‬           ‫وا ﻡ‬                    ‫ا ﻡ ن أﺹ‬
                                                                                      ‫ا ی تا ﻡ .‬                             ‫ذ‬               ‫ا ﻡنﺏ‬                            ‫ی‬
                                                                                                                                                                              ‫:‬       ‫ا‬
         ‫ا ﺵ ء آ‬                 ‫ً‬        ‫ﺵ ً ﺏ‬               ‫ً، و‬           ‫ً ﻡ‬                     ‫ً‬
                                                                                                ‫دا ﺏ اﺕ‬                 ‫ﺵ ً ﻡ‬                         ‫- أن ا ﻡ ن‬
‫ً‬            ‫آن‬              ‫.‬        ‫ﻡ‬                    ‫وط ا‬              ‫دآّا‬                  ‫ﺡ‬                ‫ی‬            ‫،وه‬                                     ‫ﻡ‬
                                                                                      ‫ﻡ ً.‬         ‫وا‬                   ‫ن ﺵ ً وا ً و‬                               ‫ﺏ اﺕ ،‬
‫أن‬            ‫ی‬         ‫،‬     ‫إ إ‬            ‫ی‬       ‫، أي‬                  ‫ﺱ ا‬               ‫ﻡ ﺵ لا‬                              ‫ﺵ‬           ‫آ‬                 ‫- ا ﻡن‬
                                                         ‫ا ﻡ ن.‬              ‫ه‬             ‫إ‬                ‫ﺏ ا‬              ‫ا‬               ‫ا ﺵ ء‬                        ‫ﺕ‬
‫ن: إذ‬             ‫ا‬         ‫ه ای ی ا ﻡن‬                  ‫.و‬       ‫اه أیً آ‬                 ‫ّا‬                   ‫ا‬                ‫طا‬              ‫- ا ﻡنه ا‬
     ‫ﺏ ه ﺥر‬                          ‫هاا‬             ‫ّ ﺡ ّد‬                ‫ن ﺥر‬                                         ‫ا‬            ‫ا‬       ‫ن، ﺏ ﺹ‬                       ‫ا‬
     ‫ﺵ‬                ‫ه . أﻡ ا ﻡ ن‬               ‫و ﺡ ه دون‬                    ‫اه ا ر‬                                        ‫إذن ﺵ ط‬                        ‫،‬
                                                                                       ‫ﻡ ً.‬            ‫،وﺥر‬                          ‫نﺏ‬           ‫ّ‬                      ‫ﺥ‬
         ‫ه وا‬               ‫ا يی‬          ‫ّ ﺕ رﺏ ، و إ‬                   ‫ط‬           ‫ا ﻡ ن، ﺏ ﺹ ا‬                                        ‫ﻡ‬            ‫آ‬              ‫ی‬            ‫-‬
                                                                                                                                                          ‫.‬               ‫ا‬
‫و أﻡ ل، دون أن ی ن‬                          ‫ﺏ ﺡ‬          ‫آ ﺕ‬               ‫ﻡ ن ه و د )أي ا ﻡ ن(‬                                                        ‫ا‬                  ‫- ا‬
                                                                             ‫ذاﺕ .‬                 ‫دا‬               ‫ا رج آ‬                       ‫ً‬
                                                                                                                                                 ‫دا‬            ‫ﺵ ًﻡ‬
         ‫ا‬             ‫نوا ﻡنه‬                   ‫ا‬   ‫.ا ﺏ ﺏ‬                      ‫ا‬         ‫ن‬       ‫ا‬             ‫ا ا ،ﺏ‬                          ‫- ی ما ﻡن‬
                                                                                                                                                      ‫]2[:‬                ‫ا‬
                                                          ‫ن‬            ‫ا‬                     ‫ن‬          ‫ا‬
                                                                     ‫ا‬                                  ‫ا‬
                                                           ‫ا ی ﻡ‬                             ‫ا ﻡ اد‬
                                                                       ‫ا‬                     ‫ور‬             ‫ا‬
                                                               ‫ا ا‬                                      ‫ا‬
                                                              ‫آ‬        ‫ا‬                                    ‫ا‬
                                                                   ‫ا‬                            ‫ا ت‬
                                                     ‫ورة‬           ‫ا‬                                    ‫ا‬


             ‫ب – 9991‬                ‫ی ا ﻡ‬           ‫ا‬        ‫–ﻡ ﺏ ا‬                   ‫ا‬       ‫ی‬                ‫–ا آ ری‬                   ‫وا‬                   ‫ا‬         ‫2- ا ﻡ ن‬
‫32‬                                                                                                          ‫لا ج‬                                                                     ‫ا‬                        ‫ا‬


                                                                                                                                                                             ‫ا‬                       ‫ا‬             ‫ن‬         ‫ا‬
‫أن‬               ‫ء. و ﺙ‬                   ‫نإ‬                 ‫أن‬               ‫.وﺙ‬                          ‫ه أن ا ﻡ ن‬                     ‫و أو‬             ‫: أه‬                  ‫ی ا‬                     ‫ا‬                  ‫أه‬
‫أن‬                   ‫ﻡ ا‬                              ‫ی ه أ‬                       ‫ه ا‬                              ‫ا‬               ‫.ا‬              ‫ﻡ‬             ‫ﺱ‬          ‫ء ه أآ‬                            ‫ا‬             ‫ﺱ‬
‫ن )ا ﻡ ن(، و‬                                  ‫ا ﻡنوا‬                              ‫ﻡ‬                ‫ًی‬            ‫نآ ًﻡ‬                ‫ً، ﺏ ی‬                   ‫نإ‬           ‫ا ﻡنوا‬                             ‫ﺏ‬             ‫ی‬
‫: إن‬                      ‫ی لﻡ‬                           ‫ﺙ .وﺏ اا‬                              ‫نا‬            ‫أﺏ د ا‬          ‫فا‬                    ‫ُ‬
                                                                                                                                           ‫إذن ﺏ ّ راﺏ ی‬                             ‫ه ا‬                           ‫ا ﻡن‬
‫ﻡ ه وﺡ ا ي‬                                                                    ‫أﺱ س ، و إن إ ﻡ‬                                 ‫ن و ا ﻡ ن ّ ﺹ ر وه ً‬                                               ‫ا‬            ‫ﺏ‬              ‫ا‬
                                                                                                                                                                             ‫.‬               ‫ءا‬                    ‫ﺏ‬         ‫ی‬


     ‫ی‬           ‫و‬            ‫ن، أ وه أن ا ﻡ ن ذو أﺕ‬                                                        ‫ا ﻡن و ا‬                  ‫د ﺏ‬              ‫ا رق ا ی ا ي آ ن ی ل ﺏ‬
     ‫ا اﺡ ا‬                       ‫ةا ﺕ‬                 ‫ی . إذ أن‬                          ‫أﺱ س ه ا‬                            ‫، ّﺱ‬                 ‫ن ﻡ وي ا ﺕ‬                            ‫ا‬                   ‫دة، ﺏ‬           ‫ا‬
‫،‬            ‫آ‬            ‫اه و ا ﺵ ء ا‬                                  ‫ﺕ ﺙ ﺏ ا‬                             ‫ر زﻡ ن ﻡ‬              ‫ﺕ‬            ‫ا ﻡ ن ّ ﺹ رت‬                                  ‫ﺕ ىا‬                            ‫آ‬
         ‫إ ر ا ﺵ رة )ﻡ‬                                                        ‫،ی‬                       ‫ﺏن ا ﻡن‬                    ‫ﺕ ﺙ ، أﻡ إذا‬                         ‫دون أن ی ﺙ ه ﺏ أد‬
             ‫ﺏ‬                ‫ﺏ‬           ‫ﺡ آ‬                ‫ن‬            ‫ا‬               ‫ام‬               ‫رات ﻡ دة ﺕ ً ﺥ ف ا‬                                          ‫( وا‬                                  ‫ا ﺵر ا‬
‫زﻡ ، و‬                        ‫ن ه أﺕ‬                    ‫ا ﻡن و ا‬                               ‫ﻡ‬                 ‫واﺡ‬         ‫أﺕ‬            ‫ث‬                   ‫ﻡ ل‬               ‫ﺙ‬                       ‫،‬             ‫ﺏ‬     ‫ا‬
         ‫ا‬       ‫ذ‬            ‫واﺡ ، ﺏ‬                   ‫ا ری ، ﻡ دام ه ا ذا أﺕ‬                                     ‫آﺕ‬              ‫واﺡ ﻡ‬                       ‫ذا أﺕ‬             ‫إذن‬                 ‫ی‬             ‫ا‬         ‫ا‬
‫،‬        ‫ﻡ ن ا ری‬                             ‫ا ﻡ ن:‬              ‫ا‬           ‫ﺕ‬            ‫آ ا‬              ‫ﺏ‬          ‫ة. و ا رق وا‬                              ‫أﺕ ه ت زﻡ‬                                ‫ُ‬
                                                                                                                                                                                                         ‫ﺏ ﺹ آً‬
         ‫،وی‬                  ‫ا‬               ‫ه‬          ‫أو‬           ‫ا ا‬                  ‫ه‬                ‫ادث إﻡ‬            ‫ا‬                    ‫ا اﺡ ، ﺕ‬                  ‫ا ﻡ ن ذو ا ﺕ‬                                    ‫أ‬
                     ‫ار ا‬                     ‫ا ﺱ‬                 ‫ه ی‬                     ‫ذات وﺡ ة‬                     ‫و ا اآ ة، و ا ة‬                                                  ‫ُ‬
                                                                                                                                                                             ‫أن ی رك ﻡ ﺵ ة ﺏ‬
             ‫ا‬            ‫د‬               ‫أن‬                                  ‫،‬                ‫ا يﺕ لﺏ ا‬                              ‫ی‬        ‫ا ، أﻡ ا ﻡ ن ا‬                                ‫ات ا‬                            ‫ا‬
‫و‬                     ‫ﻡ ی‬                         ‫و‬              ‫أو ً‬             ‫إ إذا إﺕ‬                        ‫أو ا‬        ‫ا ا‬              ‫ادث ﻡ ﺡ‬                                               ‫وا‬                    ‫ا ﻡ‬
                     ‫ادث، و ﻡ ه‬                              ‫ا‬        ‫ﺕ‬               ‫ي‬                ‫ﺕ‬     ‫ا‬     ‫إ رات ا ﺵ رة ا ﻡ‬                                                  ‫ا ا ،ﻡ ی ﺕ‬
‫ادث، و‬                ‫ا‬               ‫ﺏ‬               ‫أو ا‬         ‫،ا ا‬                        ‫ﻡ‬           ‫ﻡ ی‬           ‫و‬                 ‫واﺡ ة ﺱ ﺏ‬                    ‫ی‬        ‫د، ﺏ‬                        ‫ا ﺱ أن‬
         ‫ﺏ ﻡ و‬                        ‫ﻡ ﺱﺏ ،ﺏ‬                             ‫ی‬           ‫ﺏ‬            ‫ی‬        ‫ا ﻡنا‬             ‫ﺡ‬            ‫د‬           ‫ﺕ‬             ‫ا ﻡ‬                     ‫ا‬                ‫واة‬            ‫ا‬
         ‫ه‬                        ‫ا‬           ‫ی‬        ‫ی أن ا‬                 ‫ا‬                ‫ى‬           ‫ا ﻡ .وﻡ ها‬                                      ‫ا‬           ‫واة‬           ‫ﻡ سﺕ دﺏ ا‬
                                          ‫.‬              ‫ا اﺹ و إ ر ا ﺵ رة ا ي ی‬                                                               ‫و‬                        ‫ال ﺕ‬             ‫سا دوا‬
‫42‬                                                                               ‫لا ج‬                                                        ‫ا‬             ‫ا‬


                                                                                                                                     ‫ا ّ‬                       ‫ن‬      ‫ا‬
 ‫أ ﻡ‬          ‫در‬         ‫ﺹ د، ا‬            ‫ا‬            ‫ا‬                    ‫ی ا ّ، أن ا اﺹ ذو أﺙ أآ‬                                         ‫ج‬            ‫ه‬          ‫و‬
     ‫أزا . و‬              ‫ی‬            ‫ﺕ‬            ‫هﻡ‬                   ‫ﺏ أن ی ن ﺙ‬                     ‫،ﺏ‬       ‫ﺱً د ً آ ا‬                          ‫أن‬               ‫ا‬
 ‫ذ‬            ‫ج، ﺏ‬            ‫ه‬            ‫ی ا ّ‬                             ‫ﺱ‬            ‫ا‬    ‫) أي ﺕ‬            ‫ا ی‬                 ‫ا‬       ‫أن آ‬                  ‫ه ا،‬
     ‫أن ی‬          ‫أن ﻡ س ا ﻡ ن ی‬                                   ‫(ﺕ‬                        ‫ی ا‬           ‫إدﺥ ل ﺕ ی ت‬                  ‫ﺏ‬       ‫ﺕ‬    ‫ا‬               ‫ا‬
     ‫:إ‬        ‫ا‬                  ‫ا‬            ‫،‬    ‫ی‬           ‫ه ة‬                   ‫ﺏ‬       ‫ﺕ‬         ‫وف ا‬                  ‫أزداد ﺕ ی‬              ‫ﺕ داد آ‬          ‫ﺏ‬
‫ﺕ ﻡ رد‬             ‫ا ﺱ أﺥ ا ، و ذ‬                                                ‫ﺕ‬        ‫ﻡ ل‬           ‫ﺙ‬        ‫،ﺏ ی‬           ‫د ﻡ‬          ‫ا‬            ‫أن‬          ‫ی‬
 ‫ﺏ‬     ‫اه‬      ‫ف ﺏن آ ا‬                    ‫ﺕ‬       ‫ها‬               ‫ً‬                ‫ﺹ دة. و‬            ‫ه ةا‬          ‫ا‬         ‫ا ي ی ﺙ ا اﺹ‬                          ‫ا‬
‫ﺏﺡ مو‬              ‫ﺕ‬          ‫اه ا ری‬              ‫ج أن ا‬                        ‫ه‬                  ‫ن، إذ ﺏ‬           ‫إ رات ا ﻡ ن و ا‬                      ‫ﺥ ل‬
‫.و‬        ‫ﺏ‬   ‫ﺕ ً ﺏ‬                   ‫اف دا ً‬               ‫إ‬            ‫ق ا ري(، ﺏ ﺙ‬                                 ‫آ )‬        ‫ا‬               ‫ا‬                 ‫د ﻡ‬
     ‫أن ﺕ‬            ‫ﺕ‬        ‫ی ا ّ(‬                    ‫ﻡ‬               ‫)ا‬       ‫یءا ی‬              ‫ا‬                     ‫ا‬    ‫ی ات ا ﻡ‬                   ‫ﺕ ً نا‬
                                                                ‫.‬                ‫ﺕ رك إ ﺏ‬                    ‫ا‬    ‫ﺕ‬           ‫ی ،أ‬           ‫تا‬                ‫ا‬      ‫ﺏ‬
‫52‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
‫62‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
‫72‬                                                                       ‫لا ج‬                                                                  ‫ا‬                     ‫ا‬


                                                                                                                                                       ‫ﺱ ا‬                       ‫ا‬
‫ّ‬
‫ا دی‬               ‫أن ی ن ا‬                  ‫ی‬                   ‫ﺵ ع‬              ‫ﻡ‬                 ‫،‬                   ‫ا‬    ‫ﺵ‬            ‫ﺱ‬        ‫ق ا‬                       ‫ﺕ‬
     ‫. ی آ ه ﻡ ن وای )‪ (Hermann Werl‬أن ا ه ا ی‬                                                                      ‫ﻡ ّف آ‬                     ‫حه ﺱ‬                          ‫ﺹ‬
 ‫ی ﺕ ی‬          ‫نﺏ‬            ‫ی‬        ‫ت( و ه أ‬                   ‫ءا ی‬                ‫)‬                 ‫ا ی‬                 ‫ﺡ ّ و ﻡ م، وه ك أﺡ س‬
     ‫ﺏ‬          ‫ا ی‬               ‫ء زﻡ‬       ‫ﺏر‬              ‫ه ﻡىﺕ‬                              ‫ا‬               ‫ت،‬               ‫ا‬        ‫ﺡت و و‬                          ‫ا ﺹ‬
     ‫ه ﺡ‬                ‫ا ی‬           ‫ﻡ ا‬               ‫ف أﻡ م ه ا ﺡ ﺱ ت و ا‬                                        ‫ا‬        ‫ی‬       ‫ﺕ .‬           ‫وﺕ‬               ‫أﺡ ﺱ ﺕ‬
                                                  ‫أﺱ اﻡ .‬                     ‫، و ّ أآ وا‬                    ‫ﺏآ‬                 ‫ا ی‬       ‫ا ﺱ‬                    ‫وﻡ‬


 ‫ءت ﺏ‬              ‫ا‬          ‫ا‬          ‫ا‬       ‫ر‬               ‫ﺕ‬                    ‫ّا‬    ‫لﺡ لا‬                           ‫تﻡ ا‬               ‫ا ی‬              ‫د‬            ‫ﺕ‬
         ‫ً ﻡ أﺏ ز ا ی‬                 ‫ًور‬               ‫ﻡ ه‬              ‫تا‬                 ‫ا‬               ‫ر‬           ‫تآ‬            ‫ﻡ‬                     ‫ّ،‬            ‫ه ا‬
 ‫ته‬             ‫ه ا‬               ‫ت. إذا آ‬               ‫ه ا‬                          ‫ﻡ ر‬                   ‫)أﻡ ل وای و ﺏ ا ر و ﺏ ب( و ﻡ‬
         ‫ا‬             ‫اض‬             ‫ی ؟ه ه كأ‬                      ‫ا‬            ‫وﻡ‬        ‫ﻡ ا‬                     ‫ذا‬                    ‫ﻡ‬            ‫أﺡ م ﺹ ری‬
 ‫وب ﻡ‬                  ‫ةه ﻡ‬            ‫ﺹ ری ، ه ا‬                             ‫ته إ‬                          ‫ا ی‬                 ‫ری‬        ‫ا‬             ‫؟ا‬                       ‫ا‬
‫ﻡ ی ّ‬                  ‫ا‬          ‫.‬      ‫تا ی‬                ‫ه تا ﺏا توا آ‬                                                  ‫ا‬             ‫وا‬                     ‫ا‬               ‫ا‬
‫وي‬           ‫ا اوی ا‬          ‫ا‬          ‫رﺙ ن ﺏ ن وﺕ ا‬                            ‫ا‬         ‫ﻡ أآ‬                    ‫د ﺵ ﻡ ذا ی ل؟‬                           ‫ﺏ‬                ‫ا ی‬
‫هاو‬             ‫آ ن أآ‬                  ‫وا‬                       ‫ی سﺏ ا‬                    ‫وﺡ ة ا س ا‬                             ‫ﺱ ﺏ‬                   ‫ی‬                        ‫ا‬
 ‫د 2‬          ‫ءآ‬           ‫اد ا‬        ‫ﻡ ا‬               ‫ﻡ‬               ‫ا م‬               ‫ل ﺏ ﺹ ّ. أﻡ‬                           ‫آ اا‬                                ‫اا‬          ‫أ‬
‫ﻡ ﺥ ل‬           ‫ء ﺏ آ ردان )‪ (Cardan‬و ذ‬                                       ‫ا‬            ‫اد ا‬                 ‫ا‬           ‫ﻡ هاﺏ‬                 ‫أﺏ‬        ‫ا‬            ‫ﺏ ذه‬
              ‫)‪(fundamentalist‬‬                          ‫ا ﺹ‬               ‫ا‬       ‫ت. ﻡ ا‬                        ‫ا ی‬          ‫م 1− = ‪ i‬د‬                          ‫ﻡ‬           ‫إدﺥ‬
 ‫اد ه ﻡ‬            ‫ا‬       ‫،وﺏ‬                   ‫اد ا‬        ‫ا‬       ‫:ا ا يﺥ‬                            ‫)‪ (Kroncker‬ﻡ‬                          ‫و‬             ‫ت‬                ‫ا ی‬
                                                                                                                                                       ‫ن.‬                ‫ا‬       ‫ﺥ‬


‫ت.‬           ‫أﺱ س ا ی‬             ‫و‬     ‫توی‬                      ‫ا‬        ‫ر‬        ‫تآ‬                   ‫ﻡ‬               ‫ه ﻡ ّ نا م‬                               ‫أآ ا ی‬
‫82‬                                                                                       ‫لا ج‬                                                                  ‫ا‬              ‫ا‬


‫،‬          ‫تا ی‬               ‫أوه م و ﺕ‬                            ‫ه ﺡ‬                   ‫ا ﺏا تا ی‬                        ‫ت و ه إذا آ‬                      ‫ا ی‬               ‫ه كﺱّ‬
    ‫آ ا اری‬             ‫ا‬         ‫ا‬        ‫ا ي أﺕ ﺕ‬                          ‫ﺏ ا‬            ‫؟آ‬                       ‫ی‬         ‫ﺏ‬         ‫أن ﺕ‬                                     ‫ی‬
‫ن، و‬            ‫ا‬                 ‫و‬        ‫ﺱ ا‬                     ‫ﻡ ّ تا‬                      ‫ة‬           ‫(وا‬                     ‫و ت )آ‬                          ‫ﻡ ا‬                         ‫ا‬
               ‫ﺏ‬            ‫ه ﺱ ﺥ‬                      ‫ﺕ‬           ‫روا ﺏ ن ﻡ‬                ‫ی‬          ‫،‬         ‫ا‬        ‫ﺱ‬          ‫ن‬         ‫ه طا‬                                            ‫آ‬
                                                                                                                                                                    ‫ء!‬                ‫وا‬
‫و‬      ‫ﺕ‬       ‫ت ﺡ ّ و دا ً‬                            ‫أن ا ی‬                               ‫وإ‬             ‫یا‬                  ‫عه‬              ‫حه اا‬                         ‫ا فﻡ‬
                                                                                                                                                                              ‫.‬            ‫ﺕ‬


                                                               ‫یه.‬               ‫و‬         ‫و أه ﻡ ه‬                  ‫ی‬        ‫،ﺏ‬         ‫ﺱ ا‬                   ‫ا‬         ‫ﺏ‬        ‫ﺥ ا‬


       ‫ّهاا‬                 ‫ﻡ ی‬                ‫ی‬               ‫ی‬       ‫إ‬     ‫ی ،ه كه ﺱت‬                              ‫إ‬        ‫ه ﺱ‬              ‫ی‬           ‫إ‬                 ‫آ ه ﺱ‬
‫ﺱ،‬         ‫وس و ﺕ ف ه ا‬                                    ‫)‪ (Bolyai‬و‬                              ‫وﺏ‬                    ‫ﺏﺕ‬        ‫آّﻡ‬                 ‫آ‬           ‫ﺱ ا‬                ‫ه ا‬
                    ‫.‬                 ‫ﺏﺕ‬       ‫ﺱ ا ا ی ‪ Hyperbolic geometry‬أو ه ﺱ‬                                                              ‫أو ا‬                          ‫ﺱ ا‬               ‫ﺏ‬


‫)‪ ،(neutral geometry‬و‬                                      ‫ی‬           ‫ﺱ ا‬               ‫ت ا‬           ‫ﻡ‬                       ‫ﺱ ا‬         ‫ا‬       ‫ه‬                         ‫ﺱ ا‬               ‫ا‬
                                                   ‫.‬                   ‫ﺱ ا‬           ‫ا‬      ‫ا ازي‬                        ‫ا ازي، ﺏ‬              ‫ت‬               ‫ه‬             ‫لﻡ‬                ‫ﺕ‬


‫نﻡ ‪P‬‬                    ‫ّی ّﻡ‬              ‫ا‬               ‫‪l‬‬                 ‫ا‬                     ‫‪P‬‬                 ‫:ﻡ‬              ‫ﺱ ا‬           ‫ا‬               ‫ا ازي‬                       ‫ﻡ‬
                                                                                                                                                       ‫‪l‬‬                     ‫ی ازی ن ا‬


‫ت‬          ‫ﺏ‬                 ‫ا ازي. ﻡ‬                              ‫ﻡ‬                      ‫ﺱ ﻡ‬              ‫ی ا‬            ‫إﺙ ت ا‬                ‫ی‬              ‫ﺱ ا‬            ‫ا‬                ‫ﺕ‬
‫ا ازي.‬                  ‫ﻡ‬             ‫ة‬        ‫ﻡ‬               ‫ةوا‬                   ‫ی ا‬           ‫زا‬                ‫و‬        ‫ی ،آ‬       ‫ﺱ ا‬                            ‫ا و‬               ‫ا رﺏ‬
‫ت‬      ‫ته‬               ‫ﻡ‬             ‫ا ازي‬                        ‫ﻡ‬         ‫سوﺕ‬                   ‫تإ‬            ‫ﻡ ﻡ‬                 ‫ﺵ‬     ‫ت ه أآ‬                        ‫ته‬                    ‫ﻡ‬
                                                                                                                                                                    ‫:‬                 ‫ا‬        ‫ﺏ‬
‫92‬                                                                                        ‫لا ج‬                                                                  ‫ا‬             ‫ا‬


‫واﺡ ه ‪m‬‬                           ‫ا آ ه كﻡ‬                                 ‫‪P‬‬              ‫‪l‬آ‬               ‫ا‬                         ‫‪l‬و ي‬                           ‫آ‬              ‫ّﻡ‬
                                                                                                                                                  ‫ی ّ ﻡ ‪ P‬و ی ازي ‪. l‬‬




‫ﺙ ث زوای‬                  ‫ا‬           ‫ﻡر‬           ‫ا‬                           ‫ل و ا‬             ‫ا اوی ﺏ‬                 ‫ﺕ‬                ‫ی‬             ‫ی‬           ‫ﺱ ا‬                ‫ا‬
‫ط‬        ‫ﺏ اا‬                 ‫ﻡ‬                    ‫ﺕ‬               ‫ی‬           ‫،‬      ‫ﻡ‬                        ‫هاا‬                   ‫ﺱ ا‬            ‫ا‬                    ‫وی ، آ‬            ‫ﻡ‬
‫لو‬               ‫رﺱ ﻡ ﺏ ﺏ‬                      ‫ی‬               ‫ی‬               ‫ﺱ ا‬         ‫ا‬         ‫.‬             ‫ﺱ ا‬           ‫ا‬             ‫وی‬           ‫مﻡ‬           ‫ﺙ ثأ‬              ‫ا‬
             ‫طﻡ‬               ‫هاا ﺱ ﺏ اا‬                                    ‫ﻡ،‬        ‫ﻡ‬         ‫ﻡ ﺡ ﺕ وي ﻡ ﺡ دا‬                                     ‫ﻡر‬                   ‫ا‬                 ‫ا‬
                                                                                                                                                            ‫.‬                 ‫ﺱ ا‬          ‫ا‬


    ‫!‬            ‫عه اا‬                 ‫لأ‬      ‫ﺡّ‬                  ‫و‬                      ‫ﺡ ا‬             ‫و د ﺡّ‬                 ‫ﺱ ه أﻡ‬                     ‫ه ا‬                            ‫ا‬


                                                                                                                                         ‫ّ‬
                                                                                                                                         ‫ء ا دي‬                     ‫ا‬             ‫ﺱ‬        ‫ا‬
‫ال ه ا،‬           ‫ام، ا‬               ‫حهاا‬             ‫ی‬               ‫ی،‬            ‫ﺱ ا‬                 ‫ﻡ زﻡ‬                    ‫ﺱ ا‬              ‫أن ﺕ ن ا‬                    ‫ًی‬           ‫ﻡ‬
‫ﺕ ّف‬              ‫ی ه ا‬                  ‫ﺱ ا‬               ‫ا‬               ‫ی ﺏ‬        ‫ا‬           ‫ع ﻡ أ اع ا‬                         ‫ه‬                  ‫ﺱ ا‬              ‫و ه أن ا‬
‫ﺡت‬               ‫ت و ا‬                 ‫ﻡ ل ا‬                       ‫ری‬                ‫ﺱ ا‬         ‫ا‬         ‫ذ‬                 ‫د‬           ‫و ﺥ‬                             ‫ا ي‬               ‫ا‬
‫ت‬            ‫ا‬                    ‫ا‬     ‫ی ﻡ‬                    ‫ﺱ ا‬               ‫ا‬        ‫؟ ﺕ‬            ‫ل ا‬       ‫ﺱ ا‬               ‫ا‬        ‫ﺕﺥ ه‬                           ‫ة،‬            ‫ا‬
        ‫رة‬            ‫ه‬                ‫أو ا‬            ‫ذ ، إن آ ن ا‬                                   ‫ً‬
                                                                                                 ‫ا، ﻡ ل‬            ‫ة‬     ‫ا‬           ‫اآ‬       ‫ا‬     ‫تﺏ‬                        ‫ةآ‬           ‫ا‬
    ‫ه‬    ‫ا اﺹ ﺏ‬                        ‫،ﺕ‬              ‫ﺏ‬               ‫ً‬
                                                                       ‫ا‬       ‫ﺏ ة‬                       ‫و دﺙ ﺙ ﻡ ﺏ‬                       ‫ﺡ‬         ‫،‬                   ‫ﺵ ع‬                ‫ﻡ‬
‫ﺥ ء‬              ‫أم ،‬                 ‫081 در‬                    ‫ع زوای ه ا ا‬                     ‫ف ﺏن ﻡ‬                 ‫)ﻡ دي(، إذا أرد أن‬                                    ‫ﺏ ﻡ‬          ‫ا‬
 ‫ﺕ ّه‬             ‫ی‬           ‫ﺏ‬       ‫أي ﺕ‬         ‫ﺕ‬           ‫رب، و‬                  ‫ا‬         ‫ﻡ إﺙ ت آ‬                     ‫ا‬            ‫ا ﺱتﺕ ق‬                                      ‫ا ﺕ‬
                                                                                          ‫ء.‬         ‫ی ا‬       ‫إ‬       ‫إﺙ ت‬               ‫ی‬        ‫ء، ﺏ‬                 ‫ی ا‬        ‫إ‬
‫03‬                                                                                ‫لا ج‬                                                      ‫ا‬                    ‫ا‬


      ‫؟ی‬            ‫ﻡ‬        ‫ﻡ‬        ‫ء‬         ‫ا‬           ‫أن ی‬                  ‫(. ه ﻡ ا‬             ‫)أو ا‬                ‫ا‬        ‫ﺕ ی‬                             ‫ا‬               ‫ی‬
      ‫دة‬             ‫دة ا‬        ‫ء - ا ﻡن ﻡ ﺙ ة ﺏ‬                             ‫ن و ا ﻡ ن، و ه ﺱ ا‬                    ‫ا‬           ‫ﺏ‬               ‫ی ﺏ ما‬                               ‫أ‬
                                                                          ‫.‬              ‫بآ‬        ‫ﻡ ور‬             ‫ء‬               ‫ا‬            ‫ی‬        ‫ءﺡ‬                         ‫ا‬


‫،و‬             ‫دة‬        ‫را‬               ‫ی ﺙ ﺏ‬                 ‫ﺹ وق رغ‬                  ‫رة‬        ‫ﺕ‬        ‫ر‬               ‫آ ی‬                  ‫ء‬               ‫ا‬           ‫أﺹ‬
     ‫ء!‬             ‫اا‬                ‫آ‬                 ‫ﺱ‬           ‫ا‬     ‫هﺕ‬                  ‫س و ﺏﺕ‬                ‫ر إ‬                  ‫ﻡ ی‬                 ‫أ‬                       ‫ا‬
‫ی(‬         ‫إ‬        ‫ﺱ )ا‬         ‫ه ا‬        ‫ﺏ‬               ‫ی‬        ‫ی ی ل: أ ّ آ ا‬                    ‫ی‬        ‫إ‬   ‫ﺱ ا‬                  ‫ه اﻡ ﺵنا‬                                    ‫ی‬
                                                                              ‫.‬        ‫ی ا‬     ‫ح‬            ‫ﻡ‬               ‫ﺕ‬                    ‫أﺕ ف‬                        ‫ن‬


‫و‬          ‫د‬                                        ‫ﺱ‬           ‫ا‬       ‫؟ إذا آ‬          ‫ﺱت ﺹ‬          ‫ﺱ ا ً و ه : أي ا‬                                  ‫حﺏ ا‬                    ‫ی‬
    ‫ال ه‬            ‫ی ،وا‬         ‫ﺕ‬        ‫ﺡ‬            ‫تو‬               ‫أﺱ‬                   ‫ﺱ ه‬           ‫تا‬              ‫ﻡ‬            ‫... ﺏ‬           ‫ﺕ‬               ‫دا ً‬
‫و‬                   ‫ا وزان ه ا‬             ‫ي‬            ‫ما‬              ‫اﺏ آ اب ه ا ﺱ ، ه ا‬                             ‫؟‬               ‫ی ﺹ‬                  ‫ﺱ ا‬                     ‫ا‬
           ‫و ا ﺡ اﺙ ت ا‬                             ‫ال، ه ا ﺡ اﺙ ت ا رﺕ ی ه ا‬                                   ‫اب ا‬                ‫؟ أم‬                 ‫ما ی‬                        ‫ا‬
‫ﺱ .‬            ‫ﺱ ا‬          ‫أن ﺕ ن ه ا‬                      ‫ﻡ‬           ‫ﺱ ا ﺥ ى،‬             ‫أﺹ ّ ﻡ ا‬                       ‫؟ إذن، أي ه ﺱ ه‬


‫ا ول وه‬                  ‫ن: ا‬               ‫ا‬           ‫ﺱ‬           ‫ءوا‬           ‫ا‬      ‫ی )‪ (conventionalism‬ی‬                                       ‫ا‬                   ‫ا‬
      ‫ا ﺥ و ه ری ن و ﺏ ا‬                                ‫ﺱ ذاﺕ ، و ا‬                   ‫ی )‪(metric‬‬           ‫ون ﺏ‬             ‫ی‬           ‫ﺕ و راﺱ و وای‬
                                                                                         ‫ی.‬    ‫ی ه ﺕ‬                ‫ون ﺏ ن ه ا‬                           ‫ی ی‬                 ‫وأ‬
‫13‬                                             ‫لا ج‬                                                                       ‫ا‬         ‫ا‬


                                                                      ‫ﺱ ا‬                      ‫ا‬                    ‫ه و‬                        ‫ﺏ‬
                                                   ‫أﺽ ع ﺱ آ ي ‪Saccheri quadrilateral‬‬                                                          ‫رﺏ‬
‫ع‬      ‫ا‬     ‫س، ه ا ا ﺏ‬            ‫ا ازي‬           ‫ﻡ إﺙ ت ﻡ‬                                ‫ع‬            ‫أ‬           ‫أﺱ ن ﺱ آ ي ﺏ ﺏ‬
           ‫ا ﺥ ﺕ :‬      ‫اوی‬       ‫وه كﺙ ﺕ ﺡ ت‬                     ‫ﻡ‬           ‫ی‬                         ‫وی‬      ‫دی ﻡ‬                ‫نﻡ‬        ‫ﻡ‬
                                                                                      ‫ن‬             ‫ا و : ه ا وای ن‬                            ‫ا‬
                                                                                  ‫ن‬                ‫: ه ا اوی ن ﻡ‬                     ‫ا‬         ‫ا‬
                                                                                       ‫: ه ا اوی ن ﺡ دﺕ ن‬                            ‫ا‬         ‫ا‬
                                               ‫ی‬        ‫ﺱ ا‬           ‫ا‬                ‫ّ‬       ‫وه ﻡ ﺕ‬                   ‫ا و‬         ‫ﺙ تا‬
                                             ‫ا ﺥ ﺕ ،‬                      ‫ا‬                         ‫ا‬               ‫ه‬         ‫ﺱآ ي‬            ‫ﺱ‬
                                               ‫ﻡ‬                  ‫ا‬               ‫ا‬                         ‫ا‬            ‫ع أن ی ّه‬            ‫اﺱ‬
‫ها‬           ‫ا‬      ‫ا‬             ‫م إﻡ ن إﺙ ت ﺕ‬         ‫.‬     ‫ا‬               ‫ا‬                             ‫ا‬            ‫ع أن ی ّه‬            ‫اﺱ‬
                 ‫ﺏ ّ.‬             ‫ﺱآ يه ا‬           ‫ی‬                                 ‫ﺱ ا‬           ‫ا‬                   ‫أن ی ﺥ ﻡ‬          ‫ا ﺏ‬


                                                   ‫ت ‪Lambert quadrilateral‬‬                                                    ‫أﺽ ع‬            ‫رﺏ‬
 ‫ع ﻡ تﻡ‬          ‫و زاوی ﺡ دة. أﺱ‬            ‫ن ﻡ ﺙ ﺙ زوای‬                  ‫ﻡ‬                ‫ﺱآ ي‬                     ‫ﻡ تآ ﺏ‬                    ‫رﺏ‬
‫ﺱآ ي ﻡ‬                        ‫،‬       ‫ﺱ ا‬     ‫ی ا‬            ‫ﻡ‬                    ‫ا‬                ‫أن ی ّه‬                    ‫ﺥ لهاا ﺏ‬
    ‫مو دﺕ ﺱ‬       ‫رﺏ ّ ی‬          ‫ه إن و د ا اوی ا دة‬                                     ‫ﻡ ﺏ ّه‬                ‫،‬             ‫دﺕ‬     ‫ﺏ‬        ‫أد‬
                                                                  ‫.‬                   ‫نﻡ ﺡ ا‬                        ‫و‬          ‫ﻡ ﺡ ا‬           ‫ﺏ‬


                                       ‫ﺱآ ي‬             ‫( ﺏ‬                   ‫ته ه‬                      ‫ﺕ )ا‬              ‫ا واﺏ ا‬              ‫ﺏ‬
                                                                                                                                   ‫و ﻡ ت:‬
                                                                ‫‪c‬‬             ‫‪b‬‬
                                                            ‫ﺱ آ ي: ‪sinh = cosh a sinh‬‬                                                    ‫رﺏ‬
                                                                ‫2‬             ‫2‬
                                                            ‫ﻡ ت: ‪sinh c = cosh a sinh b‬‬                                                  ‫رﺏ‬
                                                                                                        ‫ع‬               ‫لا‬         ‫‪a‬و‪b‬و‪c‬‬
‫23‬                                                  ‫لا ج‬                                     ‫ا‬            ‫ا‬


                                                                                                     ‫نا‬
 ‫ع ا وای ا اﺥ‬          ‫‪ 2π‬و ﻡ‬         ‫ه ا قﺏ‬               ‫ﺱ ا‬      ‫ا‬       ‫أو ‪Defect‬‬            ‫ن أو ا‬           ‫ا‬
                                                                                                     ‫أي:‬


                           ‫) ‪Defect ( ∆ABC ) = π − ( ∠Ar + ∠B r + ∠C r‬‬


                                                                   ‫ا ادی ن،‬     ‫ا وای ﺡ‬              ‫ه ا اﺏ‬


                                        ‫:‬     ‫ﺏ‬      ‫‪ k‬يﻡ‬        ‫دﺙﺏ وﻡ‬         ‫ه ك‬               ‫ﺱ ا‬         ‫ا‬


                                      ‫) ‪S ABC = k 2 × Defect ( ∆ABC‬‬
                                                                               ‫ا ر‬      ‫ا وای ﺡ‬               ‫إذا آ‬
                                              ‫‪π‬‬
                                ‫= ‪S ABC‬‬            ‫) ‪k 2 × Defect ( ∆ABC‬‬
                                             ‫081‬


                                  ‫.‬          ‫ﺱ ا‬      ‫ا‬    ‫‪ABC‬‬          ‫‪S‬ﻡ ﺡ ا‬                       ‫ه ا اﺏ‬
                                                                                     ‫‪ABC‬‬


             ‫ﺱ ا‬       ‫ا‬          ‫ه 2 ‪ .π k‬ﻡ ﺡ ا‬             ‫ﺡ ا‬               ‫ا ّا‬              ‫ﺱ ا‬          ‫ا‬
     ‫ﻡ ﺡ ا‬         ‫ﺕ‬       ‫ا رﺕ ع، و إ‬                      ‫با‬          ‫ی ﺡﺹ‬         ‫ﺱ ا‬         ‫ا‬            ‫آ ه‬
       ‫ﺏ ﺡ ط( ﻡ‬            ‫ذو ﻡ ﺡ )أ‬          ‫و دﻡ‬          ‫ا ل‬         ‫ی‬      ‫ﺡ.‬       ‫نا‬            ‫ن‬           ‫ﻡ‬
                                                                                         ‫.‬             ‫ﺱ ا‬        ‫ا‬


 ‫ه :‬    ‫ع زوای ا اﺥ‬          ‫وﻡ‬             ‫ﻡ ﺡ ا‬     ‫وس ﺕ ﺏ ﺏ‬          ‫‪ K‬ه ك راﺏ‬            ‫ءا‬        ‫إذا آ ن إ‬
                                  ‫‪K × S ABC = ∠Ar + ∠B r + ∠C r − π‬‬
                                                                    ‫ﺙ ث ﺡ ت ﻡ ه ا اﺏ :‬
‫33‬                                             ‫لا ج‬                                                              ‫ا‬        ‫ا‬


‫س‬        ‫ا‬    ‫ه ا‬         ‫اآ ﻡ 081 در‬            ‫ع زوای ا‬            ‫ﻡ‬               ‫ه ا‬               ‫ا و : 0> ‪K‬‬                 ‫ا‬
                                                            ‫.‬            ‫ا‬               ‫ی‬            ‫ﺏ ءه ﺱ ﺏ‬                ‫ی‬   ‫ﻡ‬
‫ﺱ‬        ‫ذج ﺏ ء ا‬        ‫وه‬     ‫081 در‬        ‫ع زوای ا‬           ‫ﻡ‬               ‫ه ا‬                   ‫: 0= ‪K‬‬             ‫ا‬       ‫ا‬
                                                                                             ‫.‬         ‫ءا‬            ‫ی ذات ا‬      ‫ا‬
     ‫ی‬       ‫سﺱ‬     ‫وا‬    ‫ﻡ 081 در‬       ‫أ‬      ‫ع زوای ا‬             ‫ﻡ‬               ‫ه ا‬               ‫: 0< ‪K‬‬             ‫ا‬       ‫ا‬
                                                                                     ‫.‬            ‫ا‬                    ‫ﺏ ءه ﺱ ه‬


                                                                     ‫:‬           ‫ا‬                      ‫ه ا اﺏ‬            ‫ﻡ ﻡ ی‬


                                  ‫) ‪S ABC = k 2 × Defect ( ∆ABC‬‬


                                ‫‪K × S ABC = ∠Ar + ∠B r + ∠C r − π‬‬


                                                                                                                         ‫1‬
‫رة‬             ‫ا‬         ‫ﺏن ا‬     ‫1− = ‪ i‬ی‬        ‫ه ا اﺏ‬                 ‫‪k = iR‬‬                         ‫− = ‪ K‬إذا‬           ‫إذن‬
                                                                                                                         ‫2‪k‬‬
                                                      ‫أو وه .‬                    ‫ﺥ‬                              ‫ع أو‬     ‫آ ةﺏ‬


                                                                             ‫:‬                   ‫ﺱ ا‬        ‫ا‬           ‫ﻡ ﺡ ا ا‬
                                                             ‫‪r‬‬
                                         ‫‪S○ = 4π k 2 sinh‬‬
                                                            ‫‪2k‬‬
‫43‬                                                                                          ‫لا ج‬                                                              ‫ا‬                     ‫ا‬


                                                                                                                                                          ‫زاو ا ازي‬
                       ‫ن‬                               ‫‪ L‬ه ك‬                        ‫ا‬            ‫د ‪PQ‬‬                        ‫‪L‬‬                    ‫ا‬                    ‫‪P‬‬
                                       ‫‪P‬‬                                                         ‫ان أي:‬                 ‫ن‬                  ‫ن ‪ L‬ه ان ا‬                                       ‫‪QP‬‬
                                                                                              ‫ه زاو‬                 ‫ا او‬          ‫ه‬               ‫‪ ∠XPQ = ∠QPY‬آ‬
                                                                                                                             ‫‪.L‬‬                       ‫ا‬       ‫‪P‬ا‬                        ‫ازي‬
                                                                                                                                      ‫:‬                       ‫–‬                             ‫ن‬

                                                                                                                   ‫‪α‬‬      ‫‪−d‬‬
                                                                                             ‫‪L‬‬             ‫‪tan‬‬          ‫‪=e k‬‬
                                                                                                                    ‫2‬


‫‪.L‬‬                 ‫ا‬       ‫ا‬                   ‫‪P‬‬            ‫ازي ا‬               ‫أ زاو‬            ‫ه ا °)‪ Π ( PQ‬و‬                   ‫ا ر‬                         ‫ه ا او‬
                           ‫‪α‬‬
                   ‫‪tan‬‬                 ‫،و‬               ‫نا‬              ‫ن‬                                               ‫ا‬         ‫ا‬           ‫نه ا‬                         ‫هاا‬                  ‫‪k‬‬
                               ‫2‬
           ‫ا‬           ‫آ ه‬                                      ‫ا‬           ‫ا‬               ‫ا او‬           ‫ن‬           ‫ا آ‬                ‫أو .‬                        ‫ا او ‪ α‬و ‪e‬‬
‫ن ‪ XP‬و ‪YP‬‬                                  ‫ا‬                ‫ا‬           ‫ا‬                    ‫ور. آ‬             ‫ا‬        ‫ا‬                     ‫ا‬                   ‫ا‬                             ‫ا‬
                                                                                                                             ‫‪.L‬‬                       ‫از ن‬                 ‫ان و‬
                                                                                                   ‫‪π‬‬
      ‫. إذن‬                    ‫ا‬               ‫ا‬        ‫و ه زاو ا ازي‬                                              ‫زاو ا ازي‬                              ‫∞→ ‪k‬‬
                                                                                                   ‫2‬
       ‫إ‬           ‫ه‬                       ‫ا‬            ‫ا‬                                              ‫(‬               ‫نا‬                     ‫‪)k‬‬                       ‫ا‬
       ‫ا‬               ‫زاو ا ازي‬                                        ‫ا‬                                          ‫‪،L‬و‬                    ‫ازي ا‬                   ‫وا‬                        ‫ذات‬
                                                                            ‫از .‬             ‫ط‬                                        ‫ه‬                   ‫ا‬                 ‫ا‬                   ‫و‬
                                                                                                           ‫‪π‬‬
                                                                            ‫→ ‪k →∞ ⇒α‬‬
                                                                                      ‫2‬
                                                                            ‫0 → ‪k →0⇒α‬‬


           ‫ا‬                           ‫ا‬               ‫با‬                       ‫آ‬            ‫ا‬     ‫ه‬               ‫0→ ‪d‬‬           ‫∞ → ‪ k‬إذا آ‬                                           ‫ً‬
‫إذا‬            ‫،‬                   ‫ا‬               ‫ا‬                ‫ا‬                   ‫ا‬     ‫ق روا‬                ‫ة‬         ‫د‬            ‫ا‬           ‫إذا آ‬                     ‫،‬               ‫ا‬
‫53‬                                         ‫لا ج‬                                     ‫ا‬           ‫ا‬


     ‫ةی‬   ‫‪k‬ﺹ‬      ‫سا‬       ‫ﺏ‬     ‫عهاا‬        ‫لأ‬         ‫ﺏ ةﺏ‬        ‫ﺙ ث آ اآ‬            ‫رؤس ا‬         ‫آ‬
                                                              ‫ی.‬    ‫و أﺏ د ﺕ ی ً إ‬          ‫ه‬   ‫ء‬     ‫ا‬


                                                                    ‫‪Engel Theorem‬‬               ‫إ‬
     ‫إذن و د رﺏ‬    ‫ر 1 إذن و‬           ‫ا‬          ‫ﺱ ﻡ‬    ‫ﻡ ا‬        ‫ا اوی ﻡ ا‬           ‫ا‬       ‫و دا‬
                                       ‫ر 2‬        ‫ا‬           ‫ﺱ ﻡ‬        ‫ﻡ ا‬     ‫ع ﻡ تﻡ ا‬             ‫أ‬




                           ‫ر 2‬     ‫ا‬                    ‫ر 1‬          ‫ا‬


      ‫در، ذآ ه ه‬       ‫ا‬          ‫ﻡ ه ة ﺏ هن ه ا‬           ‫ه ﺏ ﺏ هن و ی‬                     ‫آ ه ا‬
                                           ‫ﺱ.‬         ‫ﺹ ه ا‬          ‫ﺏ‬         ‫د أﺱ ام ﻡ‬        ‫آ ﺏ‬
‫63‬                                                               ‫لا ج‬                                                    ‫ا‬              ‫ا‬


                                                                                                         ‫ﺱ ا‬         ‫ا‬                         ‫ﺏ‬
‫ﺙ ت‬              ‫ﺱ ا‬       ‫ه ا‬       ‫ا ازي‬                       ‫ﺏ‬           ‫ا ﺱ‬       ‫آ‬             ‫ف‬        ‫ی ﺱ‬        ‫ﻡ ﺥ له ا‬
    ‫ﻡ ﺥ ل ه‬            ‫ی،‬        ‫ﺱ ا‬              ‫ا‬                  ‫ﺕ‬        ‫و‬     ‫إﺙ ﺕ‬         ‫ی‬        ‫ی‬         ‫ﺱ،‬        ‫ا‬     ‫ی ه‬
‫ی‬     ‫.ه ا‬             ‫ءا‬        ‫ا‬        ‫ً‬               ‫ﺏ ا‬
                                                          ‫ً‬                  ‫ی وإ‬          ‫ه ا‬            ‫إ ﻡ ﺏ هن‬                  ‫ی‬          ‫ا‬
                                                                                                                                            ‫ه :‬
                                                                 ‫ع زوای أ ﻡ 081 در‬                            ‫ﻡ‬      ‫ﻡ‬            ‫1: ی‬         ‫ا‬




       ‫ﺱ ا‬       ‫ا‬     ‫ا ازي‬                  ‫ﻡ‬             ‫‪ L‬اﺱ دا‬
                                                            ‫ً‬                          ‫ا‬                       ‫ض ان ‪p‬‬               ‫ا ه ن:‬
                                     ‫‪ m‬و‪n‬‬                       ‫‪ p‬ﻡ‬                 ‫‪L‬ﻡ ا‬             ‫ن ﻡ ازی ن‬                ‫ﺱ ﻡ‬


