可加性评价函数及其判别

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					                    管理科学与系统科学研究新进展
       ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集    2001 年·大连


               可加性评价函数及其判别
                                **
                          刘新建
              (燕山大学经济管理学院,秦皇岛,066004)



    摘要   本文首先提出了系统评价模式的基本分类:总和评价模式、因果评价
    模式和果因评价模式,在此基础上指出,评价函数形式选择的首要问题不是
    线性和非线性的选择,而是加型函数和非加型函数的选择。然后,用无相互
    作用概念给出了可加性评价函数的一个判别定理,即:当各评价指标对总指标
    是无相互作用时, 其评价函数是加型函数。
    关键词 系统评价 评价函数 非线性 可加性


1 引言
  在系统评价的理论与实践中,评价函数的线性和非线性选择一直是人们讨论的一个焦点
                                [1]
问题,如有加权算术平均法和加权几何平均法之说 ,但是,我们的研究结果表明, 问题的
实质是评价函数的可加性与非可加性选择。王雪标等最近给出了评价函数可以表示为评价指
              [2]
标的线性组合的充要条件 ,本文的可加性概念对其有所扩展。


2 评价模式的三种基本类型
  对于各种各样的综合评价模式,我们可以将其概括为三种基本类型:总和评价模式、因
果评价模式和果因评价模式。很显然, 这种分类是根据总指标与评价指标之间的综合关系即
因果关系的类型做出的。所谓总和评价模式,即在总指标与评价指标之间不存在直接的因果
关系, 总指标的评价值简单地等于各评价指标取值的和。 例如, 高考总分等于各科成绩之
和, 国民经济总产值等于各部门总产值之和。 所谓因果评价模式, 即总指标的评价值是由
其形成原因的各个因素作为评价指标, 根据它们之间的函数关系计算出来。 所谓果因评价
模式,与因果评价模式相反, 总指标是各评价指标的共同结果之一。
  由总指标与评价指标之间的因果关系可以发现, 它们之间的函数关系是线性或非线性,
实质上并不是可以任意选择的, 而是由一定的客观存在所决定。在科学实践中, 它实际是通
过一定的实验或统计数据用一定的统计学方法得出的。而且, 这种关系的线性或非线性是与
指标的量化定义模式有关的。例如物理学中,若改变温度的量化定义, 许多物理定律的简单
性特征就会失去。在一般系统评价尤其是社会系统评价中, 主观评价因素影响很大, 指标的
量化定义模式具有很大的任意性, 所以, 评价函数的线性或非线性特征很难直接判定。但是,


* 本文受燕山大学博士科研启动基金资助
** 刘新建,1963 年生,工学博士,燕山大学经济管理学院副教授,主要研究方向:投入产出技术与系统
    评价。E-mail:lxj@ysu.edu.cn
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根据评价因子之间的因果特征, 我们可以比较规范地判别评价函数的可加性。下面,我们就
因果评价模式讨论其评价函数的可加性问题。


3 已有的三种评价函数形式判别方法
    关于评价函数形式的判别问题, 已提出过一些方法, 此举三例作为我们提出一般判别原
理的基础。
    方法一 直观法.
    如果各评价指标之间是相互补充,例如各部门产值对总产值,就是线性形式;如果是相
                        。
互作用,例如技术与管理对总产出,就用“非线性形式”
                                                      [3]
    方法二 正交试验分析(或方差分析)
                   ,认为:如果因素 y1 与因素 y 2 之间存在交互作用,
    在正交试验模型中(以两因素为例)
则试验结果由下式表示:
                      G  g1 ( y1 )  g 2 ( y 2 )  g12 ( y1 , y 2 )                        (1)
    如果 y1 与 y 2 之间不存在交互作用,则试验结果由下式表示:
                 G  g1 ( y1 )  g 2 ( y 2 )    (2)
      (1)式中的 g12 不是 y1 和 y 2 的可加性函数,否则就变成了(2)式。
    显然,
    方法三 效用无差异判别法。
    文献[4]在效用理论下给出了一个更形式化的判别准则,现简要介绍如下:
    定义1(全集) X  X 1    X n ,则每一个X的元素是一个 n 维向量。
                                                                         l
    定义2(对策结果集)  (W | W  ( p1 X , p 2 X ,  , p l X ) ,
                                 1       2           l
                                                                        p
                                                                        j 1
                                                                               j    1 ,X j  X ,
                                                                    j
j=1,2,…, l }。其中 p j 可解释为对策结果为 X 的概率。
    定义3(集合 G ):一个结果对 (W1 ,W2 )  G ,当且仅当 W1  W2 ,且对 xi  X i ,
i  1, 2,  n ,
                               l1                    l2

