0105067需求随机波动下的局部竞争与合作分析

							                   管理科学与系统科学的理论与方法
            ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术论文集   2001 年·大连



         需求随机波动下的局部竞争与合作分析
                 ——厂商背叛行为的判定

                         张宁 倪宏艳
                 （北京航空航天大学经管学院，100083）


       摘要   本文在对现实经济现象进行抽象的基础上，建立起了需求随机波动情
       况下，商品多重效用特性所引发的厂商局部竞争与合作问题的研究模型，并
       应用假设检验的方法，重点解决了厂商背叛行为的判定问题。
       关键词 局部竞争 合作行为 背叛行为

1 引言
  竞争与合作，作为两种对立的市场行为，都可以促进社会进步，科技发展和经济繁荣。
但在经济关系越来越复杂，经济联系越来越广泛，经济发展变化速度越来越快的今天，很难
说，哪两个厂商间始终保持着竞争或是合作的关系。因此，在复杂的经济关系条件下，清楚
认识厂商间利益的相关性，正确平衡厂商间的竞争与合作关系，准确判断合作厂商的背叛行
为，就成为越来越迫切的要求。
  对局部竞争的关注，始于 Hotelling1929 年对于一维市场中同种商品价格的研究。在他的
原始模型中，假设厂商分布在直线形的地理空间或产品空间中，并通过引入运输成本的概念，
来描述购买者间的差异性，进而得出了“同一市场，产品价格可以存在差异”的重要结论。
与此同时，模型在客观上，创造出了一种简单的局部竞争状况：无论整个市场中有多少厂商
存在，每一个厂商面对的仅仅是所有竞争对手集合中的一部分[1]。
  真正将厂商合作问题提出，并进行了基本分析的是 Stigler。1964 年 Stiger 在他的文章中
第一次明确提出了厂商合作的概念，同时也揭示了在垄断状态下，加强合作的本质问题包含
了两个方面，即背叛行为的发现以及相应采取的惩罚措施[2]。
  在 Hotelling 和 Stigler 之后，又有很多经济学家针对局部竞争和厂商合作行为，进行了
更广泛和深入的研究。在此过程中，人们发现，厂商的局部竞争或是合作关系，正逐渐失去
其独立性，而慢慢地交织在一起，于是，对这两方面的理论研究也逐渐交织到了一起，主要
有以下三个代表阶段。
  1964 年，Stigler 在对厂商合作行为进行分析时，采用了完全信息的前提假设[2]，即：若
合作中的任何一个厂商所发生的背叛行为，都将在一个周期后，被合作中的所有其他厂商正
确获知。显然，这种假设成立的前提，是所有厂商彼此直接竞争，因此，又可将其称为直接
竞争假设。从这个意义上讲，这时对竞争与合作问题的研究，还是针对简单商品市场进行的，
厂商之间的竞争还局限在直接竞争的范畴之内。
  此后，Stigler（1964 年）以及 Green 和 Porter（1984 年）进一步深化了对合作问题的研
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究，他们采用了非完全信息的假设[3]。在他们的研究中，考虑的是一个在需求方面具有不确
定性的市场。这样，任何一个厂商，在发现自己收益有所变化时，都必须通过主观判断来确
定收益变化的原因：是由于市场需求的不确定性，还是与其他厂商的背叛行为有关。由此，
需求的不确定性，就使得问题的研究脱离了完全信息的假设，从而更加接近于现实。
  1995 年，Verboven 第一次研究了由于商品市场结构所造成的局部竞争与合作问题[4]。在
他的研究中，建立了一个需求确定的三厂商直线型市场结构模型，并详细描述了处于其中的
厂商之间，在竞争与合作方面的特殊关系，以及整个合作的状态转移过程，并重点分析了厂
商惩罚措施对合作稳定性的影响。这是第一个描述和分析商品多重效用引起局部竞争的模
型。同时，文章也指出，由于各种因素的影响，需求随机波动是非常普遍的现象，对此情况
下的局部竞争与合作进行分析，将具有重要的意义。
  本文在 Verboven 研究的基础上，建立了需求随机波动情况下，厂商局部竞争与合作的
研究模型，详细分析了需求随机波动给局部竞争与合作带来的影响，并运用假设检验的原理
和方法，重点解决需求随机波动情况下，厂商背叛行为的判定问题。
  本文在结构上分为四个部分。1 引言：说明了课题的来源和意义，课题研究的历史，以
及目前同类研究的现状及存在的问题；2 理论分析：建立起问题研究的基本模型，并重点讨
论了需求随机情况下，对背叛行为的判定方法；3 模拟例题：通过具体的演算，应用了新的
判定方法，并进一步验证了模型中的部分结论；4 结论：总结了本文的主要观点。