                             ‫‪R‬ﺏ‬                       ‫:‬         ‫‪∠QRP < ∠xpy‬‬
‫‪ PR‬داﺥ ا اوی ‪QPx‬‬                      ‫: نا‬                      ‫‪∠QPR < ∠QPx‬‬
                                                                ‫____________‬
                                                                ‫°09 = ‪∠QPR + ∠QPx < ∠xpy + ∠QPx‬‬
                                                                ‫°09 < ‪∠QPR + ∠QPx‬‬


‫ع زوای‬       ‫ﻡ‬         ‫وﺏ‬    ‫ﻡ 09 در‬                       ‫ا اوی ‪ △PRQ‬أ‬                      ‫ا‬            ‫ع زاوی ن ﻡ ا‬                      ‫أي ﻡ‬
                                                                                           ‫ﻡ 081 در .‬                ‫‪ △PRQ‬أ‬                    ‫ا‬
    ‫ع زوای ا اﺥ‬        ‫ﻡ‬             ‫)ا‬                    ‫ﺱ ا‬           ‫ا‬             ‫مو دﻡ‬                  ‫ه‬              ‫ه ا‬              ‫أﺡ‬
                                                                                                                              ‫063 در (‬
‫73‬                                                     ‫لا ج‬                                                 ‫ا‬                ‫ا‬


‫ن‬        ‫ﻡ‬     ‫ا‬     ‫ﻡ ور‬              ‫‪ ،L‬ی‬        ‫ا‬                          ‫، ﻡ أي‬           ‫ﺱ ا‬              ‫ا‬        ‫2:‬           ‫ا‬
                                                                                                        ‫‪L‬‬                ‫ی ازی ن ا‬


                                                                                                                         ‫ا ه ن:‬




‫‪m‬‬            ‫ﺱ ا‬         ‫ﻡ ه ا‬                ‫‪ ،L‬و آ‬                 ‫ا‬         ‫د ‪PQ‬‬        ‫ﺱ‬       ‫‪P‬‬                ‫- ﻡ ا‬
                                                                                               ‫‪PQ‬‬                   ‫د‬
                         ‫‪L‬‬        ‫د‬       ‫‪t‬‬          ‫ﺱ ا‬                 ‫‪L‬وﻡ‬           ‫ا‬       ‫‪R‬‬            ‫ا‬                    ‫-‬
                                                                ‫‪t‬‬         ‫د‬     ‫د ‪PS‬‬       ‫‪ P‬ﺱ ا‬                    ‫- ﻡ ا‬


‫‪□PSRQ‬‬              ‫ه ا‬        ‫‪m‬‬                 ‫‪S‬ﻡ‬              ‫آ‬        ‫ن ن،‬      ‫ﻡ‬        ‫د ‪PS‬‬                ‫‪m‬وا‬                   ‫ا‬
‫ن‬        ‫ع زوای 063 در‬            ‫)ﻡ‬           ‫ﺱ ا‬          ‫ا‬                 ‫مو دﻡ‬                    ‫ﺏ ّه ّ‬           ‫،و‬           ‫ﻡ‬
                                                                              ‫ﻡ 081 در (‬           ‫أ‬            ‫ع زوای ا‬             ‫ﻡ‬


     ‫ا ازي‬                   ‫ﺏ هن ﻡ‬            ‫ه ا‬                  ‫‪)L‬‬           ‫ن ‪ PS‬و ‪ m‬ﻡ ازی ن‬                                ‫إذن: ا‬
     ‫ﻡ‬         ‫ه ا ﺥ‬           ‫ﻡ ت وی‬                  ‫رﺏ‬                ‫، ه ا ا هن آن ﺏ ﺱ د‬                             ‫ﺱ ا‬          ‫ا‬
                                                                                                                         ‫ا ازي(‬
‫83‬                                         ‫لا ج‬                                   ‫ا‬            ‫ا‬


‫ن‬     ‫ه ك‬    ‫ا آ‬       ‫ن ‪ L‬و ′‪ L‬ﻡ ازی ن،‬              ‫، إذا آ ن ا‬     ‫ﺱ ا‬     ‫ا‬           ‫3:‬        ‫ا‬
                                                                     ‫ا ﺹ ﻡ ′‪L‬‬              ‫‪L‬ﺏ‬
                                                                                           ‫ا ه ن:‬
                                       ‫ا ﺹ ﻡ‬      ‫‪L‬ه آ ﺏ‬           ‫ﺙ‬    ‫ض أن ه ك‬
                                       ‫′‪ □BB′AA‬و ′ ‪ □BB′CC‬و ′ ‪ □ ACA′C‬ه ّ‬    ‫′‪ . L‬ا ﺏ‬
                                             ‫ور‬    ‫ﺱ آ ي ا وای ا‬       ‫رﺏ‬     ‫ﺱآ ي)‬                ‫رﺏ‬
                                              ‫وی ن(‬      ‫ا اوی ن ﻡ‬      ‫ﺏ‬     ‫عا‬           ‫وا‬


                                           ‫‪∠AA′C = CC ′A ‬‬
                             ‫‪AA′ = BB′  ‬‬                ‫‪‬‬
                                       ‫‪ ⇒ ∠B′BC = C ′CB  ⇒ ∠B′BC = ∠B′BA‬‬
                             ‫‪BB′ = CC ′ ‬‬                ‫‪‬‬
                                           ‫‪∠A′AB = B′BA ‬‬

‫و د‬    ‫ت و‬         ‫ﻡ‬   ‫ه‬        ‫ها ا‬       ‫ت ﺱآ ي‬         ‫رﺏ‬           ‫ن‬      ‫ا اوی ن ﻡ‬            ‫ه‬
        ‫ا ﺹ ﻡ ′‪. L‬‬         ‫ّﺏ‬     ‫، إذن ‪ A‬و‪ B‬و ‪C‬‬           ‫وه اﺕ‬        ‫ﺱ ا‬           ‫ا‬
‫93‬                                                    ‫لا ج‬                                                      ‫ا‬           ‫ا‬


                               ‫)‪(Klein – Beltrami Model‬‬                                              ‫–آ‬         ‫ذج ﺏ ا‬
     ‫ا‬               ‫ه ‪ R‬وا‬            ‫(ﻡ آ ه ‪O‬و‬                        ‫ﻡ‬           ‫‪) γ‬دا‬           ‫دا‬     ‫رة‬         ‫ذج‬         ‫هاا‬
‫: ‪X<OR‬‬           ‫ﺏ‬    ‫داﺥ ه ا ا‬        ‫ا ط‪X‬ا ا‬                          ‫ﻡ‬           ‫رة‬          ‫ه‬        ‫ی . داﺥ ه ا ا‬               ‫ا‬
‫ها‬         ‫ا ا‬       ‫أوﺕ ر ه‬     ‫، آ‬         ‫ا‬                ‫ط ا‬           ‫ه‬           ‫ذج ا ط داﺥ ا ا‬                     ‫ها ا‬
‫‪γ‬و‬       ‫ن ‪ A‬و ‪ B‬ﻡ ی ﺕ ن داﺥ ا ا‬                 ‫ذج ا‬          ‫هاا‬              ‫.‬           ‫ا‬             ‫طا‬        ‫ذج ه ﺥ‬           ‫ا‬
‫ط‬    ‫ه‬      ‫ا ا‬        ‫ﻡ‬         ‫ذج ا ط ا ا‬           ‫هاا‬           ‫.‬               ‫ا‬    ‫ه ك وﺕ وﺡ ی ّ ﻡ آ ه ﺕ‬
                                                                                ‫.‬           ‫ا‬            ‫طا‬            ‫و ﺕ‬           ‫ﻡ‬




                                 ‫ا‬       ‫ا‬                           ‫ذج ﺏ اﻡ - آ ی‬


                                       ‫‪ P‬ی ازی ن ا ﺕ ‪L‬‬                                ‫ر‬
                                                                                ‫ﺏ ا ﺕ ان ا ّان ﻡ ا‬                     ‫ا‬         ‫ا‬
                                       ‫ا ازي‬                                ‫ا‬            ‫ا آ ﺏنا‬                    ‫‪) γ‬ی‬        ‫ﻡ ا ا‬
                                                 ‫می‬       ‫ﻡ‬         ‫ﻡ‬                           ‫ه :ﻡ‬                  ‫ﺱ ا‬        ‫ا‬
                                                      ‫ا‬        ‫ی‬    ‫و‬               ‫ی ّﻡ ه ا‬                   ‫ﻡ‬           ‫ﻡ ور أآ‬
                                                                                                                           ‫م(‬        ‫ا‬
‫04‬                                                                   ‫لا ج‬                                                              ‫ا‬           ‫ا‬


              ‫ا اوی )زاوی ن ﻡ وی ن إذا آ‬                           ‫و‬           ‫لا‬                 ‫ذج‬              ‫هاا‬              ‫ما س‬                   ‫ی‬
      ‫ی‬        ‫ی وي ا ﺥ (‬                    ‫لآ ﻡ‬            ‫ن ﻡ وی ن إذا آ ن‬                         ‫آ زاوی ﺕ وي ا ﺥ ى، و ﻡ‬
    ‫یﺥ آ‬             ‫ی ،وﺡ‬               ‫ا‬           ‫ذج ا‬               ‫ذج آ ه ا ل‬                    ‫هاا‬                              ‫لا‬         ‫ا آ ءﺏ‬
          ‫ﺕ ه‬       ‫ما‬        ‫ﻡ ﻡ‬            ‫‪ ،γ‬ن ه ا ی‬            ‫ا ا‬                      ‫أ ّ أو ی وي‬                    ‫لﻡ‬               ‫)ﺥ (‬         ‫ﻡ‬
                                                                  ‫ً‬
                                                                 ‫ی ا.‬        ‫ل أو ا ﺹ ﺕ ی ً‬                       ‫ءا‬           ‫أ‬           ‫ذج،ی‬        ‫ه اا‬


                                                                               ‫:‬        ‫ا‬             ‫ذج ﺏ‬         ‫ه اا‬                    ‫ا ﺹ‬         ‫ﺕ ی‬
                             ‫ذج ه :‬          ‫ه اا‬           ‫‪ A‬و ‪ B‬إذن ا ﺹ‬                   ‫ی ﺏ‬           ‫ض أن ‪ AB‬ه ا ﺹ ا‬




                                                                                    ‫1‬     ‫‪APi BQ‬‬
                                    ‫ا‬                                ‫= )‪d ( AB‬‬        ‫‪log‬‬
                                                                                    ‫2‬     ‫‪BPi AQ‬‬




‫.‬             ‫وﻡ‬             ‫ﻡ ا رئ ﻡ ا‬                   ‫ذج ﺏ ا ری ‪ Poincaré Model‬أ‬                                       ‫ذج ﺥ ﺏ ﺱ‬                    ‫ه ك‬
‫ذج‬            ‫ض‬              ‫ض ﻡ‬         ‫. ا‬         ‫)‪ (Isomorphs‬ﻡ ﺏ‬                        ‫آ‬     ‫ﻡ‬                    ‫ا‬                   ‫ذج ا‬
      ‫ﻡ ﺥ‬                ‫ی‬       ‫ﺱ ا‬         ‫ذج ا‬         ‫ه ا‬                  ‫ذج ﺏ ا ری ه‬                    ‫ﺏ‬        ‫ﺏ اﻡ - آ ی و ا آ‬
      ‫تﺏ‬                     ‫آ‬      ‫ﺡ‬          ‫ً، و آ‬           ‫ره‬           ‫ه وﺕ‬           ‫ﺕ‬             ‫ی‬        ‫ا‬       ‫ا ﺱﺱ‬                    ‫ا‬      ‫ﺕ‬
‫ا ﺱﺱ ،‬                        ‫ﺱ‬     ‫ی ا‬             ‫ت وا‬         ‫ﻡ ا‬          ‫یةﺕ ﺱ‬                   ‫ﺱ و أﺥ ت ﺕ ری‬                           ‫اص ا‬        ‫ا‬
          ‫ﺏ‬     ‫وﺕ ری‬             ‫ذج ﺏ‬         ‫ی.‬     ‫إ‬     ‫ی وا‬              ‫ﺱ ا‬       ‫ا‬       ‫ﺙ ت ا اؤم ﺏ‬                                 ‫ذج ﺕ‬       ‫ه ا‬
    ‫إدراآ‬          ‫ره و ﺡ‬           ‫ﺕ‬            ‫ا ﺡ ن ی‬                ‫یة ﺏ‬        ‫و أﻡ ر‬            ‫ه‬                    ‫ﺕ‬       ‫ﻡ ا ا‬               ‫ﻡ ا‬
‫ل‬         ‫ا‬     ‫ﺱ‬             ‫لوا ﺹ ،‬                 ‫ا‬       ‫إﺵ‬         ‫ر‬      ‫ذج و آ‬                ‫هاا‬                          ‫ا‬              ‫را‬     ‫آ‬
                                                            ‫ی.‬           ‫ﻡ‬         ‫‪Ρ‬ﺕ‬           ‫‪B‬‬             ‫ﻡ ﺕ‬              ‫‪A‬و‪B‬‬                ‫ا ﺹ ﺏ‬
‫14‬             ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬




     ‫=‬
                              ‫2‬

         ‫1‬ ‫_‬
‫24‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
‫34‬                                                          ‫لا ج‬                                                                        ‫ا‬                       ‫ا‬


                                                                                                                                       ‫ا ﺹ‬                                    ‫ا‬

                                                                                                            ‫ا‬                                   ‫ُ‬
                                                                                                                                                ‫ﺏ‬           ‫ا ﺹ لا‬
 ‫ی.ﻡ ه‬           ‫ا‬               ‫ﺏ أﺹ‬           ‫، ذات‬                    ‫ی ا‬                ‫ت و ﻡ دأ و راء‬                         ‫توﻡ‬                                  ‫ه ك‬
     ‫ت و ﻡ دأ‬        ‫ه ك ﻡ‬           ‫ا ﻡ.‬                  ‫ّا‬              ‫ﻡ ی‬              ‫ا ﺹ وﻡ‬                            ‫ّا‬        ‫تﻡ ی‬                                  ‫ا‬
     ‫، آ أ ﻡخ و ﻡ‬            ‫ی‬             ‫دأ‬     ‫توا‬                        ‫ه ا‬                     ‫ی و إن آ‬                 ‫ه ا‬                                            ‫ﺕﺙ‬
                ‫ی ه :‬            ‫ﺏ ه ا‬                ‫أﺱ‬            ‫دأ ا‬           ‫توا‬                      ‫ی .ا‬      ‫إ‬        ‫ﺱ ا‬                  ‫ا‬           ‫ا ازي‬
                                                                                                                     ‫ا ﺹ :‬                                  ‫ﺽ تا‬
                                                                     ‫ا‬         ‫ا‬        ‫ا‬            ‫آ‬                    ‫یءه‬           ‫ا‬               ‫ا‬
                                                  ‫را‬                ‫ﺡ آ ا‬                                 ‫ا اغ ﻡ‬              ‫ء‬         ‫ا‬                   ‫ﺱ‬
                                                                    ‫‪: Cosmological Principle‬‬                                                            ‫ﺱ‬               ‫أا‬
                     ‫اص.‬        ‫ّ‬
                              ‫وﻡ ﺡ ا‬                  ‫نﻡ‬            ‫أن: ا‬                    ‫أ‬           ‫ّه اا‬        ‫ً‬
                                                                                                                     ‫ای‬            ‫س واﺱ‬                    ‫ﺏ‬
                                                                                                                                                            ‫أ خ:‬
                            ‫ره :‬           ‫ﻡخﻡ أﻡخوه ا‬                                           ‫ﻡ أ ر أر‬                          ‫ﻡ‬                    ‫ی‬           ‫أ‬         ‫أ‬
                                    ‫اﺹ ا دة.‬                    ‫ﺏ‬            ‫ﺵ ﺱ ى رواﺏ أ ا‬                                   ‫ذاﺕ‬           ‫ء‬               ‫‪ o‬ا‬
‫دة‬      ‫ا‬       ‫ه ا رة و آ ّ ا‬             ‫آ‬      ‫ﺏ‬                 ‫عﻡ ا‬                                   ‫ي ذرة ه‬                          ‫ا‬               ‫‪ o‬ا‬
                                                                                                                                       ‫ن.‬           ‫ا‬
                                           ‫.‬                                           ‫آ ا‬            ‫ه ا‬                 ‫ا‬                 ‫ا‬               ‫‪ o‬ا‬
                                           ‫أي ﺥ ﺹ ه ﺱ .‬                                  ‫ی‬            ‫)أو ا اغ(‬                ‫ا‬                        ‫‪ o‬أي‬
                                                       ‫ه ﺱ ﺏ ﻡ دة.‬                                   ‫ﺱ ،و‬        ‫ا‬        ‫ﺕ‬         ‫‪ o‬ا دة ه ا‬
                                                                                                                                       ‫ا ازي:‬
      ‫وض.‬       ‫ا‬            ‫واﺡ ی ازي ا‬               ‫رﺱ ﻡ‬                        ‫ی‬             ‫ﻡ‬                            ‫ی :ﻡ‬                  ‫ﺱ ا‬                  ‫ا‬
‫وض.‬         ‫ا‬            ‫ی ازي ا‬       ‫ﻡ‬        ‫رﺱ أآ ﻡ‬                        ‫ی‬                 ‫ﻡ‬                            ‫:ﻡ‬                    ‫ﺱ ا‬                  ‫ا‬
        ‫وض.‬          ‫ا‬           ‫ی ازي ا‬         ‫رﺱ ﻡ‬                    ‫ی‬                       ‫ﻡ‬                        ‫ی :ﻡ‬                      ‫ﺱ ا‬                  ‫ا‬
‫44‬                                                     ‫لا ج‬                                        ‫ا‬             ‫ا‬


                                                                                    ‫ا‬              ‫ا‬        ‫ما‬
‫ت‬          ‫ﻡ ه ﻡ ا‬              ‫ﻡ‬     ‫رة‬           ‫ه‬         ‫ا‬        ‫ﺡ أو ا اﺹ (‬           ‫أو ا‬            ‫)ا‬       ‫ا‬   ‫ا‬
‫ر‬      ‫إزا ا‬        ‫ا ﺥ ى ﺱ آ . إذن ی‬          ‫ا‬           ‫،وآ ﺏ‬          ‫ء، ﻡ اﻡ ت ﻡ ﺏ‬                ‫ا‬             ‫ﻡ ز‬
                                               ‫ه ة" .‬        ‫ح "ا س" و "ا‬       ‫أﺹ‬          ‫سﺏ‬         ‫ﻡ ا‬               ‫ا‬


    ‫ل ﺙﺏ‬        ‫،وهاا‬     ‫ﻡ‬    ‫ﺱآ آ‬                    ‫ل‬     ‫،‬    ‫؟‬      ‫ا‬          ‫ل و زﻡ ن ﻡ‬               ‫ه ه ك‬
‫د‬          ‫ا‬       ‫ﺕ لا‬                 ‫آ ﻡ ا‬                      ‫.ی‬           ‫ﻡ‬             ‫آ ﻡ ا‬              ‫ا‬       ‫ﺏ‬
               ‫ل ﻡ وي‬   ‫وا إن ه ا ا‬        ‫،‬            ‫لا‬       ‫ﻡ اﺏ س‬       ‫ﺱآ ،ﺙ‬                    ‫،ا‬            ‫ﻡ‬
                                                                         ‫ت.‬     ‫ا‬       ‫ا‬          ‫ﺏ‬       ‫ا .آ‬          ‫ا‬
‫54‬                                            ‫لا ج‬                                                  ‫ا‬           ‫ا‬


                                                                                                ‫ت ر‬                         ‫ﺕ‬
‫م‬    ‫ا واﺏ‬   ‫، ﺱ ج ه‬              ‫إﺡ اﺙ ت ﻡ‬         ‫ﺏ‬   ‫ﺕ ﺏ‬        ‫رواﺏ‬          ‫رة‬         ‫ه‬           ‫ر‬       ‫ﺕ ی ت‬
‫ها‬    ‫4‪ x‬و 1‪. x‬‬           ‫ر1‪ x‬و ﺏ ازات ا‬        ‫ا‬       ‫ا‬              ‫‪) α‬در ( ﺏ‬            ‫ﺏ وران ﻡ ر 1‪ x‬ﺏ‬
                                    ‫ﻡ آ ا ﺡ اﺙ ﺙ ﺏ .‬                    ‫ران 2‪ x‬و 3‪ x‬ﺙ ﺏ ن، آ‬                ‫ا وران ا‬


                                                                       ‫‪ x1 = x1 cos α + x4 sin α‬‬
                                                                       ‫‪‬‬
                                                                       ‫‪ x4 = − x1 sin α + x4 cos α‬‬
                                                                       ‫‪‬‬
                                                                       ‫‪‬‬
                                                                       ‫2‪ x2 = x‬‬
                                                                       ‫‪x = x‬‬
                                                                       ‫3 ‪‬‬
                                                                       ‫‪‬‬       ‫3‬




             ‫‪O‬‬

‫‪S‬‬      ‫ا‬     ‫ل ‪ t‬زﻡ ن آ ﺡ دﺙ‬              ‫ی‬   ‫ه ا‬                           ‫ﻡ‬    ‫ا‬      ‫ی ﺕ‬             ‫ﺏ‬                ‫ا ن‬
‫ء )‪ (x¸y¸z‬ﺏ ا‬        ‫إﺡ اﺙ ت ا‬      ‫1− = ‪ i‬و ﺕ‬              ‫ا اﺏ‬        ‫ه‬        ‫‪x4 = ict‬‬       ‫ه‬           ‫ﺥ‬           ‫ﺏ ﺡ اﺙ‬
                                                                                                                    ‫:‬        ‫ا‬
                       ‫1‪ x = x‬و 2‪ y = x‬و 3‪ z = x‬و 4‪ict = x‬‬
                 ‫:‬     ‫آ ﺏ ﻡ د ت ا وران ﺏ ا ا‬               ‫إﺡ اﺙ ت. إذن ی‬            ‫ي ﺡ دﺙ ه ك أرﺏ‬


                                 ‫‪ x = x cos α + ict sin α‬‬
                                 ‫‪‬‬
                                 ‫‪ict = − x sin α + ict cos α‬‬
                                 ‫‪‬‬
                                 ‫‪y = y‬‬
                                 ‫‪z = z‬‬
                                 ‫‪‬‬


      ‫ه :‬            ‫‪t‬ﻡ د ه ا‬      ‫ﻡ دی‬        ‫‪ S‬و‬                 ‫ا‬            ‫ﺱآ‬    ‫ﺹ‬                 ‫د‬   ‫ه ا‬              ‫ﺕ‬
                                     ‫0 = ‪ax + by + cz + d‬‬
‫64‬                                               ‫لا ج‬                                                 ‫ا‬           ‫ا‬


                                     ‫:‬       ‫ﻡ ‪t‬ﺏ اا‬                    ‫آ‬         ‫‪S‬‬        ‫ا‬                  ‫ﻡ د ه ا‬
                            ‫0 = ‪(a cos α ) x + by + cz + d + icta sin α‬‬


 ‫‪S‬ه‬       ‫ا‬             ‫‪O xy‬ﻡ د ه ا‬                      ‫ا ﺡ اﺙ‬         ‫ﺹ‬          ‫اﺱ‬      ‫إذا آ ن 0 = ‪a = b = d‬‬

‫‪ Oxy‬و‬         ‫ا‬         ‫‪ xyO‬إذا آ ن 0 = ‪a = b = d‬‬                             ‫ا‬        ‫0= ‪ z‬ه ا ه ﺱ‬                        ‫ا‬
                                                                                          ‫‪S‬ه :‬            ‫ا‬            ‫ﻡ د‬
                                             ‫‪x = −ict tan α‬‬
      ‫ر ‪.xO‬‬       ‫أﻡ اد ا‬            ‫‪ xyO‬و ﺏ ار ‪ −ict tan α‬ﺕ ا‬                                 ‫ﻡ ازی‬          ‫ه ه ﺹ‬


                                                         ‫ﺥﺹ‬             ‫ه ﺡ‬           ‫ﻡ ه ا ان ﻡ د ت ر‬
                                                     ‫‪S‬‬              ‫ﻡ أ لا‬             ‫‪ ،S‬ﺕ‬               ‫ﻡ إﺡ اﺙ ت ا‬
                                                     ‫آ‬          ‫‪−ict tan α‬‬            ‫ر ‪ xO‬و ﺏ ﺹ‬              ‫أﻡ اد ا‬
                                                                                                                  ‫‪.t‬‬


                                                            ‫ا‬       ‫ا‬         ‫‪ S‬ﺏ‬              ‫أ لا‬           ‫ﺱ‬        ‫إذا آ‬
        ‫‪-ict tanα‬‬
                                                                                                   ‫‪ S‬ﺕ وي ‪ u‬إذن:‬
                                             ‫‪u = −ic tan α‬‬
          ‫أ ل ا ﺡ اﺙ إذن:‬                ‫ﺏ‬    ‫وﺕ ﺕ‬                   ‫أن ا اوی ‪ α‬زاوی‬                      ‫د‬       ‫ﻡ ه ا‬
                                                           ‫‪iu‬‬
                                              ‫= ‪tan α‬‬
                                                            ‫‪c‬‬
                                                                ‫‪‬‬                     ‫1‬       ‫‪‬‬
                                   ‫ا :‬           ‫ﺕ‬         ‫= ‪  cos α‬ا‬                        ‫ی ت‪‬‬            ‫ا‬        ‫ﻡ ﺏ‬
                                                                ‫‪‬‬                 ‫‪1 + tan 2 α ‬‬
47                                            ‫لا ج‬                                                ‫ا‬      ‫ا‬


                                                          1
                                      cos α =
                                                              u2
                                                      1−
                                                              c2
                                                      iu
                                      sin α =       c
                                                    u2
                                                  1− 2
                                                    c
                                                                              ‫د ت‬       ‫ا‬         ‫ه ا واﺏ‬
                               x = x cos α + ict sin α
                              
                              ict = − x sin α + ict cos α
                              
                              y = y
                              z = z
                              
                                                                        : ‫ه‬    ‫ی ت ر‬                     ‫ا‬           ‫ا‬
                                             x − ut
                                       x =
                                                 u2
                                              1− 2
                                                 c
                                       y = y
                                       
                                       
                                       z = z
                                       
                                                ux
                                             t− 2
                                       t =      c
                                                 u2
                                             1− 2
                                       
                                                 c


                           :ً ‫د ت ﺕ ی‬         ‫ه ا‬                  ً
                                                                  ‫اﺕ‬    ‫ة‬     ‫ﺹ‬c    ‫ا‬         ‫ﺏ‬u                 ‫إذا آ‬
                                         x = x − ut
                                        y = y
                                        
                                        
                                        z = z
                                        t = t
                                        

 ‫ﺏ‬     ‫ﺱ‬    ‫یء ا‬   ‫ا‬        ‫ن ﺏ‬       ‫، و ی‬           ‫ت‬                ‫د ت ﺕ ف ﺏ‬            ‫ﻡ ا‬              ‫ا‬      ‫ه‬
 ‫ و ذ‬t =t    ‫ح ا اﺏ‬    ‫ﺕ‬          ‫ﺱ‬    ‫یء ا‬       ‫ا‬           .         ‫ﻡ‬           ‫ﺡ دﺙ ن‬            ‫ﺡ ادث و و‬
                                              .       ‫ﻡ‬           ‫ﺱ‬     ‫ءا‬     ‫ا‬        ‫، نا ﻡن‬          ‫ﺏی‬
‫84‬                                                                  ‫لا ج‬                                                      ‫ا‬            ‫ا‬


                                                                                                   ‫ت ر :‬                          ‫ﺕ‬                 ‫أه‬
                                                                                                    ‫ل‬            ‫شا‬          ‫:إ‬       ‫ا و‬            ‫ا‬
     ‫آ ﺕ‬         ‫ا‬                  ‫دی‬        ‫ا‬          ‫أﺏ د ا‬     ‫،ﺏ‬               ‫ﺡ آ ا‬                   ‫ل‬    ‫شا‬          ‫ی ثإ‬
                                                                                                                        ‫.‬         ‫ﺏ ون ﺕ‬
‫1‪ x = x‬و‬                        ‫هاا‬                 ‫ا آ ‪ ،S‬إ‬                         ‫ر ‪، x‬ﻡ ا‬                ‫ا‬              ‫ﺹ‬                  ‫ض‬
                                                                                 ‫‪S‬ه :‬                   ‫ا‬               ‫له اا‬              ‫2‪x = x‬‬
                                                                  ‫1 ‪L = x 2 −x‬‬

‫1‪ x = x‬و‬                  ‫‪ S‬ه‬                 ‫ا‬                   ‫هاا‬                 ‫‪،t‬‬                    ‫ﺕ ی ت ر ،‬                          ‫ً‬
                                                                                                                                               ‫إﺱ دا‬
                                             ‫ه :‬                ‫هی ا‬         ‫ﺏ‬             ‫ا‬                ‫إﺡ اﺙ ت‬      ‫ﺏ‬        ‫2‪ ، x = x‬ا اﺏ‬


                                                           ‫‪x1 − ut‬‬        ‫‪x − ut‬‬
                                                   ‫= 1‪x‬‬            ‫2 1 = 1‪ x‬و‬
                                                                ‫2‪u‬‬            ‫‪u‬‬
                                                            ‫2 −1‬          ‫2 −1‬
                                                                ‫‪c‬‬             ‫‪c‬‬


                                                                            ‫‪ S‬ه 1 ‪ L = x 2 − x‬إذن:‬                       ‫ا‬                     ‫لا‬


                                                                          ‫2‪u‬‬
                                                                ‫2 −1 × ‪L = L‬‬
                                                                          ‫‪c‬‬


‫ضو‬               ‫ا‬        ‫ه ا ل‬              ‫ی ت آ‬          ‫ا‬               ‫ی‬         ‫ات‬       ‫ﺕ‬                      ‫لها ه‬               ‫ش ا‬        ‫إ‬
    ‫ی سﺏ‬             ‫ا سا‬            ‫و وﺱ‬                  ‫لا‬           ‫ﺏ‬        ‫ا اﺏ‬          ‫ﺕ‬              ‫ه‬       ‫اري، وإ‬             ‫طا‬         ‫ا‬
‫ل‬        ‫‪L‬‬           ‫،ﺏ‬                       ‫ﺏ‬     ‫ة ه ﺱآ‬                  ‫اُ سﺏ‬                       ‫لا‬              ‫رة‬            ‫‪L‬‬     ‫ل.‬       ‫ا‬
     ‫ﺱ‬                    ‫س ‪ L‬ﻡ‬              ‫ﺕّ‬      ‫.آ‬            ‫اا‬                 ‫ﺱآ ﺏ‬                       ‫ةه‬          ‫ا ُ سﺏ‬                  ‫ا‬
    ‫ِآ‬       ‫ﺱ‬       ‫یء ا‬       ‫ا‬        ‫.‬           ‫ا‬             ‫س‬            ‫اﻡ‬             ‫مﺱ‬           ‫س‪L‬ی‬                 ‫سا ﻡ ،ﺏ‬
‫94‬                                                                 ‫لا ج‬                                                ‫ا‬          ‫ا‬


‫ا ن‬         ‫أﺕ‬         ‫،‬            ‫ل ه ﺹ ذاﺕ‬              ‫رﺏنا‬             ‫آنا‬            ‫ﻡ وی ، ﺡ‬                   ‫ه ان ا ﺱ ن ذى‬
                                                                            ‫ﺱ.‬             ‫ی ّﺏ‬     ‫ی ا‬              ‫ل ی ّف ﺏ‬         ‫ﺏنا‬


                                                                                                             ‫عا‬        ‫: إﺕ‬       ‫ا‬       ‫ا‬
 ‫ه‬             ‫ا‬   ‫ﺕ‬           ‫، ا ﻡ‬        ‫ا‬         ‫ذ‬                 ‫ا‬              ‫ﺏ‬     ‫ﺱآ‬              ‫ﻡ‬                ‫ا‬       ‫إذا آ‬
     ‫ا‬    ‫اا‬               ‫ﺏ‬         ‫نا ﻡ ﺱ‬                ‫ا‬                ‫‪v‬ﺏ‬             ‫ذات ﺱ‬                 ‫ا‬     ‫ا ﺱ ع، و إذا آ‬

                                                                                                                              ‫2‪v‬‬
                                                                                                                      ‫−1 .‬                ‫ﺏ‬
                                                                                                                              ‫2‪c‬‬


 ‫‪ ,S‬ه ی‬                         ‫ﺏ‬    ‫ﺱآ‬          ‫ﺏ‬        ‫ﺱ‬          ‫‪ S‬ﺕّ‬              ‫ا‬          ‫دﺙ ن‬               ‫1‪ t‬و 2‪ t‬ه‬        ‫زﻡ ّ‬
         ‫ً‬
         ‫‪ v‬ه 1‪ t‬و 2‪ .t‬إذن إﺱ دا‬                 ‫كﺏ‬                 ‫‪S‬ا‬        ‫ا‬                ‫ﺱ ﺏ‬        ‫ا‬           ‫ا دﺙ‬             ‫ا ﻡ‬
                                                                                                                      ‫ﺕ ی ت ر :‬
                                                      ‫2‪t‬‬                          ‫1‪t‬‬
                                          ‫= 2‪t‬‬                 ‫2‬
                                                                    ‫= 1‪ t‬و‬
                                                       ‫‪v‬‬                           ‫2‪v‬‬
                                                     ‫2 −1‬                        ‫2 −1‬
                                                       ‫‪c‬‬                           ‫‪c‬‬


                                                                                 ‫2‪v‬‬
                                             ‫− 1 ) 2‪t1 − t2 = ( t1 − t‬‬
                                                                                 ‫2‪c‬‬


                                                                ‫2‪v‬‬
                                                     ‫2 − 1 ‪∆t = ∆t‬‬
                                                                ‫‪c‬‬
‫05‬                                                   ‫لا ج‬                                                ‫ا‬               ‫ا‬


                                                                                ‫ا‬            ‫ا‬               ‫:‬           ‫ا‬            ‫ا‬
‫یء‬   ‫ر( ‪ u‬ﻡ ا‬                   ‫ر )ﺏ‬     ‫داﺥ ا‬            ‫ﻡ‬        ‫رض ‪ u‬و ﺱ‬                 ‫رﺏ‬                       ‫ﺱ‬            ‫إذا آ‬
                                                              ‫رض ‪ v‬ه :‬              ‫ﺏ‬            ‫ا‬               ‫ﺱ‬            ‫ﺱ‬       ‫ا‬
                                                    ‫‪v =u +u‬‬
                                                                                                     ‫ﻡ ﺕ ی ت ر‬
                           ‫‪x − ut‬‬        ‫‪‬‬
                  ‫=‪x‬‬                ‫‪= ut ‬‬
                                ‫2‬
                         ‫‪u‬‬               ‫‪‬‬
                           ‫−1‬
                         ‫2‪c‬‬              ‫‪‬‬
                                         ‫‪‬‬                   ‫‪u‬‬          ‫‪u +u‬‬
                        ‫‪ux‬‬               ‫= ‪ ⇒ x − ut = u (t − 2 x) ⇒ x‬‬   ‫‪uu‬‬
                                                                             ‫‪t‬‬
                      ‫2 −‪t‬‬               ‫‪‬‬                  ‫‪c‬‬           ‫2 +1‬
                  ‫= ‪t‬‬   ‫‪c‬‬
                                         ‫‪‬‬                                 ‫‪c‬‬
                         ‫2‪u‬‬              ‫‪‬‬
                      ‫2 −1‬               ‫‪‬‬
                         ‫‪c‬‬               ‫‪‬‬


                                                                      ‫ﻡ ﺕ ی ت ر ه :‬                                      ‫ا‬            ‫ا‬
                                                         ‫‪u +u‬‬
                                                   ‫=‪x‬‬         ‫‪t‬‬
                                                           ‫‪uu‬‬
                                                         ‫+1‬
                                                              ‫2‪c‬‬
 ‫رض ه‬           ‫ﺏ‬            ‫هاا‬          ‫ی‬        ‫رض ‪ ،v‬إذن ا ﺹ ا‬                      ‫ﺏ‬            ‫ا‬               ‫ﺱ‬         ‫إذا آ‬
                                                                                                             ‫‪ x = vt‬إذن:‬
                                                         ‫‪u +u‬‬
                                                   ‫=‪v‬‬
                                                           ‫‪uu‬‬
                                                         ‫+1‬
                                                              ‫2‪c‬‬


 ‫ی‬       ‫ا‬                 ‫) ‪(u = u = c‬‬              ‫ت‬         ‫ﺏ‬       ‫ا‬        ‫روﺱ‬          ‫ا‬               ‫ﺱ‬                ‫إذا أﺱ‬
     ‫ﻡ‬       ‫ءﺱ‬        ‫ا‬        ‫أن ﺱ‬                 ‫ء، و ه ا أﺡ ا‬          ‫ا‬           ‫ﺱ‬                    ‫ﺕ‬           ‫ری‬           ‫ا‬
                                    ‫ء.‬        ‫را‬     ‫ﻡ‬        ‫ﺱ‬            ‫ءﻡ‬       ‫ا‬       ‫، أي ﺱ‬                                    ‫ﺕ‬
‫15‬                                                        ‫لا ج‬                                                              ‫ا‬           ‫ا‬


                                                                                                 ‫ا ﺹ‬                                ‫ا‬               ‫د‬
                                                                    ‫ا ﺹ ا اﺏ :‬                               ‫ا‬       ‫دی ﻡ‬               ‫أه رواﺏ‬
                                                                 ‫°‪m‬‬
                                                  ‫=‪m‬‬
                                                                   ‫2‪u‬‬
                                                                ‫2 −1‬
                                                                   ‫‪c‬‬


           ‫ا‬         ‫‪ ،S‬و ‪ m‬ا‬         ‫ا‬           ‫ﻡ‬       ‫ن‬         ‫ا‬       ‫أو آ‬         ‫ﺱ‬           ‫ا‬           ‫‪ mo‬ا‬               ‫ه ا اﺏ‬
                                      ‫‪ S‬ه ‪.u‬‬                                 ‫‪m‬ﺏ‬              ‫ذو ا‬                ‫ا‬          ‫‪S‬وﺱ‬                     ‫ا‬


 ‫ﻡ‬             ‫ﺹ لا‬         ‫ةﺥر‬       ‫ه :ﺵ‬            ‫ﺕ‬         ‫ا‬            ‫ا‬     ‫آ )‪(kinetic energy‬‬                                       ‫ا‬       ‫ا‬
                            ‫‪ dx‬إذن:‬           ‫ا‬       ‫آ ‪K‬وا ة‪ F‬وﺕ‬                            ‫ا‬               ‫ا‬        ‫‪ .u‬إذا آ‬          ‫ا‬           ‫ا‬


                           ‫‪u‬‬      ‫‪u‬‬     ‫‪du‬‬     ‫‪u‬‬      ‫‪dx‬‬  ‫‪u‬‬      ‫1‬
                       ‫‪K = ∫ Fdx = ∫ m‬‬     ‫2 ‪dx = ∫ m du =m ∫ udu = m u‬‬
                           ‫0‬       ‫0‬  ‫‪° dt‬‬      ‫0‬  ‫‪° dt‬‬  ‫0°‬      ‫° 2‬




     ‫ﻡ ﺕ‬         ‫ا‬      ‫ﺕ‬       ‫ا‬         ‫ﻡ‬               ‫، ﺏ‬           ‫ﻡ ا‬          ‫ﺕ‬                       ‫ا‬       ‫ﺕ‬          ‫ا‬               ‫ا‬
                                                          ‫ا ﺹ ه :‬                    ‫ا‬                   ‫آ‬       ‫ا‬              ‫ا‬       ‫.‬           ‫ا‬


          ‫‪u‬‬      ‫‪ud‬‬          ‫‪u‬‬         ‫‪dx u‬‬               ‫‪u‬‬
      ‫)‪K = ∫ Fdx = ∫ (mu )dx = ∫ d (mu ) = ∫ (mdu + udm)u = ∫ (mudu + u 2dm‬‬
          ‫0‬       ‫‪0 dt‬‬        ‫0‬        ‫0 ‪dt‬‬               ‫0‬




                                                          ‫ّه :‬          ‫ﺏ‬        ‫ات و ا اﺏ‬                   ‫‪m‬و‪u‬ﻡ‬                   ‫ه ا اﺏ‬


                                                                 ‫°‪m‬‬
                                                  ‫=‪m‬‬
                                                                   ‫2‪u‬‬
                                                                ‫2 −1‬
                                                                   ‫‪c‬‬
                                                                                                 ‫:‬                                  ‫ﻡ ه ا اﺏ‬
52                                         ‫لا ج‬                                                       ‫ا‬       ‫ا‬




                            m
                      m=     ° ⇒ m 2 c 2 − m 2u 2 = m 2 c 2
                                                     °
                              u2
                           1− 2
                              c
                                       : ‫ا‬               2m                    ‫ه ا اﺏ ، وﺕ‬                         ‫ﻡ ﺕ‬

             2
       2mc       dm − 2m2udu − 2mu 2dm = 0 ⇒ mudu + u 2dm = c 2dm


                                  :‫ﻡ إذن‬            ‫ا‬         ‫ﺕ‬        ‫ه‬       ‫ه ا اﺏ‬                       ‫فا ی‬      ‫ا‬


                           u                   m
                       K = ∫ c 2 dm =c 2 ∫ dm =mc 2 − m c 2
                           0                   m°      °

                                                          :       ‫رة‬            ‫ا‬            ‫ ا‬E = mc 2 ‫ﺏ أن‬


                                  E = m c2 + K
                                       °


                     .K =0 ‫ و‬u =0              ‫ﺡ‬        ‫ﺱ ن ذرة‬            ‫ن، أي‬                 ‫ا‬           ‫ ه‬m c2
                                                                                                                °


                                  u
                           : ‫وذ‬     << 1            ‫ﺡ‬             ‫وا‬       ‫ﺕ‬        ‫آ ا‬               ‫ا‬      ‫وى ا‬     ‫ﺕ‬
                                  c


                                  m                                                  1
     K = mc 2 − m c 2 ⇒ K =        ° c2 − m c2 ⇒ K = m c2 (                                          − 1)
                 °                  u
                                      2    °          °                                  u
                                                                                             2
                                  1−                                                1−
                                           2                                                 2
                                       c                                                 c




                                                                                                                  :‫ﺏ أن‬
‫35‬                                                ‫لا ج‬                             ‫ا‬       ‫ا‬




                         ‫1‬                  ‫‪ 1 u‬‬       ‫‪3 u‬‬            ‫‪ 1 u‬‬
                   ‫(‬                 ‫2) ( ≈ ‪− 1) = 1 + ( ) 2 + ( )4 + ⋅⋅⋅ − 1‬‬
                             ‫‪u‬‬
                                 ‫2‬          ‫‪ 2 c‬‬       ‫‪8 c‬‬            ‫‪ 2 c‬‬
                        ‫−1‬
                                 ‫2‬
                             ‫‪c‬‬

                                                                                               ‫:‬
                                                ‫‪1 u‬‬            ‫1‬
                                     ‫2 ‪K = m c2 × ( )2 ⇒ K = m u‬‬
                                          ‫°‬    ‫‪2 c‬‬        ‫° 2‬


     ‫ﺕ‬   ‫ی ا‬   ‫ه ﺡّ ا‬                ‫ی ا‬    ‫، ﺏن ا‬      ‫ا ی‬         ‫إﺱ ج ه ا‬      ‫د ی‬      ‫ﻡ ه ا‬
                                                               ‫ء.‬     ‫ا‬   ‫ﺱ‬            ‫ا‬    ‫ﻡ ﺕ‬
‫45‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
55                        ‫لا ج‬              ‫ا‬   ‫ا‬




           Galaxy




     ∫   Universe


         Atom
                    d Earth = Human Being




     ∫                d          =
‫65‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
‫75‬                                                                                           ‫لا ج‬                                                              ‫ا‬           ‫ا‬


                                                                                                                                                          ‫ح ا ورا‬                          ‫ا‬
 ‫ﺏ‬           ‫تا‬               ‫ا‬                     ‫وا‬               ‫حا ی‬                         ‫ا‬                ‫ﺏ ﻡ ﻡ‬            ‫ا ﻡ‬               ‫ی ا‬                  ‫و‬
         ‫ب ی ول ا‬                           ‫ی‬                ‫و‬               ‫و‬                ‫ی‬           ‫ا‬                 ‫ﺏ‬      ‫حا ی‬               ‫ا‬             ‫ری . ﻡ‬                 ‫ا‬
‫ﺱ و‬              ‫ا‬        ‫ﻡ‬                     ‫ری‬               ‫ا‬                       ‫ﺏ‬            ‫لا‬            ‫ا‬              ‫ﻡ ﺥ لﺵ حوﺕ‬                                  ‫ا ﻡ،‬
                     ‫وه ا ﺱ‬                     ‫ره و‬                 ‫ﺕ‬             ‫ی‬                  ‫ﻡ‬       ‫حه ﺱ‬                  ‫ﺏأ ﺏ‬          ‫،ﺡ‬                ‫حا ی‬                   ‫ا‬
‫ا ﺏ د.‬                   ‫ءا ﺏ‬           ‫ا‬       ‫ا‬                ‫ﺱ ا‬                   ‫حا‬                 ‫ﻡ ه ا‬                    ‫سو‬        ‫ءوا‬                    ‫ما‬     ‫ﻡ‬               ‫ﺕ‬
‫وه ﺱ ح‬                                  ‫ﺱ ا‬              ‫ا‬       ‫و ه أﺡ أه ﻡ ﺡ‬                                      ‫ح ا ورا‬                 ‫ه ا‬                    ‫حا‬              ‫ه ا‬
 ‫وﻡ ﺱ‬                     ‫ﺕ‬        ‫ی‬                     ‫ﺱ ا‬                 ‫ی ا‬              ‫ي. ﻡ ﺥ ل ﻡ ه و‬                                 ‫ءإ‬                     ‫ﺙ ﺙ ا ﺏ د‬
 ‫ﻡ ﺱ‬                 ‫ح )آ‬              ‫ه ا‬                       ‫تا ا‬                             ‫ا‬           ‫دی‬            ‫ح، و إﺵ ق ﻡ د ت‬                          ‫ءه ا‬                  ‫إ‬
‫ﻡ أه ﻡ ه و‬                         ‫دی‬           ‫ءوا‬                      ‫ا‬           ‫ﺡ (. ی‬                   ‫،وا‬                ‫ل، و ا‬      ‫ﺱ آ‬                   ‫دی ا‬        ‫ا‬           ‫ﺱ‬
         ‫ﺕ‬               ‫طﻡ‬       ‫ﺥ‬         ‫وإ‬                   ‫طﻡ‬              ‫ﺥ‬           ‫ءﻡ ﺙ‬                   ‫ا دة ﺕ س ا‬                ‫ا ﻡ ،ﺡ‬                       ‫أدوات ا‬
     ‫ح ا ورا‬                  ‫ه ا‬                   ‫ء.‬           ‫ﻡ ه اا‬                                       ‫ﺹ ﺏ‬                   ‫ّن أ‬     ‫ء‬             ‫اا‬         ‫ّ(‬           ‫)و ﺕ‬
‫د تو‬                 ‫ا‬            ‫ﻡ ه أﺱ‬                 ‫ح ا ورا‬                         ‫ا‬        ‫ﻡ ﺏ‬                   ‫أ‬        ‫ح، و إ‬       ‫ﺱ آ ه ه آ ا‬                                  ‫ا‬
             ‫ﻡ‬       ‫وا‬                ‫ﻡ‬            ‫حا‬                   ‫ه ﺏ‬                 ‫و أﺱ‬              ‫ح ا ورا‬                  ‫ا‬                 ‫أﺱ‬         ‫ﺱ ت.‬                  ‫ا‬
     ‫د‬               ‫ا‬            ‫.ا‬            ‫ﻡ أ را‬                                        ‫و رﺏ‬                  ‫لوأ‬             ‫ﺱ تأ‬              ‫د توا‬                ‫ا‬
      ‫حه ﺙ ﺙ ا ﺏ د‬                                  ‫ر. ه ا‬                           ‫ا‬                ‫ﺱ ت‬               ‫ا‬          ‫روﺕ‬        ‫أﺥ‬                     ‫د تی‬                  ‫ا‬
                                                     ‫ا ات ﺏ ان.‬                                       ‫ﺏ ﺡ اﺙ ت ا‬                    ‫ا ﺱ‬           ‫ی‬                  ‫ﺱ ا‬           ‫ا‬


      ‫ا ﺏ د، و‬                    ‫ء رﺏ‬                       ‫ﺙ ﺙ ا ﺏ د(‬                           ‫)أو آ ﺱ‬                       ‫ح ا ورا‬       ‫را‬            ‫أو ﺕ‬                       ‫ی‬
‫ت‬            ‫ﻡ ه ری‬                    ‫ﺏ‬        ‫حوﺏ‬                          ‫، و ﻡ و ده ه إ‬                                       ‫ی ا‬                 ‫ا ﺵ ل أي دور‬
                                                                                                              ‫ﺏ ﺱ دة ﻡ ﻡ د ﺕ .‬                            ‫ا ﻡ ،وذ‬                          ‫ا‬
‫85‬                                        ‫لا ج‬                            ‫ا‬         ‫ا‬


 ‫ﺡ ل ﻡ ر.‬             ‫ﻡ‬   ‫ا ﺕ ﻡ دوران ﻡ‬       ‫‪ Surface of revolution‬ه ا‬       ‫ا وارا‬        ‫ا‬
                             ‫‪ X,Y,Z‬ه :‬    ‫إﺡ اﺙ‬       ‫ح‬   ‫ی ﺱ ﺏ اه اا عﻡ ا‬              ‫ا ا ا‬


                                     ‫‪ x = f (θ ) cos ϕ‬‬
                                     ‫‪ y = f (θ ) sin ϕ‬‬
                                     ‫‪‬‬
                                     ‫) ‪ z = h(θ‬‬
                                     ‫‪‬‬
     ‫ره آ‬       ‫ﺡ ل ﻡ ر )‪ ،(x-x‬ه ا ا‬       ‫ه ا ﺱ ا ﺕ ﻡ دوران ﻡ‬                ‫ا ﺱ‬     ‫ا‬
                                                  ‫ا ﺕ ﻡ ه ا ا وران.‬                 ‫ﻡ رﺕ‬