                              j 1
                                      1
                                          p j 1 j   2 p j 2 j
                                                    j 1
                                                                                             (3)

        1 当xi 为1 x j的第i分量                1 当xi 为2 x j的第i分量
    这里:  1 j  {                , 2j {
        0           其它                   0        其它
  定义4(相互独立)对给定 X  X 1    X n ,说 n 个 X i 是相互独立的,当且仅当:
在效用意义下,对一切 (W j1 , W j 2 )  G 有
                     W j1 ~ W j 2                                                     (4)
    其中 W j1 ~ W j 2 表示结果 W j1 和 W j 2 在效用意义下是无差异的。
    如果有一对 (W j1 , W j 2 ) 不满足(4)式, 那么就认为各 X i 在效用意义下是相互依存的。
    定理1 对给定 X  X 1    X n ,各 X i 在效用意义下相互独立的充要条件为:对任
意 X , X , X , X  X ,有
    1    2    3   4



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                            W1 ~ W2                 (5)
            1 1 1 2        1 3 1 4
其中 W1=( W1 ( X , X ),W2  ( X , X ), (W1 ,W2  G) .
            2   2          2     2
  定理2 对给定 X  X 1    X n 各 X i 在效用意义下相互独立的充要条件是:存在
函数  i ( xi ), xi  X i , i  1,2, , n ,使对一切 x∈X 有
                                                  n
                        ( x1 , x 2 ,, x n )    i ( xi )                                   (6)
                                                 i 1

    其中  (x) 表示结果 x  ( x1 , x 2 , , x n ) 带来的效用值。  (x) 的参照点和单位不变时,
                                                   当
除相差一个常数外,各  i ( xi ) ,i=1,2,…, n 是唯一的,即  i ( x)   i ( x)  ci , i  1,2, , n 且

c   i
          0.
    显然,这是一种因果评价法,进一步思考我们就会发现,定义4所说的相互独立并不是
通常概率意义下的相互独立,其独立的意义在实质上指的也是没有相互作用。


4 评价函数可加性判别定理
    观察以上三种关于可加性结合的判别原则,第一种虽名为线性与非线性判别, 实质上是
关于可加性的判别, 但所说的两种评价方法属于不同的评价模式, 前一个属于总和评价模式,
后一个属于因果评价模式。三种判别方法都指出, 可加性结合形式的要求条件是:对于产
生结果来说,各指标之间是没有相互作用的。 在以上三种方法的基础上, 我们给出“无相
互作用”的一个形式化定义及可加性评价函数的判别定理。
    定义5          设 X  X 1  X 2    X  {x | x  ( x1 , x 2 ,  x n ), xi  X i , i  1,2, , n} 是
评价指标向量值全集(值域) X i , i  1,2, , n 既表示一个评价指标也表示该评价指标的值
             ,
域, G(x) 是 x∈X 产生的结果。如果对任意一对这样的 x1 , x 2  X ,
     x1  ( x1, , xi0 1 , xi0 , xi0 1 ,, xn )
              
    x 2  ( x1, , xi0 1 , xi0 , xi0 1 ,, xn )
              
    且 xi  xi 有
           0     0


                        G( x 2 )  G( x1 )  f i0 ( xi0 , xi0 )                            (7)
    则称 X i0 与其它 X i (i  1,2, , i0  1, i0  1, , n) 对G是无相互作用的。如果(7)式对任
意 i0  1,2, , n 都成立,则称 nX i 对 G 是无相互作用的。
    由定义显然可推出下面的定理:
    定理3 对给定的 X  X 1    X n 和 G, nX i 对G是无相互作用的充要条件是:存在
一组 g i ( xi ) ,i=1,2,…,n,对  x∈X 有:
                                n
                     G ( x)   g i ( xi )                                                     (8)
                               i 1

    显然,定理 3 也可以作为 nX i 对 G 无相互作用的定义。


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                 0
     推论:设 g i ,,i=1,2,…n 满足(8)式,则当G的参照点和度量单位都固定时,所有满足
(8)式的 g  ( g1 , g 2 , , g n ) 都属于下面的集合:
                                                                     n
     G  {g | g  ( g1 , g 2 ,, g n ), g i ( xi )  g i0 ( xi )  ci 且  ci  0, i  1,2,, n}      (9)
                                                                    i 1
   需要注意的是:不要把定义5中的无相互作用与概率论中的相互独立相混淆,             这里是
在因果评价法意义下定义的。如 G  X 1 X 2 中的 X1 与 X2 可以是概率意义下的相互独立,但
决不能是因果评价法意义下的无相互作用。


