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SEGURO DE VIDA REASEGURO Facultad de Ciencias (28-02-08) MEXICO

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SEGURO DE VIDA REASEGURO Facultad de Ciencias (28-02-08) MEXICO Powered By Docstoc
					Reaseguro Proporcional con Límites


                  Por:

            Carolina D. Gómez
               Sofía Villers
              Pedro Aguilar
            Marco A. Velázquez
            Jorge O. Avendaño


 Universidad Nacional Autónoma de México
Antecedentes


     1
                              Reaseguro proporcional con límites


Antecedentes
 Los contratos de reaseguro proporcional, en su forma tradicional de
 operar, han cumplido con el principio de participación proporcional
 absoluta en la prima cedida y en los siniestros ocurridos. Es decir a
 una   determinada proporción de        prima cedida      corresponde
 exactamente la misma proporción de siniestros cedidos.



              Primas                           Siniestros

                       20%                                   20%




        80%                              80%
                                          Reaseguro proporcional con límites


     Antecedentes
       Los reguladores han establecido esquemas de constitución de reserva y
       de margen de solvencia dando por hecho que en los contratos de
       reaseguro “proporcionales” la exposición al riesgo se comparte de manera
       exactamente proporcional.




                      Riesgo                                    Reservas
                                                                           20%   Reserva de
                               20%
                                                                                 Retención
                                     Riesgo Retenido

Riesgo Cedido


                                                   Reserva Cedida

                                                               80%
                80%
                                Reaseguro proporcional con límites


Antecedentes
 En los últimos años, han aparecido contratos de reaseguro
 “proporcional”, que mediante cláusulas, condicionan la participación
 proporcional del reasegurador, a que la siniestralidad se mantenga por
 debajo de cierto valor, haciendo a la cedente, responsable de enfrentar
 la siniestralidad por encima de dicho valor, lo que rompe con el principio
 de proporcionalidad exacta de repartición de primas y siniestros.


 Ejemplo: “El reasegurador participará en el 80% de los siniestros,
 siempre y cuando la siniestralidad no sea superior al 90% de la prima.”
                            Reaseguro proporcional con límites


Antecedentes
 Este tipo de contratos no cumplen con el principio de participación
 proporcional absoluta en el riesgo, implicando un aumento en la
 exposición al riesgo de la compañía cedente. Para constituir la
 reserva de riesgos en curso, es necesario cuestionarse cuál es el
 aumento en el riesgo retenido.



                         ¿ Riesgo Retenido = 20% ?
              20%




    80%




   Contrato Reaseguro                                Reservas
                            Reaseguro proporcional con límites


Antecedentes
 Por ello resulta necesario contar con métodos actuariales que
 permitan determinar cuál es el nivel de riesgo retenido por la
 compañía cedente debido a la utilización de este tipo de contratos de
 reaseguro, y en esa medida, determinar el monto de reserva
 retenida o cedida.
Ejemplos sobre
   el Efecto


     2
                               Reaseguro proporcional con límites

El Efecto
 Suponga que una compañía celebra un contrato de reaseguro 80%-20%,
 en el cual se establece una cláusula que indica que la participación
 proporcional del reasegurador será del 80% mientras la siniestralidad se
 mantenga debajo del 90% de la prima. Suponga, además, que la prima
 de la cartera es de 10 millones. Si ocurriera una siniestralidad de 10
 millones, el efecto sería el siguiente:




  Puede observarse que, debido al monto de siniestros, no se cumple la
  cesión proporcional (80% vs 20%). La cedente tiene que retener una
  proporción del 28%. Cantidad que es 40% superior al valor que
  retendría en caso de que el contrato hubiese sido proporcional puro.
                               Reaseguro proporcional con límites

El Efecto
 Suponga, en el mismo caso anterior, que la siniestralidad fuera de 11
 millones, entonces la proporción retenida del riesgo sería de:




  En este caso la cedente tiene que retener una proporción del 35.5%, lo
  que muestra que el efecto del límite depende del monto que alcance la
  siniestralidad de la compañía.
Medición del Efecto en Reserva de Riesgos en Curso



                       3
                                                               Reaseguro proporcional con límites

El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso

 La reserva de riesgos en curso de una cartera de pólizas es el valor
 esperado de la siniestralidad futura de dichas pólizas.
 Si uno conoce la ley de comportamiento de los siniestros (función de
 distribución de probabilidad), es posible calcular la reserva de
 riesgos en curso en función del nivel estimado de riesgo retenido.