                                                             ‫ح ا وارا :‬         ‫ذج ﻡ ا‬




                                                                          ‫‪Sphere‬‬            ‫ا‬
‫‪ x = R cos θ cos φ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = R cos θ sin φ‬‬
‫‪ z = R sin θ‬‬
‫‪‬‬
59                          ‫لا ج‬              ‫ا‬       ‫ا‬


                                   Catenoid       ‫ا‬   ‫ﺱ‬     ‫ﺱ‬
            θ
 x = R cosh 2 cos φ

            θ
 y = R cosh sin φ
            2
z = θ






                                     Pseudosphere         ‫ﺵ آ‬

 x = R sin θ cos φ

 y = R sin θ sin φ
                      φ
 z = R (cos θ + ln tan )
                      2




                                        Helicoid            ‫ﺱ‬
 x = θ cos φ


 y = θ sin φ
        2
 z = Rφ

60                                                      ‫لا ج‬                                       ‫ا‬       ‫ا‬


                                                                      ‫ح‬        ‫ا‬              ‫ﺹ ا ﺱﺱ‬               ‫ا‬
         ‫تا‬           ‫و ری‬              ‫ﺱ ا‬    ‫ًی ﺵ ﻡ ﻡ ه ا‬               ‫رﺕ ی ً ری‬       ‫ﺱ ّف ا‬           ‫ه اا‬
                                                            . ‫ی‬       ‫ه اا‬            ‫ﻡ‬   ‫ی‬   ‫ما‬        ‫ا ﻡ ،وا‬



                                                                                                       i=1,2 ‫اذا آ ن‬
ai bi = a1b1 + a2b 2

ai bik = a1b1k + a2b 2k

                                                                                                       j=1,2‫اذا آ ن‬

g ij g        = g i1g + g i 2 g
         jk              1k        2k




                     2
     ij 2        ij     11      21      12        22
aij b = ∑ ∑ aij b = a11b + a 21b + a12 b + a 22 b
               i =1 j = 2




     ijk 2 2 2
a b = ∑ ∑ ∑ aijk bijk =a111b111 + a112b112 + a121b121 + a122b122 + a211b 211 + a211b 211 + a221b 221 + a222b 222
 ijk     i =1 j =1k =1


                                                                                              ‫وف‬       ‫ﺕ ی ا‬       ‫ی‬
ai bi = a j b j = ak b k = a1b1 + a2b 2



zi        ‫ه ا اﺏ‬              ‫ و‬zi = xi − yi      N‫ء‬                  P‫و‬Q             ‫ إﺡ اﺙ ت‬yi ‫ و‬xi ‫ض أن‬
‫إﺡ اﺙ ت‬              ‫ﺥ ، إذا آ‬      ‫إﺡ اﺙ‬             ‫ إﺡ اﺙ ت ه ا‬yi ‫ و‬xi             ‫، إذا آ‬QP          ‫إﺡ اﺙ ت ا‬
               : ‫ه‬             ‫ا‬         ‫ه ی ا ﺡ اﺙ‬     ‫ﺏ‬     ‫ ، ا اﺏ‬zi ‫ی‬      ‫ه ا ا ﺡ اﺙ ا‬       QP           ‫ه ا‬


                                                       zi = aij z j
‫16‬                                              ‫لا ج‬                                             ‫ا‬         ‫ا‬


            ‫ﺥ ‪ Ai‬إذن:‬      ‫ﻡ‬     ‫‪ Ai‬و‬           ‫ﻡ‬     ‫ا ﺡ اﺙ ت‬             ‫ذات ‪ N‬ﻡ ﻡ ،إذا آ‬                    ‫يﻡ‬
                                             ‫‪Ai = aij Ai‬‬


                                                           ‫ف ‪.A‬‬             ‫ﺏ‬          ‫وﺕ‬             ‫ﺕ ف ‪ Ai‬ﺏ‬


    ‫ی تا‬     ‫ا‬     ‫رة ‪Ai Bi‬‬     ‫ن، ا‬           ‫‪ Ai‬و ‪ Bi‬ﻡ‬             ‫،إذا آ‬            ‫ذات 2‪N‬‬                  ‫يﻡ‬
                                                                                                 ‫ﺥ ه :‬          ‫إﺡ اﺙ‬
                                        ‫‪Ai Bi = aik a jl Ak Bl‬‬

                                                                       ‫:‬        ‫ﺏ اا‬        ‫آ ﺏ ه ا اﺏ‬               ‫ی‬
                                         ‫‪Cij = aik a jl Ckl‬‬



                                               ‫ر رﺕ )‪ (rank‬ﺙ‬               ‫إﺡ اﺙ ت ﺕ‬         ‫رة‬           ‫ه ا اﺏ‬


‫ت‬      ‫ب ﺙ ث ﻡ‬      ‫ی ت‬           ‫ﺙ‬      ‫ر رﺕ‬         ‫‪ Dijk‬ﺕ‬           ‫ذات 3‪ N‬ﻡ ﻡ ، ی‬                          ‫ي ﻡ‬

                                                                                ‫ی ه :‬        ‫ا‬       ‫‪ ، Ai B j Ck‬راﺏ‬
                                      ‫‪Dijk = ail a jm akn Dlmn‬‬



‫یء و‬    ‫ا‬        ‫ﻡ أه‬                 ‫أو ، و‬        ‫ر رﺕ‬         ‫ﺕ‬         ‫رة‬               ‫ﺏن ا‬        ‫ا آ‬          ‫ی‬
                    ‫ی ء.‬       ‫ﺱ وا‬      ‫ا‬          ‫ر ﻡ أه ا ﺱ‬                  ‫وﺡ با‬                   ‫ﺱ، ی‬           ‫ا‬
‫26‬                                                                   ‫لا ج‬                                                         ‫ا‬             ‫ا‬




                                                                              ‫ر‬                ‫ا‬                ‫ﺽ‬           ‫لا‬              ‫ا‬           ‫ﺏ‬
           ‫:‬       ‫رﺕ ﺙ‬        ‫رﻡ‬        ‫ﺕ‬        ‫آ‬       ‫ه ا واﺏ‬                     ‫،‬        ‫ر رﺕ ﺙ‬               ‫إذا آ ن آ ﻡ ‪ Aij‬و ‪ Bij‬ﺕ‬

                                                        ‫‪ Aij + Bij‬و ‪Aij − Bij‬‬



      ‫رة‬       ‫،‬    ‫ری ﻡ رﺕ ﺙ‬                     ‫بﺕ‬            ‫ت، إذن‬                    ‫ةﻡ‬           ‫ب‬            ‫ﺕ‬        ‫رة‬         ‫ره‬               ‫ا‬
    ‫ر رﺕ‬       ‫ﺕ‬        ‫رة‬     ‫،‬    ‫ر ﻡ رﺕ ﺙ‬                   ‫ﺕ‬                  ‫ر ﻡ رﺕ ﺙ‬                  ‫بﺕ‬            ‫ر رﺕ راﺏ ، و‬                   ‫ﺕ‬
    ‫ع در ت ه ی‬               ‫ه ﻡ‬             ‫ر در‬          ‫ﺕ‬             ‫رة‬       ‫ری ،‬                 ‫بﺕ‬                  ‫و ه ا. إذن‬                 ‫ﺥﻡ‬
                                                                                                                                       ‫ری .‬              ‫ا‬


                             ‫رة:‬     ‫ا‬        ‫ﺏ‬       ‫آ‬         ‫ر، و ی‬                ‫ﺕ‬        ‫رة‬                   ‫ری آ‬          ‫بﺕ‬            ‫أو‬


                                             ‫‪ C ijk = Aijk + B ijk‬و ‪C ik = Aij Blm‬‬
                                               ‫‪jlm‬‬
                                                          ‫‪k‬‬




                                    ‫رة:‬           ‫ا‬       ‫آ ﺏ ﺏ‬                   ‫‪i‬و‪j‬‬              ‫ا‬        ‫ﺏ‬            ‫ر ‪ Aijk‬ﻡ‬           ‫إذا آ ن ا‬

                                                                ‫‪Aijk‬‬      ‫=‬   ‫‪A jik‬‬



    ‫ﺥ ه‬            ‫أي ﻡ‬        ‫ر‬             ‫ﻡ هاا‬                 ‫ﻡ وی ﺹ ،‬                            ‫ﻡ‬        ‫ر‬          ‫آ ﻡ ﻡ ا‬                   ‫إذا آ‬
‫،‬      ‫ﻡ‬           ‫وی‬    ‫ة ﻡ‬             ‫ا‬        ‫ﻡ ﻡ‬          ‫ری ﻡ وی ن ا ﺕ ، إذا آ‬                                      ‫ﺕ وي ﺹ . ﺕ‬                    ‫آ‬
                                                               ‫ﺥ .‬                ‫أي ﻡ‬                 ‫وی‬   ‫ری ه ﻡ‬                    ‫ﻡ هی ا‬


                                                                               ‫ر:‬              ‫ا‬            ‫ﺏ‬           ‫ا واﺏ ا‬         ‫ﺏ‬           ‫ه آ‬


                                                                     ‫2‬
                                                          ‫) ‪( aibi‬‬       ‫‪= aibi a j b j‬‬
63                                                      ‫لا ج‬                                  ‫ا‬                ‫ا‬


                                                ( aijbi ) c j = aijbi c j
                                                                      n=1,2,3,…,n :‫اي‬             ‫ء‬           ‫اذا آ ن ا‬


                          aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b 4 + a5b5 + ⋯ + anbn

                                                                                            ‫إﺵ ق ا وال‬
‫دوال‬        ‫رة‬           ‫ان آ‬            ‫ وه ان ا‬u1,u2‫ان‬        ‫ذات ﻡ‬        ‫ دا إﺵ‬f(u1,u2)           ‫ا ا‬          ‫اذا آ‬
                                                                                   :‫ ، اذن‬t           ‫ﻡ ا‬                ‫ﻡ‬


                                                                                                      f               f 22
                                                                                                          u 2u 2 =
                                                                                                       f              f12
                                                                                                           u1u 2 =
                                                                                                          f           f11
                                                                                                              u1u1=


                                                                                              i=1,2 ,3‫اذا آ ن‬


df = fi du i
                   1      2       3
df = fi du i = f du + f du + f du
                1      2      3

 ‫وا ا ه‬            x,y,z            ‫ات‬      ‫ه ا‬       ‫اذا آ‬     ‫ات 1و2و3 ﻡ‬                  ‫إﺵ ق ﺏ‬                 ‫های‬
                                                                                                  :‫ اذن‬f(x,y,z)
       ∂f          ∂f          ∂f
df =        dx +        dy +        dz
       ∂x          ∂y          ∂z

                                                    µ
     ‫آ‬ρ                    ‫إﺵ ق ﺏ‬           ‫وه ﺕ‬   Γνσ , ρ             ‫ا‬    ‫ﺵ قﺏ‬     ‫ری ﻡ‬             ‫ﺡ با‬
                                                                                              µ
                                                                                 µ          ∂Γνσ
                                                                                Γνσ , ρ =        :‫ه ا‬                    ‫ﺕ‬
                                                                                             ∂ρ
64                                              ‫لا ج‬                                       ‫ا‬        ‫ا‬




                                                                                                ‫د آ و‬
                                   :‫ر ﺕ ی ه ا‬           ‫ﺕ‬      ‫ر‬      Kronecker Delta            ‫د آ و‬



               δ ij = δ = δ i = 
                         ij     1j
                                                if     i= j
                                0              if     i≠ j                        ‫رواﺏ د آ و‬           ‫ﺏ‬


              b k δ k = bi
                    i
                              ‫ و‬aiδ ij = a j     ‫ و‬δ ijδ jk = δ ik     ‫ و‬δ i jδ k = δ ik
                                                                                j


        Γ1      Γ1          Γ1 
                                   13
                                               Γ1  
         11       12
                                             14
                                                
            2
        Γ11       2             2              2
                   Γ12         Γ13         Γ14  
        3        3           3           3                                            ‫آ‬
        Γ11     Γ12         Γ13         Γ14  
        4        4           4           4 
        Γ11 
                 Γ12 
                               Γ13 
                                             Γ14  
                                                
        1                                             
                                                                                                k
                                                                                               Γij = Γk
                                                                                                      ji
        Γ 21    Γ1 
                      22
                                 Γ1 
                                    23
                                               Γ1  
                                                  24
        2                                    
                      2             2
        Γ 21    Γ 22        Γ 23        Γ 2  
                                                  24                         1 km ∂g jm ∂g ki ∂g ij
        3        3           3           3                  k
                                                                     Γij =
                                                                             2
                                                                               g ( i +       −      )
                                                                                   ∂x   ∂x j ∂xk
        Γ 21    Γ 22        Γ 23        Γ 24  
        4        4           4           4 
  k     Γ 21 
                 Γ 22 
                               Γ 23 
                                             Γ 24  
                                                    
 Γij = 
                                               Γ1  
                                                                                   ∂g jk ∂gki ∂gij
         Γ1 
         31     Γ1 
                     32
                                 Γ1 
                                   33             34                    2Γijk =        +    −
                                                                             ∂u i ∂u j ∂u k
        Γ 2       2
                   Γ32           2
                                 Γ33            2 
                                               Γ34  
         31      3           3           3 
        Γ3      Γ32         Γ33         Γ34  
         31      4           4           4 
        Γ 4     Γ32         Γ33         Γ34 
         31                                  
        Γ1      Γ1          Γ1          Γ1  
         41        42            43            44 
                                                
        Γ 2        2             2             2 
                   Γ 42        Γ 43        Γ 44 
         41      3           3           3 
         Γ3 
            41     Γ 42        Γ 43        Γ 44  
        4        4           4           4 
        Γ 41 
                Γ 42 
                               Γ 43 
                                             Γ 44  
                                                    
‫56‬                                          ‫لا ج‬                                                   ‫ا‬            ‫ا‬


                                                                                 ‫ا ﺱ ﺱ ا ول‬                                  ‫ا‬
                                          ‫ح ا وارا‬             ‫ع ﺏ أﺏ أ ﻡ ا‬               ‫ﻡ ا‬                       ‫أدﺥ‬
                                                                   ‫ه :‬       ‫وﻡ د‬       ‫دورا‬               ‫ض ان ا‬

‫‪ x = f (u) cos v‬‬
‫‪ y = f (u) sin v‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ z = h(u‬‬
‫‪‬‬

‫ح.‬         ‫ﻡ‬        ‫ا‬   ‫ه ا‬   ‫ه ‪ ds 2 = g du i du j‬و آ‬                          ‫ا ﺱ ﺱ ا ول‬                      ‫ه ﺱًا‬
                                                ‫‪ij‬‬
                                                     ‫0= ‪g = g‬‬
                                                      ‫21‬  ‫12‬
                                                                               ‫ح ا ورا‬             ‫ا‬       ‫أن‬           ‫ﻡ ا‬


                                                ‫ﻡ د ا‬              ‫و‪u‬‬         ‫ه ا اﺏ‬           ‫‪u‬‬       ‫ﺏ‬            ‫ا‬        ‫ی‬
                                      ‫2 ‪ds 2 = g du1du1 + g du1du 2 + g du 2 du1 + g du 2 du‬‬
                                                    ‫11‬                 ‫21‬            ‫12‬                    ‫22‬


                                                                                    ‫آ ﺏ‬        ‫ی‬       ‫ه ا اﺏ‬
                                                                                                           ‫‪du1 = du‬‬
                                                                                                           ‫‪du 2 = dv‬‬

                                          ‫أس.‬            ‫ه 1و2ﺏ‬                 ‫أﺙ ن،‬              ‫ان ه‬                 ‫نا‬
                                                                                               ‫ا وارا :‬

                                           ‫)( ) (‬
                                                     ‫2‬             ‫2‬
                                                ‫'‬              ‫'‬
                                 ‫‪g = f‬‬                   ‫‪+ h‬‬
                                  ‫11‬

                                 ‫0= ‪g =g‬‬
                                  ‫21‬         ‫12‬


                                            ‫)(‬
                                                     ‫2‬
                                 ‫‪g‬‬        ‫‪= f‬‬
                                     ‫22‬


                                                                                ‫ا ﺱ ﺱ ا ول:‬                     ‫ﻡ ّ ةا‬

                                                                                     ‫2 ' ‪2‬‬      ‫2‬
                                                             ‫‪g‬‬
                                                         ‫11 = ‪g‬‬
                                                                            ‫21‪g‬‬
                                                                                 ‫) ( ) ( )(‬
                                                                                 ‫‪= f  f‬‬    ‫‪+ h‬‬
                                                                                                ‫‪' ‬‬
                                                                                                   ‫‪‬‬
                                                            ‫12 ‪g‬‬            ‫22 ‪g‬‬
                                                                                          ‫‪‬‬                               ‫‪‬‬
66                                    ‫لا ج‬                                          ‫ا‬       ‫ا‬


                                                                                   : ‫ا ﻡ‬            ‫ه ﺏ‬
                                                                                                      ‫ا‬
                                 x = R cos θ cos φ
                                
                                 y = R cos θ sin φ
                                 z = R sin θ
                                

                                                                  ds 2 = R 2 dθ 2 + R 2 cos2 θ dφ 2
                                                                                                    ‫ﺵ ا‬
                             
                              x = R sin θ cos ϕ
                             
                              y = R sin θ sin ϕ
                                                   ϕ
                              z = R (cos θ + ln tan )
                                                   2

                                                     ds 2 = R 2 cot 2 θ dθ 2 + R 2 sin 2θ dφ 2
                                   . ‫ح ا وارا‬             ‫ا‬            ‫ﻡ ﺱ ه ا اﺏ‬               ‫ی‬     ‫آ‬


                                                                               ‫ا ﺱﺱ ا‬                 ‫ا‬
‫اف‬   ‫إ‬   ‫رة‬   ‫ و ه‬II = b du i du j ‫رة‬       ‫ا‬     ‫ه ﺏ‬                        ‫ا ﺱﺱ ا‬         ‫ه ﺱًا‬
                        ij

                                                      .           ‫ا‬      ّ
                                                                         ‫ﺱ‬     ‫ا‬        ‫ا‬             ‫ا‬


                                            : ‫ه‬           ‫آ ذآ‬         ‫ا ورا‬            ‫د ا ﻡ‬         ‫ا‬

                                  x = f (u) cos v
                                  y = f (u) sin v
                                 
                                  z = h(u)
                                 
                                                              :              ‫ا ﺱﺱ ا‬         ‫ﻡ ﻡ ا‬
67              ‫لا ج‬                                     ‫ا‬       ‫ا‬


                   ' '' ' ''
                 f h −h f
       b =
        11             '2        '2
                  f         +h
       b        =b =0
           12     21
                             '
                       f h
       b =
        22             '2        '2
                   f        +h

                                              :    ‫ا ﺱﺱ ا‬        ‫ﻡ ّ ةا‬


                                                             b  b
                                                         b = 11 12
                                                            b21 b22



                                 :          ‫ا ﺱﺱ ا‬             ‫ا ﻡ‬     ‫ﺏ‬


                                                                       ‫ا‬
         x = R cos θ cos ϕ
        
         y = R cos θ sin ϕ
         z = R sin θ
        

                                            II = Rdθ 2 + R cos2 θ dφ 2
                                                                     ‫ﺵ ا‬
     
      x = R sin θ cos ϕ
     
      y = R sin θ sin ϕ
                           ϕ
      z = R (cos θ + ln tan )
                           2

                                 II = − R cot θ dφ 2 + R sin θ cosθ dφ 2
68                                                 ‫لا ج‬                                 ‫ا‬        ‫ا‬


                                                                                    ‫وس‬           ‫ء‬        ‫إ‬
‫ﻡ ّ ة‬    ‫،ا‬      ‫ا ﺱﺱ ا‬            ‫ﻡ ّ ةا‬      ‫ﺏ‬      ‫، ی وي ا‬         ‫ا ﺡ اﺙ ت ا‬           ‫وس‬       ‫ء‬    ‫إ‬
                                                                           :‫ا ﺱ ﺱ ا ول أي‬                 ‫ا‬

                                                        b b b −( b )
                                                                                    2
   b b b −b b
K = = 11 22 12 21                                    K = = 11 22 12 2
   g g11 g 22 − g12 g 21                                g g11 g 22 −( g12 )


                                1  ∂Γ11 ∂Γ12
                                       s    s
                                                               s 
                          K=       2    − 1 + Γ11Γ r 2 − Γ12Γ r1  g s 2
                                                r s        r
                                g  ∂u    ∂u                      

                                                                                    . ‫ا ﻡ‬                ‫را‬
                                                                                :       ‫وس ا‬         ‫ء‬    ‫إ‬

                                       R 2 cos 2 θ 1
                                     K= 4         = 2
                                       R cos θ R
                                               2



                                                                           :     ‫وس ﺵ ا‬              ‫ء‬    ‫إ‬
                                       − R 2 cos 2 θ    1
                                     K= 4            =− 2
                                        R cos 2 θ      R


                                                                  :     ‫اﺙ ت ا رﺕ‬           ‫ا‬             ‫ا‬

                                                                               ds 2 = dx 2 + dy 2
                                                                               II = 0
                                                                                    0
                                                                               K = =0
                                                                                    1
                                                                 : ‫ه‬    ‫ح ا ورا‬             ‫وس‬       ‫ء‬    ‫إ‬
x = f (u ) cos v 
                       −h′2 f ′′ + f ′ ′h′′
                                      h
y = f (u )sin v  ⇒ K =
                 
                                2
                         f ( f ′ + h′ 2 ) 2
z = h(u )        
    ‫96‬                                                        ‫لا ج‬                                   ‫ا‬          ‫ا‬


               ‫حا‬          ‫ا‬      ‫زا (، و‬       ‫ﻡ‬    ‫)‬         ‫ی ﻡ‬       ‫حا‬       ‫ا‬         ‫ء ا وﺱ‬             ‫:ا‬
                                                                ‫يﺹ .‬          ‫ﻡ‬    ‫ﺱ‬        ‫(و‬            ‫ﻡ‬     ‫)‬        ‫ﺱ‬


    ‫ء‬         ‫ح ذات إ‬      ‫ﺱ‬          ‫ﻡ ه ،و‬             ‫ءﻡ‬    ‫ح ذات إ‬    ‫ﺱ‬            ‫دی‬        ‫ﺹ أو ا‬             ‫لا‬
                                                                                                     ‫ﻡ ه .‬               ‫ﺱ‬


    ‫ء‬           ‫ى‬          ‫وا‬          ‫ا‬      ‫ن )‪ k1 (principal curvature‬و 2‪ k‬ه ا‬                          ‫نا‬            ‫ا‬
        ‫ی وي ﺡ ﺹ‬                ‫ه ا‬         ‫ء ا وﺱ‬        ‫.ا‬     ‫ﺱ‬                ‫)‪(normal curvature‬‬                     ‫ا‬
                                                                                       ‫ن أي:‬             ‫ب ه ان ا‬
                                                          ‫2‪K = k1k‬‬


                 ‫نﻡ ﻡ ﺕنﻡ ه اا‬                 ‫ﺹ‬         ‫نا ﺹ نﻡ ﺕ‬                ‫ءا‬   ‫،إ‬        ‫ﺱ‬              ‫أي‬
                                                                                       ‫ه 1‪ k‬و 2‪. k‬‬                   ‫ا‬   ‫ﺕ‬




‫:‬       ‫ا َ‬         ‫ه اا‬
                ‫ه‬   ‫0 < 1‪k‬‬
                 ‫0 > 2‪ k‬ﻡ‬
         ‫ءه اا‬        ‫إذن إ‬
                    ‫0<‪K‬‬




                                           ‫رة: ‪http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_curvature‬‬               ‫ره ا‬       ‫ﻡ‬
70                                                 ‫لا ج‬                               ‫ا‬         ‫ا‬


                                                                                                ‫آ‬


           ∂g jk ∂gki ∂gij
2Γijk =         +    −
           ∂u i ∂u j ∂u k

 k      1 km ∂g jm ∂g ki ∂g ij
Γij =     g ( i +       −      )
        2     ∂x   ∂x j ∂xk
                                                                               g12 = g 21 = 0       ‫ﺡ‬



          1 ∂g11 ∂g11 ∂g11   1 ∂g11
Γ111 =     ( 1 +     − 1 )=+
          2 ∂u   ∂u1 ∂u      2 ∂u1
          1 ∂g 21 ∂g11 ∂g12   1 ∂g11
Γ121 =     ( 1 +      − 1 )=+
          2 ∂u    ∂u 2 ∂u     2 ∂u 2
         1 ∂g 21 ∂g12 ∂g 22    1 ∂g 22
Γ 221 =   ( 2 +      − 1 )=−
         2 ∂u    ∂u 2 ∂u       2 ∂u1
         1 ∂g    ∂g   ∂g       1 ∂g11
Γ112    = ( 12 + 21 − 11 ) = −
         2 ∂u1 ∂u1 ∂u 2        2 ∂u 2

       1 ∂g   ∂g   ∂g       1 ∂g 22
Γ122 = ( 22 + 21 − 11 ) = +
       2 ∂u1 ∂u 2 ∂u 2      2 ∂u1
       1 ∂g   ∂g   ∂g        1 ∂g 22
Γ 222 = ( 22 + 22 − 22 ) = +
       2 ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2      2 ∂u 2

                                                                 :       g = g11 g 22 − g12 g 21 ‫ﺏ أن‬


g11 =
         g 22
                =
                     1
                                                    g11         21                                −1
                                                              g       g11 g 21 
          g         g11
                                                    12            =
          g11        1                             g
                                                   
                                                                22
                                                              g     g12 g 22 
                                                                                
g 22 =          =
          g         g 22

                     g12
g12 = g 21 = −               ⇒ g12 = g 21 = 0 ∧ g ≠ 0 ⇒ g12 = g 21 = 0
                         g
71                                                  ‫لا ج‬                                          ‫ا‬         ‫ا‬


             1      g     g     g
Γijk = Γikj = g is ( sjk + skj − jks )
             2      ∂u ∂u ∂u
          1 ∂g11
Γ1 =
 11
        2 g11 ∂x1
 2          1 ∂g11
Γ11 = −
          2 g 22 ∂x 2
           1 ∂g11
Γ1 =
 12
         2 g11 ∂x 2
 2         1 ∂g 22
Γ12 =
         2 g 22 ∂x1
             1 ∂g 22
Γ1 = −
 22
           2 g11 ∂x1
           1 ∂g 22
Γ2 =
 22
         2 g 22 ∂x 2
                                                                                                        ‫ا‬

                                        A = ∫∫ gdu1du 2
                                                    Ω



                                                                                                      ‫ل: ﻡ ﺡ ا‬
A = ∫∫ gdu du   1      2

     Ω

g = R 4 cos 2 θ
                             π
                                        2π
A = ∫∫ R 2 cos θ dθ dϕ = R 2 ∫ 2 cos θ dθ ∫ dϕ = 2π R 2
                             0          0



                                                                                                      ‫س‬         ‫ل‬
                                                                t=a , t=b                 ‫ﺏ‬            ‫ل سﻡ‬

                                                b
                                    s=∫                 gij du i du j
                                             a


                                                    :       ds 2 = gij du i du j      ‫إ‬       ‫ی‬        ‫ﻡ ه ا اﺏ‬
                                            2                                     2
                                    ( )
                           ds 2 = g11 du1                               (
                                                + 2 g12 du1du 2 + g 22 du 2   )
72                                             ‫لا ج‬                                          ‫ا‬         ‫ا‬


                                                                                     ‫د‬            ‫ءا‬           ‫ا‬
     ‫إﺕ‬            ‫ﻡ‬         ‫ر‬     ،p      ‫ا‬    ‫ﻡ‬         ‫ا‬           ‫وا‬                               ‫ﺕ سﺱ‬
                          .       ‫ا‬   ‫ﺕ‬         ‫ءا‬       ‫ه إ‬          ‫له ا‬      .            ‫ه اا‬              ‫ا‬


 ‫ه‬        ‫ءا‬   ‫ا‬        ‫،ﻡ‬       ‫دی و أ‬    ،         ‫ﻡ‬    ‫ا‬     ‫ﺱ‬               ‫ء‬            ‫ا‬         ‫ﻡ‬       ‫ﺕ‬
                                                                           kg   ‫دی‬           ‫ءا‬        ‫ا‬       ‫ﻡ‬


                                         d 2u k k du du 
                                                     i  j
                                  k g =  2 + Γij          rn
                                         ds       ds ds 



                                                              :‫ی وي‬        ‫ﺱ‬             ‫ﻡ‬        ‫دی‬       ‫ء‬   ‫إ‬




                                     du1                         du 2
                       kg = g 2 1 ds i j                   2 2
                                                                  ds
                                                                        i   j
                             d u         du du           d u       2 du du
                                 2
                                   + Γ1                        + Γij
                                                          ds 2
                                      ij
                              ds         ds ds                        ds ds
‫37‬                                                ‫لا ج‬                                              ‫ا‬             ‫ا‬


                                                                                                              ‫د‬        ‫ا‬
           ‫ﺹ ﺏ‬         ‫أ‬     ‫ﻡ‬      ‫رة‬       ‫دﺱ ، ه‬                ‫ﻡ ﺹ أو ﺏ رة أﺥ ى ﻡ ر‬                       ‫ﺥ أو ﻡ‬
‫ء‬    ‫، إ‬    ‫ء( ﺏ‬   ‫ا‬        ‫)أو‬        ‫ﺱ‬               ‫ﺥ ، ه ﻡ‬                 ‫ء. و ﺏ‬         ‫ا‬         ‫أو‬        ‫ﺱ‬
                           ‫ء( ی وي ﺹ . أي:‬                 ‫ا‬       ‫)أو‬        ‫ه اا‬                 ‫اا‬             ‫دی‬   ‫ا‬


                                       ‫‪d 2u k‬‬         ‫‪i‬‬
                                                 ‫‪k du du‬‬
                                                         ‫‪j‬‬
                                              ‫‪+ Γij‬‬        ‫0=‬
                                        ‫2 ‪ds‬‬        ‫‪ds ds‬‬



                                                 ‫ه ا اﺏ :‬                ‫ق‬    ‫ی‬         ‫ا‬         ‫د ‪s‬ﻡ‬        ‫ه ا‬
                                                ‫‪dxi dx j‬‬
                                            ‫‪gij‬‬          ‫1=‬
                                                ‫‪ds ds‬‬


                                  ‫ه واﺡ .‬         ‫أﺥ‬           ‫وي ه ﻡ ار ﺙ ﺏ و‬              ‫ه اا‬             ‫فا ی‬      ‫ا‬


            ‫ن:‬     ‫وذ‬             ‫طﻡ‬       ‫ه ﺥ‬                 ‫ا‬         ‫دی‬   ‫أو ا‬   ‫ﺹ‬            ‫تا‬          ‫- ا‬
                                            ‫ﻡ وی ﺹ ، ا:‬                        ‫ا‬             ‫آ ی‬              ‫آ‬


                                                 ‫‪d 2u k‬‬
                                                        ‫0=‬
                                                  ‫2 ‪ds‬‬


                                       ‫.‬      ‫طﻡ‬           ‫ﺥ‬        ‫رة‬             ‫د ا ﺵ‬          ‫اب ه ا‬


                                    ‫ه دوا .‬            ‫ا‬                 ‫دی‬   ‫أو ا‬   ‫ﺹ‬            ‫تا‬          ‫- ا‬
74                                               ‫لا ج‬                                  ‫ا‬         ‫ا‬


                                                                               ‫ا‬           ‫ر ﺽ تا‬
‫إﺡ اﺙ آ رﺕ ی ، و‬            ‫ن ﻡ ورﺕ ن‬        ‫ ( إﺡ اﺙ ت‬x + dx, y + dy, z + dz ) ‫ ( و‬x, y, z )         ‫إذا آ‬
 ‫هی‬      ‫ی تﺏ‬        ‫،ا‬      ‫إﺡ اﺙ ﻡ‬             ‫( إﺡ اﺙ ت ه ا‬u + du, v + dv, w + dw) ‫( و‬u, v, w)
                                                                                           : ‫ه‬       ‫ا ﺡ اﺙ‬
                          z = z (u, v, w) ‫ و‬y = y(u, v, w) ‫ و‬x = x(u, v, w)
                                                                                                       :‫إذن‬
                                          ∂x     ∂x    ∂x
                                   dx =      du + dv +    dw
                                          ∂u     ∂v    ∂w
                                          ∂y     ∂y    ∂y
                                   dy =      du + dv +    dw
                                          ∂u     ∂v    ∂w
                                          ∂z     ∂z    ∂z
                                   dz =      du + dv +    dw
                                          ∂u     ∂v    ∂w
                                                         :‫إذن‬         ‫ا‬   ‫هﺕ‬   ‫ ا ﺹ ﺏ‬ds 2             ‫إذا آ‬

                                        ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2


                                             :                  ‫ه ا اﺏ‬       dz ‫ و‬dy ‫ و‬dx             ‫إذا و‬


                    ds 2 = Adu 2 + Bdv 2 + Cdw2 + 2 Fdvdw + 2Gdwdu + 2 Hdudv


         :‫رة‬    ‫ا‬     ‫ﺏ‬     ‫ه ا اﺏ‬        . (u, v, w) ‫اﺕ‬        ‫ه ه دوال ﻡ‬         ‫و‬C‫و‬B‫و‬A ‫ﻡ‬               ‫ا‬


                                          ds 2 = gij dxi dx j

     ‫ی‬   ‫ﻡ ه ا اﺏ ، ﺏ‬          ‫فا ی‬       ‫ . ی ف ا‬x j ‫ و‬xi       ‫اﺕ‬   ‫ دوال ﻡ‬gij     ‫ه ا اﺏ‬              ‫آ‬

                                                                                            .‫ء ری ن‬
‫57‬                                                             ‫لا ج‬                                                        ‫ا‬             ‫ا‬


 ‫ﺥ‬            ‫ﻡ‬                  ‫، و ‪ x i‬إﺡ اﺙ ت ه ا‬            ‫ء‬                ‫ﻡ‬        ‫ﻡ‬      ‫‪P‬‬                ‫ض أن ‪ xi‬إﺡ اﺙ ت‬
                                                    ‫ا اﺏ :‬          ‫ﺏ‬                    ‫إﺡ اﺙ ت ه ی ا‬              ‫ء، ﺕ ﺕ‬               ‫ﻡ ه اا‬
                                                   ‫) ‪x i = xi ( x1, x 2 ,..., x n‬‬


                  ‫هی ا‬                  ‫أﺥ ى ه ′‪ P‬إﺡ اﺙ ت ه ا‬                                 ‫ه ك‬              ‫ورة ه ا‬              ‫ض أن ﺏ‬
                                                                                 ‫:‬       ‫‪ xi + dxi‬و ‪ x i + dx i‬ﺏ‬                    ‫ه‬         ‫ﺕ‬      ‫ﺏ‬


                                                         ‫‪dx i = ∂x j dx j‬‬
                                                                   ‫‪i‬‬

                                                                ‫‪∂x‬‬
‫)‪.(contra variant‬أي:‬                           ‫ﻡ‬          ‫ه ﻡ‬           ‫ه ا اﺏ‬                  ‫ق‬         ‫ﺕ‬         ‫أ‬              ‫ﺕ ی : أي ﻡ‬

                                                          ‫‪Ai = ∂x j A j‬‬
                                                                  ‫‪i‬‬

                                                               ‫‪∂x‬‬


     ‫أي‬                         ‫ّ ه ا‬    ‫ء، ذا‬           ‫واﺡ ة ﻡ ا‬                             ‫ﺕ ی‬            ‫ی‬                     ‫ﻡ‬         ‫آ ﻡ‬
          ‫ﻡ‬             ‫ﻡ‬       ‫دﺡ‬      ‫ا لﺏ‬         ‫ی‬         ‫ه ا‬           ‫ه ﺕ اﺏ ﻡ ‪xi‬‬                  ‫‪A‬‬
                                                                                                           ‫‪i‬‬
                                                                                                                        ‫ء، ﺏ‬            ‫ﻡ ا‬
                                                                                                ‫ء.‬            ‫ه ا ﺡ ﻡ ا‬


              ‫ء‬                   ‫)‪ (invariant‬و ﻡ د‬             ‫ﻡ‬            ‫ه‬       ‫ا‬     ‫ا‬         ‫ﻡ ﺕ‬                       ‫ﺕ‬         ‫ا‬           ‫ا‬
                                                                                                                                                  ‫ه :‬
                                                               ‫‪A= A‬‬
                  ‫.‬         ‫ﻡ‬      ‫ء، إذن ه ﺡ‬            ‫ﻡ ا‬            ‫أي‬               ‫ﺕ ی‬          ‫ی‬                 ‫‪A‬ﺏيﻡ‬                 ‫ﺕ ﺕ‬


                  ‫ﻡ ا‬            ‫‪ Bi‬ﻡ‬     ‫)‪ .(covariant‬إذا آ‬                     ‫ا‬       ‫،ﻡ ا‬             ‫أﺥ ى ﺕ ف ﺏ‬                      ‫ه كﻡ‬
                                                                                                                                                  ‫إذن:‬

                                                          ‫‪Bi = ∂x j B j‬‬
                                                                        ‫‪i‬‬

                                                               ‫‪∂x‬‬
‫67‬                                                                     ‫لا ج‬                                                         ‫ا‬          ‫ا‬


‫أو‬           ‫أ‬          ‫)‪(index‬‬           ‫ا‬          ‫و‬           ‫ا‬         ‫ی‬                        ‫وا‬            ‫ا‬    ‫تا‬          ‫آ ﺏ رواﺏ ا‬
 ‫إﺡ اﺙ ت‬                       ‫ده ه‬           ‫‪ xi‬ﺏ‬         ‫،ﺏ‬                        ‫ﻡ‬         ‫ﻡ‬         ‫رة‬           ‫ف. آ ﺏ ن ‪dxi‬‬                 ‫ا‬     ‫أﺱ‬
                                                                ‫‪. xi‬‬             ‫ً‬         ‫رة ‪، xi‬‬                ‫ا ﺡ اﺙ ت ﺏ‬                   ‫.‬          ‫ﻡ‬


         ‫ﺡ‬         ‫،‬        ‫ن‬         ‫نﻡ‬                 ‫‪ Ai‬و ‪ Bi‬ﻡ‬                   ‫ر، إذا آ‬            ‫ا‬             ‫ت‬          ‫ی ا‬                  ‫ا ن‬

                           ‫:‬      ‫ﺏ اا‬           ‫وﻡ د‬                                ‫رﻡ‬         ‫ﺕ‬            ‫رة‬        ‫‪Ai Bi‬‬       ‫2‪ N‬ﻡ ﻡ ، ا اﺏ‬


                                                           ‫‪Ai Bi = ∂xk ∂x l Ak Bl‬‬
                                                                     ‫‪i‬‬     ‫‪j‬‬

                                                                   ‫‪∂x ∂x‬‬
 ‫‪Ai B j‬‬                 ‫2‪ N‬ﻡ ﻡ ، ا اﺏ‬            ‫ﺡ‬         ‫،‬                   ‫ﻡ ا‬         ‫و ‪ Bj‬ﻡ‬                            ‫ﻡ‬          ‫‪ Ai‬ﻡ‬           ‫إذا آ‬

                                                                                                ‫:‬        ‫ﺏ اا‬              ‫وﻡ د‬          ‫رﻡ‬            ‫ه ﺕ‬


                                                           ‫‪Ai B j = ∂xk ∂x j Ak Bl‬‬
                                                                      ‫‪i‬‬   ‫‪l‬‬

                                                                    ‫‪∂x ∂x‬‬


     ‫ق‬           ‫أن ی‬     ‫،ﺵ ی‬            ‫ا‬          ‫وﻡ‬         ‫ذو ﺥ ﺹ ﻡ ا‬                     ‫رﺕ ﺙ‬                   ‫رﻡ‬     ‫ر ‪ ، Aijk‬ه ﺕ‬                  ‫ا‬

                                                                                                                                    ‫ه ا اﺏ :‬

                                                           ‫‪Aijk = ∂xr ∂x j ∂xk Ast‬‬
                                                                    ‫‪i‬‬   ‫‪s‬‬    ‫‪t‬‬
                                                                                ‫‪r‬‬
                                                                  ‫‪∂x ∂x ∂x‬‬


                                                                       ‫ه :‬                      ‫ا‬    ‫ا‬            ‫، إﺡ اﺙ‬        ‫ل: إذا آ ن ‪ Ai‬ﻡ‬
                                                                            ‫‪ij‬‬
                                                                ‫‪Ai‬‬     ‫‪=g‬‬        ‫‪Aj = Ai‬‬

                                      ‫.‬                        ‫وا‬      ‫ا‬         ‫ا‬         ‫ا‬        ‫ما ﺥ فﺏ‬                  ‫:‬           ‫ل‬     ‫ﻡ ه اا‬
‫77‬                                                                 ‫لا ج‬                                                      ‫ا‬          ‫ا‬


         ‫ء،‬    ‫ا‬         ‫( أو‬        ‫ﺱ‬        ‫)‬        ‫ﻡ ورﺕ‬                        ‫أي‬       ‫‪ ds 2 = gij dxi dx j‬ﺏ‬               ‫ا اﺏ‬       ‫إذا آ‬
                                                                                                        ‫ء.‬       ‫ه ﻡ ی ه اا‬                 ‫ا اﺏ‬


         ‫ر‬    ‫ﺕ‬         ‫رة‬          ‫‪gij‬‬           ‫،‬         ‫رﻡ‬             ‫ﺕ‬         ‫رة‬        ‫‪dxi dx j‬‬          ‫،آ‬      ‫ﻡ‬         ‫ﺏ أن 2 ‪ds‬‬

     ‫ر‬        ‫ر ه ‪ ، g ij‬و د ه ا ا‬                        ‫اا‬      ‫،‬                           ‫را‬        ‫.ا‬       ‫ﻡ‬       ‫وآ‬                  ‫ﻡ ا‬
                                                                                                                                 ‫وط ﺏ ن:‬       ‫ﻡ‬

                                                               ‫0 ≠ ‪g = gij‬‬

 ‫ﻡ‬                     ‫ﻡ ا‬          ‫ء، إذن: ‪ gij A j‬ه ﻡ‬                        ‫ﻡ ا‬                 ‫،‬                 ‫ﻡ‬           ‫ض ‪ Aj‬ﻡ‬

                                                                                                                                   ‫‪ Ai‬أي:‬

                                                                ‫‪Ai = gij A j‬‬

                   ‫.‬            ‫ا‬         ‫ا‬       ‫ا‬         ‫،ﺏ‬                           ‫ا‬         ‫وا‬        ‫ا‬   ‫ﻡ ا‬         ‫‪ Ai‬و ‪ Ai‬ه ّ ا‬


                                                                                     ‫ا ﺱ :‬         ‫قوﻡ‬           ‫ﻡ‬       ‫ا‬              ‫ل: آ‬
                                              ‫‪g ij A j = g ij g Ak = δ ki Ak = Ai‬‬
                                                                      ‫‪jk‬‬




                                                               ‫‪Aijk = g Ak‬‬
                                                                         ‫‪ir‬‬
                                                                               ‫‪jr‬‬




                                                      ‫‪g ri g sj gij = g riδ is = g rs‬‬


                                                               ‫‪A2 = gij Ai A j‬‬
‫87‬                                                          ‫لا ج‬                                                    ‫ا‬               ‫ا‬


                                                                                                              ‫ازي‬              ‫لا‬              ‫ا‬
                                                                                                            ‫إﺵ ق ‪ Ai = ∂x i Ak‬ﺏ‬
                                                                                                                           ‫‪k‬‬
                                                                                ‫‪ xj‬ه :‬         ‫ا‬
                                                                                                                   ‫‪∂x‬‬


                                   ‫‪∂Ai = ∂xk ∂xl ∂Ak + ∂ 2 xk A‬‬
                                   ‫‪∂x j ∂x i ∂x j ∂xl ∂x i∂x j k‬‬
 ‫‪∂Ai‬‬      ‫أن‬       ‫،‬       ‫ر. ﺏ أن ‪ dxi‬ه ﻡ‬                    ‫ﺕ‬                 ‫أن ‪ ∂Aij‬ه‬                    ‫د‬        ‫ا‬        ‫و د ا اﺏ‬
 ‫‪∂x j‬‬                                                                             ‫‪∂x‬‬

 ‫رة‬      ‫‪dAi = ∂Aij dx j‬‬       ‫ا اﺏ‬          ‫ر ﺹ‬                  ‫ﺕ‬        ‫‪ ( Ai, j‬آ‬             ‫رة ﺏ ا ا‬        ‫ه ا‬               ‫ﺕ‬         ‫)آ‬
               ‫‪∂x‬‬
                  ‫ازي.‬      ‫لا‬        ‫ما‬       ‫ﺏ‬                           ‫ه ا ﺵ‬               ‫ری .‬         ‫، أو ﻡ د ﺕ‬                  ‫ﻡ‬


     ‫. إﺡ اﺙ ت‬         ‫ا‬     ‫لو‬              ‫ﺕ وره ه ′‪ P‬دون ﺕ‬                                  ‫‪P‬ا‬            ‫‪ Ai‬ﻡ ا‬                     ‫ا‬
         ‫له‬       ‫ﺏ ا‬            ‫ل، إﺡ اﺙ ت ه ا‬                       ‫ا‬             ‫آ ﺡ اﺙ ﺕ‬            ‫له‬            ‫ﺏ ا‬                   ‫أي ﻡ‬
                       ‫‪ . Ai + dAi‬ﺏ أن ه ا‬                 ‫′‪ P‬ه‬                 ‫ا‬                  ‫ا‬        ‫‪ Ai + δ Ai‬و إﺡ اﺙ ت ا‬
           ‫‪ dAi − δ Ai‬إذن:‬              ‫،ا‬                                ‫ﻡ ﺏ‬               ‫ه ا‬              ‫ء، إذا‬            ‫ا‬        ‫واﺡ ة‬

                                              ‫‪dAi − δ Ai = Ai; j dx j‬‬

           ‫ﻡ‬     ‫ﻡ ه ا اﺏ‬          ‫فا ی‬            ‫ا‬         ‫،وآ‬                ‫‪ Ai; j‬ﺏ أن ‪ dx j‬ﻡ‬                ‫‪ Ai, j‬ﺏ اﺏ‬                   ‫إﺱ‬

         ‫ا ﺵ ق‬         ‫ﻡ ﺕ ی‬       ‫ی ﺕ‬         ‫ا‬           ‫, و ; (. ﺏ‬           ‫ﺏ‬       ‫ا‬        ‫ر) ی‬       ‫ﺏ ن ‪ Ai; j‬ه ﺕ‬

                                                                                                                                   ‫ر.‬           ‫ا‬


           ‫ﻡ‬     ‫′‪ P‬و ‪ Bi‬إﺡ اﺙ ت ﺡ‬                     ‫ا‬    ‫أ ل ﻡ ازي ا‬                     ‫‪P‬ﺕ‬          ‫ا‬                 ‫‪ Ai‬ﻡ‬              ‫إذا آ‬
                                                                           ‫:‬         ‫ه ا‬           ‫ر ‪ Y‬ﻡ ا ﺡ اﺙ‬                                 ‫ﺏ‬
                                             ‫‪∂x j‬‬                                   ‫‪∂y j‬‬
                                   ‫‪Bi‬‬   ‫=‬         ‫‪A‬‬           ‫و‬            ‫= ‪Ai‬‬          ‫‪B‬‬
                                             ‫‪∂yi j‬‬                                  ‫‪∂xi j‬‬
79                                      ‫لا ج‬                                             ‫ا‬        ‫ا‬


 ( ‫ ﺕ وي ﺹ‬B ‫ات‬   ‫ ) ﺕ‬δB=0             Bi              ‫ی ك أي ﺕ‬          Ai            ‫ازي‬     ‫لا‬          ‫ا‬
                                                                                                  :‫ﻡ ه ا‬
                              ∂y j                   ∂y j
                 δ Ai = δ (        B j ) ⇒ δ Ai = δ ( i ) B j
                              ∂xi                    ∂x
                                         ∂2 y j
                          δ Ai =                  dx k B j
                                        ∂x ∂x
                                          i     k


                                                                                         ∂x j
                                                                         :      Bi   =        A ‫ﺏ أن‬
                                                                                         ∂yi j
                                     ∂ 2 y j ∂xl
                        δ Ai =                    A dx k
                                    ∂x ∂x
                                       i    k
                                              ∂y i l
                                                         :       ‫ﺏ اا‬        ‫ه ا اﺏ‬          ‫رﺕ‬       ‫ﺥ‬


                                         ∂ 2 y j ∂xl
                               Γlik =
                                        ∂xi ∂x k ∂yi
                                                             .      ‫آ ی‬         ‫ﺏ‬        ‫ﺕ ف ه ا اﺏ‬
                                                                                                      :‫إذن‬
                                δ Ai = Γik Al dx k
                                        l




                                .        ‫ا‬     ‫ﻡ ا‬       ‫د ، ه ﻡ د إ ل ﻡ ازي ﻡ‬                        ‫ه ا‬


                                             : ‫ه‬     ‫ا‬       ‫ﻡ‬          ‫ﻡ د إ ل ﻡ ازي، ﻡ‬                  ‫آ‬


                              δ B k = −Γij Bi dx j
                                        k
‫08‬                                                         ‫لا ج‬                                               ‫ا‬          ‫ا‬


                                                                                       ‫ءر ن–آ‬                       ‫رإ‬                   ‫ﺕ‬
 ‫ﻡ ازي‬        ‫ﺏ‬     ‫ي، و ﺕ‬        ‫إ‬         ‫ي أو‬      ‫ءإ‬              ‫‪C‬‬            ‫ا‬             ‫‪ Ai‬وا‬              ‫ض أن ا‬
     ‫ه‬    ‫، إذا آ‬     ‫ﺡ لا‬            ‫ﺡ آ‬        ‫ﺡ‬            ‫إﺡ اﺙ ت ه ا‬               ‫،ﺕ‬           ‫ﺡ له اا‬           ‫دورة آ ﻡ‬
         ‫ات ورة آ ﻡ‬      ‫ه ا‬                  ‫دﻡ ﺱ‬            ‫ﺏ‬       ‫ﺕ وي ﺹ .‬                  ‫ات ه ‪ ∆Ai‬ذن ه‬                            ‫ا‬
                                                      ‫‪.P‬‬          ‫ا‬   ‫‪C‬ﻡ آ‬             ‫ﺹ‬         ‫ﻡ‬       ‫ﻡ‬          ‫‪Ai‬‬