2 理论分析

2.1 需求函数
  假设在一个完全封闭的市场中，仅仅存在三种商品，分别记作商品 a，b 和 c。其中商
品 b 和 c 的需求稳定，而商品 a 的需求具有随机性。假设这三种商品的需求函数分别为：
  Qa＝（a0＋θa）＋0.5b1Pb－a1Pa
  Qb＝b0＋0.25a1Pa＋0.25c1Pc－b1Pb                       (1)
  Qc＝c0＋0.5b1Pb－c1Pc
  其中，Pa，Pb，Pc 分别代表三种商品的价格，Qa，Qb，Qc 分别代表三种商品的市场需
求量，a0，b0，c0（＞0）为需求函数的常数项，a1，b1，c1（＞0）为需求函数一次项的系
数，θa 用来描述商品 a 的需求随机性，且服从正态分布，均值为 0，方差为σa2。
  从中可以看出：               （E    ，               （E
         商品 a 和 b 互为替代商品 cd＞0） 商品 c 与 b 互为替代商品 cd＞0）。
而且，由于商品 b 同时处于两个替代关系中，使得 a 与 b 之间的替代关系，以及 b 与 c 之间
的替代关系发生关联。
  实际上，通过以上的假设，本文建立起了一种特殊的商品替代关系模型：三种商品位于
同一条直线上，位于两端的两种商品，分别与位于中间的一种商品之间有替代关系，而这两
种商品之间不具有通常意义下的相关关系。


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2.2 利润函数
   假设在该封闭市场中，仅仅存在三个厂商，并且每一个厂商只能选择生产三种商品中唯
一的一种，对应于每一种商品，分别记作厂商 a，厂商 b 和厂商 c。那么，为了简便运算，
而又不失一般性，当忽略成本时，厂商的利润函数分别为：
   Πa＝Qa×Pa＝（a0＋θa＋0.5b1Pb－a1Pa）Pa
   Πb＝Qb×Pb＝（b0＋0.25a1Pa＋0.25c1Pc－b1Pb）Pb               (2)
   Πc＝Qc×Pc＝（c0＋0.5b1Pb－c1Pc）Pc
   其中，Πa，Πb，Πc 分别代表三个厂商的利润。
   从中可以看出：厂商 b 的利润同时依赖于商品 b 的价格以及商品 a 与 c 的价格之和；而
厂商 a 与厂商 c 的利润仅仅依赖于自己商品的价格和商品 b 的价格，并不依赖于第三种商品
的价格。厂商 a 与 b 之间，以及厂商 c 与 b 之间都存在着直接竞争的关系，但厂商 a 与 c 之
间仅仅通过与共同竞争者——厂商 b——的接触来相互影响对方。厂商 a 的利润函数服从正
态分布，且均值为（a0＋0.5b1Pb－a1Pa）Pa，方差为（Pa）2σa2。
  实际上，通过以上的假设，本文建立起了一种特殊的市场竞争状态模型：三个厂商位于
同一条直线上，位于两端的两个厂商，分别与位于中间的一个厂商之间有直接竞争的关系，
而这两个厂商之间不具有直接竞争关系，仅仅通过与共同的对手进行竞争，而相互影响。更
进一步，这样的市场格局，显然是由于商品自身的特点——多重效用特性——造成的。


