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Begirada matematiko bat Una mirada matem tica IMAGINARY

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Begirada matematiko bat Una mirada matem tica IMAGINARY Powered By Docstoc
					Begirada matematiko bat • Una mirada matemática
Gida Didaktikoa • Guía Didáctica

Alexander Aginagalde Nafarrate, Pedro Alegría Ezquerra,
Raúl Ibáñez Torres, Álvaro Lozano Rojo, Marta Macho Stadler




Aurkibidea • Índice

     I.   Koordenatu cartesiarrak edo nola zehaztu puntu baten kokapena espazioan
          Coordenadas cartesianas o cómo determinar la posición de un punto en el espacio ......... 5

    II.   Surfer programa ezagutzen
          Conociendo el programa Surfer ....................................................................................... 11

   III.   Surfer, modelizazioa eta sormena
          Surfer, modelización y creatividad ................................................................................... 16

   IV.    Morenaments
          Morenaments .................................................................................................................. 18

   V.     Baldosadurak
          Embaldosados ................................................................................................................. 27

   VI.    Moebius-en banda ez da orientagarria
          La banda de Moebius no es orientable ............................................................................ 34

  VII.    Fraktalak eraikitzea paperarekin
          Construcción de fractales con papel ................................................................................ 37




                                                                                                                                              1
    Sarrera                                                Introducción

      Ezin da gizakia ondo ulertu Matematika eta             No hay modo de entender bien al hombre si no
      Poesia sustrai beretik sortzen direla jakin            se repara en que la matemática brota de la mis-
      gabe, irudimen-gaitasunetik, alegia.                   ma raíz que la poesía, del don imaginativo.

                                José Ortega y Gasset                                     José Ortega y Gasset

      Poesiarako bezainbesteko beharrezkoa du-gu             La inspiración es necesaria en geometría tanto
      etorria Geometriarako.                                 como en poesía.

                      Alexandr Sergeyevich Pushkin                             Alexandr Sergeyevich Pushkin


    Real Sociedad Matemática Española (RSME) de-           La Real Sociedad Matemática Española (RSME) ce-
    lakoak mendeurrena ospatzen du 2011 urtean.            lebra el centenario de su fundación durante el año
    Ospakizun horren helburuen artean matematika-          2011. Entre los objetivos de esta celebración se en-
    ren dibulgazioa dago, bai ikasleen artean bai pu-      cuentra la divulgación de las Matemáticas para es-
    bliko osorako ere. RSME-IMAGINARY erakusketak,         tudiantes y para el público en general. La exposición
    informazio eta komunikazio teknologiez baliatuz,       RSME-IMAGINARY se inscribe en esta visión y está
    Matematika eta Artearen arteko lotura estua az-        enfocada a subrayar, usando tecnologías de informá-
    pimarratu nahi du. Bisitaldian forma eta gainaza-      tica y comunicaciones, la estrecha relación entre Ma-
    len arteko ibilaldi birtual eta interaktibo bat egin   temáticas y Arte. La muestra invita a sus visitantes a
    daiteke matematikak artearekin, diseinuarekin eta      realizar un paseo visual e interactivo por el mundo de
    eguneroko tresnekin duen erlazio azpimarratuz.         las formas y de las superficies, mostrando la relación
                                                           de las matemáticas con el arte, el diseño o las aplica-
                                                           ciones a nuestra vida cotidiana.

    Erakusketa Alemaniako “Mathematisches Fors-            La exposición es una adaptación de la también lla-
    chungsinstitut Oberwolfach” -ek garatutako,            mada IMAGINARY, desarrollada por el “Mathematis-
    IMAGINARY, izen berekoaren moldaketa da eta            ches Forschungsinstitut Oberwolfach” (Alemania), y
    nazioarteko matematikari eta artezaleen arteko         es fruto de la participación internacional de mate-
    lankidetzaren ondorioa da. Helburu nagusia iru-        máticos y artistas. Su leitmotiv es la imagen como
    dikatutako errealitatea eta matematikako objektu       lugar de encuentro entre la realidad imaginada y la
    abstraktuen bistaratze zehatzaren arteko topa-         visualización concreta de los objetos matemáticos
    gune izatea litzateke. Irudimena kausa, matema-        abstractos. A través de la imaginación las matemáti-
    tika errealitatearen modelizazioaren bitartekoa        cas se convierten en una herramienta tanto para la
    eta arte- eta industria-sormenerako bultzatzai-        modelización de la realidad, como para la creativi-
    le izango da. Azken finean erakusketaren nahia         dad artística, pero también la industrial. Finalmente,
    matematikaren alderdi ikusgarri eta estetikoak         la idea subyacente a esta exposición es la utilización
    aitzakia, berton ezkutatzen den matematika sako-       de componentes estéticos y visuales de las Matemá-
    naren azterketarako pizgarria izatea litzateke. Iru-   ticas como estímulo para suscitar en los visitantes el
    dikagarria zein irudika ezina norberak sortutako       interés por la matemática subyacente. Se ilustra lo
    irudiekin irakasten da.                                imaginario e inimaginable de las Matemáticas, para
                                                           lo que se recurre a imágenes que uno mismo puede
                                                           crear.

    Erakusketaren 1. edizioa 2007an Munichen izan          Desde la primera edición en Munich en 2007 la ex-
    zen eta geroztik, Alemaniako hiri gehienetan egon      posición ha recorrido prácticamente todas las ciu-
    ondoren, Viena, Stanford, Berkeley, Cambridge,         dades alemanas, y fuera de Alemania ha estado en


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Kiev, Zurich, Mumbai, París,... bisitatu ditu. 2011            Viena, Stanford, Berkeley, Cambridge, Kiev, Zurich,
eta 2012 urteetan Espainiako 12 hiritan, ibiltari,             Mumbai, París,... Se ha reservado todo el año 2011 y
ikusi ahal izango da. CosmoCaixak, gainera, Alco-              buena parte de 2012 para su recorrido por 12 ciuda-
bendasen (Madril) 2011ren urtarriletik ekainera                des españolas. Además de la exposición itinerante,
eta Bartzelonan, urte bereko uztailatik abendura,              se ha preparado una versión diferente de Imaginary
ikusgai izango den erakusketaren egokitzapena                  para las instalaciones de CosmoCaixa, para exponer
prestatu du.                                                   de enero a junio de 2011 en Alcobendas (Madrid) y
                                                               de julio a diciembre de 2011 en Barcelona.


  RSME-IMAGINARY Bilbon 2011. urtean iza-                      La visita de la exposición RSME-IMAGINARY a Bil-
  teak euskal hiritarrei matematikaren ikuspe-                 bao durante el mes de mayo de 2011 constituye
  gi erakargarri eta interesgarri erakutsiko die.              una buena oportunidad para mostrar a la socie-
  Izan ere, erakusketa adin guztietakoentzat izan              dad vasca una imagen atractiva, pero también
  baitaiteke disfrutagarri: irudien erakargarrita-             interesante de las matemáticas. Cualquier per-
  suna dela, testu iradokitzaileen irakurketa dela,            sona, de prácticamente cualquier edad, puede
  eskulturen edertasuna dela, matematikaren                    acercarse a la exposición, disfrutar con sus bellas
  bistaratzea bideratzen duten programa inte-                  imágenes, leer sus sugerentes textos, apreciar la
  raktiboekin jolastu, ikasi edota ondo pasa dela:             belleza de sus esculturas, jugar, aprender y diver-
  Surfer-ekin gainazal ederrak sortu ahal izango               tirse con programas interactivos de visualización
  ditugu, j-Reality-rekin ingurune birtual batean              matemática, como el Surfer que permite crear




                                                                                                                        sarrera • introducción
  gainazal horietan murgildu ahal izango gara                  bellas superficies, el j-Reality que nos introduce
  edota 3D_XplorMath-ekin 3Dtako objektu ma-                   en ellas a través de un entorno de realidad virtual
  tematikoak erakutsiko dizkigun. Parte-hartze                 o el 3D_XplorMath que nos muestra objetos ma-
  horretarako ez da nahitaezkoa izango aldez                   temáticos en visión 3D. Para ello no es necesario
  aurretiko ezagutza matematiko sakona, izan                   poseer un bagaje matemático previo, solamente
  ere, programa interaktiboekin disfrutatzeko                  dejar volar la imaginación a través de la interac-
  nahikoa izango baita irudimena askatzea eta                  ción con los distintos programas de la exposición
  forma eta irudien edertasunaz gozatzea.                      y disfrutar con la estética de la forma y la imagen.

  Erakusketak helburu didaktiko argia du eta,                  Además, la exposición tiene de forma muy acu-
  horren ondorioz, gidaturiko eta monitorez la-                sada una vocación didáctica. Se van a organizar
  gunduriko bisitaldiak antolatuko dira DBH-ko                 visitas guiadas y monitorizadas de grupos de
  eta Batxilergoko ikasleentzako, batetik, eta                 alumnos de ESO y Bachillerato, así como de pú-
  publiko osorako, bestetik, IMAGINARY erakus-                 blico en general, con el objetivo de que aprove-
  ketari Bilbon ahalik eta etekin gehien atera da-             chen al máximo la oportunidad que brinda te-
  kioken.                                                      ner una exposición como IMAGINARY en Bilbao.



Gida didaktiko honen helburua RSME-IMAGINARY                   Así mismo, con el objetivo de crear una herramien-
erakusketaren aukera didaktiko eta ludikoak area-              ta didáctica y lúdica relacionada con la exposición
gotu eta denboran luzatzea litzateke. Bertan ager-             RSME-IMAGINARY, que además sea útil e interesan-
tzen diren aukerak erakusketan ikusi ahal izango               te más allá del tiempo que esta se exhibe en Bilbao,
direnen zati bat baino ez dira. Aurreneko hiru jar-            se ha preparado esta guía didáctica. Las actividades
duerak Surfer programaren erabilerak dira gaina-               que incluye son solamente una pequeña muestra
zal algebraikoen adierazpenerako eta norberaren                del enorme potencial de la exposición y sus ele-
sormenaren eta irudimenaren askapenerako auke-                 mentos. Las tres primeras actividades se enmarcan
rak, alegia. 4. jarduerak, Morenaments programa-               dentro del conocimiento del programa Surfer, y de
ren bitartez, planoko 17 simetriak identifikatu eta            las superficies algebraicas a través de este, así como


                            Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                 3
    diseinu artistikoetarako erabiltzea sustatu nahi        su utilización para potenciar la creatividad artística y
    du, Alhambrako lauzatuen dekoratuak esate bate-         el desarrollo de la imaginación. La cuarta actividad
    rako. “Embaldosados” jardueran berriz, lauzatuak        trabaja a través del programa Morenaments el es-
    landuz lurra poligono erregularreko formak dituz-       tudio e identificación de los 17 grupos de simetrías
    ten lauzez estaltzeko modu desberdinetara ingu-         del plano, así como la utilización del mismo en la
    ratuko gara eta M. C. Escher-renzenbait artelan         creación de diseños artísticos, como las decora-
    erabiliko ditu adibide motibagarritzat. Hurrengo        ciones geométricas de la Alhambra de Granada.
    jardueran, Moebius bandaren berezitasunekin jo-         “Embaldosados” es una actividad relacionada con
    lastuko dugu, izan ere, gainazak leun ez-norabida-      las simetrías del plano que sumerge al lector en el
    tu bat baita, aurpegi bakarrekoa, alegia. Eta gidari    apasionante tema de las diferentes maneras de pa-
    amaiera emateko fraktal eder batzuk eraikiko dira       vimentar un suelo con azulejos con forma de polí-
    paper-orriak erabiliz.                                  gonos regulares, y que de nuevo conecta el saber
                                                            matemático con la creación artística, siendo algunas
    Gida honen hasierako helburua irakasleentzako
                                                            obras del pintor M. C. Escher ejemplos motivadores.
    erakargarria eta geletan erabilgarria izatea bada
                                                            La siguiente actividad juega con las singulares pro-
    ere, izan ditzake beste zenbait erabilera ere, li-
                                                            piedades de la banda de Moebius, una superficie
    burutegietan, irakaskuntza- zein denborapasa-
                                                            “suave” no orientable, es decir, con una sola cara. Y
    tailerretan edota udako kanpamentuetan. Baina
                                                            se termina esta guía con la creación, utilizando hojas
    edozeinek, edozein prestakuntza badu ere, bere
                                                            de papel, de bellos fractales.
    irakurketa propioa egin dezake, bakarrik edo lagu-
    nartean, eta bide horretan denek aurkitu dezakete       Esta guía didáctica surge con la pretensión de ser
    jolasteko eta ikertzeko aitzakia. Ziur gaude, inor ez   una herramienta útil y atractiva para que el profe-
    dela damutuko Matematika eta Artearen arteko bi-        sorado trabaje con sus estudiantes en el aula, sin
    dai honetan abiatzeagatik.                              embargo, puede ser igualmente utilizada por per-
                                                            sonas que trabajen en bibliotecas, responsables
                                                            de talleres didácticos o lúdicos, u organizadores
                                                            de campamentos de verano. Pero más aún, acon-
                                                            sejamos a cualquier persona, de cualquier edad
                                                            o formación, que se anime a realizar una lectura
                                                            personal, o en familia, de la misma y que no tenga
                                                            reparos en jugar y experimentar con las activida-
                                                            des que se le proponen en estas hojas. No se arre-
                                                            pentirá de realizar este viaje entre las matemáticas
                                                            y el arte.




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I. Koordenatu cartesiarrak                                     I. Coordenadas cartesianas
   edo nola zehaztu                                               o cómo determinar la
   puntu baten kokapena                                           posición de un punto en
   espazioan                                                      el espacio
Gainazal aljebraikoen adierazpenak osatzen dute                La parte central de la exposición IMAGINARY la cons-
IMAGINARY erakusketaren zati nagusia; funtsean,                tituyen representaciones de superficies algebraicas,
SURFER programaren bidez egin dira gainazal alje-              realizadas fundamentalmente a través del progra-
braiko horiek. Ekuazio edo adierazpide aljebraiko              ma SURFER. Dichas superficies vienen descritas por
baten bidez deskribatzen dira gainazal horiek,                 medio de una ecuación, o expresión algebraica, en
(x, y, z) koordenatuen bidez, hiru dimentsioko es-             términos de las coordenadas (x, y, z) en el espacio
pazioan. Hori horrela, gida honetan proposatzen                de dimensión tres. Por este motivo, la primera serie




                                                                                                                            koordenatu cartesiarrak • coordenadas cartesianas
dugun lehenengo jarduera-multzoaren bidez,                     de actividades que se plantean en esta guía tiene
koordenatu cartesiarren kontzeptua azaldu, eta                 como objetivo introducir a los y las estudiantes, o
ekuazio aljebraikoen adibide erraz batzuk eraku-               a las personas que lean esta guía, el concepto de
tsi ere, nahi diegu ikasleei edo gida hau irakurtzen           coordenadas cartesianas y mostrarles algunos ejem-
duen edozein pertsonari.                                       plos sencillos de ecuaciones algebraicas.

1. jarduera: Nola zehaztu dezakegu puntu baten                 Actividad 1: ¿Cómo se puede determinar la posi-
kokapena espazioan? Eta plano batean? Galdera                  ción de un punto en el espacio? ¿Y en el plano?
horiek egin ditzakegu zuzenean gelan, edo ezta-                Estas preguntas pueden plantearse directamente
baida bat hasi horien bidez (taldeka edo gela osoa-            a la clase e iniciar con ellas un debate (por grupos
ren artean).                                                   o toda la clase).