                                                                          ‫‪U‬‬                ‫ا‬     ‫إﺡ اﺙ ت‬          ‫أن‬         ‫ض‬
                                                                                                                    ‫ه : ‪xi + ξ i‬‬
                                                                           ‫‪ U‬إﺡ اﺙ ﺕ‬             ‫‪ V‬ﻡ ورة ا‬                           ‫و‬
                                                                                                         ‫ه : ‪xi + ξ i + dξ i‬‬


                                                                              ‫‪U‬ا‬               ‫‪ Ai‬ﻡ ا‬               ‫إ لا‬
                                                                               ‫ﺕ‬               ‫‪ V‬ن إﺡ اﺙ ت ه ا‬                           ‫ا‬
                                                                                                             ‫ا اﺏ :‬              ‫ً‬
                                                                                        ‫‪δ Ai = −Γijk A j dξ k‬‬                    ‫‪I‬‬


                         ‫ا.‬
                          ‫ً‬                 ‫‪ξi‬‬         ‫إن‬         ‫‪ .U‬ﻡ ا‬           ‫ا‬       ‫آ ﻡ ‪ A j‬و ‪Γijk‬‬                    ‫ﺕ‬           ‫ی‬

                              ‫ﻡ وا ﺵ قه :‬                     ‫ﺡ با‬            ‫ﺕ ر‬              ‫‪ Γijk‬ﻡ ﺥ ل ﻡ‬              ‫أول ﺕ ی‬

                                                              ‫‪∂Γijk i‬‬
                                                     ‫+ ‪Γijk‬‬        ‫‪ξ‬‬               ‫‪II‬‬
                                                               ‫‪∂xi‬‬


                              ‫:‬        ‫رة‬          ‫‪U‬ه‬             ‫ا‬   ‫‪P‬ا‬           ‫‪ Aj‬ﻡ ا‬                     ‫ازي‬        ‫لا‬              ‫ا‬


                                                     ‫‪A j − Γ rl Arξ l‬‬
                                                             ‫‪j‬‬                ‫‪III‬‬
81                                               ‫لا ج‬                                               ‫ا‬             ‫ا‬


                              .P           ‫ا‬     Γ rl ‫ و‬Ar ‫ و‬A j ‫آ ﻡ‬
                                                   j
                                                                                      ‫ﺕ‬         ‫ی‬        ‫ه ا اﺏ‬
                                                        :             I      ‫ا اﺏ‬         III ‫ و‬II ‫آ ﻡ‬


                                               ∂Γijk                     
                   δ A = − Γijk A j
                        i
                                           + (A
                                                 j
                                                      − Γijk Γ rl Ar )ξ l  d ξ k
                                                               j
                           
                           
                                                 ∂xl                      
                                                                          



                                                                      .C             ‫ﺡ لا‬               ‫ﺕ ﻡ ه ا اﺏ‬


                                                     ∂Γi
               ∆Ai = −Γijk A j ∫ dξ k + (Γirk Γ rjl − jk ) A j ∫ ξ l dξ k
                               c                      ∂xl      c


        :     ‫ی‬C            ‫ﻡ ﺡ لا‬             ‫داﺥ ا ﺱ . ا‬          ‫رة ا و‬       ‫ا‬    r‫و‬j                    ‫ﺏ ی ا‬
                                               ∫ dξ k = 0
                                               c
                                       ∫ ξ l dξ k = − ∫ ξ k dξ l
                                       c             c
                                                                                          : ‫ی‬            ‫ﺏ اا‬
                                           1
                                α kl = ∫ (ξ l dξ k − ξ l dξ k )
                                           2c


                                                                                                         :
                                                        ∂Γijk j kl
                              ∆A   i
                                       = (Γirk Γ rjl   − l )A α
                                                         ∂x


     ‫إﺙ ﺕ و‬         ‫ا‬                  ‫ه ك‬           ‫ه ا ﺵ‬           ،‫ر‬      ‫ﺕ‬              ‫رة داﺥ ا ﺱ‬                ‫ا‬
                            :‫ إذن‬l ‫ و‬k           ‫إﺱ ال ا‬           ‫و ه إﻡ‬            ‫صه ا‬                     ‫ﺏ‬       ‫ﺏ‬
                                                        ∂Γijl j lk
                              ∆A   i
                                       = (Γirl Γ rjk   − k )A α
                                                        ∂x
82                                                    ‫لا ج‬                                                  ‫ا‬            ‫ا‬


               :                       α kl   = −α
                                                     lk
                                                           ‫ب ه ا اﺏ‬                ‫و إﺡ‬     ‫ا ﺥ ﺕ‬               ‫ا اﺏ‬           ‫ﻡ‬


                               1                                ∂Γijl ∂Γijk j lk
                   ∆A = −
                       i
                                   (Γirk Γ rjl − Γirl Γ rjk +        −     )A α
                               2                                ∂xk ∂xl


‫ إذن‬l ‫ و‬k      (skew-symmetric)                            ‫ا‬         ‫ﺕ‬         ‫ا ﺱ‬         ‫رة داﺥ‬       ‫ا‬               ‫ا ن أﺹ‬
                                                                                                                         : ‫ا اﺏ‬


                                                           ∂Γijl ∂Γijk j
                            (Γirk Γ rjl − Γirl Γ rjk +          −     )A
                                                           ∂xk ∂xl


                                                                                   :      ‫ ﺏ‬Aj                  ‫ر،ﺙ‬          ‫ه ﺕ‬


                                                                   ∂Γijl ∂Γijk
                           Bijkl   = Γirk Γ rjl − Γirl Γ rjk +          −
                                                                   ∂xk ∂xl


                                   .              ‫ء ری ن – آ ی‬            ‫رإ‬           ‫ر، و ﺕ ف ﺏ‬               ‫ﺕ‬       ‫ه ا اﺏ‬


            :‫ أي‬R jk         ‫ر ری‬             ‫ﺕ‬                    l ‫و‬i        ‫ا‬          ‫ ، ﺏ‬Bijkl ‫ر‬               ‫ا‬        ‫ﻡ ﺕ‬


                                                    R jk = Bijki
83                                                         ‫لا ج‬                                                     ‫ا‬             ‫ا‬


                                                                             :         ‫ا‬               ‫د تا‬                  ‫أه‬            ‫ﺏ‬
                                                                         :           ‫ی ﺏ اا‬            ‫ا ﻡ‬              ‫أه ﻡ د ت ا‬
                                                  1
ds 2 = gij dxi dx j             ‫و‬        gi j =
                                                  g
                                                      ij


                                                                                                                                       : ‫ه‬
                                                                                                                        ‫دی‬            ‫ﻡ را‬
d 2 xi        dx j dx k                                                  dxi dx j
       + Γijk           =0                                         gij            = 1 :‫ط‬                ‫ﻡ ا‬
ds 2          ds ds                                                      ds ds
                                                                                                                  ‫ر ری ن‬               ‫ﺕ‬
 µ
R =Γ
     µ − Γµ + Γµ Γs − Γµ Γs
 ijk ik , j ij ,k sj ik sk ij


             µ         µ
                     ∂Γij
 µ      ∂Γ         µ         µ s
R = ik −j      + Γ sj Γ s − Γ Γij
 ijk ∂x      k         ik    sk
          ∂x
                                                                                                                             ‫ر ری‬          ‫ﺕ‬
Rij = Rijk
        k


       ij
R = g Ri j

                                                                                                                        ‫ی‬     ‫رأ‬           ‫ﺕ‬
             1
Gij = Rij − gij R
             2
                 1
G ij = Rij − g ij R
                 2
            :‫ﺡ ب‬            ‫ی‬       ‫ا ﻡ ،وﻡ ﺥ‬                  ‫ی ا‬                         ‫ا‬          ‫رات ه ﺏ ﺏ ا‬                      ‫ه ا‬
                                                           .                 ‫بآ‬            ‫ﻡ ور‬         ‫ء‬         ‫اف ا‬        ‫- إ‬
                                                                                      . ‫اآ‬        ‫ا‬           ‫ﺡ‬             ‫- ﺕ م‬
                                                                                           . ‫ا ﺡ‬                    ‫- إ یحا‬
                                     .(‫ی ﻡ ن‬   ‫ذج‬              ‫ل‬     ‫ا‬           ‫ﺱ‬     )‫ن‬                   ‫ذج ری‬           ‫- ﺏ ء‬
‫48‬                                                                   ‫لا ج‬                                               ‫ا‬             ‫ا‬


                                                               ‫ا‬            ‫ا‬                         ‫حو ّوا‬                              ‫ا‬
‫أو‬         ‫وي أو ا‬               ‫ا‬    ‫آ ﺡ اﺙ‬              ‫ﻡ ﺱ‬       ‫م إﺡ اﺙ‬               ‫ء، و آ ﺏ‬           ‫ﻡ ی ا‬                ‫- ﺕ‬
       ‫ﺕ‬     ‫ﺱ ت، و آ‬                  ‫ا‬                   ‫وذ‬           ‫ی ﻡ‬         ‫أن ﺕ ن ه ا‬                ‫ا رﺕ ي. ا‬
              ‫ضه ا‬                              ‫،ی‬                 ‫ءا ي ی ا‬               ‫ی‬    ‫ﺱ وا‬           ‫ا‬                   ‫ا‬
‫د ت‬        ‫ﺡّا‬           ‫ﺏ‬           ‫رواﺏ‬           ‫وا‬     ‫ّ‬        ‫ﺹ‬       ‫ات‬       ‫ض ﻡ ﻡ ذات ﻡ‬               ‫ّ أو‬             ‫ﺏأا‬
                                                                                        ‫ی ا ﺹ .‬              ‫أو ا‬               ‫ا ﺵ‬


       ‫‪ r‬و ‪ θ‬و ‪ φ‬و إذا آ‬                        ‫ﺕ‬        ‫ا ﺡ اﺙ ت آ وی ی‬              ‫ی ، ﻡ ً إذا آ‬     ‫ات ا‬                ‫ﻡ‬     ‫- ﺕ‬
 ‫ات ‪ x‬و‬          ‫ا‬           ‫ﺕ‬         ‫ا ﺡ اﺙ ت آ رﺕ ی ی‬                        ‫ﺏ ا ﻡ ن ‪ t‬و إذا آ‬       ‫ا ﺏ دﺕ‬                   ‫رﺏ‬
                             ‫رة:‬            ‫ا‬        ‫ا ﺏ دﺏ‬           ‫وی رﺏ‬         ‫‪ y‬و ‪ z‬و ‪ t‬و ه .ا ﻡ ً ا ﺡ اﺙ ت ا‬
‫‪x1 = r‬‬
‫‪x2 = θ‬‬
‫‪x3 = φ‬‬
‫‪x4 = t‬‬
     ‫ی و ذ‬           ‫ی‬           ‫أن ﺕ ن ا‬                      ‫ی ‪ ، ds 2 = gij dxi dx j‬ا‬              ‫‪gij‬‬      ‫ﻡ‬            ‫ا‬     ‫- ﺕ‬

                                                                                                      ‫ﺱ ت.‬          ‫ا‬
                                                         ‫‪g‬‬     ‫0‬               ‫0‬     ‫‪0 ‬‬
                                                         ‫11 ‪‬‬                            ‫‪‬‬
                                                         ‫0 ‪‬‬  ‫‪g‬‬                 ‫0‬     ‫‪0 ‬‬
                                                         ‫‪‬‬      ‫22‬                       ‫‪‬‬
                                                         ‫0 ‪‬‬    ‫0‬           ‫‪g‬‬
                                                                             ‫33‬
                                                                                      ‫‪0 ‬‬
                                                         ‫‪‬‬                               ‫‪‬‬
                                                         ‫0 ‪‬‬
                                                         ‫‪‬‬
                                                                ‫0‬               ‫0‬    ‫‪g ‬‬
                                                                                      ‫‪44 ‬‬


                                                                        ‫.‬                    ‫‪k‬‬
                                                                                          ‫‪ Γij‬ا‬             ‫آ ی‬                   ‫- ﺕ‬
‫58‬                                                                   ‫لا ج‬                                                      ‫ا‬            ‫ا‬


‫ء‬         ‫ه اا‬           ‫ﺹ ات‬         ‫ا‬         ‫د تﻡ‬           ‫ه ا‬                ‫ی .ﺕ‬            ‫ا‬             ‫دی‬     ‫ﻡ د تا‬           ‫- ﺕ‬
          ‫ﻡ‬        ‫دی‬      ‫ه ا‬            ‫ﺕ‬         ‫ذج ا‬    ‫ا‬             ‫ﺏ‬        ‫ﻡ ه .‬                  ‫ت ﻡ ه أو‬             ‫ﺱ اء ﻡ‬
                                                                                         ‫وی .‬           ‫ام ا‬         ‫اآ و ا‬    ‫ﺡ آ ا‬


      ‫ر‬            ‫ﻡ ﺕ‬       ‫ﻡ ﺱ ه اا‬                      ‫یتا‬                ‫ا‬          ‫ﺏ‬            ‫ر ری ن ‪، R s‬‬            ‫- ﻡ ﺱ ﺕ‬
                                                                                                         ‫‪ijk‬‬
                                      ‫ر.‬            ‫ﺱ تﻡ ﺥ له اا‬                              ‫ا‬                  ‫‪ R‬وذ‬     ‫ری ن:‬
                                                                                                                     ‫2121‬


‫ر‬         ‫اا‬         ‫.‬     ‫ر ری‬           ‫ﻡ ﺱ ﺕ‬            ‫ر ری ن ی‬                    ‫‪ ، Rij‬ﻡ ﺕ‬                     ‫ر ری‬     ‫- ﻡ ﺱ ﺕ‬

       ‫ی . ﻡ ﺕ وي‬                 ‫أ‬           ‫ﻡ د تﺡ‬            ‫ی‬                 ‫ا ﻡ وذ‬                       ‫ی ا‬             ‫ﺏ‬       ‫أه‬
     ‫ُ‬
‫و ی ّ ّف‬            ‫ُ‬
                   ‫. یَ‬     ‫د تا ﺵ‬                 ‫ﻡ ا‬                ‫ﻡ‬                                   ‫رﻡ ا‬               ‫ﻡ ﻡ هاا‬
‫ﺡل‬             ‫ی‬         ‫ﻡ ﻡ ا‬        ‫ﺕ‬            ‫د تی‬         ‫ﻡ ه ا‬                    ‫د ت. آ‬                ‫ءﻡ ﺥ له ا‬                ‫ا‬
                                  ‫، آ ه ا ل ﻡ ﻡ ی ﺵ ارﺕ ﺵ .‬                                               ‫ات ﻡ‬         ‫رة ﻡ‬        ‫ﺏ‬   ‫آ‬


‫ﻡ ه ا ّ ّ ﺕ س أو‬                                           ‫ا‬              ‫أو ا‬         ‫ا اﺏ‬            ‫‪،R‬ﺕ‬            ‫- ﻡ ﺱ ﺱّ ّ ری‬
      ‫ﻡ ﺱ‬               ‫ﻡ ﺥ له ا ّ ّ ی‬                     ‫أو ﺹ . آ‬                          ‫،ﻡ‬        ‫ء، ﺱ اء آ ن ﺱ‬           ‫ءا‬       ‫إ‬
                                                                                                                       ‫ی .‬    ‫رأ‬        ‫ﺕ‬


     ‫ا دة،‬                ‫ءا يﺕ ا‬              ‫ا‬     ‫ر‬              ‫ه اا‬          ‫أه‬          ‫ی ‪ ، Gij‬ﺕ‬               ‫رأ‬      ‫- ﻡ ﺱ ﺕ‬

                                                                      ‫ء ا ﺕ ﻡ ﻡ ی روﺏ ﺕ ن – واآ .‬                                      ‫آ‬
86                                                             ‫لا ج‬                                           ‫ا‬           ‫ا‬


                       ‫ا ﺱ ب‬                              ‫ﺕ‬                  ‫ا‬            ‫واﺏ ا‬               ‫ذج ر ﺽ‬
‫ذج‬           ‫ا‬         ‫ﺏ‬           ‫ﻡ ﺡ ﺏ‬                      ‫،و‬     ‫وﻡ‬       ‫رات ﻡ‬          ‫ه ا‬              ‫ﺏ‬       ‫تا‬           ‫ا‬
                                            .‫ه‬      ‫وی‬        ‫ا اﺏ‬       ‫ار، و ی‬     ‫ا‬     ‫ﺱ ت، ی‬         ‫ا‬           ‫ی‬           ‫ری‬
                                                                                                :‫رة‬       ‫ا‬       ‫ذج ه ﺏ‬           ‫ا‬


                                                     :         ‫ا‬     ‫ﺏ‬       ‫ءا‬                 ‫دی‬      ‫ﻡ د ﻡ را‬


                 ds 2 = A( x, y, z , t )dx 2 + B ( x, y, z , t )dy 2 + C ( x, y, z , t )dz 2 + D( x, y, z , t )dt 2


                            1
α ( x, y , z , t ) =
                     2 A( x, y, z , t )
                            1
β ( x, y , z , t ) =
                     2 B ( x, y , z , t )
                            1
γ ( x, y , z , t ) =
                     2C ( x, y, z , t )
                            1
δ ( x, y , z , t ) =
                     2 D ( x, y , z , t )

                                                                              :      ‫ه ا واﺏ ﺏ ا ا‬                    ‫ر‬       ‫ﺥ‬
ds 2 = Adx 2 + Bdy 2 + Cdz 2 + Ddt 2
    1
α=
   2A
    1
β=
   2B
    1
γ=
   2C
    1
δ=
   2D
                                                                              : ‫ﻡ ه ا اﺏ‬                   ‫آ ی‬                     ‫ﺕ‬
                                             µ     µ      1 µτ
                                            Γνσ = Γσν =     g ( gτν ,σ + gτσ ,ν − gνσ ,τ )
                                                          2
‫78‬                                                  ‫لا ج‬                                      ‫ا‬       ‫ا‬


                                                                                              ‫رﺏ ن:‬        ‫آ‬
     ‫‪∂A‬‬
‫= ‪Aµ‬‬
     ‫‪∂x µ‬‬
      ‫‪∂2 B‬‬
‫2 1 = 21‪B‬‬
     ‫‪∂x ∂x‬‬


        ‫ا س(.‬       ‫ﺏ‬          ‫اد ه‬   ‫‪) ∂x 2 = ∂y‬ا‬                ‫ان ی ن ‪ ∂x1 = ∂x‬و آ‬         ‫ه ا واﺏ ی‬


                                                                                                      ‫آ‬
          ‫آ ی‬           ‫ﺡ ب ّ‬         ‫ﻡ ﺥ‬                  ‫ی‬      ‫ا‬     ‫آ ا واﺏ‬              ‫ا ﺏ‬           ‫ا‬
‫‪ MATLAB‬أو ‪ MATCAD‬أو‬                   ‫ﻡ‬             ‫ﺱ ب و ﻡ ﺥ ل ﺏ ﻡ ﺏ‬                    ‫ﺏ‬        ‫ت. ا ﺱ‬       ‫ا‬
      ‫ﺹ رة ﻡ‬    ‫آ‬       ‫ﻡ .آ‬      ‫ﺡ به ا‬                   ‫ﺏ ﺡ ا اﻡ ، ی‬           ‫‪ MAPLE‬أو ﻡ ﺥ ل ﺏ ﻡ‬
     ‫ﻡ ِ ّ ُ ﻡ ﺥ ل ه ا اﻡ .‬           ‫أو‬        ‫ّ‬          ‫أو ﺕ‬       ‫ﻡ ﺱ‬        ‫رات ی‬       ‫ﻡ ﻡ ه ا‬


                                           ‫‪.g‬‬       ‫= 21‬   ‫‪g‬‬   ‫0 = 12‬       ‫دی‬     ‫ﻡ د ا‬      ‫إن‬               ‫ی‬


                                      ‫0 = 1‪ Γ‬و ‪ Γ1µ = −α Aµ‬و 4‪ Γ 4 = δ D‬و 2‪Γ 2 = − β C‬‬
                                        ‫32‬             ‫44‬          ‫1‬             ‫32‬
88                                                 ‫لا ج‬                               ‫ا‬       ‫ا‬


             d               d        d      d  
        α⋅      A     −β ⋅      A −γ ⋅ A −δ ⋅ A 
             dx              dy       dz     dt 
             d               d                                     
        α⋅      A     β⋅        B          0            0          
             dy              dx                                    
             d                            d                        
        α⋅      A            0      γ⋅       C          0
                                                                    
              dz                           dx
                                                                   
               d                                        d             Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
         α⋅        A          0             0      δ⋅       D            11     11          11      11
               dt                                       dx         
                                                                      Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
           d            d                                              12     1 2         1 2     1 2
         α⋅    A       β⋅ B                 0            0
           dy           dx                                            Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                                                                       13     1 3         13      1 3
               d            d              d        d              
         −α ⋅      B   β⋅       B    −γ ⋅      B −δ ⋅ B                 Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
               dx           dy             dz       dt                 14     1 4         1 4     1 4
                                                                      Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                             d            d                            21     21          21      21
                0      β⋅        B   γ⋅       C          0
                             dz           dy                       
                                                                        Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                             d                          d
                                                                        22     22          22      22
               0       β⋅       B          0      δ⋅       D       
                              dt                         dy             Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
Γ :=                                                                   23     23          23      23
             d                            d                        
        α⋅      A            0      γ⋅       C          0             Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                                                                         24     24          24      24
             dz                           dx                       
                                                                      Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                         d              d                                31     31          31      31
               0      β⋅ B          γ⋅    C             0
                                                                    
                         dz             dy                              Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                                                                       32     3 2         32      3 2
               d         d                d                 d      
         −α ⋅      C −β ⋅    C       γ⋅       C    −δ ⋅         C       Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
               dx        dy               dz                dt         33     33          33      33
                                                                   
                                           d            d             Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                0             0       γ⋅       C   δ⋅       D            34     3 4         34      3 4
                                           dt           dz         
                                                                      Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                d                                        d               41     41          41      41
        α⋅        A          0             0      δ⋅       D       
               dt                                       dx            Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                                                                         42     42          42      42
                                                                   
                             d                          d             Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                0       β⋅       B          0      δ⋅       D            43     43          43      43
                             dt                         dy         
                                                                      Γ1    Γ 2         Γ 3     Γ 4
                                        d            d                   44     44          44      44
               0             0       γ⋅ C         δ⋅ D             
                                       dt           dz             
               d         d        d                     d          
        −α ⋅      D −β ⋅    D −γ ⋅ D              δ ⋅      D       
               dx        dy       dz                    dt         
89                                             ‫لا ج‬                                 ‫ا‬        ‫ا‬


                                                                             :          ‫رر‬       ‫ﺕ‬
Ri j = Rikjk


R = g i j Ri j

Rµν = Rνµ

                                                                         :   ‫ر ری‬       ‫أﺡ ﻡ ﻡ ﺕ‬

                d2           d2                            d2 
w11 := β ⋅          A + γ ⋅     A  + δ ( x , y , z , t) ⋅      A
                d y2         dz2                           d t2 

                d2          d2          d2 
w12 := β ⋅         B + γ ⋅     C + δ ⋅     D
                dx2         dx2         dx2 
                         2                 2                  2
         d    d    d 
w13 := β ⋅  B  + γ ⋅  C  + δ ⋅  D 
         dx    dx    dx 

               d   d                 d         d 
w14 := α ⋅        A ⋅  β ⋅  B  + γ ⋅  C  + δ ⋅  D  
                dx    dx              dx        dx  

               d   d                d         d         d 
w15 := β ⋅        A ⋅  α ⋅  A + β ⋅  B  − γ ⋅  C  − δ ⋅  D  
                dy    dy             dy        dy        dy  

               d   d                d         d         d 
w16 := γ ⋅        A ⋅  α ⋅  A − β ⋅  B  + γ ⋅  C  − δ ⋅  D  
                dz    dz             dz        dz        dz  

           d   d                d         d         d 
w17 := δ ⋅  A  ⋅  α ⋅  A  − β ⋅  B  − γ ⋅  C  + δ ⋅  D  
            dt    dt             dt        dt        dt  
R11 := w11 + w12 − w13 − w14 − w15 − w16 − w17
       90                                                        ‫لا ج‬                                          ‫ا‬          ‫ا‬


                                                                                                  :     ‫ر ری‬             ‫ﻡ ﻡ ﺥ‬
                 d  d      d  d           d   d             d   d 
      R12 := γ ⋅   C + δ ⋅   D − γ ⋅ γ ⋅  C ⋅  C − δ ⋅ δ ⋅  D ⋅  D
                 dxd y     dxd y         dx  d y           dx  d y 

                       d   d               d   d             d   d             d   d 
              −α ⋅ γ ⋅   A ⋅  C − α ⋅ δ ⋅  A ⋅  D − β ⋅ γ ⋅  B ⋅  C − β ⋅ δ ⋅  B ⋅  D
                      d y  dx             d y  dx           dx  d y           dx  d y 


                ‫ی ا‬             ‫ء‬     ‫ا‬   ‫نﺡ‬           ‫ه 01 ﻡ ﻡ ، و ه‬                 ‫ر ری‬        ‫ﺕ‬                ‫ﻡ ا‬        ‫دا‬
       ‫م‬         ‫ی‬     ‫ﺡ أ‬       ‫و‬          ‫ة ﻡ ﻡ ﺕ وي ﺹ ، ه ا ﻡ‬                      ‫أن ﺕ ن آ ّ ﻡ ه ا‬               ‫ا ﻡ ﺵ ی‬
                     ‫وﺕ مﺡ‬       ‫ء و أﺙ دوﺏ‬         ‫ءا‬      ‫إ‬            ‫ﺹد و ﺹ‬                  ‫ن‬       ‫هاا‬          ‫5191. أ‬
                                                                                                                         . ‫اآ‬        ‫ا‬



                                                                                                           :‫ر ر ن‬                  ‫ﺕ‬
          µ     µ         µ
        Rijk = Γik , j − Γij ,k + Γ µ Γik − Γ µ Γij
                                    sj
                                       s
                                              sk
                                                 s




                      τ
        Rµνρσ = g µτ Rνρσ


        Rµνρσ = Rρσµν = − Rνµρσ = − Rµνσρ


        Rµνρσ + Rµρσν + R            µσνρ = 0



        R1234 = 0


                       1       d d        d  d          d  d           d  d 
       R1213 :=             ⋅  −  A + α ⋅  A ⋅  A + β ⋅  A ⋅  B  + γ ⋅  A ⋅  C  
                       2
                               d y  dz     d y   dz      d y   dz       dz   d y  
            d2   d2              d   d   d  2           d   d   d  2         d  d            d  d 
R1212 := −      A −   B  + α ⋅   A  ⋅  B  +  A  + β ⋅   A ⋅  B  +  B   − γ ⋅  A  ⋅  B  − δ ⋅  A ⋅  A
            d y2   dx2           dx   dx   d y          d y   d y   dx        dz   dz         dt   dt 
       91                                                      ‫لا ج‬                                         ‫ا‬        ‫ا‬


                                                                                                       :         ‫ﺱّ ّ ر‬
                                     :    ‫ر ری‬               ّ ‫ا‬        ‫ءﻡ ﺥ لا‬             ‫ء ا‬      ‫ﺕ س أو إ‬            ‫ﺕ‬      ‫ی‬

        R = g i j Ri j


     d2   d2   d 
                           2
                              d 
                                      2
                                         d  d      d  d  d  d              d  d 
w1:= A +  B − α⋅  A − β ⋅  B − α⋅  A ⋅  B − β ⋅  A ⋅  B + γ ⋅  A ⋅  B + δ ⋅  A ⋅  B
                                                                                      
    d y  dx 
        2      2
                   d y      d y      dx  dx    dy  d y  dz  dz         dt  dt 
     d2   d2   d 
                          2
                             d 
                                    2
                                        d  d      d  d  d  d              d  d 
w2:= A +  C − α⋅  A − γ ⋅  C − α⋅  A ⋅  C + β ⋅  A ⋅  C − γ ⋅  A ⋅  C + δ ⋅  A ⋅  C
                                                                                     
    dz2  dx2   dz      dx       dx  dx    dy  d y  dz  dz         dt  dt 
     d2   d2    d 
                          2
                              d 
                                    2
                                       d  d        d  d  d  d              d  d 
w3:= B +  C − β ⋅  B − γ ⋅  C + α⋅  B ⋅  C − β ⋅  B ⋅  C − γ ⋅  B ⋅  C − δ ⋅  B ⋅  C
                                                                                      
    dz  dy 
        2      2
                    dz      dy     dx  dx      d y  dy  dz  dz         dt  dt 

     d2   d2   d       d 
                                 2           2
                                      d  d        d  d  d  d              d  d 
w4:= A +  D − α⋅  A − δ ⋅  D − α⋅  A ⋅  D + β ⋅  A ⋅  D + γ ⋅  A ⋅  D − δ ⋅  A ⋅  D
                                                                                     
    dt  dx 
        2      2
                   dt      dx     dx  dx      dy  d y  dz  dz         dt  dt 

     d2   d2    d 
                                 2
                              d 
                                             2
                                       d  d        d  d  d  d              d  d 
w5:= B +  D − β ⋅  B − δ ⋅  D + α⋅  B ⋅  D − β ⋅  B ⋅  D + γ ⋅  B ⋅  D − δ ⋅  B ⋅  D
                                                                                      
    dt2  d y2   dt      d y    dx  dx      d y  dy  dz  dz         dt  dt 
     d2   d2  d  2 d  2 d  d               d  d  d  d              d  d 
w6:= C +  D − γ ⋅  C − δ ⋅  D + α⋅  C ⋅  D + β ⋅  C ⋅  D − γ ⋅  C ⋅  D − δ ⋅  C ⋅  D
                                                                                      
    dt  dz  dt 
        2      2
                              dz     dx  dx      dy  d y  dz  dz         dt  dt 




    Ricci Scalar

   R := 4 ⋅ ( α ⋅ β ⋅ w1) + 4 ⋅ ( α ⋅ γ ⋅ w2) + 4 ⋅ ( β ⋅ γ ⋅ w3) + 4 ⋅ ( α ⋅ δ ⋅ w4) + 4 ⋅ ( β ⋅ δ ⋅ w5) + 4 ⋅ ( γ ⋅ δ ⋅ w6)
    92                                       ‫لا ج‬                              ‫ا‬        ‫ا‬


                                                                           :       ‫رأ‬       ‫ﺕ‬
                  1
     Gµν = R µν − Rg µν
                  2

                                                                   : ‫ره‬        ‫أﺡ ﻡ ﻡ ه ا ا‬

  :=
      d2   d2  d 2 d 2 d  d  d  d  d  d  d  d 
        C +β⋅ B +γ⋅ C −α⋅ B ⋅ C +β⋅ B ⋅ C +γ⋅ B ⋅ C −δ ⋅ B ⋅ C
g1 − B −
                  
     dz 2  2                             
       d y   z d     y
                            d      x   x   y   y   z   z   t   t 
                                    d     d       d     d         d     d          d     d

        D +β⋅ B +δ ⋅ D −α⋅ B ⋅ D +β⋅ B ⋅ D −γ⋅ B ⋅ D +δ ⋅ B ⋅ D
      d2   d2  d 2 d  2 d  d  d  d  d  d  d  d 
                  
g2 − B −
  :=
     dt2  d y2   t                       
              d      y
                           d       x   x   y   y   z   z   t   t 
                                   d     d        d     d         d     d          d     d
      d2   d2  d  2 d  2 d  d  d  d  d  d  d  d 
        
g3 − C − D +γ⋅  C +δ ⋅  D −α⋅  C ⋅  D −β⋅  C ⋅  D +γ⋅  C ⋅  D +δ ⋅  C ⋅  D
  :=
     dt2  dz2   t                                                            
         d           z
                          d       x   x   y   y   z   z   t   t 
                                   d     d       d     d         d     d          d     d




             β ⋅γ        β⋅δ        γ⋅δ 
     G11 :=       ⋅ g1 +     ⋅ g2 +      ⋅ g3
              α           α          α 


    ‫ر، ﻡ ﺙ أﺱ ج ا واﺏ ﻡ ﺕ وي‬              ‫آ ﻡ ﻡ هاا‬         ‫ﺕ‬    ‫ی ی‬    ‫ﺱ ﻡ د تﺥ أ‬
                          .(‫ﻡ ا دة‬      ‫ءی‬          ‫ره ﺏ اا‬        ‫)ه اا‬       ‫ه ا واﺏ ﻡ ا‬
‫39‬                                                                                        ‫لا ج‬                                                                          ‫ا‬                        ‫ا‬


                                                         ‫‪The Cosmological Principle‬‬                                                                                             ‫ﺱ‬                ‫أا‬
‫ا ﻡ‬                    ‫ا‬       ‫أ‬         ‫هاا‬              ‫ا ل ﺏ ن أه‬                           ‫ا ﻡ وی‬                           ‫ی ا‬                    ‫آ ة‬                          ‫أ أه‬                 ‫اا‬
    ‫ﻡ ه ﻡ أﻡخإ‬                               ‫مﻡ ﺏ‬                ‫ا‬           ‫أﻡ ﺡ‬                  ‫كهاا‬                     ‫ا ﺹ .ی‬                         ‫ا‬            ‫ﻡ أﻡخ‬                                ‫آه‬
     ‫ﺕ‬            ‫، و‬              ‫آ أ ﺡ ظ ا‬                                      ‫،‬                    ‫ت‬                ‫ﻡ ا‬                  ‫ا‬        ‫ﺕ‬                 ‫ا‬                ‫ا‬               ‫أن ﺡ‬
                                                                                                                                                 ‫ﺕ آ.‬                                        ‫ا رﺹ د ا‬


                                             ‫اص.‬               ‫ّ‬
                                                             ‫وﻡ ﺡ ا‬                               ‫نﻡ‬            ‫أن: ا‬                ‫أ‬       ‫ّه اا‬                  ‫ً‬
                                                                                                                                                                   ‫ای‬                ‫س واﺱ‬                     ‫ﺏ‬


    ‫ﻡ ه ﻡ‬                                ‫ﻡ‬           ‫رة‬          ‫ن‬           ‫ضا‬                    ‫ه أن‬                     ‫ا ﺱ د‬                    ‫ا يی‬                                    ‫ذج ا‬              ‫ا‬
‫ذج‬           ‫ﻡ ه اا‬                       ‫أن‬             ‫ا ﺥ ى، ی‬                         ‫آّ‬               ‫وی و ﺕ‬           ‫ﻡ‬            ‫نوﺏ‬               ‫ا‬            ‫ة‬                ‫ات ﻡ‬                  ‫ا‬
‫ء‬                     ‫ﻡ ه‬                ‫ة‬               ‫ذج ﻡ‬            ‫هاا‬                      ‫ن آّ . ی‬                  ‫وی‬           ‫ﻡ‬            ‫ات ذات‬                          ‫ا‬                      ‫ﺏن‬
‫ذج‬           ‫ا‬                     ‫ا‬     ‫ا‬          ‫ةآ ه ا ل‬                                  ‫ﻡ‬                      ‫ا‬          ‫و د‬              ‫ذج‬                ‫هاا‬                   ‫ﻡ ه .‬
             ‫أﺡ ا‬           ‫دة ﺡ‬                ‫ا‬            ‫اص ا‬                 ‫و وﺡ ة ا‬                               ‫ی.ا‬                     ‫ﻡ‬     ‫ا‬            ‫ة‬                        ‫ا‬           ‫ﺕ‬     ‫ا‬
                                                    ‫ن.‬       ‫ﻡ ا‬                      ‫نا‬               ‫ا‬                ‫ا د ءﺏ‬                        ‫ﻡ ا‬                       ‫أ‬            ‫ه اا‬


         ‫ن‬        ‫ا‬            ‫)ا وام( أو ﺕ‬                          ‫ّ‬        ‫م 8491 ﺕ‬                                      ‫آﻡ ﻡ ه ا ا ﺹ و‬                                                               ‫ه ك‬
‫ه ك‬                   ‫وي.‬          ‫آ زﻡ ن ﻡ‬                  ‫ن‬               ‫ه ا‬                  ‫أن ﻡ ﺱ‬                     ‫زﻡ ً، ﺏ‬                  ‫آ‬            ‫وإ‬                                ‫ً‬
‫ء‬            ‫هاا‬                       ‫ﻡ دة آ‬             ‫أن ﺕ‬               ‫ءا ﺕ ی‬                        ‫ا‬            ‫ن‬       ‫ﻡ ی ﺱ ا‬                        ‫ن!‬                    ‫ی‬               ‫ﺏ ی و‬
     ‫ﺡ ود ذرة ه رو‬                           ‫س واﺱ و إ‬                        ‫ﺏ‬                                     ‫نﺡ ظا‬                        ‫رة‬            ‫ا رغ. ﺕ ى ه ا‬
‫ا رﺹ د‬                         ‫ی ﺵ ة واﺱ‬                        ‫ه ا‬                       ‫.‬        ‫ا‬            ‫ء‬           ‫ﻡ ا‬                  ‫ﻡ ﻡ‬               ‫آ 06 آ‬                                    ‫واﺡ‬
                                                                         ‫.‬                         ‫ﺏ‬            ‫ﻡا‬          ‫ﺡ‬            ‫ﻡ أ‬                   ‫ا‬            ‫ﺏ‬                    ‫ﺵ‬             ‫ا‬


     ‫ی‬                ‫ن،‬       ‫ا‬                    ‫ای‬       ‫ض ﺥ ﻡ ﺏ،‬                                          ‫ا ﻡ أو أي‬                         ‫أو ﺹ‬                               ‫ﺱ ﻡ‬                  ‫ﻡ أا‬
‫آّ‬            ‫ﺏ‬            ‫ا‬           ‫ﺕ ی‬          ‫.ی‬                   ‫ی‬                ‫دأ ه‬             ‫ا‬        ‫آ‬            ‫ة‬           ‫ﻡ‬         ‫آ‬                    ‫ا ل ﺏن آ ﻡ‬
‫ل‬        ‫ا‬        ‫ﺱ‬                ‫ی.‬           ‫ا‬        ‫ه‬           ‫ا‬                ‫ﺕ‬                    ‫ی ت ا‬                ‫ﻡ ا‬                        ‫ﻡ ﻡ‬                       ‫ی‬                   ‫ی‬
‫49‬                                                               ‫لا ج‬                                                       ‫ا‬             ‫ا‬


            ‫أو ﻡ‬        ‫عﺏ ا‬          ‫ﻡ‬             ‫ا ﺹ ه‬                ‫،ا‬                      ‫ﻡ‬                 ‫ه‬            ‫ﺕ‬    ‫ا‬             ‫ا‬
    ‫ا ﺥ ىه‬                  ‫ما‬        ‫واﺡ ، و ا‬        ‫ﺕ ی ت واﺡ ا‬                         ‫ﻡ‬               ‫ا ﻡ ه‬                         ‫ر ،ا‬
‫أن‬          ‫ﺵ ی‬        ‫يﻡ‬        ‫ءإ‬                ‫ق‬       ‫ﺕ‬     ‫ی ا‬     ‫ا‬       ‫ً‬
                                                                              ‫ا. ﺡ‬             ‫ن واﺱ‬                    ‫ات ﻡ‬              ‫ﺕ‬
                                          ‫ت.‬           ‫ﻡ ا وران و ا‬                    ‫ﻡ‬                               ‫ءﻡ‬            ‫ا‬    ‫ی نذ‬


             ‫نﻡ ﻡ ا ،ه‬                             ‫ا رﺹ د ا‬             ‫أه ،ﻡ‬              ‫هاا‬                              ‫ا ﺱﺱ‬              ‫ی‬    ‫ا‬
‫ن( و‬         ‫ا‬     ‫نوآ‬           ‫ﺕ ﺱ ا‬         ‫ا رض )ﻡ‬                       ‫مﺏ‬            ‫ﺥ . ا رﺹ د ا‬                     ‫ی دی ﻡ ا‬               ‫ا‬
‫م‬       ‫ﻡ‬        ‫هاا‬        ‫.ی‬            ‫زﻡ رﺹ ه ﻡ‬               ‫ة أﺥ ى‬          ‫ﻡ‬            ‫ی مﺏ ﻡ ا‬                             ‫ه ا رﺹ د‬
                                                                                                           ‫.‬            ‫ﺥ وه ا ﻡ ا‬


‫ن‬       ‫هاا‬            ‫ات‬    ‫ه ك ﺕ‬                 ‫ن آ ، إن آ‬                 ‫تﻡ‬               ‫ه و د‬                        ‫هاا‬                   ‫أﺡ‬
    ‫آ‬        ‫زﻡ ﺕ وى‬                           ‫ا‬               ‫ﻡ أا ﻡ‬                 ‫ا اﻡ .‬                   ‫ﺕ‬                                   ‫ا‬
‫ة.‬      ‫آّﻡ‬            ‫ه‬          ‫‪،τ‬ه اا ﻡ ا‬                     ‫ﻡ ا‬         ‫ه ا رﺹ د ه‬                                ‫ه ا‬               ‫ا رﺹ د،‬


                                                       ‫.‬         ‫ا ﻡ ا‬        ‫تآ ،ﺡ‬                    ‫ا‬           ‫ﺕ‬            ‫ﺙﺏ ی‬
‫59‬                                                          ‫لا ج‬                                               ‫ا‬        ‫ا‬


                                                               ‫ا‬           ‫ا‬                                   ‫ه ا‬              ‫أه‬
     ‫رة‬           ‫،هاا‬            ‫ا‬     ‫ا ﺵ‬             ‫لﻡ ی ا ﻡ نه ﻡ ﺱ ﻡ‬                                 ‫أﺡ أه ﻡ ارد أﺱ‬
 ‫ءوﺕ ﺱ وﻡ ﺱ‬              ‫عا‬             ‫ﺕ‬         ‫ی ی‬         ‫ﻡ ﺥ لا‬              ‫ی .آ‬         ‫ه ا‬            ‫دی‬    ‫ﻡ ﺹ أو‬
 ‫ی‬    ‫أ‬   ‫،وا ه ﻡ د تﺡ‬                  ‫ر ری ن و ری‬                 ‫ﺱ تﻡ ﺥ لﺕ‬                    ‫ذﺏ . ﺕ ه ا‬                     ‫ﺡ‬
‫أه أ اع‬       ‫ﺏ‬       ‫هاا‬                    ‫ا ذﺏ . ﺱ‬              ‫ﺡ‬       ‫ا دة‬          ‫ﺕ ا‬     ‫ﺡ‬        ‫أم‬        ‫ا‬       ‫ﺱ اء‬
                                                                   ‫ا ﻡ.‬                ‫ی ا‬                ‫ﺡ‬          ‫یتا‬         ‫ا‬


                                                                         ‫ء زﻡ ن ه :‬                   ‫ی‬            ‫رة ا ﻡ‬        ‫ا‬
                         ‫⋅⋅⋅ + 3‪ds 2 = Adt 2 + Bdx1dt + ⋅⋅⋅Edx12 + ⋅⋅⋅Hdx2 dx‬‬



      ‫ا ﺹ‬         ‫ﺱآ ا‬        ‫ﺡ‬              ‫ه.‬             ‫ه ه ﺕ اﺏ ﻡ ‪ t‬و 1‪ x‬و 2‪ x‬و‬                      ‫ﻡ ‪A‬و‪B‬و‬                 ‫ا‬
                                                                                                                    ‫ی ه :‬        ‫ا‬
                                                  ‫2 ‪ds 2 = Adt 2 − dσ‬‬



‫0 = 3‪dx1 = dx2 = dx‬‬       ‫ً‬           ‫و ‪ 1 =i‬و 2 و 3‬                   ‫2‪dσ 2 = dxi‬‬              ‫2 ‪ dσ‬ه‬             ‫ه ا اﺏ‬
                                                                                       ‫ی ه :‬      ‫ا‬                  ‫طا‬
                                                    ‫2 ‪ds 2 = Adt‬‬
                                                                                ‫‪− 2ϕ‬‬
                                                            ‫‪ A = c‬إذن:‬     ‫2‬
                                                                               ‫2‪e c‬‬    ‫ذﺏ و‬           ‫ﺡ‬            ‫إذا آ ن ‪ ϕ‬ه‬
                                                             ‫‪− 2ϕ‬‬
                                            ‫‪ds = c‬‬
                                              ‫2‬         ‫2‬
                                                            ‫2 ‪e c2 dt‬‬   ‫2 ‪− dσ‬‬


                                                                        ‫ی ﻡ وی .‬               ‫ﻡ ﻡ ه ا‬                      ‫ﺡ‬
96                                                 ‫لا ج‬                                      ‫ا‬       ‫ا‬


                                                                  − 2ϕ
  2ϕ                                                                            2ϕ
‫5−01× 5.0 < 2 و‬              ‫ﺥ رج ا‬                    ‫ه ا‬       e c2    ≈ 1+          ‫ی‬   ‫هاا‬           ‫إذا أﺱ‬
  c                                                                             c2

             ‫أن ا ﻡ ن ﺡ ل آ‬            ‫ ﺕ ی ً ﺕ وي واﺡ وه ا ﺏ‬c 2 dt 2              ‫ﻡ ﻡ ا ﺡ اﺙ‬       ‫ﻡ هاﺕ‬
                                                                            :‫أي‬            ‫ﺕ یًﻡ‬         ‫ا‬     ‫ﻡ‬
                                      ds 2 = c 2 dt 2 − dx12 − dx2 − dx32
                                                                 2




‫ء‬        ‫و‬          ‫ء ﻡ‬         ‫ﺏ‬      ‫ا رﺕ‬        ‫ﺱ‬     ‫و ﻡ ی ﺵ ارﺕ ﺵ‬                     ‫ﻡ ﺥ ل ﻡ ی ﻡ‬
                                                              :‫ی ت‬       ‫ﻡ ﺥ له ا‬           ‫ﺵ ارﺕ ﺵ ، و ذ‬


                  x = X cosh T           y =Y                z=Z            t = X sinh T


                                                              t
                    x2 − t 2 = X 2                              = tanh T                                     :‫إذن‬
                                                              x
                                                                                                         :     ‫آ‬
                                           cosh 2 T − cosh 2 T = 1
                                                             ∂F      ∂F
                                    A = F ( x, y ) ⇒ dA =       dx +    dy
                                                             ∂x      ∂y

    dx = cosh TdX + X sinh Tdt ⇒ dx 2 = dX 2 cosh 2 T + 2 X cosh T sinh TdXdT + X 2 sinh 2 TdT 2

    dt = sinh TdX + X cosh Tdt ⇒ dt 2 = dX 2 sinh 2 T + 2 X cosh T sinh TdXdT + X 2 cosh 2 TdT 2
                                                                                                             :‫إذن‬
                                       dt 2 − dx 2 = X 2 dT 2 − dX 2
               ds 2 = dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 ⇒ ds 2 = X 2 dT 2 − dX 2 − dY 2 − dZ 2
                                ds 2 = X 2 dT 2 − dX 2 − dY 2 − dZ 2


                                              .‫ا ﺏ د‬      ‫ ( رﺏ‬X , Y , Z , T ) ‫ء‬                   ‫ه ﻡ ی ﻡ‬
‫79‬                                                         ‫لا ج‬                                               ‫ا‬         ‫ا‬


                                                                                                     ‫ه :‬      ‫ﻡ ی ﺵ ارﺕ ﺵ‬
                                       ‫2‬

                    ‫= ‪ds‬‬ ‫2‬

                              ‫−1‬
                                ‫‪dr‬‬
                                   ‫‪2m‬‬           ‫(‬
                                           ‫− 1( 2 ‪+ r 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 − c‬‬ ‫)‬           ‫‪2m‬‬
                                                                                             ‫‪r‬‬
                                                                                                  ‫2 ‪)dt‬‬
                                       ‫‪r‬‬
                                                                                                 ‫:‬         ‫ﺏ اا‬
                                           ‫1‬
                                 ‫=‪m‬‬          ‫ض‬        ‫ا ﺡ اﺙ ت ‪ R‬و ‪ T‬و‬                    ‫ل‪r‬و‪t‬ﺏ‬                     ‫1= ‪ c = G‬آ‬
                                           ‫4‬
                                                                                                                  ‫:‬

                   ‫− 1( = 2 ‪ds‬‬
                                 ‫‪2R‬‬
                                   ‫1‬
                                       ‫− 1( − 2 ‪)dT‬‬
                                                      ‫1‬
                                                      ‫‪2R‬‬
                                                                            ‫(‬
                                                           ‫2 ‪)−1 dR 2 − R 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ‬‬             ‫)‬
                                                                                                                       ‫1‬
                                                                    ‫ی‬       ‫ه ا‬              ‫ﻡ‬                ‫=‪ R‬ه‬             ‫ا‬
                                                                                                                       ‫2‬
                                                                ‫:‬       ‫ه ا‬             ‫2 ‪2R −1 = x2 − t 2 = X‬‬               ‫إذا‬


                                                                                        ‫1‬
                             ‫= 2 ‪2 R − 1 = X 2 ⇒ 2dR = 2 XdX ⇒ dX‬‬                          ‫2 ‪dR‬‬
                                                                                        ‫2‪X‬‬
                                                                                                                  ‫:‬
     ‫2 ‪ds 2 = X 2 dT 2 − dX 2 − dY 2 − dZ 2 ⇒ ds 2 = (2 R − 1)dT 2 − (2 R − 1) −1 dR 2 − dY 2 − dZ‬‬
                                                                                         ‫1‬
                                                                                    ‫>‪R‬‬     ‫أن ﺕ ن‬             ‫ی ی‬      ‫ه ا‬
                                                                                         ‫2‬
‫و‬          ‫ءﻡ‬       ‫أو‬               ‫ﻡ ی ﻡ‬          ‫ا رﺕ ط ﺏ‬            ‫ﺡ‬           ‫و‬            ‫ی ﻡ‬          ‫أﺥ ى‬         ‫ه ﺹ‬
                                                                                    ‫ء ﺵ ارﺕ ﺵ‬          ‫أو‬     ‫ﻡ ی ﺵ ارﺕ ﺵ‬