                                   Funciones de Densidad

       2,50

                                                                      Histograma
       2,00                                                           Gamma
                                                                      Exponencial
       1,50                                                           Weibull
                                                                      Lognormal
       1,00                                                           Gumbel


        ,50


        ,00
              0,00


                     0,24


                            0,48


                                   0,71


                                          0,95


                                                 1,19


                                                        1,43


                                                               1,66


                                                                         1,90


                                                                                2,14


                                                                                       2,38
                                Reaseguro proporcional con límites


El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso


 La construcción de funciones de probabilidad es posible, si se tiene la
 estadística suficiente de siniestralidad alcanzada por cartera de riesgos
 expuestos (S) y las primas correspondientes a dichas carteras (P).


 Medir la siniestralidad en términos relativos a la prima, permite que los
 valores de la función de probabilidad no dependan del monto absoluto de
 siniestros de las carteras de pólizas.


 Los datos que deben utilizarse son los del mercado, tomando la cartera
 de siniestros y primas de cada compañía, como un punto de la muestra.
                                Reaseguro proporcional con límites


El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso


 Ejemplo de la siniestralidad, medida como porcentaje de la prima, para
 una estadística de tres años, de carteras de autos.



      200%
      180%
      160%
      140%
      120%
      100%
      80%
      60%
      40%
      20%
       0%
                                                                             Reaseguro proporcional con límites

El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso

• Mediante técnicas estadísticas la función de probabilidad puede ser
  construida:



                             Funciones de Densidad

 2,50

                                                                Histograma
 2,00                                                           Gamma
                                                                Exponencial
 1,50                                                           Weibull
                                                                Lognormal
 1,00                                                           Gumbel


  ,50


  ,00
        0,00


               0,24


                      0,48


                             0,71


                                    0,95


                                           1,19


                                                  1,43


                                                         1,66


                                                                   1,90


                                                                          2,14


                                                                                 2,38
                                Reaseguro proporcional con límites


Funciones de probabilidad para el índice de siniestralidad


Hasta el momento se han publicado por parte de la CNSF las funciones de
 probabilidad del índice de siniestralidad de dos ramos de seguros:


 Terremoto (Oficio Circular S-12/06, del 2 de febrero de 2006)
 Automóviles (Oficio Circular S-13/06, del 21 de febrero de 2006)
Actualmente se trabaja en la construcción (actualización, en su caso) de
  las respectivas funciones, para los seguros de:
 Automóviles
 Gastos médicos
 Riesgos hidrometeorológicos
 Incendio
 Terremoto
                    Reaseguro proporcional con límites




4.0


3.5


3.0                              Automóviles
2.5


2.0


1.5


1.0


0.5


0.0
   0%   30%   59%   89%   119%   149%   178%   208%   238%
              Reaseguro proporcional con límites




3.0



2.5
                         Gastos médicos
2.0



1.5



1.0



0.5



0.0
   0%   43%       85%       128%          170%
                        Reaseguro proporcional con límites




0.40


0.35


0.30
                                        Riesgos hidrometeorológicos
0.25


0.20


0.15


0.10


0.05


0.00
    0%   712%   1424%   2136%   2848%   3560%   4271%   4983%   5695%
                     Reaseguro proporcional con límites




2.5




2.0
                                    Incendio

1.5




1.0




0.5




0.0
   0%   96%   191%   287%   382%   478%   573%   669%   764%
                      Reaseguro proporcional con límites