5 加法结合与非加法结合的实验判别
     上述的原理并不能直接用来进行判别,直接判别需要实验事实。当因果评价法是多目标
决策问题时,定理1提供了一种方法。因为,在多目标决策中,使每个目标都达到他们单独
考虑时的最大值一般是不可能的,所以只好来个折衷,于是就设立一个总指标:效用,这每
个指标与总指标的关系显然是因果关系。根据定理1,各目标之间有无相互作用的判别的基
本思想是:
     想象有两种决策方案,第一种决策方案可能得到的各目标结果是 W1 ,第二种方案的可
能结果是 W2 ,此(W1,W2)满足集合G的元素的条件。然后让决策者对这两个方案进行总
体评价:若他认为 W1 和 W2 对他是同样的满意,就认为各目标在效用上是无相互作用的,
因而可用加法结合形式得到总效用,否则就得用非加法结合形式。
     当分目标个数较少且各目标的取值范围比较狭窄时,这种方法确实是一种简洁有效的方
法。但是,对于目标个数较多(如大于3)和目标值域较宽的评价问题,受限于人的直观判
断能力,这种方法就缺乏现实可行性。另外,有大量评价问题也不适宜转化为风险决策问题。
     对于一般因果评价问题,作为目前可利用的各种实验判别方法,我认为:结合方差分析
                                    [5]
思想,并利用典型样本建模技术 ,设计具体的实验(调查)方法的路线应当首先被考虑,
其理由有三:
     (1)对于一般评价变量,人们对典型样本的判别可靠性是比较高的,当最主要的典型点
的值确定以后,利用建立起来的评价模式对一般对象进行评价,误差的范围就会得到有效控
制。
     (2)方差分析技术是比较成熟的统计分析技术,有现成的程序可以利用。
     当然,当变量的取值范围较广时,经典的方差分析技术是不够用的,应当建立一般的效
应分析技术。
     (3)同一数据,既可以被用来分析可加性,也可以用来估计已确定的结合形式的参数,
一举两得。


6 非加法结合形式的一种选择
                                                                                       n
     评价实践中,人们偏好一种指数结合形式的非线性评价函数,即 G                                                 y
                                                                                             a i
                                                                                             i     , 这是受
                                                                                      i 1
经济学中生产函数的启发。但是,对这种形式必须注意其限制条件,这里指出:
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      (1)这种形式用于因果评价法时,                 G
                      将其中的评价指标看成生产投入要素, 看作是产出。
      (2)注意其函数性质:
      (a)该函数是一阶齐次的,当各指标的值同时增大相同的倍数时,总指标也增大同样倍
数;
      (b)当单独一个指标以相同幅度连续增大时,总指标的增大额越来越小,即所谓边际效益
递减;
  (c)总指标对各评价指标的弹性系数对各指标分别是一个常数,即: 对评价指标 y i ,有
                                              G / y i
                                                         常数  i
                                               G / yi

参考文献
1   胡永宏,贺思辉. 综合评价方法. 科学出版社,2000:45-52
2   王雪标,龚兆仁,郑晓薇. 线性综合评价函数的充要条件及权数的确定. 系统工程理论与实践,2000,
    20(10):58-62
3   张尧庭,方开泰. 多元统计分析引论.科学出版社,1982: 379-397
4   Fishbbun P.C.. Independence in Utility Theory with Whole Product Sets. Operations Research, Jan.-Feb., 1965:
    28-45
5   刘新建. 目标策划与系统评价建模. 载于《策划与策划支持系统》.中国经济出版社,1994:269-273


            Additive Evaluation Function in Systems Evaluation and its
                                Discrimination

                                                    Liu Xinjian
            (School of Economics and Management, Yanshan University, Qinhuangdao, 066004)


Abstract       At first, this paper gives the basic classification of systems evaluation
models--summation model, reasons-result model and results-reason model; then we point out that
the problem above all to select an evaluation function form is to select an additive or non-additive
function instead of a linear or nonlinear function. At last, we give a discriminate theorem for
additive evaluation function that the evaluation function is additive when the indexes are not
interactive on the gross index in a system evaluation model.
Keywords Systems Evaluation                Evaluation Function        Nonlinear       Additivity




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