                                                                    ‫ء آ وﺱ ل‬               ‫ذج‬                 ‫ضه اا‬           ‫ی‬
                                                                                                                      ‫‪.Kruskal‬‬
‫89‬                                                            ‫لا ج‬                                             ‫ا‬          ‫ا‬


                                                                                                     ‫إﺡ اﺙ آ وﺱ ل ه :‬


                            ‫2 ‪ 1 ‬‬
                     ‫‪ds 2 = ‬‬     ‫‪2R ‬‬
                            ‫‪ 2 Re ‬‬
                                                                      ‫(‬
                                       ‫2 ‪(dt − dx 2 ) − R 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ‬‬                    ‫)‬
                                                ‫ه ا اﺏ :‬               ‫ق‬        ‫2 ‪ x 2 − t‬وﺕ‬    ‫ی ‪R‬ﺕﺏ ﻡ‬                   ‫ه ا‬
                                          ‫2 ‪e 2 R  (2 R − 1) = x 2 − t‬‬
                                          ‫‪ ‬‬

‫‪t‬‬      ‫و إذا آ‬       ‫ﻡ‬       ‫0=‪R‬‬            ‫ا‬             ‫ی‬        ‫ی ،ه ا‬        ‫ﻡ د تﺥ أ‬                  ‫ی‬        ‫قه ا‬           ‫ﺕ‬
       ‫ط 54∓ ه إﺡ اﺙ‬                ‫ی ﺥ‬          ‫ه ا‬               ‫آ وي.‬         ‫ی ذات ﺕ‬        ‫ا‬              ‫ﺙﺏ‬             ‫آّ‬
                                                                                                                      ‫آ وﺱ ل.‬


                                                                      ‫إﺡ اﺙ ت ‪ T‬و ‪ R‬أي:‬               ‫ی ﺡ‬            ‫ه ا‬


                               ‫‪2R‬‬                     ‫2‬   ‫‪2e 2 R‬‬
                                                               ‫2‬       ‫2‬
                              ‫= ‪e (2 R − 1) = x − t ⇒ dX‬‬         ‫2 ‪dR‬‬
                                                         ‫1− ‪2R‬‬
                                      ‫2 ‪dt 2 − dx 2 = X 2 dT 2 + dX‬‬
                                                                                                                               ‫إذن:‬

                 ‫( = 2 ‪ds‬‬
                            ‫1− ‪2R‬‬
                             ‫‪2R‬‬
                                  ‫( − 2 ‪)dT‬‬
                                            ‫2 1− 1 − ‪2 R‬‬
                                              ‫‪2R‬‬                            ‫(‬
                                                   ‫2 ‪) dR − R 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ‬‬                      ‫)‬
     ‫ی ه‬    ‫ه ا‬          ‫ث‬      ‫ا‬   ‫أو( أ‬         ‫ا ﻡ‬                ‫)و ا‬       ‫ﻡ ﻡ ی ﺵ ارﺕ ﺵ‬                       ‫ی ﻡ‬        ‫ه ا‬
                                                                                                                          ‫1‬
                                                ‫ی .‬           ‫ﻡ د تﺥ أ‬                ‫ی‬        ‫قه ا‬        ‫= ‪ .R‬ﺕ‬                  ‫ا‬
                                                                                                                          ‫2‬
99                                                  ‫لا ج‬                                        ‫ا‬              ‫ا‬


        ‫ه‬           ‫ه اا‬      ‫رغ و ه ك ﻡ دة‬                    ‫ إذا آ ن ا‬R µν = 0        ‫ی ه‬        ‫ﻡ د تﺥ أ‬

         ‫د ت‬        ‫ه ا‬           ‫ ﺱ‬R µν = Λg µν          ‫ی ﺏ اا‬          ‫ﻡ د تأ‬          ‫ و ﺕ‬R µν ≠ 0                     ‫ا‬

                                                                                                        .‫ا دم‬              ‫ا‬
                                            : ‫رغ ه‬                    ‫ی‬    ‫ﻡ د تأ‬          ‫ق‬        ‫ﺕ‬      ‫ی ا‬         ‫ا‬

                                                           (
                              ds 2 = e A dt 2 − e B dr 2 − r 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ 2   )
        1      1      1      B′
R11 =     A′′ − A′B′ + A′2 −
        2      4      4      r
            1                
R22 = e− B 1 + r ( A′ − B′ )  − 1
            2                
R33 = R22 sin 2 θ

              1     1      1     A′ 
R44 = −e A− B  A′′ − A′B′ + A′2 − 
              2     4      4     r 
R µν = 0
                    µ = ν ‫إذا‬
                                                                                         R µν = Λg µν              ‫ﺡ‬
A = −B
A′ = − B′
e A (1 + rA′) = 1 − Λr 2


α = eA         ‫ض‬

α + rα ′ = ( rα )′ = 1 − Λr 2
         2m 1 2
α = 1−     − Λr
          r 3


            ‫ﻡ ،ﺙ‬    ‫ا‬      ‫ ﺙﺏ‬m     ‫ه ا اﺏ‬         R µν = Λg µν       ‫ی‬    ‫ﻡ د تا‬           ‫ق‬           ‫اب ی‬       ‫هاا‬

                                                                                                :‫ی‬         ‫ه ا‬
‫001‬                                                                    ‫لا ج‬                                                                ‫ا‬            ‫ا‬



                                                                                                                ‫(‬                                   ‫)‬
                                                                                            ‫1−‬
                     ‫‪ 2m 1 2  2  2m 1 2 ‬‬
                    ‫2‬
                ‫− 1‪ds = ‬‬  ‫− 1 ‪− Λr  dt − ‬‬  ‫2 ‪− Λr  dr 2 − r 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ‬‬
                     ‫‪‬‬    ‫3 ‪r‬‬   ‫‪‬‬      ‫‪‬‬     ‫3 ‪r‬‬   ‫‪‬‬


                        ‫2 1 ‪m‬‬
               ‫−= ‪ϕ‬‬      ‫ﻡ آ ي ‪− Λr‬‬                                ‫ﺕ‬    ‫ی ﺕ ی ً أﺵ ﺏ ار‬                                 ‫ءه ا‬                        ‫آ‬       ‫ﻡ ار ا‬
                        ‫6 ‪r‬‬
                                  ‫:‬         ‫ءﺏ اا‬              ‫ﻡ ی ه اا‬                     ‫أي 0 → ‪ m‬ﺕ‬                        ‫ا‬        ‫‪m‬‬            ‫ﺱ‬       ‫ﺡ‬



                                                                                                      ‫(‬                                 ‫)‬
                                                                              ‫1−‬
                              ‫1 ‪‬‬       ‫‪‬‬        ‫1 ‪‬‬       ‫‪‬‬
                         ‫2 ‪ds = 1 − Λr 2  dt 2 − 1 − Λr 2  dr 2 − r 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ‬‬
                            ‫2‬

                              ‫3 ‪‬‬       ‫‪‬‬        ‫3 ‪‬‬       ‫‪‬‬



‫ء‬          ‫م 7191، و ا‬                     ‫آ‬         ‫ا‬         ‫ا ا‬          ‫ی دي ﺱ ّ )‪(de sitter‬‬                                  ‫ی ﺏ‬           ‫ﺕ فه ا‬
 ‫1‬
‫‪− Λ‬‬                     ‫ء ﺵ آ وي ذو ﺕ س‬                        ‫ی‬       ‫ه ا‬          ‫ء دي ﺱ ّ . ﺕ‬                              ‫ی ه‬              ‫ا ﺕ ﻡ ه ا‬
 ‫3‬

                                                                                    ‫3‬
‫0≠‪m‬‬                 ‫ﺡ‬       ‫ی .‬           ‫ه ا‬    ‫ث‬         ‫ا‬       ‫=‪ r‬ه أ‬                                  ‫ا‬             ‫ی ﺵ ارﺕ ﺵ‬                  ‫ه أﺵ ﺏ‬
                                                                                    ‫‪Λ‬‬

                                                ‫ی دي ﺱ ّ .‬                   ‫ث‬          ‫ا‬        ‫أو( أ‬              ‫ﻡ‬             ‫ﻡ أ ا ﺡ اﺙ )‬                   ‫ی‬


    ‫ء دي ﺱ ّ ه‬                            ‫ه ا‬    ‫ء رغ‬                              ‫د ت ‪ R µν = Λg µν‬ه ا آ‬                                           ‫ا‬        ‫إذا آ‬

                                                                                                                          ‫.‬                    ‫ءﻡ‬             ‫ا ی‬


‫م 2391.‬                 ‫ﺡ‬       ‫‪ Milen‬ا ي‬                ‫ذج ﻡ‬           ‫ﻡ‬        ‫ی ا ﺕ‬                    ‫ه ا‬                 ‫ﺱ‬        ‫ی ا ﺥ ىا‬                  ‫ا‬
‫ء رغ‬                        ‫ً و زﻡ ً(‬                           ‫ن ﻡ‬         ‫)ا‬                   ‫ﺱ ﻡ‬           ‫ﻡ أ ا‬                  ‫ذج‬        ‫ها ا‬             ‫ی‬
‫ا زن و‬              ‫ی‬       ‫رات‬           ‫ﻡ ه‬                          ‫ا ذﺏ‬                           ‫ّا‬                ‫ا ﺏ دﻡ‬                 ‫رﺏ‬               ‫ﻡ‬
           ‫ا‬        ‫ه ا رات ﻡ ﻡ أ ا ﺡ اﺙ ‪O‬‬                                  ‫ء. ﺕ‬            ‫تا‬                 ‫آّ‬                 ‫ﺕ‬            ‫، ذات ﺱ‬           ‫ا‬
‫ﺡ ود‬            ‫ر‬        ‫ةﺏ ة‬              ‫ض ه ا رات ا‬                           ‫ء. ی‬            ‫ا‬             ‫أ ّﻡ ﺱ‬                      ‫) ‪ S ( x, y, z, t‬ﺏ‬
       ‫ّ‬        ‫ة و ا ي ی‬             ‫ا‬    ‫ه‬         ‫ن هﺏ‬              ‫ق‬         ‫ء. ی‬             ‫ا‬            ‫ﺕ وي ﺱ‬                 ‫ﺕ ﺱ‬               ‫و ﺱ‬
                    ‫‪.wavefront‬‬                  ‫رﻡ‬         ‫ذج أﺵ ﺏ‬               ‫ه اا‬                ‫و ا ﺹ . ﺡ ود ا دة‬                                  ‫ﺕ ﺱ ا‬
‫101‬                                                      ‫لا ج‬                                                ‫ا‬         ‫ا‬


                                                         ‫4‪M‬‬                   ‫أﻡ ﻡ ی ﻡ‬                  ‫ی‬        ‫ﺱ جه ا‬



                                                              ‫(‬
                                ‫2 ‪ds 2 = c 2 dt 2 − dr 2 − r 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ‬‬         ‫)‬
                                                                                                                  ‫ت:‬                ‫ا‬
                                                        ‫‪r‬‬
                                               ‫=‪u‬‬         ‫( و‬     ‫ا‬               ‫ی ة)‬           ‫‪ τ‬و ‪ ρ‬إﺡ اﺙ‬           ‫ا ﻡ ا‬
                                                        ‫‪t‬‬
                     ‫‪ρ = sinhψ‬‬           ‫و‬      ‫‪t = τ coshψ‬‬               ‫و‬         ‫‪r = cτ sinhψ‬‬
                                                                                                                           ‫إذن:‬
           ‫2‪u‬‬
‫−1 ‪τ = t‬‬
           ‫2‪c‬‬
            ‫1‬
‫‪cρ = u‬‬
                ‫2‪u‬‬
         ‫−1‬
                ‫2‪c‬‬
                                                                      ‫:‬           ‫ی ا‬        ‫ا‬     ‫ﻡ ه ا واﺏ ا‬
                                                   ‫2‪ dρ‬‬                                 ‫‪‬‬
                           ‫‪ds 2 = c 2 dτ 2 − c 2τ 2 ‬‬     ‫2‬
                                                            ‫‪+ ρ 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) ‬‬
                                                   ‫‪1 + ρ‬‬                                ‫‪‬‬



                                                          ‫0 = ‪ dτ‬إذن:‬              ‫ﺙﺏ ی‬                ‫أن ا ﻡ ا‬                 ‫إذا‬
                                             ‫2‪ dρ‬‬                                 ‫‪‬‬
                               ‫‪dσ 2 = c 2τ 2 ‬‬      ‫2‬
                                                      ‫‪+ ρ 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) ‬‬
                                             ‫‪1 + ρ‬‬                                ‫‪‬‬



‫ءﺕ ﺱ‬            ‫2 ‪dσ‬‬       ‫ﺕ‬        ‫ا‬           ‫أي 1− = ‪K‬‬         ‫ء ذو ﺕ س ﺙ ﺏ‬                         ‫رة داﺥ } { ﺕ‬                 ‫ا‬
                                                                                                                            ‫1‬
                                                                                                                       ‫−‬   ‫2 2‬
                                                                                                                           ‫‪cτ‬‬
‫ن‬     ‫‪ A‬و‬            ‫ی ﺏ‬       ‫أزدی د آ ّ ﻡ ﻡ ه ا‬             ‫‪ A‬ی دي ا‬            ‫ﻡ ﺙﺏ ﻡ‬                    ‫بﻡ ی ﻡ‬              ‫)‬
                                                                                   ‫1‬
                                                                              ‫(‬     ‫2‬
                                                                                                 ‫ی ﺏ‬        ‫ءه ا‬           ‫ﺕ س‬
                                                                                  ‫‪A‬‬
102                                                        ‫لا ج‬                                         ‫ا‬            ‫ا‬


                           1
                K =−                  ‫وﺙﺏ‬          ‫ء ﺙ ﺙ ا ﺏ د ذو ﺕ س ﺱ‬                        ‫رة‬            ‫ذج ﻡ‬        ‫إذن‬
                         c2τ 2
                Robertson-Walker metric ‫ه ﻡ ی روﺏ ﺕ ن واآ‬                                           ‫ول ﺏ‬         ‫ﺥ ﻡ ی‬


                                      ‫ی‬           k‫ا ﺏ دو‬            ‫ي رﺏ‬        ‫ءﺵ إ‬                   ‫دا‬                 R

                                                                    2     2     2
                                                    dl 2 = dx12 + dx2 + dx3 + dx4
                                                                                 1
                                                    x12 + x22 + x32 + x42 = R 2 k          k = ±1 ‫ و‬k → 0
                                                                                 k
                                                                    2     2     2
                                                    dl 2 = dx12 + dx2 + dx3 + dx4

                                                                                 1                  1
                                                    x12 + x22 + x32 + x42 = R 2 k ⇒ x42 = R 2 k − x12 − x22 − x32
                                                                                 k                  k




                                                         2   2
                x4 dx4 = −( x1dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 ) ⇒ x4 dx4 = ( x1dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 ) 2



                                          2       ( x1dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 ) 2
                                      dx =4
                                                   1
                                                       R 2 k − x12 − x22 − x32
                                                   k

                                                                                                                         :‫إذن‬
                                                           ( x1dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 ) 2
                           2      2
                        dl = dx + dx + dx +
                                  1
                                              2
                                              2
                                                       2
                                                       3                                   I
                                                            1
                                                                R 2 k − x12 − x22 − x32
                                                            k

                                                                                           :‫ی ت‬              ‫ا‬   ‫ﺏ‬
x1 = Rr cos φ sin θ
x2 = Rr sin φ sin θ
x3 = Rr cos θ
103                                               ‫لا ج‬                                                ‫ا‬       ‫ا‬


dx1 = R cos φ sin θ dr − Rr cos φ cos θ dθ + Rr sin φ sin θ dφ
dx2 = R sin φ sin θ dr − Rr sin φ cos θ dθ − Rr cos φ sin θ dφ
dx3 = R cos θ dr + Rr sin θ dθ



                                                            :                I ‫د‬           ‫ا‬          ‫ه ا واﺏ‬


                                 2     dr 2
                                          2
                             dl = R (       2
                                              + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 )
                                     1 − kr
                                                                       ‫ا ﻡ‬                 ‫ ﻡ‬dl 2          ‫ه ا اﺏ‬




‫اص‬     ‫ا‬     ‫و ﻡ‬      (homogenous)                   ‫ن ﻡ‬        ‫ﺏن ا‬             ‫ﺱ ﻡ‬           ‫ﻡ أ ا‬              ً
                                                                                                                  ‫أﺱ دا‬
 ‫ع و ه ا ا ﺱ ﺕﺏ‬          ‫نی‬          ‫ض ﺏن ا‬       ‫ ، و‬ds 2 = c 2 dt 2 − dl 2 :         ‫ا‬       ‫ه‬          (isotropic)
                                                                                :‫ إذن‬R → R(t ) :‫ﻡ أي‬


                         2       2    2     dr 2
                                              2
                       ds = c dt − R (t )(       2
                                                   + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 )
                                          1 − kr


                                                                ‫ی روﺏ ﺕ ن- واآ‬                 ‫ی ،ﺏ‬             ُ
                                                                                                           ‫ﺕ فه ا‬
‫401‬                                                                   ‫لا ج‬                                                       ‫ا‬               ‫ا‬


                                                                                                                             ‫ن ا ذﺏ‬
‫أو‬            ‫ا‬         ‫ُ‬
                      ‫ء ﺕ ّ‬     ‫ﻡ ا‬               ‫أي‬         ‫د‬         ‫ا‬     ‫ا ذﺏ‬          ‫أن ﺡ‬           ‫ا ذﺏ‬               ‫ﺕ‬           ‫ن‬
      ‫ر ی م ﺏ ﺏ ا دة ﺏ‬                       ‫ﺕ‬    ‫ﺕ‬      ‫ی‬            ‫ء،‬         ‫ا‬     ‫ذ‬             ‫دة‬          ‫ﺏ ﺡ ى ﺕ زی ا دة ا‬
‫ر‬             ‫ا‬       ‫ر ی ﺏ ﺕ زی ا دة ﺏ ﺡ اﺙ ت ا ﻡ ن، ﺙ رﺏ ذ‬                                     ‫ﺕ‬                   ‫ا‬           ‫ا ذﺏ . أو ً ی‬
              ‫ً‬
              ‫م، أﺱ دا‬          ‫–ﻡ‬               ‫را‬      ‫ه ﺕ‬                 ‫ا‬        ‫ر ا ي ی دي ه‬                   ‫دی . ا‬                  ‫را‬            ‫ﺏ‬
     ‫ا ذﺏ‬         ‫ﺡ‬             ‫ﺕﺙ‬       ‫ا ى‬             ‫ا لﺏن‬               ‫ی‬                  ‫وا‬          ‫ا‬        ‫ﺏ‬           ‫ا ﺹ ه كﺕ‬
                                                                                                 ‫.‬               ‫وﻡ‬              ‫ا‬           ‫ا‬             ‫ﺏ‬


‫ء‬         ‫ا‬       ‫ذ‬           ‫ا ذﺏ‬       ‫ء نﺡ‬                    ‫دة‬        ‫ا دة ا‬           ‫‪ µ‬آ‬             ‫ﺕ إذا آ‬                      ‫ا‬           ‫ً‬
                                                                                                                                                     ‫أﺱ دا‬
                                                      ‫ه ا اﺏ :‬               ‫ق‬         ‫ﺕ‬    ‫‪ ϕ‬ا‬             ‫ﻡ ﺥ ل دا ا‬                               ‫ﺕ‬     ‫ی‬


                                                             ‫‪∇ 2ϕ = 4π G µ‬‬

                                                      ‫‪∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ‬‬
                                                          ‫+‬    ‫+‬     ‫‪= 4π G µ‬‬
                                                      ‫2 ‪∂x 2 ∂y 2 ∂z‬‬

                                                                             ‫ﺕ‬         ‫ه ﺙ ﺏ ا ذﺏ ا م‬                            ‫ه ا اﺏ‬                   ‫‪G‬‬


‫، و ﺏ أن‬                      ‫أن ﺕ ن ‪ ∇ 2ϕ = 4π G µ‬ه أﺡ‬                          ‫ﺹد ی‬                      ‫ذﺏ ا ي‬                    ‫ی‬       ‫نا‬            ‫ا‬
      ‫ی‬           ‫ا دة‬         ‫ﻡ ﺱ ﻡ آ‬                   ‫ا ذﺏ‬          ‫ﺡ‬      ‫وآ‬            ‫ا‬     ‫إﺵ ق ﻡ ا ر‬                         ‫نی‬                  ‫هاا‬
‫ﺏ ا‬               ‫و‬                  ‫ا‬   ‫ه‬               ‫ی ی‬           ‫ر أ‬           ‫. ﺕ‬              ‫ا‬     ‫ری ّ ه‬                   ‫ﺕ‬                     ‫ا‬
                                                                                                                                                     ‫:‬     ‫ا‬
                                                                  ‫1‬
                                                         ‫− ‪Rij‬‬      ‫‪g ij R = −κ Tij‬‬
                                                                  ‫2‬


‫م.‬        ‫–ﻡ‬              ‫را‬         ‫ﺕ ،وه ﺕ‬             ‫ا ذﺏ ا م‬                    ‫ﻡ ﺙﺏ‬       ‫ﻡ ﺱ‬         ‫ی‬            ‫‪κ‬‬           ‫ه ا اﺏ‬
                                                         ‫ات.‬                         ‫ا رﺹ د ا‬                    ‫ن‬           ‫ه اا‬                          ‫ﺕ‬
                                                                                                  ‫نه :‬               ‫اا‬                  ‫ا ّ‬               ‫ا‬
‫501‬                     ‫لا ج‬                                 ‫ا‬          ‫ا‬


                       ‫‪R = κT‬‬
                                                                            ‫:‬
                         ‫1‬
                ‫) ‪Rij = κ ( g ijT − T ij‬‬
                         ‫2‬
                                                                            ‫:‬   ‫آ‬


                                               ‫أﺱ ج:‬     ‫ی‬           ‫ﻡ ه ا اﺏ‬
                           ‫2 1‬
                   ‫= 44‪R‬‬      ‫‪∇ϕ‬‬
                           ‫2‪c‬‬
      ‫:‬   ‫ه ا‬   ‫وﺱآ‬              ‫ذﺏ‬        ‫ﺡ‬   ‫ﺕ‬   ‫ا ّ‬           ‫ا‬    ‫إذا آ ن ﺡ‬


                                 ‫‪2ϕ‬‬
                    ‫+ 1 = 44 ‪g‬‬
                                 ‫2‪c‬‬
‫601‬                                                         ‫لا ج‬                                        ‫ا‬             ‫ا‬


                                                                                                   ‫ّ ﺵ ارﺕ ﺵ‬
                                                                                       ‫ی‬       ‫ی او ا‬       ‫أﻡ ه ا‬


                                      ‫2 ‪ds 2 = adr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) − bc 2 dt‬‬


‫ء‬     ‫ا‬              ‫آ ه ﺕ ی ً واﺡ ، و‪ c‬ﺱ‬                  ‫ی ذات ﺕ رن آ وي و ‪ a‬و ‪ b‬ﺕ اﺏ ﻡ ‪ r‬و‬                             ‫ه ا‬
                                                                                                                  ‫،‬       ‫ا‬
                                                                                      ‫ی ه ّ:‬      ‫ه ا‬         ‫ات‬              ‫ا‬
                                  ‫‪x1 = r‬‬       ‫و‬   ‫‪x2 = θ‬‬     ‫و‬       ‫‪x3 = φ‬‬      ‫و‬     ‫‪x4 = t‬‬
‫ﻡ آ ا ﺡ اﺙ .‬                               ‫ﻡ‬   ‫آ وي ﻡ آ‬           ‫ى‬    ‫ﻡ ا دة، ﻡ‬           ‫ءﺥ‬               ‫ی ه‬           ‫ه ا‬
      ‫أن ﺕ‬                    ‫0 = ‪ Rij‬و ه ا ی‬       ‫ر ری‬      ‫مﺹ ،وﺕ‬            ‫–ﻡ‬         ‫را‬      ‫ﺕ‬         ‫ﺥ رج ه ا ا‬
                                                                            ‫.‬         ‫ر ﻡ وی‬            ‫آ ﻡ ﻡ ه اا‬


‫‪g11 = a‬‬
‫2 ‪g 22 = r‬‬
‫‪g33 = r 2 sin 2 θ‬‬
‫2 ‪g 44 = −bc‬‬

‫‪g = −abc 2 r 2 sin 2 θ‬‬

             ‫1‬
‫= 11‪g‬‬
             ‫‪a‬‬
                 ‫1‬
‫= 22 ‪g‬‬
                  ‫2‬
             ‫‪r‬‬
                          ‫1‬
‫= 33 ‪g‬‬
                 ‫2‬            ‫2‬
             ‫‪r‬‬        ‫‪s in‬‬        ‫‪θ‬‬
                      ‫1‬
‫− = 44 ‪g‬‬
                          ‫2‬
                  ‫‪bc‬‬
‫701‬                                     ‫لا ج‬                                ‫ا‬       ‫ا‬


                                                                                  ‫آ ی‬
                            ‫ل‪ i‬و‪j‬‬              ‫روه ﻡ ر ﺏ‬           ‫ﺏ‬              ‫آ ی‬
‫ه آ ﺕ :‬               ‫ا‬   ‫ا ﺏ وا‬          ‫ا‬     ‫ﻡ ا واﺏ ا آ ر‬               ‫ه ا‬


     ‫′‪a‬‬
‫= 1‪Γ‬‬
 ‫11‬
     ‫‪2a‬‬
          ‫1‬
‫= 2‪Γ2 = Γ‬‬
 ‫21‬   ‫12‬
          ‫‪r‬‬
          ‫1‬
‫= 3‪Γ3 = Γ‬‬
 ‫31‬   ‫13‬
          ‫‪r‬‬
          ‫′‪b‬‬
‫= 4‪Γ4 = Γ‬‬
 ‫41‬   ‫14‬
          ‫‪2b‬‬
       ‫‪r‬‬
‫− = 1‪Γ‬‬
 ‫22‬
       ‫‪a‬‬
‫‪Γ3 = Γ3 = cot θ‬‬
 ‫32‬    ‫23‬
        ‫‪r‬‬
‫‪Γ1 = − sin 2 θ‬‬
  ‫33‬
        ‫‪a‬‬
‫‪Γ 2 = − sin θ cos θ‬‬
  ‫33‬
        ‫2‬
‫‪Γ‬‬‫′‪1 = c b‬‬
  ‫44‬
       ‫‪2a‬‬

                                                      ‫‪r‬‬                ‫إﺵ ق ﺏ‬     ‫′‪ a‬و ′‪b‬‬
                                                               ‫ی‬       ‫اا‬         ‫ر ری‬   ‫ﺕ‬
                               ‫‪R = Rijk‬‬
                                     ‫‪k‬‬
                                   ‫‪ij‬‬




                                              ‫ه :‬   ‫ر ری‬   ‫ﺕ‬                       ‫ﻡ ا‬   ‫ا‬
108                                     ‫لا ج‬                                 ‫ا‬        ‫ا‬


                                                                                          :‫إذن‬
    b′′ b′2 a′b′ a′
R =    −       −    −
 11 2b
         4b 2 4ab ar
     rb′ ra′ 1
R =      −       + −1
 22 2ab
           2a 2 a
R = R sin 2 θ
 33   22
                  2
R =c 2 (− b′′ + b′ + a′b′ − b′ )
 44       2a 4ab 4a 2 ar




                                               : ‫ی ه‬    ‫ا‬    ‫ء‬        ‫اء ا‬   ‫ء أو أ‬       ‫ﺕ س‬

R = g i j Ri j
                        b′′ b′2    a′b′ 2b′ 2a′ 2   2
                   R=      −    2
                                  − 2 +    − 2 + 2− 2
                        ab 2ab 2a b abr a r ar r


                        :‫ﺕ وي ﺹ ، أي‬       ‫ر ری‬      ‫ﻡ ﻡ ﺕ‬        ‫ی‬           ‫ن ا ذﺏ‬
b′′ b′2 a′b′ a′
    −    −    −    =0
2b 4b 2 4ab ar
 rb′ ra′ 1
     −     + −1 = 0
2ab 2a 2 a
  b′′ b′2 a′b′ b′
−     +    +    −   =0
  2a 4ab 4a 2 ar

                                              : ‫ه ا اﺏ‬       ‫وا‬       ‫ا و‬     ‫ﻡ ا اﺏ‬
                                     ab′ + a′b = 0
                                                                                           ‫ا‬
                              ( ‫ﺙﺏ‬      ‫ ، )اي‬a .b = ‫ﺙ ﺏ‬
‫901‬                                                    ‫لا ج‬                               ‫ا‬        ‫ا‬


‫1→ ‪lim a‬‬
  ‫∞→ ‪r‬‬
‫1→ ‪lim b‬‬
  ‫∞→ ‪r‬‬
‫1 = ‪ab‬‬


                                                              ‫1 ′‪rb′ ra‬‬
                                                                 ‫−‬    ‫0 = 1− +‬       ‫د‬        ‫ف‪ b‬ﻡ ا‬
                                                              ‫‪2ab 2a 2 a‬‬

‫) ‪ra′ = a (1 − a‬‬

                                                                                      ‫ﻡ ﺕ ﻡ ه ا اﺏ‬
         ‫1‬
‫=‪a‬‬
      ‫‪1− 2m r‬‬

                                                                          ‫ﻡ ،ﺙ‬   ‫‪ m‬ﺙﺏ ا‬        ‫ه ا اﺏ‬
‫‪b = 1 − 2m‬‬
             ‫‪r‬‬


                                                                      ‫:‬     ‫ءﺏ اا‬    ‫اا‬        ‫ی‬   ‫ا‬        ‫ﺕ‬


                                  ‫2‬                                                                     ‫‪I‬‬
                   ‫= ‪ds‬‬ ‫2‬
                         ‫‪dr‬‬
                        ‫−1‬
                           ‫‪2m‬‬              ‫(‬                      ‫)‬
                                                                  ‫‪2m‬‬
                              ‫2 ‪+ r 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 − c 2 (1 − )dt‬‬
                                                                   ‫‪r‬‬
                            ‫‪r‬‬



‫وي‬      ‫آ وي، ﻡ آ ا ﺡ اﺙ ا‬                 ‫ذﺏ ﺥ رج‬            ‫ﺡ‬           ‫ُ‬
                                                                          ‫ی ذات ﺕ رن آ وي و ﺕ‬          ‫ه ا‬
       ‫ی أو او‬      ‫ا‬       ‫) ‪ (r ,θ ,φ‬ه‬       ‫ه‬   ‫. إﺡ اﺙ ت ه ا ا ﺡ اﺙ‬          ‫ﻡ آ ها ا‬                   ‫ﻡ‬
                                                   ‫.‬     ‫ا‬    ‫ﺡ ً ان ‪ m‬ﻡ ﺱ ﻡ آ‬            ‫ﺵ ارﺕ ﺵ . ﺱ‬
‫011‬                                 ‫لا ج‬                                               ‫ا‬       ‫ا‬


                                                                          ‫‪GM‬‬
                                                                   ‫=‪m‬‬              ‫ض أن‬            ‫-‬
                                                                           ‫2‪c‬‬
                                    ‫ﺕ‬        ‫ه ﺙ ﺏ ا ذﺏ ا م‬                 ‫ه ا اﺏ‬           ‫- ‪G‬‬
                                                                                            ‫- ‪M‬ا‬
                                                                    ‫ا‬       ‫ء‬      ‫ا‬         ‫- ‪c‬ﺱ‬


                                                                                  ‫ه :‬          ‫ا‬           ‫ا‬


      ‫2 ‪ds 2 = adr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) − bc2dt‬‬                              ‫‪II‬‬




                ‫:‬          ‫‪ I‬و ‪II‬‬        ‫ی‬     ‫ا‬       ‫هﺕ‬        ‫ﻡ ﺕ وي ﻡ ﻡ إﺡ اﺙ ا ﻡ ن‬

                             ‫) ‪bc 2 = c 2 (1 − 2m‬‬
                                               ‫‪r‬‬


                                                                            ‫‪GM‬‬
                                                   ‫:‬                   ‫=‪m‬‬                  ‫و ﻡ ه ا اﺏ‬
                                                                             ‫2‪c‬‬

                                         ‫‪2GM‬‬
                                ‫−1 = ‪b‬‬
                                           ‫2‬
                                          ‫‪c r‬‬
                                                                        ‫‪2GM‬‬
                                                            ‫= ‪r = 2m‬‬        ‫0 = ‪ b‬إذن‬              ‫إذا آ‬
                                                                         ‫2‪c‬‬
                                             ‫ذﺏ ا رض:‬              ‫ورة ﺡ‬        ‫‪r‬ﺏ‬             ‫ا ّا د‬
                                                            ‫‪M‬‬   ‫01 × 2479.5 =‬     ‫42‬
                                                                                       ‫ا رض ‪kg‬‬         ‫آ‬
                                                                                   ‫3‪m‬‬
                                                       ‫11−01 × 82476.6 = ‪G‬‬                   ‫ﺙ ﺏ ا ذﺏ‬
                                                                                  ‫2 ‪kgs‬‬

                                                                                       ‫‪m‬‬
                                                             ‫854 297 992 = ‪c‬‬             ‫ء‬     ‫ا‬       ‫ﺱ‬
                                                                                       ‫‪s‬‬
‫111‬                                           ‫لا ج‬                                        ‫ا‬         ‫ا‬


      ‫آ ﺕ‬    ‫ﻡ‬   ‫ﻡ 9ﻡ‬      ‫وي أآ‬     ‫ا‬        ‫أن ی ن ﺵ ع ه ا ا‬        ‫ی‬         ‫ﻡ ،‬           ‫ﺡ ود 9 ﻡ‬
                           ‫.‬   ‫ﺱ‬         ‫ذو‬    ‫وآ‬       ‫ً‬   ‫أو ﺏ ا ﻡ ن ﻡ‬            ‫ا ﺡ اﺙ ا اﺏ‬


                                                                          ‫‪GM‬‬
                                                     ‫ﺱّ ّ ری‬      ‫=‪m‬‬                      ‫ه ا‬               ‫و‬
                                                                           ‫2‪c‬‬

                  ‫2 − 2 2 + ′‪R = b′′ − b′ 2 − a′b′ + 2b′ − 2a‬‬
                              ‫2‬

                      ‫2 ‪ab 2ab 2a2b abr a2r ar r‬‬
                                                                                      ‫‪4m‬‬
                                                                           ‫+=‪R‬‬         ‫3‬
                                                                                                        ‫ﺕ نا‬
                                                                                      ‫‪r‬‬
‫ا رض‬        ‫ذﺏ ا رض أو آ‬       ‫ﺡ‬          ‫ءا ﺕ‬      ‫ﺕ سا‬         ‫=‪r‬‬       ‫ﺵ ع ا رض0008736 ﻡ‬
                                                                                ‫1 32− 01 × 8.6‬          ‫ﺡ ود‬
                                                                                                 ‫2‪m‬‬


 ‫ﺵ ارﺕ ﺵ‬                           ‫ادء، ﺡ‬     ‫ب ا‬    ‫ی ا‬         ‫ﻡ ی ﺵ ارﺕ ﺵ‬                            ‫ﺏ‬       ‫ﻡ‬
                                                                                                    ‫‪2GM‬‬
                                                                                               ‫=‪r‬‬
                                                                                                     ‫2‪c‬‬
‫211‬                                                             ‫لا ج‬                                                       ‫ا‬           ‫ا‬


                                                                                                                               ‫اآ‬      ‫ار ا‬
‫إن‬               ‫ﺡ اﺙ ﺱ آ ، إذا‬                ‫ﺏ‬           ‫ا‬         ‫ﺕ‬               ‫ﺕ‬        ‫ﺕ دي ا‬         ‫ا‬         ‫اآ‬           ‫ذﺏ ا‬        ‫ة‬
    ‫ﻡ‬        ‫ذﺏ ی‬             ‫ه كﺡ‬        ‫اآ‬   ‫وا‬              ‫ذﺏ ا‬                  ‫ﺡ‬                  ‫أ‬         ‫كﻡ ا‬               ‫ا ﺡ اﺙ ی‬
‫و‬              ‫ﻡ آ ا‬                  ‫وي ﻡ‬             ‫ا‬   ‫أن ﻡ آ ا ﺡ اﺙ‬                               ‫ه ا ا ﺡ اﺙ . إذا‬                             ‫ا‬
         ‫ﺡ‬      ‫اآ‬    ‫ا‬           ‫إﺡ اﺙ ت ه ا ا ﺡ اﺙ ، و‬                     ‫ﺕ‬           ‫ه ا‬         ‫ﺵ ارﺕ ﺵ‬          ‫دی‬            ‫ﻡ ﺹ ة أو‬
    ‫ءه‬           ‫هاا‬          ‫ت‬       ‫ا‬            ‫،‬            ‫ّا‬                       ‫ای‬
                                                                                          ‫ً‬                  ‫ذﺏ‬       ‫ﺡ ل‬           ‫ذرات‬            ‫ﺡ‬
                                                                                                    ‫إﺡ اﺙ ﺕ زﻡ ن – ﻡ ن.‬                    ‫دی‬


                                                   ‫.‬       ‫آ ی‬                                 ‫ﻡ دی ‪ a‬و ‪ b‬ﻡ ه ا واﺏ ﺙ‬
                                                                         ‫1‬
                                                               ‫=‪a‬‬
                                                                    ‫‪1− 2m r‬‬

                                                           ‫‪b = 1 − 2m‬‬
                                                                                 ‫‪r‬‬
                     ‫‪m‬‬
‫− = 1‪Γ‬‬
 ‫11‬
               ‫)‪r ( r − 2 m‬‬
 ‫2‬    ‫1‬
‫= 21‪Γ‬‬
      ‫‪r‬‬
 ‫3‬    ‫1‬
‫= 31‪Γ‬‬
      ‫‪r‬‬
 ‫4‬                 ‫‪m‬‬
‫= 41‪Γ‬‬
             ‫) ‪r ( r − 2m‬‬
‫)‪Γ1 = −(r − 2m‬‬
 ‫22‬

‫‪Γ3 = cot θ‬‬
 ‫32‬

‫‪Γ1 = −(r − 2m)sin 2 θ‬‬
 ‫33‬
 ‫2‬
‫‪Γ33 = − sin θ cos θ‬‬
   ‫2 ‪mc‬‬
    ‫1‬
‫) ‪Γ = 3 ( r − 2m‬‬
    ‫44‬
    ‫‪r‬‬
                                                                             ‫دی‬                 ‫ﻡ‬      ‫د ا‬        ‫ا‬        ‫ه ا واﺏ‬
113                                               ‫لا ج‬                                       ‫ا‬     ‫ا‬


                                       d 2 xi        dx j dx k
                                              + Γi             =0
                                       ds 2       jk ds ds
                                                                           :         ‫أرﺏ رواﺏ ﺏ ا ا‬      ‫ا‬




d 2r        m     dr 2           dθ 2    2   dφ 2 mc 2 dt 2 
   2 −           ( ) − (r − 2m) ( ) + sin θ ( ) − 3 ( )  = 0
ds     r (r − 2m) ds             ds          ds    r ds 

d 2θ 2 dr dθ                  dφ
   2
     +         − sin θ cos θ ( ) 2 = 0
ds     r ds ds                ds

d 2φ 2 dr dφ             dθ d φ
   2
     +         + 2 cot θ        =0
ds     r ds ds           ds ds

d 2t       2m     dr dt
   2
     +                  =0
ds     r (r − 2m) ds ds

                                                                                       ‫ﻡ ی ﺵ ارﺕ ﺵ‬       ‫آ‬
                                  2
                             dr                                                    2m 2
                  ds =
                    2
                                      + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 − c 2 (1 −        )dt
                              2m                                                    r
                         1−
                                  r
              π
‫ﺏ ی‬    ‫و‬θ=               ‫ا‬            ‫اآ ﺕ أ ﺡ آ‬       ‫ار ﺏ ن ا‬    ‫هاا‬              ‫وي ی‬    ‫ب ا ﺡ اﺙ ا‬   ‫إ‬
              2
                                                                                       dθ
                                          :      ‫د تﺏ اا‬          ‫ه ا‬          ‫ﺕ‬          =0 ‫آ ی ن‬       ‫ا‬
                                                                                       ds
d 2φ 2 dr dφ
     +           =0
ds 2 r ds ds
d 2t       2m     dr dt
   2
     +                  =0
ds     r (r − 2m) ds ds
   r   dr          dφ    c2        dt
      ( ) 2 + r 2 ( ) 2 − (r − 2m)( )2 = 1
r − 2m ds          ds    r         ds
114                                                      ‫لا ج‬                                       ‫ا‬          ‫ا‬


                                                                       dφ      dφ
(     ‫ا‬       ‫)ﺕ‬        ‫وا‬    ‫د تا و‬            ‫ا‬               ‫ و‬w=      ‫ و‬w=                          ‫ضهی ا‬
                                                                       ds      ds
                                                     dw 2
                                                       + w=0
                                                     dr r
                                                dv     2m
                                                   +          =0
                                                dr r (r − 2m)

                                                                        :          ‫ﺕ ﻡ ه ا واﺏ ه ا‬                   ‫ی‬
                                                       dφ α
                                                    w=     =
                                                        ds r 2
                                                       dt    βr
                                                    v=    =
                                                       ds r − 2m




                          r   dr          dφ    c2        dt                                  dt             dφ
          :        ‫ا‬         ( ) 2 + r 2 ( ) 2 − (r − 2m)( )2 = 1                  ‫د‬   ‫ا‬                ‫و‬
                       r − 2m ds          ds    r         ds                                  ds             ds

                                        dr 2 α 2                            2m
                                    (      ) + 3 ( r − 2 m) = 1 + c 2 β 2 −
                                        ds    r                              r
                                                             dφ α
                   : ‫اآ‬      ‫ﻡ د ﻡ ار ا‬               ‫ ا‬w=     =            ‫د‬      ‫د وا‬      ‫ه ا‬            ‫ ﺏ‬sd ‫ف‬
                                                             ds r 2

                                    α dr 2 α 2                  2m 2mα 2
                                (          ) + 2 = 1 + c2 β 2 −    + 3
                                    r 2 dφ    r                  r   r

                                                                                                               1
                                                                  :     ‫د ﺏ اا‬         ‫ه ا‬              ‫ ﺕ‬u=
                                                                                                               r

                                     du 2 2  1 + c 2 β 2 2m
                                    ( ) +u =            − 2 u + 2mu 3
                                     dφ         α  2
                                                         α

                                                                            :φ ‫ل‬       ‫د ﺏ‬          ‫إﺵ ق ﻡ ه ا‬
                                              d 2u        m
                                                   + u = − 2 + 3mu 2
                                              dφ 2
                                                          α

                                               : ‫ه‬       ‫ﺱ‬    ‫ا‬         ‫ا‬       ‫رات‬        ‫اآ و ا‬       ‫ﻡ د ﻡ ار ا‬
‫511‬                                                 ‫لا ج‬                                                         ‫ا‬            ‫ا‬


                                              ‫‪d 2u‬‬     ‫‪GM‬‬
                                                   ‫2 = ‪+u‬‬
                                              ‫‪dφ‬‬ ‫2‬
                                                        ‫‪h‬‬

      ‫ر ﺏ‬    ‫ما‬              ‫(و‪ h‬ﺱ‬           ‫ا ذب )ذو ا ذﺏ ا‬                          ‫ا‬           ‫آ‬       ‫‪M‬‬          ‫د‬       ‫ه ا‬
                                                                                                              ‫ر ا ذﺏ أي:‬
                                                     ‫‪dφ‬‬
                                                ‫2‪r‬‬      ‫‪=h‬‬
                                                     ‫‪dt‬‬
                             ‫‪dφ α‬‬
‫ﻡ ی‬         ‫ً‬
            ‫= ‪ w‬و اﺱ دا‬        ‫=‬        ‫د‬      ‫ا ﻡ ه ا‬                      ‫ا‬         ‫د‬           ‫ﺕ ﺏ ه ا‬                    ‫د ا‬        ‫ا‬
                             ‫2 ‪ds r‬‬
                                                      ‫‪dφ α‬‬
                     ‫د :‬         ‫=‪ w‬ه ﺕ ﺏ ه ا‬           ‫=‬               ‫د‬       ‫ا‬             ‫ن ‪ds = icdt‬‬                    ‫ﺵ ارﺕ ﺵ‬
                                                      ‫2 ‪ds r‬‬
                                                    ‫‪dφ‬‬
                                               ‫2‪r‬‬      ‫‪= icα‬‬
                                                    ‫‪dt‬‬

                                                 ‫‪d 2u‬‬        ‫‪m‬‬
                                   ‫:‬    ‫ﺏ اا‬          ‫2 ‪+ u = − 2 + 3mu‬‬                       ‫د‬       ‫ا‬          ‫ا ‪ h = icα‬و ﺕ‬
                                                 ‫‪dφ‬‬ ‫2‬
                                                             ‫‪α‬‬

                                        ‫‪d 2u‬‬      ‫2 ‪mc‬‬
                                             ‫2 ‪+ u = 2 + 3mu‬‬
                                        ‫‪dφ‬‬ ‫2‬
                                                   ‫‪h‬‬

                                       ‫ء(‬      ‫ءا‬         ‫ﺱ إ‬           ‫ا دم‬              ‫ا‬               ‫د‬      ‫ا‬       ‫ﺏ‬           ‫)ﺱ‬


‫ط أن ﺕ ن‬       ‫ﺏ‬         ‫ﺱ‬   ‫ا‬     ‫د‬        ‫ﻡ وی‬      ‫د‬        ‫ا‬    ‫ه‬               ‫2 ‪ 3mu‬ﺕ‬                          ‫ا‬               ‫إذا‬
                                                                                                                                  ‫‪GM‬‬
                                                                                                                         ‫= ‪.m‬‬
                                                                                                                                   ‫2‪c‬‬
                                                                                                          ‫2 ‪mc‬‬
                                                                                      ‫ﺕ وي:‬                          ‫2 ‪ 3mu‬ا‬
                                                                                                          ‫2‪h‬‬

                                             ‫2 2 3 2 ‪3h 2u‬‬
                                                    ‫‪= 2rφ‬‬
                                              ‫2‪c‬‬     ‫‪c‬‬
      ‫ﻡ ا‬          ‫ﺱ رات ا‬       ‫ﻡ ﺏ‬   ‫ا آ‬            ‫ا‬        ‫رد‬           ‫رات و‬         ‫‪ rφ‬ه أﺡ ﻡ ﻡ ﺡ آ ا‬
                     ‫ً‬
                    ‫ا.‬           ‫ﺹ‬          ‫8−01 × 7.7‬     ‫ه‬                    ‫وه ا‬                      ‫ا‬          ‫ﻡ‬       ‫أي 84 آ‬
                                                                   ‫‪d 2u‬‬     ‫‪GM‬‬
                                                          ‫ه :‬           ‫2 = ‪+u‬‬                            ‫ﺱ‬      ‫د ا‬          ‫اب ا‬
                                                                   ‫‪dφ‬‬ ‫2‬
                                                                             ‫‪h‬‬
116                                                              ‫لا ج‬                                          ‫ا‬          ‫ا‬


                                                          µ
                                                     u=        {1 + e cos(φ − ω )}
                                                          h2
                                                                                                               : ‫ه ا اﺏ‬
longitude of )                 ‫لا‬            ω ‫( و‬eccentricity) ‫آ‬                     ‫ا‬        ‫ ﺥ وج‬e ‫ و‬µ = GM = mc 2
                                                                                                                   (perihelion
                     d 2u      mc 2
      ‫ی‬    ‫ﻡ ﺥ‬            + u = 2 + 3mu 2                 ‫ا ﻡ‬          ‫ﻡ ا‬        ‫د ا ﺕ‬            ‫اب أﺵ ﺏ اب ا‬                   ‫هاا‬
                     dφ 2       h

                                                                                                       : ‫ه‬                    ‫ّا‬
                                                          3mµ 2
                                                                {1 + e cos(φ − ω )}
                                                                                    2
                                            3mu 2 =          4
                                                           h
                                                                                                               :         ‫د ا‬          ‫ا‬
                                   d 2u       µ 3mµ 2                   2
                                        + u = 2 + 4 {1 + e cos(φ − ω )}
                                   dφ 2
                                             h    h

                                                                                                           : ‫د‬      ‫اب ه ا‬
                                    µ                    3mµ e            
                               u=     1 + e cos(φ − ω ) + 2 φ sin(φ − ω ) 
                                        2
                                    h                     h               



‫ض‬          ‫ و‬δω 2          ً
                         ‫ا ه‬   ‫ة‬     ‫رة ﺹ‬                              ‫ّ ا‬      ‫و‬         ‫ﺕ‬    ‫ا‬     ‫ا واﺏ‬          ‫ﺥ ل ﺏ‬             ‫ﻡ‬
                                                                                                                          3mµφ
                                                                                     : ‫د‬       ‫ه ا‬     ‫ا‬           δω =
                                                                                                                           h2
                                                      µ
                                             u=           {1 + e cos(φ − ω − δω )}
                                                     h2


                                            µ
‫ ه ﺕ م‬δω ‫ا اوی‬                     u=            {1 + e cos(φ − ω )}          ‫ﺱ‬       ‫د ا‬          ‫د ﻡ ا‬           ‫ه ا‬            ‫ی‬
                                            h2
      ‫ﺹ‬         ‫أﺙ‬       ‫ا ﻡ و ا‬                 ‫ا‬             ‫أﺡ‬    ‫ا اوی ه‬         ‫رت، ه‬          ‫ار ا‬                      ‫ا‬
‫ء‬         ‫ﻡ إ‬        ‫ﺱ‬    ‫ا‬         ‫ا‬                     ‫رد، ﺡ‬                ‫ﺡ‬              ‫ﺹً ﺕ م‬       ‫ﺥ‬         ‫ا رﺹ د ا‬
                                                                                                       .                 ‫ﺏ ه ن ری‬
117                                                  ‫لا ج‬                                                ‫ا‬           ‫ا‬


                         : ‫ا اﺏ‬       ً    ‫ا وام‬                 ‫لا‬                   ‫أ‬       ‫د ی‬    ‫ه ا‬                 ً
                                                                                                                         ‫إﺱ دا‬
                                                 3mµ     3µ 2   3µ
                                          δω =      2
                                                      φ = 2 2φ = 2 φ
                                                  h      ch     cl
                                                                                                      : ‫ه ا اﺏ‬
                                          3                                       3
                                            