11

10

9
                                  Terremoto
8

7

6

5

4

3

2

1

0
     0%   22%   44%   66%   88%   110%   132%   154%   176%
                                     Reaseguro proporcional con límites


El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso

 Con la función de probabilidad se puede medir el porcentaje de riesgo
 retenido por la compañía que tiene un contrato de reaseguro, proporcional
 con límites. La fórmula con que se mide el porcentaje de riesgo retenido
 consiste en dividir el valor esperado de la siniestralidad retenida entre el
 valor esperado de la siniestralidad bruta:




          : Valor esperado de la Siniestralidad Retenida
          : Valor esperado de la Siniestralidad Bruta

  Con ese porcentaje se puede calcular la reserva que debe constituir la
  compañía de seguros cedente:
                            Reaseguro proporcional con límites


El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso
Ejemplo de Aplicación
 Suponga que tiene la siguiente función de probabilidad, de la
 siniestralidad de seguros de gastos médicos mayores, que fue
 previamente construida mediante métodos estadísticos:
                                Reaseguro proporcional con límites


El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso
Ejemplo de Aplicación
 Suponga, que una institución de seguro celebra un contrato de reaseguro
 cuota parte donde retendrá el 20% y el reasegurador el 80%. Suponga que
 el reasegurador establece que su responsabilidad estará limitada al pago
 proporcional siempre que la siniestralidad no sea superior al 75% de la
 prima emitida.
 Suponga que la prima emitida de la cartera es de 10 millones.
 Si el contrato fuera proporcional puro, la reserva de riesgos en curso que la
 compañía habría de constituir por cada póliza sería la parte no devengada
 de la prima retenida, calculando la prima retenida como el 20% de la
 prima emitida.
 Sin embargo, debido al límite impuesto por el reasegurador, el riesgo
 retenido por la cedente no corresponde al 20%, sino a un porcentaje
 mayor.
 Por lo anterior resulta necesario proceder a calcular el porcentaje de riesgo
 retenido.
                                  Reaseguro proporcional con límites


El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso
Ejemplo de Aplicación Medición del Efecto en Reservas
  El valor esperado de la siniestralidad bruta de la cartera, se calcula como:
                                      Reaseguro proporcional con límites


El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso
Ejemplo de Aplicación
 El valor esperado de la siniestralidad cedida (SC) es:
                                Reaseguro proporcional con límites


El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso
Ejemplo de Aplicación

 El porcentaje de riesgo retenido es del 23.45%.




 El efecto del límite es un aumento en el valor esperado de la
 siniestralidad retenida, de 3.4 puntos porcentuales.
 El 23.45% respecto del 20% es superior en un 17.26%.
 El regulador puede tomar la decisión de ordenar a la compañía constituir
 su reserva de riesgos en curso con base en el 23.45% de las primas, o
 bien constituir las reservas con base en el 20% de las primas retenidas,
 pero recargarlas en un 17.26%.
                                                                                          Reaseguro proporcional con límites


El Efecto en Reserva de Riesgos en Curso
Ejemplo de Aplicación

 En la siguiente gráfica se puede ver el efecto de diferentes límites,
 sobre el factor de retención, el contrato de reaseguro cuota parte
 20%-80%.


                                   90.00%
         Porcentaje de Retención




                                   80.00%
                                   70.00%
                                   60.00%
                                   50.00%
                                   40.00%
                                   30.00%
                                   20.00%
                                   10.00%
                                    0.00%
                                                0.05
                                                       0.10
                                                              0.15
                                                                     0.20
                                                                            0.25
                                                                                   0.30
                                                                                          0.35
                                                                                                 0.40
                                                                                                        0.45
                                                                                                               0.50
                                                                                                                      0.55
                                                                                                                             0.60
                                                                                                                                    0.65
                                                                                                                                           0.70
                                                                                                                                                  0.75
                                                                                                                                                         0.80
                                                                                                                                                                0.85
                                                                                                                                                                       0.90
                                                                                                                                                                              0.95
                                                                                                                                                                                     1.00
                                                                                                                                                                                            1.05
                                            -