2.3 合作价格
   厂商进行合作时约定的价格，应该能够确保所有厂商的利润之和最大，将该价格称为联
合利润最大化价格。当考虑均衡状态时，可以进一步假设，厂商在合作中约定的价格相等。
于是，厂商的联合利润最大化价格为：
   Pac＝Pbc＝Pcc＝2（a0＋θa＋b0＋c0）/3（a1＋c1）                  (3)
           c   c
   其中，Pa ，Pb ，Pcc 分别代表三种商品的联合利润最大化价格。
   显然由于随机因素θa 的影响，在现实中，任何厂商也无法以联合利润最大化价格作为
自己的合作策略，于是，合理的推测是，厂商将以联合利润最大化价格的均值作为实际合作
时采用的价格，也即合作价格。于是，厂商的合作价格为：
   P＝2（a0＋b0＋c0）/3（a1＋c1）                               (4)
   其中，P 代表三种商品的合作价格。
   从中可以看出：任何一个厂商的联合利润最大化价格和合作价格，都要同时受到自身商
品和其他商品的市场需求状况的影响。而且由于需求的随机性，厂商的联合利润最大化价格
均服从正态分布，且均值（即合作价格）为 2（a0＋b0＋c0）/3（a1＋c1），方差为
4σa2/9（a1＋c1）2。


2.4 合作利润
   当所有相关厂商均以合作价格为策略时，厂商获得的利润就是合作利润。于是，在本文
中，当商品 a 和 b 的价格为合作价格时，厂商 a 获得的利润就是合作利润；当商品 b 和 c 的

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价格为合作价格时，厂商 c 获得的利润就是合作利润；当商品 a，b 和 c 的价格均为合作价
格时，厂商 b 获得的利润就是合作利润。于是，厂商的合作利润分别为：
    Πac＝（a0＋θa＋0.5b1P－a1P）P
    Πbc＝（b0＋0.25a1P＋0.25c1P－b1P）P                          (5)
    Πcc＝（c0＋0.5b1P－c1P）P
    其中，Πac，Πbc，Πcc 分别代表三个厂商的合作利润。
    从中可以看出：厂商 a 的合作利润服从正态分布，且均值为（a0＋0.5b1P－a1P）P，方
差为 P2σa2。


2.5 信息状况与厂商策略
   厂商参与局部竞争与合作的过程，实际上就是其以获知的市场信息（具体来说，就是合
作厂商是否发生背叛行为的信息）为基础，不断作出决策的过程。而在无限次的市场交易中，
厂商的策略实际上就是一系列的函数，具体到本文的模型中，也就是商品 a，b 和 c 的价格
函数。此外，在本文的博弈模型中，θa 的存在以及它的概率分布被认为是这个博弈的共同
知识[5]。
    首先给出如下定义：
    (1) 厂商 a，b，c 在 t（t≥1）周期初的历史资料分别为 Hat-1，Hbt-1，Hct-1，它们是该厂
商过去所有周期内商品价格的一个序列， Hat-1≡ a1， a2…Pat-1） Hbt-1≡ b1， b2…Pbt-1）
                  即      （P P          ，      （P P         ，
Hct-1≡（Pc1，Pc2…Pct-1）；
    (2) 厂商 a，b，c 在 0 周期末的历史资料被称为空历史，分别记作 Ha0，Hb0，Hc0；
    (3) 厂商 a，b，c 在 t（t≥1）周期初的利润序列分别为（Πa1，Πa2…Πat-1）（Πb1，
                                                   ，
Πb2…Πbt-1）（Πc1，Πc2…Πct-1）
          ，              。
    在以上定义的基础上，可以分析出各个厂商的信息状况和厂商策略。首先，在任何一个
周期 t 的开始，每一个厂商都能够正确获知自己的历史资料和利润序列。其次，每个厂商必
然还能通过这些信息，对其他厂商的历史资料和利润序列进行一定的推断，但在本文所描述
的局部竞争市场条件下，这样的推断是不完全的，因为任何一个厂商仅仅有可能对其直接竞
争对手进行推断。更进一步，在随机因素θa 的影响下，厂商 a 仅仅能够确切获知随机因素
θa，与商品 b 的价格 Pb 的共同影响，而完全无法区分它们每个因素的单独作用。
    于是，每个厂商的信息状况和厂商策略分别为：
    (1) 厂商 a 在 t（t≥1）周期初获得的信息为（Hat-1，Πat-1），他在 t 周期内的策略记作
Fat，且 Pat≡Fat（Hat-1，Πat-1）；
    (2) 厂商 b 在 t（t≥1）周期初获得的信息为（Hat-1，Hbt-1，Hct-1），他在 t 周期内的策略
记作 Fbt，且 Pbt≡Fbt（Hat-1，Hbt-1，Hct-1）
                                  ；
               （
    (3) 厂商 c 在 t t≥1）周期初获得的信息为（Hbt-1，Hct-1），他在 t 周期内的策略记作 Fct，
且 Pct≡Fct（Hbt-1，Hct-1）。
    可以看出：商品 a 需求的随机性，影响了厂商 a 的信息状况，使得厂商 a 无法准确获知
厂商 b 的历史，也就无法确定厂商 b 在上一周期内是否发生了背叛行为。进一步，由于厂商