Horiei erantzuteko, adibide errazena aztertu behar             Para dar respuesta a las mismas, primero se debe
da lehenbizi, hau da, planoko koordenatu carte-                abordar el caso más sencillo, las coordenadas carte-
siarrak. Gela huts bat har dezakegu adibide gisa.              sianas del plano. Puede tomarse como ejemplo una
Zoruko puntu jakin bat zehaztu nahi dugu bertan                habitación vacía en la que se quiere determinar la
(bertan zulo bat egin behar dugulako, barra bat                posición de un punto en el suelo (ya sea porque es
jarri edo banaketarako erreferentzia-puntu izatea              el lugar en el que se va a realizar un agujero, colo-
nahi dugulako). Nola finkatu dezakegu puntu ho-                car una barra o tomarlo como referencia en la distri-
rren kokapen zehatza? Aukera bat puntutik gelako               bución). ¿Cómo puede fijarse la posición exacta de
bi horma perpendikularretara dauden distantziak                ese punto? Una posibilidad es medir las distancias
neurtzea da. Horrela, bi zenbaki horiek jakinda,               del punto a dos paredes perpendiculares de la ha-
puntu baten kokapena finka dezakegu zoruak                     bitación. Así, mediante el conocimiento de dos nú-
osatzen duen planoan. Hori da, funtsean, plano                 meros, es posible establecer la posición de un punto
koordenatu bat: puntu nabarmen bat, jatorri ize-               en el plano que forma el suelo. Eso es esencialmen-
nekoa, eta bi zuzen “perpendikular” (horizontala               te un plano coordenado: un punto destacado, lla-
eta bertikala), ardatz izenekoak. Horiek elkar eba-            mado origen, y dos rectas “perpendiculares” (hori-
kitzen dute jatorrian, eta, beraz, zenbaki-bikote              zontal y vertical), llamadas ejes, las cuales se cortan
bakoitzak (x, y) puntu jakin bat adierazten du, ar-            en el origen, de forma que cada par de números
datz bertikalarekiko x distantzian dagoena, eta ar-            (x, y) nos determina el punto que está a una distancia
datz horizontalarekiko y distantzian dagoena.                  x del eje vertical y a una distancia y del eje horizontal.

Koordenatu-sistema horren bidez, gainera, pla-                 Este sistema de coordenadas permite además ex-
noko puntu-multzoak adieraz ditzakegu, ezauga-                 presar conjuntos de puntos del plano que satisfa-
rri jakin bat dutenak. Adibidez, x – y = 0 adie-               cen una cierta propiedad. Por ejemplo, la expre-
razpen aljebraikoak p = (x, y) puntuen zuzena                  sión algebraica x – y = 0 representa la recta de los


                            Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                           5
    adierazten du, non (irudian ikusten den eran)               puntos p = (x, y) tales que x = y (como se muestra
    x = y den.                                                  en la imagen).




    Jarraian, plano koordenatuari buruzko jarduera              A continuación se describen algunas actividades
    batzuk deskribatzen dira, ikasleek landu ditzake-           sobre el plano coordenado que pueden trabajar-
    tenak –edo gai horretan interesa duen edonork               se con los y las estudiantes –o que puede realizar
    egin ditzakeenak–. Jarduera horiek egiteko, ardatz          cualquier persona interesada en el tema–, y para las
    koordenatudun txantiloi bat bakarrik behar da               cuales únicamente se necesita una plantilla con los
    (hemen jasotzen dena bezalakoa).                            ejes coordenados (como la que se acompaña aquí).




    1.1. (1,7), (3,4), (-1,5), (2,-6), (-1,-2), etab. koorde-   1.1. Situar sobre el plano coordenado los puntos
    natu-puntuak plano koordenatuan kokatzea; eta               de coordenadas (1,7), (3,4), (-1,5), (2,-6), (-1,-2), etc.
    alderantziz, hau da, planoan puntu jakin batzuk             y al revés, fijados unos ciertos puntos sobre el pla-
    emanda, horien koordenatuak zehaztea.                       no determinar sus coordenadas.


6
1.2. Berriz ere txantiloiaren gainean, zenbait ekua-               1.2. Trabajar la representación gráfica, de nuevo
zioen bidez emandako puntu-multzoen adierazpe-                     sobre la plantilla, de los conjuntos de puntos con
na lantzea: i) x + y = 0 ; ii) x – y = 0; iii) x2 – y2 = 0;        ecuaciones: i) x + y = 0; ii) x – y = 0; iii) x2 – y2 = 0;
iv) y = x2 ; v) x2 + y2 = 1; etab. eta multzo horiek               iv) y = x2; v) x2 + y2 = 1; etc. y describir dichos con-
deskribatzea. Gainera, ikasleek, p = (x, y) denean,                juntos. Incluso se puede plantear, para discutir en-
x > y puntuen multzoa zein den eztabaida dezakete.                 tre los y las estudiantes, cuál es el conjunto de los
                                                                   puntos p = (x, y) tales que x > y.

1.3. x2(1 – x) – y2 = 0 ,ekuazioak deskribatzen duen               1.3. Considerar el conjunto del plano descri-
planoko multzoa aztertzea (kurba bat da, baina                     to por la ecuación x2(1 – x) – y2 = 0, que es una
aurrez ez dakigu zer itxura duen), eta galdetzea                   curva cuya imagen a priori se desconoce, y plan-
ea kurba horretakoak diren (0, -2), (-3, 6), (-2, 4),              tear si pertenecen a ella los puntos (0, -2), (-3, 6),
(-1, -1), (3/4, -3/8), etab puntuak. Taldearen arabe-              (-2, 4), (-1, -1), (3/4, -3/8), etc. Si se estima oportuno,
ra, modu aljebraikoan adierazitako planoko beste                   puede hacerse esta actividad con otros conjuntos




                                                                                                                                 koordenatu cartesiarrak • coordenadas cartesianas
multzo batzuekin ere egin daiteke jarduera hau.                    del plano expresados de forma algebraica.

2. jarduera: Oso interesgarria da, baita ere, jakitea              Actividad 2: La siguiente cuestión de interés es
nola finkatu dezakegun puntu baten kokapena ge-                    cómo determinar la posición de un punto en el
lako espazioan (berriz ere, adibide erreal bat erabil              espacio de la habitación (puede de nuevo inten-
daiteke hori arrazoitzeko, hala nola, argi-foku jakin              tar justificarse mediante algún ejemplo real, como
bat jarri behar den tokia). Erantzuna (x, y, z) zenbaki-           el lugar en el que va a ir colocado cierto punto
hirukote batekin lotuta dago. Lehenengo biak ka-                   de luz). La respuesta, análogamente, es con una
lkulatzeko, puntutik aurrez aukeratutako bi horma                  terna de números ( x, y, z) donde los dos primeros
perpendikularretara dagoen distantzia neurtu behar                 números se obtienen midiendo la distancia del
da. Hirugarren zenbakia kalkulatzeko, berriz, zorutik              punto a las dos paredes perpendiculares elegidas
puntura arteko distantzia neurtu behar da. Horre-                  previamente y el tercer número corresponde a la
la, hiru dimentsioko espazio koordenatuan sartuko                  altura desde el suelo. Así se introduce el espacio
gara: jatorria irudikatzen duen puntu bat, eta puntu               coordenado tridimensional: un punto que repre-
horretan elkar ebakitzen duten hiru zuzen “perpen-                 senta el origen y tres rectas “perpendiculares”, lla-
dikular”, ardatz izenekoak. Hori horrela, hirukote                 madas ejes , que se cortan en dicho punto. De esta
bakoitzak (x, y, z) espazioko puntu bakar bat zehaz-               manera, cada terna ( x, y, z) determina el único
ten du; z altueran egongo da puntu hori, eta horrek                punto del espacio que está a una altura z y cuya
(x, y, 0) zoruko planoaren gainean egingo duen itza-               sombra ( x, y, 0) sobre el plano del suelo z = 0 tiene
lak, z = 0 adierazpenarekin, (x, y) puntuaren koorde-              coordenadas ( x, y) (como muestra la imagen).
natuak edukiko ditu (irudian ikusten den eran).




                                Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                            7
    Aurreko ariketen antzekoak proposa daitezke,             Se pueden plantear actividades similares a las
    baina zaila da hiru dimentsioko espazioa pape-           anteriores, aunque con el problema de la repre-
    rean edo arbelean irudikatzea edo bistaratzea            sentación y visualización del espacio tridimen-
    (gaur egun, ordenagailua lagungarri izan dai-            sional en un papel o en la pizarra (aunque hoy
    teke horretarako): puntuak hiru dimentsioko              en día el ordenador puede ser una herramienta
    espazio koordenatuan kokatzea, adierazpen                útil en este sentido): colocar puntos en el espacio
    aljebraiko jakin batzuk aztertzea eta marraz-            coordenado tridimensional, analizar y representar
    tea, etab. Komenigarria litzateke plano batek            de ciertas expresiones algebraicas, etc. En particu-
    espazioan duen adierazpen aljebraikoa lantzea            lar, sería interesante que se trabajara la expresión
    Ax + By + Cz + D = 0 (forma daukana, non A, B, C,        algebraica que tiene un plano en el espacio (que es
    D zenbaki errealak diren), eta edozein hiru puntuk       de la forma Ax + By + Cz + D = 0, donde A, B, C, D
    zehaztutako planoak kalkulatzea (horietako bat           son números reales) y que se calcularan ejemplos
    (1,0,0), (0,1,0) eta (0,0,1), eta puntuetatik pasatzen   de planos determinados por tres puntos cuales-
    den planoa izan liteke).                                 quiera (uno de ellos podría ser el plano que pasa
                                                             por los puntos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1)).

    Jarduera hori modu dinamikoagoan egin daiteke;           Esta actividad puede hacerse más dinámica, ani-
    ikasleei –edo jardueran interesatuta dagoen edo-         mando a los y las estudiantes –o a quien pueda
    nori– ikasgela, edo edozein gela, hiru dimentsioko       estar interesado en la misma– a convertir su clase,
    espazio koordenatu bihur dezatela esango diegu ,         o una habitación cualquiera, en un espacio coor-
    eta irudika ditzatela bertan adierazpen aljebraikoen     denado tridimensional sobre el que representar
    bidez emandako puntuak edo multzoak. Gelan lan           puntos o conjuntos dados por expresiones alge-
    zuzena egiteak gaiarekiko interesa areagotuko du.        braicas. El trabajo directo sobre el aula motivará un
    Hasteko, txoko bat aukeratu behar da koordena-           mayor interés por el tema. Primero hay que elegir
    tuen jatorri gisa, eta O hizkiarekin markatuko dugu.     un rincón como origen de coordenadas y marcarlo
    Ondoren, txokotik irteten diren hiru ardatz perpen-      con la letra O. Después, se deben nombrar los tres
    dikularrak izendatu behar ditugu, hau da x, y, z (x      ejes perpendiculares que salen del rincón como
    ardatza zoruan ezkerretara dagoena izango da; y          ejes x, y, z (el eje x el que está a la izquierda en el
    ardatza eskuinetara dagoena; eta z ardatza sabai-        suelo, el eje y a la derecha y el eje z el que sube
    rantz igotzen dena), eta hiru ardatzetan neurriak        hacia el techo), y pintar las medidas de los tres
    marraztuko ditugu (adibidez, marka bat 10 cm-            ejes (por ejemplo, una marca cada 10 cm). En ese
    ko). Testuinguru horretan, gelan bertan egin ahal        contexto, puede trasladarse el estudio planteado
    izango dugu lehen paperean egindako azterketa            anteriormente para el papel sobre la propia aula o
    (puntuen kokapena adieraztea edo planoak adibi-          habitación (determinar la posición de los puntos o
    dez adierazpen aljebraiko errazen bidez emandako         representar conjuntos dados por expresiones alge-
    multzoak irudikatzea).                                   braicas sencillas, como por ejemplo planos).

    3. jarduera: Hegazkinez bidaiatu behar dugu-             Actividad 3: Cuando se va a realizar un viaje en avión
    nean, hegazkin-konpainiek gehienezko neurri ba-          resulta que las compañías aéreas exigen que el equi-
    tzuk ezartzen dituzte esku-fardelentzat. Baina, zer      paje de mano no exceda de un cierto tamaño. Pero
    neurri izan ditzake hegazkin-kabinaren barnean           ¿cuáles son las medidas posibles para esa maleta, o
    eramaten den fardelak edo paketeak? Arraroa ba-          paquete, que se lleva dentro de la cabina del avión?
    dirudi ere, hegazkin-konpainien araudiari jarraiki,      Aunque pueda resultar extraño, la normativa de las
    “pieza bakar bat izango da, luzera + zabalera + al-      compañías aéreas es “una sola pieza de dimensio-
    tuera gehienez 115 cm-koa duena”; horrek ez du           nes, largo + ancho + alto, que no exceda de 115 cm”,
    zehazten neurri jakin bat, aukera ugari baizik. Tes-     lo cual no determina una medida fija sino todo un
    tuinguru horretan, zenbait gai lan ditzakegu:            mundo de posibilidades. En este contexto se pueden
                                                             trabajar algunas cuestiones.



8
3.1. Hasteko, ikerketa praktiko bat egingo dugu,                   3.1. Realizar una primera investigación práctica
etxean edo Interneteko dendetan, fardelak bila-                    mediante la búsqueda de maletas, en casa o en
tzeko eta egiaztatuko dugu ea horien neurriak                      tiendas de Internet, y la comprobación de si sus
egokitzen diren esku-fardelen araudira. Egoera hi-                 medidas se ajustan a la normativa de equipaje de
potetiko batzuk ere proposa ditzakegu, hala nola,                  mano. Incluso se pueden plantear algunos casos
eguberri-zuhaitz artifizial bat jasotzen duen kutxa                hipotéticos, como por ejemplo una caja de cartón
bat, etab.                                                         con un árbol de navidad artificial, etc.

3.2. Hurrengo jarduera gisa, internet erabiliz, he-                3.2. La siguiente actividad podría ser la búsqueda,
gazkin-konpainia bakoitzak esku-fardelentzat zer                   por Internet, de las medidas recomendadas para
neurri gomendatzen dituen azter dezakegu (Ibe-                     las maletas del equipaje de mano para las diferen-
riak: 55 x 40 x 20; Air Europak: 55 x 35 x 25; etab.).             tes compañías aéreas (Iberia: 55 x 40 x 20, Air Euro-
Horietako bakoitzak zer edukiera (bolumen) duen                    pa: 55 x 35 x 25, etc.), y el cálculo de la capacidad
ere kalkula dezakegu (taula bat egitea komeniga-                   (volumen) de cada una de ellas (es interesante la




                                                                                                                              koordenatu cartesiarrak • coordenadas cartesianas
rria da).                                                          realización de una tabla).

3.3. Aurreko azterketa kontuan hartuta, ikasleei                   3.3. En vista del análisis anterior, se puede plantear a
taldeka zein izango litzatekeen esku-fardelek izan                 los estudiantes, como una investigación a desarrollar
dezaketen gehienezko edukiera azter dezatela                       en grupos, el estudio de la capacidad máxima que
proposa diezaiekegu. Ikasleek beren kasa aurkitu                   podría alcanzarse en el equipaje de mano. Es impor-
behar dute problema horren irtenbidea, egokiena                    tante que los y las estudiantes busquen su propia
ez bada ere, eta, ondoren, pertsona arduradunak                    solución al problema, aunque no sea la más correc-
(irakasleak, begiraleak,...) irtenbide guztiak azter               ta, y a posteriori la persona responsable (profesor/a,
ditzake, eta egokiena zein den azaldu ikasleek be-                 monitor/a,...) puede comentar las soluciones y ofre-
rau aurkitu ez badute.                                             cer la correcta si no la han conseguido.

Gaia behar bezala ebazteko, batezbesteko aritme-                   Para resolver adecuadamente la cuestión, hay que
tikoen eta geometrikoen arteko desberdintza                        acudir a la conocida desigualdad entre las medias
ezagunera jo behar da. Hiru zenbakientzat hau                      aritmética y geométrica, que para tres números
delarik:                                                           es:
                 
                                                                     



eta berdintza betetzen da baldin, eta soilik baldik,               cumpliéndose la igualdad si, y sólo si, x = y = z.
x = y = z bada.

Beraz, x luzerako, y zabalerako eta z altuerako far-               Por lo tanto, puede relacionarse el volumen de la
delaren bolumena, hau da xyz, hegazkin-konpai-                     maleta de largo x, ancho y, y alto z, que es igual a
niek jarritako baldintzekin erlaziona daiteke; hau                 xyz, con la condición de las compañías aéreas so-
da, x + y + z-k 115 cm edo gutxiago izan behar                     bre las dimensiones, x + y + z menor o igual que
duela dionarekin, izan ere.                                        115 cm, ya que
                            



Ondorioz, 38,3 cm-ko aldea duen fardel kubiko ba-                  En conclusión, con una maleta cúbica de 38,3 cm.
tekin lortuko dugu gehienezko bolumena.                            de lado obtendremos el máximo volumen.