                                              × (1.99 × 10 kg ) = 1.327 ×10
                                    −11 m                  30                20 m
µ = GM sun        ⇒ µ =  6.67 × 10
                                      kgs 2                                   s2
      h2
l=
      µ
h=        (1 − e ) µ a
                 2


φ = 2π
           3GM         6π GM
δω =              φ= 2
                    c (1 − e2 ) a
                2
              h
           c2
              µ
             6π GM
δω =
           c 2 (1 − e2 ) a

                                                                                                          :‫رد‬             ‫آ‬
a = 5.79 × 1010 m                                    (‫ل‬      ‫ا‬        ‫)ا‬              ‫رد ﺡ ل ا‬        ‫ﻡ ار‬
e = 0.206                                                                             ‫رد‬      ‫ار‬      ‫آ‬          ‫ا‬       ‫ﺥ وج‬
                             m
c = 299 792 458                                                                                              ‫ء‬       ‫ا‬        ‫ﺱ‬
                             s
                                                                           δω = 5.019775 × 10 −7 radian : ‫إذن‬




‫رادی ن‬                ‫ﻡ ا ر‬       ‫ﺙ‬
                                      360°
                                           × 60′ × 60′′ =
                                                          ( 2.0626 ×10     5
                                                                               )′′                  ‫واﺡ رادی ن ی وي‬
                                       2π                                            radian



                                                                                                                          :‫إذن‬

                      δω = 5.019775 × 10 −7 radian ×
                                                       ( 2.0626 ×10 )′′
                                                                      5

                                                                                           = 0.10354′′
                                                                               radian
‫811‬                                  ‫لا ج‬                                ‫ا‬          ‫ا‬


      ‫ا‬   ‫رد‬      ‫ﺡ‬        ‫52.563 إذن ﺕ م‬           ‫ا ر‬       ‫ردی 88 ی م و ا‬            ‫ا‬       ‫ا‬
                                                                        ‫ی وي:‬               ‫ا ر‬
                             ‫52.563‬
                      ‫= ‪δω‬‬          ‫′′7924.0 = ′′45301.0 ×‬
                               ‫88‬
‫ا ﻡ‬        ‫ا‬   ‫. ه أﺡ أه‬     ‫رد ﺡ ود 34 ﺙ‬           ‫ﺡ‬         ‫ی نﺕ م‬         ‫ﺱ أر‬           ‫ﻡ‬
                                               ‫.‬        ‫ه ا‬    ‫ﺹ‬       ‫و أآ ت ا رﺹ د ا‬

                                               ‫ام‬       ‫ا‬     ‫ا ن‬              ‫ا‬            ‫ﺕ م‬

                                                                        ‫رد 0.′′34‬
                                                                         ‫ه 3.′′8‬                ‫ا‬
                                                                         ‫رض 8.′′3‬               ‫ا‬
‫911‬                                                         ‫لا ج‬                                             ‫ا‬                ‫ا‬


                                                                                        ‫ء‬            ‫ا‬                   ‫اف‬              ‫إ‬
                                                                            ‫ﻡ ی ﺵ ارﺕ ﺵ‬                                  ‫ءﺕ‬


                                         ‫2‬
                                    ‫‪dr‬‬                                                  ‫2 ‪2m‬‬
                     ‫= ‪ds‬‬ ‫2‬
                                             ‫− 1( 2 ‪+ r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 − c‬‬      ‫‪)dt‬‬
                                        ‫‪2m‬‬                                               ‫‪r‬‬
                                   ‫−1‬
                                         ‫‪r‬‬
    ‫أي 0 = ‪ ds‬آ‬           ‫دی‬        ‫ﻡ ﺹ أو‬             ‫ﻡ‬        ‫ء‬     ‫هاا‬                       ‫ءا ﺹ ﺏ‬                            ‫ا‬      ‫ی‬
                                                                            ‫ا ﺏ :‬           ‫ا‬            ‫د‬       ‫ا‬                    ‫ﺕ ﺹ‬
                                                ‫‪d 2u‬‬      ‫2 ‪mc‬‬
                                                     ‫2 ‪+ u = 2 + 3mu‬‬
                                                ‫2 ‪dφ‬‬       ‫‪h‬‬
    ‫ر:‬      ‫ا‬       ‫د ﺏ‬        ‫ا‬         ‫0 = ‪ ( ds‬ﺕ‬         ‫ا ﺏ و‬           ‫ﻡ د تا‬              ‫∞ = ‪ h‬ن 0 = ‪) ds‬را‬

                                                     ‫‪d 2u‬‬
                                                          ‫2 ‪+ u = 3mu‬‬
                                                     ‫‪dφ‬‬ ‫2‬



      ‫ﺥ ﻡ‬             ‫إﺡ اﺙ‬              ‫د‬    ‫اب ه ا‬                ‫د ی‬          ‫فا ی‬            ‫ا‬                   ‫ا‬
                                                                                                                     ‫:‬                ‫ﺏ اا‬
                                                           ‫1‬
                                                     ‫=‪u‬‬      ‫) ‪cos(φ + α‬‬
                                                           ‫‪R‬‬
‫.‬      ‫طﻡ‬       ‫ﺥ‬      ‫رة‬           ‫ء‬        ‫ﺡ آ ا‬                      ‫ا ذﺏ‬     ‫ﻡ ، إذا آ ن ﺡ‬               ‫‪ R‬و ‪ α‬ﺙ اﺏ ا‬
‫ض ان‬            ‫ا ﺱ اء أي 0 = ‪ θ‬آ‬                 ‫ﺹ‬           ‫ﻡ ی ﺵ ارﺕ ﺵ‬               ‫ا ﺏ و‬                        ‫ا‬
                                                                       ‫‪π‬‬
‫اب ﻡ ه ا‬        ‫هاا‬                ‫0 = ‪.α‬‬             ‫±= ‪ φ‬و ه ا ی‬          ‫ط‬       ‫ء ﺏ ازات ا‬                   ‫ﺡ آ ا‬                   ‫ﻡ‬
                                                                        ‫2‬
                                                                ‫:‬     ‫د ﺕ‬           ‫فا ی‬             ‫ا‬               ‫ا ضا ﺥ‬
                                                  ‫‪d 2u‬‬      ‫‪3m‬‬
                                                       ‫‪+ u = 2 cos 2 φ‬‬
                                                  ‫‪dφ‬‬ ‫2‬
                                                            ‫‪R‬‬

                   ‫( 2‬
                       ‫د ) ‪2 − cos 2 φ‬‬
                 ‫‪m‬‬
         ‫(ه :‬                                    ‫اب ﺥ ص ه ا‬            ‫ﺏن‬       ‫)ﻡ ا‬            ‫د ا ﺵ‬                ‫اب ه ا‬
                 ‫‪R‬‬
‫021‬                                            ‫لا ج‬                                                ‫ا‬              ‫ا‬


                                      ‫1‬
                                        ‫) ‪cos φ + 2 ( 2 − cos 2 φ‬‬
                                               ‫‪m‬‬
                                 ‫=‪u‬‬
                                      ‫‪R‬‬        ‫‪R‬‬

                                                        ‫:‬       ‫0= ‪u‬‬            ‫عا‬        ‫ی ه اا‬             ‫ﺏ ای و‬
                                  ‫‪m‬‬                   ‫‪2m‬‬
                                    ‫− ‪cos 2 φ − cos φ‬‬    ‫0=‬
                                  ‫‪R‬‬                    ‫‪R‬‬

                                      ‫ّه :‬     ‫ا‬            ‫اب ذو ا‬    ‫ا‬   ‫اﺏ‬    ‫ذات‬           ‫ﺙ‬       ‫ه ﻡ د در‬
                                                      ‫‪2m‬‬
                                            ‫− = ‪cos φ‬‬
                                                       ‫‪R‬‬
                                                                    ‫ی ن‬          ‫عا‬        ‫ءه اا‬              ‫إ‬
                                                   ‫‪ π 2m ‬‬
                                           ‫‪φ = ±‬‬     ‫+‬   ‫‪‬‬
                                                   ‫‪2 R ‬‬

                             ‫ي ی وي:‬               ‫ذﺏ‬        ‫ر ﻡ ﺡ‬               ‫ء‬         ‫ا‬           ‫اف ﻡ‬           ‫إ‬
                                                   ‫‪4m‬‬
                                                    ‫‪R‬‬

                                                                                          ‫‪GM‬‬
                                                                           ‫= ‪ m‬إذن:‬                         ‫ه ا اﺏ‬
                                                                                           ‫2‪c‬‬
                                               ‫‪4GM‬‬
                                                ‫‪c2 R‬‬

                         ‫ی وي:‬         ‫ا‬       ‫ﻡ‬                ‫ا‬          ‫ﻡ س‬             ‫اف ﺵ ع‬                     ‫ﻡ ارإ‬



‫‪M = 1.99 × 1030 kg‬‬                                                                                                    ‫ا‬   ‫آ‬
                  ‫‪m‬‬
‫854 297 992 = ‪c‬‬                                                                                ‫ا‬        ‫ء‬         ‫ا‬       ‫ﺱ‬
                   ‫‪s‬‬
                    ‫3‬
              ‫‪−11 m‬‬
‫01 × 76.6 = ‪G‬‬                                                                         ‫ﺕ‬        ‫ﺙ ﺏ ا ذﺏ ا م‬
                 ‫2 ‪kgs‬‬
‫‪R = 6.95 ×108 m‬‬                                                                                         ‫ا‬
‫121‬                                                   ‫لا ج‬                                    ‫ا‬              ‫ا‬


                                      ‫3‪m‬‬
                 ‫11− 01 × 76.6 × 4‬         ‫‪× 1.99 ×1030 kg‬‬
                                     ‫2 ‪kgs‬‬
                                              ‫2‬
                                                             ‫′′57.1 = ‪= 8.5 × 10−6 radian‬‬
                 ‫‪‬‬            ‫‪m‬‬            ‫8‬
                 ‫‪ 299 792 458  × 6.95 × 10 m‬‬
                 ‫‪‬‬            ‫‪s‬‬



    ‫ﻡ ا ر .ه‬        ‫ی وي 57.1 ﺙ‬                   ‫ا‬      ‫ﺱ‬       ‫ر ﻡ‬           ‫ء‬       ‫ا‬          ‫اف ﻡ‬           ‫أي: إ‬
‫ء‬     ‫ا ﺹ ﻡ رﺹ ا‬                     ‫ا‬            ‫ﻡ وی‬       ‫ﺱ تآ‬       ‫ه ا‬                ‫ی ا ﺕ‬         ‫ا‬           ‫ا‬
    ‫ﺏ ﺱ ا ذﺏ .‬     ‫ه‬    ‫ه ا‬              ‫.ﺕ‬           ‫آ فآﻡ‬               ‫صا‬       ‫ب‬          ‫ﻡ آ آ‬                  ‫ا‬
‫221‬                                                                         ‫لا ج‬                                                                      ‫ا‬                   ‫ا‬


                                                                                                                                                                   ‫حا‬                   ‫إ‬
‫ﺡ ارة‬       ‫ﺏر‬              ‫ةهاا‬                                                            ‫ا‬               ‫ا‬           ‫را‬                  ‫:‬             ‫ا‬            ‫ح‬                ‫ا‬
                  ‫ر‬         ‫ء‬           ‫ما‬                ‫ﻡ‬                       ‫ءﻡ ه ا ﺹ‬                               ‫ما‬                                       ‫،‬               ‫هاا‬
‫ة درب‬       ‫ﻡ‬          ‫م‬        ‫ا‬           ‫در ﻡ ﺏ‬                ‫ا‬             ‫دراﺱ ا‬                  ‫ﺡ ار .‬                   ‫وﺏ ر‬                         ‫صﺏ وﺏ‬
‫ح‬     ‫ه وا إ‬               ‫مآ‬           ‫ه ا‬                       ‫أ ان‬               ‫ان ﺏ‬           ‫ل،‬          ‫ﺏ اا‬                                      ‫ه ا‬                 ‫،‬         ‫ا‬
                                                                                                                     ‫ا نا ﺡ .‬                                                 ‫أ ان ا‬


‫أر ع‬              ‫ك‬         ‫ﻡ‬               ‫ﻡ‬        ‫درة ﻡ ﻡ‬                    ‫ا ﻡ اج ا‬            ‫ا‬       ‫ف‬            ‫أ‬              ‫ه ة دوﺏ‬                                   ‫را‬
‫ا ﻡ اج ﺱ اء‬                         ‫ه‬           ‫ا‬    ‫، ه‬                        ‫ج ا‬     ‫ا‬                   ‫ض‬            ‫و إ‬                     ‫ج ا دم‬                       ‫ا‬
‫أي‬           ‫ﻡ‬             ‫ذو‬                                 ‫ء‬        ‫ا‬        ‫( إذ آ ن ﻡ‬                          ‫وﻡ‬                 ‫)ا‬                     ‫أم ا‬                      ‫ا‬
             ‫ذو‬                         ‫ب‬             ‫ء‬           ‫ا‬        ‫و إذا آ ن ﻡ‬              ‫ا ﺡ‬              ‫ﻡ اح‬                         ‫ا‬               ‫ه اا‬
                                                                                                            ‫.‬                    ‫ا زرق أو ا‬                           ‫أي ﻡ اح‬


‫ع‬     ‫وي ﻡ‬                 ‫ا ﺡ‬                      ‫ﺡت‬            ‫ع ا‬            ‫ﻡ‬          ‫ا‬       ‫ه‬               ‫ﺱ ن‬                 ‫ﺡ‬                 ‫ن‬           ‫إذا آ ن ا‬
      ‫ات ﻡ اح‬               ‫ا‬                            ‫أن‬                ‫ا رﺹ د ا‬                 ‫ً ﺱ‬                          ‫ا زرق ﺏ‬                          ‫ﺡت‬                    ‫ا‬
‫.‬       ‫نا‬        ‫ةا‬                ‫ا رض و ه ا‬                         ‫ة‬          ‫دًﻡ ﺏ ا‬
                                                                                    ‫ٌ‬                               ‫ﺱ‬            ‫ح‬              ‫ه اا‬                  ‫و‬               ‫ا ﺡ‬


      ‫تا‬                   ‫مﺡ‬       ‫در ﻡ ا‬                    ‫ا‬             ‫ا‬           ‫ا ﺡ‬                     ‫ح‬            ‫ا‬
‫ح‬       ‫ه ةا‬           ‫ه ا‬                           ‫ًأ‬           ‫ا ذﺏ ، و‬                  ‫ﺡ‬           ‫ا‬           ‫ا‬                 ‫ه ة و أر‬                    ‫ا ﻡ ه ا‬
‫ر‬       ‫ي‬         ‫ذﺏ‬            ‫ً ذو ﺡ‬               ‫أن‬               ‫ذﺏ )‪ ، (Gravitational redshift‬و ه‬                                                       ‫ﺏ‬       ‫ا ﺡ‬
             ‫ً‬
‫ا ، إذن ه ﻡ اح‬                          ‫،‬            ‫هاا‬                         ‫بهاا‬                               ‫عا‬            ‫، دد ه ا ا‬                                      ‫ع‬
      ‫وﺏ‬               ‫ا ذﺏ‬         ‫، ّ أﺙ ﺡ‬                      ‫ه اا‬                          ‫عا‬              ‫هاا‬              ‫أﺏ‬     ‫آ‬             ‫،‬                           ‫ا‬
                  ‫ا ﺡ .‬                               ‫عا‬              ‫ح نه اا‬                   ‫إ‬       ‫ض ا دد ا‬                       ‫دد ، دي إ‬
‫321‬                                                                 ‫لا ج‬                                                           ‫ا‬          ‫ا‬


‫ﻡ ی .‬              ‫و‬       ‫ذات ﺡ آ ﺕ وﺏ ﻡ‬                         ‫أن ﺕ ن أي وﺱ‬                        ‫ی سﺏ ا ﻡ ی‬                       ‫ا‬          ‫ا‬      ‫ﺱ‬
      ‫ه ا‬              ‫ا دﺙ ‪A‬‬       ‫ﺏ‬           ‫و ا دﺙ ‪ B‬و‬                           ‫ا‬            ‫ورة ﺱ‬         ‫‪ A‬و ‪ B‬ﺡ دﺙ ن ﺏ‬                        ‫إذا آ‬
                                                             ‫دﺙ ‪.A‬‬                   ‫دﺙ ‪ B‬أآ ﻡ إﺡ اﺙ ا ﻡ‬                                   ‫إﺡ اﺙ ا ﻡ‬


       ‫ﺱ‬       ‫ا‬       ‫ﺥ . ا اﺏ‬             ‫ﻡ‬        ‫دﺙ ن‬          ‫‪C‬و‪D‬‬                       ‫ی ﺡ دﺙ ن آ‬           ‫ض أن ‪ A‬و ‪ B‬ﺏ ی و‬
‫س‬          ‫ادث ی‬        ‫ﻡ ا‬             ‫ا‬       ‫هﺕ‬           ‫‪ C‬و ‪،D‬‬              ‫ﺱ ﺏ‬              ‫ا‬       ‫اﺏ‬     ‫‪ A‬و ‪ B‬ﻡ وی‬                  ‫ا ﻡ نﺏ‬
                                                                   ‫‪ ، ds‬إذن:‬                 ‫دی‬       ‫وی ن ﻡ ا‬            ‫ﺹ نﻡ‬                    ‫ا ﻡن‬

                                                                        ‫‪∫ ds‬‬
                                                             ‫) ‪ds 2 = gii ( dx i‬‬
                                                                                         ‫2‬




    ‫ء ا ﺡ اﺙ‬            ‫ی ً إﺡ اﺙ ت‬             ‫زﻡ ن ا ﺡ اﺙ ت 1‪ x‬و 2‪ x‬و 3‪x‬‬                                            ‫ﻡ‬        ‫‪ xi‬إﺡ اﺙ ت ﺡ دﺙ‬

                                                                                                                                       ‫4‪x‬‬
    ‫ادث ﺱ آ‬            ‫ی س ﺏ زﻡ ﺡ وث ه ا‬                            ‫ا‬            ‫ا‬           ‫ا ﻡ . إذا آ‬                  ‫ر‬               ‫و‬               ‫ا‬
                                                                                                                                       ‫‪ic‬‬
                                                 ‫:‬                ‫0 = 3‪dx1 = dx2 = dx‬‬                                 ‫ه ا‬                                 ‫ﺏ‬
                                                ‫2 ‪ds 2 = g 44 ( dx 2 ) = −c 2 g 44 dt‬‬
                                                                             ‫2‬




‫) 1‪ x‬و 2‪ x‬و 3‪(x‬‬                 ‫ا‬           ‫‪ t‬إﺡ اﺙ ا ﻡ‬                 ‫ﺹ ‪s‬ا‬                       ‫‪ ، x4 ═ tci‬إذن ا اﺏ‬                     ‫ه ا اﺏ‬
                                                                                                                                                 ‫ه :‬

                                                             ‫‪s = ic ∫ g 44 dt‬‬

‫،‬          ‫ا‬           ‫ﺕ ری ا‬       ‫،وی‬                  ‫ﺥ‬         ‫زﻡ‬            ‫ﺹ‬            ‫ن ‪ ds‬ﺏ‬             ‫وذ‬           ‫‪s‬ﺥ‬           ‫ه ا اﺏ‬
                                                                                                                                              ‫‪s‬‬
    ‫ر:‬         ‫ا‬       ‫و إﺡ اﺙ ا ﻡ ‪ t‬ﺏ‬                       ‫ا‬           ‫ا‬       ‫ا ﻡ ‪T‬‬                ‫ﺏ‬        ‫ا اﺏ‬           ‫=‪T‬وﺱ‬                        ‫ﺏ‬
                                                                                                                                             ‫‪ic‬‬

                                                                 ‫‪T = ∫ g 44 dt‬‬


               ‫ﺕ ‪ϕ‬ه :‬               ‫ا ّ‬              ‫ا‬       ‫44‪ g‬ﺡ‬               ‫ه ا‬               ‫وﺱآ ،‬                      ‫ا ذﺏ‬           ‫إذا آ ن ﺡ‬
‫421‬                                                            ‫لا ج‬                                               ‫ا‬           ‫ا‬



                                                                         ‫‪2ϕ‬‬
                                                       ‫+ 1 = 44 ‪g‬‬
                                                                         ‫2‪c‬‬


                                                                                                                                   ‫:‬
                                                                         ‫‪2ϕ‬‬
                                                   ‫+ 1 = ‪dT‬‬                 ‫‪dt‬‬
                                                                         ‫2‪c‬‬

‫ر‬       ‫ﺕ وب إ‬         ‫ﺕ‬       ‫ا‬    ‫ﻡ ر، إذن ا ﺹ ا ﻡ‬                                ‫آ‬        ‫در ﻡ ذرة ی‬               ‫ا‬           ‫را‬    ‫إ‬
    ‫ه‬     ‫وی . إذا آ‬       ‫ﻡ‬       ‫ﻡ وﺕ‬        ‫ﻡ‬                    ‫ﺱآ‬         ‫ﺏ‬        ‫ﻡ‬    ‫درة ﻡ ذرﺕ‬        ‫ا‬               ‫طا‬       ‫ﺥ‬
‫و 1‪ dt‬و 2 ‪ dt‬دور‬               ‫ا رﺕ‬       ‫هﺕ‬   ‫ذﺏ‬               ‫ﺡ‬             ‫ا ّ‬           ‫‪ dT‬و 1‪ ϕ‬و 2‪ ϕ‬ا‬                ‫ا ﺹ ا ﻡ‬

                                                               ‫‪2ϕ‬‬
                       ‫:‬                  ‫+ 1 = ‪dT‬‬                ‫‪dt‬‬          ‫إﺡ اﺙ ا ﻡ . ﻡ ا اﺏ‬                      ‫ﺕ وﺏ آ ﻡ ﺡ‬
                                                               ‫2‪c‬‬


                                                           ‫1‪2ϕ‬‬           ‫‪2ϕ‬‬
                                         ‫+ 1 = ‪dT‬‬             ‫2‬
                                                                ‫2‪dt1 = 1 + 2 2 dt‬‬
                                                            ‫‪c‬‬             ‫‪c‬‬
                                                                                                                  ‫:‬                     ‫ﺙ‬

                                                             ‫2‪2ϕ‬‬
                                                                    ‫+1‬
                                                    ‫1‪dt‬‬
                                                        ‫=‬     ‫2‪c‬‬
                                                    ‫2‪dt‬‬      ‫‪2ϕ‬‬
                                                          ‫12 + 1‬
                                                              ‫‪c‬‬


    ‫ذﺏ ، و ‪ t a‬إﺡ اﺙ‬               ‫ﻡ ﺡ‬                 ‫(‬             ‫ت‬        ‫)أو وﻡ‬           ‫ﺕ‬   ‫ﺡ‬         ‫ض إن ا رات‬

‫و ′ ‪ t‬و ′‪t‬‬           ‫ﻡ جﺙ‬             ‫‪ t‬إﺡ اﺙ زﻡ‬                ‫ت ه ا رة و‬                  ‫ﻡ أﺵ‬       ‫ا ﺕ‬                ‫ا‬            ‫زﻡ‬
 ‫‪b a‬‬                                                       ‫‪b‬‬
    ‫ﻡ ﺡ‬          ‫ا‬             ‫وﺹ‬        ‫تﺡ‬        ‫ت أو ا ﺵ‬              ‫ﺹ ور ه ا ﻡ‬                     ‫قﻡ‬                ‫ا ﻡ ا يی‬
        ‫وﺹ‬    ‫ﻡ جﺡ‬             ‫ﺹ ور‬                ‫ﻡ‬        ‫ﺹ ا ﻡ‬                       ‫ﺱآ‬          ‫ا ذﺏ ، ﺏ إن ه ی ا‬
                                                                                                        ‫ﺙ ﺏ ، إذن:‬                 ‫ا‬
‫521‬                                              ‫لا ج‬                                      ‫ا‬        ‫ا‬


                           ‫′‬                   ‫′‬
                          ‫‪ta − ta = t ′ − t ⇒ ta − t′ = ta − t‬‬
                                     ‫‪b b‬‬            ‫‪b‬‬         ‫‪b‬‬


‫وی وي‬      ‫ﻡ نه ا‬                   ‫ﻡ‬           ‫ه ا‬     ‫أن ﺕ ﺏ ب ه ا رة‬                ‫ی‬       ‫ﻡ ه ا اﺏ‬
‫، إذا‬   ‫ا رة‬    ‫ﻡ نﺕ ا‬        ‫دة‬        ‫ا‬           ‫ا‬   ‫ﺡ‬    ‫ا رﺕ‬       ‫ﺏ بآ ﻡ هﺕ‬              ‫ا ﺹ ا ﻡ‬
                               ‫، إذن:‬           ‫ه ا‬         ‫ه ا رﺕ‬         ‫ط‬       ‫آ ن 1 ‪ν‬و 2 ‪ ν‬ﺕ ﺏ ب ﺥ‬




                                                    ‫‪2ϕ‬‬
                                            ‫1‪ν‬‬   ‫12 + 1‬
                                               ‫=‬     ‫‪c‬‬
                                            ‫2‪ν‬‬      ‫2‪2ϕ‬‬
                                                 ‫2 +1‬
                                                        ‫‪c‬‬



                                                 ‫ا :‬            ‫ه ا اﺏ‬         ‫ی‬      ‫لا‬        ‫ا‬       ‫ﻡ ﺏ‬



                                            ‫1‬
                                                        ‫‪‬‬
                  ‫‪2ϕ‬‬     ‫‪‬‬   ‫2 ‪2ϕ ‬‬      ‫1‪V‬‬
               ‫‪1 + 2 1 ⇒ 1 + 2 1  ≃ 1 + 2 ‬‬
                                          ‫2‪2ϕ‬‬
                   ‫‪c‬‬     ‫‪‬‬    ‫‪c ‬‬        ‫‪c ‬‬                    ‫+1‬
                                     ‫‪‬‬     ‫2‪c 2 ≃ 1 + ϕ1 − ϕ‬‬
                             ‫−‬
                               ‫1‬
                                     ‫⇒‪‬‬
                 ‫1‬   ‫‪‬‬  ‫2 ‪2ϕ2 ‬‬   ‫‪ϕ2 ‬‬    ‫1‪2ϕ‬‬        ‫2‪c2 c‬‬
                    ‫2 − 1 ≃ ‪⇒ 1+ 2 ‬‬    ‫2 +1‬
                 ‫‪2ϕ2 ‬‬
                     ‫‪‬‬   ‫‪c ‬‬      ‫‪c ‬‬      ‫‪c‬‬
               ‫2 +1‬                  ‫‪‬‬
                  ‫‪c‬‬                  ‫‪‬‬




                      ‫1‪ϕ2ϕ‬‬
                               ‫رة‬        ‫ً‬
                                        ‫اآ‬      ‫ة‬       ‫رات ا‬       ‫ا‬       ‫ّ ا‬        ‫ّ‬       ‫ه ا واﺏ‬
                         ‫4‪c‬‬
                                                                                                        ‫إذن:‬
                                            ‫1‪ν‬‬     ‫‪ϕ −ϕ‬‬
                                               ‫2 2 1 +1 =‬
                                            ‫2‪ν‬‬       ‫‪c‬‬
‫621‬                                                ‫لا ج‬                                           ‫ا‬          ‫ا‬


             ‫:‬       ‫ه ا‬   ‫ا رض‬           ‫ﺱ‬               ‫و أﺥ ى ﻡ ﺏ‬            ‫ا‬    ‫ﺱ‬                ‫رة وا‬        ‫ﻡ ً‬


                     ‫‪m‬‬
‫854 297 992 = ‪c‬‬                                                                               ‫ا‬       ‫ء‬      ‫ا‬      ‫ﺱ‬
                     ‫‪s‬‬

                    ‫3‪m‬‬
‫11−01 × 76.6 = ‪G‬‬                                                                     ‫ﺕ‬        ‫ﺙ ﺏ ا ذﺏ ا م‬
                   ‫2 ‪kgs‬‬

‫‪M s = 1.99 ×1030 kg‬‬                                                                                                ‫آ ا‬
‫‪R s = 6.95 × 108 m‬‬                                                                                    ‫ا‬
‫‪M e = 5.97 × 1024 kg‬‬                                                                                      ‫ا رض‬       ‫آ‬
‫‪R e = 6356000m‬‬                                                                            ‫ا رض‬


‫ول‬    ‫ا‬      ‫ﻡ ل )ﺡ ( ا ذﺏ ه ،ا‬                              ‫‪Gravitational Potential‬‬                      ‫ا ذﺏ‬
                                  ‫‪GM‬‬
                           ‫−= ‪ϕ‬‬      ‫ر أﺥ ى‬                ‫ی .ﺏ‬     ‫ﻡ‬   ‫ا‬           ‫ﻡ ه ا‬                 ‫وﺡ ة ا‬
                                   ‫‪R‬‬




                    ‫‪GM e‬‬                 ‫‪‬‬
            ‫− = ‪ϕe‬‬       ‫‪= −6.27 × 107 ‬‬
                     ‫‪Re‬‬                  ‫‪ νe‬‬       ‫‪ϕ −ϕ ν‬‬
                                         ‫⇒‪‬‬    ‫21200000.1 ≃ 1 ⇒ ‪= 1 + e 2 s‬‬
                    ‫‪GM s‬‬                    ‫‪νs‬‬        ‫‪c‬‬     ‫2‪ν‬‬
            ‫‪ϕs‬‬   ‫−=‬      ‫‪= −1.907 × 1011 ‬‬
                     ‫‪Rs‬‬                  ‫‪‬‬
                                         ‫‪‬‬




‫ﻡ ة‬   ‫ﺙ ﺙ‬                  ‫يا‬     ‫ﺏ‬           ‫ا‬      ‫أﺱ‬           ‫ﺱ ،‬              ‫ً‬
                                                                                ‫او ی‬          ‫ة‬       ‫ﺹ‬          ‫ه ا‬
                                      ‫.‬           ‫ا رﺹ د ا‬                  ‫ﺕ‬            ‫وا‬           ‫أآ ﻡ ه ا‬
‫721‬                                                                                ‫لا ج‬                                                         ‫ا‬           ‫ا‬


                                                                                                      ‫ا دة‬                 ‫ﺕ ا‬                       ‫د تا‬
      ‫ی .ﻡ د تﺡ‬                   ‫أ‬       ‫ﻡ د تﺡ‬                                  ‫،ﺙ‬        ‫و د ا دة‬               ‫ﺡ‬              ‫ا‬             ‫ه اا‬                    ‫ﺱ‬
‫إذا‬            ‫ء رغ 0 = ‪، ∆ 2ϕ‬‬                                   ‫ﺕ‬        ‫ا‬            ‫د ت ﺏ س ا ا‬                           ‫0 = ‪ Rµν‬أﺵ‬                ‫ی‬            ‫ﺥ ا‬

‫أن ﺕ ن ه ا دة ﻡ ً‬                             ‫)ی‬        ‫دة‬                ‫ا‬            ‫دة أو ا‬         ‫ً‬
                                                                                                     ‫ذﺏ ﻡ ﺙ ا ﺏ‬                  ‫أرد أﺱ ج ﻡ د ت ﺡ‬
      ‫ا‬            ‫ﺏ‬              ‫ه ا‬              ‫ن(‬        ‫ا‬           ‫د‬             ‫ر وا ﺥنا‬                    ‫دة داﺥ ا رض أو ا‬                             ‫ا‬       ‫ا‬
‫د ‪G‬‬                ‫ه ا‬          ‫ﻡ ﻡ د ت ﺏ اﺱ ن )‪) ∆ 2ϕ = 4πρ G (poisson‬‬                                                           ‫ا ﻡ ا‬                    ‫ی ا‬          ‫ا‬
                                                                                                      ‫(.‬            ‫ﺕ و‪ρ‬ا‬                           ‫ﺙ ﺏ ا ذﺏ ا‬


‫،‬                          ‫رﻡ‬             ‫ﻡ وي‬               ‫ر ری‬                  ‫أن ی ن ﺕ‬              ‫ّ‬
                                                                                                       ‫ا دي ی‬                    ‫ﻡ د تا‬                    ‫ل‬
‫‪T µν‬‬                   ‫ﻡ‬   ‫ر‬          ‫ﺕ‬   ‫وي ﺏ‬          ‫ا‬            ‫ی‬            ‫‪، T µν‬‬                       ‫ﻡ‬       ‫را‬             ‫ﺱ ه ا‬            ‫را‬               ‫ا‬
                                                                                                                                      ‫‪Rµν‬‬            ‫رﻡ‬             ‫ﻡ ﺕ‬

                                                                                       ‫رة:‬       ‫ا‬         ‫ﺏ‬           ‫ﻡ‬              ‫ر ‪ Rµν‬ﺏ‬                   ‫ا‬
                                                                         ‫‪µν‬‬
                                                                     ‫‪R‬‬        ‫=‬     ‫‪g µρ gνσ Rρσ‬‬

                                                                                                                                                                    ‫إذن:‬
                                                                      ‫‪R µν = −kT µν‬‬

    ‫. أﺡ‬       ‫ی‬           ‫ﺕﺙ‬                  ‫ﺏ‬        ‫تا‬                    ‫ا‬         ‫ﺏ‬                          ‫ﻡ ا‬      ‫‪k‬ﺙﺏ وا‬                   ‫ه ا اﺏ‬
‫. ﺏ إن‬                     ‫ا ﻡ نا‬             ‫‪T µν‬‬      ‫0=‬           ‫ه أﺱ ام‬                  ‫ﻡ ه ا اﺏ‬                       ‫أﺱ‬             ‫ی‬       ‫تا‬              ‫ا ﺱ‬
          ‫ّا‬                ‫ةوی‬           ‫ﺹ‬         ‫ه ا اﺏ‬                         ‫‪k‬‬                           ‫ً أﺙ و د ا دة‬                        ‫ءی س‬                ‫ا‬
                                                                                                                             ‫.‬              ‫ا ﻡ نا‬


                                                                                                     ‫ﺏ ﺏ‬           ‫ﻡ‬        ‫ً‬
                                                                                                                            ‫أﺱ دا‬               ‫ﺱ ا ی‬               ‫ا‬


                                                                 ‫‪ µν 1 µν ‬‬
                                                                 ‫0 = ‪ R − Rg ‬‬
                                                                 ‫‪‬‬    ‫2‬    ‫‪;ν‬‬
128                                                         ‫لا ج‬                                               ‫ا‬              ‫ا‬


‫و‬      ‫ا‬       ‫ا‬     ‫ﺏ‬   ‫، و ا اﺏ‬                   ‫ا‬             ‫ا‬    ‫ه‬        ‫ﻡ ﺥ رج ا ﺱ‬                ‫ا‬            ‫ا اﺏ‬       ‫ه‬
                                                                                                    : ‫ه‬            ‫ﻡ‬      ‫ا‬           ‫ا‬
                                                     σ
                                       D µ     µ  dx 
                                          A =A 
                                           ν  ν        
                                       ds         ds 
                                                                           µν                              µν
                   R;ν = R ,ν               ‫ﺕ‬               ‫ﺏ ﺏ‬        ‫ ﻡ‬R;ν = 0 ‫م ه ا‬                 ‫ ی‬T;ν = 0 ‫إذا آ ن‬


                                                                                                                                  :‫إذن‬
                                                        1
                                      R µν − Rg µν = −kT µν
                                                        2

g µν       ‫د‬   ‫ه ا‬               ‫ﺏ‬        ‫م 5191. إذا‬                   ‫ﺡ‬             ‫ی ا‬       ‫أ‬      ‫ه ه ﻡ د تﺡ‬

                                                                  :‫ر‬            ‫ﻡ ﺡ با‬          ‫ا واﺏ‬              ‫ﺏ‬                  ‫آ‬
                                                T = g µν T µν

                                                R = g µν R µν




                                                                            :         ‫ا‬     ‫ﺏ‬       ‫ ﺕ ی‬δ ij             ‫د يآ و‬

                                                                 1
                                                                 
                                                                                 if         µ =ν
                                                                 
                                                        δ µν =   
                                                                 0
                                                                 
                                                                 
                                                                                 if         µ ≠ν
                     g µν g µν   =   δ µν = δ11 + δ 22 + δ 33 + δ 44 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

                                                                                            :‫د ت‬              ‫ه ا‬
                                                1
                           g µν R µν − Rg µν g µν = −kg µν T µν
                                                2

                                 1
                          R − (1 + 1 + 1 + 1) R = −kT ⇒ R = kT
                                 2
‫921‬                                                                          ‫لا ج‬                                               ‫ا‬             ‫ا‬


                                                                         ‫‪R = kT‬‬


                                                                                                        ‫1‬
                                                                 ‫ر:‬           ‫ا‬        ‫آ ﺏ ‪ R µν − g µν R = −kT µν‬ﺏ‬                               ‫ی‬
                                                                                                        ‫2‬

                                                         ‫) ‪R µν = −k (T µν − 1 g µν T‬‬
                                                                           ‫2‬
                                                                                                                   ‫د ت:‬             ‫ه ا‬                ‫ﻡ‬
    ‫ﻡ‬           ‫ﻡ‬            ‫ا‬           ‫رة 0 = ‪ R µν‬و ه‬                     ‫د ت ﺏ‬          ‫ا‬       ‫ه‬        ‫0 = ‪ T µν‬و ﺕ‬                 ‫ا‬           ‫1-‬
                                                                                                                                        ‫0 = ‪Rµν‬‬

    ‫ه‬                            ‫ی‬                      ‫ﺥ‬                     ‫ﺕ‬        ‫‪ g µν‬و ﻡ‬              ‫ه ﺡ‬           ‫2- ﻡ د ت ه ا ا‬

        ‫آ .‬                      ‫ه‬            ‫آ ﻡ‬         ‫عﺡ‬             ‫ﻡ‬             ‫وي ه‬         ‫ا‬       ‫لا‬     ‫ا‬       ‫ﺱ‬            ‫د ت،‬            ‫ا‬
            ‫ﺏ‬       ‫وذ‬           ‫ﺥ‬        ‫ا‬         ‫ه ا‬                      ‫ی ا‬       ‫ّأ‬           ‫،‬       ‫د تا‬            ‫ﻡ أآ‬                        ‫ی‬
‫رها‬                  ‫أو ﺹ . ﺏ‬                     ‫،ﻡ‬     ‫أن ی ن ﺱ‬                  ‫ی‬       ‫د ته ‪،Λ‬هاا ﺏ‬                     ‫ا‬                     ‫آ‬   ‫ﺙﺏ‬
                                                                                  ‫ر:‬            ‫ا‬   ‫ﺏ‬       ‫ﻡ د تا‬                  ‫ﺕ‬         ‫ا ﺏ ا‬
                                                                 ‫1‬
                                                       ‫‪R µν − Rg µν + Λg µν = −kT µν‬‬
                                                                 ‫2‬

                                                                 ‫1‬
‫د‬       ‫ﻡ‬       ‫ﺙ‬            ‫‪Λ‬ﻡ‬                        ‫، إذا آ‬               ‫ء و وﺡ ﺕ‬               ‫‪R‬ﺕ سا‬          ‫‪Λ‬ﻡ ﺏ ا‬                     ‫ا ﺏ ا‬
                                                                 ‫2‪m‬‬
        ‫ت، ا‬             ‫ا‬               ‫.ﺡ‬        ‫ﻡ ﺕ‬               ‫ﻡ‬        ‫ذج آ‬                      ‫ا ﺱ دة ﻡ ه ا ا ﺏ‬                ‫ذﺏ . ی‬
                                                                                                    ‫1‬
                ‫ّا‬                   ‫ی‬        ‫آ‬     ‫ﺱ تا‬             ‫ا‬            ‫05−01 < ‪Λ‬‬            ‫ﺡ ود‬            ‫ه‬        ‫اا ﺏ‬                    ‫ا‬
                                                                                                    ‫2‪m‬‬
                                                                                                                                        ‫ه اا ﺏ .‬


                                                                                       ‫:‬                    ‫‪g µν‬‬           ‫ﺏ ه ا اﺏ‬                   ‫إذا‬

                                                                     ‫‪R = kT + 4Λ‬‬
                                                                                                            ‫:‬                       ‫و ﻡ ه ا اﺏ‬
‫031‬                                              ‫لا ج‬                                            ‫ا‬            ‫ا‬


                               ‫) ‪R µν = Λg µν − k (T µν − 1 g µν T‬‬
                                                        ‫2‬


                                           ‫رة:‬    ‫ﺏ‬    ‫ب ا دة ه ا اﺏ‬                ‫و‬                ‫ا ﻡ نا‬


                                            ‫‪R µν = Λg µν‬‬


 ‫ی‬     ‫ءأ‬       ‫ه‬   ‫ء ذو ﺕ س ﺙ ﺏ‬            ‫ی ،وآ‬       ‫ءأ‬       ‫ه‬        ‫ه ا اﺏ‬             ‫ق‬       ‫ءﺕ‬               ‫آ‬
                         ‫ی .‬    ‫ءأ‬         ‫ء ﺙ ﺙ ا ﺏ د( ه‬        ‫ء ﺕ ﺱ ﺙ ﺏ )ﺱ ى‬                           ‫آ‬       ‫،‬
                           ‫ی و ی وي:‬             ‫د ت ‪ k‬ه ﺙ ﺏ ا ذﺏ ا م ا‬                     ‫ه ا واﺏ و ا‬


                                    ‫‪8π G‬‬                     ‫2‪s‬‬
                               ‫=‪k‬‬        ‫34−01× 370.2 = ‪⇒ k‬‬
                                     ‫4‪c‬‬                     ‫‪kg.m‬‬


            ‫ﻡ ا‬      ‫ﺡ ود ا‬          ‫ء. أﺙ ه ا ا ﺏ‬      ‫ا‬    ‫ﺕ و‪c‬ﺱ‬                          ‫ا ذﺏ ا‬                ‫‪ G‬ﺙﺏ‬
                                                                           ‫.‬                ‫ّا‬                  ‫ً‬
                                                                                                              ‫اوی‬


     ‫ﻡ ه ا اﺏ‬        ‫ا‬          ‫ﺕ‬      ‫ی‬         ‫ه ا‬     ‫ر‬           ‫رة‬        ‫ء‬        ‫ا‬             ‫ا‬           ‫إذا آ‬
                                             ‫.‬        ‫ءو‪ρ‬ا‬   ‫ا‬        ‫‪c‬ﺱ‬           ‫ه ا اﺏ‬             ‫‪T = c2 ρ‬‬
‫131‬                                                           ‫لا ج‬                                                                   ‫ا‬           ‫ا‬


                                                                                                                                ‫ن‬            ‫ا‬                ‫د‬
                                                                                       ‫ﺕ‬                    ‫ا‬              ‫ا‬        ‫ً‬
                                                                                                                                    ‫إﺱ دا‬
‫ﺱ ج‬               ‫ﺕ‬           ‫ی ا‬        ‫أﺏ‬       ‫أن‬              ‫ا ﻡ ا‬                        ‫ی ا‬                         ‫ا‬        ‫ا أﺏ ی ﻡ‬
                                                       ‫ا ﻡ.‬                 ‫ی ا‬                ‫ﺡًﻡ‬                ‫إ ا‬               ‫ذج ی‬         ‫ﻡ د و‬


‫ا ﻡ أي‬                        ‫و ه دا ا‬                ‫د ‪ρ‬ا‬             ‫ه ا‬                 ‫ﺏ اﺱ ن ‪∆ 2ϕ = 4πρ G‬‬                               ‫أﻡ ﻡ د‬
‫آ وي، و‬               ‫ء ذو ﺕ‬            ‫‪Ρ‬ه‬             ‫ا‬              ‫ا ا‬         ‫ا‬        ‫ﺏ‬               ‫ض أن ا ﻡ ن ا ي ی‬                          ‫) ‪. ρ (t‬‬
‫ها‬          ‫... + 3 ‪ϕ = a + bσ + cσ 2 + dσ‬‬                 ‫اﺏ ه‬         ‫ی و‬                    ‫ﻡ‬                ‫ه ا‬             ‫ان ﺕ ن ‪ϕ‬‬                  ‫ی‬
 ‫‪ .Ρ‬أﺡ أ ﺏ‬                   ‫‪ ، Ρ‬أو ﺏ ﺡ ى آ ة ﻡ آ ه ا‬                         ‫يﻡ ا‬                         ‫ءا‬      ‫ا‬             ‫وي ‪ σ‬ا ﺹ‬                     ‫ا‬
                                                                                                                                                 ‫‪ϕ‬ه :‬
                                                                  ‫2‬
                                                           ‫2 ‪ϕ = π G ρσ‬‬
                                                                  ‫3‬
                                              ‫4‬                                       ‫‪dϕ‬‬
‫ءﺡ ل‬              ‫أن ا‬            ‫‪ σ = − π G ρσ‬إذا‬
                                      ‫‪ɺɺ‬‬                                ‫−= ‪σ‬‬
                                                                        ‫‪ɺɺ‬‬                         ‫ه‬            ‫آ ا ورا‬                  ‫ﺕ‬       ‫ﻡ د ت‬
                                              ‫3‬                                       ‫‪dσ‬‬
                  ‫4‬
‫ا 3 ‪ M ′ = πρσ‬إذن:‬                  ‫′‪M‬‬    ‫ةه‬          ‫ه ا‬         ‫دة‬          ‫ا‬                ‫ه ‪σ‬وا‬                                     ‫‪Ρ‬ه آ‬                 ‫ا‬
                  ‫3‬
                                                                       ‫′ ‪GM‬‬
                                                            ‫−= ‪σ‬‬
                                                            ‫‪ɺɺ‬‬
                                                                        ‫2‪σ‬‬


    ‫ه‬       ‫‪ P‬ﺕ وي ‪r‬‬                ‫ا‬    ‫ة‪Q‬ا‬               ‫ات و ا ﺹ ﻡ ا‬                            ‫ﺡ ود ا‬                      ‫أن ا اﺹ‬                    ‫إذا‬
‫ط‬       ‫أ‬     ‫ﺡ‬          ‫ﻡ ا ﻡ ، ن‬                ‫ﺕ‬        ‫ء ﺙﺏ و‬             ‫ه ا ﺹ ﻡ ا‬                                    ‫دة‬            ‫ا‬       ‫ا‬            ‫ا‬
‫ظ. إذا‬       ‫ا‬           ‫ﺕ‬    ‫ن‬           ‫ة و ه ا أﺱ دا‬
                                          ‫ً‬                             ‫جﻡ ه ا‬                         ‫ﺕ‬        ‫ﺕﺥ و‬             ‫ء ن ا دة‬                     ‫ا‬
                                                                              ‫ة‪P‬‬                ‫ة‪Q‬وا‬                   ‫ا‬        ‫أن ا ﺹ ﺏ‬
                                                                      ‫ه ا ﻡ إذن:‬                           ‫ا ا ) ‪ R(t‬ه دا ﻡ‬                          ‫رة‬


                                                                ‫‪GM‬‬
                                                             ‫2 −=‪R‬‬
                                                             ‫‪ɺɺ‬‬
                                                                 ‫‪R‬‬
‫231‬                                                           ‫لا ج‬                                               ‫ا‬             ‫ا‬


                                                                                            ‫2‬
                                                                                   ‫′‪M‬‬   ‫‪ɺɺ d R‬‬
‫ه‬                   ‫آ‬    ‫دة‬       ‫ا‬             ‫و‪M‬ا‬               ‫= ‪ M‬ه ‪h‬ﺙﺏ‬           ‫2 =‪ R‬و‬                          ‫ه ا اﺏ‬
                                                                                   ‫‪h‬‬       ‫‪dt‬‬
                                                                                                                                   ‫) ‪R (t‬‬

     ‫ا‬     ‫رة ... + 3 ‪ ϕ = a + bσ + cσ 2 + dσ‬و ﺕ ﺹ‬                  ‫‪ σ‬ﺏ‬      ‫ا ﺹ‬          ‫اب ‪ ϕ‬ﺡ‬                     ‫أن‬
                                                                             ‫2‬                           ‫2‬
    ‫ﺥ آ ﺏ‬         ‫اب ﺥ ﻡ ﺙ ﺏ‬              ‫ض‬              ‫ی‬          ‫ه ﺙﺏ‬       ‫أن ‪π G ρ‬‬        ‫اب 2 ‪ ϕ = π G ρσ‬ﺏ‬                         ‫ا‬
                                                                             ‫3‬                           ‫3‬
                                                                      ‫1‬
           ‫و‬   ‫أو ا اآ‬        ‫ا‬           ‫ﺏﺕ‬        ‫اب ﺥ ه 2 ‪ ϕ = − c 2 Λσ‬إذا أﺱ‬                                               ‫‪Λ‬وﺱ‬
                                                                      ‫6‬
                                                                                       ‫:‬                     ‫ﺱ‬            ‫اﺏ‬       ‫هی ا‬
                                                 ‫4 ‪dϕ‬‬       ‫1‬
                                                   ‫‪= πρ Gσ − c 2 Λσ‬‬
                                                 ‫3 ‪dσ‬‬       ‫3‬



           ‫ا ‪ R = σ‬و ‪ R = σ‬إذن:‬
                ‫‪ɺɺ ɺɺ‬‬                          ‫) ‪R (t‬‬   ‫ا ا‬       ‫ر‬        ‫‪Q‬و‪P‬‬     ‫ﺕ‬       ‫ا‬     ‫أن ا ﺹ ﺏ‬


                                   ‫4‬       ‫1‬              ‫‪GM c 2 ΛR‬‬
                              ‫+ 2 − = ‪R = − πρ GR + c 2 ΛR ⇒ R‬‬
                              ‫‪ɺɺ‬‬                     ‫‪ɺɺ‬‬
                                   ‫3‬       ‫3‬               ‫‪R‬‬     ‫3‬



                                                                             ‫‪GM c 2 ΛR‬‬
‫أن‬         ‫ﺕ ﻡ (ﻡ ا‬           ‫ر‬       ‫ب‬            ‫‪) 2 R‬ه ا ا‬
                                                            ‫‪ɺ‬‬             ‫+ 2 −=‪R‬‬
                                                                          ‫‪ɺɺ‬‬                         ‫د‬       ‫ا‬                 ‫ب‬
                                                                              ‫‪R‬‬     ‫3‬

