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0105050 AHP中两类标度转换的保序性条件

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mab paper ,including economic management accounting ans also

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									                       管理科学与系统科学研究新进展
           ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集             2001 年• 大连


                   AHP 中两类标度转换的保序性条件

                          谭阳 覃菊莹 吕跃进
                      (广西大学数学与信息科学系,530004)


       摘要         本文通过分析两类标度之间的转换关系,给出了两类标度转换的保
       序性条件。
       关键词 AHP 标度转换 保序性 排序方法


1 引言
    随着层次分析法的广泛使用及应用的需要,出现了越来越多的标度[4]~[11]。文[1]把它们
作了分类,并提出了转换的方法。但是,并没有考虑到标度转换后的排序是否一致。本文提
出了将Ⅰ类标度转换为Ⅱ类标度的保序条件。

2 两类标度的转换及其排序方法
  我们根据标度所得的判断矩阵的性质差异,可将其分为两大类,即:Ⅰ、   “互反性”标
度;Ⅱ、“互补性”标度。其中,属于Ⅰ类的有:1—9 标度,指数标度,9/9—9/1 标度和

10/10—18/2 标度,用此类标度所得矩阵为正互反判断矩阵 A  aij       nn
                                                      ;属于Ⅱ类的有:0.1

—0.9 标度,0—1 标度,0—2 标度,-2—2 标度,用此类标度所得矩阵为互补判断矩阵

B  bij nn 。

                                                                 aij
    将Ⅰ类标度的判断矩阵转换为Ⅱ类标度的判断矩阵,其转换公式 为: bij 
                                                    [1]
                                                                          。
                                                                aij  1
文[1]中认为,通过上式先将Ⅰ类标度的判断矩阵转换为Ⅱ类标度的判断矩阵,然后将Ⅱ类
                  [1]
标度的判断矩阵转换为模糊一致性矩阵 ,再把模糊一致性矩阵的行和归一化得排序权重,
并认为不需进行一致性检验(这是错误的)   。但并没有提及经过转换所得的排序是否与原先
的排序相同。 实际上,并非对于所有Ⅰ类标度的判断矩阵经转换后所得的排序还与原先的排
                     1       4     3     1 
                                             
                     0.25    1   1.222 0.176 
序相同。如:Ⅰ类标度的判断矩阵 A                             ,用特征根法得到
                      0.333 0.818   1   0.429 
                                             
                     1                   1 
                           5.667 2.333       

的排序向量为: w  0.378 ,0.101,0.122 ,0.399  ,此时 w1  w4 ,而转换为Ⅱ类标度后所得



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的排序为: u  0.284382 ,0.212483 ,0.218755 ,0.284380  ,此时 u1  u 4 。因此,标度经

过转换后是否还保序非常值得研究。

3 保序性条件
   定义 1 设矩阵 C  cij            nn
                                       ,若有 0  cij  1 ,则称矩阵 C 是模糊矩阵。

   定义 2 设模糊矩阵 C  cij                 nn
                                               ,若有 cij  c ji  1 ,则称矩阵 C 是模糊互补矩阵。

   定义 3 设有模糊互补矩阵 R  rij                            nn
                                                            ,若对任意 k ,有 rij  rik  r jk  0.5 ,则称矩

阵 R 是模糊一致性矩阵。

                                                     
                                                                                       n
   定理 1
        [2]
              如果对模糊互补矩阵 C  cij
                                                           nn
                                                                 按行求和,记为 ri          c
                                                                                      k 1
                                                                                             ik   i  1,, n 并施


                   ri  r j
之如下数学变换 rij                      0.5 则由此建立的矩阵是模糊一致的。
                     2n

   定理 2       将Ⅰ类标度的判断矩阵 A  aij                                   nn
                                                                           经上述转换后得Ⅱ类标度的判断矩阵

B  bij nn ,所得的归一化之前的排序向量为 W  w1 ,, wn  ,其中

                         n 1 n n           1    1
                 wi          ( a  1  a  1)
                         2 2n l 1 k 1 lk
                                                                                                    (1)
                                             ik



                                                                                                      
                                                n                n
                         a ij                                         a ik
   证明: 由 b ij                   ,则 ri        b   a                      ,得模糊一致性矩阵 R  rij                ,
                                                                      ik  1
                                                      ik                                                nn
                    a ij  1                   k 1          k 1


                          ri  r j             1  n a ik
                                                  
                                                                   n     a jk     
   其中            rij                 0.5                                   n
                            2n                 2n  k 1 a ik  1 k 1 a jk  1 
                                                                                 

                          1 1 n       1       1
                     =     +    ( a  1  a  1)
                          2 2n k 1 jk      ik

   将 R 按行求和后得:
                        n       n
                                   1 1 n        1       1
                 wi   ril   {       ( a  1  a  1)}
                      l 1    l 1 2 2n k 1 lk      ik


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                         n 1 n n           1    1
                     =        ( a  1  a  1)
                         2 2n l 1 k 1 lk   ik

   证毕。

              正互反矩阵称为是序传递的,如果 a ij  1 ,则对所有的 k ,有 a ik  a jk ;如
        [3]
   定义 4

果 a ij  1 ,则或者对所有的 k ,有 a ik  a jk ,或者对所有的 k 有 a ik  a jk 。

   定理 3 若Ⅰ类标度的判断矩阵 A  aij                  nn
                                                    是序传递的,则经转换后得到的排序与原先

用 EM,LLSM,LSM 给出的排序相一致。

   证明:对任意 i , j ,因为 A 是序传递的,都有 a ik  a jk 或 a ik  a jk , k 。那么由 EM,

LLSM,LSM 在强条件下的保序性 知,它们各自的排序权值均满足 wi  w j 或 wi  w j 。另
                  [3]




一方面,设经过转换后的排序向量为( w1 , w2 ,..., wn ),由(1)式可得

                        1 n         1       1 
              wi  w j =   (                  )
                        2  k 1 a jk  1 aik  1 
                                                 
                                 1        1
因此当对任意 k, a ik  a jk 时                        0, wi  w j ;
                             a jk  1 a ik  1

                                 1        1
当对任意 k, a ik  a jk 时,有                        0, wi  w j 。证毕。
                             a jk  1 a ik  1

  从上述的定理我们可以看到,       当Ⅰ类标度的判断矩阵满足序传递时,转换后的排序与原
先用 EM、LLSM、和 LSM 给出的排序相一致。

4 结语
   不可否认,Ⅱ类标度在一些实际的计算中比Ⅰ类标度所得到的排序与现实更为接近。如:
                     1     1 7
                                  
Ⅰ 类 标 度 的 判 断 矩 阵 A 1     1 3  , 用 EM 和 LLSM 给 出 的 排 序 为
                    1 / 7 1 / 3 1 
                                  

                                                     27 13 19 
w  0.515 ,0.388 ,0.097  ,而经过转换为Ⅱ类标度后计算得到的排序为 u   , ,  ,
                                                     16 8 16 

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显然这与实际的排序更为接近。但是,如果Ⅰ类标度的判断矩阵经转换后所得的排序与原先
的不一致时,将会对我们的结果产生影响,防碍我们对客观排序的正确认识。因此,保序性
条件的提出十分必要。

参考文献
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     14(5)


      The Condition of Rank Preservation for Transforming between
                      Two Classes of Scales in AHP

                               Tan Yang    Qin Juying    Lv Yuejin
               (The Department of Maths and Informatics, Guangxi University,530004)


Abstract This paper analyses the transforming relation between two classes of scales in AHP. A
condition of rank preservation is given.
Keywords AHP Scales Transforming              Rank Preservation      Priority Method




                                               221

								
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