                                                                                   Lìmite de Siniestralidad / Prima
          Modelos Generales Aplicables
(Contratos con límite definido como porcentaje de
                    la prima)

                      4
                                Reaseguro proporcional con límites

Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido como porcentaje de la prima

 En términos generales, si se conoce la función de probabilidad del índice
 de siniestralidad, X, entonces la siniestralidad de retención, dado un
 porcentaje de retención a y un límite ℓ, está dada por




 El factor de retención se calcula ahora, como,
                                  Reaseguro proporcional con límites


Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido como porcentaje de la prima


 Alternativamente, puede calcularse el valor esperado del índice de
 siniestralidad de retención:
                                  Reaseguro proporcional con límites


Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido como porcentaje de la prima


 El factor de retención es una función de dos variables:
                                  Reaseguro proporcional con límites


Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido como porcentaje de la prima



 Si se requiere estudiar el efecto de una de las variables, manteniendo
 fija la otra, basta con analizar las derivadas parciales del factor de
 retención.
 Como en el cociente que define el factor de retención, el denominador
 E[S] es independiente de las variables a y ℓ, es suficiente con estudiar el
 comportamiento de
                              Reaseguro proporcional con límites

Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido como porcentaje de la prima


 Como




se tiene




 De manera que FR, visto como función de a, manteniendo el límite
 constante, está representado por una línea recta.
                                  Reaseguro proporcional con límites


Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido como porcentaje de la prima



 También,




 Por lo tanto, la pendiente de la recta (m) se incrementa a medida
 que el valor de ℓ aumenta. Además, si ℓ→∞, m→1, ya que E[mín{S, ℓ}] →
 E[S].
                                         Reaseguro proporcional con límites


Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido como porcentaje de la prima
 100%

  95%

  90%

  85%

  80%

  75%           50   %
  70%

  65%
                75   %
  60%
                             150   %
  55%

  50%
        50%            60%           70%          80%           90%           100%
        Nota: En la gráfica, el límite está expresado en porcentaje de la prima.
                                                         Reaseguro proporcional con límites

            Medición del Efecto en Reservas
            Contratos con límite definido como porcentaje de la prima


               Por otro lado,



2
     Ea minS ,  máx0, S    1  a  f s ()
 2
            De esta expresión se deduce que la derivada es siempre negativa, por lo
             que el factor de retención será una función decreciente de ℓ.


               También




            cantidad que siempre es positiva, si 0< a <1 por lo que la gráfica de Fces(ℓ)
              debe ser convexa (cóncava hacia arriba).
                                    Reaseguro proporcional con límites


Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido como porcentaje de la prima
  100%

   90%

   80%

   70%

   60%

   50%

   40%

   30%                                                                    a    30%
                                                                          a    25%
   20%                                                                    a    20%
                                                                          a    15%
   10%                                                                    a    10%
                                                                          a    5%
    0%
         0%   20%   40%   60%   80%   100%   120%   140%   160%   180%   200%

     Nota: En la gráfica, el límite está expresado en porcentaje de la prima.
                              Reaseguro proporcional con límites


Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido como porcentaje de la prima




 NOTA: Los resultados anteriores son generales en el sentido de que no
 dependen de qué función de distribución de probabilidad se utilice para
 el monto de siniestros brutos (S) o el índice de siniestralidad (X),
 siempre y cuando existen los valores esperados que se requieren.
       Modelos Generales Aplicables
(Contratos con límite definido a nivel póliza)

                     5
                                  Reaseguro proporcional con límites

Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido a nivel póliza


Para la aplicación de la metodología se requiere, en este caso, conocer
 las funciones de probabilidad del monto de los siniestros individuales, así
 como las del número de siniestros.