                                                                  ‫′‪2 R  2 ‬‬
                                                                    ‫‪ɺ‬‬
                                                                                                ‫′ ‪ɺ ɺɺ ɺ‬‬
                                                 ‫ا :‬          ‫−‬       ‫2 ‪ 2 RR = R‬و ′) ‪ 2 RR = ( R‬و ‪=  ‬‬
                                                                   ‫‪R R‬‬
                                                                                 ‫‪ɺ‬‬                                                 ‫) (‬
                                                ‫2 ‪2GM c 2 ΛR 2 ɶ‬‬
                                           ‫= 2‪R‬‬
                                           ‫‪ɺ‬‬       ‫+‬        ‫‪− kc‬‬
                                                 ‫‪R‬‬      ‫3‬
                  ‫د :‬    ‫ه ا‬      ‫ا‬               ‫أن ‪C = 2GM‬‬                  ‫ﻡ إذا‬    ‫2‪ −kc‬ﺙ ﺏ ا‬
                                                                                              ‫‪ɶ‬‬                       ‫ه ا اﺏ‬
                                                       ‫2‬
                                                ‫2 ‪ɺ C c Λ R 2 − kc‬‬
                                                ‫+ = 2‪R‬‬        ‫‪ɶ‬‬
                                                    ‫‪R‬‬  ‫3‬
         ‫د ا‬   ‫د وا‬      ‫ه ا‬          ‫ﺏ‬                 ‫ﺥﺹ و ذ‬             ‫د ت ﺏ ﺱ د ﻡ ﺙ اﺏ‬                      ‫ه ا‬                     ‫ﺕ‬
                                                                                ‫ا ﻡ:‬             ‫ا‬               ‫ﻡ ﻡ‬                   ‫ﺱ‬
133                                       ‫لا ج‬                                                 ‫ا‬        ‫ا‬


                                                              ‫ا‬         ‫ا‬                      ً
                                                                                               ‫إﺱ دا‬
                                                            ‫ی روﺏ ﺕ ن – واآ‬                    ‫ﺏ‬        ‫أه اا‬
                                                                   k = 0 ‫ و‬k = ∓1 ‫ی‬                     ‫ه ا‬
                            R 2 (t ) 2
       ds 2 = c 2 dt 2 −           2
                                     dr − R 2 (t )r 2 dθ 2 − R 2 (t )r 2 sin 2 θ dφ 2
                           1 − kr


                                                                  :‫ی‬        ‫ا‬              ‫ی‬       ‫أ‬   ‫ﻡ د تﺡ‬


                                     1
               Gµν = R µν − Rg µν + Λg µν = − kT µν
                                     2




                     R 2 (t )                                                     1 − kr 2
      A = g11 = −                                                      α =−
                    1 − kr 2                                                      2 R 2 (t )

                                                                                      1
      B = g 22 = − R 2 (t )r 2                                         β =−            2
                                                                                  2 R (t )r 2


                                                                                         1
                                                                       γ =−
      C = g 33 = − R 2 (t )r 2 sin 2 θ                                                 2
                                                                                 2 R (t )r 2 sin 2 θ



      D = g 44 = c 2                                                             1
                                                                       δ=
                                                                                2c 2
134                                               ‫لا ج‬                                           ‫ا‬             ‫ا‬


                                                                                                                       :‫إذن‬
G11 G22 G33       2R
                   ɺɺ  R2
                       ɺ     k
  11
     = 22 = 33 = − 2 − 2 2 − 2 + Λ
g     g    g      Rc  Rc    R

G44    3R 2 3k
         ɺ
     =− 2 2 − 2 +Λ
g 44   Rc    R

                                                                               . ‫لا ﻡ‬      ‫ا‬         ‫ﻡ ا‬           ‫ی‬      ‫آ‬


c‫و‬        ‫ا‬T    ‫ه ا اﺏ‬       ) T = c2 ρ            ‫ آ‬Gµν = 0                     ‫ه ا‬           µ ≠ν                    ‫إذا آ‬

      ‫ی‬    ‫مأ‬    ‫نﺡ‬               ‫أ‬       ‫د‬       ‫وا‬           ‫ه ا اﺏ‬          ‫( إذا و‬         ‫ا‬ρ‫ءو‬            ‫ا‬          ‫ﺱ‬


                                                    8π G
                                      Gµν = −            Tµν
                                                     c4
                                                                                 :         ‫هی ا‬                           ‫ﺱ‬




2R
 ɺɺ    R2
       ɺ     k                                                         8π GP
   2
     + 2 2 + 2 −Λ =0                  ‫ﺹ‬P                   ‫ا‬       −            ‫د ه‬        ‫ه ا‬                 ‫فا ی‬            ‫ا‬
Rc    Rc    R                                                            c4
R2
 ɺ     k Λ 8πρ G
 2 2
     + 2− =
Rc    R  3  3c 2
                                              :                        ‫د ا و‬         ‫ﻡ ا‬       ‫د ا‬         ‫ا‬             ‫إذا‬


                                      R Λc 2 4πρ G
                                      ɺɺ
                                         =   −
                                      R    3   3

                                                       R2
                                                        ɺ     k Λ 8πρ G
                         :                R3            2 2
                                                            + 2− =                         ‫د‬    ‫ا‬               ‫ب‬
                                                       Rc    R  3  3c 2


                                                       2       3
                                                Λc R   8πρ G 3
                               R 2 R + kc 2 R −
                               ɺ                     =      R
                                                  3      3
‫531‬                                                     ‫لا ج‬                                            ‫ا‬         ‫ا‬




                                               ‫ی وي 2 ‪2 RRR + R 3 + kc 2 R − Λc 2 RR‬‬
                                                 ‫‪ɺɺ ɺ‬‬  ‫‪ɺ‬‬          ‫‪ɺ‬‬        ‫‪ɺ‬‬                           ‫فا ی‬       ‫إﺵ ق ا‬


                                                            ‫‪2R‬‬
                                                             ‫‪ɺɺ‬‬    ‫2‪R‬‬
                                                                   ‫‪ɺ‬‬     ‫‪k‬‬
                                               ‫2 ‪RR‬‬
                                               ‫‪ɺ‬‬
                                                               ‫2‬
                                                                 ‫0= ‪+ 2 2 + 2 −Λ‬‬                   ‫د‬    ‫ا‬         ‫ب‬
                                                            ‫‪Rc‬‬    ‫‪Rc‬‬    ‫‪R‬‬

                         ‫‪2R‬‬
                          ‫‪ɺɺ‬‬    ‫2‪R‬‬
                                ‫‪ɺ‬‬     ‫‪k‬‬
                            ‫2‬
                              ‫0 = 2 ‪+ 2 2 + 2 − Λ = 0 ⇒ 2 RRR + R 3 + kc 2 R − Λc 2 RR‬‬
                                                    ‫‪ɺɺ ɺ‬‬  ‫‪ɺ‬‬          ‫‪ɺ‬‬        ‫‪ɺ‬‬
                         ‫‪Rc‬‬    ‫‪Rc‬‬    ‫‪R‬‬


                                                             ‫3 ‪8πρ G‬‬
‫د‬           ‫ی وي‬    ‫إذن ﺕ ﻡ ه ا اﺏ‬           ‫ی وي ﺹ‬               ‫‪R‬‬         ‫ا اﺏ‬            ‫أن ﺕ‬            ‫أن‬        ‫ا نی‬
                                                               ‫3‬
                                                                                                        ‫‪ C‬أي:‬         ‫ﺙﺏ ﻡ‬

                                      ‫′‪ 8πρ G 3 ‬‬   ‫3 ‪8πρ G‬‬
                                      ‫‪‬‬      ‫⇒0= ‪R ‬‬      ‫‪R =C‬‬
                                      ‫3 ‪‬‬       ‫‪‬‬      ‫3‬



                     ‫2‪R‬‬
                      ‫‪ɺ‬‬     ‫‪k Λ 8πρ G‬‬                               ‫3 ‪8πρ G‬‬
        ‫:‬             ‫2 2‬
                          ‫= −2 +‬                        ‫د‬     ‫ا‬          ‫‪R =C‬‬           ‫أي‬              ‫ه ا‬            ‫إذا و‬
                     ‫‪Rc‬‬    ‫‪R‬‬  ‫3‬  ‫2 ‪3c‬‬                                 ‫3‬


                                                    ‫2 2‬
                                             ‫2 ‪ɺ C Λc R − kc‬‬
                                             ‫+ = 2‪R‬‬
                                                 ‫‪R‬‬  ‫3‬


    ‫ی‬          ‫وﻡ‬    ‫ﺕ‬          ‫ی ا‬     ‫ﻡ ا‬             ‫ﻡ إﺱ‬         ‫ﺕ‬     ‫ی ﻡنو‬                   ‫د ا ﺵ‬         ‫ه ه ا‬
‫وﺏ ﺕ ن – واآ ،‬                 ‫ري"‬    ‫ذج " ا‬      ‫ا‬         ‫ا ﻡ‬          ‫د ﺡ ود ا‬           ‫ه ا‬         ‫ا ﻡ.ﺕ‬              ‫ا‬
        ‫ه‬      ‫ف‬          ‫در‬     ‫ا‬     ‫ﻡ ا‬        ‫، ی‬                      ‫د و ا‬        ‫ا‬     ‫د ﺡّ ه‬             ‫ه ﺏ‬
‫د و‬           ‫ﻡ ه ا‬              ‫إﺱ‬     ‫نی‬              ‫ﺵ‬          ‫ی ﻡن ه ك‬        ‫ذج‬                  ‫د وأ ﺏ .‬            ‫ا‬
                                          ‫ﺕ .‬               ‫ذج ا‬    ‫ّﻡ ا‬     ‫ﺕ ه اا‬            ‫ﻡ ی‬          ‫ی‬     ‫ﺡّ ، آ‬
‫631‬                                                      ‫لا ج‬                                             ‫ا‬                ‫ا‬


                 ‫ی ﻡ ن.‬       ‫ﻡ د‬       ‫"‬       ‫ﺕ ‪" k‬‬
                                                  ‫‪ɶ‬‬        ‫ا‬    ‫س‪ k‬ه ﺏ ی ا ﺏ‬              ‫ا‬       ‫ا ﻡ ﺙﺏ‬                        ‫ا‬
‫ا ما ﺡ ا يه ﺱً‬                          ‫ذج ا‬       ‫ا‬     ‫أي 0 = ‪، k‬‬
                                                           ‫‪ɶ‬‬               ‫ءﻡ‬     ‫ی ض إن ا‬                        ‫ﺕ‬    ‫ذج ا‬         ‫ا‬
‫1± = ‪ k‬ﺕ ﺏ‬                      ‫ا ﻡ ا‬           ‫ذج ا‬     ‫0 = ‪.k‬‬       ‫ذج ا ي‬      ‫ه ا‬             ‫ﺕ‬       ‫ذج ا‬             ‫ی ﺏ ا‬
‫ه ان‬              ‫) ‪R 2 (t‬‬    ‫، أي ا ا‬          ‫ﺏ ه ﺕ ﺏ ﻡ‬               ‫‪ɶ‬‬
                                                                  ‫1∓ = ‪ k‬ه ا ا‬                        ‫ا‬       ‫ﺕ‬       ‫ه ا‬
        ‫ﺕ‬    ‫ا‬            ‫ا‬   ‫ذ ن، إذا آ‬        ‫ه ان ا‬    ‫ﻡ س. ﻡ ﻡ ی‬             ‫ءا‬               ‫ذ ن ﻡ وی أﻡ‬                       ‫ا‬
‫ء‬           ‫سا‬        ‫أ ّ‬      ‫، وإذا آ‬     ‫ءﺱ‬         ‫ا ﻡ ﺕ سا‬            ‫ا‬    ‫وب،‬           ‫ا‬               ‫ﻡ‬       ‫أآ‬            ‫ا‬
    ‫ه‬        ‫ا‬         ‫ﺕ ا‬          ‫،‬       ‫ا‬      ‫وب ﻡ ﺱ ﻡ ا‬          ‫ا‬        ‫ﺙﺏ هﺏ ،‬                       ‫ً‬
                                                                                                              ‫. إﺱ دا‬               ‫ﻡ‬
                                                                  ‫آ ن ﻡ ح.‬            ‫ا‬               ‫و ﺕ ا‬                    ‫آ نﻡ‬
‫731‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
‫831‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
139                                         ‫لا ج‬                                              ‫ا‬     ‫ا‬


                                                                                                   1‫ل‬      ‫ا‬
                                                              :‫ح‬       ‫بﻡ ی آّﻡ ه ا‬                        ‫ا‬



                                                              Hyperbolic Paraboloid
          Paraboloid
                                                                    ‫ه‬     ‫ﻡ‬    ‫ﻡ‬
              ‫ﻡ‬    ‫ﻡ‬




           z=
                1
                2
                  (x   2
                           + y2 )                                    z=
                                                                          1
                                                                          2
                                                                              (x   2
                                                                                       − y2 )



                                                                                          :         ‫ا‬     ‫ا‬
                                                                : ‫ی ه‬          ‫ا‬              ‫ی‬   ‫إﺡ اﺙ ت ا‬
                                        x = r cosθ
                                        y = r sin θ


                                                                                                        :‫إذن‬
x = r cosθ ⇒ dx = cosθ dr + r sin θ dθ
y = r sin θ ⇒ dy = sin θ dr − r cosθ dθ

                               ar 2
   a
   2  (       2             2
z = ( r cosθ ) + ( r sin θ ) =
                                2   )
                                    ⇒ dz = ardr

                ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ⇒ ds 2 = (1 + a 2 r 2 ) dr 2 + r 2 dθ 2
140                                           ‫لا ج‬                                                ‫ا‬          ‫ا‬


                                                                              :               ‫ا‬          ‫ا‬             ‫ا‬
، ‫ح ا ورا‬        ‫ﻡ ﻡ ی ا‬         ‫ﺕ‬   ‫ه اآ‬          ‫وﻡ ی هاا‬            ‫دورا‬                   ‫ه ﺱ‬                    ‫هاا‬
  ‫ﺏ‬              ‫(. ﺱ ج ﻡ ی ه ا ا‬saddle-shaped)                    ‫ا‬              ‫ﺏ‬       ‫آ‬           ‫ی فه اا‬
                                                                                                        :‫ی ت‬           ‫ا‬
                                              x=r +θ
                                              y=r −θ
x=r +θ ⇒dx=dr +dθ
y=r −θ ⇒dy =dr −dθ


z=
      a
      2(         2
                           ) 2
        ( r + θ ) + ( r − θ ) ⇒ z = 2arθ ⇒ dz = 2aθ dr + 2ardθ


ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ⇒ ds 2 = ( 2 + 4a 2θ 2 ) dr 2 + 8arθ drdθ + ( 2 + 4a 2 r 2 ) dθ 2


                 g11= grr =2+4a2θ 2
                 g21= gθ r =8arθ      ⇒ ds 2 = g rr dr 2 + gθ r drdθ + gθθ dθ 2
                 g22 = gθθ =2+4a 2r 2


                                                               :‫ی ت‬           ‫ا‬       ‫ﺏ‬           ‫ا ﺱ‬            ‫ی‬     ‫آ‬
                                           x=r coshθ
                                           y=r sinhθ
141                                                ‫لا ج‬                                       ‫ا‬       ‫ا‬


                                                                                                     2‫ل‬    ‫ا‬
                                                                        :       ‫ﺏ اا‬          ‫ّ ا‬     ‫ﻡ د ا‬

                                           z = a ( x2 + y 2 )
                                               1
                                               2

 .      ‫ ﻡ ار ﺙ ﺏ أآ ﻡ ا‬a             ‫ه ا اﺏ‬         .     ‫اا‬      ‫وس‬       ‫ء‬    ‫وإ‬         ‫ء ری‬    ‫بإ‬     ‫ا‬


                             ‫ر ری ن‬        ‫ﻡ ﺥ لﺕ‬         ‫ﺡ‬        ‫ی‬            ‫ﺱ ا‬     ‫ا‬           ‫:ه ﻡ‬   ‫ا‬
                                 : ‫ی ته‬         ‫،ا‬        ‫ا ﺡ اﺙ ا‬                ‫ّ ا‬        ‫ﻡ د ه اا‬
x = r cosθ
y = r sin θ

                        ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = (1 + a 2 r 2 ) dr 2 + r 2 dθ 2


                                                                        1
g11 = 1 + a r  2 2                                        g11 =
                     g 21 = g12 = 0                                1 + a 2r 2          g 21 = g12 = 0
           2                                                        1
g 22 = r                                                  g 22 =
                                                                   r2


          1 ∂g11            a2r
Γ1 =
 11
                    1
                 ⇒ Γ11 =
        2 g11 ∂r         1 + a 2r 2
          1 ∂g11
Γ1 =                1
                 ⇒ Γ12 = Γ1 = 0
 12
        2 g11 ∂θ          21

          1 ∂g 22               r
Γ1 = −
 22
                  ⇒ Γ1 = −
                      22
        2 g11 ∂r            1 + a 2r 2
 2        1 ∂g11     2
Γ11 = −           ⇒ Γ11 = 0
        2 g 22 ∂θ
 2        1 ∂g 22    2      2    1
Γ12 =             ⇒ Γ12 = Γ 21 =
        2 g 22 ∂r                r
          1 ∂g 22
Γ2 =              ⇒ Γ2 = 0
 22
        2 g 22 ∂θ    22
142                                                 ‫لا ج‬                                         ‫ا‬         ‫ا‬


‫ﺏ ا‬        ‫ر ری‬      ‫ر ری ن و ﺕ‬            ‫ﻡ ﺥ لﺕ‬          ‫ﺡ ﺏ‬                 ‫ی‬   ‫ا ورا‬   ‫اا‬            ‫ﺱّ ّ ری‬
                                                                                                          :‫رة‬              ‫ا‬


               ∂Γ2 ∂Γ2                                  
R1212 = g 22     11 −  12 +Γ2 Γ1 +Γ2 Γ2 −Γ 2 Γ1 −Γ2 Γ2 
               ∂θ     ∂r
                            21 11  22 11  11 12   21 12 
                                                         

                  ∂Γ12 2 1 2 2 
                      2
R1212 = g 22  −        +Γ21Γ11−Γ21Γ12 
             
                   ∂r                 
                                       

                  ∂Γ12 2 1 2 2 
                      2                                                    a 2r 2
                        +Γ21Γ11−Γ21Γ12  ⇒ R1212 = r 2  1 + a 2 2 − 1  =
                                                              2       
R1212 = g 22  −
             
                   ∂r                 
                                       
                                                        2
                                                       r   1+a r r 2  1 + a 2 r 2
                                                                       




                           1   a2r 2    a2
R11 = g 22 R1212 = 
                           2     2 2
                                         =   2 2
                         r   1+ a r  1+ a r

                                          2 2
                            1       a r         a2r 2
R22 = g11R1212 = 
                              2 2        2 2
                                                 =
                                                      (
                         1 + a r   1 + a r  1 + a 2r 2             )
                                                                           2




                                                             2                                  
      ij           11           22             1      a        1   a 2r 2                 =   2a 2
R = g Ri j = g R11 + g R22               =       2 2 
                                                                 +
                                                             2 2  2
                                           1 + a r   1 + a r   r   1 + a 2r 2
                                                                                               2 
                                                                                      (    )         (             )
                                                                                                                       2
                                                                                                 1 + a 2r 2
                                                                                                

                                                          2a 2
                                               R=
                                                    (1 + a2r 2 )
                                                                   2




                                                                 :‫ن‬            ‫ه اا‬    ‫ﺡ‬    ‫اا‬       ‫وس‬        ‫ء‬           ‫إ‬
                              1  ∂Γ11 ∂Γ12
                                    s     s
                                                              s 
                            K=       −     + Γ11Γ r 2 − Γ12Γ r1  g s 2
                                               r s        r
                              g  ∂θ    ∂r                       


                                     :       g 21 = g12 = 0 ‫ و ﺏ أن‬s = 1,2 ‫ و‬r = 1, 2 ‫ن‬                   ‫ه اا‬
143                                       ‫لا ج‬                             ‫ا‬      ‫ا‬


        2     2
  1  ∂Γ11 ∂Γ12                                       
K=       −     + Γ1 Γ12 − Γ12Γ11 + Γ11Γ 22 − Γ12Γ 21  g 22
                   11
                      2     1  2     2 2       2 2
  g  ∂θ
           ∂r                                        
                                                      
                                                                                      : ‫ه‬


                       2
                    ∂Γ12
           1                                                1      1     a2      1
K=     2      2 2 
                     −    + Γ11Γ12 − Γ12Γ 2  r 2 ⇒ K = 2
                             1 2      2
                                          21                   2 2  2
                                                                        +    2 2
                                                                                 − 2  r2
      r (1 + a r )  ∂r
                                            
                                                      r (1 + a r )  r 1 + a r r 


                                               a2
                                     K=
                                          (1 + a2r 2 )
                                                         2
144                                                          ‫لا ج‬                                             ‫ا‬            ‫ا‬


                                                                                                                           3‫ل‬   ‫ا‬
                                                                                                :         ‫ﻡ ی زﻡ ن ﺏ ا ا‬
                                         ds 2 = −dx 2 − dy 2 − dz 2 + e−2ax dt 2
                                                                                                 :‫ب‬           ‫ ﻡ ار ﺙ ﺏ . ا‬a
                                           .‫ی‬     ‫ا‬                        ‫ا‬        ‫آ ی‬               ‫آ‬           ‫- أﺡ‬
                                                                               .‫ر ری ن‬          ‫ّ ﻡ ﻡ ﺕ‬                -
                                                                                                 ّ ‫ءا‬              ‫- ا‬
                               .‫ء‬          ‫اا‬           ‫را‬         ‫ﻡ ﻡ ﺕ‬       ‫ی أو‬         ‫أ‬    ‫- ﻡ ﻡ د ﺡ‬
                                                         .‫ء‬        ‫اا‬    x(t )         ‫دی‬       ‫ﻡ د ا‬             ‫- أو‬

                                                           x 4 = t ‫ و‬x3 = z ‫ و‬x 2 = y ‫ و‬x1 = x :‫ض‬


                                                                                 : ‫ه‬                      ‫ا‬            ‫آ ی‬
g11 = −1                  1 ∂g 44
g 22 = −1
                  Γ1 =
                    44            1
                                    ⇒ Γ1 = −ae−2 ax
                                        44
                        2 g11 ∂x
                ⇒
g33 = −1           4        1 ∂g 44      4
                   Γ14 = −            ⇒ Γ14 = − a
          −2 ax           2 g 44 ∂x1
g 44   =e
                
                                                                                       :        ‫ر ری ن و ری‬                ‫ﻡ ﻡ ﺕ‬
                 4            4
       4       ∂Γ14          Γ14
R11 = R141 =         4
                         −     1
                                       + Γ 44Γ11 − Γ 41Γ14
                                           s
                                              s
                                                     s
                                                        s
                                                              ⇒   R11 = R141 = −Γ 41Γ14 = −Γ 41Γ14 = −a 2
                                                                          4
                                                                                  s
                                                                                     s       4 4
                ∂x           ∂x
                                                             4
                                                      R11 = R141 = −a 2


       1        ∂Γ1           Γ1                                                   ∂Γ1                        ∂Γ1
R44 = R414 =      44
                     1
                          −    41
                                   4
                                       + Γ11Γ 44 − Γ1 4 Γ 41 ⇒ R44 = R414 =
                                          s
                                              s
                                                    s
                                                          s           1              44
                                                                                        1
                                                                                            − Γ1 4Γ 41 =
                                                                                               s
                                                                                                    s           44
                                                                                                                   1
                                                                                                                       − Γ1 Γ 41
                                                                                                                          44
                                                                                                                              4
                 ∂x           ∂x                                                    ∂x                            ∂x

                                  1               ∂
                         ⇒ R44 = R414 =              (− ae−2 ax ) − ( − ae−2ax )( − a ) = a 2 e−2 ax
                                                  ∂x
                                                        1
                                                 R44 = R414 = a 2e−2ax
145                                                ‫لا ج‬                                            ‫ا‬        ‫ا‬


                                                                                                  : ّ ‫ءا‬        ‫ا‬
                ij                                                              1
         R = g Ri j ⇒ R = g11R11 + g 44 R44 = (−1)( −a 2 ) + (                 −2 ax
                                                                                         2 −2 ax
                                                                                     )( a e      ) = 2a
                                                                                                        2

                                                                             e

                                                  R = 2a 2
                                                                             :‫ء‬        ‫اا‬             ‫را‬    ‫ﻡ ﻡ ﺕ‬
         Rij − 1 gij R = kTij ⇒ kT44 = R44 − 1 g 44 R = a 2e−2ax − 1 (e−2 ax )(2a 2 ) = 0
               2                             2                     2

                                                  kT = 0
                                                    44




             Rij − 1 gij R = kTij ⇒ kT11 = R11 − 1 g11R = −a 2 − 1 (−1)(2a 2 ) = 0
                   2                             2               2

                                                  kT = 0
                                                    11

                                     .‫ء‬          ‫ه اا‬              ‫ا‬     ‫ر‬         ‫ﺕ‬              ‫ی‬         ‫ه ﻡ ﻡ‬
                                                                                  :‫ء‬        ‫اا‬         ‫دی‬   ‫ﻡ د ا‬
                                         d 2 xk         i
                                                   k dx dx
                                                           j
                                                + Γij        =0
                                          ds 2        ds ds

                                                 dxi dx j
                                           gij            =C
                                                 ds ds
d 2t      dt dx
   2
     − 2a         =0
ds        ds ds
                        2
d 2x       −2 ax  dt 
     − ( ae )   = 0
ds 2              ds 
                                     2             2
    dxi dx j                   dt   dx 
gij          = 1 ⇒ (ae−2 ax )   −   = 1
    ds ds                      ds   ds 
                                                                                                      dx
                                                                                       :‫ إذن‬ν =          ‫ض أن‬
                                                                                                      ds
                dν                                                          2 a ( x − x0 )
            ν      = a (1 +ν 2 ) ⇒ ln(1 +ν 2 ) = 2a ( x − x0 ) ⇒ 1 +ν 2 = e
                ds
                                                        2 a ( x − x0 )
                                           1 +ν 2 = e
146                                              ‫لا ج‬                                               ‫ا‬      ‫ا‬


                                                                                                          4‫ل‬   ‫ا‬
                                                                                  :            ‫ﻡ ی زﻡ ن ﺏ ا ا‬
                               ds 2 = −a 2 (t )(dx 2 + dy 2 + dz 2 ) + dt 2
                                                                                                         :‫ب‬    ‫ا‬
                                                                                               ‫ا‬         ‫آ ی‬
                                                                                      ‫ا‬         ‫ر ری‬       ‫ﻡ ﻡ ﺕ‬
                                                                              ‫ء‬           ‫اا‬            ّ ‫ءا‬   ‫ا‬


                                                                                                :        ‫آ ی‬
                                                 x 4 = t ‫ و‬x3 = z ‫ و‬x 2 = y ‫ و‬x1 = x :‫ض‬

g11 = −a 2 (t )                               1 ∂g11                           1 ∂
                 
                       4           4
                      Γ11 = Γ 4 = Γ33 = −
                              22                       4
                                                            4      4     4
                                                         ⇒ Γ11 = Γ 22 = Γ33 = −      (−a 2 (t ))
                                             2 g 44 ∂x                          2 ∂t
g 22 = −a 2 (t )
                
                 ⇒
g33 = −a 2 (t )                             1 ∂g11                          1     ∂
                     Γ1 = Γ 24 = Γ34 =
                       14
                             2     3                     1      2     3
                                                      ⇒ Γ14 = Γ 24 = Γ34 =            (− a 2 (t ))
g 44 = 1        
                                          2 g11 ∂x 4                        2
                                                                           −a (t ) ∂t


                                         4           4
                                        Γ11 = Γ 4 = Γ33 = aa
                                                22
                                                             ɺ
                                                          aɺ
                                        Γ1 = Γ 2 = Γ3 =
                                         14     24   34
                                                          a




                                                                        :     ‫ر ری ن و ری‬                  ‫ﻡ ﻡ ﺕ‬
            ∂Γ1
                                                        2
                                         ∂ a a
                                              ɺ     ɺ   a
                                                        ɺɺ
R1
 414   =−     41
                 4
                   − Γ1 Γ1 ⇒
                      41 41
                                1
                               R414   = −  −  = −
            ∂x                           ∂t  a   a  a
                                                                 a
                                                                 ɺɺ
                                             2      3
                                       R1 = R424 = R434 = −
                                        414
                                                                 a
147                                                     ‫لا ج‬                              ‫ا‬        ‫ا‬


              4
            ∂Γ11                           ∂
                                              ( aa ) − ( aa )   = aa + 2a 2
                                                          ɺ  a  ɺɺ ɺ
 4                                                             ɺ
R141   =−             4
                   − Γ11Γ1
                         14   ⇒    R1 =
                                    414
                                                 ɺ
            ∂x 4                           ∂t                 a
                                       4      4      4
                                      R141 = R242 = R343 = aa + 2a 2
                                                            ɺɺ ɺ



                                      a
                                      ɺɺ
            2      3
R44 = R1 + R424 + R434 = −3
       414
                                      a
       4
R11 = R141 = aa + 2a 2
              ɺɺ ɺ

       2
R22 = R424 = aa + 2a 2
              ɺɺ ɺ

       4
R33 = R343 = aa + 2a 2
              ɺɺ ɺ
                                                                                          : ّ ‫ءا‬       ‫ا‬
                                                     a
                                                     ɺɺ    a a
                                                            ɺɺ      ɺ 2
R = g R11 + g R22 + g R33 + g R44 = 2 ( aa + 2a ) − 3 = −6   − 6  
       11          22         33       44           3            2
                                         ɺɺ ɺ
                                   −f                a     a a

                                                        a a2 
                                                         ɺɺ ɺ
                                                R = −6  + 2 
                                                       a a 



                                                                                :‫ء‬   ‫اا‬       ‫دی‬   ‫ﻡ د ا‬
                                             d 2 xk         i
                                                       k dx dx
                                                               j
                                                    + Γij        =0
                                              ds 2        ds ds

        d 2t ɺɺɺ dx 2                                                      d 2 x a dt dx
                                                                                  ɺ
             + aa( ) = 0                                                         + (      )=0
        ds 2      ds                                                       ds 2 a ds ds
          2
        d t ɺɺɺ dy 2                                                       d 2 y a dt dy
                                                                                   ɺ
             + aa( ) = 0                                                         + (      )=0
        ds 2      ds                                                       ds  2
                                                                                  a ds ds
          2
        d t ɺɺɺ dz 2                                                       d 2 z a dt dz
                                                                                  ɺ
             + aa( ) = 0                                                         + (     )=0
        ds 2      ds                                                           2
                                                                           ds a ds ds
‫841‬                         ‫لا ج‬                                        ‫ا‬      ‫ا‬


          ‫‪dx dy dz‬‬
‫0‪ t‬إذن:‬     ‫=‬  ‫=‬   ‫ط 0=‬     ‫ه اا‬     ‫) 0‪ ، ( x0 , y0 , z‬ﺕ‬        ‫ا‬   ‫ء ذرة‬     ‫ه اا‬
          ‫‪ds ds ds‬‬
                                                            ‫:‬    ‫فا ی‬       ‫ﻡ ﻡ د تا‬
                     ‫‪d 2t‬‬
                          ‫‪= 0 ⇒ t = t0 + bs‬‬
                     ‫2 ‪ds‬‬
                                                            ‫فا ی :‬          ‫ﻡ ﻡ د تا‬
                                              ‫0‪x = x‬‬
                 ‫‪d 2x d 2 y d 2z‬‬
                     ‫=‬     ‫=‬     ‫0‪= 0 ⇒ y = y‬‬
                 ‫2 ‪ds 2 ds 2 ds‬‬
                                              ‫0‪z = z‬‬



                                          ‫.‬       ‫ﻡ‬             ‫ءﺕ‬   ‫ه اا‬     ‫ه ا رة‬
149                                           ‫لا ج‬                                    ‫ا‬       ‫ا‬


                                                                                              5‫ل‬    ‫ا‬
                                                                                              : ‫ی‬   ‫ا‬
                                  ds 2 = r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )


                                             : ‫ءه‬        ‫اا‬           ‫آ ی‬           ُ
                                                                                ، ‫ی آ ﺕ‬       ‫ﺕ فﺏ‬


                                                     1
                                                                    g11 = r 2
                                                                   
                                      x =φ ‫ و‬x =θ ‫و‬
                                        2
                                                                                2
                                                                                          ‫ی‬   ‫ه ا‬
                                                                    g 22 = r sin θ
                                                                             2
                                                                   
          1 ∂g11
Γ1 =
 11
                  ⇒ Γ1 = 0
                     11
        2 g11 ∂x1
          1 ∂g11
Γ1 =
 12              2
                      1
                   ⇒ Γ12 = Γ1 = 0
                            21
        2 g11 ∂x
            1 ∂g 22
Γ1 = −
 22               1
                    ⇒ Γ1 = − cosθ sin θ
                       22
          2 g11 ∂x
 2          1 ∂g11       2
Γ11 = −             2
                      ⇒ Γ11 = 0
          2 g 22 ∂x
          1 ∂g 22                cosθ
 2
Γ12 =                 2
                   ⇒ Γ12 = Γ 2 =       = cot θ
        2 g 22 ∂x1           21
                                 sin θ
          1 ∂g 22
Γ2 =
 22
                        2
                    ⇒ Γ 22 = 0
        2 g 22 ∂x 2



                                                   :‫ء‬      ‫اا‬    R1212 ‫ر ری ن‬         ‫ﻡ ﺱ ﻡ ﻡ ﺕ‬
          l  ∂Γl
R l = ∂Γik − ij + Γl Γ s − Γl Γ s
 ijk       j       sj ik    sk ij
       ∂x    ∂x k


                                                              2
                                   R1212 = gl 2 R121 = g 22 R121
                                                 l
150                                                          ‫لا ج‬                                                          ‫ا‬       ‫ا‬


              ∂Γ2 ∂Γ2                                   
R1212 = g 22    11 −   12 +Γ2 Γ1 +Γ2 Γ2 −Γ 2 Γ1 −Γ2 Γ2 
                             21 11  22 11  11 12   21 12 
              ∂x     ∂x1
                 2
                                                         

                                         ∂ cosθ           2                  1      cos2 θ 
          R1212 = r 2 sin 2 θ  −           (     ) − Γ 2 Γ12  = r 2 sin 2 θ       −        
                                        ∂θ sin θ                              sin θ sin θ 
                                                        21                         2      2
                                                              



                                                     R1212 = r 2 sin 2 θ
                              1
R11 = g 22 R1212 =                2
                                           r 2 sin 2 θ = 1
                     r sin θ
                         2




R12 = R21 = 0

                     1
R22 = g11R1212 =         2
                             r 2 sin 2 θ = sin 2 θ
                     r
                                                             ‫ء‬        ‫ءه اا‬              ‫إ‬           ‫ءه آ‬             ‫اا‬          ‫ﺱّ ّ ری‬
                      ij                                              1                      1                             2
                R = g Ri j = g11R11 + g 22 R22 =                             ×1 +                     × sin 2 θ =
                                                                     r   2
                                                                                    r sin θ
                                                                                     2           2
                                                                                                                          r2
                                                                     2
                                                             R=
                                                                     r2
، ‫ءآ ﺕ‬      ‫إ‬       ‫رة‬                ‫( ذات ﺏ ُ ی و ه‬manifold)                                   ‫ی ه ﻡ‬            ‫ا‬               ‫ﺱّ ّ ری‬
                                                                                     .               ‫ﻡ ا‬              ‫ا ّا‬                  ‫ا‬


                                  : ‫ه ا اﺏ‬               ‫ق‬       ‫ی‬            ‫ی ا‬                ‫ء‬      ‫ء‬        ‫د ﻡ ا ﺏ د، إ‬           ‫ي‬


                                                        1
                                              Rijkl =      ( g g − gil g jk )
                                                        r 2 ik jl


                      .‫ل‬          ‫اا‬            ‫ه ا اﺏ‬           ‫ﺹ‬            ‫ﺕ‬          ‫ﺙﺏ (ی‬              ‫رة‬        r        ‫ه ا اﺏ‬       )
151                                          ‫لا ج‬                            ‫ا‬    ‫ا‬


                                                                                  6‫ل‬      ‫ا‬
                                                           :‫إن‬   ‫ ﺏ ّه‬l ‫ و‬k ‫ و‬j ‫ و‬i ّ
                                        Rl + Rl + Rl = 0
                                         ijk  kij  jki

                                                                                      :‫ﺏ إن‬

     ∂Γl   ∂Γlij
Rl = ik −j
                                s
                 + Γl Γ s − Γl Γij
                    sj ik
 ijk  ∂x      k              sk
           ∂x
                                                                                       :‫إذن‬
R l + R l + Rl =
  ijk     kij      jki
   ∂Γl      ∂Γl
=      ik − ij + Γl Γ s − Γl Γ s
        j              sj ik      sk ij
    ∂x       ∂x k
   ∂Γl          l
       kj ∂Γ ki        l s        l s
+
    ∂x i −       j + Γ si Γ kj − Γ sj Γki
             ∂x
                l                                                ‫ﺏ ا‬   ‫ا ﺱ‬       ‫ﻡ ا‬
   ∂Γ ji ∂Γ jk
      l
                                                                       ‫ا‬         ‫ا ﺕ‬
                        l s         l s
+         −      i + Γ sk Γ ji − Γ si Γ jk
    ∂x k      ∂x
=0
152                                                   ‫لا ج‬                                        ‫ا‬         ‫ا‬


                                                                                                            7‫ل‬       ‫ا‬
                                               : ‫( ه‬t , r ,θ ,φ ) ‫إﺡ اﺙ آ وي‬                          ‫ءﻡ‬         ‫ﻡ ی‬


ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 − dt 2 ⇒ ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 − dt 2


                                                                         :    ‫ءﺏ اا‬            ‫ﻡ ی ه اا‬          ‫إذا آ‬
ds 2 = e2 β ( r ) dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 − e2α ( r ) dt 2


                                                                              : ‫ی ه‬        ‫ا‬               ‫آ ی‬
Γ4 = α ′
 41                                      Γ1 = e2(α − β )α ′                    Γ1 = β ′
                                                                                11
                                          44
        1                                                                              1
 2
Γ12 =                                    Γ1 = −re2 β
                                          22
                                                                                3
                                                                               Γ13 =
        r                                                                              r
Γ1 = −re2 β sin 2 θ                      Γ33 = − sin θ cosθ
                                          2
                                                                               Γ3 = cot θ
 33                                                                             23




                                      :‫أي‬     ‫ی ا و‬        ‫ی آ‬          ‫ه ا‬     ‫ ﺕ‬α (r ) = β (r ) = 0 ‫إن‬

ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 − dt 2


                                                                         :     ‫ﺏ اا‬            ‫آ ی‬                ‫ﺙ ﺕ‬
Γ4 = 0
 41                                      Γ1 = 0                                Γ1 = 0
                                                                                11
                                          44
 2      1                                                                              1
Γ12 =                                    Γ1 = −r
                                          22
                                                                                3
                                                                               Γ13 =
        r                                                                              r
Γ1 = −r sin 2 θ                          Γ33 = − sin θ cosθ
                                          2
                                                                               Γ3 = cot θ
 33                                                                             23
153                                                     ‫لا ج‬                                         ‫ا‬     ‫ا‬


                                                                                                           8‫ل‬    ‫ا‬
                                                                                                ‫ﻡ ی روﺏ ﺕ ن – واآ‬


                                              dr                                    
                             ds 2 = a 2 (t )        2
                                                       + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2  − dt 2
                                             1 − kr                                 

                                                                                                     :‫ی‬    ‫ه ا‬



       a 2 (t )
g11 =                                       x1 = r
      1 − kr 2
                                            x2 = θ
g 22 = a 2 (t )r 2
                                            x3 = φ
g 33 = a 2 (t )r 2 sin 2 θ
                                            x4 = t
g 44 = −1

                                                                    da
                                                             : ‫ه‬       = a ‫ی إذا آ ن‬
                                                                         ɺ                      ‫ا‬         ‫آ ی‬
                                                                    dt

 4     aaɺ
Γ11 =
     1 − kr 2
Γ 4 = aar 2
  22
       ɺ
 4
Γ33 = aar 2 sin 2 θ
       ɺ


                                              a
                                              ɺ
                  2          3
Γ1 = Γ1 = Γ 2 = Γ 24 = Γ3 = Γ34 =
 41   14    42          43
                                              a

Γ1 = − r (1 − kr 2 )
 22

Γ1 = − r (1 − kr 2 ) sin 2 θ
 33




 2      2     3     3          1
Γ12 = Γ 21 = Γ13 = Γ31 =
                               r

 2
Γ33 = − sin θ cos θ
                cos θ
      3
Γ3 = Γ32 =
 23                   = cot θ
                sin θ
154                                             ‫لا ج‬                                       ‫ا‬       ‫ا‬


                                                             : ‫ه‬                  ‫ا‬     ‫ر ری‬       ‫ﻡ ﻡ ﺕ‬
        aa + 2a 2 + 2k
         ɺɺ ɺ
R11 =
           1 − kr 2

R22 = r 2 (aa + 2a 2 + 2k )
            ɺɺ ɺ


R33 = r 2 (aa + 2a 2 + 2k ) sin 2 θ
            ɺɺ ɺ


            a
            ɺɺ
R44 = −3
            a
                                                                          : ‫ءه‬        ‫اا‬           ‫ﺱّ ّ ری‬


                       ij                                                   6
                 R = g Ri j = g11R11 + g 22 R22 + g 33 R33 + g 44 R44 =        (aa + a 2 + k )
                                                                                 ɺɺ ɺ
                                                                            a2
                                              6
                                         R=      (aa + a 2 + k )
                                                   ɺɺ ɺ
                                              a2
                                                                                               ‫ی‬   ‫رأ‬    ‫ﺕ‬
                                                      1
                                           Gij = Rij − gij R
                                                      2


            1         aa + 2a 2 + 2k 1 a 2 6
                                                     ( aa + a 2 + k )
                       ɺɺ ɺ
G = R11 − g R =                     −                   ɺɺ ɺ
 11         2 11         1 − kr 2     2 1 − kr 2 a 2
        2aa + a 2 + k
          ɺɺ ɺ
G11 = −
          1 − kr 2
                  1                              1 2 2 6
G22 = R22 − g 22 R = r 2 ( aa + 2a 2 + 2k ) −
                            ɺɺ ɺ                   ( a r ) a 2 ( aa + a 2 + k )
                                                                  ɺɺ ɺ
                  2                              2
G22    = − r 2 ( 2aa + a 2 + k )
                    ɺɺ ɺ

          1                                             1 2 2 2
G = R33 − g R = r 2 ( aa + 2a 2 + 2k ) sin 2 θ −
 33       2 33
                       ɺɺ ɺ
                                                        2
                                                          ( a r sin θ ) a62 ( aa + a 2 + k )
                                                                               ɺɺ ɺ

G = −r ( 2aa + a 2 + k ) sin 2 θ
  33
      2
            ɺɺ ɺ
155                                         ‫لا ج‬           ‫ا‬   ‫ا‬


            1            3a 1         6
                              − ( −1) 2 ( aa + a 2 + k )
                           ɺɺ
G44 = R44 − g 44 R = −                     ɺɺ ɺ
            2             a 2        a

       3a 2 3k
         ɺ
G     = 2 + 2
 44     a   a
                           G11 G22 G33      2a a 2 k 
                                              ɺɺ ɺ
                              =    =    = − + 2 + 2 
                           g11 g 22 g33     a a    a 
156                                                  ‫لا ج‬                                          ‫ا‬       ‫ا‬


                                                                                                           9‫ل‬      ‫ا‬
                                                                                       :      ‫ءﺏ اا‬            ‫ﻡ ی‬


                                      ds 2 = e−2φ ( x ) dx 2 − e−2ψ ( x ) dt 2


                                           .       ‫ءﻡ‬         ‫ءه‬         ‫اا‬      φ ( x) = ψ ( x)       ‫ﺡ‬        ‫ﺏ ّه‬

g11 = e−2φ ( x )                                 d                                 d
                                                    φ ( x) = φ ′                      ψ ( x) = ψ ′
g 22 = −e−2ψ ( x )                               dx                                dx


          1 ∂g11
Γ1 =
 11
                 ⇒ Γ1 = −φ ′
                    11
        2 g11 ∂x
          1 ∂g11
Γ1 =
 12
                 ⇒ Γ1 = Γ1 = 0
                    12   21
        2 g11 ∂t
            1 ∂g 22
Γ1 = −
 22
                    ⇒ Γ1 = −ψ ′e2(φ −ψ )
                       22
          2 g11 ∂x
 2          1 ∂g11     2
Γ11 = −             ⇒ Γ11 = 0
          2 g 22 ∂t
          1 ∂g 22
 2
Γ12 =             ⇒ Γ12 = Γ 21 = −ψ ′
                     2      2
        2 g 22 ∂x
          1 ∂g 22
Γ2 =
 22
                  ⇒ Γ2 = 0
                     22
        2 g 22 ∂t


                                   ∂Γ2 ∂Γ2                                  
                     R1212 = g 22    11 −  12 +Γ2 Γ1 +Γ2 Γ2 −Γ 2 Γ1 −Γ2 Γ2 
                                   ∂t     ∂x
                                                21 11  22 11  11 12   21 12 
                                                                             



                     R1212 = −e−2ψ (ψ ′′+ψ ′φ ′−ψ ′2 )
157                                                       ‫لا ج‬                                      ‫ا‬        ‫ا‬


                          1
R11 = g 22 R1212 =
                     −e      −2ψ   ( −e−2ψ (ψ ′′+ψ ′φ ′−ψ ′2 ) ) =ψ ′′ +ψ ′φ ′ −ψ ′2
R12 = R21 = 0

                         1
R22 = g11R1212 =
                     e   −2φ   ( −e−2ψ (ψ ′′+ψ ′φ ′−ψ ′2 ) ) = −e2(φ −ψ ) (ψ ′′+ψ ′φ ′−ψ ′2 )

                                               1
                                                     (ψ ′′ +ψ ′φ ′ −ψ ′2 ) − −e12ψ ( −e2(φ −ψ ) (ψ ′′+ψ ′φ ′−ψ ′2 ) )
      ij
R = g Ri j = g11R11 + g 22 R22 =               −2φ                             −
                                           e


                                                          R=0
158                                             ‫لا ج‬                                     ‫ا‬         ‫ا‬


                                                                                                  10 ‫ل‬     ‫ا‬
                                           :‫ی‬           ‫دی‬          ‫وﻡ د ا‬        ‫آ ی‬             ‫ّ آّﻡ‬
          1 2 1 2
ds 2 =       dx + 2 dy
          y2     y
                                                ‫ا‬            ‫أو ا‬       ‫ﺏﺕ‬         ‫ی ﺏ‬         ‫ﺕ فه ا‬
                                                                                                       :   ‫ا‬
               1
g11 = g 22 =        ‫و‬      g12 = g12 = 0
               y2


                                                                        x2 = y ‫و‬         x1 = x :‫ض‬
          1 ∂g11
Γ1 =
 11
                     1
                  ⇒ Γ11 = 0
        2 g11 ∂x1
 2          1 ∂g11       2    1
Γ11 = −             2
                      ⇒ Γ11 =
          2 g 22 ∂x           y
          1 ∂g11             1
Γ1 =
 12              2
                      1
                   ⇒ Γ12 = −
        2 g11 ∂x             y
 2        1 ∂g 22     2
Γ12 =            1
                   ⇒ Γ12 = 0
        2 g 22 ∂x
            1 ∂g 22
Γ1 = −
 22               1
                    ⇒ Γ1 = 0
                       22
          2 g11 ∂x
          1 ∂g 22              1
Γ2 =
 22               2
                        2
                    ⇒ Γ 22 = −
        2 g 22 ∂x              y

                                                                      : ‫ی ه‬   ‫ا‬              ‫دی‬    ‫ﻡ د ا‬
                                    d 2u k         i
                                              k du du
                                                      j
                                           + Γij        =0
                                     ds 2        ds ds

                                           du i du j
                                       gij           =C
                                           ds ds
                                                                         . ‫ﻡ ار ﺙ ﺏ‬          ‫ه ا اﺏ‬        C
                                                    :   ‫دی‬          ‫ﻡ د تا‬               ‫آ ی‬               ‫ﺡ‬
159                                                 ‫لا ج‬                                        ‫ا‬          ‫ا‬


                                                                          :‫ إذن‬x 2 = y ‫و‬            x1 = x ‫ﺏ أن‬

d 2 x 2 dx dy
     −        =0
dt 2 y dt dt


d 2 x 2 dx dy
     −        =0
dt 2 y dt dt
                2           2
d 2 y 1  dx  1  dy 
     +        −      =0
dt 2 y  dt  y  dt 
        
   1         dx 2  dy 2   2
         2       +     =a
             dt   dt                                                     C              ‫ ﻡ ار ﺙ ﺏ آ‬a2
( y(t ) )                   

                                                                       : ‫ه‬          ‫ا و‬       ‫د ا ﺵ‬        ‫اب ا‬
                                                         dx
                                                  :‫إذن‬      =F ‫ض‬              ‫ و‬t             ‫دا ا‬        ‫رة‬      y
                                                         dt


       dx     dF 2 dy         dF    dy
          =F⇒    =(      )F ⇒    =2    ⇒ ln F = ln y 2 + ln b ⇒ ln F = ln by 2
       dt     dt    y dt       F     y
                                                          dx
                                          F = by 2 ⇒         = by 2
                                                          dt


                                                               :      ‫ا‬         ‫د ا‬       ‫ا‬    ‫اب‬        ‫ه اا‬
                                              2
                                       dy     2 4        2 2
                                       dt  + b y (t ) = a y (t )
                                          

                                                                              : ‫ه‬         ‫د ا ﺵ‬          ‫اب ه ا‬
                                                         ay0
                          y (t ) =
                                     a ⋅ cosh at − a 2 − ( b 2 y 20 ) sinh at




                                                                          ‫د‬     ‫اب ه ا‬              ‫ﺏا‬          ‫ ه‬y0
160                                                        ‫لا ج‬                                                     ‫ا‬            ‫ا‬