Oharra: jarduera hau gauzatzen dugun bitartean,                    Nota: en el transcurso de esta actividad puede plan-
aipatutako desberdintza aritmetiko-geometriko                      tearse la obtención de una demostración de la ante-
hori frogatzea proposa daiteke, adibidez, indukzioa                rior desigualdad aritmético-geométrica, por ejemplo


                                Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                         9
     erabiliz. Ariketa errazagoa da bi zenbakirentzat fro-    por el método de inducción. Una versión más sencilla
     gatzea, hau da,                                          consiste en demostrarla para dos números, es decir,

                                      
                                                        

     eta desberdintza hori erabiltzea hiru zenbakiei da-      y utilizar esta desigualdad para demostrar la co-
     gokiena frogatzeko.                                      rrespondiente a tres números.

     3.4. Urteetan zehar aireportuetan, prisma angelu-        3.4. Antes, en los aeropuertos, había un contene-
     zuzen formako edukiontzi metaliko bat egoten zen         dor metálico con forma de prisma rectangular en el
     fardela bertan sartzeko, eta, horrela, ea esku-fardel    que introducir la maleta para ver si podía aceptarse
     gisa onartuko zuten jakiteko. Halere, tresna hori ez     como equipaje de mano. Sin embargo, dicho artilu-
     zen egokitzen “luzera + zabalera + altuera gehie-        gio no se ajustaba a la propia normativa de “largo
     nez 115 cm-koa” zion araudiari, zurruna zelako, eta      + ancho + alto que no exceda 115 cm”, ya que era
     ez zituelako dimentsio desberdinak onartzen.             rígido y no admitía diferentes dimensiones.

     Fardelen gaia eta espazio koordenatu tridimen-           Una cuestión interesante, que relaciona el problema
     tsionala erlazionatzen dituen gai aztertzeko arlo        del equipaje con el espacio coordenado tridimensio-
     interesgarria hegazkin-konpainiek esku-fardelen          nal, es la posibilidad de diseñar un sistema para que
     neurriak (zuzenean neurtu beharrik gabe) egiaztat-       la compañía compruebe las medidas del equipaje de
     zeko sistema bat diseinatzea litzateke.                  mano (sin tener que medirlas directamente).

     Metodo posible bat fardela hiru dimentsioko es-          Un posible método consiste en interpretar una
     pazio koordenatuko puntutzat jotzea da. a luze-          maleta como un punto del espacio coordenado
     ra, y zabalera eta z altuera duen fardel jakin bat       tridimensional. Dada una maleta de largo a, ancho
     kokatuko dugu hiru dimentsioko sistema koorde-           b, y alto c, se coloca en el sistema coordenado tri-
     natuan. Horren erpinetako bat koordenatuen jato-         dimensional de forma que uno de sus vértices esté
     rrian jarriko dugu, eta hiru ertzak ardatzetan jarrita   en el origen de coordenadas y tres de sus aristas
     egongo dira(irudian ikusten den eran). Horrela,          estén apoyadas en los ejes (como se muestra en la
     (a,b,c) koordenatu-puntua jatorrian dagoen erpi-         imagen). De esta forma, el vértice opuesto al que
     naren kontrako erpinak zehaztuko du.                     está en el origen está marcando precisamente el
                                                              punto de coordenadas (a,b,c).




10
Hegazkin-konpainien baldintza ulertzeko, geu-                     Para intentar comprender la condición de las com-
re buruari honakoa galdetu behar diogu: zer                       pañías aéreas, hay que plantearse qué conjunto
(x, y, z) puntu-multzo dator bat x + y + z = 115                  de puntos (x, y, z) satisface la expresión algebrai-
adierazpen aljebraikoarekin? (115, 0, 0), (0, 115,                ca x + y + z = 115. Este conjunto es exactamen-
0) eta (0, 0, 115), eta puntuetatik igarotzen den                 te el plano que pasa por los puntos (115, 0, 0),
planoa da multzo hori hain zuzen ere. Plano ho-                   (0, 115, 0) y (0, 0, 115). Los puntos que están
rren azpitik dauden puntu guztiek betetzen dute                   por debajo del plano satisfacen la desigualdad
x + y + z < 115 baldintza, eta gainetik dauden pun-               x + y + z < 115 y los que están por encima la des-
tuek, berriz, horren kontrakoa x + y + z > 115.                   igualdad contraria x + y + z > 115. En conclusión, la
Ondorioz, jatorri eta ardatz koordenatu gisa erabi-               compañía aérea necesitará una esquina que haga
liko izkina bat behar du hegazkin-konpainiak, baita               las veces de origen y ejes coordenados, una “plan-
hiruki-formako “xafla” plano bat ere (metalezkoa edo              cha” plana y triangular (metálica o de plástico) cu-




                                                                                                                           surfer programa ezaguzten • conociendo el programa surfer
plastikozkoa). Triangeluaren erpinak (115 cm, 0, 0),              yos vértices estén en los puntos (115 cm, 0, 0), (0,
(0, 115 cm, 0) eta (0, 0, 115 cm) puntuetan jarriko dira.         115 cm, 0) y (0, 0, 115cm), con una bisagra en el
Goiko erpinean banda bat jarriko diogu, xafla altxa-              vértice superior para poderla abrir e introducir las
tu eta fardelak sartu ahal izateko. Txokoan fardel bat            maletas. Si es posible cerrar la plancha cuando co-
sartutakoan xafla itxi badaiteke (x, y, z) puntua, hau            locamos una maleta en el rincón, entonces el pun-
da, fardelaren dimentsioak zehazten dituzten koor-                to (x, y, z) cuyas coordenadas determinan las di-
denatuak dituena, xaflaren planoaren azpitik dago,                mensiones de la maleta está por debajo del plano
eta beraz x + y + z < 115 baldintza betetzen du, on-              de la plancha, es decir, x + y + z < 115, y la maleta
dorioz, fardelak araudia betetzen du. Kontrakoa ger-              satisface la normativa. Lo contrario ocurre cuando
tatzen bada, xafla itxi ezin bada, araudia betetzen ez            no es posible cerrar la plancha.
duela esango dugu.

Ikasleek mekanismoa eraiki dezakete gelan; ho-                    Los y las estudiantes pueden construir su propio
rretarako, 2. jarduerako izkina “koordenatua” era-                mecanismo en el aula, utilizando la esquina “coor-
biliko dute, eta kartoi mehe bat xafla gisa. Behin                denada” de la actividad 2, y con una cartulina para
eraikitakoan, proba praktiko bat egin dezakete far-               la plancha. Una vez construida pueden realizar una
del batzuekin.                                                    prueba práctica con algunas maletas.



   Informazio gehiago nahi izanez gero:                               Más información:
   Claudi Alsina, Contar bien para vivir mejor.                       Claudi Alsina, Contar bien para vivir mejor.
   Rubes, 2004.                                                       Rubes, 2004.




II. Surfer programa                                               II. Conociendo el programa
    ezagutzen                                                         Surfer
Alemaniako Kaiserslauterneko Unibertsitate Te-                    El programa SURFER es un programa desarrollado
knikoak eta Oberwolfach Matematika Ikerketako                     por la Universidad Técnica de Kaiserslautern y el Ins-
Institutuak, Imaginary erakusketarako, SURFER                     tituto de Investigación Matemática Oberwolfach de
programa diseinatu dute. Programa honen bidez,                    Alemania, para la exposición Imaginary. Este progra-
gainazal aljebraikoen irudiak sortu eta bistaratu                 ma permite crear y visualizar fácilmente imágenes
daitezke modu errazean. Dohainik jaitsi dezakezu                  de superficies algebraicas. Se puede descargar gra-
honako web-orri honetan: www.rsme-imaginary.es                    tuitamente desde la página www.rsme-imaginary.es.


                               Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                         11
     Programa ezagutzeko, honekin jolastea da hobe-         La mejor forma de conocer un programa es jugar
     rena. Haurrek zenbakiak edo hitz egiten ikasten        con él. De la misma forma que los niños y niñas
     duten eran, hau da, modu naturalean eta gura-          aprenden los números, o a hablar, de una forma
     soek edo eurek jakintza zehatz batzuk eskurat-         natural y sin que los progenitores, o ellos mismos,
     zeko ahaleginik egin gabe; horrela ikasi behar         se lo planteen como la adquisición de una serie de
     dute ikasleek SURFER erabiltzen. Programa honen        conocimientos, así deben familiarizarse los y las es-
     funtsean zer jakintza matematiko jasotzen den          tudiantes con el programa SURFER. Sin plantearse
     serioski aztertu gabe; sena, irudimena eta jolasa      seriamente el conocimiento matemático que sub-
     erabili behar dituzte.                                 yace en este programa y dejando paso a la intui-
                                                            ción, a la imaginación y al juego.

     SURFER lehenengo aldiz erabiltzen duten pertso-        Las personas que se acerquen por primera vez al
     nek, adierazpen aljebraiko errazekin hasi beharko      SURFER deberán empezar con expresiones alge-
     dute lanean. Pixkanaka, aldaketak egingo dituzte       braicas sencillas sobre las que ir introduciendo
     adierazpen horietan, gainazalaren irudia nola al-      cambios poco a poco con el objetivo de observar
     datzen den ikusteko. Horixe egin behar da jardue-      las variaciones que producen estos en la imagen
     ra honetan.                                            de la superficie. En eso consiste esta actividad.

     Oharra: SURFERrek esfera ikusezin baten barruan        Nota: una característica significativa del SURFER es
     dagoen gainazalaren zatia erakusten du, eta irudia     que la imagen mostrada por el programa es la parte
     hurbilduz edo urrunduz gero (zoomaren bidez),          de la superficie que está dentro de una esfera invisible,
     esfera horren erradioa handiagotzen edo txikia-        y que acercar o alejar la imagen (mediante un zoom)
     gotzen dea.                                            sólo aumenta o disminuye el radio de esa esfera.

     Jarduera honetan, adierazpide aljebraiko batzuk        En esta actividad se describen algunas expresiones
     deskribatzen dira, eta manipulazio batzuk egitea       algebraicas y se recomiendan algunas manipula-
     gomendatzen da, programa ezagutzen joateko:            ciones con el objetivo de irse familiarizando con
                                                            el programa:

     1. adierazpen aljebraikoa: x2 – a = 0; ekuazioak bi    Expresión algebraica 1: x2 – a = 0; esta ecuación
     plano paralelo adierazten ditu a ≠ 0 denean, eta       representa dos planos paralelos cuando a ≠ 0, y un
     plano bakar bat a = 0 denean.                          solo plano cuando a = 0.

     (SURFER programak bi aldagai, “a” eta “b”, sartzeko    (El programa SURFER permite la inclusión de dos
     aukera ematen du; bakoitzaren balioa, 1 eta 0 ar-      variables “a” y “b”, y cuyo valor, que varía entre 0 y
     tekoa, alda daiteke, gainazalaren irudiaren azpian     1, puede modificarse con una barra horizontal que
     agertzen den barra horizontalaren bidez).              aparece bajo la imagen de la superficie).

     2. adierazpen aljebraikoa: x2 + y2 – a = 0; zilindro   Expresión algebraica 2: x2 + y2 – a = 0; es un cilin-
     bat da a = 0-rako zuzen batean bilakatzen dena.        dro que degenera en una recta para a = 0, que por
     Oso mehea denez, ez da ikusiko. Zer gertatzen da       su “delgadez” no se verá. ¿Qué ocurre si se cam-
     x-ren edo/eta y-ren berretzaileak aldatzen badi-       bian los exponentes de la x y/o de la y, por otros
     tugu? Desberdina al da berretzaile bikoitiak edo       números? ¿Hay diferencia entre utilizar exponen-
     bakoitiak erabiltzea? Zer gertatzen da x2 konstante    tes pares e impares? ¿Qué ocurre si se multiplica
     batekin biderkatzen badugu, hala nola, 10, 1.000       a x2 por una constante, por ejemplo 10, 1.000 o
     edo 100.000rekin?                                      100.000?

     3. adierazpen aljebraikoa: x2 – y2 – a = 0; zilindro   Expresión algebraica 3: x2 – y2 – a = 0; es un cilindro
     hiperboliko bat da, hau da, hiperbola bat, bi plano    hiperbólico, es decir, de una hipérbola, que degene-
     perpendikularretan bilakatzen dena. x2 – y2 – a =      ra en dos planos perpendiculares. Como x2 – y2 – a =
     (x –y) (x + y) – a denez, gainazala xy – a = 0-ren     (x –y) (x + y) – a, entonces la superficie es esencial-


12
berdina da funtsean, koordenatuetan aldaketa txi-                mente la misma que xy – a = 0, sin más que efectuar
ki bat egitearekin bigarren hau kontsidera dezake-               un pequeño cambio de coordenadas, luego puede
gu.                                                              considerarse también esta.

Zer gertatzen da x-ren edo/eta y-ren berretzaileak               ¿Qué ocurre si se cambian los exponentes de la x
aldatzen baditugu? Desberdina al da berretzaile                  y/o de la y? ¿Hay diferencia entre exponentes pares
bikoitiak edo bakoitiak erabiltzea? Zer gertatzen                e impares? ¿Qué ocurre si se multiplica a x2 (resp. a
da x2 (era berean xy-rentzako) konstante batekin                 xy) por una constante? ¿Y si ahora se añade la va-
biderkatzen badugu? Eta oraingoan z aldagaia                     riable z, es decir, se considera la superficie xyz – a =
gehitzen badugu, hau da, xyz – a = 0 gainazala                   0, y de nuevo se realizan modificaciones?
kontuan hartzen badugu, eta berriro ere aldaketak
egiten baditugu?




                                                                                                                            surfer programa ezaguzten • conociendo el programa surfer
                                                                          


4. adierazpen aljebraikoa: Jarraian, gaina-                      Expresión algebraica 4: a continuación, se pue-
zal koadratiko errazak azter ditzakegu: esfera                   den considerar, como base de este aprendizaje,
(x2 + y2 + z2 – 1 = 0), azal baten hiperboloidea                 diferentes superficies cuadráticas sencillas: esfera
(x2 – y2 – z2 – 1 = 0), paraboloidea (x2 + y2 – z = 0,           (x2 + y2 + z2 – 1 = 0) hiperboloide de una hoja
paraboloide hiperbolikoa (x2 – y2 – z = 0)... eta, oro           (x2 – y2 – z2 – 1 = 0), paraboloide (x2 + y2 – z = 0),
har, mota honetako adierazpenak azter di-tzakegu:                paraboloide hiperbólico (x2 – y2 – z = 0),... y en ge-
                                                                 neral, analizar las expresiones del tipo

                Ax2 ± By2 ± Cz2 = a                                                  Ax2 ± By2 ± Cz2 = a

x, y eta z aldagaien koefizienteak alda ditzakegu-               modificando incluso los coeficientes de las varia-
larik.                                                           bles x, y, z.




        kubo biribildua: x6 + y6 + z6 – 1 = 0                            cubo redondeado: x6 + y6 + z6 – 1 = 0


                              Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                           13
     5. adierazpen aljebraikoa: Hurrengo pausoa                   Expresión algebraica 5: El siguiente paso sería
     SURFERren galerian aurki ditzakegun gainazal al-             considerar los ejemplos, algo más complejos, de
     jebraikoen eredu zailagoak aztertzea izango da:              superficies algebraicas que nos ofrece la galería de
     singulartasun sinpleak, gainazalak errekorrak, gai-          SURFER: singularidades simples, superficies record,
     nazal nabarmenak I. eta II.                                  superficies notables I y II.

