模糊效用约束下的消费者支出最小化

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					                     管理科学与系统科学研究新进展
         ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                   2001 年·大连


           模糊效用约束下的消费者支出最小化

                                赵明清
                 (山东科技大学信息科学与工程学院,271019)


      摘要   本文利用模糊优化方法,讨论了消费者的效用约束为模糊约束的条件
      下,如何确定各种商品购买量以使其支出达到最小的问题。
      关健词 模糊规划,效用函数,隶属函数,消费者均衡


1 引言
    文[1]讨论了消费者在收入约束为模糊约束的条件下,如何确定各种商品的购买量以使
其效用达到最大的问题。本文讨论的是该问题的对偶问题,即讨论消费者在效用约束为模糊
约束的条件下,如何确定各种商品的购买量以使其支出达到最小的问题。效用约束的模糊化,
使消费者行为分析更加接近实际。目前,尚无人对此问题进行讨论。


2 模型的建立与分析
    为了讨论方便,设消费者仅购买两种商品,这两种商品的价格分别为 P 和P2 ,购买数
                                    1



量分别为 Q1和Q2 ;效用函数 f (Q1 , Q2 ) 连续二次可微且严格凹。那么,模糊效用约束下消

费者支出最小化问题可用模糊规划
                             mi n I  P1 Q1  P2 Q2
                             
                      (Ⅰ)     s. t. f (Q , Q )  U
                             
                                        1   2
                                                ~


来描述。其中:I 表示消费者支出; f (Q1 , Q2 ) U 表示消费者的效用最好不要低于给定的
                                         ~

效用 U 。

    根据假设, I  P Q1  P2 Q2 分别在约束 f (Q1, Q2)  U  l (l 是伸缩指标, U  l 是效
               1



用下限)和 f (Q1 , Q2 ) =U 下的最小值都存在,不妨分别设为 E0  l 0 (l 0  0)和E 0 。

    对于模糊约束 f (Q1 , Q2 ) U 构造模糊约束集 D1 ,其隶属函数
                       ~                     ~




                                      ,
赵明清, 通讯地址:山东省泰安市山东科技大学信息科学与工程学院(271019)
    联系电话:0538—6227430(H)

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                                       0              ,   f (Q1 , Q2 )  U  l
                              1
             D1 Q1 , Q2   1  ( f (Q1 , Q2 )  U ) , U  l  f (Q1 , Q2 )  U
              ~
                              l
                                       1              ,     f (Q1 , Q2 )  U

对于目标函数 I  P Q1  P2 Q2 构造模糊目标集 D2 ,其隶属函数
            1
                                                         ~


                                0              , P1Q1  P2 Q2  E 0
                       1
                      
      D2 (Q1 , Q2 )   ( P1Q1  P2 Q2  E 0 ) , E 0  l 0  P1Q1  P2 Q2  E 0
       ~
                       l0
                      
                                1              , P1Q1  P2 Q2  E 0  l 0

  为了兼顾 D1 和 D2 ,采用模糊判决 DF  D1  D2 ,选择 Q1 和Q2 ,使
                                                                  *     *

               ~     ~                     ~      ~          ~


        DF (Q1* , Q2 )  ( D1  D2 )(Q1* , Q2 )
                   *                        *

         ~                      ~    ~


                          D1(Q1*, Q2 )  D2(Q1*, Q2 )
                                    *              *

                            ~              ~


                           (D1(Q1 , Q2 )  D2(Q1 , Q2 ))
                           Q1,Q2  0 ~            ~


                         =   | D1 (Q1 , Q2 )   , D2 (Q1 , Q2 )   ,0    1
                                                                                 
                                  ~                   ~                          
  于是,模糊规划(Ⅰ)归结为求普通数学规划
                 max 
                 
                 s.t. 1  1 ( f (Q1 , Q2 )  U )  
                           l
             (Ⅱ) 
                        1
                        ( P1Q1  P2 Q2  E 0 )  
                        l0
                 
                      0    1 , Q1 , Q2  0
  即




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           min g 0 (Q1 , Q2 ,  )  
           s.t. g (Q , Q ,  )  f (Q , Q )  l  U  l  0
                  1   1    2              1  2

                g 2 (Q1 , Q2 ,  )   P1Q1  P2 Q2  l 0   E 0  0
          
      (Ⅲ)       g 3 (Q1 , Q2 ,  )    1  0
                g 4 (Q1 , Q2 ,  )    0
          
                g 5 (Q1 , Q2 ,  )  Q1  0
          
                g 6 (Q1 , Q2 ,  )  Q2  0
    根据优化理论中的 Kuhn –Tucker 定理,
                            (Ⅱ)相应的(KT)条件是

                       g 0              g i 
                       Q                Q 
                       1                 1
                       g 0       6
                                            g i 
                       Q    ui  Q   0
                       2  i 1  2 
                       g 0              g i 
                                              
                                        
                        g i (Q1 , Q2 ,  )  0
                        ui g i (Q1 , Q2 ,  )  0
                   
                        ui  0
                   
                       (i  1,2,3,4,5,6)
即




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                     f 
                     Q 
          0        1          P1    0    0     1     0 
          0   u  f   u  P   u 0   u 0  u 0  u 1   0
           1  Q           2      2 3    4     5     6 
          1       2          l 0    1  1     0     0 
                   l                                  
                          
                          
         f (Q1 , Q2 )  l  U  l  0
          P1Q1  P2 Q2  l 0   E 0  0
     
            1  0,   0
     
         Q1 , Q2  0
         u1 ( f (Q1 , Q2 )  l  U  l )  0
     
         u 2 ( P1Q1  P2 Q2  l 0   E 0 )  0
         u 3 (  1)  0, u 4   0
     
         u 5 Q1  0, u 6 Q2  0
         u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6  0
     