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进行决策的基础——信息状况的改变，又使得厂商 a 的策略选择产生了障碍。而所有这一切，
都是随机因素θa 作用的结果，这也就是需求随机波动引出的新问题——厂商背叛行为的判
定。


2.6 厂商背叛行为的判定
     从上面的分析中可以看出，对于商品需求具有随机波动性的厂商来说，他们在判断相关
厂商是否发生背叛行为时，几乎是无所适从。因为，当需求具有随机性时，在需求确定情况
                             ，而无法发挥作用。因
下所使用的判定方法，由于缺少相应的信息支持（相关厂商的历史）
此，必须为他们找到新的有效的判定方法。下面，将通过假设检验方法的应用来解决：商品
a 的需求具有随机波动时，厂商 a 如何判断厂商 b 是否发生了背叛行为。
     由前面的分析可以得出，在商品 a 的需求具有随机性的情况下，厂商 a 的合作利润Πac
是一个正态分布的随机变量，并且，当厂商 b 的价格为 P 时，Πac 的均值为（a0＋0.5b1P－
a1P）P，方差为 P2σa2。但当厂商 b 发生背叛行为时，他将通过价格的调整，掠夺厂商 a
的部分利润。于是，厂商 a 实际利润均值，将小于合作利润Πac 的均值。因此，可以对厂商
a 实际利润的均值，进行左方单侧假设检验，来判定厂商 b 是否发生了背叛行为[6]。
     按照数理统计和假设检验的原理：
     原假设：H0：E（Πa）=E（Πac）=（a0＋0.5b1P－a1P）P；
     备选假设：H1：E（Πa）＜E（Πac）=（a0＋0.5b1P－a1P）P；
     在原假设成立的情况下，统计量{Πa－E（Πac）}/Pσa 服从标准正态分布；
     所以，以 U={Πa－E（Πac）}/Pσa 作为检验的统计量；
     于是，在给定的检验水平α下，可得到该假设的拒绝域为：W={U＜-u1-α}。
     这样，本文就得到了新情况下，厂商 a 对厂商 b 背叛行为判定的新方法，即通过检验假
设 E（Πa）=E（Πac）是否成立的方式，来判断厂商 b 是否发生了背叛行为：若 H0 成立，
就表示厂商 b 没有发生背叛行为，厂商 a 实际利润偏离合作利润均值的波动，是由于随机因
素θa 的影响而造成的；若 H1：成立，就表示厂商 b 发生了背叛行为，厂商 a 实际利润偏离
其合作利润均值的波动，是由于商品 b 的实际价格 Pb 偏离 P，以及随机因素θa 的共同影响
而造成的。
     在以上方法的基础上，把厂商 a 在不同情况下的判定方法进行简单的比较就得到下表：