     Adibide bat izan liteke “Distira” (galerian, Distel).        Un ejemplo podría ser “el destello” (Distel en la
     Hori eraikitzeko, (x2 + y2 + z2 – 1 = 0) esferarekin         galería). Para construirla se empieza con la esfera
     hasten da, eta (x2 + y2) (x2 + z2) (y2 + z2) zenbaki altu    (x2 + y2 + z2 – 1 = 0), a la que se le añade la expre-
     batez biderkatuta, 105: ez adibidez, adierazpena             sión (x2 + y2) (x2 + z2) (y2 + z2), multiplicada por un
     gehitu behar zaio, hau da:                                   número alto, por ejemplo 105:

     (x2 + y2 + z2 – 1) + 105 (x2 + y2) (x2 + z2) (y2 + z2) = 0   (x2 + y2 + z2 – 1) + 105 (x2 + y2) (x2 + z2) (y2 + z2) = 0




     Beste behin ere, interesgarria litzateke adieraz-            Y una vez más sería interesante el análisis de los
     pen aljebraikoa aldatzeak gainazalean zer ondorio            efectos que producen en la superficie cambios en
     sortzen dituen aztertzea. Jarraian azaltzen diren            la expresión algebraica, como los sugeridos a con-
     aldaketen antzekoak egin ditzakegu:                          tinuación.

       i) 105 konstantearen balioa aldatzea;                        i) modificar el valor de la constante 105;

      ii) gehitutako adierazpeneko + zeinuetako bat                ii) cambiar uno (o varios) de los signos + de la ex-
          (edo batzuk) aldatzea eta – zeinua jartzea,                  presión añadida por un signo −, por ejemplo
          adibidez, (x2 – y2) jartzea (x2 + y2)-ren ordez;             (x2 – y2), en lugar de (x2 + y2);

     iii) gehitutako adierazpideko + zeinuetako bat (edo          iii) cambiar uno (o varios) de los signos + de la ex-
          batzuk) aldatzea eta biderketa-zeinua jar-tzea,              presión añadida por un signo de multiplica-
          adibidez, (y2 z2) jartzea (y2 + z2)-ren ordez;               ción, por ejemplo (y2 z2) en lugar de (y2 + z2);

     iv) (x2 + y2), (x2 + z2) eta (y2 + z2) hiru adierazpene-     iv) cambiar una (o varias) de las tres expresiones
         tako bat (edo batzuk) aldatzea, eta aldagaie-                (x2 + y2) , (x2 + z2) y (y2 + z2), y por solo una de las
         tako bat ber bi jartzea bakarrik, hala nola, x2, z2          variables al cuadrado, por ejemplo, por x2, z2 e y2;
         eta y2;

      v) alda al dezakegu ekuazioa distirak lau punta              v) ¿podría modificarse la ecuación para que el des-
         soilik izan ditzan?                                          tello tenga solamente cuatro puntas?


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                                   Hustutako bola                    La bola desinflada




                                                                                                                              surfer programa ezaguzten • conociendo el programa surfer
                                   (x + y + z – 1) + 10 (x y2) (x2 z2) (y2 z2) = 0.
                                     2    2     2            5   2




Jarraian, trikimailu erraz batzuk azalduko dira SUR-                 A continuación, algunos sencillos trucos de inicia-
FER programa ezagutzen joateko:                                      ción en el programa SURFER:

1. trikimailua (gainazal aljebraikoak bildura): Horri                Truco 1 (Unión de superficies algebraicas): Este
esker, bi gainazal aljebraiko, edo gehiago, ikus dit-                permite mostrar dos, o más, superficies algebraicas
zakegu une berean. f(x,y,z) = 0 ekuazioak definitzen                 a un mismo tiempo. Sea f(x,y,z) = 0 la ecuación al-
badu lehenengo gainazalak, eta g(x,y,z) = 0 ekua-                    gebraica que define la primera superficie y g(x,y,z) =
zioak bigarrenak, orduan une berean erakutsi ahal                    0 la de la segunda, entonces pueden mostrarse las
izango dira bi gainazalak, bi adierazpide aljebraiko                 dos superficies al mismo tiempo mediante la multi-
horiek biderkatuta, hau da, f(x,y,z) g(x,y,z) = 0 egin-              plicación de ambas expresiones algebraicas f(x,y,z)
da.                                                                  g(x,y,z) = 0.

Adibidez, honako adierazpen aljebraiko honen bidez                   Como ejemplo, la unión de tres cilindros perpendi-
bildu ahal izango ditugu hiru zilindro perpendikular:                culares se obtiene mediante la expresión algebraica




                                                                          (x2 + y2 – 1) (x2 + z2 – 1) (y2 + z2 – 1) = 0.




Gainera, aldaketa erraz bat eginez, gainazal horiek                  Además, con un sencillo cambio pueden fundirse
elkar daitezke. Horretarako, nahikoa da “a” aldagaia                 las superficies consideradas. Simplemente hay que
kentzea ekuazioari (a-ren balioa aldatzeko aukera                    restarle la variable “a” a la ecuación (SURFER permi-
ematen du SURFERrek, 0 eta 1 artean).                                te modificar el valor de a, entre 0 y 1).




   (x2 + y2 – 1) (x2 + z2 – 1) (y2 + z2 – 1) –a = 0.




                               Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                            15
     Hortik abiatuta, posible al da hiru ardatz koorde-         ¿Podrían, a partir de este truco, dibujarse los tres
     natuak marraztea?                                          ejes coordenados?

     2. trikimailua (gainazal aljebraikoen ebakidura):          Truco 2 (Intersección de superficies algebraicas):
     f(x,y,z) = 0 eta g(x,y,z) = 0 gainazal aljebraikoak        Dadas dos superficies algebraicas f(x,y,z) = 0 y
     kontuan hartuta, bi horien ebakidura kontsidera            g(x,y,z) = 0, se puede considerar la intersección de
     dezakegu. Horretarako f(x,y,z)2 + g(x,y,z)2 = 0 adie-      ambas introduciendo en Surfer la expresión f(x,y,z)2
     razpena sartu behar dugu SURFERren.                        + g(x,y,z)2 = 0.

     Adibide giza Viviani-ren kurba deskribatzen da. (1,        A modo de ejemplo, se describe la curva de Viviani.
     0, 0) puntuan zentratutako eta 1 erradioko zilin-          Esta es la curva que se obtiene como intersección
     dro baten eta jatorrian, (0, 0, 0) n, zentratutako 2       de un cilindro de radio 1 centrado en el punto (1,
     erradioko esfera baten ebakidura bezala lortzen da         0, 0) y la esfera centrada en el origen (0, 0, 0) y de
     (ikus irudia). Halere, honako ekuazio hau sartzen          radio 2 (véase la imagen). Sin embargo, si se intro-
     badugu SURFERen                                            duce en el SURFER la ecuación

           ((x – 1)2 + y2 – 1)2 + (x2 + y2 + z2 –1)2 = 0              ((x – 1)2 + y2 – 1)2 + (x2 + y2 + z2 –1)2 = 0

     ez da ezer ikusiko. Izan ere, kurbak ez dauka lodie-       no se verá nada. El motivo es que la curva no tie-
     rarik, eta horregatik ez da ikusten. Ikusi ahal izateko,   ne grosor y por eso no se aprecia. Para mostrarla de
     “a” aldagaia kendu behar diogu ekuazioari.                 nuevo hay que restarle la variable “a” a la ecuación.

         ((x – 1)2 + y2 – 1)2 + (x2 + y2 + z2 –1)2 – a = 0          ((x – 1)2 + y2 – 1)2 + (x2 + y2 + z2 –1)2 – a = 0

     Trikimailu honek, bi gainazalen ebakidura gisa lor-        En particular, este truco permite representar curvas
     tutako kurba irudikatzeko aukera ematen du.                obtenidas como intersección de dos superficies.




     III. Surfer, modelizazioa eta                              III. Surfer, modelización y
          sormena                                                    creatividad
     SURFER programari esker, ikasleak modu errazean            El programa SURFER permite a los y las estudian-
     eta intuitiboan hurbil daitezke matematiketako             tes acercarse de una manera ligera e intuitiva a dos
     prozesu garrantzitsuetara. Modelizazioaren edo             procesos muy importantes en matemáticas: la mo-
     ereduak –egitura matematiko sinpleak– sortzeko             delización, o creación de modelos −estructuras
     prozesuen bidez, problemak, hainbat egoera edo             matemáticas sencillas− que describen problemas,
     bizitza errealeko objektuak deskribatzen dira, eta         situaciones diversas, u objetos de la vida real, y la uti-
     eredu horiek erabil daitezke objektu berriak sortze-       lización de dichos modelos para el diseño de nuevos
     ko edo sortze artistikorako.                               objetos o para la creación artística.


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1. jarduera: Eguneroko bizitzako objektuen an-                    Actividad 1: Buscar entre las imágenes de la exposi-
tzekoak diren gainazalak aurkitzea IMAGINARY                      ción IMAGINARY superficies que se asemejen a ob-
erakusketako irudien artean, hala nola...                         jetos de la vida cotidiana, como por ejemplo...




                                                                                                                              surfer, modelizazioa eta sormena • surfer, modelización y creatividad
           sagarra, kruasana, diaboloa,...                                      manzana, cruasán, diábolo,...

2. jarduera: Behin ikasleek SURFER programa ma-                   Actividad 2: Una vez que los y las estudiantes
neiatzen ikasi dutenean, ekuazio aljebraikoak ma-                 han aprendido a manejar el programa SURFER,
nipulatzen has gaitezke (programaren galeriako                    el siguiente paso puede ser animarse a manipu-
gainazalak har daitezke oinarritzat), bizitza errea-              lar ecuaciones algebraicas (puede tomarse como
leko objektuak “imitatzen” dituzten gainazalak                    base las superficies de la galería del programa) con
sortzeko.                                                         el fin de crear nuevas superficies que “imiten” ob-
                                                                  jetos de la vida real.

Jarduera hori baliatu daiteke gelan, ikastetxean                  Puede aprovecharse esta actividad para organizar
edo egoki irizten den tokian lehiaketa bat egiteko.               un concurso en el aula, en el centro educativo o
“Eguneroko objektuak SURFER programaren bidez                     donde se considere interesante, sobre “modeli-
adieraztea” izango da lehiaketaren gaia, eta sariak,              zación/representación de objetos cotidianos me-
epaimahaiak, jendearen botoa (ikasleak, intern-                   diante el SURFER”, con premios, jurado, votaciones
autak,...) etb presta daitezke. Gainera, Imaginary                del público (estudiantes, internautas,...). E incluso
erakusketa dela eta, 2011ean Bilbon eta Espainian                 pueden presentarse las imágenes a los concursos
antolatutako lehiaketetara igor daitezke irudi ho-                organizados con motivo de la exposición Imaginary
riek; ikus:                                                       en Bilbao, y en España, durante el año 2011, véase
www.ehu.es/imaginary edo www.rsme-imaginary.es                    www.ehu.es/imaginary o www.rsme-imaginary.es

3. jarduera: Gainazalen adibideak azal daitezke ge-               Actividad 3: Se puede mostrar a los estudiantes en
lan, edo ikasleei esan ikerketa bat egin dezatela inter-          clase, o plantearles que realicen una investigación en
neten –gida hau irakurtzen duen beste edonork ere                 Internet –lo mismo que lo puede hacer cualquier lec-
egin dezake– diseinuan edo artean erabiltzen diren                tor o lectora de esta guía–, ejemplos de superficies,
gainazalak aztertzeko. Ez daukate derrigorrez alje-               no necesariamente algebraicas, utilizadas en el diseño
braikoak izan beharrik. Adibidez, Moebius-en banda                o en el arte. Por ejemplo, la banda de Moebius (Max
(Max Bill, Keizo Ushio, John Robinson), gainazal mini-            Bill, Keizo Ushio, John Robinson), superficies minima-
malak (Brent Collins), itsasaldeko gainazal minimala              les (Brent Collins), la superficie minimal de costa (He-
(Helaman Fergusson), paraboloide hiperbolikoa (An-                laman Fergu-sson), paraboloide hiperbólico (Andreu
dreu Alfaro), torua edo donut-aren gainazala (Richard             Alfaro), toro o superficie del donut (Richard Serra, Kei-
Serra, Keizo Ushio), eta askoz gehiago.                           zo Ushio), y muchas más.

4. jarduera: Gainazalak aztertzea eta modelizatzea                Actividad 4: El estudio y modelización de superfi-
sormen artistikorako oinarri izan daiteke. Jardue-                cies se convierte así en base para la creación artís-
ra interesgarria da, SURFER programaren bidez,                    tica. Una actividad muy interesante es el desarro-
hauetan oinarrituta gainazal aljebraiko edo mun-                  llo de nuevas superficies algebraicas o montajes a
taia berriak sortzea. Sortutako lanak bereziak izan-              partir de estas, con el programa SURFER, que des-
go dira horien edertasunagatik, originaltasunaga-                 taquen por su belleza, originalidad, impacto visual,


                               Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                               17
     tik, inpaktu bisualagatik... Eta, oraingo honetan       etc. Y de nuevo se puede organizar un concurso
     ere, “SURFERrekin sortutako irudien” lehiaketa bat      de “imágenes creadas con el SURFER”.
     antola daiteke.




     IV. Morenaments                                         IV. Morenaments
     Martin von Gagern-ek diseinatu zuen programa            Este programa, diseñado por Martin von Gagern,
     hau. Horri esker, apaingarriak sor ditzakegu modu       permite generar ornamentos de forma senci-
     errazean. Esku hutsez marraztutako jatorrizko ere-      lla, partiendo de modelos originales realizados a
     duetatik abiatuta sortzen dira apaingarriak, eta pla-   mano alzada los cuales se completan según algu-
     no euklidestarreko simetria-taldeetako baten ara-       no de los grupos de simetría del plano euclídeo. Se
     bera osatzen dira. Dohainik eskura daiteke honako       puede conseguir gratuitamente desde la página
     web-orri honetan:                                       http://www.morenaments.de/euc/
     http://www.morenaments.de/euc/

     Hasierako definizioak. edozein marrazki sinpleri        Definiciones previas. Se llamará motivo geomé-
     motibo geometrikoa deituko diogu. Motibo hori           trico a cualquier dibujo simple. Si dicho motivo se
     norabide jakin batean errepikatzen bada, friso de-      repite en una dirección dada, se obtiene lo que se
     ritzona lortzen dugu, behean azaltzen den marraz-       llama un friso, como el que se muestra en la figura
     kian erakusten denaren modukoa.                         inferior.


                                                                                    


     Motiboa bi norabidetan errepikatzen bada, mo-           Si el motivo se repite en dos direcciones, se trata
     saiko bat lortzen da; talde kristalografiko ere deit-   de un mosaico, también llamado grupo cristalo-
     zen zaio.                                               gráfico.




     Frisoak edo mosaikoak eraikitzeko metodo erraz          Tanto para construir frisos como mosaicos, un mé-
                                                                                



     bat oinarrizko motiboa hautatzea eta horrekin,          todo sencillo consiste en elegir el motivo básico y
     norabide batean edo bietan, oinarrizko mugimen-         realizar con él diferentes movimientos elementa-
     duak egitea da.                                         les, en una o dos direcciones.


18
Jarraian, laburki deskribatuko ditugu planoan egin              Se describen a continuación de forma breve los di-
daitezken oinarrizko mugimenduak:                               ferentes movimientos elementales en el plano:

Norabide jakin bateko Translazioa: Gezi edo be-                 Traslación en una dirección dada. El motivo básico
ktore baten hasieratik bukaeraraino eraman os-                  se reproduce al trasladarlo desde el inicio hasta el
tean oinarrizko motiboa kopiatzen da.                           final de una flecha o vector.
                                                





Angelu jakin baten araberako errotazioa edo bi-                 Rotación o giro según un ángulo determinado. El
raketa: Oinarrizko motiboa angelu jakin batean                  motivo inicial gira un ángulo dado.
biratu egiten da.




                                                                                                                        morenaments • morenaments
Ispilu-islapena. Ispilu batean islatutako irudi baten           Reflexión especular. La figura se reproduce como la
antzera kopiatzen da marrazkia.                                 imagen reflejada por un espejo.
                                            





Islapen lerratua. Translazio batez konposaturiko                Reflexión deslizada. Se trata de una reflexión espe-
ispilu-islapen bat da.                                          cular seguida de una traslación.
                                        





Frisoen zenbait eredu: Emaitza harmonikoak eta                  Distintos modelos de frisos. En la decoración y or-
simetrikoak lortzeko arte-dekorazioan eta –orna-                namentación artística es común crear diseños que
mentazioan, motibo apaingarri bera lerro zuzen                  consisten en la repetición de un mismo motivo or-
batean zehar errepikatzetik sortzen diren disei-                namental a lo largo de una línea recta –por ejemplo
nuak erabili ohi dira; adibidez, zeramikazko greke-             en las grecas de cerámica, cenefas y bordes de al-
tan–, mendeletan eta alfonbren ertzetan. Horrela                fombras– , con el objeto de dar al resultado final un
elementu apaingarri horietako bakoitzak friso-tal-              aspecto más armónico y simétrico. Cada elemento
dea deritzona sortzen du. Azterketa geometriko                  decorativo genera de esta manera lo que se llama
bat eginez gero planoko mugimendu-taldeen                       un grupo de frisos. Un estudio geométrico, basado
ezaugarrien gainean, friso-taldeak osatzeko zazpi               en las propiedades del grupo de movimientos en
modu bakarrik daudela ikusiko dugu.                             el plano, permite deducir que únicamente son po-
                                                                sibles siete formas distintas de generar los grupos
                                                                de frisos.