Supongamos que se define que, para cada riesgo, un límite ℓ por arriba
 del cual la cedente cubre el evento al 100%, en tanto que debajo de ℓ es
 retenido en un porcentaje a .
                                  Reaseguro proporcional con límites


Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido a nivel póliza


Para una cartera conformada por k riesgos, supongamos que, el j-ésimo
 de ellos puede presentar, a lo largo del plazo de cobertura, Nj siniestros:




De esta manera, las obligaciones de la cedente para el evento r
 del riesgo j están dadas por
                                  Reaseguro proporcional con límites


Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido a nivel póliza


 El monto de siniestros a retención es, entonces,
                                   Reaseguro proporcional con límites

Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite definido a nivel póliza


Si se supone, además, que X1 ~ X2 ~  ~ Xk y N1 ~ N2 ~  ~ Nk , el factor de
 retención es
 Modelos Generales Aplicables
(Contratos con límite agregado)

             6
                                Reaseguro proporcional con límites

Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite agregado


Supóngase ahora que el porcentaje de retención, a , es distinto para cada
 riesgo y que, en vez de existir un límite de responsabilidad para el
 reasegurador en cada uno de ellos, existe un límite agregado a nivel
 cartera. En este caso, si denotamos con a j el porcentaje de retención
 para la póliza j, y con L el límite agregado:
                                Reaseguro proporcional con límites

Medición del Efecto en Reservas
Contratos con límite agregado



Bajo ciertos supuestos se puede simplificar la expresión anterior y
 aplicar los métodos de la teoría del riesgo para encontrar el valor
 esperado o la función de distribución.




En casos más generales será necesario aplicar técnicas de simulación.
Algunos ejemplos numéricos


           7
                               Reaseguro proporcional con límites


Ejemplos numéricos


Se realizó un ejercicio de simulación sobre una cartera de 100 pólizas
 tomando los siguientes parámetros y criterios:


Distribución del monto de cada siniestro: Gamma con parámetros
 a = 0.8;  = $100,000;
 Distribución del número de siniestros por póliza: Poisson con parámetro
   = 1.5;
 Con límite de monto de cesión de la aseguradora agregado (igual para
  toda la cartera);
 20,000 iteraciones por póliza;
 Porcentaje de retención diferente para cada póliza (contrato cuota parte)
 No se considera la participación del asegurado         (suma    ilimitada;
  deducible =0; coaseguro=0%).
¡Gracias por su atención!

				
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posted:12/9/2012
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Description: Presentación de reconocidos actuarios y académicos de la UNAM., que puede servir como complemento a un Curso de Seguro de Vida. (MEXICO)
JOSE ENRIQUE PEÑA VELAZQUEZ JOSE ENRIQUE PEÑA VELAZQUEZ DIRECTOR GENERAL http://
About ACT. JOSÉ ENRIQUE PEÑA VELÁZQUEZ. Nacido en México. D. F. el 15 de julio del 1933. Casado. Experiencia profesional: Consultor Actuarial, con 50 años dentro del campo de los seguros. Auditor Externo Actuarial Certificado. Profesor Académico Universitario, por más de cuarenta años y honrado por parte de la Universidad Nacional Autónoma de México con diploma y medalla "AL MÉRITO UNIVERSITARIO", por haberle prestado servicios, “con gran dedicación y haber realizado una obra de valía excepcional”. Conferencista. Articulista sobre temas de Seguros y Fianzas, en periódicos y revistas del país y del extranjero. Preparación académica: Actuario, titulado en la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). Estudios de Filosofía y Pedagogía en el Instituto Teológico Salesiano Santo Tomasso d’ Aquino, en Padua (Italia). Otros estudios: Alta Dirección de Empresas en IPADE(México) y en el ZURICH- ESADE (Barcelona); Curso de seguros a nivel superior en el Centro Suizo de Formación Aseguradora (SITC). Publicaciones: Coautor en dos libros sobre el tema de pensiones y con más de 300 artículos escritos sobre temas de seguros y fianzas.