通过分析,便知
                                   0   1
                                   u1, u2  0, u3  u4  u5  u6  0

                                   Q1 , Q2  0

                                        f
                                 u1        u 2 P1  0                       (1)
                                       Q1

                                        f
                                 u1        u 2 P2  0                       (2)
                                       Q2

                                  1  u1l  u 2 l 0  0                      (3)


                                  f (Q1 , Q2 )  l  U  l  0               (4)

                                  P1Q1  P2 Q2  l 0   E0  0               (5)

由(1)、(2)两式,得


                                                   191
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                                f      f
                                   /P     / P k                                          (6)
                                Q1 1 Q2 2 
由(4)、(5)两式,得
                                          l0
                  P1Q1  P2 Q2             ( f (Q1 , Q2 )  U  l )  E0                 (7)
                                           l
(6)、(7)两式是消费者均衡即模糊效用约束下的消费者支出最小化的必要条件,可以证明该
条件也是消费者均衡的充分条件。
    由(6)式,得

                                  f             f
                                      kP  0 ,      kP2  0
                                 Q1            Q2
                                         1



令
                                                 f
         E (Q1 , Q2 , k , P1 , P2 , U , l )         kP
                                                Q1
                                                        1



                                                 f
         F (Q1 , Q2 , k , P1 , P2 , U , l )         kP2
                                                Q2
                                                               l0
         G(Q1 , Q2 , k , P1 , P2 ,U , l )  P1Q1  P2 Q2         ( f (Q1 , Q2 )  U  l )  E0
                                                                l
则 E,F ,G 关于 Q1 , Q2 , k 的 Jacobi 行列式


                              E            E      E
                              Q1          Q2      k
             ( E, F , G)     F           F       F
                            
             (Q1 , Q2 , k ) Q1           Q2      k
                              G           G       G
                              Q1          Q2      k

                                    2 f                2 f
                                                                    P1
                                    Q12              Q1Q2
                                    2 f                2 f
                              =                                     P2
                                  Q2 Q1               Q2 2

                                     l f                l f
                                P1  0              P1  0           0
                                      l Q1               l Q2




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                       管理科学与系统科学研究新进展
         ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                                     2001 年·大连


                            2 f                2 f                1 f
                                                                 
                            Q12               Q1Q2               k Q1
                            2 f                2 f                 1 f
                       =                                           
                           Q2Q1               Q2 2
                                                                     k Q2
                          1 l f              1 l f
                         (  0)              (  0)                      0
                          k l Q1             k l Q2

                            1 1 l0
                       =    (  )|H |
                            k k l
其中

                          2 f         2 f          f
                          Q12        Q1Q2        Q1
                          2 f         2 f          f
                     H 
                         Q2Q1        Q2 2
                                                    Q2
                           f           f
                                                      0
                          Q1          Q2

为 f (Q1 , Q2 ) 的加边 Hessin 矩阵。根据对 f (Q1 , Q2 ) 的假设, H  0 。所以

                                   ( E, F , G)
                                                   0
                                   (Q1 , Q2 , k )

进而,由隐函数组存在定理,(6)、(7)确定了唯一的一组隐函数
                               Q1  Q1 ( P1 , P2 , U , l )
                              
                               Q2  Q2 ( P1 , P2 , U , l )
                               k  k ( P , P ,U , l )
                                        1     2


称 Q1 ( P , P2 ,U , l )和Q2 ( P , P2 ,U , l ) 为模糊需求函数。或者说,对于给定的 P , P2 , U , l ,方
        1                    1                                 1



程组(6)、(7)有唯一解 Q1 ,Q2 ,相应的消费者最小支出 I  P Q1  P2 Q2 , 隶属度
               *   *                                      *          *       *
                                      1



                                           1
                      D2 (Q1* , Q2 )  
                                 *
                                              ( P1Q1*  P2 Q2  E 0 )
                                                            *

                       ~                   l0

这也就是模糊规划(Ⅰ)的解。




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3 结论
     (1) 消费者均衡的充分要条件是

                            f         f
                               / P1      / P2
                           Q1        Q2

                                            l0
                         P1Q1  P2 Q2        ( f (Q1 , Q2 )  U  l )  E0
                                             l
其中第一式意味着:在模糊效用约束下,当消费者的消费处于最优状态时,花在各种商品上
的最后一个单位货币支出所获得的效用相等。
     (2) 模糊效用约束下的消费者最小支出和达到的效用都比普通效用约束下的消费者最
小支出和达到的效用小。
     (3) 利用模糊数学方法分析经济问题会更接近实际,但也带来了分析上的困难。

参考文献
1                                       :197—200
    赵明清. 模糊约束下的消费者均衡. 山东矿业学院学报,1993.12(2)
2   唐林炜等编著. 模糊数学与经济分析. 山东大学出版社,1999.9: 141—164
3   中国人民大学数学教研室编. 运筹学通论. 中国人民大学出版社,1987.5: 190—196


        The Minimization of Consumption under the Fuzzy Utility
                              Constraint

                                          Zhao Mingqing
(College of Information Science & Engineering, Shandong University of Science and Technology,
                                              271019)


Abstract By using fuzzy optimization, this paper discusses how to ensure the consumption of
merchandises to minimize the expenditure if the utility constraint is a fuzzy one.
Keywords       Fuzzy programming        Utility function     Subjection function     Consumption
equilibrium




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