                             Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                 19
     Jarraian azaltzen dira horiek guztiak adierazten       Se muestran a continuación imágenes represen-
     dituzten irudiak, horiek identifikatzeko sinbologia-   tativas de todas ellas, junto con su símbolo iden-
     rekin batera (Nazioarteko Kristalografia Elkarteak     tificativo, adoptado por la Unión Internacional de
     onartutako sinbologia).                                Cristalografía.

     p1: translazioa.                                       p1: traslación.
                                





     pm: translazioa gehi islapena ardatz horizontaletik.   pm: traslación más reflexión por eje horizontal.




     p/m: translazioa gehi islapena ardatz bertikaletik.    p/m: traslación más reflexión por eje vertical.
                                





     pg: translazioa gehi islapen lerratua.                 pg: traslación más reflexión deslizada.




     p2: translazioa gehi 180º-ko biraketa.                 p2: traslación más rotación de 180º.




     p2m: translazioa gehi 180º-ko biraketa gehi isla-      p2m: traslación más rotación de 180º más re-
     pena.                                                  flexión.




     p2g: translazioa gehi 180º-ko biraketa gehi isla-      p2g: traslación más rotación de 180º más reflexión
     pen lerratua.                                          deslizada.




     Zenbait mosaiko-eredu: Oinarrizko motiboa edo          Distintos modelos de mosaicos. Si el motivo o figu-
     irudia bi norabide desberdinetan errepikatzen bada,    ra básica se repite en dos direcciones distintas, ori-
     mosaiko edo talde kristalografiko plano bat sortzen    gina un mosaico o grupo cristalográfico plano. Los
     da. Bi translazioen norabideek seinalatzen dituz-      dos vectores que señalan las direcciones de las dos
     ten bektoreek oinarrizko paralelogramoa deritzona      traslaciones generan el llamado paralelogramo fun-
     osatzen dute, eta plano osoan zehar errepikatzen da    damental, que se repite a lo largo de todo el plano,
     hori, irudian ikus daitekeen eran.                     como el que se muestra en la figura.


20
                                                                                               

Mosaiko bat eraikitzeko, aipatutako bi translazioez            Para construir un mosaico, además de las dos tras-
gainera, beste mugimendu batzuk ere egin dai-                  laciones indicadas, se pueden realizar otros movi-
tezke, hala nola, biraketak eta islapenak. Ikus dai-           mientos, como rotaciones y reflexiones. Puede ob-
tekeen bezala, irudia aldaezin uzten duten mugi-               servarse que los únicos movimientos posibles son
menduak soilik egin daitezke.                                  los que dejan la figura invariable.

Egin daitezkeen biraketak kontuan hartuta, mate-               Fijando la atención en los posibles giros, se ha proba-
matikoki frogatu da honako biraketa-angelu posible             do matemáticamente que los únicos posibles ángu-
hauek soilik daudela: 60º, 90º, 120º, 180º eta 360º            los de giro son 60º, 90º, 120º, 180º y 360º (este último




                                                                                                                          morenaments • morenaments
(azken hori biraketarik ez egitearen baliokidea da).           equivale a no realizar ningún giro).

Apaingarri planoen konfigurazio posible guztiak                A pesar de la dificultad teórica para determinar todas
teorikoki zehaztea zaila bada ere (Evgraf Fedorov-             las posibles configuraciones de ornamentos planos
ek, 1891an, planoan 17 simetria-talde soilik egon              (la demostración de que sólo puede haber 17 grupos
daitezkeela frogatu zuen; bai eta, bere aldetik,               de simetría en el plano se debe a Evgraf Fedorov en
George Pólya-k ere, 1924an), antzinako apainga-                1891 e, independientemente, por George Pólya en
rrietan horien guztien adibideak aurkitu dira. Gra-            1924), se han encontrado ejemplos de todos ellos en
nadako Alhambrakoak dira aipagarrienak, haien                  ornamentos antiguos. Los más destacables por su va-
balio estetikoa dela eta.                                      lor estético son los de la Alhambra de Granada.

Hainbat modutan identifika ditzakegu horma-iru-                Existen distintas formas de identificar los 17 grupos
dietako 17 simetria-taldeak. Nazioarteko Kristalo-             de simetrías de murales. La utilizada en el programa
grafia Elkarteak onartutako modua erabiltzen du                MORENAMENTS es la aceptada por la Unión Interna-
MORENAMENTS programak. Notazio kristalogra-                    cional de Cristalografía. La notación cristalográfica
fikoa gelaxka-unitatearen ezaugarriak identifikat-             consiste en cuatro o menos símbolos que identifican
zen dituzten lau sinboloz edo gutxiagoz osatzen                las características de la celda unidad.
da.

Xehetasun tekniko handirik eman gabe, horietako                Sin entrar en excesivos detalles técnicos, se descri-
bakoitza deskribatuko dugu jarraian. Gelaxka-                  ben a continuación las características de cada una
unitatea ere erakusten da (gune grisa), biraketak              de ellas. Se muestran también (región sombreada)
eta islapenak kontuan hartu gabe aukeratutako                  la baldosa unidad, la que se reproduce según las dos
bi norabideen arabera sortzen dena (MORENA-                    direcciones elegidas sin contar giros ni reflexiones
MENTS programan, pantailako beheko eskuineko                   (en el programa MORENAMENTS es la que aparece
aldean agertzen da). Bestalde, funtsezko gunea                 en la parte inferior derecha de la pantalla) y la región
ere erakusten da (txikiena, marra urdinez muga-                fundamental (la más pequeña que está limitada por
tuta dagoena); gune txikiena da, eta baldosadu-                líneas azules), la más pequeña mediante la cual se
ra osoa lor daiteke horren bidez (MORENAMENTS                  puede obtener todo el embaldosado (en el progra-
programan, pantailaren ezkerreko aldean eskuz                  ma MORENAMENTS corresponde a la imagen que se
marrazten den irudia da).                                      dibuja a mano en la parte izquierda de la pantalla).


                            Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                    21
     p1: translazioak soilik (biraketarik, islapenik edo is-   p1: sólo traslaciones (sin rotaciones, reflexiones ni
     lapen lerraturik gabe) (ezquerrekoa)                      reflexiones deslizadas) (izquierda)
     p2: translazioak eta 180º-ko biraketa (islapenik eta      p2: traslaciones y giro de 180º (sin reflexiones ni
     islapen lerraturik gabe) (eskuina)                        reflexiones deslizadas) (derecha)




     pm: translazioak eta islapena puntu-lerroaren ara-        pm: traslaciones y reflexión según la línea de pun-
     bera (islapen lerratu bateko edozein ardatz islapen       tos (cualquier eje de una reflexión deslizada es eje
     bateko ardatz da)                                         de una reflexión)
     pg: translazioak eta islapen lerratua (biraketarik        pg: traslaciones y reflexión deslizada (sin rotacio-
     eta islapenik gabe)                                       nes ni reflexiones)




     pmm: translazioak, 180º-ko biraketa eta islapena          pmm: traslaciones, giro de 180º y reflexión por la
     puntu-lerrotik (islapen lerratu bateko edozein ar-        línea de puntos (cualquier eje de una reflexión des-
     datz islapen bateko ardatz da)                            lizada es eje de una reflexión)
     pmg: translazioak, 180º-ko biraketa eta islapena pun-     pmg: traslaciones, giro de 180ª y reflexión según la
     tu-lerroaren arabera (islapen lerratua dauka, eta ho-     línea de puntos (tiene una reflexión deslizada cuyo
     rren ardatza ez da paraleloa islapen-ardatzekiko)         eje no es paralelo a ningún eje de reflexión)




22
pgg: translazioak, 180º-ko biraketa eta islapen le-             pgg: traslaciones, giro de 180º y reflexión deslizada
rratua (ez dauka islapenik)                                     (no contiene reflexiones)
cm: translazioak eta islapena erronboaren diago-                cm: traslaciones y reflexión respecto a la diagonal
nalarekiko (islapen lerratu bat dago, eta horren ar-            del rombo (hay una reflexión deslizada cuyo eje no
datza ez da islapen-ardatza)                                    es eje de reflexión)




                                                                                                                         morenaments • morenaments
cmm: translazioak, 180º-ko biraketa eta islapena                cmm: traslaciones, giro de 180º y reflexión respecto
erronboaren diagonalarekiko (islapen lerratu bat                a la diagonal del rombo (hay una reflexión deslizada
dago, eta horren ardatza islapen ardatzarekiko pa-              cuyo eje es paralelo a un eje de reflexión)
raleloa da)                                                     p4: traslaciones y giro de 90º (sin reflexiones ni re-
p4: translazioak eta 90º-ko biraketa (islapenik eta             flexiones deslizadas)
islapen lerraturik gabe)




p4m: translazioak, 90º-ko biraketa eta islapena                 p4m: traslaciones, giro de 90º y reflexión por la lí-
puntu-lerrotik (biraketa-zentroa islapenen baten                nea de puntos (el centro de rotación pertenece al
ardatzekoa da)                                                  eje de alguna reflexión)
p4g: translazioak, 90º-ko biraketa eta islapen lerra-           p4g: traslaciones, giro de 90º y reflexión deslizada
tua (horren biraketa-zentroa islapen-ardatz batek               (tiene un centro de rotación que no está contenido
ere ez du barnean)                                              en ningún eje de reflexión)


                             Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                  23
     p3: translazioak eta 120º-ko biraketa (islapenik     p3: traslaciones y giro de 120º (sin reflexiones)
     gabe)                                                p3ml: traslaciones, giro de 120º y reflexión (cual-
     p3ml: translazioak, 120º-ko biraketa eta islapena    quier centro de rotación pertenece a algún eje de
     (biraketa-zentro guztiak dira islapen-ardatzen ba-   reflexión)
     tekoak)




     p3lm: translazioak, 120º-ko biraketa eta islapena    p3lm: traslaciones, giro de 120º y reflexión (un cen-
     (biraketa-zentro bat ere ez da inongo islapen-ar-    tro de rotación no pertenece a ningún eje de re-
     datzetakoa)                                          flexión)
     p6: translazioak eta 60º-ko biraketa (islapenik
                                                          p6: traslaciones y giro de 60º (sin reflexiones)
     gabe)




24
p6m: translazioak, 60º-ko biraketa eta islapena                p6m: traslaciones, giro de 60º y reflexión por la lí-
puntu-lerrotik                                                 nea de puntos




1. jarduera: Erabili sormena baldosadura original              Actividad 1: Utilizar la creatividad para diseñar un
bat diseinatzeko, eta proba egin kolore desberdi-              embaldosado original y experimentar con diferen-
nekin eredu estetikoak sortzeko.                               tes colores para construir modelos estéticos.




                                                                                                                           morenaments • morenaments
MORENAMENTS programan, lerro batzuk marraz-                    Utilizando el programa MORENAMENTS, han de
tu behar dira pantailaren ezkerreko aldean, kolore             trazarse algunas líneas en la parte izquierda de la
eta lodiera desberdinak izango dituztenak. Jarraian,           pantalla, de colores diversos y grosores diferentes.
eskuineko aldearen goialdean dauden sinboloak                  A continuación, se pulsa en los símbolos de la par-
sakatu behar dira, eta horrela mosaiko desberdinak             te superior derecha observando los diferentes mo-
lortuko ditugu. Ondoren, eskuineko aldearen be-                saicos que se consiguen. Después, se modifica el
healdean dagoen laukizuzena aldatu behar da, ho-               rectángulo de la parte inferior derecha arrastrando
rren erpinetan dauden puntuak arrastatuz. Puntu                los puntos situados en sus vértices. Mover el punto
urdina mugitu behar da oinarrizko laukizuzena lekuz            azul para trasladar el rectángulo fundamental y los
aldatzeko, eta puntu berdea eta gorria horren forma            puntos verde y rojo para cambiar la forma y dimen-
eta dimentsioak aldatzeko.                                     siones del mismo.

Une bakoitzean zer emaitza lortu dugun aztertzea               Se sugiere observar en cada caso el resultado ob-
gomendatzen dugu, eta haien itxura estetikoari                 tenido y comparar los distintos modelos en cuanto
dagokionez ereduak alderatzea.                                 a su apariencia estética.

Bigarren fase batean, beste mota bateko lerroak                En una segunda fase, se aconseja experimentar con
probatzea gomendatzen da; lodiera desberdine-                  otro tipo de trazos, curvas de diferentes grosores,
tako kurbak, grafikoko zenbait elementuren arteko              puntos entre los distintos elementos de la gráfica,
puntuak, lerro lodiagoetan barne hartutako lerro               líneas más finas contenidas en otras más gruesas,
meheak, etab. Posible al da karratu, triangelu edo             etc. ¿Puede conseguirse hacer un cuadrado, o un
izar bat lortzea lerro bakar bat marraztuta?                   triángulo, o una estrella, dibujando una sola línea?

Aukera ugari sortzen dira horrela, gela edo horma              Se abre así un inagotable mundo de posibilidades,
bat apaintzeko motibo bihur daitezkeenak.                      que pueden convertirse en motivos decorativos
                                                               para una habitación o una pared.

2. jarduera: Irudi batetik abiatuta, eraiki progra-            Actividad 2: A partir de una imagen, construir los dife-
mak eskaintzen dituen simetria-talde guztiak.                  rentes grupos de simetría que ofrece el programa.

Horretarako, programako pantailaren ezkerreko                  Para ello, basta dibujar una imagen sencilla, que no
aldean irudi sinple bat, simetriarik ez duena, ma-             tenga simetrías, en la parte izquierda de la pantalla del


                            Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                     25
     rraztea nahikoa da. Jarraian, eskuineko aldearen       programa. A continuación, se pulsa en los diferentes
     goialdean dauden sinboloak sakatu behar dira.          símbolos que aparecen en la parte superior derecha.
     Lortutako emaitzak aztertuz gero, horietan sime-       Observando los resultados obtenidos, se trata de des-
     triak aurkituko ditugu. Orain, lortutako emaitzak      cubrir las simetrías que aparecen en ellos. Entonces, se
     alderatuko ditugu aurreko atalean azaldutakoekin,      comprueban los resultados conseguidos con los indi-
     eta ea guztiak dauden egiaztatu daiteke. Apainga-      cados en el apartado anterior, para saber si están to-
     rriak dituen simetria guztiak ez badaude hor, hori     das. Si no se encuentran todas las simetrías que tiene
     konpontzeko jatorrizko eredua alda dezakegu, eta       el ornamento, una técnica para resolver esta cuestión
     sinpleago bat jarri, edo oinarrizko laukizuzenaren     puede ser cambiar el modelo original por otro más
     dimentsioak alda ditzakegu.                            sencillo o variar las dimensiones del rectángulo básico.

     Behin mekanismoa ulertu dugunean, eredu landua-        Una vez entendido el mecanismo, se puede inten-
     goak sortzen ahalegindu gaitezke, eta marrazkia osa    tar la creación de modelos más elaborados, com-
     dezakegu beste elementu grafiko batzuk erabiliz.       pletando el dibujo con nuevos elementos gráficos.

     3. jarduera: Apaingarri jakin bati, programaren bi-    Actividad 3: Reconocer el grupo de simetría que
     dez lortutakoa edo kanpoko irudi bat, zer simetria-    corresponde a un ornamento dado, ya sea obteni-
     talde dagokion jakitea.                                do en el programa o de una imagen externa.

     Ohiko inguruneko irudi ugari erabil ditzakegu jar-     Muchas imágenes de nuestro entorno habitual,
     duera hau egiteko, hala nola, margotutako pape-        paredes decoradas con papel pintado, suelos de
     rez apaindutako hormak, motibo geometrikoak            baldosas con motivos geométricos, diversas crea-
     dituzten baldosa-zoruak, interneten eskuragarri        ciones artísticas disponibles en Internet, son apro-
     dauden lan artistikoak, etab.                          piadas para realizar esta actividad.