                                                                                                                    dx
                                                                                                             :‫إذن‬      = by 2 ‫ﺏ أن‬
                                                                                                                    dt

                                  x(t ) = x0   +
                                                            ( by ) sinh at
                                                                   2
                                                                       0

                                                 a ⋅ cosh at − a − ( b y ) sinh at
                                                                           2        2    2
                                                                                             0


                                                                                                                         . ‫ﺏا‬          x0

                                                                                                  :               x(t ) ‫ و‬y (t )        ‫ﻡ‬
             a x − x0
sinh at =
            by0 y


            by 2 0 − ( x − x0 ) a 2 − b 2 y 2 0
cosh at =
                          by0 y



                  : ‫ه‬             ‫ا‬         ‫ ﻡ ه ا واﺏ و ا‬s ‫ﺡ ف‬                                  ‫ ی‬cosh 2 at − sinh 2 at = 1 ‫ﺏ أن‬


                                                               a2
                                               2
                                      ( x − x0 ) − 2( x − x0 ) 2 − y 2 0 + y 2 = y 2 0
                                                               b

                                                                                                                                       ‫أو‬


                                                                               2
                                                    a2                a2
                                           x − x0 − 2 − y 2 0  + y 2 = 2
                                                    b                 b
                                                              



                                         a2
                              x0 +           − y 20                                      a
                 . ‫آ‬      ‫ا‬              b 2          ‫آ‬     ‫و إﺡ اﺙ ت ا‬                          ‫ه‬                  ‫دا‬      ‫رة‬         ‫ه‬
                                                                                         b
                              0

‫)إن‬    ،      ‫دا ة ﻡ‬          ‫ء ه‬          ‫ها ا‬       ‫دی‬      ‫ﺹ أو‬                      ‫. ا‬x ‫ﻡ ر‬                         ‫آ ﻡ‬         ‫ها ا‬
      ‫ه ا‬           ‫ه دا ة و ﺱ‬               ‫ﺡ آ‬       ‫ء، ن ﻡ‬                      ‫هاا‬                   ‫أ‬                 ‫ك( أو‬        ‫ﻡ‬
                                                      .        ‫إ‬                        ‫ءا‬            ‫ه اا‬   (‫ك‬          ‫)أو ا‬          ‫ا‬
‫161‬                                                                   ‫لا ج‬                                                     ‫ا‬                ‫ا‬


                                                                                                                                           ‫ل 11‬             ‫ا‬
                                                                                                                      ‫دل‬           ‫ء‬            ‫و‬
‫ن ذو ﻡ دة‬                ‫ی ،‬           ‫أ‬        ‫د تﺡ‬         ‫ی‬       ‫دل )‪ (Kurt Godel‬ﺡ‬                 ‫ض آ رت‬                      ‫م 9491‬
‫ت‬                ‫و دﻡ‬                  ‫ذج ا‬          ‫هاا‬          ‫ا ن.‬             ‫ن ﺡ ود 10.0 ﺙ‬              ‫دوارة ، دوران ه ا ا‬
         ‫ا‬         ‫ا‬               ‫ی‬             ‫ء،وهاﺏ‬            ‫هاا‬             ‫ر ﻡ اي‬          ‫ا‬                       ‫ی‬                ‫ا ﻡ نا‬
                                                                                                                                       ‫.‬                ‫ا‬       ‫ا‬


                 ‫آ ا ورا‬           ‫ا‬        ‫ﺕﺙ‬       ‫قا‬                      ‫لوذ‬         ‫هاا‬                      ‫ذج ا‬             ‫هاا‬
‫ر‬            ‫ا‬                 ‫ا‬           ‫ا‬     ‫ﻡ ه و‬            ‫ا ﺹ وا ﻡ ی‬                   ‫ا‬       ‫ﺥص‬                  ‫،وه ﺏ‬                                ‫ا‬
                                                                                                                                                    ‫ا وار.‬


‫ذج‬               ‫هاا‬               ‫ی‬        ‫ُ‬
                                            ‫أ‬    ‫ت و اﺱ‬           ‫ذج و ه ك ﺕ‬       ‫اا‬              ‫ا ی‬            ‫لا‬           ‫هاا‬
         ‫ا‬             ‫یء و‬    ‫ا‬                 ‫ﻡ‬         ‫ذج ا‬      ‫یﺥ ه ا ا‬             ‫،‬            ‫ا‬      ‫ا‬            ‫ما‬              ‫ﺏ ﺥ ّﻡ‬
     ‫ا‬                 ‫ه ا‬     ‫ﺕ ﺵ ﻡ ا‬                    ‫ﺱ تا‬        ‫ا‬        ‫ﺏ‬        ‫ی ﻡ ن. ﺱ‬         ‫ذج‬            ‫أﺥ ه‬                 ‫ا‬                   ‫آ‬
                                                                                                                  ‫.‬            ‫ه اا‬                 ‫ه‬           ‫ﺏ‬


                                                                                   ‫ا ﺏ دﺏ اا‬               ‫ء رﺏ‬                        ‫دل‬               ‫ﻡ ی‬


                                                                          ‫2 ‪e2 x‬‬
                                           ‫+ 2 ‪ds 2 = a 2 (dt 2 − dx‬‬          ‫)‪dy − dz 2 + 2e x dtdy‬‬
                                                                           ‫2‬


                                                                                              ‫0 > ‪ a‬و ﺏ أن:‬                        ‫ی‬            ‫ه ا‬
‫‪ds 2 = g ij dxi dx j‬‬


‫3‪g 13 dx1dx3 + g 31 dx3dx1 ⇒ 2 g 13 dx1dx‬‬
                                                                                                                                                     ‫:‬
162                                                               ‫لا ج‬                                                     ‫ا‬           ‫ا‬


                                            2 g 13 = 2e− x ⇒ g 13 = e− x
                                                                                                                                             :‫إذن‬
                               g11        g 21         g31       g 41                                               
                                                                                     1              0    ex         0
                              g           g 22         g32            
                                                                  g 42              0              −1    0         0
                        gij =  12                                       ⇒ gij = a 2 
                                                                                      x                  e2 x
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                               g13        g 23         g33       g 43              e              0               0
                                                                                                        2           
                               g14        g 24         g34       g 44              0
                                                                                                    0     0         −1
                                                                                                                       

                                                                                                                                       :     ‫وآ‬
                                                   a2         0      a 2e x     0
                                                    0      −a2         0        0         a 8e 2 x
                                       g=                             2e 2 x          =
                                                  a 2e x      0
                                                                    a
                                                                                0            2
                                                                       2
                                                    0         0        0       − a2

                                                                                                                                             :‫إذن‬
          11                          
         g      g 21      g 31   g 41       g11         g 21      g31       g 41  −1                                                      
                                                                                                     −1                       0    2e− x    0
                                           g                                     
          g12   g 22     g 32    g 42                    g 22      g32       g 42              1  0                        −1     0      0
g ij =                                   =  12                                        ⇒ g ij = 2  − x                                      
          13
                 g 23     g 33
                                       
                                  g 43 
                                              g13         g 23      g33       g 43             a  2e                        0    −2e2 x   0
         g                                                                                                                                 
                                                                                                   0                        0      0      −1
          g14
                g 24     g 34    g 44 
                                       
                                              g14         g 24      g34       g 44                                                          




                                                                                                     :‫ی‬          ‫ا‬                  ‫آ ی‬
                                                                                                          : ‫ه‬                          ‫ا‬        ‫ا‬
Γ1 = 1
 12




 1     ex 2
Γ =Γ =
 23       13
       2


 2  e2 x
Γ =
 33
     2

 3
Γ12 = −e− x
163                                           ‫لا ج‬                                     ‫ا‬         ‫ا‬


                                                                        ∂
                                               :        i =1 ‫ى‬     ‫ﻡ‬       =0              ‫آ ی‬
                                                                       ∂xi
                                          ∂ 2
                                  Rij =      Γij + Γ1 − Γtsi Γtj
                                                    ij
                                                              s
                                          ∂x




                                                        : ‫ه‬             ‫ا‬       ‫ر ری‬        ‫إذن ﻡ ﻡ ﺕ‬
R11 = 1

R13 = R31 = e x

R33 = e 2 x
                                                                       : ‫ءه‬      ‫اا‬              ‫ری‬   ّ‫ﺱ‬


                   R = g ij Rij ⇒ R = g11R11 + g13 R13 + g 31R31 + g 33 R33


                        1     2e− x x 2e− x x 2e−2 x 2 x 1
                  R = − 2 ×1 + 2 × e + 2 × e − 2 × e = 2
                       a       a       a       a         a


                                                   1
                                             R=
                                                   a2
164                                               ‫لا ج‬                                               ‫ا‬        ‫ا‬


                                                                    e2 x 2
  :      ‫ﺏ اا‬       ‫ ه أﺡ ً ﺕ‬ds 2 = a 2 (dt 2 − dx 2 +                  dy − dz 2 + 2e x dtdy) ‫دل‬                 ‫ﻡ ی‬
                                                                     2


                                                  2ω x
                                             e2                                   2ω x
                      ds 2 = dt 2 − dx 2 +               dy 2 − dz 2 + 2e                dtdy
                                                  2


                                                             ‫ا اوی‬           ‫ﺱ‬             ُ
                                                                                         ّ ‫،ی‬             ‫ﺙﺏ ﻡ‬ω


                                                         :        ‫ﺏ اا‬       ‫ا‬     ‫ا ﺡ اﺙ ت ا ﺱ‬           ‫ی‬       ‫ه ا‬


             ds 2 = 4a 2 (dt 2 − dr 2 − dy 2 + (sinh 4 r − sinh 2 r )dφ 2 + 2 2 sinh 2 rdφ dt )

                                                                                                     :‫ی‬       ‫ه ا‬
r≥0

0 ≤ φ ≤ 2π


T ij = ρ u iu j ‫ه‬       ‫هاا‬             ‫را‬        ‫ﺙﺏ ،ﺕ‬             ‫ر ذو آ‬               ‫رة‬     ‫دل‬                ‫ا دة‬
                                     1
‫ا ذﺏ ا م‬        ‫ ﺙﺏ‬G ‫ و‬ρ=                         ‫.آ‬              ‫ ا‬ui ‫ و‬u j ‫و‬                  ‫ا‬ρ‫ر‬           ‫هاا‬
                                  8π Ga 2
                                                              1
                                                  .Λ = −              ‫ه‬          ‫ه اا‬            ‫ﺕ ،وا ﺏ ا‬
                                                             2a 2
‫561‬                                                  ‫لا ج‬                                               ‫ا‬                   ‫ا‬


                                                                                                                            ‫:‬        ‫ﺕ‬
                                                                                 ‫:‬         ‫ی ﺏ اا‬                   ‫أ‬           ‫ﻡ ی‬
                                         ‫‪dr‬‬
                           ‫− = 2 ‪ds‬‬          ‫2‬
                                               ‫2 ‪− r 2 dθ 2 − r 2 sin 2 θ dφ 2 + c 2 dt‬‬
                                      ‫‪1 − kr‬‬
                                                       ‫ء، ﺙ ﺏ ّه :‬          ‫ه اا‬          ‫دی‬        ‫ﻡ د تﻡ ر‬                        ‫أو‬


                                                                                                        ‫‪π‬‬
                            ‫د :‬       ‫ه ا‬              ‫دی‬      ‫تﻡ را‬             ‫قﻡ‬            ‫=‪θ‬ﺕ‬                              ‫ا‬
                                                                                                        ‫2‬


                                            ‫2‬
                                  ‫‪ dr ‬‬    ‫2‬        ‫2‬      ‫2‬
                                  ‫‪‬‬    ‫)1 − ‪ = r (1 − λ r )( µ r‬‬
                                  ‫‪ dφ ‬‬

                                                                                          ‫‪ µ‬ﺙﺏ .‬                ‫د‬           ‫ه ا‬
                                                                                          ‫1‬
    ‫ء‬       ‫ﺵ ع ا‬      ‫د ا ﺹ أن ﻡ‬                    ‫ﻡ ﺕ ﻡ ا‬            ‫= 2 ‪ r‬ﺙ أﺱ‬                  ‫د‬       ‫ا‬           ‫ه‬
                                                                                          ‫‪ν‬‬
                                                                                                                    ‫‪π‬‬
                                                        ‫ه :‬      ‫،ﻡ د‬            ‫إه‬            ‫رة‬       ‫=‪θ‬‬                           ‫ا‬
                                                                                                                    ‫2‬


                                                ‫1 = 2 ‪λ x 2 +ν y‬‬


                                                                 ‫د ‪ x‬و ‪ y‬إﺡ اﺙ ت ا رﺕ ی .‬                                   ‫ه ا‬
                  ‫‪2π‬‬
‫ه‬       ‫)‬    ‫ﺙ‬         ‫ه‬       ‫هاا ه‬             ‫ﻡ‬      ‫ﺕ ن‬        ‫أن ا ﻡ ن ا زم ورة واﺡ ة ی وره‬                                    ‫أﺙ‬
                 ‫‪c λ‬‬
                                                                                      ‫ء(.‬           ‫ا‬           ‫‪c‬ﺱ‬              ‫ا اﺏ‬
‫661‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
167                              ‫لا ج‬                                 ‫ا‬      ‫ا‬


                    ‫ﺽ وا‬         ‫وا‬                ‫تا‬       ‫أه ا ﺹ‬          ‫ﺏ‬

                             ‫ا‬                            ‫ا‬
                General Relativity Glossary
                            (‫ي‬        ‫ﺏ -إ‬     )

  Dilation of time                                                     ‫إﺕ ع ا ﻡ‬
  Summation convention                                                    ‫ا‬      ‫إﺕ‬
  Doppler effect                                                          ‫أﺙ دوﺏ‬
  Compton effect                                                      ‫أﺙ آ ﻡ ن‬
  Parallel displacement                                              ‫إزاﺡ ﻡ ازی‬
  Fundamentalist                                                               ‫أﺹ‬
  Even horizon                                                         ‫أ ا ث‬
  Agree posteriori                               ‫ا ﺕ ق ا ﺡ أو ﻡ ی ﺕ ﺏ ا ﺏ‬
  Agree priori                                       ‫ا ﺏ‬      ‫أو ﻡ‬       ‫ا ﺕ قا‬
  Aether                                                                       ‫ا ﺙ‬
  Coordinate                                                           ‫ا ﺡ اﺙ ت‬
  Coordinate surface                                                 ‫ا ﺡ اﺙ ت ا‬
  Gravitational red shift                                  ‫اء ﺏ ذﺏ‬      ‫ا زاﺡ ا‬
  Parallel transpotr                                              ‫ل ا ازي‬         ‫ا‬
  Big Bang                                                              ‫را‬        ‫ا‬
  Torsion                                                                    ‫أ اء‬
  Space warp                                         ‫ء‬   ‫ء أو أ اء ا‬       ‫أ اء ا‬
  First fundamental form                                     ‫ا ﺱ ﺱ ا ول‬           ‫ا‬
  Second fundamental form                                        ‫ا ﺱﺱ ا‬           ‫ا‬
  Curvature                                                        ‫إ ء أو ﺕ س‬
  Geodesic curvature                                                ‫إ ء دی‬
  Ricci curvature                                                       ‫إ ء ری‬
  Scalar curvature                           ّ‫إ ء ﻡ س أو إ ء ﺱّ أو ﺕ س ﺱ‬
  Fitzgerald contraction                                         ‫ا‬        ‫أ ض‬
  Contraction                                             ‫- أد م‬      ‫ا ش–ﺕ‬
  Elliptic                                                                      ‫إه‬
  Dimension                                                                       ُ
                                                                                  ‫ﺏ‬
  Bolyai                                                                          ‫ﺏ‬
  Evidence                                                                      ّ‫ﺏ‬
168                            ‫لا ج‬         ‫ا‬        ‫ا‬


  Affinity                                                  ‫ﺕ‬
  Affine                                                    ‫ﺕ‬
  Divergence                                                ‫ﺕ‬
  Lorentz transformation                     ‫ﺕ ی ت ری‬
  Skew- symmetric                                 ‫ا‬         ‫ﺕ‬
  skew-symmetric                                  ‫ا‬         ‫ﺕ‬
  Gradient                                               ‫ر‬
                                                       ‫ﺕ ّج‬
  Connection                                            ‫ﺕ اﺏ‬
  Superposition                                         ‫ﺕ اآ‬
  Quadratic                                               ‫ﺕ ﺏ‬
  simultaneity                                          ‫ﺕ اﻡ‬
  Synchronization                                       ‫ﺕ اﻡ‬
  Synchronization of clocks              ‫ت‬          ‫ﺕ اﻡ ا‬
  Gravitational acceleration                ‫ﺕ رع ا ذﺏ‬
  Rectification                                             ‫ﺕ‬
  Apriori cincept                                    ‫ﺕ ر‬
  Congruence                                            ‫ﺕ ﺏ‬
  Mapping                                               ‫ﺕ ﺏ‬
  Acceleration                                              ‫ﺕ‬
  Differential                                              ‫ﺕ‬
  Contradiction                        ‫ر‬      ‫ا‬             ‫ﺕ‬
  Equivalence                                               ‫ﺕ‬
  Equivalence of mass                                ‫ا‬      ‫ﺕ‬
  Mass – Energy equivalence               ‫وا‬         ‫ا‬      ‫ﺕ‬
  Homology                                               ‫ﺕ ﺙ‬
  Representation                             ‫ﺕ أو ة‬
  Spherically symmetric                      ‫آ وي‬           ‫ﺕ‬
  Contradiction                                             ‫ﺕ‬
  Consistency                                          ‫ﺕ اؤم‬
  Curvature tensor                       ‫ء‬        ‫ﺕ را‬
  Einstein’s tensor                         ‫ﺕ رأ ی‬
  tensor                                   ‫ﺕ ر أو ﻡ ﺕ‬
  Levi-Civita tensor                  ‫ﺕ ر يﺵ وی‬
  Metric tensor                             ‫ﺕ رﻡ ي‬
  Gravitational constant                       ‫ﺙ ﺏ ا ذﺏ‬
  Cosmical constant                                  ‫ﺙﺏ آ‬
  Black hole                                     ‫ﺙ أﺱ د‬
169                         ‫لا ج‬                 ‫ا‬        ‫ا‬


  Wormhole                                            ‫دودي‬      ‫ﺙ‬
  Gravity                                                   ‫ذﺏ‬
  Scalar product                                       ُ
                                                      ّ‫اء ﺱ‬
  Gravitational potential                          ‫ا ذﺏ‬
  Potential                                     ‫أو آ ن‬
  Geodesic                                ‫دی أو ﻡ ﺹ‬
  Event                                            ‫ﺡ دﺙ - وا‬
  Bounded                                                  ‫ﺡ ّي‬
  Kinetic                                                   ‫ﺡ آ‬
  Tensor calculus                            ‫ر‬        ‫ﺡ با‬
  Perihelion                                                    ‫ﺡ‬
  Conservation                                                  ‫ﺡ‬
  Gravitational field                              ‫ﺡ ا ذﺏ‬
  Einstein field                                   ‫ﺡ أ ی‬
  Tensor field                                ‫ﺡ ﺕ ري‬
  Invariant field                                    ‫ﻡ‬          ‫ﺡ‬
  Vector field                                           ‫ﺡ ﻡ‬
  Field due to                               ‫ﺡ ﻡ ﺕ ب‬
  Absurd statement                             ‫ﻡ ل‬              ‫ﺡ‬
  Property                                           ‫ﺥ ﺹ‬
  World- line                                                   ‫ﺥ‬
  Osculation circle                          ‫ق‬           ‫دا ة ا‬
  Kronecker delta                                     ‫د آ و‬
  Curl                                                   ‫دوران‬
  Ricci                                                        ‫ری‬
  Aberation of light               ‫ء‬   ‫زی ا ء أو إ اف ا‬
  Velocity                                                      ‫ﺱ‬
  Umbilical                                                     ُ
                                                             ‫ﺱ ّی‬
  Saddle surface                                      َ
                                                      ‫ﺱ ﺱ‬
  Catenoid                                    ‫ا‬       ‫ﺱ ﺱ‬
  Helicoid                                                      ‫ﺱ‬
  Pseudoplane                                          ‫ﺵ ﺹ‬
  Pseudosphere                                            ‫ﺵ آ‬
  Electrical intensity                      ‫ا ﺏ‬            ‫ﺵ ًة ا‬
  Magnetic intensity                             ‫ا‬         ‫ﺵ ًة ا‬
  Radiation                                      ‫ﺵ ع أو أﺵ‬
  Sirius                                             ‫ﺵ ي ا‬
170                               ‫لا ج‬              ‫ا‬      ‫ا‬


  Schwarzschild                                         ‫ﺵ ارﺕ ﺵ‬
  Energy
  Centrifugal                                        ‫دﻡ آ ي‬
  Axiomatic method                               ‫ﺕ‬       ‫ی ﻡ‬
  Phenomenon                                               ‫ه ة‬
  Gravitational lens                                 ‫ﺱ ا ذﺏ‬
  Momentum                                ‫م – زﺥ – آ ا آ‬
  Christoffel symbols                    ‫- رﻡ زآ ی‬     ‫آ ی‬
  Element                                 ‫- أﺹ آ ب إ س‬
  Defect                                           ‫ن‬      ‫أو‬
  Graviton                                              ‫ا ن‬
  Excess
  Interval                                                   ‫ﺹ‬
  Mass less                                                 ‫ا‬
  Space                                                    ‫ء‬
  Space – time                              ‫ء - زﻡ ن أو زﻡ ن‬
  Euclidean space                                    ‫ءإ ي‬
  Riemannian space                                      ‫ء ری‬
  Physical space                                       ‫ء ی‬
  Non- Euclidean space                            ‫ء إ ي‬
  Absolute future                                        ‫ءﻡ‬
  Ultra – ideal                                            ‫قا‬
  Hypersphere                                              ‫قآ‬
  Einstein’s law of gravitation              ‫ی‬       ‫ن ا ذﺏ‬
  Galilean law of inertia                                 ‫نا‬
  Biot- Savart law                               ‫ن ﺏ ﺱ وار‬
  Force                                                       ّ
  Mass                                                        ‫آ‬
  Mass inertial                               ‫ا‬    ‫-ا‬    ‫آ ا‬
  Massive mass                                                ‫آ‬
  Galactic mass                                       ّ
                                                      ‫آ ﻡ ی‬
  Density                                                     ‫آ‬
  Quantum                                          ‫آ ّ أو ا ا م‬
  Universe                                                ‫آ ن‬
  Invariant                                                ‫ﻡ‬
  Infinite                                              ‫ﻡ ه‬
  Helix
171                                 ‫لا ج‬     ‫ا‬          ‫ا‬


  Absolute past                                     ‫ﻡ‬               ‫ﻡ‬
  Principle of equivalence                               ‫أا‬         ‫ﻡ‬
  General principle of relativity          ‫ا ﻡ‬           ‫أا‬         ‫ﻡ‬
  Special principle of relativy            ‫ا ﺹ‬             ‫أ‬        ‫ﻡ‬
  Machs principle                                   ‫أﻡخ‬             ‫ﻡ‬
  Curvature vector                          ‫ء‬        ‫ا‬              ‫ﻡ‬
  Coaxial                                    ‫ور‬        ‫ا‬            ‫ﻡ‬
  Metric                                                  ‫ی‬         ‫ﻡ‬
  Isogonal                                   ‫وای‬   ‫وي ا‬             ‫ﻡ‬
  Equidistance                               ‫ﺹ‬     ‫وي ا‬             ‫ﻡ‬
  Isoareal                                  ‫ﺡ‬      ‫وي ا‬             ‫ﻡ‬
  Bianchi identity                                 ‫ﺏ ﺏ‬              ‫ﻡ‬
  Orthogonal                                             ‫ﻡ‬          ‫ﻡ‬
  Variable                                                          ‫ﻡ‬
  Isometric                                                 ‫ی‬       ‫ﻡ‬
  Equivalent                                                        ‫ﻡ‬
  Manifold                                        ُ
                                                ّ ‫-ﻡ‬        ّ       ‫ﻡ‬
  Controversial                                   ‫ل‬                 ‫ﻡ‬
  paraboloid                                           ‫ّ ﻡ‬          ‫ﻡ‬
  Conform                                                           ‫ﻡ‬
  Conformal                                ‫–ﺡ ظا‬                    ‫ﻡ‬
  Local                                                             ‫ﻡ‬
  Paradox                                                       ً   ‫ﻡ‬
  Contravariant                                                     ‫ﻡ‬
  Light cone                                ‫ء‬      ‫وط ا‬             ‫ﻡ‬
  Conoid                                              ‫و‬             ‫ﻡ‬
  Orbit                                                ‫ار‬           ‫ﻡ‬
  Observer                                         ‫ا أو‬             ‫ﻡ‬
  Order                                                  ‫ﺕ‬          ‫ﻡ‬
  Component                                        ‫آ أو‬ ّ           ‫ﻡ‬
  Rectilinear                                                       ‫ﻡ‬
  Flat                                                      ّ       ‫ﻡ‬
  Postulate                                                     ّ   ‫ﻡ‬
  Trajectory                                                        ‫ﻡ‬
  Derivative                                                        ‫ﻡ‬
  Assertion                                             ‫د‬           ‫ﻡ‬
  Equation of continuity                               ‫د ا‬          ‫ﻡ‬
172                        ‫لا ج‬        ‫ا‬       ‫ا‬


  Tensor equation                      ‫ری‬   ‫ﻡ د ﺕ‬
  Coexistence                                        ‫ﻡ‬
  Fallacy                                            ‫ﻡ‬
  Asymptotic                                  ‫ﻡ رب‬
  Parabolic                                          ‫ﻡ‬
  Discriminant                                 ‫ﻡ ّ ة‬
  Curve rectifiable               ‫ﻡ ه ا ل‬            ‫ﻡ‬
  Catenary                                  ‫ا‬        ‫ﻡ‬
  Minkowski                                          ‫ﻡ‬
  Covariant                              ّ         ‫ﻡ ا‬
  Axiom                                              ‫ﻡ‬
  System                                         ‫م‬
  Ideal point                                 ‫ﻡ‬
  Model                                       ‫ذج‬
  Incidence geometry                 ‫ه ﺱ ا ع‬
  Non-Euclidean geometry             ‫ه ﺱ إ ی‬
  Elliptic geometry                        ‫ه ﺱ إه‬
  Affine geometry                           ‫ه ﺱ ﺕ‬
  Intrinstic geometry                     ‫ه ﺱ ذاﺕ‬
  Parabolic geometry                       ‫ه ﺱ ﺵ‬
  Pan - geometry                      ‫ﻡ‬         ‫ه ﺱ‬
  Spherical geometry                   ‫ه ﺱ آ وی‬
  Absolute geometry                         ‫ه ﺱ ﻡ‬
  Hyperbolic geometry                      ‫ه ﺱ ه‬
  Inertial frame                   ‫ا‬     ‫ه أو ﻡ‬
  Existential                                ‫و دي‬
  Unit                                          ‫وﺡ ة‬
  Parametric                          ‫أو ﻡ‬         ‫وﺱ‬
173                                  ‫لا ج‬                                ‫ا‬        ‫ا‬


                        ‫ﺽ وا‬         ‫وا‬             ‫تا‬        ‫أه ا ﺹ‬              ‫ﺏ‬

                                ‫ا‬                            ‫ا‬
                  General Relativity Glossary
                               ( ‫ﺏ‬        -‫ي‬   ‫)إ‬

  Aberation of light                                     ‫ء‬       ‫اف ا‬   ‫ء أو إ‬     ‫ا‬   ‫زی‬
  Absolute future                                                                 ‫ءﻡ‬
  Absolute geometry                                                              ‫ﺱ ﻡ‬‫ه‬
  Absolute past                                                                  ‫ﻡ‬  ‫ﻡ‬
  Absurd statement                                                       ‫ل‬       ‫ﻡ‬  ‫ﺡ‬
  Acceleration                                                                       ‫ﺕ‬
  Aether                                                                          ‫ا ﺙ‬
  Affine                                                                             ‫ﺕ‬
  Affine geometry                                                             ‫ه ﺱ ﺕ‬
  Affinity                                                                           ‫ﺕ‬
  Agree posteriori                                  ‫ﺏ‬     ‫ا ﺕ ق ا ﺡ أو ﻡ ی ﺕ ﺏ ا‬
  Agree priori                                           ‫ا ﺏ‬      ‫أو ﻡ‬        ‫ا ﺕ قا‬
  Apriori cincept                                                               ‫ﺕ ر‬
  Assertion                                                                     ‫ﻡ د‬
  Asymptotic                                                                    ‫ﻡ رب‬
  Axiom                                                                             ‫ﻡ‬
  Axiomatic method                                                  ‫ﺕ‬         ‫ی ﻡ‬
  Bianchi identity                                                           ‫ﻡ ﺏ ﺏ‬
  Big Bang                                                                   ‫را‬      ‫ا‬
  Biot- Savart law                                                    ‫ن ﺏ ﺱ وار‬
  Black hole                                                                ‫ﺙ أﺱ د‬
  Bolyai                                                                             ‫ﺏ‬
  Bounded                                                                        ‫ﺡ ّي‬
  Catenary                                                                    ‫ا‬     ‫ﻡ‬
  Catenoid                                                              ‫ا‬     ‫ﺱ ﺱ‬
  Centrifugal                                                             ‫دﻡ آ ي‬
  Christoffel symbols                                       ‫- رﻡ زآ ی‬       ‫آ ی‬
  Coaxial                                                                ‫ﻡ ا ور‬
  Coexistence                                                                       ‫ﻡ‬
174                               ‫لا ج‬                ‫ا‬        ‫ا‬


  Component                                               ‫ﻡ آ أو‬ّ
  Compton effect                                      ‫أﺙ آ ﻡ ن‬
  Conform                                                           ‫ﻡ‬
  Conformal                                       ‫–ﺡ ظا‬             ‫ﻡ‬
  Congruence                                                    ‫ﺕ ﺏ‬
  Connection                                                     ‫ﺕ اﺏ‬
  Conoid                                                      ‫ﻡ و‬
  Conservation                                                      ‫ﺡ‬
  Consistency                                                  ‫ﺕ اؤم‬
  Contraction                             ‫- أد م‬       ‫ا ش–ﺕ‬
  Contradiction                                ‫ر‬      ‫ا‬              ‫ﺕ‬
  Contradiction                                                      ‫ﺕ‬
  Contravariant                                                     ‫ﻡ‬
  Controversial                                         ‫ل‬           ‫ﻡ‬
  Coordinate                                            ‫ا ﺡ اﺙ ت‬
  Coordinate surface                                  ‫ا ﺡ اﺙ ت ا‬
  Cosmical constant                                          ‫ﺙﺏ آ‬
  Covariant                                             ّ         ‫ﻡ ا‬
  Curl                                                       ‫دوران‬
  Curvature                                        ‫إ ء أو ﺕ س‬
  Curvature tensor                                ‫ء‬       ‫ﺕ را‬
  Curvature vector                                 ‫ء‬       ‫ا‬        ‫ﻡ‬
  Curve rectifiable                           ‫ﻡ ه ا ل‬               ‫ﻡ‬
  Defect                                           ‫ن‬       ‫أو‬
  Density                                                           ‫آ‬
  Derivative                                                        ‫ﻡ‬
  Differential                                                       ‫ﺕ‬
  Dilation of time                                      ‫إﺕ ع ا ﻡ‬
  Dimension                                                          ُ
                                                                     ‫ﺏ‬
  Discriminant                                                ‫ﻡ ّ ة‬
  Divergence                                                         ‫ﺕ‬
  Doppler effect                                            ‫أﺙ دوﺏ‬
  Einstein field                                        ‫ﺡ أ ی‬
  Einstein’s law of gravitation             ‫ی‬         ‫ن ا ذﺏ‬
  Einstein’s tensor                                  ‫ﺕ رأ ی‬
  Electrical intensity                           ‫ا ﺏ‬           ‫ﺵ ًة ا‬
  Element                                ‫- أﺹ آ ب إ س‬
175                                 ‫لا ج‬            ‫ا‬        ‫ا‬


  Elliptic                                                     ‫إه‬
  Elliptic geometry                                       ‫ه ﺱ إه‬
  Energy
  Equation of continuity                                 ‫ﻡ د ا‬
  Equidistance                                      ‫ﻡ وي ا ﺹ‬
  Equivalence                                                  ‫ﺕ‬
  Equivalence of mass                                     ‫ا‬    ‫ﺕ‬
  Equivalent                                                  ‫ﻡ‬
  Euclidean space                                    ‫ءإ ي‬
  Even horizon                                        ‫أ ا ث‬
  Event                                               ‫ﺡ دﺙ - وا‬
  Evidence                                                    ّ‫ﺏ‬
  Excess
  Existential                                              ‫و دي‬
  Fallacy                                                          ‫ﻡ‬
  Field due to                                    ‫ﺡ ﻡ ﺕ ب‬
  First fundamental form                     ‫ا ﺱ ﺱ ا ول‬            ‫ا‬
  Fitzgerald contraction                        ‫ا‬          ‫إ ض‬
  Flat                                                       ّ ‫ﻡ‬
  Force                                                          ّ
  Fundamentalist                                               ‫أﺹ‬
  Galactic mass                                         ّ
                                                        ‫آ ﻡ ی‬
  Galilean law of inertia                                   ‫نا‬
  General principle of relativity               ‫ا ﻡ‬          ‫ﻡ أا‬
  Geodesic                                    ‫دی أو ﻡ ﺹ‬
  Geodesic curvature                                ‫إ ء دی‬
  Gradient                                                     ‫ر‬
                                                             ‫ﺕ ّج‬
  Gravitational acceleration                       ‫ﺕ رع ا ذﺏ‬
  Gravitational constant                              ‫ﺙ ﺏ ا ذﺏ‬
  Gravitational field                                  ‫ﺡ ا ذﺏ‬
  Gravitational lens                                 ‫ﺱ ا ذﺏ‬
  Gravitational potential                              ‫ا ذﺏ‬
  Gravitational red shift                  ‫اء ﺏ ذﺏ‬        ‫ا زاﺡ ا‬
  Graviton                                               ‫ا ن‬
  Gravity                                                     ‫ذﺏ‬
  Helicoid                                                        ‫ﺱ‬
  Helix
176                           ‫لا ج‬               ‫ا‬          ‫ا‬


  Homology                                                      ‫ﺕ ﺙ‬
  Hyperbolic geometry                                  ‫ه ﺱ ه‬
  Hypersphere                                             ‫قآ‬
  Ideal point                                             ‫ﻡ‬
  Incidence geometry                             ‫ه ﺱ ا ع‬
  Inertial frame                             ‫ا‬        ‫ه أو ﻡ‬
  Infinite                                               ‫ﻡ ه‬
  Interval                                                    ‫ﺹ‬
  Intrinstic geometry                                 ‫ه ﺱ ذاﺕ‬
  Invariant                                                    ‫ﻡ‬
  Invariant field                                      ‫ﻡ‬          ‫ﺡ‬
  Isoareal                                     ‫ﻡ وي ا ﺡ‬
  Isogonal                                      ‫ﻡ وي ا وای‬
  Isometric                                                   ‫ﻡ ی‬
  Kinetic                                                     ‫ﺡ آ‬
  Kronecker delta                                       ‫د آ و‬
  Levi-Civita tensor                       ‫ﺕ ر يﺵ وی‬
  Light cone                                   ‫ﻡ وط ا ء‬
  Local                                                           ‫ﻡ‬
  Lorentz transformation                          ‫ﺕ ی ت ری‬
  Machs principle                                       ‫ﻡ أﻡخ‬
  Magnetic intensity                               ‫ا‬        ‫ﺵ ًة ا‬
  Manifold                                          ُ
                                                 ّ ‫ﻡ ّ -ﻡ‬
  Mapping                                                      ‫ﺕ ﺏ‬
  Mass                                                            ‫آ‬
  Mass – Energy equivalence                    ‫وا‬         ‫ا‬        ‫ﺕ‬
  Mass inertial                          ‫ا‬     ‫-ا‬           ‫آ ا‬
  Mass less                                                  ‫ا‬
  Massive mass                                                    ‫آ‬
  Metric                                                      ‫ﻡ ی‬
  Metric tensor                                   ‫ﺕ رﻡ ي‬
  Minkowski                                                       ‫ﻡ‬
  Model                                                   ‫ذج‬
  Momentum                           ‫آ‬   ‫م – زﺥ – آ ا‬
  Non- Euclidean space                         ‫ء إ ي‬
  Non-Euclidean geometry                        ‫ه ﺱ إ ی‬
  Observer                                            ‫ﻡ ا أو‬
177                          ‫لا ج‬                          ‫ا‬          ‫ا‬


  Orbit                                                                 ‫ﻡ ار‬
  Order                                                                  ‫ﻡ ﺕ‬
  Orthogonal                                                           ‫ﻡ ﻡ‬
  Osculation circle                                        ‫ق‬         ‫دا ة ا‬
  Pan - geometry                                             ‫ﻡ‬         ‫ه ﺱ‬
  Parabolic                                                                 ‫ﻡ‬
  Parabolic geometry                                             ‫ه ﺱ ﺵ‬
  paraboloid                                                      ‫ﻡ ّ ﻡ‬
  Paradox                                                                ً ‫ﻡ‬
  Parallel displacement                                      ‫إزاﺡ ﻡ ازی‬
  Parallel transpotr                                      ‫ل ا ازي‬            ‫ا‬
  Parametric                                                 ‫أو ﻡ‬         ‫وﺱ‬
  Perihelion                                                                ‫ﺡ‬
  Phenomenon                                                         ‫ه ة‬
  Physical space                                               ‫ء ی‬
  Postulate                                                              ّ ‫ﻡ‬
  Potential                                                 ‫أو آ ن‬
  Principle of equivalence                                             ‫ﻡ أا‬
  Property                                                        ‫ﺥ ﺹ‬
  Pseudoplane                                                      ‫ﺵ ﺹ‬
  Pseudosphere                                                        ‫ﺵ آ‬
  Quadratic                                                               ‫ﺕ ﺏ‬
  Quantum                                                 ‫آ ّ أو ا ا م‬
  Radiation                                                   ‫ﺵ ع أو أﺵ‬
  Rectification                                                              ‫ﺕ‬
  Rectilinear                                                               ‫ﻡ‬
  Representation                                             ‫ﺕ أو ة‬
  Ricci                                                                    ‫ری‬
  Ricci curvature                                               ‫إ ء ری‬
  Riemannian space                                               ‫ء ری‬
  Saddle surface                                                  َ
                                                                  ‫ﺱ ﺱ‬
  Scalar curvature                  ّ‫أو ﺕ س ﺱ‬   ّ‫ء ﺱ‬   ‫إ ء ﻡ س أو إ‬
  Scalar product                                                   ُ
                                                                  ّ‫اء ﺱ‬
  Schwarzschild                                                ‫ﺵ ارﺕ ﺵ‬
  Second fundamental form                                ‫ا ﺱﺱ ا‬              ‫ا‬
  simultaneity                                                          ‫ﺕ اﻡ‬
  Sirius                                                         ‫ﺵ ي ا‬
178                               ‫لا ج‬                  ‫ا‬          ‫ا‬


  Skew- symmetric                                              ‫ا‬       ‫ﺕ‬
  skew-symmetric                                               ‫ا‬       ‫ﺕ‬
  Space                                                         ‫ء‬
  Space – time                                 ‫ء - زﻡ ن أو زﻡ ن‬
  Space warp                             ‫ء‬   ‫ء أو أ اء ا‬      ‫أ اء ا‬
  Special principle of relativy                   ‫ا ﺹ‬           ‫ﻡ أا‬
  Spherical geometry                                    ‫ه ﺱ آ وی‬
  Spherically symmetric                                ‫آ وي‬            ‫ﺕ‬
  Summation convention                                       ‫ا‬       ‫إﺕ‬
  Superposition                                                   ‫ﺕ اآ‬
  Synchronization                                                 ‫ﺕ اﻡ‬
  Synchronization of clocks                          ‫ت‬      ‫ﺕ اﻡ ا‬
  System                                                         ‫م‬
  tensor                                              ‫ﺕ ر أو ﻡ ﺕ‬
  Tensor calculus                                    ‫ر‬      ‫ﺡ با‬
  Tensor equation                                    ‫ﻡ د ﺕ ری‬
  Tensor field                                        ‫ﺡ ﺕ ري‬
  Torsion                                                       ‫أ اء‬
  Trajectory                                                          ‫ﻡ‬
  Ultra – ideal                                                 ‫قا‬
  Umbilical                                                          ُ
                                                                  ‫ﺱ ّی‬
  Unit                                                          ‫وﺡ ة‬
  Universe                                                       ‫آ ن‬
  Variable                                                            ‫ﻡ‬
  Vector field                                                 ‫ﺡ ﻡ‬
  Velocity                                                           ‫ﺱ‬
  World- line                                                        ‫ﺥ‬
  Wormhole                                                ‫ﺙ دودي‬
179                                                     ‫لا ج‬                                           ‫ا‬             ‫ا‬


                                                                                                                ‫در‬       ‫ا‬


                       1973 – ‫ن‬          ‫ﺏ وت‬           ‫ﺏ وي - دار ا‬       ‫ا ﺡ‬        – ‫دي‬             ‫نا‬        ‫ا‬
          . ‫، أآ دی‬          ‫ﺏ ا‬                   .‫ﺏ ( ، د‬     -        ‫ي- ﻥ‬     ‫ت ) أﻥ‬           ‫ا ی‬
                            . ‫ﺏ ( ، د. أﺏ اه ﺡ د ، أآ دی‬             -     ‫ي- ﻥ‬       ‫ی ء ) أﻥ‬             ‫ا‬
          1979 –        ‫ا‬          ‫رف – ا‬     ‫د زی ان – دار ا‬             ‫ی – دآ ر‬         ‫ا‬               ‫و‬     ‫آ‬
      ‫ا‬    ‫ی‬       ‫ا‬        ‫ﺏ ا‬      –        ‫ا‬     ‫ی‬         ‫–ا آ ری‬            ‫وا‬            ‫ا‬           ‫ن‬     ‫ا‬
                                                                                       1999 – ‫ب‬
                                         . ‫ﺱ وه‬                ‫–ﺕ‬        ‫– ّ ﻥ ﺉ آ‬                 ‫ا‬           ‫ﻥ ا‬
                        . ‫ی‬              ‫– دار ا‬          ‫ا‬         ، ‫ﺏ‬     –‫ي‬        ‫س إﻥ‬             ، ‫رد‬      ‫ا‬




           Essential Relativity:special, General and Cosmological, Wolfang
           Rindler, 1977
           Introduction to Special Relativity, Wiley Fastern, Private Limited. 1972
           Lecture Notes on General Relativity, Sean M. Carrroll, Institute for
           Theoretical Physics University of California, 1997
           Introduction to General Relativity, G. t Hooft, Institute for Theoretical
           Physics University Utrech University, version 8/4/2002
           Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Second edition, Marvin Jay
           Greenberg, W. H. Freeman & Co. , 1979.
           An Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosomology, Derek
           F. Lawden, 1982.
           Non-Euclidian Geometry, Harold E. Wolfe.
‫081‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
‫181‬                                        ‫لا ج‬                                             ‫ا‬         ‫ا‬


                                                                                                     ‫س‬         ‫ا‬
‫-------------------------------------------------------------------------------------3‬                         ‫ا‬
‫----------------------------------------------------------------------------11‬                        ‫ءا‬       ‫ا‬
‫ا ﻡ -----------------------------------------31‬        ‫ﺏ ی‬        ‫أن‬                       ‫- ا هنا‬
‫ن -------------------------------------- 31‬    ‫ا‬    ‫ﻡ ود‬         ‫أن ا‬                      ‫- ا هنا‬
‫ن --------------------------------------------------------------------61‬                             ‫ما‬        ‫ا‬
‫ن ---------------------------------------------------------81‬                          ‫وا‬             ‫ةا‬       ‫ا‬
‫ن ---------------------------------------------81‬      ‫وأ‬       ‫أرﺱ‬                ‫- ا ﻡنﻡ و‬
‫ﺕ ---------------------------------------------------------02‬                      ‫- ا ﻡنﻡ و‬
‫--------------------------------------------------------02‬                         ‫- ا ﻡنﻡ و‬
‫---------------------------------------------------------12‬       ‫آ‬                ‫- ا ﻡنﻡ و‬
‫-----------------------------------------------------------32‬           ‫ی ا‬            ‫ا‬        ‫- ا ﻡن‬
‫ی ا ّ ---------------------------------------------------------------42‬                         ‫- ا ﻡن‬
‫------------------------------------------------------------------------- 72‬                         ‫ﺱ ا‬       ‫ا‬
                                                              ‫ّ‬
‫ء ا دي ---------------------------------------------------------- 92‬               ‫ا‬            ‫ﺱ‬     ‫- ا‬
‫-----------------------------------------------13‬        ‫ﺱ ا‬       ‫ی ا‬        ‫ﻡ ه و‬                  ‫- ﺏ‬
‫ع ﺱ آ ي --------------------------------------------------------------13‬                    ‫أ‬        ‫- رﺏ‬
‫ع ﻡ ت -------------------------------------------------------------13‬                       ‫أ‬        ‫- رﺏ‬
‫ﺡ --------------------------------------------------------------------23‬                    ‫نا‬             ‫-‬
‫- زاوی ا ازي ----------------------------------------------------------------------43‬
‫-------------------------------------------------------63‬             ‫ﺱ ا‬         ‫ی ا‬                ‫- ﺏ‬
‫ذج ﺏ اﻡ – آ ی -------------------------------------------------------------93‬                              ‫-‬
‫ا ﺹ ----------------------------------------------------------------------------34‬                             ‫ا‬
‫-----------------------------------------------34‬      ‫ی ا‬                    ‫ُ‬
                                                                              ‫ﺏ‬            ‫- ا ﺹ لا‬
‫-----------------------------------------------------------44‬            ‫ا‬             ‫ا‬        ‫ما‬   ‫- ﻡ‬
‫281‬                                        ‫لا ج‬                                           ‫ا‬           ‫ا‬


‫-------------------------------------------------------------------54‬               ‫- ﺕ ی ت ر‬
‫----------------------------------------------------------84‬           ‫ﺕ ی ت ر‬                   ‫- أه‬
 ‫ا ﺹ ------------------------------------------------------------15‬                   ‫ا‬        ‫- دی ﻡ‬
                                                                                                  ‫ا‬           ‫ا‬
‫ح ا ورا ------------------------------------------------------------------ 75‬                     ‫- ا‬
‫ح --------------------------------------------------06‬           ‫ی ا‬           ‫ﺹ ا ﺱﺱ‬             ‫- ا‬
‫ر -----------------------------------------------26‬          ‫ا‬            ‫لا ی‬            ‫ا‬       ‫- ﺏ‬
‫--------------------------------------------------------56‬             ‫ا ﺱ ﺱ ا ول‬                 ‫- ا‬
‫--------------------------------------------------------66‬                 ‫ا ﺱﺱ ا‬                 ‫- ا‬
‫ء وس ----------------------------------------------------------------------86‬                     ‫- إ‬
‫----------------------------------------------------------------------17‬                  ‫- ﻡ ﺡ ا‬
‫------------------------------------------------------------------17‬                ‫ل سﻡ‬                  ‫-‬
‫-----------------------------------------------------------------27‬            ‫دی‬     ‫ءا‬          ‫- ا‬
‫-------------------------------------------------------------------------37‬               ‫دی‬      ‫- ا‬
‫ا ﻡ -------------------------------------------------------------47‬                  ‫تا‬         ‫- ری‬
‫ازي --------------------------------------------------------------------87‬             ‫لا‬         ‫- ا‬
‫---------------------------------------------------08‬            ‫ء ری ن – آ ی‬             ‫رإ‬      ‫- ﺕ‬
‫ا ﻡ ----------------------------------------------------38‬              ‫أه ﻡ د ت ا‬                ‫- ﺏ‬
‫ا ﻡ ----------------------------------48‬         ‫ا‬      ‫ﻡ‬              ‫ح وﺡ ّ و ا‬              ‫- ﻡ اﺡ‬
‫ا ﺱ ب -----------------------68‬              ‫ﺕ‬       ‫ا ﻡ ی‬         ‫واﺏ ا‬              ‫ذج ری‬               ‫-‬
‫----------------------------------------------------------------39‬                  ‫ﺱ ﻡ‬        ‫- ﻡ أا‬
‫ا ﻡ ------------------------------------------59‬             ‫ی ا‬           ‫ی‬        ‫- أه ﻡ ه ا‬
‫ی ------------------------------------------------------------401‬                   ‫ن ا ذﺏ‬                ‫-‬
‫------------------------------------------------------------------601‬              ‫- ﺡ ّ ﺵ ارﺕ ﺵ‬
‫اآ ---------------------------------------------------------------------211‬                   ‫- ﻡ ار ا‬
‫ء -------------------------------------------------------------911‬             ‫ا‬      ‫اف ﻡ‬        ‫- إ‬
‫381‬                                       ‫لا ج‬                                      ‫ا‬     ‫ا‬


‫--------------------------------------------------------------------221‬             ‫حا‬   ‫- إ‬
‫ا دة ---------------------------------------------------721‬     ‫ا‬           ‫د تا‬                ‫-‬
‫ن -------------------------------------------------------------------131‬        ‫ا‬        ‫- د‬
‫---------------------------------------------------------------------------731‬           ‫- ا‬
‫ي( ------761‬      ‫) ﺏ –إ‬       ‫ا‬     ‫ا‬               ‫وا‬        ‫وا‬          ‫تا‬            ‫أه ا‬       ‫ﺏ‬

‫ﺏ (------ 371‬    ‫ي–‬      ‫)إ‬    ‫ا‬     ‫ا‬               ‫وا‬        ‫وا‬          ‫تا‬            ‫أه ا‬       ‫ﺏ‬

‫در -------------------------------------------------------------------------------- 971‬             ‫ا‬
‫481‬   ‫لا ج‬   ‫ا‬   ‫ا‬
                            ‫لا ج‬
                www.jalalalhajabed.com




                                         :   ‫و‬   ‫ا‬   ‫ا‬
jalal.alhajabed@hotmail.com
jalal.alhajabed@yahoo.com

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:20
posted:12/11/2012
language:Unknown
pages:185