                       表1   厂商 a 对 b 背叛行为的判定比较
             信息状况            判定方法          置信度                 结果分析
              t-1   t-1               c
     需求      Ha ，Hb         比较 Pb 与 Pb     100%    当 Pb=Pbc 时，b 未发生背叛行为
无随机波动                       的大小关系                  当 Pb≠Pbc 时，b 发生背叛行为
              t-1     t-1
     存在      Ha ，Πa         检验 E（Πa）      （1-α）%    接受 H0 时，b 未发生背叛行为
随机因素θa                       是否小于                    接受 H1 时，b 发生背叛行为
                             E（Πac）


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    从上面的表格中，可以清楚地看到，随机因素的影响使厂商的判定依据，判定方法，结
果的置信度，都发生了变化。

3 模拟例题
    下面，按照本文第二部分的思路，对每个参数进行赋值，并具体应用以上的判定方法进
行判定。同时为了对比以加深对问题的理解和认识，这里也将无随机因素干扰时，厂商背叛
行为的判定方法和计算结果列出。
    每个参数的赋值如下：
    a0=b0=c0=100；
    a1=b1=c1=10；
    θa 服从正态分布，均值为 0，方差为 9；
    θb 服从正态分布，均值为 0，方差为 9；
    检验水平α可以取 0.1。
    按照 Verboven 的思路，在需求无随机波动的情况下，厂商背叛行为的判定方法包括以
下的步骤：1、厂商通过自己的当期利润，推算出相关商品的当期价格；2、把推算的价格与
合作价格进行比较，以判定相关厂商有否发生背叛行为。


                           表 2 厂商背叛行为判定表
项目      当期策略（价格）                    当期利润                          判断结果
序号      a       b    c       a             b       c         a        b     c
1      10      10    10     500           500     500        无        无     无
2      7.5     10    10    562.5         437.5    500        a        a     无
3      10      7.5   10     375          562.5    375        b        b     b
4      10      10    7.5    500          437.5   562.5       无        c     c
5      7.5     10    7.5   562.5          375    562.5       a        ac    c
6      10      7.5   7.5    375      515.625     468.75      b        bc    bc
7      7.5     7.5   10    468.75    515.625      375        ab       ab    b
8      7.5     7.5   7.5   468.75    468.75      468.75      ab       abc   bc


    在上面的表格中，共列举了 8 种情况，包括了三个厂商（a，b，c），两种策略（合作与
背叛）的各种组合。同时计算了当期各个厂商的利润，以及它们对相关厂商背叛行为判定的
结果（其中的字母表示厂商推断得出发生背叛行为的厂商）。
    对该表格进行简单的分析，可以看出：任何情况下，厂商推断出的背叛行为都是真实的，
但却不能保证厂商能够推断出所有的背叛行为。也就是说，在市场中仅仅存在着私有信息，
但却不存在着虚假信息。
    按照前面的论定，在需求随机因素θa 的影响下，厂商背叛行为的判定方法包括以下的
步骤：
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      (1) 计算厂商 a 合作利润的均值
      E（Πac）＝E（500＋10θa）=500
      (2) 提出假设
      H0：E（Πa）=E（Πac）=500；
      H1：E（Πa）＜E（Πac）=500。
      (3) 构造统计量
      U={Πa－E（Πac）}/Pσa=（Πa－500）/30
      (4) 选定检验水平
      依据实际的情况，可以选择不同的检验水平α，这里取 0.1。
      (5) 确定拒绝域
      W={U＜-u0.9}
      (6) 实际计算并作出判断
      将当期厂商 a 的实际利润带入Πa，计算并得到相应的结果，作出判断。
      需要说明的是，厂商 a 不仅在以合作为策略时，需要对厂商 b 是否发生背叛行为进行判
    定，而且在自己已经发生背叛行为时，也需要对厂商 b 是否发生背叛行为进行判定。此时，
    基本的判定方法不变，只需要将相应的利润期望进行简单的修改。