     Simetria-taldea zein den jakiteko, metodo ohikoe-      El método usual para el reconocimiento del grupo de
     na oinarrizko paralelogramoa bilatzea da. Hori         simetría consiste en encontrar un paralelogramo fun-
     aurkitzeko intuiziozko modu bat paralelogramo          damental. Una forma intuitiva de encontrarlo es buscar
     bat bilatzea da, ABCD adibidez, eta, beraz:            un paralelogramo, digamos ABCD, de tal manera que:

     • Paralelogramo hori lekualdatzen badugu AB eta        • Si se traslada dicho paralelogramo según las di-
       AC bektoreek emandako norabideen arabera,              recciones dadas por los vectores AB y AC, obte-
       irudi osoa lortuko dugu berriz ere.                    nemos de nuevo la figura completa.

     • Gainera, ABCD paralelogramoa eduki daitekeen         • Además el paralelogramo ABCD es aquel cuyos
       alde txikiena duena da.                                lados son los menores posibles.

     Paralelogramoa aurkitu ostean, ereduaren ezauga-       Después de encontrar el paralelogramo, hay que
     rri geometrikoak zein diren jakin behar dugu; ho-      descubrir las propiedades geométricas del mode-
     rretarako, biraketa-zentroak eta simetria-ardatzak     lo, mediante la determinación de los centros de
     zehaztu behar ditugu.                                  giro y los ejes de simetría.

     Gelan lan egiteko, interesgarria litzateke jardueran   Como actividad para un aula, sería interesante pro-
     parte hartzen dutenei mosaikoen adibide erreal         porcionar a las personas que participan en el mismo
     batzuk aurkeztea, artearen edo diseinuaren mun-        una serie de ejemplos reales de mosaicos, sacados
     dutik ateratakoak, horien simetria-taldeak bila        del mundo del arte o del diseño, para que intenten
     ditzaten (Granadako Alhambra, Escher-en marraz-        encontrar sus grupos de simetría (Alhambra de Gra-
     kiak, etab.). Beste aukera pertsonalago bat, artean,   nada, dibujos de Escher, etc.). Otra opción más perso-
     diseinuan eta, oro har, kulturan agertzen diren        nal puede ser la realización de una investigación de
     frisoen eta mosaikoen ikerketa bat egitea da, eta      ejemplos de frisos y mosaicos que aparecen en el arte,
     lortutako adibideak lehen azaldutako kategorietan      el diseño y la cultura en general, clasificando los ejem-
     sailkatzea.                                            plos obtenidos según las clasificaciones anteriores.


26
 Talde kristalografikoei buruzko informazio gehia-               Más información sobre los grupos cristalográficos:
 go nahi izanez gero:

 http://www.math.arq.uva.es/gycga/apuntes/                       http://www.math.arq.uva.es/gycga/apuntes/
 GrupCristal/GrupCristal.html                                    GrupCristal/GrupCristal.html

 http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group                    http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group

 http://jmora7.com/Mosaicos/                                     http://jmora7.com/Mosaicos/




V. Baldosadurak                                                  V. Embaldosados
Aurreko jarduerarekin lotuta, honako hau ere egin                Una actividad muy relacionada con la anterior con-
dezakegu: mosaikoak sortu poligono erregularren                  siste en la generación de mosaicos por medio de
bidez.                                                           polígonos regulares.




                                                                                                                          baldosadurak • embaldosados
1. jarduera (poligono erregularrak): Lehenengo                   Actividad 1 (Polígonos regulares): En esta primera
jarduera honetan, ikasleek poligono erregularrak                 actividad los y las estudiantes se familiarizarán con
ezagutuko dituzte, bai eta horien barne-angeluak                 los polígonos regulares y los ángulos internos de
ere. Bestalde, jarduera honekin, analogia bidezko                estos. Por otro lado, esta actividad permite traba-
arrazoibidea lan dezakegu; kasu ezagun batzuk                    jar los argumentos por analogía, manipulando al-
manipulatuko ditugu, eta problema ebazteko es-                   gunos casos conocidos y viendo la estrategia para
trategia aurkituko dugu.                                         resolver el problema.

1.1. Hasteko poligono erregularrei buruz hitz egin               1.1. Como actividad para el aula, podría comen-
diezaiekegu ikasleei, eta esan diezaiekegu bila dit-             zarse hablando a los estudiantes sobre los polígo-
zatela horietako batzuk gelan edo toki komune-                   nos regulares y pedirles que encuentren algunos
tan, hala nola, etxean, patioan, etab.                           de ellos en el aula o en lugares comunes, como la
                                                                 casa, etcétera.

1.2. Horietako batzuk eraiki ditzakegu (horien ere-              1.2. Pueden construirse algunos de ellos, por ejem-
du fisikorik ez badaukagu), adibidez, triangelu eki-             plo, triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos
lateroak, karratuak, pentagonoak eta hexagonoak.                 y hexágonos, con cartulina, goma-espuma o algún
Eraikuntzarako kartoi mehea, apar-goma edo bes-                  otro material (salvo que ya se disponga de algunos
te materialen bat erabil dezakegu; eta ahal den                  modelos físicos de los mismos), y a ser posible con
heinean poligono guztiek luzera bereko aldeak                    la misma longitud de lado para los diferentes po-
izan behar dituzte.                                              lígonos.

1.3. Zirkuluerdi graduatua (angelu-garraiagailua)                1.3. Sin utilizar el semicírculo graduado (transporta-
erabili gabe, ikasleek triangelu ekilatero baten bar-            dor de ángulos) los y las estudiantes sabrán identi-
ne-angeluak identifikatuko eta kalkulatuko dituzte               ficar y calcular los ángulos internos de un triángulo
(60º, triangelu baten angelu guztien batura 180º                 equilátero (60º, puesto que la suma de los ángulos
delako, eta triangelu honen hiru angeluak berdinak               de un triángulo es 180º, y en este caso, los tres son
direlako). Baita karratu batenak ere (angelu zuzenak             iguales) y un cuadrado (todos son ángulos rectos,
dira guztiak, 90º). Irudia hexagono bat bada, 6 trian-           90º). Si la figura es un hexágono, se puede dividir
gelu aldekidetan bana daiteke, eta triangelu horiek              en 6 triángulos equiláteros, con un vértice común,


                              Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                  27
     erpin komuna izango dute; beraz, hexagonoaren       y deducir entonces que los ángulos internos del
     barne angeluek 120º dituela ondoriozta dezakegu.    hexágono tienen 120º.

     Oharra: adinen arabera, banakako edo taldekako      Nota: Dependiendo de las edades se les puede
     ikerketa bat proposa diezaiekegu. Triangelu ba-     plantear como investigación personal, o en gru-
     ten angeluen batura 180º-koa dela egiaztatzea       pos, la demostración de que la suma de los ángu-
     alegia.                                             los de un triángulo es igual a 180º.

     1.4. alde dituen poligono baten barne-angeluak      1.4. El ejemplo del hexágono da la clave del caso
     kalkulatzeko gakoa hexagonoaren adibideak ema-      general para calcular el ángulo interno de un polí-
     ten digu. Poligonoa triangelu isoszele berdinetan   gono de n lados. Se divide el polígono en n trián-
     banatu behar da, eta horrela, erraza da barne-an-   gulos isósceles iguales, con lo que es sencillo cal-
     gelua kalkulatzea:                                  cular el ángulo interno:

     • Poligonoa barrutik triangelutan banatu dugu-      • Al dividir el polígono en triángulos desde el cen-
       nez, triangelu isoszele ditugu, 360º/n angelua-     tro, tenemos n triángulos isósceles con un ángu-
       rekin.                                              lo de 360º/n.

     • Beste bi angeluak berdinak direnez, 180º = 2α     • Los otros dos ángulos son iguales, por lo tanto
       + 360º/n. Bistakoa denez, barne angelua α-ren       180º = 2α + 360º/n. Obviamente el ángulo in-
       bikoitza da, eta, beraz                             terno es el doble que α, luego

                      180º (n − 2)/n.                                      180º (n − 2)/n.




                      Barne-angelua                                       El ángulo interno

     2. jarduera (baldosadura erregularrak):             Actividad 2 (Embaldosados regulares):




             Hiru mosaiko erregular posibleak                    Los 3 posibles mosaicos regulares


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2.1. Mosaikoei dagokienez, interesgarria da zoru               2.1. Una cuestión interesante en relación a los mosai-
bat estaltzeko lauzek izan ditzaketen forma po-                cos es la de las posibles formas que pueden tener las
sibleen gaia; bizitza errealeko adibideak bila dit-            losetas para embaldosar un suelo, pudiéndose bus-
zakegu (ezti-abaraskak, sukaldeak, etab.). Ziurre-             car ejemplos en la vida real (panales de miel, cocinas,
nik, proposatutako baldosadura ugari erregularrak              etc.). Probablemente, muchos de los embaldosados
izango dira, hau da, poligono erregular baten for-             planteados sean regulares, es decir, construidos con
mako lauzekin eraikitakoak; lauza guztiak neurri               losetas con la forma de un mismo polígono regular,
berekoak izango dira, eta aldea aldearekin erantsi-            todas ellas del mismo tamaño y pegadas lado con
ta egongo dira. Aurreko jardueran alde berdineko               lado. Si se han construido modelos de polígonos re-
poligono erregularren ereduak eraiki badira, zen-              gulares de lados iguales en la anterior actividad, se
bait baldosadura sor daitezke zoru hipotetiko ba-              pueden intentar realizar diferentes embaldosados
terako. Kasu erregularra kontsideratzen bada, ziur             para un hipotético suelo. Si se considera el caso re-
hiru modu posibleak aurkituko ditugula.                        gular seguro que se obtendrán los 3 posibles.

2.2. Esperimentua egin ondoren, ziurrenik jar-                 2.2. Tras el intento experimental, es posible que
duera egin duten pertsonek, hala nola, ikasleek,               las personas que estén realizando la actividad, por
dagoeneko jakingo dute ezin dutela planoko mo-                 ejemplo estudiantes, ya sean conscientes de que no
saikorik eraiki pentagonoekin soilik. Interesgarria            se pueden construir mosaicos del plano únicamen-
litzateke hori zergatik gertatzen den aztertzea                te con pentágonos. Es interesante que busquen una




                                                                                                                         baldosadurak • embaldosados
(ikus irudia), eta gertakari hori beste poligono ba-           razón para ello (véase la imagen anexa), y que gene-
tzuentzat orokortzea. Beharrezkoa bada, heptago-               ralicen este hecho a otros polígonos, preguntando,
noarekin zer gertatuko litzatekeen azter daiteke.              si es necesario, que ocurriría con el heptágono.




                Pentagonoekin ez                                                  Con pentágonos, no

2.3. Hurrengo jarduera oso interesgarria da hezkun-            2.3. La siguiente actividad, y muy interesante a ni-
tzaren ikuspegitik; aurreko gertakari hori formalki            vel educativo, sería la búsqueda de una prueba for-
frogatu behar dutelako.                                        mal de este hecho.

Hau da frogapena: Posible balitz planoa estaltzea              La prueba es la siguiente: Si fuese posible cubrir
aldeko poligonoren batekin, orduan erpin bakoitza-             el plano con copias de algún polígono de n lados,
ren inguruan poligono horien kopuru bat egongo                 entonces alrededor de cada vértice habrá un cierto
litzateke. Beraz, 360º poligonoaren barne-angelua-             número de k de éstos polígonos. Por lo que al dividir
rekin zatitzen badugu, lortu behar dugu, poligono              360º entre el ángulo interno del polígono se debe
horien kopurua hain zuzen ere, hau da,                         de obtener k, el número de estos polígonos, es decir,

                  k = 2n/(n − 2).                                                     k = 2n/(n − 2).

zenbaki osoa izan dadin, -k 3, 4 edo 6 balioak har             Para que k sea un número entero, n sólo puede to-
ditzake soilik.                                                mar los valores 3, 4 ó 6.

2.4. Aurreko frogapenak ez du esan nahi n = 3, 4               2.4. La demostración anterior no implica que pue-
edo 6 aldeko poligonoekin baldosadurak erai-                   dan construirse embaldosados con polígonos de


                            Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                   29
     ki daitezkeenik, existitzekotan horiek soilik izan      n = 3, 4 ó 6 lados, sino que, en caso de existir, son
     daitezkeela baizik. Hala eta guztiz ere, badakigu       las únicas posibles. Sin embargo, se sabe que sí
     existitzen direla, 2.1. jardueran esplizituki eraiki    existen ya que se han construido explícitamente
     ditugulako. Hortik abiatuta, logikako zeharkako         en 2.1. Con esto, se pueden trabajar competencias
     gaitasuna lan dezakegu: baldintza beharrezkoa           transversales de lógica: condición necesaria contra
     baldintza nahikoaren kontra.                            condición suficiente.

     3. jarduera (baldosadura uniformeak): Behin bal-        Actividad 3 (Embaldosados uniformes): Una vez
     dosadura edo mosaiko erregularrak azaldu ditugu-        introducidos los embaldosados o mosaicos regula-
     nean, normala da geure buruari poligono erregu-         res, es natural preguntarse qué ocurre si se permite
     lar bat erabili beharrean alde kopuru ezberdineko       no sólo un polígono regular, sino combinaciones
     poligono erregularrak erabiliko bagenitu zer ger-       de polígonos regulares de diferente número de
     tatuko litzatekeen galdetzea (neurri bereko aldeak      lados (con los lados del mismo tamaño para que
     izango dituztenak, lauzak ongi itsatsi ahal izateko).   peguen bien las losetas). Será necesario añadir al-
     Hau burutu ahal izateko baldintzaren bat gehitu         guna condición.
     beharko dugu:

     3.1. Baldosadura uniformeekin lan egin dezakegu:        3.1. Se podría trabajar con embaldosados unifor-
     erpin baten inguruan poligono erregularren konfi-       mes: son aquellos en los que alrededor de un vér-
     gurazio bera dutenak dira. Oraingoan ere, aurretik      tice se tiene la misma configuración de polígonos
     eraikitako poligonoekin baldosadura uniformeen          regulares. De nuevo pueden intentarse construir
     adibide praktikoak eraiki ditzakegu.                    ejemplos prácticos de embaldosados uniformes
                                                             con los polígonos anteriormente construidos.

     3.2. Interes handiena duten ikasleek zortzi bal-        3.2. Para alumnos y alumnas con más interés, po-
     dosadura uniforme existitzen direla frogatzen           dría trabajarse la demostración de que existen 8
     saia daitezke. Mosaiko erregularrekin erabilitako       embaldosados uniformes. El procedimiento es si-
     prozeduraren antzekoa jarraitzen da, baina ez da        milar al hecho para los mosaicos regulares pero no
     guztiz berdina.                                         enteramente igual.

     Hasteko, pentsa dezakegu erpin baten inguruan           Para empezar puede suponerse que alrededor de
     poligono erregular dauzkagula. Zenbaki hori 6ren        un vértice se tienen k polígonos regulares. Este nú-
     berdina edo txikiagoa izango da, triangelua delako      mero ha de ser menor o igual que 6, ya que el po-
     barne-angelu txikiena duen poligono erregularra.        lígono regular de menor ángulo interior es el trián-
     Bistakoa denez, 1 edo 2 ere ez da izango. Bestalde,     gulo. Obviamente, tampoco será 1 ni 2. Por otro
     bere barne-angeluen batura hau izango da:               lado la suma de sus ángulos internos será

         360º = 180º ((n1 − 2)/n1 + ··· + (nk − 2)/nk).          360º = 180º ((n1 − 2)/n1 + ··· + (nk − 2)/nk).

     Eragiketak eginez, honakora honetara iritsiko gara:     Operando se llega a

                 (k − 2)/2 = 1/n1 + ··· + 1/nk.                          (k − 2)/2 = 1/n1 + ··· + 1/nk.

      -ri balio posibleak emanez (3, 4, 5 eta 6) eta lan     Haciendo variar k entre sus posibles valores (3, 4, 5 y
     eginez, ekuazio horrentzat 17 emaitza oso bila dit-     6) y con cierto trabajo, se pueden encontrar 17 solu-
     zakegu. Emaitza horietako batzuk zenbait modutan        ciones enteras de esta ecuación. Algunas de estas so-
     birrordena daitezke, eta 21 konfigurazio posible ez-    luciones pueden reordenarse de varias maneras, ob-
     berdin lortuko ditugu (ikus irudia). Planoko baldosa-   teniendo 21 posibles configuraciones (véase imagen
     durak ez dira motibo guzti hauekin sortzen: horiek      adjunta). No todos estos motivos producen embal-
     aztertuz gero, irudiko zortzi mosaiko uniformeak        dosados del plano: por inspección podemos llegar a
     aurkituko ditugu (aurretik ezagutzen ditugun erre-      los 8 mosaicos uniformes de la imagen (obviando los
     gularrak kontuan hartu gabe).                           ya conocidos regulares).


30
                21 konfigurazioak                                                Las 21 configuraciones

4. jarduera (Mosaikoak sortzea Escher-en modu-                 Actividad 4 (Construcción de mosaicos a la Es-




                                                                                                                       baldosadurak • embaldosados
ra): Ikus bezala baldosadura ikusgarriak eraiki dai-           cher): Evidentemente se pueden construir embal-
tezke koloretako poligonoekin. Halere, Escher-en               dosados muy vistosos con polígonos coloreados.
mosaikoak, edo antzeko beste batzuk, askoz ere                 Claro que los mosaicos de Escher, u otros similares,
erakargarriagoak dira. Mosaiko hauek modu erra-                resultan mucho más atractivos. Se pueden cons-
zean eraiki ditzakegu. Baldosadura erregular ba-               truir mosaicos de este tipo de manera sencilla. Se
tekin hasiko gara. Gure aukeraren eta mosaikoan                empieza con un embaldosado regular. Dependien-
sartu nahi ditugun simetrien arabera, tresna ba-               do de la elección y de las simetrías que se espera
tzuk edo beste batzuk erabiliko ditugu. Horrela,               que tenga el mosaico se podrán utilizar diferentes
desitxuratutako aldeak kopiatzen direnean, talde               herramientas. Así, según cómo se copien los lados
kristalografiko batzuk edo beste batzuk lortuko di-            deformados, se obtendrán unos grupos cristalo-
tugu amaierako mosaikoko simetria gisa.                        gráficos u otros como simetrías del mosaico final.

4.1. Gelan lan egiteko, Escher-en lanak edo ant-               4.1. Para trabajar en un aula, sería interesante pre-
zekoak aurkez ditzakegu, mosaiko periodikoekin                 sentar al alumnado algunos trabajos de Escher o
egindakoak. Horien bidez, oinarrizko gunearen                  similares con mosaicos periódicos. Con estos se
kontzeptua azalduko dugu; translazioaren bidez                 puede introducir la noción de región fundamen-
mosaiko osoa lortzeko aukera ematen duen para-                 tal, un paralelepípedo que permite obtener todo
lelepipedo bat alegia. Gune hori ez da bakarra, eta            el mosaico por traslación. Esta región no es única,
aukeratutako translazioen araberakoa izango da.                y depende de las traslaciones que se elijan. Puede
Interesgarria litzateke gune hori aurrez ikusitako             ser interesante presentar esta región en algunos
mosaiko batzuetan adieraztea.                                  de los mosaicos anteriores.

4.2. Mosaiko erregular bat aukeratuko dugu, ka-                4.2. Se escogerá un mosaico regular, por ejemplo
rratuz osatutakoa adibidez, eta horren simetria                por cuadrados, y se identificarán todas sus sime-
guztiak identifikatuko ditugu. Honako hemen izan               trías, que pueden ser algunas de las siguientes:
daitezkeen batzuk:

• 90º-ko, 180º-ko eta 270º-ko biraketak erpinetan              • Giros de 90, 180 y 270 grados en vértices y en el
  eta karratuen zentroan.                                        centro de las losetas.

• 180º-ko biraketak ertzetako erdiko puntuetan                 • Giros de 180º centradas en los puntos medios
  zentratuak.                                                    de las aristas.


                            Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                 31
     • Islapenak, ardatzak mosaikoko lerroen gainean eta     • Reflexiones con ejes sobre las líneas del mosaico
       lauzen erditik pasatzen diren zuzenetan jarriak.        y las rectas que pasan por el centro de las losetas.

     • Begibistako translazioak.                             • Las traslaciones obvias.

     • Lerratze-simetriak: hasteko, translazio bat egiten    • Las simetrías con deslizamiento: primero se rea-
       da, eta, ondoren, islapen bat, ardatza translazio-      liza una traslación y luego una reflexión con eje
       norabidearen perpendikularrean jarrita.                 perpendicular a la dirección de traslación.

     4.3. Simetria horietako batzuen bidez, planoa modu      4.3. Algunas de estas simetrías permitirán construir
     erakargarrian estaltzen duten lauzak lor ditzakegu.     losetas que cubren el plano de manera más atrac-
     Oso erabilgarri izango dira karratuaren aldeak karra-   tiva. Serán útiles aquellas que lleven lados del cua-
     tuaren aldeen gainera eramaten dituztenak.              drado sobre lados del cuadrado.

     • Translazioa: nahikoa da alde bat aukeratzea, eta      • Traslaciones: Basta seleccionar un lado y copiarlo
       translazio baten bidez pareko aldean eranstea.          en el lado de enfrente mediante una traslación.




     • Erpin baten inguruko 90º-ko biraketa: alde bat bi-    • Giros de 90º alrededor de un vértice: Se rota un
       ratzen da, beste alde batera igortzeko moduan.          lado, de manera que se envíe sobre otro.




     • Lerratze-islapena: islapenaren ardatzak “bi-koiz-     • Reflexiones con deslizamiento: El eje de re-
       tu” nahi dugun aldea gurutzatuko du, eta trans-         flexión atraviesa el lado que se quiere “duplicar”,
       lazioak alde hori paralelo den beste alde batera        y la traslación lleva ese lado sobre otro paralelo.
       eramango du.




     • Alde baten erdiko puntuaren inguruko 180º-ko          • Giros de 180º alrededor del punto medio de un
       biraketa: mugimendu hauek ez dira horren inte-          lado: Estos movimientos son algo menos intere-
       resgarriak.                                             santes.




32
Simetria bat baino gehiago konbinatuz gero, bate-                Si se combinan varias simetrías, es conveniente que
ragarriak izatea komeni da. Adibidez, translazio bat             estas sean compatibles, por ejemplo, si se combina
eta biraketa bat konbinatzen baditugu, biraketa-zen-             una traslación y un giro, el trasladado del centro de
troaren translazioa ere biraketa-zentrua izan behar da.          giro debería ser también un centro de giro.

Azkenik, behin lauza eraiki dugunean, berau erre-                Por último, una vez construida la loseta, se utilizan
pikatuz mugimendu zurrun berak erabiliko ditugu                  los mismos movimientos rígidos para replicarla
planoa estali arte.                                              hasta cubrir el plano.

Hona hemen pausoz pauso eginiko adibide bat. Le-                 Un ejemplo paso a paso. En primer lugar se usa
henik, 90º-ko biraketa bat erabiliko dugu alde beltza            un giro de 90º para replicar el lado negro (véase
kopiatzeko (ikus irudiaren ezkerraldeko goiko alde-              la figura superior izquierda de la imagen anexa).
ko irudia). Ondoren, alde hori erreplikatuko dugu                Después, se replica de nuevo este lado mediante
berriro islapen-lerratu baten bidez, irudiaren erdial-           una reflexión con deslizamiento como en la figu-
deko goiko aldeko irudian ikusten den bezala. Alde               ra superior central de la imagen. Sólo resta cubrir
bakarra estaltzea besterik ez da geratzen. Alabaina,             un lado. Ahora bien, la imagen por la reflexión por
biraketa-zentroaren islapen-lerratuak ezarriko du                deslizamiento del centro de giro también lo será.
azkeneko aldeak zer forma eduki behar duen. Emait-               Esto fuerza la forma del último lado. Puede verse
za ikusi ahal izango dugu 1. irudiaren behealdean.               el resultado en la ilustración inferior de la figura 1.




                                                                                                                            baldosadurak • embaldosados
Bigarren irudian, bi translazioren bidez eraikitako              Puede verse también en la figura 2 un ejemplo cons-
adibide bat ikus dezakegu. Ikus dezakezuenez,                    truido mediante dos traslaciones. Obsérvese que la
lauza ez da ixten, aukeratutako aldeak ez direlako               loseta no se cierra, esto se debe a que los lados elegi-
erpinen gainean bukatzen. Hala ere, erraza da be-                dos no terminan sobre los vértices. Aún así, es sencillo
netako mosaiko bat eraikitzea.                                   construir un verdadero mosaico.




        1. irudia. Mosaikoaren adibide bat                             2. irudia. Mosaikoaren beste adibide bat.
        Figura 1. Un ejemplo de mosaico                                    Figura 2. Otro ejemplo de mosaico.

Dagoeneko, jarduera gauzatzen ari diren ikasleak                 Y en este momento los y las estudiantes que estén
Escher-en erara eraikitako mosaikoak egiteko gai                 realizando la actividad ya estarían en condiciones
izango dira.                                                     para crear sus propios mosaicos a la Escher.

4.4. Triangeluz eta hexagonoz osatutako mosaikoe-                4.4 Podría plantearse ahora una investigación, qué
tan zer mugimendu (mugimendu baliokideak dira)                   movimientos se podrían hacer en el caso de los mo-


                              Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                    33
     egin ahal diren inguruko ikerketa proposa daiteke.        saicos por triángulos o hexágonos (los movimientos
     Lauza bakarreko mosaikoak, poligono erregularra           son análogos). Incluso, podría trabajarse con mosai-
     izan gabe, ere landu ditzakegu.                           cos de una sola loseta que no sea un polígono regular.


     VI. Moebius-en banda ez da                                VI. La banda de Moebius no
         orientagarria                                             es orientable
                                                               Si se toma una tira de papel y se pegan los extre-
     Paper-xafla luze bat hartzen badugu, eta bi mutu-
                                                               mos como muestra la figura se obtiene un cilindro,
     rrak itsasten baditugu irudian ikusten den eran, zilin-
                                                               es decir, una superficie que tiene dos lados (la cara
     dro bat lortuko dugu, hau da, bi alde dituen gainazal
                                                               interior y la exterior) y dos “circunferencias” disjun-
     bat (barneko aurpegia eta kanpokoa), eta ertz gisa bi
                                                               tas como bordes.
     “zirkunferentzia” disjuntu dituena.




                                                                                                  

                                                               Si antes de pegar los extremos se gira uno de ellos
     Bi muturrak itsatsi baino lehen, muturretako bat
                                                               180 grados, el objeto que se obtiene es una banda de
     180º biratzen badugu , Moebius-en banda lortuko
                                                               Moebius, que posee un único borde (cuya longitud
     dugu. Ertz bakarra duena (bere luzera zilindroaren
                                                               es la suma de la medida de las dos circunferencias
     ertzak osatzen duten bi zirkunferentzien neurria-
                                                               que forman el borde del cilindro) y una única cara.
     ren batura izango dena), eta aurpegi bakar duena.




                                                                                        
                      


     Izan ere, nahikoa da arkatz markatzaile bat hartzea       En efecto, basta con tomar un rotulador y marcar
     eta bide osoa markatzea gainazalean zehar jatorriko       un camino a lo largo de la superficie hasta llegar al
     puntura heldu arte; orduan, ikusiko dugu Moebius-         punto de partida; en este momento, se comprueba
     en banda OSOA pasa dugula, objektuaren “balizko”          que se ha recorrido TODA la banda de Moebius, al
     bi aurpegiak markatuta baitaude; beraz, objektuak         estar las “supuestas” dos caras del objeto marcadas,
     alde bakar bat dauka. Objektu honen ertza beste           es decir, este objeto tiene un único lado. Si se re-
     arkatz markatzaile batekin (edo berarekin) pasatzen       corre con otro rotulador (o el mismo) el borde de
     badugu, jatorrizko puntura heltzean ikusiko dugu          este objeto, se observa que al regresar al punto de
     guztia koloreztatuta dagoela; beraz, Moebius-en           partida todo está coloreado, es decir, la banda de
     bandak ertz bakar bat dauka.                              Moebius tiene un único borde.

     Are gehiago, paper-xafla luze baten bi muturrak it-       De hecho, si se pegan los dos extremos de una tira
     sasten baditugu aurrez 180º-ren multiplo pare ba-         de papel girándola previamente un múltiplo par
     tez biratuz, zilindro bat lortuko dugu, eta, kontrako     de 180 grados, se obtiene un cilindro y una ban-
     kasuan, Moebius-en banda bat. Ikasleei gertaera           da de Moebius en caso contrario. Preguntar a los
     hau nola egiaztatu daitekeen galdetu daiteke...           y las estudiantes cómo puede comprobarse este
     ertzak eta aurpegiak zenbatuz.                            hecho... contando bordes y caras.


34
Ikasleei horrek oso ezaguna den zerbait gogora-                      Se les puede preguntar a los y las estudiantes si
razten dien galde diezaiekegu. Hain zuzen ere, bir-                  les suena a algo muy conocido. El símbolo del re-
ziklatzearen sinboloa –Gary Andersonek 1970ean                       ciclaje –creado por Gary Anderson en 1970 y que
sortua– triangelu baten ertzen gainean elkar ja-                     se ilustra en la página anterior– consiste precisa-
rraitzen duten hiru gezik osatzen dute : hondakinak                  mente en tres flechas que se persiguen sobre las
baliabide erabilgarri bihurtzeko prozesua irudikat-                  aristas de un triángulo: es una banda de Moebius
zen duen objektua, Moebius-en banda bat da.                          que representa el proceso de transformación del
                                                                     material de deshecho en recursos útiles.




                                                                                                                                 moebius-en banda ez da orientagarria • la banda de moebius no es orientable
1. jarduera: Moebius-en banda ez orientagarria                       Actividad 1: La banda de Möbius es no orientable,
da, hau da, horren gainean bidaiatzen duten ele-                     es decir, invierte el sentido de los objetos que via-
mentuen noranzkoa aldatzen du: adibidez, gezi                        jan sobre ella: si se dibuja por ejemplo una flecha
bat marrazten badugu bandaren gainean, eta                           sobre la banda, y se mueve a lo largo de su única
horren aurpegi bakarrean zehar mugitzen bada...                      cara... se observará que cuando se regresa al punto
ikusiko dugu hasierako puntura heltzean, geziak                      de partida, ¡la flecha ha cambiado de sentido!
noranzkoa aldatu duela!

2. jarduera: Paperezko zilindro bat erditik mozten                   Actividad 2: Al cortar por la mitad un cilindro de
badugu, bi “zilindrotxo” lortuko ditugu, jatorrizko                  papel, se obtienen dos “cilindritos”, de la misma
zilindroaren luzera bera izango dutenak, baina ho-                   longitud que el cilindro original pero la mitad de
rren altueraren erdia.                                               altos que este.




                                                             
   
                                                       
   


Gauza bera egiten badugu Moebius-en banda                            Si se hace lo mismo con la banda de Moebius, ¿qué
batekin, zer gertatzen da? Hasteko, ikus dezake-                     sucede? En primer lugar se observa que es una úni-
gu “banda” bakar bat lortuko dugula, jatorrizko                      ca “banda” doble de larga que la banda de Moebius
Moebius-en bandaren luzeraren bikoitza izango                        original pero de la mitad de altura. Se puede pre-
duena, eta altuera erdia. Lortutakoa Moebius-en                      guntar a los estudiantes si el resultado es una ban-
banda bat edo zilindro bat den galde dezakegu.                       da de Moebius o un cilindro. Para responder, se
Horri erantzuteko, arkatz markatzaile bat hartu,                     toma un rotulador y se cuenta el número de caras
eta aurpegi-eta ertz-kopurua zenbatuko dugu. Bi                      y de bordes, que será dos en ambos casos, por lo
kasuetan, emaitza bi izango da; beraz, banda nor-                    tanto es una banda normal retorcida.
mal bat da, bihurritutakoa.

Zilindro bat horren herenetik ebakiz gero, luzera bere-              Al cortar por su tercera parte un cilindro, se obtie-
ko bi zilindro lortuko ditugu, baina altuera desberdina              nen dos cilindros igual de largos, de distintas altu-
izango dute; batak, jatorrizko zilindroaren altueraren               ras, exactamente un tercio y dos tercios de la origi-
herenekoa, eta besteak, berriz, jatorrizkoaren bi here-              nal. Si se hace lo mismo con la banda de Moebius,
netakoa. Gauza bera egiten badugu Moebius-en ban-                    resultan una banda de Moebius (igual de larga y un
da batekin, Moebius-en banda bat (jatorrizkoa bezain                 tercio de ancha) y un cilindro (el doble de largo y
luzea, eta zabaleran herena) eta zilindro bat (luzeran               un tercio de ancho) y enlazados.
bikoitza eta zabaleran herena) lortuko ditugu, elkarri
lotuta egongo direnak.