                           表 3 厂商背叛行为判定表（θa）
项目     当期策略（价格）                           当期利润                        判定结果
序号     A      b     c           a               b         c      a     b     c
1     10     10     10      500+10θa            500      500     H     无     无
2     7.5    10     10     562.5+7.5θa         437.5     500     aH    a     无
3     10     7.5    10      375+10θa           562.5     375     H     b     b
4     10     10     7.5     500+10θa           437.5    562.5    H     c     c
5     7.5    10     7.5    562.5+7.5θa          375     562.5    aH    ac    c
6     10     7.5    7.5     375+10θa          515.625   468.75   H     bc    bc
7     7.5    7.5    10     468.75+7.5θa       515.625    375     aH    ab    b
8     7.5    7.5    7.5    468.75+7.5θa       468.75    468.75   aH    abc   bc


      在上面的表格中，共列举了 8 种情况，包括了三个厂商（a，b，c），两种策略（合作与
    背叛）的各种组合。同时计算了当期各个厂商的利润，以及它们对相关厂商背叛行为判定的
    结果（其中的小写字母表示厂商推断得出发生背叛行为的厂商，大写字母 H 表示需要进行
        。
    假设检验）
      将表 3 与表 2 相比较，并进行简单的分析，可以看出：厂商 b 和 c 的利润不具有随机性，
    从而可以按照原先的判定方法，对相关厂商的背叛行为进行判定；只有厂商 a 的利润具有随
    机性，从而只能按照假设检验的判定方法，对相关厂商的背叛行为进行判定；厂商 b 和 c
    的判定结果都是真实的，但厂商 a 的判定结果却有犯错误的可能；观察 1，2，4，5 的情况，
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                                   管理科学与系统科学的理论与方法
                 ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术论文集                                        2001 年·大连


此时厂商 b 未发生背叛行为，但如果随机因素θa 小于-3.867，厂商 a 将认为厂商 b 发生了背
叛行为，此为假设检验的第一类错误；观察 3，6，7，8 的情况，此时厂商 b 发生了背叛行
为，但如果随机因素θa 大于等于 8.633，厂商 a 将认为厂商 b 未发生背叛行为，此为假设检
验的第二类错误。

4 结论
     从理论研究方面看，本文第一次详细描述了，在单个商品需求具有随机性的条件下，由
商品多重效用所造成的局部竞争与合作状况，并与需求确定时的情况进行了比较。在此基础
上，本文利用假设检验的方法，解决了随机因素干扰下，厂商背叛行为的判定问题。从实际
应用方面看，本文所描述的市场状况，正在越来越多的情况下出现，而对于实际工作者来讲，
对类似市场状况的认识还是很陌生的。因此，将本文的理论应用于实际工作，将能更好的取
得竞争与合作的平衡，杜绝恶性竞争的价格战对整个市场的严重破坏。

参考文献
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2   Stigler, G. A Therot of Oligopoly.Journal of Political Economy,1964,44-63
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6   韩於羹.应用数理统计.北京:北京航空航天大学出版社,1989


                Competition Localization and Collusive Behavior
                          Under Uncertain Demand

                                         Zhang Ning Ni Hongyan
          (College of Business and Administration, Beijing Univ. of Aero. & Astr., 100086)


Abstract This paper introduces a special market phenomenon, which is competition localization
as a result of multiple use of the conduct. Besides of this, it discusses the characteristic of the
demond function, the profit function, the inportant price, the collusive profit, the information and
the strategy in this kind of market. At last it finds a new mathod to detect cheating.

Keywords Competition localization               Collusive behavior          Cheating




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