                              Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                                     35
                                                                                                 


     3. jarduera: Magian, trikimailu ugari egin daitezke             Actividad 3: En Magia, existen numerosos trucos
     Moebius-en bandarekin; Afghan Band deitzen zaie                 con la banda de Moebius, denominados Afghan
     trikimailu hauei. Adibidez, hiru paper-xafla luze moz-          Band. Por ejemplo, si se cortan tres tiras de papel
     tu ditzakegu, eta horien muturretan A eta B (zuria), C          que se marcan con las letras A y B (blanca), C y D
     eta D (urdina) eta E eta F (krema) hizkiak jarri. Hirurak       (azul) y E y F (crema) en su extremos. Se pegan las
     itsatsiko ditugu, bata bestearen gainean, baina aldee-          tres una sobre otra, girando uno de los lados 180
     tako bat 180 gradu biratuko dugu horiek itsatsi aurre-          grados antes de pegarlas, es decir, se pegan A con
     tik, hau da, A F-rekin, B E-rekin eta C D-rekin itsatsiko       F, B con E y C con D... ¿qué sucede? Se obtiene un
     ditugu... zer gertatzen da? Zilindro bat lortzen da, mu-        cilindro formado por las bandas de los extremos y la
     turretako bandez osatutakoa, eta erdiko Moebius-en              banda de Moebius central se conserva... ¿es magia?
     banda mantendu egiten da... magia al da?




                                                                                                                            


     4. jarduera: Hona hemen adibidez San Valentin                   Actividad 4: Un truco divertido para realizar por
     egunean egin daitekeen trikimailu dibertigarri bat              ejemplo el día de San Valentín (http://threesix-
     (http://threesixty360.wordpress.com/). Bi paper-xa-             ty360.wordpress.com/): se cortan dos tiras de pa-
     fla luze moztu behar ditugu (hobe kolore gorrikoak              pel (mejor de color rojo) y se construyen con ellas
     badira), eta bi Moebius-en banda eraikiko ditugu ho-            dos bandas de Moebius. Es muy importante –para
     riekin. Oso garrantzitsua da –bihotzak elkarri lotuta       
   que los corazones queden enlazados– obtener una
     gera daitezen–, banda bat osatzerakoan erlojuaren               de las bandas girando uno de los extremos en la di-
     orratzen norazkoan biratzea muturretako bat, eta                rección de las agujas del reloj y la otra haciéndolo
     bestea, berriz, kontrako noranzkoan. Bi Moebius-en              en sentido contrario. Se pegan las dos bandas de
     bandak itsatsiko ditugu; baten topagunea besteare-              Moebius de manera que en el punto de encuentro
     narekiko perpendikularrean gelditu behar da.                    de una quede perpendicular con respecto a la otra.




                               
                         
                                                              

                                                             

     Bi bandak ebakiko ditugu luzetara, beheko irudian               Córtense las dos bandas en sentido longitudinal,
     adierazten den eran. Azpimarratu behar da lau                   como se indica en la imagen. Hay que destacar que
     zatitan moztuko dela bi bandak lotzen dituen ka-                el cuadrado superpuesto por el que están unidas


36
rratu gainjarria. Jarraibide guztiak bete baditugu,               ambas bandas se cortará en cuatro partes. Si se ha
elkarri lotutako bi bihotz lortuko ditugu!                        hecho todo siguiendo las instrucciones, ¡se conse-
                                                                  guirán dos corazones enlazados!




VII. Fraktalak eraikitzea                                         VII. Construcción de
     paperarekin                                                       fractales con papel
Geometria fraktala matematiketako adaretako bat                   La geometría fractal es una rama de las matemáticas




                                                                                                                             fraktalak eraikitzea paperarekin • construcción de fractales con papel
da, eta Benoît Mandelbrot-ek (1924-2010) sortu zuen               creada hace menos de 50 años por Benoît Mandel-
duela 50 urte baino gutxiago. 1967an, Mandelbrot-ek               brot (1924-2010). En 1967, Mandelbrot escribió un
“Zer luzera dauka Britainia Handiko kostak?” izeneko              artículo titulado “¿Cuán larga es la costa de Gran
artikulu bat idatzi zuen. Bertan, oso irregular diren ob-         Bretaña?” donde describió que la noción de longi-
jektuentzat (mugak adibidez) luzeraren kontzeptuak                tud carece de significado para objetos tan irregu-
zentzurik ez daukala azaldu zuen. Era berean, adierazi            lares como las fronteras. De igual manera, defendía
zuen geometria euklidestarra ez zela egokiena gure                que la geometría euclídea no era la más correcta
inguruko natura deskribatzeko, izan ere, berak esan               para la descripción de la naturaleza que nos rodea,
bezala “Hodeiak ez dira esferak, mendiak ez dira ko-              pues “Las nubes no son esferas, las montañas no son
noak, kosta-lerroak ez dira zirkuluak eta azala ez da             conos, las líneas costeras no son círculos y la corteza
leuna; izpiek ere ez dute lerro zuzenean bidaiatzen”.             no es suave, ni los rayos viajan en línea recta.”

XIX. mendearen amaieran eta XX. mendearen ha-                     Los “objetos fractales” surgen a finales del siglo XIX
sieran matematikari handien, (Riemann, Cantor,                    y principios del XX, de la mano de grandes mate-
Peano, Hilbert edo Hausdorff ) eskutik sortu ziren                máticos como Riemann, Cantor, Peano, Hilbert o
“objektu fraktalak” objektu patologikotzat jo ziren.              Hausdorff, entre otros, y se consideraban como
Mandelbrotek sortu zuen fraktal terminoa (latine-                 objetos patológicos. Fue Mandelbrot quien acuñó
ko “fractus”-etik: irregularra) objektu horiei errefe-            el termino fractal (del latín “fractus”: irregular) para
rentzia egiteko; eta, gainera, horien ezaugarri bat-              referirse a estos objetos y además estableció cier-
zuk ezarri zituen:                                                tas propiedades que los caracterizaban:

• Autoantzekotasuna: objektu fraktal baten zati                   • Autosemejanza: Si se magnifica conveniente-
  bat behar adina handiagotzen bada, horren                         mente una parte cualquiera de un objeto frac-
  erreplika bat lortzen da. Objektuaren beraren                     tal se obtiene una réplica del mismo. También
  kopia txikiz osatutako elementu bat dela pentsa                   puede pensarse como formado por copias de sí
  dezakegu.                                                         mismo a escalas más pequeñas.

• Dimentsio ez osoa duten irudiak (dimentsio                      • Figuras con dimensión no entera (dimensión
  “fraktala”): Geometria klasikoko objektuak lauak                  “fractal”). Los objetos de la geometría clásica son
  dira, zimurrik gabeak, eta, beraz, horien diment-                 lisos, sin rugosidad, y por lo tanto su dimensión
  sioa zenbaki arrunt bat da (zuzenek eta kurbek 1                  es un número natural (las rectas y curvas tienen
  dimentsioa dute, gainazalek 2 dimentsioa, etab.).                 dimensión 1, las superficies tienen dimensión
  Fraktalak, berriz, objektu geometriko zimurrak dira,              2, etc.), mientras que los fractales son objetos
  irregulartasun handiak dituztenak, beraz horien                   geométricos rugosos, de una gran irregularidad,
  “dimentsio fraktala” zenbaki arrazional bat da (kur-              y su “dimensión fractal” es un número no natural
  ba fraktalen dimentsioa 1 eta 2 artekoa da, gainazal              (curvas fractales dimensión entre 1 y 2, superfi-
  fraktalena 2 eta 3 artekoa, eta horrela ondoz ondo).              cies fractales entre 2 y 3, y así sucesivamente).

• Prozesu geometriko iteratibo, edo analitiko, infi-              • Conjuntos que aparecen tras procesos iterativos
  nituen ondoren agertzen diren multzoak dira.                      geométricos, o analíticos, infinitos.


                               Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                              37
     1. jarduera: Existitzen al da objektu fraktalik natu-    Actividad 1: ¿Existen objetos fractales en la natu-
     ran?                                                     raleza?

     Ikasleei naturako objektu fraktalik ezagutzen du-        Pregúntese a los alumnos y alumnas si conocen
     ten galde daiteke. Aipatzen dituzten guztiak sailka      objetos fractales en la naturaleza. Y que todos los
     ditzatela fraktal autoantzekoetan eta ez-autoant-        que se mencionen, los clasifiquen en las categorías
     zekoetan.                                                de fractales autosemejantes y no autosemejantes.




     Naturan aurki ditzakegun fraktalen adibideak. Lehenengo lerroa, ezkerretik eskuinera: iratze-adar bat,
     ekaitz-tximista bat, ibai-adar bat. Bigarren lerroa ezkerretik eskuinera: nautilus baten oskolaren ebakidura,
     brokoli-sorta bat, romanesku-landare bat.

     Ejemplos de fractales que se encuentran en la naturaleza: primera fila de izquierda a derecha: rama de un
     helecho, rayo de una tormenta, ramificación de un río; segunda fila de izquierda a derecha: sección de la
     concha de un nautilus, un ramillete de brócoli, una planta de romanescu.

     2. jarduera: Lauki zentralak                             Actividad 2: Cuadrados centrales

     Jarduera hau gauzatzeko, orri normal bat be-             Para la realización de esta actividad se necesita un
     harko dugu. Ahal bada, orriaren zabalera luzeraren       folio cualquiera. Es preferible que las proporciones
     bikoitza izango da.                                      del folio sean 1 a 2, es decir, que mida el doble de
                                                              ancho que de alto.
     Orria erditik tolestuko dugu, eta ondo markatuko
     dugu tolesdura bi noranzkoetan.                          Se comienza con un folio y se dobla por la mitad, pro-
                                                              curando marcar bien el doblez en los dos sentidos.
     Bi ebaketa egingo ditugu tolestu dugun tokitik,
     bakoitza orriaren ertzetik laurden batera, jatorri-      Se hacen dos cortes por donde se ha doblado,
     zkoaren luzeraren erdira arte.                           cada uno a ¼ del borde de la hoja, de longitud la
                                                              mitad del original.
     Ebaki dugun pieza kontrako muturreraino tolestu,
     eta ongi markatuko dugu.                                 Se dobla y se marca bien la pieza que se ha recor-
                                                              tado hasta el extremo contrario.
     Moztutako zatia barrurantz tolestuko dugu.
                                                              Se dobla y se pliega la parte recortada hacia adentro.
     Prozesua errepikatuko dugu. Orain ebaketak egin-
     go ditugu, bakoitza tolesduraren hasieratik laur-        Se repite el proceso. Ahora se hacen los cortes,
     den batera, eta geratzen den paperaren luzeraren         dada uno a ¼ del comienzo del pliegue y de longi-
     erdira arte.                                             tud la mitad del papel que queda.

     Ebaki dugun pieza tolestuko eta markatuko dugu,          Se dobla y se marca la pieza que se ha recortado
     berriz ere barrurantz tolesteko.                         para plegarla de nuevo hacia adentro.

     Prozesua berriz errepikatuko dugu.                       Se repite de nuevo el proceso.


38
Hiru iterazio (tolesdurak) egiterakoan zaildu egi-               Al realizar tres iteraciones (dobleces) comienza a
ten da eskuz egitea, tolesduraren lodiera handia-                ser complicado hacerlo manualmente, pues el es-
gotzen doalako.                                                  pesor de las dobleces va aumentando mucho.

Azkenik, guztia destolestuko dugu, eta angelu zu-                Ya por último se desdobla todo formando ángulos
zenak osatu; fraktal motako objektu eder bat sortu               rectos y se puede apreciar la belleza del objeto de
dugula ikusiko dugu.                                             tipo fractal realizado.




                                                                                                                            fraktalak eraikitzea paperarekin • construcción de fractales con papel
Oharra: praktikan, ezinezkoa da hirugarren toles-                Nota: en la práctica, es imposible dibujar correcta-
dura planoa behar bezala marraztea eta ebakit-                   mente y cortar después del tercer plegado plano.
zea. Hori errazteko, jarraian txantiloi bat daukagu;             Por ello, a continuación se adjunta una plantilla
markatutako lerro jarraikietatik ebakiz gero, eta                mediante la cual, si se corta por las líneas continuas
puntu-lerroetatik tolestuz gero, lau lauki zentrale-             marcadas y se dobla por las líneas a puntos, se llega
tako fraktala lortuko dugu.                                      a obtener también el fractal de cuadrados centrales.




3. jarduera: Sierpinski-ren triangelua                           Actividad 3: El triángulo de Sierpinski
                                                                                        

Jarduera hau gauzatzeko, orri normal bat be-                     Para la realización de esta actividad se necesita un
harko dugu. Ahal bada, orriaren zabalera luzeraren               folio cualquiera. Es preferible que las proporciones
bikoitza izango da.                                              del folio sean 1 a 2, es decir, que mida el doble de
                                                                 ancho que de alto.

Hasteko, orria tolestuko dugu.                                   Se empieza con el folio y se dobla.

Tolestu dugun tokitik, erdia markatuko dugu, eta                 Se marca la mitad del lado por donde se ha dobla-
paperaren luzeraren erdia ebakiko.                               do y se corta la mitad de la largura del papel.

Ebaki dugun bi zatietako bat tolestuko dugu kon-                 Se dobla una de las dos partes que se ha cortado
trako muturrera arte.                                            hasta el extremo contrario.

Bi noranzkoetan ongi markatzea komeni da, horre-                 Es conveniente marcar bien en los dos sentidos,
la nabarmen murriztuko baita orriaren bi aurpegien               pues esto reduce considerablemente el aire entre
arteko airea, eta, beraz, baita amaierako lodiera ere.           las dos caras de la hoja, y por tanto el espesor final.

Tolesdurari buelta emango diogu barrurantz.                      Se da la vuelta al pliegue hacia adentro.

Prozesua errepikatuko dugu; zati bakoitzaren er-                 Se repite el proceso, se marca la mitad de cada una de
dia markatuko dugu, eta aurreko ebakiduraren er-                 las partes y se corta hasta la mitad del corte anterior.
dira arte ebakiko.


                              Be g i r ad a mat e mat i ko bat • Un a m i rada m at em át i ca                                              39
     Orain lau zati dauzkagu. Lehenengoa eta hiruga-         Ahora hay 4 partes. Se dobla la primera y la tercera
     rrena tolestuko ditugu kontrako muturreraino. Eta,      hasta el extremo contrario. Y se da la vuelta a los
     berriz ere, buelta emango diegu tolesdurei.             pliegues de nuevo.

     Zati horizontal bakoitzaren erdia markatuko dugu,       Se marca la mitad de cada una de las partes hori-
     eta luzeraren erdira arte ebaki. 1, 3, 5 eta 7 zatiak   zontales y se corta la mitad de la longitud. Se do-
     tolestuko ditugu. Azkenik, berriz ere buelta eman-      blan las partes 1, 3, 5 y 7. Finalmente se vuelve a
     go diegu tolesdurei.                                    dar la vuelta a los pliegues.




     Bukatzeko, guztia destolestuko dugu, eta “Sier-         Para acabar, se desdobla todo y se obtiene lo que
     pinski-ren triengelua” delakoa lortuko dugu.            se conoce como “El triángulo de Sierpinski”.

     Oharra: praktikan, ezinezkoa da hirugarren toles-       Nota: En la práctica, es imposible dibujar correcta-
     dura planoa behar bezala marraztea eta ebakit-          mente y cortar después del tercer plegado plano.
     zea. Hori errazteko, jarraian txantiloi bat dauka-      Por ello, a continuación se adjunta una plantilla
     gu; markatutako lerro jarraikietatik ebakiz gero,       mediante la cual, si se corta por las líneas conti-
     eta puntu-lerroetatik tolestuz gero, Sierpinski-ren     nuas marcadas y se dobla por las líneas de puntos,
     triangelu bat lortuko dugu.                             se obtiene un Triángulo de Sierpinski.




                                                                                                                    




40
Begirada matematiko bat • Una mirada matemática




                                Real Sociedad
                             Matemática Española

				
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